Solucionario de Problemas de Ingeniería de Control Prob.- Obtener el diagrama de estado (diagrama de flujo) del siguiente modelo en el espacio de estado:
Las condiciones iniciales son:
[̇̇ ] + [00] 10
La ecuación de estado se puede reescribir de la siguiente forma:
̇ + + ̇ + + 1 0 + + + 1 0 + + +
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones anteriores, se obtiene:
El diagrama de estado correspondiente se muestra en la figura siguiente.
Prob.- Sea el sistema (inicialmente en reposo) descrito por la ecuación diferencial:
3 + 3 + 2 Determinar: a) La función de transferencia del sistema. b) Las ecuaciones de estado c) La respuesta del sistema al ser excitado por la señal
1
cos cos
Solución Para obtener la función de transferencia obtenemos la transformada de Laplace de la ecuación que lo describe, ignorando los términos debidos a las condiciones iniciales
2 3 + 3 + 2 ⇒ 3 + 3 + 1 Para obtener las ecuaciones de estado planteamos el sistema:
̇ } {̇ ̈ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇ 13 + 23
con lo que tendremos :
y de ese modo resulta el sistema
0 11 ] ̅ + 2 [/ 0 ] ̇ [1/3 3 1 ,0, 0 La respuesta debido a la excitación vendrá por la transformada inversa de Laplace del producto de la transformada de la señal de excitación por la función de transferencia del sistema. Según eso tendremos
2 2 − − ℒ [3 + 3 + 1 ℒcos] ℒ 3 + 3 + 1 1 + 11 Descomponiendo en fracciones simples tenemos:
2 + + + 3 + 33 +1 + 11 3 + 3 + 11 + 11 + 1 12 5 1 + 18 13 1 1 + 13 1 1 + 136 + 1 + 134 1+ 1 + 2 + 12 + 2 + 12 1813 exp( 12 )(2√ 13 ) + 1130 ( 12 )(2√ 13 ) + 136 + 134
y a partir de esta última ecuación, tomando las transformadas inversas:
2
Prob.- Para cada uno de los siguientes sistemas descritos por ecuaciones diferenciales de segundo orden determine el tipo de amortiguamiento del sistema.
+ 4 + 4 5 + 4 + 5 7 + 20 + Solución De la Ecuación General de 2do Orden:
+ 2 + : : : + 4 + 4 4
Donde:
Igualando términos
4 ⟹ 2
2 4 ⟹ 1 1 5 + 4 + 5 5 7
Conclusión: Como
; el sistema es críticamente amortiguado
Dividiendo la ecuación por 5:
3
+ 4 + 7 5 5 Igualando términos con la ecuación general:
1 ⟹ 1 2 45 ⟹ 0.4 yt dy d c dt + 20 dydtt + yyt xt 1 ⟹ 1 2 20 ⟹ 10
Conclusión: Como
< 1; el sistema es Subamortiguado
Igualando términos con la ecuación general:
Conclusión: Como
> 1; el sistema es Sobreamortiguado
0. 6 5 /g
Prob.- Considere el sistema de la figura en el que y . Se va a obtener el tiempo de subida o de levantamiento , el tiempo pico , la sobreelongacion, máxima y el tiempo de asentamiento cuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario
Solución
3 3.144
A partir de los valores dados de
1
=4 y
y
Tiempo de subida o de levantamiento
, se obtiene
:
Donde , se obtiene mediante
− − 34 0.93
Por lo que el tiempo de subida es:
3.144 0.93 0.55g 4
Tiempo pico
es:
3.414 0.785g
−⁄ −⁄. 0.095
Sobreelongación máxima
:
Por tanto, el porcentaje de elongación máxima es 9.5% Tiempo de asentamiento
, para el criterio del 2% el tiempo de asentamiento es:
4 43 1.33g
Para el criterio del 5%
3 33 1g
ℎ 1 g
Prob.- Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia y la constante de realimentación de velocidad para que la sobreelongacion máxima en la respuesta escalón unitario sea 0.2 y el tiempo pico sea 1seg. Con estos valores de obtenga el tiempo de subida y el tiempo de asentamiento. Suponga que - y que
ℎ
1 //g
Servosistema con realimentación de velocidad
+ + ℎ + ℎ 2+ ⁄ 5
Determinamos los valores la ecuación siguiente
ℎ − −⁄ −⁄ − : La sobreelongación máxima
, se obtiene mediante
Este valor debe ser 0.2. Por tanto
− 0.2 −⁄ − Tomando logaritmo natural
⁄ 1 1.6161 Efectuando obtenemos
El tiempo pico
se especifica como 1 seg. Por tanto de la ecuación
De donde obtenemos que
Como es 0.456,
es
3.14
1 3.53 ⁄ 13.53 12.5
Como la frecuencia natural
Determinamos
0.456 1
ℎ
es igual a
,
, a partir de ecuación
ℎ 2+
Despejando
2 1 0.178g ℎ 2
Tiempo de levantamiento
Donde
: A partir de la ecuación siguiente obtenemos el
− −1.95 1.10
Por tanto el tiempo de levantamiento,
es
6
Tiempo de asentamiento
0.65 g : Para el criterio del 2%,
4 2.48g
Para el criterio del 5%
3 1.86g + 16361+ 361
Prob.- La función de transferencia de un sistema es:
Calcule el cociente de amortiguamiento ( ), la frecuencia natural no amortiguada ( ), el tiempo de pico ( ), el tiempo de asentamiento ( ), el tiempo de levantamiento ( ) y el porcentaje de sobrepaso ( ).
Solución: De la ecuación general de 2do Orden:
+ 2 + y de la ecuación característica de la Función de Transferencia:
+ 16 + 361 Igualando Términos:
2 36116 ⟹⟹ 0.4192
Calculo de
y :
1 3.17.1244 ⟹ 0.18
Reemplazando valores de y = 17.24 Calculo del Tiempo de pico (
; se tiene: y
= 7.98
):
Calculo del Tiempo de Subida ( ):
7
Calculo de :
− −17.24⁄7.98 1.14 3.117.421.4 14 ⟹ 0.116 g 4 4 7.98 0.5g 3 3 7.98 0.38g −⁄ −.⁄. 0.2337
Reemplazando en la ecuación de
:
Calculo del tiempo de asentamiento ( ): Para el criterio del 2% el
:
Para el criterio del 5% el
:
Calculo del porcentaje de sobrepaso (
):
Por lo tanto el Porcentaje de Sobrepaso es:
% 23.37% E stabi stabi li dad dad me mediante diante el métod método o de de Routh. R outh.-- C asos asos especi especiale aless 1º.- Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero, pero los términos restantes no son cero o no hay términos restantes, el término cero se sustituye por un número positivo muy pequeño y se evalúa el resto rest o del arreglo siguiendo s iguiendo el procedimiento normal. Por ejemplo para la ecuación
+ 2 + + 2 0
El arreglo de coeficientes es
1 1 2 2 0 ≈ − 2
Si el signo del coeficiente que esta encima del cero ( ) es el mismo que el signo s igno que está debajo de él, quiere quiere decir que hay un par de raíces imaginarias.
Sin embargo, si el signo del coeficiente que esta encima del cero ( ) es opuesto al del que está debajo, quiere decir que hay un cambio de signo.
8
Por ejemplo, sea la ecuación característica
Su arreglo es el siguiente:
Notamos que en la primera columna existen dos cambios de signo, por lo que D(s) tiene dos raíces en el semiplano derecho (es inestable) 2º.- Si todos los coeficientes de cualquier fila son todos cero. Esto indica que hay raíces complejas conjugadas sobre el eje imaginario. Si la fila es cero, se forma un polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila anterior, y se reemplaza r eemplaza la fila de ceros por los coeficientes de la derivada del polinomio auxiliar, y se completa la tabla.
Tomemos como ejemplo el siguiente polinomio
Vemos que los coeficientes de la primera columna son todos positivos, sin embargo, como las raíces del polinomio auxiliar son también ta mbién raíces del polinomio original, y están sobre el eje imaginario, el sistema es inestable.
±2
Prob.- Dado el sistema definido por las ecuaciones
4 + 3 4 9
En las que
4 5 4 4 + 5 + 5 5 representa la variable de entrada.
Representar el diagrama de bloques del sistema y calcular la función de transferencia
/ Solución
Dado que las cuatro ecuaciones del modelo son lineales, se obtendrán en primer lugar las ecuaciones transformadas de Laplace del sistema. Para ello se supondrá condiciones iniciales nulas, con lo que resulta:
4 + 3 4 4 + 5 4 + 5 5 Ahora iniciamos la construcción del diagrama de bloques. Para ello se deberá comenzar por representar cualquiera de las ecuaciones que contenga algunas de las variables de entrada. En este caso la única señal de entrada es y por lo tanto iniciaremos por la primera ecuación. Esta ecuación puede representarse de las tres maneras siguientes:
Sin embargo la última de las representaciones no es válida, puesto que en ella la señal X(s) no aparece como señal de entrada, al ser sus valores consecuencias de los valores que toman las señales e .
En cuanto a las dos primeras representaciones, cualquiera de ellas es correcta desde un punto de vista matemático, sin embargo solo la primera de ellas da lugar a que todos los bloques del diagrama sean físicamente realizables por lo que es la que elegimos. A partir por lo tanto de la primera representación, las distintas etapas en el dibujo del diagrama de bloques son las siguientes:
10
2ª ecuación
3ª ecuación
4ª ecuación
Como puede observarse en esta representación todos los bloques son físicamente realizables, por lo que es preferible a otras representaciones válidas desde el punto de vista matemático, pero que no representan las relaciones de causalidad en cada uno de los subsistemas del sistema global. Multiplicando los bloques en serie y sumando las ramas en par alelo:
Y volviendo a multiplicar los bloques en serie y operando el lazo de realimentación:
Por lo tanto
25 + 155 4 + 17 + 115 + 620 11
Problema.- Dado el diagrama de flujo de un sistema de control hallar su función de transferencia aplicando Mason
Diagrama de flujos:
1 1 1 Aplicando regla regla de Mason:
∆ 1 1 ∆ 1 + + + ∆ 1 ∆ 1 ∆ 1 ∆ + ∆∆ + ∆ 1 ++ + + + + + 1 + + + ;
;
;
Reemplazando
,
y
;
:
+ + + + ++ +
12
Ejemplo de diagrama de flujo de señales, la aplicación de la regla de Mason es como sigue:
1.- solo existe un camino directo (p=1), cuya ganancia es:
2.- Existen cuatro lazos cerrados cuyas ganancias son:
, , , ,
3.- Como existen 4 lazos, hay 6 posibles grupos de 2 lazos ( ), pero de ellos son solo no adyacentes los siguientes:
,
4.- Como existen 4 lazos, hay 4 posibles grupos de 3 lazos ( ), pero de ellos son solo no adyacentes los siguientes:
, , ,
5.- Como existen 4 lazos, sólo hay un posible grupo de 4 lazos ( son adyacentes. 6.- De acuerdo con lo anterior, el valor de
es:
13
, pero estos
7.- Al eliminar los lazos que tocan el único camino directo sólo subsiste el lazo lo tanto resulta:
. Por
8.- Dado que sólo hay un camino directo, la función de transferencia se calcula como
1 ∑ ∆ ∆ =
14
15
16
17
18
19
20
