Teori Grup dan Kimia Pendahuluan
Teori grup merupakan cabang matematika yang menjelaskan sifat model abstrak dari fenomena yang tergantung pada simetri. Meskipun abstrak, teori grup menyediakan teknik praktis untuk memprediksi secara kuantitatif dan dapat memverifikasi perilaku atom, molekul dan padatan. Ketika gagasan dasarnya sudah jelas maka teknik tersebut mudah untuk diaplikasikan di mana hanya memerlukan perhitungan aritmatika sederhana. Dalam pembahasan pendahuluan mengenai aplikasi teori grup untuk kimia ini, semua alat matematika yang digunakan berupa konsep dasar dan dikembangkan ketika diperlukan. Alat matematika tersebut hanya gagasan dasar geometri Euclid, trigonometri dan bilangan kompleks. Aplikasi Teori Grup
Teori grup bermanfaat untuk kimia dalam beberapa hal. Pertama, ia menyajikan penjelasan kualitatif mengenai perilaku materi dengan sederhana. Misalnya, mengapa keadaan elektron di dalam atom dapat diklasifikasikan (dengan aproksimasi yang baik) oleh empat bilangan kuantum n, l, ml dan ms? Mengapa dalam keadaan dasarnya BeH2 merupakan molekul linier tetapi H2O bengkok? Mengapa transisi tertentu tidak muncul dalam spektrum absorpsi? Komputasi yang panjang dapat menyajikannya dengan tepat tetapi jawabannya tidak informatif untuk pertanyaan tersebut; teori grup dapat menyediakan penjelasan mengenai faktor untuk menentukan jawaban tersebut. Pada level lebih tinggi, teori grup dapat membantu menuliskan kaidah bahasa yang kita gunakan untuk menjelaskan dunia fisik. Prinsip mekanika kuantum dapat dinyatakan dengan ringkas, jelas dan meyakinkan karena sifat fungsi gelombang dan operator linear dikarakterisasi dengan baik oleh matematika. Pemahaman kualitatif ditambah teori formal menghasilkan alat prediksi. Pe rtanyaan berikut mensurvei topik yang dibahas: Bagaimana kita dapat menjelaskan, mengklasifikasi dan memprediksi: 1. mode vibrasi molekul? 2. kemungkinan bentuk fungsi gelombang yang mengkarakterisasi struktur elektron di dalam atom dan molekul? 3. sifat spektroskopi atom dan molekul; yaitu pertukaran energi dengan radiasinya? https://isepmalik.wordpress.com/category/simetri-dan-grup/teori-grup-kimia/
Grup Titik Pendahuluan
Dalam derajat tertentu grup titik merupakan grup simetri suatu objek seperti atom atau molekul. (Kisi tak-terbatas yang terjadi dalam teori padatan kristal memiliki simetri translasi sebagai tambahan). Kekhususan grup titik untuk molekul yang sesuai menetapkan kesempurnaan simetrinya. Terdapat berbagai tipe simetri yang dapat diperlihatkan suatu molekul. Hanya operasi molekul asimetri seperti morfin yang merupakan identitas: grup simetri metana; molekul bersimetri tinggi ini mengandung empatbelas operasi. Bab ini membahas berbagai simetri yang terobservasi dalam molekul. Pertama, menetapkan dan mengilustrasikan tipe operasi yang berbeda. Pertimbangan penggabungan yang sesuai dari unsur simetri menyebabkan terhimpunnya grup titik yang umum. Aksis Rotasi: Cn
Suatu molekul memiliki aksis rotasi derajat n atau aksis rotasi n-kali jika rotasi ke-1/n sepenuhnya merupakan suatu operasi. Jika n = 2, rotasi adalah setengahnya atau 1800, sebagaimana dalam kasus aksis C2 molekul air. Simbol Cn menandakan aksis n-kali. Aksis rotasi merupakan sebagian besar operasi simetri molekul. Aksis satu-kali merupakan rotasi penuh yang ekuivalen dengan identitas. Aksis rotasi dua-kali, (sebagaimana dalam contoh molekul air) kadang-kadang disebut dyad . Siklopropana memiliki aksis tiga-kali yang tegaklurus terhadap bidang yang mengandung atom karbon; ia juga memiliki tiga aksis dua-kali. https://isepmalik.wordpress.com/category/simetri-dan-grup/
3.2 Point Groups Sebuah objek geometris dapat memiliki beberapa elemen simetri secara bersamaan. Namun, simetri unsur yang tidak dapat dikombinasikan secara sewenang-wenang. Misalnya, jika hanya ada satu refleksi plane, tidak bisa doyongkan ke sumbu simetri (poros harus dalam plane atau tegak lurus). Kemungkinan kombinasi operasi simetri termasuk translasi/terjemahan disebut titik kelompok. Istilah ini mengungkapkan fakta bahwa kombinasi yang diperbolehkan memiliki satu titik unik (atau satu sumbu yang unik atau pesawat) yang umum untuk semua elemen simetri. Titik kelompok ketat memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh teori grup dalam matematika. Operasi Simetri unsur-unsur yang membentuk kelompok. Ketika dua operasi simetri digabungkan, operasi simetri ketiga dapat b erakibat secara otomatis. Sebagai contoh, kombinasi dari rotasi dua kali lipat dengan refleksi di plane tegak lurus sumbu rotasi secara otomatis hasil di pusat inversi di situs di mana sumbu silang plane. Itu tidak membuat perbedaan pada dua dari tiga operasi simetri yang digabungkan (2, m atau 1), sedangkan yang ketiga merupakan hasil (Gbr. 3.6). Simbol Hermann-Mauguin Point-group Sebuah simbol Hermann-Mauguin point-group terdiri dari daftar unsur-unsur simetri yang sesuai dengan aturan tertentu sedemikian rupa sehingga orientasi relatif mereka dapat juga diakui. Dalam simbol penuh Hermann-Mauguin semua elemen simetri, dengan sedikit pengecualian, yang terdaftar. Namun, karena lebih kompak, biasanya hanya simbol HermannMauguin pendek dikutip, dalam, simetri sumbu yang dihasilkan secara otomatis dari simetri plane yang disebutkan di atas yang tidak dinyatakan; simetri plane yang muncul tidak dihilangkan. Berlaku aturan berikut: 1. Orientasi elemen simetri disebut sistem koordinat xyz. Jika salah satu sumbu simetri dibedakan dari yang lain oleh multiplisitas yang lebih tinggi (axis-pokok/axis principal) atau ketika hanya ada satu sumbu simetri, maka ditetapkan sebagai sumbu z. 2. Pusat inversi hanya disebutkan jika simetri yang muncul hanya elemen. kemudian simbol . Dalam kasus lain ada atau tidak adanya pusat inversi bisa diakui sebagai berikut: ada dan hanya muncul jika ada salah satu sumbu inversi dengan keserbaragaman yang aneh ( , dengan N ganjil) atau sumbu rotasi dengan keragaman dan refleksi tegak lurus dengan (N/m dengan N even) plane itu. 3. Unsur simetri terjadi berulang kali karena dikalikan dengan simetri operasi yang lain disebutkan hanya sekali.
Gambar. 3.6 K ombinasi dari dua kali lipat dan rotasi sebuah refleksi di pesawat tegak lur us ke sumbu rotasi menghasilkan inversi 4. Sebuah refleksi plane yang tegak lurus ke sumbu simetri yang ditunjuk oleh sebuah garis miring, misalnya 2/m ('dua per m') = refleksi bidang tegak lurus ke sumbu rotasi dua kali lipat. Namun, refleksi plane tegak lurus sumbu rotasi dengan multiplicities yang aneh dari biasanya tidak
ditunjuk dalam bentuk 3/m, tetapi sebagai sumbu inversi seperti ; 3/m dan mengekspresikan fakta identik. 5. Orientasi timbal balik antara unsur-unsur simetri yang berbeda dinyatakan oleh urutan yang tercantum. Orientasi tersebut mengacu pada sistem koordinat. Jika simetri sumbu keserbaragaman tertinggi adalah dua kali lipat, urutannya adalah x-y-z, yaitu unsur simetri dalam arah x disebutkan pertama dll; arah referensi untuk refleksi palne adalah normal untuk plane. Jika ada sumbu dengan multiplisitas yang lebih tinggi, disebutkan pertama; karena bertepatan dengan konvensi dengan sumbu z, urutan berbeda, yaitu z-x-d. Unsur simetri berorientasi pada arah x terjadi berulang kali karena sedang dikalikan dengan keanekaragaman yang lebih tinggi dari sumbu z, membagi dua arah antara x dan berikutnya arah simetri-setara adalah arah yang ditunjukkan oleh d. Lihat contoh pada Gambar. 3.7. 6. Grup titik Cubic memiliki empat tiga sumbu (3 atau ) yang saling berpotongan di sudut dari 109.47o. Mereka sesuai dengan empat diagonal tubuh kubus (arah x+y+z, -x+y-z, -x-y+z dan x-y-z, tambah vectorially). Dalam arah x, y, dan z ada 4sumbu, atau 2, dan ada plane bisa refleksi tegak lurus terhadapnya. Dalam enam arah x+y, x-y, x+z,… sumbu dua kali lipat dan refleksi plane yang dapat muncul. Urutan petunjuk acuan dalam simbol Hermann-Mauguin adalah z, x+y+z, x+y. Terjadinya 3 di posisi kedua simbol (arah x+y+z) memberikan bukti dari grup point kubik. Lihat Gambar. 3.8.
Gambar. 3.7 Contoh dari tiga titik kelompok. H uruf – hur uf di bawah simbol H ermann Mauguin menunjukkan ke arah yang simetri elemen tampak
Gambar. 3.8 C ontoh dari tiga titik kelompok kubik
Gambar. 3.9 A ngka Simetri s geometri s dan simbolpoin grup, di setiap kasus, si mbol singkat H ermann-M auguin diberikan kiri, dan simbol Schoenflies ke kanan Gambar 3,8 dan 3,9 daftar simbol poin grup dan menggambarkan simbol poin grup dengan angka geometri. Dalam Selain simbol Hermann-Mauguin pendek simbol Schoenflies juga tercantum. simbol Hermann-Mauguin penuh untuk beberapa group point/kelompok titik adalah: short full s hort full 2/m2/m2/m 2/m mmm m 4/mmm 4/m2/m2/m m m 4/m 2/m 6/mmm 6/m2/m2/m m 2/m Simbol Schoenflies Point-group Sistem referensi koordinat diambil dengan sumbu utama vertikal (sumbu z). Simbol Schoenflies agak kompak-mereka hanya menetapkan simetri minimal elemen yang muncul dalam cara berikut (simbol Hermann-Mauguin yang sesuai diberikan dalam kurung): C i = pusat inversi adalah unsur simetri hanya [ ]. C s = refleksi plane adalah unsur simetri [m]. C N = sumbu rotasi N-lipat adalah hanya simetri elemen [ N ]. C NI ( N ganjil) = sumbu rotasi N -lipat dan pusat inversi [ ]. D N = tegak lurus ke rotasi sumbu N -lipat ada sumbu N rotasi ganda [ N 2 jika nilai N adalah ganjil; N 22 jika N even]. C Nh = ada satu sumbu rotasi N -kali lipat (vertikal) dan satu refleksi bidang horizontal [ N/m].
C Nv= Sumbu rotasi N -lipat (vertikal) berada pada garis persimpangan N refleksi vertikal plane [ Nm jika nilai N adalah ganjil; Nmm jika N even C ∞v = simetri kerucut [∞ m]. D Nh = di samping sebuah rotasi (vertikal) N -kali lipat terdapat N sumbu axis horisontal ganda, N refleksi plane vertikal dan satu refleksi bidang horizontal [ 2 / m jika N adalah ganjil; N/m2 /m2/m, untuk jangka pendek N/mmm, jika N even]. D∞h = simetri dari silinder [ ∞ /m2/m, untuk pendek ∞ /mm atau m]. D Nd = sumbu rotasi vertikal N -lipat berisi sumbu rotoreflection 2 N -lipat, sumbu rotasi N horisontal ganda yang terletak di yang membagi dua sudut antara bidang refleksi vertikal N [ M2m dengan M=2 x N ]. S Mv memiliki arti yang sama seperti D Nd dan dapat digunakan sebagai pengganti, tetapi sudah keluar penggunaan. S N = hanya ada sumbu rotoreflection N -lipat (vertikal) (lihat Gambar. 3.3). Simbol S N diperlukan hanya jika N habis dibagi 4. Jika N bahkan tetapi tidak habis dibagi oleh 4, C N/2i dapat digunakan sebaliknya, mis C 5i = S 10. Jika N ganjil, simbol C Nh umumnya digunakan sebagai pengganti S N, misalnya C 3h = S 3. T d = simetri dari [ 3m] tetrahedron. Oh = simetri dari sebuah segi delapan dan kubus [4/m 2 m, pendek m m]. T h = simetri dari sebuah segi delapan tanpa sumbu empat kali lipat [2/m , pendek m ]. I h = simetri Icosahedron sebuah dan sebuah pigura berduabelas segi pentagonal [2/m , pendek m ]. O, T dan I = sebagai Oh, Th dan Ih, tapi tanpa refleksi plane [masing-masing 432, 23 dan 235]. K h = simetri bola [2/m∞, pendek m∞]. http://aungsumbono.blogspot.co.id/2010/11/kimia-anorganik-sambungan-5.html
Apakah Grup? Posted in Teori Grup with tags bilangan, elemen, grup, hukum asosiatif , identitas, integer, invers, molekul air, operasi simetri, penambahan, perkalian, rotasi, simetri on Maret 15, 2014 by isepmalik
Grup terdiri dari set (operasi simetri, bilangan, dan sebagainya) bersama deng an aturan penggabungan dua elemen — umumnya disebut perkalian — yang mengikuti empat sifat: 1.
Tertutup: Dihasilkan dari penggabungan dua elemen—produk dari dua unsur—yang merupakan unsur lain di dalam set.
2.
Perkalian grup memenuhi hukum asosiatif : a ´ (b ´ c) = (a ´ b) ´ c untuk semua unsur grup a, b dan c.
3.
Terdapat unit elemen atau identitas (ditandai E) seperti E ´ a = a untuk eleme n grup.
4.
Untuk setiap elemen a suatu grup, g rup mengandung elemen lain yang disebut invers (a-1) seperti a ´ a1
= E. Perhatikan bahwa E ´ E = E, invers E adalah E itu sendiri.
Soal 3-1. Verifikasi bahwa set operasi molekul air merupakan suatu grup dengan menetapkan
produk dua operasi sebagai operasi campuran yang dihasilkan dari aplikasinya secara berurutan. Soal 3-2. Untuk setiap kasus berikut: Apakah ia suatu grup? Jika tidak, manakah kondisi yang
gagal? Jika set tertentu membentuk suatu grup di bawah operasi tertentu, nyatakan unsur identitasnya dan berikan rumus untuk elemen inversnya. (a)
Semua integer — positif, negatif dan nol — di bawah perkalian.
(b) Lima integer -2, -1, 0, 1, 2 di bawah penambahan. (c)
Semua integer ganjil di bawah penambahan.
(d) Semua integer ganjil di bawah perkalian. (e)
Semua integer genap di bawah penambahan.
(f)
Semua integer genap di bawah perkalian.
(g)
Semua bilangan riil di bawah perkalian.
(h) Semua bilangan yang membentuk n1 + n2 di mana n1 dan n2 adalah integer (negatif, nol atau positif), di bawah perkalian.
(i)
Set semua rotasi di sekitar aksis tunggal; aturan penggabungan merupakan aplikasi
berurutan. Leave a comment » Alasan krusial mengenai pentingnya teori grup dalam kimia bahwa teori tersebut menyediakan deskripsi kuantitatif mengenai sifat simetri atom, molekul, dan padatan. Namun demikian, menjadi tidak tepat ketika berpikir bahwa teori grup hanya merupakan—atau utamanya—suatu teori mengenai simetri geometri karena teori grup juga menjelaskan proses aritmatika sederhana. Sebenarnya sumber kekuatan teori grup ketika dihubungkan dengan fenomena yang tergantung pada simetri di mana penetapannya dari hubungan antara simetri dan jumlah. Ini merupakan suatu analogi untuk menyediakan representasi aritmatika operasi geometri yang menghasilkan kesimpulan geometri
dari perhitungan numerik sederhana. Klasifikasi Operasi Simetri Konsep fundamental dalam menganalisis simetri suatu objek (seperti kubus atau molekul air) adalah gagasan mengenai covering operation(operasi ). Operasi merupakan transformasi geometri suatu objek yang menghasilkan tampilan tidak berubah. Misalnya, rotasi molekul air 1800; aksis yang membagi dua sudut H—O—H mempengaruhi pertukaran posisi dua hidrogen sehingga molekul terlihat sama sebelum dan sesudah rotasi, seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.1. Tes untuk mengenali operasi kadang-kadang tidak teramati ketika operasi dilakukan. Banyak operasi seperti di atas untuk rotasi sederhana—mudah dan sangat membantu untuk mencobanya dengan model molekul. Selain itu, “refleksi cermin” dari distribusi materi di dalam molekul air dalam bidang yang dilewatkan melalui oksigen dan t egak-lurus molekul merupakan suatu operasi. Ini diperlihatkan dalam Gambar 2.2. Kesempurnaan operasi suatu objek merupakan ketepatan deskripsi simetrinya.
https://isepmalik.wordpress.com/tag/operasi-simetri/
Teori grup Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Teori Grup merupakan cabang matematika yang khusus membahas tentang grup.
Silakan melihat Glosari Teori Grup untuk melihat berbagai definisi yang digunakan dalam Teori Grup. Lihat pula Daftar topik Teori Grup. Daftar isi [sembunyikan]
1Sejarah 2Pengenalan Elementer 3Beberapa teori yang Bermanfaat 4Hal-hal umum 5Lain-lain 6Pranala luar
Sejarah[sunting | sunting sumber ] Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar , teori bilangan dan geometri. Euler , Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan teori medan, dengan teorinya yang sekarang disebut teori Galois. Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m
lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh Serret , yang merelakan bagian VI dari aljabarnya untuk teori itu; oleh Camille Jordan, yang Traité des Substitutions bersifat klasik; dan kepada Netto (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari abad ke-19 adalah Bertrand , Charles Hermite, Frobenius, Leopold Kronecker , dan Mathieu. Pada tahun 1882, Walther von Dyck berhasil merumuskan definisi modern dari suatu grup. Pembahasan mengenai grup Lie, dan subgrup diskrit , sebagai grup transformasi , mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh Sophus Lie; diikuti oleh Killing , Study , Schur , dan Maurer . Teori diskontinu (grup diskrit ) dicetuskan oleh Felix Klein, Lie, Poincaré, and Charles Emile Picard , dihubungkan dengan bentuk modular dan monodromi . Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah Emil Artin, Emmy Noether , Sylow dan masih banyak lagi.
Pengenalan Elementer[sunting | sunting sumber ] Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk grup automorfis. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat invarian, dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut grup simetri. Dalam teori Galois, yang merupakan origin sejarah konsep grup, seseorang menggunakan grup untuk menggambarkan simetri persamaan yang diselesaikan dengan suatu persamaan polinom. Grup yang dapat diselesaikan dinamai seperti itu karena sifat-sifatnya yang tetap dalam teori ini. Grup Abelian mencakup beberapa struktur yang dipelajari dalam aljabar abstark, seperti sinsin, medan, dan modul. Dalam topologi aljabar , grup digunkan untuk menggmabarkan sifat invarian dari ruang topologis( nama torsi subgrup dari suatu grup infinitif yang menunjukkan dalam medan). Disebut ‘invarian’ karena mereka didefinisikan melalui suatu cara yang mana mereka tidak berubah jika ruangnya dideformasi. Contohnya termasuk grup fundamental, grop homolog, dan grup co-homolog. Konsep grup Lie( yang dinamai sesuai ahli matematika Sophus Lie) bersifat penting untuk mempelajari persamaan diferensial dan manifolds; teori ini menggambungkan analisi dan teori grup serta objek yang tepat untuk menggambarkan simetri dari struktur yang dianalisis. Analisis yang dilakukan pada suatu grup dengan cara tersebut dinamakan analisis harmonik. Dalam kombinatorik, grup permutasi dan konsep pergerakan grup sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan satu set objek; lihat Burnside's lemma. Pemahaman terhadap teori grup juga sangat penting dalam ilmu-ilmu fisik. Dalam kimia, grup digunakan untuk mengklasifikasikan struktur kristal, polihedra reguler, dan simetri molekul. Dalam fisika, grup bersifat penting karena dapat menggambarkan simetri yang bisasanya ada dalam fisika. Para ahli fisika sangat tertarik pada representasi grup, terutama grup Lie, karena representasinya sering kali membuka celah munculnya teori fisika baru. Contoh dalam fisika: Model Standar , Teori Gauge.
Beberapa teori yang Bermanfaat[sunting | sunting sumber ] · Beberapa hasil dasar dalam teori grup elementer · Butterfly lemma · Teorema fundamental homomorfik · Teorema Jordan-Hölder · Teorema Krull-Schmidt
· Teorema Lagrange · Teorema Sylow
Hal-hal umum[sunting | sunting sumber ] Dalam aljabar abstrak, kita mendapatkan beberapa struktur yang mirip dengan suatu grup dengan melonggarkan beberapa aksioma yang diberikan di awal artikel ini. · Jika kita eliminasi persyaratan yang menyebutkan bahwa setiap unsur memiliki invers, maka kita akan mendapatkan sebuah monoid · Jika kita juga tidak melibatkan identitas, maka kita dapatkan suatu semigrup · Oleh karena itu, jika kita melonggarkan persyaratan yang menyebutkan bahwa operasi bersifat asosiatif sementara masih mensyaratkan kemungkinan suatu divisi, maka kita dapatkan sebuah loop. · Jika kita juga mengabaikan identitas, maka kita dapatkan suatu quasigrup · Jika kita abaikan seluruh aksioma operasi biner, maka kita mendapatkan suatu magma Grupoid, yang bersifat mirip dengan grup kecuali dalam hal komposisi a*b tidak perlu didefinisikan untuk semua a dan b, muncul sebgai suatu studi dari berbagai macam simetri terkait, terutama dalam hal topologi dan analisis struktur. Groupoid merupakan bagian khusus kategori. Supergrup dan aljabar Hopf merupakan hal umum lainnya. Grup Lie, grup aljabar , dan grup topologis merupakan contoh grup objek: struktur seperti grup yang menempati kategori selain kategori yang lumrah. Grup Abelian membentuk prorotip untuk konsep suatu kategori Abelian, yang diaplikasikan dalam ruang vektor . Hukum grup formal merupakan seri kekuatan formal yang memiliki sifat seperti operasi grup.
Lain-lain[sunting | sunting sumber ] James Newman merumuskan teori grup sebgai berikut: Teori grup merupakan cabang matematik di mana seseorang melakukan sesuatu terhadap sesuatu dan kemudian membandingkan hasilnya dengan hasil pekerjaan yang sama dari objek yang berbeda, atau pekerjaan yang beda pada objek yang sama. Salah satu aplikasi teori grup adalah dalam teori set musik.
https://id.wikipedia.org/wiki/Teori_grup
