Tema: Funciones de varias variables: Marginalidad. Ejemplo 1.
Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función
(; ) =
1200+500+ unidades, donde es el número de trabajadores calificados y el de trabajadores no calificados que que se emplean en la planta. pl anta. Actualmente, la fuerza laboral está formada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Utilice análisis marginal para estimar el cambio en la producción semanal que resultará de la adición de 1 trabajador calificado más, si el número de trabajadores no calificados no cambia. Resolución La derivada parcial
(; ; ) =1200+23 es la razón de cambio de la producción con respecto al número de trabajadores calificados. Para cualesquiera valores de y , ésta es una aproximación del número de unidades adicionales que se producirán cada semana si el número de trabajadores calificados se aumenta de a + 1, mientras que el número de trabajadores no calificados se mantiene fijo en . En particular, si la fuerza laboral se aumenta de 30 trabajadores calificados y 60 no calificados a 31 calificados y 60 no calificados, el cambio resultante en la producción es aproximadamente aproximadamente .
(30;60) =1200+2(30)(60) 3(30) = 2100 2100 unidad unidadeses Ejemplo 2.
Un fabricante estima que la producción mensual de cierta fábrica está dada por la función de Cobb-Douglas
(; ) =50 ,, donde es el capital en unidades de $1000 y es la fuerza labora medida en horas-
trabajador.
a) Encuentre la productividad marginal del capital, del trabajo,
, y la productividad marginal
, cuando el capital es de $750 000 y el nivel de la fuerza laboral es
991 horas – trabajador.
b) ¿El fabricante debe considerar invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral para aumentar la producción? Resolución
a)
(; ) = 50(0,4−,), =20 −,, y (;) =50 ,(0,6−,) =30 ,−, de modo que con = 750 ($750 000) y =991 (750;991) = 20(750)−,(991), ≈23,64 y (750;991) = 30(750),(991)−, ≈26,84
b) Del inciso a), se ve que un aumento de capital en 1 unidad (esto es, $1000) resulta en un aumento de la producción en 23,64 unidades, lo cual es menos que el aumento de 26,84 unidades que resulta del aumento en 1 unidad del nivel de la fuerza laboral. Por lo tanto, el fabricante debe aumentar el nivel de la fuerza laboral en 1 hora-trabajador (de 991 hora-trabajador a 992) para aumentar la producción tan rápidamente como sea posible desde el nivel actual.
Ejemplo 3.
Una compañía fabrica dos tipos de esquís, los modelos Ligero y Alpino. Suponga que la función de costos conjuntos de producir Alpino por semana es
pares del modelo Ligero y pares del modelo
= (; ) =0,07 +75+85+6000 se expresa en dólares. Determine los costos marginales de ⁄ y ⁄ cuando =100 y =50, e interprete los resultados. donde
Resolución Los costos marginales son
=0,14+75
y
= 85
Así,
| (;) =0,14(100) +75=89 y
| (;) = 85
Note que
(;) = 89 implica que al aumentar la producción del modelo Ligero de 100
a 101, mientras que se mantiene en 50 la producción del modelo Alpino, aumentan los costos aproximadamente en $89. En tanto,
(;) = 85 implica que al aumentar la
producción del modelo Alpino de 50 a 51, mientras se mantiene en 100 la producción del modelo Ligero, aumenta los costos aproximadamente en $85. De hecho, como una función constante, el costo marginal con respecto a de producción.
⁄ es
es de $85 en todos los niveles
