Sistemas Lineares A toda equação da forma a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = bn dá-se o nome de Equação Linear a n variáveis.
2 ,..., xn ) que torna esta equação um sentença Cada n-upla ordenada ( x1 , x verdadeira denominamos de Solução da equação. Quando o valor de bn = 0 , a equação linear é dita Homogênea; Cada solução para uma equação linear a n variáveis é encontrada atribuindo-se valores • quaisquer a n − 1 das variáveis e encontrando o valor da última variável. •
Exemplo:
2,1, − 1, 2 ) é solução ( 2,1, solução da da equação equação::
3 x − 5y − z + 2w = 6 De fato,
3⋅ 2 − 5 ⋅1− ( −1) + 2⋅ 2 = 6 Observe que outras quadruplas ordenadas também são soluções da equação linear acima.
Sistemas Lineares Definição: Ao conjunto formado por duas ou mais equações lineares damos o nome de Sistema Linear, ou seja,
Elementos de um sistema Linear
a11 x1 + a12 12 x2 + … + a1 n xn = b1 a x + a x + + a x = b … 21 1 22 22 2 2n n 2 ⋮ am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
a11x1 + a12 12 x2 + … + a1n xn = b1 a x a x … a x b + 2n n = 2 21 1 + 22 22 2 + ⋮ am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm aij ∈ ℝ
são os coeficientes
x1 , x2 ,… , xn são as variáveis ou incógnitas b1 , b2 , … , bm são os termos independentes Sistema homogêneo Definição: O sistema S é homogêneo se b1 = b2 = ... = bn = 0 . S é um sistema homogêneo ⇔ ( 0,0,...,0) é uma solução.
1
Solução de um Sistema
( c1, c2 ,..., cn ) onde ci ∈ ℝ é uma solução de S se S . − x + 2 y + z = 0
Definição: sistema
Exemplo: Considere o sistema linear
satisfaz a todas equações do
4 x + y − 2 z = 7 . 2 x − 3 y + z = 3
Verifique se a tripla (1,1, −1) é uma solução.
Eq 01: − x + 2 y + z = 0
Eq 02 : 4 x + y − 2 z = 7 4 ⋅1 + 1 − 2( −1) = 7
−1+2⋅1+( −1) =0 −1+2−1=0
4 +1+ 2 = 7
0=0
7=7
Eq 03: 2 x − 3 y + z = 3 ⇒ (1, 1, − 1 )
2⋅1−3⋅1 +( −1) = 3
não é uma solução
2 −3 −1= 3 −2 = 3
A tripla (1,1, -1) não satisfaz à 3ª equação e portanto não é uma solução para o sistema dado.
Matriz Associada a um Sistema Linear A todo sistema linear estão associadas três matrizes, que o caracterizam de forma única, quanto ao número de soluções.
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + … + a 1 n x n = b1 a x + a x + … + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋮ a m 1 x1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = b m
Matriz dos coeficientes a1 1 a 21 A = ⋮ a m1
a1 2
⋯
a1n
a 22
⋯
a2n
⋮
⋯
⋮
am2
⋯
a mn
Matriz dos termos independentes b1 b 2 B = ⋮ bn
Matriz Ampliada (mais importante)
a11 a12 a a22 21 ( A | B ) = ⋮ ⋮ am1 am 2
b1
⋯
a1n
⋯
a2 n b2
⋯
⋮
⋯
amn
⋮ bn 2
Queremos a partir de operações elementares sobre linhas, reduzir a matriz a uma forma equivalente à matriz original, ou seja, que representam sistemas equivalentes (mesma solução) Operações Elementares sobre Linhas Chama-se operação elementar sobre linhas de uma matriz os seguintes procedimentos: 1.
Permutar linhas
L1 1
2
0
∼
L1' −1 1
L1 ↔ L2 ' L2 −1 1 1 L 1 2 L3 3 2 1 L3 3
0
1 2
2 1
2. Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo:
L1 1
0
∼
2 L2 → 2 L2
L2 −1 1 1 L3 3 2 1
L1 1
0
L3 3
2
L'2 −2
2
2
2 1
3. Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha previamente multiplicados por um escalar não nulo;
L1 1
0
2
L2 −1 1 1 L3 3 2 1
L3 → L3 − 3L1
L1 1
' L3 0
0
2
2 −5
L2 −1 1
1
Matriz Linha- Equivalente Definição: Duas matrizes de mesma ordem chamam-se linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra através de uma sequência finita de operações elementares sobre linhas da outra.
1 0 2 A = −1 1 1 3 2 1
e
1 0 2 B = −2 2 2 3 2 1
B é linha equivalente a A (ou A é linha equivalente a B) A notação para isso é A → B ou A ∼ B . A e B são linha-equivalentes por que B pode ser obtida através de A fazendo-se a operação elementar L2 → 2 L2 , ou seja,
3
1 0 2 A = −1 1 1 L2 → 2 L2 3 2 1
1 0 2 −2 2 2 = B 3 2 1
Matriz Linha Reduzida a Forma de Escada ( LRFE ) Uma matriz é linha reduzida à forma escada (LRFE) se satisfaz as seguintes condições: a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. c) Toda linha nula, se houver, ocorre abaixo de todas as linhas não nulas, ou seja, daquelas que contém pelo menos um elemento não nulo. d) O número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas não nulas, se houver. Exemplos:
1 0 0 3 1) A matriz 0 1 0 −2 é LRFE. Verifique que satisfaz as 4 condições acima. 0 0 1 2 0 1 −3 0 2 2) 0 0 0 1 2 também é LRFE. 0 0 0 0 0 Contra exemplos:
1 1) 0 0 0 2) 1 0
0 1 0 2 0 0
0
0
1 0 1 −3 não é LRFE (não satisfaz a nem d). 0
−1 0 não é LRFE (não satisfaz b).
Definimos o posto de uma matriz Am×n como sendo o número de linhas não nulas da LRFE associada a A. Para encontrarmos o posto de A necessitamos primeiro reduzi-la à sua LRFE e depois contar a quantidade de linhas não nulas .
Resolução e Discussão de um Sistema Linear Método de Gauss-Jordan • • •
Escreve-se a matriz ampliada. Transforma-se a matriz ampliada na forma LRFE. Usa-se uma substituição simples para encontrar a solução.
4
4 x − y + z = 4 Exemplo: Consideremos o seguinte sistema linear −2 x + 3 y + 3z = 2 x + y + 4 z = 1
Através de sucessivas operações elementares sobre esta matriz, podemos levá-la a uma matriz LRFE, que seja “linha-equivalente” a ela e que possui a seguinte matriz ampliada.
4 −1 1 ( A | B ) = −2 3 3 1 1 4
4
2
1
Fazemos com que o pivô da primeira linha (1º elemento não nulo da 1ª linha) seja igual a 1.
1) Pivô = 1:
4 −1 1 4 −2 3 3 2 1 1 4 1
2) Anulamos os outros elementos da coluna
1 1 4 1 −2 3 3 2 4 −1 1 4
L 1 ↔ L 3
L 2 → L 2 + 2 ⋅ L1
1 1 4 1 0 5 11 4 4 −1 1 4
Pela definição já conhecida de matriz LRFE, todos os outros elementos da coluna devem ser anulados. Então temos a situação descrita a seguir.
1 1 4 1 L 0 5 11 4 3 4 −1 1 4
→ L 3 − 4 ⋅ L1
L 2 →
L 2
4 1 1 1 0 5 11 4 0 −5 −15 0
5
4 1 L1 1 1 0 1 11 5 4 5 0 −5 −15 0
→ L1 − L 2
1 0 9 5 1 5 0 1 11 5 4 5 0 −5 −15 0
5
1 0 9 5 15 L3 → L3 + 5L2 1 0 9 5 15 0 1 115 4 5 0 1 11 5 4 5 0 −5 −15 0 0 0 −4 4 L3 L3 →
−4
L1 → L1 −
1 0 9 5 1 5 0 1 11 5 4 5 0 0 1 −1
1 0
0
9 5
L3
1 0 0 2 0 1 11 5 4 5 0 0 1 −1
2 L2 → L2 − 11 L3 1 0 0 2
0 1 11 5 4 5 0 0 1 −1
0 1 0 3 0 0 1 −1
5
Matriz LRFE que nos remete às igualdades:
=2 x y = 3 ⇒ S = {( 2,3, −1)} z = −1
2 x − y + 5 z = −1 Exemplo: Determinar a solução do sistema linear − x + 4 z = 3 . 3 x − y + z = −4 Solução:
2 −1 5 Tomamos a matriz ampliada associada ao sistema −1 0 4 3 −1 1 Escalonamos a matriz:
2 −1 5 −1 1 0 4 3 L1 − 3 −1 1 −4
֏ L1 + L 2
−1
3 −4
1 −1 9 2 1 0 4 3 − 3 −1 1 −4
L 2 ֏ L 2 + L1
1 −1 9 2 L3 0 −1 13 5 3 −1 1 −4
֏ L 3 − 3 ⋅ L1 1
−1
9
2
−1 13 0 5 0 2 −26 −10 6
L2 ֏ − L 2 1 −1 9
2
L 0 1 −13 −5 1 0 2 −26 −10 L3 − 2 ⋅ L2
֏
1 0 −4 −3 0 1 13 5 − − 0 0 0 0
1 0 −4 −3 L1 + L2 0 1 −13 −5 0 2 −26 −10
matriz escalonada
Sistema equivalente
x − 4 z = − 3 y − 1 3 z = − 5
Esta última matriz é a matriz escalonada do sistema e o leva a um sistema bem mais simples equivalente a ele, conforme ilustração anterior. Observações: 1. O sistema “escalonado” apresenta apenas 2 equações, porém envolvendo 3 variáveis, o que elimina a hipótese de que ele tenha solução única. 2. A diferença entre o número de variáveis (incógnitas) e o posto da matriz ampliada é chamada Grau de liberdade do sistema .
x − 4 z = − 3 sistema com 2 equações e 3 variáveis y − 1 3 z = − 5 assim, teremos 1 variavel livre (que pode assumir infinitos valores)
Seja z a variável
livre. Temos
x = 4 z − 3
então que:
y = 13 z − 5
O sistema tem infinitas soluçoes que sao representadas pelo conjunto:
S = {( 4 z − 3,13 z − 5, z ) ; z ∈ ℝ Classificação dos Sistemas Lineares A classificação de um sistema linear é feita em base ao numero de soluções que o sistema admite. Os sistemas lineares classificam-se, quanto ao número de soluções, em:
Determinado
• Possível
(Possui uma única solução) Indeterminado Possui infinitas soluções
• Impossível
Não possui solução
7
Teorema: Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. i) Se as duas tem o mesmo posto e, além disso, esse valor é igual ao número de incógnitas n, então a solução será única . ii) Se as duas têm o mesmo posto e esse valor é menor que n, podemos escolher n-p variáveis livres e as outras serão obtidas em função destas. N-p é chamado grau de liberdade do sistema. O diagrama abaixo resume o teorema (p(A|B) denota o posto da matriz ampliada e p(A) denota o posto da matriz dos coeficientes ):
Possível
Se o valor encontrado for igual à n
AX=B é Possível Determinado AX=B é
Se for menor que n
Possível Indeterminado
p ( A ) ≠ p ( A | B )
Impossivel
x + z = 0 y + z =−2 0 =3
p(A|B)=p(A)
1 0 1 0 ( A| B) = 0 1 1 −2 ⇒ p( A|B ) = 3 0 0 0 3 1 0 1 A = 0 1 0 0 0 0
⇒ p A = 2
p(A) < p(A|B) Outro exemplo:
Impossível
x + y + 3 z = − 3 y − 2 z = 4 z = 7
1 0 3 −3 ( A| B) = 0 1 −2 4 0 0 1 7 p( A|B ) = 3
p A = 3 p ( A | B ) = p A = 3 = n
in c o g .
Sistema possível determinado
8
2 x + y + 3 z = 8 4 . Resolva o sistema 4 x + 2 y + 2 z = 2 x + 5 y + 3 z = −12 Solução:
2 1 3 | 8 Considere a matriz ampliada do sistema 4 2 2 | 4 . Vamos agora escalonar a matriz 2 5 3 | −12 através das operações sobre linhas de uma matriz.
2 1 3 | 8 4 2 2 | 4 2 5 3 | − 12
L2 → −4 ⋅ L1 + L2
1 1 2 0 4 0 0
L2 ↔ L3
1 1 2 1 L1 → ⋅ L1 4 2 2 2 5
1 3 1 | 4 2 2 0 0 −4 | −12 2 5 3 | −12 3 2 0
|
3 2 0 1
|
2 2
|
4
|
3
|
4 −12
1 L3 → −2 ⋅ L1 + L3 0 0
1 1 2 1 L2 → ⋅ L2 0 1 4 0 0
4
| −20 −4 | −12
1 1 2 1 L3 → − ⋅ L3 0 1 4 0 0
3
4
| −5 | 3
3
1
3
|
4
|
−20
2 0
2 −4 | −12
4
0
2 0
|
4
|
−4
|
−5 −12
3 13 1 0 | 2 2 1 L1 → L1 − ⋅ L2 0 1 0 | −5 2 0 0 1 | 3
1 0 0 | 2 L1 → L1 − ⋅ L3 0 1 0 | −5 2 0 0 1 | 3 3
Portanto o sistema inicial se transformou no seguinte sistema equivalente: = 2 x y = −5 , ou seja, S = {( 2, −5,3)} z = 3
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