Guía de Estudio N° 1 Escriba dentro del paréntesis bajo la columna “Variable”, un 2 si es Variable Discreta, un 4 si es Variable Continua y un 5 si es Variable Cualitativa.
Variable 1. (4)
* La velocidad de un automóvil en km/h
2. (2)
* El número de iglesias de Comayagua
3. (2)
* Los arboles cortados por día en los bosques hondureños
4. (2)
* El toral de tornillos producidos por día en una fabrica
5. (2)
*
Número
de
abortos
reportados
mensualmente
en
Tegucigalpa 6. (4)
* El tiempo requerido para realizar un trabajo
7. (5)
* La religión de un individuo
8. (5)
* La raza de un individuo
9. (2)
* La altura de un tipo experimental de un maíz
10. (2)
* El periodo de duración de un bombillo de electricidad
11. (4)
* Carretera en km por clase
12. (2)
* Producción agrícola seleccionada
13. (4)
* Longitud de cerrojos producidos por una fabrica
14. (2)
* El precio de un articulo
15. (2)
* El número de camas en un hospital
16. (2)
* El coeficiente intelectual de las personas
Se requiere saber el costo de la educación. Uno de los gastos que hace un estudiante es la compra de libros de texto. Sea x el costo de todos los libros este semestre por cada estudiante de cierta universidad. Describir. 17. La población (Todos los estudiantes) 18. La muestra (Los que compraron el libro parte de los estudiantes)
Un niño de 12 años quiere saber la diferencia entre muestra y población 19. ¿Qué información le daría como respuesta? Población: Los elementos que son objetos de estudio estadístico. Muestra: Parte de la población en estudio. 20. ¿Qué rezones le daría sobre el porqué se debe tomar una muestra en vez de estudiar a cada miembro de la población? R/ Porque la muestra solo toma como interés, una parte de la población que comparten la misma característica, para efectuar un estudio característico.
Determine las modalidades en que se dividen las siguientes variables: 21. Estado civil: cualitativa 22. Nivel de escolaridad hondureña: continua 23. Nivel social: continua 24. Asistencia escolar: esc olar: discreta 25. Tipo de construcción: Cualitativa 26. Categoría de una población según el tamaño: Continua Un técnico de control de calidad selecciona partes de una línea de ensamblaje y anota para cada una de ellas la siguiente información: Clasifique las respuestas como 1 = atributo; 2 = dato de variable; 3 = dato de variable continua. Escribirlos dentro del paréntesis. 27. (1) Si una pieza está o no n o defectuosa 28. (2) El número de identificación de la persona que armo ar mo la pieza. 29. (3) El peso de la pieza Identificar cada uno de los casos y escribir dentro del paréntesis: 1 = atributo; 2 = variable discretas; 3 = variable continua 30. (1) La resistencia re sistencia a la ruptura de un determinado tipo de cuerda
31. (1) El color del cabello de los niños que están viendo televisión 32. (2) Numero Numer o de señales de tránsito en poblados con c on menos de 5000 personas 33. (1) Si una llave de lavadora esta defectuosa o no 34. (2) Numero de preguntas correctas contestadas en un examen e xamen de Matemáticas 35. (3) El tiempo que qu e se necesita para contestar una llamada telefónica 36. (3) El resultado de la encuesta hecha por un grupo de votantes acerca del candidato de su preferencia 37. (3) El tiempo necesario para que una herida cicatrice cuando c uando se utiliza un nuevo medicamento 38. (2) El número de llamadas telefónicas recibidas en un conmutador en 10 minutos 39. (3) La distan a la que puede llegar un balón de futbol al ser pateada 40. (2) El número de páginas escritas por minuto en e n una impresora de alta velocidad 41. (1) La clase clas e del árbol utilizado como símbolo navideño 42. (1) Las marcas mar cas de las computadoras computador as que tiene un laboratorio lab oratorio de computo
Guía de Estudio N° 2 Del número 1 al 10, indique si la expresión es verdadera o falsa. Si es falsa, anote la respuesta correcta sobre la raya. 1. (F)
Las gráficas, tablas y diagramas que muestra los datos, son ejemplos
de Estadísticas Inferencial Estadística descriptica __________________________________________ 2. (F)
Una muestra de consumidores probo una nueva hojuela de queso y
la clasifico de excelente, muy buena, regular o mala. El nivel de medición para esta investigación es de intervalo. Es de nivel ordinal______________________________________________ 3. (F)
Un sindicato de plomeros y colocadores de tubería tiene 5020
agremiados. Se seleccionó e interrogo a un grupo representativo de 248 integrantes. Se considera que 248 es la población. Es
la
muestra__________________________________________________ 4. (V)
Un total de 9350 madres solteras menores de 15 años tuvieron un
hijo. El año pasado hubo 6950 muertes accidentales en enero. La mayor trucha pescada en un lago peso 25 kilogramos. A este conjunto de cifras y datos se le denomina estadística. ____________________________________________________________ _______________________________ _____________________________ 5. (V)
Los métodos empleados para saber algo acerca de la población de
truchas en el Lago de Yojoa con base en una muestra de 40 truchas se denomina Estadística Inferencial. _________________________________ ___________________________ 6. (F)
Gallup y otras empresas de sondeos de opinión rara vez emplean
métodos de muestro porque las poblaciones con las que trabajan son muy grandes. Siempre emplean métodos de muestreo____________________________ 7. (V)
La cámara de comercio preguntó a una muestra de personas que se
asoleaba en Tela, si vivían en Tela o en una zona a mensos de 30 millas de
la playa, si vivían fuera del departamento, o en un a país extranjero. Este proyecto de investigación se relaciona con datos de nivel nominal. _________________________________ ___________________________ 8. (V)
La oficina de Censo informo que hay 12 955 000 trabajadores de
producción en la industria manufacturada. A esta cifra se le denomina valor estadístico _________________________________ ___________________________ 9. (V)
El nivel nominal se denomina como el “más bajo” nivel de datos y
estos deben ser mutuamente excluyentes. __________________________________ __________________________ 10. (F)
Se seleccionó una muestra de 3014 trabajadores en la industria del
acero para determinar si irían a la huelga el lunes. Más del 50% de las personas de la muestra indicaron que lo harían. Puesto que el número de muestra es grande y los que están a favor de la huelga constituyen más del 50%, puede suponerse que la mayoría delos trabajadores de la industria de acero están a favor de una huelga. La
mayoría
de
las
personas
están
de
acuerdo_________________________ 11. Una Cía. Comercial de Puerto Cortes pidió a una muestra de 1960 consumidores que probaron un platillo de pescado congelado de elaboración reciente por un fabricante, denominado Fish Delight. De los 1960 consumidores consultados 1176 dijeron que probarían el platillo si se pusiera a la venta. a) ¿Qué informara la compañía compañía al fabricante respecto respecto a la aceptación de Fish Delight? R/ Se informa que el 60% comprara Fish Delight. b) ¿Es este un ejemplo de estadística descriptiva o inferencial? inferencial? R/ Inferencial. 12. La Direcciones de Censos y Estadisticas de Honduras informo acerca de las poblaciones en los siguientes lugares.
Ciudades La Ceiba San Pedro Sula Choluteca Juticalpa Danlí
No. Personas 37 400 50 873 30 102 25 700 26 400
¿Qué nivel de medición reflejan estos datos? ¿Por qué? R/ Nominal. Porque son datos que pueden contarse y colocarse en grupos. 13. La calificación de un examen especial aplicado al personal del ejército interesado en asistir a la Escuela para Oficiales son: Puntuación
No. Solicitantes
90 – 90 80 - 89 70 - 79 60 - 69 Menos de 60
42 19 7 4 3
¿Qué nivel de medición representan estos datos? R/ De intervalo.
Guía de Estudio N° 3 Elabora un estadístico para la siguiente información: 1. Se entrevistaron muestras aleatorias de hombres y mujeres para determinar si fumaban cigarrillos o no. Se encontró que de 29 hombres, 15 eran fumadores y que de 30 mujeres, 20 eran fumadoras. Sexo Masculino Femenino Total
Fumadores 15 20 35
No fumadores 14 10 24
Total 29 30 59
2. En 2006 los graduados de la UNAH fueron 1979 de los cuales 1176 eran hombres. En el área Físico –Matemática se graduaron 323 hombres y 225 mujeres; en el área Económica- Administrativa 280 fueron hombres y 193 mujeres; en el área de Ciencias Biológicas y de la Salud fueron 273 hombres y 180 mujeres y en el área de Ciencias Sociales 300 fueron hombres y 205 mujeres. Los datos fueron proporcionado por la Sección de Estadísticas de la UNAH, en ese mismo año. Áreas Físico - Matemáticas Económica- Administrativa Ciencias Biológicas Ciencias Sociales
Masculino 323 280 273 300
Femenino 225 193 180 205
Graduados de la UNAH
R/ Totales marginales 548, 473, 453,505 Gran total 1979 En la distribución de la izquierda completar el cuadro y calcular:
Total 548 473 453 505 1979
Área de Residencia Total Urbana Rural
Población Total 2003(%) 2004(%) 3675.8 2100.6
2986.3 2600.4
2005(%) 5851.0 2800.4
3. La distribución porcentual para cada año Periodo de investigación 25 al 29 noviembre 2006
Población Total Área de Residencia 2003(%) 2004(%) 2005(%) Área Urbana 56.02 53.45 52.14 Área Rural 43.98 46.55 47.86 Total 100.00 100.00 100.00 4. La razón y su significado significado de la población urbana a la rural por año, por cada 100 y cada 1000. R/ La Razón F1 = Frecuencia urbana 2,675.8 F2 = Frecuencia rural 2,100.6 R = 2,675.8/2,100.6(100)
Significado “127 de c/100 de la población rural del 2003 hay 127 pobladores del área urbana” 2004 R = 2,986.3/2,100.6(100) = 115
Significado “Por cada 100 personas de la pob lación rural del año 2004 hay 115 pobladores de la población urbana” 5. La tasa de cambio promedio anual para tipo de población de 2003 – 2005.
R/ La tasa de crecimiento área urbana
Pf = Pi (r+t) ⁿ ⁿ√Pf/Pi = r+t Pf = 2,800.4 Pi = 2,100.6 t=2
t = ²√2,800.4 /2,100.6 – 1 t = 0.1546 Tasa
crecimiento área rural
Pf = 3,050.6 Pi = 2,675.8 n=2
t = ⁿ√3,050.6/2,675.80 – 1 = t = ²√1.1400 -1 t = 1.067-1 = 0.067
6. Proyectar la población rural para el año 2012 tomando como base la población de 2003 usando la tasa calculada en el problema anterior. Rural P 2012?? = Pf P 2003 = 2100.6 Pv n = 9 años
Pf = Pv (1+t) ⁿ Pf = 2100.6 (1+0.1546) Pf = 2100.6 (3.6465)
⁹
Pf = 7659.97 Pf = 7660 P 2012 = 7660 7. Proyectar la población urbana para el año año 2015 tomando como base la población 2003 y después la de 2005. ¿Cómo ambos resultados? Usar la tasa calculada en el problema N° 5. Urbana 2003 P 2015?? = Pf P 2003 = 2675.8 n = 12 años
Pf = Pv (1+t) ⁿ Pf = 2675.8 (1+0.067)¹² Pf = 2675.8 (2.1775) Pf = 5826.55 Pf = 5827
Urbana 2005 P 2003?? = Pf P 2005 = 3050.6 n = 10 años
Pf = Pv (1+t) ⁿ Pf = 3050.6 (1+0.67)¹
⁰
Pf = 3050.6 (1.91226) Pf = 5834.51 Pf = 5835
En la distribución de la izquierda, calcular: 8. La tasa de cambio promedio anual para los alumnos de 2° Periodo. Presencial y proyectar esta población para el año 2015, tomando como base la población del 2005.
R/ t ⁿ√Pf/Pi - 1 = 2√ 21756/16900 – 1 = 2√ 1.287337278 -1 = 1.134608866- 1 t = 0.134608866
Pf = Pi (1+t) ⁿ = P
₂₀₁₅
⁰
= 21756 (1+0.134608866) ¹ = 21756(1.134608866) ¹
P2015 = 21756 (3.535588621) = 76920.2
9. Lo mismo que en el problema de N°8, para 3° Periodo de Distancia.
R/ t ⁿ√Pf/Pi – 1= ²√16433/13700 -1 = ²√1.199489051 -1 = 1.095211875-1 = t = 0.095211875
Pf = P1 (1+t) ⁿ = P
₂₀₁₅
= 16433 (1+0.095211875) ¹
= 16433 (1.095211875) ¹ = 16433 (2.48302699)
₂₀₁₅
P
= 40803.5
⁰
⁰
⁰
10. La tasa de cambio promedio anual de toda la población de la UPN del 2003
– 2005 y proyectar esta población en el año 2020, tomando como base la población del 2004.
R/ t ⁿ√Pf/Pi – 1= ²√77694/61000 -1 = ²√10273672131 = 1.128570836-1 t = 0.128570836
Pf = P1 (1+t) ⁿ = P
₂₀₂₀
= 48542(1+0.128670836)¹
= 48542(1.128570836) ¹ = 48542(6.92566004)
⁶
⁶
= 336185.3 A partir del cuadro siguiente, completar y calcular: 11. La razón y su significado de matrícula en Ciencias Naturales en el 2002, a la de Ciencias Sociales en el 2004 por cada 100 y por cada 1000. R/ f1 = Ciencias Naturales 1435 ---- 2002 f2 = Ciencias Sociales 2450 ----- 2004 2002
2004
R = 1435/2150 (100) = 67
R = 1435/2450(100) = 668
R = Por cada 100 de matriculados en Ciencias Sociales en el 2004 hay 67 matriculados de Ciencias Naturales en el 2002 y por cada 100 de Ciencias Sociales se matricularon 668 en Ciencias Naturales en esos mismos años. 12. La razón y su significado de matriculados en Matemáticas en el 2002, a la de Orientación en el 2005 para 100 y por cada 1000. R/ f1 = Matemáticas 2002 = 1118 f2 = Orientación 2005 = 382
R = 382/1118(100) = 34
R = 382/1118(1000) = 342
R = Por c/100 matriculados en Matemáticas hay 34 Matriculas en Orientación en el 2002 y por c/1000 matriculados en Orientación se matricularon 342 en matemáticas. 13. La razón y su significado de matriculados en Educación Física en el 2003 a la Educación Técnica Industrial en ese mismo año por cada 100 y por cada 1000. R/ f1 = Educación Física 2003 = 193 f2 = Técnico Industrial 2003 = 347 R = 193/347(100) = 56
R = 193/347(1000) = 557
R = Por c/100 matriculados en Educación Técnico Industrial hay 56 Matriculas en Educación Física en el 2003 y por c/1000 matriculados en Educación Física hay 557 en Educación Técnico Industrial. 14. ¿Cuántos matriculados hubieron en Ciencias Comerciales en el 2003 por cada 100 de Educación Especial en el 2004? ¿por cada 1000? R/ f1 = Ciencias Comerciales 2003 = 1238 f2 = Educación Especial 2003 = 118 R = 118/1238(100) = 10
R = 118/1238(1000) = 97
R = Por c/100 matriculados en Ciencias Comerciales hay 10 Matriculas en Educación Especial en el 2003 y por c/1000 matriculados en Educación Especial hay 95 en Ciencias Comerciales. 15. ¿Cuántos matriculados hubieron hubier on en la Facultad Facu ltad de Humanidades en el 2002 por cada 100 de la Facultad de Ciencias y Tecnología en el 2005? ¿por cada 1000? R/ f1 = Facultad Humanidad 2002 = 6185
f2 = Facultad de Ciencias y Tecnologia 2005 = 6747 R = 6185/6747(100) = 92
R = 6185/6747(1000) = 917
R = Por c/100 matriculados en Ciencias y Tecnología hay 92 Matriculas en Facultad Humanidad y por c/1000 matriculados en Facultad Humanidad hay 917 en la Facultad Ciencias y Tecnología. Universidad Pedagógica Nacional “Francisco Morazán” Honduras C.A Matricula por Facultad y Carrera 2002-2003
Años
2002
Facultad y N° Carrera FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA Matemáticas 1 118 Educación Comercial 1 238 Ciencias Naturales 1 238 Educ. Técnica Industrial 289 Educ. Téc. Para el Hogar 1 462 Turismo y Hotelería 389 Educ. Seg. Alimentaria Informática Educativa -
Años Facultad y Carrera FACULTAD HUMANIDADES
2003 %
N°
%
N°
2005 %
N°
1 046
997
1 302
1 193
1 384
1 498
1 282
1 269
1 693
347 1 318
380 1 226
450 1 254
410 57 1
431 56 28
468 82 -
2002 N°
2004
2003 %
N°
2004 %
N°
%
2005 %
N°
DE
Ciencias Sociales 2 500 Letras y Lenguas 1 673 Español
2 226 1 553
2 150 1 470
2 139 1 562
%
Letras y Lenguas Ingles Educación Física Orientación Educativa Administración Educativa Educación Pre-Escolar Educación Especial Dirección Escolar Supervisión Educativa Ciencias de la Educación Arte Francés Educación Musical Educación de Adultos Educ. Básica Bilingüe Educación Básica TOTAL
936 186 299 186 110 127 1 110 22 13 22
936 193 296 205 136 112 140 30 31 58 100.0
912 196 318 238 163 118 1 189 31 2 1 83 116 100.0
896 263 382 267 225 152 258 46 158 322 100.0
100.0
Universidad Pedagógica Nacional “Francisco Morazán” Honduras C.A Matricula por Facultad y Carrera 2002-2003
Años
2002
Facultad y Carrera FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA Matemáticas Educación Comercial Ciencias Naturales Educ. Técnica Industrial Educ. Téc. Para el Hogar Turismo y Hotelería Educ. Seg. Alimentaria Informática Educativa
Años Facultad y Carrera
2003
2005 20 05
Total Marginales
N°
%
N°
%
N°
%
N°
%
1 118 1 238 1 238 289 1 462
18.9 20.9 24.2 4.9 24.6
1 046 1 193 1 282 347 1 318
18.5 21.1 22.7 61 23.3
997 1 384 1 269 380 1 226
17.3 24.0 22.0 6.6 21.2
1 302 1 498 1 693 450 1 254
19.3 22.2 25.1 6.7 18.6
4 463 5 313 5 679 1 466 5 260
389 -
6.5 -
410 57 1
7.3 1.0 0.0
431 56 28
7.4 1.0 0.5
468 82 -
6.9 1.2 -
1 698 195 29 20 203
2002 N°
2004
2003 %
N°
2004 %
N°
2005 %
N°
Total Marginales %
FACULTAD DE HUMANIDADES Ciencias Sociales Letras y Lenguas Español Letras y Lenguas Ingles Educación Física Orientación Educativa Administración Educativa Educación PreEscolar Educación Especial Dirección Escolar Supervisión Educativa Ciencias de la Educación Arte Francés Educación Musical Educación de Adultos Educ. Básica Bilingüe Educación Básica TOTAL
2 500 1 673
40.4 27.0
2 226 37.6 1 553 26.3
2 150 35.9 1 470 24.5
2 139 1 562
32.1 23.4
9 015 6 258
936
15.1
936
15.8
912 9 12
15.2
896
13.4
3 680
186 299
3.0 4.8
193 296
3.3 5.0
196 318
3.3 5.3
263 382
3.9 5.7
838 1 295
186
3.0
205
3.5
238
4.0
267
4.0
896
110
1.8
136
2.3
163
2.7
225
3.4
634
127 1
2.1 0.0
112 -
1.9 -
118 1
2.0 0.0
152 -
2.3 -
509 2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
110 22 13 22 6 185
1.8 0.4 0.2 0.4 100.0
140 30 31 58 5 916
2.4 0.5 0.5 0.9 100.0
189 31 2 1 83 116 5 988
3.2 0.5 0.0 1.5 1.9 100.0
258 46 158 322 6 678
3.9 0.7 2.4 4.8 100.0
697 129 2 1 284 578
Guía de Estudio N° 4 1. Construya un diagrama de barras simples.
Montaña Everest Mickinley Popocotepec Matterharm Galeras
Altura 8848 6187 5452 4502 4270 Altura de las montañas 8848
9000 8000 7000
6187
6000
s t m5000 a r u t 4000 l A
5452 4502
4270
3000 2000 1000 0 Everest
Mickinley
Popocotepec
Matterharm
Galeras
Montañas
2. La tabla representa la temperatura máxima media para para el mes de Julio de 6 años, construya un diagrama de barra simple para ilustrar esa información.
Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Temperatura 29 28 29 30 32 35
Temperatura Maxima Max ima 35 35
29
28
29
30
2001
2002
2003
2004
30
32
25 a r u t 20 a r e p 15 m e T 10 5 0 2005
2006
Año
3. Se hizo un estudio del número de automóviles que pasaban por un circuito circuito de calles, construya una barra simple para la información dada.
Hora 6-7 am 7-8 am 8-9 am 9-10 am 10-11 am 11-12 am 12-1 pm
Numero de autos 48 244 360 121 72 112 213
Numero de autos 360 400
s o t u 300 A e d s 200 o r e m100 ú N
244
213 121
112 72
48
0 6-7 am
7-8 am
8-9 am
9-10 am 10-11 am 11-12 am 12-1 pm
4. La siguiente tabla muestra la matrícula de escuelas privadas de Tegucigalpa, San Pedo Sula y Ceiba de 2004 y 2006 construir un diagrama de barras comparativas y otro de barra compuesto para la siguiente información. Año 2004 2005 2006
Matricula miles 5.5 3.0 1.5 7.0 2.0 2.5 6.0 4.0 2.0
Comparativa 7 s 6 a d a 5 v i r P 4 s a 3 l u c i t 2 a M1
0 2004
2005
Años Matricula miles
2006
Compuesto
12 s a 10 d a v 8 i r P s 6 a l u c i 4 r t a M 2
[VALOR].0
2.5 1.5 [VALOR].0
[VALOR].0
[VALOR].0
[VALOR].0
5.5
[VALOR].0
0 2004
2005
2006
Año Matricula miles
5. Trazar un diagrama circular del siguiente siguiente cuadro.
Carreteras Pavimentadas Transitable S/Tiempo Transitable en verano Total
1995 2,066 8,366 6,554
1996 2,081 8,576 6,608
1997 2,173 8,852 6,922
16,984
17,265
17,947
Carreteras
12.11% 38.57%
49.32%
Pavimentadas
Transitable S/Tiempo
Transitable Verano
6. Trazar un diagrama de barras comparativas para la siguiente información de algunas escuelas normales también trazar el diagrama de barra compuesto.
Año 2000 2001 2002 2003 2004
Tegucigalpa 410 470 550 600 500
La Paz 250 290 360 400 350
Trujillo 150 250 300 275 200
Choluteca 200 300 225 200 175
Diagrama Barras Comparativas 600 s 500 e a m r 400 o N300 s a l e 200 u c s E 100
0 2000
2001
2002
2003
Años Tegucigalpa
La Paz
Trujillo
Choluteca
2004
Diagrma Barras Compuestas 1600 s 1400 e l a 1200 m r 1000 o N 800 s a 600 l e u 400 c e E 200
225 300 200 150 250
250
410
470
300 360
290
550
200 275 400
600
175 200 350 500
0 2000
2001
2002
2003
2004
Años Tegucigalpa
La Paz
Trujillo
Choluteca
7. Construir un diagrama circular para la siguiente información que permita ver comparativamente el año de los 7 países descritos en la tabla cuyas extensiones territoriales
Países Guatemala Honduras El Salvador Nicaragua Costa Rica Panamá Belice
Ext. Territorial Territor ial 108,889 km² 112,492 km² 20,742 km² 130,000 km² 51,100 km² 77,626 km² 22,965 km²
Frecuencia Relativa
Grados
108,889 / 523,814 = 20%*3.2 = 72 112,492/523,814 = 21.5%*3.2 = 77 20,742/523,814 = 3.9%*3.2 = 14 130,000/523,814 = 24.8%*3.2 = 89 51,100/523,814 = 9.8%*3.2 = 35 77,626/523,814 = 14.8%*3.2 = 53 22,965/523,814 = 4.3%*3.2 = 16
EXTENSIONES TERRITORIALES Belice, 16 Guatemala, 72
Panamá, 53
Costa Rica, 35
Honduras, 77
Nicaragua, 89
El Salvador, 14
8. El Ministerio de Trabajo, realizo una investigación sobre la distribución distribución de obreros de acuerdo con el tipo de industria en que se emplean y obtuvo los siguientes resultados.
Industria
Obreros
Metal Mecánico Construcción
1,200 1,600
Textil Otras
2,320 875
Total
6,025
1,200/6,025*100%= 19.9*3.6=71.64 1,600/6,025*100%= 26.6*3.6=95.76
2,350/6,025*100%= 39.0*3.6=140.4 875/6,025*100%= 14.5*3.6= 52.2 100%
360°
52.2
71.64
95.76
140.4
Metal Mecánico
Construcción
Textil
Otras
9. El precio al cierre de las acciones comunes de NCR por trimestre, de 1995 de acuerdo con el informe anual NCR y con co n el Wall Street Journal es.
Trimestre 1er Trimestre 2do Trimestre 3er Trimestre
Al cierre del año 1995 1996 28½ 43¾
1997 66⅛
30⅝
51⅜
74½
33⅛
47⅛
82⅜
1998 66½
4to Trimestre
40¼
44⅛
63¼
1995
1996
1997
90 80 70 e r r 60 e i c l 50 a o i 40 c e r 30 P
20 10 0 1998
Trimestre 1er Trimestre
2do Trimestre
3er Trimestre
4to Trimestre
10. El departamento del ejército de Estados Unidos informo estas cifras sobre el personal en servicio activo en 1999 y 2006:
Año
Oficiales en Servicio
Oficiales no asignados Masc Fem Masc Fem 1999 136469 5235 23005 193 2006 93973 10000 15225 322 Represente los cambios porcentuales, por sexo, para
Personal alistado Masc 1 141 537 660 847 cada uno de
Fem 11 476 19 558 los 3 grupos
entre 1990 y 2006 en forma de graficas barras bidireccionales. Masc V99-V2006/V2006 = 136,469-10000/93973 = 0.45 = 45% Aumento en un 45% Fem V99-V2006/V2006 = 5235-10000/10000 = -0.47 = -47% Aumento en un -47% Masc 23005-15225/15225 = 0.51 = 51%
Fem = 193-322/322 = -0.40 = 40%
Masc 1 141523-660847 = 0.72 = 72%
Fem 11476-19558/19558 = -041 =
41% Barra Bidireccion por sexo
Mejeres Personal en Lista
Hombres no Asignados 1
Mejeres Oficiales en Servicios -40%
Hombres Personal en Lista 2
Mejeres no Asignadas
-60%
3
-20%
0% Series2
Hombres Oficiales en 20%Servicios40%
60%
80%
Series1
11. De acuerdo con el Bureau of Justice (de Estados Unidos) el número de reclusos con sentencias de muerte, por grupo de edad, es: Edad Numero Menos de 20 años 13 20-24 años 212 25-34 años 804 35-54 años 531 55 años y mas 31 a) Dependiendo de su objetivo, seleccione una forma de gráfica y represente los datos. b) ¿Cuál es el objetivo objetivo de su grafica?
900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Menos de 20 años
20-24 años
25-34 años
35-54 años
55 años y mas
R/ Su objetivo es conocer la tendencia y representar la edad con mayor sentencia de muerte. 12.
Una empresa petrolera en su informe anual menciono las siguientes ventas netas y el costo de ventas desde 2002 (en millones de dólares):
Año Ventas Netas
2002 19 116
2003 15 586
2004 14 534
2005 15 344
2006 17 096
Costo de Ventas
15 776
12 895
12 287
13 486
14 698
Represente en una gráfica la tendencia de estos dos conceptos desde 2002. V.N 20000
C.V
V.N C.V
15000
V.N
V.N
V.N
C.V
C.v
C.V
10000 5000 0 2002
2003
2004
2005
Año Ventas Netas
Costo de Ventas
2006
Guía de Estudio N° 5 0. Utilizar la calculadora en forma de Sturges para encontrar el N° de clases sugiriendo el ancho de clases: a) N = 40, Vmax=83, Vmin=43
d) N= 73, Vmax = 80,
Vmin=45 b) N=65, Vmax=78, Vmin=30
e) N=73, Vmax=90, Vmin=36
c) N=80, Vmax=75, Vmin=38
f) N = 94, Vmax = 93,
Vmin=60 a) N = 40 Log=40/1+3.22 N = 1+3.22 (1.602059991) N = 1+5.158633171 N = 6.158633171 K = 7 N° de Clases C = Rg/k = Vmax-Vmin/k C = 40/7 = 83-43/7 C = 40/7 = 5.71428 C = 6 Ancho de clase b) N = 3.22 Log = 75 K = 1+3.22 (1.812913357) K = 1+5.83758101 = 6.84 K = 7 N° de clase C = 78-30/7 C = 48/7 = 6.8571 C = 7 Ancho de la clase c) 1+3.22 Log 80 K = 1+3.22 (1.903089987)
K = 1+6.127949758 = 7.13 K = 8 N° de clase C = 75-38 / 8 C = 37 / 8 = 4.625 C = 5 Ancho de la clase d) K = 1+3.22 1+3.22 Log 73 K = 1+3.22 (1.86332286) K = 1+5.99989961 K = 7 N° de clase C = 80-45 / 7 C = 35 / 7 C = 5 Ancho de clase e) K = 1+3.22 1+3.22 Log 73 K = 1+3.22 (1.86332286) K = 1+ 5.99989961 = 6.99989561 K = 7 N° de clase C = 90-36/7 C = 54/7 = 7.72 C = 8 Ancho de clase f) K = 1+3.22 Log 94 K = 1+3.22 (1.973127854) K = 1+6.353471689 K = 8 N° de clase C = 93-60/8 C = 33/8 = 4.125
C= 5 ancho de clase. clase.
1. Una Compañía de transmisores transmisore s electrónicos, registro como sigue el número de recibos de servicio prestado por cada una de sus 20 tiendas: 801 641 628 731 641 446 342 545 909 568 335 449 727 848 649 229 347 309 575 757 La compañía piensa que una tienda realmente no puede esperar financieramente el punto de equilibrio con menos de 450 servicios prestados mensualmente. Además da un bono financiero al gerente que genere más de 700 servicios al mes. A) Disponer de datos en forma ascendente, b) Calcular el rango, c) ¿Cuántas y que porcentajes de esas tiendas no están consiguiendo el punto de equilibrio?, d) ¿a cuántos y que personajes de gerentes les dan un bono financiero?
a) 229, 309, 335, 347, 342, 446, 449, 545, 568, 575, 628, 641, 641, 649, 727, 731, 751, 801, 848, 909 228-275=1 b) Rgo = 909-229/100 = 680/100 = 68
296-363=4 364-431=0
c) 7/20= 35% R/ 7 tiendas no están consiguiendo el punto de equilibrio que representa un 35%.
432-499=2 500-567=1 568-635=3 636-703=3
d) 6/20= 30%
704-771=2
R/ A 6 gerentes les dieron el bono financiero que representa un 30%.
772-839=2 840-909=2__ 20
1. Con los datos de la compañía del problema anterior, el vicepresidente ha
establecido lo que se llama “lista de vigilancia de tiendas”, que es una lista cuya cantidad de servicios es muy baja como para justificar su atención especial por parte de la oficina central. En esta categoría quedan las tiendas cuyos servicios oscilan entre 500 y 600 servicios al mes. ¿Cuántas y que porcentaje de estas tiendas están en lista? Lista de vigilancia 500-600 servicios 500-567=1 568-635=3 4/20=0.20=20% R/ 4 tiendas están listas que representa un 20%. 2. El número de horas que tardan los mecánicos de transmisiones transmisiones en quitar reparar y reemplazar una transmisión en una tienda especializada, en un día son: 8.7, 2.9, 3.4, 5.4, 3.6, 2.7, 4.4, 5.4, 3.2, 4.6, 3.3, 4.1 6.7, 2.3, 3.3, 7.7, 2.2, 5.5, 3.3, 6.7, 4.1, 3.2, 3.3, 5.5 La gerencia de la tienda, da un estímulo económico a los mecánicos que tarden menos de 4 horas; un día de descanso pagado, a los que tardan entre 4 y 6 horas y una llamada de atención a los que tarden más de 6 horas, a) disponer los datos en forma ascendente, b) calcular el rango, c) ¿Cuántas y que porcentajes de personas estimula la gerencia?, d) ¿Cuántos y que porcentaje de mecánicos los mandan a descansar un día?, e ) ¿a cuántos y que porcentaje de mecánicos, les llaman la atención?
a)
2.2, 2.3, 2.7, 2.9, 3.2, 3.2, 3.3, 3.3, 3.3, 3.3, 3.4, 3.6 2.1-2.75=3
b)
4.1, 4.1, 4.4, 4.6, 5.4, 5.4, 5.5, 5.5, 6.7, 6.7, 7.7, 8.7
2.8-3.4=8
Rgo= 8.7-2.2/10 = 6.5/10 = 0.65 = 65%
3.5-4.1=3 4.2-4.8=2
c)
11/24 = 0.24 = 45%
4.9-5.5=4
R/ 11 personas estimula la gerencia que representa un 45%.
5.6-6.2=0 6.3-6.9=2
d).
9/24 = 0.38 = 38%
7.0-7.6=0
R/ 9 mecánicos los mandan a descansar un día que representa 38%.
7.7-8.3=1 8.4-9=1___
e)
4/24 = 0.17 = 17%
24
R/ A 4 mecánicos les llaman la atención que presentan pr esentan un 17%.
3. Una cierta compañía compañía muestreo sus registros de embarque durante cierto dia y obtuvo los siguientes resultados. 4 12 8 14 11 Cambio %X F Xm L.R 6 7 13 -0.5, 0.2 7 -0.35 -0.55, 0.15 11 13 -0.1, 0.2 13 0.05 -0.15, 0.25 11 20 5 0.3, 0.6 8 0.45 0.25, 0.65 19 10 0.7, 0.1 1 0.85 0.65, 1.05 15 7 24 29 6 a) Construir una distribución distribución de frecuencias. Usar intervalos de 6 días b) Calcular Xm. ¿Qué información se puede hacer sobre la eficiencia eficiencia del procesamiento de pedidos a partir de esta distribución? c) Calcular los límites reales de las clases formadas.
Intervalo 4 – 10 11 – 17
F 7 9
Fa 7 16
%F 35% 45%
%Fa 35% 80%
Li – Ls 3.5 – 10.5 10.5 – 17.5
18 – 24 25 – 31
3 1 20
19 20
15% 5% 100%
95% 100%
17.5 – 24.5 25.5 – 31.5
(4ta Clase) Xm = Li+Ls/2 = 25+31/2 = 28 (1era Clase) Xm = 4+10/2 = 7 (2da Clase) = 11+17/2 = 14 (3era Clase) Xm = 18+24/2 = 21 5. Se muestrean a 30 comunidades en el país y se ha explicado los precios en cada una de ellas al inicio y al final de agosto 1999, a fin de averiguar aproximadamente cuanto ha cambiado en ese mes el indicio de precios al consumidor. El cambio porcentual de precios en las 30 comunidades fue: 0.8 0.2 -0.1 0.1 -0.2 0.2 0.3 0.5 -0.1 -0.2 0.0 0.6 0.3 0.2 1.0 -0.4 0.0 0.1 0.3 0.1 -0.5 -0.2 0.0 0.4 0.6 0.0 0.1 -0.2 0.1 0.3 a) Disponer los datos en orden ascendente. b) Con las siguientes clases de igual tamaño, formar una distribución de frecuencias: -0.5 a -0.2;
-0.1 a 0.2; 0.3 a 0.6; 0.7 a 1.0;
c) Formar la columna Xm. ¿Cuál es el ancho de cada intervalo? d) ¿Cuántas comunidades tenían precios que no cambiaron? e) Calcular los límites reales de clase.
a) -0.1, -0.1, -0.2, -0.2, -0.2, -0.2 -0.4, -0.5, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0
0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.2 0.2, 0.2, 0.3, 0.3, 0.3, 0.3 0.4, 0.5, 0.6, 0.6, 0.8, 1.0 C)
Intervalo -0.5 a -0.2
F 6
Fa 6
%F 20%
%Fa 20%
Lri – Lrs -1 0.3
Xm -0.35
-0.1 a 0.2
14
20
47%
67%
-0.6
0.7
0.05
0.3 a 0.6
8
28
27%
94%
-0.2
1.1
0.45
0.7 a 1.0
2
30
6%
100%
0.2
1.5
0.85
30
100%
d) 4 comunidades tenían precios que no cambian. 6. Dada la Siguiente distribución:
Pesos (Lbs) 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171
N° de Personas 3 7 9 12 6 4
a) Cuantos elementos forma la muestra. b) Entre que limites reales está el peso de mayor frecuencia. c) Entre que limites reales está el peso de menor frecuencia. d) Determinar las marcas de clases. e) Cuantas y qué % de elemento pesa al menos 144 Lbs. f) Cuantas y qué % de elemento pesa al menos 135º menos Lbs.
g) ¿Cuántas personas pesan cuando mucho 153 Lbs? ¿Qué porciento le corresponde? h) ¿Cuál es el tamaño del intervalo de clases? i) Formar la columna de límites reales.
Peso 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171
N° de Personas 3 7 9 12 6 4 41
Xm
%F
Lri – Lrs
122 131 140 149 158 167
7% 17% 22% 29% 15% 9% 100%
117.5 – 127.5 126.5 – 135.5 135.5 – 144.5 144.5 – 153.5 153.5 – 162.5 162.5 – 171.5
A. R/ 41 elementos B. R/ Entre 144.5 y 153.5 C. R/ Entre 117.5 y 126:5 D. R/ Xm 118+126/2 = 122 E. R/ 9 personas en un 22% F. 10 elementos en 24% G. 31 personas en un 75% H. Tamaño = 8 elementos
Xm = 127+135/2 = 131
Guía de Estudio N° 6 1. Dadas las 2 distribuciones siguientes A y B, determinar en cada caso: a) el rango, b) la tabla de frecuencia con 8 clases de anchura 7 para la distribución A y 10 clases de anchura 7 para la distribución B. A . 32 28 61 42 35 35 28 17 17 20 17 17 18 35 18 17 35 42 28 42 21 21 18 21 20 35 20 35 18 17 32 32 61 21 35 18 17 61 20 68 32 21 18 21 20 17 17 35 28 42 33 61 17 20 35 18 17
35 20 68
B. 64 54 34 34 64 64 54 44 47 64 74 84 92 77 87 45 87 59 88 55 44 55 45 67 85 98 33 44 64 84 34 44 54 64 6 4 34 54 64 74 87 88 34 65 92 54 67 87 34 59 88 55 54 84 45 64 67
87 45 64 84 98
1. 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 20, 20 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21 21, 28, 28, 28, 28, 32, 32, 32, 32, 33 35, 35, 35, 35, 35, 35, 35, 35, 35, 35 42, 42, 42, 42, 61, 61, 61, 61, 68, 68
X
F
16-22 23-29
31 4
30-36 37-43
15 4
44-50 51-57
0 0
58-64
4
65-71
2
N
=
Rg = 51 (A)
60
2. 33, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 44, 44, 44 44, 45, 45, 45, 45, 47, 54, 54, 54 54 54, 55, 55, 55, 59, 59, 64, 64, 64, 64 64, 64, 64, 64, 64, 64, 65, 67, 67, 67 74, 74, 77, 84, 84, 84, 84, 85, 87, 87 87, 87, 87, 88, 88, 88, 92, 92, 98, 98 X
F
33-39 40-46
7 8
47-53 54-60
1 10
61-67 68-67
14 2
75-81
1
82-88 89-95 96-102
13 2 2
N = 60
Rg = 65 (B)
La tabla siguiente muestra una distribución de frecuencia de distribución de ciertos tubos de radio determinar: 2 Los limites reales de la séptima clase. 3 Limite real inferior de la 3era clase. 4 Marca de clase de la 6ta clase. 5 Tamaño del intervalo de la clase 6 Frecuencia de la 4ta clase. 7 Cantidad de tubos que no sobre pasan las 60 horas. 8 Cantidad de tubos cuya duración es más de 80 horas. 9 Cantidad de tubos cuya duración es mayor de 50 pero menor de 80 horas.
Duración N° de Tubos (hrs) 30 – 39 7 40 – 49 9 50 – 59 13 60 – 69 15 70 – 79 11 80 – 89 8 90 – 99 6 N = 69 Duración N° de Tubos (hrs) 30 – 39 7 40 – 49 9 50 – 59 13 60 – 69 15 70 – 79 11 80 – 89 8 90 – 99 6 N = 69
Lri – Lrs 29.5 – 39.5 39.5 – 49.5 49.5 – 59.5 59.5 – 69.5 69.5 – 79.5 79.5 – 89.5 89.5 – 99.5
c) 3era Clase Xm = 80+89/2 = 84.5 d) Tamaño = 9 e) Frecuencia = 15 f) 29 tubos g) 14 tubos h) 39 tubos 14. Dada la siguiente distribución de los pesos en libras de 50 niños: 120, 100, 99, 90, 97, 89, 108, 94, 87, 79 102, 105, 90, 83, 91, 81, 108, 94, 87, 98 102, 105, 91, 99, 94, 98, 102, 98, 95, 93 120, 100, 90, 97, 89, 99, 102, 94, 87, 79 15 . En las distribución dadas en el primer ejercicio A y B, hacer una tabla de distribución de frecuencias donde aparezcan las columnas X, f, Xm, Lri-Lrs, o L.R. Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias tanto de A como de B. X 16-22 23-29 30-36 37-43 44-50 51-57 58-64 65-71
f 31 4 15 4 0 0 4 2
Xm 19 26 33 40 47 54 61 68
L.R 15.5-22.5 22.5-29.5 29.5-36.5 36.5-43.5 43.5-50.5 50.5-57.5 57.5-64.5 64.5-71.5
F
HISTOGRAMA FRECUENCIA 35
31
30 25 20 15 15 10 4
4
4
5
2 0
0
0
L.R 15.5
22.5
29.5
36.5
43.5
50.5
57.5
64.5
F
POLIGONO DE FRECUENCIA 35 31 30 25 20 15 15 10 4
5
4
4 2 0
0
0
14
Xm 15.5
22.5
29.5
36.5
43.5 43 .5
50.5
57.5
64.5
16. Dibujar un histograma y un polígono de d e frecuencias de la tabla del problema 2 esta guía de estudio Las edades de 50 bailarinas que se presentaron a concurso de selección para una comedia musical, fueron. 21, 19, 22, 19, 18, 20, 23, 19, 19, 20 19, 20, 21, 22, 21, 20, 22, 20, 21, 20 21, 19, 21, 21, 21, 22, 19, 19, 21, 19 20, 20, 19, 21, 21, 22, 19, 19, 21, 19 18, 21, 19, 18, 22, 21, 24, 20, 24, 17 17. Construir una distribución de frecuencia agrupada. agrupad a. 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 24, 24 , 24
18. Construir 5 clases de ancho 2 comenzando con la clase c lase 16-17; 18-19. 18 -19. X f Xm L.R 16-17 1 16.5 15.5-17.5 18-19 17 18.5 17.5-19.5 20-21 23 20.5 19.5-21.5 22-23 7 22.5 21.5-23.5 24-25 2 24.5 23.5-25.5 19. Trazar el histograma y el polígono de frecuencia.
f
HISTOGRAMA FRECUENCIA 23
25
20
17
15
10
7
5
2
1 0
L.R 15.5
17.5
19.5
21.5
23.5
f
POLIGONO DE FRECUENCIA 25
23
20
17
15
10
7
5
2
1 0
Xm 15.5
17.5
19.5
21.5
23.5
En una calle de la ciudad un policía de tránsito midió las velocidades de los automóviles en km/h e hizo el siguiente registro: 27, 23, 22, 38, 43, 24, 35, 26, 28, 45 18, 20, 25, 23, 22, 42, 31, 30, 41, 29 45, 27, 43, 29, 28, 27, 25, 29, 28, 24 37, 28, 29, 18, 26, 33, 25, 27, 25, 34 20. Construir una distribución de frecuencia frecuenc ia agrupada utilizando las clases 15 19; 20-24;…40 -44. 18, 18, 20, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 27, 27,28 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 30, 31, 33 34, 35, 37, 38, 41, 42, 43, 43, 45, 45
21. Calcular las Xm de cada clase y el e l valor del ancho de cada caso. X f Xm L.R 17-19
2
17
14.5-19.5
20-24
7
22
19.5-24.5
25-29
18
27
24.5-29.5
30-24
4
32
29.5-34.5
35-39
3
37
34.5-39.5
40-44
4
42
39.5-44.5
45-49
2
47
44.5-49.5
Ancho de Clase 5.
22. Trazar el histograma y el polígono de frecuencia. f HISTOGRAMA 18 18 16 14 12 10 7
8 6
4
4 3
4
2
2
2 0
L.R 14.5
19.5
24.5
29.5
34.5 34.5
39.5
44.5
f
POLIGONO 20
18
18 16 14 12 10 7
8 6 4
4
4 3
2
2
2 0
Xm 19.5
19.5
24.5
29.5
34.5
39.5
44.5
La prueba XSW de aptitud en Ciencias de la Computación fue aplicada a 50 estudiantes y los resultados se. Puntaje Prueba 0 – 3 4 – 7 8 – 11 12 – 15 16 – 19 20 – 23 24 – 27
Frecuencia 4 8 8 20 6 3 1
23. Calcular el ancho de clases, las marcas mar cas de clases y los límites reales de de clases. X
f
Xm
L.R
0 – 3
4
1.5
0.5-3.5
4 – 7
8
1.4
3.5-7.5
8 – 11
8
9.5
7.5-11.5
12 – 15
20
13.5
11.5-15.5
16 – 19
6
17.5
15.5-19.5
20 – 23
3
21.5
19.5-23.5
24 – 27
1
25.5
23.5-27.5
24. Trazar el histograma y el polígono de frecuencia de la distribución.
f
HISTOGRAMA 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
L.R 0.5
3.5
7.5
11.5
15.5
19.5
23.5
f
POLIGONO 25
20
15
10
5
0
Xm 0.5
3.5
7.5
11.5
15.5
19.5
23.5
La prueba de hemoglobina ALC es una prueba sanguínea aplicada a los diabéticos durante sus exámenes rutinarios de control, e indica el nivel de azúcar en la sangre durante 2 o 3 meses anteriores a la prueba. Los siguientes datos se obtuvieron de personas diabéticas diferentes en un hospital que atiende pacientes de este tipo: 6.5, 5.0, 5.6, 7.6, 4.8, 8.0, 7.5, 7.9 8.0, 9.2, 6.4, 6.0, 5.6, 6.0, 5.7, 9.2 8.1, 8.0, 6.5, 6.6, 5.0, 8.0, 6.5, 6.1 6.4, 6.6, 7.2, 5.9, 4.0, 5.9, 4.0, 5.7 25. Clasificar estos valores en una distribución de frecuencia. Calcular el ancho de clases si se utilizan las clases 3.7-4.6; 4.5- 5.6… 4.0, 4.0, 4.8, 5.0, 5.0, 5.6, 5.6, 5.7 5.7, 5.9, 5.9, 6.0, 6.0, 6.1, 6.4, 6.4 6.5, 6.5, 6.5, 6.6, 6.6, 7.2, 7.5, 7.6 7.9, 8.0, 8.0, 8.0, 8.0, 8.1, 9.2, 9.2 26. Calcular las Xm de cada clase. X
f
Xm
L.R
3.7-4.6
2
4.15
4.7-5.6
5
5.15
5.7-6.6
14
6.15
6.7-7.6
3
7.15
7.7-8.6
6
8.15
8.7-9.6
2
9.15
3.654.65 4.655.65 5.656.65 6.65765 7.658.55 8.659.65
27. Trazar el histograma y polígono de frecuencia de la distribución.
HISTOGRAMA 14 14 12 10 8
6 5
6
3
4
2
2
2 0
3.65
4.65
6.15
7.15
8.15
9.15
POLIGONO 16 14 14 12 10 8 6 5
6
3
4 2
2
2 0
3.65
4.65
5.65
6.65
7.65
8.65
Los pesos de 75 mazorca de maíz de la variedad growfast se registraron en la siguiente distribución: Pesos en 16-17 18-19 20-21 22-23 24-25 26-27
N° de Mazorca 12 36 14 8 4 1
28. Representar los valores en un histograma. X
f
Xm
L.R
16-17
12
16.5
15.5-17.5
18-19
36
18.5
17.5-19.5
20-21
14
20.5
19.5-21.5
22-23
8
22.5
21.5-23.5
24-25
4
24.5
23.5-25.5
26-27
1
26.5
25.5-27.5
HISTOGRAMA 40
36
35 30 25 20 15
14
12
8
10
4
5
1
0
L.R 15.5
17.5
19.5
21.5
23.5
25.5
29. Representar los valores en un polígono de frecuencias f
POLIGONO 40
36
35 30 25 20 15
14 12 8
10
4
5
1
0
Xm 15.5
17.5
19.5
21.5
23.5
25.5
Las puntuaciones obtenidas en una prueba de aptitud mecánica se organizaron en la siguiente distribución. Puntuaciones N° de de Pruebas Puntuaciones 100-119 6 120-139 17 140-159 38 160-179 15 180-199 4
31. Representar los valores en un histograma X
f
Xm
L.R
100-119
6
109.50
99.5-119.5
120-139
17
129.50
119.5-139.5
140-159
38
98.50
139.5-159.5
160-179
15
97.00
159.5-179.5
180-199
4
189.50
179.5-19935
f
HISTOGRAMA 38
40 35 30 25 17
20
15
15 10
6
4
5 0
L.R 99.5
119.5
139.5
159.5
179.5
32. Representar los valores en un polígono de frecuencia f
POLIGONO 38
40 35 30 25 20
17 15
15 10
6 4
5 0
Xm 99.5
119.5
139.5
159.5
179.5
La Cía. Automotriz Toyota está estudiando los reclamos por daños a automóviles de 5 años de antigüedad o más, y para automóviles con menos de 5 años. Los datos son los siguientes:
Monto de Reclamo 20 – 499 500 – 799 800 – 1099 1100 – 1399 1400 – 1699 1700 – 1999 2000 – 2299
Autos de 5 años o mas 30 29 20 10 6 2 3
Autos de menos de 5 años 86 12 68 80 50 100 60
34. Representar la distribución en un mismo eje para facilitar la comprensión. 35. Trazar el polígono de frecuencias para ambas distribuciones.
36. Interpretar las gráficas. Monto de Reclamo
20 – 499 500 – 799 800 – 1099 1100 – 1399 1400 – 1699 1700 – 1999 2000 – 2299
Autos de 5 años o mas 30 29 20 10 6 2 3
Autos de menos de 5 años 86 12 68 80 50 100 60
Xm
Lri – Lrs
349.5 649.5 949.5 1249.5 1549.5 1849.5 2149.5
199.5 – 499.5 499.5 – 799.5 799.5 – 1099.5 1099.5 – 1399.5 1399.5 – 1699.5 1699.5 – 1999.5 1999.5 – 2299.5
2500 2149.5 1849.5
2000 1549.5 1500
1249.5 949.5
1000 649.5 500
349.5 30
29
20
10
6
2
3
1
2
3
4
5
6
7
0
Autos de 5 años o mas
Xm
Guía de Estudio N° 7 1. Los siguientes son los pesos en gramos de algunas muestras de minerales que contienen cierta cantidad de metal precioso. 136 199 115 11 5 121 137 132 120 104 125 1 25 119 115 101 129 87 108 110 133 135 126 127 103 110 128 118 82 104 197 120 146 95
126 119 119
105 132 126 118 100 113 106 125 117 146 148 a) Formar una distribución de frecuencia de estos pesos, que tengan clases 80 – 89; 90 – 99; 140 – 149 y que tengan las columnas de F, Fa, (Fra%) y L.R. b) Elaborar la tabla de “más que” y trazar la ojiva “mayor que” c) ¿Qué porcentaje de muestras pesan más de 109.5 gr? ¿Más de 129.5 gr? ¿Más de 139.5gr? A) F 2 2 8 11 11 7 3
80 – 89 90 – 99 100 – 109 110 – 119 120 – 129 130 – 19 140 – 149
Fa 2 4 12 23 34 41 44
Fra % 4.54 9.09 27.27 52.27 77.27 93.18 100%
L.R 79.5 – 89.5 89.5 – 99.5 99.5 – 109.5 109.5 – 119.5 119.5 – 129.5 129.5 – 139.5 139.5 – 149.5
N = 44 2*44/100 = 4.54 4*44/100 = 9.09 B)
Tabla mayor que.
Lrs 79.5 89.5 99.5 109.5 119.5 129.5 139.5 149.5 44/44*100 = 100.00
Fa 44 42 40 32 21 10 3 0
Fra 100.0 95.45 90.91 72.73 47.73 22.73 6.82 0.00
42/44*100 = 95.45 40/44*100 = 90.91 120
100
80
60
40
20
0 79.5
89.5
99.5
109.5
119.5
129.5
139.5
149.5
C) 32/44*100 = 72.73% 10/44*100 = 22.73% 3.44/44*100 = 6.82% * 72.73% de muestras pesan más de 109.5 gr * 22.73% de muestras pesan más de 129.5 gr * 6.89% de muestras pesan más de de 139.5 gr
2. Las siguientes son las calificaciones obtenidas por estudiantes de comercio en la signatura de contabilidad intermedia 73 65 82 70 45 50 70 54 32 32 75 75 75 67 65 60 75 87 83 40 72 64 58 89 70 73 55 61 71 88 89 65 93 43 51 59 38 65 71 75 85 65 85 49 97 55 60 76 a) Formar una distribución de frecuencias que tengan clases de de 30 – 39; 40 – 49; 50 – 59; 90 – 99, y las columnas F, Fa, (Fra%) y L.R
b) Elaborar la tabla de “menos que” y trazar la ojiva “menor que” c) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron notas menores que 59.5? ¿Menores que 79.5%? ¿Menores que 89.5%? A) F 3 4 7 10 14 8 2
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
Fa 3 7 14 24 38 45 48
Fra % 6.25 14.58 29.16 50 79.16 95.8 100
L.R 29.5 – 39.5 39.5 – 49.5 49.5 – 59.5 59.5 – 69.5 69.5 – 79.5 79.5 – 89.5 89.5 – 99.5
N = 48 3/48*100 = 6.38 7/48*100 = 14.89 B)
Tabla menos que Lri 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5
(F) 48-3=45 45-4=41 48/48*100=100 45/48*100=99.75 41/48*100=85.4 34.48*100=70.8 24/48*100=50
Fa 0 3 7 14 24 38 45 48
Fra 0 6.25 14.5 29 50 59 93.75 100
10/48*100=20 2/48*100=4 120
100
80
60
40
20
0 29.5
39.5
49.5
59.5
69.5
79.5
89.5
99.5
14/48*100=29% 38/48*100=79% 45/48*100=93.75% *29% de alumnos obtuvieron notas menos que 59.5 *79% de alumnos obtuvieron notas menor que 2 *93.75% de alumnos 3. La siguiente es una distribución de frecuencia de las edades de los miembros de un club de servicios de presentación para personas solteras
a) elaborar una tabla de frecuencia, la tabla de “más que” y la ojiva “mayor que” b) elabore una tabla de “menos que” y la ojiva “menor que” Edades
Frecuencias Frecuenc ias miembros club
20 – 24 25 – 29
12 22
30 – 34
31
35 – 39
16
40 – 44 45 – 49
10 6
50 – 54
3 100
19.5 24.5 24.5 29.5 29.5 34.5 34.5 39.5 39.5 44.5 44.5 49.5 49.5 59.5
A) Tabla más que Lri 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 100/100*100=100
88/100*100=88
Fa 100 88 66 35 19 9 3 0
Fra 100 88 66 35 19 9 3 0
120
100
80
60
40
20
0 19.5
24.5
29.5
34.5
39.5
44.5
49.5
54.5
Tabla menos que
Lrs 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5
Fa 0 12 34 65 81 91 97 100
Fra 0 12 34 65 81 91 97 100
120
100
80
60
40
20
0 19.5
24.5
29.5
34.5
39.5
44.5
49.5
54.5
4 . Las que siguen son las millas por galón que recorren 40 tanques llenos de gasolinas: 24.1 25.0 24.8 24.3 24.2 25.3 24.2 23.6 24.5 24.4 24.5 23.2 24.0 23.8 23.8 25.3 24.5 24.6 24.0 25.2 24.4 24.7 24.1 24.6 24.9 24.1 25.8 24.2 24.2 24.2 24.8 24.1 25.6 24.5 25.1 24.6 24.3 25.2 24.7 23.3 a) Agrupar estos datos en una distribución que tengan las clases 23.0 – 23.4 23.5 -23.9 24.0 – 24.4 24.5 -24.5 25.0 – 25.4. b) Formar la tabla de distribución de frecuencias con las columnas F, Fa, (Fra%) y L.R.
c) Formar la tabla y la ojiva mayor que comenzando con “más que 22.95” y terminando con “25.95”. d) Formar la tabla y la ojiva “menor que”
23.0 – 23.4 23.5 – 23.9 24.0 – 24.4 24.5 – 24.9 25.0 – 25.4 25.5 – 25.9
F 2 3 14 12 7 2 40
Fa 2 5 19 31 98 40
Fra% 5 12.5 47.5 77.5 95 100
L.R 22.95 – 23.45 23.45 – 23.95 23.95 – 24.45 24.45 – 24.95 24.95 – 24.45 25.45 – 25.95
2/40*100=5% 5/40*100=12.4% A) Tabla más que Lr 22.95 23.45 23.95 24.45 24.95 25.45 25.95
Fa 40 38 31 19 5 20 0
Fra 100 95 77.5 47.5 12.5 5
120
100
80
60
40
20
0 22.95
23.45
23.95
24.45
24.95
25.45
Tabla menos que. Lr 22.95 23.45 23.95 24.45 24.95 25.45 25.95 25.95
Fa 0 2 5 19 31 38
Fra 0 5 12.5 47.5 47.7 77.5 95 100
40
120
100
80
60
40
20
0 22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
26.5
5) El hospital Escuela de Honduras tiene los siguientes datos que representan el control de peso neonatal en libras de 200 niños prematuros: Construir una ojiva que le ayude a contestar la pregunta: a) Si normalmente a los niños prematuros que pesan menos de 3.0 libras se les mantiene en
se
b) Que porcentaje de niños prematuros pesan menos de 3.45 libras c) Que porcentaje de niños prematuros pesan más 2.95 libras
Peso N° de Niño Neonatal X L 0.5 – 0.9 10 1.0 – 1.4 19 1.5 – 1.9 24 2.0 – 2.4 27 2.5 – 2.9 29 3.0 – 3.4 34 3.5 – 3.9 40 4.0 – 4.4 17 N = 200
Fa 10 29 53 80 109 143 153 200
Tabla menor que. LR 0.45 0.95 1.45 1.95 2.45 2.95 3.45 3.95 4.95
Fa 0 10 29 53 80 109 143 183 200
Fra% 0 5 14.5 26.5 40 54.5 71.5 91.5 100
Fra% 5 14.5 26.5 40 54.5 71.5 91.5 100
250
200
150
100
50
0 0
a) b) c) d) e) f)
1
2
3
4
5
6
109/200*100 = 54.5% 143/200*100 = 71.5% 91/200*100 = 45.5% 54.5% de los niños necesitan incubadora. 71.5% de los niños prematuros pesan menos de 3.45 Lbs. 4.5% de niños pesan más de 2.95 Lbs.
6. Antes de construir la represa se hacen una serie de pruebas para medir el flujo de agua más allá del sitio propuesto para la obra. Los resultados fueron los siguientes:
a) Construir una distribución de frecuencia y la ojiva “mayor que” b) construir una distribución de frecuencia y la ojiva “menor que” c) Que porcentaje de flujo ocurre en menos de 1250.5 gal/min d) Que porcentaje de flujo ocurre en más de 1300.5 gal/min NOTA: Él flujo del agua se mide en miles de galones por por minuto
Flujo 1001 – 1050 1051 – 1100 1101 – 1050 1051 – 1200 1201 – 1250 1251 – 1300 1301 – 1350 1351 – 1400 N =
N° de Prueba 7 31 32 49 58 41 27 11 246
Fa 7 28 60 109 167 208 235 246
Mayor que LR 1000.5 1050.5 1100.5 1150.5 1200.5 1250.5 1300.5 1350.5 1400.5
Fa 246 235 208 167 109 60 28 7 0
Fra% 100 95.5 84.5 66.6 44.3 24.3 11.3 28.8 0
300
250
200
150
100
50
0 1000.5
1050.5
1100.5
1150.5
1200.5
Menor que LR 1000.5 1050.5 1100.5 1150.5 1200.5 1250.5 1300.5 1350.5 1400.5
Fa 0 7 28 60 109 167 208 235 246
Fra% 0 28.3 11.3 24.3 44.3 67.3 84.5 95.5 100
1250.5
1300.5
1350.5
1400.5
300
250
200
150
100
50
0 1000.5
1050.5
1100.5
1150.5
1200.5
1250.5
1300.5
1350.5
1400.5
a) 167/246*100 = 67.8 b) 67.8 de flujo ocurre en en menos de 1250 gal/min c) El 15.4% de flujo ocurre en más de 1300.5 gal/min d) 38/246*100 = 15.4
7) Pedro mena capitán de un barco pesquero de Islas De La Bahía tiene creencia de que la pesca mínima para recuperar la inversión debe ser de 5000 libras por viaje. A continuación se tienen los datos de una muestra de la pesca de 20 salidas al mar. 6500 6700 3400 3600 2000 7000 5600 4500 8000 5000 4600 8100 6500 9000 4200
4800 7000 7500 6000 5400 Construir una ojiva para responder a) Aproximadamente ¿Qué fracción de los viajes recupera exactamente la inversión b) ¿Cuál es el valor medio aproximando del arreglo de datos para los viajes del capitán c) Que pesca del señor mena exceden al 80% del tiempo 8) Osiris Montoya asesora de una pequeña empresa de corretaje intenta diseñar programas de inversión atractivos para jubilados. Ella sabe que si un inversionista potencial pudiera obtener
un cierto nivel de intereses
estaría dispuesto a invertir su capital pero debajo de un cierto nivel de intereses no estaría dispuesto a hacerlo. De un grupo de 50 individuos Osiris obtuvo los siguientes datos con respecto a los diferentes niveles de réditos requeridos por cada individuo para que pueda invertir L.1000.00 Construir una distribución d frecuencia relativa acumulada porcentual
“menor que” y “mayor que” X 70 – 74 75 – 79 80 - 84 85 - 89 90 – 94 95 – 99 100 – 104 105 – 109
F 2 5 10 14 11 3 3 2
Fa 2 7 17 31 42 45 48 50
Fra% 4 14 34 62 84 90 96 100
Menor que LR 69.5 74.5 79.5 84.5 89.5 94.5 99.5 104.5 109.5
Fa 0 2 7 17 31 42 45 48 50
Fra% 4 14 34 62 84 90 96 100
60 50 40 30 20 10 0 69.5
74.5
79.5
84.5
89.5
94.5
Mayor que LR 69.5 74.5 79.5 84.5 89.5 94.5 99.5 104.5 109.5
Fa 50 48 45 42 31 17 7 2 0
Fra% 100 96 90 84 62 34 14 4 0
99.5
104.5
109.5
60
50
40
30
20
10
0 69.5
74.5
79.5
84.5
89.5
94.5
99.5
104.5
109.5
9) Una fábrica de cremalleras de San Pedro Sula manufactura 15 15 productos básicos. La compañía tiene registros del número de elementos de cada producto fabricados al mes con el fin de examinar los niveles relativos de producción. Los siguientes corresponden a números de cada elemento que produjo la compañía durante 20 días laborales.
9908 9897 10052 10028 9722 10098 10587 9872 9956 9928 10132 10507 9910 9992 10237 Construir una ojiva que le ayude a responder las siguientes preguntas: (Sugerencia hacer 5 clases comenzando con 9 700-9 899) a) En cuanto de sus productos productos la compañía excedió excedió el punto de equilibrio equilibrio de 10000 unidades b) ¿ Qué nivel de producto excedió el punto 75% de sus productos durante ese mes c) Qué nivel de producción excedió el 90% de sus sus productos de ese mes
X 9700 – 9899 9900 – 10099 10100 – 10299 10300 10499 10500 – 10699
F 3 8
Fa 3 11
2
13
0
13
2
15
16 14 12 10 8 6 4 2 0 9700 – 9899
9900 – 10099
10100 – 10299
10300 - 10499
10500 – 10699
a) En 7 productos excede el punto de equilibrio de 10 000 unidades b) Aproximadamente 9900 unidades c) Aproximadamente 7 800 unidades 10) El administrador de un hospital ordeno un estudio del tiempo que un paciente tiene que esperar antes de ser tratado por el personal de la sala de urgencias. Los siguientes datos fueron tomados de un día normal.
12 3 26 1
16 11 4 27
21 17 7 15
20 29 14 16
24 18 21 5
a) Organizar los datos en forma ascendente. ¿Qué comentario puede hacer con respecto al tiempo de espera de los pacientes a partir del ordenamiento? b) Construir una distribución de frecuencia de 6 clases ¿ qué interpretación adicional puede dar a los datos a partir de la distribución de frecuencia c) A partir de una ojiva ojiva establecer ¿Cuánto tiempo se debe suponer que el 75% de los pacientes aguarden en la sala de espera
1 11 16 21
3 12 17 24
4 14 18 26
Tiempo de espera X 1 – 7 8 – 14 15 – 21 22 – 28 29 – 35
F 5 3 8 3 1
5 15 20 27
7 16 21 29
Menor que LR 0.5 7.5 14.5 21.5 28.5 35.5
Fa 0 5 8 16 19 20
Fra% 0 25 40 80 95 100
120
100
80
60
40
20
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40 40
Comentario: Que el tiempo de espera comúnmente es hacerlo entre 2 0 1 minuto de espera excepto una vez que fue de 4 minutos. Aproximadamente 21.5 min.
Unidad N. 2 Medidas de Tendencia Central Guía de Estudio Estudio N. 8 Escribir la forma desarrollada de las siguientes sumatorias. 1. Ʃ6 Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 i=1
2. Ʃ5 Yi = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 i=1
3. Ʃ5 Xi Yi = X1 Y1 + X2 Y2 + X3 Y3 + X4 Y4 + X5 Y5 i=1
4. Ʃ7 Xi Fi = X1 F1 + X2 F2 + X3 F3 + X4 F4 + X5 F5 + X6 F6 + X7 F7 i=1
3
5. Ʃ4 X
3
i = X 1 +
3
3
3
X 2+ X 3+ X
4
i=1
6. Ʃ3 (Xi Yi)2 = (X1 Y1)2 + (X2 Y2)2 + (X3 Y3)2 i=1
Escribir en forma compacta las siguientes sumatorias 7. Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5
=
Ʃ5 Xi i=1
11 8. X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 = 11 = Ʃ Xi i=5
9. X23 F3 + X24 F4+ X25 F5+ X26 F6 = Ʃ6 X2i Fi i=3
10. Y23 + Y24 + Y25 + Y26 + Y27 = Ʃ7 Y2i i=3
11. 2X32 F2 + 2X33 F3+ 2X34 F4+ 2X35 F5 = Ʃ5 2X3i Fi i=2
12. (3X3 + a2) + (3X 4 + a2) + (3X5 + a2) = Ʃ5 (3Xi + a2) i=3
Evaluar cada una de las siguientes sumatorias Dadas
X1 = 1
X2 = 3 X3 = 5 X4 = 7
F1 = 1
F2 = - 5 F3 = 0 F4 = - 2
13. Ʃ4 Xi Fi = 1 (1) + 3 (-5) + 5 (0) + 7 (-2) i=1
1 - 15 + 0 -14 = - 28 14. Ʃ4 X2i Fi = 12 (1) + 3 2 (-5) + 52 (0) + 7 2 (-2) i=1
1 - 45 + 0 -98 = - 142 15. Ʃ4 2X3i F2i = 2 (3)3 (-5)2 + 2 (5)3 (0)2 + 2 (7)3 (-2)2 i=2
2 (27) (25) + 2 (125) (0) + 2 (343) (4) 1350 + 0 + 2744 = 4094 16. Ʃ4 -3X2i F2i = -3 (3)2 (-5)2 - 3 (5)2 (0)2 - 3 (7)2 (-2)2 i=2
-3 (9) (25) - 3 (25) (0) - 3 (49) (4) -
675 - 0 - 588 = 1263
17. Ʃ3 3X2i F3i a = 3 (1)2 (1)3 a + 3 (3)2 (-5)3 a + 3 (5)2 (0)3 a i=1
3 (1) (1) a + 3 (9) (-125) a + 3 (25) (0) a 3a – 3375a + 0a = - 3372a 18. – 4a Ʃ3 X2i Fi = 12 (1) + 3 2 (-5) + 5 2 (0) i=1
-4a Ʃ3 1 - 45 + 0 - 4a ( - 44) = 176 a
Evaluar las siguientes sumatorias Dadas
X1 = -2 Y1 = 0 a=3
X2 = 3 X3 = 1 X4 = 0 Y2 = - 1 Y3 = - 2 Y4 = - 3 b = - 2 c = 1 F = -3
19. Ʃ4 (axi + byi) - c = (3(-2)+ (-2) (0)) + (3(3)+ (-2) (-1)) + (3(1)+ (-2) (-2)) + i=1 (3(0) + (-2) (-3)) ((-6 – 0) + (9 +2) + (3 + 4) + (0 + 6)) - 1 ( - 6 + 11 + 7 + 6) – 1 18 – 1 = 17
20. Ʃ4 F(3xi - 2yi) = (-3 ( 3 (-2) - 2 (0)) + (-3 (3 (3) -2 (-1)) + (-3 (3 (1) -2 (-2)) + i=1 (-3 ( 3 (0) - 2 (-3)) -3 (-6) - 3 (11) - 3 ( 7) - 3 (6) 18 – 33 – 21 - 18 18 – 72 = 54
21. Ʃ3 ab(2xi – y2i) = 3 (-2)((2 (-2)-(0)2) + 3 (-2)((2 (3) – (1)2) + 3 (-2)((2 (1) – (2)2) i=1 -6 (-4 - 0) - 6 (6 - 1) - 6 (2 - 4) 24 – 30 +12 =6
Guía de Estudio Estudio N. N. 9 1. Los siguientes valores corresponden a las estaturas de un grupo de alumnos de una institución “HGB”, expresada en cm. 148 160 145 184 155 138 174 156 150 156 159 156 148 173 172 145 145 160 145 146 1 46 150 145 Determinar: a. La Media Media b. La Mediana c. La moda
a = 138+145+145+145+145+145+146+148+148+150+150+155+156+156+256+ 160+160+172+173+174+184 22 a = 3410 = 155 22 b = 150 + 155 = 152.5 2 c = 145
2. Roberto encontró que las las edades de de sus profesores del colegio colegio eran: 29 26 37 28 30 45 22 27 31 28 años. Determinar: a. La Media Media b. La Mediana c. La moda
a. 22+26+27+28+28+29+30+31+37+45 = 303 = 30.3 10 10 b. 28+29 = 57 = 28.5 2 2 c. 28
3. Luis Antonio obtuvo las siguientes calificaciones en una carrera de obstáculos: 78 89 76 77 77 77 78 79 70 68 75 80 Determinar: a. La Media Media b. La Mediana c. La moda a. 68+70+75+76+77+77+77+78+78+79+80+89 = 924 = 77 12 12 b. 77+77 = 77 = 77 2 2 c. 77 4. Las temperaturas más bajas de cada día en grados centígrados fueron las siguientes: 13 14 15 23 2 3 13 15 12 13 12 14 13 12 13 20 20 Determinar: a. La Media Media b. La Mediana c. La moda a. 12+12+12+13+13+13+13+13+14+14+15+15+20+20+23 = 222 = 14.8 15 15 b. 13 c. 13 5. Las alturas en m. de cierto número número de estudiantes fueron: 1.60 1.60 1.65 1.65 1.65 1.65 1.65 1.70 1.70 1.70 1.75 1.80 1.67 1.80 1.90 1.77 1.75 Determinar: a. La Media Media b. La Mediana c. La moda a. 1.60+1.65+1.65+1.65+1.65+1.65+1.67+1.70+1.70+1.70+1.75+1.75+1.77+1.80+ 1.80+1.90 = 27.39 = 1.7118 16
16
b. 1.70+1.70 = 3.40 = 1.70 2 2 c. 1.65
6. La distancia media del sol a cada uno de los nueve planetas (Millones de Km) Planeta
Distancia
Planeta
Distancia
Planeta
Distancia
Mercurio
58
Tierra
150
Urano
4493
Venus
111
Júpiter
778
Neptuno
4493
Marte
228
Saturno
1426
Plutón
5920
Determinar: a. La Media Media b. a. 58+111+150+228+778+1426+4493+4493+5920 = 17657 = 1961.88 9 15
7. Una empresa informo que la participación de los accionistas (pagada en enero de 1999) durante los últimos 11 años: 21.07 23.24 26.28 28.55 30.09 29.15 29.10 28.92 29.90 30.34 32.41 Determinar: a. La Media Media b. La Mediana c. La moda a.21.07+23.24+26.28+28.55+28.92+29.10+29.15+29.90+30.09+30.34+32.41=309. 05 = 28.09 11 11 b. 29.10 c. Ninguno (Todos tienen igual condición no se repiten más de una vez) 8. Una compañía petrolera ha tenido las siguientes cifras de ventas e ingresos de operación en millones de lempiras: 6253 9555 12496 15856 14154 15344 17096 Determinar: a. La Media Media b. La Mediana c. La moda
14708 17717 19116
a. 6253+9555+12496+14154+14708+15344+15856+17096+17717+19116=142295= 14229.5 10 10 b. 14708+15344 = 30052 = 15026 2 2 c. Ninguna
9. El Ministerio de Educación informó que durante los últimos años recibieron grados de licenciatura en Ciencias Matemáticas Matemáticas e Informática Administrativa Administrativa el siguiente número de personas: 5033 5652 6407 7201 8719 11154 15121 ¿Cuál es el promedio anual de los graduados?¿Es una media muestral o poblacional? a = µ = 5033+5652+6407+7201+8719+11154+15121 = 59287 = 8470 7
7
b = Media Poblacional 10. El mismo Ministerio Informó que durante los últimos años, el número de mujeres que recibieron grados doctorales en Ciencias Matemáticas e Informática Administrativa fue: 23 19 15 30 27 25. ¿Cuál es el número media anual de mujeres que reciben ese grado? ¿Se trata de una media muestral o poblacional? a = 15+19+23+25+27+30 = 139 6 b = Es una media muestral
6
= 23.17 = 24 mujeres
11. El Gerente de producción de la imprenta Prografip desea determinar el tiempo promedio que se necesita para fotografiar una placa de impresión. Tiempos en segundos. 20.4 20.0 22.2 23.8 21.3 25.1 21.2 22.9 28.2 24.3 22.0 24.7 25.7 24.9 22.7 24.4 24.3 23.6 23.2 21.0 Un tiempo promedio por placa menor a los 23 segundos indica una productividad satisfactoria. ¿Debería de estar preocupado el Gerente de Producción? a = 20.0+20.4+21.0+21.2+21.3+22.0+22.2+22.7+22.9+23.2+23.6+23.8+24.3+24.3 24.4+24.7+24.9+25.7+28.2 = 465.90 = 23.295 20
20
b = Tiene que reducir el tiempo porque lo indicado sería menor a 23 segundos. Debe buscar estrategias. 12. Un fabricante de cosméticos adquirió una máquina para llenar botellas de perfumes de 3 ml para probar la precisión de volumen que deposita la máquina en cada botella, se hizo una corrida de prueba con 18 recipientes. Los volúmenes resultantes fueron: 3.02 2.89 2.92 2.84 2.90 2.97 2.95 2.94 2.93 3.01 2.97 2.95 2.90 2.94 2.96 2.99 2.99 2.97 a
=
2.84+2.89+2.90+2.90+2.92+2.93+2.94+2.94+2.95+2.95+2.96+2.97+2.97+2.97+2.9 9+ 2.99+3.01+2.02 = 53.04 = 2.9467 18
18
b = No debe Recalibrarla
13. La compañía XYZ tiene un contrato de crédito rotativo con Banco Atlántida. El crédito tiene los siguientes saldos mensuales. E
F
A
M
J
J
A
S
O
N
D
12130 11230 7280
7280
7280
5730
5870
6110
5040
5280
4920
4610
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
M
0
La compañía es elegible para otorgarle una tasa de interés baja, si su saldo promedio es mayor de L. 65,000.00. ¿La compañía obtiene la tasa de interés baja? a
=
121300+112300+72800+72800+72800+57300+58700+61100+50400+52800+492 00 +
46100 = 827600 = 68,966.67 12
12
b = Si la obtiene.
Guía de Estudio N. 10 Calcular el valor de: a. La Media, b. La Mediana, c. La Moda de las siguientes distribuciones de frecuencia. 1. X
F
Fx
Fa
1
3
3
3
3
2
6
5
5
8
40
13
7
5
35
18
9
3
27
21
11
1
11
22
Ʃ
22
122
a. X = Ʃ f n = 122 = 5.5454 n 22 b. P = n + 1 = 22 + 1 = 11.5 Me = 5 2 2
c. Moda 5 2. X
F
Fx
Fa
2.5
4
10
4
3.8
3
11.4
7
4.9
7
34.3
14
5.1
5
25.5
19
6.3
2
12.6
21
7.4
4
29.6
25
Ʃ
25
123.4
a. X = Ʃ f n = 123.4 = 4.936 n 25 b. P = n + 1 = 25 + 1 = 13 Me = 4.9 2 2
c. Moda 4.9 3. X
F
Fx
Fa
13.2
3
39.6
3
15.3
5
76.5
8
17.2
8
137.6
16
19.2
10
192
26
21.2
1
21.2
27
22.3
4
89.2
31
Ʃ
31
556.1
a. X = Ʃ f n = 556.1 = 17.94 n 31 b. P = n + 1 = 31 + 1 = 16 Me = 17.2 2 2
c. Moda 19.2
4. X
F
Fx
Fa
12.5
4
50
4
15.5
6
93
10
18.5
11
203.5
21
21.5
9
193.5
30
24.5
7
171.5
37
27.5
4
110
41
Ʃ
41
821.5
a. X = Ʃ f n = 821.5 = 20.04 n 41 b. P = n + 1 = 41 + 1 = 21 Me = 18.5 2 2
c. Moda 18.5 5. X
F
Fx
Fa
22.5
5
112.5
5
23.6
2
47.2
7
24.7
3
74.1
10
27.1
9
243.9
19
29.2
13
379.6
32
32.3
8
258.4
40
Ʃ
40
1115.7
a. X = Ʃ f n = 1115.7 = 27.89 n 40 b. P = n + 1 = 40 + 1 = 20.5 2 2
Me = 29.2
c. Moda 29.2 6. X
F
Fx
Fa
123.8
12
1485.6
12
126.9
10
1269.0
22
129.0
8
1032.0
30
133.1
15
1996.5
45
136.2
9
1225.8
54
139.3
7
975.1
Ʃ
61
7984.0
61
a. X = Ʃ f n = 7984 = 130.89 n 61 b. P = n + 1 = 61 + 1 = 31 Me = 133.1 2 2
c. Moda 133.1 7. Un elevador de un hotel está diseñado para soportar un peso máximo de 2000 libras. ¿Se sobrecarga si en un viaje transporta 8 mujeres que pesan 123 libras y a 5 hombres que pesan 174 libras cada uno. X
F
Fx
Mujeres 123 lbs
8
984
Hombres 174 lbs
5
870
13
1854
Ʃ
8. Por un error un profesor ha borrado la calificación que recibió uno de los 10 alumnos en un examen del último parcial de contabilidad. Sin embargo él sabe que los alumnos promedian 71% en el examen y que los otros 9 recibieron calificaciones de 99 44 82 70 47 44 82 78 82. ¿Cuál debe haber sido la calificación que borro? Calcular la mediana y la moda de estas calificaciones de los estudiantes. R// El promedio es de 71%. Si equivale a los 10 alumnos es igual a 71 x 10 = 710
La suma de las 9 calificaciones es de 628. Esto es equivalente 710 – 628 = 82% la nota del examen que perdió el profesor. 44 44 47 70 78 82 82 82 82 99 Mediana = 78 + 82 = 80 2 Moda = 82 9. Las puntuaciones finales en ingles, computación, contabilidad, matemática y español de un estudiante fueron: 78% 85% 63% 70% 80% respectivamente. Si tenían 4, 6, 5, 5, 3 créditos o U. V. ¿Cuál es su promedio adecuado? 63 + 70 + 78 + 80 + 85 = 376 = 75.09% 5 UV 5
10. Una línea naviera embarca 80 contenedores con aguacates que pesan 2235 libras cada una. 60 con bananos que pesan 4280 libras y 40 con piñas que pesan 2835 libras cada uno. Calcular el peso. ¿Calcular el peso promedio ponderado de todos los contenedores? Xw = 80 (2235) + 60 (4280) + 40 (2835) = 178,800+256800+113400 = 549000 = 3050 lbs 80 + 60 + 40
180
180
11. Una compañía de TV pago dividendos en efectivo por acción de L. 53.20 a 500 de sus socios en 1993, L. 65.32 a 575 socios en 1994, L. 73,20 a 608 socios en 1995, L. 87.32 a 660 socios em 1996. ¿Cuál es la media ponderada del dividendo?
Xw = 53.2(500) + 65.32(575) 26600+37559+44505.6+57631.2 = 500 + 575 + 608 + 660
+
73.2(608)
+
87.32(660)
=
2343
= 166295.80 = 70.98 2343
12. Una compañía embotelladora ofrece 3 tipos de servicio de entrega. Varía de acuerdo con el tipo. Para determinar qué efecto tiene si lo hay, cada tipo de entrega en el cuadro de utilidades, la empresa ha hecho la tabulación que sigue en base en las entregas del trimestre anterior. Tipo de Entrega
N. de Entregas
Utilidad por Entrega
Inmediata
100
L. 70
El mismo día
60
L. 100
Dentro de 5 días
40
L. 160
a. ¿Cuál es la media ponderada de la ganancia por entrega? Xw = 100(70) + 60(100) + 40(160) = 7000+6000+6400 = 19400 = 97 lempiras 100 + 60 + 40 200 200 b. Si se elimina los los pedidos inmediatos. ¿Cuál sería su utilidad por entrega, si las 100 tiendas que solicitan servicio de inmediato, cambiaron al servicio de mismo día? 160 x 100 = 16000 100 de inmediato + 60 del mismo día = 160 mismo día (total nuevos servicios) 13. En cierto año el lenguado, el bacalao, la perca, el abadejo y el atún han producido a los pescadores comerciales 54.0 58.6 26.6 33.9 61.6 centavos por cada libra de pescado respectivamente. Dado que la pesca correspondió a 254 millones de libras de lenguado, 33 millones de libras de bacalao, 13 millones de
libras de perca, 112 millones de libras de abadejo, 279 millones de libras de atún. ¿Cuál es el promedio general de los precios por libra que reciben los pescadores? Xw = 0.54(254) + 0.586(33) + 0.266(13) + 0.339(112)+ 0.616(279) 369,518,000 691 millones de libras 691
=
= 0.5347 centavos por libra 14. En un análisis de las llamadas telefónicas que salían a diario de una oficina se determinó que 64 llamadas de 3 minutos o menos promediaron 2.3 minutos, 47 llamadas de más de 3 minutos pero no más de 10 minutos, promediaron 6.1 minutos y 4 llamadas de más de 10 minutos duraron un promedio de 20.6 minutos. ¿Cuál es el promedio de la duración de esas llamadas? Xw = 64 (2.3) + 47 (6.1) + 4 (20.6) = 147.2+286.7+82.4 = 4.49 minutos 64 + 47 +4 115 llamadas 15. Como parte de un proyecto de investigación los investigadores obtuvieron los siguientes datos respecto a los niveles de peróxido lípido en el suero informados por un laboratorio para una muestra de los individuos adultos bajo tratamiento de diabetes mellitus: 5.85 6.17 6.09 7.70 3.17 3.83 5.17 4.31 3.09 5.24 Calcular la media, mediana y la moda. a. 3.09 + 3.17 + 3.83 3.83 + 4.31 + 5.17 + 5.24 + 5.85 + 6.09 + 6.17 + 7.70 = 50.62 = 5.062 10 b. 5.17 + 5.24 = 10.41 = 5.205 Mediana 2 c. Moda no tiene
2
10
16. Los siguientes datos representan los valores de suero lípido obtenidos a partir de la muestra de los adultos aparentemente sanos: 4.07 2.71 3.64 3.37 3.84 3.83 3.82 4.21 4.04 4.50 ¿Calcule la media, mediana y la moda? a. 2.71 + 3.37 + 3.64 + 3.82 + 3.83 + 3.84 + 4.04 + 4.07 4.07 +4.21 + 4.50 = 38.03 = 3.803 10
10
b. Mediana Mediana 3.83 + 3.84 = 7.67 = 3.835 2 2 c. Moda no tiene 17. En cuatro departamentos de una compañía, 190 trabajadores reciben en promedio un salario de L. 4.80 por hora; 610 trabajadores una paga por hora cuya media es L. 8.90. 180 reciben un promedio de L. 12.65 por hora y 20 reciben una paga en promedio de L. 14.10 por hora. ¿Cuál es el promedio general de salario por hora que se paga a estos trabajadores? Xw = 190 (4.80) + 610 610 (8.90) + 180 (12.65) + 20 (14.10) = 912 + 5429 + 2277 + 282 = 190 + 610 + 180 + 20 1000 8900 = 8.90 1000 18. Si un trabajador recibe L. 9.50 por hora en las 40 horas de trabajo ordinario, una y media veces este sueldo por 10 horas extras entre semana y el doble de la tarifa por 4 horas de trabajo en domingo. ¿Cuál es el promedio de sueldo por hora de ese trabajador? Xw = 40(9.50) + 10(14.25) + 4(19) = 598.25 = 11.08 por hora 40+10+4 54
19. Durante la campaña de ventas de fabricantes de cierto equipo, los 20 trabajadores del centro promediaron 150 nuevos contactos de compra, los 25 del norte promediaron 180 y los 15 del sur promediaron 160. ¿Cuál fue el promedio total de los nuevos contactos de compra logrados por esos vendedores? Xw = 20(150) + 25(180) + 15(160) = 3000+4500+2400 = 9900 = 165 nuevos contactos 20 + 25 + 15 60 60
Guía de Estudio N. 11
Determinar:
a. La media
b. La mediana c. La moda
1. X
F
Fa
LR
Xm
Fxm
- 9
5
5
4.5 - 9.5
7
35
10 - 14
8
13
9.5 - 14.5
12
96
15 - 19
4
17
14.5 – 19.5
17
68
20 - 24
10
27
19.5 – 24.5
22
220
25 - 29
6
33
24.5 – 29.5
27
162
Ʃ
33
5
581
a. X = Ʃfxm = 581 = 17.61 n 33 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 14.5 + 5 (33/2 – 13) = 14.5 + 4.375 = 18.875 fme 4 c. Mo = Lri + c ( 1
1
) = 19.5 + 5 (
-
2
6 ) = 19.5 + 3 = 22.5 6+4
2. X
F
Fa
40 - 49
3
3
50 - 59
2
60 - 69 70 - 79
LR
Xm
Fxm
39.5 - 49.5
44.5
133.5
5
49.5 - 59.5
54.5
109.0
7
12
59.5 – 69.5
64.5
451.5
5
17
69.5 – 79.5
74.5
372.5
80 - 89
2
19
79.5 – 89.5
84.5
169.0
90 - 99
3
22
89.5 - 99.5
94.5
283.5
Ʃ
22
1519.0
a. X = Ʃfxm = 1519 = 69.04 n 22 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 69.5 + 5 (22/2 – 12) = 69.5.5 -1 = 68.5 fme 5 c. Mo = Lri + c (
1
) = 69.5 + 5 (
-
2
1
2 ) = 69.5 + 2 = 71.5 2+3
3. X
F
Fa
Xm
Fxm
- 7
1
1
6
6
8 - 10
5
6
9
45
11 - 13
4
10
12
48
14 - 16
10
20
15
150
17 - 19
6
26
18
108
20 - 22
5
31
21
105
23 - 25
3
34
24
72
Ʃ
34
5
a. X = Ʃfxm = 534 = 15.71 n 34
LR
13.5 – 16.5
534
b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 13.5 + 3 (34/2 – 10) = 13.5 + 2.1 = 15.6 fme 10 c. Mo = Lri + c (
1
) = 13.5 + 3 (
-
2
1
6 ) = 13.5 +1.83 = 15.3 6+4
4. X
F
Fa
3 - 5
2
6 - 8
LR
Xm
Fxm
2
4
8
10
12
7
70
9 – 11
12
24
10
120
12 - 14
9
33
13
117
15 - 17
7
40
16
112
Ʃ
40
8.5 – 11.5
427
a. X = Ʃfxm = 427 = 10.68 n 40 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 8.5 + 3 (40/2 – 12) = 8.5 + 2.0 = 10.5 fme 12 c. Mo = Lri + c ( 1
5.
1
) = 8.5 + 3 (
-
2
2 ) = 8.5 + 1.2 = 9.7 2+3
X
F
Fa
Xm
Fxm
- 5
7
2
3.5
24.5
6 - 9
15
22
7.5
112.5
10 - 13
22
44
11.5
253.0
14 - 17
14
58
15.5
217.0
19 - 21
2
60
19.5
39.0
Ʃ
60
2
LR
9.5 – 13.5
646.0
a. X = Ʃfxm = 646 = 10.77 n 60 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 9.5 + 4 (60/2 – 22) = 9.5 + 1.45 = 10.95 fme 22 c. Mo = Lri + c (
1
) = 9.5 + 4 (
-
2
1
7 ) = 9.5 + 1.87 = 11.37 7+ 8
6. X
F
Fa
22 - 32
5
33 - 43
LR
Xm
Fxm
5
27
285
7
12
38
266
44 - 54
10
22
49
490
55 - 65
17
39
60
1020
66 - 76
9
48
71
639
77 - 87
8
56
82
656
88 - 98
10
66
93
930
Ʃ
66
54.5 – 65.5
4286
a. X = Ʃfxm = 4286 = 64.94 n 66 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 54.5 + 11 (66/2 – 22) = 54.5 + 7.44 = 61.94 fme 17 c. Mo = Lri + c (
1
) = 54.5 + 11 (
-
2
1
7 ) = 54.5 +5.13 = 59.63 7+8
7. Pesos en kg de una muestra de paquetes mes de junio X F Fa LR
Xm
Fxm
10.0 - 10.9
2
2
10.45
20.9
11.0 - 11.9
8
10
11.45
91.6
12.0 - 12.9
12
22
12.45
149.4
13.0 - 13.9
16
38
13.45
215.2
14.0 - 14.9
24
62
14.45
346.8
15.0 - 15.9
22
84
15.45
339.9
16.0 - 16.9
16
100
16.45
263.2
17.0 - 17.9
14
114
17.45
244.3
Ʃ
114
13.95 – 14.95
1671.3
a. X = Ʃfxm = 1671.3 = 14.66 n 114 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 13.95 + 1 (114/2 – 38) = 13.95 + 0.79 = 14.74 fme 24 c. Mo = Lri + c ( 1
1
) = 13.95 + 1 (
-
2
8 8+2
) = 13.95 +0.8 = 14.75
8. X
F
Fa
9.3 - 9.7
2
9.8 - 10.2
LR
Xm
Fxm
2
9.5
19
6
8
10
60
10.3 - 10.7
12
20
10.5
126
10.8 - 11.2
17
37
11
187
11.3 - 11.7
14
51
11.5
161
11.8 - 12.2
6
57
12
72
12.3 - 12.7
3
60
12.5
37.5
12.8 - 13.2
1
61
13
13
Ʃ
61
10.75 - 11.25
675.5
a. X = Ʃfxm = 675.5 = 11.03 n 61 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 10.75 + 0.5 (61/2 – 20) = 10.75 + 0.31 = 11.06 fme 17 c. Mo = Lri + c ( 1
1
) = 10.75 + 0.5 (
-
2
5 5+3
) = 10.75 +0.31 = 11.06
9. La siguiente distribución corresponde a los pesos registrados en el correo de las cartas distribuidas el 31 de agosto de 1999. Peso en gramos.
Calcular a. La media b. La mediana X
F
Fa
100.0 -
12
c. La moda LR
Xm
Fxm
12
124.75
1497
14
26
174.75
2446.5
27
53
224.75
6068.25
58
111
274.75
15935.5
72
183
324.75
23382
63
246
374.75
23609.25
36
282
424.75
15291
18
300
474.75
8545.5
149.5 150.0 199.5 200.0 249.5 250.0 299.5 300.0 -
299.95 – 349.55
349.5 350.0 399.5 400.0 449.5 450.0 499.5
Ʃ
300
96775
a. X = Ʃfxm = 96775.0 = 322.58 n 61 b. Me = Lri 327.03
+ c (n/2 - Ʃf 1) = 299.95 + 50 (300/2 – 111) = 299.95 + 27.08 = fme
c. Mo = Lri + c ( 1
72
1
) = 299.95 + 50 (
-
2
14 14 + 9
) = 299.95 +30.43 = 330.38
10. La siguiente distribución de frecuencias corresponde al peso de peces atrapados en las redes de los pescadores en un día de la semana. Peso en Libras. Calcular a. La media b. La mediana X
F
Fa
0.0 - 24.9
5
25.0 - 49.9
c. La moda LR
Xm
Fxm
5
12.45
62.25
13
18
37.45
486.85
50.0 - 74.9
16
34
62.45
999.2
75.0 - 99.9
8
42
87.45
699.6
100.0 - 124.9
10
52
112.45
1124.5
125.0 - 149.9
2
54
137.45
274.9
Ʃ
54
49.95 - 74.95
3647.3
a. X = Ʃfxm = 3647.3 = 67.54 n 54 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 49.95 + 25 (54/2 – 18) = 49.95 + 14.06 = 64.01 fme 16 c. Mo = Lri + c ( 1
1
) = 49.95 + 25 (
-
2
3 ) = 49.95 + 6.82 = 56.77 3+8
11. Las edades de los residentes de la Colonia Jardines de Loarque del bloque 19, están descritas en la siguiente distribución de frecuencias. Calcular a. La media b. La mediana X
F
Fa
17.0 - 22.9
30
23.0 - 28.9
35
c. La moda LR
Xm
Fxm
30
19.95
598.5
65
25.95
908.25
29.0 - 34.9
56
121
35.0 - 40.9
32
41.0 - 46.9 47.0 - 52.9
Ʃ
28.95 - 34.95
31.95
1789.2
153
37.95
1214.4
45
198
43.95
1977.75
18
216
49.95
899.1
216
7387.2
a. X = Ʃfxm = 7387.2 = 34.2 n 216 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 28.95 + 6 (216/2 – 65) = 28.95 + 4.61 = 33.56 fme 56 c. Mo = Lri + c ( 1
1
) = 28.95 + 6 (
-
2
21 ) = 28.95 + 2.8 = 31.75 21 + 24
12. Los reclamos al IHSS IHSS del seguro de accidentes, se ajustan ajustan a la distribución de frecuencias siguientes. Reclamos hechos durante el mes de enero de 1999. Calcular a. La media b. La mediana X
F
Fa
10 - 15
12
16 - 21
c. La moda LR
Xm
Fxm
12
12.5
150
8
20
18.5
148
22 - 27
14
34
24.5
343
28 - 33
25
59
30.5
762.5
34 - 39
11
70
36.5
401.5
40 - 45
30
100
42.5
1275
46 - 51
12
112
48.5
582
33.5 - 39.5
52 - 57
8
120
54.5
436
58 - 63
4
124
60.5
242
Ʃ
124
4340
a. X = Ʃfxm = 4340.0 = 35 n 124 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 33.5 + 6 (124/2 – 59) = 33.5 + 1.64 = 35.14 fme 11 c. Mo = Lri + c (
1
) = 33.5 + 6 (
-
2
1
14 ) = 33.5 + 2.54 = 36.04 14 + 19
13. Una máquina automática llena latas de jugo de naranja. Una verificación de los pesos del contenido de un cierto número de latas revelo lo siguiente: Calcular a. La media b. La mediana X
F
Fa
130 - 139
2
140 - 149
c. La moda LR
Xm
Fxm
2
134.5
269
8
10
144.5
1156
150 - 159
20
30
154.5
3090
160 - 169
15
45
164.5
2467.5
170 - 179
9
54
174.5
1570.5
180 - 189
7
61
184.5
1291.5
Ʃ
61
149.5 - 159.5
9844.5
a. X = Ʃfxm = 9844.5 = 161.4 n 61 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 149.5 + 10 (61/2 – 10) = 149.5 + 10.25 = 159.8 fme 20 c. Mo = Lri + c (
1
) = 149.5 + 10 (
12
) = 149.5 + 7.06 = 156.6
-
1
12 + 5
2
14. El número se sistemas de calentamiento solar disponibles al público es bastante grande y su capacidad de almacenamiento de calor es diversa. Se presenta una distribución de la capacidad de almacenamiento de calor (en días) de 28 sistemas. Calcular a. La media b. La mediana X
F
Fa
0.0 - 0.99
2
1.0 - 1.99
c. La moda LR
Xm
Fxm
2
0.495
0.99
4
6
1.495
5.98
2.0 - 2.99
6
12
2.495
14.97
3.0 - 3.99
7
19
3.495
24.465
4.0 - 4.99
5
24
4.495
22.475
5.0 - 5.99
3
27
5.495
16.485
6.0 - 6.99
1
28
6.495
6.495
Ʃ
28
2.95 - 4.04
91.86
a. X = Ʃfxm = 91.86 = 3.28 n 28 b. Me = Lri + c (n/2 - Ʃf 1) = 2.95 + 1 (28/2 – 12) = 2.95 + 0.2857 = 3.24 fme 7 c. Mo = Lri + c ( 1
1
) = 2.95 + 1 (
-
2
1 ) = 2.95 + 0.5 = 3.45 1+1
Guía de Estudio N. 12 1. Los siguientes son los números de minutos que una persona en su camino al trabajo, tuvo que esperar el autobús en 14 días de trabajo: 10 12 17 6 8 3 10 2 9 5 9 13 1 1. Calcular la posición y el valor de: a. Q 2 b. Q3 c. Q1
1 2 3 5 6 8 9 9 10 10 10 12 13 17 a. P = 14 x 50 = 7 + 0.5 = 7.5 a
Q2= 9
100 b. P = 14 x 75 = 10.5 = 11 a
Q3= 10
100 c. P = 14 x 25 = 3.5 = 4 a
Q1= 5
100 2. Ciertas fallas de energía eléctrica duraron: 18 125 44 98 31 26 80 49 125 89 44 33 39 12 103 75 40 80 28 minutos. Calcular la posición y el valor de: a. Q 2 b. Q1 c. Q3 12 18 26 28 31 33 39 40 44 44 49 75 80 80 89 98 103 125 125 a. P = 19 x 50 = 10a
Q2= 44
100 b. P = 19 x 25 = 6 a
Q1= 33
100 c. P = 19 x 75 = 15 a
Q3= 89
100 3. En 1993, 12 hacendados vendieron respectivamente hatos de: 58 70 86 42 64 46 89 44 93 58 70 70 novillos a una empacadora de carne. Calcular la posición y el valor de: a. Q 2 b. Q3 c. Q1 42 44 46 58 58 64 70 70 70 86 89 93 a. P = 12 x 50 = 6.5 a
Q2= 64+70/2 = 67
100 b. P = 12 x 75 = 9.5 a
Q3= 70+86/2 = 78
100 c. P = 12 x 25 = 3.5 a
Q1= 46+58/2 = 52
100 4. Calcular la posición de Q 2, Q 1, Q 3 en una distribución de 21 términos y verificar cuantos valores hay a la izquierda de la la posición Q1; entre Q1 y Q2 entre Q2 y Q3 y a la derecha de Q 3 a. P = 21 x 50 = 11a 100 b. P = 21 x 75 = 6a 100 c. P = 21 x 25 = 17 a 100 Hay 5 valores a la izquierda de Q 1 Hay 5 valores entre Q 1 y Q2 Hay 5 valores entre Q 2 y Q3 Hay 4 valores a la derecha de Q3 5. En una semana semana el número de de comidas que ingirieron ingirieron 13 personas fueron: 3 10 15 1 8 5 6 12 15 11 8 7 5. Determinar el valor de: a. Q 2 b. D6 c. P80 d. Q3 e. D7 f. P72 1 3 5
5 6 7
a. P = 13 x 50 = 7a
8 8 10
11 12 15 15 Q2 = 8
100 b. P = 13 x 60 = 8a
D6 = 8
100 c. P = 13 x 80 = 11 a 100
P80 = 12
d. P = 13 x 75 = 11a
Q3 = 12
100 e. P = 13 x 70 = 10a
D7 = 78
100 f. P = 13 x 72 = 10 a
P72 = 52
100 6. Los siguientes datos son rendimientos de una hortaliza en libras. Calcular la posición y el valor de: a. Q 1 b. Q2 c. D7 d. P95 e. D3 f. P71 2.6 2.7 3.4 3.6 3.7 3.9 4.0 4.4 4.8 4.8 4.8 5.0 5.1 5.6 6.8 6.8 7.0 7.0 a. P = 18 x 25 = 5a
Q1 = 3.7
100 b. P = 18 x 50 = 9.5 a
Q2 = 4.8
100 c. P = 18 x 70 = 13 a
D7 = 5.1
100 d. P = 18 x 95 = 18a
P95 = 7.0
100 e. P = 18 x 30 = 6a
D3 = 3.9
100 f. P = 18 x 71 = 13 a
P71 = 5.1
100 7. La siguiente tabla muestra el tiempo en segundos que corredores de los 100 metros planos hicieron en una competencia durante las olimpiadas. 10.3 10.5 10.5 10.6 10.7 10.8 10.8 10.9 10.9 10.9 11.0 11.0 11.0 11.1 11.5 11.8 11.8 12.0 12.0 12.5
Calcular la posición y el valor de: a. D 9 b. D3 c. P30 d. P90 e. Q2 f.Q1 a. P = 20 x 90 = 18 + 0.5 a
D9 = 12.0
100 b. P = 20 x 30 = 6 + 0.5 a
D3 = 10.8
100 c. P = 20 x 30 = 6 + 0.5 a
P30 = 10.8
100 d. P = 20 x 90 = 18 + 0.5 a
P90 = 12.0
100 e. P = 20 x 50 = 10 + 0.5 a
Q2 = 10.95
100 f. P = 20 x 25 = 5 + 0.5 a
Q1 = 10.75
100 8. Una investigación sobre destreza manual abarco el tiempo requerido para terminar cierta tarea, los tiempos correspondientes en minutos fueron los siguientes: 7.1 7.2 7.2 7.6 7.6 7.9 8.1 8.1 8.1 8.3 8.3 8.4 8.4 8.9 9.0 9.0 9.1 9.1 9.1 9.1 9.1 9.1 9.2 9.2 9.3 9.3 9.5 9.7 9.8 9.8 Calcular la posición y el valor de: a. Q 2 b. D2 c. P27 d. Q3 e. D8 f.P66 g. Q1 h. D3 i.P59 a. P = 30 x 50 = 15 + 0.5 a
Q2 = 9.0
100 b. P = 30 x 20 = 6 + 0.5 a
D2 = 8.0
100 c. P = 30 x 27 = 9 a 100
P27 = 8.10
d. P = 30 x 75 = 23a
Q3 = 9.15
100 e. P = 30 x 80 = 24 + 0.5 a
D8 = 9.25
100 f. P = 30 x 66 = 20 a
P66 = 9.10
100 g. P = 30 x 25 = 8a
Q1 = 8.10
100 h. P = 30 x 30 = 9 + 0.5 a
D3 = 8.15
100 i. P = 30 x 59 = 18 a
P59 = 9.10
100 9. La siguiente tabla muestra la concentración de cloro en ppm de 30 galones de agua tratada: 14.7 15.2 15.4 15.6 15.6 15.6 15.7 15.7 15.8 15.8 15.8 15.9 15.9 15.9 16.0 16.0 16.0 16.0 16.2 16.2 16.3 16.3 16.4 16.4 16.7 16.8 16.9 16.9 17.3 18.3 Calcular la posición y el valor de: a. Q 2 b. D3 c. P40 d. D7 e. P80 f. D8 a. P = 30 x 50 = 15 + 0.5 a
Q2 = 16.0
100 b. P = 30 x 30 = 9 + 0.5 a
D3 = 15.8
100 c. P = 30 x 4o = 12 + 0.5 a
P40 = 15.9
100 d. P = 30 x 70 = 21 + 0.5 a
D7 = 16.3
100 e. P = 30 x 80 = 24 + 0.5 a 100
P80 = 16.7
f. P = 30 x 80 = 24 + 0.5 a
D8 = 16.7
100
10. El siguiente conjunto corresponde al tiempo en segundos, del encendido de todas las máquinas de una fábrica de hilados y tejidos: 30.1 30.1 30.2 30.4 30.5 31.1 31.1 31.3 31.5 31.6 31.6 32.5 32.5 33.0 34.0 34.4 34.4 34.5 34.5 35.0 35.0 35.0 37.5 37.5 37.6 38.0 38.0 Calcular la posición y el valor de: a. P 20 b. P 36 c. P 38 d. D 3 e. Q 3 f.D9 g. D 1 h.P88 a. P = 27x 20 = 6 a
P20 = 31.1
100 b. P = 27 x 36 = 10
P 36 = 31.6
100 c. P = 27 x 30 = 9 a
D3 = 31.5
100 d. P = 27 x 38 = 11a
P38 = 31.6
100 e. P = 27 x 75 = 21a
Q3 = 35.0
100 f. P = 27 x 90 = 25 a
D9 = 37.6
100 g. P = 27 x 10 = 3a
D1 = 30.2
100 h. P = 27 x 88 = 24a
P88 = 37.5
100 11. La siguiente tabla muestra las edades en años de los compradores de artículos en un supermercado que entraron de 10:00 am a 12:00 m. durante cinco días de la semana.
16 16 17 18 18 18 19 19 21 21 23 24 24 27 28 29 29 29 30 30 32 33 34 34 34 35 38 44 44 54 Calcular la posición y el valor de: a. Q 1 b. D5 c. P79 d. D7 e. P88 a. P = 30x 25 = 8 a
Q1 = 19
100 b. P = 30 x 50 = 15 + 0.5
D 5 = 29
100 c. P = 30 x 79 = 24 a
P79 = 34
100 d. P = 30 x 79 = 21 + 0.5 a
D7 = 33
100 e. P = 30 x88 = 27a
P88 = 38
100
Guía de Estudio N. 13 1. La siguiente distribución corresponde a los tiempos de servicio en una muestra de taladros disponibles para una renta en una empresa de herramientas. X
F
Fa
LR
2 - 4
3
3
1.5 - 4.5
5 - 7
5
8
4.5 - 7.5
8 - 10
10
18
7.5 - 10.5
11 - 13
4
22
10.5 - 13.5
14 - 16
3
25
13.5 - 16.5
Ʃ a. P50
25
25 x 50 = 12.5 = 13 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 7.5 + 3 (13 – 8) 10 Pk = 7.5 + 1.5 = 9 El 50% de los casos son menores que 9 años.
b. P70
25 x 70 = 17.5 = 18 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 7.5 + 3 (18 – 8) 10 Pk = 7.5 + 3 = 10.5 El 70% de los casos son menores que 10.5 años
c. D8 = P80
25 x 80 = 20 + 0.5 = 20.5 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 10.5 + 3 (20.5 – 18) 4 Pk = 10.5 + 1.875 = 12.375 El 80% de de los casos son menores de 12.375 años
d. D5 = P50
25 x 50 = 12.5 = 13 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 7.5 + 3 (13 – 8) 10 Pk = 7.5 + 1.5 = 9 El 50% de los casos son menores de 9 años
e. Q1
25 x 25 = 6.25 = 7 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 4.5 + 3 (7 – 3) 5 Pk = 4.5 + 2.4 = 6.9 El 25% de los casos son menores que 6.9 años.
f. Q3
25 x 75 = 18.75 = 19 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 10.5 + 3 (19 – 18) 4 Pk = 10.5 + 0.75 = 11.25 El 75% de los casos son menores que 11.25 años.
g. P45
25 x 45 = 11.25 = 12 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 7.5 + 3 (12 – 8) 10 Pk = 7.5 + 1.2 = 8.7 8.7 El 45% de los casos son menores que 8.7 años.
h. P89
25 x 89 = 22.25 = 23 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 13.5 + 3 (23 – 22) 3 Pk = 13.5 + 1 = 14.5 El 89% de los casos son menores que 14.5 años.
2. La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los pesos en kg de una muestra de paquetes transportados por una línea aérea en el mes de diciembre. X
F
Fa
LR
10.0 - 10.9
4
4
9.95 - 10.95
11.0 - 11.9
6
10
10.95 - 11.95
12.0 - 12.9
8
18
11.95 - 12.95
13.0 - 13.9
12
30
12.95 - 13.95
14.0 - 14.9
11
41
13,95 - 14.95
15.0 - 15.9
8
49
14.95 - 15.95
16.0 - 16.9
3
52
15.95 - 16.95
Ʃ a. P72
52
52 x 72 = 37.44 = 38 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 13.95 + 1 (38 – 30) 11 Pk = 13.95 + 0.73 = 14.68 El 72% de los casos son menores que 14.68 kg.
b. Q1
52 x 25 = 13 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 11.95 + 1 (13 – 10) 8 Pk = 11.95 + 0.375 = 12.325 El 25% de los casos son menores que 12.325 kg
c. P93
52 x 93 = 48.36 = 49 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk
Pk = 14.95 + 1 (49 – 41) 8 Pk = 14.95 + 1 = 15.95
d. Q3
El 93% de los casos son menores de 15.95 kg
52 x 75 = 39 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 13.95 + 1 (39 – 30) 11 Pk = 13.95 + 0.82 = 14.77 El 50% de los casos son menores de 14.77 kg
e. Q2
52x 50 100
= 26
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 2.95 + 1 (26 – 18) 12 Pk = 12.95 + 0.67 = 13.62 El 50% de los casos son menores que 13.62 kg.
f. D6
52 x 60 = 31.2 = 32 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk
Pk = 13.95 + 1 (32 – 30) 11 Pk = 13.95 + 0.18 = 14.13 El 60% de los casos son menores que 14.13 kg.
g. P67
52 x 67 = 34.84 = 35 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 13.95 + 1 (35 – 30) 11 Pk = 13.95 + 0.45 = 14.41 El 67% de los casos son menores que 14.41 kg.
h. P90
52 x 90 = 46.8 = 47 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 14.95 + 1 (47 – 41) 8 Pk = 14.95 + 0.75 = 15.70 El 90% de los casos son menores que 15.70 kg.
3. La siguiente es la distribución de las cantidades de tiempo que permanece en un gimnasio de club atlético una muestra de 75 miembros. X
F
Fa
LR
0 - 14
7
7
- 0.5 - 14.5
15 - 29
19
26
14.5 - 29.5
30 - 44
27
53
29.5 - 44.5
45 - 59
13
66
44.5 - 59.5
60 - 74
6
72
59.5 - 74.5
75 - 89
3
75
74.5 - 89.5
Ʃ a. P30
75
75 x 30 = 22.5 = 23 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 14.5 + 15 (23 – 7) 19 Pk = 14.5 + 12.63 = 27.13 El 30% de los casos son menores que 27.13
b. P48
75 x 48 = 36 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 29.5 + 15 (36 – 26) 27 Pk = 29.5 + 5.55 = 35.05 35.05 El 48% de los casos son menores que 35.05
c. P50
75 x 50 = 37.5 = 38 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 29.5 + 15 (38 – 26) 27 Pk = 29.5 + 6.67 = 36.17 El 50% de los casos son menores de 36.17
d. P70
75 x 70 = 52.5 = 53 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 29.5 + 15 (53 – 26) 27 Pk = 29.5 + 15 = 44.5 44.5 El 70% de los casos son menores de 44.5
e. P85
75x 85 100
= 63.75 = 64
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 44.5 + 15 (64 – 53) 13 Pk = 44.5 + 12.69 = 57.19 El 85% de los casos son menores que 57.19
f. P93
75 x 93 = 69.75 = 70 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 59.5 + 15 (70 – 66) 6 Pk = 59.5 + 10 = 69.5 El 93% de los casos son menores que 69.5
4. La siguiente distribución del número de horas – hombre que requiere una compañía de pintura para pintar 62 casas de tamaño y condición clasificada.
X
F
Fa
LR
40 - 49
4
4
39.5 - 49.5
50 - 59
5
9
49.5 - 59.5
60 - 69
13
22
59.5 - 69.5
70 - 79
17
39
69.5 - 79.5
80 - 89
11
50
79.5 - 89.5
90 - 99
8
58
89.5 - 99.5
100 - 109
4
62
99.5 - 109.5
Ʃ a. Q75
62
62 x 75 = 46.5 = 47 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 79.5 + 10 (47 – 39) 11 Pk = 79.5 + 7.27 = 86.77 86.77 El 75% de los casos son menores que 86.77
b. P75
62 x 75 = 46.5 = 47 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 79.5 + 10 (47 – 39) 11 Pk = 79.5 + 7.27 = 86.77 86.77 El 75% de los casos son menores que 86.77
c.
62 x 50 = 31 La mediana 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 69.5 + 10 (31 – 22) 17 Pk = 69.5 + 5.29 = 74.79 El 50% de los casos son menores de 74.79
d. D5
62 x 50 = 31 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 69.5 + 10 (31 – 22)
17 Pk = 69.5 + 5.29 = 74.79 El 50% de los casos son menores de 74.79
Calcular el número de casas tales que: e. P25
62x 25 100
= 15.5 = 16
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 59.5 + 10 (16 – 9) 13 Pk = 59.5 + 5.38 = 64.88 El 50% de los casos son menores que 64.88
f. P67
62 x 67 = 41.54 = 42 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 79.5 + 10 (42 – 39) 11 Pk = 79.5 + 2.73 = 82.23 El 67% de los casos son menores que 82.23
g. P90
62 x 90 = 55.8 = 56 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf)
fpk
Pk = 89.5 + 10 (56 – 50) 8 Pk = 89.5 + 7.5 = 97 El 90% de los casos son menores que 97 h. P83
62 x 83 = 51.46 = 52 100
Pk = Lri + c ( nk/100 - Ʃf) fpk Pk = 89.5 + 10 (52 – 50) 8 Pk = 89.5 + 2.5 = 92 El 83% de los casos son menores que 92
Guía de Estudio N. 14 1. La siguiente distribución de frecuencias corresponde a la edad de obreros al comienzo de su incapacidad. Calcular: a. RP (25) b. RP (29)
c. RP (36)
d. RP (40)
e. RP (27)
f. RP (43).
X
F
Fa
Fa%
20 - 24
53
53
16.25%
25 - 29
29
82
25.15%
24.5 - 29.5
30 - 34
72
154
47.24%
29.5 - 34.5
35 - 39
91
245
75.15%
40 - 44
57
302
92.64%
45 - 49
24
326
100%
Ʃ
326
a. RP (25) A = 16.25% X = 25 B = Lri = 24.5 C = Lrs – Lri = 29.5 – 24.5 = 5 D = f x 100
= 29 x 100 = 8.89%
LR
N
326
RP = A + [ 17.14%
x - B ] D = 16.25 + [ 25 - 24.5 ] 8.89 = 16.25+0.889 = C
5
b. RP (29) A = 16.26% X = 29 B = Lri = 29.5 C = Lrs – Lri = 29.5 – 24.5 = 5 D = f x 100 N
= 29 x 100 = 8.89% 326
RP = A + [ x - B ] D = 16.26 + [ 25 - 24.5 ] 8.89 = 16.26 + 0.89 = 17.15% C 5
c. RP (36) A = 47.24% X = 36 B = Lri = 34.5 C = Lrs – Lri = 39.5 –34.5 = 5 D = f x 100 N
= 91 x 100 = 27.9% 326
RP = A + [ 55.67%
x - B ] D = 47.24 + [ 36 - 34.5 ] 27.92 = 47.24+8.37 = C
d. RP (40)
5
A = 75.15% X = 40 B = Lri = 39.5 C = Lrs – Lri = 44.5 – 39.5 = 5 D = f x 100 N
= 57 x 100 = 17.48% 326
RP = A + [ x - B ] D = 75.15 + [ 40 - 39.5 ] 17.48 = 75.15 + 1.75 = 76.9% C 5
e. RP (27) A = 16.25% X = 27 B = Lri = 24.5 C = Lrs – Lri = 29.5 – 24.5 = 5 D = f x 100 N
= 29 x 100 = 8.89% 326
RP = A + [ x - B ] D = 16.25 + [ 27 - 24.5 ] 8.89 = 16.25+4.45 = 20.70% C 5
f. RP (43) A = 75.15% X = 45 B = Lri = 39.5 C = Lrs – Lri = 44.5 – 39.5 = 5 D = f x 100 N
= 57 x 100 = 17.48% 326
RP = A + [ x - B ] D = 75.15 + [ 43 - 39.5 ] 17.48 = 75.15 + 12.24 = 87.39% C 5
2. La siguiente distribución de frecuencias corresponde a la temperatura máxima de un reactor nuclear en el primer semestre del año. Calcular: a. RP (518) b. RP (521)
c. RP (529)
d. RP (536)
e. RP (542)
RP (549).
X
F
Fa
Fa%
501 - 510
32
32
12.69%
511 - 520
59
91
36.11%
521 - 530
82
173
68.65%
531 - 540
21
194
76.98%
541 - 550
31
225
89.28%
551 - 560
27
252
100%
Ʃ
252
a. RP (518) A = 12.69% X = 518 B = Lri = 510.5 C = Lrs – Lri = 520.5 – 510.5 = 10
LR
510.5 - 520.5
540.5 - 550.5
f.
D = f x 100 N
= 59 x 100 = 23.42% 252
RP = A + [ x - B ] D = 12.69 + [ 518 - 510.5 ] 23.42 = 12.69+17.56 = 30.25% C 10
b. RP (521) A = 36.11% X = 521 B = Lri = 520.5 C = Lrs – Lri = 530.5 – 520.5 = 10 D = f x 100 N
= 82 x 100 = 32.54% 252
RP = A + [ x - B ] D = 36.11 + [ 521 - 520.5 ] 32.54 = 36.11 + 16.27 = 52.38% C 5
c. RP (529) A = 36.11% X = 529 B = Lri = 520.5 C = Lrs – Lri = 530.5 – 520.5 = 10 D = f x 100 N
= 82 x 100 = 32.54% 252
RP = A + [ x - B ] D = 36.11 + [ 529 - 520.5 ] 32.54 = 36.11 + 27.66 = 63.77% C 5
d. RP (536)
A = 68.65% X = 536 B = Lri = 530.5 C = Lrs – Lri = 540.5 – 530.5 = 10 D = f x 100 N
= 21 x 100 = 8.33% 252
RP = A + [ x - B ] D = 68.65 + [ 536 - 350.5 ] 8.33 = 68.65 + 4.58 = 73.23% C 10
e. RP (542) A = 76.98% X = 542 B = Lri = 540.5 C = Lrs – Lri = 550.5 – 540.5 = 10 D = f x 100 N
= 31 x 100 = 12.31% 252
RP = A + [ x - B ] D = 76.98 + [ 542 - 540.5 ] 12.31 = 76.98+1.85 = 78.83% C 10
f. RP (549) A = 76.98% X = 549 B = Lri = 540.5 C = Lrs – Lri = 550.5 – 540.5 = 5 D = f x 100 N
= 31 x 100 = 12.31% 252
RP = A + [ x - B ] D = 76.98 + [ 549 - 540.5 ] 12.31 = 76.98 + 10.46 = 87.44% C 10
3. La siguiente distribución de frecuencias corresponde al cociente de inteligencia
de los alumnos del III de Comercio del “HRN”. Calcular: a. RP (96) b. RP (100)
c. RP (110)
d. RP (113)
e. RP (118)
f. RP
(123). X
F
Fa
Fa%
85 - 94
12
12
9.16%
95 - 104
18
30
22.21%
105 - 114
20
50
38.17%
115 - 124
48
98
74.81%
125 - 134
33
131
100%
Ʃ
131
a. RP (96) A = 9.16% X = 96 B = Lri = 94.5 C = Lrs – Lri = 104.5 – 94.5 = 10
LR
94.5 - 104.5
114.5 - 124.5
D = f x 100 N
= 18 x 100 = 13.75% 131
RP = A + [ x - B ] D = 9.16 + [ 96 9 6 - 44.5 ] 13.75 = 9.16 + 2.06 = 11.22% C 10
b. RP (100) A = 9.16% X = 100 B = Lri = 94.5 C = Lrs – Lri = 104.5 – 44.5 = 10 D = f x 100 N
= 18 x 100 = 13.75% 131
RP = A + [ x - B ] D = 9.16 + [ 100 - 94.5 ] 13.75 = 9.16 + 7.56 = 16.72% C 10
c. RP (110) A = 22.91% X = 110 B = Lri = 104.5 C = Lrs – Lri = 114.5 –104.5 = 10 D = f x 100 N
= 20 x 100 = 15.27% 131
RP = A + [ x - B ] D = 22.91 + [ 110 - 104.5 ] 15.27 = 22.99 + 8.39 = 31.30% C 10
d. RP (113)
A = 22.91% X = 113 B = Lri = 104.5 C = Lrs – Lri = 114.5 – 104.5 = 10 D = f x 100 N
= 20 x 100 = 15.27% 131
RP = A + [ x - B ] D = 22.91 + [ 113 - 104.5 ] 15.27 = 22.91 + 12.98 = 35.89% C 10
e. RP (118) A = 38.17% X = 118 B = Lri = 114.5 C = Lrs – Lri = 124.5 – 114.5 = 10 D = f x 100 N
= 48 x 100 = 36.64% 131
RP = A + [ x - B ] D = 38.17 + [ 118 - 114.5 ] 36.64 = 38.17+12.82 = 50.48% C 10
f. RP (123) A = 38.17% X = 123 B = Lri = 114.5 C = Lrs – Lri = 124.5 – 114.5 = 10 D = f x 100 N
= 48 x 100 = 36.64% 131
RP = A + [ x - B ] D = 38.17 + [ 123 - 114.5 ] 36.64 = 38.17 + 31.14 = 69.31% C 10
4. Calcular: a. RP (2.6) b. RP (2.8)
c. RP (3.5)
d. RP (3.9)
e. RP (4.6)
f.
RP (53). X
F
Fa
Fa%
2.0 - 2.5
11
11
12.36%
2.6 - 3.1
10
21
23.59%
3.2 - 3.7
14
35
39.33%
3.8 - 4.3
22
57
64.05%
4.4 - 4.9
17
74
83.15%
5.0 - 5.5
15
89
100%
Ʃ
89
LR
2.55 - 3.15
4.95 - 5.55
a. RP (2.6) A = 12.36% X = 2.6 B = Lri = 2.55 C = Lrs – Lri = 3.15 – 2.55 = 0.6 D = f x 100 N
= 10 x 100 = 11.24% 89
RP = A + [ 13.30%
x - B ] D = 12.36 + [ 2.6 - 2.55 ] 11.24 = 12.36+0.94 = C
0.6
b. RP (2.8) A = 12.36% X = 2.8 B = Lri = 2.55 C = Lrs – Lri = 3.15 – 2.55 = 0.6 D = f x 100 N
= 10 x 100 = 11.24% 89
RP = A + [ x - B ] D = 12.36 + [ 2.8 - 2.55 ] 11.24 = 12.36 + 4.73 = 17.09% C 0.6
c. RP (3.5) A = 23.59% X = 3.5 B = Lri = 3.15 C = Lrs – Lri = 3.75 –3.15 = 0.6 D = f x 100 N
= 14 x 100 = 15.73% 89
RP = A + [ 32.72%
x - B ] D = 23.59 + [ 3.5 - 3.15 ] 15.73 = 23.59+9.13 = C
d. RP (3.9) A = 39.33% X = 3.9 B = Lri = 3.75
0.6
C = Lrs – Lri = 4.35 – 3.75 = 0.6 D = f x 100 N
= 22 x 100 = 24.72% 89
RP = A + [ x - B ] D = 39.33 + [ 3.9 - 3.75 ] 24.72 = 39.33 + 6.18 = 45.51% C 0.6
e. RP (4.6) A = 64.05% X = 4.6 B = Lri = 4.35 C = Lrs – Lri = 4.95 – 4.35 = 0.6 D = f x 100 N
= 17 x 100 = 19.11% 89
RP = A + [ 72.08%
x - B ] D = 64.05 + [ 4.6 - 4.35 ] 19.11 = 64.05+8.03 = C
0.6
f. RP (5.3) A = 83.15% X = 5.3 B = Lri = 4.95 C = Lrs – Lri = 5.55 – 4.95 = 0.6 D = f x 100 N
= 15 x 100 = 16.85% 89
RP = A + [ x - B ] D = 83.15 + [ 5.3 - 4.95 ] 16.85 = 83.15 + 9.77 = 92.92% C 0.6
5. La siguiente distribución de frecuencias corresponde a las edades de los miembros de un club de natación. Calcular: a. RP (22) b. RP (25)
c. RP (28)
d. RP (30)
e. RP (33)
f. RP (36).
X
F
Fa
Fa%
LR
20 - 24
29
29
30.53%
19.5 - 24.5
25 - 29
21
50
52.64%
30 - 34
17
67
70.53%
35 - 39
28
95
100%
Ʃ
95
34.5 - 39.5
a. RP (22) A = 0% X = 22 B = Lri = 19.5 C = Lrs – Lri = 24.5 – 19.5 = 5 D = f x 100 N
= 29 x 100 = 30.53% 95
RP = A + [ x - B ] D = 0 + [ 22 - 19.5 ] 30.53 = 0+15.26 = 15.26% C 5
b. RP (25) A = 30.53% X = 25 B = Lri = 24.5
C = Lrs – Lri = 29.5 – 24.5 = 5 D = f x 100 N
= 21 x 100 = 22.10% 95
RP = A + [ x - B ] D = 30.53 + [ 25 - 24.5 ] 22.10 = 30.53 + 2.21 = 32.74% C 5
c. RP (28) A = 30.53% X = 28 B = Lri = 24.5 C = Lrs – Lri = 29.5 –24.5 = 5 D = f x 100 N
= 21 x 100 = 22.11% 95
RP = A + [ x - B ] D = 30.53 + [ 28 - 24.5 ] 22.11 = 30.53+15.47 = 45.99% C 5
d. RP (30) A = 52.64% X = 30 B = Lri = 29.5 C = Lrs – Lri = 34.5 – 29.5 = 5 D = f x 100 N
= 17 x 100 = 19.11% 89
RP = A + [ x - B ] D = 52.64 + [ 30 - 29.5 ] 19.11 = 52.64 + 1.91 = 54.55% C 5
e. RP (33) A = 52.64% X = 33 B = Lri = 29.5 C = Lrs – Lri = 34.5 – 29.5 = 5 D = f x 100 N
= 17 x 100 = 19.11% 89
RP = A + [ x - B ] D = 52.64 + [ 33 - 24.5 ] 19.11 = 52.64+13.00 = 65.64% C 5
f. RP (36) A = 70.53% X = 36 B = Lri = 34.5 C = Lrs – Lri = 39.5 – 34.5 = 5 D = f x 100 N
= 28 x 100 = 29.47% 95
RP = A + [ x - B ] D = 70.53 + [ 36 - 34.5 ] 29.47 = 70.53 + 8.84 = 79.37% C 5
GUÍA DE ESTUDIO N° 15 1. Los siguientes son datos de una muestra de la tasa de producción diaria de botes de fibra de vidrio de la Hydrosport Ltda.de puerto Cortes . 17 21 2 1 18 27 17 21 20 22 18 23 23
El Gerente de producción de la compañía siente que una desviación estándar de más de 3 botes por día indica variaciones de tasas de producción inaceptables ¿deberá preocuparse por las tasas de producción De la planta? N=10 ∑X=204 ∑ = + ∑ =4,250
,…………
=
=20.4
S= S= S=
S=3.13
2. Una compañía de teatro de Honduras está seleccionando una muestra de extras para una película. La edad de los primeros 20 aspirantes que van hacer entrevistados es: 50 56 55 49 52 57 56 57 56 59 54 55 61 60 51 59 62 52 54 49 El director de la película desea tener personas cuya edad se agrupe estrechamente alrededor de los 55 años. Como es aficionado a la estadística, sugiere como aceptable una desviación estándar de de 3 años. Este grupo de extras, cumple con el requisito. N=20 ∑X=1104 ∑ = + ∑ = +
∑ =61,226
,………… ,…………
=
=55.2
Desviación Estándar Poblacional
=
Varianza Poblacional
3. Los números de casa vendida semanalmente por una compañía de bienes raíces, durante un periodo de 8 semanas fueron 3, 0, 6, 4, 1, 5,4 y 1. Calcular la desviación estándar de esta población de casa.
X =104
=
=3
=
=
tiene registros de los peces 4. Una estación de pesca en el lago de Yohoa tiene atrapados. La pesca en Libras de los últimos 20 días fue: 101 132 145 144 130 88 156 188 169 130= 1,383 90 140 130 139 99 100 208 192 165 216= 1,479 2,862 Calcular a) rango, b) varianza, c) desviación estándar para estos datos, como muestra, d) en este ejemplo, ¿es el rango una buena medida de variabilidad? ¿Por qué? N=20
∑fx=2862
∑
=436,902
∑ = ∑ =
+
+
,…………
,………… =
= 286.2
5. Los 16 edificios más altos de una ciudad tienen: 47 43, 42, 40, 38, 36, 33, 33, 33, 32, 32, 32, 27, 27, 26 22 pisos. a) Calcular la desviación estándar de esta muestra de edificios. N=16
∑x=543
∑ =
=
= 1,151.92
S= S= S= S= S=
=(
= 46
b) Vuelva a determinar la la desviación estándar después de eliminar las alturas de los 4 edificios más altos. ¿Qué incluye? 38, 36, 33, 33, 33, 32, 32, 32, 27, 27, 26 22 pisos.
N=12
∑x=371
∑ =
=
= 956.05
S= S= S= S= S=
=(
= 20.4
x 3 6 9 13 15 18
6. Calcular la desviación estándar y varianza de la siguiente distribución en frecuencia simple. F 2 3 5 7 5 3
21
2
x
f
3 2 6 3 9 5 13 7 15 5 18 3 21 2 N=27
N= 27
Fx 6 18 18 108 45 405 91 1183 75 1125 54 972 42 882 331 4693
N=27
∑fx=331
∑
=4693 =
= 150.06
7. Calcular la desviación estándar y varianza de la siguiente distribución en frecuencia simple.
x 5 6 7 8 9 10 11
F 2 5 8 7 3 4 5
x 5 6 7 8 9 10 11 N= 34
f 2 5 8 7 3 4 5
xf 10 30 56 56 27 40 55
50 180 392 448 243 400 605
N= 34 274 2318
N=34
∑fx=274
∑
=2318 =
= 64.96
S= S= S= S=
=(
= 3.31
X 4 8 10 13 18 23 20 14
8. Calcular la desviación estándar y varianza de la siguiente distribución en frecuencia simple. x f xf F 3 4 3 12 48 6 8 6 48 384 4 10 4 40 400 8 13 8 104 1352 12 18 12 216 3888 9 23 9 207 4761 5 20 5 100 2000 4 14 4 56 784 N= 51 N= 51 783 13,617
N=5
∑fx=783
∑
=13,617 =
= 235.62
GUIA DE ESTUDIO #16
1. La siguiente distribución distribución corresponde a la clasificación de millas millas por galón de los automóviles producidos por un fabricante. Calcular la media, la
desviación estándar y la varianza de la distribución si se considera que es una población la investigada.
µ= 1484=17.45 85 MILLAS POR F GALON 10-12 13-15 15 16-18 38 19-21 10 22-24 8 25-25 6 85 2 2 µ = (17.45) =304.5
8
Xm
FXm FXm
F(xm F(xm))
11 14 17 20 13 26
88 210 246 200 184 156 1,484
968 2,940 10,982 4,000 4,252 4,056 27,178
Desviación Estándar
∂
27.178-304.5 85
∂
319.74-304.5
∂
15.24
∂= 3.90
Varianza
∂2=319.74-304.5 ∂2=15.24
2. De los empleados de una empresa, se obtuvo la siguiente distribución de frecuencia sobre los recorridos en los viajes entre el hogar y la oficina. El recorrido X se da en Km. Hallar la media, la desviación estándar y la
varianza de la distribución. Considere como población (N) primero y después como muestra (n) explique la diferencia si la hay.
RETARDO RETARDO 1.0-2.9 30-49 5’-69 3.0-89 90-109 110-29 130-149
EMPLEADO EMPLEADO 2 6 12 50 35 15 5 125
XM 1.95 3.95 5.98 7.95 9.95 11.95 13.95
FXM 3.9 23.7 71.4 59.75 348.25 179.25 69.75 1,093.75
µ = 1093.75 = 8.75 125 2 µ = (8.75)2 = 76.56
∂
Desviación Estándar Poblacional 10.266.33 – 76-56 125
∂ 82.13-76.56 5.57 ∂ ∂ =2.36
Varianza Poblacional ∂2= 82.13-76.56 ∂2= 5.57
Desviación Estándar muestral X = 1093.75 = 8.75 125 _ X 2 = 76.56 S=
10,266.33 - 125(76.56)
=
82.79-9570
F(XM) 7.61 93.62 424.83 3,160.13 3,465.09 2,142.04 973.01 10,266.33
125 -1
125-1
125-1 = =
82.79-77.18 5.61
= 2.37
Varianza Muestral. 2
S=
2.37
2
S2= 2.37
3. La siguiente distribución corresponde al gasto en Lps. De De los viajes de los técnicos en reparación de computadoras hicieron en un dia. Hallar la media, la desviación estándar y varianza de los gastos diarios, de la siguiente población.
GASTO GASTOS S 00.01-10 10.01-20 20.01-30 30.01-40 40.01-50
X 2 8 7 2 1 20
µ = 420.2 = 21.01 20 2 µ = (21.01) 2 µ2 = 441.40
Xm 5.01 15.01 25.01 35.01 45.01
FXm 10.02 120.08 175-07 70.02 43.01 420.2
90.72
Desviación Estándar Poblacional
∂=
10.708.40 - 441.42
varianza
F(Xm) F(Xm) 20.20 1.802.40 4.378.50 1.451.40 2.025.90 10,708.40
∂2 = 532.42 - 441.42 ∂= 94
20 535.42 = 441.42
∂= ∂
94
∂=
9.70
4. Calcular la desviación estándar y varianza para cada una de las siguientes tablas de distribución de frecuencia
X 50 - 59 60 - 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99
F 2 3 4 8 6 23
Xm 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
Fxm Fxm 109 193.5 298 676 567 1,843.5
F(xm F(xm)) 5,940.5 12,480.75 22.201 57.122 53.581.5 451,325.75
_ X = 1843.5 23 _ X = (80.15)2 = 6,424.02
Desviación Estándar S
151.325.75 _ 23-2
Varianza 13 (6.424.02) 23.1
S=
6,878.44
-
S=
6,868.44
- 6,716.02
S=
162-42
S = 12.74
147,752.46 23.1
S2 = ( 162.42)2 S2 = 161.42
5.
X 3-5 6-8 9-11 12-14 15-17 18-20 21-23
F 2 10 12 9 8 4 2 47
Xm 4 7 10 13 16 19 22
Fxm Fxm 70 70 120 117 128 76 144 563
Desviación Estándar
F(xm F(xm)) 52 490 1200 1511 2048 1444 968 7,703
Varianza
∂2 163.89 – 143.52
µ = 563 = 11.98
∂2 = 20.37
47 µ2 (11.98)2 = 143.52
∂= ∂= ∂=
7.703 143 -52 47 163.89 - 143.52 20.37
∂ = 4.51
6. X 2-5 6-9
F 7 15
Xm 3.5 7.5
Fxm Fxm 245 112.5
F(xm F(xm)) 35.75 343.75
10-13 14-17 18-21 22-25 26-29
22 14 10 9 4 81
11.5 13.5 195 235 275
253 217 195 211.5 110 1,123.5
2,909.5 3,363.5 382.5 4,970.25 3,025 49,000.25
_ X = 1123.5 _ 13.87 81 X = (1387) 2 = 192.38
Desviación Estándar S=
19,000.25 - 81 (112.38) 81.1 81.1
S= S= S=
Varianza
237.50
S2 = ( S2 =
42.72 42.72
- 194.78
42.72 6.54
7. X 5-7 8-10 11-13 14-16 17-19 20-22 _ X = 351 24
F 2 3 6 5 1 7 24 = 14.63
Xm 6 9 12 15 18 21
Fxm Fxm 12 27 72 75 18 147 351
F(xm F(xm)) 72 243 864 1125 324 3087 5715
)2
-X2 = (146)2 = 214.04
Desviacion standard S=
5715 - 24 (214.04) 24-1 24-1
S=
248.48 - 5136.96 23
S= S=
Varianza S2 = ( S2 =
25.13 )2 25.13
243-43 - 223.35 5.01
GUÍA DE ESTUDIO N° 17
1. A dos grupos 1 y 2 se les impartió el mismo curso de capacitación. El grupo 1 adiestrado con el paquete A requirieron en promedio 32.11 32.11 horas y una varianza de 68.09 horas y el grupo 2 con el paquete B quienes requirieron un promedio de 19.75 horas y una varianza de 71.14 horas. ¿Cuál programa mostro la menor variabilidad relativa? ¿Por qué? Desarrollo Grupo “A”
Datos: C.V=
=
Grupo “A”
Grupo “B” Datos
C.V= C.V=
D.Standar
R/. El grupo “A” mostró menor variabilidad, porque tiene menor porcentaje de dispersión.
2. Con las siguientes observaciones se describen las las edades de los estudiantes que asisten al programa diurno y nocturno de posgrado posgrado en computación. Si la homogeneidad del grupo es un factor positivo positivo en el aprendizaje, aplicar una medida de variabilidad relativa que indique a cuál de los grupos grupos es más fácil fácil en señalarles. Curso diurno:
24 30 28 23 25 22 26 27 28 25
DIURNO X 24 30 28 23 25 22 26 27 28 25 ∑x=258
484 529 576 625 625 676 729 784 784 784
∑ =6712
C.V= C.V=
Curso Nocturno: 26 33 29 28 27 29 33 34 37 28
NOCTURNO X 26 676 33 729 29 784 28 784 27 841
29 33 34 37 28
841 1089 1089 1156 1369
∑x=304
∑ =9358
C.V= C.V=
R/. El Curso diurno presenta menor dispersión en los datos. 3. En los 3 últimos años la compañía A alcanzo un promedio de rendimiento rendimiento sobre la inversión del 28% con una desviación estándar 5.3% y la compañía B, un rendimiento promedio del 37.8% con una desviación estándar de 4.8%. si se supone que el riesgo se acompaña de una mayor dispersión relativa. ¿Cuál de las dos compañías ha logrado una estrategia más riesgosa? ¿Por qué? COMPAÑÍA “A” Datos
C.V=
COMPAÑÍA “B” Datos
C.V= C.V=
R/. La compañía “A” porque presenta mayor porcentaje de dispersión. 4. La constancia con que un vendedor cumple con las metas establecidas, es un factor que la compañía ´DELR¨ toma en consideración para incentivar
económicamente a los vendedores. Los datos siguientes corresponden al porcentaje de la meta lograda por 3 vendedores el año 2001. Patricia: 88 68 89 92 73 Juan José: 76 88 90 86 79 Francisco: 88 95 78 88 63
¿Cuál de los vendedores es mas constante? ¿Por qué?
Juan José: Francisco: Patricia:
R/. Juan José representa es más constante porque presenta una mayor media aritmética. 5. Una maquina diseñada para producir dosis de cierto medicamento medicamento tiene tiene una dosis media de 100 cc con una desviación estándar de 5.22 CC. CC. Otra produce 180 cc como promedio con una desviación estándar de 8.6 CC. ¿Cuál de las dos máquinas tienen la menor exactitud desde el punto de vista de la dispersión relativa? ¿Por qué? Datos: A= B=
Máquina: C.V= C.V=
La máquina “A” tiene menor exactitud porque presenta mayor porcentaje de dispersión. 6. El Gerente de un Banco, revisa las cuentas por cobrar de 3 clientes y el tiempo promedio de días que se han atrasado en sus pagos. El Gerente considera que además de un promedio mínimo, es de suma importancia la consistencia basada en la dispersión relativa. ¿cuál de los 3 es el mejor cliente? H. Reyes:
62.2 61.6 63.4 63.0 61.7
G. Reina C: 62.5 61.9 62.8 63.0 60.7
A. Canos M: 62.0 61.9 63.0 63.9 61.5
H. Reyes X 61.6 61.7 62.2 63.0 63.4
∑x=311.9
3794.56 3806.89 3868.84 3969 4019.56
∑ =19458.85
G. REINA C. X 60.7 61.9 62.5 62.8 63.0 ∑x=310.9
3,684.49 3,831.61 3,906.25 3,943.84 3,969.00
∑ =19335.19
A.CANOS M. X 61.5 61.9 62.0 63.0 63.9 ∑x=312.3
3,782.25 3,831.61 3,844.00 3,969.00 4,083.21
∑ =19,510.07
R/. a. Canos M. tiene mayor dispersión.
7. El dueño de un supermercado emplea dos fórmulas diferentes para predecir las ventas mensuales. La primera fórmula tiene una falla promedio de 700 discos con una varianza de 1,225. La segunda de 300 discos con una desviación estándar de 16. ¿cuál formula es relativamente menos precisa? Fórmula “1”
C.V.=
Fórmula “2” C.V.=
R/. La Fórmula “2” es la menos precisa. 8. Se van a comparar la variabilidad variabilidad en los precios anuales de las acciones que se venden venden a menos menos de L.10.00 L.10.00 y la dispersión en los precios de aquellos que se venden por arriba de L. L. 60.00. El precio medio de las las primeras es de L. 5.25 con una varianza varianza de L. 2.3104. En las segundas el precio medio es de L. 92.50 y la varianza es de L. 27. 8784. A) calcular la dispersión relativa relativa en el precio de de ambos tipos de acciones y explicar cualquier diferencia, B) ¿Por qué utilizar el coeficiente de variación para esta comparación?
C.V.=
ACCIONES #2
C.V.=
R/. A mayor precio de la acción menor dispersión R/2. Porque nos permite visualizar la dispersión.
9. Un analista de investigación investigación para una Empresa Empresa de corretaje de acciones, desea comparar la dispersión en las razones precio- rendimiento.
Rendimiento #1
C.V. =
Rendimiento #2
CV=
R/. El coeficiente de variación nos permite visualizar la dispersión.
10. Un ingeniero probo 9 muestras de cada uno de 3 diseños de soporte para un nuevo torno electrónico. Los siguientes datos corresponden al número de horas que tardo cada soporte en fallar teniendo el motor del torno funcionando continuamente a su máxima potencia, con una carga en el , equivalente a 1.9 veces su capacidad esperada. A: 16 16 53 15 31 17 14 30 20 B: 18 27 23 21 22 26 39 17 1 7 28 C: 31 16 42 20 18 17 1 7 16 15 19
A) Calcular la media y la desviación estándar para cada grupo. B) Basándose en las respuestas del inciso anterior, ¿Cuál diseño es mejor mejor y porque? C) A:
. D) B: E) C:
Diseño A X 14 15 16 16 17 20 30 31 53 ∑x=212
Diseño B
196 225 256 256 289 400 900 961 2809 ∑ =6,292
X 17 18 21 22 23 26 27 28 39 ∑x=221
Diseño C
289 324 441 484 529 676 729 784 1521 ∑ =5777
X 15 16 16 17 18 19 20 31 42 ∑x=194
225 256 256 289 324 361 400 961 1764 ∑ =4,836
11. A un grupo de aspirantes a la F.A.H. se le aplicaron dos pruebas prueba s experimentales: una de actitudes mecánicas AM) y otra de destreza manual DM). la media media de la primera prueba fue de 200 y la desviación desviación estándar de 10. En la segunda, la media fue fue de 300 y la varianza de 36.
Comparar la dispersión relativa de ambos grupos y explicar cualquier diferencia. Prueba (AM) C.V. =
Prueba (DM) C.V. =
En la prueba (AM) los aspirantes presentaron mayor rendimiento. 12. La media y la desviación estándar de una poblacion son 120 y 20.0 respectivamente. Encontrar el valor de X que corresponde a: a) Z=0.0
b) Z=1.2
c) Z=2.05
d) Z=-2.75
“A”
Z=0.0=
“B”
Z=(1.2)=
“C”
Z=(-1.4)=
“D”
Z=(2.05)=
“E”
Z=(-2.75)=
13. ¿Cuál es el valor de X tiene la mayor continuidad relativa al conjunto de datos del cual procede? A: X=85 donde
B: X=93 donde
A. X=85 donde
Z=
B. X=93 donde C.
Z= El X=85 del conjunto “A” tiene mayor magnitud relativa.
14. ¿Cuál es el valor de X tiene menor posición relativa al conjunto de datos del cual procede? A: X=28.1 donde B: X=93 donde
A. X=28.1 donde
Z=
B. X=39.2 donde
Z= La del grupo “B” tiene menor dispersión relativa. 15. El número de aciertos en un examen de aptitud, aplicado a nivel nacional, tiene una media y una desviación estándar de 500 y 100 respectivamente, calcular el número de aciertos para cada valor de z: a) Z=1.8 b) Z=-2.03 c) z=-1.2 d) z=1.22 e) Z=3.02
y
A). Z=1.8=
B) Z=-2.’3= C) Z=-1.2=
D) Z=1.22=
E) Z=3.02=
16. A) ¿Qué significa decir dec ir que X=152 tiene un u n valor z=+1.5? F) ¿Qué significa que que un valor particular de X, tiene un valor valor z=-2-1? G) ¿Qué es lo que mide mide generalmente un puntaje z? z? R/. Significa que todo valor X tiene un valor “Z” en la tabla. R/. Significa que los valores X tiene valores que son representados en el lado izquierdo o negativo de la curva normal estandarizada. R/. Mide las desviaciones de un puntaje en la curva normal estandarizada.
17. Una población p oblación tiene una media m edia y desviación estándar de 50 y 4.0 respectivamente. Hallar el valor z para cada cad a uno de los siguientes variables: A) X=35 B) X=26 C) X=50 D) X=59 E) X=70
B=
C= D= D=
Z=
Z=
Z=
Z= Z=
18. El precio promedio de lechuga es L.0.71 la libra con desviación estándar de 0.05; el tomate L.0.40 la libra; con una desviación estándar de 0.03 y el pepino L.0.19 la libra en promedio con una desviación estándar de 0.02. Si en cierto mercado se tiene los precios de 0.78 la libra de lechuga, L.0.45 la de tomate y L.0.21 la de pepino, ¿Cuál de estas verduras tienen relativamente un precio excesivo? Lechuga
C.V. =
Z=
Tomate
C.V. =
Z=
Pepino
C.V. =
Z=
Tomate: Es la que tiene un precio excesivo.
19. En una compañía, la acción C tiene un precio normal medio de L.58.00 con una desviación estándar de L.11.00 y se vende actualmente en L.76.00. la acción D se vende a un precio medio de L.38.00 cm con una desviación estándar de L.4.00 y se vende actualmente en L.50.00. si una persona posée ambos tipos de acciones. ¿Cuál deberá vender primero? ¿Por qué?
ACCION C Se vende L. 76.00
ACCION D Se vende L. 50.00
Se debe vender la acción “C” porque tiene menor separación de media en relación al valor que se obtiene un término de la curva normal estandarizada.
20. Dos personas están haciendo dieta. La primera tiene un peso medio de 146 libras con desviación estándar de 14 libras y la segunda pertenece a un grupo de edad en la que el peso medio es 160 libras con una desviación estándar de 17 libras. Sus respectivos pesos son de 178 y 193 libras. ¿Cuál de las dos personas están están seriamente pasadas de libras con con respecto a su grupo de edad? 1º PERSONA
2º PERSONA
La primera persona esta sumamente pesada. 21. Los solicitantes a ingresar a la UPN tiene una un a calificación de matemáticas ACT promedio de 21.4 con desviación estándar de 3.1, mientras que los solicitantes a ingresar a UNITEC tiene una calificación de matemática ACT promedio de 22.1 con desviación estándar de 2.8 ¿Con respecto a cuál de estas 2 universidades está un estudiante en una posición relativamente mejor, si obtiene: a) 26 en su examen b) 31 en su examen?
UPN porque (1.48>1.39) en términos de Z. B. UNITEC porque 3.18>3.10
GUIA DE ESTUDIO # 19 Los siguientes diagramas de Venn indican el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento, y el número de resultados que no corresponden a ningún evento. Tomando en cuenta estos diagramas, de las probabilidades que se impide: 1. Total de resultados = 50 P (A) =
23
P (B) = P (AυB) =
A
P (A∩B) =
1. P(A)= P(A)=
P(A B)= P(A) +P(B)-P(AúB) =
=0.28+0.38-0.12 =0.66-0.12=0.54
8
13
B
P(A∩B)=
2. Total de resultados = 60 P (A) =
42
P (B) =
A
11
7
B
P (AυB) =
P (A∩B) =
2. P(A)= P(A)=
P(A B)= 0.18+0.12=0.30 P(A∩B)= 0 ó
3. la compañía Herr-McFee, que produce barras de combustible nuclear, debe revisar con rayos X y hacer una inspección meticulosa de cada barra antes de entregarla, Karen Wood, una de las inspectoras, se ha dado cuenta de que cada 1000 barras de combustible que revisa, diez tiene defectos internos, ocho tiene defectos en su contenedor y cinco tienen ambos tipos de defectos. En su informe trimestral, Karen debe incluir la probabilidad de que haya defectos en las barras de combustible. ¿Cuál es esta probabilidad?
0.01+0.008-0.005 0.018-0.005=0.013
4. Una urna contiene 75 canicas: 35 son azules y 25 de estas canicas azules están veteadas. El resto de ellas son rojas, y de estas también están veteadas. Las canicas que no están veteadas son transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar?
a) una canica azul. b) una canica transparente. c) una canica azul veteada. d) una canica roja transparente. e) una canica veteada.
a) Canica Azul= b) Canica Transparente=0 c) Canica Azul veteada= d) Canica roja transparente= e) Canica veteada= 5. La Hal Corporation desea mejorar la resistencia de sus computadoras personales que construyen, con respecto a fallas en la unidad de disco y el teclado. En la actualidad, el diseño de sus computadoras es tal que las fallas de la unidad de disco significa un tercio de las fallas del teclado. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y el teclado es de 0.05. a) si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco y/o el teclado, ¿Qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco? R/. 0.0625 b) si el teclado se mejoró de tal modo que solo falla el doble de veces que la unidad de disco (y la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0.05). ¿la probabilidad de la falla en la unidad de discos del inciso a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el teclado, o en ambos, mayor o menor que 90%? b) Menor (86.25%) 6. Un inspector de Alaskan Pipeline tiene asignada la tarea de comparar la confiabilidad de dos estaciones de bombeo. Cada estación es susceptible de dos tipos de falla: fallas en las bombas y fugas. Cuando una de estas (o ambas) se presentan, la estación debe quedar fuera de servicio. Las datos disponibles indican que prevalecen las siguientes probabilidades:
Estación 1 2
P (fallas en bomba) 0.07 0.09
P (fuga) 0.10 0.12
P (ambas) 0 0.06
¿Cuál estación tiene la mayor probabilidad de quedar fuera de servicio? Estación 1=0.07+0.10-0=0.17 Estación 2=0.09+0.12-0.06=0.15 R/. La estación 1 tiene mayor probabilidad de quedar fuera de servicio.
GUIA DE ESTUDIO # 21 Determinar el área bajo la curva normal estándar que corresponde a los siguientes valores de Z. 1. Entre 0 y 1.5 P (0,1.5) A=(0,1.5)=0.4332 0.4332
-3
-2
-1
0
1 2 1.5
3
2. A la derecha de 1.59 P(
)
0.5000 - 0.4441 0.0559
0.0559
-3
-2
-1
0
1
2
3
1.59
3. Entre -2.15 y 0= P(-2.15,0)=
A(0,-2.15)= 0.4993
0.4993
-3
-2
-1
0
1
2
-2.15
4. A la izquierda de 3.21 P(
3
)
0.5000 + 0.4993 0.9993
Calcular el valor del área bajo la curva normal situada entre los pares de valores de Z. 0.9993
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.21
5. Z= -1.23 Y Z= 1.35 P(-1.23,1.35)= A(-1.23,0)+ A(0,1.35) 0.3907+0.4115 0.8022 0.8022
-3
-2
-1
0
1
-1.23
2
3
1.35
6. Z= -1.67 Y Z= 1.86 P(-1.67,1.86)= A(-1.67,0)+ A(0,1.86) 0.4525+0.4686 0.9211 0.9211
-3
-2
-1
0
1
2
3
1.86
1.67
7. Z= -1.30 Y Z= 2.38 P(-1.30,2.85)= A(-1.30,0)+ A(0,2.85) 0.4032+0.4978 0.9010 0.9010
-3
-2
-1 -1.30
0
1
2 2.38
3
8. Z= -2.5 Y Z= -0.39 P(-2.5,-0.39)= A(-2.5,0)-A(-0.39,0)
0.4938-0.1517 0.3421
0.3421
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2.5 0.39áreas bajo la curva normal: Determinar las siguientes 9. A la izquierda de Z= 0.01 P( ,0.01)= A(0, )-A(0,0.01) 0.5000-0.0040 0.4960
0.4960
-3
-2
-1
0
1
2
0.01
10. A la derecha de Z= 1.87 P(
3
,1.87)= A(0, )-A(0,0.1.87) 0.5000-0.4693 0.0307
0.0307
-3
-2
-1
0
1
2
3
1.87
11. A la derecha de recha de Z= 2.30 P(
,2.30)= A(0, )+ A(0,0.2.30) 0.5000-0.4893 0.0107
0.0107
-3
-2
-1
0
1
2 2.30
3
12. A la izquierda de Z= 1.60 P (
,1.60)= A(
)+ A(0,1.60)
0.5000-0.4452 0.9452
0.9452
-3
-2
-1
0
1
2
3
1.60
13. A la derecha de Z= -2.57 P (
,-2.57)= A( )+ A(-2.57,0) 0.5000-0.4949 0.0051
0.0051
-3
-2
-1
0
1
2
-2.57
3
14. A la derecha de Z= -1.74 P ( 0.9591
-3
-2
-1
0
1
2
-1.74
,-1.74)= A( )+ A(0,-1.74) 0.5000-0.4591 0.9591
3
15. A la izquierda de Z= 1.89 P (
,1.89)= A ( )+ A(0,1.89) 0.5000+0.4706 0.9706
0.9706
-3
-2
-1
0
1 1.89
2
3
Obtener el valor de: 16. P (0.03
)+ A(0,0.03) 0.4006-0.0120
0.4786
0.4786
-3
-2
-1
0
1
2
0.03
3
2.35
17. P (-2.15
-3
-2
-2.15
-1
0
1
2
)+ A(0,2.34) 0.4842+0.4904 0.9746
3
2.34
18. P (Z<1.38) P (
,1.38)= A (
)+ A(0,1.38) 0.5000+0.4162 0.9162
0.9162
-3
-2
-1
0
1
2
3
1.38
19. P (Z>1.47) P (
,1.47)= A ( )- A(0,1.47) 0.5000-0.4292 0.0708
0.0708
-3
-2
-1
0
1 1.47
2
3
20. P (-3.16
)= A ( )- A(-1.88,0) 0.4992-0.4699 0.0293
0.0293
21.P (-2.22
-2
-1
0
1
2
3
-1.88
0.4868-0.43665 0.1203
0.1203
-3
-2
-2.22
-1
0
1
2
-1.11
3
Hallar la probabilidad de que un dato seleccionado aleatoriamente de una población normal que tenga un valor Z que caiga: 22. Z=0 A Z=2.10 P (0,2.10)= A (0,2.10)=0.4821 0.4821
-3
-2
-1
0
1
2 -2.10
3
23. Z=0 A Z=-1.57 P (-1.57,0)= A (-1.57,0)=0.4418 0.4418
-3
-2
-1 -1.57
0
1
2
3
24. Z=0 A Z=-1.57 P (-1.57,0)= A (-1.57,0)=0.4418 0.4418
-3
-2
-1
0
1
2
3
25. Menor-1.57 de 3.000= P (Z<3.000)= A (
0.5000+0.4987 0.9987
0.9987
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.000
26. Mayor que -1.75 P (Z>-1.75)= A (
0.4599+0.5000 0.9599
0.9599
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.75
27. Menor que 0.99 P (Z<0.99)= A (
0.5000+0.0359 0.5359
0.5359
-3
-2
-1
0
1 0.99
2
3
Hallar los valores de Z para cada distribución normal estándar: 28. 0.3729= 29. 0.1808= 30. 0.4515= 31. 0.3051= 32. 0.4590=
Z=1.14 Z=0.47 Z=1.66 Z=0.86 Z=1.74
33. 0.4870=
Z=2.23
GUIA N° 23 1. Una reportera desea entrevistar una muestra de 15 de 6285 personas. Estas personas se enumeran 0001 al 6285. ¿A quiénes seleccionarían para la entrevista, si se obtiene la muestra con la tabla N°2 de dígitos aleatorios empleando las primeras 4 columnas de la tabla, recorriendo la tabla hacia abajo y comenzando en el renglón 10 inclusive de la 1 columna. tilizar los dígitos de las posiciones 1 , 3 , , 5 y y 7 . R// n1= 3999 n2=4904 n3=2090 n4=4878 n5=3415 n6=0943 n7=6116 n8=3071 n9=5704 n10=2997 n11=0563 n12=2657 n13=3462 n14=5380 n15=3998 2. Un sociólogo desea incluir incluir en una muestra , 10 de 83 personas. Si las numera con 00, 01,…, 83. ¿Qué personas incluirá en la muestra si mediante la tabla de dígitos aleatorios, selecciona el uso de las 2 primeras cifras de la izquierda comenzando con 22 en el 6° renglón de la segunda columna y hacia abajo? R// n1=22 n2=48 n3=74 n4=76 n5=02 n6=07 n7=64 n8=23 n9=48 n10=55 3. Se tiene una población de 10,000 y se desea muestrear 20 aleatoriamente. Usar la tabla n°2 de dígitos aleatorios para seleccionarlos. Enumerar los elementos de la muestra que se han seleccionado. Describa su propia metodología y explíquela. R// n1=06840 n2=09331 n3=00995 n4=04142 n5=01401 n6=02727 n7=03859 n8=07000 n9=09275 n10=01904 n11=00169 n12=08401 n13=01359 n14=06546 n15=09281 n16=08872 n17=05169 n18=04233 n19=04877 n20=07426 Se numeró de 00001 al 10000 y se utilizaron los 5 primeros dígitos de las posiciones: 1°, 2°, 3°, 4° y 5°. Se seleccionó al azar la primera columna, tercer renglón, recorriendo de derecha a izquierda.
4. Con un calendario muestrear sistemáticamente cada día día décimo octavo de un año, comenzando con el 6 de enero. R// n1= 6 de enero (Domingo) n11=5 julio (viernes) n2=24 de enero (Jueves) n12=23 julio (martes) n3=11 febrero (Lunes) n13=10 agosto (sábado) n4=1° marzo (Viernes) n14=28 Agosto (miércoles) n5=19 marzo (Martes) n15=15 septiembre (Domingo) n6=6 abril (sábado) n16=3 octubre (jueves) n7=24 abril (miércoles) n17=21 octubre (lunes) n8=12 mayo (domingo) n18=8 noviembre (viernes) n9=30 mayo (jueves) n19=26 noviembre (martes) n10=17 junio (lunes) n20=14 diciembre (sábado) 5. Una población está constituida por grupos que tienen una gran variación entre entre sí pero poca variación entre uno y otro. El tipo adecuado de muestreo para esta población es: a) Estratificado b)Sistemático c)Por conglomerado d) De Juicio R// Estratificado 6. Un bacteriólogo desea evaluar una muestra de 8 de 754 probetas de sangre. Si numera las probetas del 001 a 754. ¿Cuáles seleccionaría si le dice a usted que resuelva este problema usando la tabla de dígitos aleatorios. Explique la metodología que seleccionó. R// n1=369 n2=582 n3=556 n4=468 n5=382 n6=011 n7=525 n8=466 Se numeró de 001 a 754, se seleccionó la 1° columna, recorriendo hacia abajo, tomando los 3 últimos dígitos.
7. Un investigador desea reevaluar una muestra aleatoria de 20 de 8312 casas. Si las numera de 0001 al 8312, ¿Cuáles se seleccionarían si con la tabla de
dígitos aleatorios utiliza las 4 cifras del centro de cada grupo, comenzando con la 15 fila fila de la 2 columna columna de arriba para abajo, continuando con las columnas 3 , , 4 , , 5 y 1 en en el mismo orden? R// n1=0831 n2=0088 n3=5265 n4=2824 n5=5554 n6=4732 n7=5968 n8=3232 n9=5104 n10=5147 n11=2130 n12=6111 n13=2412 n14=0852 n15=6549 n16=0984 n17=3097 n18=5998 n19=1652 n20=7416 8. Los empleados de la compañía tienen distintivos distintivos enume rados del 001 al 544. tilizando los tres ltimos dígitos de cada grupo de la tabla de dígitos columna de arriba para abajo. aleatorios, comenzando en la 12 fila fila de la 2 columna ¿Cuáles serían los elementos de esa muestra? Seleccionar 10 de ellos. R// n1=448 n2=084 n3=145 n4=179 n5=324 n6=233 n7=182 n8=181 n9=348 n10=136 9. Se ha decidido muestrear 25 de 250 accidentes laborales. Un empleado ha sugerido que se use la técnica del muestreo sistemático y que sea seleccionado cada 8° informe en el archivo para la muestra. ¿Cuáles serían los elementos seleccionados de la muestra? ¿Será apropiado este método en el presente caso? ¿Por qué? R// n1=8 n2=16 n3=24 n4=32 n5=40 n6=48 n7=56 n8=64 n9=72 n10=80 n11=88 n12=96 n13=104 n14=112 n15=120 n16=128 n17=136 n18=144 n19=152 n20=160 n21=168 n22=176 n23=184 n24=192 n25=200 No es apropiado, deja elementos que nunca serán seleccionados.
GUIA N° 24 1. Cuando se muestrea a partir de una población infinita, ¿qué sucede con el error estándar de la media, si el tamaño de la muestra: a) Se incrementa incrementa de 25 a 225 R// Disminuye el error estándar b) Aumenta de 20 a 45 R// Disminuye el error estándar c) Se disminuye disminuye de 480 a 30 R// Aumenta el error estándar d) Se disminuye de 250 a 40 R// Aumenta el error estándar 2. ¿Cuál es el valor del factor de corrección de la población finita cuando: a) n =5 y N=150 FC= FC=
= 0.986
b) n=10 y N=150 FC=
= 0.969
c) n=10 y N=400 FC=
= 0.988
3. Si una población normal tiene una desviación estándar de 25 unidades, ¿cuál es el error estándar de la media si se utilizan muestras de tamaño: a) n =16 =
= 6.25 b) n=25 = 5 =
=
c) n=50 =
= 3.53 d) n=100 = 2.5 = e) n=150 = = 2.04
4. En una población de tamaño N=80 con una media de 8.2 y una desviación estándar de 2.1. Calcular el error estándar de la media para los siguientes tamaños de muestras: a) n=16
= =
= 0.47
b) n=25
=
= 0.35
c) n=49
=
= 0.187
d) n=35
=
e) n=55
= 0.267
=
= 0.159
5. Se tiene una población de tamaño tamaño N=80, con media de 22 y una desviación estándar de 3.2, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra de tamaño 25 tenga una media entre 21 y 23.5? R//
= =
= 0.534
= = -1.87 Z = = = 2.81 Z=
A (-1.87, 2.81) = A(-1.87, 0) + A(0, 2.81) = 0.4693 + 0.4975 = 0.9668 6. Se escogieron 64 elementos de una población de 125 elementos, con una media de 105 y una desviación estándar de 17. a) ¿Cuál es el error estándar de la media?
=
=
= 1.49
b) ¿Cuál es la P(107.5
109)?
= = 1.68 Z = = = 2.68 Z=
A (1.68, 2.68) = A(0, 2.68) - A(0, 1.68) = 0.4963 - 0.4535 = 0.0428
7. Las estaturas de los niños de un jardín están están distribuidas normalmente con una media de 39 pulg. y una desviación estándar de 2 pulg. a) Si se selecciona un niño aleatoriamente, aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que que tenga una estatura entre 38 y 40 pulg.?
= = -0.5 Z = = = 0.5 Z=
A(-0.5, 0.5) = A(-0.5,0) + A(0, 0.5) = 0.1915 + 0.1915 = 0.3830 b) Se utiliza como muestra un grupo de 30 niños, ¿cuál es la probabilidad de que la media del grupo esté entre 38 y 40 pulg.?
= 0.365 = Z = = = -2.74 Z = = = 2.74
=
A(-2.74, 2.74) = A(-2.74,0) + A(0, 2.74) = 0.4969 + 0.4969 = 0.9938 c) Si se selecciona un niño aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que su estatura supere las 40 pulg.? Z=
= = 0.5
A(0.5,
) = A(0, ) - A(0, 0.5) = 0.5000 - 0.1915 = 0.3085
d) Se utiliza como muestra un grupo de 30 niños, ¿cuál es la probabilidad de que la media del grupo exceda a 40 pulg.?
= 0.365 = Z = = = 2.74
=
A(2.74,
= A(0, ) - A(0, 2.74) = 0.5000 - 0.4969 = 0.0031
8. Se aceptará un cargamento de barras de acero si la la resistencia media a la ruptura de una muestra aleatoria de 10 barras es mayor que 250 libras por pulgada cuadrada. En lo pasado, la resistencia a la ruptura de tales barras ha tenido una media y una varianza de 235 y 400 respectivamente. Suponiendo que la resistencia a la ruptura está distribuida normalmente, ¿cuál es la probabilidad de que: a) Una barra seleccionada al azar tenga una resistencia resistencia dentro del intervalo 245 a 255 lbs/pulg²?
σ=
=
= 20
= 6.324 = Z = = = 1.58 Z = = = 3.16
=
A(1.58,3.16) = A(0,3.16) - A(0, 1.58) = 0.4992 - 0.4429 = 0.0563
b) El cargamento tenga resistencia mayor de 240 lbs/pulg²? Z=
= = 0.79
A(0.79,
= A(0, ) - A(0, 0.79) = 0.5000 - 0.2852 = 0.2148
c) El cargamento sea aceptado? Es decir: Mayor de 250 lbs/pulg² Z=
= = 2.37
A(2.37,
= A(0, ) - A(0, 2.37) = 0.5000 - 0.4911 = 0.0089
d) El cargamento sea rechazado? Es decir: Menor de 250 lbs/pulg² Z=
= = 2.37
A(-
= A() + A(0, 2.37) = 0.5000 + 0.4911 = 0.9911
GUIA N° 25 1. En una población el 8% de sus habitantes, son daltónicos. Si se seleccionan al azar 150 individuos de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de los que son daltónicos sea: a) Tan grande como 0.15 Es decir: Entre 0.08 y 0.15
=
=
= 0.022
= = 0 Z = = = 3.18 Z=
A(
= 0.4993
b) Esté entre 0.10 y 0.13
= = 0.91 Z = = = 2.27 Z=
A(0.91
= A( ) - A(0, 0.91) = 0.4884 – 0.3186 = 0.1698 c) Menores que 0.12 Z=
= = 1.82
A(-
= A( ) + A(0, 1.82) = 0.5000 + 0.4656 = 0.9656
d) Mayores que 0.14? Z=
= = 2.73
A(2.73,
= A( ) - A(0, 2.73) = 0.5000 - 0.4968 = 0.0032
2. En una población de adultos, el 15% están sometidos sometidos a un tipo de dieta, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra al azar de tamaño 100, dé una proporción de aquellos que se encuentran a dieta: a) sea mayor o igual a 0.20
=
Z=
=
= 0.036
= = 1.39
A(1.39,
= A( ) - A(0, 1.39) = 0.5000 - 0.4177 = 0.0823
b) esté entre 0.10 y 0.20
= = -1.39 Z = = = 1.39 Z=
A(-1.39,1.39 = A( ) + A(0, 1.39) = 0.4177 - 0.4177 = 0.8354 c) no mayor de 0.12? Z=
= = -0.83
A(- ,-0.83 = A( ) - A(0, -0.83) = 0.5000 - 0.2967 = 0.7967 3. En cierta ciudad se observa que que el 20% de las familias familias tienen por lo menos un miembro que sufre de algún malestar debido a la contaminación atmosférica. Una muestra al azar de 150 familias dio = 0.27. Si el valor del 20% es correcto, ¿cuál es la probabilidad de obtener una proporción de la muestra así o mayor?
=
=
= 0.0326
Z=
= = 2.14
A(2.14,
= A( ) - A(0, 2.14) = 0.5000 - 0.4838 = 0.0162
4. En una muestra al azar de 75 adultos, adultos, 35 dijeron que consideraban que el cáncer mamario era curable. Si la proporción real de los que piensan que dicho cáncer puede ser curado es de 0.55, ¿cuál es la probabilidad de obtener una proporción tan pequeña o menor que la obtenida en esta muestra?
=
Z=
=
= 0.0574
= = = 0.47
= = -1.39
A(-
= A() - A(-1.39,0) = 0.5000 - 0.4177 = 0.0823 5. El 60% de los adultos de cierta ciudad asisten regularmente a los oficios religiosos. Se obtiene una muestra aleatoria de 150 de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida: a) Entre 0.50 y 0.60
=
=
= 0.04
= = -2.5 Z = = = 0 Z=
A(-2.5,0 = 0.4938 b) Sea menor que 0.70 Z=
= = 2.5
A(- 2.5) 2.5) = A(-
) + A(0, 2.5)
= 0.5000 + 0.4938 = 0.9938 c) Sea mayor que 0.55 Z=
= = -1.25
A(-1.25, ) = A(-1.25,0) + A(0, ) = 0.3944 + 0.5000 = 0.8944
6. En cierta ciudad el 18% de los jóvenes han tenido algún contacto con la policía policía por efecto de las drogas. Se selecciona una muestra aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida: n=36 a) Entre el 15% y 25%
=
=
= 0.064
= = -0.47 Z = = = 1.09 Z=
A(-0.47, 1.09) = A(-0.47 ) + A(0, 1.09) = 0.1808 + 0.3621 = 0.5429 b) Sea menor que 20% Z=
= = 0.31
A(- , 0.31) = A() + A(0, 0.31) = 0.5000 + 0.1217 = 0.6217 c) Sea mayor que 23%?
Z=
= =0.78
A(0.78, ) = A(0, ) - A(0, 0.78) = 0.5000 - 0.2823 = 0.2177
GUIA N° 26 1. Al reunir una muestra de 200 de una población cuya desviación estándar es 5.23 se descubre que la media es 76.3. Encontrar un intervalo de confianza para la media poblacional del: a) 91%
n=200
76.3
z=
= 0.4550
tabla = Z = 1.70
z=
= 0.4850
tabla = Z = 2.17
z=
= 0.4450
tabla = Z = 1.60
=
=
)
= = =
= 75.67 = 76.93
= 75.67
76.93
b) 97%
n=200
76.3
=
=
)
= = =
= 75.50 = 77.10
=
c) 89%
n=200
76.3
=
=
)
= =
= 75.71
=
= 76.89
=
2. Un estudiante muy escrupuloso escribió su trabajo de grado de 700 páginas. El desea conocer el promedio de errores ortográficos cometidos por página. Seleccionó al azar 40 páginas y descubrió que el promedio de errores por página era de 4.3 con una desviación estándar de 1.2 a) Calcular el error estándar estimado estimado de la media b) Construir un IC del 93% 93% para el valor promedio verdadero verdadero de errores por página en su tesis.
N=700 n=40 1.81
4.3
z=
=
0.4650
tabla = Z =
=
=4 = = =
)
= 3.96 = 4.64
=
3. Una muestra de 35 individuos se escoge de una población de 360. En la muestra se descubre que la media es de 20.9 y la desviación estándar es de 6.1. construir un intervalo de confianza para la verdadera media poblacional del: a) 96%
N=360 n=35 2.05
20.9
=
= 20.9 =
)
z=
=
0.4800
tabla = Z =
= =
= 18.89 = 22.91
= 18.89
b) 90%
N=360 n=35 1.65
20.9
z=
=
0.4500
tabla = Z =
z=
=
0.4900
tabla = Z =
=
= 20.9 = = =
)
= 19.28 = 22.52
= 19.28
c) 98%
N=360 n=35 2.33
20.9
=
= 20.9 = = =
= 18.61
)
= 18.61 = 23.19
4. Un corredor de bolsa muestreó 45 órdenes y descubrió que el tiempo medio medio de la ejecución era de 24.3 minutos con una desviación estándar de3.2 minutos. Construir un IC para el verdadero tiempo medio de ejecución del: a) 96%
n=45
24.3
z=
=
0.4800
tabla = Z = 2.05
z=
=
0.4400
tabla = Z = 1.56
z=
=
0.4950
tabla = Z = 2.58
=
= 24.3
)
= 24.3 = 24.3 = 24.3
= 23.31 = 25.29
= 23.31
b) 88%
n=45
24.3
=
= 24.3
)
= 24.3 = 24.3 = 24.3
= 23.55 = 25.05
= 23.55
c) 99%
n=45
=
24.3
= 24.3 = 24.3 = 24.3 = 24.3
)
= 23.06 = 25.54
= 23.06
5. Una muestra de 36 obreros no calificados tienen un sueldo medio de L. L. 7 280.00 con una desviación estándar de L. 1 200.00. Construir un intervalo de confianza para la verdadera media poblacional, del: a) 94%
n=36 1.88
7280.00
z=
=
0.4700
tabla = Z =
z=
=
0.4850
tabla = Z =
=
=
= = 7280.00 = 7280.00
)
= 6 898.67 = 7 661.33
= 6 898.67
b) 97%
n=36 2.17
7280.00
=
=
)
= = 7280.00 = 7280.00
= 6 839.85 = 7 720.15
= 6 839.85
c) 99%
n=36 2.58
7280.00
z=
=
0.4950
tabla = Z =
=
=
= = 7280.00 = 7280.00
)
= 6 756.68 = 7 803.32
= 6 756.68
6. Se estudió una muestra aleatoria de 75 estudiantes para estimar estimar el dinero medio que gastan en la compra de libros. Se descubrió que gastan L. 85.30. Si la desviación estándar de la población es L. 15.00. Construir IC del: (para la verdadera media poblacional) a) 87%
n=75
85.30
=
= 85.30 =
)
z=
=
0.4350
tabla = Z = 1.51
= =
= 82.68 = 87.92
= 82.68
b) 94%
n=75
85.30
z=
=
0.4700
tabla = Z = 1.88
z=
=
0.4800
tabla = Z = 2.05
=
= 85.30
)
= = =
= 82.05 = 88.55
= 82.05
88.55
c) 96%
n=75
85.30
=
= 85.30
)
= = =
= 81.75 = 88.85
= 81.75
88.85
7. Las longitudes de 200 peces capturados en el lago de Yojoa, tuvieron una media de 14.3 pulg. La desviación estándar poblacional es 2.5 pulg. Construir un IC del: a) 90%
n=200
14.3
z=
=
0.4500
tabla = Z = 1.65
z=
=
0.4900
tabla = Z = 2.33
=
= 14.3
)
= = =
= 14.01 = 14.59
= 14.01
14.59
b) 98%
n=200
14.3
=
= 14.3
)
= = =
= 13.89 = 14.71
= 13.89
14.71
c) 84% para la verdadera media poblacional. poblacional.
n=200
14.3
z=
=
= 14.3
=
0.4200
tabla = Z = 1.41
)
= = =
= 14.05 = 14.55
= 14.05
14.55
8. El Gerente de la división división de bombillas de la Cardinal Electric debe estimar el número promedio de horas que durarán los focos fabricados por cada una de las máquinas. Fue elegida una muestra de 40 focos de una máquina A y el tiempo promedio de funcionamiento fue de 1 416 horas. Se sabe que la desviación estándar del tiempo de duración es de 30 horas. a) Calcular el error estándar de la media
=
= = 4.80
b) Construir un intervalo de confianza del 90% para la media de la población
n=40
1 416 z=
=
= 1 416 = = =
=
0.4500
tabla = Z = 1.65
)
= 1408.08 = 1423.92 1423.92
9. Después de recolectar una muestra muestra de 250 elementos de una población con una desviación estándar conocida de 13.7, se encuentra que la media es de 112.4. a) Encontrar un IC IC del 95% para la la media
n=250
112.4 z=
=
= 112.4 = = =
=
0.4750
tabla = Z = 1.96
)
= 110.7 = 114.1
114.1
b) Encontrar un IC IC del 99% para la la media
=
= 112.4 = = =
)
= 110.16 = 114.64
114.64
10. En una u na prueba prueb a de seguridad automovilística efectuada por el Centro de Investigación en Seguridad Carretera, la presión promedio en las llantas de los automóviles de una muestra de 62 neumáticos fue de 24 libras por pulgada cuadrada y la desviación estándar fue de 2.1 libras por pulgada cuadrada. a) Calcular el error estándar estimado estimado de la media
=
= = 0.26
b) Construir un IC del 95% para la media de la población.
n=62
24 z=
=
= 24 = = =
=
0.4750
tabla = Z = 1.96
)
= 23.48 = 24.52 24.52
11. De una población de 540 individuos, se toma una muestra m uestra de 60. A partir de esta muestra se encuentra que la media es de 6.2 y la desviación estándar de 1.368 a) Encontrar el error estándar estimado de la media
=
= = 0.17
b) Construir un IC del 96% para la media n=60 6.2 z= = 0.4800
tabla = Z = 2.05
=
= 6.2
)
= = =
= 5.85 = 6.55 6.55 12. El gerente de producción de la compañía Citrus Groves Inc. está preocupado debido a que las heladas tardías de los últimos tres años han estado dañando los 2500 naranjos que posee la Citrus Groves. Con el fin de determinar el grado de daño ocasionado a los árboles, ha recogido una muestra del número de naranjas producidas por cada árbol de un total de 42 naranjos y encontró que la producción promedio fue de 525 naranjas por árbol, con una desviación estándar de 30 naranjas por árbol. a) Estimar el error estándar de la media para esta población finita.
=
= = 4.64
b) Construir un IC del 98% para la producción media por árbol del total de 2500 árboles.
n=42
525 z=
= 0.4900
tabla = Z = 2.33
=
= 525 = = =
)
= 514.18 = 535.82 535.82
c) Si la producción media de naranjas por árbol fue de 600 600 frutas hace 5 años, ¿qué puede decirse acerca de la posible existencia de daños en el presente? R= Que se tiene el 98% de confianza que la producción media de naranjas por árbol actualmente se estima está entre 514 y 536 naranjas aproximadamente, observándose una disminución en dicha producción.
13. Un corredor de la bolsa de valores tiene curiosidad acerca acer ca de la cantidad de tiempo que existe entre la colocación de una orden de venta y su ejecución. Se hizo un muestreo de 45 órdenes y encontró que el tiempo medio para la ejecución fue de 24.3 minutos, con una desviación estándar de 3.2 minutos. Construir un IC del 95% para el tiempo medio para la ejecución de una orden.
n=45
3.2
24.3 z=
=
= 24.3 = = =
0.95
23.35 = 25.25
=
0.4750
tabla = Z = 1.96
25.25
14. La jefa de policía Kathy Kath y Ackert recientemente r ecientemente estableció medidas enérgicas para contrarrestar a los traficantes de droga de su ciudad. Desde que se pusieron en funcionamiento dichas medidas, han sido capturados 750 de los 12 368 traficantes de droga de la ciudad. El valor promedio, de las drogas decomisadas a estos 750 traficantes es de L. 250 000.00 y la desviación estándar es de L.41 000.00. Construir para la jefa Ackert un IC del 90% para el valor medio de los estupefacientes que están en manos de los traficantes de droga de la ciudad.
n=750 1.65
41,000
250,000
z=
=
= 250,000 = = =
2 395.85
247 604.15 = 252 395.85
252 395.85
= 0.4500
tabla = Z =
GUIA N° 27 1. Para los siguientes tamaños de muestra y niveles de confianza, calcular los valores apropiados de t con los cuales se construyen los IC. a) n=6; 95% t= 2.45 c) n=29; 99% e) n=16; 99% t= t= 2.7 2.76 6 2.92
b) n=19; 90% t= 1.73 d) n=14; 90%
f) n=12; 99%
t= 1.7 1.76 6
t=
3.05
2. Si se tienen los siguientes tamaños de muestra y valores t usados para construir IC, encontrar los niveles de confianza correspondientes. a) n=21; t= 2.09 NC = 95% b) n=13; t= 1.78 NC = 90% 95% 90% c) n=8; t= 3.00 NC = 98%
3. Una muestra de 12 tiene una media de 16.2 y una desviación estándar estándar de 10. Construir un IC del 95% para la media de la población.
=
= = 0.05 / 2 = 0.025 gl = n-1= 12-1 = 11 α
t
t = 2.20
= 16.2 = 16.2 = 16.2 = 16.2
6.35 6.35 = 9.85 6.35 = 22.55 22.55
4. La siguiente muestra de 8 observaciones está tomada de una población infinita con distribución normal: 10.3, 12.4, 11.6, 11.8, 10.9, 11.2, 10.3, 12.6. Calcular: a) la media; b) estimar la desviación estándar de la muestra; c) un IC del 99% para la verdadera media de la población. MEDIA = =
= 11.39
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
s=
= 0.87
=
= 11.39
= = 0.01 / 2 = 0.005 gl = n-1= 8-1 = 7 α
t
t = 3.50
= 11.39 = 11.39 = 11.39
1.07 1.07= 10.32 1.07 = 12.46 12.46
5. Siete amas de casa fueron muestreadas aleatoriamente y se investigó investigó que caminaban un promedio de 39.2 km por semana durante sus tareas domésticas, con una desviación estándar de 3.2 km por semana. Construir un IC del 90% para la media de la población.
=
= = 0.10 / 2 = 0.05 gl = n-1= 7-1 = 6 α
t
t = 1.94
= 39.2 = 39.2 = 39.2 = 39.2
2.34 2.34= 36.86 2.34= 41.54 41.54
6. Nueve soportes construidos por por medio de ciertos procesos tienen un diámetro medio de 1.005 cm con una desviación estándar de 0.004 cm. Construir un IC del 95% para la verdadera media de la población. = = 0.05 / 2 = 0.025 = t = n-1= 9-1 = 8 t = 2.31 = 1.005 1.005 0.003 == 1.005 0.003 = 1.002 = 1.005 0.003 = 1.008 1.008 7. Las autoridades de salud han encontrado, encontrado, que la población posee severos α
gl
problemas relacionados con su placa dental. Cada año, el departamento de salud dental local examina una muestra tomada de los habitantes y registra la condición de la dentadura de cada paciente en una escala que va del 1 al 100, en la que 1 indica que no hay dentadura y 100 indica que la dentadura está en excelentes condiciones. En el presente año, el departamento de salud dental examinó a 21 pacientes y encontró que tenían un resultado de revisión dental
(RRD) de 72, con una desviación estándar de 6.2. Construir para el gobierno un IC del 98% para la media del RRD.
= = 72 3.42 == 7272 3.42= 68.58 = 72 3.42= 75.42 75.42
= = 0.02 / 2 = 0.01 gl = n-1= 21-1 = 20 α
t
t = 2.53
8. En 6 intentos intentos un cerrajero tardó tardó 9, 14, 7, 8, 11, 5 segundos en abrir cierto tipo de cerradura. Calcular: a) la media; b) la desviación estándar de esa muestra y c) construir un IC del 95% en relación con el tiempo medio que le toma abrir este tipo de cerradura.
= = 72 3.42 == 7272 3.42= 68.58 = 72 3.42= 75.42 75.42
= = 0.02 / 2 = 0.01 gl = n-1= 21-1 = 20 α
t
t = 2.53
9. La siguiente muestra de 8 observaciones fue tomada de una población con distribución normal: 75.3 76.4 83.2 91.0 80.1 77.5 84.8 81.0 a) Encontrar la media b) Estimar la desviación estándar de la muestra c) Construir un IC del 98% de la media MEDIA = =
= 81.2
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
s=
= 5.15
=
= = 0.02 / 2 = 0.01 gl = n-1= 8-1 = 7 α
t
t = 3.00
= 81.2 = 81.2 = 81.2 = 81.2
5.46 5.46= 75.74 5.46= 86.66 86.66
10. El número promedio p romedio de accidentes que se presentaron pr esentaron en los 7 días de la Semana Santa en las playas de Tela fue de 31, la desviación estándar de esa muestra fue de 9 accidentes por día. Construir un IC del 99% para el número real de accidentes por día. t = = 31 == 3131 12.62 12.62 = 18.38 = 31 12.62 = 43.62 43.62
= = 0.01 / 2 = 0.005 gl = n-1= 7-1 = 6 α
t = 3.71
GUIA N° 28 1. En un estudio de muestra, 140 de 500 personas personas entrevistadas, dijeron que hacen sus compras en el supermercado, cuando menos una vez a la semana. Construir un IC del 99% para la proporción verdadera correspondiente. ¿Qué significa ese resultado?
=
= = 0.28
= 0.28 = 0.28 = 0.28 = 0.28
0.05 0.05 = 0.23 0.05 = 0.33
0.33 Se tiene el 99% de confianza que la verdadera proporción de personas que hacen sus compras en el supermercado está entre 0.23 y 0.33, es decir, entre el 23% y 33%. 2. Entre 80 peces capturados, 28 resultaron incomibles por efecto de la contaminación química de su ambiente. Si se utiliza una proporción de la muestra para calcular la proporción verdadera correspondiente, construir un IC del 95% para dicha población. Explicar el resultado.
=
= = 0.35
= 0.35 = 0.35 = 0.35 = 0.35
0.10 0.10 = 0.25 0.10 = 0.45 0.45 Se tiene el 95% de confianza que la verdadera proporción de peces incomibles por efecto de la contaminación química del ambiente, está entre 0.25 y 0.45, es decir, entre el 25% y 45%. 3. En una muestra aleatoria aleatoria de 1200 votantes votantes entrevistados, sólo 324 dijeron que no debía aumentarse los salarios ciertos funcionarios del gobierno. Construir un IC del 97.5% para la proporción verdadera correspondiente. ¿Qué significa ese resultado?
=
= = 0.27
= 0.27
= 0.27 = 0.27 = 0.27
0.03 0.03 = 0.24 0.03 = 0.30 0.30 Se tiene el 97.5% de confianza que la verdadera proporción de votantes que afirman afirman que los funcionarios de gobierno de deberían aumentarse los salarios, está entre 0.24 y 0.30, es decir, entre el 24% y 30%. 4. En una muestra tomada tomada al azar de 250 alumnos del último año de Ingeniería en Sistemas, 175 contestaron esperar continuar sus estudios de post-grado. Construir un IC del 90% para la proporción verdadera correspondiente. ¿Qué significa ese resultado?
=
= = 0.7
= 0.7
= 0.7 = 0.7 = 0.7
0.05 0.05 = 0.65 0.05 = 0.75
0.75 Se tiene el 90% de confianza que la verdadera proporción de alumnos de último año que piensan continuar sus estudios de post-grado , está entre 0.65 y 0.75, es decir, entre el 65% y 75%. 5. En una muestra tomada al azar de 80 personas convictas, 36 recibieron libertad condicional. Construir un IC del 92% para la proporción verdadera correspondiente, si las personas convictas estaban acusadas de posesión de drogas. Explicar el resultado.
=
= 0.45 = 0.45
0.09
= = 0.45
= 0.45 = 0.45
0.09 = 0.36 0.09 = 0.54 0.54 Se tiene el 92% de confianza que la verdadera proporción de personas convictas que recibieron libertad condicional, está entre 0.36 y 0.54, es decir, entre el 36% y 54%. 6. De 300 personas entrevistadas que hacen sus compras en un almacén almacén de abastos, 207 de ellas utilizaban su tarjeta de crédito. Construir un IC del 90% para la verdadera proporción de los que compran con tarjetas de crédito. ¿Qué significa ese resultado?
=
= = 0.69
= 0.69 = 0.69 = 0.69 = 0.69
0.04 0.04 = 0.65 0.04 = 0.73 0.73 Se tiene el 90% de confianza que la verdadera proporción de personas que compran con tarjeta de crédito, está entre 0.65 y 0.73, es decir, entre el 65% y 73%.
7. Una tienda de aparatos electrónicos, compra 250 chips para computadora. El dueño comprueba mediante muestreo aleatorio que el 5% de esos chips son defectuosos: a) estimar el error estándar de la proporción de chips defectuosos; b) construir un IC del 98% para la proporción verdadera correspondiente. Explicar el resultado.
=
= 0.05 = 0.05 = 0.05 = 0.05
0.03 0.03 = 0.02 0.03 = 0.08
= 0.05
0.08 Se tiene el 98% de confianza que la verdadera proporción de chips defectuosos, está entre 0.65 y 0.75, es decir, entre el 65% y 75%. 8. De una muestra de 70 ejecutivos minoristas, el 65% de ellos creyó que la disminución de ventas se debía a lo caro de las divisas; a) estimar el error estándar de la proporción de ejecutivos que pensó eso; b) Construir un IC del 95% para la proporción verdadera correspondiente.
=
= 0.65
= 0.65 = 0.65 = 0.65 = 0.65
0.11 0.11 = 0.54 0.11 = 0.76 0.76 Se tiene el 90% de confianza que la verdadera proporción de ejecutivos minoristas que piensan que la disminución de ventas se debía a lo caro de las divisas, está entre 0.54 y 0.76, es decir, entre el 54% y 76%. 9. De 1500 consumidores, 956 pensaron pensaron que el nuevo producto era cera para pisos según su tipo de envase, cuando en realidad era un nuevo detergente; a) estimar el error estándar de la proporción de personas con ideas erróneas; b) Construir un IC del 96% de confianza para la verdadera proporción correspondiente. Explicar el resultado. ERROR ESTÁNDAR
=
=
= 0.012
ESTIMACIÓN POR IC
=
= 0.64 = 0.64
0.03
= 0.64
= 0.64 = 0.64
0.03 = 0.61 0.03 = 0.67 0.67 Se tiene el 96% de confianza que la verdadera proporción de consumidores que piensan de forma errónea, está entre 0.61 y 0.67, es decir, entre el 61% y 67%.
10. Un jugador profesional de baloncesto lanzó 150 tiros libres de los cuales encestó 126; a) estimar el error estándar de la proporción de tiros libres encestados; b) construir un IC del 93% para la proporción de tiros libres que encesta el jugador. Explicar el resultado. ERROR ESTÁNDAR
=
=
= 0.03
ESTIMACIÓN POR IC
=
= 0.84 = 0.84 = 0.84 = 0.84
0.05 0.05 = 0.79 0.05 = 0.89 0.89
= 0.84
Se tiene el 93% de confianza que la verdadera proporción de tiros libres que encesta el jugador, está entre 0.79 y 0.89, es decir, entre el 79% y 89%.
11. Un dueño du eño de inmobiliaria revisó en forma for ma aleatoria 3000 cuentas de la compañía y encontró que el 60% de ellas están al día en sus cuentas; a) estimar el error estándar de la proporción de esas cuentas; b) construir un IC del 91% para la proporción verdadera correspondiente. Explicar el resultado. ERROR ESTÁNDAR
=
=
= 0.0089
ESTIMACIÓN POR IC
=
= 0.60
= 0.60 = 0.60 = 0.60 = 0.60
0.015 0.015 = 0.585 0.015 = 0.615 0.615 Se tiene el 91% de confianza que la verdadera proporción de cuentas que están al día, está entre 0.585 y 0.615, es decir, entre el 58.5% y 61.5%. 12. Durante un año y medio las ventas han estado disminuyendo d isminuyendo de manera coherente en las 1,500 sucursales de una cadena de tiendas de comida rápida. Una empresa de asesores ha determinado que el 30% de una muestra de 95 sucursales tiene claros signos de una mala administración. Construir un IC del 98% para esta proporción. Explicar el resultado.
=
= 0.30
= 0.30 = 0.30 = 0.30 = 0.30
0.106 0. 106 = 0.194 0. 106 = 0.406 0. 406 Se tiene el 98% de confianza que la verdadera proporción de sucursales que tiene claros signos de una mala administración, está entre 0.194 y 0.406, es decir, entre el 19.4% y 40.6%.
13. La directiva estudiantil de una universidad tomó una u na muestra de 45 libros de texto de la librería universitaria y determinó que de ellos, 60% se vendía en más del 50% por arriba de su costo de mayoreo. Formar un IC para la proporción de libros, cuyo precio establecido es más del 50% por arriba del costo al mayoreo, que tenga la certeza de un 96% de contener la proporción verdadera.
=
= 0.60
= 0.60 = 0.60 = 0.60 = 0.60
0.15 0. 15 = 0.45 0. 15 = 0.75 0. 75 Se tiene el 96% de confianza que la verdadera proporción de libros, cuyo precio establecido es más del 50% por arriba del costo al mayoreo, está entre 0.45 y 0.75, es decir, entre el 45% y 75%.
Guía de Estudio N. 29 1. a. ¿Qué error puede cometerse en la decisión si Ho es verdadera? R// Error Tipo I b. ¿Qué error puede cometerse en la decisión si Ho es falsa? R// Error Tipo II c. Si se toma la decisión de rechazar Ho. ¿Qué error puede cometerse? R// Error Tipo I d. Si se toma la decisión de no rechazar Ho. ¿Qué error puede cometerse? R// Error Tipo II
2. Para los siguientes casos especificar que distribución de probabilidad se empleara en una prueba de hipótesis.
a. Ho : µ = 19.5 Ha : µ ≠ 19.5 X = 23.2 σ = 5 n = 36 Prueba de hipótesis de dos extremos o colas
b. Ho : µ = 536 Ha : µ ˂ 536 X = 2548 s =42 n = 26 Prueba de hipótesis de extremo o cola izquierda
c. Ho : µ = 307 Ha : µ ˃ 307 X = 328 σ = 63 n = 19 Prueba de hipótesis de extremo o cola derecho
d. Ho : µ = 138 Ha : µ ≠ 38 X = 42 s = 3.6 n = 42 Prueba de hipótesis de dos extremos o colas
e. Ho : µ = 1297 Ha : µ ˃ 1297 X = 1325 s = 163 n = 13 Prueba de hipótesis de extremo o cola derecho
3. ¿Qué decisión debe tomarse si la estadística de prueba: a. Cae en la región de rechazo. Rechaza Ho
b. No cae en la región de rechazo. No rechaza Ho
4. Una empresa industrial supone que la vida de su prensa rotativa más grande es 14550 horas con una desviación estándar de 2100 horas. De una muestra de 25 prensas con una media de 13000 horas, en un nivel de significación del 1%, ¿debe la empresa concluir que la vida media de las prensas es menor que las horas propuestas?
Ho : µ = 14550
Ha : µ ˂ 14550 α = 1% 0.01 0.50 – 0.01 = 0.49 z = 2.33 n = 25 X = 13000 σ = 2100 µ = 14500
z = x - µ = 13000 – 14500 = - 1500 = - 3.57 σ 2100 420 √n √25 R// No Rechazar Ho, probablemente la vida media de las prensas es menor que las horas propuestas.
5. El gerente de una empresa de servicio de paquetería tiene la impresión de que el peso de los envíos que ha manejado es inferior al que tenía en el pasado. Los registros pasados tuvieron una media de 36.7 36.7 libras con una desviación estándar de 14.2 libras. Una muestra aleatoria de 64 paquetes manejados el mes anterior indica un peso promedio de 32.1 libras. ¿Es esta evidencia suficiente en un nivel de significación del 2%, para rechazar la hipótesis nula a favor de la impresión del gerente? Ho : µ = 36.7
Ha : µ ˂ 36.7 α = 2% 0.02 0.50 – 0.02 = 0.48 z = 2.06 n = 64 X = 32.10 σ = 14.20 µ = 36.7
z = x - µ = 32.10 – 36.7 = - 4.60 = - 2.59 14.2 1.77 σ √n √64 R// Rechazar Ho, probablemente el peso de los envíos es menor que el que tenía en el pasado
6. Un fabricante de lámparas fluorescentes utilizadas por un gran complejo industrial asegura que tienen una vida útil de por lo menos de 1600 horas. Se identifica aleatoriamente una muestra de 100 lámparas. ¿Respalda una media muestral de 1562.3 horas con una desviación estándar de 150 horas, el parecer del jefe del departamento en el sentido de que la duración efectiva de las lámparas es menor de 1600 horas en el nivel de significación del 5%? Ho : µ = 1600
Ha : µ ˂ 1600 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 100 X = 1562.3 σ = 150 µ = 1600 z = x - µ = 1562.3 – 1600 = - 37.7 = - 2.51 150 15 σ √n √100 R// Rechazar Ho, la duración de la lámparas puede ser menor a 1600.
7. El puntaje medio obtenido en una prueba de autoestima por quienes reciben ayuda del gobierno es igual a 65, con una desviación estándar de 5. La prueba se aplica a 52 beneficios de dicha ayuda en una muestra aleatoria reunida en cierto distrito. Estas personas alcanzaron un puntaje medio igual a 60. ¿Difiere de la media el puntaje del distrito relativo a esa variable, en un nivel de significación del 0.01? Ho : µ = 65
Ha : µ ≠ 65 α = 1% 0.01 0.50 – 0.01 = 0.49 z = 2.33 n = 52 X = 60 σ = 5 µ = 65 z=x - µ = σ √n
60 – 65 = 5 √52
- 5 = - 7.24 0.69
R// Rechazar Ho, Si difiere de la media
8. Una tienda de implementos deportivos ha iniciado una promoción especial para su pelota de futbol y piensa que la promoción deberá culminar con un cambio de precio. Antes de comenzar la promoción, el promedio de menudeo de las pelotas era de L. 41.95 con una desviación estándar de L. 5.36. La tienda muestrea a 16 de sus detallistas una vez comenzada la promoción y descubre que el promedio de la venta de pelotas es de L. 38.95. En un nivel de significación del 1% ¿tiene motivos para pensar que el precio promedio del menudeo ha disminuido? Ho : µ = 41.95
Ha : µ ˂ 41.95 α = 1% 0.01 0.50 – 0.01 = 0.49 z = 2.33 n = 16 X = 38.95 σ = 5.36 µ = 41.95 z = x - µ = 38.95 – 41.95 = - 3 = - 2.24 5.36 1.34 σ √n √16 R// Rechazar Ho, tiene motivos puede que el precio al menudeo ha disminuido.
9. La comisión promedio que cobran las empresas en la venta de acciones comunes es de L. 144.00 con una desviación estándar de L. 52.00. Un corredor ha extraído aleatoriamente una muestra de 121 transacciones y determino que pagaran una comisión promedio de 151. En un nivel de significación del 10%, ¿ se puede afirmar que las comisiones de su cliente son superiores al promedio de la industria? Ho : µ = 144
Ha : µ ˃ 144 α = 10% 0.1 0.50 – 0.1 = 0.40 z = 1.29 n = 121 X = 151 σ = 52 µ = 144
z = x - µ = 151 – 144 = 7 = 1.48 52 4.72 σ √n √121 R// Rechaza Ho, Probablemente la comisión es superior a 144
10. En un experimento con un nuevo tranquilizante, se determinó el pulso cardiaco de 12 pacientes antes de administrarle el tranquilizante y una vez más 5 minutos después se descubrió que su pulso se redujo en promedio de 7.2 pulsaciones con una desviación estándar de 1.8. En el nivel de significación del 5%, ¿se puede concluir que en promedio este tranquilizante reducirá el pulso cardiaco en un paciente en menos de 9 pulsaciones? Ho : µ = 9
Ha : µ ˂ 9 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 12 X = 7.2 σ = 1.8 µ = 9
z = x - µ = 7.2 – 9 = - 1.80 = - 3.84 1.8 0.53 σ √n √12 R// Rechazar Ho, probablemente disminuya las pulsaciones.
11. Un fabricante garantiza que cierto rodamiento tiene un diámetro exterior medio de 0.75 pulgadas con una desviación estándar de 0.003. Si una muestra tomada al azar de 10 de estos rodamientos tiene un diámetro exterior medio de 0.7510. ¿ Se puede rechazar la garantía que da el fabricante con respecto al diámetro exterior medio con el nivel de significación del 1%? Ho : µ = 0.75
Ha : µ ≠ 0.75 α = 1% 0.01 0.50 – 0.01 = 0.49 z = 2.33 n = 10 X = 0.7510 σ = 0.003 µ = 0.75
z = x - µ = 0.7510 – 0.75 = 0.003 σ √n √10
0.0010 = 1.06 0.00095
R// No Rechazar Ho, no se puede rechazar la garantía que da el fabricante.
12. Una muestra elegida al azar de 12 muchachas graduadas de una escuela secretarial, promedian 72.6 palabras por minuto, con una desviación estándar de 4.2 palabras por minuto. Utilizar el nivel de significancia del 55 para demostrar la afirmación de un empleador de que las graduadas de la escuela promedian menos de 75.0 palabras por minuto. Ho : µ = 75
Ha : µ ˂ 75 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 12 X = 72.6 σ = 4.2 µ = 75
z = x - µ = 72.6 – 75 = - 2.4 = - 1.98 4.2 1.22 σ √n √12 R// No Rechazar Ho, las graduadas promedian menos de 75 palabras por minuto
13. Una maquina vendedora de refrescos está programada para servir 6.0 onzas por vaso. Si la maquina se examina 9 veces, produciendo un llenado medio del vaso de 6.2 onzas con una desviación estándar de 0.15 onzas ¿es evidencia en el nivel de significancia del 5% que la maquina está llenando los vasos más de lo debido? Ho : µ = 6
Ha : µ ˃ 6 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 9 X = 6.2 σ = 0.15 µ = 6
z = x - µ = 6.2 – 6 = 0.20 = 4.0 0.15 0.05 σ √n √9 R// Rechazar Ho, quizás la maquina está llenando más de lo debido
Guía de Estudio N. 30 1. 206 de cada 300 estudiantes de medicina seleccionados al azar, afirman que realizaran práctica privada después de graduarse. ¿Apoya esto la afirmación de que cuando menos el 70% de los estudiantes de medicina realizaran práctica privada poco después de graduarse? graduarse? Utilizar el nivel de significancia significancia del 5%. Ho : p = 0.70
Ha : p ˂ 0.70 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 300 X = 206 po = 70% = 0.70
z = x - n(po = 206 – 300(0.7) = - 4 = - 0.50 √npo (1-po) √300(0.7) (0.3) 7.93 R// No Rechazar Ho.
2. Un crítico de TV asevera de que cuando menos el 80% de los televidentes encuentran inconveniente el nivel de ruido de cierto comercial. Si 9 de 35 personas objetan el ruido de este comercial, ¿Qué se puede concluir de esta afirmación en el nivel de significación del 5%? Ho : p = 0.80
Ha : p ˂ 0.80 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 35 X = 9 po = 80% = 0.80
z = x - n(po = 9 – 35(0.8) = - 19 = - 3.39 √npo (1-po) √35(0.8) (0.2) 5.6 R// Rechazar Ho. Probablemente el ruido es inconveniente cuando cuando menos el 80% de los televidentes
3. Un fabricante de un removedor de manchas afirma que su producto elimina cuando menos el 90% de ellas. Si en una muestra aleatoria el removedor de manchas elimina solo 10 de 44 manchas, demostrar esta afirmación en el nivel de 1%. Ho : p = 0.90
Ha : p ˂ 0.90 α = 1% 0.01 0.50 – 0.01 = 0.49 z = 2.33 n = 44 X = 10 po = 90% = 0.90
z = x - n(po = √npo (1-po)
10 – 44(0.9) = - 29.6 = - 7.47 √44(0.9) (0.1) 3.96
R// Rechazar Ho. Probablemente elimine menos del 90%
4. En un estudio de aviofobia, un psicólogo afirma que el 30% de todas las las mujeres temen a volar en avión. Si 54 de 200 mujeres de una muestra muestra aleatoria afirman que temen volar en avión, ¿refuta esto la afirmación de un psicólogo? Utilizar un nivel de significancia del 2%. Ho : p = 0.30
Ha : p ≠ 0.30 α = 2% 0.02 0.50 – 0.02 = 0.48 z = 2.06 n = 200 X = 54 po = 30% = 0.30
z = x - n(po = √npo (1-po)
54 – 200(0.3) = - 6 = - 0.14 √200(0.3) (0.7) 42
R// No Rechazar Ho. Quizás el 30% de las de las mujeres temen volar en avión
5. Una línea aérea afirma que solo el 65 de todo el equipaje que se extravía, nunca se recupera. Si 37 de 200 unidades de equipaje perdido no se encuentran, demostrar la Ho : p = 0.06 contra la Ha : p ˃ 0.06 en el nivel de significancia del 5%. Ho : p = 0.06
Ha : p ˃ 0.06 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 200 X = 37 po = 6% = 0.06
z = x - n(po = 37 – 200(0.06) = - 25 = 2.21 √npo (1-po) √200(0.06) (0.94) 11.28 R// Rechazar Ho. Probablemente más del 6% no se recupera
6. Para verificar la afirmación de un servicio de ambulancias que cuando menos la mitad de las llamadas que reciben son urgentes de vida o muerte, se tomó una muestra aleatoria de sus archivos y se descubrió que solo 63 de 150 llamadas llamadas fueron urgencias de vida o muerte. Demostrar la Ho : p = 0.50 contra la Ha adecuada en el nivel de significancia del 5%. Ho : p = 0.50
Ha : p ˂ 0.50 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 150 X = 65 po = 50% = 0.50
z = x - n(po = √npo (1-po)
65 – 150(0.5) = - 10 = - 0.26 √150(0.5) (0.5) 37.5
R// No Rechazar Ho. Probablemente la mitad de las llamadas son de vida o muerte.
7. En una muestra aleatoria de 500 automóviles que viran a la izquierda en cierta intersección, 169 se metieron al carril equivocado. Probar la Ho de que la producción real de conductores que cometen este error (en el cruce dado) es de 0.30 contra la Ha de que este número es demasiado bajo. Utilizar un nivel de significación del 1%. Ho : p = 0.30 Ha : p ˃ 0.30
α = 1% 0.01 0.50 – 0.01 = 0.49 z = 2.33 n = 500 X = 169 po = 30% = 0.30
z = x - n(po = 169 – 500(0.3) = 19 = 0.18 √npo (1-po) √500(0.3) (0.7) 105 R// No Rechazar Ho. El número es demasiado bajo
8. Se ha observado que el 30% de todas las familias que salen del campo se van a la ciudad. Si en una muestra tomada al azar de los registros de varias compañías de mudanzas grandes, se descubrió que las pertenencias de 104 de 400 familias que salen del campo se enviaron a la ciudad. Demostrar la Ho : p = 0.30 contra la Ha : p ˂ 0.30 en el nivel de significancia del 5%.
Ho : p = 0.30
Ha : p ˂ 0.30 α = 5% 0.05 0.50 – 0.05 = 0.45 z = 1.65 n = 400 X = 104 po = 30% = 0.30
z = x - n(po = 104 – 400(0.3) = - 16 = - 0.19 √npo (1-po) √400(0.3) (0.7) 84 R// No Rechazar Ho. Las mudanzas se enviaron a la ciudad.
Guía de Estudio N. 31 1. Si se conocen las siguientes dimensiones de las tablas de contingencia, ¿Cuántos gl tendrá el estadístico Ji cuadrada para cada una? a. 2 R y 3 C gl = (R - 1) (C - 1) gl = ( 2 - 1) (3 - 1) gl = ( 1 ) ( 2 ) = 2
b. 7 R y 3 C gl = (R - 1) (C - 1) gl = ( 7 - 1) (3 - 1) gl = ( 6 ) ( 2 ) = 12
c. 4 R y 5 C gl = (R - 1) (C - 1) gl = ( 4 - 1) (5 - 1) gl = ( 3 ) ( 4 ) = 12
d. 2 R y 4 C gl = (R - 1) (C - 1) gl = ( 2 - 1) (4 - 1) gl = ( 1 ) ( 3 ) = 3
2. A un gerente de marca le preocupa que la participación de esta, no se encuentre distribuida uniformemente en el país. En un estudio en que el país fue dividido en 4 zonas geográficas, se entrevistó una muestra aleatoria de 100 consumidores en cada zona, consiguiéndose los siguientes resultados.
Zona Geográfica NO
NE
SO
SE
No compra la marca
40
55
45
50
190
Compra la marca
60
45
55
50
210
100
100
100
100
400
a. Elaborar una tabla con las frecuencias esperadas Renglón 1
2
Columna
Fo
Fe
Fo - Fe
Ʃ(Fo – Fe)
1
40
47.5
- 7.5
56.25
1.18
2
55
47.5
7.5
56.25
1.18
3
45
47.5
- 2.5
6.25
0.13
4
50
47.5
2.5
6.25
0.13
1
60
52.5
7.5
56.25
1.07
2
45
52.5
- 7.5
56.25
1.07
3
55
52.5
2.5
6.25
0.12
4
50
52.5
-2.5
6.25
0.12
250
5
400
b. Calcular el valor muestral para
2
x
X2 = 5
c. Formular Ho y Ha. Ho = La zona geográfica es independiente a la compra de marca Ha = La zona geográfica no es independiente a la compra de marca
Ʃ(Fo Fe)2/Fe
–
3. Para averiguar si las pastillas de silicio son independientes del punto donde se halla el ciclo económico de un país se recabaron datos, los que se presentan: Ventas Semanales alta
media
baja
Total
Nivel máximo
20
7
3
30
En depresión
30
40
30
100
En aumento
20
8
2
30
En disminución
30
5
5
40
100
60
40
200
Total
a. Elaborar una tabla de frecuencias observadas y esperadas, formular Ho y Ha. – Renglón Columna Fo Fe Fo - Fe Ʃ(Fo – Fe) Ʃ(Fo Fe)2/Fe
1
2
3
4
1
20
15
5
25
1.666
2
7
9
-2
4
0.444
3
3
6
-3
9
1.500
1
30
50
-20
400
8.000
2
40
30
10
100
3.333
3
30
20
10
100
5.000
1
20
15
5
25
1.666
2
8
9
-1
1
0.111
3
2
6
-4
16
2.666
1
30
20
10
100
5.000
2
5
12
-7
49
4.083
3
5
8
-3
9
1.125
838
34.594
200
Ho = Las ventas de pastillas de silicio son independientes del punto donde está el ciclo económico de un país. Ha = Las ventas de pastillas de silicio no son independientes del punto donde está el ciclo económico de un país. b. Cuál será la conclusión La venta de pastillas de silicio depende del nivel económico en que se encuentra un país. 4. Un financiero quiere conocer las diferencias en las estructuras de capital de varios tamaños de empresas en cierta industria. L. 500
L 500 - 2000
L. 2000
Deuda menor que el capital
7
10
8
Deuda mayor que el capital
10
18
9
17
28
17
Renglón 1
2
Ʃ(Fo Fe)2/Fe
Columna
Fo
Fe
Fo - Fe
Ʃ(Fo – Fe)
1
7
6.85
0.15
0.0225
0.00328
2
10
11.29
1.6641
0.1474
3
8
6.85
1.15
1.3225
0.1931
1
10
10.14
0.14
0.0196
0.0019
2
18
16.71
1.29
1.6641
0.0996
3
9
10.14
-1.14
1.2996
0.1282
5.9924
0.5735
62
- 1.29
–
R// no tienen igual estructura de capital. 5. El editor de un periódico deseoso de identificar con precisión las características de su mercado se pregunta si el número de lectores en la comunidad guarda relación con la escolaridad.
Post grado
Universidad media
graduados
Total
Nunca
7
14
13
16
50
Algunas ve
13
17
7
7
44
Matut.
39
41
10
5
95
Ambas
22
23
8
12
65
81
95
38
40
254
a. Demostrar si difiere según el grado de escolaridad con 10% Renglón 1
2
3
4
Ʃ(Fo Fe)2/Fe
Columna
Fo
Fe
Fo - Fe
Ʃ(Fo – Fe)
1
7
15.94
-8.94
79.92
5.01
2
14
18.70
-4.7
22.09
1.18
3
13
7.48
5.52
30.47
4.07
4
16
7.87
8.13
66.09
8.39
1
13
14.03
-1.03
1.07
0.08
2
17
16.45
0.55
0.30
0.02
3
7
6.58
0.42
0.17
0.03
4
7
6.93
0.07
0.0049
0.0007
1
39
30.29
8.71
75.86
2.5
2
41
35.53
5.47
29.92
0.84
3
10
14.21
-4.21
17.72
1.25
4
5
14.96
-9.96
99.2
6.63
1
22
20.73
1.27
1.61
0.07
2
23
24.31
-1.31
1.71
0.07
3
8
9.72
-1.72
2.95
0.30
–
4
12
10.24
1.76
3.09
254
0.30 30.74
R// Rechazar Ho, porque difiere de 30.74
6. El supervisor de un proceso de ensamblado desea determinar si el número de artículos fabricados con defectos depende del día de semana en que son producidos. lunes
martes mar tes
miércoles
jueves
viernes
Sin defectos
85
90
95
95
90
defectuosos
15
10
5
5
10
100
100
100
100
100
Renglón 1
2
Ʃ(Fo Fe)2/Fe
Columna
Fo
Fe
Fo - Fe
Ʃ(Fo – Fe)
1
85
91
-6
36
0.39
2
90
91
-1
1
0.01
3
95
91
4
16
0.17
4
95
91
4
16
0.17
5
90
91
-1
1
0.01
1
15
9
6
36
4
2
10
9
1
1
0.11
3
5
9
-4
16
1.77
4
5
9
-4
16
1.77
5
10
9
1
1
0.11
500
8.51
–
R// Si difiere de los días. 7. Una psicóloga está investigando cómo reacciona una persona en cierta situación. Cree que la reacción puede estar influida por el grado de sentido ético que impera en el entorno de la persona. Débil
2
Intenso
SI
170
100
30
300 30 0
NO
70
100
30
200
240
200
60
500
Renglón 1
Moderado
Ʃ(Fo Fe)2/Fe
Columna
Fo
Fe
Fo - Fe
Ʃ(Fo – Fe)
1
170
144
26
676
4.69
2
100
120
-20
400
3.33
3
30
36
-6
36
1.2
1
70
96
-26
676
9.65
2
100
80
20
400
4
3
30
24
6
36
1.2
500 R// Existe relación.
Guía de Estudio N. 32
24.07
–
1. Para el siguiente conjunto de datos: a. graficar el diagrama de dispersión b. desarrollar la ecuación de estimación que mejor describa los datos c. predecir el valor de Y para cada uno de los siguientes valores X = 15, X = 20 X = 25, d. calcular el error de estándar de estimación.
X 13 16 14 11 17 9 13 17 18 12 Y 1.0 2.0 1.4 0.8 2.2 0.5 1.1 2.8 3.0 1.2 a. graficar el diagrama de dispersión
Diagrama Valores X, Y 3.5 3 2.5 2 Y
1.5 1 0.5 0 0
5
10
15
20
b. desarrollar la ecuación de estimación que mejor describa los datos X
Y
X
Y
XY
13
1.0
169
1
13
16
2.0
256
4
26
14
1.4
196
1.96
19.6
11
0.8
121
0.64
8.8
17
2.2
289
4.84
37.4
9
0.5
81
0.25
4.5
13
1.1
169
1.21
14.3
17
2.8
289
7.84
47.6
18
3.0
324
9
54
12
1.2
144
1.44
14.4
140
16
2038
32.18
239.6
b. Ʃxy - n ẊŶ = 239.6 – 10 (14) (1.6) = 0.20 2038 - 10 (14)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 1.6 - 0.20 (14) = 1.6 – 2.8 = - 1.2
c. calcular el error de estándar de estimación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 32.18 - 1.2 (1.6) – 0.20 (239.6) = 2.08 n – 2 10 – 2
2. Usando los datos de la tabla siguiente: a. graficar el diagrama de dispersión b. desarrollar la ecuación de estimación que mejor describa los datos c. predecir el valor de Y para cada uno de los siguientes valores X = 5, X = 6, X = 7, X= 8, d. calcular el error de estándar de estimación.
X 15 6 10 5 12 14 Y 6 16 15 18 9 10
a. graficar el diagrama de dispersión
Diagrama de Valores X, Y 20 18 16 14 12 10
Y
8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
b. desarrollar la ecuación de estimación que mejor describa los datos X
Y
X
Y
XY
15
6
225
36
90
6
16
36
256
96
10
15
100 1 00
225
150
5
18
25
324
90
12
9
144
81
108
14
10
196 1 96
100
140
62
74
726
1022
674
b. Ʃxy - n ẊŶ = 674 – 6 (10.33) (12.33) = 1.05 726 - 6 (10.33)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 12.33 - 1.05 (10.33) = 12.33 – 9.28 = 3.05
c. predecir el valor de Y para cada uno de los siguientes valores X = 5, X = 6, X = 7, X= 8
Y = a + b x = 3.05 + 1.05 (5) = 8.3 Y = a + b x = 3.05 + 1.05 (6) = 9.35 Y = a + b x = 3.05 + 1.05 (7) = 10.4 Y = a + b x = 3.05 + 1.05 (8) = 11.45
d. calcular el error de estándar de estimación. se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 1022 - 3.05 (74) – 1.05 (674) = 4.70 n – 2 6 – 2 3. A partir del siguiente conjunto de datos: a. encontrar la ecuación de la línea de estimación b. calcular el error de estándar de estimación c. predecir el valor de Y para cada uno de los siguientes valores X = 3.6, X = 1.7 X = 4.0, X = 2.5
X 46 48 42 58 40 39 50 Y 9.5 7.5 7.0 9.5 6.2 6.6 8.7 Diagrama
Diagrama de valores X, Y 10 9 8 7 6 5
Y
4 3 2 1 0 0
10
20
30
40
50
60
70
a. encontrar la ecuación de la línea de estimación X
Y
X2
Y2
XY
46
9.5
2116
90.25
437
48
7.5
2304
56.25
360
42
7.0
1764
49
294
58
9.5
3364
90.25
551
40
6.2
1600
38.44
248
39
6.6
1521
43.56
257.4
50
8.7
2500
75.69
435
323
55
15169
443.44
2582.4
b. Ʃxy - n ẊŶ = 2582.4 – 7 (46.14) (7.85) = 0.17 15169 - 7 (46.14)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 7.85 - 0.17 (46.14) = 7.85 – 7.8371 = 0.0129 b. calcular el error de estándar de estimación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 443.44 - 0.0129 (55) – 0.17 (2582.4) = 0.86 n – 2
7 – 2
c. predecir el valor de Y para cada uno de los siguientes valores X = 3.6, X = 1.7 X = 4.0, X = 2.5 Y = a + b x = 0.0129 + 0.17 (3.6) = 0.6249 Y = a + b x = 0.0129 + 0.17 (1.7) = 0.3019 Y = a + b x = 0.0129 + 0.17 (4.0) = 0.6929 Y = a + b x = 0.0129 + 0.17 (2.5) = 0.4379
4. Supóngase que está encargado del dinero de un país. Recibe los siguientes datos históricos sobre la oferta de dinero y el producto nacional bruto (millones de lempiras). oferta
PNB
oferta
PNB
2.0
5.0
2.5
5.5
3.2
6.0
3.3
7.2
4.0
7.7
4.2
8.4
4.6
9.0
4.8
9.7
5.0
10.0
a. desarrollar la ecuación de estimación para determinar el producto nacional bruto (Y) y la oferta de dinero (X) X
Y
X2
Y2
XY
2.0
5.0
4
25
10
3.2
6.0
10.24
36
19.2
4.0
7.7
16
59.29
30.8
4.6
9.0
21.16
81
41.4
5.0
10.0
25
100
50
18.8
37.7
76.4
301.29
151.4
b. Ʃxy - n ẊŶ = 151.4 – 5 (3.76) (7.54) = 1.69 76.4 - 5 (3.76)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 7.54 - 1.69 (3.76) = 7.54 – 6.35 = 1.18
b. Calcular el error estándar de la estimación
se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 301.29 - 1.18 (37.7) – 1.69 (151.4) (151.4) = 0.52 n – 2 5 – 2 c. predecir el valor de Y para cada uno de los siguientes valores X = 2.7, X = 5.3 X = 3.8, X = 4.7, X = 5.6, X = 7.25
Y = a + b x = 1.18 + 1.69 (2.7) = 5.74 Y = a + b x = 1.18 + 1.69 (5.3) = 10.13 Y = a + b x = 1.18 + 1.69 (3.8) = 7.60 Y = a + b x = 1.18 + 1.69 (4.7) = 9.12 Y = a + b x = 1.18 + 1.69 (5.6) = 10.64 Y = a + b x = 1.18 + 1.69 (7.25) = 13.43
5. Una tenista se pregunta si la altura de su oponente contribuye a explicar el número de lanzamientos que no son devueltos durante un partido. Se reunieron los siguientes datos en 8 partidos jugados. Altura de la oponente
Lanzamientos devueltos
5.0 pies
9
5.5
6
6.0
3
6.5
0
5.1
7
5.7
4
6.3
5
6.1
3
a. a. Cuál es la variable dependiente Y = lanzamientos no devueltos
b. cuál es la ecuación de la estimación de los los datos anteriores R. 30.44 – 4.47 x c. cuál es la mejor estimación del número de lanzamientos altos no devueltos con un oponente de 5.9 pies de altura. R. Lanzamientos no devueltos
6. En un estudio efectuado por un departamento de transporte, sobre el efecto que los precios del autobús tienen en un número de pasajeros, produjo los siguientes resultados: Precio boleto
15
20
25
30 35
40
45
50
Pasajeros 100 km
440 430 430 370 360 340 350 3 50 350
a. Dibujar el diagrama de dispersión de estos datos
Efecto Efecto de los precios del Autobus 500 450 400 350 300 250
Y
200 150 100 50 0 0
10
20
30
40
50
60
b. desarrollar la ecuación de estimación de estos datos X
Y
X
Y
XY
15
440
225
193600
6600
20
430
400
184900
8600
25
430
625
184900
10750
30
370
900
136900
11100
35
360
1225
129600
12600
40
340
1600
115600
13600
45
350
2025
122500
15750
50
350
2500
122500
17500
260
3070
9500
1190500
96500
b. Ʃxy - n ẊŶ = 96500 – 8 (32.5) (383.75) = -3.12 9500 - 8 (32.5)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 383.75 383 .75 - (-3.12) (32.5) = 383.75 +101.4 = 485.15
c. calcular el error estándar de la ecuación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 1190500 - 485.15 (3070) – (-3.12) (96500) (96500) = 19.01 n – 2 8 – 2
7. Durante el trabajo un supervisor interrumpe a un operario a fin de ayudarle a finalizar su trabajo. Una vez concluida la tarea, el trabajador es sometido a un test psicológico que mide la hostilidad ante la autoridad. A 8 trabajadores se les
asignaron tareas y se les interrumpió varias veces (línea X). En la línea Y se indican las puntuaciones correspondientes a la prueba de hostilidad. X
5
10
10
15 15
Y
58
41
45
27
26
20 20 12
25
6
3
a. Dibujar el diagrama de dispersión
Test Psicologico que mide la hostilidad 70 60 50 40 Y
30 20 10 0 0
5
10
15
20
25
30
b. Desarrollar la ecuación que mejor se describa a la relación entre las interrupciones y la puntuación conseguida en la prueba X
Y
X
Y
XY
5
58
25
3364
290
10
41
100
1681
410
10
45
100
2025
450
15
27
225 2 25
729
405
15
26
225 2 25
676
390
20
12
400 4 00
144
240
20
16
400 4 00
256
320
25
3
625
9
75
120
228
2100
8884
2580
b. Ʃxy - n ẊŶ = 2580 – 8 (15) (28.5) = -2.8 2100 - 8 (15)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 28.5 - (- 2.8) (15) = 28.5 + 42 = 70.5
c. Calcular el error estándar de la ecuación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 8884 - 70.5 (228) – (- 2.8) (2580) = 2.38 n – 2 8 – 2
Guía de Estudio N. 33 1. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson (r) para cada una de las siguientes distribuciones de datos e indicar el tipo de relación entre X e Y a. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson (r) X
Y
X
Y
XY
1
2
1
4
2
6
5
36
25
30
4
3
16
9
12
3
3
9
9
9
14
13
62
47
53
n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy r) = = 4 (53) - (14) (13) = 0.95 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[4(62) – (14) ] [4(47) – (13)2 b. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson (r)
X
Y
X
Y
XY XY
2
5
4
25
10
1
4
1
16
4
5
3
25
9
15
4
1
16
1
4
2
4
4
16
8
14
17
50
57
41
r) = = 5 (41) - (14) (17) = -2.25 n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[5(50) – (14) ] [5(57) – (17)2
c. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson (r) X
Y
X
Y
XY XY
3
8
9
64
24
4
9
16
81
36
1
5
1
25
5
6
10
36
100
60
4
6
16
36
24
1
10
1
100
10
19
48
79
406
159
n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy r) = = 6 (159) - (19) (48) = -4.78 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[6(79) – (19) ] [6(406) – (48)2
2. La tabla siguiente proporciona los tamaños de algunas piezas de madera en pies y pulgadas. Largo en pulgadas
Largo en pies
12
1
36
3
60
5
48
4
24
2
72
6
Se pide: a. El diagrama de dispersión b. La ecuación de estimación del mejor ajuste c. El error estándar de la estimación d. El coeficiente r de Pearson
a. El diagrama de dispersión
Piezas de Madera en Pies y Pulgadas 7 6 5 4 LARGO EN PIES
3 2 1 0 0
20
40
60
80
b. La ecuación de estimación del mejor ajuste X
Y
X
Y
XY XY
12
1
144
1
12
36
3
1296
9
108
60
5
3600
25
300
48
4
2304
16
192
24
2
576
4
48
72
6
5184
36
432
252
21
13104
91
1092
Y=a +bx
= 0.14 + 0.08 (6) = 0.14 + 0.48 = 0.62
b. Ʃxy - n ẊŶ = 1092 – 6 (4.2) (3.5) = 0.08 13104 - 6 (42)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 3.5 - 0.08 (4.2) = 3.5 – 3.36 = 0.14
c. El error estándar de la estimación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 91 - 0.14 (21) – 0.08 (1092) (1092) = 0.42 n – 2 6 – 2 d. El coeficiente r de Pearson n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy r= = 6 (1092) - (252) (21) = 1.0 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[6(13104) – (252) ] [6(91) – (21)2
3. Se llevó a cabo un experimento para saber si existe alguna relación entre el volumen de agua de pecera y la longitud promedio que crecen 4 peces de colores . Volumen pecera
Longitud
0.5
1.8
1.0
2.1
2.0
2.2
4.0
2.9
5.0
3.3
Se pide: a. El diagrama de dispersión b. La ecuación de estimación del mejor ajuste c. El error estándar de la estimación d. El coeficiente r de Pearson
a. El diagrama de dispersión
Volumen de agua de Pecera 3.5 3.0 2.5 2.0 Longitud
1.5 1.0 0.5 0.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
b. La ecuación de estimación del mejor ajuste X
Y
X2
Y2
XY
0.5
1.8
0.25
3.24
0.90
1.0
2.1
1.0
4.41
2.10
2.0
2.2
4.0
4.84
4.40
4.0
2.9
16.0
8.41
11.60
5.0
3.3
25.0
10.89
16.50
12.5
12.3
46.25
31.79
35.50
Y=a +bx
= 2.47 + (-0.0064) (6) = 2.47 - 0.064 = 2.44
b. Ʃxy - n ẊŶ = 35.5 – 5 (2.5) (2.46) = 0.0064 Ʃx2 - n Ẋ2 46.25 - 5 (12.5)2
a. Ŷ - b Ẋ = 2.46 - (-0.0064) (2.5) = 2.46 –(- 0.016) = 2.47
c. El error estándar de la estimación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 31.79 - 2.47 (21) – (-0.0064) (35.5) = 0.74 n – 2 5 – 2 d. El coeficiente r de Pearson
n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy r= = 5 (35.5) - (12.5) (12.3) = 0.99 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[5(46.25) – (12.5) ] [5(31.79) – (12.3)2 4. Se llevó a cabo un experimento en el que se dejaba caer un objeto dentro de cierto líquido. La distancia recorrida por el objeto fue anotada cada segundo a lo largo de 6 segundos. Tiempo en segundos
Distancia en pies
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
Se pide: a. El diagrama de dispersión b. La ecuación de estimación del mejor ajuste c. El error estándar de la estimación d. El coeficiente r de Pearson
a. El diagrama de dispersión
Experimento Dejar Caer Objeto en cierto Liquido 7 6 5 4 LARGO EN PIES
3 2 1 0 0
20
40
60
80
b. La ecuación de estimación del mejor ajuste X
Y
X
Y
XY XY
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
4
4
16
8
3
9
9
81
27
4
16
16
96
64
5
25
25
625
125
6
36
36
1296
216
21
91
91
2115
441
Y=a +bx
= - 5 + 6 (7) = -5 + 42 = 37
b. Ʃxy - n ẊŶ = 441 – 7 (3) (13) = 6 Ʃx2 - n Ẋ2 91 - 7 (3)2
a. Ŷ - b Ẋ = 13 - 6 (3) = 13 – 18 = - 5 c. El error estándar de la estimación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 2115 - (-5) (91) – 6 (441) (441) = - 3.89 n – 2 7 – 2 d. El coeficiente r de Pearson r= = 7 (441) - (21) (91) = 1.04 n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[7(91) – (21) ] [7(2115) – (91)2
5. A continuación se tiene una lista de todas las distancias que necesitan ciertos vehículos para detenerse cuando viajan a diferentes velocidades. Velocidad en Km/h
Distancia en pies
30
9
40
15
50
24
60
37
70
53
Se pide: a. El diagrama de dispersión b. La ecuación de estimación del mejor ajuste c. El error estándar de la estimación d. El coeficiente r de Pearson
a. El diagrama de dispersión
Distancia de Vehiculos para detenerse a cierta distancia 60 50 40 30
Distancia
20 10 0 0
20
40
60
80
b. La ecuación de estimación del mejor ajuste X
Y
X
Y
XY XY
30
9
900
81
270
40
15
1600
225
600
50
24
2500
576
1200
60
37
3600
1369
2220
70
53
4900
2809
3710
250
Y=a +bx
138
13500
5060
8000
= - 27.4 + 1.1 (5) = -27.4 + 5.5 = - 21.9
b. Ʃxy - n ẊŶ = 8000 – 5 (50) (27.6) = 1.1 13500 - 5 (50)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 27.6 - 1.1 (50) = 27.6 – 55 = - 27.4
c. El error estándar de la estimación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 5060 - (-27.4) (138) – 1.1 (8000) = 3.70 n – 2 5 – 2 d. El coeficiente r de Pearson r= = 5 (8000) - (250) (138) = 0.98 n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[5(13500) – (250) ] [5(5060) – (138)2
6. A continuación se dan los días y las temperaturas Max y Min. En grados F, que fueron registradas en una ciudad . Días
Max
Min
Lunes
70
50
Martes
72
50
Miércoles
66
48
Jueves
73
51
Viernes
67
49
Sábado
70
49
Se pide: a. El diagrama de dispersión
b. La ecuación de estimación del mejor ajuste c. El error estándar de la estimación d. El coeficiente r de Pearson
a. El diagrama de dispersión
Temperaturas de una Ciudad 80 70 60 50 MAX
40
MIN 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
b. La ecuación de estimación del mejor ajuste X
Y
X2
Y2
XY
70
50
4900
2500
3500
72
50
5184
2500
3600
66
48
4356
2304
3168
73
51
5329
2601
3723
67
49
4489
2401
3283
70
49
4900
2041
3430
418
297
29158
14707
20704
Y=a +bx
= 43.45 + 0.09 (6) = 55.55 + 0.54 = 43.99
b. Ʃxy - n ẊŶ = 20704 – 6 (69.67) (49.5) = 0.09 29158 - 6 (69.67)2 Ʃx2 - n Ẋ2
a. Ŷ - b Ẋ = 49.5 - 0.09 (69.67) = 49.5 – 6.05 = 43.45
c. El error estándar de la estimación se = √Ʃy2 - aƩy - bƩxy = √ 14707 - 43.99 (297) – 0.09 (20704) = -7.45 n – 2 6 – 2 d. El coeficiente r de Pearson
n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy r= = 6 (20704) - (418) (297) = 0.91 2 2 2 2 2 √[nƩx - (Ʃx) ] [nƩy – (Ʃy) ] √[6(29158) – (418) ] [6(14707) – (297)2
7. Una inversionista que estaba estudiando la posible correlación entre dos tipos de valores, noto que le pareció un patrón de relación entre los los precios . Fecha
P BTQ
P CRV
01-94
47
22
02-94
40
24
03-94
30
26
04-94
15
30
Se pide: a. El coeficiente r de Pearson
X
Y
X
Y
XY XY
47
22
2209
484
1034
40
24
1600
576
960
30
26
900
676
780
15
30
225
900
450
132
102
4934
2636
3224
a. r = n Ʃxy - (Ʃx) (Ʃy 2 √[nƩx - (Ʃx)2 ] [nƩy2 – (Ʃy)2]
= 4 (3224) - (132) (102) = 0.9983 2 √[4(4934) – (132) ] [4(2636) – (102)2
R. Existe Mucha correlación entre BTQ y CRV.
