EJERCICIO 11. Control de Emisiones. Una planta planta de cemento cemento produce produce 3,300, 3,300,000 000 barri barriles les de cement cemento o por año. año. Los Los hornos hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no más de 1,000,000 libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles, A y . !l dispositiv dispositivo o A reducirá reducirá las emisiones emisiones a
1/ 2
libra por barril y el costo es de "0.2# por
barril de cemento producido. $ara el dispositivo , las emisiones son reducidas a
1/ 4
libra por barril y el costo es de "0.%0 por barril de cemento producido. &etermine el plan de acci'n más econ'mico (ue la planta debe tomar de modo (ue manten)a su p roducci'n roducci'n anual de e*actamente 3,300,000 barriles de cemento.
Variables Va riables Estructurales. X 1
+ arriles arriles de cemento producido producidos s por año (ue pasan por el dispositivo dispositivo de control control A
barriles-. X 2 + arriles arriles de cemento producido producidos s por año (ue pasan por el dispositivo dispositivo de control control barriles-.
Función Func ión Objetivo. e desea determinar el plan de acci'n más econ'mico para la planta. $or lo tanto de dese desea a mini minimi mi/a /arr el costo costo de unc uncio iona nami mient ento o los los disp dispos osit itiv ivos os A y mante manteni niend endo o la producci'n de barriles de cemento. minZ = 0.25 X 1+ 0.40 X 2
Restricciones. estricci'n 1+ para la cantidad e*acta de barriles de cemento (ue deben producirse en la planta por año.
X 1 + X 2 =3300000 estricci'n 2+ para la cantidad má*ima permitida de emisiones de polvo anuales debido a la abricaci'n de barriles de cemento en la planta. 0.5 X 1 + 0.25 X 2 ≤ 1000000
Método SIMPE!. minZ = 0.25 X 1+ 0.40 X 2
minZ =− =−max (− Z )
e ma*imi/a −Z - debido a (ue
ueto a+
X 1 + X 2 =3300000
e utili/a la variable articial 4
t 1
5 por ser una i)ualdad
¿ -. 0.5 X 1 + 0.25 X 2 ≤ 1000000
e utili/a la variable de hol)ura 4
s1
5 por ser una desi)ualdad
menor o i)ual a ≤ -.
X 1 , X 2 ≥ 0
estricci'n estricci'n de no ne)atividad.
!scribimos las ecuaciones en su orma estándar.
W =−0.25 X 1−0.40 X 2− M t 1 ⇒ W + 0.25 X 1+ 0.40 X 2+ M t 1=0 ueto a+ X 1 + X 2 + t 1=3300000 0.5 X 1 + 0.25 X 2 + s1=1000000
X 1 , X 2 , s1 , t 1 ≥ 0 6omo hay % variables y 2 restricciones, entonces se trabaa con 2 %7282- variables no básicas, por ende 2 variables básicas en el m9todo imple*. A partir de las ecuaciones anteriores podemos construir la matri/ ampliada
R3- MR1 →
s1 t 1 W
X 1 1 0.5 0.25
X 2 1 0.25 0.4
t 1 1 0 M
s1 0 1 0
W 0 0 1
3300000 1000000 0
:bli)amos (ue el indicador de la variable 4 t 1” sea cero con R3- MR1 como se indica.
(Sale) 2R 2 →
s1 t 1
X 1 1 0.5
X 2 1 0.25
s1 1 0
t 1 0 1
W 0 0
W
0.25-M
0. 0 .4-M
0
0
1
3300000 1000000 3300000M
(Entra) La variable (ue entra en las básicas es 4 X 15 por tener el indicador más ne)ativo 0.25-M-. La variable (ue sale de las básicas es 4 t 15 por tener el cociente positivo más pe(ueño 1000000!0.5 " 2000000-. ;9todo de eliminaci'n
R3-(0.25-M )R2 W →
0.25-M
0.4-M
0
0
3300000M
1
;9todo de eliminaci'n
W
0
0.2#50.5M (Entra)
0
-0.5$2M
1
-5000001300000M
La variable (ue entra en las básicas es 4 X 25 por tener el indicador más ne)ativo 0.2#50.5M-. La variable (ue sale de las básicas es 4 s15 por tener el cociente positivo más pe(ueño 1300000!0.5 " 2%00000-. ;9todo de eliminaci'n
X
X 1
X 2
s1
t 1
W
0
1
2
-4
0
2%00000
1
0.5
0
2
0
2000000
0.2#50.5M
0
-0.5$2M
1
2
R2-0.5 R1 →
X 1
R3-(0.2#5-0.5M) R1 →
W
0
-5000001300000M
;9todo de eliminaci'n
X 1
X 2
s1
t 1
W
0
1
2
-4
0
2%00000
1
0
-1
4
0
#00000
2
X 1
W
0
0
-0.55$M
0.%
1
-1215000
6omo no hay variables (ue entren en las básicas por no tener indicadores ne)ativos, entonces el m9todo imple* ya alcan/' su valor actible 'ptimo.
X 1=700000 control A barriles-. X 2= 2600000
arriles de cemento producidos por año (ue pasan por el dispositivo de
arriles de cemento producidos por año (ue pasan por el dispositivo de
control barriles-. >alor de la minimi/aci'n de la unci'n obetivo minZ =−max (− Z ) =−(−1215000 )=1215000 " por año-.
EJERCICIO 1". Costo de &rans'ortain. Un vendedor tiene tiendas en !*ton y ?hyton, y tiene bode)as A y en otras dos ciudades. 6ada tienda re(uiere del env@o de e*actamente 1# reri)eradores. !n la bode)a A hay 2# reri)eradores y en la bode)a hay 10 reri)eradores. Los costos de transportaci'n para enviar reri)eradores desde los almacenes a las tiendas están dados en la tabla si)uiente+ ode)a A ode)a
!*ton
?hyton
"1#
"13
"11
"12
$or eemplo, el costo para enviar un reri)erador desde A a la tienda de !*ton es de "1#. 6'mo debe pedir el vendedor los reri)eradores de modo (ue los re(uerimientos de las tiendas se satisa)an, y los costos totales de transportaci'n se minimicenB 6uál es el costo m@nimo de transportaci'nB
Variables Estructurales. X EA
+
eri)eradoras
enviadas
hacia
la
tienda
!*ton
desde
la
bode)a
A
reri)eradoras-. X EB + eri)eradoras
enviadas
hacia
la
tienda
!*ton
desde
la
bode)a
reri)eradoras-. X WA + eri)eradoras enviadas hacia la tienda ?hyton desde la bode)a A reri)eradoras-. X WB + eri)eradoras enviadas hacia la tienda ?hyton desde la bode)a reri)eradoras-.
Función Objetivo. e desea determinar el plan de env@o de reri)eradoras desde las bode)as hasta las tiendas (ue permita minimi/ar el costo de transportaci'n.
minZ = 15 X EA + 11 X EB + 13 X WA+ 12 X WB
Restricciones. estricci'n 1 y 2+ cantidad limitada de reri)eradores en las bode)as A y .
X EA + X WA ≤ 25
ode)a A
X EB + X WB ≤ 10
ode)a
estricci'n 3 y %+ para la cantidad e*acta de reri)eradoras re(uerida en cada una de las tiendas 1# reri)eradoras por tienda-
X EA + X EB=15
Cienda en !*ton
X WA + X WB =15
Cienda en ?hyton
Método SIMPE!. minZ = 15 X EA + 11 X EB + 13 X WA+ 12 X WB
e
ma*imi/a
− Z -
debido
a
(ue
minZ =−max (− Z )
ueto a+
X EA + X WA ≤ 25
e utili/a la variable de hol)ura 4
s1
5 por ser una desi)ualdad
e utili/a la variable de hol)ura 4
s2
5 por ser una desi)ualdad
menor o i)ual a ≤ -
X EB + X WB ≤ 10 menor o i)ual a ≤ -
X EA + X EB=15
e utili/a la variable articial 4
t 1
5 por ser una i)ualdad ¿ -.
X WA + X WB =15
e utili/a la variable articial 4
t 2
5 por ser una i)ualdad
X EA , X EB , X W A , X WB ≥ 0
estricci'n de no ne)atividad.
!scribimos las ecuaciones en su orma estándar.
W =−15 X EA− 11 X EB −13 X WA−12 X WB− M t 1− M t 2 W + 15 X EA + 11 X EB + 13 X WA + 12 X WB + M t 1+ M t 2=0 ueto a+
¿
-.
X EA + X WA + s1=25 X EB + X WB + s2 =10 X EA + X EB + t 1=15 X WA + X WB + t 2=15 X EA , X EB , X WA , X WB ,t 1 ,t 2 ≥ 0 6omo hay D variables y % restricciones, entonces se trabaa con 2 D7%82- variables no básicas, por ende % variables básicas en el m9todo imple*. A partir de las ecuaciones anteriores podemos construir la matri/ ampliada
R5-MR3-MR4 →
s1 s2 t 1 t 2 W
X E* 1 0 1 0 15
X E+ 0 1 1 0 11
X W* 1 0 0 1 13
X W+ 0 1 0 1 12
s1 1 0 0 0 0
s2 0 1 0 0 0
t 1 0 0 1 0 M
t 2 0 0 0 1 M
W 0 0 0 0 1
25 10 15 15 0
:bli)amos (ue el indicador de las variables 4 t 1” y 4t 2” sean cero con R5-MR3-MR4 como se indica.
(Sale) →
s1 s2 t 1 t 2 W
X E* 1 0 1 0 15-M
X E+ 0 1 1 0 11-M (Entr a)
X W* 1 0 0 1 13-M
X W+ 0 1 0 1 12-M
s1 1 0 0 0 0
s2 0 1 0 0 0
t 1 0 0 1 0 0
t 2 0 0 0 1 0
W 0 0 0 0 1
25 10 15 15 -30M
La variable (ue entra en las básicas es 4 X E+5 por tener el indicador más ne)ativo 11-M-. La variable (ue sale de las básicas es 4 s25 por tener el cociente positivo más pe(ueño 10!1 " 10-.
R3-R2 → R5-(11-M)R2 →
s1 X E+ t 1 t 2 W
X E* 1 0 1 0 15-M
X E+ 0 1 1 0 11-M
X W* 1 0 0 1 13-M
X W+ 0 1 0 1 12-M
s1 1 0 0 0 0
s2 0 1 0 0 0
t 1 0 0 1 0 0
t 2 0 0 0 1 0
W 0 0 0 0 1
25 10 15 15 -30M
;9todo de eliminaci'n
(Sale) →
s1 X E+ t 1 t2
X E* 1 0 1 0
X E+ 0 1 0 0
X W* 1 0 0 1
X W+ 0 1 -1 1
s1 1 0 0 0
s2 0 1 -1 0
t 1 0 0 1 0
t 2 0 0 0 1
W 0 0 0 0
25 10 5 15
