Contenido 3.1.-
Señales y Sistemas 1
Definición de la Transformada Transformada d e Laplace (TL) 3.2.-
3.3.-
Teoremas Te oremas y Propi edades d e la TL 3.4.-
Señales y Sistemas 1 (6051)
ANALISIS DE SISTEMAS CONTINUOS USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.5.-
Evaluación de Transformada Transformada Inversa de Laplace
Solución de Ecuaciones Difere Diferenciales nciales 3.6.-
3.7.-
Evaluación de la Transformada Transformada de Laplace
Respuesta Impulso y Función de Tr Transfere ansferencia ncia
Diagrama de Bloques y Gráfico de Flujo de Señal Ingeniería Electrónica - UNET
Definición de la Transformada de Laplace (TL)
Definición de la Transformada de Laplace (TL)
Respuesta forzada a una señal compleja
Señal exponencial compleja:
→
x(t) = e st
→
2
s = σ + j ω
Transformada Bilateral ◘ Sistemas no causales:
→
existe para todo valor de t
∞
y(t ) =
∞
∞
∫ h(τ ) x(t − τ )d τ =
( − ) ∫ h(τ )e d τ = e
−∞
F (s) =
∞
s t τ
−∞
st
− ∫ h(τ )e d τ = H (s)e
sτ
st
Variable de Laplace →
H(s)
dt → s ∈ RC
⇒ s = σ + jω
Región de convergencia
propósito: evaluar Respuesta en Frecuencia Frecuencia del sistema
Señales y Sistemas 1 (6051)
− st
−∞
−∞
Función de Transferencia del sistema LIT:
∫ f (t )e
L { f(t)} ≡
Señales y Sistemas 1 (6051)
(RC) ⇒ valores de s que garantizan la existencia de F(s)
Transformada inversa
⇒ integral de inversión σ 1 + j∞
f (t ) =
Respuesta permanente senoidal: H(jω )
→
→
{F (s)}
≡
∫ F (s)e
st
ds
σ 1 − j∞
s = j ω
Notación simbólica
Transformada de Fourier de tiempo continuo (TFTC) Ingeniería Electrónica - UNET
-1
L
3
⇒ F(s) ↔ f(t)
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4
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1
Definición de la Transformada de Laplace (TL)
Transformada Unilateral ◘ Sistemas causales: →
Evaluación de la TL
Transformada de Señales Elementales
solo existen para t ≥ 0
Señal impulso unitario: →
∞
∞
∫
−st
F ( s ) ≡ f (t )e dt → s ∈ RC
1 u(t ) ↔ , Re{s} > 0 s 1 st ∞ 1 st st (s) =rampa u(t ) e − dt = ∫ e − dt = − e − 0 = Señal unitaria: X ∫ 1 s s −∞ x(t) = r(t) = t 0u(t) r (t ) ∞↔ 2 , Re{s} > 0 ∞ ∞ s1 e− st − st − st (s) =exponencial (− st − 1) = 2 tu(t )e dt = ∫ te dt = Señal causal: X ∫ 2 1 at s −∞ 0 , Re{s + a} > 0 e − us(t ) ↔ x(t) = e-at u(t) 0 ∞ ∞ s1 + a −(s + a)t ∞ 1 − at − st −(s + a)t = (s) = X t )e dt = ∫ e dt = − e Señal senoidal ∫ e u(causal: ω 0 0 + a + a s s −∞ 0 x(t) = sen(ω 0t) u(t) , Re{s} > 0 sen(ω 0 t )u( t ) ↔ 2 j ω t j ω t s 1+ ω 02 e u(t ) − e u(t ) 1 1 ω0 x(t ) = → X (s) = − = s 2 + ω2 2 j 2 j s − jω0 s + jω0 0 ∞
Límite inferior:
+
Señales y Sistemas 1 (6051)
+
→
Discontinuidad en t = t 0 :
integral de inversión → f (t 0 ) =
+
→
(t ) + f (t ) 0
−
0
+
Región de convergencia ◘
→
6
Evaluación de la TL
Señales causales, anticausales y no causales Señales causales:
0
Ingeniería Electrónica - UNET
5
Evaluación de la TL
◘
−
0
2
Ingeniería Electrónica - UNET
∞
→
→ 0- → posible discontinuidad de f(t) en t = 0
→
δ(t ) ↔ 1, ∀s
∞
st
→
0−
Señales y Sistemas 1 (6051)
x(t) = δ (t)
− (s) =escalón X dt = ∫ δ(t )dt = 1 Señal ∫ δ(t )eunitario: − ∞ x(t) = u(t) −∞
TUL ≡ TBL
Factor de convergencia de e-σ t la TL
∞
X (s) =
→
∫ [ x(t )e ] e − σ t
− jωt
dt
−∞
Región de convergencia:
→ establece diferencia entre causalidad y anticausalidad Señales y Sistemas 1 (6051)
Señales y Sistemas 1 (6051)
Función de orden exponencial
Condiciones suficientes para la existencia de la TLU
α
0 < t < T → x(t) absolutamente integrable
t > T → x(t) ∞ x(función t )dt
< absoluta x(det )eTL converge M Integral t → ∞ y uniformemente
T
Señal no causal : → Señal no causal = Señal causal + Señal anticausal
Ingeniería Electrónica - UNET
x(t )e− αt t → ∞ < M
7
∫
− αt
Re{s} > α
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8
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2
Evaluación de la TL
Evaluación de la TL
Diferencia en TL de señales causales y anticausales
TABLA DE PARES DE
◘
Cambio de signo
◘
La RC identifica tipo de causalidad
◘
Forma general de la RC
→
X A(s) = - X C (s) ← →
Ejemplo 3.1
TRANSFORMADAS FUNDAMENTALES
describe completamente la TL
Señales y Sistemas 1 (6051)
Señales y Sistemas 1 (6051)
CAUSAL
ANTICAUSAL
NO CAUSAL
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Ingeniería Electrónica - UNET
9
Propiedades y Teoremas de la TL
Propósito
Linealidad:
→
Propiedades y Teoremas de la TL
Facilitar la evaluación de X(s)
Desplazamiento Real: y(t ) = x(t − t 0 ) ⋅ u(t − t 0) ∞
a. Producto por una constante:
Y (s) =
∫ x(t −
∞
∫ x(t −
st t 0)u(t − t 0)e− dt =
Cuatro0 situaciones diferentes: +
y(t ) = Kx(t )
b. Combinación Lineal: y(t ) = a1 x1(t ) + a2 x2(t )
− s(t 0 + τ )
+
1
s
y(t ) = sen(ω(t − t 0 )) ⋅ u(t )
0
+ ω
d τ = e − X (s) st 0
2
s 2 + ω2
ω cos(ωt 0) + s sin(ωt 0) s 2 + ω2 e - st
0
11
− s τ
ω cos(ωt 0 ) − s sin(ωt 0 )
y(t ) = sen(ω(t − t 0 )) ⋅ u(t − t 0) Ingeniería Electrónica - UNET
∫ x(ωτ )e 0+ 2
e - st
2
d τ = e
− st 0
0+
y(t ) = sen(ωt ) ⋅ u(t − t 0 )
a1 X 1(s) + a 2 X 2(s), RC X ∩ RC X
0
st
∞
∫
y(t ) = Y sen ωt = ) ⋅ u( x t ) (( s) (τ )e
Señales y Sistemas 1 (6051)
e- st X (s), RC X
t 0 )e − dt
t 0
∞
KX (s), RC X Señales y Sistemas 1 (6051)
10
s 2
ω + ω
2
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12
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3
Propiedades y Teoremas de la TL
Desplazamiento Complejo: y(t ) = e
− at
Y (s) =
Derivada en el Dominio t: a. Primera Derivada:
⋅ x(t )
∞
∞
∫ e
− at
− st
x(t )e dt =
0+
Propiedades y Teoremas de la TL
∫ x(t )e
y(t ) =
−(s + a)t
dt = X (s X + (as)+ a), RC X − a
∞
Y (s) =
∫ x(at )e
− st
dt → t =
0+
τ
a
b. Segunda Derivada: 1
→ Y (s) =
a
∞
1
y(t ) =
1
a(s a) e s a), d τ RC τ )( = × X ∫ xa( X a −(s a)τ
X
0+
d 2 x(t ) 2
dt
Señales y Sistemas 1 (6051)
c. Derivada de Orden-N:
y(t ) = t ⋅ x(t )
y(t ) = ∞
∞
− st
dt N
+
∞
∂
+
+
x
+
(0 ) 14
Propiedades y Teoremas de la TL
Integral Definida:
Teorema del Valor Inicial:
→
+
x(0 ) = lim x(t ) t → 0 +
∞
∫ x(τ )d τ
P 6 .a
→
0+
∫ x(t )e ,
∫ 0 ∞
,
lim x (t )e s →∞
− st
+
dt = sX (s) − x(0 ) → evaluandolim s →∞ + sX (s)
x(t ) = lim 0 x(0 ) = lim s →∞ t → 0
0+
1 1 s} > 0 X (s), RC ∩ Re{ , 4.a y(t ) = x(t ), y(0) = 0 P → sY (s) = s X (s) → Y ( X s) = X (s) s
+
+
dt = lim[sX (s) − x(0 +)] = lim sX (s) − x(0 +)
− st
s →∞
s→ ∞
CONDICION: Que exista el límite
Convolución:
y(t ) = h(t ) ∗ x(t ) Señales y Sistemas 1 (6051)
N − k (k − 1)
Ingeniería Electrónica - UNET
13
t
∑s k = 1
Propiedades y Teoremas de la TL
y(t ) =
N
s N X (s) −
− st
Ingeniería Electrónica - UNET
,
d N x(t )
d − st RC X X (s) = x(t )e dt = ∫ t )](es), dt [ x(t )e ]dt = − ∫ [-t ⋅ds x( X ∫ ds ds 0 0 ∂s 0 d
s X (s) − sx(0 +) − x(0 +),∈ RC X 2
Multiplicación por t: d
,
= x (t )
dt
s X (s) − x(0 +),∈ RC X
Escalamiento en el Dominio t: y(t ) = x(at )
Señales y Sistemas 1 (6051)
dx(t )
0+
∞
Y (s) =
∫ 0
+
∫ h(τ ) x(t − 0 ∞
+
∞ − st
τ )d τ e dt = ∞
λ = t − τ → Y (s) =
∫ 0
+
∞
Y (s) =
∫ +
∫
Señales y Sistemas 1 (6051)
⋅ X (s),− RC ∩ RC st H X )(s) h(τ x(t − τ )e dt H d τ ∞
∫
Pueden existir resultados s λ τ h(τ ) ∫ x( diferentes d para la RC de la convolución λ)e λ d τ 0 h(τ )e sτ d τ ∫ x( λ)e s λ d λ = H (s) ⋅ X (s) 0 0
+
Teorema del Valor Final: P 6 .a
→
0
t → ∞
, e − dt = sX (s) − x(0 +) → evaluandolim ∫ x (t ) x (∞) = lim x(t ) = lim sX (s) s →0 0
st
t → ∞
s →0
t st lim ∫ x (t )e dt = ∫ x (t )dt = lim ∫ x (τ )d τ = lim x(t ) − x(0 ) s 0 t t 0 0 CONDICION: Que exista el límite y0 que sX(s)sea una Función Analítica ∞
− ( + )
∞
,
→
+
∞
−
,
+
+
+
,
→∞
+
→∞
Función Analítica → Re {raíces+ del denominador} < 0 + → lim x(t ) − x(0 ) = lim sX (s) − x(0 )
−
t → ∞
+
0 Ingeniería Electrónica - UNET
x(∞) = lim x(t )
+
+
∞
−
→
∞
15
s →0
Ingeniería Electrónica - UNET
16
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4
Propiedades y Teoremas de la TL
Propiedades y Teoremas de la TL
TABLA DE
PROPIEDADES Y
TRANSFORMADA DE SEÑALES PERIODICAS x p(t ) = x1(t ) + x2(t ) + x3(t ) +
TEOREMAS
L xp(t)
x1(t ) ↔ X 1(s) 1
x2(t ) = x1(t − T ) ⋅ u(t − T )
t
0 0
x3(t ) = x1(t − 2T ) ⋅ u(t − 2T ) Señales y Sistemas 1 (6051)
1
2
3
4
5
x p(t ) = x1(t ) + x1(t − T ) ⋅ u(t − T ) + x1(t − 2T ) ⋅ u(t − 2T ) + L
Señales y Sistemas 1 (6051)
→ X p(s) = X 1(s) + e
− sT
X 1(s) + e− X 1(s) + L 2 sT
k
∞
→ X p(s) = X 1(s) ⋅ [1 + e
− sT
+ e
+ L] = X 1(s) ⋅
− 2 sT
∑ (e ) − sT
k = 0
X p(s) = Ingeniería Electrónica - UNET
Fracción impropia causal → m = n
Fracción propia → m < n
→
dividir
→
X (s) =
Y i(s) = k + Y p (s)
N (s)
=
D(s)
s
n
+ an − 1 s
Caso 1: Polos reales simples
Señales y Sistemas 1 (6051)
X (s) =
Polos y ceros de función racional
=
D(s)
→
(s − p1)(s − p2)L(s − pn)
n− 1
Polos de Y(s) → valores de s para Y(s) = ∞ → raíces de D(s)
Métodos
+ L + a1 s + a0
teorema de expansión d e Heaviside =
k 1 (s − p1) =
k i
Ceros de Y(s) → valores de s para Y(s) = 0 → raíces de N(s) Señales y Sistemas 1 (6051)
Ingeniería Electrónica - UNET
x(t) = k 1e
¿Solución estable? 19
2
N s
k
+ L( + ) n (s − pn) i
D(s)s = p
D(s)s = p
i
i
3. Sustitución → polos múltiples
k 2
((ss −− p p) )
i
= k 1
1
1 − p t T 5 k i ← → k i ⋅ e s + pi
2. Fracciones parciales → polos reales o complejos simples
+
N (s) N ( Expresión s) k (s − p1) k (s − p1) (s − p1) =alterna k 1 + 2 + L + n (s − p1 ) → (s − p2) (s − p n) D(s) D(s) s = p ((ss) d ds ( pi) N )] [ s − N (s − pi ) N (s) 0 k i = lim = → k i = lim k = i s → p s p → ' D(s) 0 d ds [ D(s)] Factor típico i
1. Tablas de pares de transformadas y propiedades
FP
→
bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + b0
k i → N residuo del polo N p (s) (si)de X(s)
18
Método de fracciones parciales
N (s) polinomio orden - m Función racional compleja → Y (s) = → D(s) polinomio orden - n
⋅ X 1 (s)
Evaluación de la Transformada Inversa de Laplace
Métodos para obtener la T ransformada Inversa
1 − e− sT
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17
Evaluación de la Transformada Inversa de Laplace
1
pi < 0
→
− p1 t
→
+ k 2 e
− p2 t
i
+ L + k n e
− p n t
Exponencial decreciente
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5
Evaluación de la Transformada Inversa de Laplace
Caso 2: Polos complejos conjugados simples X (s) =
→
Evaluación de la Transformada Inversa de Laplace
p0=α+jω; p0*=α-jω
Caso 2: Polos complejos conjugados simples
→
p0=α+jω; p0*=α-jω
N (s) N (s) k k * = = + + X 1(s) * D(s) (s − p0 )(s − p0 ) D1(s) s − p0 s − p0* 144 4 244 4 3 X 0(s)
Forma típica
2
k =
k → d el caso 1
N (s)
=
(s − p ) D(s) *
0
Señales y Sistemas 1 (6051)
Calcular A y θ
2
(s - α − jω )(s - α + jω)=(s − α) + ω ← →T 8 o T 9
1
s = p 0
N ( p0 ) *
( p0 − p0 ) D1( p0 )
=
N ( p0 )
= C + jD 2 jω D1( p0 )
Solución expandida p0 t
x0(t )= ke
p *0 t
+ k e *
x jD (t )= =(C + 0 )e
N ( p0 ) 2 jω D1( p0 )
→ k =
Señales y Sistemas 1 (6051)
A
ω D1( p0)
( α − jω)t
Solución agrupada
θ
→
x0(t )= e t ( A ⋅ sin(ωt + θ )) α
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21
Evaluación de la Transformada Inversa de Laplace Caso 3: Polos reales múltiples N (s)
=
→
Solución agrupada
x0(t )= e ( A ⋅ sin(ωt + θ ))
X (s)=
s = p0
A
αt
(s) A A 1 N cos(θ ) 2 ω D1(s) 2
∠=θ = sin(θ )− j = C + A jD
j = 2 j sin(θ )− j cos(θ ) = Acos(θ )+ jAsen(θ )= Ae = A∠ θ 2 estable?2 α = Re{ p }< 0 ¿Solución Oscilación amortiguada 0
N ( p0)
⋅ cos( e (+2(C C − jD)e ωt )− 2 D ⋅ sin(ωt )) αt
(α + jω)t
C =( A 2)sin(θ ) D = −( A 2)cos(θ )
N (s)
=
A1
A2
+
Evaluación de la Transformada Inversa de Laplace
Polo p0 se repite k-veces
→
A
Método de sustitución
→
A
k −1 k +L+ + + X 1(s) k −1 k (s − p ) (s − p )
D(s) (s − p0)k D1(s) s − p0 (s − p0 )2
22
0 0 144 4 4 4 4 4 4 244 4 4 4 4 4 4 3
Polos reales múltiples y complejos conjugados
Evaluar X(s) para m-1 valores numéricos de s (s ≠ pi)
Resolver m-1 ecuaciones lineales simultáneas
X 0( s)→k términos
(s) k N k − 1 k − 2 k (s − p0 ) )(s) )+ = A1(s − p0 N + A2(s − p0 ) + L + X (1(ss)) ( A d Ak −1(s − p0 N s)k +(s − pd 0 ) N sk ) N (s) Ak −1 = (s − p0)k = ) Ak =(s − D p( = 0 ds D(s) s = p ds D1(s) s = p D(s)s = p D1(s)s = p (s) N (s) k N ( ) A s p = − = k 0 d (s) k N k 2 EN FORMA GENERAL k 3 k ( p s))sk = p1 X ( D (s − p0 ) ( D ) 1( (s) = p0 ) X 1(s) s− = A1(k − 1)(s − p0 ) + A2(k − 2)(s − p0 ) + L + Ak 1 + k 0 1 s + s −s p ds D(s) (s) d d N (s) k N (s − p0 ) = 1 d k i N ( A s) k − 1 = Ai = i ds = 1,2, K, k D(s) s = p ds D1(s) ( K −i )!d sk i D (s ) 0
0
0
−
Señales y Sistemas 1 (6051)
−
0
−
−
0
−
−
Factor típico en x0 (t)
T4
1
s= p
k
(s - p o ) Ingeniería Electrónica - UNET
← →
Ak (k - 1)!
Señales y Sistemas 1 (6051)
Dos casos poco comunes:
X(s)
no es fracción propia
X(s)
P2 incluye factor de la forma e-st o →
s = p 0
0
0
Ak
'
0
→
Efectuar la división atraso t o en x(t)
k -1 p o t
t e
23
Ingeniería Electrónica - UNET
24
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6
Solución de Ecuaciones Diferenciales
Modelo fundamental de un sistema LIT x(t)
Sistema LIT
Solución de Ecuaciones Diferenciales →
y(t)
Componentes de la solución de una ED usando TL
Respuesta natural y respuesta forzada
Solución → Evaluar respuesta dinámica del sistema
Procedimiento general:
Señales y Sistemas 1 (6051)
Relación E S
y(t) = y RN (t) + y RF (t)
1. Respuesta natural → solo c.i. → x(t) = 0 2. Respuesta forzada → solo x(t) → c.i. = 0
Señales y Sistemas 1 (6051)
1. Normalizar la ED → an = 1 2. Transformar la ED al dominio - s → P6
→
Respuesta transitoria y respuesta permanente
y(t) = y RT (t) + y RP(t)
Ecuación algebraica
1. Respuesta transitoria → polos del sistema en Y(s) 3. Resolver ecuación algebraica → Y(s) 4. Obtener la TIL de Y(s) → Tablas, FP o Sustitución
2. Respuesta permanente → polos de la entrada en Y(s)
y(t)
→
Ingeniería Electrónica - UNET
Ingeniería Electrónica - UNET
25
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Respuesta Impulso
Modelo del sistema en el dominio - t → reposo
→
Función de Tr ansferencia
RF
Modelo del sistema en el dominio - s X(s) x(t)
δ(t)
Señales y Sistemas 1 (6051)
x(t)
h(t)
Sistema LIT (reposo) y(t)
Resolver ED para c.i. = 0
h(t) H(s)
Y(s) y(t)
P6
Y (s) (t) == x(t) X(s)∗⋅ H(s) h(t) → → y
h(t)
Señales y Sistemas 1 (6051)
→ y(t) = x(t) ∗ h(t)
Definición de la Función de Transferencia (FT) H(s) =
Y(s) X(s)
x(t ) = δ(t ) →
reposo
y(t ) = h(t ) X (s)= 1 H (s) = Y (s)
TL H(s)←→ h(t )
Relación entre la TL de la salida y la TL de la entrada, asumiendo que el sistema se encuentra en reposo ( c.i.=0 ) La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso
x(t) = δ(t) → X(s) = 1
→
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26
27
Ingeniería Electrónica - UNET
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7
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Función de Tr ansferencia
Propiedades 1. La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso 2. Es posible reconstruir la ED a partir de la respuesta impulso
H(s) =
Y(s)
=
N(s)
X(s) D(s)
FT → circuito en reposo → c.i. = 0 → respuesta forzada
Componentes del circuito RLC en el dominio – s
→ D(s)⋅ Y (s)= N (s)⋅ X (s)
3. Componentes del sistema → modelados por una FT → bloques
Señales y Sistemas 1 (6051)
Análisis de circuitos usando FT
diagrama transformado
fuentes de voltaje → v(t)
Señales y Sistemas 1 (6051)
Limitaciones del modelo de FT 1. Sistemas en reposo → respuesta forzada fuentes de corriente → i(t)
2. Sistemas con una entrada y una salida → SISO 3. Sistemas lineales Ingeniería Electrónica - UNET
Ingeniería Electrónica - UNET
29
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Componentes del circuito RLC en el dominio – s
30
Componentes del circuito RLC en el dominio – s
diagrama transformado
resistencia → R → ohms
diagrama transformado
capacitancia → C → faradios
v(t )= R ⋅ i(t )
(s) ↔ V (s)= R ⋅ I
inductancia → L → henrios Señales y Sistemas 1 (6051)
Señales y Sistemas 1 (6051)
v(t )= L ⋅
di dt
↔ V (s)= L[sI (s)− i(0 )] +
→ I (s)=
1 sL
V (s)+
i(0 + ) s
Anulando fuentes de c.i. → respuesta forzada
+ 1 i(0 ) (s)− i(0 )] → I (s)= ↔ V (s)= L[sI v(t )= L ⋅ V (s)+ dt sL s
di
+
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Ingeniería Electrónica - UNET
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Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Análisis de sistemas de control
Sistema de control de lazo cerrado
→
R(s)
E(s)
+ -
realimentación (feedback) M(s)
Gc(s)
Componentes: representados por su FT
Señales y Sistemas 1 (6051)
G c(s) G p(s) H(s)
→ →
→
G p (s)
→
R(s)
Señales y Sistemas 1 (6051)
y(t) r(t) e(t) m(t)
→
→ →
Expresión de T(s): a Y (s)= G(s)⋅ E (s)= G(s)⋅ [ R(s)− H (s)⋅ Y (s)]
[1 + G(s)⋅ H (s)] ⋅ Y (s)= G(s)⋅ R(s) G(s)
→
T (s)=
→
[1 + G(s)⋅ H (s)]
→
→
señal de control
→
acción de control Ingeniería Electrónica - UNET
33
Estabilidad y causalidad en el dominio - s
∞
Estabilidad en el dominio - t a
∞
∫ h(t )dt < ∞
Estabilidad en el dominio - t a
−∞
Estabilidad en el dominio -s
Señales y Sistemas 1 (6051)
→
→
Re{ p k } < 0
n
k =1
C k
sistema anticausal → polos de H(s) en el SPD
→
Re{ p k } > 0
p k t
k = 1 n
H (s ) = −
(s − pk )
C k
∑ (s − p ) k =1
k = 1
, Re{s} < min(Re{ pk })
k
sistema no causal
35
caso de polos simples
n
, Re{s}> max(Re{ pk })
Ingeniería Electrónica - UNET
→
h(t )= ∑ C k e u(−t )
Señales y Sistemas 1 (6051)
p k t
n
Estabilidad en el dominio -s
h(t )= ∑ C k e u(t )
H (s)= ∑
∫ h(t )dt < ∞ −∞
caso de polos simples
sistema causal → polos de H(s) en el SPI
34
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Estabilidad y causalidad en el dominio - s
Y(s)
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
G p(s)
H(s)
R(s)
variable controlada (v.c.) propósito del sistema de control señal de referencia valor deseado de la v.c. set point señal de error exactitud del sistema de control Ingeniería Electrónica - UNET
Y (s)
M(s)
Definición: a T (s)≡
transmisor – medidor
→
Gc(s)
T(s)
Señales:
E(s)
+ -
controlador proceso o planta →
Función de Transferencia de lazo cerrado ( FTLC )
Y(s)
H(s)
bloque de realimentación
Análisis de sistemas de control
componente causal y componente anticausal Ingeniería Electrónica - UNET
36
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9
Análisis de Sistemas y la Transformada de Laplace
Estabilidad y causalidad en el dominio – s
Señales y Sistemas 1 (6051)
Estabilidad y ROC:
RC no puede incluir polos
RC debe incluir el eje - jω
Polo en el extremo de la RC
Un sistema causal estable tiene todos sus polos en el SPI Un sistema anticausal estable tiene todos sus polos en el SPD Para que un sistema sea estable la ROC debe incluir el eje - jω
Nota: Se obtiene el mismo resultado para polos múltiples. Ingeniería Electrónica - UNET
37
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