UNIVERSI UNIVERSID DAD NACION NACIONAL AL DE TRUJIL TRUJILLO LO FACULT ACULTAD DE INGENIER INGENI ER´ IA ´ E.A.P. INGENIER INGENIER´ IA MECATR MECATRONICA
CONTROL CONTROL I ´n Laboratorio Laboratorio 04: Respuest Respuesta a al impulso impulso y escalon o
ASIGNATURA
Control I DOCENTE
Ing. Ing . Luis Lui s Vargas arg as D´ıaz ESTUDIANTES
Jara Alfaro Enrique Julian Rodriguez Rodrigo Ortiz Basilio Eli Rojas Llaro Neheyler
22 de junio del 2017
´Indice General 1. Resumen
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2. Introducci´ on
3
3. Procedimiento 3.1. Primer sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Segundo sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 10
4. Cuestionario
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5. Bibliograf´ıa
15
´Indice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
Uso del comando tf para mostrar la funci´on de transferencia G(s). . . . . . 4 Gr´ afica de la respuesta del sistema ante un est´ımulo externo de impulso . . . 4 Gr´afica de la respuesta del sistema ante un est´ımulo externo de escal´ on unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Diagrama del primer sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Gr´afica de la respuesta del primer sistema ante un est´ımulo externo de impulso. 6 Gr´afica de la respuesta del primer sistema ante un est´ımulo externo de escal´ on unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Gr´ afica de respuesta al impulso de v(s)/F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 on unitario de v(s)/F (s) . . . . . . . . . . . . Gr´ afica de respuesta al escal´ 8 Gr´ afica de respuesta al impulso de a(s)/F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Gr´ afica de respuesta al escal´ on unitario de a(s)/F (s) . . . . . . . . . . . . 10 Diagrama del segundo sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Gr´ afica de respuesta al impulso de x2(s)/F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 on unitario de x2(s)/F (s) . . . . . . . . . . . 12 Gr´ afica de respuesta al escal´ Gr´ afica de respuesta al impulso de x1(s)/F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . 13 on unitario de x1(s)/F (s) . . . . . . . . . . . 13 Gr´ afica de respuesta al escal´ Gr´ afica de respuesta al escal´ 15 on de una amplitud de 3 Newton de x(s)/F (s)
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1.
Resumen
El presente informe tiene como tema a tratar “La respuesta al escal´ on e impulso”. En este informe se pretende evaluar y verificar el comportamiento de los sistemas que ocurren en diferentes a´mbitos. Para ello, se hacen uso de las funciones de transferencia; las cuales, para facilitar el uso de ´estas se utiliza el programa de MatLab, el cual tiene las funciones step e impulse para obtener curvas de respuesta a una se˜ nal externa. Para ello se tiene un caso en donde evaluaremos sus funciones de transferencia y hallaremos ciertas relaciones en espec´ıfico y poder graficar sus curvas de respuesta.
2.
Introducci´ on
Matlab es una potente herramienta para el an´ alisis de “sistemas”descritos por funciones de transferencia. La funci´on de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo, relaciona la transformada de Laplace de la salida con la transformada de Laplace de la entrada en un sistema de ecuaciones diferenciales a condiciones iniciales nulas. En forma gen´ erica se representa de la siguiente forma: Y (s) a s + a −1s −1 + . . . + a1 s + a0 = G(s) = U (s) s + b −1 s −1 + . . . + b1 s + b0 m
m
m
m
n
n
(1)
n
En sistemas reales o f´ısicamente realizables m ≤ n. El polinomio del denominador igualado a cero representa la ecuaci´ on caracter´ıstica que se utiliza ampliamente en el an´alisis de la estabilidad del sistema. Para crear funciones de transferencia en MatLab se utilizan los siguientes comandos:
G=tf(num,den) d´onde “num”viene a ser un vector que contiene los coeficientes del polinomio del numerador de G(s) ordenado respecto a las potencias de s donde el primer elemento es el coeficiente que acompa˜ na a la mayor potencia de s. “den”ser´ıa otro vector que contiene los coeficientes del polinomio del denominador de G(s) ordenados de la misma forma que para el numerador.
Ejemplo de sintaxis en MatLab. Tomemos en cuenta la siguiente funci´ on de transferencia: s2 + 2s + 3 G(s) = 3 s + 3s2 + 3s + 1 Creamos la funci´ on de transferencia en matlab con los siguientes comandos
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Figura 1: Uso del comando tf para mostrar la funci´ on de transferencia G(s). Respecto al sistema creado nos podr´ıa interesar conocer cu´ al ser´a su comportamiento respecto a un est´ımulo de tipo impulso aplicado a su entrada, o un est´ımulo de tipo escal´ on unitario aplicado a su entrada. Para el caso de obtener la respuesta al impulso utilizamos el siguiente comando: >>impulse(G) Y a continuaci´on tendremos el siguiente grafico
Figura 2: Gr´afica de la respuesta del sistema ante un est´ımulo externo de impulso . En este gr´ a fico podemos observar la curva en el tiempo que tendr´ a la salida de este sistema si a la entrada se aplicara un impulso en el tiempo t = 0. Para el caso de obtener la respuesta al escal´ on unitario utilizamos el siguiente comando: >>step(G) Y a continuaci´on obtendremos el siguiente gr´afico:
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Figura 3: Gr´afica de la respuesta del sistema ante un est´ımulo externo de escal´ on unitario . En este gr´ afico podemos observar la respuesta en el tiempo que tendr´ a la salida cuando en la entrada apliquemos un est´ımulo de tipo escal´ on que inicia en el tiempo t = 0 y que tiene una amplitud de valor 1.
3.
Procedimiento
3.1.
Primer sistema
Dado el siguiente sistema:
Figura 4: Diagrama del primer sistema . Considerando que no existe fricci´ on con la superficie podemos partir de la siguiente ecuaci´on: Ma = F − Bv − Kx Si deseamos hallar la funci´ on de transferencia que relacione la posici´ on como salida respecto a la fuerza aplicada como est´ımulo tendr´ıamos finalmente lo siguiente: x(s) 1 = F (s) Ms2 + Bs + K Ahora para poder simularlo necesitamos asignar valores espec´ıficos de masa, coeficiente de fricci´ on viscosa y coeficiente de elasticidad en el resorte. Tomaremos los siguientes valores:
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M = 20Kg B = 4Kg/s K = 5Kg/s2 Para construir en matlab la funci´ on de transferencia redactamos los siguientes comandos: >> M = 20; >> B = 4; >> K = 5; >> num = [1]; >> den = [MBK ]; >> G = tf (num, den) >> impulse(G) Obtendremos la siguiente gr´ afica
Figura 5: Gr´afica de la respuesta del primer sistema ante un est´ımulo externo de impulso. Esta gr´ afica nos muestra el comportamiento de la posici´ o n x de la masa en el tiempo cuando el est´ımulo aplicado es una fuerza en funci´ on de tipo impulso. La amplitud de esta respuesta debemos tomarla en metros y el tiempo en segundos (esto debido a como hemos construido la funci´ on de transferencia) Vemos como tras aplicar una fuerza en el tiempo t=0 de tipo impulso, la posici´ on cambia hasta un pico m´aximo y luego oscila reduciendo de amplitud hasta detenerse en la posici´ on original en un tiempo aproximado de 60 seg. El resorte almacena la energ´ıa y es el motivo por el cual el sistema oscilar´ıa de manera permanente, pero el amortiguador de fricci´ on viscosa disipa la energ´ıa en forma de calor oponi´endose al cambio de posici´ on (velocidad), por lo cual progresivamente se va perdiendo energ´ıa hasta detenerse. Puede probar cambiando el valor de B, si lo reducimos el sistema oscilar´a con mayor amplitud y por un mayor tiempo antes de detenerse, pero si lo aumentamos la oscilar´a con menor amplitud y el tiempo ser´a m´as corto, es decir que B es un factor que tiende a amortiguar el sistema. Ahora probemos el mismo sistema aplicando un est´ımulo de tipo escal´ on unitario. Debemos redactar el siguiente comando. 6
>> step(G) Obtendremos el siguiente gr´ afico:
Figura 6: Gr´afica de la respuesta del primer sistema ante un est´ımulo externo de escal´ on unitario. En este gr´ afico podemos ver como la posici´on cambia en el tiempo. En este caso el est´ımulo debemos considerarlo una fuerza de valor unitario (1 newton) que inicia en el tiempo t=0 y se mantiene en ese valor de manera continua. Como vemos la posici´on se estabiliza en 0,2mts en aproximadamente 60seg. El sistema oscila inicialmente debido al resorte y se amortigua la oscilaci´on debido al amortiguador de fricci´on viscosa. Al final solamente queda un equilibrio entre la fuerza aplicada de 1 newton y la fuerza del resorte que la iguala. Ahora tomando en cuenta el mismo sistema, obtenga los gr´aficos de respuesta al impulso y al escal´on unitario para las siguientes funciones de transferencia, y luego descr´ıbalas. v(s) a). F (s) La funci´on de transferencia es: v(s) s = F (s) 20s2 + 4s + 5
La gr´afica de respuesta al impulso es:
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Figura 7: Gr´afica de respuesta al impulso de v(s)/F (s) Esta gr´ afica nos muestra el comportamiento de la velocidad v de la masa en el tiempo cuando el est´ımulo aplicado es una fuerza en funci´ on de tipo impulso. La amplitud de esta respuesta debemos tomarla en metros por segundo y el tiempo en segundos (esto debido a como hemos construido la funci´ on de transferencia). Vemos como tras aplicar una fuerza en el tiempo t = 0 de tipo impulso, la velocidad cambia hasta un pico m´aximo y luego oscila reduciendo de amplitud hasta detenerse en la posici´on original en un tiempo aproximado de 50 seg.
on unitario es: La gr´afica de respuesta al escal´
Figura 8: Gr´afica de respuesta al escal´ on unitario de v(s)/F (s) En este gr´ afico podemos ver como la velocidad cambia en el tiempo.
8
En este caso el est´ımulo debemos considerarlo una fuerza de valor unitario (1 newton) que inicia en el tiempo t = 0 y se mantiene en ese valor de manera continua. Como vemos la velocidad se estabiliza en 0m/s en aproximadamente 60seg. El sistema oscila inicialmente debido al resorte y se amortigua la oscilaci´ on debido al amortiguador de fricci´on viscosa. Al final solamente queda un equilibrio entre la fuerza aplicada de 1 newton y la fuerza del resorte que la iguala. a(s) b). F (s) La funci´on de transferencia es: v(s) s2 = F (s) 20s2 + 4s + 5
La gr´afica de respuesta al impulso es:
Figura 9: Gr´afica de respuesta al impulso de a(s)/F (s) Esta gr´ afica nos muestra el comportamiento de la aceleraci´ on a de la masa en el tiempo cuando el est´ımulo aplicado es una fuerza en funci´ on de tipo impulso. La amplitud de esta respuesta debemos tomarla en metros por segundo al cuadrado y el tiempo en segundos (esto debido a como hemos construido la funci´ on de transferencia). Vemos como tras aplicar una fuerza en el tiempo t = 0 de tipo impulso, la aceleraci´on cambia hasta un pico m´aximo y luego oscila reduciendo de amplitud hasta detenerse en la posici´on original en un tiempo aproximado de 45 seg.
on unitario es: La gr´afica de respuesta al escal´
9
Figura 10: Gr´afica de respuesta al escal´ on unitario de a(s)/F (s) En este gr´ afico podemos ver como la aceleraci´ on cambia en el tiempo. En este caso el est´ımulo debemos considerarlo una fuerza de valor unitario (1 newton) que inicia en el tiempo t = 0 y se mantiene en ese valor de manera continua. Como vemos la aceleraci´ on se estabiliza en 0m/s2 en aproximadamente 50seg. El sistema oscila inicialmente debido al resorte y se amortigua la oscilaci´ on debido al amortiguador de fricci´on viscosa. Al final solamente queda un equilibrio entre la fuerza aplicada de 1 newton y la fuerza del resorte que la iguala.
3.2.
Segundo sistema
Dado es siguiente sistema:
Figura 11: Diagrama del segundo sistema. Tomaremos los siguientes valores: M 1 = 10Kg M 2 = 5Kg B = 4Kg k1 = 5Kg/s2 k2 = 2Kg/s2
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Ahora tomando en cuenta el mismo sistema, obtenga los gr´aficos de respuesta al impulso y al escal´on unitario para las siguientes funciones de transferencia, y luego descr´ıbalas. x2(s) a). F (s) La funci´on de transferencia es: x2 (s) 2 = F (s) 50s4 + 20s3 + 55s2 + 8s + 10
La gr´afica de respuesta al impulso es:
Figura 12: Gr´afica de respuesta al impulso de x2 (s)/F (s) Esta gr´ afica nos muestra el comportamiento de la posici´ on 2 x 2 de la masa 2 (M 2 ) en el tiempo cuando el est´ımulo aplicado es una fuerza en funci´ on de tipo impulso. La amplitud de esta respuesta debemos tomarla en metros y el tiempo en segundos (esto debido a como hemos construido la funci´ on de transferencia). Vemos como tras aplicar una fuerza en el tiempo t = 0 de tipo impulso, la posici´on 2 cambia hasta un pico m´aximo y luego oscila reduciendo de amplitud hasta detenerse en la posici´on original en un tiempo aproximado de 100 seg.
La gr´afica de respuesta al escal´ on unitario es:
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Figura 13: Gr´afica de respuesta al escal´ on unitario de x 2 (s)/F (s) En este gr´ afico podemos ver como la posici´ on 2 cambia en el tiempo. En este caso el est´ımulo debemos considerarlo una fuerza de valor unitario (1 newton) que inicia en el tiempot = 0 y se mantiene en ese valor de manera continua. Como vemos la posici´on 2 se estabiliza en 0.2 m en aproximadamente 100 seg. El sistema oscila inicialmente debido al resorte y se amortigua la oscilaci´ on debido al amortiguador de fricci´on viscosa. Al final solamente queda un equilibrio entre la fuerza aplicada de 1 newton y la fuerza del resorte que la iguala. x1(s) b). F (s) La funci´on de transferencia es: x1 (s) 5s2 + 2 = F (s) 50s2 + 20s3 + 55s2 + 8s + 10 La gr´ afica de respuesta al impulso es:
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Figura 14: Gr´afica de respuesta al impulso de x1 (s)/F (s) Esta gr´ afica nos muestra el comportamiento de la posici´ on 1 x 1 de la masa en el tiempo cuando el est´ımulo aplicado es una fuerza en funci´ on de tipo impulso. La amplitud de esta respuesta debemos tomarla en metros y el tiempo en segundos (esto debido a como hemos construido la funci´ on de transferencia). Vemos como tras aplicar una fuerza en el tiempo t = 0 de tipo impulso, la posici´on 1 cambia hasta un pico m´aximo y luego oscila reduciendo de amplitud hasta detenerse en la posici´on original en un tiempo aproximado de 90 seg. La gr´ afica de respuesta al escal´ on unitario es:
Figura 15: Gr´afica de respuesta al escal´ on unitario de x 1 (s)/F (s) 13
En este gr´ afico podemos ver como la posici´ on 1 cambia en el tiempo. En este caso el est´ımulo debemos considerarlo una fuerza de valor unitario (1 newton) que inicia en el tiempo t = 0 y se mantiene en ese valor de manera continua. Como vemos la posici´on 1 se estabiliza en 0.2 m en aproximadamente 90seg. El sistema oscila inicialmente debido al resorte y se amortigua la oscilaci´ on debido al amortiguador de fricci´on viscosa. Al final solamente queda un equilibrio entre la fuerza aplicada de 1 newton y la fuerza del resorte que la iguala.
4.
Cuestionario • Describa
la funci´ on impulse :
Calcula la respuesta impulso unitario de un modelo de sistema din´ amico. Para los sistemas din´amicos en tiempo continuo, la respuesta de impulso es la respuesta a una entrada de Dirac δ (t). Para los sistemas de tiempo discreto, la respuesta de impulso es la respuesta a un impulso unidad de a´rea de longitud T y la altura de 1/T , donde T es el tiempo de muestreo del sistema. (Este pulso se acerca δ (t) como T se aproxima a cero.) Para los modelos de espacio de estado, impulso asume valores iniciales de estado son cero. s
s
s
s
• Describa
la funci´ on step:
La funci´on step es una de las m´ as usadas del Matlab para dise˜ no en control. Dado un sistema que puede describirse por ya sea una funci´ on de transferencia o un conjunto de ecuaciones de espacio de estado, la respuesta a un entrada escal´ on puede graficarse inmediatamente. Una entrada escal´ on puede describirse como un cambio en la entrada desde cero a un valor finito en el tiempo t = 0. Por defecto, el comando step hace un escal´on unitario 1(t) (es decir, la entrada va desde cero a uno en el tiempo t = 0). • En
el ejemplo del primer sistema , ¿de qu´ e manera puedo obtener la respuesta en la posici´ o n x respecto a una fuerza F de tipo escal´o n pero de amplitud 3 newton? : Cuando aplicamos una entrada de tipo escal´ on unitario(F = 1N.), hace que el sistema se equilibre en una posici´on que depende del resorte en el que directamente se aplica la fuerza. En el primer sistema , k = 5 entonces se aplica: F = kx 1 = 5x x = 0,2m Para obtener de 3 de amplitud, entonces k = 1/3
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Figura 16: Gr´afica de respuesta al escal´ on de una amplitud de 3 Newton de x(s)/F (s)
5.
Bibliograf´ıa
1. Documentaci´ on de clase. 2. Ayuda interna de Matlab.
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