Habla de ejemplos de sistemas dinámicos cotidianosDescripción completa
Una comparación entre los sistemas continuos y los sistemas discretos con miras a su empleo en los Métodos de elementos finitos.Descripción completa
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Sistemas de Control Continuos y Discretos - Carlos ValdiviaFull description
Descripción: operaciones de tensores
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Teoría de Control Control Automático Automá tico II
Carla González 2015
Teoría de Control Automático II
Discretización de sistemas continuos i. Discretización de un controlador analógico ii. Método de Euler (I) iii. Método de Euler (II) iv. Método trapezoidal v. Relación entre los polos en s y z
i. Discretización de un controlador analógico
e(t)
Gc(s)
u(t)
T0 e(t)
•
e(kT0 )
Ge(z)
C(kT0 )
Bo(s)
u(t)
Se busca sustituir el regulador en tiempo continuo por un conjunto regulador digital, muestreador, y bloqueador cuyo comportamiento global sea equivalente al del controlador analógico existente.
•
En general se utilizan aproximaciones numéricas de la ecuación diferencial que representa al controlador en tiempo continuo.
i. Discretización de un controlador analógico Suponemos que el controlador continuo tiene la siguiente expresión:
Gc (s)
=
U (s) E (s)
=
1 s
la cual corresponde a una integración de la forma: u(t)
= u(t0 ) +
Z
t
e(t)dt
t0
Las aproximaciones numéricas se basan en aproximar la integral de la señal de error por la suma de rectángulos o trapezoides.
ii. Método de Euler (I) e(t)
t
El área bajo la integral se aproxima por un rectángulo de base T0 (periodo de muestreo) y altura el valor de la señal del error en el instante k. u(k +
1) = u(k) + T 0 e(k )
Transformada z
s=
z
−1 T 0
Ge (z )
=
U (z ) E (z )
=
T 0 z
−1
iii. Método de Euler (II) e(t)
t
El área bajo la integral se aproxima por un rectángulo de base T0 (periodo de muestreo) y altura el valor de la señal del error en el instante k+1. u(k +
1) = u(k) + T 0 e(k + 1)
Transformada z
s=
z
−1
T 0 z
Ge (z )
=
U (z ) E (z )
=
T 0 z z
−1
iv. Método Trapezoidal (Método de Tustin) e(t)
t
El área bajo la integral se aproxima promediando los valores de la señal de error en los instantes k y k+1 y multiplicando por T0 (periodo de muestreo).
u(k +
1) = u(k) +
T 0
2
Transformada z
[e(k) + e (k + 1)]
s =
2(z − 1) T 0 (z + 1)
Ge (z )
=
T 0 (z +
1) (z − 1)
iv. Método Trapezoidal (Método de Tustin)
Ejercicio 1 — Dada la función de transferencia G(s), obtener la función de transferencia en z, G(z) usando aproximación polinomial.
G(s)
G(z )
= G(s)|
2(z −1) s= T 0 (z +1)
=
=
s + 4 s(s + 1)
T 0 (z + 1)[z (1 + 2T 0 ) + (2T 0
− 1)] (z − 1)[z (2 + T 0 ) + ( T 0 − 2)]
v. Relación entre los polos en s y z •
Método de Euler (I):
Plano s
zi
−
1
T 0
= si
⇒
Im
zi = 1 + T 0 si
Im Plano z
Re
•
Método de Euler (II):
Plano s
Re
zi
−
1
T 0 zi
= si ⇒ zi =
Im
1 1 − si T 0
Im Plano z
Re
Polos estables en el plano s se pueden mapear como polos inestables en z
Re
Polos estables en s también son estables en z, polos marginalmente estables pueden ser asintóticamente estables en z
v. Relación entre los polos en s y z •
2(zi − 1) T 0 (zi + 1)
Método trapezoidal:
Plano s
Im
⇒
zi =
1 + si T 0 /2 1 − si T 0 /2
Im Plano z
Re
Re
Polos estables en s son estables en z.
Ejercicios propuestos 1. Discretizar el controlador propuesto en el Ejercicio 1 usando los tres métodos propuestos. Comparar la salida de cada controlador ante una entrada impulso unitario usando Matlab.
Bibliografia
1. Luis Moreno, Santiago Garrido, y Carlos Balaguer. Ingeniería de control: Modelado y control de sistemas dinámicos . Ariel Ciencia. 2003. 2. Rolf Isermann. Digital control systems. Volume I: fundamentals, deterministic control . Springer-Verlag.1989.