Resolviendo ejercicios de matemáticas con la ClassPad 330 Mario Sánchez Aguilar y Juan Gabriel Molina Zavaleta
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ÍNDICE PRESENTACIÓN
5
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Configurando la calculadora para trabajar con números complejos Conversión de un número complejo de su forma cartesiana a su forma exponencial Conversión de un número complejo de su forma cartesiana a su forma trigonométrica Conversión de un número complejo a su forma cartesiana Suma y resta de números complejos Multiplicación de números complejos División de números complejos Potenciación de números complejos
7 7 8
9 10 10 11 11
OPERACIONES CON MATRICES Suma y resta de matrices Multiplicación de matrices Inversa de una matriz Valores y vectores propios
13 13 14 15 16
DERIVADAS Cálculo de la derivada con la definición Cálculo de la derivada con el comando derivada Derivadas de orden 2 o mayor Derivada implícita Derivadas parciales Cálculo de derivada parcial con la definición Cálculo de la derivada con la plantilla La regla de la cadena
19 19 20 20 21 23 23 25 26
INTEGRALES Integración indefinida Integración definida Integración numérica Integración múltiple
29 29 30 32 34
ECUACIONES DIFERENCIALES
37 3
9
Resolviendo ecuaciones diferenciales sin condición inicial Ecuaciones diferenciales con condición inicial Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Graficando una ecuación diferencial de primer orden Condiciones iniciales y graficando curvas solución de una ecuación diferencial de primer orden
37 38 39 41 41
TRANSFORMADA DE LAPLACE Transformada de Laplace de una función Transformada inversa de Laplace Transformada de Laplace de una ecuación diferencial
43 43 45 46
TRANSFORMADAS DE FOURIER Cálculo de la transformada de Fourier La transformada de Fourier con el comando fourier La transformada inversa de Fourier
49 49 50 51
EL MÉTODO DE NEWTON (PROGRAMACIÓN) Construyendo el programa Newton Definiendo la función Newton El cuerpo del programa Newton Utilizando el programa MeNewton
53 54 54 57 62
4
Presentación En el año 2005 escribimos el primer libro para la calculadora ClassPad 300. El título de ese texto fue “ClassPad 300: Representación y Manipulación de Objetos Matemáticos”. Ese fue un material en el que tratamos de mostrar las posibilidades que ofrecía la calculadora, desafortunadamente varios de esos tópicos, por no estar integrados en la curricula escolar, podían representar un interés menor (o incluso nulo) para los estudiantes usuarios de la calculadora. Era necesario escribir materiales que respondieran mejor a los requerimientos académicos de los estudiantes. La necesidad de elaborar materiales más adecuados y pertinentes para los estudiantes, de tamaño más manejable, y actualizados, fue discutida con representantes de la compañía Casio durante el congreso ICME 11 celebrado en México en julio de 2008. Ahí se estableció el compromiso de elaborar dos materiales, uno para el nivel medio y otro para el nivel superior, que ilustrara la manera en que se podían resolver tareas matemáticas escolares, pero utilizando la calculadora ClassPad 330. El presente cuadernillo es uno de esos materiales. Para establecer el contenido de estos materiales, no sólo hemos recurrido a programas de estudio actuales y a nuestra propia experiencia como estudiantes de matemáticas; también hemos contado con el invaluable apoyo del Ingeniero Julio César Suárez y la Licenciada Claudia Iveth Meza quienes con sus sugerencias han contribuido a la configuración de los contenidos de estos materiales. A través de los contenidos de estos dos cuadernillos, los autores tratamos de abordar algunos de los ejercicios matemáticos escolares a los que un estudiante de nivel medio o superior puede enfrentarse, y algunas de las maneras de resolverlos con la calculadora ClassPad 330. La manera en que los contenidos son presentados no es tan detallada como la que se podría encontrar por ejemplo, en el manual de usuario de la calculadora. Esto debido a que los materiales están dirigidos a estudiantes, usuarios de la calculadora ClassPad 330 y con conocimientos básicos sobre el manejo de la misma. Dado que ese es el tipo de personas para quienes los materiales han sido diseñados, esperamos simplemente que sean ellos quienes los lean, los usen y los critiquen. Mario Sánchez y Juan Gabriel Molina Marzo de 2009
5
6
1. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos están compuestos por un número real y un número imaginario. Un número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo mediante un par ordenado (a, b ) , sin embargo los números complejos son comúnmente representados usando la forma a + bi , donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Esta forma de representación se conoce como forma cartesiana. Los números complejos también pueden representarse mediante sus coordenadas polares. Esta forma de representación se denomina forma polar. Cuando la notación en forma polar es z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) se le llama forma trigonométrica. Usando la fórmula de Euler la forma trigonométrica puede ser escrita como z = rei la cual es llamada forma exponencial1 . ϕ
En este capítulo mostraremos cómo operar números complejos con la calculadora ClassPad 330. También mostraremos cómo realizar conversiones entre las diferentes formas de representación. 1.1 Configurando la calculadora para trabajar con números complejos Cuando se trabaja con números complejos con la calculadora ClassPad 330, es necesario que ésta se encuentre configurada en el modo complejo. Para determinar si la calculadora se encuentra configurada en modo real o en modo complejo, sólo se necesita ingresar a la aplicación Principal de la calculadora y mirar la parte inferior de la pantalla. Si aparece la palabra ‘Real’ esto indica que la calculadora está configurada para trabajar únicamente con números reales (ver figura 1). Si este fuera el caso, es necesario dar un toque con el lápiz táctil sobre la palabra Real y entonces ésta será sustituida por la palabra ‘Cplj’ la cual indica que la calculadora está preparada para trabajar también con números complejos (ver figura 2). En este capítulo del libro sólo trabajaremos en el modo complejo.
Nótese que en el instructivo de la calculadora esta forma de representación es llamada simplemente ’polar’. 1
7
Figura 1.
Figura 2.
1.2 Conversión de un número complejo de su forma cartesiana a su forma exponencial Un número complejo expresado en la forma cartesiana a + bi puede ser transformado a su forma exponencial o a su forma trigonométrica. Consideremos por ejemplo el número complejo 3 + 2i . Para convertirlo a su forma exponencial hay que escribirlo y seleccionarlo con ayuda del lápiz táctil (recuerda que el símbolo se encuentra situado en las pestañas mth y 2D del teclado virtual), posteriormente hay que aplicarle el comando compToPol que se localiza en el menú Interactivo/Complejo (ver figura 3). La expresión resultante se muestra en la figura 4.
Figura 3.
Figura 4. 8
1.3 Conversión de un número complejo de su forma cartesiana a su forma trigonométrica
El comando compToTrig se utiliza para convertir un número complejo de la forma cartesiana a la forma trigonométrica. Este comando está localizado debajo del comando compToPol en el menú Interactivo/Complejo (ver figura 4). El proceso de aplicación de este comando es idéntico al del comando compToPol. ⎛ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎞ La expresión 13⎜⎜ cos⎜⎜ tan −1⎛ ⎜ ⎟ ⎟⎟ + sen⎜⎜ tan −1⎜ ⎟ ⎟⎟ ⋅ i ⎟⎟ es el resultado de aplicar el ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ comando compToTrig a la expresión 3 + 2i (ver figura 5).
Figura 5.
Figura 6.
1.4 Conversión de un número complejo a su forma cartesiana Si se tuviera un número complejo expresado en su forma exponencial o trigonométrica, es muy fácil convertirlo a su forma cartesiana. Simplemente se necesita escribir el número complejo en su forma exponencial o trigonométrica y posteriormente oprimir la tecla EXE. Esta acción convertirá el número complejo a su forma cartesiana. Por ejemplo, la figura 6 muestra que el número complejo π
2e
+i
4
se expresa como 1 + i en su forma cartesiana.
9
1.5 Suma y resta de números complejos Cuando operamos (sumar, restar, multiplicar, elevar a una potencia) números complejos en la calculadora ClassPad 330, es posible hacerlo utilizando su forma cartesiana, trigonométrica, exponencial o incluso combinaciones de éstas. Por 3π i
ejemplo para restar los números complejos 2e 4 y 7 + 2i , sólo se necesita escribir cada uno de ellos dentro de un paréntesis y colocar en medio de esos paréntesis el símbolo ‘–‘ (ver figura 7). Si se tratara de una suma se debe sustituir el símbolo ‘–‘ por el símbolo ‘+’. Nótese que la calculadora ClassPad 330 expresa en forma cartesiana el resultado de cualquier operación con números complejos. Esto se ilustra en la figura 8, donde se muestra el resultado de la resta planteada.
Figura 7.
Figura 8.
1.6 Multiplicación de números complejos Para multiplicar números complejos se necesita escribir cada uno de los factores entre paréntesis y posteriormente oprimir la tecla EXE. Por ejemplo, en la figura
9 se muestra el producto de multiplicar los números 1 ⎞ producto es igual a ⎛ ⎜ − + i ⎟π .
⎝
2
⎠
10
π
,
1 2
i
y
⎛ 1 ⎞ i ⎟ ⎝ 2 ⎠
tan −1 ⎜
5e
. El
Figura 9.
Figura 10.
1.7 División de números complejos Para dividir dos números complejos se pueden escribir entre paréntesis, poniendo en medio de éstos el símbolo ‘ / ’ tal y como se hace con la suma y la multiplicación. Otra posible manera de hacerlo es utilizar la expresión que se localiza en la pestaña 2D del teclado virtual. En la figura 10 se muestra el ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎞ cociente que se obtiene al dividir los números complejos 2 ⎜⎜ cos⎛ ⎜ ⎟ + sen⎜ ⎟i ⎟⎟ y ⎝ 4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 4 ⎠ 1 − 3i . Como se puede observar el resultado no varía si se usa el símbolo ‘ / ’ o el símbolo . 1.8 Potenciación de números complejos Para elevar un numero complejo a una potencia es necesario escribir el número entre paréntesis y después utilizar el botón localizado en la pestaña 2D del teclado virtual. La utilización de este botón nos permite especificar la potencia a la cual queremos elevar el número complejo. Así, en la figura 11 se puede constatar que el resultado de elevar a la cuarta potencia el número complejo ⎛ ⎛ − π ⎞ ⎛ − π ⎞i ⎞⎟ es 4096. 8⎜⎜ cos⎜ ⎟ + sen⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎠⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠
11
Figura 11.
12
2. OPERACIONES CON MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Muchas veces esos números representan coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales. Al igual que otros objetos matemáticos, las matrices pueden operarse; es decir, pueden sumarse, multiplicarse, invertirse, etc. En este capítulo ilustraremos la manera de realizar las operaciones con matrices más comunes utilizando la calculadora ClassPad 330. 2.1 Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar dos matrices, ambas deben tener el mismo número de renglones y de columnas. Para ilustrar el procedimiento, vamos a efectuar la siguiente operación con la calculadora: ⎡2 − 7⎤ ⎡ 3 ⎢3 6 ⎥ + ⎢0.5 ⎣ ⎦ ⎣
⎡ 4 − 2⎤ − ⎥ ⎢ ⎥ 12⎦ ⎣− 4 9 ⎦ 10⎤
Primero debemos ingresar a la aplicación Principal de la calculadora y activar la pestaña 2D del teclado virtual de la calculadora. Después hay que dar un clic en el botón con lo cual aparecerán los botones que son los que se utilizan para introducir matrices. Para este ejemplo particular utilizaremos el botón para introducir cada una de las tres matrices (ver figura 1). Finalmente hay que oprimir el botón EXE para obtener la matriz resultante (figura 2).
Figura 1.
Figura 2.
13
2.2 Multiplicación de matrices Para multiplicar dos matrices se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda. Multipliquemos por ejemplo las siguientes dos matrices:
⎡9 ⎢3 ⎢ ⎢⎣0
−2
0 1
1
3 1
0.25 6 8
⎡4 10 ⎤ − 1⎤ ⎢⎢1 6 ⎥⎥ ⎥ 0 × ⎢ 1 − 8⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 5 ⎥⎦ ⎢6 2 ⎥ ⎢⎣4 12 ⎥⎦
Para introducir la matriz de la izquierda de 3x5, hay que oprimir el botón dos veces (para introducir tres renglones) y el botón cuatro veces (para introducir cinco columnas); así tendremos un acomodo rectangular de tres renglones y cinco columnas en el que únicamente resta introducir los valores numéricos. Un procedimiento similar se sigue para ingresar la segunda matriz. El operador “x” debe escribirse en medio de las dos matrices, quedando la expresión final como en la figura 3. Al oprimir EXE obtendremos la matriz producto (ver figura 4).
Figura 3.
Figura 4.
14
2.3 Inversa de una matriz Solamente tienen inversa las matrices cuadradas (mismo número de renglones que de columnas) cuyo determinante es distinto de cero. En el siguiente ejemplo mostraremos cómo calcular la inversa de una matriz que incluye números complejos. La matriz que utilizaremos es la siguiente:
⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣4
−1 6 3
+i
− 2i ⎤ ⎥ 0 ⎥ − 2 ⎥⎦
Debido a que emplearemos números complejos en la matriz, será necesario configurar la calculadora para trabajar con ese tipo de números. El procedimiento es muy sencillo, simplemente de un clic con el lápiz táctil en la palabra Real localizada en la parte inferior de la pantalla de la calculadora, al realizar esto la palabra será sustituida por la expresión Cplj que indica que la calculadora está lista para trabajar con números complejos (ver figura 5). Un nuevo clic sobre la expresión Cplj regresará a la calculadora al modo real. Ahora hay que ingresar la matriz y sus correspondientes valores; recuerda que la expresión “i” se encuentra en la pestaña 2D del teclado virtual. Cuando se haya ingresado la matriz, será necesario agregar el exponente “ − 1 ” con ayuda del botón (ver figura 6). Ese exponente indica que se desea calcular la inversa de la matriz. Después de oprimir EXE se obtiene la matriz inversa que se muestra en la figura 7.
Figura 5.
Figura 6.
15
Figura 7.
2.4 Valores y vectores propios Finalmente ilustraremos la manera de obtener los valores propios (o eigenvalores) y los vectores propios (o eigenvectores) de una matriz. Consideremos la matriz A :
⎡0 ⎢ A = 1 ⎢ ⎢⎣− 1
− 1⎤ ⎥ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎦
1 1 0
Para calcular sus valores propios es necesario escribir la matriz y seleccionarla con el lápiz táctil. Posteriormente se le debe aplicar el comando eigVl localizado en el menú Interactivo/Matriz ‐Calcular (ver figura 8). De esta manera obtendremos los eigenvalores que para el caso de esta matriz son 2, 1 y 1 (ver figura 9). ‐
Figura 8.
Figura 9.
A partir de los valores propios se calculan los vectores propios. Sin embargo estos últimos no son únicos, por esa razón la calculadora ClassPad 330 sólo calcula vectores propios unitarios, es decir, vectores cuya norma es igual a 1 ó en otros términos, vectores V tales que:
⎡ x ⎤ ⎢ x ⎥ Si V = ⎢ ⎥ , entonces ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x ⎦ 1
2
(
x1
n
16
2
2
+ x + + x 2
n
2
) =1
Entonces, para calcular los vectores propios de la matriz A empleada en el ejemplo anterior, se debe seguir el mismo procedimiento descrito para el cálculo de los valores propios, pero aplicando el comando eigVc en lugar del comando eigVl. El comando eigVc se encuentra situado justo debajo del comando eigVl (ver figura 8). Como se puede apreciar en la figura 10, el resultado de aplicar el comando eigVc es una matriz de 3x3 donde cada una de las columnas representa cada uno de los vectores propios unitarios de la matriz A .
Figura 10.
17
18
3. DERIVADAS En términos generales, el Cálculo Diferencial estudia cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. Una herramienta fundamental en que se apoya para medir este cambio es el concepto de derivada, el cual se define como sigue:
lim
La derivada de una función en un número , representada por
’ , es
en caso de existir el límite (Stewart, 1998, p.112).
Con la calculadora ClassPad 330 es posible calcular la derivada utilizando por lo menos dos formas, una de ellas es la definición, la cual como se observa implica un límite. La otra forma es calcularla directamente con el comando , para acceder a cualquiera de las opciones las acciones a ejecutar son: Principal/2D/CÁLC A continuación ejemplificaremos cómo calcular la derivada de una función.
3.1 Cálculo de la derivada con la definición y Supongamos que deseamos calcular la derivada de la función para ello debemos emplear la definición de derivada. El procedimiento a seguir es el siguiente: entrar a la aplicación Principal, luego definir la función , esto se hace utilizando el comando define, es decir, debemos escribir en la calculadora la sentencia,
fx 2x 3 fx
2x 3
define
fx 2x 3
f
y presionar la tecla EXE , la letra se encuentra en la pestaña abc , ver figura 1. El siguiente paso es utilizar el comando y llenar sus campos con los datos de la definición de derivada, como en la figura 2.
19
Figura 1.
Figura 2.
3.2 Cálculo de la derivada con el comando derivada Calcular la derivada con el comando es simple, para ello en la aplicación
principal se inserta el comando (figura 3) y a éste se le colocan los datos necesarios: la función a derivar y la variable con respecto a la cual se va a derivar. con respecto a la variable Por ejemplo, para derivar la función debemos introducir la información en la calculadora como se muestra en la figura 4 y presionar la tecla EXE.
2 3
Figura 3.
Figura 4.
3.3 Derivadas de orden 2 o mayor Si es la función resultante de derivar y a ésta se le deriva nuevamente, se dice que se ha calculado la segunda derivada de , esta operación se acostumbra representar como . Si esta expresión resultante se deriva nuevamente se habla entonces de una tercera derivada. Es decir, al número de veces que se deriva una función se le conoce como el orden de derivación. En ocasiones es necesario calcular segundas derivadas, terceras, cuartas, etc. Para
’
’’
estos casos se emplea el comando
. Por ejemplo, para calcular la tercera 20
, se debe insertar el comando derivada de la función en la aplicación principal y se ingresan los siguientes datos: el orden de derivación, la función a derivar y la variable con respecto a la cual se derivará. En la figura 5 mostramos la tercera derivada de con respecto a .
Figura 5.
3.4 Derivada implícita A las funciones tratadas en los ejemplos anteriores se les llama funciones explícitas, en ellas la variable dependiente ( ) se expresa en términos de la variable independiente ( ). Sin embargo en ocasiones las funciones a derivar están expresadas en forma implícita, es decir de la forma ó alguna de sus variantes. Una de las nuevas características de la ClassPad 330 es que puede resolver este tipo de derivadas con ayuda del comando ImpDiff. Por ejemplo, calcular la derivada de , para resolverla se ingresa a la aplicación Principal y se introduce la ecuación, ver figura 6, posteriormente se selecciona la ecuación y luego se utiliza el comando ImpDiff localizado en Interactivo/Cálculo , ver figura 7.
, ,
3 4
21
Figura 6.
Figura 7.
Al aplicar el comando se mostrará un cuadro de dialogo que pedirá la siguiente información: la ecuación a derivar (la cual se ingresa automáticamente por haberla seleccionado previamente), la variable independiente, en este caso es la , y la variable dependiente, la , figura 8. Finalmente se coloca la información y se presiona la tecla EXE , figura 9.
Figura 8.
Figura 9.
22
3.5 Derivadas parciales La derivada parcial es una operación que se acostumbra aplicar a funciones de dos variables reales, nos centraremos en éstas por ser muy utilizadas en los cursos de cálculo. El cálculo de las derivadas parciales se realiza de la misma forma con que se calcula la derivada de una función en una variable.
Supóngase que es una función de dos variables y . Si se conserva constante, digamos , entonces se convierte en una función de una sola variable. Su derivada para se llama derivada parcial de con respecto a en y se denota como . Por lo tanto,
,
, , Δ, , , lim Δ En forma similar, la derivada parcial de con respecto a en , se designa como , y está dada por la expresión , Δ , , lim Δ
(Tomada de Purcell y Varberg, 1987, p.640) 3.6 Cálculo de derivada parcial con la definición A continuación calcularemos la derivada parcial de una función utilizando la definición mencionada anteriormente. Para simplificar en la calculadora la implementación de la definición de derivada parcial, haremos que , con esto las fórmulas quedarán así:
Δ
, lim , , y , , , lim Fórmula 1.
Ejemplo. Calcular
1,5 y 1,5 si , 7
Para realizar esta operación ingrese a la aplicación Principal , aquí se necesita definir la función f dada, para ello se escribe la siguiente sentencia: 23
define f(x,y)=x^5y+7xy^2
Es importante que las letras e se ingresen como variables, no con la pestaña abc , porque de lo contrario la calculadora las considera constantes y al derivar las hará cero. Al presionar la tecla EXE se mostrará la figura 1.
Figura 1.
1,5
A continuación para calcular con la pestaña 2D se ingresa la fórmula 1 correspondiente, ver figura 2, al presionar la tecla EXE se exhibirá el resultado, figura 3. En la fórmula ingresada, si en lugar de los valores particulares (1, 5) se emplea las variables se obtendrá la forma general de la derivada parcial de f con respecto a x , ver la figura 4.
,
Figura 2.
Figura 3.
Figura 4.
Por otra parte, modificando la posición de h en la fórmula que mostramos en la figura 3 determinamos , ver la figura 5. En general, la derivada parcial de con respecto a la mostramos en la figura 6.
1,5
24
Figura 5.
Figura 6.
3.7 Cálculo de la derivada con la plantilla
Otra forma de calcular la derivada parcial es utilizando la plantilla . , para calcular sus derivadas parciales Retomando la función es necesario insertar la plantilla de la pestaña 2D en la aplicación Principal , e introducirle directamente la función, figura 7. Si se desea calcular la parcial de con respecto a se coloca la variable en el diferencial y se presiona la tecla EXE , figura 8, y si se desea la parcial con respecto a , se coloca esta variable en el diferencial, ver figura 9.
, 7
Figura 7.
Figura 8.
25
Figura 9.
3.8 La regla de la cadena Esta regla es aplicable a funciones compuestas, los autores Purcell y Varberg (1987) la presentan como sigue:
dos funciones diferenciables en , y sea , ,. Entonces, , es diferenciable en y,
Sean y diferenciable en
(Purcell y Varberg, 1987, p.659).
Fórmula 2.
donde , encontrar Ejemplo. Si y La idea para resolver es la siguiente: asignar las funciones a las variables , y y posteriormente usar la plantilla como lo indica la fórmula 2. Para asignar un valor a una variable la sintaxis es la siguiente:
2
Expresión Variable En la figura 10 se muestra la asignación de las funciones dadas a las variables correspondientes:
Figura 10.
Figura 11.
26
Finalmente para determinar , ingresamos la plantilla tantas veces como lo indica la fórmula 2 (figura 11) y agregamos las variables como en su definición y al terminar se presiona la tecla EXE , ver figura 12.
Figura 12.
27
28
4. INTEGRALES El de integral es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas. La calculadora ClassPad 330 tiene la capacidad de efectuar integrales definidas e indefinidas. También permite efectuar integración múltiple e integración numérica. En este capítulo mostraremos cómo llevar a cabo cada una de estas operaciones con ayuda de la calculadora.
4.1 Integración indefinida El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el proceso inverso de la derivación. Para ilustrar la manera en que se efectúan este tipo de integrales en la calculadora ClassPad vamos a resolver la integral
∫ ln( x +
ingresar a la aplicación Principal
(
)
1
+ x
2
)
dx .
Lo primero que hay que hacer es
y escribir la función que se quiere integrar
que en este caso es ln x + 1 + x 2 . Después de escribir la expresión hay que seleccionarla con el lápiz táctil. Ahora hay que aplicarle el comando ∫ que se localiza en el menú Interactivo/Cálculo (ver figura 1). Al seleccionar el comando ∫ aparecerá una ventana en la que se debe especificar qué tipo de integral se quiere realizar. De manera automática la opción para integral indefinida estará seleccionada (ver figura 2), por tal razón sólo es necesario oprimir el botón “Acep.” para obtener el resultado, el cual se muestra en la figura 3.
Figura 1.
Figura 2.
29
Figura 3.
Figura 4.
4.2 Integración definida En muchas ocasiones se requiere calcular el valor de la integral de una función en un intervalo particular. En tal caso es necesario efectuar una integral en la que se especifiquen los límites de integración, es decir, una integral definida. Supongamos que nos interesa integrar con respecto de x a la función f ( x ) = cos(2 x ) en el intervalo [0, π ] . Una manera de hacerlo es seguir el procedimiento que aplicamos en el caso de la integral indefinida: escribir la función que queremos integrar, seleccionarla con el lápiz táctil y aplicarle el comando ∫ ; la única diferencia es que ahora, cuando aparezca la ventana de diálogo deberemos seleccionar la opción “Definitivo” y especificar que 0 será el límite inferior mientras que π será el límite superior (ver figura 4). Al oprimir el botón ‘Acep.’ se obtendrá el resultado que en este caso es cero.
La calculadora ClassPad 330 realiza representaciones gráficas de las integrales definidas. Para ilustrar de manera gráfica el resultado de la integral que acabamos de efectuar es necesario oprimir el botón localizado en la barra de herramientas de la aplicación principal que estamos utilizando (ver figura 5). Justo cuando se oprime ese botón, aparece un plano cartesiano en la parte inferior de la pantalla (ver figura 6). Es necesario entonces seleccionar sólo la función que se integró (en este caso cos(2 x ) , como se muestra en la figura 6) y posteriormente arrastrar la expresión con ayuda del lápiz táctil hacia el plano cartesiano (ver figura 7). De esta manera obtendremos la gráfica de la función f ( x ) = cos(2 x ) como se muestra en la figura 8.
30
Figura 5.
Figura 6.
Figura 7.
Figura 8.
Situados en la ventana que contiene la gráfica de la función f ( x ) = cos(2 x ) , vamos ahora a utilizar el comando ∫ dx que se encuentra en el menú Análisis/Resolución G (ver figura 9). Cuando se selecciona el comando ∫ dx aparece un cursor sobre la gráfica de la función. Es en este momento cuando debemos definir el límite inferior y superior de la integral. Al oprimir la tecla 0 (que es el límite inferior) aparecerá una ventana en la que también deberemos especificar a π como límite superior (figura 10). Finalmente, al oprimir el botón “Acep.” se mostrará la representación gráfica de la integral definida (área sombreada), y en la parte inferior de la pantalla el valor de la integral calculada.
31
Figura 9.
Figura 10.
Figura 11.
4.3 Integración numérica En algunas ocasiones es muy difícil o incluso imposible calcular de manera analítica el valor de una integral. En este tipo de situaciones es conveniente efectuar una integración numérica, que aunque es una aproximación al resultado exacto, uno puede definir el intervalo de error permisible en la calculadora obteniendo así resultados muy precisos. Vamos a ilustrar la relevancia de la integración numérica con el siguiente ejemplo: supongamos que queremos encontrar el valor numérico de la integral
∫ cos(2 x)e π
0
( ) dx
sen x
. Si tratamos de
resolverla siguiendo el método recién descrito para calcular integrales definidas, 32
nos encontraremos con que la calculadora arroja un error de memoria insuficiente (ver figura 12). Si ahora repetimos el procedimiento de integración con la calculadora, pero esta vez seleccionando la opción “Numérico” en lugar de “Definitivo” aparecerá una ventana en la que deberemos definir los límites de integración y el intervalo de error permisible o tolerancia (ver figura 13). Al oprimir el botón “Acep.” obtendremos una buena aproximación al valor de la integral, tal y como se muestra en la figura 14.
Figura 12.
Figura 13.
Figura 14.
33
4.4 Integración múltiple La integración múltiple se utiliza cuando se quiere integrar funciones de más de una variable real como por ejemplo f ( x, y ) . Para efectuar una integral múltiple en la calculadora ClassPad 330 es necesario utilizar el teclado 2D para introducir las expresiones matemáticas. De hecho, este método de introducción de las expresiones matemáticas que utilizaremos para las integrales múltiples, también puede ser aplicado a los tipos de integración que se han presentado con anterioridad en este mismo capítulo. 1 x
Comenzaremos pues resolviendo la integral doble
∫ ∫ 160 xy dydx . Lo primero 3
0 x 2
que debemos hacer es dirigirnos a la pestaña 2D del teclado virtual. En la esquina inferior izquierda encontraremos el botón , el cual deberemos oprimir. Este botón nos da acceso a varios símbolos matemáticos incluido el de la integral representado por el botón . Este último botón debe ser oprimido dos veces (porque se trata de una integral doble), y posteriormente hay que llenar los espacios en blanco que se refieren a los límites de integración, la función a integrar y los diferenciales. Es muy importante destacar que es necesario introducir el símbolo “x” ó “ ” en medio de la expresión xy3 para que la calculadora pueda distinguir que se trata de dos variables diferentes y no produzca resultados erróneos (ver figura 15). La necesidad de incluir esos operadores puede ser superada si en lugar de usar las letras de la pestaña abc se utilizan las variables x , y , z del teclado físico de la calculadora o del menú incluido en la pestaña 2D (ver figura 16). Al oprimir el botón EXE se obtendrá como resultado 6. ·
Figura 15.
Figura 16.
34
Siguiendo el procedimiento descrito es posible calcular incluso integrales triples. Por ejemplo en la figura 17 se muestra que el resultado de la integral 1
∫∫
−1 −
1− x 2 1− x 2
∫ −
1− z 2 1− z 2
3dydzdx es 16.
Figura 17.
35
36
5. ECUACIONES DIFERENCIALES A groso modo, las ecuaciones diferenciales son expresiones matemáticas de igualdad que involucran derivadas o diferenciales. Estas tienen gran aplicación en las distintas ramas de las ciencias, comúnmente se les utiliza para hacer modelos matemáticos y resolver ciertos problemas. Un ejemplo de una ecuación diferencial es el siguiente:
12 0 Ecuación 1.
Como en la ecuación 1 el orden de la más alta derivada es 2, se trata de una ecuación diferencial de orden 2. La calculadora ClassPad 330 puede resolver ecuaciones diferenciales de primero, segundo y tercer orden, también resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. 5.1 Resolviendo ecuaciones diferenciales sin condición inicial Para resolver una ecuación diferencial se utiliza el comando dSolve el cual se encuentra en la aplicación Pincipal dando un toque en Interactivo/Solve Ecuación/Desigualdad.
Ejemplo, resolver la ecuación 1:
12 0
12 0
Sabemos que esta expresión es equivalente a , entonces ingresamos la expresión (figura 1), enseguida seleccionamos la ecuación y con el lápiz aplicamos el comando dSolve , ver figura 2, con ello se mostrará la pantalla de la figura 3, en donde se deberá indicar a como la variable independiente, y a como la variable dependiente y a continuación elegir Acep. , así se obtendrá el resultado de la figura 4. Las expresiones “const(1)” y “const(2)” son las constantes.
x
y
37
Figura 1.
Figura 2.
Figura 3.
Figura 4.
5.2 Ecuaciones diferenciales con condición inicial Cuando se necesita resolver una ecuación diferencial de primer orden sujeta a la condición , donde es un número en un intervalo y un número real arbitrario se deberá hacer lo siguiente: repítase el procedimiento de la sección anterior hasta el momento de aplicar el comando dSolve , sin embargo en esta ocasión seleccione la opción Incluir condición.
x
I
Ejemplo, resolver la ecuación diferencial .
2 5
, para la cual se desea que
Ingresamos la ecuación (figura 5), la seleccionamos y posteriormente aplicamos el comando dSolve (figura 6), es aquí donde elegimos la opción Incluir condición , ver figura 7, note que la ecuación se introdujo con variables, no con letras de la pestaña abc.
38
Figura 5.
Figura 6.
Figura 7.
En este caso se indica a la calculadora que la variable independiente es , la dependiente es , la primer condición es y la segunda condición , ver figura 8. En la pantalla de la figura 9 se muestra el resultado.
2
Figura 8.
5
Figura 9.
5.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden son semejantes a los sistemas de ecuaciones lineales de primer grado, la diferencia entre estos es que en los primeros la solución cuando existe, son funciones o familias de funciones que cumplen las condiciones de las ecuaciones diferenciales que forman el sistema, mientras que en el otro caso la solución suelen ser valores numéricos. 39
Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales es el siguiente:
2 Sujeta a 0 1 , 0 0 ′
′
′
′
Para resolverlo con la ClassPad 330 se procede así: estando en la aplicación Principal escribir la siguiente sentencia:
’ ,’ ’ },,,, , , )
dSolve({ ’
Como puede observarse, las dos ecuaciones diferenciales del sistema se delimitan con “,” y se agrupan con “{}”, es la variable independiente, indican las variables dependientes y finalmente , son la condición inicial. Ver figura 10.
, ,
Figura 10.
Al presionar la tecla EXE se mostrará la solución al sistema, ver figura 11.
Figura 11.
40
,
5.4 Graficando una ecuación diferencial de primer orden Para graficar el campo de pendientes de una ecuación diferencial de primer orden se debe proceder de la siguiente manera, entrar a la aplicación
en el Menú, con ello se mostrará la pantalla en la figura 12. Graf.Ec.Di… , se ingresa la ecuación diferencial (figura 13) y Ejemplo, para graficar ′ se presiona el ícono , ver figura 14.
Figura 12.
Figura 13.
Figura 14.
5.5 Condiciones iniciales y graficando curvas solución de una ecuación diferencial de primer orden del ejemplo Retomando el trabajo realizado al graficar la ecuación anterior, podemos tocar con el lápiz el ícono CI , figura 15, y para agregar condiciones iniciales se deben dar valores para y , por ejemplo, introduzca los siguientes valores (0,0), (0, 0.5), ver figura 16 (cada que se introduce un valor, automáticamente aparecen nuevos espacios). Si con el lápiz se selecciona cada condición en el cuadrito de selección, al presionar el ícono se graficarán las curvas solución asociadas a tales condiciones, figura 17 y 18.
41
Figura 15.
Figura 16.
Figura 18.
42
Figura 17.
6. TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea f (t ) una función definida para todo t ≥ 0 . La transformada de Laplace de f (t ) se define como: ∞ { f (t )} (s) = F (s ) = ∫ 0 est f (t ) dt = blim ∫ 0 e− st f (t ) b
→∞
dt
si el límite existe. Una de las ventajas que presenta la transformada de Laplace es que simplifica la resolución de ecuaciones diferenciales. En este capítulo mostraremos la manera en que se puede encontrar la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace de una función, con la calculadora ClassPad 330. También presentaremos la manera de resolver ecuaciones diferenciales. Antes de comenzar es importante tener claro que la calculadora ClassPad 330 puede realizar la transformada de las funciones: sen( x ) , cos( x ) , senh( x) , cosh( x) , n x x , x , e , heaviside ( x ) , delta ( x) ; pero no puede realizar la transformada de las funciones: tan ( x ) , sen-1 ( x ) , cos-1 ( x ) , tan-1 ( x ) , tanh ( x) , senh -1 ( x ) , cosh -1 ( x ) , tanh -1 ( x ) , log ( x ) , ln ( x ) ,
1 x
,
abs ( x )
y
gamma ( x ) .
6.1 Transformada de Laplace de una función Para encontrar la transformada de Laplace de una función f (t ) con la calculadora ClassPad sólo se necesita especificar cuál es la variable con respecto a la cual se transforma la expresión, cuál es el parámetro de la transformada y por supuesto la función f (t ) . Por ejemplo, calculemos la transformada de Laplace de la función f (t ) = te− t cos (4 t ) . Primero hay que ingresar a la aplicación Principal
de la calculadora y escribir la función f (t ) como se muestra en la figura 1. Enseguida deberemos seleccionar la expresión con el lápiz táctil y aplicarle el comando laplace que está localizado en el menú Interactivo/Avanzado (ver figura 2).
43
Figura 1.
Figura 2.
Al aplicar el comando laplace a la expresión, aparecerá la ventana que se muestra en la figura 3. Ahí se debe especificar que la variable independiente es t y que el parámetro de la transformada es s ; al oprimir el botón Acep. obtendremos la transformada que se muestra en la figura 4. Si aplicamos el comando simplify al resultado obtenido, veremos que éste es equivalente a
(s + 5 )(s − 3)
(
s
2
+ 2s + 17 )
2
(ver figura 4).
Figura 3.
Figura 4.
44
6.2 Transformada inversa de Laplace Si { f (t )} (s ) = F (s ) , entonces se dice que f (t ) es una transformada inversa de Laplace de F (s ) . Calcular una transformada inversa de Laplace requiere de un proceso similar al presentado en el punto 1.1; primero hay que ingresar la expresión matemática s +1 que queremos transformar, que en este caso es 2 (ver figura 5). 3 s (s + 2 ) Enseguida hay que seleccionar la expresión con el lápiz táctil para posteriormente aplicarle el comando invLaplace localizado en el menú Interactivo/Avanzado , justo debajo del comando laplace. Así aparecerá una ventana de diálogo en la que deberemos especificar a s como la variable independiente y a t como el parámetro de la transformada (ver figura 6).
Figura 5.
Figura 6.
Figura 7.
Al oprimir el botón Acep. se obtendrá la transformada inversa tal y como se muestra en la figura 7. Es importante recordar que tanto la transformada de Laplace como la transformada inversa de Laplace pueden ser aplicadas usando los botones y respectivamente, los cuales se localizan en el menú ADV de la pestaña 2D del teclado virtual.
45
6.3 Transformada de Laplace de una ecuación diferencial Es posible aplicar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Para ilustrar la manera en que se hace, resolveremos enseguida la ecuación diferencial y ''− 4 y '+ 4 y = t 3e2t en la que y (0 ) = y ' (0 ) = 0 . Primero debemos escribir la ecuación diferencial que queremos resolver y la seleccionamos con el lápiz táctil (ver figura 8). Recuerde que la comilla para denotar las derivadas se ingresa utilizando el botón localizado en el menú de la pestaña mth del teclado virtual. Ahora le aplicaremos el comando laplace y cuando aparezca la ventana de diálogo seleccionaremos la opción Ecuación ODE; en la nueva ventana que aparecerá definiremos como variable independiente a t , como variable dependiente a y , y como parámetro a s (ver figura 9).
Figura 8.
Figura 9.
Cuando oprimamos el botón Acep. obtendremos una expresión en la que deberemos sustituir los valores de y (0 ) y y ' (0 ) . Comenzaremos sustituyendo el valor y (0 ) = 0 , simplemente escribiendo la expresión “ ans y (0 ) = 0 ” 2 y oprimiendo EXE. Esta expresión le indica a la calculadora que queremos sustituir el valor y (0 ) = 0 en la respuesta recién obtenida (ver figura 10). Después de oprimir EXE se obtiene una nueva expresión en la que se debe sustituir el valor y ' (0 ) = 0 , esto se logra escribiendo la expresión “ ans y ' (0 ) = 0 ” y oprimiendo
Recuerda que el símbolo “ |” se localiza en el submenu SÍMB de la pestaña abc del teclado virtual. 2
46
nuevamente LP ⋅ s2
EXE.
− 4 ⋅ L P ⋅ s + 4L P =
De
esta
6
(s − 2 )
4
manera
obtendremos
la
expresión
que se muestra en la figura 11.
Figura 10.
Figura 11.
Ahora necesitamos despejar L P de la última expresión obtenida ; para eso utilizaremos el comando solve , escribiendo la expresión “ solve (ans, L P ) ” y oprimiendo EXE posteriormente. El valor de resultante de L P se muestra en la figura 12. Finalmente, calcularemos la transformada inversa de Laplace de L P mediante
invLaplace. Para esto será necesario reescribir (o copiar y pegar) la expresión del lado derecho de la última igualdad obtenida y aplicarle el comando invLaplace , con s como variable independiente y t como parámetro (ver figura 13). De esta manera obtendremos la solución de la ecuación la aplicación del comando
5 2 t
diferencial que en este caso es
t e
20
. El proceso completo que hemos efectuado se
muestra en la figura 14.
47
Figura 12.
Figura 13.
Figura 14.
48
7. TRANSFORMADAS DE FOURIER La transformada de Fourier es una función que tiene un gran campo de aplicación para el análisis de datos en teoría de números, física, teoría de la probabilidad, por citar algunos. Se define así: ∞
e ∞
es: e
Por otra parte, la transformada inversa de Fourier de ∞
∞
La calculadora ClassPad 330 puede realizar la transformada de las funciones: , , , , , , heaviside , , , ; pero no puede realizar la transformada de las funciones: tan(x), , , , , , , , , , gamma , , .
sin cos log ln abs signum delta delta, sin cos tan sinh cosh tanh sinh cosh tanh √
7.1 Cálculo de la transformada de Fourier El cálculo de la transformada de Fourier de una función se puede realizar utilizando el comando , para hacerlo, estando en la aplicación Principal se debe insertar el comando e indicarle a la calculadora la expresión a la cual se aplicará la transformación (asegúrese que la calculadora esté configurada en modo complejo), luego se debe indicar la variable con respecto a la cual se transforma la expresión y el parámetro de la transformada. Por ejemplo, para calcular la transformada de Fourier de los datos se ingresan como mostramos en la figura 1 y 2, y son los siguientes: es la expresión a transformar, es la variable con respecto a la cual se transforma y es el parámetro. Una vez ingresada la información se presiona la tecla EXE y se realizará el cálculo, figura 3.
sin
49
sin
Figura 1.
Figura 3.
Figura 2.
7.2 La transformada de Fourier de Fourier con con el comando fourier comando fourier Otra forma de calcular la transformada de Fourier es utilizando el comando . Para hacerlo, fourier , la aplicaremos nuevamente a la función estando en la aplicación Principal se debe escribir la siguiente sintaxis: fourier(sin(x),x,w,1) , , ver figura 4 y al presionar la tecla EXE se realizará el cálculo, figura 5.
sin
Figura 4.
Figura 5.
Como se puede observar en la sintaxis, se ha incorporado el valor 1. Este valor es un ajuste a la transformada y se elige dependiendo el contexto en que se utilice, 50
el valor 1 corresponde con la matemática pura y es el que la calculadora da por default si no se elige algún otro. Se puede escoger los números del 0 al 4 y corresponden con 0 para Física Moderna, 1 con Matemática Pura, 2 con Probabilidad, 3 con Física Clásica y 4 con Procesamiento de Señales.
7.3 La transformada inversa de Fourier de Fourier Para calcular la transformada inversa se utiliza el comando invFourier o la plantilla de la pestaña 2D del teclado virtual. Utilizaremos el comando invFourier para calcular la transformada inversa de la función . Para ello, estando en el menú principal escribimos la sintaxis siguiente: invFourier( )
1 · ·
11 · ·
· · · · , , , Note que en este caso la variable es y el parámetro , ver la figura 6.
Figura 6.
Al presionar la tecla EXE se realizará el cálculo y se mostrará el resultado, ver la figura 7.
Figura 7.
51
52
8. EL MÉTODO DE NEWTON (PROGRAMACIÓN) Una tarea común en las escuelas de ingeniería o matemáticas es el cálculo de raíces de una ecuación de la forma , donde es una función diferenciable. Por ejemplo, calculamos raíces cuando aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Por otra parte, existen funciones que no permiten determinar sus raíces exactas, para lo cual hay métodos que producen aproximaciones de éstas. Uno de estos métodos es llamado Método de Newton, y su funcionamiento se basa en lo siguiente: Ver la figura 1, la raíz a determinar es , al trazar la tangente a por el punto se corta al eje de las en , si acercamos a , parece estar más cerca de , y este valor se emplea como una segunda aproximación. Calculando la pendiente de la tangente y utilizando la fórmula de la recta dado un punto y su pendiente, se determina la ecuación de la tangente y de ella se despeja
0
,
.
Figura 1.
Repitiendo el proceso se puede llegar a la fórmula general para las aproximaciones:
= Fórmula 1.
53
8.1 Construyendo el programa Newton A continuación mostramos una forma de programar el método en la calculadora Classpad330.
Según la fórmula del método, la información que deberá recibir la calculadora para operar es:
a. La función a la cual se le desea aplicar el método b. Un valor inicial y el número de aproximaciones, . c. Con los datos de entrada anteriores, la calculadora deberá determinar las aproximaciones, por tanto se necesitará crear una función que basada en la fórmula del método de Newton produzca una aproximación. d. Esta función será llamada repetidamente en el cuerpo del programa para obtener nuevas aproximaciones, los cuales serán datos de salida, junto con el número de iteración.
8.2 Definiendo la función Newton Iniciaremos atendiendo al inciso c del apartado 1.1.
Para definir la función debemos acceder a la aplicación Programa la cual se identifica con el ícono 2.
en el Menú principal, al acceder se mostrará la figura
Figura 2.
54
Al tocar con el lápiz en el ícono , se mostrará la figura 3, en la cual para el campo Tipo deberá elegir la opción Función , en Carpeta se puede conservar la opción Main , la cual es el lugar en que se guardará el archivo y finalmente en el campo Nombre deberá escribir el nombre de la función, en este caso es Newton y luego se debe elegir Acep.
Figura 3.
Con lo anterior se mostrará la imagen de la figura 4, en esta aplicación se define la función como sigue: • Se indica qué parámetro recibirá la función, lo llamaremos , figura4.
Figura 4.
• Se introduce la operación, la fórmula del método en términos del parámetro , figura 5.
Figura 5.
55
es el parámetro evaluado en la función f(x), la función f se definirá en el cuerpo del programa. El comando Diff(f(x), x,1,xn) calcula la derivada de la función , con respecto a la variable , la derivada es de grado 1, y se evalúa en el parámetro . Figura 6.
Figura 6.
• Finalmente se asigna esta operación a la función, para ello se utiliza el símbolo localizado en la pestaña mth , del teclado virtual (o en el menú Ctrl), figura 7. El símbolo se coloca frente a la fórmula y a continuación se escribe el nombre de la función definida, o sea Newton, figura 8.
Figura 7.
Figura 8.
Finalmente se presiona el ícono , aparecerá un mensaje preguntado si se desean guardar los cambios, se debe elegir la opción Sí, y con ello se habrá definido la función. Lo siguiente es introducir el cuerpo del programa, pero esto es materia del apartado siguiente.
56
8.3 El cuerpo del programa Newton A continuación escribiremos el programa. Estando en la aplicación Programa , tocar el ícono , con ello indicaremos a la calculadora que crearemos uno nuevo. En la opción Tipo seleccionemos Progr.(normal), la opción Carpeta la conservamosen main , y en Nombre del programa escribimos MeNewton y seleccionamos Acep. , figura 9.
Figura 9.
Ahora introduciremos las instrucciones a la calculadora para que realice las acciones que se requieren. Inciso a del apartado 8.1 Indicarle a la calculadora que cuando se ejecute el programa pida al usuario que introduzca la función . Antes de introducir comandos, indicaremos a la calculadora que limpie la pantalla (para borrar posibles residuos de programas ejecutados) y que trabajaremos con número decimales, para esto se ingresan en renglones distintos las siguientes sentencias: ClrText y SetDecimal , figura 10.
57
Figura 10.
Para que la calculadora solicite introducir la función se utiliza el comando InputFunc, el cual se localiza en el menú E/S en Entrada ver figura 11 (también se puede escribir la sentencia con la pestaña abc del teclado virtual).
Figura 11.
La sintaxis para usar este comando es la siguiente: InputFunc Nombre de la función, “Cadena1”, “Cadena 2” Para el caso concreto que nos ocupa quedará como sigue: InputFunc f(x), “Introduce la función”, “Método de Newton”
58
Ver Figura 12, si el programa se ejecuta en este momento presionado consecutivamente los íconos y , se mostrará una ventana en la cual la calculadora pedirá que se introduzca la función, ver figura 13. La función puede ser introducida con las opciones de la pestaña mth del teclado virtual de la calculadora o con el teclado físico.
Figura 12.
Figura 13.
Inciso b del apartado 8.1 Que la calculadora pida el valor inicial ( ) y el número de repeticiones ( ).
Aquí se requiere que la calculadora pida dos valores y los almacene en las variables y , para esto se utiliza la función Input , la sintaxis es:
Input Nombre de la variable, “cadena 1”, “Cadena 2” o sea Input xn, “Da el valor inicial”, “Método de Newton” y Input n, “¿Cuántas iteraciones?”, Método de Newton”, figura 14.
Figura 14.
59
Al ejecutar esta etapa del programa se mostrarán las pantallas de las figuras 15 y 16.
Figura 15.
Figura 16.
Inciso c del apartado 8.1 Este apartado se desarrolló previamente en el apartado 8.2. Inciso d del apartado 8.1 Llamar repetidamente la función Newton creada en el apartado 1.2 para calcular aproximaciones a una de las raíces de la función .
Para indicarle esta acción a la calculadora se puede usar cualquiera de los comandos que permiten definir ciclos. Usaremos el comando For , la variable n (número de repeticiones) y dos variables auxiliares (Aux y Raíz). La sintaxis del comando es la siguiente:
For cantidad Parámetro1 To Parámetro2 Step Parámetro3 Para el caso concreto:
For 1 Aux To n Step 1 Esto se podría interpretar como sigue: “Para Aux igual con 1, hasta que valga n , yendo de uno en uno, hacer” y en el siguiente renglón se indican las instrucciones que se desean ejecutar. Al repetir es se calculan aproximaciones a la raíz con la función Newton, el valor resultante se debe asignar a la variable Raíz , ver figura 17.
60
Figura 17.
Posteriormente se debe indicar a la calculadora que asigne al parámetro el nuevo valor de la raíz, para que se le considere en la próxima repetición de la función Newton, eso se indica con la sentencia: Raíz , Ver figura 18.
Figura 18.
A continuación, se debe pedir a la calculadora que muestre el número de iteración, y la raíz calculada en ella. Usaremos el comando Locate , pues permite presentar datos en coordenadas específicas de la pantalla. La sintaxis del comando es Locate Ordenada, Abscisa, Parámetro. Introduciremos las siguientes sentencias: Locate 5, 5, “Xn” Locate 30, 5, “Raíz” 61
Locate 5, 15Aux, Aux Locate 20, 15Aux, Raíz Next Next es la sentencia con la que cerramos el ciclo FOR , ver figura 19.
Figura 19.
Finalmente el programa está concluido, presionamos el ícono guardamos los cambios realizados.
o el ícono
y
8.4 Utilizando el programa MeNewton A continuación utilizaremos el programa MeNewton para determinar una de las raíces de la función , el valor inicial será 2 y las iteraciones serán 10.
5 4 13
Solución: al ingresar a la aplicación Programa se mostrará un entorno semejante al de la figura 20, en las opciones que muestran deberán estar seleccionadas carpeta main y en nombre se deberá mostrar MeNewton. Entonces se deberá ejecutar el programa dando un toque en el ícono .
62
Figura 20.
Con esto se mostrará el cuadro de dialogo que pide insertes la función, la cual deberá ser ingresada con el teclado de la calculadora o con la pestaña mth del teclado virtual, figura 21.
Figura 21.
A continuación se deberá aceptar y posteriormente dar el valor inicial y el número de iteraciones, figura 22 y 23.
Figura 22.
Figura 23.
Con esto el programa se ejecutará y finalizará (figura 24), elegimos aceptar en el cuadro de diálogo que se muestre y luego podemos ampliar la pantalla de resultados del programa (con Resize) y mirar cada iteración y su raíz correspondiente, figura 25.
63
Figura 24.
Figura 25.
En los resultados del programa se puede apreciar que a partir de la tercer iteración la raíz se repite, e indica que es el valor a considerar. Hay varios métodos más para calcular raíces y se pueden implementar en la ClassPad330.
64
