UNIVERSIDAD UNIVERSID AD PEDAGOGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZAN
EJERCICIOS RESUELTOS ANALISIS REAL
ALUMNOS: 1. 2. 3. 4. 5.
Registro
Alan Yobany Claros …………………………………….9917524 Elsy Magdalena Peña Cruz…………………………..9927260 Cruz………………………….. 9927260 Marysabel Barillas Arita ……………………………..402197900245 Ramon Anibal Hernandez …………………………..0501197704532 Rut Yoana Turcios ……………………………………….0420198300049
II PERIODO 2012
UPNFM C U E D0 S . B .
Dedicatoria El presente solucionario es un trabajo elaborado por los alumnos de la universidad Pedagógica Francisco Morazán en el sistema de educación a distancia C.U.E.D, con sede en Santa Bárbara, con el propósito de aportar a los lectores los conocimientos adquiridos en la asignatura de Análisis Real durante el presente periodo. El mismo está dedicado a nuestro tutor que con tanto esmero, paciencia y dedicación nos brindó parte de su Licenciado: Cruz Florentino Juárez intelecto; Rodríguez , guiándonos para que de esta forma se evidencie nuestra práctica en tal asignatura, para él nuestro esfuerzo y admiración. Sírvase leerlo.
1
INDICE Pagina N°1…………………… N°1…………………………………… ………………………….De ………….Dedicatoria dicatoria
Pagina N°44,45,46 N°44,45,46 …………………E …………………Ejercicio jercicio (3) (3)
Pagi Pa gi n a N ° 2 ……………………………………………....Índic nd ice e Pagi Pa gi n a N ° 3 ………………………………………………Capitulo 1 Ejercicio 1 Pagi Pa gi n a N ° 4 ……………………………………………...Ej erci cios N ° (2,3,4 ) Pagi Pa gi n a N ° 5 ……………………………………………...Ej erci cios N ° (5,9,10 ) Pagi Pa gi n a N ° 6 ………………………………………………Ej erci cios N ° ( sección 1.2)( 1 ) Pagi Pa gi n a N ° 7 ………………………………………………Ej erci cios N°(2,3,4) Pagi Pa gi n a N° N° 8,9 8, 9 …………………………………………….Ej erci cios N°(5 ) Pagi Pa gi n a N ° 10 …………………………………………… .Ej erci cios N ° (6,7 ) Pagi Pa gi n a N ° 11 …………………………………………......sección sección 1.3 ( 1 ) Pag i na N ° 12,13 12, 13 …………………………………………..Ej erci cios N ° (2,3 ) Pag i na N ° 14,15 14, 15 …………………………………………...Ej erci cios N ° (5 ) Pagi Pa gi n a N ° 16 ………………………………………………Ej erci cios N°(7,8,9 ) Pagi Pa gi n a N ° 17 ……………………………………………. ...sección 1.4 Ej erci cio s N°(1) Pagi Pa gi n a N ° 18 ………………………………………………. Ejercicio (2) Pagi Pa gi n a N ° 19 ……………………………........................Ej .....................Ej erci cios N°( 3,4 ) Pagi Pa gi n a N ° 20 ……………………………………………….Ej erci cios N ° ( 6,9 ) Pag i na N ° 21 ………………………………………………. Ca pítu lo 2 ……………………………………………….Capí Pagi na N° 22,23,24,2 22,2 3,24,2 5,26 ………………………………….Ej erci cios N ° ( 1,2 ) Pagi Pa gi n a N ° 27 ……………………………………………….Ej erci cios N ° (2,3 ) Pagi Pa gi n a N ° 28 ……………………………………………….Ej erci cios N ° ( 4,5) Pagi Pa gi n a N ° 29 ……………………………………………… Ejerci cios (7,8) (7,8) Pagi Pa gi n a N ° 30 ……………………………………………….Ej erci cios N ° (9,10 ) Pagi Pa gi n a N ° 31 ………………………………………………Ej erci cios N ° (11,12 ) Pag i na N ° 32,33 32, 33 …………………………………………..Ej erci cios N ° ( 14,25 ) Pagi Pa gi n a N ° 34 ……………………………………………...Ej erci cios N°( 26 ) Pagina N° 35 ………………………………………………Ejercicio(27,22) Pagina N° 37………………………………………………capitulo 3 Pagina N° 38………………………………………………Ejercicios(1,2) Pagina N° 39 ……………………………………………..Ejercicio(1) sección 3.3,3.4 Pagi Pa gi n a N ° 40,4 40 ,4 1 ………………………………………….Ejercicios (4,5) sección 3.5 Ejercicio 1 Pagina N°42,43 N°42,43 ………………………… ………………………………………… ……………….Ejercici .Ejercicio(2) o(2)
2
EJERCICIOS CAPITULO 1 Sección 1.1
Ejercicio Nº 1
Sea S=
. Determinar sup S e Inf S.
Desarrollo. Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n es impar, para esto se hará una tabla de valores. 1.- n es par
2.- n es impar
n par 2 4 6 8 10 . . . . +∞
Sn 1 3/4 5/6 7/8 9/10 . . . .
n impar 3 5 7 9 11 . . . . +∞
Sn 4/3 6/5 8/7 10/9 12/11 . . . .
Viendo la relación relación de la tabla anterior se puede determinar que el Sup S= 2 y el Inf S=1/2
3
Ejercicio Nº 2 Demostrar que el conjunto S = superiores.
El conjunto S= es C=
tiene cotas inferiores pero no
tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferiores
-
0
+
No está acotada superiormente por tanto no existe un
Ejercicio Nº 3 * Sea = Sup de S suponiendo que es y que S demostrar que el supremo del conjunto S es el mayor de los dos números y .
Si ………………………………. Por hipótesis Y = Sup S ………………………….. Por hipótesis Sea Entonces 0 De esta forma demostramos que S tiene un Sup el cual sería Sup S
= ya que
Ejercicio Nº 4
Sea
es cota superior de S.
Demostrar que
0 Supongamos que como hipótesis es la cota superior de S, implica que lo cual contradice la hipótesis ya que es la cota superior de S. Por tanto: Si
4
Sea S
i)
ii)
Ejercicio Nº 5 Demostrar que
es la cota superior de
Si es cota superior de S……………………………….por hipótesis Si es cota superior de S ….por definición Supongamos que ………………………………….por hipótesis es cota superior. Implica que y esto contradice la hipótesis que es la cota superior de S
0
Sea
Ejercicio Nº 9 acotado, S0
Demostrar que: inf S
S0
inf S0
Sup S0 S0
Sup S
0
S El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que: C= El conjunto S0 por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seria N=
El conjunto de las cotas superiores seria L= Si
Sea
Ejercicio Nº 10 S es acotado. Para un dado
a) Demostrar que si
=/
5
considérese el conjunto
Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es Llamamos ………………………………………definición, teorema 2 ……………………………………………….por es cota inferior del conjunto Por tanto: Probemos ahora que
es la mayor de las cotas de
, si V es cualquier cota inferior del
conjunto
…………………………….sustitución
Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S despejando
conjunto
es la cota mayor de las cotas inferiores del
.
Sección 1.2
Ejercicio Nº 1 Dado cualquier elemento de x, x €R Probar que existe un único numero n, n € Z/ n-1
Por contradicción supongamos que n=-1 y n=-2 -1-1
6
Ejercicio Nº 2 Si probar que existen Por reducción a lo absurdo
tal que
Si y > 0 pero lo cual es una contradicción ya que un número natural es mayor que cualquier número real negativo.
Ejercicio Nº3 Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional. Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Sea
^
donde
Ejercicio Nº4 ¿Cuál es la suma o el producto de dos números irracionales, un numero irracional?
Sea
´
+
b´
7
(√ )(√ ) √ √
´ + b´ la suma y el producto de dos números irracionales da un numero irracional.
Ejercicio Nº5 Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1 para cierto entero m Demostrar que:
a) Un entero impar no puede ser a la vez par e impar Por contradicción Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algún También es impar por lo que se tiene que implica que 0=1 es una contradicción.
c) La suma y el producto de dos enteros pares es par ¿Qué se puede decir acerca de la suma o del producto de dos enteros impares? Demostración: la suma de dos enteros pares es par. i) Sean dos enteros pares…………………………………..hipótesis x es par ……………………………………………. z es par ……………………………………………. .
dos enteros pares…………………………………..hipótesis dos enteros pares …………………………………………….b ^
ii) Sean Sean x es par
es par ya que Demostrar la suma de dos enteros impares es impar Sea x y z dos enteros impares x es impar z es impar
=2(a+b)+2 =2(y)+2 y=(a+b) no es un número impar ya que lo forma de un número impar es h=2m+1 Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar Sea a ^ b dos enteros impares a es impar ^
8
lo
√
d) si es par, también lo es n sea n un entero par
…………algebra
Sea un entero par es par
suponer n=2m+1 n
n =2m ………………….simp.
lo cual contradice la hipótesis
e) Si Demostración:
^
f) Todo número racional puede expresarse de la forma donde a y b son elementos uno de los cuales por lo menos es impar. Supongamos que a y b son pares a=2n y b=2m
9
EJERCICIO Nº 6 Modificar el razonamiento empleado en la demostración del teorema 7 para demostrar los siguientes enunciados
a) Existe un número real positivo y tal que Si tres números reales cualesquiera 3
satisface que
Demostración: a) z
Debemos demostrar que 3= por: a) Ya sabemos que según la ley de tricotomía para los números si 3= hemos llegado a la condición que deseamos. Debemos demostrar que la opinión 3< no es factible. Supongamos que 3< ,
EJERCICIO Nº7 Demostrar la densidad del conjunto Q en el caso en que x
Si x<0, como x
x*y<0
Propiedad arquimidiana
Colonario al teorema 6, inciso(c) para nx, nx>0 m m
10
ó 3=
, para x,y
Sección 1.3
EJERCCIO Nº1
Escribir por comprensión los conjuntos dados y representarlos geométricamente en la recta real.
| |
a) V 0.5 (5) = = = = =
| |
b) V 0.25 (-2) = = = = =
| |
c) V 2 (a) = = =
-2
x
a +2
11
EJERCCIO Nº2
Probar se U,V son vecindades de a, a€ R entonces U Ώ V y UUV son vecindades de a Los vecindarios son intervalos abiertos que pueden estar dentro o fuera de la vecindad en este caso los vecindarios son; (u,v) (u, a-e] [ a+e,u) [a+e,v)
Por lo tanto ( U Ώ V) y [UUV] son vecindarios de a
EJERCCIO Nº3
Probar que si a,b, €Rcon a distinto de bentoces existen vecindades u de a y v de b tales que UUV =Ø VU(a)= { x€ R/|x-a|< u } { x€ R/a-U< x < a+u }
Vv(b)= { x€ R/|x-b|< v } { x€ R/-v< x-b < v } { x€ R/a-U< x < a+u } x€ R/v-b< x < v+b } ] v-b , av+b [ €R
Por lo tanto si ] a-U , a +u [ €R y ] v-b , av+b [ €R son distinto de Ø
12
6) En cada uno de los siguientes casos decir si A es un conjunto cerrado,
abierto o ninguno de ellos. Determinar también los conjuntos Å , A’, Ā, Fr A.
a)
U
Å=
U
A’ =
U
Ā=
U
abierto no es cerrado
FrA =
b) A =
U
A° =
U
A’ =
U
U
U
Ā =A
No es abierto ni cerrado
FrA =
Puntos aislados
c) A =
A° = A` =
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
Ā=AU0 FrA =
13
Puntos aislados =
No es abierto, ni cerrado
⁄ ⁄ ⁄ ̂ ̂ ̂ ⁄ ̂ ̂ ̂ ⁄ ̂ ̂ EJERCICIO Nº5 Sean demostrar:
a)
Ip abierto/ Ip CA……… def punto inferior
.....................def .punto interior
ºA ºB…………………………………………….def de inclusión.
b) º A=ºA i) ººA ºA ii) ºA ººA Demostración: i) ººA ºA ººA ºA………………..Punto interior. ºA ya que Ip ºA ººA ºA………………………………………………….def de inclusión ii) ºA ººA ºA ºA………………..Punto interior. ººA ya que Ip ººA ºA ººA……………………………………………….def de inclusión
Por paso i, ii, ººA=ºA c)
ºA ºB
i)
ºA ºB
ºA ^ P ºB
ya que Ip
ºA ºB ……….. Punto inferior ºA ºB
ºA ºB…………………………………….def de inclusión
ii) ºA ºB P ºA ºB
……….. Punto inferior
ya que Ip
14
̂ ̂ ̂ ̂ ⁄ ⁄ ̂ ̅ { ⁄ } ̅ ̅ () ̅ ⁄ ̅ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ̿ ºA ºB
……………………….por def i,ii
= ºA ºB
d) ºA ºB
ºA ºB ……….. Punto inferior ºA ºB……………………………………………. Hipótesis. ºA ºB ………………………..def punto int. ºA ºB…………………………………………..def. unión ºA ºB …………...……………………………………..def. unión ºA ºB…………………………………………def. Inclusión
e)
´
de ´ acumulación A-B=
Demostración: Sea P
………………def. conjuntos
Ya que P A ´………………………………………………….def. de P ´………………………………..S.H.
´
´……………………………………………Def. de inclusión i) A B …………..…………………… P P ^ ………….……………………def. Intersección. P ^ …………………….................Hipótesis P B ……………………………………Int ersección ………………………………………….def. Puntos adherentes …………………………………………..def. Inclusión.
j)
i)
Gx
ya que
……………………………..def. de inclusión
ii)
ya que
……………………………..def. de inclusión
15
EJERCICIO Nº7
Si A=
Entonces Determinar Fr A y Ext A.
Desarrollo 1.- A=
.............................................................................................Por
Hipótesis
2.- A= ......................................................................... Sustitución de valores en n 3.- Fr A= A........................................................................................... Definición de Punto Frontera y paso 2
4.- Ext A= ....................................Definicion de Punto exterior y paso 2 y 3
EJERCCIO Nº8
Determinar el conjunto de puntos de acumulación de los siguientes numerales
b)…. (a,b] su punto de acumulación es [a,b]
d)… [a,b] su punto de acumulación es [a,b]
EJERCCIO Nº9
Determinar los puntos de acumulación en
16
/n € N* los puntos de acumulación son
A, = 0 SECCI ÓN 1.4 EJERCICI O 1 Desarrollo a) Compr uebe que
3.4.-
n
es un a cubi erta de A=] 0,1[, donde
1.- Sea 2.-
= =
n
=
..........................................................................................Hipótesis
.................................................................Dato ........................ Sustitución de Valores
............................................. Definición de Cubierta paso 1 y 3
b) Use a) par a comprobar qu e A n o es compacto
1.- Sea 2.- si 3.4.-
..............................Por parte a, dato
......................................................Por pasó 1
...................................................................................... Por paso 2 ................................Unión de paso 1 y 2
5.Son disjuntos...................................................Definición de Unión (conjuntos disjuntos) 6.- no es un recubrimiento de A.............................................Definición de recubrimiento paso 4 y 5 7.no es compacto.............................................................. .Definición de compacto y paso 6
c) ¿De quéotr a man era se justi fica que A no es compacto? c) Del hecho de que A no es cerrado y por el Teorema de Heine Borel.
17
EJERCICI O 2
Si
Son compactos de R, demostrar que
es un compacto de R.
Dar un ejemplo que ilustre que la unión infinita no siempre es un compacto.
Desarrollo 1.- Sea
compactos de R
⋃ ⋃ ⋃
2.- es Cerrado y Acotado definición de Compacto y paso 1 3.-
.Dato
...........................................................Por
............................................................................................Definicion
de Compacto 4.- Sea
........................................................................Por paso 3
5................................................................................................Definición de conjunto acotado 6. es acotado........................................................................................... Por ser Acotado y paso 5 7. es compacto.........................................................................................Teorema de Heine Borel
Ejemplo
Sea
=
entonces
⋃ =
No es acotado y por lo tanto no es compacto (Según el teorema de Heine
Borel).
18
EJERCICIO 3
Justificar si el conjunto A es o no compacto, si
A= [0,1]U{2}.
Desarrollo
1.- A= [0,1]U{2} ........................................................................................Hipótesis
2.- R-A= ]
,0 [ U ]1,2[U]2,
[.............................Definición de punto exterior y paso 1
3.- R-A es abierto...........................................................................Por definición y paso 2 4.- A es Cerrado.............................................................................. por paso 1
5.- A esta acotado por ........................................................... Definición de Vecindario 6.- A es Compacto......................................................................... Teorema de Heine Borel
EJERCICI O 4
La familia de intervalos
es una cubierta de
teorema de Heine-Borel que ninguna subfamilia finita de
. Demostrar sin hacer uso del
recubre el intervalo
.
Desarrollo
1.- Sea 2.-
n
. .....................................................................................................Dato
........................................................................................................Hipótesis
3.- =
.............................................................Sustitucion
de valores en paso 2
19
4.- si
.............................................................Definicion de
y paso 3
5.-
es una subcoleccion finita de G.................................................................Por paso 4
6.- p=max Existencia
.............................................................................. Definición de
7.-
..................................................................... por paso 3,4 y
6
8.-
...................................................................................................... Definición
Cubierta de un conjunto 9.-
subcoleccion finita de G que no recubre a
De modo que tampoco es compacto.
...................................L.Q.Q.D
EJERCICIO Nº6
Dado el conjunto de intervalos abiertos G={]-(2- ),(2- )[\n€N*} Dado que
G={]-(2- ),(2- ) entoces
G1=]-(2- ), (2- ) [ = ]-1,1 [
G2 =]-(2- ), (2- ) [ = ]- ,
[
G3 =]-(2- ), (2- ) [ = ]- ,
[
K = ]-2,2 [
EJERCICIO Nº9 Demostrar que una familia arbitraria de conjuntos compactos en R es compacta sea AC R se dice que A es compacta si es cerrado y acotado [0,2] es compacta (2,4] no es compacta Sea Ui compacto^ V j compacto cerrados y acotados → Ui Ώ V j es compacto en R
20
EJERCICIOS CAPITULO II
Sucesiones de números reales
21
EJERCICIO Nº 1
Encontrar los diez primeros términos de la sucesión dada p or el criterio indicado.
a)
b)
22
c)
d)
e)
23
f) (
g) (
)=(
m=1→(
= 2
m=2→(
=(
=
m=3→(
=(
=
m=4→(
=
m=5→(
=
) =(1 -
)
m =1→(1 m =2→(1 m =3→(1 -
) = -1 )= 1 )= 1-
= =
24
m =4→(1 m =5→(1 -
h) (
=
)= 1-
=
)= 1-
=
=
------------- No tiene solución
i)
=1 ;
= 3
m=1
+ 1
= 3 + 1
= 3(1) + 1 =4
m=2
= 3 + 1
= 3(4) + 1 = 13
m =3
= 3 + 1
= 3(13) + 1 = 40
m =4
= 3 + 1
= 3(40) + 1 = 121
25
m =5
= 3 + 1
= 3(121) + 1 = 364
j)
k)
=1 ;
=
m= 1 →
=
= 3
m= 2 →
=
= 5
m= 3 →
=
= 7
m=4→
=
= 11
m=5→
=
= 15
=3 ;
m =1
=7
m =2
= 5 + 6 =13
m =3
= 7 + 8 =15
m =4 m =5
=
= 23
= 40
EJERCICIO Nº2
e las sucesiones del punto anterior señale cuales de ellas corresponden a sucesiones de números racionales. R= a), f) y g)
26
EJERCICIO Nº2
De las sucesiones del punto anterior señale cuales de ellas corresponden a sucesiones de números racionales. R= a), f) y g)
EJERCICIO Nº3
Determine cuáles de las siguientes sucesiones son nulas. a)
b)
c)
=
=
=
d)
)=
= = Es nula
27
EJERCICIO N 4
Comparar que
| |
Sea
50< n
Los términos se encuentran en el entorno del centro cincuenta.
y radio , excepto los primeros
EJERCICIO 5 Demostrar que las siguientes sucesiones de números racionales son convergentes.
a)
=
Sea
=33
b)
=
=
28
EJERCICIO 7
Dar un ejemplo de sucesión no acotada que posea una sucesión convergente
+e =0
EJERCICIO 8 Demostrar que ( ) no es convergente sí:
a)
| | ) = Supongamos que
tenemos que
; Para m=L
b)
L > 0
obtenemos
; No existe número natural que contenga la desigualdad
| | | | ) =
01+ L<
para m=L L> 0.06 tenemos L 0.01……………………...…..no existe numero natural que verifique la Desigualdad 2 0.2 para m por ) = m Supongamos que (
Para m=L
L>0
no existen números reales que verifican la desigualdad
29
√ √ √ √ √ √ – √ √ √ √
EJERCICIO 9
Si = – las sucesiones: b) ( )
Demostrar que entonces convergen
Solución:
= 0 = = = =
-
= 1 – 0-1
= 0
Sean
EJERCICIO 10
> 1 ;
= 2 -
Demostrar que
m ε N*, m ≥ 2
) es acotada y monótona. Hallar su límite.
= 1 -
= 2 -
-
= 1 -
- 2 +
= -1
-1 < 0 = 1 -
Es creciente monótona
= 2
30
=
|
= 1 -
| < M m ε N*
EJERCICIO 11
sea s1>1; sm+1=2-
para todo m€N*,M>2
Demostrar que es acotada y monótona Si s1>1 entonces
s1=2
|sm|
| |
| 2| 2-
<3
<3
| |<3
POR TANTO ES ACOTADA
EJERCICIO 12 Demostrar que la sucesión dada converge al límite indicado
31
EJERCICIO 14
Suponga que SM es una sucesión acotada en R tal que su rango pertenece a N* demostrar que es convergente
Si SM es acotada también será convergente por el teorema número 2 de convergencia
EJERCICIO 25
Determinar si la sucesión { } converge o no. En aquellos casos en que converja encuentre su límite.
– a) (
)=
=
-
= =
= 0
<ε
<
<
< < <
<
<
32
= =
<
<
2<=
< m
< m
=
b) (
)=
=
=
=-1
< ε
< ε
< ε
< ε
< ε
< ε
1<εm
33
=
EJERCICIO 26
Estudiar si α =
yβ=
α →
≤
+
<
+
<
Ε >
>
β=
=
α = β ↔ ↔
R
-
↔
ε
-
=0
↔ 0–0 =0
Puesto que el
= 0 entonces
α R β =
̇
α = β
34
EJERCICIO 27 Estudiar si
dan lugar a números iguales
=
EJERCICIO 22 Demostrar que la sucesión
||
por hipótesis
35
n de cauchy
[]
36
EJERCICIOS CAPITULO 3
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS Y TRES VARIABLES
37
EJERCICIO Nº 1
⟨⟨⟩⟩ 〈 〉 〈 〉 〈 〈 〉 〉 〈〉 〈〉〈 〉 〈 〉 〈〈 〉 〉
Sean V =
, V=
a) Veri ficar si l a sig. Ex presión es un producto in ter no en
b) ¿Para quévalor es de K es el sigu iente un producto i nterno
Por tant o por K =4 es un pr oducto intern o en
EJERCICI O 2
‖〈 ‖ ‖ 〉‖〈 ‖ ‖ 〉‖‖ 〈‖〉〈 〉〈 〉〈 〉〈 〉〈 〉 ‖‖‖ ‖‖‖‖‖ ‖‖‖‖‖‖‖‖‖ ‖‖‖‖ ‖‖ ‖‖‖‖ |||| |||| 〈 〈 〉 〉 〈 〉 〈 〉
Sean X,Y b)
c)
D emostr ar que
-
= =
= 4
-
- [
]
38
〈||〉 〈〈〉〉 〈||〉 〈||〉 〈〈〉〉 〈||〉 〈〉 〈〉 |||| |||| 〈〉
= =
+ + 2
+ +
+ -
- [ +2
-
-
]
-
=4
-
= 4
EJERCICIOS 3.3-3.4
EJERCICIO Nº1
̅ ̅ ̅
Sean A, B
demostrar que
a) A B
i) AC , Sea X un punto inferior de A si Tal que Entonces
Sea un punto inferior de B si
Tal que
Entonces Si A B
X que es punto inferior de A también lo es de
Por lo tanto A
i)
A
B
A B
, Xe
Se llama punto adherente de A si VG, G,
Abierto tal que X G G A 0 X Si A B X también punto adherente de B y ; G abierto tal que X G G B 0 Como Entonces
por lo tanto A B
39
EJERCICIO Nº4
En el siguiente caso determinar si A es un conjunto cerrado abierto o ninguno determinar también A°,A,,AEs un conjunto abierto A°= ]0,3 [U ]5,+
[[
A, = [0,3 ]U ]5,+ A- =A
EJERCICIO Nº5
Si A= /n € N* determine FR A y EXT A Fr A = (0,1) abierto A° = ]0,1[ A, = A u (0)
EJERCICIOS 3.5-3.15 EJERCICIO Nº 1
Demuestre haciendo uso de la definición del limite a)
| | || || Debemos probar que
tal que
40
|| || | | | | || || Entonces
b)
=
Entonces
|| | | | | || ⌈ ⌉ | | || | | || || c)
< <
<
1-
| | || ⁄
2>
||
-
z
41
| | | | | || | | |
d) * = = -
tal que
= 2 = =
EJERCICIO N 2
Determinar si existen:
a)
⁄⁄ La función está definida en Haciendo
Como
b)
N o exi ste el lími te
⁄ ⁄ F está definida en Si
Como
42
Como
c)
el límite existe y es igual a 0
⁄⁄
Si
Como
y
, F está definida en
y
=
f
f
Como f
d)
f
límite no existe
⁄ ⁄ =0
=
f
=
f
Como f
,yf
0
Convergen al mismo limite entonces el límite existe y es igual a 0
43
EJERCICIO Nº 3 Identificar las superficies siguientes.
a)
b)
Cono Cuadrático
ELIPSOIDE
e)
Hiperboloide de
una hoja
44
g)
Hiperboloide de una hoja
h)
Hiperboloide de 2 hojas
i)
Paraboloide hiperbólico
45
