Bases de las escalas y temperamentos El sistema pitagórico o medieval: octava y quinta justas (el 2 y el 3)
Las relaciones numéricas entre los sonidos servirán además para generar las alturas disponibles en un sistema musical: las escalas. Un sistema basado en la octava y la quinta justa -y reconociendo aquí ya las octavas como "la misma nota", por raones prácticas-, deberá generar sus sonidos multiplicando por ! un sonido base y reduciendo octavas octavas en su caso mediante divisiones divisiones por dos#. $i partimos de una %recuencia %recuencia %&, nos irán apareciendo:
f 0
3 f 0
9 f 0
27 f 0
81 f 0
...
81/64 f 0
...
o, reduciendo octavas: f 0
3/2 f 0
9/8 f 0
27/16 f 0
notas 'oy llamadas si partimos de (o# (o, $ol, )e, La, *i, $i, +a, (o, etc. (ado que y ! son primos entre sí, no podemos esperar que el sistema de quintas justas se cierre: llegaremos 'asta *i, $i, +a,...y 'acia atrás, si lo deseamos, desde +a 'asta +ab, $ibb, ...# ad infinitum. infinitum. odemos representar esta serie de quintas como una espiral:
/n principio, uno puede tomar cuantas notas desee de esa espiral para a%inar sus instr instrum umen ento toss pitagóricamente, pitagóricamente, seg0n seg0n vaya vaya a 'acer 'acer m0si m0sica ca pent pentat1 at1ni nica, ca, diat1 diat1ni nica, ca, cromática con doce notas por octava, con diecisiete... /so sí, alguna ve una potencia de
tres dividida por alguna potencia de dos caerá casi en 2. /sto sucede tras doce quintas justas: Si# = 312 /219= 531441/524288 = 1,0136... 1 ≈
/ste %eo quebrado es la llamada comma pitagórica. 3 esta es la causa básica de que nuestro teclado tenga doce notas por octava, cerrando la espiral en %also, eso sí#. 4omenando el sistema por raones prácticas# por mi bemol, y tomando s1lo las doce primeras notas, lo representaríamos:
/sa quinta irregular, llamada quinta del lobo, es bastante peque5a, pues doce quintas: !6#2 son algo mayores que siete octavas: !6#2678 !262982,&2!...;2
ero para interpretar buena parte de la m0sica medieval es su%iciente a%inar de este modo un teclado: quintas y octavas serán absolutamente consonantes, y no suelen ser necesarias más notas. <'ora bien, no podremos usar un )e ni La, ni Lab...#, pues para estar bien a%inado 'acer quinta justa con $ol# tendría que estar muc'o más alto que el *ib: no podemos identi%icar ambas notas, o enarmonizar .
/n resumen, el sistema pitagórico o "medieval" tiene octavas y quintas justas, se basa en el 2 y el 3, y tiene sostenidos más altos que los bemoles "correspondientes" debido a la comma pitagórica: !2629 or tanto el ciclo de quintas no se cierra. La quinta del lobo es peque5a.
Bases de las escalas y temperamentos III El Renacimiento: entonación justa y afinaciones mesotónicas (el 2 el 3 y el !)
4uando durante el siglo => la tercera mayor tom1 status de consonancia se 'io necesario reajustar el sistema.
ero en instrumentos de altura %ija 'ay que llegar a un apa5o: si antes, al ser y ! primos entre sí, no se podía cerrar el círculo, a'ora, invitado también el n0mero ? las terceras mayores#, todo se complica. 4uando, en el ejemplo anterior, nos acabe apareciendo un acorde )e-+a-La, ese La tan bajo ya no nos vale... /l asunto no tiene un arreglo limpio, pues ! y ? son primos entre sí. 4uatro quintas consecutivas -reducidas a la octava conveniente-: (o-$ol-)e-La-*i o ! @68A26@ no pueden ser iguales a una tercera mayor pura: ?68?6@ La relaci1n entre ambos n0meros: A26@ 6 ?6@ 8 A26A& es la comma sintonica, y al cabo da cuenta de esa incompatibilidad entre ! y ?, quintas y terceras.
ara arreglar aceptablemente el problema, se sacri%icaron las quintas se temperaron#, empeque5eciéndolas un poco para que las terceras mayores y, de camino, menores# %ueran buenas: son los temperamentos mesotónicos de 26@ o 26! de comma:
(onde
se
resta
a
cada
quinta
respectivamente un cuarto o un tercio de comma sintonica aquí, medido en cents o centésimas de
semitono, -?,@ o -7,2,
respectivamente# de modo que las terceras
mayores en el primer caso, y las menores en el segundo, sean puras n1tese que una tercera menor es recíproca de la seCta mayor, y para alcanarla se requieren s1lo tres quintas consecutivas, (o-$ol-)e-La#. 3 a'ora, al encoger tanto las quintas, la quinta del lobo ya no es peque5a como antes, sino muy grande D'asta un cuarto de tonoE#: si intentamos enarmoniar, o sea, cruarla, vemos que )e sería muc'o más bajo que *ib como es l1gico, pues las notas con sostenido suelen 'acer el papel de tercera mayor de un acorde: deben ser bajas pues#. Fampoco en el )enacimiento solían necesitar notas como Lab o )e, y cuando las necesitaron los "manieristas"# se inventaron teclados de m0ltiples notas por octava diecinueve, por ejemplo#. /n resumen, en los sistemas mesotónicos, las terceras mayores o menores respectivamente# son "uenas las mayores, peque5as, las menores, grandes# y las quintas peque#as debido a la comma sintonica: el sistema se basa en el 2, el 3 y el !,
cuya incompatibilidad produce esa comma.
Bases de las escalas y temperamentos I$ El Barroco: cierre del c%rculo
4uando los compositores barrocos eCtendieron el rango de tonalidades do menor, si menor, mi mayor...# necesitaron utiliar 'abitualmente notas como )e, Lab, La... ara evitar reajustes constantes de la a%inaci1n en instrumentos como el clave o el la0d, se 'io necesario evitar una quinta del lobo tan desa%inada, a %in de poder enarmoniar utiliar la tecla de *ib como )e, por ejemplo# y cerrar el c%rculo de quintas, pero sin sacri%icar del todo las buenas terceras de los temperamentos
mesot1nicos. ara ello se reducen s1lo algunas de las quintas. $i nos remontamos al círculo pitag1rico v. supra# vemos que para lograr un círculo cerrado s1lo 'ay que restar una comma pitagorica en cents, @ unidades#, repartiéndola entre las doce quintas como nos placa: erc!"eister
$a%%otti
&irn'er(er, 1/2 co""a sintonica
/ste 0ltimo reparte en dos la comma sintonica - cents#, y deja aparte los cents que %altan para cerrar el llamado schisma, di%erencia entre los dos tipos de comma#. /l llamado Girnberger HHH reparte esa comma sintonica en cuatro partes iguales, desde (o a *i.
'ec'o, Girnberger %ue alumno suyo-, y no para el temperamento igual, como suele decirse. $on "buenos" porque ya no &ay quinta del lobo. 3 cada tonalidad tiene una a%inaci1n interna di%erente, al ser sistemas asimétricos.
/l temperamento igual , 'oy dominante, consiste simplemente en repartir esa comma pitagorica en doce partes iguales unos dos cents cada una#, de modo que nuestro sistema moderno aunque 'ay re%erencias a él desde el siglo =>H, en particular en instrumentos de trastes# tiene prácticamente quintas justas y terceras bastante malas, y en la práctica es una especie de pitag1rico cerrado y simétrico.
La realiaci1n práctica de estos sistemas escapa a este artículo. (iremos tan s1lo que se basa en aprovec'ar los intervalos buenos de cada uno: por ejemplo, en Girnberger HHH, 'acer una tercera pura (o-*i, 'acer quintas justas 'asta +a y )eb, y 'acer las cuatro quintas (o-$ol-)e-La-*i igualmente cortas contando batidos#. ero dejemos esto a personas más eCpertas.
