JSL Teori GRUP
No Name
Latihan 1
* * + + ** *+ + **++ 2 3 **++ *+ { √ } *+ ** ++ *+ **++ *+ *+
1. Misalkan
dan b = 3, apakah A = b?
Solusi
,
Karena
dan
maka
2. Manakah himpunan berikut yang sama (i)
Solusi
dapat ditulis
dapat ditulis
Jadi A = B = C (ii)
Solusi:
Himpunan D, E, F memiliki elemen yang sama, jadi D = E = F
3. Misalkan
Berapa banyak subset dari A, dan tuliskan subset
tersebut.
Solusi
Struktur Al Jabar Jabar @1@
JSL Teori GRUP
No Name
*+ *+ *+ *+ *+ *+*+
Subset-subset dari A yaitu:
4. Untuk sebarang A dan B subset dari S, tunjukkan: a. Jika , maka b. Jika , maka
c. Jika , maka d. Jika
, maka
dan
e. f.
g. Jika
, maka
h. Jika
, maka
Solusi Bukti:
(a) Jika , maka Karena Sehingga
berarti , maka
(b) Jika , maka Karena
berarti
sehingga
Berdasarkan dalil De’ Morgan, maka:
Ambil
Karena:
, maka
Karena
maka
(c) Jika , maka Karena
berarti
Struktur Al Jabar Jabar @2@
JSL Teori GRUP
No Name
*+ *+ *+ *+ *+ *+*+
Subset-subset dari A yaitu:
4. Untuk sebarang A dan B subset dari S, tunjukkan: a. Jika , maka b. Jika , maka
c. Jika , maka d. Jika
, maka
dan
e. f.
g. Jika
, maka
h. Jika
, maka
Solusi Bukti:
(a) Jika , maka Karena Sehingga
berarti , maka
(b) Jika , maka Karena
berarti
sehingga
Berdasarkan dalil De’ Morgan, maka:
Ambil
Karena:
, maka
Karena
maka
(c) Jika , maka Karena
berarti
Struktur Al Jabar Jabar @2@
JSL Teori GRUP
No Name
*
(definisi pengurangan) pengurangan)
(sifat distributif)
(sifat identitas)
Jadi
(d) Jika
, maka
dan
atau
Karena
(e)
}
atau
, maka
dan
Bukti
(definisi pengurangan) pengurangan)
(assosiatif)
(identitas)
(f)
Bukti:
(Definisi pengurangan) pengurangan)
(hukum identitas)
(hukum komutatif)
(Definisi pengurangan) pengurangan)
(g) Jika
, maka
Bukti:
Jika
(h) Jika
berarti
atau
(Definisi pengurangan) pengurangan)
berdasarkan berdasarkan definisi d efinisi pengurangan, maka
, maka
Bukti:
Struktur Al Jabar Jabar @3@
JSL Teori GRUP
No Name
berarti
Jika
atau
maka:
(Definisi pengurangan) pengurangan)
(kesamaan)
(Hukum De’morgan)
(Hukum identitas)
(Hukum komutatif)
5. Jika
dan
Buktikan
keduanya fungsi satu-satu.
juga fungsi satu-satu
Solusi Bukti:
( ) g fungsi satu-satu
dengan
maka
f fungsi satu-satu
dengan
maka
pandang
dan
maka
Karena Maka Jadi
Olehnya itu
6. Jika
Buktikan
satu-satu
dan
keduanya fungsi bijektif.
juga fungsi bijektif
Solusi Bukti:
fungsi bijektif artinya satu-satu dan pada
satu-satu artinya
dengan
Struktur Al Jabar Jabar @4@
maka
JSL Teori GRUP
No Name
()() )() ( ( ) pada
fungsi bijektif artinya fungsi satu-satu dan pada
satu-satu artinya
dengan
pada
Pandang
maka
sehingga
dengan
, maka:
diketahui
Akibatnya
satu-satu
Akibatnya Karena
pada
satu-satu dan pada, maka
7. Diberikan himpunan S dan T dan Tentukan
bijektif.
berikut.
mana yang merupakan fungsi dan jika j ika bukan berikan alasan.
a. S = semua wanita, dan T = semua laki-laki f(s) = suami dari S b. S = bilangan bulat positif positif
– 1 T = bilangan bulat tak negatif, dan f(s) = s – 1 c. S = bilangan bulat positif, T = S, dan f (s)= s – s – 1 1 d. S = bilangan bulat tak negatif, T = S dan f(s) = s - 1 e. S = bilangan bulat, T = S, dan f(s) = s – s – 1 1 f. S = bilangan real, T = S, dan f(s) =
√ √
g. S = bilangan real positif, T = S dan f(s) =
Solusi
(a) S = semua wanita, dan T = semua laki-laki f(s) = suami dari S
Struktur Al Jabar Jabar @5@
JSL Teori GRUP
No Name
bukan fungsi, karena ada anggota di S yang tidak punya
pasangan di T.
(b) S = bilangan bulat positif T = bilangan bulat tak negatif, dan f(s) = s – 1
fungsi, karena ada anggota di S mempunyai pasangan di T.
(c) S = bilangan bulat positif, T = S, dan f (s) = s – 1
√ √
bukan fungsi, karena
(d) S = bilangan bulat tak negatif, T = S dan f(s) = s - 1 bukan fungsi, karena
(e) S = bilangan bulat, T = S, dan f(s) = s – 1 fungsi, karena
(f) S = bilangan real, T = S, dan f(s) = bukan fungsi, karena
(g) S = bilangan real positif, T = S dan f(s) = fungsi
8. Pada soal no.7, Jika didefinisikan fungsi, tentukan apakah fungsi tersebut satusatu, onto, atau kedua-duanya.
Solusi (b) S = bilangan bulat positif T = bilangan bulat tak negatif, dan f(s) = s – 1
→ fungsi
Bukti
dengan
Struktur Al Jabar @6@
maka
.
JSL Teori GRUP
No Name
→ → → √ → √ √ ada
sehingga
.
Bijektif
(e) S = bilangan bulat, T = S, dan f(s) = s – 1 fungsi bijektif
Bukti
dengan
(Hukum kesamaan)
(Hukum kesamaan)
(Hukum Identitas)
(fungsi satu-satu)
Karena
, maka fungsi tersebut satu-satu. ada
sehingga
.
(g) S = bilangan real positif, T = S dan f(s) = fungsi
dengan
jadi
Bukan fungsi onto karena
bukan fungsi bijektif.
9. Jika
fungsi satu-satu dan onto.
Buktikan
juga satu-satu atau kedua-duanya.
Solusi Bukti:
() Misalkan Maka
Struktur Al Jabar @7@
, maka
,
JSL Teori GRUP
No Name
Definisi
Karena f: pada
Jadi
Ambil onto
10. Jika
maka
onto, dan
, karena
dan
, maka
sehingga
buktikan g = h.
Solusi Bukti:
juga satu-satu atau kedua-duanya.
Latihan 2 1. Periksa, manakah yang berikut ini membentuk grup dengan operasi * yang didefinisikan pada G, jika bukan aksioma mana yang tidak dipenuhi.
Struktur Al Jabar @8@
JSL Teori GRUP
No Name
a. G = himpunan bilangan bulat, b. G = himpunan bilangan bulat,
c. G = himpunan bilangan bulat tak negatif, d. G = himpunan bilangan rasional,
Solusi
a. G = himpunan bilangan bulat,
adalah grup
Bukti:
(i) Ambil
berlaku
Karena
, maka G = himpunan bilangan bulat,
bukan Grup.
b. G = himpunan bilangan bulat, Bukti:
(i) Tertutup, dalam arti
berlaku
(ii) Assosiatif, dalam arti
Karena
atau
, berlaku
, maka berlaku hukum asosiatif.
(iii) Tidak mempunyai unsur identitas, karena
Struktur Al Jabar @9@
JSL Teori GRUP
No Name
. / Karena
, maka G* bukan grup.
c. G = himpunan bilangan bulat tak negatif, Bukti:
(i) Tertutup, dalam arti
berlaku
(ii) Assosiatif, dalam arti
, berlaku
(iii) Mempunyai unsur identitas, jika berlaku
Untuk memenuhi kesamaan di atas, maka
,
, sehingga G
tidak mempunyai unsur identitas. Maka G bukan grup .
2. Jika (G,*) grup komutatif, buktikan
,
,
( Z himpunan bilangan bulat)
Solusi (G,*) grup komutatif Adib (i)
,
Untuk n = 1, maka
(ii) Asumsikan bahwa Akan ditunjukkan
(pernyataan benar)
(benar)
(juga benar)
(sifat komutatif) (benar)
Karena (i) dan (ii) dipenuhi maka dapat disimpulkan , berlaku
Struktur Al Jabar @10 @
JSL Teori GRUP
No Name
, maka
Jika
(teorema)
karena G komutatif
Sehingga
, terbukti
3. Jika G grup dengan unsur identitas e, dan a
2
= e,
komutatif.
, buktikan G
Solusi 2
Misalkan (G,*) grup berlaku a = e Adit a*b = b*a = e 2
Karena a = e a * a = e -1
a=a
Hal ini berarti (a*b)(a*b) = e (a*b) = (a*b)
-1
Berdasarkan teorema yang menyatakan jika G grup dan a,b
G, berlaku
Sehingga:
Karena
, maka
2
Jadi jika G grup dan a = e.
, maka G komutatif.
4. Buktikan akibat 2.12 Suatu semigrup g, membentuk grup jika
persamaan
, masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal di G
Solusi Struktur Al Jabar @11 @
dan
JSL Teori GRUP
No Name
G suatu grup dan
dengan
selanjutnya akan dibuktikan
bahwa penyelesaian itu tunggal. Misalkan persamaan
memiliki penyelesaian u dan v maka berlaku
bahwa:
dan
karena
sehingga
dan
-1
dan G grup maka a mempunyai invers (a )
.
(sifat asosiatif)
(unsur identitas)
(unsur identitas)
Jadi penyelesaian dari persamaan
adalah tunggal.
Selanjutnya akan dibuktikan Perhatikan G grup dan
mempunyai penyelesaian tunggal.
dengan
, karena
dan G grup, maka
sehingga
Berarti:
(sifat asosiatif)
Jadi
juga merupakan penyelesaian dari
sendirinya penyelesaian dari persamaan
sehingga dengan
adalah juga tunggal.
5. Buktikan bahwa setiap grup yang paling banyak empat anggotanya selalu komutatif.
6. Jika G grup dan
Solusi Bukti: Misalkan
, buktikan G komutatif
dan
Struktur Al Jabar @12 @
JSL Teori GRUP
No Name
Karena
maka
dan
sehingga
Karena
(terbukti)
7. Buktikan 2.15
Solusi Suatu semi grup G disebut grup jika memenuhi
(i)
Ada
(ii)
sehingga
ada
sehingga
Untuk menunjukkan (i) dan (ii) maka cukup ditunjukkan bahwa
Perhatikan: (i)
Ada
(ii)
sehingga
ada
sehingga
Pandang
.
(sifat assosiatif) (dari ii) (dari i) (dari ii)
Jadi diperoleh
Dengan menggunakan teorema (2.3) Maka
.......(1)
Jadi dari (i) dan (1) diperoleh:
Ini berarti
unsur identitas di G
Selanjutnya pandang
Struktur Al Jabar @13 @
dan
JSL Teori GRUP
No Name
(sifat assosiatif) (dari ii) ( (
)
)
Gunakan pencoretan kanan, maka akan diperoleh: (2)
Dari (ii) dan (2) diperoleh:
Ini berarti semua anggota di G memiliki invers di G merupakan grup.
8. Misalkan (i)
suatu semi grup dan memenuhi
Ada
sehingga
(ii)
ada
sehingga
Untuk menunjukkan (i) dan (ii) cukup ditunjukkan Sekarang perhatikan: (i)
Ada
sehingga
(ii)
ada
sehingga
Pandang
(sifat assosiatif) (dari ii) (dari i)
(dari ii)
Jadi diperoleh
Dengan melakukan pencoretan kiri diperoleh: ..... (1)
Jadi dari (i) dan (1) diperoleh:
Ini berarti
unsur identitas
Selanjutnya pandang
Struktur Al Jabar @14 @
dan
JSL Teori GRUP
No Name
(Assosiatif) (dari (ii)
(dari 1)
Dengan menggunakan pencoretan kiri diperoleh: ..... (2)
Dari (ii) dan (2) diperoleh:
Ini berarti setiap anggota di G mempunyai invers di G, oleh karena itu G grup.
9. Suatu Quasi grup yang assosiatif adalah grup. 10. Lengkapi Teorema 2.19 Invers kiri dari suatu grup juga merupakan invers
Solusi Bukti: Misalkan G grup dan e identitas di G
Ambil
sebarang dan misalkan
invers kiri dari a.
Jadi
Masih perlu ditunjukkan bahwa
Misalkan G grup dan e identitas kiri G ............... (1)
Karena setiap grup memiliki invers kiri maka untuk Sehingga:
............... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
Gunakan hukum pencoretan, maka diperoleh:
Jadi
merupakan invers kanan.
Struktur Al Jabar @15 @
JSL Teori GRUP
No Name
11. Buktikan akibat 2.20 i) Identitas kanan suatu grup juga merupakan identitas kiri. ii) Invers kanan suaru anggota grup juga merupakan invers kiri dari angota tersebut.
Solusi Bukti: i)
Misalkan G grup dan e identitas kanan di G
berlaku
..(1)
Karena setiap grup yang mempunyai identitas kanan Juga mempunyai invers kanan, maka
.... (2)
sehingga
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: Sifat Asosiatif
Dengan menggunakan hukum pencoretan kanan diperoleh:
Jadi e merupakan identitas kiri.
ii)
Misalkan G grup dan e identitas kanan di G Maka berlaku:
..(1)
Karena setiap grup yang memiliki identitas kanan juga memiliki invers kanan, maka
sehingga:
.... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh:
Jadi e merupakan invers kiri.
Struktur Al Jabar @16 @
JSL Teori GRUP
No Name
12. Misalkan G grup, bahwa G komutatif.
dan
buktikan
Solusi Bukti:
Maka
Karena
maka G grup komutatif
Maka
Berdasarkan bukti bagian pertama maka dapat dikatakan G merupakan grup komutatif.
13. Misalkan Buktikan
2. /
dengan operasi perkalian matriks membentuk grup. Apakah
komutatif?
Struktur Al Jabar @17 @
JSL Teori GRUP
No Name
Solusi 1)
. / {√ + √ √ √ √ (√ ) (√ ) √ √ Berarti
2) 3)
tertutup.
memiliki sifat assosiatif (operasi perkalian pada matriks M 22 selalu
asosiatif?
4)
5)
mempunyai identitas yaitu:
mempunyai invers kanan
berdasarkan teorema
pada matriks.
Karena memenuhi sifat grup maka
grup komutatif?
adalah grup komutatif
14. Misalkan
Buktikan G grup terhadap operasi
penjumlahan, Apakah G komutatif? Bukti:
(i) Misalkan
dan
Jadi
(ii) Assosiatif dipenuhi
(iii)
(iv)
Jadi G adalah grup.
G grup komutatif karena
Struktur Al Jabar @18 @
JSL Teori GRUP
No Name
√ √ √ √ 2. / +
17. Misalkan
Buktikan M dengan perkalian matriks membentuk grup, Apakah M komutatif?
Solusi Bukti: (1) M tertutup (2) M memiliki sifat Assosiatif (3) M mempunyai identitas yaitu: (4) M memiliki invers Karena
,
0 1
maka
menurut
,
teorema
dalam
mempunyai invers. Dengan demikian terbukti bahwa G grup. M bukan grup komutatif karena
*+ *+ *+
18. Misalkan
,
.
Apakah
tidak berlaku AB
dengan operasi * yang didefinisikan
, membentuk grup
Solusi
*+ *+ *+
Diketahui Adit:
, dimana a*b = a + b – ab
grup
Bukti:
(1) a * b = a + b – ab karena setiap dioperasikan maka hasilnya elemen (2) a * b = a + b – ab Asosiatif
Struktur Al Jabar @19 @
matriks
*+
M
JSL Teori GRUP
No Name
() () *+ *+ *+ *+ Misalkan
,
.
asosiatif karena
Hal ini berarti
(3) Mempunyai unsur identitas, yaitu:
berlaku
memiliki unsur identitas
Dengan demikian
juga memiliki invers karena sifat grup terpenuhi
grup.
Latihan 3 15. Berikan dua contoh tak hingga yang periodik.
Solusi e. Z = himpunan bilangan bulat, terhadap operasi penjumlahan.
Struktur Al Jabar @20 @
JSL Teori GRUP
No Name
Z merupakan suatu grup tak hingga, karena: (i)
Tertutup pada operasi penjumlahan
(ii)
berlaku
(iii) Memiliki unsur identitas yaitu (iv)
Dengan demikian
berlaku
grup. Grup ini dapat dipandang sebagai grup
siklik dengan generator 1 dan -1, setiap bilangan bulat n dapat dinyatakan sebagai jumlah n suku yang semuanya 1 dan -1. Misalnya 3 = 1 + 1 + 1 atau -3 = -1 + (-1) + (-1) Semua unsur/elemen di Z memiliki tingkat dengan n = 0 sehingga Dengan demikian (
merupakan grup periodik tak hingga.
16. Berikan contoh grup siklik dan tentukan masing-masing generatornya.
Solusi a. G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (G, +6) G merupakan grup siklik dengan generator 1 atau 5 sebab 2
G
1 =5;5
3
G
1 =0;0
4
G
1 =1;1
2
G
5 =5;5
3
G
5 =0;0
4
G
5 =5;5
1 =2;2 1 =3;3 1 =4;4
5
G
6
G
7
G
5
G
6
G
7
G
dan 5 =4;4 5 =3;3 5 =2;2
b. G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8} (G, x9) G merupakan grup siklik dengan generator 2 sebab 1
G
2 =7;7
2
G
2 =5;5
2 =2;2 2 =4;4
Struktur Al Jabar @21 @
4
G
5
G
JSL Teori GRUP
No Name
3
2 =8;8
6
G
2 =1;1
G
17. Buktikan bahwa bilangan bulat dengan operasi penjumlahan merupakan grup siklik
Solusi (Z,*) membentuk suatu grup Akan ditunjukkan bahwa (Z,+) merupakan grup siklik (Z,*) merupakan grup siklik jika dan hanya jika terdapat setiap anggota dari Z dapat dibentuk oleh a.
sehingga
Pilih a = 1 atau a = -1 Karena 1 dan -1 dapat membentuk semua anggota di G maka 1 dan -1 merupakan generator. Dengan demikian (Z,+) merupakan grup siklik.
18. Misalkan
grup sikli dan
dari G untuk
Solusi
. Buktikan bahwa
Untuk membuktikan bahwa
generator dari G untuk .
Pertama akan ditunjukkan bahwa (m,n) = 1 Karena a generator dari G dan t (a) = n , karena
generator
, jika dan hanya jika m dan n relatif prima?
Bukti:
Maka
generator dari G dan
............. (1)
Struktur Al Jabar @22 @
, maka:
JSL Teori GRUP
No Name
Dari persamaan (1) diperoleh
sebaliknya jika
sehingga:
, karena
, maka
Kesamaan terakhir ini menyatakan bahwa a perpangkatan bulat dari
, maka
dapat dinyatakan sebagai
dan karena a sebagai generator dari G, maka
setiap elemen G dapat dinyatakan sebagai perpangkatan bulat dari
berarti
adalah generator dari G.
6. Buktikan bahwa jika G grup terhingga berorde n dan ada , maka G siklik.
, ini
dengan
Solusi
G suatu grup dan
dengan
selanjutnya akan dibuktikan
bahwa penyelesaian itu tunggal.
memiliki penyelesaian u dan v maka berlaku
Misalkan persamaan bahwa:
dan
sehingga
karena
dan
.
(sifat asosiatif)
(unsur identitas)
(unsur identitas)
Jadi penyelesaian dari persamaan Selanjutnya akan dibuktikan
-1
dan G grup maka a mempunyai invers (a )
adalah tunggal.
mempunyai penyelesaian tunggal.
Struktur Al Jabar @23 @
JSL Teori GRUP
No Name
Perhatikan G grup dan
dengan
, karena
dan G grup, maka
sehingga
Berarti:
(sifat asosiatif)
Jadi
juga merupakan penyelesaian dari
sendirinya penyelesaian dari persamaan
sehingga dengan
adalah juga tunggal.
19. Buktikan bahwa setiap grup yang paling banyak empat anggotanya selalu komutatif.
Solusi Misalkan tingkat dari a adalah m Karena t (a) = m, maka m merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian
()() hingga
.
Pandang
dimana:
Misalkan
Selanjutnya andaikan
dimana
(
Hal ini tidak mungkin karena sehingga
sedang, m bilangan bulat terkecil
.
dan
Sehingga
berbeda
Hal ini menujukkan bahwa banyaknya anggota di G yang berbeda sama dengan tingkat dari a atau O (G) = t(a) = n.
Struktur Al Jabar @24 @
JSL Teori GRUP
No Name
20. Buktikan bahwa jika G grup terhingga berorde n dan ada maka G siklik.
dengan t(a) = n,
Solusi Bukti:
* + Misalkan G grup terhingga dan dengan t (a) = n yaitu
, dibentuk
.
Elemen-elemen dari A tidak ada yang sama sebab jika ada yang sama, Misalnya
dengan
maka
, maka
dengan
dengan
. Hal ini tidak mungkin,
karena t(a) = n yaitu n suatu bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga , maka
, karena A sub grup dari G dan O(G) = n, maka G = A.
A adalah suatu grup siklik dengan generator a, maka demikian pula G.
21. Berapa banyakkah generator yang terdapat pada grup siklik berorde 10?
Solusi Untuk mencari banyaknya generator maka dapat digunakan teorema pada soal no. 4, Karena grup siklik mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif mempunyai orde 10 dan bilangan bulat positif yang kurang dari 10 dan saling prima dengan 10 adalah 1, 3, 7, 9, maka generator-generator dari grup Siklik yang berorde 10 adalah
banyaknya generator adalah 4.
22. Buktikan Akibat 3.7 Jika grup G aperiodik atau campuran, maka G merupakan grup tak hingga.
Solusi Bukti:
Ambil
sebarang dengan
Pandang
anggota G yang tak terhingga, maka anggota
berbeda.
Struktur Al Jabar @25 @
JSL Teori GRUP
No Name
Selanjutnya andaikan ada anggota G yang sama
+ * Katakan
dimana
maka:
Karena t > k, maka t – k >, sebab t – k = n, n merupakan bilangan bulat positif sehingga
. Hal ini tidak mungkin karena rup G aperiodik yang artinya n
tidak ada n> 0, sehingga a = e atau Akibat
.... semua anggotanya berbeda. Dengan demikian anggota
tersebut tak terhingga.
23. Buktikan teorema 3.9 Jika a suatu anggota grup G dengan t(a) = n dan e unsur identitas di G:
kelipatan dari n.
Solusi Bukti: Ambil
sebarang dengan
Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat yang merupakan
kelipatan dari n akan sama dengan salah satu anggota di (i). Misalkan sebarang bilangan berpangkat dari a dimana k kelipatan dari n Berdasarkan Algoritma pembagian:
Jadi
n
(karena a = e)
Struktur Al Jabar @26 @
JSL Teori GRUP
No Name
*+ Karena
, maka
salah satu anggota di (i), sedang
juga merupakan salah satu anggota di (i), k
berarti
k
Karena a anggota di (i) maka a = e.
i bilangan imaginer, tunjukkan (G, x) membentuk
24. Misalkan
grup. Apakah G juga siklik
Solusi X
1
-1
i
-i
1
1
-1
i
-i
-1
-1
i
-i
i
i
i
-i
i
1
-i
-i
i
1
-1
Tabel di atas menunjukkan bahwa i) ii)
tertutup Asosiatif (operasi dari semua transformasi selalu asosiatif)
iii) Ada unsur identitas di G, yaitu 1 karena dari tabel terlihat bahwa: 1x1=1 1 x (-1) = -1 1xi=i 1 x (-i) = -i iv)
Setiap anggota di G yaitu
*+
mempunyai invers yaitu 1, -1, i, -i
Mempunyai invers yaitu 1, -1, i, -i Karena 1x1=1 -1 x (-1) = 1 i x (-i) = 1 -i x (i) = 1
Karena i, ii, iii dan iv dipenuhi maka (G, x) merupakan grup, selanjutnya akan ditunjukkan G siklik atau bukan.
Struktur Al Jabar @27 @
JSL Teori GRUP
Karena
No Name
dan
Maka G merupakan grup siklik yang dibentuk oleh I dapat ditulis G =
Latihan 4 25. Tunjukkan bahwa
*+
merupakan subgrup dari (R\{0),x)
Struktur Al Jabar @28 @
JSL Teori GRUP
No Name
Solusi Menurut Teorema 4.6 untuk membuktikan bahwa (R\{0),x), jika memenuhi (v) (vi)
subgrup dari
* * *+ *+ *+ *+ *+ *+
(vii) Tertutup karena
(viii) Memiliki invers karena Jadi
*+
merupakan subgrup dari (R\{0),x)
26. Berikan minimal 5 contoh subgrup dari suatu subgrup.
Solusi c. (B,+)
yaitu
grup
bilangan
bulat
dengan
operasi
penjumlahan
* + * + * + * + ** + + * + 20 1 3 20 1 3 atau (K, +) adalah suatu grup, karena
maka K
subgrup dari B d.
dengan perkalian modulo 7 adalah suatu grup
dan
masing-masing subgrup G.
e. Misalkan G
dengan operasi perkalian maka (G, x)
membentuk grup pandang
maka
dan H membentuk
grup di G.
f. (Z, +) merupakan grup
, maka 2Z merupakan subgrup di
Z.
g. Misalkan
Dengan operasi perkalian maka
merupakan subgrup dari
dan
membentuk grup dan
.
27. Misalkan H, K kompleks sebarang dari grup G, Apakah HK = KH? (jika “ya” tunjukkan, jika “tidak” berikan contoh penyangkal)
Solusi
Struktur Al Jabar @29 @
JSL Teori GRUP
No Name
Contoh penyangkal
20 1 3
Dengan menggunakan operasi perkalian matriks, maka M membentuk grup. Misalkan
0 1 0 1 dan
, dan
karena untuk H dan K memenuhi
elemen baris ke-1; kolom ke-1 dari HK adalah 1(5) + 2(-7) = -9 elemen baris ke-1; kolom ke-1 dari KH adalah 5(1) + 6(3) = 23 Hasil di atas membuktikan bahwa
28. Misalkan G grup dan H, K, L masing-masing subset dari H. Buktikan
Apakah
?
Solusi Bukti: berarti
29. Misalkan
adalah generator dari G.
dan G grup.
Buktikan: H subgrup dari G jika dan hanya jika
Solusi
Misalkan
dan G grup. H subgrup dan G akan dibuktikan bahwa
, maka
subgrup dari G dan
, maka menurut Teorema 4.7
Jadi
Ambil sebarang
Ini berarti
....... (1)
dengan
Ambil sebarang
karena H subgrup dari G, maka
..... (2)
Struktur Al Jabar @30 @
, karena H sehingga
, sehingga
JSL Teori GRUP
No Name
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa
30. Misalkan G grup dan H, K masing-masing komplex dari G. Buktikan: HK subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH
Solusi
Karena H dan K subgrup-subgrup dari G, maka dan
,
,
.
Jadi H, K subgrup dari G, maka maka
. Karena
,
, sebaliknya menurut pembuktian no.5
Untuk membuktikan HK subgrup dari G kita harus menunjukkan bahwa
(Sifat asosiatif) (
, karena K subgrup dari G)
(
, Ketentuan)
(sifat assosiatif)
(H subgrup dari G) (HK = KH)
Jadi HK subgrup dari G
31. Buktikan: Jika H, K subgrup dari G, maka H grup siklik takhingga.
juga subgrup dari G, maka
Solusi Bukti:
Ambil
, karena
, karena
, maka:
Struktur Al Jabar @31 @
e identitas di G
JSL Teori GRUP
No Name
dan H subgrup G maka
dan K subgrup G maka
Sehingga
dan
maka
Jadi jika H, K subgrup dari G, maka
.
juga subgrup dari G.
32. Buktikan: Teorema 4.9
Solusi Teorema 4.9: Irisan sebarang keluarga subgrup dari grup G juga merupakan subgrup dari G. Bukti:
Misalkan A, B sebarang keluarga subgrup dari grup G akan dibuktikan subgrup G.
Ambil
. Sesuai teorema 4.7 akan dibuktikan
karena
e identitas di G.
, karena
maka:
dan A subgrup G maka
dan B subgrup G maka
Karena
dan
maka
..... (1)
dan
maka
..... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh Karena
maka
subgrup G
Jadi teorema 4.9 terbukti.
33. Jika H, K subgrup dari grup H, apakah
Solusi
Tidak, sebagai contoh penyangkal
Struktur Al Jabar @32 @
juga subgrup dari G?
,
JSL Teori GRUP
No Name
*+
adalah grup (2Z, +) dan (3Z, +) adalah subgrup dari G (Z,+) akan
dibuktikan 2Z atau 3Z subgrup Z Bukti:
bukan subgrup Z
Sehingga
Jadi jika H, K subgrup dari grup G, maka
bukan subgrup dari G
34. Buktikan: Jika G grup siklik takhingga dan H subgrup proper dari G, maka H grup siklik takhingga.
Solusi
*+
G grup siklik tak terhingga H subgrup proper dari G jika
dan
akan ditunjukkan G grup siklik tak hingga maka H grup siklik tak hingga.
Misalkan generator G adalah a atau
dengan
menunjukkan bahwa bilangan positif terkecil sehingga G.
Pandang
dengan
Misalkan kita mengambil
sehingga unsur terkecil sehingga
sebarang bilangan berpangkat dari a untuk
suatu
suatu unsur di
Dengan Algoritma pembagian yaitu untuk yang mana
Jadi
Diketahui
G
dan
Struktur Al Jabar @33 @
JSL Teori GRUP
No Name
〈〉 * +
dengan
Dengan demikian n bilangan bulat positif terkecil 7. dan
menunjukkan untuk
maka
.
Jadi untuk sebarang
maka
anggota H dapat dibentuk oleh
. Jadi
berarti setiap
siklik.
35. Misalkan G grup dan
Buktikan bahwa H subgrup dari G.
Solusi Misalkan e unsur identitas dari G dan
maka
sehingga
.
Dari ketentuan bahwa dari setiap elemen H adalah himpunan dari elemen G,
maka
jadi H suatu kompleks dari G.
Ambil sebarang
, maka
dan
perhatikan bahwa:
, selanjutnya
(sifat asosiatif) (
)
(sifat asosiatif)
(
Sehingga
)
Jadi H adalah subgrup dari G
36. Jika G grup komutatif dengan unsur identitas e, dan Buktikan H subgrup dari G.
Solusi
Struktur Al Jabar @34 @
* +
.
JSL Teori GRUP
No Name
37. Jika G tidak mempunyai subgrup sejati. Buktikan G siklik
Solusi 38. Jika, M N masing-masing subgrup dari grup G dan untuk setiap
dan
untuk
. Buktikan jika
(e unsur identitas di G).
*+
,
, maka mn=nm
Solusi
Latihan 5 39. Misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat (Z, +) adalah grup. Misalkan
*+ . Tunjukkan bahwa:
a) (H, +) subgrup dari (Z, +) b)
Solusi f.
subgrup dari
(i)
tertutup
, jika ,
Struktur Al Jabar @35 @
grup
JSL Teori GRUP
No Name
*+* + *+* + *+* + (ii) Asosiatif karena
(iii) Mempunyai unsur identitas, karena
yaitu
(iv) Memiliki invers karena
Jadi yaitu
subgrup dari
g.
40. Jika H subgrup dari G
Buktikan: aH = bH jika dan hanya jika
Solusi
(i)
(ii)
Untuk kasus (i)
H subgrup dari G Ambil sebarang Karena
unsur identitas) maka
atau
Karena
(karena
Untuk kasus (ii) Misalkan
akan ditunjukkan
(Menurut teorema
Struktur Al Jabar @36 @
.
JSL Teori GRUP
No Name
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
41. Buktikan, jika H subgrup dari G, maka G merupakan gabungan semua koset kanan (kiri) dari H di G.
Solusi
* + * + Akan dibuktikan
H subgrup dari G maka
Jadi jika H subgrup dari G, maka merupakan gabungan semua koset kanan (kiri) dari H di G.
42. Misalkan G grup dan H subgrup dari G didefinisikan relasi jika dan hanya jika
Tunjukkan bahwa relasi tersebut merupakan relasi ekuivalen.
Solusi Misalkan G grup dari H subgrup dari G.
, kemudian didef inisikan
Ambil sebarang
Relasi di atas memenuhi sifat berikut. (i)
Refleksi Misalkan
sebarang, karena H subgrup dari G maka
sehingga diperoleh
Struktur Al Jabar @37 @
.
JSL Teori GRUP
Jadi relasi
No Name
mempunyai sifat reflektif.
(ii) Simetri
Misalkan
sebarang dengan
jika
maka
Maka
Jadi relasi
ini berarti bahwa
.
(karena H subgrup)
memenuhi sifat relasi.
(iii) Transitif
Misalkan
dan
Maka
(mod H)
(e identitas)
kongruen mod H maka relasi tersebut merupakan relasi ekuivalen. 43. Misalkan G grup dan H subgrup dari G, Ha dan Hb masing-masing merupakan koset kanan dari H di G. Tunjukkan bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara Ha dan Hb.
Solusi
Misalkan H subgrup di G dan
Ha dan Hb adalah dua koset kanan dari H di G. Kita akan tunjukkan
Dibentuk pemetaan
yang didefiniskan oleh
Pemetaan ini satu-satu karena
Struktur Al Jabar @38 @
, sehingga
JSL Teori GRUP
No Name
Sehingga
dan
Pemetaan ini onto sebab
, sehingga
dan menurut definisi
Merupakan suatu korespondensi satu-satu atau Ha berkorespondensi satusatu dengan Hb
44. Buktikan bahwa jika G grup terhingga o(G) = n dan a anggota sebarang di G, maka
(e unsur identitas di G)
Solusi
Menurut teorema yaitu jika G grup terhingga maka:
misalkan
n faktor dari 0(G), misalkan 0(G) adalah kelipatan dari n, Misalnya
Selanjutnya
G grup terhingga 0(G) = n, dan
45. Buktikan bahwa grup terhingga berorde prima tidak mempunyai subgrup proper.
Solusi Misalkan G adalah grup terhingga dengan order n dimana n adalah bilangan prima, dan jika mungkin maka kita simpulkan sebuah grup katakan orde
Dengan teorema Langrange m membagi n (karena n prima maka m = 1 atau m = n) Tetapi, ada dua grup yang subgrup bukan proper.
46. Buktikan setiap grup terhingga berorde prima adalah siklik. (Gunakan Teorema Lagrenge).
Struktur Al Jabar @39 @
JSL Teori GRUP
No Name
Solusi Misalkan G suatu dan O(G) = m dengan m menurut teorema Langrange
, karena itu suatu bilangan prima, maka 0(a) = m, selanjutnya menurut
teorema maka G adalah elemen sebarang dari G dengan
maka setiap
elemen G selain elemen identitas merupakan generator dari G. Setiap grup terhingga berorde prima adalah siklik.
47. Misalkan H subgrup dari grup G. Buktikan.
Solusi
Misalkan H subgrup dari grup G. G/H dengan perkalian bersifat tertutup. Ingat bahwa G/H adalah himpunan semua koset kana dari H dalam G. Setiap koset kanan dari H dalam G merupakan kompleks dari a karena perkalian bersifat asosiatif, maka perkalian koset-koset kanan memenuhi sifat asosiatif juga.
*+ Perhatikan bahwa
dan
, maka
adalah elemen identitas dari
G/H
Selanjutnya karena , maka
48. Misalkan H subgrup dari grup G, dan
Buktikan bahwa K subgrup dari G
Solusi Bukti:
Struktur Al Jabar @40 @
dan
JSL Teori GRUP
No Name
*+ atau
49. Berikan contoh grup Hemilton yang bukan grup komutatif
Solusi 50. Buktikan Akibat 5.9
Solusi
* + Jika B suatu grup terhingga maka Bukti:
Ambil
sebarang, karena G terhingga maka
Misal
, maka
.
. Dibentuk himpunan
elemen-elemen dalam H tidak ada yang sama, sebab apabila maka
, dengan
dengan
. Hal ini tidak
mungkin karena f(a) = m yaitu m suatu bilangan bulat terkecil sedemikian m
sehingga a = e
H adalah subgrup dari G. sehingga menurut Teorema Langrange karena
51. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. Buktikan bahwa, N normal jika dan hanya jika, perkalian sebarang dua koset kanan dari N di G juga merupakan koset kanan di G.
Solusi Misalkan G grup dan N subgrup dari G, maka N normal.
N normal maka
dan
karena N subgrup dari G
Karena
, sehingga
yaitu
dalam G, sebaliknya ambil sebarang
Struktur Al Jabar @41 @
suatu koset kanan dari N dengan
JSL Teori GRUP
No Name
dan
, maka
berarti N subgrup norma; dari G.
52. Misalkan H dan M masing-masing subgrup normal dari G. Buktikan juga subgrup normal di G
Solusi 53. Misalkan G grup, N dan H masing-masing subgrup dari G, dan N normal di G buktikan: a)
* +
subgrup dari G.
b) H subgrup normal dari NH
Solusi 54. Misalkan Buktikan:
20 1 3 20 13 dan
a) G dengan operasi perkalian matriks membentuk grup. b) N subgrup dari G. c) N normal di G.
Solusi (a) (G,x) membentuk grup karena:
0 1 [ ]
(i)
Tertutup, karena
(ii)
Asosiatif, karena
, maka
(iii) Mempunyai elemen identitas, karena
(iv) Mempunyai invers karena
dan
yaitu
dan
Jadi (G, x) membentuk grup.
Struktur Al Jabar @42 @
, sedemikian sehingga
JSL Teori GRUP
No Name
(b) N subgrup dari G Menurut teorema 4.6 untuk membuktikan N subgrup di G, jika memenuhi (i) (ii)
0 1 0 10 10 1 0 1 0 10 10 1 , karena
, karena N titik mengkhusus dari G
(iii) Tertutup, karena
=
(iv) Memiliki invers karena
yaitu
Jadi N subgrup dari G
55. Buktikan Teorema 5.18 Jika H subgrup Normal dari grup hingga G, maka berlaku:
Solusi Bukti
./
yaitu banyaknya koset kanan dari N dalam G. Menurut
Teorema Langrange, karena G grup berhingga dan N subgrup dari G maka sehingga:
56. Tunjukkan bahwa setiap grup faktor dari grup komutatif adalah komutatif. (Apakah kebalikannya juga berlaku)?
Solusi 57. Tunjukkan bahwa setiap subgrup berindeks 2 selalu normal.
Solusi
Struktur Al Jabar @43 @
JSL Teori GRUP
No Name
Latihan 6 58. Tunjukkan bahwa grup
*̅*̅̅̅̅̅ + ̅+
Isomorpisma dengan grup
berturut-turut menyatakan penjumlahan modulo empat dan
perkalian modulo lima)
Solusi h.
i.
j.
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ satu-satu
Fungsi pada
Struktur Al Jabar @44 @
JSL Teori GRUP
No Name
̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ + * * + isomorfosis dengan
59. Misalkan
dan
Tunjukkan
a) (Z, +) dan (Z’, x) membentuk grup b) (Z, +)
(Z’, x)
Solusi a.
(Z, +) dan (Z’, x) membentuk grup
(iii) Tutup
(iv) Asosiatif (v)
Ada unsur identitas di Z
berlaku
(vi) Ada unsur invers di Z
(Z, +) membentuk grup
Akan ditunjukkan (Z’, x) adalah grup (i) (ii)
Tutup
Asosiatif
(iii) Ada unsur identitas di Z’
berlaku
(iv)
Ada unsur invers di Z’
(Z’, x) membentuk grup
b.
(Z, +)
(Z’, x)
Pengaitannya Tutup
yang didefinisikan
Struktur Al Jabar @45 @
JSL Teori GRUP
No Name
(i)
(ii)
Apakah f satu-satu
dengan
maka
dengan
berlaku a = b (f satu-satu)
Apakah f onto Ambil
sebarang, maka
Pilih
maka
Jadi f onto
(iii)
berlaku
Jadi (Z, +)
(Z’, x)
60. Misalkan
dan
Tunjukkan (R, +) dan (R’, x) adalah grup Jika ada pengaitan
yang didefinisikan
Buktikan f(a) isomorpisma (
sebarang tetapi tetap, a>0)
Solusi
a. (R, +) dan (R’, x) membentuk grup
(i)
Tutup
(ii)
Asosiatif
Struktur Al Jabar @46 @
JSL Teori GRUP
No Name
(iii) Ada unsur identitas di R
berlaku
(iv) Ada unsur invers di R
(R, +) membentuk grup
Akan ditunjukkan (R’, x) adalah grup (i) (ii)
Tutup
Asosiatif
(iii) Ada unsur identitas di R’
berlaku
(v)
Ada unsur invers di R’
(Z’, x) membentuk grup
b.
(R, +)
(R’, x)
Pengaitannya Tutup
(i)
yang didefinisikan
Apakah f satu-satu
dengan
dengan
(ii)
Apakah f onto
Ambil
sebarang, maka
Pilih
maka
Jadi f onto
Struktur Al Jabar @47 @
maka
berlaku m = n (f satu-satu)
JSL Teori GRUP
(iii)
No Name
berlaku
Jadi (R, +)
(R’, x)
61. Buktikan Teorema 6.2
Solusi Jika grup (G,0) isomorpisma dengan grup (G’,*) dengan f sebagai fungsi isomorpismanya, maka peta dari unsur identitas di G oleh f merupakan unsur identitas di G’ Bukti: Misal (G,0) dan (G’,*) grup dengan (G,0)
(G,*)
Pengaitannya
f fungsi isomorpisma
Misalkan Pandang
dengan
unsur identitas di G
yaitu peta dari e oleh f di G
Ambil sebarang
karena (f satu-satu dan onto) maka
sehingga Karena
Jika
dan e unsur identitas di G, maka berlaku:
maka
(f satu-satu) (f isimorpisma)
(
Dengan demikian diperoleh bahwa
Jadi f(e) merupakan unsur identitas di G’
Struktur Al Jabar @48 @
berlaku:
,
tunggal
JSL Teori GRUP
No Name
62. Buktikan Teorema 6.4
Solusi Misalkan (G,0) grup dan G’ himpunan dengan operasi *. Jika ada Bukti:
memenuhi sifat isomorpisma maka (G’,*) grup
Untuk membuktikan teorema ini cukup ditunjukkan bahwa G’ memenuhi sifat asosiatif, identitas, setiap anggota di G’ memiliki invers.
(i)
(G’,*) maka setiap anggotanya bijektif (G,0) merupakan
Karena (G,0)
grup, maka (G,0) memiliki sifat asosiatif, karena (G,0)
(G’,*) maka
(G’,*) juga asosiatif. (ii) Mempunyai unsur identitas. Karena (G.0) grup maka G mempunyai identitas. Ambil identitas (G,0) Jika
(G’,*)
dan (G,0)
(G’,*) maka
Hal ini mengindikasikan (G’,*) mempunyai identitas. (iii) Mempunyai invers. Apabila (G,0)
(G’,*) dan jika
merupakan invers dan G maka peta
(image) dari invers di G juga merupakan invers di (G’,*)
63. Misalkan (G,o) dan (G’,*) masing-masing grup dan juga
() misalkan
isomorpisma
Buktikan bahwa
adalah tingkat dari a di G).
Solusi Bukti
Struktur Al Jabar @49 @
JSL Teori GRUP
No Name
64. Lengkapi bukti Teorema 6.8
Solusi Jika dua grup siklik berorde sama, maka grup tersebut isomorpisma Buktikan:
〉 〉 〈 〈 + * + *
Misalkan
dan
dan
Maka:
Bentuk fungsi (i)
Satu-satu
maka
(ii)
maka
Bila
,
maka
Memenuhi sifat onto (iii)
berlaku
G dan G’ isomorpisma
65. Buktikan Teorema 6.10
Solusi Teorema 6.10 (sifat-sifat Isomorpisma) Jika (i) (ii) (iii)
suatu isomorpisma, maka berlaku:
masing-masing identitas di G dan G’
subgrup dari G
(iv) Jika S subgrup dari G maka
subgrup dari
Bukti: (i)
Misalkan Berlaku
suatu isomorpisma
,
(pencoretan kiri) (sifat konselasi)
Struktur Al Jabar @50 @
JSL Teori GRUP
Jadi (ii)
No Name
() masing-masing identitas di G dan G’
Misalkan
suatu isomorpisma
Berlaku:
,
Hal ini berarti Jadi
(iii)
subgrup di G
disebut monomorpisma jika
satu-satu
suatu isomorpisma dan G’ grup, maka:
Karena
Sifat yang ada pada G’ juga berlaku di subgrup dari G
(iv) S subgrup di G
merupakan monomorpisma
Artinya
satu-satu
Karena
satu-satu maka
Karena
juga satu-satu
merupakan monomorpisma
Sehingga Jika S subgrup dari G maka
subgrup dari
66. Buktikan teorema 6.13
Solusi
Jika
suatu isomorpisma dan maka:
* +
merupakan subgrup normal dari G
Bukti:
Misalkan G dan G’ masing-masing grup dan suatu isomorpisma
Misalkan e unsur identitas di G dan e’ unsur identitas di G’
Struktur Al Jabar @51 @
JSL Teori GRUP
No Name
Sesuai definisi
+ * dan
Teorema 6.10
suatu isomorpisma, maka menurut
ini berarti
Jadi
dan jelas
Selanjutnya ambil sebarang Maka
dan
.
+ , , ,- Pandang
’= e
Hal
ini
menunjukkan
bahwa
oleh
karena
itu
merupakan subgrup dari G .... (1)
Selanjutnya jika diambil sebarang
dan
Hal ini menunjukkan bahwa lain
12. Misalkan R himpunan bilangan real dan
subnormal dari G
| | *+ Tunjukkan:
a) (G, xm) grup b)
atau dengan kata
normal di G
Dari (1) dan (2) disimpulkanbahwa
dan
maka:
( ,x) grup
Struktur Al Jabar @52 @
JSL Teori GRUP
No Name
c) Ada homorpisma
Solusi
a) (G, xm) grup (i) (G, xm) tertutup
(ii) Asosiatif
(iii) Memiliki identitas yaitu 1
(iv) Mempunyai invers
b) ( ,x) grup
(i) ( ,x) tertutup
berlaku a x b
(ii) Asosiatif
berlaku a x (bxc) = (axb)xc
(iii) Memiliki identitas yaitu 1 Karena a x 1 = 1 x a = a (iv) Mempunyai invers
Struktur Al Jabar @53 @
