Seminario 2008 II

Dinámica de Sistemas

PROBLEMAS DE DINAMICA DE SISTEMAS

Seminario 1.

Un amigo cercano a usted le presenta el modelo siguiente de la población de la célula de levadura y quiere que usted verifique que este modelo presenta la realimentación positiva como él cree. Usando sus inmensos conocimientos de realimentación positiva, verifique o refute la conjetura de su amigo:

Donde: Pob_celula Población de células = 40 (inicialmente) Factor_crecimie Factor de crecimiento = 0.2 [1/dias] T_div_celula  Tasa de división de la célula = Pob_celula * Factor_crecimie [celulas/día] a. b.

2.

¿Qué tipo de realimentación tiene este sistema? ¿Por qué? (2 ptos) Graficar el comportamiento de la Población de la célula de levadura (1 pto)

Se tiene las siguientes ecuaciones de Stella: S tella: A(t+dt)=A(t) + VA * dt // Angulo del péndulo péndulo (grados) INIT A=1 VA = (M*G/B)*SIN(A*6.28/360) // Velocidad angular (grados/seg) M=1 // Masa (Slugs) B = 20 // Amortiguación (Libras fuerza/grados/segundos) G = 32 // Gravedad (pies/seg2) a. Dibujar el diagrama Forrester

3.

La propagación de enfermedades infecciosas bajo ciertas condiciones exhibe crecimiento sigmoidal (crecimiento en S). Epidemias típicas como las infecciones del tracto respiratorio, catarro, gripe, resfrío y virus menores. Un modelo replica el crecimiento de una epidemia con las siguientes suposiciones: población es de 50 años. La población infectada no es curada - El promedio de vida de la población durante el curso de la epidemia y contribuye en la tasa de contagio. infectada. La - Ocurre aceptable mezcla de la población susceptible con la población infectada. población susceptible de ser contagiada es la población no infectada. - Se tienen 3 constantes: infecciones por contacto igual al 10% (sin dimensión), fracción de contactos normal igual al 2% (fracción/persona/dia), índice de contacto igual a 0.99 (sin dimensión)

Recopilado por Ing. William Marchand N.

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Tasa de contagio = infecciones por contacto * fracción de contactos normal * población infectada* población susceptible * índice de contacto La población total inicial es de 100 personas, la población infectada inicial es de 15 personas

a. b. c. d.

Dibuje el diagrama causal para este sistema Dibuje el diagrama Forrester para este sistema Escriba las ecuaciones Stella Mostrar los gráficos de los niveles correspondientes, así como de los flujos

4.

a compañía química Martan produce un pesticida llamado Nobug, descargando una cantidad de Nobug en un río una vez a la semana. Durante el curso de la semana la contaminación por parte de este pesticida se absorbe por un proceso natural del río al cabo de 2 días. El Nobug es arrojado al río produciendo una concentración en el río de alrededor 420 partes por millón. Asumiendo que el río contiene 1 millón de galones de agua, resulta una tasa de descarga de 420 galones por semana. Para propósito de simulación asumimos que el Nobug se descarga continuamente diariamente a una tasa de 420/7 = 60 galones por día. a. Dibuje el diagrama causal y el diagrama de Forrester de este modelo b. Escriba las ecuaciones Stella (la cantidad inicial de Nobug en el río es de 0 galones) c. Muestre los gráficos de la tasa de descarga, cantidad de Nobug y la tasa de absorción. d. Elija ahora un DT=0.25 días ¿Cuál es el comportamiento del modelo?, comente e. Elija ahora un tiempo de absorción de 4 días y luego de 1 día. Comente y muestre los resultados gráficos para cada uno de estos casos.

5.

El modelo así desarrollado en la pregunta anterior, es algo inadecuado porque asume que el Nobug es descargado al río a una tasa de 60 galones por día. La función PULSE de Stella permite modificar el modelo para representar la tasa de descarga de Nobug. La siguiente ecuación indica que se descargan en el río 420 galones de Nobug en un día, y luego de 7 días otros 420 galones se arrojan al río. Descarga = PULSE(420,1,7) PULSE(volumen, primero, intervalo) a. Modifique las ecuaciones y agregue esta función b. Tabule lo resultados

6.

La absorción de Nobug no ocurre inmediatamente, existe un retraso de material, esto sucede sobre un periodo de tiempo. Si estos gráficos son equivalentes:

a. Modifique las ecuaciones. b. Muestre los gráficos de la tasa de descarga, cantidad de Nobug y la tasa de absorción.


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7.

Se plantan 10 000 plantones de pino de rápido crecimiento para luego talarlos y venderlos, de acuerdo a un boletín de agricultura. Luego de plantar los plantones se pasa por tres etapas: Arboles pequeños (de 1 a 3 pulgadas de diámetro) Aboles de tamaño medio (de 3 a 6 pulg. de diámetro) Arboles listos para la tala (de 6 a mas pulg) Se desea controlar el número de plantones, árboles pequeños, árboles medianos, árboles listos para la tala y árboles talados. Además se sabe que el tiempo de vida promedio para pasar de: Plantón a árbol pequeño es de 3 años. Árbol pequeño a árbol de tamaño medio es de 5 años. Árbol mediano a listo para la tala es de 5 años. Los árboles listos para la tala permanecen un tiempo promedio de 7 años a. Grafique el diagrama causal b. Grafique el diagrama Forrester c. Escriba las ecuaciones Stella. d. Grafique el comportamiento del sistema.

8.

Utilizando la siguiente estructura genérica con realimentación negativa de primer orden

Donde las ecuaciones del modelo genérico son: NIVEL(t) = NIVEL(t - dt) + (FLUJO)*dt FLUJO = BRECHA * FRACCION DE DECAIMIENTO BRECHA = NIVEL – NIVEL DESEADO Nota : Si nosotros tuviéramos una constante de tiempo en vez de una fracción de disminución, la ecuación para el flujo y la constante de tiempo sería: FLUJO = BRECHA/CONSTANTE DE TIEMPO Donde: FRACCION DE DECAIMIENTO = 1 / CONSTANTE DE TIEMPO Modelar el siguiente sistema: Nanosoft ha perdido dinero debido a la competencia de su rival Picosoft. Los gerentes en Nanosoft decidieron que disminuyendo el número de empleados de 20,000 a 12,000 Nanosoft podría ahorrar el dinero y aún mantener sus niveles de producción. El tiempo total asignado para la reducción de personal es 8 años. (Como se necesitan 4 constantes de tiempo para alcanzar el 94% de la meta, podemos decir que la constante de tiempo es = 2 años.)


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a. Dibujar el diagrama Forrester correspondiente y las ecuaciones. b. ¿Cuál es la fracción de disminución y el tiempo de ajuste? ¿ Cuál es el tiempo medio? Dé sus unidades. c. ¿En 3 años, cuál es el número aproximado de empleados en Nanosoft?. Graficar d. ¿Nanosoft decidió que ellos quieren exactamente 16,000 empleados en la firma en 4 años. ? e. ¿Cómo hacer que Nanosoft consiga este resultado cambiando el tiempo de ajuste mientras se mantiene él número deseado de empleados en 12,000?

9.

El editor de un periódico tiene un problema logístico, desea mantener un número de vendedores que le garanticen las ventas y unos beneficios razonables. Para analizar el problema de contratación ha construido el diagrama de influencias de la figura. Se pide el correspondiente diagrama de Forrester.

10. Se desea construir un modelo de un ecosistema donde viven linces y liebres. Los linces son un especie de felinos muy parecidos a los gatos salvajes, los cuales tienen como alimento básico a las liebres. Inicialmente existen 50000 liebres y 1250 linces en el ecosistema. El área del ecosistema esta definido como 1000 hectáreas. Se emplea un proceso compuesto para describir el nacimiento de las liebres. El flujo de nacimiento se define como el producto de las liebres y su natalidad. Este proceso funciona como el interés compuesto de una cuenta bancaria. Cada liebre se asume genera 1.25 hijos (promedio) por año. Las muertes de las liebres es un proceso de origen externo, los linces son el medio determinante del consumo de liebres, no se considera otra. Cada lince tiene una productividad en las muertes de las linces, y esta asociada con la cantidad de liebres muertas por cada lince. El numero de liebres muertes por cada lince (por año) incrementa por la densidad de liebres (cantidad de liebres por cada hectárea). Recopilado por Ing. William Marchand N.

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Densidad liebres Liebres muerta por cada lince

0 50 100 150 200 300 350 400 450 500 0 50 100 150 200 300 350 400 450 500

El flujo de nacimientos de linces es el producto de linces y su natalidad. Cada lince genera 0.25 hijos por año. Fracción muertes de lince Densidad liebres

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.005 0.000 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0

Se pide: Diagrama causal a. Diagrama Forrester b. Ecuaciones Stella c.

11. El diagrama de influencias de la figura representa un sistema de regulación de temperatura por medio de un termostato, que acciona o detiene el funcionamiento de una fuente de calor. Dibujar el diagrama de Forrester asociado.

12. La siguiente figura muestra un modelo simple para el olvido. Lo que más necesitas memorizar, lo que más fácilmente olvidas. Por ejemplo si has tenido 100 números telefónicos, para memorizar, es probable que olvides cerca de 80 de ellos, desde que tu cerebro tenga capacidad para guardar una cantidad de estos números.


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Dinámica de Sistemas NUMEROS RECORDADOS

MINIMO

RATIO DE OLVIDO

BRECHA

FRACCION DE OLVIDO

Se pide: a. ¿Cuál es la meta u objetivo de este sistema? (cero o diferente de cero?) ¿Por qué? b. ¿Cuál es la vida media del sistema? c. Dibuje la evolución del nivel para 10 dias, teniendo en cuenta los siguientes valores: MINIMO=15, NUMEROS RECORDADOS=125 13. 10 personas buscando sacar provecho esta corriendo un rumor sobre el sistema bancario en una ciudad cuya población es de 20000 habitantes y donde no existe migración. Los rumores se propagan mediante las relaciones interpersonales y los medios de comunicación no contribuyen a su propagación. La estimación diaria de los contactos interpersonales para la ciudad es de 60%. En las relaciones interpersonales sólo el 40% de las personas que conoce el rumor lo comunica a otras personas que la desconocen. a. Elabore el diagrama causal. b. Elabore el diagrama de Forrester. c. Escriba las ecuaciones Stella d. Elabore su modelo en Stella. En un mismo gráfico utilizando una misma escala muestre la población que conoce el rumor VS tiempo, la población que desconoce el rumor VS tiempo. e. Realice una interpretación del modelo. 14. Un terreno es invadido por 100 familias para construir un asentamiento humano, la construcción de casas es proporcional a la cantidad de familias que todavía no tienen casa cuya constante de proporcionalidad es de B1=0.8. Elabore su diagrama causal, su modelo en stella y dynamo para el sistema. En cada uno de los modelos muestre en un mismo gráfico y en una misma escala muestre el flujo de construcción de casas vs tiempo y el nivel casas construidas vs tiempo. 15. En las casas construidas de un asentamiento humano, cuya población es 100, se desea instalar un teléfono. La velocidad de instalación de teléfonos es proporcional a la cantidad de casas que habiendo sido construidas todavía no tienen teléfono. La cantidad de casas construidas es de 100 familias y al inicio ninguna tiene teléfono. En nuestro caso la instalación de los teléfonos (uso de teléfonos) es la innovación y para la difusión de innovación se presentan las siguientes modelos: Modelo de Colleman

Según Colleman: a. La población de usuarios esta limitado a la población y se mantiene constante en el tiempo; b. Todos los miembros de la población eventualmente usan la innovación; c. El proceso de difusión (instalación) procede de una fuente constante e independiente de la cantidad de usuarios; d. El impacto de esta fuente constante e impersonal en todos los usuarios no es la misma. Basándose en esas suposiciones la tasa de uso (flujo de instalación) con respecto al tiempo esta dada por: Recopilado por Ing. William Marchand N.

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da(t ) dt

B1[ N a(t )]

Donde B1 es una constante, a(t) es la cantidad de usuarios en el tiempo t y N es la población. Este modelo da una curva exponencial creciente con un limite superior para el comportamiento temporal de a(t). Utilizando B1=0.09. Elabore el diagrama de influencias, el modelo en stella, ecuaciones, y la interpretación del comportamiento del sistema. Modelo de Dodd:

Una de las limitaciones del modelo de Coleman es que no considera el efecto de imitación. Esto lo supera Dood quien propone, en adición a las dos primeras suposiciones del modelo de Colleman, que: a. Todos los usuarios son imitadores y usan la innovación (teléfono) sólo después de ver a otro usando la innovación; b. La tasa de uso depende no sólo de la cantidad de los que han usado, sino también de la proporción de la máxima cantidad de usuarios que aún no han usado; c. La probabilidad de que cualquier par de individuos se encuentre (usuario - usuario, usuario – no usuario, no usuario - usuario) es la misma. Basándose en estas suposiciones, la tasa de uso está dada por: da(t ) dt

B2

N a(t ) N

a(t )

Donde B2 es una constante, a(t) es la cantidad de usuarios en el tiempo t y N es la población. Este modelo da un patrón de difusión en forma de S. Utilizando B1=0.09. Elabore el diagrama de influencias, el modelo en stella, ecuaciones, y la interpretación del comportamiento del sistema. Modelo de Schoeman

Este modelo es una versión generalizada de los modelos de Coleman y Dodd debido a que reconoce el hecho de que las decisiones de uso se toman en parte por imitación y en parte a través de fuentes impersonales. Por lo tanto propone: da(t ) dt

B1[ N a(t)] B2

N a(t) N

a(t )

Donde B1 y B2 son constantes, a(t) es la cantidad de usuarios en el tiempo t y N es la población. Este modelo también da un patrón de difusión en forma de S. Utilizando B1=0.09 y B2=0.07. Elabore el diagrama de influencias, el modelo en stella, ecuaciones, y la interpretación del comportamiento del sistema. 16. Se tienen las siguientes ecuaciones Stella, determinar el diagrama Forrester y el diagrama de influencias.


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17. Se pretende estudiar, con un modelo y en simulación, el tiempo de respuesta (TR) de un almacén, medido como el tiempo (en días) transcurrido desde que una determinada pieza es solicitada por el cliente hasta que la petición es satisfecha. El almacén recibe normalmente un número determinado (NPN) de pedidos de material, que de no ser atendidas a su debido tiempo, se irán acumulando. El tiempo de respuesta depende del número de peticiones (PA) que se hayan acumulado en el almacén. A su vez, el tiempo de respuesta se utiliza por la dirección del almacén para medir el porcentaje de satisfacción (CS) de los clientes y decidir, en función de las peticiones acumuladas, si se atienden (satisfacen) un mayor o menor número de peticiones (PS) diarias. La figura muestra el diagrama de influencias del modelo, donde además de las variables (NPN, TR, PA, CS y PS), comentadas anteriormente, aparece una variable auxiliar (NP, nuevas peticiones diarias) que refleja como los pedidos recibidos se convierten en peticiones por día en función del tiempo de respuesta actual del almacén. Las ecuaciones que definen el modelo son las siguientes: TR(t ) f ( PA(t )) CS (t ) g (TR(t )) NP(t )

PS (t )

TR(t ) PA(t ) CS (t ) / 100

dPA(t ) dt

NPN

NP(t )

PS (t )

Donde f y g son dos funciones no lineales (a tramos lineales) descritas en las tablas, y cuyas representaciones gráficas también se acompañan. a. Completar el diagrama de influencias con los signos de las relaciones. Se recomienda ayudarse de las ecuaciones del modelo y de las formas de las gráficas, en lugar de hacerlo de forma intuitiva. b. Dibujar el diagrama de Forrester asociado. c. Comprobar, simulando al menos los cinco primeros días con: - Un número de peticiones acumuladas inicialmente PA(0) de 1000 unidades. - Un pedido normal (NPN) de 500 unidades. - Un intervalo de simulación Dt de 1 día. - Que las variables del modelo presentan un comportamiento oscilante y estable. d. ¿Dado que el sistema es de primer orden, a qué se debe el comportamiento oscilante? Recopilado por Ing. William Marchand N.

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NUEVAS PETICIONES (NP)

NUEVOS PEDIDOS NORMALES (NPN) TIEMPO DE RESPUESTA (TR)

PETICIONES ACUMULADAS (PA)

PORCENTAJE DE SATISFACCION (CS)

PETICIONES SATISFECHAS (PS)

PA 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

TR 0.2 0.5 0.6 0.75 1.0 1.5 2.2 4.0 5.5 6.0 6.1

TR 0 1 2 3 4 5 6 7

CS 100 99 90 75 55 30 10 1

Presentación tabulada de las funciones no lineales TR = f( PA ) y CS = g( TR ).


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18. Con las siguientes hipótesis sobre una población de conejos: El número de camadas por hembra y año es dos.  El número de conejos supervivientes por camada es cuatro.  El l0% de la población son hembras productivas.  La tasa de mortalidad en los conejos es del 50%.  Se ha construido el modelo de la figura.

Figura Diagrama de Forrester de un modelo simple de evolución de una población de conejos.

a. Expresar el valor y unidades de cada una de las variables del modelo y proponer el conjunto de ecuaciones que puedan describirlo. b. Comprobar y justificar razonadamente que, independientemente de la población inicial de conejos, el modelo predice una explosión demográfica, es decir, que la población crecerá indefinidamente.

19. Construir un modelo dinámico que represente el comportamiento del sistema escolar del nivel primario del país considerando solamente: la deserción, repitencia promoción. Para la construcción del modelo considere los siguientes datos estadísticos: Tabla 1. Proyección de población escolar en el nido año

Población (en miles)

Tiempo

2008 2009 2010 2011 2012 2013

150 170 180 185 200 220

0 1 2 3 4 5


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Tabla 2. índices de promoción, deserción y repitencia por grados grado

Promovidos (%)

Deserción (%)

Repitencia (%)

1 2 3 4 5 6

64,30 81.60 83.50 85.60 83.00 85.20

12.60 5.30 6.00 3.20 8.00 8.20

22.80 13.10 10.50 11.20 9.00 6.60

Tabla 3. Población estudiantil para el año 2008 grado

Población (en miles)

1 2 3 4 5 6

150 120 100 90 80 70

20. Construir un modelo dinámico para analizar como una persona llena un vaso con agua, supondremos que se cumple una condición: que la persona actúe con lógica. Para hacer el modelo vamos a desarrollar un diagrama de influencias basado en los siguientes criterios: A mas entrada de agua, mayor será el nivel de agua en el vaso A mayor nivel de agua en el vaso, menor será el volumen vacío A mayor volumen vacío, mayor será la entrada de agua Se asume que el vaso inicialmente está vacío, y su capacidad es de 250 cm3 También utilizamos una tabla para definir el comportamiento de dejar entrar agua en función al volumen vacío del vaso. Así cuando el vaso esté vacío dejaremos entrar 50 cm3/segundo, y cuando el volumen vacío sea 0 la entrada será 0. Volumen vacío 0 50 100 150 200 250

Entrada de agua 0 10 30 50 50 50

21. Describir lo que sucede cuando se introduce una olla con un litro de leche caliente (60 Cº) en un refrigerador (5 Cº). Dibujar una estimación de lo que debe ser la evolución temporal de la temperatura de la cazuela. Plantear un modelo de la evolución de la temperatura. Resolver analíticamente el modelo. Analizar la existencia de condiciones de equilibrio y su estabilidad. ¿Si


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quisiéramos disminuir el tiempo de enfriamiento, qué sería más eficiente, aumentar la conductividad de la olla o disminuir la temperatura del refrigerador? 22. Resolver el sistema de la figura considerando que inicialmente hay 10,000 unidades de recursos, hay 10 personas como población inicial, la natalidad es 0.5 personas por año por persona y que cada persona consume 2 unidades de recurso por año. Calcular la tasa de mortalidad mediante la expresión D = 1- (R/ R0), donde R es el valor de los recursos en cada momento y R0 es su valor inicial Nacimientos

Poblacion

Muertes

Mortalidad Natalidad

Recursos

Consumo Poblacion

Consumo indiv idual

23. En días pasados anduvo el rumor de que en verano no se ofrecerían los cursos intensivos, esto generado por al menos una cantidad de alumnos del mismo Instituto de Tecnología, esta información provocó que muchos alumnos empezaran a preguntar si esto realmente seria real; es posible que al inicio del rumor se creyera que no era más que un simple comentario de algún alumno que se quería ir de vacaciones y no tomar verano, esto para terminar sus créditos igual que sus compañeros y a su regreso no sentirse extraño en un salón con caras nuevas..... de aquí podríamos extraer un modelo que representará este comportamiento del rumor y analizar su impacto en la población...... Empezaremos por mostrar la lista de variables que pudieran ser parte de nuestro modelo: Entrada del rumor: esta representa la entrada de alumnos que ya conocen la noticia de que en verano se darán clases. (Alumnos/hora) Alumnos con el Rumor: es un acumulador de alumnos que ya son conocedores del rumor y el volver a escuchar la noticia para ellos no es de interés, esto es que no podemos contarlos como nuevos portadores del rumor. (Alumnos), de inicio es solamente 1 alumno. Tiempo para llevar el mensaje de un alumno a otro: el tiempo promedio (estimado) que un alumno informa a otro o bien en el que el alumno no conocedor de la noticia es informado. (3 horas) Alumnos Totales: lo componen todos los alumnos de Ingeniería Industrial e Ingeniería Industrial y de sistemas. (Alumnos) 2000 alumnos aproximadamente. Con esta información aplicar la metodología de DS para esta situación.


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Seminario 2008 II

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