Razonamiento cuantitativo Notas de clase Razonamiento cuantitativo Notas de clase Carlos Javier Rojas Álvarez Barranquilla Colombia, 2014 Rojas Álvarez, Carlos. Razonamiento cuantitativo / Carlos Rojas Álvarez.-- Barranquilla, Col., Editorial Universidad del Norte, 2014. 81 p. : col. ; 24 cm. Incluye referencias bibliográficas en cada uno de los capítulos. ISBN 978-958-741-501-8 (impreso) ISBN 978-958-741-502-5 (PDF) 1. Matemáticas—Enseñanza. 2. Fracciones—Enseñanza. 3. Porcentajes—Enseñanza. I. Tít. (510.71 R741 ed. 23) (CO-BrUNB) www.uninorte.edu.co
Km 5, vía a Puerto Colombia A.A. 1569, Barranquilla (Colombia) © Editorial Universidad del Norte, 2014 © Carlos Javier Rojas Álvarez, 2014 Coordinación editorial Zoila Sotomayor O. Diagramación textos y portada Munir Kharfan de los Reyes Corrección de textos Mabel López Jerez Hecho en Colombia Made in Colombia © Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio reprografico, fónico o informático así como su transmisión por cualquier medio mecánico o electrónico, fotocopias, microfilm, offset, mimeográfico u otros sin autorización previa y escrita de los titulares del copyright. La violación de dichos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual. CONTENIDO INTRODUCCIÓN .............................................................................................1 Unidad 1 FRACCIONARIOS ............................................................................................3
Problema 5 Teoría 6 Aplicaciones 18 Anexo 24 Bibliografía 27 Unidad 2 PORCENTAJES ..............................................................................................29 Problema 31 Teoría 32 Aplicaciones 38 Bibliografía 44
Unidad 3 PROMEDIOS .................................................................................................45 Problema 47 Teoría 48 Aplicaciones 55 Bibliografía 62 UNIDAD 4 VARIACIÓN....................................................................................................63 Problema 65 Teoría 66 Aplicaciones 73 Bibliografía 79
INTRODUCCIÓN En su mayor parte, el propósito de este libro es aplicar algunos tópicos de la matemática a situaciones de la vida cotidiana. Se escribió principalmente para estudiantes universitarios de las carreras de pregrado en Relaciones Internacionales, Ciencias Políticas y Gobierno, Música, Enfermería, Comunicación Social, entre otras, quienes van a estudiar un curso relacionado con el razonamiento cuantitativo, sin descartar que lo puedan utilizar estudiantes de secundaria que hayan cursado previamente el álgebra. En este texto se asume que el razonamiento cuantitativo incluye contar, medir, ordenar, representar y operar la cantidad para describir, interpretar o modelar situaciones de la vida cotidiana. Por lo general, el razonamiento cuantitativo soluciona problemas que involucran las cuatro operaciones básicas de la matemática y no incluye la solución de problemas trigonométricos ni del cálculo diferencial e integral. La metodología consiste en el planteamiento de un problema de la vida cotidiana, al inicio de cada unidad, cuya solución conduce a los conceptos matemáticos de la respectiva sección. Pos-
teriormente se introduce la teoría, luego, las aplicaciones (muchas de las cuales son de textos de artículos periodísticos o de comerciales de la prensa escrita) y se finaliza con la bibliografía consultada. El contenido del libro es el siguiente: Unidad 1: Fraccionarios. Contiene distintos sistemas de representación de los números fraccionarios y la lectura de escalas de medidas. 1 Matemáticas básicas Unidad 2: Porcentaje. En esta unidad se estudia el porcentaje con una representación geométrica. Unidad 3: Promedios. Contiene el promedio aritmético y el promedio ponderado, ambos relacionados con problemas de calificaciones. Unidad 4: Variación. En esta unidad se estudia la variación porcentual y la relación entre la tasa nominal mes vencido (nmv) y la tasa efectiva anual (ea). Cada unidad tiene la siguiente secuencia, identificada con los respectivos íconos:
Problema que introduce la unidad. Pretende explorar los conocimientos previos de los alumnos con respecto al tema. Inicio de la teoría de la respectiva unidad. Aplicaciones o los problemas de la unidad. Final de la unidad. 2 Unidad 1 FRACCIONARIOS Contenido Problema 5 Teoría 6 Aplicaciones 18 Anexo 24 Bibliografía 27
PROBLEMA Observe la fi gura 1: Figura 1 Responda las siguientes preguntas: ¿Cuánto mide el clip en pulgadas? Escriba los cálculos efectuados. R/ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ¿Qué número va en cada división de la escala de la fi gura 1? Justifi que su respuesta. R/ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________
______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 5 Razonamiento cuantitativo TEORÍA El nombre de fracción fue usado por primera vez por Juan De Luna, que tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de aritmética del sabio árabe Al’Khwarizmi. De Luna empleó el término fractio como traducción latina de la palabra árabe al-Kasr, que significa quebrar o romper. La definición de número fraccionario es la siguiente: Definición 1.1 Los números fraccionarios, denotados por Q, son aquellos que se a escriben en la forma , en donde los números a y b son enteros, con b la condición de que b no puede ser cero. En símbolos matemáticos: Q = { x / =a x , a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ } 0
b El número a recibe el nombre de numerador (del latín numerator, el que cuenta, enumera) y el número b el nombre de denominador (del latín denominator, el que denomina, el que designa). Ejemplo 1.1 La figura 2 muestra la separación geométrica de varios fraccionarios: Figura 2 6 Fraccionarios El conjunto de los números fraccionarios, así como las operaciones suma y multiplicación, forman un sistema numérico denominado el sistema de los números racionales. Definición 1.2 Sean un conjunto S con dos operaciones 0 1 y 0 2. El sistema 〈 S, o , o 〉 1 2 es un sistema numérico cuando: 1. cada una de las operaciones 0 1 y 0 2 es conmutativa y asociativa, y 2. una de las operaciones es distributiva con respecto a la otra.
Un número es un elemento del conjunto S en un sistema numérico. El sistema de los números racionales es un sistema numérico y se denota como 〈 Q, +, • 〉. La operación suma (+) se define de la siguiente manera: Definición 1.3 ac Sean y , b 0, dos números fraccionarios homogéneos (tienen el bb mismo denominador). El total de la suma de dos fraccionarios homogéneos se obtiene sumando los numeradores y dejando el mismo denominador. En símbolos: ac Sean y , yd 0, dos números fraccionarios heterogéneos bd (tienen distinto denominador). El total de la suma de dos fraccionarios heterógenos se obtiene: 7
Razonamiento cuantitativo Ejemplo 1.2 La figura 3 muestra la separación geométrica de la suma de fraccionarios homogéneos y heterogéneos: Figura 3 La operación producto ( · ) se define de la siguiente manera: Definición 1.4 ac Sean y , yd 0. Su producto se define: bd Ejemplo 1.3 El producto de se interpreta como la mitad de una tercera
parte, que es un sexto, como lo muestra la figura 4. Figura 4 8
Fraccionarios Para la figura 5, el producto se interpreta como la cuarta quinta parte de dos tercios, que es ocho quinceavos. Figura 5 ¿Qué significa el hecho de que y representen al mismo número racional? Para ello es necesario la siguiente definición de la igualdad o equivalencia de los números racionales: Definición 1.5 ac Sean y , yd
0. si y sólo si bd Ejemplo 1.4 Las fracciones y son iguales o equivalentes porque . La figura 6 muestra la representacion geométrica. Figura 6 9 Razonamiento cuantitativo Propiedad 1.1 Sean a y c , b ≠ 0, d ≠ 0 y k ≠ 0 . a k a = b d bkb Ejemplo 1.5 La propiedad 1.1 asegura que si se multiplican el numerador y el denominador de una fracción por un número k distinto de cero,
la fracción no cambia, es equivalente (amplificación), como lo muestra la figura 7. Figura 7 De igual forma, esta propiedad permite reducir al escribir y cancelar el 3 para obtener . Nuevamente aplicamos la propiedad 1.1: , cancelando el 6 para obtener la fracción , que es equivalente a (simplificación). Otra manera de simplificar se muestra en la figura 8. 10 Fraccionarios Figura 8 Definición 1.6 Un número mixto es aquel que tiene una parte entera y una parte fraccional. Ejemplo 1.6 Las figuras 9 y 10 muestran la representación geométrica de y respectivamente: Figura 9 Figura 10 11
Razonamiento cuantitativo Ejemplo 1.7 La figura 11 muestra la representación geométrica de la conversión de fraccionarios a heterogéneos a una fracción homogénea: Figura 11 La fracción se convierte en el número mixto dividiendo 11 entre 8. El cociente 1 es la parte entera, el residuo es el numerador de la parte fraccional y el divisor es el denominador de la parte fraccional. Ejemplo 1.8 Escriba los números fraccionarios y decimales que van en cada división entre 0 y 1 en la regla de la figura 12. Haga una representación geométrica de cada número fraccionario, explique cómo se obtiene cada uno y haga el dibujo de la escala para escribir los números obtenidos. Figura 12
12 Fraccionarios Solución El primer paso es determinar en múltiplos de qué número está hecha la escala, y su respectiva unidad: 1 cm. El segundo paso es identificar a qué fracción de centímetro le corresponde cada división que hay entre cada centímetro; en este caso, se denomina milímetro. Contamos el número de milímetros que hay en un centímetro y establecemos la siguiente regla de tres: 1 cm —— 10 mm X —— 1 mm Esto quiere decir que cada milímetro es una décima de centímetro (0,1 cm) y que cada división es un múltiplo de 0,1. Por lo tanto, para obtener el número fraccionario de cada división hay que sumarle a cada división para obtener el número fraccionario que le corresponde a la siguiente división y así sucesivamente, empezando por el 0, tal como lo muestra la tabla 1: Tabla 1. Equivalencia de fraccionario y decimal Número Representación
Número División fraccionario geométrica decimal Primera 0,1 + = Segunda 0,2 + = Continúa… 13 Razonamiento cuantitativo Número Representación Número División
fraccionario geométrica decimal Tercera 0,3 + = Cuarta 0,4 + = Quinta 0,5 + = Sexta 0,6 + = Séptima
0,7 + = Octava 0,8 + = Novena 0,9 + = Décima 1 + = 14
Fraccionarios
Finalmente, escribimos encima de cada división el correspondiente número decimal, y debajo el número fraccionario (no simplificado y simplificado), tal como lo muestra la figura 13: Figura 13 Ejemplo 1.9 Escriba los números fraccionarios y mixtos que van en cada división entre 1 y 2 en la regla de la figura 14. Elabore una representación geométrica de cada número fraccionario, explique cómo se obtiene cada uno y haga el dibujo de la escala para escribir los números obtenidos. La escala está en pulgadas. Figura 14 Solución El primer paso es determinar en múltiplos de qué número está hecha la escala y su respectiva unidad: 1 pulg. El segundo paso es determinar a qué fracción de pulgada le corresponde cada división que hay entre cada pulgada (en este caso no tiene nombre). Contamos el número de divisiones que hay en una pulgada y establecemos la siguiente regla de tres: 15 Razonamiento cuantitativo
1 pulg. —— 8 div X —— 1 div Esto quiere decir que cada división es una octava de pulgada: 0,125 pulg. y que cada división es un múltiplo de 1/8. Por lo tanto, para obtener el número fraccionario de cada división hay que sumarle 1/8 a cada división para obtener el número fraccionario que le corresponde a la siguiente división y así sucesivamente, empezando por el 1, tal como lo muestra la siguiente tabla 2: Tabla 2. Representación geométrica de números mixtos Número Número División Representación geométrica fraccionario mixto Primera + Segunda + +
+ + + Tercera + + + Cuarta + + + + Quinta + + Continúa… 16 Fraccionarios Número Número
División Representación geométrica fraccionario mixto + + + Sexta + + + + + + Séptima + + + + +
+ + Octava + + + + + Finalmente, encima de cada división escribimos el correspondiente número fraccionario, y debajo, el número fraccionario mixto, tal como lo muestra la figura 15: Figura 15 17
Razonamiento cuantitativo APLICACIONES 1. Fracciones equivalentes. Determine cuál de las fracciones de la figura 16 son equivalentes y cuáles no. Justifique su respuesta. Figura 16
2. Fracciones equivalentes. En cada una de las siguientes afirmaciones amplifique o simplifique la fracción dada, según sea el caso, y haga una representación geométrica para las dos fracciones. a. 6 de cada 10 medicamentos son falsos. b. 2 de cada 3 colombianos no saben manejar su dinero. c. 4 de cada 10 colombianos están mal alimentados. d. 3 de cada 4 personas comen carne. 3. Pulgadas. En la escala de abajo, en el metro de la figura 17, escriba los números fraccionarios que van en cada división entre 0 y 1, y los números mixtos que van en cada división entre 2 y 3. Elabore el dibujo de la escala para escribir los números obtenidos. La escala está en pulgadas. Figura 17 18
Fraccionarios 4. Segmentos. Trace los segmentos con las longitudes indicadas:
a. 2,5 pulg. i. pulg. b. pulg. j. pulg. c. 3,75 pulg. k. pulg. d. pulg. l. pulg. e. 2,25 pulg. m. pulg. f. 3,5 pulg. n. pulg. g. 1,75 pulg.
o. pulg. h. pulg. 5. Pulgadas. En la regla de la figura 18, escriba los números mixtos que van en cada división de las secciones señaladas. Explique cómo se obtiene cada uno y elabore el dibujo de la escala para escribir los números obtenidos. La regla está en pulgadas. Figura 18 19
Razonamiento cuantitativo 6. Escalas distintas. Las tres reglas de las figuras 19, 20 y 21 es-tán en pulgadas. Si la longitud de un objeto en la regla de la
figura 19 es de de pulgada, ¿cuál es la longitud en las reglas de las figuras 20 y 21? ¿Cuántas divisiones abarca la longitud en cada regla? Haga el dibujo para cada escala y justifique sus respuestas. Figura 19 Figura 20 Figura 21 7. Ordenamiento. Represente cada fracción de la figura 22, to-mando como la unidad diez cuadrados. Luego ordene los números fraccionarios en una escala numérica. Figura 22 20
Fraccionarios 8. Pulgada. Si la regla de la figura 23 tiene una escala en pulgadas, ¿cuáles son los números que van en cada división entre los números 0 y 4? Elabore un dibujo para responder la pregunta. Justifique sus respuestas Figura 23 9. Centímetro. Si la regla de la figura 24 tiene una escala en centímetros, ¿cuáles son los números que van en cada división entre los números 0 y 3? Haga un dibujo para responder la pregunta. Justifique sus respuestas. Figura 24
10. Graduación incorrecta? Determine si en las escalas de medida de las figuras 25, 26 y 27 hay o no algo incorrecto. Justifique sus respuestas. Figura 25 Figura 26 Figura 27 21
Razonamiento cuantitativo 11. Escala. La escala de la figura 28 está en mililitros. ¿A cuánto equivale cada división en mililitros. Si la probeta contiene 40 mililitros, ¿cuántas divisiones abarca? Escriba todos los cálculos y haga un dibujo de la solución. Figura 28 12. Escala. En la figura 29, ¿a cuánto equivale cada división si la escala está en kg? Justifique su respuesta. Figura 29 13. Escala. La escala de la probeta de la figura 30 está en mililitros. ¿A cuánto equivale cada división en mililitros? Si la probeta contiene 3 mililitros, ¿cuántas divisiones abarca? Escriba todos los cálculos y haga un dibujo de la solución. Figura 30 22
Fraccionarios 14. Escala. La unidad de medida de la escala de la figura 31 es la libra. ¿A cuánto equivale cada división en libras? Justifique su respuesta.
Figura 31 15. El peso de la figura 32 tiene dos escalas: una en kilogramos y a otra en libras. Determine el valor de cada división en cada escala. Justifique. Figura 32 16. Escala. A partir de la figura 33, determine cuántas libras tiene un kilogramo. Justifique su respuesta. Figura 33 23 Razonamiento cuantitativo Anexo Propiedades de los números racionales 1. Propiedad clausurativa o cerradura 1.1 La suma de dos números racionales es un número racional. En símbolos: ∀ x, y∈ Q, x + y∈ Q 1.2 El producto de dos números racionales es un número racional. En símbolos: ∀ x, y∈ Q, x ⋅ y∈ Q 2. Propiedad conmutativa 2.1 El orden de los sumandos no altera el total. En símbolos: ∀ x, y∈ Q, x + y = y + x 2.2 El orden de los factores no altera el producto. En
símbolos: ∀ x, y∈ N, x ⋅ y = y ⋅ x 3. Propiedad asociativa 3.1 El total de una suma no varía por la manera en que se agrupen los sumandos. En símbolos: ∀ x, y, z Q ∈ , x + ( y + z) =( x + y)+ z 3.2 El producto de una multiplicación no varía por la manera en que se agrupen los factores. En símbolos: ∀ x, y, z Q ∈ , x ⋅( y ⋅ z) =( x ⋅ y)⋅ z 24 Fraccionarios 4. Propiedad modulativa de la multiplicación Al multiplicar un número racional por el uno, se obtiene el mismo número racional. En símbolos: ∀xQ ∈ ,∃1∈ Q / x ⋅1 = 1⋅ x = x 5. Propiedad distributiva Para multiplicar una suma indicada por un número, se multiplica cada uno de los sumandos por el número y se suman los productos parciales. Es decir, la multiplicación se distribuye sobre la suma. En símbolos: ∀ x, y, z Q ∈ , x ⋅( y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z 6. Propiedad modulativa de la multiplicación
Al sumar un número racional con el cero, se obtiene el mismo número racional. En símbolos: ∀ x∈ Q,∃0∈ Q / x + 0 = 0 + x = x 7. Propiedad del inverso aditivo Al sumar un número racional con su opuesto aditivo, el total es cero (0). En símbolos: ∀ x∈ Q,∃(− a)∈ ZQ / x + (− x) = (− x) + x = 0 25 Razonamiento cuantitativo 8. Propiedad del inverso multiplicativo El producto de todo número racional con su inverso multiplicativo es uno. En símbolos: 1 11 ∀ x∈ Q, ∃ ∈ Q / x ⋅ = ⋅ x =1 x xx Definición 1.7 Todo número racional tiene una expresión decimal finita o periódica. Si p/q es un número racional positivo, se dice que
a 0 , a 1 a 2 … an, 0 ≤ ai ≤ 9 , i ≥ 1 , ai enteros es una aproximación decimal de p/q hasta el orden n por defecto si a + 1 a p a1 a 1− a 1 n n n a+ ++ ≤ < + ++ + 0 ...
a0 ... n n1 − n 10 10 q 10 10 10 Si cn = a 010 n + … +an equivale a cnq ≤ p · 10 n < cnq + q. Por tanto, cn , y en consecuencia las cifras an , se obtiene por el algoritmo de división p · 10 n = cnq + rn 0 ≤ rn < q. Si todos los ci son cero de un lugar en adelante, se dice que la expresión decimal es finita. Si este no es el caso, se obtiene una expresión de la forma a 0 , a 1 … ap b 1 … bq b 1 … bq que se denomina periódica, con periodo b 1 … bq . 26 Fraccionarios
BIBLIOGRAFÍA Benoit, P.; Chemla, K. y Ritter, J. (1992). Histoire de fractions, fractions d’ histoire. Berlín: Birkhäuser. Britton, J. R. y Bello, I. (1982). Matemáticas contemporáneas. 2.a ed. México: Harla. Campiglio, A. y Eugeni, V. (1992). De los dedos a la calculadora: la evolución del sistema de cálculo. Barcelona: Paidós. Corbalán, F. (2006). La matemática aplicada a la vida cotidiana. 8.a ed. Barcelona: Grao. Ortega, J. (1993). Introducción al análisis matemático. Barcelona: Labor. Taylor, H. y Wade, T. (1989). Matemáticas básicas con vectores y matrices. México: Limusa. 27 Unidad 2 PORCENTAJES Contenido Problema 31 Teoría 32 Aplicaciones
38 Bibliografía 44
PROBLEMA El precio de un aerosol para combatir los ácaros es de $12.800, con un descuento del 20% incluido. Responda las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el precio del aerosol sin el descuento? Justifique su respuesta. R/ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________
______________________________________________________ ______________________________________________________ 2. ¿Cuál es la cantidad de dinero ahorrado? Escriba los cálculos efectuados. R/ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 3. ¿Cómo comprueba las respuestas anteriores? R/ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 31 Razonamiento cuantitativo TEORÍA
En la figura 34 hay 100 cuadrados, de los cuales uno está sombreado: Figura 34 Supongamos que tenemos una cantidad total C representada por los 100 cuadrados de la figura 34. En ese cuadrado tenemos una cantidad parcial P, representada por el cuadrado sombreado. ¿Qué porcentaje representa el cuadrado sombreado del cuadrado completo? Para calcularlo hacemos la siguiente regla de tres: 100 cuadrados —— 100% 1 cuadrado —— X Si reemplazamos “100 cuadrados” por C (cantidad total) y “1 cuadrado” por P (cantidad parcial) en la regla de tres, obtenemos la siguiente definición: 32 Porcentajes Definición 2.1 Sea C una cantidad y P una cantidad parcial de C. El porcentaje, x%, que tiene P de C se define con la siguiente fórmula: La palabra porcentaje se deriva de “por ciento”. El símbolo % representa “por ciento”. Por lo tanto, el 1% significa dividir la unidad en 100 partes y una
de esas partes se denota Porcentaje es una palabra derivada del inglés (lo que se denomina un anglicismo) porcentaje = tanto por ciento. Esta palabra inglesa a su vez se deriva del latín per centum = por ciento. Luego, procede del latín, pero con una estación inglesa. Hay equivalencias entre fraccionarios, decimales y porcentajes. Algunas se muestran en la tabla 3: Tabla 3. Equivalencias entre fracción, decimal y porcentaje Fracción Decimal Porcentaje Representación geométrica 0,05 5% Continúa… 33 Razonamiento cuantitativo Fracción Decimal Porcentaje Representación geométrica
0,1 10% 0,2 20% 0,25 25% 0,40 40% 0,50 50% Continúa… 34 Porcentajes Fracción Decimal Porcentaje Representación geométrica 0,6 60%
0,75 75% 0,8 80% Ejemplo 2.1 Calcule la cantidad de ml de alcohol que tienen 80 ml de una solución de agua y alcohol con una concentración al 40% de alcohol. Haga una representación geométrica del problema. Solución Para saber cuántos ml de alcohol tiene la solución con una concentración al 40% de alcohol planteamos la siguiente regla de tres: 80 ml —— 100% X —— 40% R/ La solución tiene 32 ml de alcohol. 35 Razonamiento cuantitativo La representación geométrica de la solución del problema es la siguiente: Los 80 cuadrados pequeños de la figura 35 representan los 80 ml, que son el
100%, y los cuadrados grises de la figura 36 representan los 32 ml de alcohol (40% de 80 ml) que tienen los 80 ml de la solución: Figura 35 Figura 36 Ejemplo 2.2 Un interés es un beneficio que se obtiene al prestar una cantidad de dinero (el capital) durante un cierto tiempo. Es decir, el interés ( I) es la diferencia entre el monto final ( M) y el capital ( C): I = M – C. Se denomina tasa de interés al tanto por ciento al que está inver-tido un capital en una unidad de tiempo (por lo general se toma como unidad de tiempo el año). La tasa de interés se representa por i y se expresa como un porcentaje (3%, por ejemplo) o como su equivalente en forma decimal (0,03). En los cálculos normal-mente se utiliza la forma decimal. El interés simple es el que se obtiene cuando de los intereses producidos durante todo el tiempo que dure una inversión se debe únicamente al capital inicial (los intereses se retiran). 36 Porcentajes El interés simple I que produce un capital es directamente propor-cional al capital inicial C, al tiempo t y a la tasa de interés i: I = C · i · t Una persona abre un cdt con $2.000.000 de capital durante tres meses y con una tasa de interés nominal anual del 3,6%. ¿Cuál es
el interés que recibe al cabo de los tres meses? Solución En este caso: C = $2.000.000 La tasa de interés anual es de 3,6, por lo que la tasa de interés mensual, en su representación decimal, es t=3 Reemplazando en la fórmula de interés simple: I = $2.000.000(0,003)(3) = $18.000 La persona recibiría $18.000 de intereses, pero el Gobierno le aplica 7% de retención en la fuente sobre esos intereses, por lo que obtiene: 0,93($18.000) = 16.740 R/ Al cabo de los tres meses la persona recibe $16.740 de intereses. 37
Razonamiento cuantitativo APLICACIONES 1. Equivalencia. Convierta cada porcentaje de la figura 37 en el respectivo fraccionario simplificado y haga una representación geométrica para cada uno.
Figura 37 2. Equivalencia. Convierta cada porcentaje de la figura 38 en el respectivo fraccionario simplificado y haga una representación geométrica para cada uno. Figura 38 38
Porcentajes 3. Equivalencia. En círculo de la figura 39, escriba el porcentaje que representa el área de la región sombreada con respecto al área del círculo. Figura 39
4. Equivalencia. En las representaciones geometricas de la figura 40, escriba el porcentaje que representa el área de la región sombreada con respecto al área de la figura. Figura 40 5. Oferta. ¿Cuál es el porcentaje de descuento en el precio del te-levisor Led Full HD que anuncia el comercial de la figura 41? Figura 41 39
Razonamiento cuantitativo
6. ¿Ofertas reales? Determine la veracidad o la falsedad de las ofertas anunciadas en los comerciales de la figura 42. ¡Vive la magia de Disney en Orlando! Higiene facial masculina con 3 noches con Hotel y Vuelos tratamiento y masaje de espalda PRECIO REGULAR PRECIO REGULAR 49% $3.304.200 75% $150.000 DCTO. PAGA SOLO DCTO. $1.698.000 PAGA SOLO $38.000 La oferta incluye: Tiquete aéreo vía Avianca (ida y vuelta) La oferta incluye: Higiene facial masculina con peeling alojamiento 4 días 3 noches en acomodación doble en el ultrasónico + microdermoabrasión + extracción de hotel Meliá Orlando Suite at Celebration y desayuno buffet.
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comercial sobre clasificados de un periódico. Figura 45 a. ¿Cuál es el valor de un aviso de 14 palabras con fondo gris publicado durante seis días? b. ¿Cuál es el valor de un aviso con 10 palabras, servicio de anunciador y publicado durante siete días? 10. Interés simple. Un interés. Una persona adquiere un cdt por tres meses, con un capital de $2.000.000 y a una tasa de interés nominal anual de 3,125577%. ¿Cuál es el interés que recibe la persona al cabo de los tres meses, teniendo en cuenta que el Gobierno descuenta 7% sobre los intereses? ¿Cuál es la tasa de interés real? 11. Interés simple. Una persona adquiere un cdt por seis meses, con un capital de $5.000.000 y a una tasa de interés nominal anual de 3,125577%. ¿Cuál es el interés que recibe la persona al cabo de los seis meses, teniendo en cuenta que el Gobierno descuenta 7% sobre los intereses? ¿Cuál es la tasa de interés real? 41 Razonamiento cuantitativo 12. Interés simple. Una persona recibió $22.692 de intereses por un cdt de
un mes y $8.000.000 de capital. ¿Cuál es la tasa de interés mensual? Recuerde que a los intereses recibidos ya se les descontó el 7% por retención en la fuente. 13. Interés simple. Una persona recibió $768.390 de intereses por un cdt de seis meses y $44.863.294 de capital. ¿Cuál es la tasa de interés mensual? Recuerde que a los intereses recibidos ya se le descontó el 7% por retención en la fuente. 14. Descuentos. El comercial de la figura 46, anuncia los porcentajes de descuentos en comestibles. Si el precio de una libra de carne es de $6.000 y el de lulo es de $3.000, y le hacen los descuentos respectivos de la oferta, ¿cuál es el porcentaje de descuento por la compra de la libra de carne y de lulo? Figura 46 15. Descuentos. El comercial de la figura 45, anuncia dos ofertas. Si el precio de una plancha es de $40.000 y el de un bóxer es de $8.000, ¿cuál es el porcentaje de descuento por la compra de la plancha y el bóxer? Figura 47 42
Porcentajes 16. Descuentos. Con respecto a los descuentos anunciados en la figura 48, ¿cuál de las dos opciones es la más económica si usted compra una droga el 1.º o el 15 de un mes haciendo uso de la oferta? Figura 48
a. Al precio de la droga le hacen 10% de descuento y al precio resultante le hacen el otro 10%. b. Al precio de la droga le hacen el 20% de descuento. 17. Descuento más iva. ¿Cuál de las siguientes dos opciones es más económica? Al precio original le hacen el 10% de descuento y luego le adicionan el 16% de iva, o al precio original le aplican el 16% de iva y luego le hacen el 10% de descuento. Justifique su respuesta. 43 Razonamiento cuantitativo 18. iva. Un accesorio para celular tiene un precio de $10.000 sin el iva del 16%. ¿Cuál es el precio del accesorio con el iva? Haga una representación geométrica del problema. 19. iva. Un almacén tiene la promoción que anuncia en el comercial de la figura 49: Un par de zapatos tiene un precio de $34.800, con el iva del 16% incluido. ¿Cuál es el precio que usted debe pagar por el par de zapatos? Haga una representación geométrica del problema. Figura 49 20. iva. El precio de un teléfono celular, con el iva del 16% incluido, es de $255.200. ¿Cuál es el precio sin el iva?
BIBLIOGRAFÍA Becerra, J. (2005). Temas selectos de matemáticas: la amena forma de aprender más. México: Universidad Nacional Autónoma de México. Casteleiro, J. (2008). La matemática es fácil: manual de matemática básica para gente de letras. Madrid: esic. Corbalán, F. (2006). La matemática aplicada a la vida cotidiana. 8.a ed. Barcelona: Grao. Escudero, R. y Rojas C. (2012). Matemáticas Básicas. 3.a ed. Barranquilla: Ediciones Uninorte y Ediciones de la U. Miller, Ch.; Heeren, V. y Hornsby Jr, J. (1999). Matemática: razonamiento y aplicaciones. 8.a ed. México: Pearson. 44 Unidad 3 PROMEDIOS Contenido Problema 47 Teoría 48 Aplicaciones 55
Bibliografía 62 PROBLEMA En un curso hay dos evaluaciones: La primera consiste en un examen escrito que se realiza en la mitad del semestre y representa la cuarta parte de la nota definitiva del curso. La segunda consiste en un trabajo que se debe sustentar, al final del semestre, y representa las tres cuartas partes de la nota definitiva del curso. Un alumno obtuvo 4,0 en el examen escrito y 2,0 en la sustentación del trabajo. Responda las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la calificación definitiva del curso? Escriba las operaciones efectuadas. R/ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________
______________________________________________________ 2. ¿Cambiaría la calificación definitiva del curso si la calificación del examen escrito representa la mitad de la calificación definitiva y la del trabajo sustentado también? ¿Por qué? R/ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ 47 Razonamiento cuantitativo 3. ¿Puede hacer una representación geométrica de las operaciones aplicadas en las respuestas 1 y 2 y de la solución del problema? R/ TEORÍA Definición 3.1
La medida de tendencia central denominada media aritmética o promedio (conocida también como la media) de un conjunto de datos se calcula sumando todos los datos del conjunto y dividendo el total entre el número de datos. Lo anterior se expresa en la siguiente fórmula: Es decir, la media aritmética de un conjunto de números se calcula sumando los números y dividiendo después entre la cantidad de números. 48
Promedios Ejemplo 3.1 Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en un curso: 6, 3, 8, 6 y 4. ¿Cuál es la calificación definitiva si cada una tiene el
mismo porcentaje? Solución Se puede aplicar la fórmula de la media en este problema porque cada calificación tiene el mismo porcentaje, es decir, 20%: R/ La calificación definitiva de la asignatura es 5,4. Una representación física de la media se obtiene si pensamos en una recta numérica balanceada en un punto de apoyo. Sobre cada número colocamos un peso (un cubo). En la figura 50 hay un peso sobre el 3, el 8 y el 4, y dos en el 6, ya que en el conjunto de calificaciones hay dos 6. La media es el valor que equilibra los pesos sobre la recta numérica, en este caso el 5,4. Figura 50 Representación física de la media (Johnson, R. y Kuby, P. [1999]). 49 Razonamiento cuantitativo Ejemplo 3.2 Las calificaciones de un alumno en los tres primeros parciales son 3,2; 2,8 y 3,5. ¿Qué calificación mínima debe obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0 y cada examen tiene el mismo porcentaje?
Solución Se puede aplicar la fórmula de la media en este problema porque cada calificación tiene el mismo porcentaje, es decir, 25%. Lo primero que debemos hacer es introducir la variable: sea x la calificación del examen final. Segundo: Plantear la ecuación: , 32+8 , 2+5 , 3+x=3 4 Tercero: Resolver la ecuación: , 32+8 , 2+5 , 3+x=3
4 Reemplazando 3,2 + 2,8 + 3,5 por 9,5: 5 , 9+x=3 4 Trasponiendo el 4, multiplicando a 3: 9,5 + x = 12 Trasponiendo el 9,5, restando: x = 2,5 50 Promedios Cuarto: Comprobar la respuesta: , lo cual es verdadero, por lo tanto la respuesta obtenida es la solución al problema. Quinto: Responder a la pregunta del problema: el alumno debe obtener en el examen final una calificación mínima de 2,5 para aprobar la asignatura con 3,0. En muchas situaciones no todos los datos tienen la misma im-
portancia. Esta importancia o valor es expresada por un número adicional denominado peso o ponderación. Así, por ejemplo, de tres calificaciones, las dos primeras pueden tener un peso de 0,3 cada una, y la última, un peso de 0,4. En este caso, la suma de los pesos es 1. Definición 3.2 Sean x 1, x 2, x 3, … xn un conjunto de datos con sus respectivos pesos p 1, p 2, p 3, … pn . La media ponderada de los datos x 1, x 2, x 3, … xn, simbolizada por Mp , está dada por: ∑nx⋅p x⋅ ... 1 p+ 1 x⋅ 2 p+ 2 x⋅ 3
p++ 3 x⋅ i i p n n i= M= =1 p p+ ... 1 p+ 2 p++ 3 pn
∑ n pi i=1 51 Razonamiento cuantitativo Ejemplo 3.3 Un alumno obtuvo en el primer parcial 4,2; en el segundo, 2,8 y en el tercero 3,4. Si los porcentajes de los parciales son 20%, 25% y 30%, respectivamente, ¿cuál debe ser la mínima calificación a obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0? Solución En este problema los pesos son los porcentajes de los parciales y del examen final. Sea x la calificación del examen final. El examen final tiene un porcentaje del 25% porque la suma de los porcentajes de los tres primeros es 75% y el total debe ser 100%. Por lo tanto, los datos con sus respectivos pesos son: xi pi 4,2 0,2
2,8 0,25 3,4 0,3 x 0,25 Reemplazando en la fórmula de la media aritmética ponderada: Efectuando la suma: Efectuando los productos: 0,84 + 0,7 + 1,02 + 0,25 x = 3,0 Realizando la suma: 2,56 + 0,25 x = 3,0 Restando 2,56: 0,25 x = 0,44 52 Promedios Dividiendo por 0,25: x = 1,76 Comprobamos la respuesta obtenida: ,
lo cual es verdadero. R/ La mínima calificación que el alumno debe obtener en el examen final para aprobar la asignatura es 1,8. En el siguiente ejemplo la suma de los pesos no es uno: Ejemplo 3.4 Un alumno matriculó cinco cursos en el semestre: el C1 tiene tres créditos y su calificación definitiva es 3,7; el C2 tiene cuatro créditos y su calificación definitiva es 4,1; el C3 tiene tres créditos y su calificación definitiva es 4,6; el C4 tiene cuatro créditos y su calificación definitiva es 3,2, y el C5 tiene dos créditos y su calificación definitiva es 3,4. ¿Cuál es el promedio de las calificaciones del semestre? Solución En este problema los pesos son los créditos de los cursos. Por lo tanto, los datos con sus respectivos pesos son: xi pi 3,7 3 4,1 4
4,6 3 3,2 4 3,4 2 53 Razonamiento cuantitativo Reemplazando en la fórmula de la media aritmética ponderada: 7 , 3 ( 3 )+ ( 4 ) 1, 4+(
3 ) 6 , 4+4, 3 () 2+ , 3 ( 2 ) 4 M= p 3+4+3+4+2 Efectuando la suma: Efectuando los productos: Realizando la suma:
Realizando la división: R/ El promedio de las calificaciones del semestre es 3,8. 54 Promedios APLICACIONES 1. Promedios. Un alumno obtuvo en un curso las siguientes tres calificaciones: 4,0; 2,5 y 5,0. a. Si la primera representa la quinta parte de la calificación definitiva; la segunda también y la tercera las tres quintas partes, ¿cuál es la calificación definitiva del curso? Haga una representación geométrica para responder la pregunta. b. ¿Cambia la calificación definitiva si cada una de las calificaciones representa la misma fracción de la calificación definitiva? Si cambia, calcúlela; si no, explique por qué. 2. Promedios. Un alumno obtuvo en un curso las siguientes tres calificaciones: 4,0; 4,0 y 1,0. a. Si la primera representa la mitad de la calificación definitiva; la segunda, la cuarta parte, y la tercera también, ¿cuál es la calificación definitiva del curso? Haga una re-
presentación geométrica para responder la pregunta. b. ¿Cambia la calificación definitiva si cada una de las calificaciones representa la misma fracción de la calificación definitiva? Si cambia, calcúlela; si no, explique por qué. 3. Calificación. Un alumno obtuvo en los tres primeros exámenes de una asignatura las siguientes calificaciones: 2,8; 3,5 y 4,0. ¿Qué calificación mínima debe sacar en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0 y cada una de las cuatro calificaciones tienen el mismo porcentaje? ¿Y si el alumno necesita una calificación definitiva de 4,0 para participar en una convocatoria de la institución donde estudia? 55 Razonamiento cuantitativo 4. Calificación. Un alumno obtuvo en los tres primeros exámenes de una asignatura las siguientes calificaciones: 1,0; 3,0 y 2,5. ¿Qué calificación mínima debe obtener en el examen final si la asignatura con 3,0 y cada una de las cuatro calificaciones tienen el mismo porcentaje? 5. Calificación. Un alumno obtuvo en los tres primeros exámenes de una asignatura las siguientes calificaciones: 3,8; 4,5 y
4,0. ¿Qué calificación mínima debe obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0 y cada una de las cuatro calificaciones tienen el mismo porcentaje? ¿Y si el alumno necesita una calificación definitiva de 4,5 para participar en una convocatoria de la institución donde estudia? 6. Calificación. Un alumno obtuvo en el primer parcial 4,5; en el segundo, 2,0 y en el tercero 3,2. Si los porcentajes de los parciales son 15%, 25% y 30%, respectivamente, ¿cuál es la mínima calificación que debe obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0? ¿Y si el alumno necesita una calificación definitiva de 3,8 para participar en una convocatoria de la institución donde estudia? 7. Calificación. Un alumno obtuvo en el primer parcial 1,2; en el segundo, 2,8 y en el tercero 3,2. Si los porcentajes de los parciales son 25%, 30% y 25%, respectivamente, ¿cuál es la mínima calificación que debe obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0? 8. Calificación. Un alumno obtuvo en el primer parcial 4,0; en el segundo, 3,8 y en el tercero, 4,4. Si los porcentajes de los parciales son 30%, 20% y 25%, respectivamente, ¿cuál es la
mínima calificación que debe obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0? 9. Calificación. Un alumno obtuvo en el primer parcial 2,0; en el segundo, 3,5 y en el tercero 3,0. Hizo tres exámenes cortos y obtuvo las siguientes calificaciones: 2, 4 y 5. Si el primer 56 Promedios parcial vale el 10%, el segundo el 20%, el tercero el 30%, y el promedio de los exámenes cortos es 15%, ¿qué calificación mínima debe obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0? 10. Calificación. Un alumno obtuvo en el primer parcial 4,5; en el segundo, 3,0 y en el tercero 1,0. Hizo cuatro exámenes cortos y obtuvo las siguientes calificaciones: 5, 5, 4 y 1. Si el primer parcial vale el 10%, el segundo el 25%, el tercero el 30% y el promedio de los exámenes cortos el 10%, ¿qué calificación mínima debe obtener en el examen final si la asignatura se aprueba con 3,0? 11. Promedio semestral. Un alumno matriculó seis cursos en el semestre: El C1 tiene cinco créditos y su calificación definitiva
es 3,9; el C2 tiene tres créditos y su calificación definitiva es 4,5; el C3 tiene cuatro créditos y su calificación definitiva es 3,1; el C4 tiene tres créditos y su calificación definitiva es 5,0; el C5 tiene dos créditos y su calificación definitiva es 4,4, y el C6 tiene tres créditos y su calificación definitiva es 3,3. ¿Cuál es el promedio de las calificaciones del semestre? 12. Calificación. El diagrama de barras de la figura 51 muestra las calificaciones de un grupo de alumnos en una prueba de matemáticas. Figura 51 57 Razonamiento cuantitativo Calcule el promedio de la prueba obtenido por el grupo de alumnos. (problema y figura tomados de la Guía de razonamiento lógico). 13. Energía eléctrica. Una empresa de servicio eléctrico de una ciudad hace la lectura del contador de luz de un usuario y obtiene los siguientes datos: Fecha Lectura 27 de agosto
00553 Kwh 30 de agosto 00571 Kwh 4 de septiembre 00605 Kwh El recibo de pago le llegó a usuario con una lectura de 00638 Kwh, realizada el 9 de septiembre, pero la empresa no dejó constancia de ella. Esta situación motivó al usuario a reclamar a la empresa, alegando que le estaban cobrando de más. ¿Tiene la razón el usuario? Justifique su respuesta. 14. Promoción. Una supertienda tiene las siguientes promociones de papel higiénico, todas en triple hoja: a. 16 rollos a $9.900. Cada rollo tiene 26 m. b. 15 rollos a $12.500. Cada rollo tiene 33 m. ¿Cuál de las dos opciones es la más económica? Explique su respuesta. 15. Dengue. El 8 de junio del 2013 salió publicado en un periódico de la ciudad el número de casos de dengue en el departamento del Atlántico, tal como lo muestra el texto de la figura 52. Calcule el promedio de los casos de dengue y
de dengue grave en el periodo 2008-2012 y compárelo con los respectivos casos de dengue hasta la fecha citada. ¿La 58
Promedios Secretaría de Salud Departamental tiene motivos para estar preocupada? ¿Por qué? Figura 52 16. Acciones. La fi gura 53 muestra los precios de las acciones de un banco. Calcule el precio promedio de la acción en los periodos 2000-2004 y 2005-2009. Precio de la Acción $1.540 728% $770 $640 $658 $643 $484 $186 $145
$164 $185 $214 $90,5 1999* 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 7 feb/2011 Figura 53 59 Razonamiento cuantitativo 17. Accidentes. La figura 54 muestra una información acerca de víctimas fatales en accidentes de tránsito en Barranquilla y un comparativo con otras ciudades.
Figura 54 a. ¿Cuál es el promedio de víctimas fatales en accidentes en Barranquilla en el período 2011-2013? b. ¿Cuál es el promedio de accidentes entre Bogotá, Cartagena y Barranquilla en el año 2012? c. ¿Cuál es el promedio de accidentes en Barranquilla en el período 2008-2013? 18. Promoción. Una supertienda tiene dos presentaciones de una crema dental: a. Una caja de tres tubos de 75 ml cada uno. El precio de la caja es de $10.800. El rótulo en el estante afirma que el valor por cm3 es de $72. b. Una caja con un tubo de 150 ml con un precio de $7.500. ¿Cuál de las dos opciones es la más económica? Justifique su respuesta. 60 Promedios 19. Precio medio. Usted compró en el mercado 3 libras de yuca a $600 la libra, pero luego se acordó que necesitaba más yuca y compró otras 2 en otro lugar, a $500 la libra. ¿Cuál es el precio
medio de la compra de yuca? 20. Fondo de empleados. En una empresa desean crear un fondo de empleados. Para ello, cada uno de los empleados debe aportar la misma cantidad de dinero mensualmente. El diagrama de barras de la figura 55 muestra la distribución salarial de quienes van a crear el fondo (problema tomado del Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación, icfes). Figura 55 Al observar el diagrama de barras, alguien sugiere que el aporte mensual de cada empleado debe ser el promedio del salario mensual de los empleados que van a formar parte del fondo. El tesorero responde acertadamente que seguir esta sugerencia no es conveniente porque: a. La mayoría de los empleados no lograrían cubrirlo con su salario. b. Es un valor bajo respecto a los salarios de algunos empleados. 61 Razonamiento cuantitativo
c. Los empleados con menor salario tendrían que aportar gran parte del sueldo. d. Este valor solo está al alcance de los empleados con mayor salario. BIBLIOGRAFÍA Fernández, C. y Fuentes F. (1995). Curso de estadística descriptiva: teoría y práctica. Barcelona: Ariel. Guía Examen de razonamiento lógico. Disponible en la web: http://misitio.telecom.com.co/usuarios/negretdanielr/guias/ Razonamiento_l__gico.pdf icfes. Disponible en la web: www.icfes.gov.co/.../doc.../194-cuadernillo-de-pruebas-saber-11?... Johnson, R. y Kuby, P. (1999). Estadística elemental: lLo esencial. 2.a ed. México: Thomson. Weimer, R. (2003). Estadística. México: cecsa. 62 Unidad 4 VARIACIÓN Contenido Problema
65 Teoría 66 Aplicaciones 73 Bibliografía 79 PROBLEMA La siguiente tabla 4 muestra el salario mínimo en Colombia en los años 2008-2014: Tabla 4. Salario mínimo en Colombia Año Salario mínimo Aumento en porcentaje 2008 $461.500 2009 $496.900 2010
$515.000 2011 $535.600 2012 $566.700 2013 $589.500 2014 $616.000 Responda las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el aumento en porcentaje para los años 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 y 2014? Complete la tabla 4. 2. ¿Cuáles son los cálculos para hallar cada aumento porcentual? 65 Razonamiento cuantitativo TEORÍA Definición 4.1 El porcentaje de aumento o disminución en un valor de un momento a otro está dado por la siguiente fórmula de variación porcentual:
valor final − cambio % = valor inicial ×100% valor inicial Esta fórmula calcula la razón de la diferencia de dos valores (final e inicial) entre el valor inicial, multiplicando el cociente por 100 para expresarlo en forma de porcentaje. Ejemplo 4.1 En Colombia, el salario mínimo en el año 2005 era de $381.500 y en el año 2012, de $566.700. ¿Cuál es la variación porcentual del salario mínimo del 2005 al 2012? Solución El valor inicial es el salario mínimo en el 2005: $381.000. El valor final es el salario mínimo en el 2012: $566.700. Reemplazando en la fórmula de cambio porcentual: 66 Variación Hay un incremento del 48,74% del salario mínimo del 2005 al 2012. En otras palabras, el salario mínimo del 2012 es 48,74% mayor que el salario mínimo del 2005.
La frase mayor que significa “sumado a” en este contexto. Por lo tanto, para verificar la respuesta adicionamos el 48,74% del valor inicial al valor inicial, y el total debe ser el valor final: Para que dé $566.700 se deben usar todos los dígitos decimales de la calculadora. R/ La variación porcentual del salario mínimo del 2005 al 2012 es de 48,74%. El siguiente ejemplo muestra la variación porcentual en términos literales: Ejemplo 4.2 L LL L El perímetro de un cuadrado se calcula con la fórmula P = 4 L, donde L es la longitud del lado. Si el lado de un cuadrado aumenta 20%, ¿cuál es la variación porcentual del perímetro? Solución Si el lado del cuadrado inicial es L, entonces el perímetro inicial es: Pi = 4 L. 67 Razonamiento cuantitativo Como el lado del cuadrado aumenta 20%, entonces el lado del
cuadrado final es Lf = Li + 0,2 Li = 1,2 Li y su perímetro es Pf = 4 (1,2 Li) = 4,8 Li. Reemplazando el perímetro final, Pf, y el perímetro inicial, Pi, en la fórmula de variación porcentual: Para verificar la respuesta, el perímetro final del cuadrado debe ser 20% mayor que el perímetro inicial, por lo tanto: R/ La variación porcentual del perímetro es del 20%. 68 Variación En los medios escritos, radiales y televisivos son usuales los términos interés efectivo anual y tasa o interés nominal en los comerciales de los bancos para préstamos o en los comerciales de compra de autos. El siguiente ejemplo muestra la diferencia que hay entre estas dos tasas de interés: Ejemplo 4.3 Supongamos que usted va a depositar $100 en un banco para abrir una cuenta de ahorro especial y el banco le da dos posibilidades en el pago de intereses. En ambas usted se compromete a
no sacar ni depositar durante un año. En la primera le pagan un interés del 12% anual. En la segunda, el 12%, pero distribuido en 1% mensual. ¿Cuál de las dos le ofrece un monto mayor al final del año? SOLUCIÓN En la primera opción, en la que le ofrecen el 12% anual, tendría al final del año el siguiente monto M: Es decir, al final del año el banco le pagaría $112. El interés pagado es la diferencia entre el monto final y el capital, esto es, $12. Esta se conoce como interés simple porque el interés obtenido depende solamente del capital Con la segunda opción, en la que el banco pagaría 1% mensual por los $100, el monto M por mes se obtiene multiplicando el monto del mes anterior por 1,01, como lo muestra la siguiente tabla 5: 69 Razonamiento cuantitativo Tabla 5. Monto por mes Mes Monto = Capital + Interés, en pesos
Fórmula 0 100 100 (1 + 0,01)0 1 10 + 100 (0,01) = 101 100 (1 + 0,01)1 2 101 + 101 (0,01) = 102,01 100 (1 + 0,01)2 3 102,01 + 102,01 (0,01) = 103,0301 100 (1 + 0,01)3 4 103,0301 + 103,0301 (0,01) = 104,060401 100 (1 + 0,01)4 5 104,060401 + 104,060401 (0,01) = 105,101005 100 (1 + 0,01)5 6
105,101005 + 105,101005 (0,01) = 106,1520151 100 (1 + 0,01)6 7 106,1520151 + 106,1520151 (0,01) = 107,2135352 100 (1 + 0,01)7 8 107,2135352 + 107,2135352 (0,01) = 108,2856706 100 (1 + 0,01)8 9 108,2856706 + 108,2856706 (0,01) = 109,3685273 100 (1 + 0,01)9 10 109,3685273 + 109,3685273 (0,01) = 110,4622125 100 (1 + 0,01)10 11 110,4622125 + 110,4622125 (0,01) = 111,5668347 100 (1 + 0,01)11 12 111,5668347 + 111,5668347 (0,01) = 112,682503 100 (1 + 0,01)12
Es decir, que con la segunda opción el banco le pagaría $112,68 al final del año. La gráfica monto vs mes es la figura 56: Figura 56 La figura 56 muestra cómo el monto va aumentado a medida que transcurren los meses. Como al final del año, con esta opción, el banco pagaría $112,68, esta es mejor que la primera, en la que el monto final era de $112. 70 Variación Estos resultados indican que no es lo mismo un interés del 12% anual a un interés del 1% mensual durante un año, lo cual permite establecer la diferencia entre tasa nominal y tasa efectiva anual. Cuando se afirma que la tasa anual es del 12%, pero que la tasa mensual es de 1%, esta tasa es nominal. Pero, como vimos en la tabla 4, capitalizar 12 veces a 1% en realidad equivale al 12,68% anual; esta es la tasa efectiva anual. La diferencia entre el monto final y el capital es, en este caso, $12,68, y se denomina interés compuesto, porque al final de cada mes el monto que se tiene es el monto del mes anterior más los intereses producidos por ese monto durante el mes (los intereses se reinvierten).
Del ejemplo anterior podemos deducir la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal aplicando la definición 2.2 de cambio porcentual al capital inicial: Definición 4.2 La tasa efectiva anual (EA) correspondiente a una tasa nominal mensual i se obtiene dividiendo la diferencia del monto final y el capital inicial entre el capital inicial, y este cociente se multiplica por 100: El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de la definición 4.2: 71 Razonamiento cuantitativo Ejemplo 4.4 ¿Cuál es la tasa efectiva anual (ea) equivalente a la tasa del 1,4% nominal mes vencido (nmv)? Solución La tasa nominal mensual es del 1,4%. Aplicando la fórmula de la definición 2.3: R/ A la tasa del 1,4 nmv le corresponde una tasa efectiva anual del 18,155% (la tasa efectiva anual siempre es un poco mayor que la tasa nominal mes vencido multiplicada por 12 meses). 72 Variación APLICACIONES
1. Equivalencia. Para cada uno de los siguientes casos, calcule el cambio porcentual y haga una representación geométrica de la situación. a. Una cantidad aumenta en dos quintas partes. b. Una cantidad disminuye en una cuarta parte. c. Una cantidad aumenta en tres cuartas partes. d. Una cantidad disminuye en una quinta parte. 2. Círculos. ¿Cuál es el cambio porcentual del número de círculos cuando la figura 57, se lee de izquierda a derecha? ¿Y de derecha a izquierda? Figura 57 3. Cuadrados. ¿Cuál es el cambio porcentual del número de cuadrados cuando la figura 58, se lee de izquierda a derecha? ¿Y de derecha a izquierda? Figura 58 4. Divorcios. La figura 59, es una nota acerca de las separacio-nes en Colombia. Determine la veracidad o la falsedad del porcentaje anunciado en la noticia. 73
Razonamiento cuantitativo
Figura 59 5. Casos de dengue. El 8 de junio del 2013 salió publicado en un periódico de la ciudad el número de casos de dengue en el departamento del Atlántico, tal como se muestra en la fi gura 60. Calcule la variación porcentual de los casos de dengue y dengue grave en los periodos 2008-2009, 2009-2010, 20102011 y 2008-2012. Figura 60 6. Salario. En el titular de prensa de la fi gura 61, ¿cuál era el salario mínimo del año antes del incremento del 5,8%? Figura 61 74 Variación 7. En la figura 62, ¿cuál era el salario mínimo antes del aumento del 4,02%? Figura 62 8. Precio de acciones. La figura 63 muestra el precio de las acciones de un banco. Precio de la Acción $1.540 728% $770
$640 $658 $643 $484 $186 $145 $164 $185 $214 $90,5 1999* 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 7 feb/2011
Figura 63 a. Determine la veracidad o la falsedad del 728% del comercial. b. Calcule la variación porcentual de las acciones del 2006 al 2007, del 2007 al 2008, del 2008 al 2009 y del 2006 al 2009. 75
Razonamiento cuantitativo
9. Lecturabilidad. La figura 64 es un fragmento de un aviso del índice de lecturabilidad de un periódico del país. Determine la veracidad o la falsedad de los porcentajes que se señalan en el gráfico. Figura 64 10. Precio de acciones. La figura 65 muestra el anuncio de los precios de las acciones de una cadena de almacenes. a. Determine la veracidad o la falsedad de la afirmación “se ha valorizado 7,9 veces en un año”. b. Calcule la variación porcentual del 2004 al 2005 y del 2009 al 2011. 76
Variación Figura 65 11. Área. El área de un cuadrado se calcula con la fórmula A = L 2, donde L es la longitud del lado. Si el lado de un cuadrado aumenta 40%, ¿cuál es la variación porcentual de su área? 12. Perímetro. La longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula P = 2 πr, donde r es el radio de la circunferencia. Si el radio de la circunferencia se incrementa en un 25%, ¿cuál es la variación porcentual de su perímetro? 13. Área. El área de un círculo se calcula con la fórmula A = πr 2. Si el radio del círculo aumenta 25%, ¿Cuál es la variación porcentual de su área?
14. Área. El área de un rectángulo se calcula con la fórmula A = b · h, donde b es la base del rectángulo y h su altura. Calcule la variación porcentual del área del rectángulo si su base aumenta 10% y su altura 20%. 77 Razonamiento cuantitativo 15. Área lateral. El área lateral de un cilindro se calcula con la fórmula AL = 2 πrh, donde r es el radio de su base y h su altura. Si el radio del cilindro aumenta 30% y la altura disminuye 20%, calcule la variación porcentual de su área lateral. 16. Volumen. El volumen de un cilindro se calcula con la fórmula V = πr 2 h. Si el radio del cilindro disminuye 5% y la altura aumenta 10%, calcule el cambio porcentual en su volumen. 17. Tasa efectiva. Determine la veracidad o la falsedad del fragmento del comercial de la figura 66: naturales. Cuota inicial del 50% del valor del vehículo con posibilidad de pago del saldo restante en 60 meses. Plazo de crédito: 60 meses, según la elección del cliente. Tasa fija para la financiación del crédito de vehículo, 0% NMV (equivalente al 0% EA) para los primeros 12 meses y tasa de interés variable DTF + 9.05 TA que equivale a la fecha a 1.20% NMV (15.39%) para los 48 meses adicionales. No incluye accesorios, productos adicionales, gastos de matrícula, seguro, ni transporte. Valido para Figura 66 18. Tasa efectiva. Determine la veracidad o la falsedad del fragmento del comercial de la figura 67:
para personas naturales. Tasa de interés variable desde DTF + 10.21 TA que equivale a la fecha al 1.31% NMV (16.90% EA). Cuotas mensuales con amortización a capital extras semestrales, cuyo valor total no podrá superar el 50% del valor a financiar. No incluye accesorios, productos adicionales, gastos de matrícula, seguro, ni transporte. No acumulable con otras promociones ni planes especiales vigentes. Figura 67 20. Tasa efectiva. Determine la veracidad o la falsedad del fragmento del comercial de la figura 68: Figura 68 78 Variación 21. Determine la veracidad o la falsedad del fragmento del comercial de la figura 69: Figura 69 BIBLIOGRAFÍA Haeussler, E. y Paul, R. (2003). Matemáticas para administración y economía. 10.a ed. México: Pearson. Ibarra, D. (2004). El buen uso del dinero. México. Limusa. Langkamp, G. y Hull, J. (2007). Quantitative Reasoning and the Environment: Mathematical Modeling in Context. eeuu: Pearson. 79
Document Outline Razonamiento cuantitativo. Notas de clases Portada Página legal Contenido Introducción Unidad 1. Fraccionarios Problema Teoría Aplicaciones Anexo Bibliografía Unidad 2. Porcentajes Problema Teoría Aplicaciones Bibliografía Unidad 3. Promedios Problema Teoría Aplicaciones Bibliografía Unidad 4. Variación Problema Teoría Aplicaciones Bibliografía Contraportada
