Universidade Estadual de Santa Cruz.
Física Bacharelado.
Alisson Pereira Costa. Abraão de Oliveira Amaral. Nelson Tiago Barbosa Tanajura.
Experimento 7 – Associação Associação de molas em série e em paralelo
Ilhéus-Bahia, novembro de 2012.
Alisson Pereira Costa. Abraão de Oliveira Amaral. Nelson Tiago Barbosa Tanajura.
Experimento 7 – Associação de molas em série e em paralelo.
Relatório apresentado à disciplina de Laboratório de Física I da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), como requisito para obtenção de parte de um crédito desta disciplina, orientado pela Prof.ª Dra. Andréa de Azevedo Morégula.
Ilhéus-Bahia, novembro de 2012.
1. Introdução.
Sob a ação de uma força de tração ou de compressão, todo objeto deforma-se. Se, ao cessar a atuação dessa força, o corpo recupera sua forma primitiva, diz-se que a deformação é elástica. Em geral, existe um limite para o valor da força a partir do qual acontece uma deformação permanente no corpo. Dentro do limite elástico, há uma relação linear entre a força aplicada e a deformação, linearidade esta que expressa uma relação geral conhecida como Lei de Hooke. O sistema clássico utilizado para ilustração dessa lei é o sistema massa-mola que é apresentado a seguir em situações de equilíbrio estático.
Considerem-se duas molas de massas desprezíveis e de constantes elásticas e associadas em série, como mostrado na figura 1. Uma força F, de modulo F, aplicada na extremidade do conjunto atua igualmente em cada uma das molas e cada qual sofrerá um alongamento dado por:
e
Figura 1: Associação de duas molas em série, a força F atua nas duas e o alongamento de uma é independente do da outra.
O alongamento total do conjunto será dado por:
e, então,
Com um raciocínio análogo, é fácil chegar-se a uma relação geral para a associação de n molas em série.
Na associação em paralelo (figura 2), a força F aplicada ao conjunto é dividida entre as duas molas, com e valores , e elas se alongam de uma mesma quantidade .
Figura 2: Associação de duas molas em paralelo, a força F aplicada é distribuída nas duas,e o alongamento de uma é igual ao da outra.
Portanto,
Então:
Analogamente, chega-se a uma relação geral para associação de n molas em paralelo.
E a força aplicada na mola é o peso do corpo e, dentro do limite elástico, tem-se, no equilíbrio,
Em que é uma constante que depende do material de que é feita a mola, bem como de sua espessura, tamanho e outros fatores, e é denominada constante elástica da mola.
2. Materiais e Métodos.
Neste experimento foram utilizados um tripé universal, suporte horizontal para as molas, duas molas de constantes elásticas indeterminadas, discos metálicos, balança e uma régua.
, gancho metálico para suporte dos discos metálicos,
Os processo realizados utilizando-se os materiais descritos acima foram:
a) Montou-se o conjunto do tripé universal com suporte horizontal para dependurar as mo las; b) Com os cincos discos metálicos fornecidos, fez-se uma numeração nos mesmos de 1 a 5. Mediu as massas destes discos na balança fornecida, na ordem e da forma em os mesmos foram organizados para serem dependurados, ou seja, disco 1, disco 1 e 2, disco 1, 2 e 3. Depois de feita estas coisa montou-se uma tabela com os dados encontrados. c) Escolheu-se uma das molas e a chamou de MOLA 1. Dependurou-se tal mola, com gancho e determinou sua deformação no repouso (
).
d) Dependurou-se o disco 1 na mola e mediu-se (três vezes) a deformação total da mola (
).
Adicionaram-se sucessivamente os outros discos (respeitando sua numeração) e repetiu-se este procedimento. Feito isso montou-se uma tabela para a mola 1 contendo na primeira coluna o objeto dependurado (Disco 1, no primeiro caso; Disco 1 e 2, no segundo caso, Disco 1, 2 e 3, no terceiro, etc.), na segunda coluna o valor medido da variação provocada (
, onde
é a
deformação correspondente aos sucessivos pesos: i=1, Disco 1; i=2, Discos 1 e 2; i=3, Discos 1, 2 e 3, etc.), na terceira coluna o valor médio desta deformação e, na quarta coluna finalmente o cálculo da varação líquida da deformação, isto é, médios acrescidos da incerteza associada).
(já obviamente com seus valores
e) Repetiu-se os dois últimos itens para a MOLA 2 (e, obviamente montou-se outra tabela para esta mola. Estas molas servem para obter o valor das constantes elásticas da mola 1e mola 2, respectivamente). f) Após feito isso, fez-se uma montagem da associação em série das m olas. Mediu-se a posição de equilíbrio do conjunto, com o gancho. Dependuraram-se os cinco discos metálicos (um de cada vez e na sequencia correta), e mediram-se as deformações ocasionadas. Construiu-se outra tabela com estas informações. g) Fez-se, agora uma montagem para a associação em paralelo com as duas molas. Dependuraram-se os cinco discos metálicos e mediu-se as deformações ocasionadas. Construiuse outra tabela para estas informações.
3. Apresentação dos Resultados.
Depois de realizado todos os procedimentos descritos no tópico de materiais e métodos, com os dados obtidos foram originadas as tabelas abaixo que através do método de regressão linear obteve-se as constantes das molas 1 e 2 e também as constantes elásticas das molas equivalentes associadas em série e em paralelo dadas respectivamente pelas equações (1) e (2). É relevante salientar que para se encontrar os valores dos pesos exercidos pelos discos 1, 2, 3, 4 e 5 utilizamos
, devido a condições
experimentais, levando-se em consideração o local ao qual esta localizado o laboratório.
A seguir encontram-se as tabelas com os dados o btidos.
Discos 1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
m(g) 23,90 23,80 23,80 47,40 47,40 47,40 57,60 57,60 57,60 69,20 69,20 69,30 80,00 80,00 79,90
Tabela 1: Massas medidas, massa média e peso dos objetos.
P(N)
MOLA 1 Posição de Equilíbrio: Discos 1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
̅ ̅ (
34,00 35,00 34,00 47,00 48,00 45,00
54,00 54,00 55,00 60,00 62,00 60,00 65,00 65,00 63,00
) (m)
Tabela 2: Deformação da Mola 1.
MOLA 2 Posição de Equilíbrio: Discos 1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
32,00 31,00 32,00 45,00 46,00 44,00 49,00 49,00 49,00 56,00 56,00 55,00 61,00 61,00 61,00
̅ ̅ (
) (m)
Tabela 3: Deformação da Mola 2.
Associação em Série das Molas 1 e 2. Posição de Equilíbrio: Discos 1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
175,00 175,00 177,00 221,00 221,00 221,00 232,00 233,00 232,00 245,00 245,00 246,00 257,00 258,00 257,00
̅ ̅ (
) (m)
Tabela 4: Deformação das Molas em Série.
Associação em Paralelo das Molas 1 e 2. Posição de Equilíbrio: Discos 1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
25,00 27,00 27,00 32,00 34,00 33,00 35,00 36,00 36,00 40,00 40,00 40,00 42,00 42,00 42,00
̅ ̅ (
) (m)
Tabela 5: Deformação das Molas em Paralelo.
Depois de contabilizados todos os dados referentes ao experimento, aplicamos a regressão linear simples utilizando o método dos mínimos quadrados precedido das seguintes equações para determinação das constantes elásticas das molas envolvidas no experimento. As equações utilizadas neste método são as seguintes:
Onde y a força, ou seja, como estamos tratando da análise destas molas em uma situação de repouso a força aplicada às mesmas são iguais ao peso dos discos exercidos nas molas, a equivale as constantes elásticas as quais queremos determinar no caso deste experimento e x são as deformações liquidas das molas encontradas. Tal equação é utilizada comparando-se a mesma com a equação
onde
|⃗|||
|⃗|
Para a determinação do valor de a=k(constante elástica da mola) ao qual desejamos encontrar utilizamos a equação abaixo:
∑∑ ∑∑ ∑
Pra N igual ao número de medidas, as deformações encontradas, ou seja, os equivalendo à força, que igual ao peso exercido pelos discos.
eo
Como a representação correta de uma medida deve vir acompanhada de seus possíveis desvios, encontramos os mesmos pela equação que se segue.
√ ∑ ∑
Para encontrar o valor de, que deve ser teoricamente muito próximo de zero, usamos a seguinte equação:
∑ ∑∑ ∑∑∑
E para achar o valore de seu desvio, valemo-nos da equação (9) apresentada abaixo.
∑ ∑ ∑
Salienta-se que tanta para a, , b e os valores para , e tem o mesmo significado e lembrando também que o valor de D tanto para a quanto para b é dado por
Com a finalidade de se evitar um aumento do número de tabelas, omitimos as tabelas que seriam necessárias para se encontrar os valores de a e b para as MOLA 1, MOLA 2, MOLA 1 e 2 associadas em paralelo e MOLA 1 e 2 associadas em série evidenciando apenas os valores totais, logo:
Molas Mola 1 Mola 2
() () () ( ) 160,33
278,02
9,92
5,69
0,0000284
137,34
278,02
8,58
4,26
0,000837
Tabela 6: Totais das medidas relevantes no cálculo da regressão linear (mínimos quadrados) para as molas 1 e 2.
Agora aplicando tais valores nas equações (6), (7), (8) e (9) encontramos as constantes das molas 1 e 2 juntamente com seus respectivos desvios.
Depois de feito os cálculos, encontramos os seguintes valores para:
Mola 1:
Mola 2:
Feito isso calculamos as constantes elásticas equivalentes referentes às associações das molas em série e em paralelo utilizando as equações (1) e (2) respectivamente. Logo
Agora aplicando, novamente o método de regressão linear, desta vez para as molas associadas em série e em paralelo origina-se a seguinte tabela:
Molas 1 e 2 em: Série Paralelo
() () () ( ) 281,66
278,02
18,32
19,80
0,000593
77,00
278,02
4,79
1,33
0,000372
Tabela 7: Totais das medidas relevantes no cálculo da regressão linear (mínimos quadrados) para as molas 1 e 2 associadas em séries e em paralelo.
Utilizando as equações (6), (7), (8) e (9) novamente, encontramos as constantes elásticas equivalentes das molas 1 e 2 associadas em série e em paralelo. Assim:
Associação em Série das molas 1 e 2:
Associação em Paralelo das molas 1 e 2:
4. Conclusão.
Podemos observar que o objetivo proposto pelo experimento, que foi determinar as constantes elásticas das molas individuais e após feito isso determinar as constantes elásticas das mesmas associadas em série e em paralelo com a finalidade de comparar tais valores, foi atingido. Observamos também que os valores encontrados das constantes elásticas equivalentes das molas 1 e 2 associadas em série e em paralelo pelos dois métodos propostos não tiveram uma discrepância que se pudesse adjetivar de absurda o que revela-nos que no momento do experimento houve o mínimo de erro possível na execução deste. Porém, mesmo pelo pouco erro não podemos desprezar a existência dos mesmos, assim um explicação para os erros neste experimento é que estes podem ter ocorrido durante a construção ou análise do aparato experimental, bem como, por algum erro de cálculo ou aproximação de valores. Portanto, as constantes elásticas das molas 1 e 2 associadas em série e em paralelo, encontradas via regressão linear e cálculo utilizando as equações (1) e (2) estão de acordo com o que foi presenciado na prática no momento em que adicionamos os discos às molas.
Dessa forma, os valores encontrados para as constantes elásticas das molas 1 e 2 individualmente e associadas em série e em paralelo são justificáveis.
5. Referência Bibliográfica.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros . v. 1. 5. ed. Rio de Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, 2006. 840 p
http://www.fisica.ufmg.br/~lab1/roteiros/APD_constante_elastica_associacao_molas.pdf (Acessado em 11/11/2012 às 21h26min). CERQUEIRA, A. H.; KANDUS, A.; VASCONCELOS, M. J. ; REMBOLD, S. B. Guia – Laboratório de Física I. Ilhéus-BA-Brasil: 2009. 23 a 26 p.
