Signi Signifi ficad cadoo e impor importa tanc ncia ia de la Etno Etnomat matem emát átic ica a en el nuev nuevoo modelo de Educación Socio Comunitaria Productiva ¿Qué es la etnomatematica?
"Las diferentes formas de matemática que son propias de los grupos culturales, las llamamos de Etnomatemática". La Etnomatemática se centra en el estudio de las formas de conocimiento matemático desarr desarroll ollada adass en socied sociedade adess tradic tradicio ionale nales, s, luego luego en region regiones es ubicad ubicadas as fuera fuera del ámbito Europeo Occidental, el objetivo del estudio es incorporar los conocimientos matemáticos desarrollados desde la antigüedad a nuestra realidad de hoy, aplicando una etnomatemática en nuestro conteto, aplicada en una educaci!n socio comunitario productiva. La etnomatemática hoy por hoy es ensear las matemáticas utili#adas por los pueblos ind$ge ind$genas nas como como una introd introducc ucci!n i!n fol%l! fol%l!ric ricaa a las matemá matemátic ticas as reales reales,, dentro dentro la educaci!n, es utili#ar como un medio para validar las eperiencias de vida de los estudiantes usadas en su cultura dentro el área urbana y rural, porque los estudiantes aprenden de sus ancestros los conocimientos y cultura que contribuyen al desarrollo de importantes ideas matemáticas. & diferencia de la matemática convencional, que parte de operaciones básicas de reconocer los n'meros, sumar y restar, la etnomatemática inicia con el reconocimiento del del ento entorn rnoo natu natura ral, l, soci social al y cult cultur ural al de la comu comuni nida dad d educ educat ativ iva. a. ()on ()on este este conocimiento aplicado a la vida cotidiana de nuestras familias y antepasados, podremos cuidar la madre tierra y todo cuanto vive en ella*. El reconocimiento del entorno natural o social, es el inicio del proceso educativo dond dondee los los estu estudi dian ante tess real reali# i#an an una una repre represe senta ntaci ci!n !n gráf gráfic icaa de su comu comuni nida dad d identificando el tipo de vegetaci!n que tiene, los cerros, planicies, quebradas, r$os, lagos, animales y producci!n de la #ona. )on esta identificaci!n los estudiantes conocen además sus potenciales y limitaciones productivas y econ!micas. +dentificar todos los factores de producci!n son parte de esta alternativa, entre stos las herramientas de trabajo, la fuer#a de trabajo empleada, el jornal de peones,
el trabajo familiar y las relaciones de reciprocidad, como el ayni y la humaraqa, que serán base para reali#ar los cálculos aplicados en la práctica cotidiana.
El agua, el suelo, la energ$a motri# de caballos, yuntas, mulas, as$ como la energ$a mecánica de tractores y trilladores hacen al conjunto del universo de producci!n del alumno, su familia y comunidad. Es parte importante de esta formaci!n el conocimiento de los sistemas productivos y reproductivos en lo agr$cola, pecuario, forestal y la transformaci!n de productos y alimentos.
-inalmente todos estos conocimientos permitirán a los alumnos reali#ar cálculos en relaci!n a los costos y rendimientos de producci!n de cada alimento, as$ como fijar sus ingresos con relaci!n a los precios de mercado. Unidades
de
medida
locales
En la propuesta etnomatemática las unidades de medida convencionales como la libra, el %ilo, el metro, y otros, son complementadas con unidades de medida propias de comunidades campesinas, heredadas desde el +ncario. Entre las unidades de medida de longitud se encuentran la ri%ra que es la distancia entre dedos pulgares de la persona, tomando los bra#os etendidos hori#ontalmente. La capa es una unidad de longitud que tiene la palma de la mano. El yu%u es la longitud entre el dedo $ndice y el pulgar. Entre las medidas de cantidad están la po%cha que eran los dep!sitos de ma$#, tipo cántaros, generalmente hechos de cerámica asimismo se usaban los runcus, grandes cestas que eran los dep!sitos para medir hojas de coca. El poctoy que equivale a la porci!n de granos, harinas o pitos que entran en las dos manos juntas. / finalmente el 0uipe, un instrumento parecido a las romanas, que utili#aban en la orfebrer$a para reali#ar las aleaciones entre metales. Eisten además otras unidades de medida para la tierra, de la fuer#a de trabajo, los insumos agr$colas y los productos.
El
alumno
necesita
los
dos
saberes
¿Cómo se enseñan ho las matemáticas en las comunidades campesinas?
1e utili#a el mtodo te!rico y repetitivo, los alumnos aprenden repitiendo lo que hace el maestro y hay muy poca creatividad del alumno, porque terminan memori#ando f!rmulas y problemas por lo tanto no responde a las necesidades del alumno. ¿!a etnomatemática es una alternativa para superar estas limitaciones?
La etnomatemática en s$ misma no implica una moderni#aci!n de la ensean#a sino una adecuaci!n de las matemáticas a los conocimientos y los saberes ancestrales. )iertamente los pueblos antiguos desarrollaron la matemática a travs de unidades de medida antropomtricas como la tajlla o el %api, pero lo que hay ver es que el dec$metro o el metro son medidas cient$ficas, y lo que inevitablemente el alumno tiene que conocer es el metro, para citar un ejemplo. &simismo el ayni es una especie de escuela abierta donde se aprende no s!lo a trabajar, sino a medir y conocer otros temas, pero ese conocimiento no es cient$fico.
¿Cómo de"e a"ordarse este aprendi#a$e?
1e debe fortalecer y complementar. Lo positivo de esta alternativa es que se pretende complementar ambos conocimientos. ¿Cuáles son los riesgos?
1e debe cuidar de no caer en el etremo de priori#ar lo ancestral y poner en segundo plano lo cient$fico. 0oy en d$a estamos obligados a conocer lo nuestro pero tambin lo universal
&2E3O 2o4 5 LE)678& 9 8enato &guirre :ianchi !as
culturas
de
los
%ndes
las
&atemáticas
)on toda naturalidad los andinos utili#aban en sus %hipus el ;rincipio de ;osici!n para los n'meros, en el cual un < vale <, <=, <==, etc., seg'n su posici!n en la epresi!n numrica. Este evolucionado concepto matemático es de adquisici!n muy tard$a y s!lo fue descubierto pocas veces, empe#ando en :abilonia en el segundo milenio a.)., luego en )hina hace unos >.=== aos y en la primera mitad del primer milenio d.). por los mayas y luego en la +ndia. 2!tese, por ejemplo, que los romanos utili#aban un engorroso sistema de anotaci!n por la ausencia de este concepto? 4.@@@ se escrib$a como A)A3)+3 y la sola adici!n de una unidad transformaba la epresi!n a AA. 6rate de sumar A)A3)+3 más AA y se dará cuenta cuán primitivo era el sistema de ellos,
si
bien
ya
hab$an
traspasado
el
6iempo9Eje
de
Baspers
El ;rincipio de ;osici!n llev! a la invenci!n del cero, primero como una ausencia en una posici!n numrica para los babilonios, mayas y andinos. El cero s!lo pas! a ser un n'mero más, como hoy lo comprendemos Cimplicando "nada" como en 4= menos 4= en ve# de un mero "vac$o"D, en la +ndia y los chinos s!lo lo copiaron ulteriormente. En definitiva, quienes a'n creen que los andinos eran "primitivos" tropie#an con el hecho de que, en cuanto a aritmtica y dada la inmensa trascendencia del ;rincipio de ;osici!n y del cero, stos superaron a todas las grandes civili#aciones con la ecepci!n de los babilonios y mayas y s!lo fueron superados por los hind'es. Aás a'n, los andinos utili#aban un sistema numrico decimal Cbase 4=D como el nuestro, mientras que los babilonios
y
mayas
utili#aban
una
base
=
y
>=
respectivamente.
;ero eso no es lo interesante de la pregunta inicial. Lo que es peculiar en el Aundo &ndino no es el nivel de sofisticaci!n matemática que alcan#aron, sino que ellos tuvieron que "inventar" las matemáticas a su modo, sin influencias foráneas, y lo que inventaron difiere tanto de nuestros conceptos como toda su avan#ada civili#aci!n y tica difiere de lo occidental. )omo bien hacen notar &scher y &scher, tenemos una idea clara de hasta d!nde nos han llevado las matemáticas no andinas, pero las de
stos no tuvieron parang!n en el resto del mundo. )omo destruimos con ciega y burda soberbia la evidencia, s!lo podemos afirmar que los matemáticos andinos tomaron un rumbo diferente. Lo que me intriga es, Fhasta d!nde nos habr$a llevado ese rumbo o cuánto habr$a influido sobre la humanidad del siglo 33+ la inusual asociaci!n de las matemáticas
con
la
filosof$a
que
disearon
los
andinosG.
Ais argumentos son invariablemente recibidos con escepticismo. FHu puede haber más l!gico, invariable y absoluto que 4 I 4 J >G. Eso es cierto para 7d. y la mayor$a de los matemáticos modernos, conceptualmente adscritos al platonismo que establece que "4 I 4 J >" es una realidad que tiene una eistencia aut!noma, independiente de que eistan humanos que la recono#can, y si los hay, no puede variar de una cultura a otra. &demás, para nosotros "4" es una abstracci!n que implica unidad y ">" otra que implica dos unidades y as$ todos los n'meros son abstracciones desprovistas de tica, armon$a con la cultura de la etnia que la utili#a y con la naturale#a que nos rodea. Kesde esa f!rmula y lo que implica, hemos progresado hasta llegar a la luna y más allá. 2adie se pregunta de d!nde salieron los n'meros? siempre han estado all$. Este es el ra#onamiento de una cultura espirituali#ada por el 6iempo9Eje de Baspers y que, en virtud del pensamiento plat!nico y la l!gica aristotlica de causa9efecto, cree que la "verdad" tiene s!lo un valor, una dimensi!n. Entre ;lat!n y &rist!les se consolida la escisi!n entre lo m$stico y la verdad natural, pero no hubo un ;lat!n ni un &rist!teles en el Aundo &ndino, lo que no quiere decir que no hubiera una filosof$a sustentando a las matemáticas andinas, sino s!lo que sta era colectiva, tal ve# intuitiva y no producto
de
individuos
iluminados.
;ero dec$amos que los andinos inventaron un mundo de dimensiones conceptuales muy diferentes, avan#ado Cen contraste con "primitivo"D pero no espirituali#ado. 1erá dif$cil eplicar la dimensi!n matemática andina si 7d. no entiende que la cultura andina sigui! v$as de progreso absolutamente diferentes de las nuestras, no por quererlo, sino porque ellos no pensaron que eran dueos de su destino y ámbito, sino parte arm!nica
de
un
todo
ineorable.
"4 I 4 J >" implica que "4" es una unidad. )ierto, "4" es una unidad abstracta, pero no es una unidad sino una "inutilidad" en el ámbito equilibrado de la vida. La cosmovisi!n andina puede resumirse como "el paradigma de los opuestos complementarios". Eso implica que 4 no eiste sin su opuesto Cotro 4D, por lo que la unidad básica es 4 con otro 4, o sea dos. ;or eso a las iglesias ChembrasD tuvieron que ponerles una torre campanario Cmacho, esposoD para que los andinos las aceptaran. ;ero la unidad formada por dos opuestos es imperfecta, porque le falta lo "complementario". La complementaci!n lleva precisamente a una tercera dimensi!n más equilibrada, una unidad
más
biol!gicamente
válida
Cde
"bio9l!gica"D.
El araj pacha se complementa con el manqha pacha para formar el a%aj pacha, la 'nica dimensi!n que puede albergar al andino. El hombre se complementa con la mujer Cunidad de base >, opuestosD para formar una unidad de base Copuestos complementadosD que por fin adquiere un valor natural, pues puede reproducirse y as$ funcionan las cosas en la naturale#a, al margen de las abstracciones. )omo veremos, la clave de la concepci!n matemática andina armoni#a con lo que hace la naturale#a en forma natural 9valga la redundancia9 y lo que sta hace es reproducir y para el andino 9que no "hace o produce" como los occidentales sino que act'a como "partero" que colabora con la naturale#a9 las matemáticas se integran con el cuerpo humano, la reproducci!n y las relaciones de parentesco y sociales consecuentes con la realidad natural. La unidad natural, Co perfecta para una corriente filos!fica chinaD es entonces la abstracci!n "". )omo dice Mary 7rton, entre ellos hay CFhab$aGD una unidad conceptual natural, no una desarticulaci!n y fragmentaci!n aristotlica como en la versi!n occidental del conocimiento. )omprendo que debe estar un poco enredado por ahora... ;ara los andinos la realidad matemática se vinculaba a valores culturales y de organi#aci!n social producto de y en armon$a con lo que la ;achamama 9la Aadre 6ierra9 les enseaba que era la "verdad" Cy que ellos no osaban modificar sino que aceptaban integrarse al conjuntoD. F/ c!mo averiguamos todo estoG. ;ues hurgando en
el mensaje que transmite su gramática, s$mbolos, costumbres y estructura social, gracias a la desprejuiciada investigaci!n de Mary 7rton. 8eitero que ellos tuvieron que "reinventar" toda la conceptuali#aci!n de lo humano sin fil!sofos Cespiritualidad individualD ni influencia de otras culturas que tuvieron otras oportunidades . Mary 7rton no es matemático, sino ;rofesor de &ntropolog$a y Kirector de la Kivisi!n de )iencias 1ociales de la )olgate 7niversity en los EE77. Lo medular de este art$culo proviene de su libro "6he 1ocial Life of 2umbers? & Huechua Ontology of 2umbers and ;hilosophy of &rithmetic" C7niversity of 6eas ;ress, 4@@ND. )onocedor del quechua y eperto en %hipus y con estudios sobre la astronom$a quechua, lingü$stica y etnograf$a en la regi!n de 1ucre C:oliviaD y tetiler$a de la misma regi!n, utili#! sus conocimientos para indagar acerca del fundamento $ntimo y ancestral del concepto andino de las matemáticas. 1u valioso trabajo tiene un sesgo inevitable? se basa principalmente en lo que pudo averiguar en una regi!n originalmente poblada por aymaras y luego "quechui#ada" por los incas, hoy ocupada por etnias de origen muy complejo. 1e necesitarán muchas más investigaciones similares en otras áreas del territorio andino para conseguir conclusiones aplicables a la totalidad del Aundo &ndino, sin etrapolaciones. )abe suponer que debe haber mucha evidencia no eplorada, proveniente de la rica diversidad de este universo peculiar, enmarcado por un patr!n general pero enriquecido por variantes propias de cada nicho ecol!gico, geo9 morfol!gico
yo
tnico.
&ntes de proseguir necesitamos algunas definiciones. &ritmtica se refiere a la manipulaci!n de n'meros positivos mediante suma, adici!n, multiplicaci!n y divisi!n. +gnoro si eiste alguna sociedad "primitiva" que no hubiera conocido este proceso. Aatemática es un concepto más amplio, que manipula conceptualmente cifras, formas Cconfiguraciones espaciales, como los complejos motivos geomtricos de los tetiles y su interacci!nD, álgebra, etc. Hue los andinos llegaron más allá de la simple aritmtica parece claro para 7rton al considerar, por ejemplo, la intuitiva relaci!n entre lo que es forma y cantidad de hilos o pases del elemento creador de formas de los telares, para
s!lo
C6etil
eponer
de
la
etnia
un
6arabuco,
simple
cerca
de
ejemplo.
1ucre,
:oliviaD
Hue las matemáticas andinas pertenec$an a una dimensi!n diferente a la nuestra lo demuestra el hecho de que las más epertas tejedoras y diseadoras tarabuco pueden hasta hoy ser incapaces de contar el dinero obtenido de la venta de sus creaciones.
Polvamos al concepto de unidad. "4" no sirve a los andinos, por las ra#ones epuestas, ">" es tolerable CopuestosD y "" es mejor Copuestos complementadosD. "Q" y "R" son tolerables pues implican dos unidades de base > CimperfectasD o, para "R", dos unidades de base más una de base > o cuatro Cdos y dosD unidades de base >. "<" es "decente" porque lo compone una unidad de base > y otra de base y parece que tuvo una importancia que no comprendemos a'n. "" no es malo Ctres unidades de base > o dos de base D y "@" es arm!nico por contener tres unidades de base . ;ero "N" es un desastre, desequilibrado, incongruente Cdos unidades de base o tres unidades de base > más un "4" incongruente con la naturale#aD. 2o es de etraar entonces que este n'mero representara el eceso, la mala conducta e implicara mala suerte. Kec$amos que los andinos utili#aban un sistema numrico decimal, pero hay alguna evidencia de que hab$a complejidades adicionales. El concepto "<" merece un comentario que revela un gran vac$o en nuestro conocimiento y que afecta a la simbolog$a quechua y al idioma aymara. Lo muestran los n'meros en aymara? a..
4
maya
b..
>
paya
c..
%imsa
d.. e.. < phisqa.
Q
pusi
0asta aqu$, no hay nada de etraordinario, pero de alguna manera que descono#co
phisqa
relaciona
a
se la
terminaci!n qalqu, por lo que ocurre con el N y el R f..
suta
g.. N paqalqu, de "paya" J >
y
h..
R
"qalqu"
J
%imsaqalqu,
F
"%imsa" J y "qalqu" J F
@
llStun%a
j.. 4= tun%a. 2!tese que @ se designa como 4= Ctun%aD con un prefijo sustractivo transforma
que en
lo 4=94.
F;orquG? tal ve# porque 4= es un n'mero equilibrado. 2o s!lo se ajusta al sistema decimal,
sino
que
está
compuesto
por
dos
porciones
de
<.
Esta peculiaridad del N y el R no eiste en otras lenguas andinas como el quechua, pu%ina y uruqilla, lo que no invalida la importancia que en alg'n momento se concedi! al n'mero <. ;ara enfati#ar esta situaci!n, evidente en el lenguaje quechua del centro9 sur de :olivia, territorio "quechui#ado" vecino a 1ucre, 7rton propone como ejemplo el n'mero 4Q. ;ara nuestros estándares, es un n'mero par, pero all$ se lo considera impar porque está compuesto de dos unidades bien definidas C< y
es una cifra incompleta pues no llega a ser <. @ es, entonces, un todo al que le falta algo. Este concepto está involucrado en el lenguaje y puede suponerse que procede de bases matemáticas que los lugareos no pueden eplicar, pero que reside en la profundidad de su conceptuali#aci!n numrica derivada del orden natural de las cosas. Entre otros argumentos, considere que la mano tiene < dedos y hay dos manos que totali#an 4=. 7na tercera mano con el meique amputado, por poner un ejemplo te!rico, sumar$a 4Q dedos e implicar$a una desviaci!n de la normalidad. 1i la unidad básica aunque imperfecta es >, 4Q ser$a N unidades del imperfecto > o unidades de < con una carencia. 2o hay equilibrio? tiene que ser impar porque el equilibrio implica cumplir con los n'meros que utili#a la naturale#a, a'n cuando la cosmovisi!n y organi#aci!n social andina elabor! simbolismos y relaciones que apenas podemos vislumbrar a travs de su gramática, tecnolog$a Ctetil, por ejemploD y simbolog$a. +nsistiendo con el "<", hay amplia evidencia en muchos aspectos, incluyendo mitos y leyendas del actual ;er', que revelan lo que 7rton califica como "obsesi!n" por este n'mero, que supongo que proviene de una conceptuali#aci!n cuyos or$genes se han perdido. Lo anterior puede resumirse en una conclusi!n muy general? los n'meros no tienen eistencia propia como entre nosotros, sino que están subordinados a la filosof$a de ellos. 1irven el mismo prop!sito, pero deben cumplir con las leyes de la naturale#a. F0a visto alguien una araa "normal" con N patasG. ;ara nosotros, los n'meros tienen una eistencia ajena a la cultura, en contraste con la filosof$a, pero no funciona as$ para
los
andinos.
/ eso nos lleva al "=". Kec$amos que los andinos comprend$an el concepto, hasta el punto de utili#arlo a t$tulo de "ausencia" en sus %hipus con mayor eficiencia que en las tablillas de arcilla de los sumerios. ;ero parece que no eiste un vocablo quechua espec$fico para designarlo? es s!lo una ausencia. Esto tiene sentido para 7rton, pues una propiedad de los n'meros andinos es la capacidad de poseer o gestar y si "=" no es capa# de hacerlo, no es n'mero, s!lo es "nada". La "nada" no eiste en el ámbito
andino. ;or eso es que en los %hipus "=" no se representa mediante un nudo especial, sino
con
la
ausencia
de
un
nudo.
Lo anterior, la capacidad de poseer, está impl$cita en el lenguaje. 2o se puede decir en quechua que "4" es un cero que posee 4, porque "la nada" no puede poseer nada. ;ero s$ 4 es un "4=" Cunidad decimal que eiste en la naturale#aD que posee . 1in embargo, aunque un 4 les pudiera servir tanto como a nosotros, no es un n'mero porque el que posee el die# no es una cifra "completa" en un sistema decimal, por mucha importancia que tenga en la complementaci!n de los opuestos C4 interactuando con su opuestoD. En cambio, 4= s$ cal#a con lo decimal, s$ es una entidad y en consecuencia tiene "permiso" para poseer o para presentarse, en aymara, como que lo han privado de una parte y transformarse en @. Kebo insistir que sta es una conceptuali#aci!n intuitiva y supongo que no utili#ada con conocimiento de causa por los andinos? simplemente eiste, como la ;achamama y sus reglas. 1upongo que no estamos en condiciones de comprender c!mo integraban su sistema numrico decimal con la "magia" natural del "". Lo cierto es que el lenguaje nos permite establecer estas relaciones? )uatro es "taTa" en quechua y "pusi" en aymara, a la ve# que die# es "chun%a" y "tun%a" respectivamente. )hun%a taTayu en quechua y tun%a pusini en aymara significa un 4= que tiene Q, pero taTa chun%a y pusi tun%a respectivamente implican multiplicaci!n o adiciones repetidas Q veces y configuran el n'mero Q=, apropiado pues son Q unidades de 4=. 2!tese que el sufijo quechua "u" y el aymara "ni" implican posesi!n, están presentes en 4Q Cun 4= que posee QD pero ausentes en Q=, porque son Q unidades decimales y en consecuencia pasan a la categor$a de n'mero. 2o profundi#ar en el tema pues hay otros ámbitos de nos ayudan a comprender a las matemáticas andinas. Los que tenemos una formaci!n biol!gica sabemos que la realidad no es binaria Cblanco o negroD, sino un espectro continuo entre uno y otro, con distintas intensidades? todo es gris, pero eisten espacios discernibles. 6al ve#, si no tuviramos el acondicionamiento occidental a lo puro y abstracto, entender$amos con mayor facilidad a los andinos. ;ero de todas maneras, Fno le parece que estamos
empe#ando a vislumbrar una correlaci!n entre los n'meros y las leyes de la naturale#aG. Los n'meros, a'n para la cultura occidental, son más complejos de lo que nos parece a simple
vista.
6ienen
por
lo
menos
tres
funciones?
4D Elementos identificadores desprovistos de valor aritmtico. Ejemplo, un n'mero telef!nico. &socie esto a los cientos de colores que se utili#aban en los %hipus y a un buen n'mero de otras variables como el sentido del torcido de las cuerdas yo de los nudos, su organi#aci!n jerárquica y en grupos de categor$a, etc., y comprenderá que no es descabellado suponer que para los andinos los n'meros pudieron servir como un sistema de escritura sin parang!n en la humanidad como hoy la conocemos. Hue no podamos descifrarlos con nuestra estructura de ra#onamiento occidental, no significa ausencia de un contenido más profundo. Hue los burdos )onquistadores no hicieran ning'n intento por entenderlos y que la +glesia )at!lica ordenara su destrucci!n y hasta hoy los huaqueros los remuevan de su conteto para ganarse unos pesos, no priva a los andinos de un desarrollo cultural de dimensiones desconocidas. >D 2'meros ordinales. +mplican orden o secuencia Cprimer hijo, quinto dedo, etc.D. D
2'meros
cardinales.
+mplican
cantidad,
como
en
<
%ritmética
dedos. %ndina
;uesto que las matemáticas andinas no involucraban conceptos abstractos sino que derivaban y eran coherentes con la realidad natural de las cosas, no eran discutibles y bastaba aprender a vivir para saber aplicarlas en forma intuitiva y hasta con cierta complejidad, como las tejedoras por ejemplo. ;or cierto, hab$a especialistas precisamente preparados para niveles superiores de conocimiento, como los %hipu%amayu,
encargados
de
almacenar
la
informaci!n
en
los
%hipus.
La operaci!n más simple es contar, como se podr$a hacer con un rebao de llamas cuando retornan al corral, para saber si está completo. ;ero precisamente eso no se hace en el territorio quechua boliviano que estudi! 7rton, sino que se comprueba que
estn todos los animales, cada uno de ellos identificado por un nombre. 6ampoco se cuentan los choclos recolectados ni otros elementos asociados a la reproducci!n. F;orquG? pues porque el grupo es una unidad en s$ y no un conjunto de individuos. )ontar a sus componentes implica atomi#ar al grupo y se cree que eso compromete su capacidad reproductiva. En cambio, no hay problema en contar piedras u otros elementos
que
no
se
reproducen.
Esta peculiaridad no es válida para la totalidad del Aundo &ndino actual, pero es tal ve# un remanente del pensamiento original, ulteriormente sobrepasado por intereses estatales, como lo representan las cuentas que consignaban los %hipus. 1in embargo, nos sirve para demostrar cuán vinculada estaba la aritmtica al concepto de totalidad, reproducci!n, roles y relaciones de parentesco, tanto en lo que se refiere a n'meros ordinales como cardinales. 7na breve revisi!n de las operaciones aritmticas básicas aportará más luces acerca de la incorporaci!n de la filosof$a en los n'meros andinos, algo
que
nos
Suma
cuesta
comprender.
'esta
El vocablo quechua más preciso para "suma" es "yapay" C"yapaa" en aymaraD, el cual más que sumar como en > I >, implica aadir y tambin juntar, particularmente lo que representa a un par natural, como las manos al re#ar. 2adie dir$a "me consegu$ una sumada" cuando consigue un aumento de sueldo, pero en aymara se utili#ar$a el trmino "yapayasia". ")argue este consumo a mi cuenta" es lo mismo que "s'melo" en espaol en aymara se utili#a el vocablo "apataa", que tambin significa colocar una cosa sobre otra. 0ay, entonces, una conceptuali#aci!n más amplia en el yapay y el yapaa., los
que
tambin
sirven
para
sumar
>
I
>.
;ero el asunto es mucho más complejo, pues siempre se debe buscar el equilibrio. 6radicionalmente Caunque hoy perturbado por la "modernidad"D, si un vecino necesita ayuda para una tarea que no puede hacer solo, se le ayudará gratuitamente CayniD, pero quedará en deuda CdesequilibrioD y deberá devolver la mano cuando se lo solicite en una situaci!n similar. 7n elemento importante en la cohesi!n del imperio inca era el
regalo Cmujeres, tetiles, chicha, etc.D que la autoridad le hac$a a un jefe local, por ejemplo, y as$ lo obligaba a devolverle la mano Cfidelidad, mitUa o fuer#a laboral de su comunidad, etc.D. El desequilibrio aditivo trae beneficios y as$ nace la "yapa" Cpequeo regaloD que le pedimos al comerciante que nos vende algo? ste accede porque espera que nos sintamos obligados a restablecer el equilibrio dándole preferencia para una eventual compra ulterior, por poner un ejemplo contemporáneo, ahora que eiste el concepto
de
dinero
entre
los
andinos,
ausente antes de
la
)onquista.
Lo anterior, parafraseando a 7rton, demuestra cuánto difieren conceptualmente las matemáticas andinas de las nuestras, desprovistas de motivaciones sociales o culturales, objetivos predeterminados y utilidad comparable al restablecimiento del equilibrio que trasciende en el ejercicio andino de las matemáticas. Lo del equilibrio requiere un comentario? el equilibrio absoluto no eiste en la naturale#a porque sta es evolutiva, por lo que en la gesti!n andina parece haber una tendencia a crear un desequilibrio para motivar una gesti!n reparadora ulterior. Las comunidades básicas CayllusD estaban, como todos los niveles de organi#aci!n social andina, virtual y tal ve# administrativamente divididas en una fracci!n alta Caraj en aymara, janan en quechuaD y otra baja Cmanqha y urin respectivamenteD. En cierta poca, ambas fracciones se involucran en una batalla ritual Ctin%uD que hoy suele hacerse a membrilla#os o se le reempla#a por un partido de f'tbol. Ese desequilibrio transitorio de las fracciones puede ser una manera de restablecer el equilibrio necesario para seguir viviendo en armon$a
CyananiD.
Kec$amos que lo impar C"chUulla"D es incompleto y que la paridad entre los andinos era tan compleja como que 4Q era nones por no representar un conjunto completo de cincos. 1i una pareja natural de elementos es separada CdesequilibradaD, cada componente recibe una categor$a especial en el lenguaje 9"chUullayu"9 que especifica claramente que es un elemento aislado de su complemento natural. )uando nosotros nos referimos "un par", estamos haciendo una abstracci!n y el concepto no se vincula a ning'n orden social, natural o de roles. /a podrá suponer que esto no es as$ en
quechua, sino que "un par" o "pareja" se categori#a de diversas formas, de acuerdo a lo
que
stas
implican
en
la
naturale#a?
4D /anantin es el par formado por los opuestos complementarios que impregnan a la cosmovisi!n andina. +mplica armon$a y dedu#co que contribuye a la importancia del . Los t$picos ejemplos son las dos piernas cuando se camina, o la pareja humana. Los opuestos complementarios pueden interactuar arm!nica y conjuntamente CyananiD como las manos al tejer, o ser irreconciliables, como el d$a y la noche. ;ara mantener el equilibrio, es indispensable que los pares irreconciliables tambin interact'en, y lo hacen >D
por
turnos
C%utiD.
/untantin es la estrecha uni!n de dos unidades suplementarias. 2!tese la
diferencia entre suplemento y complemento en espaol? el primero implica adjuntar y el segundo completar. El mejor ejemplo es la "yunta" de bueyes y de hecho yunantin se usa
especialmente
para
gestiones
de
trabajo.
D )huUllan C de chUulla J imparD es para m$ )arlos 8equena, compaero9pareja Csin connotaciones seualesD de aventuras serranas. ;ero ambos en conjunto somos chUullantin, dos personas o cosas similares pero no trabajando como en yuntantin, ni opuestos complementados como en yanantin, ni ingredientes de un todo como en la epresi!n
que
sigue.
QD Vhallun Cde %hallu, algo como ingrediente o componente de un parD es como la mantequilla para el pan si queremos hacer un pan con mantequilla. )uando está hecho, ambos
en
conjunto
pasan
a
la
categor$a
de
"%halluntin"
uno
posee
un
sucesor.
2!tese que el 'ltimo trmino no implica una uni!n estrecha? los melli#os no tienen por qu formar un conjunto una ve# que crecen y por eso, "apaayu" carece del sufijo "ntin" de los otros ejemplos que epuse. Este implica una uni!n o cohesi!n estrecha. El más conocido ejemplo es el nombre que los incas le daban a su imperio? 6aTantinsuyu
Ccuatro 9taTa9 territorios 9suyu9 integrados en una unidadD. 0ay otros trminos más para definir interacci!n entre dos unidades, basándose en c!mo se da la rel aci!n entre los
pares
en
la
naturale#a.
2o veo en los n'meros occidentales una preocupaci!n tan clara por lo que es "natural" en el orden bio9l!gico. 2o veo filosof$a en nuestra utili#aci!n de los n'meros... ;ara la resta valen consideraciones similares. El trmino quechua es "yurquy" pero no s!lo se utili#a para una operaci!n como > 9 > y además hay una variedad de trminos para especificar otros contetos relacionados con la reducci!n yo etracci!n. &ultiplicación
6al como en nuestra cultura, es dif$cil diferenciar la multiplicaci!n de una serie de adiciones sucesivas. En quechua hay tres vocablos pertinentes? "%uti", que implica repetici!n, turnos o n'mero de veces, "miray" que está asociado a un proceso reproductivo lineal espontáneo como el de los humanos y animales Cy en consecuencia asociado a los genitales femeninosD y "as%hayay", más apropiado para la reproducci!n eponencial
espontánea
de
los
vegetales
a
travs
de
las
semillas.
;ero nuestra multiplicaci!n no considera la reproducci!n como ocurre en la naturale#a pues los n'meros nuestros no están vivos, por lo que miray y as%hayay no son aplicables a ellos sin el sufijo "chi", que involucra a un mediador con un prop!sito deliberado. ;ara los andinos, los n'meros s!lo pueden reproducirse si hay una intenci!n deliberada y en consecuencia, un gestor o "partero" C0omo maiticusD. &s$, el verbo pertinente para simplemente multiplicar C> por o acumular tierras, hacerse rico, etc.D es "as%hayachiy". ;ero si se trata de algo que se multiplica por s$ solo, como los intereses de una cuenta de ahorros, el verbo apropiado es "miraynin". ;ara nosotros, cinco cincos significa >< para los andinos, 4= pues es la uni!n de dos pares. En contraste, cuatro cincos es >=, porque Q y < son conceptos diferentes. En forma similar, "hombe mujer" tiene una connotaci!n reproductiva para nosotros, pero traducido literalmente al quechua C"qhari Tarmi"D significa maric!n? se necesita incorporar
el
vocablo
"miray"
para
que
sugiera
reproducci!n.
;uede parecernos muy complicado, porque hemos aprendido a desvincular el concepto de los n'meros del conteto de la naturale#a. ;ero para los andinos, es simple e intuitivo, porque as$ se dan las cosas en el ámbito de la ;achamama. )omo en párrafos anteriores,
el
concepto
de
reproducci!n
se
repite
con
insistencia.
(ivisión
;ara todo el mundo, incluyendo a los andinos, es la operaci!n aritmtica más compleja. 1uma, resta y multiplicaci!n pueden resumirse en agregar o quitar unidades, pero dividir implica un proceso más complejo y eso se epresa en quechua mediante tres trminos
que
especifican
situaciones
diferentes.
a.. 1i una ruta se "divide" en dos o más alternativas o cualquier cosa puede descomponerse
en identidades
diferentes,
se utili#a
el vocablo
"palqay".
b.. 1i una unidad compuesta por varios elementos del mismo tipo que la definen en conjunto, como los pelos de una cabellera, se separan Cse desenredan en el caso de los pelosD, se utili#a "ra%Uiy". Es natural que mi esposa y yo estemos juntos, porque formamos una unidad, pero hoy está en otra ciudad por ra#ones de fuer#a mayor? eso es
ra%Uy,
no
natural
pero
soportable.
c.. 1i un todo se separa en partes sin identidad propia que destruyen la unidad, como cuando se rompe un billete, se usa "tUaqay". ;ero si un fajo de W4=.=== se separa en 4= billetes
de
W4.===,
eso
es
8aU%iy
En definitiva, en el concepto andino de la divisi!n, nos reencontramos con el principio de unidad no abstracta, tal como lo manda la naturale#a. /a eplicamos que el andino es un componente más del orden natural de las cosas y no es dueo de transformarlas a
su
arbitrio
como
el
0omo
faber
)*meros
occidental. +rdinales
7na ve# más nos encontraremos con el orden propio de la naturale#a no alterada por los
humanos
y
el
concepto
de
reproducci!n
natural.
;ara nosotros, primero es 4 y as$ sucesivamente. 1iguiendo con los argumentos de
7rton, los cinco primeros choclos que aparecen en una mata son cinco choclos para nosotros. ;ero en el quechua boliviano el segundo choclo es el que se denomina 4, porque no es "chuqllu" sino que "apaa" CdescendienteD. El tercero es el >X apaa. El primero en aparecer, más grande y apetecido, tiene otra categor$a que se desliga de lo cardinal y se denomina "chuqllu" o tambin "mama", como sugiriendo que es el que origina a los siguientes. 1i lo piensa un poco, verá que el orden no sigue la escala de los n'meros cardinales porque se interpone el concepto de reproducci!n, tantas veces resaltado. / esto porque los n'meros cardinales no tienen una eistencia abstracta, independiente
de
lo
que
ensea
la
naturale#a.
;ara los andinos prehispánicos, los n'meros cardinales se vinculan a un orden social yo natural CdescendenciaD que es lo que para ellos define a un grupo. ;ara los dedos de la mano, por ejemplo, el pulgar es el de mayor edad yo la madre de los otros, y el meique el más joven. El $ndice, por ejemplo, podr$a decirse que es el primer apaa, aunque Efectos
sea de
el la
segundo
,mposición
de
lo
dedo. +ccidental
;ara 7rton, el enfrentamiento con las matemáticas europeas, abstractas, fr$as y desligadas del orden del mundo, tuvo un gran efecto desestabili#ador, superado s!lo por la imposici!n del dios cat!lico. 2o cabe duda que una civili#aci!n avan#ada que no conoc$a el dinero y cuyos dioses fueron abruptamente derrotados y la compleja estructura social perturbada a niveles dif$ciles de asimilar, no puede subsistir.
La introducci!n del dinero y los intereses de los conquistadores modificaron la econom$a de subsistencia y la orientaron a la obtenci!n de dinero, atomi#ando a la unidad social productiva e introduciendo un fen!meno dif$cil de digerir? el valor cambiante Cdevaluaci!nD del dinero. Esto y la necesidad de aplicar n'meros abstractos a las transacciones, sin duda constituy! una arma poderosa en contra de la conservaci!n
del
orden
del
Aundo
&ndino.
;ara dar s!lo un ejemplo, considere lo que ocurri! con los tributos. Los andinos eig$an contribuciones proporcionales a la capacidad productiva del grupo social, con tolerancia y en tramos decimales, como era natural para los andinos. La tolerancia del sistema la detect! claramente )ie#a de Le!n, uno de los primeros y más confiables cronistas de la )onquista, y relata que si una regi!n no pod$a cumplir con sus tributos en especies, el imperio ped$a a cambio que cada individuo aportara peri!dicamente una cierta cantidad de piojos vivos. Era como decir "si no tienen más que pobre#a, han de compartirla con el Estado, pues nadie está libre de trabajar para l". &dicionalmente, el imperio interven$a de diversas formas para resolver el problema, ya sea aportando recursos yo trasladando poblaciones, las que no eran abandonadas a su suerte, sino que
capacitadas
para
sus
nuevas
funciones
productivas.
2o es necesario resaltar que sta no era precisamente la pol$tica de los nuevos dueos del mundo, quienes además cuantificaban los tributos en especies utili#ando n'meros etraos, abstractos, no "naturales", como >=@ pares de sandalias o .R> libras de pescado. 6odo esto debi! parecerse al fin del mundo, pero pronto los andinos se adaptaron hasta cierto punto y consiguieron conservar algo de su cultura, aun cuando hasta ahora hacemos casi deliberados esfuer#os por aniquilarla. -i"liograf.a/ 01
!os
andinos
las
matemáticas1
'enato
http/22infoarica1loganmedia1com2renatoaguirre2aritmeticasandinas1htm
)om"re / 3ernando 3redd 4ás5ue# Solano Curso / 6to 7%8 9 &atemática
%guirre1
