Oscilador Armónico Amortiguado Física II (Laboratorio 14:30 – 15:30) Fecha de entrega: 2 de abril del 2013
Exequiel Wang A00569818 Rocío Jackelín Gutiérrez Tovar A00569905 Carolina Michelle Ramos Islas
Introducción En esta actividad analizaremos cómo afecta el rozamiento del aire en un péndulo simple amortiguado. A partir de esto, observaremos qué sucede con la amplitud de este en función del tiempo.
Objetivos (1) Construir un péndulo simple amortiguado (2) Analizar el comportamiento de la amplitud en función del tiempo. (3) Estimar el coeficiente de amortiguamiento del aire sobre el péndulo.
Movimiento Armónico Amortiguado
Cuando la amplitud de la oscilación disminuye en forma gradual hasta que el oscilador se det iene por completo (amplitud cero) como resultado del efecto disipador de la fricc ión, se dice entonces que el movimiento está amortiguado por la fricción y se le llama movimiento armónico amortiguado. A menudo la fricción surge del contacto del o scilador con alguna superficie o bien de la resistencia que ofrece el fluido en el cual está inmerso, pero también puede originarse de fuerzas internas. En la mayoría de los casos de inte rés, la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad del cuerpo pero directamente opuesta a él. La fuerza neta sobre el cuerpo oscilatorio es la suma de las fuerzas de restitución –kx –kx (ley de Hooke) y la fuerza de amortiguamiento, la cual suponemos que tiene la forma de –v como en el caso de la fuerza de arranque. Aquí, es una constante positiva que depende de las propiedades del fluido (como la densidad), pero también de la forma y dimensiones del objeto sumergido, se le c onoce como constante de amortiguamiento.
Para analizar el movimiento armónico amortiguado partimos de la 2da. Ley de Newton:
(1)
Esta ecuación diferencial tiene como solución:
(2)
en donde XM es la amplitud máxima, la cual es o bservada solamente al inicio del movimiento pues éste es amortiguado. La constante es el ángulo de fase que puede fijarse arbitrariamente en cero, y ’ es la frecuenc ia angular, que en este caso aparece al resolver la ecuación diferencial y queda definida como:
(3)
Esta forma de solución de la ecuación (1) es válida para constantes de amortiguamiento que sean lo suficientemente pequeñas de modo que la cantidad en el radical de la ecuación (3) sea positiva. En la figura 1 se traza el desplazamiento de x en función del tiempo t en este caso.
Figura 1. Gráfica del movimiento armónico amortiguado. La línea continua en color rojo es una representación de la ecuación (2), las líneas punteadas en azul se conocen como curvas “envolventes” de la curva solución.
Existen dos características notables de esta solución. Primeramente, la frec uencia’ es más pequeña que en el caso del movimiento armónico simple. La fricción ret arda al movimiento, como cabe esperar. Si no hubiese fricción presente, sería igual a cero y ’ sería igual a √(k/m), que es la frecuencia angular de un movimiento no amortiguado. Cuando la fricción está presente,’ es ligeramente menor que, como la muestra la ecuación (3).
En segundo lugar, la amplitud del movimiento, representada en la ecuación (2) por el factor XMe-
t/2m y en la figura 1 por las curvas segmentadas, disminuye exponencialmente hasta cero.
Tiempo característico y clases de amortiguamiento
El intervalo de tiempo τ durante el cual la amplitud decrece hasta una fracción de1/e de su valor inicial se llama tiempo característico de la oscilación. El factor exponencial en la ecuación (2) tendrá el valor e-1 e-1 cuando t= τ= 2m/. Una vez más, si no estuviese presente la fricción, sería igual a cero y la amplitud tendría el valor constante XM durante todo el movimiento, el tiempo característico sería por lo tanto infinito y e l oscilador jamás se detendría.
Las ecuaciones (2) y (3) sólo son válidas para ≤ 2√(km). Si tomase el valor máximo posible de este intervalo, es decir que = 2√(km), entonces ’= 0 y el desplazamiento de la masa tendería hacia el punto de equilibrio de manera exponencial y sin ex hibir ningún tipo de oscilación, a esta clase de movimiento se le conoce como movimiento críticamente amortiguado. La vida media τ tendría entonces su valor más pequeño posible, el cual puede demostrarse que es igual a ω-1, ω-1, o sea, el inverso de la frecuencia angular de la oscilación no amortiguada. Si tomase un valor superior al límite máximo impuesto por esta desigualdad, entonces se tr ataría de un movimiento sobreamortiguado, el cual tampoco exhibiría ningún tipo de oscilación.
Energía del oscilador armónico amortiguado
En el movimiento armónico amortiguado la energía del oscilador se disipa gradualmente debido a la fricción y decae a cero cer o con el tiempo. En el caso de un amortiguamiento pequeño, cuando la ecuación (2) es válida, podemos aproximar el valor instantáneo de la e nergía mediante la ecuación
(4)
Reemplazando el valor de la amplitud constante XM por el v alor instantáneo de la ecuación (2) tenemos que:
(5)
De modo que la energía mecánica del oscilador armónico amortiguado es disipada en el tiempo siguiendo un decaimiento exponencial.
Desarrollo Primero procedimos a construir nuestro péndulo. Para esto utilizamos una cuerda de yoyo y un peso. Simplemente atamos la cuerda al peso y det uvimos la parte superior de la cuerda con un martillo sobre una mesa. Además, pegamos un transportador en la parte superior para poder medir los ángulos correspondientes a cada amplitud. Por último, colocamos una cinta métrica en el suelo para calcular las amplitudes de cada oscilación.
La actividad consistía básicamente en elegir una amplitud inicial para nuestro péndulo y soltarlo desde ahí, dejándolo oscilar. A medida que transcurría el tiempo, el coeficiente de rozamiento del
aire provocaba que la amplitud decrezca lentamente, hacie ndo que eventualmente, luego de un lapso de tiempo, el movimiento se detenga. Este proceso se repitió varias veces, en todas to das las ocasiones se iban tomando anotaciones con respecto al tiempo en segundos y la amplitud en función del tiempo. Una vez que obtuvimos suficientes mediciones, usamos nuestros valores de la tabla que producimos para deducir el coeficiente de rozamiento del air e utilizando la ecuación:
( )
Mediciones Primer lanzamiento
t (segundos)
A(t) (cm) 19.5 19 17 16
10 40 60 90
Promedio
b (coeficiente de rozamiento) -3 1.1595x10 kg/s -3 0.5873x10 Kg/s -3 1.2405x10 Kg/s -3 1.1355x10 Kg/s -3 1.0307x10 Kg/s
Incertidumbre
∆x=
∆x=
∆x=2.861x
Segundo Lanzamiento
t (segundos) 20 40 67 100 137
A(t) (cm) 19 17 16 15 14
Promedio
b (coeficiente de rozamiento) 1.1746x10-3Kg/s -3 1.8608x10 Kg/s -3 1.5353x10 Kg/s -3 1.3175x10 Kg/s -3 1.1923x10 Kg/s -3 1.4161x10 Kg/s
Incertidumbre
∆x=
∆x=
Interpretación de resultados
∆x=3.3425x
Coeficiente de rozamiento del aire promedio obtenido
Coeficiente de rozamiento del aire obtenido 1.2234x10-3Kg/s
Incertidumbre ±.1927
Sin duda, en esta actividad, el margen de error que existe es bastante considerable por diversos motivos. La forma en que se midieron tanto la amplitud inicial como las amplitudes en función del tiempo fueron muy aproximadas al igual que el tiempo de c ada uno. Esto es debido a que se utilizó una cinta métrica en el suelo y el péndulo se encontraba oscilando, lo cual hace imposible tener una buena precisión. Sumado a todo esto, el péndulo no oscilaba de manera uniforme ya que por efecto de la cuerda y la masa, el objeto oscilaba y se torcía cada vez más en cada período. De hecho, si calculábamos la amplitud inicial y las siguientes amplitudes utilizando ángulos del transportador, existía diferencia en los resultados aún mayor. El transportador difícilmente se encontraba y mantenía recto. Además, un grado de diferencia era mucho más significativo que al calcularlo de la otra forma.
Conclusiones Al realizar esta práctica, podemos observar cómo e l coeficiente de rozamiento del aire e s muy pequeño, ya que el péndulo demora un tiempo considerable en dejar de oscilar por acción del aire. También concluimos que si quisiésemos obtener un valor mucho más preciso de este coeficiente, tendríamos que intentar mejorar la e ficiencia del dispositivo, mejorar la forma de medición y utilizar herramientas más adecuadas ya que hasta el peso de la cuerda provocaba que nos alejemos del valor real del coeficiente de aire. Para finalizar, a partir de esta actividad, podemos comprender y asimilar mejor los fenómenos relacionados al movimiento armónico amortiguado y al péndulo, cuyas aplicaciones en la vida real son muy diversas e importantes.
Bibliografía Universidad Autónoma De Nuevo León. "Oscilador Armónico Amortiguado." N.p., n.d. Web. 1 Apr. 2013. .
Lab De Física.
