3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitario
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3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitario Función Escalón Unitario
También llamada función salto unidad de Heaviside, y con frecuencia se utiliza en aplicaciones que tratan casos o situaciones que cambian de manera abrupta en tiempos tiempos específicos. Para esto se necesita una notación para una función que suprima un término dado hasta cierto valor de t e inserte ese término para todo valor mayor que t . Esta función nos proporciona una herramienta poderosa para construir transformadas inversas. Varias funciones discontinuas frecuentemente se pueden expresar en términos de esta función por eso es el punto de partida para el tema de las funciones definidas por tramos. u (t
0 si t < a − a) = 1 si t < a
(1)
Para cada constante a la gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura
µ(t-a) 2 ) t ( f
1
a
t
Figura 3.5.1.1 Función escalón u ( t − − a )
Obsérvese que se ha dejado u ( t − a ) indefinida en t
= a , y la figura 3.5.1.1 incluye un
segmento vertical. El segmento vertical es tan sólo una conveniencia del diagrama en este caso, y de ninguna manera es parte de la gráfica de una función. Con respecto al porqué u (t ) queda indefinido, existen dos razones: primero, la definición de u ( t ) no afecta a la transformada de Laplace de u ( t − a ) . La transformada de Laplace se define mediante integrales, que no se ven afectadas por el valor de la función en un punto dado cualquiera, al integrar. Al dejar sin definir algunos valores nos evitamos molestias y detalles innecesarios que provoquen distracción de lo que nos ocupa. Segundo, cada vez que resulte
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apropiada la definición de u ( t ) por alguna razón, tenemos que estar libres para determinar el valor apropiado a la situación. Nos ocuparemos de las funciones de escalón unitario u ( t − a ) tan solo para a > 0 debido a que una transformada de Laplace se define mediante una integral para t ≥ 0 y, por lo tanto, no se ve afectada por la forma en que se define la función cuando t es negativa. En consecuencia, cuando a ≤ 0 , la transformada de Laplace de u ( t − a ) es igual que la de la función 1 . Cuando a > 0 , la trasformada de Laplace de u ( t − a ) es más interesante. Por definición tenemos L
∞ − st
{u (t − a)} = ∫0
e
[ u(t − a)] d t
(2)
Sustituyendo los valores de la función F ( s) = 1
Simplificando F ( s) = − e s
− st
(1) dt
) a
− e− sa )
(
De tal manera que
e
a
Suponiendo que s > 0 , entonces lim e
e
a
∞
1 Aplicando límites F ( s) = − lim ( e− sb s b →∞
s
∫
∞ − st
− st
Integrando F ( s) = − lim ( e s b →∞
1
0
e− st ( 0 ) dt +
b
1
Por lo tanto F ( s ) = −
∫
a
− s( ∞ )
)→0
− as
1 { (t − a )} = s e−as
L µ
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si a
> 0
(3)
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Ejemplo 3.5.1.1
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0 Encontrar la transformada de Laplace de f (t ) = 2 1
si
0 ≤ t < 1
si
1 ≤ t < 3
si
t ≥ 3
La gráfica de esta función aparece en la figura 3.5.1.2 y muestra un salto (incremento) de 2 unidades en t = 1 y una caída (disminución) de 1 unidad en t = 3
5 4 ) t (
2µ(t-1)-µ(t-3)
3
f
2 1 0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.5.1.2 Gráfica de f (t ) = 2u (t − 1) − u (t − 3)
En términos de función escalón tenemos f (t ) = 2u (t − 1) − u (t − 3) En general, cualquier combinación lineal de funciones escalonadas unitarias b1u (t − a1 ) + b2 u( t − a2 ) + + bn u( t − an )
(4)
Podremos decir que existen saltos o caídas de puntos t = ai de acuerdo con los coeficientes bi , los coeficientes positivos corresponden a saltos, los coeficientes negativos corresponden a caídas. Usando f (t ) = 2u (t − 1) − u (t − 3) , aplicando L { f (t )} = 2L {u (t − 1)} − L {u (t − 3)}
y utilizando la fórmula (3) L {u ( t − a )} =
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1 − as e si a s
> 0 , obtenemos
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Por lo que F ( s) =
2 s
e− s
−
1 s
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e−3 s
2 si 0 ≤ t < 2 Ejemplo 3.5.1.2 Encontrar la Transformada de Laplace de f (t ) = −1 si 2 ≤ t < 5 1 si t ≥ 5 La gráfica de f (t ) se muestra en la figura 3.5.1.3, esta es una función discontinua en dos puntos, con un caída de 3 unidades en t = 2 y salto de 2 unidades en t = 5 , estas discontinuidades se pueden eliminar con la función −3u (t − 2) + 2u (t − 5) , que tiene el mismo salto y caída. El resultado es una función continua cuya gráfica se muestra en la figura. 3
2−3µ(t-2)-2µ(t-5)
2 1 ) t ( f
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1 2 3 t
Figura 3.5.1.3 Gráfica de f (t ) = 2 − 3u ( t − 2 ) + 2u ( t − 5)
Aplicando el esquema mencionado en (1.2), (1.4) y (1.6) de la sección 3.5 f (t ) = {2 − 2u ( t − 2)} + ( −1) {u ( t − 2 ) − u ( t − 5 )} + {u ( t − 5)}
(5)
Que corresponde a la suma de cada una de las tres porciones representadas en términos de la función escalón. Realizando las operaciones nos queda f (t ) = 2 − 3u ( t − 2 ) + 2u ( t − 5 )
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Que al aplicar (3), obtenemos la transformada de Laplace F ( s) =
2 s
−
3 s
e−2 s
+
2 s
e−5 s
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