Programación Lineal

ANÁLISIS CUANTITATIVO CUANTITATIVO PARA DECISIONES DECISIONES I

CAPÍTULO 3 PROGRAMACIÓN LINEAL 1.

CONCEPTO

Es una técnica matemática que permite asignar recursos limitados tales como dinero, personal, materiales, equipos, espacio, tiempo, etc. Un problema de Programación Lineal , es un problema de optimización, para lo cual se efectúa lo siguiente: si guiente: a. Se trata de maximizar (ejemplo (ejemplo beneficios) o minimizar (ejemplo (ejemplo costos) una función lineal de variables de decisión. La función que se pretende maximizar o minimizar se llama función objetivo. b. Los valores de las variables de decisión tienen que satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción tiene que ser una ecuación lineal (relacionada con el signo =) o una desigualdad lineal (relacionada con el signo <= ó >=). c. Hay una restricción de signo para cada variable. Para cualquier variable Xn la restricción de signo especifica que Xn tiene que ser s er no negativo Xn >= 0 o que Xn puede ser una variable sin restricción de signo. Para los casos a estudiar sólo se utilizará la restricción de no negatividad. d. De acuerdo a las unidades unidades utilizadas para las variables la exigencia podría podría tratarse de que los resultados sean enteros. La programación lineal se ha usado para resolver problemas de optimización en industrias tan diversas como la banca, la educación la silvicultura, s ilvicultura, la agricultura, el petróleo el transporte, etc. En una Encuesta en los EE.UU., se estableció que el 85% de las Empresas utilizaron ésta técnica. Su uso para optimizar la mezcla de gasolinas en la Texaco, le significó un ahorro de más de 30 millones de dólares anuales, en el diseño de las rondas de los l os oficiales de policía de San Francisco se logró un ahorro de 11 millones de dólares anuales, el reemplazo de equipo en Phillips Petroleum le significó un ahorro de 90 mil m il dólares anuales. 2.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROBL EMAS

a)

Método gráfico.- Utilizado cuando el modelo sólo contiene dos variables de

decisión. b)

Algoritmo Simplex.- Utilizado cuando el problema tiene muchas variables. El

algoritmo de resolución fue desarrollado por George Dantzig en 1947. Algoritmo es un conjunto de procedimientos que, cuando se siguen en forma ordenada, proporcionan una solución óptima a un problema. c)

.- Utilizado cuando el problema tiene muchas variables. Algoritmo Karmarkar .Ha sido desarrollado en los años 80 y paulatinamente está cobrando importancia. Si se desea comparar el Algoritmo Simplex y Algoritmo Karmarkar se ha

RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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demostrado que para problemas grandes, el método Karmarkar puede ser hasta 50 veces más rápido que el algoritmo simplex, su importancia radica en que actualmente los diseños de los problemas exigen un elevado número de variables, el Military Airlift Command ha utilizado el método de Karmarkar para determinar cuántas veces hay que volar diferentes rutas y con qué avión, el modelo tenía 150 000 variables y 12 000 restricciones y se resolvió en una hora con una computadora. Con una estructura similar, con 36 000 variables y 10 000 restricciones, se resolvió mediante el método simplex, en 4 horas con una computadora. d)

Computadora.- Existen diversos programas de computadora como son el

Lindo, Lingo, LPT1, Tora, etc. En las hojas de Cálculo como el Excel se posee una alta eficacia para resolverlos. 3.

PLANTEAMIENTO PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

Para resolver un problema de programación lineal el orden más conveniente para plantear el problema es seguir el orden siguiente: a. b. c. d. e. f.

Sintetizar los datos datos del del problema problema en una Tabla. Definir verbalmente lo que se desea desea alcanzar. Definir las Variables (incógnitas). Definir la Función Función Objetivo (lo que se desea alcanzar, alcanzar, un MAX o un MIN). MIN). Plantear las Restricciones (limitaciones a los recursos). Unificar Función Objetivo y Restricciones para plantear todo el problema.

El formato de la Tabla de síntesis del problema es generalmente: FILAS: entradas tales como materias primas, plantas de fabricación, recursos humanos, centros mineros, etc. y utilidad o costo. COLUMNAS: salidas tales como artículo 1, artículo 2, producto A y producto B, servicios A, B, etc. En algunos casos se invierte, llegando a ser las filas las columnas y las columnas las filas, por una situación sit uación de comodidad de manejo de la información.

ENTRADAS

SALIDAS PRODUCT. 1

PRODUCT. 2

RECURSO I RECURSO II UTILIDAD O COSTO


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DISPONIBILIDADES (RESTRICCIONES)


demostrado que para problemas grandes, el método Karmarkar puede ser hasta 50 veces más rápido que el algoritmo simplex, su importancia radica en que actualmente los diseños de los problemas exigen un elevado número de variables, el Military Airlift Command ha utilizado el método de Karmarkar para determinar cuántas veces hay que volar diferentes rutas y con qué avión, el modelo tenía 150 000 variables y 12 000 restricciones y se resolvió en una hora con una computadora. Con una estructura similar, con 36 000 variables y 10 000 restricciones, se resolvió mediante el método simplex, en 4 horas con una computadora. d)

Computadora.- Existen diversos programas de computadora como son el

Lindo, Lingo, LPT1, Tora, etc. En las hojas de Cálculo como el Excel se posee una alta eficacia para resolverlos. 3.

PLANTEAMIENTO PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

Para resolver un problema de programación lineal el orden más conveniente para plantear el problema es seguir el orden siguiente: a. b. c. d. e. f.

Sintetizar los datos datos del del problema problema en una Tabla. Definir verbalmente lo que se desea desea alcanzar. Definir las Variables (incógnitas). Definir la Función Función Objetivo (lo que se desea alcanzar, alcanzar, un MAX o un MIN). MIN). Plantear las Restricciones (limitaciones a los recursos). Unificar Función Objetivo y Restricciones para plantear todo el problema.

El formato de la Tabla de síntesis del problema es generalmente: FILAS: entradas tales como materias primas, plantas de fabricación, recursos humanos, centros mineros, etc. y utilidad o costo. COLUMNAS: salidas tales como artículo 1, artículo 2, producto A y producto B, servicios A, B, etc. En algunos casos se invierte, llegando a ser las filas las columnas y las columnas las filas, por una situación sit uación de comodidad de manejo de la información.

ENTRADAS

SALIDAS PRODUCT. 1

PRODUCT. 2

RECURSO I RECURSO II UTILIDAD O COSTO


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DISPONIBILIDADES (RESTRICCIONES)


4.

INGRESO DE DATOS PARA EL EXCEL

En el EXCEL 2007, en caso de no figurar en el Menú “Datos”, el complemento Solver , debe activarse ingresando a “Personalizar barra de Herramientas de acceso rápido/ Más Más comandos/ Complementos, si no figurara figurara o si no lograra lograra activarlo, tendrá que instalarlo. A modo de ejemplo práctico del uso del Solver (que tiene también otras aplicaciones por ser un optimizador), ver el primer Problema Resuelto de programación lineal, sobre las bicicletas y motonetas. Asumiendo que se ingresó la información en la forma que aparece en la Figura 3.1. FIGURA 3.1 INGRESO DE DATOS AL EXCEL

El proceso luego del ingreso de los datos es: MOVER A

:

D2 (CELDA DE FUNCIÓN OBJETIVO)

ESCRIBIR : (Utilizando Cursor)

=SUMAPRODUCTO(B2:C2,$B3:$C3) =SUMAPRODUCTO(B2:C2,$B3:$C3) ( 2)

COPIAR

:

CELDA D2 EN D4 Y D5 ( + C)

MOVER A

:

D2

IR A

:

Datos / Solver.

INGRESAR

:

Los datos que requiere la ventana del Solver (Ver Figura 3.2.). Asegurarse que en la ventana de Opciones (Figura 3.3), se tenga marcada la opción "Adoptar Modelo Lineal". Si no se ingresa la restricción de >= 0 para las variables, es práctico Opciones marcar m arcar “Asumir no negativos”.

(2) F4 permite fijar con “$”, “$”, determinadas celdas para para facilitar el proceso. proceso. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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FIGURA 3.2 VENTANA DEL SOLVER

FIGURA 3.3 OPCIONES DEL SOLVER

Luego de ingresar la información activará el botón de Resolver , con lo que obtendrá diversos resultados de la optimización figuran en las celdas B3 y C3, se pueden interpretar de la manera siguiente: Se debe producir 10 Bicicletas y 15 Motonetas., la máxima ganancia será de $ 1275 y se utilizarán el total de horas disponibles tanto en la Central 1 como en la 2. Se puede advertir que el problema no permitiría resultados no enteros, si bien para lo resuelto el problema está diseñado para cumplir este requisito, debe integrarse a las restricciones que las celdas B3 y C3 deben adoptar valores enteros. Para solucionar otro problema previamente dentro de la ventana del Solver activar Restablecer Restablecer to do. do . Podrá luego de estar familiarizado con el planteamiento y solución de problemas con el Solver, explorar otras opciones que le permitirán grabar y recuperar el planteamiento de los problemas, así como modificar determinados parámetros. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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ANÁLISIS CUANTITATIVO PARA DECISIONES I

5.

OPCIONES DEL SOLVER

Pueden controlarse las características avanzadas del proceso de solución, cargarse o guardarse definiciones de problemas y definirse parámetros para los problemas lineales y no lineales. Cada opción tiene una configuración predeterminada adecuada a la mayoría de los problemas. Tiempo máximo .- Limita el tiempo que tarda el proceso de solución. Puede

introducirse un valor tan grande como 32 367, pero el valor predeterminado 100 (segundos) es adecuado para la mayor parte de los problemas. Iteraciones.- Limita el tiempo que tarda el proceso de solución, limitando el

número de cálculos provisionales. Aunque puede introducirse un valor tan grande como 32 767, el valor predeterminado 100 es adecuado para la mayor parte de los problemas pequeños. Precisión .- Controla la precisión de las soluciones utilizando el número que se

introduce para averiguar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite inferior o superior. Debe indicarse la precisión mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantas más posiciones decimales tenga el número que se escriba, mayor será la precisión; por ejemplo, 0,0001 indica una precisión mayor que 0,01. Tolerancia.- El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución

satisface las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y todavía considerarse aceptable. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tengan restricciones enteras. Una tolerancia mayor tiende a acelerar el proceso de solución. Convergencia .- Si el valor del cambio relativo en la celda objetivo es menor que

el número introducido en el cuadro Convergencia para las últimas cinco iteraciones, Solver se detendrá. La convergencia se aplica únicamente a los problemas no lineales y debe indicarse mediante una fracción entre 0 (cero) y 1. Cuantas más posiciones decimales tenga el número que se escriba, menor será la convergencia; por ejemplo, 0,0001 indica un cambio relativo menor que 0,01. Cuanto menor sea el valor de convergencia, más tiempo se tardará en encontrar una solución. Ad op tar model o li neal .- Selecciónelo para acelerar el proceso de solución

cuando todas las relaciones en el modelo sean lineales y desee resolver un problema de optimización lineal. Mostrar resultado de iteracion es.- Selecciónelo para que Solver deje de mostrar

temporalmente los resultados de cada iteración. Usar escala automátic a.- Selecciónelo para utilizar la escala automática cuando

haya grandes diferencias de magnitud entre las entradas y los resultados; por ejemplo, cuando se maximiza el porcentaje de beneficios basándose en inversiones de millones de dólares. Ad op tar no -neg ati vo .- Hace que Solver suponga un límite de 0 (cero) para todas

las celdas ajustables en las que no se haya definido un límite inferior en el cuadro RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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Restricción del cuadro de diálogo Agregar restricción. Estimación.- Específica el enfoque que se utiliza para obtener las estimaciones

iniciales de las variables básicas en cada una de las búsquedas dimensionales. Tangente .- Utiliza la extrapolación lineal de un vector tangente. Cuadrática.- Utiliza la extrapolación cuadrática, que puede mejorar los resultados

de problemas no lineales en gran medida. Derivadas .- Especifica la diferencia que se utiliza para estimar las derivadas

parciales del objetivo y las funciones de la restricción. Progresiva .- Se utilizan para la mayor parte de los problemas, en que los valores

de restricción cambien relativamente poco. Central .- Se utiliza en los problemas en que las restricciones cambian

rápidamente, especialmente cerca de los límites. Aunque esta opción necesita más cálculos, puede ser útil cuando Solver devuelve un mensaje que indica que no puede mejorarse la solución. Buscar .- Específica el algoritmo que se utiliza en cada iteración para determinar

la dirección en que se hace la búsqueda. Newton .- Utiliza un método quasi-Newton que normalmente necesita más

memoria pero menos iteraciones que el método de gradiente conjugada. Conjugado Necesita menos memoria que el método Newton, pero normalmente necesita más iteraciones para alcanzar un determinado nivel de precisión. Use esta opción cuando se trate de un problema grande y la utilización de memoria deba tenerse en cuenta o cuando al hacer un recorrido a través de iteraciones se descubra un progreso lento. Cargar modelo .- Muestra el cuadro de diálogo Cargar modelo, donde puede

especificarse la referencia del modelo que desee cargar.

Guardar modelo .- Muestra el cuadro de diálogo Guardar modelo, donde puede

especificar la ubicación en que desee guardar el modelo. Haga clic únicamente cuando desee guardar más de un modelo con una hoja de cálculo; el primer modelo se guardará de forma automática. 6.

CASOS PRESENTADOS EN PROGRAMACIÓN LINEAL

Los casos presentados en un problema de programación lineal son: a)

El problema tiene una solución óptima única. Ejemplo: Los problemas planteados para su resolución en este Capítulo.

b)

El problema tiene soluciones óptimas alternativas o múltiples: dos o más puntos extremos son óptimos, y el problema tendrá un número infinito de soluciones óptimas. Ejemplo: (MAX) Z =

3X1 + 2X2


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Restricciones: (1) 1/40X1 + 1/60X2 <= 1 (2) 1/50X1 + 1/50X2 <= 1 X1, X2 >=0 c)

El problema no es factible: la región factible no tiene puntos comunes. Ejemplo: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 Restricciones: (1) 1/40X1 + 1/60X2 <= 1 (2) 1/50X1 + 1/50X2 <= 1 (3) X1 >= 30 (4) X2 >= 20 X1, X2 >=0

d)

El problema es no acotado: hay puntos en la región factible con valores para la función objetivo, arbitrariamente grandes (en casos de maximización) o arbitrariamente pequeños (en casos de minimización). Ejemplo: (MAX) Z = 2X1 + X2 Restricciones: (1) (2)

X1 - X2 <= 1 2X1 + X2 >= 6 X1, X2 >=0


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PROBLEMAS RESUELTOS ( 3) 1.

Un fabricante produce bicicletas y motonetas, las cuales deben procesarse a través de dos Centrales de producción mecánica. La Central 1 tiene un máximo de 120 horas disponibles, y la Central 2 tiene un máximo de 180 horas disponibles. La manufactura de una bicicleta requiere 6 horas en la Central 1 y 3 horas en la Central 2; la fabricación de una motoneta requiere 4 horas en la Central 1 y 10 horas en la Central 2. Si la utilidad por bicicleta en unidades monetarias es $ 45 (dólares por ejemplo), y por motoneta es de $ 55, establecer el número de bicicletas y de motonetas que se deberían fabricar para obtener la máxima utilidad. (Weber: Pág. 721).

2.

Suponiendo que se cuenta con dos alimentos: pan y queso; cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2 000 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 4 000 calorías y 200 gramos de proteínas. Suponiendo que una dieta normal requiere cuando menos 6 000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente. Por tanto, si el kilogramo de pan cuesta $ 6 y $ 21 el queso. ¿Qué cantidades de pan y queso se debe comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero? (Espinosa: Pág. 25).

3.

Un fabricante de juguetes que está preparando un programa de producción para dos nuevos artículos A y B, requiere utilizar en su fabricación las Máquinas X, Y y un tiempo adicional para su acabado final. Cada Juguete A requiere 2 horas de uso de la Máquina X, 1 de Y y 1 para su acabado final. El juguete B requiere 1 hora de X, 1 de Y y 3 horas para su acabado. Las horas disponibles de los empleados, por semana son: máquina X, 70 horas; máquina Y, 40 horas y para el terminado 90 horas. Si las utilidades del juguete A son $ 4 y de B $ 6. ¿Cuántas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objeto de maximizar las utilidades? ¿Cuál sería la utilidad máxima? (HAEUSSLER: Pág. 329).

4.

Una compañía minera extrae dos tipos de minerales A y B de dos minas. La cantidad de mineral que se puede extraer por tonelada procesada de la mina I es 100 kilos de A y 200 de B; de la mina II 200 kilos de A y 50 de B. El costo por tonelada en la mina I es de $ 50 y en la II de $ 60. Si la compañía debe fabricar cuanto menos 3000 kilos de A y 2 500 de B. ¿Cuántas toneladas de cada mina se deben procesar para minimizar los costos? ¿Cuál es el costo mínimo? (HAEUSSLER: Pág. 330).

5.

Un mueblero dispone de dos diferentes tipos de madera; tiene 1 500 pies de tabla del tipo A y 1 000 del tipo B, también dispone de 800 horas hombre para efectuar el trabajo. La demanda que ha estimado es la siguiente: cuando menos: 40 mesas, 130 sillas y 30 escritorios; y no más de 10 libreros. Las cantidades de madera A y B y las horas-hombre que requiere la elaboración de cada unidad de artículo, están indicadas en el Cuadro siguiente: (Espinosa: Pág. 30).

(3) Ver al final del presente Capítulo, respuestas y planteamientos. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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MADERA ARTICULO MESA SILLA ESCRITORIO LIBRERO

A

B

HORAS HOMBRE

5 1 9 12

2 3 4 1

3 2 5 10

DEMANDA ESTIMADA (*)

UTILIDAD POR UNIDAD ($) 12 5 15 10

DISPONIBILIDAD (*) (*) Información debe ser completada por lector. 6.

Una fábrica de automóviles y camiones consta de los departamentos que a continuación se enumeran: 1. Estampado de planchas metálicas; 2. Armado de motores; 3. Montaje de automóviles; 4. Montaje de camiones. El Departamento 1 puede estampar por mes, las planchas necesarias para 25 000 automóviles o 35 000 camiones, o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El Departamento 2 puede armar, por mes, 33 333 motores de automóviles o 16 667 motores de camión, o las correspondientes combinaciones de motores de automóvil y camión. El Departamento 3 puede montar y terminar 22 500 automóviles y 15 000 camiones el Departamento 4. Si cada automóvil deja una utilidad de 300 dólares y cada camión de 250. ¿Qué cantidades de automóviles y camiones deben producirse, de manera que las utilidades que se obtengan sean las máximas posibles? (Espinosa: Pág. 37).

7.

Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pinturas para interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resume en la tabla siguiente: (TAHA: Pág. 18)

Materia Prima A Materia Prima B

Toneladas de Materia Prima por tonelada de pintura Exterior Interior 1 2 2 1

Disponibilidad máxima (Toneladas) 6 8

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es de $ 3 000 para la pintura de exteriores y de $ 2 000 para la pintura de interiores. Responder: (Ayuda: Ver Anexo 2) a. ¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? b. Imprima los Informes de respuestas, sensibilidad y límites que genera el RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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Excel, interprételos y efectúe un informe que establezca líneas de acción para mejorar el desempeño de la empresa. c. Describa el significado del gradiente reducido (llamado también costos reducidos). d. Describa el significado del precio sombra (llamado también precios duales). e. Realice las pruebas para los valores máximos y mínimos, tanto de los coeficientes como de las restricciones (Nota: en el Excel aparecen los valores en el Informe de sensibilidad). f. Para el Informe de límites efectúe las pruebas para demostrar el significado de los límites inferior y superior de las variables. 8.

TAHA: Un hombre de negocios tiene la opción de invertir su dinero en dos planes. El Plan A garantiza que cada dólar invertido retornará 70 centavos por año, mientras que el Plan B garantiza que cada dólar invertido retornará $ 2 en dos años. En el Plan B sólo se invierte para períodos que son múltiplos de dos años ¿Cómo se invertirá $ 100 000 para maximizar los retornos al final de los 3 años?

9.

TAHA: Para una jornada de 24 horas, una cafetería está requiriendo mozos (ver Tabla). Cada mozo trabaja 8 horas consecutivas por día. El objetivo es encontrar el número menor de mozos que cumplan con los requerimientos. Número mínimo de mozos 04 08 10 07 12 04

Tiempo del día 2 6 10 14 18 22

-

6 10 14 18 22 2

-

Se trabajan 6 Turnos de acuerdo al horario siguiente: Turno

Horario

1 2 3 4 5 6

2 a 10 horas 6 a 14 horas 10 a 18 horas 14 a 20 horas 18 a 2 horas 22 a 6 horas

10. HILLIER: Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no provechosa. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. El gerente está considerando dedicar esta capacidad en exceso a uno o más de tres productos, llamémoslos 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las máquinas en horas máquina por semana, es RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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limitada: Fresadora 500, Torno 350 y Rectificadora 150. El número de horas de máquina requeridas por cada unidad de los productos respectivos es: Producto 1: 9 horas en la Fresadora, 5 en el Torno y 3 en la rectificadora. Producto 2: 3 horas en la Fresadora, 4 en el Torno y 0 en la rectificadora. Producto 3: 5 horas en la Fresadora, 0 en el Torno y 2 en la rectificadora. El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es mayor que la tasa de producción máxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unidades por semana. La utilidad unitaria será de $ 30, $ 12 y $ 15, para los productos 1, 2, y 3 respectivamente. Se requiere maximizar la utilidad. 11. La empresa “El Pino" fabrica diversos muebles para oficina (mesas, sillas, sofás, camas, escritorios y lámparas). Desea maximizar su utilidad diaria considerando sus restricciones de disponibilidad máxima de recursos, los que se muestran a continuación. Resolver con el Solver, sin generar ecuaciones y responder: a) b) c) d)

¿Cuál sería la cantidad de cada producto a producir? ¿A cuánto asciende la utilidad máxima? ¿Cómo cambiaría a) y b), si se sabe que tiene que fabricar mínimamente tres camas por ser un atractivo por el cual los clientes vienen a la tienda de exhibición? ¿Qué decisiones adoptaría respecto a los inventarios?

REQUERIMIENTO DE RECURSOS, COSTOS Y PRECIO DE VENTA POR UNIDAD PRODUCIDA

Departamento

Disponibilidad Máxima

Mesas

Sillas

Sofás

Camas

Escrit orio s

Banquetas

Carpinteros (H/H)

4

2

5

6

5

2

240

Supervisores (H/H)

1

2

1

2

1

1

120

Administración (H/H)

2

1

1

1

2

1

120

Madera (m)

6

5

3

4

4

2

500

Pintura / Barniz (G)

2

1

1

4

5

1

220

Tornillos (Un)

3

2

2

4

4

3

250

Costos

98

45

150

250

180

75

104.50

49.00

157.00

259.50

185.00

79.00

Precio de Venta

12. Un comerciante en su línea de productos dirigidos a la limpieza, tiene 56 unidades de 10 productos distintos. Para la línea de productos un especialista en Gestión de Precios, le ha recomendado que sus Precios estén entre S/. 6 y S/. 10. El comerciante aceptará lo recomendado siempre que el precio promedio sea de S/. 9 y que las ventas totales previstas superen el costo de adquisición que fue de S/. 440, en un 10%. Resolver y decidir utilizando el Solver, sin generar ecuaciones.


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N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Producto A B C D E F G H I J Totales

Cantidad 6 4 8 6 6 4 4 4 6 8 56


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Precio ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Venta ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


PROBLEMAS PROPUESTOS (4) 1.

El Cuadro siguiente muestra el número de kilos de cada uno de los dos ingredientes en una unidad requeridos para elaborar dos compuestos químicos. a)- ¿Cuántas unidades X1 y X2 de los dos compuestos deberán producirse? b)- Que sucedería si se requiriera un tercer material C, cuya obtención está restringida por 6X1 + 5X2 ≤ 150. (Ullmann: Pág. 69 - 70).

INGREDIENTE 1 INGREDIENTE 2 UTILIDAD ($/POR UNIDAD)

COMPUESTO 1 8 2

COMPUESTO 2 4 6

3

4

DISPONIBILIDAD 160 60

2.

La Empresa "Descart" está tratando de encontrar la mejor manera de cortar platos de papel del rollo estándar. Tiene dos pedidos de platos: uno por 100 000 platos de 9 pulgadas, el otro por 178 000 platos de 7 pulgadas. Se ha propuesto dos métodos de corte. El corte "A" da 5 platos de 9 pulgadas y 10 de 7, más 4 pulgadas de desperdicio por cada rollo de material. El corte "B" da 8 platos de 9 pulgadas y 5 de 7, más 6 pulgadas de desperdicio por cada rollo de material. a)- ¿Cuántos cortes de cada tipo deben hacerse para minimizar el desperdicio? b)- A cuánto asciende la Función Objetivo y qué significa? (Gallagher: 187)

3.

La Compañía "Fértil" S.A. tiene tres parcelas de tierra con 50, 100 y 200 Hectáreas, respectivamente. Existen tres cosechas posibles que la compañía puede plantar, pero el Ministerio de Agricultura ha establecido límites en el tamaño de cada cosecha a)- Cosecha 1, 50 hectáreas como máximo b)Cosecha 2, 125 Hectáreas como máximo. c)- Cosecha 3, 225 hectáreas como máximo. En términos de lo que se desea, "Fértil" S.A. cree que su ganancia variará con la cosecha y la parcela debido a las variaciones en las condiciones del suelo. Se han estimado las siguientes ganancias por hectárea para cada combinación: PARCELA 1 2 3

COSECHA 1 87 94 92

COSECHA 2 89 92 89

COSECHA 3 91 88 91

a)-¿Qué cosechas se deben plantar en cada parcela? b)- ¿A cuánto asciende la Función Objetivo y qué significa? (Gallagher: 187). 4.

(4)

Un inversionista dispone de 500 000 dólares para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A, de bastante riesgo, tiene un interés anual del 10%, y el tipo B, bastante más segura, tiene un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300 000 dólares en A, y como mínimo 100 000 dólares en B. Además decide invertir en A por lo menos lo mismo que en B. a) ¿Cómo debería invertir los 500 000 dólares para maximizar sus ganancias Ver al final del presente Capítulo las respuestas y/o planteamientos.


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anuales? b) ¿Cuál sería su ganancia por la acción A, por la acción B y la ganancia total máxima? c) ¿Cuánto en total invirtió? d) ¿Cuánto más invirtió en la acciones tipo A en comparación con las del tipo B? e) ¿Cuánto dinero en total poseería al final del año, considerando que, si de quedarle un saldo no invertido, este se acumula al monto producto de la operación de inversión? 5.

Un fabricante de camisas está tratando de decidir cuántas camisas debe producir durante el mes próximo. Pueden hacerse siete estilos. Los estilos varían en las horas de mano de obra que requieren, en la utilidad y en las ventas potenciales que el departamento de comercialización estima. Los datos se dan en seguida. (Gallagher: 187). ESTILO 1 2 3 4 5 6 7

HORAS HOMBRE 0,50 1,00 0,25 1,50 0,70 0,90 1,20

VENTAS MÁXIMAS 3 000 1 000 5 000 2 000 1 500 1 500 1 600

UTILIDAD POR UNIDAD 1,00 2,00 1,00 1,50 1,10 1,20 1,20

Se dispone de un total de 7 500 horas de mano de obra, se solicita maximizar la utilidad total. 6.

La Empresa XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta $ 2 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta $ 2,50. Los requerimientos para estos productos en mano de obra son: clavo 2 horas en el Departamento 1 y 3 horas en el Departamento 2, mientras que un tornillo necesita 4 horas en el Departamento 1 y 2 horas en el Departamento 2. El jornal por hora en ambos departamentos es de $ 2. Ambos productos se venden a $ 18 y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en el Departamento 1 es de 160 y en el Departamento 2, 180. Resuelva el problema e interprete los resultados obtenidos para la función objetivo, variables y restricciones.

7.

Ud. ha sido designado para la atención a un congresista durante 90 minutos. Se conoce que tiene el mal hábito de tomar bebidas alcohólicas en exageración. Se le ha entregado $ 5 000 y se ha recabado la siguiente información: •

•

•

El congresista toma cualquier bebida alcohólica y no tiene reparos en combinar distintos tipos de licor, pero siempre bebe en cantidades iguales o menores que 8 vasos de cerveza, 10 de ginebra, 12 de whisky y 24 de martinis. El tiempo que emplea para beber es de 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6’ por vaso de ginebra, 7’ por vaso de whisky y 4’ por martini. Los precios de las bebidas son $ 100 el vaso de cerveza, 200 el de ginebra, 200 el de whisky y 400 el martini.


- 44 -


•

•

Las unidades alcohólicas de las bebidas por vaso son: Cerveza 17, ginebra 15, whisky 16 y martini 7, se considera que el objetivo en este caso es maximizar el consumo alcohólico durante los 90’ que debe entretenerse al huésped. El congresista siempre bebe un mínimo de 3 whiskys.

a) Establezca el planteamiento del problema para programación lineal. b) Cuánto se prevé gastar en bebidas alcohólicas por consumo del congresista. c) ¿Cuál sería el consumo en unidades alcohólicas? d) ¿Cuántos minutos el congresista del total de 90’ que dure su atención no tendrá a su disposición un vaso de bebida alcohólica? 8.

La Empresa “Medical”, produce Osciloscopios y Voltímetros, de los análisis de mercado se conoce que no se tiene restricciones para vender el total de unidades de osciloscopios producidos, sin embargo los voltímetros no se pueden vender más de 200 unidades. El proceso productivo se efectúa en tres (3) departamentos: Armazones, bases de Circuitos y Ensamble, que poseen 2 000, 2 500 y 3 000 horas disponibles por mes. Los osciloscopios requieren en el Departamento de Armazones 4,5 horas, en el Departamento de Bases de Circuitos 6,3 horas y en el Departamento de Ensamble 7,0 horas. Los Voltímetros requieren en el Departamento de Armazones 2,0 horas, en el Departamento de Bases de Circuitos 1,5 horas y en el Departamento de Ensamble 3,0 horas. Los precios y costos son los siguientes: FLUJO Precio de Venta

OSCIL. 170

VOLT. 55

20 50 40

5 10 10

COSTOS: Mano de Obra Materiales Gastos Generales

a) Cuántos Osciloscopios y Voltímetros se deben producir. b) ¿Cuál es la ganancia máxima que se obtendría? c) ¿Cuál es el significado del valor obtenido en las restricciones? 9.

(MAX) Z = 5X1 - 6X2 + 10X3 (Weber: Pág. 742). Restricciones: X1 + X2 + X3 ≥ 15 2X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 35 3X1 - 4X2 + 6X3 ≤ 30 X1 - X2 ≥ 0 X1, X2, X3 ≥ 0

10. (MIN) C = 6X1 + 3,5X2 + 5X3 + 3X4 + 6X5 (Schneider: Pág. 235). Sujeto a: 4X1 + 8X2 + 6X3 + 6X4 + 4X5 ≥ 480 2X1 + 10X2 + 2X3 + 10X4 + 3X5 ≥ 700 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0 RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 45 -


11. (MAX) Z = -X1 + 2X2 + 4X3 (Espinosa: Pág. 74). Con las Condiciones: X1 + X2 X1 - X2

≤ ≤

X3

≤

6 3 4

12. (MIN) C = 3X1 + 5X2 + X3 (Weber: Pág. 743). Restricciones: X1 + X2 + X3 ≥ 6 3X1 + 8X2 +9X3 ≤ 50 6X1 + 7X3 ≥ 12 12X2 + 4X3 ≥ 15 X1, X2, X3 ≥ 0 13. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 kilos. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 kilos. Los tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $ 20, $ 80 y $ 12. Además: a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete. b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1,6 kilos. c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total. ¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo? 14. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: A y B. El combustible A tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El combustible B tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. Disponibles para la producción hay 500 gal./hr. de grado 1 y 200 gal./hr. de los grados 2 y 3. Los costos son de 30 ctv. ($ 0,30) por galón de grado 1, $ 0,60 por galón de grado 2 y $ 0,50 por galón de grado 3. La clase A puede venderse a $ 0,75 por galón, mientras que la clase B alcanza $ 0,90 por galón ¿Qué cantidad puede producirse de cada combustible? 15. Un agente vendedor maneja dos productos y no espera vender más de 10 unidades/mes del producto 1 o 39 unidades/mes del producto 2. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto 2. Recibe una comisión de 10% sobre toda las ventas y debe pagar sus propios gastos, que se estiman en $ 1,50 por hora gastada en hacer visitas. Trabaja sólo una parte del tiempo y debe trabajar hasta un máximo de 80 horas/mes. El producto 1 se vende en $ 150 por unidad y requiere un promedio de 1,5 horas por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0,5. El producto 2 se vende en $ 70 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0,6 ¿Cuántas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto? 16. Una compañía de transporte de carga tiene 10 camiones con capacidad de 40 000 lbs. y 5 camiones de 30 000 lbs. de capacidad. Los camiones grandes RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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tienen costos de operación de $ 0,30 / km y los más pequeños de $ 0,25 / km. En la próxima semana, la compañía debe transportar 400 000 lbs. de malta para un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta ¿Cuál es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar la malta? (Nota: resolver, ignorando el que la respuesta deba darse en números enteros y luego considerando ésta restricción). 17. Una compañía de transporte dispone de $ 400 000 para comprar nuevo equipo y está considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 km por hora. Su costo es de $ 8 000. El vehículo B tiene una capacidad de 20 toneladas y se espera que promedie 30 millas por hora. Su costo es de $ 13 000. El vehículo C es un modelo modificado de B, tiene un sitio para que duerma el chofer, lo cual reduce su capacidad a 18 toneladas y eleva su costo a $ 15 000. El vehículo A requiere una tripulación de un hombre y se opera durante tres turnos por día, puede trabajar un promedio de 18 horas por día. Los vehículos B y C requieren una tripulación de dos hombres cada uno, pero mientras que B puede trabajar 18 horas por día en tres turnos, C puede promediar 21 horas diarias. La compañía, que dispone de 150 choferes al día, tendría muchas dificultades para obtener tripulaciones adicionales. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede exceder de 30. Determinar cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse, si la compañía desea hacer máxima su capacidad en toneladas km por día. 18. Un agricultor tiene dos planes de inversión: en tierras de riego o tierras de secano. El primer programa regresa un 30% de la inversión anualmente, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, pero al término de dos años. Los intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Se solicita maximizar la inversión total en un sexenio, la inversión anual es de $ 100 000. 19. Investigar sobre los programas LINDO y LINGO. 20. Resolver todos los Problemas Resueltos y Propuestos con el LINGO.


- 47 -


PLANTEAMIENTO Y RESPUESTAS - PROBLEMAS RESUELTOS Para los Diez (10) problemas resueltos, se dan a continuación el Planteamiento y las respuestas obtenidas. 1. MEDIOS O RECURSOS Central 1 Central 2

PRODUCTO Bicicletas Motonetas 6 4 3 10

UTILIDAD

45 X1 X2

(MAX) U = Restricciones: Horas Central 1 Horas Central 2 No Negatividad Entero

RESTRIC. 120 180

55

= N° de Bicicletas = N° de Motonetas

45 X1

+

55 X2

6 X1 3 X1

+ +

4 X2 10 X2 X1, X2 X1, X2

<= <= >=

120 180 0

∈



Respuesta.- Se deben producir 10 Bicicletas y 15 Motonetas, obteniendo así, una Utilidad Máxima de $ 1 275.

2. CONTENIDO

PRODUCTO Pan (1 kg) Queso (1 kg) 2 000 4 000 50 200

Calorías Proteínas COSTO

6 X1 X2

(MIN) C = Restricciones: Calorías Proteínas No Negatividad

RESTRIC. >= 6 000 >= 200

21

= Kilogramos de pan = Kilogramos de queso

6 X1

+

21 X2

2 000 X1 50 X1

+ +

4 000 X2 200 X2 X1, X2

>= >= >=

6 000 200 0

Respuesta.- 2 Kg de Pan y 1/2 Kg de Queso, con un gasto mínimo de $ 22,50 3. MEDIOS O RECURSOS Maquina X Maquina Y Acabado Final

A 2 1 1

B 1 1 3

UTILIDAD

4

6

X1

ARTICULO

RESTRIC.

= Unidades del Artículo A


- 48 -

<= 70 <= 40 <= 90


X2 (MAX) U = Restricciones: Horas Máquina X Horas Máquina Y Horas Acabado Final No Negatividad Entero

= Unidades del Artículo B

4 X1

+

6 X2

2 X1 X1 X1

+ + +

X2 X2 3 X2 X1, X2 X1, X2

<= <= <= >=

70 40 90 0

∈



Respuesta.- Juguete A = 15 Unidades; Juguete B = 25 Unidades; (MAX) U = 210. 4. MEDIOS O RECURSOS Mina I Mina II

PRODUCTO A 100 200

RESTRIC.

>= 3 000 X1 X2

(MIN) C = Restricciones: TM Producto A TM Producto B No Negatividad

COSTO POR TM 50 60

B 200 50 >= 2 500

= Toneladas procesadas en Mina I = Toneladas procesadas en Mina II

50 X1

+

60 X2

100 X1 200 X1

+ +

200 X2 50 X2 X1, X2

>= >= >=

3 000 2 500 0

Respuesta.- Mina I: 10 Toneladas; Mina II: 10 Toneladas; (MIN) C = 1 100. 5. X1 = X2 = (MAX) U = Restricciones: Madera A Madera B Horas Hombre Demanda Mesas Demanda Sillas Demanda Escritorios Demanda Libreros No Negatividad Entero

X3 = X4 =

N° de Mesas. N° de Sillas

N° de Escritorios. N° de Libreros.

12 X1

+

5 X2

+

15 X3

+

10 X4

5 X1 2 X1 3 X1 X1

+ + +

X2 3 X2 2 X2

+ + +

9 X3 4 X3 5 X3

+ + +

12 X4 X4 10 X4

X2 X3 X4 X1, X2, X3, X4 X1, X2, X3, X4

<= <= <= >= >= >= <= >=

1 500 1 000 800 40 130 30 10 0

∈



Respuesta.- Nº Mesas = 130; Nº Sillas = 130; Nº Escritorios = 30; Nº Libreros = 0; Máxima Utilidad = $ 2 660.


- 49 -


6. Departamento

Automóviles

Camiones

Restricción

1. Estampado de planchas metálicas

25 000

35 000

o (Excluyente)

2. Armado de motores

33 333

16 667

o (Excluyente)

3. Montaje de automóviles

22 500

4. Montaje de camiones

15 000

X1 X2 (MAX) U = Restricciones: Capac. Util. Dpto. 1 Capac. Util. Dpto. 2 N° autom. Armados N° camion. Armados No Negatividad Entero

<= <=

= Cantidad de automóviles = Cantidad de camiones

300 X1

+

250 X2

1/25000 X1 1/ 33 000 X1 X1

+ +

1/35 000 X2 1/16 667 X2 X2 X1, X2 X1, X2

<= <= <= <= >=

1 1 22 500 15 000 0

∈



Respuesta.- Nº de Automóviles = 20 371; Nº de Camiones = 6 480; Máxima Utilidad = $ 7 731 300 7.

Si: Xe = Toneladas de pintura para exteriores producidas diariamente y Xi = Toneladas de pintura para interiores producidas diariamente, el planteamiento es: (Max) U = Restricciones:

3000Xe Xe 2Xe - Xe

+ 2000Xi + + +

2Xi Xi Xi Xi Xe, Xi

<= <= <= <= >=

6 8 1 2 0

Respuesta.- Se deben producir diariamente 3,33 Toneladas de pintura para exteriores y 1,33 Toneladas de pintura para interiores, la función objetivo es de $ 12 667. Los Informes de Respuestas, Sensibilidad y Límites para éste ejercicio en particular se pueden consultar en el Anexo 1: INFORMES DEL SOLVER PARA PROGRAMACIÓN LINEAL EN EL EXCEL ya que se toman como ejemplo para el desarrollo de éste tema. RECOMENDACIÓN: Los Informes del Excel se pueden imprimir, resolver el Problema en el TORA, imprimir sus informes y con ayuda del Anexo 2 y del RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 50 -


libro de Investigación de Operaciones – Taha desarrollar las interpretaciones, ya que gran parte de los análisis con diferentes software, son equivalentes, cambia sólo la forma de presentación. 8.

En muchos problemas de Programación Lineal, una buena visualización del problema, basta para hacer una formulación adecuada. Se tiene la siguiente gráfica: 100 000 XB0

0

XA0

1

XA1

XA2

2

3

XB1

Variables: XA0

= Cantidad invertida en Plan A en el Año 0

XA1


XA2


XB0

= Cantidad invertida en Plan B en el Año 0

XB1

= Cantidad invertida en Plan B en el Año 1

La anterior gráfica y variables permiten plantear las siguientes Tablas: Inversión posible: Período Inversión posible

0 XA0 + XB0

1

2

XA1 + XB1

XA2

Disponibilidad de dinero (montos incluidos los intereses ganados y posibles de invertir o salir) Período Disponibilidad

0 100 000

1 1,7 XA0

2 1,7 XA1 + 3 XB0

3 1,7 XA2 + 3 XB1

Se puede plantear con los datos anteriores la Función Objetivo y las Restricciones: Función Objetivo: Está expresada como una función del dinero que se dispone al final del año 3:


- 51 -


(Max) Z = 1,7 XA3 + 3 XB2 Restricciones: Inversión posible <= Disponibilidad de dinero (la cantidad que se invierte no puede superar a la cantidad que se tiene). XA0 + XB0 <= 100 000 XA1 + XB1 <= 1,7 XA0 XA2 <= 1,7 XA1 + 3 XB0 El problema queda entonces del siguiente modo: F.O. (Max) Z =

1.7 XA2

+ 3 XB1

Restricciones: XA0 + XB0 -1.7 XA0 + XA1 + XB1 -1,7 XA1 + XA2 - 3 XB0 XA0, XA1, XA2, XB0, XB1

≤ 100 000 ≤ 0 ≤ 0 >= 0

Respuesta.- Se debe invertir inicialmente al inicio (Período 0) la suma de $ 100 000 en el Plan A: XA0 = 100 000 Que se convertirá en un año en 170 000 (al inicio del Período 1) dado que: XB1 = Inversión + Intereses = 100 000 + 0.7*100 000 = 1.7*100 000 = 170 000 Monto que invertido al inicio del Período 1 en el Plan B, generará al final del año 3: Inversión + Intereses = 170 000 + 2*170 000 = 3*170 000 = 510 000 9.

Sea: Xi = El número de mozos que ingresan en el turno i (i = 1, 2, ..... 6)

Turno X1 X2 X3 X4 X5 X6

Horario = Cantidad de mozos que trabajan en el Turno de 2 a 10 horas = Cantidad de mozos que trabajan en el Turno de 6 a 14 horas = Cantidad de mozos que trabajan en el Turno de 10 a 18 horas = Cantidad de mozos que trabajan en el Turno de 14 a 20 horas = Cantidad de mozos que trabajan en el Turno de 18 a 2 horas = Cantidad de mozos que trabajan en el Turno de 22 a 6 horas

En la gráfica siguiente se visualiza este problema, por el efecto de duración de 24 horas de un día, el último turno pasa de un día al siguiente, generando que “se encuentre” con los que ingresan más temprano a trabajar: RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 52 -


2

6

10

14

18

22

2

6

1 X1

2 X2

3 X3

4 X4

5 X5

6 X6

Luego, el problema tendrá el siguiente conjunto de restricciones: NÚMERO DE MOZOS EN UN TURNO ≥ NÚMERO MÍNIMO Turno 1

X1

Turno 2

X1

X6

+ +

X2 X2

Turno 3

+

X3 X3

Turno 4

+

X4 X4

Turno 5

+

X5 X5

Turno 6

X6

+

≥

4

≥

8

≥

10

≥

7

≥

12

≥

4

Esto es así por cuanto en cualquier turno, hay quienes están cumpliendo sus primeras 4 horas (los que han ingresado en el turno) y quienes están cumpliendo sus últimas horas (los del turno anterior). Y la Función Objetivo que minimizará el total de mozos es: (Min) M = X1 + X2 + X3 + X4 +X5 + X6 Y como siempre, la condición de NO NEGATIVIDAD: Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, ..... ,6 Respuesta.- Se requiere un mínimo de 26 mozos, según los siguientes Turnos: Turno 1: 4 Mozos; Turno 2: 10 Mozos; Turno 3: 0 Mozos; Turno 4: 8 Mozos; Turno 5: 4 Mozos y Turno 6: 0 Mozos. 10. Si X1, X2 y X3 es la cantidad a producir de 1, 2 y 3. El modelo quedaría planteado como: (Max) U = Restricciones: Fresadora Torno Rectificadora

30 X1

+

12 X2

+

15 X3

9 X1 5 X1 3 X1

+ +

3 X2 4 X2

+

5 X3

+

2 X3 X3 X1, X2 X3 X1, X2 X3

≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ∈

500 350 150 20 0 

Respuesta.- La utilidad máxima asciende a $ 1 740, debiendo producirse 26 unidades del Producto 1, 55 unidades del Producto 2 y 20 unidades del Producto 3. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

- 53 -


11. NOTA: El ejercicio se adecúa para ser resuelto directamente con el Solver, sin efectuar el planteamiento matemático. Un formato propuesto para ingresar los datos es el siguiente: Departamento

Mesas

Sillas

Sofás

Camas

Escritorios

Banquetas

Disponibilidad Máxima

Utilización

Disponibilidad o inventario

Carpintero (H/H)

4

2

5

6

5

2

240

240

0

Supervisores (H/H)

1

2

1

2

1

1

120

118

2

Administración (H/H)

2

1

1

1

2

1

120

120

0

Madera (m)

6

5

3

4

4

2

500

374

126

Pintura / Barniz (G)

2

1

1

4

5

1

220

120

100

Tornillos (Un)

3

2

2

4

4

3

250

250

0

98.00

45.00

150.00

250.00

180.00

75.00

104.50

49.00

157.00

259.50

185.00

79.00

6.50

4.00

7.00

9.50

5.00

4.00

28

26

0

0

0

38

Costos Precio de venta

Utilidad

Unidades a producir

Utilidad total

438.00

La utilidad por unidad se deduce de la resta del precio de venta menos el precio de venta, la columna de Utilización describe las restricciones por lo tanto debe estar multiplicando el requerimiento de cada recurso por las unidades a producir y el inventario es la resta de la disponibilidad máxima y la utilización. La utilidad total es el resultado de sumar la multiplicación de la utilidad por unidad por las unidades a producir. Los resultados de la producción, deben ser enteros. a)

Los resultados son:

Unidades a producir

Mesas Sillas Sofás Camas Escritorios 28 26 0 0 0

b)

La utilidad máxima es S/. 438.00

c)

Varían las unidades a generar, siendo por producto:

Unidades a producir

Mesas Sillas Sofás Camas Escritorios 23 26 0 3 0

Banquetas 38

Banquetas 39

La utilidad máxima es: S/. 438.00 d)

Se disminuiría el monto de los inventarios, evaluando si algunos requerirían tenerse con el almacén a partir de los costos del inventario y costos de adquisición al significar capital inmovilizado. Lo que muestra el resultado es que luego del proceso productivo se tienen horas sin utilizar de administración, que se podrían racionalizar, en almacén


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queda la madera representando un 40% de la madera utilizada (142 m), aparentemente excesiva y pintura 97 galones también para evaluarse su necesidad. 12. El problema plantea varias condiciones, pero la condición que si supera el costo de adquisición de S/. 440 en un 10% (440*1.10= 484), no constituye un dato para solucionarlo, se tomará en cuenta como criterio de decisión, luego de obtenidos los resultados. Se soluciona con el Excel, inicialmente los precios pueden ser Ceros (0), se generan las fórmulas para las Ventas = Cantidad * Precio, los Totales son la suma de las columnas y el Promedio de los Precios = ∑ Precios / N° Total de Artículos (función Promedio del Excel). N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidad (a) A 6 B 4 C 8 D 6 E 6 F 4 G 4 H 4 I 6 J 8 Totales 56 Promedio

Producto

Precio (b) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Venta (a)*(b) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

La Tabla mostrada a continuación luego de seguir el proceso con el Solver del Excel lista los resultados, que podrían tener variantes a nivel de Precios, no así en el Promedio de Precios. Finalmente se opta por aceptar la estructura de Precios al cumplirse que el promedio sea Nueve (9) y al ser la utilidad superior al 10%. Para plantear la Función Objetivo (F.O.) y Restricciones (valores del lado derecho de la expresión: 484, 9, 10 y 6 deben ser ingresadas directamente en el Solver), se debe tener en cuenta: Componente del problema

Expresión

Para el Solver

Objetivo

(MAX) V =

Celda del total de ventas

Restricción 1

Total ventas >= 484 (400*1.1)

Celda del total de ventas

Restricción 2

Promedio precios = 9

Celda del promedio de precios

Restricción 3

Precios <= 10

Celdas de precios

Restricción 4

Precios >= 6

Celdas de precios


- 55 -


Los resultados después de utilizar el Solver son: N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidad (a) A 6 B 4 C 8 D 6 E 6 F 4 G 4 H 4 I 6 J 8 Totales 56 Promedio

Producto

Precio (b) 10 8 10 10 10 6 6 10 10 10

Venta (a)*(b) 60 32 80 60 60 24 24 40 60 80 520

9

La decisión finalmente es aprobar la estructura de precios y los resultados para las ventas (en este caso, que no se constituye en una buena práctica, se ha optimizado las ventas, lo que debe optimizarse son los resultados finales tales como beneficios). Efectuando un resumen del proceso seguido, se tiene: Condición Costo total Utilidad Valor venta total Promedio de precios Precios Decisión

Evaluación 440 10% 484 Se cumple = 520 9 Se cumple = 9 Entre 6 y 10 Se cumple Se acepta estructura de precios


- 56 -


RESPUESTAS - PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

a) Utilidad máxima = $ 70, con 18 unidades del compuesto 1 y 4 del compuesto 2. b) No se afecta los resultados. Planteamiento para a) X1 = Unidades del Compuesto 1. X2 = Unidades del Compuesto 2. X1 X2 (Max) U = 3 4 Restricciones: 8 4 2 6 X1, X2 Planteamiento para b) X1 X2 (Max) U = 3 4 Restricciones: 8 4 2 6 6 5 X1, X2

<= <= >=

160 60 0

<= <= <= >=

160 60 150 0

2.

X1 = 16 800; X2 = 2 000 FUNCIÓN OBJETIVO: 79 200

3.

Función Objetivo = 32 025. X11 0

X12 0

X13 50

X21 25

X22 75

X23 0

X31 25

X32 0

X33 175

4. X1= Monto a Invertir en las Acciones Tipo A X2 = Monto a Invertir en las Acciones Tipo B X1 X2 0,1 0,07 44 000 300 000 200 000 1 1 500 000 <= 1 300 000 <= 1 200 000 >= 1 -1 100 000 >= X1, X2 >=

500 000 300 000 100 000 0 0

a) Monto a Invertir en Acciones Tipo A: $ 300 000, en Acciones Tipo B: $ 200 000. b) Ganancias por la Acción Tipo A: $ 30000, por la Acción Tipo B $ 14 000, Ganancia Total Máxima: $44 000. c) Monto total invertido $ 500 000. d) En las acciones A invirtió $100 000 más que en B. e) Total de dinero que poseería al final del año $ 544 000. 5.

Estilo 1 = 3 000, estilo 2 = 1 000, estilo 3 = 5 000, estilo 4 = 0, estilo 5 = 1 500, estilo 6 = 1 500 y estilo 7 = 1 125. Utilidad Máxima 14 875 UM.


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6. (MAX) U = 4X1 + 5,5X2. Con las Condiciones: 4X1 + 2X2 ≤ 160 2X1 + 3X2 ≤ 180 X1, X2 ≥ 0 X1 = 15, X2 = 50 7.

Planteamiento y resultados en el Excel: CER GIN WHIS MART (MAX) A = 17 15 16 7 0 10 4,29 0 1 1 1 1 15 6 7 4 100 200 200 400 1

218,57 0,00 10,00 4,29 0,00 90,00 2857,14 4,29

<= <= <= <= <= <= >=

8 10 12 24 90 5000 2

a. b. c.

Se prevé gastar $ 2 857,143 El consumo alcohólico se calcula en 218,57 unidades. Cero (0), deducido de la restricción del tiempo, de los 90’, los 90’ estará con un vaso a su disposición.

8.

Osciloscopios = 345; Voltímetros = 195; Utilidad Máxima = 26 550.

9.

(MAX) Z = 51,76 ; X1 = 13,53; X2 = 2,65 ; X3 = 0.

10. (MIN) C = 225 ; X1 = 0 ; X2 = 30 ; X3 = 0 ; X4 = 40 ; X5 = 0 11. (MAX) Z = 28; X1 = 0; X2 = 6 ; X3 = 4 12. (MIN) C = 7,3333 ; X1 = 0,6667 ; X2 = 0 ; X3 = 5,3333 13. Planteamiento: (Min) Z = 0,1 X1 + 0,04X2 + 0,06X3 Restricciones: X1 + X2 + X3 X1 X2 + X3 X1 + X2 0,9X1 - 0,1X2 - 0,1X3 -0,1X1 + 0,9X2 - 0,1X3 -0,1X1 - 0,1X2 + 0,9X3 X1, X2, X3 14. Planteamiento: (Max) Z = 0,275X1 + 0,35X2 Restricciones:

≥ 2 ≥ 0 ≤ 1,6 ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0 ≥ 0


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0,25X1 ≤ 500 0,25X1 + 0,50X2 ≤ 200 0,50X1 + 0,50X2 ≤ 200 X1, X2 ≥ 0 15. Planteamiento: (Max) Z = 5,25X1 + 3,45X2 Restricciones: 39X1 + 12X2 ≤ 780 X2 ≥ 40 1,5X1 + 0,5X2 ≤ 80 X1, X2 ≥ 0 16. Planteamiento: (Min) Z = 240X1 + 200X2 Restricciones: X1 ≤ 10 X2 ≤ 5 4X1 + 3X2 ≥ 40 2X1 X2 ≤ 15 X1, X2

≥ 0

17. Planteamiento: (Max) Z = 6 300X1 + 10 800X2 + 11 340X3 Restricciones: 3X1 + 6X2 + 6X3 X1 + X2 + X3 8 000X1 + 13 000X2 + 15 000X3 X1, X2, X3 18. Planteamiento: (Max) Z = 1,3XA6 + 1,65XB5 Restricciones: XA1 + XB1 XA2 + XB2 XA3 + XB3 XA4 + XB4 XA5 + XB5 XA6 Xij

≤ 150 ≤ 30 ≤ 400 000 ≥ 0

≤ 100 ≤ 1,3XA1 ≤ 1,3XA2 + 1,65XB1 ≤ 1,3XA3 + 1,65XB2 ≤ 1,3XA4 + 1,65XB3 ≤ 1,3XA5 + 1,65XB4 ≥ 0

19. Se proporciona en el Anexo 2 instrucciones básicas sobre los programas LINDO y LINGO, debe por su parte, investigar adicionalmente. 20. En el Anexo 2 se Plantea con el LINGO, los Problemas Resueltos, el alumno debe por su parte plantear los Problemas Propuestos.


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ANEXO 1 INFORMES DEL SOLVER PARA PROGRAMACIÓN LINEAL - EXCEL Al finalizar una optimización, se pueden tener en el Excel tres tipos de informes: •

Respuestas.

•

Sensibilidad.

•

Límites.

La ventana que aparece para los informes es:

Si en la anterior figura los Informes se muestran de manera difusa, que no permite activar los informes indica que los resultados no son posibles de hallar debido a errores en el planteamiento o no tiene resultados factibles o acotados (ver ítem 6 de la presente unidad). No se generan Informes de sensib ilidad y límites p ara los modelos que fijen restricciones de valores enteros para las variables. Para una explicación práctica, seguidamente se trata sobre los Informes basados en el Problema resuelto 7 (Reddy Mikks Company). 1.

INFORME DE RESPUESTAS

Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables (CELDAS DE LAS VARIABLES O INCÓGNITAS) con sus valores originales (si por ejemplo se trata de cuántas unidades producir y estaban con un valor de cero = 0, así se mostrarán en el Informe) y sus valores finales, las restricciones y la información acerca de las mismas, luego de la optimización. Ejemplo: Para el Problema resuelto 7 (Reddy Mikks Company) en la página siguiente figura la salida del Informe de respuestas, a partir del cual, se puede establecer los resultados siguientes: -

La columna que figura como “Valor Original” indica cuál era el valor al inicial antes de resolver el problema con el Solver.

-

En las restricciones, el “Valor de la Celda” indica cuál es el valor que adopta la restricción con la optimización. En el “Estado” de ser “Obligatorio” no existirá divergencia entre el resultado de la optimización del recurso o situación enfrentada (por ejemplo mercado) y la disponibilidad o límite con el que se cuenta.

-

Así, el valor del lado derecho de la restricción se puede deducir, sumando el “Valor de la celda” con la “Divergencia de tener una relación <= o restando ambos valores de tener una relación >=.


- 60 -


Microsoft Excel 12.0 Informe de respuestas Hoja de cálculo: [Ejer_Informes.xlsx]Hoja3 Informe creado: 12/04/2011 07:30:22 a.m.

Celda objetivo (Máximo) Celda

Nombre

Valor original

$E$3 (Max) U =

Valor final

0 12666.66667

Celdas cambiantes Celda

Nombre

Valor original

$C$4 TN Pintura TN Pintura A $D$4 TN Pintura TN Pintura B

Valor final

0 3.333333333 0 1.333333333

Restricciones Celda $E$5 $E$6 $E$7 $E$8

2.

Nombre Valor de la celda Fórmula Disponibilidad A 6 $E$5<=$G$5 Disponibilidad B 8 $E$6<=$G$6 Demanda Int. - Demanda Exter. -2 $E$7<=$G$7 Demanda Max. P intura I nt. 1.333333333 $E$8<=$G$8

Estado Divergencia Obligatorio 0 Obligatorio 0 Opcional 3 Opci onal 0.666666667

INFORME DE SENSIBILIDAD

Proporciona información acerca de la sensibilidad de la solución a que se realicen pequeños cambios en la fórmula definida en el cuadro Definir celda objetivo del cuadro de diálogo Parámetros de Solver o de las restricciones. No se genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. En modelos no lineales, el informe facilita los valores para las gradientes y los multiplicadores de Lagrange. En los modelos lineales, el informe incluye costos reducidos, otros precios, coeficiente de objetivos (con aumentos y disminuciones permitidos) y rangos de restricciones hacia la derecha. Ejemplo: Para el Problema resuelto 7 (Reddy Mikks Company) si se genera el Informe de Sensibilidad el resultado es el siguiente: Microsoft Excel 12.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Ejer_Informes.xlsx]Hoja3 Informe creado: 12/04/2011 08:01:16 a.m. Nota: Corregir es Disminución y no Aumento

Celdas cambiantes Celda

Nombre


Valor Igual

Gradiente reducido

3.333333333 1.333333333

Coeficiente Aumento Disminución objetivo permisible permisible

0 0

3000 2000

1000 4000

2000 500

Restricciones Celda

$E$5 $E$6 $E$7 $E$8

Nombre

Disponibilidad A Disponibilidad B Demanda Int. - Demanda Exter. Demanda Max. Pintura Int.

Valor Igual

Sombra precio

6 333.3333333 8 1333.333333 -2 0 1.333333333 0

Restricción Aumento Disminución lado derecho permisible permisible

6 8 1 2

1 2 4 2 1E+30 3 1E+30 0.666666667

El Informe, facilita información acerca de la sensibilidad cuando se cambian los coeficientes de la función objetivo (3000 X1 + 2000 X2), ante lo cual los valores de RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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la solución para las variables (X1, X2 ... etc.) pueden variar o no (NOTA: No se refiere a que el valor de la función objetivo varíe o no, su valor óptimo será verdadero sólo para la función objetivo originalmente planteada). Similar es el análisis para los valores de las restricciones. En los modelos lineales, el informe incluye costos reducidos, otros precios, coeficiente de objetivos (con aumentos y disminuciones permitidos) y rangos de restricciones hacia la derecha. Para facilitar el análisis, se efectúa a partir del Informe de Sensibilidad, la siguiente Tabla: (los Límites de coeficientes han sido calculados exprofesamente del modo siguiente: INFERIOR = 3 000 – 2 000 = 1 000; 2 000 – 500 = 1 500 SUPERIOR = 3 000 + 1 000 = 4 000; 2 000 + 4 000 = 6 000 Celda

Coeficiente objetivo

Nombre


Aumento permisible

3000 2000

1000 4000

Disminución LIMITE DE COEFICIENTES permisible INFERIOR SUPERIOR

2000 500

1000 1500

4000 6000

La interpretación que se puede efectuar para el Ejemplo es: a)

b)

Si uno de los COEFICIENTES OBJETIVO (UTILIDAD DE X1 o X2) es a) IGUAL o MENOR AL LÍMITE INFERIOR o b) MAYOR o IGUAL que el LÍMITE SUPERIOR, X1 Y X2 VARÍAN. Ejemplo: Varía si la Función Objetivo (F.O.) sería 1000 X1 + 2000 X2. Si uno de los COEFICIENTES (UTILIDAD DE X1 o X2) está dentro de los límites pero no son IGUALES a los mismos, X1 Y X2 NO VARÍAN. Ejemplo X1 y X2 NO variarán si la Utilidad de Pinturas para Exteriores está entre 1 001 y 3 999. LÍMITE INFERIOR <= SÍ VARÍAN LOS VALORES DE LAS VARIABLES

NO VARÍAN LOS VALORES DE LAS VARIABLES O INCÓGNITAS

>= LÍMITE SUPERIOR SI VARÍAN LOS VALORES DE LAS VARIABLES

Ejemplo: Como aplicación de los criterios antes establecidos, se muestra la Tabla siguiente: VALOR DEL COEFICIENTE

EFECTO

Utilidad Pint. Ext.

Utilidad Pint. Int.

1 000

2 000

X1 y X2, varían

3 000

1 500

X1 y X2, varían

1 001

2 000

X1 y X2, no varían

3 000

1 501

X1 y X2, no varían

999

2 000

X1 y X2, varían

3 000

1 499

X1 y X2, varían

4 000

2 000

X1 y X2, varían

3 000

6 000

X1 y X2, varían

3 999

2 000

X1 y X2, no varían

3 000

5 999

X1 y X2, no varían

4 001

2 000

X1 y X2, varían

3 000

6 001

X1 y X2, varían


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COSTO O GRADIENTE REDUCIDO Existen casos en los cuales la optimización determina que un artículo no se debe producir, en este caso los COSTOS superan a los rendimientos. El GRADIENTE REDUCIDO indica la cuánto tendría que mejorarse cada uno de los coeficientes de la función objetivo, antes que la correspondiente variable pueda tomar un valor positivo en la solución óptima. Ejemplo si maximizamos cantidad a producir teniendo como dato determinados precios, de tener un resultado del costo reducido tal como 2, indica que el precio debe subir en 2 para que se haga elegible de ser producido. PRECIO SOMBRA Es el cambio en el valor de la FUNCIÓN OBJETIVO, por un aumento unitario en el valor de una RESTRICCIÓN. La interpretación es este caso del precio sombra de la Materia Prima A que asciende a 333,333 es que la empresa puede aumentar su Ganancia Total en 333,333 si dispone de una unidad (Tonelada) adicional de Materia Prima A. Aumentado de 12 667 a 13 000 (12 667 + 333), si dispone de 7 unidades de Materia Prima A (6 + 1). La cantidad de 333,33 también es el precio máximo que debe pagar la empresa por una unidad adicional de Materia Prima A. INFORME DE SENSIBILIDAD - RESTRICCIONES Para el caso de las restricciones, de manera similar que para los valores de las variables o incógnitas, se elabora la Tabla siguiente: No es reportado por el Excel Celda

Valor Igual

Nombre

$E$5 Materia Prima A

Restricción Aumento Disminución LÍMITES DISPONIBILIDAD lado derecho permisible permisible INFERIOR SUPERIOR

6 333.3333333

$E$6 Materia Prima B

8 1333.333333

6

1

2

4

7

8

4

2

6

12

-2

0

1

1E+30

3

-2

1E+30

1.333333333

0

2

1E+30 0.666666667 1.33333333

1E+30

$E$7 Demanda Int. - Demanda Exter. $E$8 Demanda Max. Pintura Int.

Sombra precio

Como regla de los límites de las restricciones se tiene: Si una de las disponibilidades varía entre los valores de los límites inferior y superior, la proporcionalidad dada por el precio sombra no varía, en caso contrario, varía. Ejemplo: Si la disponibilidad de Materia Prima A es igual a 4, sin variar la disponibilidad de los otros recursos, la Utilidad Total (Función Objetivo), disminuirá en $ 666,66 (333,33 * (6-2)), si es igual a 3 variará el precio sombra. Se mantendrá la proporcionalidad si ésta materia prima varía entre 4 y 7. Esquemáticamente lo anterior se puede representar del modo siguiente: LÍMITE INFERIOR < SÍ VARÍA PROPORCIONALIDAD PRECIOS SOMBRA

NO VARÍA PROPORCIONALIDAD DE PRECIOS SOMBRA


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> LÍMITE SUPERIOR SI VARÍA PROPORCIONALIDAD PRECIOS SOMBRA


3.

INFORME DE LÍMITES

Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus valores correspondientes, los límites inferior y superior así como los valores del objetivo. No se genera este informe para los modelos que tengan restricciones enteras. El límite inferior es el valor mínimo que puede tomar la celda ajustable (CELDAS DE LAS VARIABLES O INCÓGNITAS) mientras se mantienen todas las demás celdas ajustables fijas y se continúa satisfaciendo las restricciones. El límite superior es el valor máximo. A continuación se muestra el Informe para el problema en análisis: Microsoft Excel 12.0 Informe de límites Hoja de cálculo: [Ejer_Informes.xlsx]Informe de lí mites 4 Informe creado: 16/04/2011 11:00:21 a.m.

Celda

Celda objetivo Nombre

$E$3 (Max) U =

Celda

Celdas cambiantes Nombre

Igual

12666.66667

Igual

$C$4 TN Pintura TN Pintura A 3.333333333 $D$4 TN Pintura TN Pintura B 1.333333333

Límite inferior

Celda objetivo

0.333333333 3666.666667 0 10000

Límite superior

Celda objetivo

3.333333333 12666.66667 1.333333333 12666.66667

Nos indica que el límite inferior para la variable del resultado para las toneladas a producir de pinturas exteriores no puede ser menor a 0,33333, manteniendo el otro valor obtenido en la maximización de 1,333 toneladas de pintura para interiores. De ser menor a 0,33333, no se cumplirían las restricciones. Ejemplo: De ser menor a 0,33333, excedería la disponibilidad que se tiene de recursos, no cumpliendo con los límites de la RESTRICCIÓN. Recordar que no podrían ser números negativos (no negatividad). Para el caso de las pinturas interiores el límite sería cero. Los límites superiores corresponden a los óptimos obtenidos.


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ANEXO 2

Generalidades

ASPECTOS BÁSICOS SOBRE EL LINGO (SOFTWARE PARA PROGRAMACIÓN LINEAL)

El LINGO (Linear INteractive and General Optimizer), es una herramienta para formular problemas lineales y no lineales, resolverlos y analizar su solución. Uno de los rasgos más poderosos de LINGO es su aplicación en el lenguaje de modelo matemático. El cual permite expresar un problema de una manera muy similar a la anotación matemática normal. Los archivos generados por LINGO tiene la extensión. LG4. Sintaxis La sintaxis que se utiliza en este programa es muy sencilla. Para el nombre de las variables se establece que deben tener 32 caracteres como máximo, Deben comenzar con una letra seguido de letras, dígitos o _. El compilador de LINGO no distingue entre mayúsculas y minúsculas. Para ingresar los datos o resolver un problema, se debe tomar en consideración lo siguiente: a)

Cuando se deben efectuar comentarios, se inician con un signo de exclamación (!), y terminan en un punto y coma. El Lingo los resaltará en verde. Son de uso opcional.

b)

Cada instrucción LINGO debe terminar en un punto y coma (;).

c)

No se puede escribir en caso de multiplicación el valor numérico junto con la variable, debe incluirse necesariamente el “*”, así: 5*X1. La elevación a una potencia se señala con “^”.

d)

Los nombres de variables no distinguen entre mayúsculas y minúsculas y deben comenzar con una letra (AZ). Otros caracteres en el nombre de la variable pueden ser letras, números (0-9), o el carácter de subrayado (_). Los nombres de variable pueden tener hasta 32 caracteres de longitud. No se deben usar los acentos o separaciones en blanco entre palabras.

e)

Para darle un nombre a la función objetivo o a las restricciones, estos se deben colocar entre corchetes “[ ]”. Son de uso opcional. Los nombres NO PERMITEN ACENTOS ORTOGRÁFICOS.

f)

Para declarar la función objetivo debemos colocar las palabras reservadas MAX o MIN, seguidas del signo =, el LINGO lo resaltará en azul.

g)

Los archivos generados por LINGO tiene la extensión. LG4.

h)

A menos que se especifique lo contrario, el valor de las variables por defecto en un modelo de LINGO son no-negativas y continuas. Más específicamente, las variables pueden asumir algún valor real desde cero a infinito positivo. En muchos casos, este dominio de valor, por defecto puede ser impropio. Por ejemplo, se puede querer que una variable asuma valores negativos, o que una variable restringida adopte puramente valores enteros. LINGO proporciona cuatro funciones de variables dominio que permiten sustituir el dominio predefinido de una variable. Los nombres de estas funciones y una descripción breve de su uso son:


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@GIN restringe una variable para comenzar con valores enteros. @BIN hace una variable binaria (es decir, 0 o 1). Por ejemplo @BIN( X). @FREE permite que una variable pueda asumir algún valor real, positivo o negativo. Por defecto, las variables en LINGO tiene un límite inferior de cero y un límite superior de infinito. @FREE quita el límite inferior cero y permite que la variable tome valores negativos. @BND limita una variable dentro de un rango finito. La sintaxis para @BND es: @BND (lower_bound, variable_name, el upper_bound); donde la variable_name es la variable a ser limitada debajo por el lower_bound y limitado superiormente por el upper_bound. Lower_bound y upper_bound deben ser valores numéricos o variables cuyos valores han sido fijados en la sección de datos. i)

Las restricciones van relacionadas con los signos <, >, que son tomados como <=, >=, además se puede utilizar el =. Por lo descrito en el punto anterior, no es necesaria la restricción de no negatividad y se puede definir determinado dominio para las variables.

j)

LINGO le da la posibilidad de definir dos tipos de variables enteras, una general y otra binaria. Una variable entera general requiere ser un número entero. Una variable entero binaria requiere ser cero o uno. Cualquier modelo que contiene uno o más variables enteras, es requerido para un modelo programación entera. En muchos proyectos de modelos, se requiere adoptar tipos de decisiones (si/no). Algunos ejemplos incluirían Produce/No Produce, Abre un Plan/Cierra un Plan, etc. Las variables binarias son el método normal usado por modelar estas decisiones de si/no.

k)

LINGO proporciona varias funciones y operadores al modelo matemático. Los Operadores Normales: Aritmética, lógicos, y correlativos según prioridad, tales como: ^, *, /, +, -, =, <=, >=. Entre otros operadores se tiene #NOT# (negación), #EQ#, #NE#, #GT#, #GE#, #LT#, #LE# #AND#, #OR#. Se tienten también funciones matemáticas Trigonométricas y generales. Ej @ABS( X) y funciones financieras.

l)

Solución de un modelo de LINGO: Una vez que el modelo de LINGO se hayan incorporado en el modelo de ventana de LINGO, el modelo puede ser resuelto haciendo clic en el botón Resolver sobre la barra de herramientas, seleccionando LINGO / Solve, en el menús en la figura de una flecha que dio en el blanco, o usando las teclas Ctrl + U como atajo de teclado.

m) LINGO notifica cualquier error que ha encontrado, le indicará en pantalla el lugar donde se detectó un error, es común que no se haya incluido el “;”. En el mismo Software como ayuda (siempre en ingles), se puede obtener información sobre estos errores o en todo caso consultar la sección de mensajes de error en el tutorial de propiedad del software.


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Reporte de la solución Al establecer que le LINGO resuelva un problema, de no existir errores en el planteamiento, inicialmente aparecerá la ventana ‘STATUS’ de LINGO (ventana de estado) se puede monitorear el proceso de resolución y las dimensiones del modelo. De tener errores señalará el lugar del error. Una descripción básica de los reportes de la solución son: a)

Value, es el valor que adoptan las variables con la optimización.

b)

Reduced Cost, es el COSTO o GRADIENTE REDUCIDO para cualquier variable que se incluye en la solución óptima es siempre cero. Indica cuánto tendría que mejorarse cada uno de los coeficientes de la función objetivo, antes que la correspondiente variable pueda tomar un valor positivo en la solución óptima. Para variables no incluidas en la solución óptima, la reducción de costos muestra hasta qué punto el valor de la función objetivo se reduciría (por un problema de maximización) o aumentaría (por un problema de minimización) si una unidad de esa variable sería incluida en la solución. Por ejemplo, si el costo reducido de una cierta variable fue de 5, entonces el valor óptimo del problema MAX se reduciría en 5 unidades, si se agregara 1 unidad de la variable. Cuando se desarrolla un problema de programación ENTERA Reduced Cost señalará el precio o costo incluido en la Función Objetivo. Para los casos de estos resultados con programación ENTERA, al igual que lo establecido para el Excel, se recomienda no darles mayor interpretación.

c)

Slack o su rplus, es la columna de holgura o superávit (sobrante), esta parte del informe de solución nos dice cuan cerca estamos de satisfacer una restricción como una igualdad. Si la restricción es menor-igual nos referimos a variables de slack y si es mayor-igual nos referimos a variables surplus. Si una restricción es completamente satisfecha como una igualdad, entonces holgura / superávit es cero. Si holgura / superávit es positivo, entonces esto le explica cómo muchas más unidades de la variable podría ser añadido a la solución óptima antes que la restricción se convierte en una igualdad. Si holgura / superávit es negativo, entonces la limitación ha sido violada.

d)

Dual Price, corresponden a los PRECIOS SOMBRA es la cantidad en que mejora el valor óptimo de la Función Objetivo –incremento en un problema de maximización y disminución en un problema de minimización- si el lado derecho de la restricción aumenta en uno. Es aplicable sólo si el cambio en el lado derecho de la restricción es óptima. El término mejorar es relativo. En un problema de maximización, mejorar significa que el valor objetivo aumentaría por ejemplo sus utilidades de disponer una unidad adicional de un recurso. Sin embargo, en un problema de minimización, el valor objetivo disminuiría. En el caso de uso de recursos por ejemplo materia prima, es el precio máximo que debe pagar la empresa por una unidad adicional de materia prima.

A continuación se presenta el Planteamiento en el LINGO para los Problemas Resueltos.


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PLANTEAMIENTO LINGO - PROBLEMAS RESUELTOS 1. ! PROBLEMA RESUELTO 1 ! X1 = "Bicicletas" ! X2 = "Motonetas"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 45*X1+55*X2; ! RESTRICCIONES; [Horas_Central_1] 6*X1+4*X2 <=120; [Horas_Central_2] 3*X1+10*X2 <= 180; END Nótese que no se incluyó la restricción de Entero, de incluirse (@GIN(X1);@GIN(X2);), el planteamiento sería como el que aparece a continuación, comparativamente se puede establecer que para el caso los Precios Sombra no serían Cero por cuanto la interpretación de éstos se restringe a problemas de Programación General y no a la entera (ver explicación similar para los reportes en el Excel). ! PROBLEMA RESUELTO 1 ! X1 = "Bicicletas" ! X2 = "Motonetas"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [Horas_Central_1] [Horas_Central_2]

MAX= 45*X1+55*X2; 6*X1+4*X2 <=120; 3*X1+10*X2 <= 180; @GIN(X1);@GIN(X2); END

2. ! PROBLEMA RESUELTO 2 ! X1 = "Kilogramos de pan" ! X2 = "Kilogramos de queso"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [Calorias] [Proteinas]

MIN= 6*X1+21*X2; 2000*X1+4000*X2 >=6000; 50*X1+ 200*X2 >= 200; END

3. ! PROBLEMA RESUELTO 3 ! X1 = "Unidades del artículo A" ! X2 = "Unidades del artículo B"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 4*X1+6*X2; ! RESTRICCIONES; RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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[Horas_Maquina_X] [Horas_Maquina_Y] [Horas_Acabado_Final]

2*X1+X2 <= 70; X1+X2 <= 40; X1+3*X2 <= 90; @GIN(X1);@GIN(X2); END

4. PROBLEMA RESUELTO 4 ! X1 = "Unidades del artículo A" ! X2 = "Unidades del artículo B"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [TM_Producto_A] [TM_Producto_B]

MIN= 50*X1+60*X2; 100*X1+200*X2 >= 3000; 200*X1+ 50*X2 >= 2500; END

5. ! PROBLEMA RESUELTO 5 ! X1 = "N° de mesas" ! X2 = "N° de sillas" ! X3 = "N° de escritorios" ! X4 = "N° de libreros"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 12*X1+5*X2+15*X3+10*X4; ! RESTRICCIONES; [Madera_A] 5*X1+ X2+9*X3+12*X4 <= 1500; [Madera_B] 2*X1+3*X2+4*X3+ X4 <= 1000; [Horas_Hombre] 3*X1+2*X2+5*X3+10*X4 <= 800; [Demanda_Mesas] X1 >= 40; [Demanda_Sillas] X2 >= 130; [Demanda_Escritorios] X3 >= 30; [Demanda_Libreros] X4 <= 10; @GIN(X1);@GIN(X2);@GIN(X3);@GIN(X4); END 6. ! PROBLEMA RESUELTO 6 ! X1 = "Cantidad de automóviles" ! X2 = "Cantidad de camiones"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 300*X1+250*X2; ! RESTRICCIONES; [Capac_Utiliz_Dpto_1] 1/25000*X1+1/35000*X2 <= 1; [Capac_Utiliz_Dpto_2] 1/33000*X1+1/16667*X2 <= 1; [Nro_Autom_Armados] X1 <= 22500; [Nro_Camiones_Armados] X2 <= 15000; @GIN(X1);@GIN(X2); END


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7. ! PROBLEMA RESUELTO 7 ! X1 = "Toneladas pintura para exteriores" ! X2 = "Toneladas pinturas para interiores"; [FUNCION_OBJETIVO] MAX= 3*X1+2*X2; ! RESTRICCIONES; [Materia_Prima_A] X1+2*X2 <= 6; [Materia_Prima_B] 2*X1+ X2 <= 8; [Demanda_Pinturas_Inter] -X1+ X2 <= 1; [Demanda_Maxima_Pint_Interiores] X2 <= 2; END

8. PROBLEMA RESUELTO 8 ! X_A1 = "Inversión en Plan A Período 0-1: Año 1" ! X_A2 = "Inversión en Plan A Período 1-2: Año 2" ! X_A3 = "Inversión en Plan A Período 2-3: Año 3" ! X_B1 = "Inversión en Plan B Período 0-2: Años 1-2" ! X_B2 = "Inversión en Plan B Período 1-3: Años 2-3"; [FUNCION_OBJETIVO] ! RESTRICCIONES; [Inversion_Periodo_0_1] [Inversion_Periodo_1_2] [Inversion_Periodo_2_3]

MAX=1.7*X_A3+3*X_B2; X_A1+X_B1 <= 100000; -1.7*X_A1+X_A2+X_B2 <= 0; -1.7*X_A2+X_A3-3*X_B1 <= 0; END

9. ! PROBLEMA RESUELTO 9 ! X1 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 1" ! X2 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 2" ! X3 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 3" ! X4 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 4" ! X5 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 5" ! X6 = "N° de mozos que ingresan en el Turno 6"; [FUNCION_OBJETIVO] MIN=X1+X2+X3+X4+X5+X6; ! RESTRICCIONES; [Turno_1] X1 +X6 >= 4; [Turno_2] X1+X2 >= 8; [Turno_3] X2+X3 >= 10; [Turno_4] X3+X4 >= 7; [Turno_5] X4+X5 >= 12; [Turno_6] X5+X6 >= 4; END RICARDO TOLEDO QUIÑONES

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Programación Lineal

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