SEJARAH PERKEMBANGAN MATEMATIKA EROPA
A. Sejarah Matematika Eropa
Selama berabad-abad dimana Cina, India dan kerajaan Islam telah berkuasa. Eropa telah jatuh di bawah bayangan abad kegelapan. Semua kehidupan intelektual termasuk studi matematika telah mengalami stagnasi. Namun pada abad ke-13 sesuatu telah mulai berubah. Dipimpin oleh Italia, Eropa mulai untuk mengeksplorasi perdagangan dengan bangsa Timur. Fibonacci adalah matematikawan terbaik yang dikenal dengan penemuannya akan beberapa angka yang disebut dengan deret Fibonacci. Deret Fibonacci diciptakan ketika Fibonacci sedang memecahkan teka-teki tentang kebiasaan kawin kelinci. Angka Fibonacci merupakan angka favorit alam. Bukan hanya digunakan pada kelinci, namun juga jumlah kelopak pada bunga dimana selalu bernomor
fibonacci. Dimanapun kita menemukan pertumbuhan di
alam, kita pasti akan menemukan bilangan Fibonacci. Terobosan berikutnya dalam matematika Eropa adalah penemuan akan metode umum untuk memecahkan persamaan kubik seperti yang terjadi di Bologna Italia. Universitas Bologna adalah sebuah tempat belajar yang mempelajari mempelajari matematika mulai awal abad-16. Secara umum, diasumsikan bahwa tidak mungkin menemukan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kubik. Namun, Tartaglia berpendapat bahwa asumsi tersebut salah. Pada usia 12 tahun wajah Tartaglia dilukai dengan pedang oleh tentara Perancis yang mengamuk. Hasilnya adalah bekas luka luka wajah yang mengerikan. Bahkan Tartaglia diberi julukan sebagai anak gagap. Setelah dijauhi teman sekolahnya, Tartaglia T artaglia kehilangan kehila ngan jiwanya dalam matematika dan tidak lama sebelum dia menemukan formula untuk menyelesaikan persamaan kubik. Namun Tartaglia menemukan bahwa dia bukan satu-satunya satu- satunya yang memecahkan persamaan kubik. Fior membual bahwa ia juga memegang rahasia untuk persamaan kubik. Setelah diketahui adanya dua penemu, maka diadakanlah kompetisi diantara keduanya. Masalahnya adalah Tartaglia hanya tahu bagaimana memecahkan satu jenis persamaan kubik dan Fior memberikan tantangan dengan pertanyaan untuk jenis persamaan yang berbeda. Tartaglia pun berhasil memecahkan bagaimana menyelesaikan persamaan yang berbeda tersebut hanya dengan waktu kurang dari 2 jam. Tartaglia melanjutkan penemuannya untuk memecahkan segala jenis persamaan kubik dan Tartaglia berhasil menemukannya.
Namun, apa yang dikerjakan Tartaglia tersebut diklaim oleh
Cardano. Sampai saat ini rumus penyelesaian persamaaan kubik dikenal sebagai Rumus Cardano. 3
B. Abad Pertengahan
Setelah runtuhnya kekuasaan Romawi, kebudayaan Eropa relatif mengalami kemunduran dibanding perkembangan pesat sebelumnya. Hanya biarawan-biarawan Katolik yang memelihara ilmu pengetahuan dari Gerik. Sedikit sekali kemajuan yang dicapai di bidang Matematika pada khususnya. Tetapi kalender semakin disempurnakan. Namun demikian masih terdapat beberapa penulis yang mengembangkan dan memelihara matematika itu. Alcuin (735 - 804) lahir di Yorkshire, Inggris. Ia dikenal sebagai Flaccus, Albinus, Ealhwine. Dia adalah matematika Inggris yang banyak sekali menulis tentang matematika, diantaranya yang paling terkenal adalah mengenai kalender dan finger reckoning (menghitung dengan jari). Alcuin mempunyai koleksi tentang problem puzzele dan rekreasi berjudul Problems For The Quickening Of Mind . Selain itu Alcuin juga menulis tentang astronomi, tetapi karyanya ini tidak sebaik karya-karya penulis Yunani. Alcuin dihargai atas kumpulan permasalahan teka-tekinya mengenai matematika yang mempengaruhi penulis buku teks yang berabad-abad, dengan judul Soal-soal untuk mempercepat berfikir pada tahun ± 775 dalam bahasa Latin. Gerbert (950 - 1003) lahir di Auvergne, Perancis. Ia mendapatkan pendidikan di Spanyol dan Italia. Dia pernah bekerja sebagai guru di Jerman dan diangkat menjadi penasehat Kaisar Roma. Otto III, setelah menjadi Uskup Agung. Kemudian pada tahun 999 Gerbert diangkat menjadi Paus dengan gelar Paus Sylfester II. Dia adalah ahli matematika Kristen pertama yang belajar sekolah Islam di Andalusia, Spanyol. Dia membawa sistem numerasi HinduArab tanpa nol ke Eropa. Gerbert juga menulis tentang aritmatika dan geometri, serta menciptakan abaci, globe bumi, jam dan sebuah organ. Ia juga menyatakan rumus luas segitiga sama sisi : L = ½ a(a – a) dengan pendekatan . Masa ini juga disebut sebagai zaman kejayaan pengetahuan Islam tetapi sarjana-sarjana latin tidak sedikitpun menghargai karyakarya Islam ini. Kegiatan pedagang dari bagian pantai timur laut tengah dengan dunia Arab menyertakan terbawanya ilmu pengetahuan dunia Arab ke Eropa pada abad 12 melalui terjemahan. Dalam sejarah
matematika
abad
12
itu
disebut
3
sebagai
abad
terjemahan.
Salah
seorang yang giat dalam menterjemahkan itu ialah biarawan Adelard dari Bath (± 1120). Buku elemen Euclideus ia terjemahkan ke dalam bahasa latin dan menterjemahkan tabel astronomi dari Khawarizmi. Plato dari Trivoli menterjemahkan buku astronomi dari AlBattani, bola dari Theodosius dan karya lain pada tahun ± 1120. Penterjemah paling banyak ialah Gherardo dari Cremona (1114 – 1187), ia terjemahkan 90 karya berbahasa Arab ke bahasa Latin, diantara terjemahannya ialah Almagest dari Ptolemeus, elemen Euclides dan aljabar dari Khawarizmi. Semasa kerajaan Norman di Sicilia banyak risalat-risalat Gerik dan Arab dari ilmu pengetahuan dan Matematika di terjemahkan ke bahasa Latin. Usaha-usaha menterjemahkan itu di dorong dan dilindungi oleh raja Frederik II (1194
– 1250) dan di lanjutkan oleh
anaknya Manfred (1231 – 1266). Saudagar-saudagar Italia yang berpusat di Goa, Pisa, Milan dan Florince yang berhubungan dengan dunia timur membawa aritmetika, aljabar dan sistem bilangan Hindu-Arab ke Eropa. Boethius (475-524), dalam sejarah matematika terletak pada kenyataannya bahwa tulisan-tulisan mengenai geomteri dan aritmetika merupakan buku pelajaran pokok untuk sekolah biara. Karya yang kecil itu dianggap sebagai puncak matematika. Dan demikian menggambarkan kemiskinan bidang matematika di Eropa. Geometri karya Boethius tidak memuat apa-apa selain pernyataan dan dalil-dalil Buku 1 dan sedikit dailil buku III dan IV dari karya Eucld, ditambah dengan penerapan pengukuran dan Aritmatika, karya Nicomachus dari empat abad yang lalu. Dari karyanya ini dan tulisan filsafat, Boethius menjadi pendiri ajaran senolastik abad pertengahan. Bede (673-735) lahir di Northumberland, Inggris dan menjadi salah satu cendikiawan Gereja terbesar abad pertengahan. Tulisan-tulisannya sangat bayak mengenai matematika yang terpenting adalah perhitungan menggunakan jari dan urain mengenai penanggalan.
C. Masa Transmisi Dan Abad 13 - 15
Sekitar masa Gerbret karya-karya klasik Yunani tentang ilmu pengetahuan mulai menembus Eropa. Hal ini dikuti oleh masa transmisi. Ilmu pengetahuan yang dipelajari Islam kuno diterjemahkan oleh pengunjung pusat-pusat ilmu pengetahuan Islam. Dengan perantara hubungan antara kerajaan Norida Di Sicilia dan dunia Timur dan melalui hubungan dagang Eropa dengan daerah Levant dan dunia Arab. Jatuhnya Tolendo dari orang-orang Moor ke tangan orang kristen pada tahun 1085 diikuti masuknya
cendikiawan-cendikiawan Kristen ke kota untuk mendapatkan ilmu 3
pengetahuan Islam. Beberapa pusat Moor di Spanyol masuk dan abad keduabelas dalam sejarah matematika menjadi abad terjemahan Letak dan sejarah Sicilia adalah tempat pertemuan alami barat dan timur. Sicilia awalnya adalah kolonial Yunani, menjadi bagian kerajaan Romawi menjalin ikatan dengan Konstantinopel setelah jatuhnya Roma, kemudian dikuasi Arab dan direbut kembali oleh Yunani yang diambil alih oleh Normandia. Diantara kota-kota yang pertama kali mengadakan hubungan perdagangan dengan dunia Arab ialah pusat perdagangan italia di Guenia, Pisa, Venesia, Milan, dan Florence. Ahli-ahli matematika masa transmisi : Adelard Of Bath
Menterjemahkan karya-karya Ecuid dan tabel astronomi dari Al-Khwarizmi ke dalam bahasa latihan.
Plato dan Tiveli
Menterjemahkan astronomi dari al-Battani, Spherics karya Theodosiuss
Gherardo dan Cremona
Menerjemahkan Almagest karya Ptolemy, karya Ecuclid, aljabar, dan Al Khawarizmi. Mereka juga peranan dalam pengembangan kata sine( sinus).
1. Abad Ke-13
Leonardo fibonaci atau yang lebih dikenal sebagai Leonardo de Pisa adalah matematikawan yang paling berbakat pada abad pertengahan. Ia dikenal dalam sistem biologi India sejak abad 200 SM. Dia adalah anak seorang pedagang yang mengikuti ayahnya berdagang ke Mesir, Sicilia,Yunani dan Syria. Karyanya yang terbesar adalah sebuah buku yang berjudul Liber Abaci pada tahun 1202. Buku ini berisi tentang problem-problem dengan menggunakan lambang Hindu-Arab yang memperlihatkan bahwa dia dipengaruhi oleh aljabarnya Al-khawarizmi dan Abu Kamil. Liber abaci ini lebih memfokuskan pada aritmatika dibandingkan geometri, buku ini dimulai dengan penjelasan sembilan lambang bilangan India dengan menambahkan bilangan nol. Fibonacci pun secara tetap menggunakan garis datar ( – ) sebagai lambang untuk menyatakan pembagian, dalam buku ini Fibonacci menggunakan 3 jenis pecahan yaitu: pecahan biasa, pecahan sexagesimal, dan pecahan unit.
Salah satu problem yang terdapat pada Liber Abaci ini adalah “ berapa pasang kelinci yang akan dilahikan dalam satu tahun, yang dimulai dengan sepasang kelinci, apabila setiap bulan masing-masing pasangan menghasilkan satu pasang kelinci baru, dimana pasangan kelinci baru akan menghasilkan setelah bulan ke- 2”.
3
Problem ini dikenal sebagai barisan
Fibonacci;
1,1,2,3,5,8,13,21...,
m,n,m+n...
Karya
keduanya
Fibonacci’s
Practica
Geometriae pada tahun 1220, yaitu sebuah kumpulan materi geometri dan trigonometri yang
dikerjakan oleh Euclid dan beberapa merupakan karya aslinya sendiri. Dan tahun 1225 dengan judul Liber Quadratorum, yaitu karyanya yang brilian dan original dalam menganalisis dan telah membuatnya luar biasa pada jaman Diophantus dan Fermat. Bakatnya yang luar biasa ini menyebabkan dia dipanggil oleh raja Federick II untuk ikut dalam suatu perlombaan yang tiga soalnya sudah disiapkan oleh Jhon dari Pelermotiga dan 2
2
salah satunya yaitu x +5 adalah suatu kuadrat bilangan dan x -5 juga merupakan suatu kuadrat dari sebuah bilangan, dan Fibonacci menjawab dengan tepat bahwa x bernilai sebab ()2 + 5 = ()2 - 5 = ()2 problem ini terdapat dalam buku Liber Quadrtorum, selain itu Fibonacci juga menuliskan identitas-identitas dalam buku Liber Quadrtorum seperti; (a2+b2)(c2+d2) = (ac+bd)2 + (bc – ad)2 2
2
= (ad+bc) + (ac – bd)
Pada abad 13 berdirilah universitas Paris OXFORD CAMBRIDGE, PADUA dan NAPELES. Universitas itu mempercepat penyebaran ilmu pengetehuan itu di Eropa. Pada abad ini menghasilkan beberapa ahli matematikawan, yaitu Jordanus Saxo, Campanus, Sacrobosco, Roger Bacon, dan Nemorarius.
2. Abad Ke-14
Abad ke-14 adalah masa yang tandus bagi matematika. Ini adalah abad dari maut hitam yang menyapu lebih dari 1/3 penduduk Eropa, di dalam abad ini terjadi perang 100 tahun
(Hundred Year’s War), dengan pergolakan politik ekonomi di Eropa utara yang sedang memuncak. Meskipun matematika pada abad pertengahan pada dasarnya bersifat praktis matematika spekulatif tidak sepenuhnya lenyap. Pemikiran-pemikiran filsuit-filsuit sholastic menyebabkan pemikiran teoritis yang halus tentang gerak, tak terhingga dan continu yang semuanya merupakan pemikiran pokok matematika modern. Ahli-ahli pada abad ke-14: a. Niccle Oresme Lahir di Normandia sekitar 1323 dan meninggal pada tahun 1382 setelah menempuh perjalanan dari menjadi guru kemudian menjadi seorang 3
uskup. Ia menulis lima karya
matematika yang juga menerjemahkan karya Aristoteles. Dalam salah satu tulisanya ringkansanya terdapat penggunan eksponen pecahan(tentu saja tidak menggunakan notasi moderen) dan dalam tulisan lain ia menempatkan
titik-titik dengan koordinat yang
merupakan pedahuluan geometri moderen. b.Thomas Bradwardin(1290-1349) Ia meninggal sebagai Uskup Besar Canterburyi. Di samping pemikiran pokok yang menyangkut sifat continu dan diskret serta besar tak terhingga dan kecil tak terhingga. Ia juga menulis empat tulisan singkat matematika mengenai aritmetika dan geometri.
3. Abad Ke-15
Bagian aritmetika dari suma dimulai dengan alogarisme bagi operasi-operasi yang pokok dan untuk mengambil kuadrat. Uraian cukup lengkap, juga mememuat misalnya saja tidak kurang dari delapan cara untuk melakukan perkalian. Aturan ponasi/ pernisalan yang dibahas dan diterapkan pula. Meskipun banyak kesalahan dalam karya Luca Pacioli tapi dalam Aritmetika karyanya merupakan standar authority. Aljabar yang ditulisnya masih aljabar sinkopasi. Singkatan-singkatan yanng ditulisnya antara lain: p
singkatan dari piu artinya tambah
m
singkatan dari meno artinya kurang
co
singkatan dari cosa artinya benda yg tidak diketahui dipakai untuk perubah x
ce
singkatan dari censo dipakai untuk x2
cu
singkatan dari cuba dipakai untuk x
cece
singkatan dari censo censo dipakai untuk x4
ae
singkatan dari aequalis artinya sama
3
Tanda-tanda + dan- . disini tanda-tanda tersebut tidak digunakan sebagai lambang operasi tapi semata-mata untuk menyatakan kelebihan dan kekurangan. Ahli-ahli matematika abad ke-15 a. Nacholas Cusa Ia lahir tahun 1401 di Gereja tingkatnya cepat naik. Pada tahun 1448 ia menjadi Gubernur kota Roma. Ia juga bekerja sebagai ahli matematika tulisan atau karyanya antara lain mengenai kwadratura lingkaran, dan triseksi sudut utama. b. Georg Van Peurbach (1423-1461) Setelah memberi kuliah di Italia ia menetap di Wina dan menjadikanya sebagai universitas pusat matematika dari angaktanya. Dia menulis tentang Aritmetika, dan beberapa karya Astronomi, dan menyusun daftar Sinuis. 3
c. Johan Muller (1436-1476) Ia lahir di Kangsbreg, ia belajar dalam usia muda di Wina. Johan banyak mengadakan perjalanan di Italia dan Jerman dan akhirnya ia menetap di Nurembreg dan mendirikan sebuah Observaterium, membangun percetakan, dan menulis beberapa karya pendek astronomi. De triangulis omnimodis karya Johan terdiri dari lima buku, empat buku yang pertama membahas tentang trigonometri bola. Disitu ia menunjukan banyak perhatian tentang penentuan segitiga yang memenuhi syarat yang ditentukan. Contoh khas yang ditemukannya:
Tentukan perbedaan dua segitiga jika diketahui perbedaan dari dua sisi, garis tinggi
pada sisi yang ketiga, dan perbedaan potongan-potongan sdari sisi yang ketiga dibagi oleh garis tinggi itu.
Tentukan sebuah segitiga, jika diketahui sebuah sisi, garis tinggi pada sisi lain, dan
perbandingan dari dua sisi lainnya.
Lukislah sebuah segiempat siklis jika empat sisinya diketahui.
Fungsi trigonometri satu-satunya yang digunakan dalam De triangulis Omnimodis ialah Sinus dan Cosinus . Tapi kemudian ia menghitung pula sebuah daftar untuk tangen. d. Nicolas Chuquet Ia dilahirkan di Paris tapi hidup dan melakukan praktek ketabiban di Lyons. Pada tahun 1484 ia menulis karya ilmu hitung yang berjudul Triparty en la science des numbers, yang pertama membahas hitungan dengan bilangan rasional, yang kedua membahas bilangan irasional, dan yang ketiga membahas teori persamaan-persamaan. Chuquet mengenal eksponen bulat positif dan negatif dan membuat synkopat beberapa bagian orang-orang sejamannya. e. Biarawan Italia Luca Pacioli (sekitar 1445-1509) Pada tahun 1494 dibuat percetakaan yang pertama dari Summa de aritmetika, geometri, et propotinal.
Karya ini di susun bebas dari banyak sumber, ditonjolkan sebagai ikhtisar
aritmetika, aljabar, dan geometri dari masa itu. f. Pacioli Ia banyak mengadakan perjalanan diberbagai tempat dan menulis karya-karya yang tidak diterbitkan semua. Dalam tahun 1509 ia menerbitkan bukunya De diuina proportione. g. Johan Widman Ia lahir sekitar tahun 1460 di Bohenia. Ia mengemukakan tentang tanda-t anda + dan -
3
D. ARITMATIKA MASA LAMPAU
Dengan minat pada pendidikan yang disertai Renaissance dan dengan meningkatnya aktivitas komersial yang luar biasa pada saat itu, tuan rumah buku populer di aritmatika mulai muncul. Tiga ratus buku seperti itu dicetak di Eropa sebelum abad ke tujuh belas. Teks-teks ini sebagian besar dari dua jenis, yang ditulis dalam bahasa Latin oleh para sarjana klasik sering diterapkan pada sekolah-sekolah Gereja, dan mereka yang ditulis dalam bahasa daerah oleh guru praktis dalam mempersiapkan anak laki-laki tertarik untuk karir komersial. Guruguru terakhir sering juga menjabat sebagai surveyor kota, notaris, dan gaugers termasuk Rechenmeisters berpengaruh yang didukung oleh Liga Hanseatic, sebuah serikat pelindung kota
komersial
yang
kuat
di
negara-negara
Jerman.
Cetakan pertama the aritmetika tidak diketahui namanya dan sekarang Treviso aritmatika, yang diterbitkan di 1478 di kota Treviso, terletak di jalur perdagangan yang menghubungkan Venesia dengan utara. Ini sebagian besar merupakan aritmatika komersial yang ditujukan untuk menjelaskan penulisan angka, perhitungan dengan mereka, dan aplikasi untuk kemitraan dan barter. Seperti "al-gorisms" awal dari abad keempat belas, juga berisi beberapa pertanyaan rekreasi. Jauh lebih berpengaruh di Italia daripada Aritmatika Treviso adalah aritmatika komersial yang ditulis oleh Piero Borghi. Ini sangat berguna dan diterbitkan di Venice pada 1484 dan mencapai setidaknya tujuh belas edisi, yang terakhir muncul pada 1557. Pada 1491 muncul, di Florence, sebuah aritmatika kurang penting oleh Filippo Calandri, tapi menarik untuk kita karena dicetak menggunakan proses modern untuk yang pertama kali dan juga masalah digambarkan pertama kali diterbitkan di Italia. Kita telah dianggap Pacioli's Suma, yang diterbitkan pada tahun 1494, sebagian besar yang dikhususkan untuk aritmatika. Aritmatika yang sangat berpengaruh di Jerman adalah aritmatika Widman yang diterbitkan di 1489 di Leipzig. Aritmatika Jerman penting lainnya yang ditulis oleh Jacob Kobel (1470-1533), seorang Rechenmeister dari Heidelberg. Popularitas aritmatika ini, diterbitkan di tahun 1514, dibuktikan oleh kenyataan melalui setidaknya 22 edisi. Tapi mungkin aritmatika komersial yang paling berpengaruh dari Jerman adalah Adam Riese (ca. 1489-1559), yang diterbitkan pada tahun 1522. Karya ini menjadi kar ya ternama yang bahkan saat ini di Jerman nach frase Adam Riese digunakan untuk menunjukkan perhitungan yang benar. Inggris, juga tercatat menghasilkan beberapa aritmatika awal. Penerbitan pertamadi Inggris yang ditujukan khusus untuk matematika adalah arithmatik yang ditulis oleh Cuthbert Tonstall (1474-1559). Buku ini, didirikan pada Pacioli 'S Suma, dicetak pada tahun 1522 dan 3
telah ditulis dalam bahasa Latin. Selama hidup penting nya, Tonstall mengisi jumlah posting gerejawi dan diplomatik. Menjunjung orang sezamannya untuk beasiswa. Ituditunjukkan oleh fakta bahwa edisi cetak pertama dari Elemen Euclid di Yunani (1533) telah didedikasikan untuk dia. Tetapi penulis buku pelajaran bahasa Inggris yang paling berpengaruh pada abad keenam belas adalah Robert Recorde (ca. 1510-1558). Recorde menulis dalam bahasa Inggris, karya-karyanya muncul sebagai dialog antara guru dan siswa. Ia menulis sedikitnya lima buku, yang pertama menjadi aritmatika sebuah fancifully berjudul The Ground Aries dan diterbitkan sekitar tahun 1542. Karya ini menikmati setidaknya 29 percetakan. Recorde belajar di Oxford dan kemudian mengambil gelar dokter di Cambridge. Dia mengajar matematika di kelas swasta di kedua lembaga sementara di tinggal di sana dan setelah meninggalkan Cambridge menjabat sebagai dokter untuk Edward VI dan Mary Queen. Dalam kehidupan selanjutnya ia menjadi "Comptroller dari Pertambangan dan uang " di Irlandia. tahun terakhirnya dihabiskan di penjara, mungkin untuk beberapa pelanggaran yang berkaitan dengan pekerjaannya di Irlandia. Matematika pada Abad ke-16 juga memiliki kelebihan :
simbol aljabar telah dimulai dengan baik
perhitungan dengan angka Hindu-Arab menjadi standar
pecahan desimal telah dikembangkan
persamaan kubik dan kuadrat telah diselesaikan
bilangan negatif telah diterima
trigonometri telah disempurnakan dan sistematis• dapat menghitung dengan beberapa tabel yang sangat baik sekali.
.E. PERMULAAN LAMBANG-LAMBANG 1. Menuju Aljabar dengan Lambang-lambang
Rogert Recorde (1510 - 1558) menulis karya dalam aljabar, geometri dan astronomi. Pada tahun 1557 ia menulis aljabar dengan judul The Whetstone Of De Witte . Dalam buku
itulah pertama kali digunakan lambang “=” u ntuk kesamaan seperti digunakan sekarang. Awal dari tanda sama dengan “II dan ӕ”. Chrisoff Rudolf (1499 - 1545) menulis buku aljabar dengan judul Die Coss. Dalam
buku itu diperkenalkan lambang menarik akar “, barang kali sebagai singkatan dari radix.
3
Micheal Stifel (1486 - 1567) seorang biarawan Jerman, menerbitkan buku dengan judul Arithmetica Integra pada tahun 1544. Dalam buku itu ia menguraikan bilangan rasional,
irasional, deret aritmetika, deret geometri, koefisien binomial hingga pangkat ke-7, dan memperkenalkan notasi A,AA,AAA,AAAA,... untuk pangkat A tak diketahui. Dalam buku itu sudah memakai lambang +, - dan sebagai operasi hitung dan memakai huruf untuk yang tak di ketahui.
2.
Aljabar yang Berdiri Sendiri
Spione del Ferro (1465 - 1526) seorang guru besar matematika pada universitas Bologna pada tahun 1515 menulis persamaan pangkat tiga x3 + mx = n , tetapi tidak menerbitkannya, hanya memberitahu kepada seorang mahasiswanya Antonio Fior. Niccolo Fontana atau dikenal dengan Tartaglia (1499 - 1557) lahir di Brescia, Italia, putra seorang petani miskin. Pada serbuan Perancis ke Italia ia di siksa berat sehingga tak dapat berbicara baik. Orang tuanya meninggal dalam pembunuhan masal oleh pasukan Perancis. Maka Tartaglia sebagai seorang yatim piatu harus menghidupi dirinya sendiri, namun mampu belajar dengan baik atas biaya sendiri. Ada kalanya ia belajar dengan menggunakan batu nisan di kuburan sebagai pengganti batu tulis. Kemudian ia menjadi guru sebagai mata pencahariannya. Ia meninggal di Venesia. Tartaglia mendapatkan penghargaan sebagai ahli pertama menggunakan matematika pada ilmu artileri. Ia juga menulis aritmetika tentang perdagangan, dan bea cukai, tentang Euclides dan Archimedes. Pada tahun 1535, ia menerbitkan penemuannya menyelesaikan persamaan pangkat tiga dalam bentuk x3 + px 2 = n. Maka Antonio Fior menentangnya untuk melakukan pertandingan matematika menyelesaikan persamaan pangkat tiga. Maka Tartaglia mempersiapkan diri untuk menyelesaikan persamaan itu dengan dua cara, sedang Antonio hanya menggunakan satu cara. Maka Tartaglia memenangkan pertandingan itu. Girolamo Cardano (1501 - 1576) kelahiran Pavia, seorang yang sangat berbakat dalam berbagai bidang ilmu. Ia menulis tentang aritmetika, astronomi, fisika dan bidang lain. Karyanya paling karyanya paling terkenal adalah mengenai aljabar dengan judul Ars Magna yang ditulis pada tahun 1545. Dalam buku itu dimuatkan hasil penemuan Tartaglia untuk menyelesaikan persamaan pangkat tiga itu. Penyelesaian persamaan kuadrat sudah mengikutsertakan akar-akar negatif. Ia sudah menghitung dengan bilangan imaginer, menghitung akar persamaan x 3 + mx = n dikerjakan sebagai berikut : Perhatikan dulu kesamaan 3
(a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 – b3 a3 – b3 = n
Jika dipilih 3ab = m, 3ab = m b = maka a a6 - ()3 = n,
3
dan
a – b = x
– b3 = a3 = a3 – ()3 = n
a3 (a3)2 – na3 - ()3 = 0
a3 = Pada tahun 1540, Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada Cardano yang menghasilkan persamaan pangkat empat. Tetapi Cardano tak dapat menyelesaikannya. Murid Cardano, Lodovico Ferrari (1522 - 1565) berhasil menyelesaikan soal itu dan penyelesaiannya ditulis juga dalam buku Ars Magna. Persamaan itu ialah : 4
x + px + qx + r = 0 x4 + 2px2 + p2 = px2 – qx – r + p2 2
2
(x + p) = px
2
– qx + p2 – r
Dibentuk lagi persamaan (x2 + p + y) 2 = px2 + qx + p2 – r – 2y(x2 + p) + y2 2
= (p + 2y)x + qx + (p
2
– r + 2py + y 2)
Supaya ruas kanan menjadi kuadrat sempurna harus dipenuhi: 2
q
– 4(p + 2y)(p 2 – r – 2py + y2) = 0
q2 – 4p3 + 4pr – 8p2y – 4y2 – 8p3y + 8ry – 16py2 – 8y3 = 0 8y3 + (4 + 16y)y3 + (8p2 – 8p3 – 8r)y – q2 + 4p3 – 4pr = 0 3
2
2
8y + (4 + 16p)y + (8p
– 8p3 – 8r) + (4p3 – 4pr – q2) = 0
Persamaan pangkat tiga ini diselesaikan menurut cara t erdahulu. Rafael Bombelli (1526 – 1557) lahir di Bolognia, Italia. Ia menulis aljabar yang 3
diterbitkan pada tahun 1572. Ia menulis syarat penyelesaian persamaan pangkat tiga x + mx = n. Jika (
2
+ ( 3 < 0, maka persamaan pangkat tiga itu mempunyai tiga akar riil. Ia
memperbaiki lagi notasi penulisan aljabar yang dipakai ahli sebelumnya. Ia menggunakan
tanda kurung dengan lambang “└ ┘”. Bombelli membedakan penulisan akar pangkat dua dengan R q dan akar pangkat tiga dengan R c . Untuk menulis akar dari bilangan negatif
misalnya ditulis dengan “dim R q 2 “. Misalnya Bombeli akan menulis: sebagai R c └ 5p dim R q 2 ┘ Penyelidikan akar-akar persamaan derajat tinggi berlanjut terus pada masa berikutnya untuk metode penyelesaian secara umum.
3. Aljabar Menggunakan Huruf 3
Francois Viete (1540 - 1630) lahir di Fontenay, Perancis. Ia seorang ahli hukum dan anggota parlemen, tetapi dengan bakat luar biasa ia menggunakan waktu terluangnya mempelajari matematika. Bahkan ia kemudian dipandang sebagai ahli matematika terbesar abad-16 sebagai bapak Aljabar Modern. Ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul Canon Mathematicus Seu Ad Triangula . Buku itulah yang pertama di Eropa yang menyelesaikan soal-soal trigonometri secara sistematis. Ia menyatakan cos n , n = 1, 2, 3,...,9 dengan cos . Buku itu juga menguraikan persamaan pangkat tiga dengan jawaban
trigonometri. Pada tahun 1591 ia menulis aljabar dengan judul In Artem Analiticam Isagoge . Ia mulai menyusun aljabar dengan menggunakan huruf-huruf. Huruf hidup menyatakan yang tak diketahui dan huruf mati untuk yang ditentukan. Sebelum Viete, lambang penulisan pangkat yang berbeda ditulis dengan huruf yang berbeda walaupun basisnya sama. Ia sudah memakai lambang + dan - , tetapi belum memakai lambang untuk sama dengan, ia masih memakai kata aequatur. A X A quadratum X
2
A cubum X3 3
2
Maka 3 px + 2 qx
– 4rx2 = 2s P3 in A cub + Q2 in A quad – R plano 4 in A aequatur
S solido 2. Judul ketiganya Supplementum Geometriae tahun 1593, di dalamnya membahas tentang sudut segitiga, penyelesaian persamaan kubik, dan mengkontruksi heptagon (segi 7) beraturan. 4. Persamaan Derajat Tinggi
Pada tahun 1600, ia menulis aljabar dengan judul De Numerosa Potestantum Resolutione. Dalam buku itu ia menjelaskan pendekatan akar persamaan derajat tinggi secara
berturut-turut. Metode Viete itulah yang dipakai di Eropa hingga tahun 1680. Sebagai pemakaiannya terhadap persamaan kuadrat x2 + mx = n dikerjakan sebagai berikut. Andaikan x1 pendekatan salah satu akarnya, sebut x 1 + x2 pendekatan yang lebih baik maka: (x1 + x2) + m(x1 + x2) = n X2 + 2x1x2 + mx1 + mx2 = n 2
bila x2 demikian kecil sehingga x 2 dapat diabaikan maka diperoleh : x12 + 2x1x2 + mx1 + mx2 = n x2 (2x1 + m) = n – x12 – mx1 atau x2 =
3
Bila x1 + x2 + x 3 pendekatan lebih baik lagi maka proses perhitungan dapat diteruskan lagi. Judul kelima Viete adalah De Aequation Recognitione et Emendione (1615) yang membahas tentang mempelajari sifat-sifat umum persamaan aljabar. Sejarah mencatat usahausaha menyelesaikan persamaan derajat tinggi itu secara umum. Pada tahun 1637 Descartes juga memberi penyelesaian persamaan pangkat empat itu. Pada tahun 1750, Euler mencoba menyelesaikan persamaan pangkat lima. P. Ruffini (1765 - 1823) seorang ahli Fisika Italia mencoba menyelesaikan persamaan pangkat lima itu pada tahun 1805, dan pada tahun 1813 membuktikan bawa penyelesaian persamaannya adalah tak mungkin. Niels Hendrik Abel (1802 - 1829) seorang ahli Matematika Norwegia membuktikan tak mungkin menentukan akar persamaan pangkat lima at au lebih dinyatakan dengan koefisien persamaan itu.
DAFTAR PUSTAKA
Cajori, Florian. 2010. A History of Mathematics Salah Khaduri dkk. Sejarah Matematika Klasik dan Modern.
3
