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Capítulo: Transformada Wavelet Introducción
Antes de introducir la transformada wavelet reveamos algunos de los conceptos con respecto a transformada. Recordemos que una trasformada puede ser puede considerada como un remapeo de la señal que proporciona más información que la señal original. La transformada de Fourier se ajusta bastante bien a esta definición debido a que la información de frecuencia que brinda, a menudo, conduce a nuevos conocimientos acerca de la señal original. En esta transformada, la forma de onda es comparada a una función seno – en realidad, una familia completa de funciones seno a frecuencias relacionadas armónicamente. Sin embargo, la incapacidad de la transformada de Fourier para describir características de la forma de onda tanto en tiempo como en frecuencia llevó a una serie de diferentes propuestas aunque ninguna de ellas fue capaz de resolver completamente el problema tiempo-frecuencia. La transformada wavelet puede ser utilizada como otra forma de describir las propiedades de una forma de onda que cambia en el tiempo, pero en este caso la forma de onda no se divide en secciones de tiempo, sino en segmentos de escala [1]. Para una mejor comprensión del presente capítulo, realizaremos una breve descripción de las limitaciones del análisis de Fourier y su evolución, la transformada de Fourier de tiempo corto. Limitaciones del Análisis de Fourier
La Transformada de Fourier es ampliamente utilizada en el procesamiento y análisis de señales, con resultados satisfactorios en los casos en que estas señales son periódicas y lo suficientemente regulares, pero no ocurre lo mismo para el análisis de señales cuyo espectro varía con el tiempo (señales no estacionarias). La Transformada de Fourier detecta la presencia de una determinada frecuencia pero no brinda información acerca de la evolución en el tiempo de las características espectrales de la señal. Muchos aspectos temporales de la señal, tales como el comienzo y el fin de una señal finita y el instante de aparición de un evento en una señal transitoria, no pueden ser analizados adecuadamente por el análisis de Fourier. Para los casos de señales no estacionarias y transitorias se utiliza generalmente la Transformada de Fourier de tiempo corto, corto, definida como:
( ) ∫ ()(()
(1)
donde w (t ) es una ventana deslizante, la cual se desplaza a lo largo del eje t en t en un factor τ y tiene un ancho fijo. Por tanto, una vez que el tamaño de la ventana es elegido, todas las frecuencias son analizadas con las mismas resoluciones de tiempo y frecuencia [2]. A pesar de que con la Transformada de Fourier de tiempo corto se logra una mejor localización de la aparición de un transitorio en una señal [2], esta transformada no es la mejor solución para hacer frente a la localización de tiempo y de frecuencia de los eventos
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de la señal. El primer factor simple que identifica las fallas de la STFT es la elección de la longitud de la ventana. Una ventana demasiado corta puede no capturar la duración entera de un evento, mientras una ventana demasiado larga puede capturar dos o más eventos en el mismo desplazamiento. Otra desventaja de la STFT tiene que ver con la naturaleza de las funciones base usadas en la TF, que es, la exponencial compleja. El hecho de que las funciones base senoidales, que son ilimitados en tiempo, se utilicen para analizar variaciones limitadas en tiempo (es decir, eventos) explica porque la STFT puede no ser la mejor solución para la detección de eventos [6]. Una herramienta matemática que permite resolver estos problemas es la Transformada Wavelet. [2] Transformada Transformada Wavelet Continua (CWT)
De manera muy general, la Transformada Wavelet de una función f (t ) es la descomposición de f de f ((t ) en un conjunto de funciones Ψa, b (t ) , , que forman una base y son llamadas las “Wavelets” [2]. La definición de Morlet-Grossmann de la transformada wavelet continua para una señal unidimensional f unidimensional f ((t ) es [3]
( ) ( ) √ ∫
(2)
*
Donde (.) denota el complejo conjugado, ψ (t ) es una función con duración limitada en el tiempo, a es el parámetro de escala y b es el parámetro de desplazamiento [6]. [6]. El factor normalizador 1/√a 1/√ a asegura que la energía es la misma para todos los valores de a (también para todos los valores de b, ya que las traslaciones no alteran la energía wavelet) [1]. Las Wavelets son generadas a partir de la traslación y cambio de escala de una misma función wavelet Ψ (t ) , , llamada la “Wavelet madre” y mantienen siempre su misma forma. Las wavelet se definen como [2]:
() √
(3)
En el análisis wavelet, se pueden usar una diversidad de diferentes wavelet madre y ésta siempre toma una forma oscilatoria, de aquí el término ‘wavelet’, ‘wavelet’ , aunque la familia wavelet Ψa, b consiste de versiones comprimidas o extendidas de la función base Ψ, así como translaciones [1]. Las propiedades básicas que debe cumplir la función Ψ (t ) para ser wavelet madre son: [4] (4)
∫ () ( ) ∫
(5)
La Transformada Wavelet es eficiente para el análisis local de señales no estacionarias y de rápida transitoriedad y, al igual que la Transformada de Fourier de tiempo corto, mapea la señal en una representación de tiempo-escala. La diferencia está
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en que la Transformada Wavelet provee análisis multiresolución con ventanas dilatadas. Además, la Transformada Wavelet es capaz de concentrarse en fenómenos transitorios y de alta frecuencia mejor que la Transformada de Fourier de tiempo corto . Dentro de los usos de esta poderosa herramienta podemos nombrar, además del análisis local de señales no estacionarias, el análisis de señales electrocardiográficas, electroencefalográficas, sísmicas, de sonido, de radar, así como también es utilizada para la compresión y procesamiento de imágenes, filtrado y reconocimiento de patrones [2]. Escala
La principal característica de las frecuencias armónicas, empleadas en la TF, se pueden extraer de un concepto más general que llamamos escala. escala. La escala, como un reemplazo de la frecuencia, puede reflejar las mismas propiedades interesantes en términos de la relación armónica entre las funciones base. Lo más interesante es que a diferencia de la frecuencia, definida sólo para señales periódicas, la escala es igualmente aplicable a señales no periódicas. Esto demuestra que hemos encontrado un nuevo concepto, la escala, para reemplazar a la frecuencia. Utilizando la escala como una variable, la nueva transformada, que se basará en una función base de tiempo limitado, puede ser significativamente aplicada tanto a señales de tiempo limitado como de tiempo ilimitado [6]. Por tanto, el valor de a = f / f 0 f 0 da la escala o dilatación de de la wavelet, con f0 con f0 como frecuencia central. Así, cambiando el valor de a se cubren diferentes rangos de frecuencias. Si a es más grande que uno, la función wavelet, ψ, es estirada a lo largo del eje de tiempo, y si es menor a uno (pero positivo) comprime la función. Los valores negativos de a simplemente giran la función de prueba sobre el eje de tiempo [4]. El análisis de las altas frecuencias se realiza usando ventanas angostas y el análisis de las bajas frecuencias se hace utilizando ventanas anchas [2]. En la Figura 1 se muestra una wavelet madre junto con algunos miembros de su familia producidos por contracción y dilatación. La wavelet mostrada es la popular wavelet Morlet [1]. Morlet [1].
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Figura 1. Una wavelet madre ( a = 1) con dos dilataciones (a ( a = 2 y a = 4) y una contracción (a ( a = 0.5)
Coeficientes wavelet
Los coeficientes wavelet, W ( W (a, b), b), describen la correlación entre la forma de onda y la wavelet en varias traslaciones y escalas: la similitud entre la forma de onda y la wavelet en una combinación determinada de escala y posición, a, b. Dicho de otra manera, los coeficientes proporcionan las amplitudes de una serie de wavelet, sobre un rango de traslaciones y escalas, que necesitarían sumarse para reconstruir la señal original. Los coeficientes wavelet responden a cambios en la forma de onda, más fuertemente a cambios en la misma escala que la wavelet, y más fuertemente, a cambios que se parecen a la wavelet [1]. Propiedades
La transformada es lineal y es invariante bajo traslaciones y dilataciones, es decir: – τ ) W ( – τ ) 1. f ( f (t ) W ( W (a, b) b) entonces f entonces f ((t – τ W (a, b – τ
2.
() ⇒ √ ()
La última propiedad hace a la transformada wavelet muy adecuada para analizar estructuras jerárquicas. Es parecido a un microscopio matemático con propiedades que no dependen de la magnificación [3]. Elección de wavelet madre
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Cada elección de la wavelet madre da una CWT particular, y como consecuencia, tenemos una cantidad infinita de transformada bajo la misma CWT (a diferencia de la única transformada para la TF). Cualquier elección de la wavelet madre le brinda ciertas propiedades únicas que hacen de la transformada resultante una elección adecuada para una aplicación particular. La pregunta más lógica en este momento es como elegir una wavelet madre para una aplicación particular. Esta pregunta es en su mayor parte un problema abierto y no parece tener una respuesta definitiva. Sin embargo, se siguen ampliamente dos reglas de oro cuando se elige una wavelet madre: (a) wavelets madre complejas son necesarias para señales complejas y (b) la wavelet madre que se asemeja a la forma general de la señal a ser analizada sería una elección más conveniente. Por ejemplo, para procesar señales médicas tales como EEG, uno podría utilizar dbX (wavelet Daubechies) limitando X a 10 o 15, mientras que en procesamiento de señales complejas como señales de voz, wavelets madre mucho más complejas como db30 o incluso mayor para proporcionar un mayor rendimiento [6]. Ejemplos de wavelet madre
Existen muchas wavelets madre agrupadas en familias según su utilidad; Ingrid Daubechies quien es el mayor constructor de wavelets ha propuesto tres familias, la Daubechies que es un conjunto de wavelets ortonormales apropiadas para aplicarse en análisis de señales discretas, la Coiflets llamadas así por ser construidas a solicitud de R. Coifman, y la Symmlet que siendo similares simil ares a las Daubechies tienden a ser casi simétricas. Las Biortonormales es una familia que presenta la propiedad de fase lineal lo que es muy útil para la reconstrucción de imágenes, en este caso se debe usar una wavelet madre para la descomposición y otra para la reconstrucción. Algunas wavelets están definidas por una función explícita como la wavelet Haar, la Morlet o la wavelet sombrero mexicano que no es más que la segunda derivada de la función de distribución gaussiana [4]. La wavelet de Morlet es una forma de onda compleja definida como
() √
(6)
Esta wavelet puede ser descompuesta en sus componentes real e imaginaria
() () √ () () √ Donde b0 es una constante. El sombrero mexicano mexicano definido por por Murenzi es
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() ( )
(7)
La cual es la segunda derivada de una forma de onda Gaussiana [3]. En las Figuras 2, 3, 4, 5, 6 se muestran las principales y más conocidas familias de wavelets, sombrero mexicano, la Morlet, la Daubechies, la Coiflet y la Symmlet respectivamente [3]
Figura 2. Wavelet Sombrero mexicano
Figura 3. Wavelet Morlet: (a) parte real y (b) imaginaria
Figura 4. Familia de wavelet Daubechies
Figura 5. Familia de wavelet Coiflet
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Figura 6. Familia Symmlet
Característica wavelet tiempo-frecuencia tiempo-frecuencia
Las wavelets llevan a un compromiso en la lucha entre la localización temporal y frecuencial: están bien localizadas tanto en tiempo como en frecuencia, aunque no necesariamente en alguno. Una medida del rango de tiempo de una wavelet específica, Δt ψ, puede ser especificada por Ψ (t /a) y su centro temporal, t 0. Por consiguiente, el rango de tiempo de ψa, 0 se define como Δt Δt ψ (a) = |a| Δt ψ. De la misma manera, el rango de frecuencia Δωψ, está dado por: Ψ (ω), la cual es la representación en el dominio de la frecuencia (es decir, transformada de Fourier) de ψ (t/a), y ω 0 es la frecuencia central de Ψ (ω). (ω). El rango de frecuencia, o ancho de banda, sería el rango de la wavelet madre dividida por a: Δωψ (a) = Δωψ /|a /|a|. La relación inversa entre el tiempo y la frecuencia se muestra en la Figura 7, que fue obtenida a partir de la wavelet sombrero mexicano. mexicano .
Figura 7. Límites tiempo-frecuencia de la wav elet sombrero mexicano para varios valores de a. El área de todos los rectángulos es constante.
Si multiplicamos el rango de frecuencia por el rango de tiempo
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()()
(8)
La Ecuación (8) muestra que el producto de los rangos es invariante a la dilatación y que los rangos están inversamente relacionados; incrementando el rango de frecuencia Δωψ (a), disminuye el rango de tiempo, Δtψ (a). Estos rangos se correlacionan con la resolución temporal y frecuencial de la CWT. Debido a que las resoluciones tiempo y frecuencia están inversamente relacionadas, la CWT brindará mejor resolución frecuencial cuando a es grande y la longitud de la wavelet (y su efectiva ventana temporal) es larga. A la inversa, cuando a es pequeño, la wavelet es corta y la resolución temporal es máxima, pero la wavelet sólo responde a componentes de alta frecuencia. Dado que a es variable, hay una relación de compromiso integrada en la resolución temporal y frecuencial, que es clave para la CWT y la hace bastante adecuada para analizar señales con componentes de alta frecuencia que varían rápidamente superpuestas sobre componentes de baja frecuencia que varían lentamente [1]. Aplicaciones
A continuación se enlistan sólo algunas de las aplicaciones de la Transformada Wavelet y sobre de las cuales se tratará en este segmento. -Detección de discontinuidades y puntos de falla -Supresión de señales y eliminación de ruido -Compresión de señales -Detección de autosimilitudes Transformada wavelet inversa
Ahora que hemos discutido la ecuación de análisis, o la CWT, es el mejor momento para describir la ecuación de síntesis que permite la formación de la señal de tiempo basado en su TW. La TW inversa continua (ICWT) se define como:
() ∫ ∫ ( )
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es una constante cuyo valor depende de la elección exacta En la Ecuación 5.4 de la wavelet madre Ψ (t (t ). ). Mientras la ecuación de CWT es una única integral, la ICWT es una doble integral basada en variables ficticias a y b. [5] En realidad, la reconstrucción de la forma de onda original se realiza raramente empleando los coeficientes CWT debido a la redundancia en la transformada. Cuando se desea recuperar la forma de onda original, se utiliza la transformada wavelet discreta [1].
Inconvenientes
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Como en la FT, hay cuestiones más importantes que que fomentan la invención y el uso de una versión discreta de la CWT. Mientras que algunas de las preocupaciones son idénticas a las de la CFT (como el dominio del procesamiento digital y los sistemas de almacenamiento), la CWT sufre un problema de cómputo más grave. Una mirada más atenta a la CWT revela que esta transformada requiere cálculos basados en todos los desplazamientos y escalas continuos. Esto obviamente hace la complejidad computacional computacional de la CWT y de la ICWT inadecuada para muchas aplicaciones prácticas importantes. Lo anterior nos conduce a la versión discreta de esta transformada [5]. Implementación en MATLAB
Un sinnúmero de paquetes informáticos existe en MATLAB para el cálculo de la transformada wavelet continua, que incluyen la toolbox wavelet de MATLAB y Wavelab que está disponible gratis en Internet [5]. La toolbox wavelet de MATLAB es una toolbox completa que está dedicada a l a TW y sus aplicaciones en procesamiento de señales e imágenes. El comando “wavedemo” brinda una demostración de éstas, y “wavemenu” activa la interfaz de usuario de la toolbox wavelet. Mientras “wavedemo” ayuda al al lector a entender los diferentes comandos de la DWT y las opciones provistas por MATLAB, “wavemenu” brinda el significado para dirigir visualmente casi todas las aplicaciones arriba mencionadas de la DWT. Estas aplicaciones incluyen eliminación de ruido, compresión, y filtrado. MATLAB también proporciona un conjunto de comandos para el cálculo directo de los coeficientes de la DWT así como de la IDWT. Estos comandos son “dwt”, “idwt”, “dwt2”, y “idwt2”. En el uso de cada uno de estos comandos, uno necesita identificar el tipo de wavelet madre y el nivel de descomposición (o reconstrucción) reconstrucción) [1]. Referencias Bibliográficas [1] SEMMLOW, J. (2005). Biosignal and Biomedical Image Proccesing. Proccesing. Nueva York: Taylor y Francis. [2] Introducción_TW.pdf Introducción_TW.pdf [3] SANEI, S. & CHAMBERS, J. (2007). EEG Signal Proccesing. Proccesing. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd. [4]TW.pdf [5] NAJARIAN, K. & SPLINTER R. (2005). Biomedical Signal and Image Proccesing. Proccesing . Nueva York: Taylor y Francis