Programas Para Classpad

Aula matemática digital

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Diciembre 2008

Revista semestral gratuita de Matemáticas y Ciencia

DP. - AS - 5119 - 2007

AULA MATEMÁTICA DIGITAL

Revista semestral gratuita de Matemáticas y Ciencia

ISSN: 1988 - 379X

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Diciembre 2008

Editorial

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Concurso "Programemos con ClassPad"

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Abel Martín

PRIMER PREMIO. Programas *.cpa Inductor y Okumura-Hata para Classpad Director Abel Martín

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Lluís Parcerisa Giné

PRIMER PREMIO. Programas *.vcp EstArtic para Classpad

7-21

José Antonio Mayor Sánchez de la Campa

Consejo de Redacción Ángel Aguirre Pérez

PRIMER PREMIO. Programas *.mcs Cohortes, Anova1F, COMPETLV, PSIGNO, …

Rosana Álvarez García

José Carlos Jiménez López

Marta Martín Sierra

Numerofonía de Aschero: la escritura matemática de la música

Álvaro Valdés Menéndez Natividad Díaz Ortolá

22-24

25-31

Sergio Aschero

El Problema de las Ocho Reinas

32-34

Ángel Aguirre Pérez

Iniciándose en la Programación con la ClassPad Web

Gualberto Soto Sivila

www.aulamatematica.com

El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometría

www.mathsmovies.com

35-40

41-44

Álvaro Valdés Menéndez

Diseño de la portada Abel Martín

Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfica

Maquetación

Literatura Matemática

Abel Martín

Marta Martín Sierra

ISSN: 1988-379X

Abel Martín y Marta Martín Sierra

Depósito Legal: AS-5119-2007

PROYECTO: "Cine y TV" como recurso didáctico en el Aula de Matemáticas

XIV JAEM de Girona

Edita: www.aulamatematica.com


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Los Simpson y las Matemáticas Aula Matemática Digital no se identifica necesariamente con las opiniones vertidas en las colaboraciones firmadas

45-51

Rosana Álvarez García

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Número 3 - Diciembre 2008

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DP. - AS - 5119 - 2007


ISSN: 1988 - 379X

EDITORIAL Nuestra revista, Aula Matemática Digital, sigue su andadura, aunque con dificultades pues el Consejo de Redacción ha estado últimamente inmerso en tribunales de oposiciones, cursos de verano, inicio del curso académico, etc. En este número vamos a continuar con la labor iniciada. Tenemos que recalcar que es una revista que está buscando su sitio en el panorama matemático y, por determinadas razones, entre las que podemos citar en carácter altruista de la misma, sin ingresos publicitarios, sin precio por ejemplar, sin subvenciones, sólo con hacer un clic en la revista… nos vemos obligados a retomar su periodicidad, pasando a ser semestral, siempre y cuando el cuerpo y la ilusión de los que la hacemos lo permita. Esperamos ir creciendo poco a poco. Hay temas que se van consolidando, como la "Literatura matemática", "Las matemáticas y el Cine" y numerosas cuestiones relacionadas con la metodología ClassPad, la enseñanza y, sobre todo, la programación, donde creo hay en estos momentos un vacío y un hueco a llenar. También hemos reservado un apartado muy especial con los trabajos de los ganadores y premiados en el I CONCURSO DE "PROGRAMACIÓN" que lleva por nombre "Programemos con CLASSPAD". Nos reiteramos en nuestros objetivos de mantener actualizada la comunidad educativa respecto a la utilización de las nuevas tecnologías en el aula, últimas noticias, novedades importantes, actualidad, Congresos y Jornadas, artículos con actividades diseñadas especialmente con calculadoras, no sólo para el área de Matemáticas sino de otras disciplinas como Tecnología, Física, Química… para lo que contaremos con expertos colaboradores, así como una sección para la publicación de los mejores trabajos presentados por los propios lectores, a los que intentaremos premiar de alguna manera. Otro reto importante para el futuro será la formación del profesorado a través de cursos presenciales y cursos ONLINE. Sí que hemos logrado poner en marcha los relacionados con el cine uy las matemáticas, pero el tiempo ha sido el elemento que nos ha impedido empezar con aquellos relacionados con las metodologías que utilizan calculadoras en el aula. Pretendemos ser el escaparate del sitio www.aulamatematica.com dónde podréis colaborar activamente con nuestras inquietudes. La temática queda completamente abierta a los colaboradores y lectores… no hay más que ver contenidos realmente novedosos para quien escribe, como la "Numerofonía de Aschero: la escritura matemática de la música ", un tema apasionante pero complejo de explicar en pocas palabras, por lo que intentaremos poner un anexo en versión digital. Las próximas JAEM a celebrar en Girona también serán centro de nuestras exposiciones. Estamos abiertos a todas las sugerencias que queráis dejarnos en el foro que abriremos a tal efecto o simplemente enviándonos un mail. En la Web www.aulamatematica.com nos encontraréis siempre que nos necesitéis. Abel Martín


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Editorial - Abel Martín

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CONCURSO: Programemos con "Classpad" Abel Martín, Profesor de Matemáticas del I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo. -------------------------

ISSN: 1988 - 379X

- José Antonio Mayor Sánchez de la Campa (Cádiz - España) (Programas *.vcp) Operador de Sistemas Informáticos, Ingeniero Técnico en Mecánica y Estudiante de último curso de Ingeniería Superior en Técnicas Energéticas, por su trabajo: "EstArtic para Classpad"

Después de muchas dificultades para sacar el Concurso adelante debido a la gran calidad de los trabajos presentados y la necesidad de ampliar en lo posible el número de premiados, reunido el Jurado del "I CONCURSO DE PROGRAMACIÓN: PROGRAMEMOS CON CLASSPAD", con carácter internacional, bajo la presidencia de Abel Martín e integrado por Jordi Baldrich y Marta Martín Sierra, ha acordado, tras las pertinentes deliberaciones, el siguiente fallo:

- José Carlos Jiménez López (México) (Programas *.mcs) Estudiante de Biología, Facultad de Ciencias-UNAM., por sus trabajos: Cohortes, Anova1F, COMPETLV, PSIGNO, WILCOXON, etc.

OTORGAR El Premio a los mejores programas a - Lluís Parcerisa Giné (Catalunya - España) (Programas *.cpa) Estudiante de ingeniería de telecomunicaciones y de ingeniería electrónica, por sus trabajos: "Inductor para Classpad y Okumura-Hata para ClassPad"

Este concurso pretendía estimular la participación de los profesores y estudiantes, con el objetivo de potenciar y favorecer el uso de la calculadora como un recurso de gran importancia, por su portabilidad, prestaciones didácticas y herramienta auxiliar en Bachillerato y Universidad. Se valoró, sobre todo, su utilidad para las diferentes carreras universitarias. A continuación pasamos a desarrollar los trabajos premiados en las diferentes modalidades.


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CONCURSO: Programemos con "Classpad" PRIMER PREMIO. Programas *.cpa Inductor para Classpad Okumura-Hata para ClassPad -------------------------

Lluís Parcerisa Giné Catalunya -España Estudiante de ingeniería de telecomunicaciones y de ingeniería electrónica. -------------------------

Inductor para Classpad El programa calcula la inductancia de un inductor en núcleo E, conociendo sus propiedades geométricas (longitudes, áreas), magnéticas (permitividad magnética relativa del material) y el número de vueltas del cable. Se puede cambiar la configuración geométrica añadiendo gaps (separaciones entre los núcleos de ferrita), clicando en las líneas discontinuas del dibujo.

Okumura-Hata para ClassPad Este programa calcula la atenuación en un sistema de radiocomunicaciones (y el factor de corrección de antena) según el modelo de Okumura-Hata. Este modelo, que se estudia en la asignatura de Radiocomunicaciones de la ingeniería superior de telecomunicaciones de la UPC, se basa en medidas empíricas efectuadas en Japón. Aunque las medidas fueron hechas en el país asiático, los resultados se han demostrado válidos también para nuestras urbes, diferenciando en el modelo si se trata de una población grande o pequeña. La potencia recibida en el terminal y el diámetro de cobertura de la celda son los principales parámetros que se pueden deducir del citado modelo. Para ciudad grande, introducimos los valores de frecuencia de trabajo, distancia entre antena y terminal, altura de antena y altura del móvil respecto al suelo:

El método para calcular la inductancia, a base del cálculo de las reluctancias del circuito equivalente, se da en la asignatura de Aplicaciones Electrónicas 2 de la titulación de Ingeniería Superior Electrónica en la Universidad Politécnica de Catalunya.

Tanto para ciudad grande como para ciudad pequeña, si hay algún valor cuyo rango sea incorrecto nos lo dice. Las limitaciones de los valores se deben al rango de validez de la fórmula de Okumura-Hata.

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Concurso "Programemos "Programemos con ClassPad" - OkumuraOkumura-Hata e Inductor

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CONCURSO: Programemos con "Classpad" PRIMER PREMIO. Programas *.vcp EstArtic para Classpad ------------------------José Antonio Mayor Sánchez de la Campa Operador de Sistemas Informáticos, Ingeniero Técnico en Mecánica y Estudiante de último curso de Ingeniería Superior en Técnicas Energéticas. -------------------------

Objetivos Obedeciendo a la vocación pedagógica propuesta en el concurso “Calculemos con Classpad”, con el presente trabajo se ha pretendido, no proporcionar una herramienta para el cálculo de estructuras de nudos articulados al uso de las existentes en otras plataformas; sino, más bien, proporcionar a los estudiantes un entorno sobre el que desarrollar sus ejercicios. A la vez que se realizan los cálculos, una ventana de salida mostrará lo que se está haciendo en ese momento. La nomenclatura que puede verse en dicha ventana está explicada en la eActivity que acompaña a EstArtic para Classpad.

Alcance No olvidamos en ningún momento que tenemos en nuestras manos una herramienta no empresarial sino de estudio, como lo es la Classpad. Bajo esta premisa, no se puede pretender resolver estructuras con multitud de nudos, lo que implicaría el manejo de enormes matrices que complicarían el proceso de cálculo. Asimismo, es importante entender que el usuario de EstArtic no queda “dispensado” de los conocimientos de diseño y de planteamiento de los problemas. Lo que aquí se le proporciona es únicamente una herramienta de cálculo, quedando bajo la responsabilidad del que lo emplee el proporcionar datos adecuados y coherentes.

Método de Cálculo El procedimiento se basa en el método de la rigidez. En todo momento se intenta que las matrices a manejar sean lo más reducidas posible, y para ello, por ejemplo, en lugar de construir la matriz de rigidez de la estructu-


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ra al completo, intentaremos reducirla a la de los grados de libertad; y de realizar los cálculos no de una vez sino encadenados a los precedentes. Todo ello se explicará a su debido tiempo con los ejemplos oportunos.

EstArtic para Classpad. ¿Qué es? Se trata de un grupo de herramientas organizadas en un menú inicial, como puede verse en la figura1. Como se verá más adelante, cada una de las herramientas cumple un cometido en el proceso de resolución del problema. No todas serán siempre necesarias, y en ocasiones será el usuario el que decida cuales empleará en función de cómo plantee el problema. Una breve descripción de las opciones:

1. Conexión Habida cuenta de lo fácil que resulta montar la matriz de conexión de una estructura de nudos articulados (la matriz de equilibrio de las barras es la matriz identidad), el procedimiento para obtener la matriz de rigidez de la estructura será el de multiplicar la matriz de conexión por la de rigideces de barras. Este primer apartado es puramente geométrico, y con él se pretende, a partir de los datos de la estructura (nudos en cada barra, y ángulo de la misma respecto a las coordenadas globales), obtener la matriz de conexión, de la que como se comentó más arriba, quedarán en principio excluidos los nudos sin grados de libertad.

2. Barras y Estructura Se proporciona a la aplicación la rigidez de cada una de las barras (EA/L), de forma conjunta o individual. Como resultado obtenemos la matriz de rigideces de barras, y con ella más la de conexión, la matriz de rigidez de la estructura, siempre limitada a los nudos con al menos un grado de libertad.

3. Ap.Inclin. (Opcional dependiendo del problema). Se empleará si alguno de los apoyos de la estructura se encuentra girado respecto a las coordenadas globales del problema. Supone una modificación de la matriz de rigidez antes calculada, que pasará a ser una matriz “mixta” en cuanto que incluirá en su interior, y sólo para el nudo inclinado, la orientación específica del mismo.

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4. Muelles

Nota Importante:

(Opcional dependiendo del problema). Se empleará si alguno de los nudos libres (en estructuras articuladas planos: dos grados de libertad) está unido a algún muelle. Este hecho no implica que el nudo deje de estar libre sino una modificación de la matriz de rigidez en cuanto que se aporta al grado de libertad sobre el que actúe el muelle, la rigidez del mismo.

5. Cargas Definición de las cargas sobre la estructura. Se entenderá carga sobre el nudo y cualquier otra tipología distinta deberá ser previamente resuelta por el usuario.

6. Cálculos Por este orden se irá proporcionando: desplazamiento de los nudos, esfuerzos de las barras y reacciones en los apoyos sin ninguna actuación por parte del usuario. Este apartado depende de que anteriormente se le haya aportado a la aplicación los datos correctos.

7. Solve R (Opcional dependiendo del problema). Este apartado sirve para particularizar el caso de las estructuras en que uno de los apoyos tiene un grado de libertad y otro restringido, ya sea en la dirección de las coordenadas globales o en otras. El tratamiento dado, que se verá en ejemplos posteriores, será el de considerar que la reacción consecuente al grado de libertad restringido es una carga sobre la estructura (en el apartado 5. Cargas) de valor R. Así las cosas, el apartado anterior 6. Cálculos nos habrá proporcionado los resultados en función de R. Este apartado 7. Solve R determinará el valor real de R en cuanto el usuario proporcione una condición de contorno adecuada, que no es otra que considerar, en el vector desplazamiento obtenido, valor cero allá donde se encuentre la restricción.

8. With R (Opcional dependiendo del problema). Este apartado está ligado al anterior, pues en él, se sustituye R de los cálculos por el valor numérico obtenido en 7. Solve R. Posteriormente, se recalculará la estructura con el mencionado valor numérico.

9. Informe Muestra datos, procedimientos intermedios y resultados.

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Los ángulos que solicite la aplicación deberán introducirse medidos desde la x local a la X Global en sentido antihorario. Nota: Resulta conveniente (no es estrictamente necesario), antes de comenzar un ejercicio nuevo, borrar las matrices de los precedentes. Por ello resulta aun más conveniente, bloquear en la carpeta de ClassPad en que se encuentre la aplicación los programas para evitar la pérdida de los mismos.

Ejemplos de Cálculo

Ejemplo 1 Considérese la estructura de figura con las cargas que se indican. Resolver, obteniendo los desplazamientos, esfuerzos y reacciones con EstArtic para Classpad. Datos: La longitud de las barras 2 y 5 es de 5 m; La longitud de las barras 1 y 6 es de 5 m; La rigidez de todas las barras de la estructura (EA/L) es de 104 T/m; Los valores de las cargas P1 y P2 sobre el nudo 2 son de 6 y 8 T respectivamente.

Solución La barra número 6, que une dos apoyos fijos, queda eliminada en principio de los cálculos. Datos de partida: se tomará una a una cada barra y se introducirán, por este orden el nudo inicial, el final, y el ángulo medido de la siguiente forma: de la dirección x local, a la dirección X global en sentido antihorario. Como ejemplo, para la barra número 1, obsérvese la Figura 2 que muestra como acceder al procedimiento de definición de la matriz de conexión; y posteriormente las 3 a 8, que muestran como introducir los datos de la barra 1.

Concurso "Programemos con ClassPad" ClassPad" - EstArtic

DP. - AS - 5119 - 2007 Figura 1

Figura 3

Figura 5

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AULA MATEMÁTICA DIGITAL Figura 2

A continuación, el procedimiento solicitará que se introduzcan los nudos con algún grado de libertad. En el ejemplo propuesto son el 1 y el 2 (ver figura 11). Figura 9

Figura 10

Figura11

Figura 12

Figura 4

Figura 6

Tras alguna pantalla de comprobación de datos introducidos, como la 12, aparecerá la matriz de conexión de la estructura (fig 13). Figura 13 Figura 7

Figura 8

Las figuras 9 y 10 muestran la peculiaridad de que no hace falta calcular previamente el ángulo a introducir (puede administrarse la expresión oportuna).


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Número 3 - Diciembre 2008 Continuamos introduciendo datos. La opción 2 nos permite introducir la rigidez de las barras. El problema indica que todas tienen 104 T/m sea cual sea su longitud. La forma de introducir esto en el programa es introducir EA=100000, para todas las barras y 1 para todas las barras. Ver figuras 14 a 21 (comprobar como la parte baja de la aplicación muestra en cada momento la operación que se está realizando). El ejercicio propuesto no contiene apoyos inclinados ni con grados de libertad (apoyos con solo uno de los grados de libertad restringidos). Tampoco contiene muelles. Todas estas circunstancias “afectarían” a la matriz de rigidez de la estructura Por tanto, pasamos directamente a la definición de las cargas sobre la estructura. Ver figuras 22 a 28. Finalmente, accedemos al apartado de Cálculos. Ver figuras 29 a 35. Si queremos ver un resumen del ejercicio, podemos hacerlo mediante la opción 9.

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Figura 14

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Figura 18

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Figura 20

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Figura 33

Figura 34

Figura 35

Ejemplo 2 Supóngase la estructura anterior, a la que, sin variar ninguno de los datos aportados, se le añade un apoyo móvil en el nudo 1. Resolver, obteniendo los desplazamientos, esfuerzos y reacciones con EstArtic para Classpad.

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Solución Se observa, como única diferencia, que el nudo 1 se ha convertido en apoyo deslizante, en el que queda restringido el movimiento según el eje X global, y donde aparecerá una reacción en esa dirección. El tratamiento de este problema será el siguiente: Los datos geométricos y de rigidez coinciden con los del ejemplo anterior. Se sustituye el apoyo en 1 por una reacción según el eje X global, que será en principio, una incógnita denominada R. Al introducir el vector de cargas de la estructura se tendrá en cuenta que sobre 1, en la dirección X actúa una fuerza R Obtenemos los desplazamientos de los nudos, que quedarán en función de R. Introducimos la condición del apoyo 1, a saber: El movimiento según el eje X, del nudo 1, es nulo. Esto nos proporciona el valor de la reacción R. Volvemos al vector de cargas, donde sustituiremos la incógnita R por el valor obtenido. Realizamos los cálculos.

Notas: (1ª) Necesariamente, hay que introducir R (ningún otro carácter) (2ª) Una vez aparezca el vector desplazamiento en función de R puede (debe) interrumpirse el programa, pues ya tenemos lo que necesitamos. Posteriormente, se reiniciará de nuevo y se pasará directamente al procedimiento 7. Solve R (3ª) La nomenclatura para introducir la función a resolver es siempre la misma: 1.x=VD[1,1];

1.y=VD[2,1];

2.x=VD[3,1];

VD[4,1];

…

O sea, el vector desplazamiento que proporciona el programa tiene un número de filas igual al número de nudos no nulos por dos y una sola columna. El número 1, 2,… en este caso no se refiere al que tiene cada nudo en al estructura, sino al “número de orden” con que se introdujeron los nudo no nulos. Por ejemplo, si en una estructura los nudos no nulos introducidos hubieran sido 3 y 4 (por ese orden), entonces VD[1,1] se referiría no a 1.x sino a 3.x (4ª) Una vez aparezca el valor de R, el siguiente apartado a introducir ser 8. With R. Esta opción sustituye en el vector de cargas el valor de R (5ª) Recalcule (a partir del punto 6), para obtener el resto de resultados.


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Ejemplo 3 Supóngase la estructura anterior, a la que, sin variar ninguno de los datos aportados, se gira el apoyo móvil del nudo 1 45º respecto a las coordenadas globales. Resolver, obteniendo los desplazamientos, esfuerzos y reacciones con EstArtic para Classpad.


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Solución En este caso vamos a modificar la matriz de rigidez de la estructura, en cuanto que queremos convertirla en una “matriz mixta” que contemple la dirección local del apoyo girado. El tratamiento de este problema, con EstArtic, será el siguiente: Indicaremos cuál es el apoyo girado, y cuantos grados (medidos desde el eje global al local) se ha girado. Opción 3 El programa preguntará por la dimensión de la matriz de rigidez a modificar. Recordemos que es 4. Cuando solicitan el nudo inclinado en cuestión, se refiere a su número de orden en la matriz de rigidez, en nuestro caso, el nudo 1 es el primero de la matriz de rigidez, pues así se introdujo cuando se preguntó por los nudos no nulos. Al introducir el ángulo se cuidará de que vaya medido desde la x local a la X Global en sentido antihorario. El programa proporcionará la matriz de rigidez modificada (donde solo deber haber cambiado las filas y columnas correspondientes al nudo en cuestión) y la nueva matriz inversa. A partir de ahí, los cálculos se realizan como en el ejemplo anterior. Ahora, cuando se hable de 1.x o 1.y, se entenderá la dirección local del nudo 1. Por tanto, obsérvese como cuando se ha de introducir la carga externa (reacción) del nudo 1, ésta se introduce en la dirección 1.y, que es el movimiento impedido. Por el mismo motivo, cuando se trata de obtener el valor de R, mediante resolución del elemento correspondiente del vector, la función a introducir será VD[2,1]

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Ejemplo 4 Todas las barras de la estructura de la figura sufren un aumento de temperatura de 40 ºC Calcular los desplazamientos de los nudos empleando EstArtic para Classpad. Para todas las barras: EA = 4.2 x 106 Kg. Para todas las barras: α = 12 x 10-6 ºC-1


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Ejemplo 5 Determinar el movimiento del nudo 1 así como los axiles de las barras de la estructura cuando del nudo 1 cuelga verticalmente un peso de 30 Tn y la barra 1-2 sufre un enfriamiento de 40 ºC. Datos: La barra 1-2 es de sección variable. Varía linealmente de 4 cm2 en el nudo 2 a 12 cm2 en el nudo 1. α = 12 x 10-5 ºC-1 E = 2x106 kg/cm2 Solución: Determinar el movimiento del nudo 1 así como los axiles de las barras de la estructura Se establece que la barra 1 y su sentido en coordenadas locales sea 1 – 3 Se establece que la barra 2 y su sentido en coordenadas locales sea 1 - 2 Se establece que la barra 3 y su sentido en coordenadas locales sea 1 - 4 El primer paso para solucionar el problema será determinar la rigidez de la barra 1-2, que es de sección variable. Aunque este caso no está contemplado en EstArtic para ClassPad, se mostrará como se puede obtener mediante la ClassPad mediante la eActivity (que se adjunta) denominada RigSeccionVariable. El resultado que se obtiene es de 18204.78 Kg/cm

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Para resolver este problema, hay que resolver los estados 0 y 1, al considerarse que las tensiones de origen térmico “cargan la barra”. Si únicamente hubieran pedido los desplazamientos no sería necesario considerar ambos estados. A efectos de cálculo, el considerar los dos estados significa que el cálculo se va a realizar, considerando para la estructura una carga vertical en el nudo 1 que será igual a - 30000 + (αxLxTx18204.78), o sea:

- 18348.94

El resultado final obtenido será incompleto para la barra que sufre el enfriamiento, pues habrá que sumarle αxLxTx18204.78 (es lo que se hace en la última de las pantallas, que no pertenece a EstArtic para ClassPad: Es MAIN de ClassPad)

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CONCURSO: Programemos con "Classpad" PRIMER PREMIO. Programas *.mcs Cohortes, Anova1F, COMPETLV, PSIGNO, WILCOXON… -------------------------

José Carlos Jiménez López - México Estudiante de Biología, Facultad de Ciencias-UNAM. -------------------------

Cohortes Es un pequeño programa que permite realizar tablas de vida para cohortes, útiles en Ecología de Poblaciones, y que se puede usar por personas que necesiten simplificar esos cálculos para hacerlos de una manera más rápida tales como estudiantes de Ecología. Para su uso sólo es necesario contar con las primeras tres filas individuos por categoría (ax), fecundidades (Fx) y natalidades (mx), la tercera se hace dividiendo la segunda por la primera. Al final la tabla se guarda, con bloqueo, en la carpeta actual con un nombre especificado que debe tener una extensión de 8 bytes.

ANOVA1F Como su nombre lo indica se trata de un programa que realiza una prueba ANOVA de un factor ocupando el comando integrado a la ClasPad 300 pero generando una gráfica que permite ver la distribución de los diferentes niveles del factor que se realizan en diferentes listas. El inconveniente es que estos niveles del factor se van resumiendo en una tabla el comando Locate… y si se llena la tabla puede que no se muestre completamente. Lo pueden usar estudiantes tanto de preparatoria como de universidad que lleven estadística que usen esta aplicación.

En esta ocasión este es una segunda versión a la que agrego el cálculo de la tasa intrínseca de aumento poblacional, a la que llamo rEuler ya que se obtiene despejando r de la expresión siguiente (en el programa esto se hace con la función solve: 1=Σx≥1exp(-rx)l(x)m(x), donde l(x) y m(x) son la supervivencia y natalidad de las diferentes categorías.

COMPETLV Permite generar isoclinas a partir de datos de capacidad de carga y de factores de competencia de dos especies que tienen esta interacción.

Al final obtenemos las pendientes de diferentes curvas de supervivencia según el tipo del que se trate. Las pendientes en este caso son flechas de cómo se va mostrando la gráfica. De esta forma, en el ejemplo podemos decir que la curva se trata de una tipo I.

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Siguiendo el modelo de Lotka-Volterra el programa genera una interpretación dada mediante condiciones lógicas fáciles de programar utilizando los comandos If… y ElseIf…. Lo pueden usar estudiantes que lleven Ecología que vayan en Universidad.

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listas y que también se muestran utilizando el comando Locate… Lo pueden usar estudiantes de Física de preparatoria o universidad.

PSIGNO Es un pequeño programa que uso como opción no paramétrica de la prueba t-Student. Está enfocado a aquellos que tengan Estadística.

SN_MODEL

P_TTEST

Se trata de una pequeña aplicación que permite encontrar los valores de coeficiente de selección el efecto del heterocigoto y el tipo de selección dado por diferentes genotipos. No es de gran utilidad pero sirve bastante cuando se quiere ahorrar tiempo en buscar qué significan los valores dados. Esta enfocados a alumnos que lleven Evolución.

Se trata de una prueba t pareada, es decir, una donde se quiere saber si existe una diferenta de las muestra que se relacionan. Se enfoca a estudiantes de Estadística de preparatoria o universidad.

WILCOXON

RAD_CALC Es un programa que permite visualizar cómo se da el decaimiento de un elemento radioactivo cuando sabemos la secuencia de emisiones que ocurren desde el elemento padre hasta el elemento hijo o anteriores a él y que al final da como resultado su visualización en esquema y una tabla con los valores de elemento, masa atómica, número atómico y tipo de radiactividad emitida. Asimismo parecería que es algo complicado pero sólo se trata de designaciones lógicas que se van agregando a


Es un análogo no paramétrico de la prueba t-Student y qué es en realidad la prueba de suma de rangos de Wilcoxon que en este caso restrinjo a una significancia de α = 0.05. Se usa una distribución normal en cada muestra. Lo pueden usar aquéllos que lleven Estadística.

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Χ2TEST Es una de las pruebas ji-cuadrada que se utilizan empleando valores en una lista para verificar la distribución teórica de una muestra. La gráfica de las distribuciones ocupa las distribuciones normales en cada gráfica. Está enfocada para aquéllos alumnos de Estadística.

KW_TEST Se trata de la opción no paramétrica de la prueba de Análisis de Varianza.

Χ2_UNI Es otra de las pruebas ji-cuadrada que se utilizan empleando valores en una lista para verificar la distribución teórica de una muestra y que puede emplearse mediante listas de valores o frecuencias para mostrar en una gráfica cuan relativamente cerca quedan los valores observados de los esperados.

PAIRED_W Es una prueba que se ocupa en muestras de igual tamaño como opción a la prueba tStuden cuando se viola que las muestras estén acomodadas bajo distribuciones normales –o acampanadas-. Para que la prueba no ocupase mucha memoria en la CP-300 restringí los valores de tablas a una significancia de 0.05 de forma que el contraste con otras alfas se necesita hacer con las tablas que incluyo al final.

KS2_TEST Se trata de una prueba que incorpora el estadístico de Kolmogorov-Smirnov (D) para poder contrastar y reevaluado como un estadístico χ2 de 2 grados de libertad para poder ver si dos muestras se han obtenido de la misma distribución. Tiene el problema de que cuando se hace con un tamaño de muestra grande (p.e. N > 60) la memoria se “satura” y da el error de “memoria insuficiente”. Al final se dan gráficas de distribuciones acumuladas para ambas muestras S1(x) y S2(x) para notar si se refuerza la decisión.

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Numerofonía de Aschero: la escritura matemática de la música Sergio Aschero. Argentina. Profesor Superior de Armonía y Composición y doctor en Musicología por la Universidad Complutense de Madrid

Introducción Si usted utiliza estos números:

CXIII Debería utilizar esta escritura musical:

Pero si usted utiliza estos otros números:

113 Su escritura musical debería ser ésta:

1111111 Las dos representan lo mismo. Una escritura es limitada y compleja: (los números romanos y la notación musical). La otra es lógica y simple: (los números arábigos y la numerofonía).

Código Todos los códigos normativos están constituidos por su propia función y son un instrumento convencional no originado en la naturaleza. Para cambiarlos hace falta tener en cuenta los siguientes requisitos: (1) Constatación de la necesidad del cambio. (2) Explicación de la finalidad por la cual se quiere cambiar. (3) Análisis crítico y comparativo del viejo y del nuevo código. (4) Sustitución del código que presenta mayores deficiencias.

Sentidos y Aprendizaje A igual información y a igual condición se aprende: 1,0 % 1,5 % 3,5 % 11,0 %

mediante el mediante el mediante el mediante el

gusto tacto * olfato oído


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83,0 % mediante la vista * tacto – calor – frío – presión – dolor (en realidad los sentidos son nueve)

Tipos de representación sonora Un sistema de escritura musical requiere principalmente de dos cosas: un conjunto de signos y una convención sobre su interpretación. Tales signos, soportes de la escritura, pueden ser fónicos o gráficos. Los primeros suelen ser las propias letras, sílabas, palabras y frases del lenguaje común. Los segundos son sistemas artificiales de signos abstractos, como puntos, círculos, números, etc. Ambas posibilidades, fónica y gráfica, son la base de toda la historia de la escritura musical. A nivel general podemos decir que la escritura musical es un sistema de símbolos usados para comunicar gráficamente los deseos del compositor al ejecutante incluyendo el máximo de información necesaria para la ejecución fiel de una obra. Igualmente, y es importante subrayar esto, debe poder transmitir la información rápidamente, capacitando al ejecutante para leer las instrucciones del compositor a la velocidad en que la música tiene que ser ejecutada. Numerosos sistemas de representación sonora han existido, según los pueblos y las épocas. Desde los signos manuales egipcios del Antiguo Imperio (3.000 A.C.), pasando por la escritura alfabética griega, la fonética bizantina, la neumática de la iglesia occidental, la mensural negra y blanca, la tradicional, la analógica, la tecnológica y finalmente la numerofónica en sus variables musical (base 12, 24, 48. . .) y armónica (base 2n), existe un largo proceso de elección de los mejores signos para definir la duración, la altura, la intensidad y el timbre de los sonidos.

Razones La música (algún tipo de música) forma parte de la existencia de la mayoría de las personas. La escritura musical tradicional es leída sólo por un 5% de la humanidad; el 95% restante ama los resultados de lo creado por otros, sin ser capaz de apropiarse del lenguaje: vivimos en un mundo de analfabetos musicales. Incluso se da la paradoja de músicos populares que rechazan la escritura musical tradicional, por encontrar en su aprendizaje (teoría y solfeo) mayores dificultades que beneficios.

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Número 3 - Diciembre 2008 Sin embargo al estar marginados del sistema, su labor es mucho más compleja. Esto es inconcebible en otros campos: no se nos ocurre pensar en escritores que no sean capaces de leer y escribir sus propias obras.

Numerofonía de Aschero Código interactivo de las áreas físico-matemáticas, de origen pitagórico, platónico y aristotélico, que se ha desarrollado con un criterio científico, integrando la matemática, la óptica, la acústica y la lingüística un modelo único de representación simbólica cuya escritura se denomina numerofonía.

Imagen y Sonido IMAGEN

SONIDO

(Real o representada) Forma (perimetro) Color (interno) Tamaño (longitud)

(Natural o artificial) Duración (tiempo) Altura (frecuencia) Intensidad (potencia)

Superficie bidimensional: plano Volumen (profundidad)

Timbre (duración, altura, intensidad)

Espacio tridimensional: cuerpo Forma Color Tamaño Volumen

Forma y color cumplen las dos funciones más características del acto visual: nos permiten obtener la información más importante para el reconocimiento de los objetos. La identidad perceptiva depende relativamente poco de la dimensión. La forma, el color y la orientación de un objeto no se alteran con el cambio de dimensión. Un objeto es siempre reconocible aún si la dimensión se altera. El valor secundario de la dimensión respecto a la forma y al color se observa en aquello que normalmente no advertimos: el cambio constante de la dimensión que la perspectiva provoca entre nuestra visión y los objetos que nos rodean. Analógicamente podemos afirmar que duración y altura son las componentes primarias del mensaje sonoro, siendo la intensidad (y el timbre), secundarias respecto a ellas. Sin tiempo no existe frecuencia, ni potencia, ni espectro armónico o inarmónico. Es la magnitud física más importante.

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Duración: figuras geométricas y números enteros o fraccionarios (perímetro) Altura: colores acromáticos y cromáticos (interno) Intensidad: longitud de figuras geométricas y números enteros o fraccionarios (altura) Timbre: profundidad (iguales características ubicadas en subplanos

Los medios fonadores operan con las cualidades físicas, mientras éstas son escuchadas subjetivamente. La sensación subjetiva de la duración se corresponde con el cambio físico del tiempo. La sensación subjetiva de la altura se corresponde con el cambio físico de la frecuencia. La sensación subjetiva de la intensidad se corresponde con el cambio físico de la potencia. La sensación subjetiva del timbre se corresponde con el cambio físico de los espectros armónico e inarmónico. Entre la luz y el sonido se pueden establecer desde un punto de vista físico, las siguientes correspondencias, teniendo en común los fenómenos de producción, propagación y percepción: (a) luz (fenómeno electromagnético – óptica) (b) sonido (fenómeno mecánico – acústica) (a) lo que distingue un color de otro es su diferente frecuencia. (b) lo que distingue un sonido de otro es su diferente frecuencia.

Numerofonía de Aschero: la es escritura matemática de la música - Sergio Aschero

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(a) el espectro se repite: infrarrojo – ultravioleta (b) el espectro se repite: infrasonido – ultrasonido (a) el espectro es continuo (b) el espectro es continuo (a) la división en “n” colores es solamente práctica (b) la división en “n” sonidos es solamente práctica (a) el color blanco es la suma de las frecuencias (b) el ruido blanco es la suma de las frecuencias (a) el color negro es la resta de las frecuencias (b) el silencio es la resta de las frecuencias (a) un extremo del espectro tiene el doble de las vibraciones del anterior (b) un extremo del espectro tiene el doble de las vibraciones del anterior

3 x 104 Hz a 3 x 1014 Hz (onda radio e infrarrojo)

3 x 1014 Hz a 3 x 1015 Hz (luz visible) 15

3 x 10 Hz a 3 x 1023 Hz (rayos ultravioleta, rayos X, rayos gamma y rayos cósmicos) 1 Hz a 16 Hz (infrasonido) 16 Hz a 20.000 Hz (sonido) 20.000 Hz a 500.000.000 Hz (ultrasonido)

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Duración El lenguaje numerofónico representa la duración mediante el perímetro de figuras geométricas, números enteros y fraccionarios. La norma indica que el número uno equivale a un segundo, siendo la variable cualquier otra duración. Se comprende que hablando del número uno, si habla también de su representación geométrica: una unidad (cuadrado, círculo…). Una escritura lógica para la representación del sonido debe considerar la espacialidad derivante de la cantidad que cada número determina: un cuarto no dura lo mismo que un medio y tampoco puede ocupar el mismo espacio.

Altura El lenguaje numerofónico representa la altura mediante la coloración interna de figuras geométricas, números enteros y fraccionarios. La menor frecuencia visible se equipara con la menor frecuencia audible, estableciendo así el primer cromáfono (de croma: color, y fono: sonido) correspondiente, en este caso, a una serie de alturas determinadas, de base 12 y afinación temperada (musical). El primero que se ve, el primero que se oye. La norma indica que el color rojo (428 x 1012 Hz.) – grado 1 de la serie – equivale al primer cromáfono (16 Hz.), siendo la variable cualquier otro cromáfono de la serie. También de la analogía entre los fenómenos ópticos y acústicos, el color blanco representa la suma (altura indeterminada) y el negro, la sustracción (silencio). Los doce cromáfonos del modelo fononumeral temperado están en concordancia con los 3 primarios aditivos y los 3 primarios sustractivos:

Cromáfono 1° primero 2° segundo 3° tercero 4° cuarto 5° quinto 6° sexto 7° séptimo

Color rojo anaranjado amarillo lima verde esmeralda cian

R.G.B. (*) 100% - 0% - 0% 100% - 50% - 0% 100% - 100% - 0% 50% - 100% - 0% 0% - 100% - 0% 0% - 100% - 50% 0% - 100% - 100%

Frecuencia 16,351 Hz 17,323 Hz 18,354 Hz 19,445 Hz 20,601 Hz 21,826 Hz 23,124 Hz

8° octavo

cobalto

0% - 50% - 100%

24,449 Hz

9° noveno

azul

0% - 0% - 100%

25,956 Hz

10° décimo

violeta

50% - 0% - 100%

27,500 Hz

11° undécimo

magenta

100% - 0% - 100%

29,135 Hz

12° duodécimo

púrpura

100% - 0% - 50%

30,867 Hz


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(*) (serie de cromáfonos con porcentajes adaptados a la lectura por pantalla de computadora) Esta escala está basada en los tres primarios aditivos: rojo, verde y azul, más los tres primarios sustractivos: amarillo, magenta y cian, formados con la mezcla aditiva de los tres primarios anteriores: Amarillo = rojo + verde Magenta = rojo + azul Cian = verde + azul Que ordenados configuran una serie de grados impares: 1° = rojo 3° = amarillo 5° = verde 7° = cian 9° = azul 11° = magenta Los otros seis colores son exactamente intermedios entre ellos. Este modelo cromático es adecuado para operar con computadora, ya que rojo, verde y azul son los tres colores de la luz del monitor, y amarillo, magenta y cian son los tres colores de los cartuchos de la impresora. También los ruidos pueden clasificarse y representarse mediante una escala de valores a la que puede añadirse la mezcla de frecuencias: marrón.

Clasificación y representación del ruido Frecuencia acústica

Color

R.G.B.

todas

blanco

100% - 100% - 100%

altas

gris claro

75% - 75% - 75%

medias

gris

50% - 50% - 50%

bajas

gris oscuro

25% - 25% - 25%

ninguna

negro

0% – 0% - 0%

Los índices acústicos se indican mediante dígitos colocados sobre o bajo los números principales.

Las frecuencias respectivas de la imagen anterior son: 130,812Hz., 261,625Hz. y 523,250Hz.

Intensidad El lenguaje fononumeral representa la intensidad mediante la longitud del diámetro del círculo, la altura del cuadrado y la del rectángulo. En el interior de esta última figura, que se toma como referencia no visible, se inscriben los números enteros y fraccionarios sin su índice acústico.

Existe concordancia entre la altura de las tres figuras y la amplitud de una onda sinusoidal. La norma indica que un milímetro equivale a un decibel, siendo la variable cualquier otra intensidad. Lo invisible es inaudible. Dentro de las figuras geométricas, la mejor (por tener la posibilidad de incorporar los cambios de intensidad sin pérdida de organicidad en su imagen, es el cuadrado; siendo el círculo (por su simplicidad), la figura indicada para un primer acceso al código numerofónico por parte de los más pequeños. Sin embargo es importante señalar que en el número fraccionario se sintetiza la mayor perfección en la determinación de variables de intensidad, unida al poder infinito de su simbología temporal.

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Timbre El timbre está constituido por sonidos armónicos e inarmónicos que contienen envolventes primarias y secundarias, vale decir por duraciones, alturas e intensidades variables, ubicadas en diversos subplanos – bajo la superficie de la escritura bidimensional, que sólo puede contener duraciones, alturas e intensidades, nunca timbres – con lo cual se configura la tercera dimensión de la grafía y la construcción obligada de un cuerpo sonográfico concreto de longitudes, latitudes y profundidades exactas. La escritura habitual es la relativa (variable); la absoluta (norma), necesita otra dimensión y medios fonadores de lectura disjunta y emisión conjunta. El oído no separa el sonido fundamental de los otros sonidos (inaudibles) que lo acompañan, sin embargo si se modifica la estructura de lo inaudible (profundidad), el sonido percibido (superficie) cambia. La escritura tímbrica requiere la utilización de escalas para visualizar lo inaudible.

Numerofonía para leer (mantener un pulso constante)


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IMÁGENES COMPARATIVAS (notación tradicional y escritura fononumeral)

CONCLUSIÓN La Numerofonía de Aschero, se basa en las ciencias matemáticas (geometría y aritmética), en la óptica, en la acústica y en la lingüística, lo que lo hace muy claro y comprensible hasta para niños desde los tres años de edad, en absoluta contraposición con el sistema tradicional de notación musical. Utiliza formas geométricas y colores para los más pequeños y a medida que van avanzando en edad y en su aprendizaje, el sistema va incluyendo números enteros y fraccionarios, acompañando al niño en su desarrollo escolar de manera simultánea a su formación académica. Es un sistema lógico que permite que todos, pero todos sin excepciones, puedan leer, escribir, interpretar y crear música, culta o popular, incluyendo a adultos, adolescentes, niños y personas con capacidades especiales, sin tener que caer en el absurdo de los bemoles, sostenidos, claves, o tantos otros signos anacrónicos que integran el sistema de notación, para que todos aquellos que aman la música, puedan disfrutarla activa y participativamente, y no tan sólo el 5% de la humanidad, que es lo que ocurre estadísticamente, lo que demuestra el altísimo nivel de analfabetismo existente. Por cierto que hay quienes en su deseo de mantener posiciones de elite, pueden oponerse a este cambio revolucionario, pero este código no está dirigido a quienes ya leen música, sino a ese 95% de personas que no lo han logrado con el viejo sistema, incluyendo a un gran número de músicos populares. Oponerse a la Numerofonía de Aschero es oponerse a Pitágoras, a Galileo, a Newton. . . El objetivo de la investigación del doctor en musicología Sergio Aschero es mejorar la relación entre la música y la gente, a partir de la recuperación de la unión entre la ciencia y el arte, tal como ocurría en la Academia de Atenas de la Antigua Grecia cuando la música era una de las ciencias matemáticas, junto a la aritmética, la geometría y la astronomía.

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Se debe hacer todo lo necesario para que perdure lo verdaderamente profundo, como es la música creada en todas las épocas y en todas las culturas, y no jerarquizar lo superficial, como es atarse a formas vetustas y a signos obsoletos, que se han demostrado absolutamente ineficientes en la alfabetización musical de la mayoría de las personas. Este lenguaje ha sido certificado por lo Ministerios de Educación de España e Italia como alternativa al sistema tradicional de notación. FOTOGRAFÍAS (alumnos wichí, uruguayos, italianos y exposición Bach x Aschero).

Al maestro Sergio Aschero lo podemos encontrar en http://www.ascheropus.com.ar/ o bien contactar directamente en la dirección [email protected]


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El Problema de las Ocho Reinas Ángel Aguirre Pérez, Profesor de Matemáticas del I.E.S. “Benedicto Nieto”, de Pola de Lena (Asturias) [email protected]

Exploraremos la potencia de la calculadora ClassPad 300 en el cálculo con listas. Vamos a resolver el problema de las ocho reinas: consiste en colocar ocho reinas sobre un tablero de tal manera que ninguna esté amenazada por cualquiera de las restantes.

Quizá convenga recordar que, en el juego del ajedrez, la reina amenaza a aquellas fichas que se encuentren en su misma fila, columna o diagonales. Por comodidad y concisión vamos a hacer todas nuestras consideraciones para un tablero 4 x 4, cuatro filas y cuatro columnas. Posteriormente generalizaremos para un tablero de dimensiones arbitrarias n x n.

En primer lugar debemos buscar una notación para poder representar la posición de las reinas en el tablero. Vamos a utilizar una lista (un vector) para denotar la posición de las reinas. Cada componente de esta lista hace referencia a una columna del tablero, la primera componente a la primera columna, la segunda componente a la segunda, etc. El valor de la componente nos indica la fila en la que se encuentra la reina en esa columna. Por ejemplo, la lista {2, 1, 4, 2}, representa la posición de la figura de la derecha.

A la vista de esto, parece obvio que nuestra solución debe contener números distintos, para que las reinas ocupen filas distintas. La solución ha de ser una permutación de los números 1, 2, 3 y 4. Esta elección garantiza que no existan amenazas por presencia de otra reina en esa misma fila. Sin embargo, no evita las amenazas debidas a reinas situadas en las mismas diagonales. Por ejemplo la disposición {3, 4, 2, 1}, representada en la figura anterior, presenta dos amenazas en diagonal. Debemos, por tanto, hacer un algo32

El Problema de las Ocho Reinas - Ángel Aguirre Pérez

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ritmo que nos permita encontrar todas las posibles amenazas. Para ello clasificamos previamente las diagonales en dos tipos: tipo A y tipo B. Según se puede ver en la siguiente figura:

Dos casillas o escaques pertenecen a la misma “diagonal A” si la suma de su fila y su columna da como resultado el mismo número. Del mismo modo, dos casillas distintas pertenecen a la misma “diagonal B” si la resta de su fila menos su columna es idéntica.

Nuestro proyecto se compone de dos partes: un programa principal que se llama Reinas y una subrutina de nombre Check. En el primero se generaran todas las permutaciones posibles mediante un algoritmo muy sencillo, aunque no en orden lexicográfico. El algoritmo ha sido tomado del libro “Combinatorial Algorithms” de Reingold, Deo y Nievergelt. En la segunda se comprobará si es solución y se mostrará por pantalla.

El programa comienza preguntando las dimensiones del tablero mediante una ventana de entrada de datos (Input). Se limpia la pantalla. Se asigna ese valor a la variable n y se crea una lista A que contiene los n primeros números naturales. Por ejemplo: si n vale 4, la lista A es {1, 2, 3, 4}. A continuación, comienza el algoritmo de generación de permutaciones. La variable s contiene el número de soluciones halladas hasta el momento; inicialmente vale cero. La generación de las permutaciones se hace a través del código mostrado en la figura de la derecha. La llamada a la rutina de comprobación se hace a través del comando Check(). www.aulamatematica.com

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Se utiliza la función Rotate, que devuelve una lista en la que los elementos han sido rotados hacia la derecha o izquierda un cierto número de posiciones. La opción por defecto es una posición hacia la derecha; por ejemplo, cuando la lista A es {1, 2, 3, 4}, Rotate(A) da como resultado la lista {4, 1, 2, 3}.

También se utiliza la función subList, que extrae una parte concreta de una lista y la función Augment, que anexiona una lista con otra. Siguiendo con el ejemplo anterior, con subList(A, 2, 3) se obtiene {2, 3} y Augment(A,{5, 6}) devuelve la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para finalizar, se escribe el número total de soluciones halladas.

La subrutina Check toma cada pareja de fichas y comprueba, como hemos explicado anteriormente, si se amenazan. Es decir, si la suma de su fila y columna o la resta de su fila menos la columna son iguales. En tal caso, regresa al programa principal sin hacer nada. Si ninguna pareja se amenaza, aumenta uno el valor de s y escribe la solución por pantalla.

La ejecución del programa Reinas puede apreciarse en las siguientes pantallas:

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El Problema de las Ocho Reinas - Ángel Aguirre Pérez

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Iniciándose en la Programación con la ClassPad Gualberto Soto Sivila (Ingeniería Industrial) Universidad Técnica de Oruro – Facultad Nacional de Ingeniería (ORURO – BOLIVIA) [email protected] INTRODUCCIÓN La programación hoy en día es una herramienta indispensable para toda carrera que uno vaya a emprender, ya que aprendiendo a programar se facilita ciertas cálculos o procedimientos que hay que realizar una y otra vez, lo cual a la hora de rendir una prueba se traduce en mayor tiempo para la verificación de resultados de un determinado problema. OBJETIVO Con la presente guía de inicio rápido buscaremos dar los primeros pasos en la programación de una calculadora, en nuestro caso la calculadora programable CASIO Classpad 300, Classpad 300 Plus o Classpad 330, con la diferencia mas sobresaliente entre estos modelos que llegaría a ser la versión del SO (Sistema Operativo) que se puede arreglar simplemente actualizando la CP (Classpad). La programación se puede realizar en la Classpad de mano o en el CPManager. PASOS Para comenzar a realizar cualquier programa lo primero que necesitamos es el algoritmo de lo que deseamos realizar o sino un ejercicio del cual podamos sacarlo y después plasmarlo en un programa. ¿Que es un algoritmo? Un algoritmo no es mas que los pasos secuenciales y correlativos de alguna tarea, problema, ejemplo, a realizar. Para nuestro caso comenzaremos con un ejemplo que todos ya conocemos desde colegio. Ejercicio 1 Hallaremos las raíces de un polinomio de segundo grado: 2 Ax + Bx + C = 0 1.- Datos Conocidos Determinamos que datos tenemos a introducir y cuales deseamos encontrar. Datos a ingresar A, B, C Formulas o procedimientos conocidos

−b±

b2 − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a

Datos que deseamos hallar las raíces o soluciones de nuestro polinomio de segundo grado 2.- Diagrama de Flujo

3.- Pasos Previos


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Para programar debemos ir al Menú Programa y seleccionar el segundo icono de la pantalla el que se encuentra debajo de Edit y seleccionar así de esta manera un Archivo nuevo que crearemos en la Carpeta que deseamos y con el nombre Formula. Después debemos tomar una de las siguientes opciones para introducir las sentencias que usaremos. 3.1.- Desde E/S (Entrada/Salida). 3.2.- Usando el Catalogo (CAT) del Teclado. 3.3.- Escribiendo cada sentencia a usar. Como sugerencia es mejor optar por el Catalogo ya que esta tiene todas las sentencias que maneja la ClassPad y es mas difícil cometer errores a diferencia de escribir cada sentencia.

4.- Codificación En esta parte haremos sentencia por sentencia indicando para que sirve la misma. Tómese en cuenta que después de cada sentencia uno debe colocar ( : ) dos puntos o retorno de carro ( ↵ ) EXE para separar cada sentencia una de la otra. Programa Formula Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z Input a,”Primer elemento del Polinomio”,”Ingrese” Ingresamos el 1er elemento a la variable a Input b,”Segundo elemento del Polinomio”,”Ingrese” Ingresamos el 2do elemento a la variable b Input c,”Tercer elemento del Polinomio”, “Ingrese” Ingresamos el 3er elemento a la variable c Como tendremos dos soluciones podremos descomponer nuestra formula en dos respectivamente (-b+√(b^2-(4*a*c)))/2*a⇒ ⇒e Almacenamos la 1ra solución a la variable e PrintNatural e,”Primera Solución” Mostramos la 1ra solución almacenada en la variable e (-b-√ (b^2-(4*a*c)))/2*a⇒ ⇒f Almacenamos la 2da solución a la variable f PrintNatural f,”Segunda Solucion” Mostramos la 2da solución almacenada en la variable f Message “ [email protected]”,”Fin del Programa” Mostramos un mensaje

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Iniciándose en la Programación con la ClassPad - Gualberto Soto Sivila

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Tómese en cuenta que este programa hallara solo raíces que no sean imaginarias pero si sus soluciones son imaginarias nos aparecerá un mensaje de error, pero que cambiando el programa antes realizado podremos hallar todo tipo de soluciones para nuestros polinomios de segundo grado. Diagrama de Flujo Programa Formula 1

Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z Input a,”Primer elemento”,”Ingrese” Ingresamos el primer elemento a la variable a Input b,”Segundo elemento”,”Ingrese” Ingresamos el segundo elemento a la variable b Input c,”Tercer elemento”, “Ingrese” Ingresamos el tercer elemento a la variable c (b^2-(4*a*c)) ⇒d Hallamos el discrimínate y lo almacenamos a la variable d If d>0:Then Nos preguntamos si d>0 por verdadero realizamos lo que sigue (-b+√(d))/2*a⇒ ⇒e Almacenamos la Primera solución en la variable e PrintNatural e,”Primera Solucion” Mostramos la 1ra solución almacenada en la variable e (-b-√(d))/2*a⇒ ⇒f Almacenamos la Segunda solución en la variable f PrintNatural f,”Segunda Solucion” Mostramos la 2da solución almacenada en la variable f Else Si d>0 por falso realizamos lo que sigue Message “Con números complejos a±bi”,”Soluciones” Mostramos mensaje -b/2*a⇒ ⇒e Almacenamos la parte entera del numero complejo a la variable e PrintNatural e,”a” Mostramos la parte entera del numero complejo (√(-d))/2*a⇒ ⇒f Almacenamos la parte imaginaria del numero complejo a la variable f PrintNatural f,” ±bi” Mostramos la parte imaginaria del numero complejo IfEnd Fin de nuestra sentencia de pregunta Message “ [email protected]”,”Fin del Programa” Mostramos un mensaje


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Cabe mencionar que después de cada Then o Else siempre deberá ir un retorno de carro ( ↵ ) EXE. Con este programa que es la modificación del primer programa que realizamos hallaremos las raíces o soluciones de cualquier tipo de polinomio de segundo grado. Ejercicio 2 Hallar la raíz de la siguiente función usando el método de Newton Raphson (Métodos Numéricos) 1.- Datos conocidos 2

F(x) = x + 6x + 2 Con un Error Admisible E = 0.001 b =(x-(Fx/F′x)) 2.- Diagrama de Flujo

3.- Pasos Previos Para programar debemos ir al Menú Programa y seleccionar el segundo icono de la pantalla el que se encuentra debajo de Edit y seleccionar así de esta manera un Archivo nuevo que crearemos en la Carpeta que deseamos y con el nombre NRaphson . Después debemos tomar una de las siguientes opciones para introducir las sentencias que usaremos. 3.1.- Desde E/S (Entrada/Salida) 3.2.- Usando el Catalogo (CAT) del Teclado

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3.3.- Escribiendo cada sentencia a usar. Como sugerencia es mejor optar por el Catalogo ya que esta tiene todas las sentencias que maneja la Classpad y es mas difícil cometer errores a diferencia de escribir cada sentencia. En este tercer programa usaremos sentencias no muy usadas como las que son para crear una matriz, llenar una matriz, almacenar una función, derivar una función. Programa NRaphson DefaultSetup Retorna a las configuración por defecto o de fabrica de la calculadora Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z SetDecimal Muestra los valores en decimales Message ”Método de Newton Raphson 1er Orden”,”Ecuación no Lineal” InputFunc y1(x),”Funcion F(x)”,”Ingrese”

Muestra el mensaje

Ingresa una función a y1 de variable x

DrawGraph y1(x)

Grafica la función almacenada en y1 de variable x

diff(y1(x))⇒ ⇒d

Deriva la función y1 de variable x, almacenando en la variable d

PrintNatural d,”La derivada F′(x) es” Muestra la derivada de la función y1 Input x,”El valor de x”,”Ingrese” Asigna un valor a la variable x ClrGraph borra la ventana de gráficos Input e,”Error admisible”,”Ingrese” Asigna un valor ingresado desde teclado a la variable e fill(0,2,6)⇒ ⇒m

Crea una matriz en la variable m de 2 filas y 6 columnas con elementos 0

Iterac⇒ ⇒m[1,1] Coloca Iterac en la fila 1, columna 1 de la variable m xi⇒m[1,2]

Coloca xi en la fila 1, columna 2 de la variable m

Fxi ⇒m[1,3]

Coloca Fxi en la fila 1, columna 3 de la variable m

F′xi ⇒m[1,4]

Coloca F′xi en la fila 1, columna 4 de la variable m

xi+1⇒m[1,5]

Coloca xi+1 en la fila 1, columna 5 de la variable m

Error⇒ ⇒m[1,6]

Coloca Error en la fila 1, columna 6 de la variable m

1⇒ ⇒i

Asigna 1 a la variable contador i

Do

Hacer

i-1⇒ ⇒m[2,1]

Asigna i-1 a la variable m fila 2 columna 1

x⇒ ⇒m[2,2]

Asigna el valor de la variable x a la variable m fila 2 columna 2

y1(x)⇒ ⇒m[2,3]

Asigna el valor de la variable x lo evalua en y1(x) a la variable m fila 2 columna 3

d⇒ ⇒m[2,4]

Asigna el valor de la variable d a la variable m fila 2 columna 4

(x-(y1(x)/d))⇒ ⇒b

Halla el valor de la variable b

b⇒ ⇒m[2,5]

Asigna el valor de la variable b a la variable m fila 2 columna 5

abs(b-x)⇒ ⇒t

Halla el valor de la variable t restando b –x en valor absoluto

t⇒ ⇒m[2,6]

Asigna el valor de la variable t a la variable m fila 2 columna 6

PrintNatural m,”Iteración” b⇒ ⇒x

Muestra una iteración

Asigna el valor de la variable b a la variable x

i+1⇒ ⇒i Aumenta en una unidad la variable contador i LpWhile t>e

Mientras se cumpla t>e

PrintNatural x,”La raiz buscada es”

Muestra x las solución de esta función

Message “ [email protected]”,”Fin del Programa” Muestra un mensaje Clear_a_z Borramos todas las variables minúsculas desde a hasta la z


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Número 3 - Diciembre 2008 Tómese en cuenta que para diferenciar una sentencia de una variable y demás datos se encuentran con negrilla para una mejor comprensión.

Consultas e información

[email protected] (Oruro-Bolivia) Aquí la foto de mi linda tierra Chicheña (Tupiza)

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El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometría Álvaro Valdés Menéndez, Profesor de Matemáticas del I.E.S. Pérez de Ayala de Oviedo. (Asturias) -------------------------

¿Quién no se ha quedado extasiado alguna vez mirando el arcoiris? ¿A quién no asombra ese conjunto de colores suspendido de la nada? ¿Cuántas leyendas hay sobre él? En este artículo vamos a hacer que esa “magia” persista en nosotros, pero de otra forma muy distinta, comprendiendo su origen, dejando que la Física y la Matemática subyacente nos iluminen con igual ilusión. He preferido exponer este artículo planteando hipótesis y refutándolas, yendo lentamente hacia el resultado final, esperando hasta el último momento antes de exponer la terminología científica, deseando que así pueda ser usado en un aula, en casa o en cualquier otro lugar y con otras personas que deseen conocer más sobre este maravilloso fenómeno y tengan pavor a las ecuaciones.

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- Sólo se observa cuando se mira con una dirección concreta, unos 40º - No veríamos colores. La reflexión no descompone la luz en sus siete colores Por tanto, debe de haber algo más. La respuesta es fácil, no sólo se produce reflexión, sino también refracción: el haz de luz debe entrar en la gota de agua. Con este cambio, ya explicamos la descomposición en colores de la luz: cada color se refracta de una forma distinta; al atravesar la superficie de la gota, se empieza a formar el arcoiris. Pero aún más cosas tienen que haber. ¿Dónde debemos situarnos para ver el “arco de lluvia” que dicen los ingleses? Debemos estar de espaldas al Sol, cuando éste está bajo en el horizonte; si no, la luz del Sol nos cegaría y no veríamos nada. Así que la luz debe reflejarse en el interior de la gota:

Primeras observaciones El origen del arcoiris es de “dominio público”, se produce al reflejarse la luz en las gotas de agua. Pero, ¿es eso cierto? Aquello que todo el mundo dice, ¿es verdad? Las dos imágenes que siguen a estas líneas muestran que no es tan simple.

Imagen 1

Imagen 2

Si las gotas de lluvia “simplemente” reflejasen la luz, habría dos posibilidades: que se comportaran como una cortina (imagen 1) y por lo tanto, veríamos al Sol como reflejado en un espejo, o que cada gota reflejara la luz de forma individual (imagen 2). En este último caso, no se cumplirían dos de las características que se observan al ver un arcoiris:


De este modo, antes de salir hacia nuestros ojos, la luz ha sufrido dos refracciones y una reflexión. La cuestión ahora es… al reflejarse la luz en el interior de la gota, ¿no se refracta y sale? La respuesta es afirmativa, pero también lo es si nos hacemos la pregunta inversa en el punto en que el rayo de sol toca a la gota y en el punto en el que el arcoris sale de ella: en los tres puntos se producen los dos fenómenos, reflexión y refracción, y la “energía luminosa” se reparte entre los dos haces, el reflejado y el refractado. Así explicamos por qué lo que los franceses llaman el “arco en el cielo” es tan tenue, se ha dispersado mucha luz por el camino hacia nuestros ojos. Avanzando un poco Ya Aristóteles se dio cuenta de que la luz procedente del Sol se reflejaba en cada una de las gotitas bajo un ángulo fijo, formando superficies cónicas de luz. De cada uno de estos conos llega a nuestro ojo una sola de sus

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generatrices. Esto tiene una implicación que podríamos llamar poética: a otro observador diferente le llegará luz de otras gotas y verá otro arcoiris distinto. Intentemos deducir resultados y planteemos alguna ecuación. Empecemos por suponer que las gotas son esféricas. Esta suposición no está tan separada de la realidad como el conocido chiste sobre físicos, una gota de agua es tan pequeña y tiene una tensión superficial tan elevada que hasta tamaños bastante más grandes que los típicos de una gota de lluvia la forma es esencialmente esférica. Sólo el viento o lluvias torrenciales deforman las gotas, e impiden también la formación del arcoiris. Supongamos que el rayo de Sol incide horizontalmente sobre la gota en un punto situado a unidades por encima del ecuador y, por simetría, analicemos el corte transversal de la misma de radio R. En 1667 Snell enunció la ley de la refracción por todos conocida:

No obstante, a nosotros nos interesa el ángulo respecto a la horizontal, que vemos fácilmente que vale:

Θ = 4·ϑrefl − 2·ϑinc Por trigonometría elemental,

senϑinc =

a R

de la que, aplicando la ley de Snell haciendo naire =1, obtenemos:

senϑinc =

a y R

senϑrefr =

a n·R

Hagamos, por comodidad x = a/R, y así:

Θ = 4·arcsen

x − 2·arcsenx n

Usando el valor de nagua = 1.33 obtenemos la siguiente representación gráfica:

ninc · sen ϑinc = nrefr · sen ϑrefr siendo ninc y nrefr los índices de refracción de los medios de incidencia y de refracción. Aplicada al haz incidente, y sabiendo que para la reflexión se verifica:

ϑinc = ϑrefr junto con el hecho geométrico de que los dos triángulos que se definen en el interior de la gota son isósceles (dos de sus lados son el radio de la gota):

Hay máximo sobre x = 0.85 (el radio vector del haz forma un ángulo de unos 58º con la horizontal). Esto significa que hay una acumulación de rayos saliendo de la gota en torno a este ángulo. Si retomamos la idea de gota esférica, y analizamos este corte transversal, hemos explicado el cono del que hablaba Arquímedes. ¿Y los colores? Para obtener la gráfica anterior, hemos usado un valor nagua = 1,33 para el índice de refracción de las gotas. Sin embargo, experimentalmente se ha comprobado que hay una pequeña influencia de la longitud de onda de la luz incidente, lo que hace que los máximos estén ligeramente desplazados de un color a otro. Es decir, cada color tiene su dirección preferente.

nos permite deducir que, respecto a las normales a la circunferencia, el ángulo de salida es igual al ángulo de incidencia.

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No obstante, cuando observamos algo sólo vemos aquello que ha reflejado (o emitido) un haz de luz hacia nuestros ojos. De este modo,

El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometría – Álvaro Valdés Menéndez

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ISSN: 1988 - 379X


sólo vemos aquél haz de color que vaya directamente hacia nuestra pupila. Necesitamos más de una gota para ver un arcoiris.

Si analizamos, por último, la ya citada influencia del color de la luz en la refracción, obtenemos experimentalmente que para la luz roja nagua = 1,332, mientras que para la luz violeta nagua = 1,343. De este modo, Θrojo = 42.22º

y

Θvioleta = 40.65º

o sea, una amplitud de más de grado y medio desde el color rojo (superior) hasta el violeta (inferior). ¿Y por qué es un arco?

Matemática avanzada Ya hemos analizado cualitativamente y sin mucho esfuerzo matemático nuestro querido arco iris. Vayamos un poco más lejos, obtengamos analíticamente la posición del máximo:

De nuevo, en el boceto de Descartes tenemos la respuesta: El suelo nos impide ver el círculo completo. Desde lo alto de una montaña o desde un avión en vuelo podríamos ver un “círculoiris”.

Derivando la expresión de Θ

Θ = 4·arcsen

x − 2·arcsenx n

obtenemos:

Θ' =

4n n −x 2

2

−

2 1 − x2

Igualamos a cero y resolvemos:

Θ=±

4−n 3

2

Con el valor promedio de nagua = 1.33 obtenemos Θ = ± 0.861 es decir, un ángulo de visión de 42.03º desde el suelo con simetría cónica, como bien muestra este boceto de Descartes:

¿Y si analizamos las otras reflexiones internas? Es perfectamente posible, y en ocasiones se observan, haces provenientes de otras reflexiones. Si recuperamos lo dicho anteriormente acerca de la pérdida de intensidad luminosa en cada reflexión/refracción, estos segundos arcos serán más tenues aún que los primeros. Rehaciendo los cálculos para la segunda reflexión se obtiene: Θrojo = 50.63º

y

Θvioleta = 53.48º

es decir, aparecen invertidos respecto al arco primario. Debe notarse también que el arco secundario aparece casi 8 grados por encima del primario, lo que deja una zona que se aprecia más oscura y que recibe el nombre de banda oscura de Alejandro de Afrodisias. En ocasiones, y cuando los arco iris primario y secundario son muy intensos, parecen arcos menores entre los dos, y reciben el nombre de arcos supernumerarios, y son consecuencia de interferencias constructivas entre diversos haces en el interior de las gotas.


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¿Y el caldero de oro? De las definiciones y los cálculos hechos en el artículo, deducimos que si intentamos acercarnos a la cortina de lluvia, el arco iris irá disminuyendo paulatinamente hasta desaparecer cuando alcanzamos su base. Por este motivo no se puede nunca alcanzar esa cestita con monedas de oro que se encuentra en la base del arco iris, tal y como nos relata un cuento inglés.

Se cuenta la anécdota del pasajero de una avioneta que, viendo el arcoiris en el cielo, pidió al piloto que lo atravesara. Por desgracia para él, el arcoiris nunca fue aumentando hasta convertirse en una pared de colores, sino que simplemente se desvaneció; el avión se había acercado demasiado a la cortina de lluvia que generaba el arcoiris.

Para saber más: 1.

http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_iris

2. http://es.wikibooks.org/wiki/Física/Óptica/Teoría_completa_del_Arco_Iris 3. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/ondas/movimiento/arcoIris/arcoIris.xhtml 4. http://www.fq.profes.net/archivo2.asp?id_contenido=35220

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El arcoiris, la aplicación más hermosa de la trigonometría – Álvaro Valdés Menéndez

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Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfica Rosana Álvarez García, Profesora de Tecnología del I.E.S. “Alfonso II", de Oviedo (Asturias) -------Las vigas constituyen un elemento fundamental de la mayoría de las estructuras mecánicas. Las cargas que soportan producen en ellas una serie de deformaciones que se manifiestan en pequeñas curvaturas que se denominan flexión. El estudio de estas deformaciones precisa conocer el esfuerzo cortante y el momento flector en cada una de las secciones de la viga. La calculadora gráfica nos permite representar y resolver las ecuaciones resultantes del estudio de las fuerzas que actúan sobre la viga ayudándonos en la resolución e interpretación de los esfuerzos que sufren las estructuras al ser sometidas a determinadas fuerzas. Vamos a ver las aplicaciones de la calculadora gráfica en la resolución del siguiente ejercicio: Actividad 1 La viga de la figura soporta una carga uniforme de 3,2 KN/m y una carga concentrada de 20 KN. Representar el diagrama de esfuerzos internos y dimensionar la viga teniendo en cuenta que la tensión admisible es de 24 000 N/cm2. Suponer un perfil cuadrado.

Una carga uniforme equivale a una carga puntual de valor P = p·l y situada en el centro de gravedad de la sección de viga a la que afecta. En primer lugar calculamos el valor de las reacciones en los apoyos y los momentos entre ellos. Si la viga está estática la suma de las fuerzas verticales y horizontales debe ser cero, es decir: ΣFx = 0

ΣFy = 0

El momento resultante también debe ser 0: ΣMA = 0 ⇒

20 KN·9m + 3,2 KN/m·25m·25/2m + RB·20 = 0 RB = -59 KN

ΣMB = 0 ⇒

-20 KN·11m + 3,2 KN/m·25m·20/2m + RA·20 = 0 RA = -29 KN

Para que la viga quede definida debemos estudiar tres secciones. La primera sección corresponde a la parte de la viga situada entre el punto A y la fuerza de 20 KN.


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Número 3 - Diciembre 2008 Esta primera sección está comprendida entre o y 9 m, y de su análisis obtenemos las siguientes ecuaciones: 0
ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x +T(x) = 0 T(x) = -3,2·x + 41 ΣMx = 0 ⇒

RA·x + p·x·x/2 + M(x) = 0 M(x) = -1,6·x2 + 41·x

En la segunda sección de la viga vamos desde el recorriendo la viga desde el punto A hasta el punto B:

9
ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x + 20 +T(x) = 0 T(x) = -3,2·x + 21 ΣMx = 0 ⇒ RA·x+p·x2/2+20·(x-9)+M(x)=0 M(x) = -1,6·x2 + 21·x + 180

En la tercera sección recorremos la viga desde los 20 metros hasta el final:

20
ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x + 20+RB +T(x) = 0 T(x) = -3,2·x + 80 ΣMx = 0⇒ RA·x+p·x2/2+20·(x-9)+RB·(x-20)+M(x)= 0 M(x) = -1,6·x2 + 80·x - 1000

Vamos a representar las gráficas de cada sección empleando la calculadora CASIO fx-9860G. Desde el MENU de la calculadora y utilizando los cursores accedemos al modo GRAPH

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Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfica gráfica

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Tecleamos las ecuaciones obtenidas en cada sección para los esfuerzos y los momentos Para delimitar el intervalo de cada ecuación en la calculadora gráfica debemos introducir la ecuación una coma y el intervalo entre 0 y 9 entre corchetes

-

x

[

Ans

3

2

X

x

[ ALPH A

SH IFT

+

0

,k ,

+

+

4

1

y

] 9

ALPHA

,k ,

-

Obtenemos el siguiente diagrama de esfuerzos

En el caso de los momentos tendremos:

Introducimos los datos en la calculadora en el modo GRAPH y nos queda:

Para dimensionar la viga debemos conocer el máximo de la función, para ello:

SH IFT

G-Sol MAX F5 F2

EXE

En este caso el máximo se alcanza en el punto de corte entre las dos curvas, con la calculadora:

SH IFT

G-Sol ISCT F5 F5

EXE


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Número 3 - Diciembre 2008 Es necesario conocer el punto en el que la viga presenta un mayor momento flector que como vimos gráficamente se corresponde con el punto 9 y un esfuerzo flector de 239,4. Todo momento flector origina una tensión normal que depende del valor del flector, de la distancia a la fibra neutra y el momento de inercia. La máxima tensión que se produce en la fibra más alejada de la fibra neutra (ymáx = ½) σ=

=

l = 18,16 cm Otra forma de calcular el punto con el momento flector mayor es a través de las derivadas de cada ecuación, para ello seguiremos los siguientes pasos con la calculadora gráfica: Activamos la opción de derivadas en la calculadora: SH IFT

SET UP ME NU

Con los cursores bajamos hasta la opción derivada

ON F1

Volvemos a escribir las ecuaciones en la calculadora pero desde el modo TABLE y sin especificar intervalos, escribimos las ecuaciones de los momentos flectores:

Obtenemos la tabla de valores estableciendo previamente los valores a calcular, en nuestro caso los valores que toma la variable x van desde 0 a 25; establecemos el intervalo con el que queremos trabajar:

SE T F5

TABL F6

Ya tenemos las tres funciones que nos indican el comportamiento del momento flector en cada sección con la derivada en cada punto asociada. El punto en el que la derivada primera sea cero, tenemos un máximo o un mínimo, puntos de mayor esfuerzo flector en la viga. Una vez conocidos estos puntos llevaríamos a cabo su estudio. En este caso el momento flector máximo se encuentra en el punto de corte de las dos funciones resultantes en el planteamiento del problema.

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Actividad 2 Analizar la viga de la figura determinando los momentos máximos positivo y negativo y trazando los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. El perfil I de la viga si σadm = 1 200 Kg/cm2 1 000 Kg

2 000 Kg/m

A

B

2

1

4

Una carga uniforme equivale a una carga puntual de valor P = p·l y situada en el centro de gravedad de la sección de viga a la que afecta. En primer lugar calculamos el valor de las reacciones en los apoyos y los momentos entre ellos. Si la viga está estática la suma de las fuerzas verticales y horizontales debe ser cero, es decir: ΣFx = 0 ΣFy = 0 El momento resultante también debe ser 0: ΣMA = 0 ⇒ 2 000 Kg · 5m · 5/2 m – 1 000 Kg · 2 m - RB · 4 = 0 25 000 – 2 000 - 4 · RB = 0 RB = 5750 Kg ΣMB = 0 ⇒

-1 000 Kg · 6 m – 2 000 Kg/m · 5 m · 1,5 m + RA·4 = 0 RA = 5 250 Kg

Para que la viga quede definida debemos estudiar tres secciones. La primera sección corresponde a la parte de la viga situada entre la fuerza de 1 000 Kg y el punto A. 1 000 Kg

2 000 Kg/m

A 2

B 1

4

Esta primera sección está comprendida entre 0 y 2 m, y de su análisis obtenemos las siguientes ecuaciones: 0
ΣMx = 0 ⇒

M(x) = 0 M(x) = -1 000 · x

En la segunda sección de la viga vamos desde el recorriendo la viga desde el punto A hasta el punto B:


49


ΣFy = 0 ⇒ RA+ p·x + 1 000 +T(x) = 0

2
1 000 Kg

T(x) = 5 250 – 2 000·(x - 2) – 1 000 T(x) = -2000·x + 8250

2 000 Kg/m · 5

A

1,5

2

ΣMx = 0 ⇒ M(x) = -1 000· x + 5250·(x-2) – 2000·(x-2)2/2 M(x) = - 1 000 · x2 + 8 250·x – 14 500

B

4

En la tercera sección recorremos la viga desde los 6 metros hasta el final: ΣFy = 0 ⇒ -1000 + 5250 – 2000·x + 5750 +T(x) = 0

6
1 000 Kg

2 000 Kg/m

A

T(x) = -2000·(x – 6) + 2000 ΣMx = 0⇒ -1000·x+5250·(x-2)–2000·(x-2)2/2 + 5750·(x-6) + M(x)= 0

B

2

1

4

M(x) = -100·x2 + 14 000·x – 49 000 Vamos a representar las gráficas de cada sección empleando la calculadora CASIO fx-9860G. Desde el MENU de la calculadora y utilizando los cursores accedemos al modo GRAPH

Tecleamos las ecuaciones obtenidas en cada sección para los esfuerzos y los momentos Para delimitar el intervalo de cada ecuación en la calculadora gráfica debemos introducir la ecuación una coma y el intervalo entre 0 y 9 entre corchetes

-

x

[

Ans

3

2

X

x

[ ALPH A

SH IFT

+

0

,k ,

+

+

4

1

y

] 9

ALPHA

,k ,

-

Obtenemos el siguiente diagrama de esfuerzos

En el caso de los momentos tendremos:

Introducimos los datos en la calculadora en el modo GRAPH y nos queda:

Para dimensionar la viga debemos conocer el máximo de la función, para ello:

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SH IFT

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G-Sol MAX F5 F2

EXE

En este caso el máximo se alcanza en el punto (4.125, 2515.625)

EXE

SH IFT

SET UP ME NU

Otra forma de calcular el punto con el momento flector mayor es a través de las derivadas de cada ecuación, para ello seguiremos los siguientes pasos con la calculadora gráfica.

Opción derivada

ON F1

Volvemos a escribir las ecuaciones en la calculadora pero desde el modo TABLE y sin especificar intervalos. Escribimos las ecuaciones de los momentos flectores.

Tenemos que eliminar los intervalos para poder trabajar en el modo tabla Obtenemos la tabla de valores estableciendo previamente los valores a calcular, en nuestro caso los valores que toma la variable x van desde 0 a 25. Establecemos el intervalo con el que queremos trabajar. SE T F5

TABL F6

TABL F6

Para x = 4.125 el valor de la derivada de la ecuación del segundo momento flector es nula, lo que indica la presencia de un máximo o un mínimo, que se observa en la gráfica. Ya tenemos las tres funciones que nos indican el comportamiento del momento flector en cada sección con la derivada en cada punto asociada. El punto en el que la derivada primera sea cero, tenemos un máximo o un mínimo, puntos de mayor esfuerzo flector en la viga. Como ya vimos el valor máximo positivo del momento, se obtiene en la sección de abscisa x = 4.125. Para este valor obtenemos un momento de valor aproximado de 2516 Kg·m El perfil lo obtenemos calculando el momento máximo en relación con la tensión máxima admisible, σadm = 1 200 Kg/cm2 y nos queda: 2516Kg·m = 2516·100 Kg·cm

El uso de la calculadora nos permite observar gráficamente los puntos de mayor momento flector y su cálculo.


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LITERATURA MATEMÁTICA Marta Martín Sierra Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos ment menti ntirosos (Henry (Henry David Thoreau) Thoreau) NOVEDADES

El teorema de Almodóvar

(Antoni (Antoni Casas Ros) Ros)

144 páginas - Nivel: Bachillerato - 16.50 €

Hace quince años que nadie me ve. Para tener una vida hay que disponer de un rostro.» Una nueva voz que no dejará indiferente. Antoni, el narrador de esta historia, quedó desfigudesfigurado a los veinte años a consecuencia de un acciaccidente de tráfico. Perdió el rostro, y con él la oportuoportunidad de llevar una vida normal. Dotado de un tatalento especial para las matemáticas, Antoni vive aislado en un universo propio hecho hecho de álgebra, liliteratura y cine. El encuentro con un transexual llamado Lisa y Pedro Almodóvar cambia su vida para siempre. La pasión reflejada en la mirada de Lisa y la intensidad de la mirada de Almodóvar le devuelven la ilusión, las ganas de explorar el munmundo. Comienza así un singular proyecto al más puro estilo Almodóvar, el de hacer una película basada en la vida de Antoni. Novela muy breve, escrita de forma muy especial. Muy legible, pero diferen diferente a todo.

El laberinto de la rosa

(Titania (Titania Hardie) Hardie)

432 páginas -

Nivel: Bachillerato Bachillerato -22 €

Un enigma por descifrar, un legado por desentedesenterrar, un corazón por curar. Una madre lega en su testamento un misterioso escrito y una sencilla llave de plata al menor de los hermanos. La tradición familiar establece que didichos objetos pasen de madres a hijas, pero ella, al tener únicamente hijos varones, se devana los sesos durante las últimas semanas de su vida para decidecidir qué hacer con aquellas curiosas menudencias sin valor aparente que habían permanecido en el seno de la familia durante generaciones. Tal vez debería recibirlas Alex, pe pero siempre ha estado muy unida a Will, y aunque en verdad ama por igual a ambos, ella se aferra al presentimiento de que éste último es el destina destinatario más idóneo. El documento parece tener mucho que decir.

Ampliar 52

LITERATURA MATEMÁTICA

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en todos los niveles educativos (infantil, primaria, secundaria y universitaria) más que en los contenidos matemáticos.

Abel Martín y Marta Martín Sierra -------------------------

Queremos mencionar en un lugar destacado la celebración, dentro de unos meses, de las XIV JAEM en Girona, del 1 al 4 de julio de 2009. Todo empezó en diciembre de 1980, en una reunión celebrada en Sevilla, donde se decidió organizar “una serie de encuentros periódicos para profesores de EGB, BUP, FP y Universidad, destinados a potenciar el intercambio de experiencias, la renovación metodológica y la reflexión sobre su quehacer" y ya vamos por la decimocuarta edición.

Temas de las XIV JAEM La enseñanza en general, y la enseñanza de las matemáticas en particular, no puede mantenerse ajena a los cambios constantes y acelerados que se producen en la sociedad. Continuamente surgen nuevas necesidades en la formación matemática de las personas y, a la vez, aparecen nuevas ideas, formas y herramientas educativas para afrontar estos retos. Cada vez es más relevante, en el quehacer y en el trabajo cotidiano, disponer de capacidades matemáticas fundamentales como la de pensar y razonar matemáticamente, la de plantearse y resolver problemas, la de obtener, interpretar y generar información con contenido matemático, la de utilizar técnicas matemáticas básicas e instrumentos para hacer matemáticas, la de interpretar y representar expresiones, procesos y resultados matemáticos, la de comunicar a otras personas ideas matemáticas. Sin olvidar los habituales contenidos curriculares, la educación matemática actual ha de intentar aportar a las futuras generaciones estas capacidades matemáticas de fondo que les ayudaran a interactuar eficaz y constructivamente con su entorno. Es por todo ello que la XIV edición de las JAEM del 2009 a celebrar en Girona estará centrada en las competencias matemáticas…


La tabla que sigue detalla los siete grandes temas sobre los que deberán versar las ponencias y comunicaciones que se presenten en las Jornadas. Los descriptores que acompañan a cada tema tan sólo pretenden orientar, que no detallar de forma exhaustiva, sobre el significado de las diferentes denominaciones que se han dado a los temas. 1.- Planteamiento y resolución de problemas

El planteamiento y la resolución de problemas es uno de los componentes esenciales de la actividad matemática y de su aprendizaje. Es importante que estén presentes de forma continuada a lo largo de todo el periodo formativo del estudiante y no constituir una pieza aislada de los diferentes currículos 2.- Pensamiento y razonamiento matemático

La actividad matemática desencadena procesos que permiten desarrollar capacidades genéricas (explorar, clasificar, analizar, generalizar, estimar, inferir, abstraer, argumentar) y otras más específicas asociadas al pensamiento lógico y la capacidad de razonamiento (deductivo, inductivo, analógico). A su vez educa la percepción y visualización espacial, estimula la actitud crítica, agudiza la intuición, fomenta la creatividad, prepara para la toma de decisiones y el enfrentamiento con situaciones nuevas... Pero a pesar del tópico según el cual las matemáticas enseñan a pensar, estos procesos no se producen de forma espontánea. 3.- Simbolismo, formalización y demostración en matemáticas

La abstracción no es una característica exclusiva de las matemáticas, como tampoco lo son otros procesos cognitivos de índole matemática tales como analizar, categorizar, conjeturar, generalizar, sintetizar, definir, demostrar, formalizar... Pero sin duda adquieren gran importancia en los procesos de enseñanza de las matemáticas ya que se realizan en contextos idóneos para alcanzar niveles de abstracción y formalización. Las diversas notaciones simbólicas que se emplean en la construcción y la formalización de conceptos matemáticos, y la importancia que se asigna a la comprensión y uso de símbolos.

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Número 3 - Diciembre 2008 4.- Comunicar en, con y sobre las matemáticas

Este bloque temático está dedicado a la comunicación matemática en el sentido más amplio del término y en los contextos más dispares que nos podamos imaginar 5.- Modelización y representación en matemáticas

Las matemáticas nos ayudan a modelar e interpretar una gran variedad de situaciones de todo tipo. Pero los modelos tan solo aspiran a ser buenas aproximaciones a la realidad. 6.- Herramientas, materiales y otros recursos de apoyo para trabajar matemáticas

El desarrollo tecnológico pone a nuestra disposición múltiples y variadas herramientas digitales que pueden ser utilizadas para enseñar matemáticas que se añaden a la gran cantidad de materiales manipulativos de calidad que a lo largo de la historia han estado presentes en las clases de matemáticas.7.- Conexiones y contextos

Comprender significa hacer conexiones, relacionar nuevos conocimientos con otros ya conocidos. La matemática, aunque se presente a menudo en compartimentos estancos, es un todo y está vinculada a aspectos de la vida cotidiana que a menudo pasan desapercibidos. La Ciudad de Girona es una ciudad que, además de su patrimonio histórico y monumental, forma parte de la Asociación Internacional de Ciudades Educadoras.

Trabajos a presentar:

Como siempre, aquellos interesados en participar, además de asistir, lo podrán hacer en alguna de las siguientes modalidades: - Comunicación oral en alguno de los núcleos temáticos. - Presentación de un Taller. - Participación en el Zoco Matemático. NOVEDAD:

En las Jornadas de Girona se introduce la novedad de las “comunidades” o “encuentros entre iguales”. Concebimos una “comunidad” como un foro de discusión virtual (a través de la red) en torno a un tema muy específico de interés para la comunidad de profesores de matemáticas. El objetivo es que en los meses previos al Congreso de Girona se genere una discusión y un intercambio de información suficientes entre los profesores interesados en la temática de la comunidad para culminar, en el transcurso de las Jornadas, en un encuentro personal de los participantes en el foro virtual para procurar llegar, si es factible, a algún tipo de conclusión. No sé descarta que la “comunidad” pueda tener continuidad después de las JAEM. Veamos algunas comunidades previstas: A. Geometría dinámica B. Matemáticas e inglés C. Formación permanente del profesorado D. Formación inicial del profesorado E. Calculadoras en el aula Definición

El Auditori-Palau de Congresos está dotado con las mejores tecnologías que se necesitan por este congreso y con sus diferentes salas y espacios cubrirá la mayor parte de las necesidades de espacio para las sesiones plenarias, ponencias, talleres,...

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Bajo la denominación genérica de comunidad (o “encuentro entre iguales”, “foro virtual de discusión”, ...) entenderemos como un lugar virtual que utiliza las facilidades de Internet para propiciar que un grupo de personas interesadas conozcan, intercambien y discutan ideas, experiencias y información variada acerca de una determinada temática. Organización

Al frente de cada comunidad hay dos personas -designadas por el Comité de Programa de las XIV JAEM- responsables de dinamizar y ordenar el funcionamiento de aquélla, así como de recapitular al final del proceso los principales resultados/conclusiones/... a que se haya podido llegar.

XIV JAEM de Girona - Abel Martín y Marta Martín Sierra

DP. - AS - 5119 - 2007


La adscripción inicial a una determinada comunidad es voluntaria y el interesado se incorpora a la misma desde la página web de las XIV JAEM. Se supone que la adscripción a una comunidad conlleva en la persona que la realiza un compromiso implícito de participar de una forma más o menos fluida y constructiva en la dinámica de la misma. La organización de la dinámica interna de una comunidad –en relación a los temas a tratar, a las preguntas a discutir,... – es responsabilidad exclusiva de los responsables de aquélla los cuales tienen plena libertad de actuación. Las diferentes comunidades de estas XIV JAEM se abrirán a principios del mes de enero de 2009 y se mantendrán abiertas hasta poco antes de finalizar el congreso a primeros de julio. Durante las XIV JAEM se habilitará para cada comunidad un espacio en la sede del congreso y un tiempo para que las personas que asistan al mismo puedan continuar de forma presencial la discusión mantenida de forma virtual durante los primeros meses del 2009. Tan sólo podrán inscribirse a estas sesiones presenciales aquellas personas que, a criterio de los responsables de la comunidad, hayan participado de forma activa en la misma durante su fase virtual previa. Los requerimientos informáticos para hacer efectiva las discusiones virtuales en el seno de cada comunidad corren a cargo del Comité Organizador de las XIV JAEM. Otros

La información genérica de presentación de cada comunidad será elaborada por los responsables de la misma (ver criterios generales al final de este documento) y figurará en la página web de las XIV JAEM. Será a partir de esta página que la persona interesada realizará la inscripción inicial a la comunidad y entrará en el foro de la misma. Aquellas comunidades que quieran que se publique en las pre-actas del congreso un resumen de las principales aportaciones realizadas en el foro virtual de la misma, deberán remitir el documento correspondiente antes del 30 de abril de 2009. Compete a los responsables de la comunidad la elaboración del documento.


ISSN: 1988 - 379X

COMUNIDAD "CALCULADORAS EN EL AULA" Coordinación << Mauricio Contreras del Rincón, Licenciado en Matemáticas, Diploma de Estudios Avanzados. Profesor de Secundaria IES Benicalap (Valencia), Profesor asociado Dpto. Didáctica de las Matemáticas, Universidad de Valencia. Ponente de cursos de formación del profesorado sobre calculadoras científicas, gráficas y simbólicas. Miembro de la División didáctica CASIO. >> << Ricard Peiró i Estruch, Licenciado en Matemáticas, Profesor de Secundaria IES Abastos (Valencia). Ponente en cursos de formación del profesorado sobre el uso de las TIC y las calculadoras en el aula.>> Temática El actual desarrollo de las nuevas tecnologías, el proceso de convergencia de sistemas educativos europeos y el nuevo cambio que supone la LOE, hacen necesario reflexionar sobre la incidencia del uso de calculadoras tanto en el currículo como en la dinámica de las clases. El objetivo fundamental de esta comunidad es la discusión, reflexión e intercambio de experiencias de aula sobre los efectos de las calculadoras en el currículo. Se pretende elaborar un documento de conclusiones, con orientaciones para el profesorado, que figurará en las actas del congreso. Los temas que se tratarán son los siguientes: 1. LAS CALCULADORAS Y EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS • ¿Contribuyen las calculadoras a la adquisición de las competencias básicas? ¿Cómo? • Con el uso de calculadoras pueden tratarse en clase contenidos matemáticos nuevos. Por ejemplo, hoy es posible ajustar distintos modelos de regresión a una nube de puntos y no solo el lineal. ¿En qué medida el currículo debería adaptarse a las posibilidades que abren los nuevos modelos de calculadoras? ¿Cómo afectan las calculadoras a los contenidos matemáticas que se llevan al aula? • Modelización y simulación con calculadoras: ¿una nueva forma de pensar en la clase de matemáticas? • Con las calculadoras gráficas y simbólicas ¿se favorecen las conexiones entre distintas partes de las matemáticas y entre las matemáticas y otras áreas?

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Número 3 - Diciembre 2008 2. LAS CALCULADORAS EN PRIMARIA: • ¿Qué experiencias hay en nuestro país? ¿Qué experiencias hay en otros países? ¿Se pueden usar las calculadoras gráficas con niños de 10 años? • “Con la introducción de las calculadoras en el aula, mis alumnos no sabrán calcular...” ¿Son incompatibles las calculadoras con el cálculo mental y escrito? • ¿Por qué hay tendencia a considerar que las calculadoras son nocivas para el cálculo mental y, sin embargo, no se piensa lo mismo de los ordenadores? 3. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON CALCULADORAS: • ¿Qué tipo de calculadora? ¿Qué tipo de problemas? • Los estudiantes investigan con calculadoras en el aula: ¿ficticio, real o posible? • El uso de calculadoras en el aula ¿favorece que cada vez más estudiantes alcancen los niveles de conexión y reflexión y abandonen progresivamente el nivel de reproducción? 4. LAS CALCULADORAS GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO: • ¿Más calculadora=menos cálculo mental? • ¿Más calculadora=menos álgebra? • ¿Más calculadora gráfica=más geometría=más imaginación? • ¿Se puede hacer geometría analítica con la calculadora gráfica? 5. LAS CALCULADORAS GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS EN LA UNIVERSIDAD: • ¿Las calculadoras demuestran teoremas? • ¿Cómo se puede conjeturar con una calculadora gráfica? • Las calculadoras gráficas y simbólicas ¿favorecen los procesos de razonamiento de los estudiantes universitarios?

7. ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA Y CALCULADORAS: • Actualmente, el uso de una calculadora elemental o científica es un conocimiento básico para la vida cotidiana. En un futuro, ¿será imprescindible saber manejar una calculadora gráfica o simbólica para la vida cotidiana? 8. DESARROLLO TECNOLÓGICO Y CALCULADORAS: • El desarrollo actual de ordenadores cada vez más pequeños, ¿puede afectar al desarrollo de las calculadoras gráficas y simbólicas? • En un futuro ¿existirán diferencias entre ordenadores de bolsillo y calculadoras gráficas o simbólicas? • ¿Será posible en un futuro escribir manualmente sobre la pantalla de una calculadora gráfica, sin necesidad de pulsar teclas? 9. LAS CALCULADORAS EN LA PRÁCTICA • ¿Los precios son excesivos? • ¿La heterogeneidad de modelos de calculadora es un problema? • ¿Pueden coexistir el software específico de matemáticas de los ordenadores con las calculadoras gráficas? ¿Se podrían compatibilizar los programas para que fueran exportables a calculadoras gráficas y viceversa? Interesa especialmente en este foro recoger experiencias de aula relacionadas con los dos primeros temas. En este sentido, queremos animar a todos los profesores a que hagan sus aportaciones.

6. LAS CALCULADORAS GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS EN SELECTIVIDAD: • ¿Qué ocurre en otros países de nuestro entorno y qué ocurre aquí? • ¿Adecuar las calculadoras a los exámenes o los exámenes a las calculadoras?

¡Nos vemos en Girona!

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XIV JAEM de Girona - Abel Martín y Marta Martín Sierra

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PROYECTO: "Cine y TV" como recurso didáctico en el Aula de Matemáticas Marta Martín Sierra, Facultad de Matemáticas de la Universidad de Oviedo. Abel Martín, Profesor de Matemáticas del I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo. ------------------------El Proyecto iniciado hace dos años está en marcha. Los momentos de ocio de nuestros jóvenes, en una sociedad cada vez más tecnificada, están ocupados por los amigos, el deporte, la música, el ordenador, las videoconsolas… y en gran medida por el CINE, con increíbles efectos visuales, argumentos atractivos, superproducciones de más o menos presupuesto, que intentan atraer al espectador, acompañadas de una gran dosis de publicidad, que hace que las carteleras vía Internet sean uno de los lugares más visitados: - ¿Qué película vamos a ver? -es una de las preguntas habituales al llegar el fin de semana. Por otro lado vamos a hablar de las Matemáticas. Uno de sus objetivos fundamentales, ya desde la edad más temprana, es hacer comprender que todo lo que nos rodea está impregnado de ellas. Frases como "el Universo está controlado por los números" quedan pequeñas si miramos a nuestro entorno, "nuestra vida cotidiana no tendría sentido sin las matemáticas". Si bien tienen un gran prestigio y reconocimiento social, la mayoría de las personas no tienen un buen recuerdo de su encuentro y andadura con las mismas en la escuela y el instituto. ¿Cuál es el motivo? todos tenemos una ligera idea, pero éste no es el motivo de nuestra exposición. Bajo estas premisas, intentemos hacer un cóctel en el que los ingredientes principales sean LAS MATEMÁTICAS Y EL CINE, como medio de popularización y divulgación, donde cuidaremos en especial los procedimientos y la forma de mezclarlos, para que al alumno le guste, le siente bien, y le permita hacer una mejor digestión de los conceptos y la abstracción matemática, con la intención de que sea para todo y para todos. El primer gran problema es encontrar el "condimento".


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Realmente el Cine, que ha tratado la práctica totalidad de las actividades humanas, por muy extrañas y rebuscadas que fueran, ha dejado de lado todo lo relacionado con tan excelsa ciencia, quizás por miedo a la repulsión que pueda causar en el espectador, a pesar de que han sido clave en el desarrollo científico, artístico, filosófico e incluso fuente inagotable de los avances con los que cada vez se perfecciona más la propia realización cinematográfica, y cuando se ha dignado a hacerlo, siempre ha sido encasillada en unos clichés claros: el personaje de matemático despistado, un tanto excéntrico, normalmente tímido y no muy atractivo, de indumentaria despreocupada, esquizofrénico, es decir, nada recomendable. Como profesores de matemáticas, los objetivos fundamentales que perseguimos a lo largo de este proyecto son, fundamentalmente: Fomentar el gusto por las Matemáticas a través del cine, aprovechando su prestigio entre los adolescentes. Paradójicamente, ante ellos, una ficción puede dar realidad a las Matemáticas. Promover actividades para llevar al aula, interactivas, para trabajar con lápiz y papel, calculadoras, etc. diseñadas por la propia clase o a través de los foros que crearemos en Internet, en la dirección que más adelante señalaremos, para relacionarnos con otros profesores o simpatizantes, sin barreras ni distancias pues no debemos olvidar que uno de los objetivos básicos de las matemáticas es aprender a reflexionar críticamente sobre situaciones planteadas en la vida cotidiana, representada en este caso en el cine. Popularizar y divulgar las Matemáticas. Retomar la relación del cine y sus diferentes aspectos con el ámbito educativo, explorar sus aplicaciones educativas y contribuir a su difusión y utilización en las aulas y, en nuestro caso, más concretamente en los aspectos relacionados con las Matemáticas y la Didáctica. Servir de referencia al resto del profesorado para el diseño de actividades que busquen el desarrollo de una amplia gama de competencias curriculares en el alumnado participante en la experiencia: Para ello hemos desarrollado las siguientes ACCIONES:

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(1) Crear la Web www.mathsmovies.com repleta de información y desde donde proyectamos el resto de intervenciones. A saber: (a) Celebración de EXPOSICIONES. Empezamos con 30 láminas y ya estamos por las 60. Para las XIV JAEM tenemos preparada una exposición de 100 láminas. Se celebran de forma itinerante por la Geografía española, en Universidades, bibliotecas, Asociaciones, y ha sido traducida incluso al catalán.

(e) La oferta de un Curso ONLINE que lleva por nombre el propio título del proyecto, convocado por el Centro de Profesores y Recursos del Nalón – Caudal, con una preinscripción de 44 profesores de todo el Principado de Asturias. Evidentemente no se pudo satisfacer la petición de tantas personas.

La única contrapartida que pedimos en que nos remitan fotos de la celebración de las mismas.

Sesión inicial, presencial, en La Felguera

(f) La iniciación de un nuevo proyecto que llevara como nombre corto:

Más información aquí. (b) La participación como ponentes en cursos de Extensión Universitaria. Ciertamente con una gran acogida por parte del público. También es de resaltar la repercusión mediática que tuvo nuestra conferencia sobre "Las matemáticas en los Simpson". Los IES cada vez piden más nuestra colaboración en Semanas culturales, etc. pero la falta de tiempo nos está obligando a seleccionar las actividades. Más información aquí. (c) La colaboración en ciertas revistas de prestigio relacionadas con las matemáticas. En estos momentos estamos preparando una sección para la revista SIGMA. (d) La creación de un grupo de trabajo que lleva por título: Diseño de Unidades Didácticas: Cine y TV como fuente de información para mejorar las competencias matemáticas y científicas del alumnado de Secundaria Integrado por profesores del Principado de Asturias, con la colaboración del CPR del Nalón – Caudal. También contamos con la participación de personas de fuera de la Comunidad.

como consecuencia del gran interés mostrado por el tema de gran número de aficionados que se han puesto en contacto con nosotros, de países de todo el mundo, fundamentalmente de habla hispana. Tengo que reconocer que, ante la avalancha de peticiones realizadas para inscribirse en el curso que hemos planteado, nos hemos sentido "desbordados" y no hemos podido atenderlas, DE MOMENTO. Se han recogido los nombres y los mails para que, poco a poco, y de forma escalonada, iniciar la actividad a finales de enero de 2009. A partir de esa fecha, con todos los preinscritos y aquellos que lo vayan haciendo posteriormente, iremos enviado una invitación a la dirección facilitada para que podáis ir entrando en el curso y participar de nuestras inquietudes: "CINE Y TV" COMO RECURSO DIDÁCTICO EN EL AULA DE MATEMÁTICAS (PLATAFORMA INTERNACIONAL) Más información aquí Y otras muchas más cosas que iréis descubriendo si entráis en nuestra Web de www.mathsmovies.com Un saludo y felices fiestas: Abel Martín

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PROYECTO: "Cine y TV" como recurso didáctico en el Aula de Matemáticas

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LOS SIMPSON Y LAS MATEMÁTICAS Temporada 1. Marta Martín Sierra, Facultad de Matemáticas de la Universidad de Oviedo. Abel Martín, Profesor de Matemáticas del I.E.S. “Pérez de Ayala”, de Oviedo. -------------------------

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 1 "La Baby siter ataca de nuevo" (Some Enchanted Evening)

Marge llama a un consultorio sentimental radiofónico dirigido por el Dr. Marvin Monroe y confiesa que su matrimonio es un fracaso. Asustado tras oír la declaración, Homer decide llevársela a pasar una romántica noche, dejando a los niños con una canguro (Ms. Botz) que resulta ser una de las delincuentes más perseguidas por la policía.

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847.63 dólares. Así que no fue un precio escogido al azar... El fotograma correspondiente lo veremos al principio de la tercera temporada, para que os sigáis esforzando un poco y no visualicéis tan pronto la solución. Escena: 0:06:10 - 0:06:22 Homer acude a una floristería para comprarle unas flores a Marge.

- Querría unas flores -dice Homer. - ¿Qué tipo de flores? - Unas que no estén ya usadas. - Mire, tenemos unas rosas preciosas. Cincuenta y cinco dólares, doce. - Déme una.

Escena: 0:00:30 - 0:01:20 En la entradilla de cada capítulo, cuando Marge pasa por la caja registradora, ésta lanza un "fogonazo", pero no se aprecia muy bien el precio que marca la pantalla ...

COMENTARIO: A lo largo de los capítulos, veremos cómo en Los Simpson se utilizan números expresados en diferentes bases. En este caso acuden al sistema base 12.

¿Has logrado visualizar el número? ¿Crees que será un número al azar? ¿O quizás sea un mensaje? Esto empieza a ser ya una primera declaración de intenciones de lo que se nos vienen encima. Numerosos guiños matemáticos van a salpicar la mayoría de los capítulos. Ahora, lo que trataremos de hacer será ir localizándolos, con la ayuda de todos los que quieran participar, a modo de sagaces detectives investigadores. COMENTARIO En este caso concreto parece ser que el precio de Maggie corresponde a una estadística que apareció en una revista y que decía que el gasto medio de manutención en los Estados Unidos de un bebé durante un mes era de


Ciertamente el 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el mismo 12), que son 2, 3, 4 y 6; mientras que otros como el 10 sólo tiene dos factores propios: 2 y 5. Debido a esto, las multiplicaciones y divisiones en base 12 son más sencillas y, por tanto, el sistema duodecimal podríamos decir que es más eficiente que el decimal. Históricamente, el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones. Se cree que la observación de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un año es el motivo por el cual el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas. Algunos ejemplos incluyen el año de 12 meses, 12 signos zodiacales, 12 animales en la astrología china, etc. Debido a que el 12 es un número abundante, se emplea con profusión en las unidades de medida, por ejemplo, un pie son 12 pulgadas, una libra troy equivale a 12 onzas, una gruesa tiene 12 docenas, etc.

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Número 3 - Diciembre 2008 CUESTIÓN: ¿Se podría saber cuánto tendrá que pagar exactamente Homer a la floristería por la rosa? Un dato para la reflexión: Si cuestan 55 $ la docena, quiere decir que una rosa le costará 55/12, es decir: 4.583333... $ TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 2 "Bart el genio"

mitad de minutos que pasan de la hora, se bajan; pero la misma cantidad 3 veces más 6 suben. En la segunda estación la mitad de los pasajeros más dos se bajan, pero en la primera estación se habían subido el doble de pasajeros.

(Bart the Genius)

Bart hace trampa en un test de inteligencia y es tomado por un genio. Así, ingresa en un colegio para niños superdotados donde su mentira empieza a salir a la luz cuando no consigue adaptarse al nivel de sus compañeros. Escena: 0:03:55 - 0:05:42 Martin Prince acusa a Bart de hacer pintadas el el colegio, por lo que el director le esperará al final de las clases.

- Espero que no me guardes un rencor pueril- dice Martin. - ¡Multiplícate por cero! - responde Bart.

-

Por favor! billete! -dice el revisor del tren. Viajo sin billete! -responde Bart. ¡Anda, ven conmigo! Señor, ¡tenemos un polizón! ¡Lo pagaré! ¿cuánto es? - El doble de la tarifa de Tucson a Flagstaff menos 2/3 de la tarifa desde Albuquerque a El Paso -dice el jefazo, que no es otro que Martín Prince.

- Ahhhhhhhh -grita Bart al chocar los dos trenes, mientras despierta.

Bart y el resto de la clase se someten a una prueba IQ para determinar el futuro estatus social de los alumnos:

Martín ha acabado la prueba y la entrega. Bart intercambia los nombres con lo que ahora el examen de Martín aparece con el nombre de Bart. ACTIVIDAD 1

- Recordar que debéis visualizar los problemas complejos, ¡y tranquilos! Empieza el test -dice la maestra, mientras Bart empieza

Calcula en que punto chocarían los trenes que se está imaginando Bart y cuánto tardarían en hacerlo. Una vez lo hayas intentado, para ver la solución, presiona aquí

a leer el primer problema y a imaginárselo:

Escena: 0:07:34 - 0:10:

A las 7:30 un tren expreso que viaja a 96 km/h (V.O. 60 millas) deja Santa Fe con dirección a Phoenix a 836 Km de distancia

El test de aptitud que hemos realizado esta mañana ha demostrado que su hijo es lo que llamamos un superdotado. Un genio. Estamos convencidos. El niño no debe conocer su propio cociente intelectual pero, como ve, está muy por encima del normal - co-

(V.O. 520 millas).

- ¡Mentalmente, Bart!

-le dice la maestra

mientras le manda callar.

- Al mismo tiempo, un tren de cercanías que viaja a 48 Km por hora (V.O. 30 millas por hora) y transporta 40 pasajeros deja Phoenix con dirección a Santa Fe. Tiene 8 vagones, y siempre hay el mismo número de pasajeros en cada vagón. Una hora más tarde un número de pasajeros igual a la

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menta el psicólogo.

- 912 -dice Homer. - No, no, tiene la hoja al revés, 216, es sorprendentemente alto - a la vez que le va haciendo preguntas y les aconseja un cambio de colegio a uno especializado.

Los Simpson y las Matemáticas - Temporada 1 - Abel Martín y Marta Martín Sierra

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Escena: 0:16:00 - 0:16: La profesora, en la escuela de superdotados:

y = r3/3 -dice entusiasmada- si determináis correctamente el coeficiente de incremento en esta curva, creo que os va a sonar a r con r, guitarra -todos le ríen las gracias- ¿no lo entiendes, Bart? -mientras sigue derivando la expresión.

Escena: 0:10:39 - 0:13:33 Bart conoce a sus nuevos compañeros de clase y le explican las normas básicas de funcionamiento. Entre ellos un niño que suele hablar con frases que son auténticos palíndromos. Cuando llega la hora del descanso, reponen fuerzas.

- Oye Bart, te cambio el peso de una bola de billar en la octava Luna de Júpiter de mi comida por el peso de una pluma en la segunda Luna de Neptuno de la tuya. - Bueno, como quieras -dice Bart, mientras le cambian un suculento bocadillo por una simple cereza.

- 8 milímetros cúbicos de mi leche por cuatro pintas de la tuya -le dice otro. - Vale, si te empeñas -a la vez que todos se ríen de la ingenuidad de Bart y su falta de conocimientos de Física y la influencia del valor de la gravedad en las diferentes Lunas y Planetas sobre el peso de los cuerpos, independientemente de la masa que tengan. Bart se marcha muy enfadado.

- Es un superdotado bastante mediocre comentan sus compañeros de clase.

ACTIVIDAD 2 - ¿Cuál es el valor de G en la octava Luna de Júpiter? - ¿Cuál es el valor de G en la segunda Luna de Neptuno?


COMENTARIO:

Martín Méndez Pasarín (ingeniero químico) nos comenta en este gag uno de los males que, como iremos viendo en las sucesivas temporadas, "sufriremos" frecuentemente en la serie. Se trata de errores en el doblaje, a pesar de que nuestros dobladores son de lo mejor que hay en en mundo. Se pierde mucha gracia y, en este caso concreto, su fallo reside en el conocimiento de la derivación matemática: Vemos que la profesora les dice a sus alumnos que si hallan el coeficiente de incremento (derivada) de y=(r^3)/3, les sonará a "erre con erre: guitarra". En la VO, en cambio, les dice que se quedarán "sorprendidos". Si se deriva resulta dy= r^2·dr, o lo que es lo mismo: dy= r·r·dr, que "moviendo el diferencial" queda dy= r·dr·r. Pues bien, si se deletrea RDRR (r·dr·r) en inglés, se obtiene algo muy similar a "hardy har har", expresión que habitualmente se utiliza en dicha lengua para citar una risa verbal, algo así como el "jajaja" español. En castellano, se adaptó el "hardy har har" por "erre con erre: guitarra". Como observamos, se trata de un gag más elaborado de lo que parece a simple vista en la versión doblada al castellano, por lo que nuestro amigo nos recomienda que veamos, siempre que podamos, los episodios en VO, especialmente en las primeras temporadas, donde en muchas ocasiones el doblaje deja mucho que desear.

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Por mi parte también me gustaría que, antes de seguir leyendo, os fijaseis detenidamente en la pizarra con la derivada y buscaseis algún error...

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 4 "Hogar, agridulce hogar" (There's No Disgrace Like Home)

Efectivamente, cuando escribe 32DR/3 se comen la r. Debería decir 3r2DR/3 Con Bart por el medio, ¡¡no sabemos cómo podrán acabar las cosas!! TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 3 "La odisea de Homer" (Homero's Odyssey)

Después de ser despedido de la Central Nuclear por los numerosos accidentes provocados, Homer inicia una campaña para convertir Springfield en el lugar más seguro de la Tierra, siendo su último objetivo el cierre de la Central donde hasta hace poco había trabajado. Escena: 0:01:51 - 0:02:34 El método de conteo fácil, rápido e intuitivo sigue siendo el de numerarse. Se hace es bastantes situaciones de la vida cotidiana. El último número coincidirá con el número de personas, aunque estando Bart, esto no sabemos si será así...

Tras asistir al picnic familiar de la empresa, Homer se da cuenta de que su familia es un desastre. Para solucionar este problema, decide empeñar la tele y con el dinero paga una terapia a cargo del psicólogo familiar Dr. Marvin Monroe. Escena: 0:18:05 - 0:20:14 En esta escena podemos apreciar dos cuestiones relacionadas con las matemáticas y la enseñanza de las mismas: (1) Por un lado, el deseo oculto, poco didáctico y educativo, de numerosos profesores para lograr llevar bien una clase... (2) El objetivo de las matemáticas en relación con aprender a pensar, abrir la mente, ver las cosas desde otro punto de vista que, incluso teniendo a Homer como protagonista, nos pueden levar a encontrarnos con un desenlace del capítulo totalmente inesperado...

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 5 "Bart, el general" (Bart the General)

Escena: 0:04:25 - 0:06:35 Una clase de Física en la que se comentarán las bondades de la energía nuclear ... el agua vuelve a regresar limpia a la biosfera natural, aunque ... ¡Fijaos en el pez con numerosos ojos que nada en el estanque!

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Defendiendo a Lisa, Bart termina enfrentándose contra el gamberro del colegio, Nelson Muntz, que le propina una paliza tras otra. Para acabar con los abusos de Nelson, Bart organiza y entrena un pequeño ejército que se encargará de darle una lección al gamberro. Escena: 0:14:50 - 0:15:14


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Entre los cánticos de los valerosos soldados que se encuentran entrenando para luchar contra Nelson, no podía faltar un estribillo alusivo a las matemáticas...

"En matracas saqué un 3... ... y yo me merecía un 10"

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Es un desafío de las sensaciones y de la irracionalidad a las leyes de la probabilidad. Por supuesto PIERDE. TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 9 "El abominable hombre del bosque" (The Call of the Simpsons)

Impresionado por la caravana que Flanders acaba de comprar, Homer decide conseguir una igual, pero su poder adquisitivo no se lo permite y acaba comprando una de "inferior" calidad con la que la familia entera se marcha al campo. Allí, terminarán perdidos y Homer será confundido con el legendario Piesgrandes, la bestia mitad hombre, mitad mono. Escena: 00:19:37 - 00:20:

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 8 "Sin Blanca Navidad" (Simpsons Roasting on an Open Fire)

Después de no recibir la paga extra de Navidad de la Central Nuclear y ver cómo los ahorros de la familia se esfuman en una operación quirúrgica para borrarle un tatuaje a Bart, Homer hace todo lo que puede por conseguir el dinero que salve la Navidad de los Simpson.

En nuestra tarea de investigación, nos encontramos con una pizarra en el laboratorio donde Homer es estudiado para determinar si se trata del Pies-grandes, "el Bigfoot" o un ser humano. La idea siempre es imprimir carácter científico e inapelable a los temas con pinceladas matemáticas.

Escena: 0:16:53 - 0:17:24 En el último momento, en el canódromo, cuando se disponen a apostar todo su dinero por el número 6, 13 dólares, ¿qué casualidad, 13?, hay un cambio, y anuncian por megafonía que el número 8 será sustituido por Santa Claus. - ¡Es una señal! ¡es un presagio! -le dice Homer a Bart. - Una simple coincidencia -Replica Bart.

- ¿A cuánto están las apuestas por Santa Claus -pregunta Homer al taquillero. - 99 a 1. - ¡Uhhh!! 99 multiplicado por 13 igual a... ¡felices Navidades, Bart!

TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 10 "Homer se va de juerga" (Homer's Night Out)

Una foto muy comprometedora de Homer con la Princesa Kashmir (una bailarina bastante ligera de ropa) realizada por Bart durante una despedida de soltero llega hasta las manos de Marge. Marge se enfada mucho con Homer, sobre todo por el mal ejemplo que le ha dado a Bart. Así, le dice a Homer que sólo le perdonará si le enseña a Bart que las mujeres no son objetos. Escena: 00:01:49 - 0:02:17 Homer se pesa. La balanza marca 238. Pero ... ¿En qué unidades viene dado ese número? En el doblaje nos hablan de 108 kilos. ¿Habrá sido correcta esa conversión?


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Número 3 - Diciembre 2008 hermana Patty.

- Creo que ya es hora que rehaga su vida con otro hombre! -apostilla Selma. ¿Cuántas velas tiene la tarta?

COMENTARIO: La libra (lb) es una unidad de masa usada desde la Antigua Roma. La palabra, derivada del latín significa "escala o balanza" (en el horóscopo, libra viene simbolizado por una balanza) y representa la principal unidad de masa usada y adoptada en los países anglosajones. A partir de esta unidad surgieron otras que tenían diferentes equivalencias, dependiendo de la región, así que para acabar con el problema, Antoine Lavoisier propuso sustituir las libras y otras antiguas unidades en toda Europa, por el gramo, sus múltiplos y submúltiplos. Con el paso del tiempo, todas las naciones europeas abandonaron el uso de la libra para sustituirla por el kilogramo, excepto las naciones anglosajonas que todavía la usan: 1 libra equivale a 0.45359237 kilogramos

La adición es una operación muy utilizada en este capítulo. Tomando como base el número 7, un número mágico que aparecerá en bastantes episodios de los Simpson, los dígitos de su edad sumados, dan 7. ¿Cuestión de ahorro en velas? Escena: 00:06:06 - 0:06:29

- ¿Qué número de zapatos usa? -pregunta el encargado de la bolera a Marge.

- ¡Y a usted qué le importa! -contesta Marge.

- Prohibido pisar la pista con zapatos de calle. ¿Qué número calza, por favor? insiste.

- ¡El 43! -responde contrariada Marge. - ¿43? -silbando con sorpresa- ¿Se apañará con un 44 y un 42? La media aritmética vuelva a resolver un problema de la vida cotidiana. ¿Será de nuevo casualidad que calce un 43? 43 presenta los dígitos de 34 invertidos 4+3=7

Así pues, Homer no estuvo tan alejado (en la versión doblada al castellano) ya que 239 libras son más exactamente unos 108.41 kg. TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 11 "Jacques, el rompecorazones" (Life on the fast Lane)

Homer regala a Marge por su cumpleaños una bola de bolos, pensando que la rechazará y podrá usarla él. Sin embargo, Marge decide aprender a jugar a los bolos. En la bolera, Marge conoce a un profesor de bolos llamado Jacques, un Don Juan. Escena: 00:03:31 - 0:04:25

- ¿Ya cumples 34, Marge? -pregunta su

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Escena: 00:09:30 - 0:09:50 En las imágenes que vemos, se aprecian numerosas tetractis. La adición de los cuatro primeros números da como resultado el número diez: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Esta suma era conocida entre los pitagóricos como Tetractis. Es una palabra griega que significa literalmente “número cuatro”, sinonimia de quaternión (cuaternario) la cual se aplicaba a un símbolo de Pitágoras que se compone de diez puntos distribuidos en forma triangular. ···· ··· ·· ·


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Simplemente es una broma privada que aparece en películas o series animadas donde participan los alumnos de CalArts (Instituto de Artes de California), y hace referencia a la clase donde estuvieron los estudiantes de animación.

Escena: 00:11:04 - 0:11:14 Curiosamente cuando lanza la bola, tira los 10 bolos y, además, en la bolera número 10...

El primero que utilizó este código fue Brad Bird en una placa de automóvil para un episodio de la serie de televisión "Amazing Stories". Aunque también el número y la letra han sido utilizados en películas de Disney y Pixar. Brad Bird considera ese número como su propia versión de la Ninas de Hirschfeld (*). (*) El famoso dibujante Al Hirschfeld ha entramado durante tres decenios el nombre de su hija Nina en sus caricaturas. El hallar las "Ninas" ocultas se ha convertido en un entretenimiento regular para los aficionados a Hirschfeld. TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 13 "Viva la vendimia" (The Crepes Of Wrath)

¿Demasiadas coincidencias...? Al final del capítulo se parodia la película "Oficial y caballero" Episodio ganador del Emmy 1990 al "Mejor programa de animación (de menos de una h). TEMPORADA 1 - CAPÍTULO 12 "Krusty Entra En Chirona" (Krusty Gets Busted)

Krusty el Payaso es encarcelado por un atraco que, aparentemente, hizo él al Badulaque. Bart no se lo cree y, junto con Lisa, buscan pruebas que le exculpen. Escena: 00:10:12 - 00:10:48 Como siempre aparecen guiños matemáticos, códigos numéricos ocultos escondidos a lo largo de los capítulos. En este caso, nos encontramos con A113 (algunas veces presentado como A-113 o A1-13).

Después de una nueva gamberrada de Bart, Skinner habla con Homer y Marge y les propone un intercambio de estudiantes: Bart se irá a Francia, donde no lo pasará tan bien como espera, y los Simpson adoptarán temporalmente a un educado niño de Albania, Adil, que no es sólo lo que aparenta. Escena: 00:10:51 - 0:11:15 Lisa y Adil se encuentran inmersos en una discusión, apoyada en porcentajes:

- ¿Como puedes defender a un país donde el 5% controla el 95% de la riqueza -dice Adil.

- Yo defiendo un país donde la gente piensa, actúa y vive como le da la gana apostilla Lisa.

Más información en www.mathsmovies.com


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