7.6 SISTEMAS DE ECUACION ECUACIONES ES DIFERENCIALES LINEALES REPASO DE MATERIAL ●
Solución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
INTRODUCCIÓN Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace de cada ecuación en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes reduce el sistema de ED a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas en las funciones transformadas. Se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas para cada una de las funciones transformadas y luego se determinan las transformadas de Laplace inversas en la manera usual.
FIGURA 7.6.1 Sistema resorte/masa acoplado. RESORTES ACOPLADOS Dos masas
() ()
y están conectadas a dos resortes y de masa despreciable con constantes de resorte y respectivamente. A su vez, los dos resortes están unidos como se muestra en la figura 7.6.1. Sean y los desplazamientos verticales de las masas desde sus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema está en movimiento, el resorte B está sujeto a elongación y compresión; por lo que su elongación neta es . Por tanto, se deduce de la ley de Hooke que los resortes A y B ejercen fuerzas y respectivamente, en . Si ninguna fuerza externa se aplica al sistema y si ninguna fuerza de amortiguamiento está presente, entonces la fuerza neta en es . Por la segunda ley de Newton se puede escribir
– ( ) + ( )
= + ( ) 2 = ( ).
De igual manera, la fuerza neta ejercida en la masa decir, Por Por tanto, se tiene
( ).
se debe sólo a la elongación neta de B; es
En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado se representa por el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden
= + ( ) = ( )
(1)
=6, = 4 , = 1,
En el ejemplo siguiente se resuelve (1) bajo las suposiciones de que y que las masas comienzan desde sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias opuestas.
= 1
EJEMPLO 1 Resortes acoplados Resuelva
sujeta a
+10 4 = 0 4 + + 4 = 0 (0) = 0 , (0) =1,(0) = 0 , (0) =1.
(2)
SOLUCIÓN La transformada de Laplace de cada ecuación es
donde
() (0) (0) +10() 4() = 0 4() + () (0) () + 4() = 0, () =ℒ()} () =ℒ()} ( + 10) () 4() = 1 4() + ( + 4) () = 1 () 1/5 6/5 () = ( + 2)( = + )( + 12) 12) + 2 + 12, () = 5√ 12 ℒ− √ +2 2 + 5√ 61212 ℒ− √ +121212 = √ 102 √ √ 2+ 2 + √ 53 2√ 2√ 3.3. () +6 2/5 3/5 () = ( + 2)( = )( + 12) 12) + 2 + 12, () = 5√ 22 ℒ− √ +2 2 5√ 31212 ℒ− √ +121212 = √ 52 √ √ 2+ 2 + √ 103 2√ 2√ 3.3.
Resolviendo (3) para
y
}. El sistema anterior es igual a
y usando fracciones parciales en el resultado, se obtiene
y por tanto
Sustituyendo la expresión para
y
(3)
en la primera ecuación de (3), se obtiene
Por último, la solución del sistema (2) es
Las gráficas de masa.
y
() = √ 52 √ 2+ √ 103 2√ 3 () = √ 52 √ 2+ √ 103 2√ 3
(4)
de la figura 7.6.2 revelan el complicado movimiento oscilatorio de cada
FIGURA 7.6.2 Desplazamientos de las dos masas. REDES En (18) de la sección 3.3 vimos que las corrientes
() ()
e de la red que se muestra en la figura 7.6.3 con un inductor, un resistor y un capacitor, estaban gobernadas por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
+ =() + = .
(5)
Resolvemos este sistema con la transformada de Laplace en el siguiente ejemplo.
FIGURA 7.6.3 Red eléctrica. EJEMPLO 2 Una red eléctrica Resuelva el sistema en (5) bajo las condiciones inicio las corrientes e son cero.
SOLUCIÓN Debemos resolver
() = 60 , = 1 ℎ, = 50 Ω, = 10−
y al
(0) =0,(0) = 0
+50 = 60 50(10−) + = 0
sujeta a . Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema y simplificando, se obtiene
() + 50() = 60 200() + (+200)() = 0 () =ℒ()} () =ℒ()} 6/5 6/5 60 () = 60+12000 = (+100) +100 (+100) 12000 = 6/5 6/5 120 () = (+100 ) +100 (+100)
donde e . Resolviendo el sistema para los resultados en fracciones parciales, se obtiene
e
y descomponiendo
Tomando la transformada inversa de Laplace, encontramos que las corrientes son
() ()→0
() = 65 65 − 60 − () = 65 65 − 120− () /=6/5 → − () = () () =60 →∞
Observe que tanto como del ejemplo 2 tienden hacia el valor Además, puesto que la corriente a través del capacitor es observa que conforme .
∞.
conforme
, se
PÉNDULO DOBLE Considere el sistema de péndulo doble que consiste en un péndulo unido a otro como se muestra en la figura 7.6.4. Se supone que el sistema oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad, que la masa de cada varilla es despreciable y que ninguna fuerza de amortiguamiento actúa sobre el sistema. En la figura 7.6.4 también se muestra que el ángulo de desplazamiento se mide (en radianes) desde una línea vertical que se extiende hacia abajo desde el pivote del sistema y que se mide desde una línea vertical que se extiende desde el centro de masa . La dirección positiva es a la derecha; la dirección negativa es a la izquierda. Como se esperaría del análisis que condujo a la ecuación (6) de la sección 5.3, el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento es no lineal:
FIGURA 7.6.4 Péndulo doble.
( +) + cos( ) +() sen( ) + ( +) = 0 + cos( )+() sen( )+ = 0. () () cos( ) ≈1,sen( ) ≈ 0, sen ≈ , sen ≈ ( +) + + ( +) = + + = .
Pero si se supone que los desplazamientos aproximaciones reemplazar el sistema (6) por la linealización
y
son pequeños, entonces las , nos permiten
(7)
EJEMPLO 3 Doble péndulo Se deja como ejercicio completar los detalles de usar la transformada de Laplace para resolver el sistema (7) cuando y . Debe encontrar que
=3, =1, = =16,(0) = 1 , (0) =1,(0) = 0 (0) = 0 () = 14 cos √ 23 + 34 cos2 () = 12 cos √ 23 32 cos2 =0
En la figura 7.6.5 se muestran con la ayuda de un SAC las posiciones de las dos masas en y en tiempos posteriores. Véase el problema 21 en los ejercicios 7.6.
FIGURA 7.6.5 Posiciones de masas del péndulo doble en diferentes tiempos.
EJERCICIOS 7.6 En los problemas 1 a 12, use la transformada de Laplace para resolver el sistema dado de ecuaciones diferenciales.
1. =+, Solución:
=2,
(0) =0,
(0) = 1
2. =2+ , =8,
(0) =1,
(0) = 1
3. =2,
(0) =1,
(0) = 2
Solución:
Solución:
=2,
4. +3+ =1,
+ = ,
5. 2 + 2=1,
+ 33=2,
Solución:
Solución:
(0) =0,
(0) =0,
(0) = 0
(0) = 0
6. + +=0, Solución:
7. +=0, Solución:
+ +2=0,
+=0, (0) =0,
(0) =0,
(0) = 1
(0) =2, (0) = 0, (0) = 1
8. + + =0, + 4 =0, (0) =1, (0) = 5
(0) =0, (0) =1,
Solución:
9. + = , =4, (0) =8, Solución:
(0) =0, (0) = 0, (0) = 0
10. 4+ = 6 , ′′(0) = 0
+22 =0, (0) =1, (0) =0, ′(0) = 0,
Solución:
11. +3 +3=0, Solución:
+3=−, (0) =0,
(0) =2, (0) =0,
12. =42+2(1), =3+(1), (0) =0, (0) = 12, Solución:
13. Resuelva el sistema (1) cuando
1,(0) = 0. Solución:
=3, =2, =1, = 1 (0) =0, = (0)1,(0) = y
14. Construya el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento vertical en línea recta de los resortes acoplados que se muestran en la figura 7.6.6. Use la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando y .
1, (0) = 0 , (0) = 1
=1, =1, =1, =1, = 1 (0) =0,(0) =
FIGURA 7.6.6 Resortes acoplados del problema 14. Solución:
15. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para las corrientes red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.7 es
.
c) Determine la corriente
().
FIGURA 7.6.7 Red del problema 15. Solución:
e
en la
+ + =() + + = (). = 5 Ω, = 0.01 ℎ, = 0.0125 ℎ, = 100 , (0) = 0
b) Resuelva el sistema del inciso a) si
(0) = 0
() ()
e
16. a) En el problema 12 de los ejercicios 3.3 se pide demostrar que las corrientes la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.8 satisface
+ + =() + + 1 = 0 = 10 Ω, = 5 Ω, = 1 ℎ, = 0.2 . 0 ≤ < 2 () = 120, 0, ≥2, b)(0) = 0, (0) = 0 () Resuelva el sistema si
. Determine la corriente
.
FIGURA 7.6.8 Red del problema 16. Solución:
() () e
de
17. Resuelva el sistema dado en (17) de la sección 3.3 cuando
1 ℎ,() = 50 ,(0) = 0 (0) = 0 e
Solución:
.
= 6 Ω, = 5 Ω, = 1 ℎ, =
18. Resuelva (5) cuando Solución:
19. Resuelva (5) cuando Solución:
= 60 , = ℎ , = 50 Ω, = 10− , (0) =0 (0) = 0
.
= 60 , = 2ℎ , = 50 Ω, = 10− , (0) =0 (0) = 0
20. a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para la carga en el capacitor la corriente
()
en la red eléctrica que se muestra en la figura 7.6.9 es
+ 1 + =() + 1 =0. =1 ℎ, = 1 Ω, = 1 Ω, = 1 . 0, −, 0 < ≥< 1,1 () = {50
b) Determine la carga en el capacitor cuando
(0) =0 (0) = 0
.
FIGURA 7.6.9 Red del problema 20. Solución:
()
y
Tarea para el laboratorio de computación 21. a) Use la transformada de Laplace y la información dada en el ejemplo 3 para obtener la solución (8) del sistema que se presenta en (7). y en el plano . ¿Cuál masa tiene b) Use un programa de graficación para trazar desplazamientos extremos de mayor magnitud? Use las gráficas para estimar la primera vez que cada masa pasa por su posición de equilibrio. Analice si el movimiento del péndulo es periódico.
() ()
c) Trace la gráfica de
() ()
()()
y en el plano como ecuaciones paramétricas. La curva que definen estas ecuaciones paramétricas se llama curva de Lissajous.
=0 () () = 1,2,...,10 () = ()
d) En la figura 7.6.5a se presentan las posiciones de las masas en
. Observe que se ha usado 1 radián . Use una calculadora o una tabla de aplicación de un SAC para construir una tabla de valores de los ángulos y para . Después dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
≈57.3°
e) Use un SAC para encontrar la primera vez que
y calcule el correspondiente valor angular. Dibuje las posiciones de las dos masas en esos tiempos.
f) Utilice un SAC para dibujar las rectas apropiadas para simular las varillas de los péndulos, como se muestra en la figura 7.6.5. Use la utilidad de animación de su SAC para hace r un “video” del movimiento del péndulo doble desde hasta usando un incremento de 0.1. [Sugerencia: Exprese las coordenadas de las masas y respectivamente, en términos de y .] Solución:
= 0 =10 ( (), ()) ((),()) () ()
