Progresiones Aritméticas PROFESOR: Héctor Espinoza Hernández
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Contenido
¿Qué es progresión aritmética?
Razón o diferencia de una progresión aritmética.
Término “n” de una progresión aritmética.
Suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética.
Interpolación de “m” medios aritméticos. 2
¿Qué es progresión aritmética?
Progresión aritmética es una sucesión en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene sumando al anterior un número fijo (constante) llamado diferencia o razón. Ejemplo: 5, 9, 13, 17, 21, 25, … +4 +4 +4 +4 +4 3
Razón o diferencia de una progresión
Se llama razón o también diferencia de una progresión a la diferencia entre dos términos consecutivos de una progresión aritmética. Donde :
d
an
a( n 1)
d : an
es la diferencia : es cualquier termino
a( n 1)
: es el termino anterior 4
EJERCICIOS
Escribe una progresión con 8 términos 1)Si a1=3 y d=6 2)Si a1=11 y d=7
Calcula la diferencia o razón de cada progresión. 1) 7, 10, 13, 16, 19, … 2) 25, 40, 55, 70, 85, … 5
Término “n” de una progresión aritmética
Deducimos una fórmula que nos permita calcular cualquier término de una progresión aritmética.
a1
a1
a2
a1
d
a3
a1
d
a4
a1
2d
d
a1
3d
a5
a1
3d
d
a1
4d
d
a1
2d
.......................................... an
a1
(n 1) d
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Término “n” de una progresión aritmética
Luego, la fórmula para calcular el término de lugar “n” es: Donde :
an
a1
(n 1)d
an
: es cualquier termino
a1 :
es el el prim primer term termiino
n:
es el lugar del termino
d :
es la diferencia o razon
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Término “n” de una progresión aritmética
Despejando una variable obtenemos otras fórmulas:
an
a1
a1
an
(n 1)d
( n 1) d
d
n
an
an
a1
n 1 a1
d
1 8
Ejemplo1
Halla el décimo tercer término de la progresión: 5, 12, 19, 26, … an
a1
a13
5 13 1 7
a13
5 12 7
a13
5 84
a13
(n 1) d
89 9
Ejemplo2
Una persona decide ahorrar parte de su dinero durante un año, empezando con 150 nuevos soles. Si cada mes agrega 75 nuevos soles a su cuenta de ahorro. ¿Cuánto habrá ahorrado hasta el último mes?
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Ejercicios 1)Calcula el décimo quinto término de la progresión: 5, 11, 17, 23, … 2)Calcula el primer término de una progresión aritmética cuyo décimo sexto término es 65 y su diferencia es 4. 3)¿Cuántos términos tiene una progresión aritmética cuya diferencia es 3, su prime término es 2 y su enésimo término es 26? 4)¿Cuántos múltiplos de 5 hay entre 1234 y 1540? 11
Interpolación de medios aritméticos
Interpolar medios aritméticos consiste en intercalar “m” términos entre a1 y a2, de tal modo que se forme una progresión aritmética con “m+2” términos.
a1, (m + 2 términos), a2 12
Procedimiento para interpolar “m” medios aritméticos
Hallamos la razón de una P.A. con “m+2” términos y cuyos extremos son a1 y a2. an
n 1 d
an
a1 m 2 1 d
an
a1
d
a1
an
m 1 d
a1
m 1
Escribimos la progresión intercalando los medios aritméticos. 13
Ejemplo1 Interpolar 5 medios aritméticos entre 4 y 22. Solución Hallamos la razón o diferencia. c) an
a1
(n 1)d
22 4 7 1 d 22 4 6d 18 6d d 3
i)
Escribimos la sucesión. 4, 7,10, 13, 16, 19, 22
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Ejemplo2 Interpolar 8 medios aritméticos entre 5 y 54. Solución Hallamos la razón o diferencia. c) an
a1
(n 1)d
54 5 8 1 d 54 5 7 d 49 7d d 7
i)
Escribimos la sucesión. 5, 12,19, 26, 33, 40, 47, 54
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Ejercicios 1)
Interpolar 7 medios aritméticos entre 11 y 43.
2)
Interpolar 5 medios aritméticos entre 28 y 48
3)
Interpola 7 medios aritméticos ente 1 y 13.
4)
Interpola 9 medios aritméticos entre 3 y 6.
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