PUNTO CRITICO 1.1 DEFINICIO DEFINICION: N:
En cálculo cálculo,, un punto punto crític crítico o de una función de una una variable real es cualuier cualuier valor alor en el do!inio en dond donde e la func funció ión n no es dife difere renc ncia iabl ble e o cuan cuando do su derivada derivada es es ". #ara una función suave de varias variables reales, la condición de ser un punto crítico es euivalente a ue todas sus derivadas parciales sean parciales sean cero$ para una función en una variedad, es euivalente a ue su diferencial diferencial sea sea cero. %i la !atri& 'essiana en 'essiana en un punto crítico es no sin(ular entonces entonces el punto crítico es lla! lla!ad ado o no de(e de(ene nera rado do,, ) el si(n si(no o de los los aut auto o va valore loress del del *essia *essiano no deter!inan el co!porta!iento local de la función. En el caso de una función real de una variable real, el *essiano es si!ple!ente la se(unda derivada, ) la no sin(ularidad es euivalente a ser diferente de cero. #ara una función de n variables, el n+!ero de auto valores ne(ativos de un punto crítico es lla!ado su índice, ) un !ái!o ocurre cuando todos los auto valores valores son ne(ativos ne(ativos -índice n, la !atri& 'essiana es definida ne(ativa ne(ativa ) un !íni!o ocurre cuando todos los auto valores son positivos -índice cero, la !atri& 'essiana es definida positiva$ positiva $
•
#untos estacionarios -cruces ro/as ) pun puntos tos de inf infle leión ión -círculos -círculos verdes. Es i!portante notar ue los puntos estacionarios son puntos críticos, pero los puntos de infleión no lo son.
1.0EE2CICIO% f ( x , y )
1.
3 14
x
2
50
x
3
60
DERIVADAS PARCIALES Primer Orden f x
3 07 5 8
f y =4 y + 4 x
Segundo Orden f xx=28 −12 x f yy= 4 f xy= 4
#9NO% C2IICO% f x
07 5 8
3" 2
x + 4 y = 0
Dividir ; 0
2 14x - 3 x +2 y = 0
E51
f y =0
4) 6 4 3 " 4) 3 54
2
x + 4 y
y
2
64)
y = -x E50 0 en "1: x + 2 (− x ) = 0 2
14x5 < 14 5 < x −2 x =0 10 5 < x =0 < -4 = 3 " 2
2
< 3 "
ᵥ
4=3"
X =X0= 4 P .C 1
-"," P .C 2 ( 4,− 4 ) DI%C2I>IN?NE: D 2
D3
f xy ¿ f xx . f yy −¿
2 D3 -07 5 10 .4 5 ( 4 )
D3 110 = 47 = 18
D3 @8 = 47
CA?%IFIC?CION DE #9NO% C2IICO% f xx=28 −12 x f yy= 4
f xx=28 P .C 1 ( 0,0 )
D3 @8 = 47
B"
f yy= 4
B "
D3 @8B"
>íni!o Aocal f xx=28 −12 x f yy= 4
D3 @8 = 47
f xx =−20 < 0 P .C 2 ( 4,− 4 )
f yy = 4 > 0
D3 @8 "
#unto de %illa z = f ( x, y ) P .C 1
3 14
x
2
50
x
3
60
y
2
64)
-",","
P .C 2 ( 4,− 4 , 64 )
2 − x + ( 1 ) x e "0. Dada la función )3 , 'allar los !ái!os ) !íni!os locales.
Calcula!os la pri!era derivada para deter!inar los puntos críticos: − x
x + 1 ¿ =e ( x + 1 ) (1 − x ) ; − x − x ' f ( x )= 2 ( x + 1 ) . e − e ¿ 2
− x
f ' ( x ) = 0 ⟺ e
( x + 1 ) (1 − x )=0
x =1 ò x =−1
⟺
Los únicos posibles máximos y mínimos se alcanzan en los puntos P1 (
1,4
e
)
y
P2 (−1,0 ) . Estudiamos a continuación el crecimiento de la
función:
(-∞, -1)
(-1,1)
f ( x )
De lo anterior se deduce ue el punto punto
(1, ∞)
66
'
P 2 (−1,0 )
5
P1 (
1,4
e
5
) es un !ái!o local ) ue el
es un !íni!o local de la función.
"<. Utilizando los prodecimientos de máximos y minimos: Determinar a)Calucar la deriada completamente simpli!cada b)determinar los puntos críticos c)concluir si los alores son máximos y minimos d)determinar interalos de crecimiento y decrecimiento De lasi"uiete función :
3
#$x) ¿ x
2
%& x + 9 x + 4
Utilizando el m'todo de máximos y mínimos amos a (allar la deriada simpli!cada a
3− 1
f$x)* 3 x
− 2 ( 6 ) x 2−1+ 9 x 1−1 + 4 2
f$x)*+ x −12 x + 9 b)(allar los alores críticos
,la primera deriada debe ser *-.
f$x)*2
3 x
−12 x + 9 =0 +x
%/*%/x
0
%1*%+x
$+x%/)$x%1) 01*+ 2 03*1
c).4emplazamos los alores ,01*+ y 03*1. en la función ori"inal f$+)* 3 −6 ( 3 ) + 9 ( 3 )+ 4 =27 −54 + 27 + 4 =¿ f ( 3 )=4 3
3
2
2
f ( 1 )=1 −6 ( 1 ) + 9 ( 3 ) + 4 =1−6 + 9 + 4 =¿ f ( 1 )=8 como $+)es menor 5ue f$1)por lo tanto 5ue f$+)es mínimo y f$1)*máximo d) determinar las interalos de crecimiento : ,para (allar los interalos usamos la primera deriada. f ( x )=3 x −12 x + 9 2
Esta primera deriada es la pendiente por lo tanto para 5ue la función sea: a) creciente: La primera deriada o pendiente tiene 5ue ser mayor a -: f ( x )=m > 0 b) decreciente: La primera deriada o pendiente tiene 5ue ser menor 5ue -: f ( x )=m < 0
6alores críticos $+y7)
1
-
+
8enemos 5ue er para 5ue alores se cumple esta a!rmación: 2
3 x
−12 x + 9 > 0
1) 9roblemas con el alor - remplazamos en la ecuación ori"inal # $-)* 3 ( 0 ) −12 ( 0 ) + 9 =9 → 9 > 0 2
Como el interalo es el correcto decimos 5ue la función es creciente: C4EC;E<8E:
{
}
¿ x £ R , 1 < X < 3 =¿ 1,3 >¿ x
DEC4EC;E<8E:
9unto min
{
}
X ER ,− ∞ < X < 1 U 3 < X < ∞ =¿− ∞ , 1 > U < 3, ∞ >¿ X
9unto 0*1*=mínimo 0*+*=máximo
1
+
MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS
1.1DEFINICION >GI>O ?H%OA9O 9na función tiene su !ái!o absoluto en el 3 a si la ordenada es ! a)o r o i (u al ue e n c ua l ui er o tr o p un to d el d o! in io d e l a función .
>NI>O ?H%OA9O 9na función tiene su !íni!o absoluto en el 3 b si la ordenada es ! en or o i (u al ue e n c ua l ui er o tr o p un to d el d o! in io d e l a función . a = 0
b = 0
1.0 EERCICIOS 01.Encuentra el máximo y minimo absoluto de la función 3
F(x)= x −3 x − 2 2
F´(x)=3 x −3 F´(x)=0 2
3 x −3= 0
en
[ −1 , 4 ]
x
3 (¿¿ 2− 1 )=0
¿
3(x-1)(x1)=-1
!untos cr"ticos o estacionarios
En las #ue la recta tan$ente es %ori&ontal F(-1)= (−1) −3 ( −1 )−2 =−1 + 3 −2= 0 3
F(1)=
3
1
−3 ( 1 )−2 =1−5=−4
E'aluamos la función en
[,4]
F()= 4 −3 ( 4 )−2 =64 −12−2 =50 3
En %1 la función ale *0
En 1 la función ale %7 Cuano x es 7 la función ale >-
-1
1 4 este punto es el Max
ABSLT -4
mínimos absolutos
Entonces el mínimo absoluto es:-4 Entonces el máximo absoluto es: 50
02 ! "alcula# el máximo $ el mínimo absolutos %e la &unci'n en el inte#(alo En p#ime# lu)a# %e#i(a#emos la &unci'n: Lue)o i)ualamos esa p#ime#a %e#i(a%a a ce#o:
$ #esol(emos la ecuaci'n así obteni%a En este caso
El (alo#
está en el inte#(alo
* lue)o el p#ime# con+unto %e ,can%i%atos
a máximos o mínimos es El se)un%o con+unto contiene a los ext#emos %el inte#(alo: El te#ce# con+unto .el con+unto %e los puntos %on%e la &unci'n no es %e#i(able! no tiene nin)/n (alo# en este caso* pues la &unci'n es %e#i(able en to%os los puntos %el inte#(alo .es un polinomio $ sabemos ue to%os los polinomios son %e#i(ables en cualuie# punto %e su %ominio asta el o#%en ue %eseemos! o# /ltimo* s'lo tenemos ue calcula# los (alo#es ue toma la &unci'n en esos puntos:
o# lo tanto el mínimo absoluto es 20* en el punto
* en el punto
* $ el máximo absoluto es
03 Encont#a# el máximo absoluto $ mínimo absoluto %e la &unci'n f . x! en el inte#(alo -1*5* tal ue:
Aplica#emos el p#oce%imiento %el teo#ema %e los ext#emos 6e#i(amos la &unci'n* obtenien%o:
Hallamos las #aíces de la derivada:
Las imá)enes %e los ext#emos %el inte#(alo $ %e las %os #aíces son:
o# lo tanto* el máximo $ mínimo absolutos %e f se#án:
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
1.1DEFINICION 9na función f tiene un !ái!o relativo en el punto a, si f-a es !a)or o i(ual ue los puntos prói! os al punto a. 9na función f tiene un !íni!o relativo en el punto b, si f-b es !enor o i(ual ue los puntos pró i!os al punto b.
a = 3.08
b = -3.08
E?E4C;C;@A: 1B Deter!ina los etre!os de la función: 2
2
f ( x ; y )=4 x + 2 y −2 xy −10 y −2 x
.
f ( x )= 8 x − 2 y −2 =0 → y =3 f ( y )= 4 y − 2 x −10 =0 → x =1
D ( x ; y )= f xx ( x ; y )∗f yy ( x ; y )− [ f xy ( x ; y ) ] D ( x ; y ) =( 8 )∗(4 )−(−2 ) D ( x ; y ) > 0
$x2 y) ¿ -
f
xx
0
→
¿ 28 f $12 +) * %1& es un
mínimo relatioB
a)
3
3
2
2
f ( x ; y )= x + y −3 x − 3 y −9 x B f ( x ) =3 x −6 x −9 =0 → x =3 ; x =−1 2
f ( y )=3 y −6 y =0 → y =1 ; y = 2 2
PUNTO CRITICO
D
f
xx
f
yy
f
xy
f ( a ; b )
CONCLUSIO N
(3! 0) (3! 0) (3! 0) (3! 0)
5J0 J0 J0 5J0
10 10 510 510
58 8 58 8
" " " "
50J 5<1 K 1
#unto silla >in. relativo >a. relativo #unto silla
2! "alcule los máximos $ mínimos #elati(os %e la si)uiente &unci'n 7.x! 8 x3 9 3x 2 1 ;allamos la %e#i(a%a p#ime#a $ calculamos sus #aíces &<.x! 8 3x2 9 3 8 0 x 8 91 x 8 1 2 =eali>amos la 2? %e#i(a%a* $ calculamos el si)no ue toman en ella los ce#os %e %e#i(a%a p#ime#a $ si: &<<.x! @ 0 Tenemos un mínimo &<<.x! 0 Tenemos un máximo &<<.x! 8 x &<<.91! 8 9 Máximo &<< .1! 8 Mínimo
3 "alculamos la imagen .en la &unci'n! %e lo s ext#emos #elati(os &.91! 8 .91!3 9 3.91! 2 8 4 &.1! 8 .1!3 9 3.1! 2 8 0 Máximo.91* 4! Mínimo.1* 0! l ar ,s iex i s t en,l osex t r emosr el at i v osdel af unc i ón: 3) Hal
f ( x )=2x ³+3x ² Cal c ul amosl ader i v adapr i mer a,yl ai gual amosac er opar aenc ont r arl ospunt os c r í t i c os .
f' ( x )=6x ²+6x=0 6x · ( x+1)=0 x=0 x=1( punt osc r í t i c os ) Ca l c ul amosl ad er i v a das eg un dayl ae v al ua mo se nl o spu nt o sc r í t i c os :
f"( x )=12x+6 f"( 0)=12· 0+6=6 enx=0ha yunmí ni mor el at i v o=f ( 0)=2· 0³+3· 0²= 0 f"( 1)=12· ( 1)+6=6 enx=1ha yunmáx i mor el at i v o=f ( 1)=2· ( 1) ³+ 3· ( 1) ²=1
Comol ader i v adapr i mer aesunaf unc i ónc uadr át i c a,e xi s t epar at odov al ordex .Por es ar az ó n,n oh aypu nt o sd on den oe x i s t ef' ( x )ys ol a me nt es eb us c ar o np unt o s c r í t i c osdondel ader i v adapr i mer aesc er o.
MULTIPLICADORES DE LA"RAN"E 1#1DE$INICION
Es un procedi!iento para encontrar los !ái!os ) !íni!os de funciones de !+ltiples variables su/etas a restricciones. Este !Ltodo reduce el proble!a restrin(ido con n variables a uno sin restricciones de n 6 M variables, donde M es i(ual al n+!ero de restricciones, ) cu)as ecuaciones pueden ser resueltas !ás fácil!ente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son lla!adas !ultiplicadores de Aa(ran(e. El !Ltodo dice ue los puntos donde la función tiene un etre!o condicionado con M restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida co!o una co!binación lineal de la función ) las funciones i!plicadas en las restricciones, cu)os coeficientes son los !ultiplicadores. Aa de!ostración usa derivadas parciales ) la re(la de la cadena para funciones de varias variables. %e trata de etraer una función i!plícita de las restricciones, ) encontrar las condiciones para ue las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean i(uales a cero. %ea
f ( x ; y )
la función ob/etivo.
%upon(a!os ue ( x ; y ) están condicionados por la ecuación f yg
g ( x ; y )= k
,
son funciones suaves.
%i f tiene un etre!o -!á. o !in. su/eto a $", entonces eiste un escalar tal ue:
$x(X0 !Y0) = % &x (X0 !Y0) $y(X0 !Y0) = % &y (X0 !Y0) &y (X0 !Y0) = 0
E/ercicios:
g ( x ; y )= k
en el punto -G"
1. *allar los valores !ái!o ) !íni!o de:
( x ; y )
vive sobre la recta:
x + y =1
f ( x ; y )= 1− x − y 2
2
.
%olución: fx =−2 x fy =−2 y
−2 x = λ
( x ; y )=
−2 y = λ
→ x = y
x + y =1
˄
( ) 1 1
;
2 2
y λ =−1
f ( 1 / 2 ; 1 / 2 ) =1 / 2
, puede ser el valor etre!o condicionante.
Co!proba!os con otro punto sobre la restricción: 1
f ( 1 ; 0 )= 0 → = f ( 1 / 2 ; 1 / 2) 2
( 1 / 2 ; 1 / 2 ) es un !ái!o condicionado.
Conclui!os ue
a %e disponen de <0"! de cerca para encerrar un ca!po rectan(ular. PCó!o debería colocarse la cerca, de !anera ue el área encerrada sea la !ás (rande posibleQ Solución.
f ( x ; y ) = xy g ( x ; y )= x + y −160 y =2 λ
2
x =2 λ
→ x = y
x + y =160
( x ; y )=( 80 ; 80 )
λ =40
˄
, si
f ( 80 ; 80 ) =64
Aa !a)or área ue pueda encerrarse con <0" !. de cerca es 84"" !0.
PROBLEMAS DE OPTIMI'ACION 1.1 DEFINICION
9n proble!a de opti!i&ación consiste en !ai!i&ar o !ini!i&ar una función real eli(iendo siste!ática!ente valores de entrada -to!ados de un con/unto per!itido ) co!putando el valor de la función. Aa (enerali&ación de la teoría de la opti!i&ación ) tLcnicas para otras for!ulaciones co!prende un área (rande de las !ate!áticas aplicadas. De for!a (eneral, la opti!i&ación inclu)e el descubri!iento de los R!e/ores valoresR de al(una función ob/etivo dado un do!inio definido, inclu)endo una variedad de diferentes tipos de funciones ob/etivo ) diferentes tipos de do!inios.
Sráfico de un paraboloide dado por f-,) 3 5-T6)T64. El !ái!o (lobal en -", ", 4 está indicado por un punto ro/o. En la resolució n de proble!a s de opti! i&ac ión de funci ones se(uire!os los si(uientes pasos: 15#lantear la función ue 'a) ue !ai!i&ar o !ini!i&ar. 05#lantear una ecuación ue relacione las distintas variables del proble!a, en el caso de ue 'a)a !ás de una varia ble. <5Despe/ar una variable de la ecuación ) sustituirla en la función de !odo ue nos uede una sola variable. 45Derivar la función e i(ualarla a cero, para 'allar los etre!os locales. K52eali&ar la 0U derivada para co!probar el resultado obtenido.
1#EERCICIOS 01# ene!os ue 'acer dos c'apas cuadradas de dos !ateriales distintos. Aos
dos !ateriales tienen precios respectiva!ente de 0 ) < euros por centí!etro cuadrado. PCó!o 'e!os de ele(ir los lados de los cuadrados si uere!os ue
el coste total sea !íni!o ) si ade!ás nos piden ue la su!a de los perí!etros de los dos cuadrados 'a de ser de un !etroQ %OA9CION: %ean e) los lados -en c! de los cuadrados respectiva!ente. %i la su!a de perí!etros es 1 !etro: 4 6 4) 3 1""
⟹
y =25− x
y
)
Aa función de costes es: 2
25− x ¿
C3
=2 x 2+ 1875−150 x + 3 x 2=5 x 2−150 x + 1875 2 2 2 2 x + 3 y =2 x + 3. ¿
2
C ( x ) =5 x −150 x + 1875 '
C ' ( x ) =10 x −150: c ( x ) =0 ⇒ 10 x −150= 0 ⇒ x =
150 10
=15
' '
C ( x ) =10 > 0 : por tato x =15 e! m""mo
Aos cuadrados deben !edir de lados, respectiva!ente: 3 1Kc! )3 0K = 1K 3 1"c!
0# D*+./ /2 1 / * *56/* .*7879* 86* :5 *5 .5+8 *6 ;x7#
S5+7
. ) 3 . -18 = 3
16 x − x
2
⇒
f ( x ) 16 x − x
2
'
f ( x )=16 − 2 x
'
f ( x )= 0 ⇒ 16− 2 x =0 ⇒ x =
16 2
=8
'
f ' ( x )=−2 < 0, por tato x =8 e!#max"mo, y =16 − 8 =8
Aos dos su!andos son a!bos i(uales a 7. 3. Aa concentración de o&ono conta!inante, en !icro(ra!os por !eto
cubico, en una ciudad viene dada por la función 2 C ( x ) =90 + 15 x − 0,6 x , $o$e x e! e% t"empotra!c#rr"$o $e!$e 1 $e eero $e 1990 cota$o ea&o!.
*asta ue aVo está creciendo la concentración de o&onoQ PCuál es la
concentración !ái!a de o&ono ue se alcan&a en esa ciudadQ %olución: C ( x )=90 + 15 x − 0,6 x
2
C ( x ) =15−1,2 x '
'
C ( x ) =0 ⇒ 15−1,2 x =0 ⇒ x =
15 1,2
=12,5
C ( x ) =−1,2 < 0, por tato , x =12,5 e! max"mo. '
Aa concentración de o&ono conta!inante 'a estado creciendo 'asta 10,K aVos despuLs, es decir, 'asta el <" de /unio de 0""0. Aa concentración !ái!a 'a sido: 2
12,5 ¿
=58,75 m"crogramo! por metro c#b"co. ' C ( 12,5 ) = 90 + 15 . 12,5 −0,6 . ¿
