Hewlett-Packard
Resume Metode Seismik WAVELET Bella Dinna Safitri - 115090700111002
2013
P r o g r a m S t u d i G e o f i s i k a – U n i v e r s i t a s B r a w i j a y a , M a l a n g
Wavelet A. Konsep Dasar Wavelet
Dalam
survey
seismik
digunakan
perambatan
gelombang
seismik
untuk
mengetahui gambaran bawah permukaan. Pulsa seismik merambat melewati batuan dalam bentuk gelombang elastis yang mentransfer energi menjadi pergerakan partikel batuan. Dimensi dari gelombang elastik atau gelombang seismik jauh sangat besar dibandingkan dengan dimensi pergerakan partikel batuan tersebut. Meskipun begitu, penjalaran gelombang seismik dapat diterjemahkan dalam bentuk kecepatan dan tekanan partikel yang disebabkan oleh vibrasi selama penjalaran gelombang tersebut. Wavelet adalah gelombang mini atau ’pulsa’ yang memiliki komponen amplitude, panjang gelombang, frekuensi, dan fasa. Wavelet dikenal dengan gelombang yang merepresentasikan satu reflektor yang terekam oleh satu geophone. Ada dua properti penting dalam sebuah wavelet, yaitu polaritas dan fase : 1.
Polaritas Terdapat dua jenis polaritas dalam wavelet, yaitu polaritas normal (normal polarity) dan terbalik (reverse polarity). Saat ini terdapat dua jenis konvesi polaritas : standar SEG (Society of Exporation Geophysicist) dan standar Eropa. Gambar 1 dan gambar 2 menunjukkan Polaritas Normal dan Polaritas 'Reverse' untuk sebuah wavelet fasa nol (zero phase) dan fasa minimum (minimum phase) pada kasus Koefisien Refleksi atau Reflection Coefficient (KR atau RC) meningkat (RC positif) yang terjadi pada contoh batas air laut dengan dasar laut/lempung.
Gambar 1 Polaritas normal dan polaritas reverse pada wavelet berdasarkan konvensi standar SEG
1
Pada standar SEG, polaritas normal didefinisikan sebagai : a.
Sinyal seismik positif akan menghasilkan tekanan akustik positif pada hidrofon di air atau pergerakan awal ke atas pada geofon di darat dan
b.
Sinyal seismik yang positif akan terekam sebagai nilai negatif pada tape, defleksi negatif pada monitor dan trough pada penampang seismik. Oleh karena itu, dengan menggunakan standar SEG, penampang seismik yang menggunakan konvensi SEG akan didapatkan :
a. Pada bidang batas refleksi di mana AI 2 > AI1 akan berupa trough dan b. Pada bidang batas refleksi di mana AI2 < AI1 akan berupa peak. Pada polaritas normal, kenaikan impedansi akustik akan digambarkan sebagai lembah (trough) pada trace seismik, sedangkan pada polaritas negatif, kenaikan impedansi akustik akan dilambangkan dengan puncak ( peak ) pada trace seismik (berdasarkan konvensi SEG, Yilmaz, O., 1990).
Gambar 2. Polaritas normal dan polaritas reverse pada wavelet berdasarkan konvensi standar Eropa
2.
Fase Terdapat empat macam jenis fase dalam wavelet (gambar 3), yaitu fase minimum (minimum phase), fase nol (zero phase), fase maksimum (maximum phase) dan fase campuran (mix phase). Tapi yang paling banyak dipakai didalam pengolahan
2
data dan interpretasi seismik adalah wavelet fase minimum dan fase nol (Prihadi, S, 2004).
Gambar 3. Jenis-jenis wavelet (1) Zero phase (2) Maximum phase (3) Minimum phase (4) Mixed phase
a. Zero phase wavelet Zero phase wavelet (wavelet fase nol) disebut juga dengan Wavelet Ricker (gambar 4). Wavelet Ricker mengandung satu puncak ( peak ) dan dua lembah (trough) atau sidelobes. Energi yang berhubungan dengan kontras AI berpusat pada peak bagian tengah, sehingga memiliki bentuk gelombang simetris. Wavelet Ricker hanya tergantung kepada frekuensi puncak pada spektrum amplitudonya atau inverse dari periode dominan pada dominan pada domain waktu (periode dominan bisa diukur dari waktu antara lembah ke lembah).
Gambar 4. Wavelet Ricker dengan frekuensi 20, 30 dan 40Hz dan fasa = 0 ( zero phase)
3
Secara matematis, Wavelet Ricker didefinisikan dengan persamaan (1) : (1) Dimana f adalah frekuensi, dt adalah interval sampling, t adalah waktu dan t 0 adalah waktu awal. b.
Wavelet fase maksimum Energi terpusat pada pada akhir wavelet.
c.
Wavelet fase minimum Wavelet fase minimum memiliki peak terletak di bagian depan. Energi yang berhubungan dengan batas AI terletak pada onset atau pada bagian depan sedikit mungkin dengan titik referensi nol (t = 0) dan tidak ada energi sebelum t = 0.
d. Wavelet fase campuran (mixed ) Energi tidak terpusat pada bagian depan / belakang wavelet. Jenis wavelet yang paling sering digunakan adalah wavelet fase nol dan wavelet fase minimum. Namun, dibandingkan dengan wavelet fase minimum, wavelet fase nol lebih menguntungkan. Wavelet fase nol dengan puncak tunggal pada arrival time, dengan ekor seminim mungkin, akan memudahkan interpreter dalam melakukan penentuan waktu refleksi sehingga proses interpretasi kecepatan (picking) – dalam rekaman hiperbolik reflektor pada gather – menjadi lebih mudah dan akurat. Selain itu, untuk spektrum amplitudo yang sama akan memberikan bentuk gelombang yang lebih sempit, sehingga amplitudonya akan lebih besar daripada dengan fase minimum yang menyebabkan nilai rasio Signal to Noise ratio (S/N) nya juga makin besar. Dalam mengestimasi bentuk wavelet untuk interpretasi seismik, dilakukan beberapa tahapan pemrosesan wavelet. Pemrosesan wavelet merupakan sebuah kumpulan proses yang merubah bentuk atau pulsa gelombang dalam data seismik, sehingga lebih mudah untuk diinterpretasikan. Beberapa tahap pemrosesan wavelet adalah sebagai berikut : 1.
Tahap pertama, mengestimasi bentuk atau fase dan spektrum amplitudo wavelet dan
4
2.
Tahap kedua, mendesain operator matematika atau filter yang diterapkan ke data seismik dan merubah bentuk wavelet tersebut menjadi wavelet sesuai yang dibutuhkan.
B. Analisis Wavelet
Sebuah gelombang (wave) (gambar 5) biasanya didefinisikan sebagai sebuah fungsi osilasi dari waktu (space), misalnya sebuah gelombang sinusoidal. Sebuah wavelet merupakan gelombang singkat (small wave) yang energinya terkonsentrasi pada suatu selang waktu untuk memberikan kemampuan analisis transien, ketidakstasioneran, atau fenomena berubah terhadap waktu (timevarying). Karakterisktik daripada Wavelet antara lain adalah berosilasi singkat, translasi (pergeseran) dan dilatasi (skala). Berikut ini akan diperlihatkan gambar dari sebuah sinyal biasa dan sinyal wavelet.
Gambar 5. Bentuk Gelombang;(a) Sinyal Sinus (b) Sinyal Wavelet
Secara sederhana, translasi (pergeseran) pada Wavelet bermaksud untuk menggeser permulaan dari sebuah wavelet. Secara matematis, pergeseran sebuah fungsi f(t) dengan k direpresentasikan dengan f(t-k) gambar 6 berikut ini :
Gambar 6. (a) Fungsi Wavelet ψ(t) (b) Fugsi Wavelet Yang Digeser ψ(t -k)
Skala (dilatasi) dalam sebuah wavelet berarti pelebaran atau penyempitan wavelet. Seperti yang terlihat pada gambar 7 :
5
Gambar 7. (a) Nilai Skala Kecil (b) Nilai Skala Besar
Sebuah faktor skala dapat dinyatakan sebagai α. Apabila α diperkecil maka wavelet akan menyempit dan terlihat gambaran mendetail namun tidak menyeluruh, kebalikannya apabila a diperbesar maka wavelet akan melebar dan terlihat gambaran kasar, global namun menyeluruh. Dengan menggunakan wavelet pada skala resolusi yang berbeda, akan diperoleh gambaran keduanya, yaitu gambaran mendetail dan menyeluruh. Selain itu, terdapat korespondensi antara skala pada wavelet dengan frekuensi yang dianalisa oleh wavelet. Nilai skala yang kecil berkorespondensi dengan frekuensi tinggi (high frequency) sedangkan nilai skala yang besar berkorespondensi dengan frekuensi rendah seperti pada gambar 8 :
Gambar 8. Hubungan waktu dan frekuensi pada wavelet
Tahap pertama analisis wavelet adalah menentukan tipe wavelet, yang disebut dengan mother wavelet atau analysing wavelet , yang akan digunakan. Hal ini perlu dilakukan karena fungsi wavelet sangat bervariasi dan dikelompokkan berdasarkan fungsi dasar masing-masing. Data seismik, yang secara alami tidak stasioner,
6
mempunyai berbagai kandungan frekuensi dalam domain waktu. Dekomposisi waktufrekuensi (yang juga disebut sebagai spectral decomposition) dari data seismik merupakan atribut seismik yang bertujuan untuk mencirikan tanggap frekuensi yang tergantung waktu dari batuan dan reservoir bawah permukaan. Dekomposisi spektral (gambar 9) merupakan salah satu teknik analisa sinyal dalam interpretasi data seismik. Hal tersebut biasanya dilakukan menggunakan transformasi Fourier (gambar 10) untuk perhitungan spektrum amplitudo masing-masing jejak dari jendela waktu yang pendek yang meliputi semua zona interest. Analisa fourier biasa atau transformasi 1D menghasilkan sinyal dari domain waktu menjadi domain frekuensi. Spektrum amplitudo tersebut dikontrol oleh satuan geologi, sehingga satuan-satuan dengan sifat dan/atau ketebalan batuan yang berbeda akan menunjukkan tanggap amplitudo yang berbeda. Jika dekomposisi sinyal dihitung untuk seluruh jejak pada volume seismik 3D dan direpresentasikan dalam bentuk peta (biasanya sebagai slice frekuensi), peta yang dihasilkan menunjukkan kemampuan bervariasi secara lateral.
Gambar 9. Proses dekomposisi spektral
Gambar 10. Ilustrasi dekomposisi sinyal menggunakan transformasi Fourier (Nissen, S.E., 2002)
7
Chakraborty dan Okaya (1995) menjelaskan bahwa analisis sinyal tidak stasioner seperti sinyal seismik dengan menggunakan perangkat lunak yang berbasis pada Transformasi Fourier, seringkali tidak bisa memberikan informasi keadaan bawah permukaan yang sesungguhnya. Hal ini disebabkan oleh adanya kelemahan dari perangkat lunak yang berbasis pada Transformasi Fourier tersebut. Transformasi Fourier tidak dapat mengamati saat terjadinya sinyal dengan frekuensi tertentu. Para ilmuwan mengembangkan analisa fourier biasa yang menghasilkan sinyal 2D dalam waktu dan frekuensi, kemudian melakukan short-time window setelah dilakukan transformasi fourier. Metode ini dikenal dengan nama Short-Time Fourier Transform (STFT). Cohen (1995) menjelaskan bahwa Short Time Fourier Transform (STFT) menghasilkan spektrum waktu-frekuensi dengan menggunakan Transformasi Fourier pada window waktu yang dipilih. Pada STFT, resolusi waktu-frekuensi disesuaikan pada seluruh ruang waktu-frekuensi dengan panjang window yang dipilih sebelumnya. Oleh karena itu resolusi pada analisis data seismik menjadi tergantung pada pengguna panjang gelombang tertentu atau bersifat subjektif. Lebih dari dua dekade terakhir, transformasi wavelet diaplikasikan pada berbagai ilmu pengetahuan dan teknik. Transformasi Wavelet memiliki kemampuan untuk menganalisa suatu data dalam domain waktu dan domain frekuensi secara simultan. Analisa data pada transformasi Wavelet dilakukan dengan membagi (dekomposisi) suatu sinyal ke dalam komponen-komponen frekuensi yang berbeda-beda dan selanjutnya masing-masing komponen frekuensi tersebut dapat dianalisa sesuai dengan skala resolusinya. Hal ini seperti proses filtering, dimana sinyal dalam domain waktu dilewatkan ke dalam filter highpassdan lowpass dan memisahkan komponen frekuensi tinggi dan frekuensi rendah. Wavelet merupakan sebuah fungsi variable real t, diberi notasi ψt dalam ruang fungsi L^2(R). fungsi ini dihasilkan oleh parameter dilatasi dan translasi, yang dinyatakan dalam persamaan (2) :
(2) dimana : a = parameter dilatasi b = parameter translasi
8
R = mengkondisikan nilai a dan b dalam nilai integer 2^j = parameter dilatasi ( paramater frekuensi atau skala) k = parameter waktu atau lokasi ruang Z = mengkondisikan nilai j dan k dalam nilai integer
Fungsi wavelet pada persamaan (3) dikenalkan pertama kali oleh Grossman dan Morlet, sedangkan persamaan (4) oleh Daubechies. Pada fungsi Grossman-Morlet, dan, sedangkan pada fungsi Daubechies, parameter dilatasi diberikan oleh 2j dan parameter translasi oleh k. Kedua fungsi ψ dapat dipandang sebagai mother vavelet, dan harus memenuhi kondisi seperti persamaan (3) :
(3) yang menjamin terpenuhinya sifat ortogonalitas vector. Pada dasarnya, transfomasi wavelet dapat dibedakan menjadi dua tipe berdasarkan nilai parameter translasi dan dilatasinya, yaitu transformasi wavelet kontinu (continue wavelet transform), dan diskrit (discrete wavelet transform). Transformasi wavelet kontinu ditentukan oleh nilai parameter dilatasi (a) dan translasi (b) yang bervariasi secara kontinu, dimana a,b elemen bilangan R, dan a tidak sama dengan 0. Castagna et. al. (2003) mengenalkan analisis spektral sesaat (ISA) berbasis transformasi wavelet (Matching Pursuit Decomposition) dengan metode dekomposisi spektral lainnya termasuk Fast Fourier Transform (FFT), Discrete Fourier Transform (DFT), dan Maximum Entropi Method (MEM). Mereka membuktikan bahwa ISA dapat mencapai lokalisasi waktu dan frekuensi yang memuaskan dan juga dapat menghidari masalah windowing. Beberapa perbedaan antara Transformasi Fourier dan Transformasi Wavelet adalah sebagai berikut (gambar 11 dan tabel 1) :
Gambar 11. (a) Transformasi Fourier (b) Transformasi Wavelet
9
Tabel 1. Perbedaan antara Transformasi Fourier dan Transformasi Wavelet
Sinyal refleksi menunjukkan adanya bidang batas antar dua medium. Pada medium yang tebal direpresentasikan oleh frekuensi sinyal seismik yang rendah, sementara medium yang tipis direpresentasikan oleh frekuensi sinyal tinggi. Pemilihan sinyalsinyal refleksi pada frekuensi yang tepat dan penggabungan kembali sinyal terpilih akan menghasilkan sinyal seismik yang bebas noise (baik noise karena akuisisi maupun pengolahan data yang tidak tepat) dan tetap mengandung informasi refleksi.
10
Mekanisme
dekomposisi
sinyal
pada
frekuensi-frekuensi
refleksi
dan
penggabungan kembali (superposisi) sinyal terdekomposisi disebut sebagai analisis multi-resolusi. Untuk mendapatkan hasil dekomposisi yang bagus dan tidak menggeser fase, dibutuhkan piranti yang tepat. CWT digunakan sebagai solusi atas keterbatasan STFT dalam menentukan lebar window. Proses analisis time-frekuensi dilakukan dengan cara mengkonvolusi sinyal dengan wavelet, resolusi frekuensi diperoleh dengan mendilatasi wavelet menggunakan skala tertentu dan resolusi waktu diperoleh dengan mentranslasi wavelet dengan faktor translasi tertentu. Penentuan inilah menjadikan metode Continous Wavelet Transform (CWT) (gambar 12) dapat dipakai sebagai filter untuk mendekomposisi sinyal-sinyal pada frekuensi yang dikehendaki tanpa menggeser fase dan memiliki resolusi yang bagus (Nurcahya dan Brotopuspito, 2004).
Gambar 12. CWT dari Lunar Landscape
Padmono, dkk (2004) membuat atribut seismik berbasis dekomposisi sinyal dalam domain
waktu-frekuensi
menggunakan
transformasi
wavelet
kontinyu
untuk
mendeteksi keberadaan anomali hidrokarbon. Analisis multi-resolusi data seismik 3D menggunakan
transformasi
wavelet
kontinyu
dengan
metode
dekomposisi
(penguraian) data seismik pada pita-pita frekuensi tertentu dan superposisi (penggabungan kembali) data seismik terdekomposisi dilakukan oleh Sudarmaji, dkk (2004). Data seismik terdekomposisi ini kemudian digunakan untuk menganalisis
11
atribut sesaat seismik 3D untuk deteksi karakter litologi dan struktur. Supeno dan Jaya (2004) melakukan reduksi noise koheren yang terdapat pada data seismik dengan menggunakan
transformasi
wavelet
dalam
representasi
multiresolusi
guna
mendapatkan event reflektor yang lebih jelas. Untuk melakukan transformasi wavelet diperlukan dua buah filter (gambar 13), yaitu high pass filter dan low pass filter. Satu sistem tersebut dinamakan filter bank structure. Filter digital yang digunakan adalah jenis FIR filter .
Gambar 13. (a) Gambar sinyal tanpa filter. (b) gambar sinyal setelah dekomposisi
Dalam suatu balok diagram, proses dekomposisi spektral dapat digambarkan seperti gambar 14 berikut :
Gambar 14. Struktur filter bank dan blok diagram dekomposisi
Wavelet merupakan persamaan matematis yang memisahkan sinyal ke dalam frekuensi yang berbeda kemudian selanjutnya menganalisis masing –masing komponen dengan suatu resolusi yang disesuaikan dengan skala. Analisis pada wavelet pada
12
dasarnya adalah pergeseran dan penskalaan suatu bentuk energi terbatas, yang dinamakan mother
wavelet (ψ(t))
terhadap
sinyal
yang
diinginkan.
Secara sederhana, transformasi wavelet yang diwujudkan dalam dekomposisi sinyal masukan dua bentuk gelombang yang berbeda yang sesuai dengan filter masing–masing gelombang. Low pass filter menghasilkan bentuk gelombang yang disebut dengan aproksimasi dan high pass filtermenghasilkan gelombang acak yang disebut detail. Pembentukan gelombang tersebut menggunakan pendekatan analisis resolusi jamak terhadap frekuensi yang berbeda. Resolusi adalah pemisahan dari setiap sinyal yang berubah–ubah, menjadi bobot (skala) cuplikan yang digeser. Jadi analisis resolusi jamak berhubungan dengan penskalaan wavelet. Gelombang hasil dari filtrasi high pass filter akan diperlebar oleh salah satu fungsi translasi dengan fungsi penskalaan tertentu yang disebut dengan mother wavelet. Setelah melalui tahapan dekomposisi akan dilakukan sintesis (pembentukan kembali) pada koefesien–koefesien wavelet tersebut. Pada prosesnya sebelum difilter, koefesien– koefesien wavelet dicuplik maju atau dilakukan perpanjangan komponen sinyal dengan menyisipkan bit –bit nol antara cuplikan terlebih dahulu. Pada pemodelan noise (gambar 15) sesungguhnya diasumsikan sinyal yang hendak dianalisis adalah: (4) Dengan sinyal X merupakan sinyal yang masih terdapat noise , S merupakan sinyal EKG, dan G merupakan noise yang ditambahkan serta nmerupakan titik cuplikan.
Gambar 15. Blok diagram sintesis
Sebagai contoh salah satu transformasi wavelet yang merepresentasikan sinyal dalam domain waktu dan frekuensi adalah Discrete Wavelet Transform (DWT).
13
Berdasarkan fungsi mother wavelet, bahwa fungsi wavelet penganalisa untuk transformasi wavelet ditunjukkan oleh persamaan (5) berikut :
(5) aj,k , ini merupakan discrete wavelet transform dari fungsi f(t) yang dibentuk oleh inner product antara fungsi wavelet induk dengan f(t) :
(6) sehingga f(t) disebut sebagai inverse discrete wavelet transform dapat dinyatakan dengan persamaan 7 :
(7) Pada DWT, suatu resolusi sinyal dapat diubah dengan menggunakan teknik filtering (analisa filter bank). Jadi, proses transformasi pada wavelet ini pertama kali dapat diwakili dengan proses melewatkan sinyal asli ke dalam low pass filter (LPF) dan high pass filter (HPF). Setelah itu, nilai skala dari wavelet dapat dirubah dengan menggunakan operasi upsampling dan down sampling. Karena bersifat multiresolusi, maka model Wavelet dapat dengan mudah digeneralisasi ke ukuran dimensi lain dimana n > 0. Pada umumnya, suatu sinyal seperti suara ditransformasikan dengan Transformasi Wavelet Diskrit satu dimensi (1D-DWT), sedangkan untuk pengolahan citra dua dimensi, menuntut model wavelet juga diturunkan dalam bentuk dua dimensi (2D-DWT), sehingga dapat diimplementasikan untuk memproses citra digital. Transformasi Wavelet Diskrit Maju (Forward DWT) Pada bagian ini dilakukan proses dekomposisi , yakni menguraikan sinyal asli ke dalam komponen-komponen aslinya. Proses dekomposisi pada 1 dimensi digambarkan sebagai berikut (gambar 16) :
Gambar 16. Transformasi wavelet dengan dekomposisi sebanyak n kali
14
Pemfilteran urutan sinyal input didapat dengan mengkonvolusikan urutan tersebut dengan sekelompok bilangan lain yang disebut koefisien
– koefisien filter,
tapis, weights, atau respon impuls. Untuk urutan masukan x(n) dan koefisien – koefisien filter h(n), urutan keluaran dari filter y(n) diberikan oleh persamaan (8) :
(8) Dan keluaran dari HPF dan LPF setelah dilakukan down-sampling dengan faktor 2 berturut-turut (persamaan 9) :
(9) Pada proses down sampling maka akan terjadi penurunan sampling rate karena beberapa komponen (sampel) sinyal dihilangkan. Jumlah sampel pada keluaran down sampling adalah sebagian dari jumlah sampel masukannya. Transformasi Wavelet Diskrit Balik (Invers DWT) Trasnformasi ini merupakan kebalikan dari transformasi wavelet maju. Pada tahap ini dilakukan proses rekonstruksi yakni proses mengembalikan kembali komponenkompone frekuensi menjadi sinyal semula melalui proses upsampling dan pemfilteran dengan koefisien-koefisien filter balik. Proses rekonstruksi pada satu dimensi digambarkan pada gambar 17 :
Gambar 17. Inverse transformasi wavelet dengan rekonstruksi sebanyak n kali
Dengan cara yang sama dengan proses dekomposisi dan menggunakan koefisien yang sama, proses rekonstruksi dilakukan dengan melakukan konvolusi yang kemudian diikuti oleh proses up sampling dengan faktor 2. Proses upsampling dilakukan untuk mengembalikan dan menggabungkan sinyal seperti semula. Proses ini dilakukan
15
dengan menyisipkan sebuah kolom berharga nol diantara setiap kolom dan melakukan konvolusi pada setiap baris dengan sebuah filter satu dimensi. Filter yang digunakan pada transformasi ini adalah filter LPF dan HPF yang mempunyai hubungan khusus terhadap filter-filter pada sisi dekomposisi. Koefisien-koefisien filter tersebut akan membentuk suatu kumpulan filter (filter bank), sehingga harus memiliki hubungan rekonstruksi sempurna (perfect reconstruction), yang berarti bahwa sinyal hasil transformasi wavelet balik harus sama dengan sinyal asli sebelum transformasi dilakukan
.
Untuk
memenuhi
persyaratan
ini,
maka
koefisien
pada
filter
dekomposisi h(n) dan filter konstruksig(n) diberikan oleh persamaan (10) : (10) Proses rekonstruksi dengan level (skala) banyak didapat dengan melakukan iterasi dari struktur dasar sehingga didapat lowpass residue yang bersesuaian untuk masingmasing tingkat. Transform Wavelet Packet Wavelet packet tarnsform adalah jenis wavelet transform dengan pembagian subband yang lebih menyeluruh. Dalam artian jika pada wavelet transform hanya dilakukan iterasi pada cabang low pass, sedangkan pada wavelet packet transform iterasi juga dilakukan pada cabang high pass sehingga menghasilkan subband yang lebih banyak dengan resolusi yang tinggi. Adapun cara iterasi yang digunakan sama dengan dekomposisi pada wavelet transform yakni filtering n down sampling. Dapat diilustrasikan pada gambar 18 jika dilakukan iterasi pada kedua cabang (low pass dan high pass) :
Gambar 18. Transformasi wavelet dengan dekomposisi sinyal sebanyak n kali
16
Pada komposisinya akan dilakukan cara sebaliknya seperti terlihat pada ilustrasi gambar 19 berikut ini :
Gambar 19. Transformasi wavelet dengan komposisi sinyal sebanyak n kali
Wavelet Daubechies Wavelet Daubechies (gambar 20) merupakan salah satu filter wavelet yang dapat digunakan dalam analisis wavelet. Daubechies memiliki orde yang menggambarkan jumlah koefisien filternya. Sifat polinomial yang dimiliki oleh wavelet akan berpengaruh dalam penentuan jumlah koefisien filter wavelet. Semakin besar jumlah filter yang dimiliki oleh suatu wavelet filter daubechies, maka semakin baik filter tersebut dalam melakukan pemilihan frekuensi. Untuk Daubechies orde N (db –N), maka Daubechies tersebut memiliki ukuran koefisien filter 2N.
Gambar 20. Family wavelet Daubechies
17
De–noising Denoising adalah cara menghilangkan atau mereduksi sinyal noise sekecil mungkin untuk mendapatkan visualisasi sinyal asli. Konsep yang digunakan dalam men – denoise sinyal
adalah
menghilangkan
atau
men–threshold terhadap
komponen
dari wavelet yang berfrekuensi tinggi atau yang disebut dengan koefesien detail. Sehingga sinyal keluaran yang ditampilkan setelah melewati filter bank adalah sinyal aproksimasi
atau
gabungan
dari
aproksimasi
dan
detail
yang
telah
mengalami thresholding. FIR (Finite Inpulse Response) merupakan kumpulan respon impuls yang memiliki jumlah atau jangka waktu yang terbatas. FIR filter secara umum bersifat non – rekursif, yaitu tidak dipengaruhi oleh keluaran sistem sebelumnya, sedang keluaran dari sistem tersebut hanya bergantung pada masukan sekarang dan masukan sebelumnya (gambar 21).
Gambar 21. Output pada FIR filter pada orde N dijumlahkan sesuai dengan nilai pada register
FIR Filter menyatakan bahwa akibat dari transien pada keluaran filter akan hilang begitu saja. Berikut gambar aliran sinyal FIR yang digambarkan secara nonrekursif. Filter tersebut hanya terdiri dari banyak tap atau gerbang pada tingkatan delay. Unit respon impuls sebanding dengan banyaknya gerbang. Berikut persamaan FIR filter (persamaan 11) :
(11)
18
