Una esfera de plomo de 25mm de diámetro y peso específico 11.400 kg/m 3 desciende a través de una masa de aceite a una velocidad constante de 35 cm/seg. Calcular la viscosidad absoluta del aceite si su densidad relativa es 0.93. Peso = Kg/m3 X m3 (Vs – V0) (volumen) = CDPav2/2 (11.400 – 0.93 x 1000) (4π /3)(0.0125)3 = CD(0.93 x 1000/ 9.8) π (0.0125)2 (0.35)2/2
Y cD = 30.0
Diafragma F para CD = 30.0 Re = 0.85 y 0.85 = Vd/v = (o.35) (0.025)/v v= 0.0103 m2/seg µ = vp = 0.0103 (0.93 X 1000)/9.8 = 0.978 Kg seg/m2
Agua a la temperatura de 50º F escurre a través de dos tuberías separadas de 8 y 12 pulg de diámetro. La velocidad media del escurrimiento en la tubería de 12 pulg es de 6 pies/seg. Se pregunta ¿Cuál debe se la velocidad en la tubería de 8 pulg , si los dos escurrimientos van a ser similares?. Calcula Re V = 6 X 12 / 8 = 9 ft pies/seg W= 62.41 P=
62 .41 32 .17
µ = 0.0000273 Re=
6 X 1X 1.94 = 426000 0.0000273
Mecánica de Fluidos UNIDAD 1 Un cilindro de 0.122 m de radio gira concéntricamente dentro de otro cilindro fijo de 0.128 m de radio ambos con 0.30 m de longitud. Determinar la
viscosidad del líquido que llena el espacio entre ambos cilindros si se necesita un par motor de 0.90Kgm para mantener una velocidad angular de 60 rpm en el cilindro móvil. 60 X 2π = 0.122 = 0.767 m/seg 60
V = wr =
El par motor aplicado es igual al resistente 0.09 = t (2 π r X 0.30)r r= 0.122 para el cilindro interior, el esfuerzo cortante sobre dicho cilindro vale t=
0.04775 0.04775 = (0.122 ) 2 = 3.21 Kg/m2 2 r
dv 0.767 = = 128 seg-1 dr 0.006 t
3.21
la viscosidad será : µ = d / d = 128 v r
= 0.00251 Kgseg/m2
Mecánica de Fluidos Para el orificio y tubería ¿Qué diferencia de presión en Kg/cm2 causaría el mismo caudal de tremetina a 20º C.? Re=
4Q πvDo
0.0142 =
∆
4(0.0142 )
= π(0.00000173 )( 0.1) = 104.500
0.607 X 1 / 4π(0.1) 2 1 − (1 / 2) 4
=
29 ( ∆p / ω)
p p2 o Pch − = 0.426 m de trementina = w w w
y ∆ P´=
(0.862 X 1000 )( 0.426 ) wh = = 0.0367 Kg/cm2 10 .000 10 .000
Mecánica de Fluidos Una tubería nueva de acero con 10cm de diámetro conduce 757 m 3/día de aceite combustible pesado a 33º C de temperatura. ¿Es el régimen de flujo laminar o turbulento?
Q = 757m3/día = A=
πD 2 4
=
757 86400
π(0.10 ) 2 4
Q = AV ∴ v = Q/A =
= 0.0088 m3/s
= 0.00785 m2 0.0088 = 1.10 m/s 0.00785
V= 0.000077 m2/s (aceite pesado según tabla para 33º C) Re =
1.10 (0.10 ) ≅ 1400 el movimiento es laminar 0.000077
Mecánica de Fluidos
Si el agua de la tubería de 8 pulg se sustituye por aceite con una gravedad específica de 0.80 y un valor de m de 0.000042. ¿Cuál debe ser la velocidad del aceite para la semejanza en los dos escurrimientos?
P=
0.80 X 62 .4 = 1.55 32 .17
VX 0.667 X 1.55 6 X 1X 1.94 = 0.000042 0.0000273
V = 17.3 Ft/seg
Mecánica de Fluidos
Cuando en una tubería de 76 mm fluyen 0.0019 m3/s de agua a 21º C, ¿el flujo es laminar o es turbulento? Datos: ∅ = 76 mm
Q = 0.0019 m3/s γ @ 21º C = 0.981 X 10-6 m2/s Solución : V=
4(0.019 ) = 0.418 m/s π(0.076 ) 2
Re =
0.418 (0.076 ) = 32,447.49 0.981 X 10 −6
El flujo es turbulento Mecánica de Fluidos Una aceite lubricante medio, de densidad relativa 0.860, es bombeado a través de una tubería horizontal de 0.50 cm de diámetro y 300 m de longitud. El caudal bombeado es de 1.20 l/seg. Si la caída de presión es de 2.10 kg/cm 2 ¿Cuál es la viscosidad absoluta del aceite? (P2 – P1) =
32 µlv d2
V=
1.2 X 10 −3 Q = = 0.61 m/seg 1 / 4π(0.05 ) 2 A
µ = 0.00896 Kg seg/m2
Re=
vdw (0.61 ) X (0.05 ) X (0.866 ) X 1000 vd = µg = v 0.00896 X 9.8
= 300
El flujo es laminar
Mecánica de Fluidos Un caudal de 88 l/seg de un aceite de viscosidad absoluta de 0.0103 kg seg/m2 y densidad relativa 0.850. está circulando por una tubería de 60 cm de diámetro y 600 m de longitud ¿Cuál es la pérdida de carga en la tubería? Datos: Q= 88 l/seg = 0.088 m3/seg
µ = 0.0103 Kg seg/m2 Pr= 0.850 = 60 cm = 0.6 m L= 6000 m. L v2 Pcarga= f d 2g
64 Pc= 1571 .71
(6000 )( 0.313 ) 2 (0.6)2(9.81 )
Pc= 2.011 m 0.088
V = ∅ / ∆ = π / 4(0.6) 2 = 0.3113 m/s Re=
(0.3113 )( 0.6)( 0.850 )(1000 ) = 1571.71 0.0103 X 9.8)
Flujo laminar Mecánica de Fluidos
Una tubería nueva de acero con 10 cm de diámetro conduce 753 m 3/día de aceite comestible pesado a 33º C de temperatura. Se pregunta ¿es el régimen de flujo laminar o turbulento? ∅ = 10 cm ó 0.1 m Q = 757 m3/día T = 33º C 757 m 3 / dia Q= = 8.76 X 10-3 (3600 )( 24 )
Q= V ∆
(8.76 X 10 −3 ) V=Q/∆ = = 1.115 m/s π(0.052 ) 2
Re= VD/ν
=
(1.115 )( 0.10 ) = 1435.00 0.0000777
V = aceite pesado se lee en las tablas a 33º C Re= 1435.00 ∴ el flujo es laminar Manual de Hidrulica Guillermo Street. A.
Edición primera Ejercicio 10.3 (Tecnológico de Villahermosa)
Calcula la viscosidad del Co2 a 800º K y a 1 atm. T = 800º K P = 1 atm µ =? µ = 2.6693 X 10-21
PMT σ 2Ω
∈/ k = 190o K σ = 3.996 X10-6 cm T = 4.21 ∈/k
Ω = 0.9595
=
2.6693 X 10 −21 44 (800 ) = 3.268X10-4 g/cm (3.996 X 10 −8 ) 2 (0.9595 )
µ = 0.03268 cps Mecánica de Fluidos Determine el tipo de régimen de flujo que existe en el espacio anular de un cambiador de calor de doble tubo. El diámetro externo del tubo interior es de 27 mm y el diámetro interno del tubo exterior es de 53 mm. El gasto másico del líquido es de 3730 Kg/h. La densidad del liquido es de 1150 Kg/m 3 y su viscosidad de 1.2 cp.
D= 53mm
D= 27mm
M = 3730 Kg/h
ρ = 1150 Kg/m3 µ = 1.2 cp De= 4rH;
rH= Área de flujo / Perímetro mojado
[( D ) r = H
Re =
DeVp
µ
v = Ca / ∆ =
v=
]
− ( D1 ) 2 D − D1 = 2 4π ( D1 + D2 ) 4 2
2
M4 ρ( D2 − D1 ) 2 π
3730 Kg / n(4) = 0.5515 3600 s / h(1150 kg / m3 )( 0.53 2 − 0.027 2 )π
De = 0.053 – 0.027 = 0.026 Re =
0.026 (0.5515 )(1150 ) = 13741.8 1.2 X 10 −3
El régimen es turbulento Mecánica de Fluidos ¿Cuál será la caída de presión en 100 m de longitud de una tubería horizontal de 10 cm de φ interno que transporta petróleo crudo a una velocidad de 0.75 m/s? viscosidad cinemática = 26 cm2/s densidad = 0.89 Kg/H
U= 75 cm/s
D= 0.1 m
L= 100 m
V= 26 cm2/s ∆ P=?
P1 –P2 =
8 Lµv R2
Número de Reynolds Re=
(0.1)( 0.75 )(1000 ) Dv = = 28.84 v 26
Caída de Presión µ = 26 cm2/s X
P1 –P2 =
1m X 891 Kg/m3 = 2.3166 Kg/ms = 2316 cp (100 cm ) 2
(8 X 100 mX 2.3166 kgX 0.75 m = 555984 N/m2 (0.04 ) 2 ms
1Kg 1m 2 P1 –P2 =555984 N/m X X = 5.667 Kg / cm 2 2 9.81 N 10000 cm 2
Mecánica de Fluidos ¿Cuál es la viscosidad del agua de un río a 25º C si llevara el 5% en volumen de tierra?
5% Vol. Tierra
T = 25º C
95% Vol. Agua
µ =¿
µm (1 + 0.5φs ) = µL (1 −φs ) 4
µ del agua a 25º C = 0.8937 cps
µm 0.8937
=
[1 + (0.05 )( 0.5)] (0.95 ) 4
= 1.2584
µ m = 1.1246 cps Mecánica de Fluidos
Calcula la viscosidad del Co2 a 800º K a 1 atm. CO2 T = 800º K P = 1 atm µ =? µ = 2.6693 X10-21
PMT σ 2Ω
∈/k = 190o K σ = 3.996 X10-8 cm con T/ (∈/k) = 4.21 Ω = 0.9595 µ =
2.6693 X 10 −21 44 (800 ) = 3.268 X 10 −4 g / cms = 0.03268 cps (3.996 X 10 −8 ) 2 (0.9595 )
Mecánica de Fluidos
Por una tubería de 10 cm de ∅ interno fluye agua a una velocidad de 5 m/seg a 20º C, determine si el flujo es laminar o turbulento
U= 5 m/s T= 20º C
D= 10 cm
No.Re= Dvp /µ µ H2O a 20º C = 1.005 cps µ H2O a 20º C = 998.2 Kg/m3 Re =
0.1mX 5m / sX 998 .2 Kg / m 3 = 496 ,616 .92 1.005 X 10 −3 Kg / ms
El flujo es turbulento, pues Re = 496616.92 Mecánica de Fluidos
Un colector principal de agua es un conducto de acero dúctil de 18 pulg. Calcule el número de Reynolds si el conducto lleva 16.5 pies3/s de agua a 50º F D= 18 plg Q = 16.5 ft3/s Re= ? V @ 50o F = 1.4X10-5 ft2/s 18 plg X 1ft/12 plg = 1.5 ft A= π (1.5)2/ 4 = 1.767 ft2 V=
Q 16 .5 = = 9.337 ft / s A 1.767
Re=
VD (9.337 )(1.5) = = 1000392 ν 1.4 X 10 −5
Mecánica de Fluidos Aplicada Ejemplo: 8.11 Autor: Robert L. Mott
El sistema de lubricación para una troqueladora transmite 1.65 gal/min de un aceite de lubricación ligero, a través de tubos de acero de 5/16 pulg. Con un grueso de pared de 0.049 plg poco después que se pone en funcionamiento la prensa, la temperatura del aceite alcanza 104º F. Calcule el Número de Reynolds para el flujo del aceite. Q = 1.65 gal/min Dint = 0.01788 pies V @ 104o F = 2.37X10-4 pie2/seg Aflujo= 2.509X10-4 pie2 1.65
gal 1 pie 3 1 min X X = 3.676 X 10 −3 pie 3 / seg = Q min 7.48 gal 60 seg
V=
Q 3.676 X 10 −3 = = 14 .65 pie / seg A 2.509 X 10 −4
Re =
V D (14 .65)( 0.01788 ) = = 1105 .3 ν 2.37 X 10 −4
Mecánica de Fluidos Aplicada Ejemplo: 8.19 Calcule el Número de Reynolds para el flujo de Etilenglicol a 25º C por la sección que se muestra en la Fig. la rapidez del flujo de volumen es de 0.16 m3/s. la dimensión interna de cada lado del cuadrado es de 250 mm y el diámetro exterior del círculo del tubo es de 150 mm. Halle el radio Hidráulico.
d
Aflujo=((250X10-3)2– (π (0.15)2/4)) =44.82X10-3 m2
S
PMos = 4s + π d = 4(0.25)+ π (0.15) =1.47 m RHid=
A 44 .82 X 10 −3 = = 0.0305 m PMos 1.47
DEfec= 4R = 4 (0.0305) 0 0.122m R =? Q= 0.16 m3/seg
V=
Q 0.16 m3 / seg = = 3.57 m / seg A 44 .82 X 10 −3 m 2
P @ 25º C = (1100 kg/m3 µ @ 25o C = 1.62X10-2 N.s/m2
R=
VDP
=
(3.57 )( 0.122 )(1100 ) = 2.96 X 10 4 1.62 X 10 −2
µ Mecánica de Fluidos Aplicada Ejemplo: 8.7 Autor: Robert L. Mott En una embotelladora de refrescos el jarabe utilizado en concentración para preparar el refresco tiene una viscosidad cinemática 17.0 centistokes a 80º F. Calcule el número de Reynolds para el flujo de 215 L/min de jarabe a través de un tubo de cobre de diámetro interior de 25.27 mm
V= 17X10-2 stokes T = 80º F Q = 215 l /min D = 25.27X10-3 m A=
π (25 .27 X 10 −3 ) 2 4
17 X 10 −2 stokesX
= 5.015 X 10 −4 m 2
1X 10 −4 m / s = 17 X 10 −6 m 2 / seg 1stoke
215 l/min X
V=
R=
1X 10 −3 m 3 1 min X = 3.583 X 10 −3 m3 / seg 1lt 60 seg
Q 3.583 X 10 − = = 7.144 m / seg A 5.015 X 10 −4
VD
ν
=
(7.144 )( 25 .27 X 10 −3 ) = 10620 .18 17 X 10 −6
Mecánica de Fluidos Aplicada Ejemplo: 8.25C
Determine la pérdida de energía si tenemos Glicerina a 25º C fluyendo 30 m a través de un conducto de 150 mm de diámetro, con una velocidad promedio de 4 m/s. H =? T = 25º C L =30 m D = 150mm = .15m V = 4 m/seg P @ 25º C = 1258 Kg/m3 µ @ 25o C 0 9.6X10-1 N.S/m2
R=
V DP
µ
=
(4)( 0.15 )(1258 ) = 786 .25 9.6 X 10 −1
Como R <2000 el fluido es laminar λ=
64 64 = = 81 .4 X 10 −3 Re 786 .25
H =λ
L V2 ( perdida ) D 29
30 H = (81 .4 X 10 −3 ) −3 150 X 10
16 2(9.81) = 13 .2m
Mecánica de Fluidos Aplicada Ejemplo: 9.1 Autor: Robert L. Mott
Un caudal de 44 Lts/seg de un aceite de viscosidad absoluta 0.0103 Kgseg/m2 y densidad relativa 0.85 está circulando por una tubería de 30 cm de diámetro y 300 m de longitud ¿cuál es la pérdida de carga? V=
Q 44 X 10 −3 = = 0.62 m / seg A 1 / 4 µ(0.32 ) 2
Re =
f =
Vdw 0.62 X 0.3 X 0.85 X 1000 = = 1565 µg 0.0103 X 9.8
flujo laminar
64 = 0.0404 Re
HL = f
L v2 300 (0.62 ) 2 = 0.409 X X = 8.02 m d 2g 0.3 2g
Ronald V. Giles Pag. 103 Ejemplo: 11 Unidad 1 ¿Qué diámetro de tubería será necesario utilizar para transportar 22 lts/seg de un fuel-oil pesado a 15º C si la pérdida de carga de que se dispone en 1000m de longitud de tubería horizontal es 22 m? V = 2.05X10-4 m2/seg Pr= 0.912 H=
VavX 32 ML vd 2
Vav =
Q 22 X 10 −3 0.028 = = A 1 / 4πd 2 d2
Sustituyendo 22 =
(0.028 / d 2 (32 )( 2.05 X 10 −4 X 0.912 X 1000 / 9.8)(1000 ) (10 .912 X 1000 ) d 2
d= 0.17m Ronald V. Giles Pag. 103 Ejemplo: 13 Unidad 1 A través de una tubería de acero circula agua a 25º C. El diámetro nominal de la tubería cédula 40 es de 2 plg de longitud de 125m y transporta un caudal de 184 lts/min. Calcule el número de Reynolds, el factor de fricción y las pérdidas de carga. DInt= 2 plg =5.25 cm
V=
0.184 ( 4) = 1.45 sm / s ρ(0.525 ) 2 60
P 25o C = 099708 Kg/lts µ 25º C = 0.8937 cps Re =
0.0525 X 1.455 X 997 .08 = 85223 0.8937 X 10 5
i 1 = 4.06 log + 2.16 = 0.00473 ft 0.009
Fd = 4X0.00473 = 0.01895 ≈ 0.019 HL =
0.019 X (1.455 ) 2 (12 g ) = 4.88 Km / seg 2(9.81)( 0.0525 )
Prob. 4.1 Libros utilizados: Problemas de flujo de Fluidos Antonio Valiente Barderas Pag. 138,139,140
Mecánica de fluidos Frank M. White Edit. McGraw Hill Pag. 352 Mecánica de los fluidos e Hidráulica Ronald V. Giles. Edit. Mc Graw Hill Pag. 102,103,104
Determine la caída de presión por cada 100m de una tubería de 4mm de diámetro, a través de la cual fluye aceite de linaza a 20º C a la velocidad de 0.2 m/s P= 944 Kg/m3 V= 46.7X10-6 m2/s µ = 42.5X10-3 N.S/m2 el número de Reynolds del flujo es igual a: Re =
VD = (0.2)( 4 X 10 −3 ) / 46 .7 X 10 −6 v
Re = 17 .1 laminar ∆P / L = 32Vn / D 2 = 17000 N / m
en 100m ∆ P = 1.7 µ Pa unidad 1
Calcule l pérdida de carga debida al flujo de 22.5 l/s de aceite pesado (934 Kg/m3), con un coeficiente de viscosidad cinemática de (0.0001756 m 2/s), a
través de una tubería nueva de acero de 6 plg de diámetro nominal (0.153m) y 6100 m de extensión. V=
Q 0.0225 = = 1.22 m / s A 0.0184
DV 0.153 X 1.22 = = 1060 v 0.0001756
Re =
por lo tanto, el régimen de flujo es laminar, pudiendo ser aplicada la fórmula hf =
128 LQ πD 4 g
hf =
128 X 0.0001756 X 6100 X 0.225 = 182 m de columna de aceite πX (0.153 ) 4 X 9.8
182X934 = 17000 Kg/m2 unidad1
Por un tubo horizontal de 5cm de diámetro se bombea aceite (densidad relativa = 0.94, µ = 0.048 N.S/m2) con un gasto de 2.0 X 10 -3 m3/s. ¿Cuál es la caída de carga por cada 100 m de tubo? ∅ = 5 cm = 0.05m µ = 0.048 N.S/m2 Q = 2.0X10-3 m3/s L = 100 mts V =
4( 2.0 X 10 −3 ) = 1.018 m / s π(0.05 ) 2
∆ P=
32 (100 )(1.018 )( 0.048 ) = 62545 .9 Pa (0.05 ) 2
∆ P = 62.54 Kpa Mecánica de Fluidos J. A. Roberson Pag. 406 Problema 10-6 Calcule la viscosidad media máxima V con que agua a 20º C puede fluir por una tubería en el estado laminar si el Número de Reynolds crítico en el que ocurre la transición es 2000 el diámetro de la tubería es = 2 m ϒ @ 20º C = 1.007X10-6 m2/s ∅ = 2 mts Re =
VD
ν
2000 =
V ( 2) 1.007 X 10 −6
V =
2000 (1.007 X 10 −6 ) = 1.007 X 10 −3 m / s 2
mecánica de Fluidos Merle C. Potter Pag.319 problema 7.1 Un aceite de gravedad específica 0.90 fluye a la larga de una tubería de 10 mm de diámetro. La viscosidad del aceite es V= 9 X 10-4 m2/s. determine la caída de presión por cada 10 m de tubería si la velocidad promedio en este es de 0.4 m/s ν = 9X10-4 m2/s L = 10 mts ∅ = 10mm V = 0.4 m/s ∆ P =? P= 0.90X1000 Kg/m3 = 300 Kg/m3 ν = 9 X 10 −4 =
µ 900 Kg / m3
µ = (9 X 10 −4 )( 900 Kg / m 3 )= 0.81 N .S / m 2
∆P =
32 [ (10 )( 0.4)( 0.81)] = 1.036 Mpa (0.01) 2
Unidad 1 Introducción a la Mecánica de Fluidos Rafael Beltrán Página 260 Problema 9.4 Un aceite cuya gravedad específica es 0.85 y viscosidad cinemática de 5 X 10-4 m2/s fluye por una tubería de 10 cm de diámetro, a la tasa de 20 L/s. determine el factor de fricción y la cabeza de pérdidas por cada 100 metros de longitud del tubo. Ges= 0.85 X1000 = 850 Kg/m3 ν = 5X10-4 m2/2 ∅= 10 cm Q = 20 lts/s = 0.02 m3/s L = 100 mts.
V =
4Q 4(0.02 m3 / s = = 2.54 m / s πD 2 π (0.1m) 2
Re =
VD (2.54)(0.1) = = 509.29 ν 5 X 10 − 4 m 2 / s
a) λ =
64 64 = = 0.125 Re 509 .29
(100 )( 2.54 ) 2 H = 0 . 125 b) = 41 .10 mts 0.1(2 g )
Unidad 1 Introducción a la Mecánica de Fluidos
Rafael Beltrán Página 260 Problema 9.1
Se desea utilizar un tramo de 15 m de tubería nueva de hierro forjado, de diámetro interior 25 mm, para transportar horizontalmente agua a 15º C. La velocidad promedio del agua en la tubería es 5 m/seg. Determine el gasto volumétrico y diga si que tipo de flujo es, si V = 14.5 X 10-5 m2/s ν = 14.5X10-5 m2/s L = 15m D = 25mm V = 5 M/seg Q =? 2
0.025 m −3 3 = 2.45 X 10 m / seg 2
Q = VA = 5m / s (π )
Re =
ν=
ρVD µ
µ ρ
entonces: Re = VD/ν = 5 m/seg(0.025m) (5/14.5X10-5) = 862.07 Como Re < 2000 es flujo laminar. Unidad 1 Introducción a la Mecánica de Fluidos R.Fox/A. McDonald Página 467 Problema 8.26
Determinar la caída de presión por cada 100 m de una tubería de 4 mm de diámetro, a través de la cual fluye aceite de linaza a 20º C a la velocidad de 0.2 m/seg. P= 944 Kgm3 ν =46.7X10-6 m2/seg µ = 42.5X10-3 N.S/m2 el número de Reynolds del flujo es:
Re =
V =
ρVD VD seg = 17.13 laminar = = (0.2m / seg )( 4 X 10 − 3 m) −6 2 µ ν 46.7 X 10 m
R 2 ∆P 8µ L
∆P V 8µ 1 = 2 = ( 0.2m / s ) (8)( 42 .5 X 10 −3 N .S / m 2 ) = 17000 N / m −3 2 L R 2 X 10 m
En cada 100 metros 100 ∆P = (17000 N / m) L = 17000 N / m) 2 = 1.7 mpa m
Unidad 1 Introducción a la Mecánica de Fluidos Rafael Beltran Página 239 Problema 9.21
Un viscosímetro muy simple pero que a la vez permite obtener resultados muy aproximados, se puede construir inmediatamente un tramo de tubo capilar, si se mide el gasto y la caída de presión, y se conoce la Geometría del tubo, se puede calcular la viscosidad. Una prueba efectuada con un cierto líquido mediante un viscosímetro capilar permite obtener los siguientes resultados: Gasto Volumétrico Q = 880 mm3/seg
Diámetro del tubo Longitud del tubo Caída de Presión
D = 0.50 mm L=1m ∆ P = 1.0 Mpa
Determinar la viscosidad del fluido y verificar el Número de Reynolds suponiendo que la densidad del fluido es semejante ala del agua, es decir, 999 Kg/m3
D = 0.5mm Flujo L = 1m 1
2 ∆ P = P1-P2 = 1.0 Mpa
Q=
µ=
V =
π∆PR 4 π∆PD 4 = 8µL 128 µL
π∆PD 4 128 QL
=
π 1X 10 6 N . / s
128
s 1 4 −3 2 (0.5mm ) 880 mm 3 10 3 mm = 1.74 X 10 N .S / m
m Q 4Q 4 880 mm 3 1 = = = 4.48 m / seg 2 2 2 3 A πD π s (0.5) mm 10 mm
Se tiene entonces:
Re =
m N .S 2 ρVD m2 = (999 Kg / m3 )( 4.48 M / seg )( 0.50 mm ) 1.74 X 10 −3 N .S 10 3 mm µ Kgm
Re = 1290
El Flujo es laminar puesto que Re < 2300 Unidad 1 Introducción a la Mecánica de Fluidos R.Fox/A. McDonald Página 350 Problema 8.3
Calcular el diámetro de un oleoducto que transporta por gravedad con los siguientes datos, viscosidad cinemática 4 X 10-3 m2/s, caudal = 0.1 m3/s y ∆ h = hf= 100m 100,0
SF= 0.01 m/m D=3 L = 10000m
ν = 4X10-3 m2/s Q = 0.1 m3/s ∆ h = hf = 100M Q = VA
hF= 0.00
∆ h=100m
Q Q 32ν 4 πD 2 = 128νQ A = SF = 2 gD gD 2 πgD 4 32ν
D4 =
128 νQ πsf
D =4
(128 )( 4 X 10 −3 )( 0.1) = 0.638 m π(9.81)( 0.01)
= 638 .43 mm
El movimiento es laminar y ∴ fue correcto el uso de la ecuación de Poiseville V =
Q = A
Re = D=
0.1 = 0.3128 m / s (0.638 ) 2 π 4
VD (0.3128 )( 0.638 ) = = 49 .44 ν 4 X 10 −3
128 νQ πgsf
Unidad 1 Determine la cabeza de fricción por cada 100m de tubería para el caso en el cual alcohol n-butílico a 20º C fluye entre dos tubos concéntricos de 40mm y 8mm de diámetro respectivamente. La tasa de flujo es 0.1 litros por segundo. P = 806 Kg/m3 µ = 3.08X10-3 N.S/m2 El área del flujo es A =π (D22 – D12) /4 = 12.06 cm2 El perímetro mojado es P= π (D2 – D1) = 15.1 cm
De donde el diámetro hidráulico es igual a Dh= 4ª/P = 3.2 cm La velocidad promedio es igual a V =Q/A = 0.1X10-3/12.06X10-4 = 0.083m/s Re es igual a RE=VD/v = 694 laminar Ya que D1/D2 = 0.2 se tiene que Fre = 92.35 ∴ F = 0.133 Unidad 1
Un conducto de acero de 6plg de diámetro y 30 m de extensión serán utilizados para proporcionar 275 l/s de aire, a la presión atmosférica y a 15º C. Calcular la pérdida de presión. V =
Q 0.275 = = 15 .5m / s A 0.01767
Re =
Dv 0.15 X 15 .5 = = 160000 r 0.000146
∈= 0.00046 m D 0.15 = = 3250 ∈ 0.00046
Unidad 2
Que diámetro de tubería será necesario utilizar para transportar 1920 lts/min de fuel-oil pesado de 25º C si la pérdida de carga de que se dispone en 1000 m de longitud de tubería horizontal es 15m.
H =
VavX 32 ML vd 2
Q=
1920 = 0.032 (60 )(1000 )
Q 0.032 0.040 = = 2 A 1 / 4πd d2
Vav =
15 =
(0.040 d 2 )( 32 )( 0.906 X 1000 / 9.8)(1000 )(118 X 10 −6 ) 0.912 X 1000 d 2
d4 =
(0.040 )( 32 )( 0.906 )(1000000 )(118 X 10 −6 ) = 0.00104 9.8 X 0.96 X 1000 X 15
d= 0.18m Unidad 1 Del punto A al B está fluyendo un fuel-oil pesado a través de una tubería de acero horizontal de 900 m de longitud y 15 cm de diámetro. La presión en A es de 11 Kg/cm2 y en B de 0.35 Kg/cm 2. la viscosidad cinemática es 4.13 X 10 4 m2/seg y la densidad relativa 0.918. ¿Cuál es el caudal en Lts/seg? 2
2
11 X 10 4 V 900 V15 0.35 X 10 4 + 15 + 0 − f = +0 0.918 X 1000 2g 0.15 2 g 0.418 X 1000
116 = f(6000)V152/seg
Vav =
( p1 − p2 ) d 2 (11 − 0.35 )(10 4 )( 0.15 ) 2 = 32 ML 32 (4.13 X 10 −4 X 0.98 X 1000 / 9.8)(900 )
Vav= 2.16m/seg Unidad 1 Ronald V. Pag. 103 Eje.12
En un tubo de hierro fundido con asfalto, fluye agua a 20º C con un gasto de 0.05 m3/s ¿Cuál es la pérdida de carga por Kilómetro de longitud? V= 1X10-6 m2/s Ks/D aspecto relativo Ks/D –0.007 λ = 0.019
Re =
VD = V
Re =
VD (1.59)(0.20) = = 3.18 X 105 −6 r 10 m / s
H =λ
V =
Q 0.05 = = 1.59 m / s A µ / 4(0.20 ) 2
L V2 64 1000 m 1.59 2 m 2 / s = D 2g Re 0.20 2(9.81m / s )
1000 = 0.19 0.20
2 1.59 = 12 .2m 2(9.81)
Unidad 2
Un aceite lubricante medio, de densidad relativa 0.86 es bombeado a través de una tubería horizontal de 5 cm de diámetro y 300 de longitud. El caudal bombeado es de 1.2 lts/seg. Si la caída de presión es 2.10 kg/cm 2 . ¿Cuál es la viscosidad absoluta del aceite? ( p1 − p2 ) = Vav =
32 MLVav d2
Q 1.2 X 10 −3 = = 0.61m / seg A 1 / 4π (0.05 ) 2
µ=
2.1X 10 4 = 0.00896 Kgseg / m 2 32 (300 )( 0.61)( 0.05 ) 2
Unidad 1 Ronald V. Giles Pag. 103 Ejem. 10
Por un tubo horizontal de 5 cm de diámetro se bombea aceite (densidad relativa= 0.94 µ = 0.048 N.s/m2. con un gasto de 2.0 X 10-3 m3/S. ¿Cuál es la caída de carga por c/100m de tubo?. ∅ = 0.05m Pr=0.94 µ = 0.48N.S/m2 Q =2.0X10-3 m3/s
Pc =
32 µLV ωd 2
2.0 X 10 −3 32 (0.048 N .S / m )(100 ) π (0.05 ) 2 4 Pc = (0.94 )(1000 )( 0.05 ) 2 2
Pc = 66 .6106 m
unidad 1
Determinar la pérdida de carga. Que se produce en un tramo de 100 m al mantener una velocidad de 5m/seg. En una temperatura de 12mm de diámetro v =4 X10-6 m2/seg. L = 1000m V =5m/seg ∅ = 0.012m ν =4X10-6 m2/seg
Pc =
32νLV gd 2
Pc =
32 (4 X 10 −6 )(1000 )( 5) 9.8(0.012 ) 2
Pc = 453 .0524
Unidad 1
Un aceite de densidad relativa 0.802 y viscosidad cinemática 1.86 X 10-4 m2/seg, fluye desde el depósito A al deposito B a través de 300m de tubería nueva, siendo el caudal de 88 L/seg. La altura disponible es de 16 cm ¿Qué tamaño de tubería deberá utilizarse? Pr= 0.802 ν =1.86X10-4 m2/seg L = 300m Q =88 l/seg = 0.088 m3/seg hf= 16 cm
hf = F
LV 2 64 LV 2 64 LV 2 = − = VD 2 Dg 2 Dg Re 2 Dg
ν
hf =
64νLV = 2D2 g
Q πD 2 / 4 = 256νLQ 2 D 2 gπ 2 D 4 gπ
64νL
D4 =
256 νLQ 2 gπhf
D= 4
256 νLQ ( 256 )(1.86 X 10 −4 )( 300 )( 0.088 ) =4 ghf π (9.81 )( 0.16 ) 2π
D= 0.5975m D = 579.5mm V =
Q 0.088 = = 0.313 m / s A π / 4(0.5975 ) 2
Re =
Vd (0.313 )(0.5975 ) = = 1005 .47 ν 1.86 X 10 − 4
El flujo es laminar Unidad 1
Un caudal de 44 lts/seg de un aceite de viscosidad absoluta 0.0103 Kgseg/m2 y densidad relativa 0.850, está circulando por una tubería de 30 cm de diámetro y de 3000m de longitud. ¿Cuál es la pérdida de carga en la tubería?
V =
Q 44 X 10 −3 = = 0.62 m / seg A 1 / 4π (0.3) 2
Re =
Vdw 0.62 X 0.3 X 0.850 X 1000 = = 1565 µg 0.0103 X 98
∴ El flujo es laminar f =
64 = 0.0409 Re
∴ perdida de carga
f
LV2 3000 (0.062 ) 2 = 0.0409 X X = 8.02 m d 2g 0.3 2g
Unidad 1
Determine la caída de presión por cada 100m de una tubería de 4mm de diámetro , a través de la cual fluye aceite de linaza a 20º C a la velocidad de 0.2 m/s. ∆ P =? L =100m ∅ =4mm = 4X10-3m µ = 42.5X10-3 N.S/m2 V =0.2 m/seg
∆P =
32 µLV (32 )( 42 .5 X 10 −3 )(100 )( 0.2) = = 1.7 X 10 6 N / m 2 2 −3 2 D (4 X 10 )
∆P =1.7 Mpa
Unidad 1
Benceno a 25º C está fluyendo en un conducto de 24.3mm de diámetro interior, con un rapidez de flujo de 20 L/min. Calcule la diferencia de presión entre dos puntos separados 100m, si el conducto está en posición horizontal. µ = 6.03 X 10-4 N.S/m2 L = 100m Q =20 l/min
20
L 1min 1X 10 −3 m3 X X = 333 .33 X 10 −6 m 3 / seg min 60 seg 1L
D024 .3mm = 24 .3 X 10 −3 m
A=
π ( 24 .3 X 10 −3 ) 2
V =
4
= 4.636 X 10 −4 m 2
Q 333 .33 X 10 −6 = = 0.719 m / seg A 4.636 X 10 − 4
∆P =
32 µLV (32 )( 6.03 X 10 −4 )(100 )( 0.719 ) = = 2.35 KPa D2 24 .3 X 10 −3 ) 2
Unidad 1
Un flujo de aceite con P = 900 Kg/m5 y V = 0.002 m2/s circula por el tubo inclinado de la fig. la presión y la altura de las secciones 1 y 2 son conocidas y están 10m una de otra. Suponiendo flujo laminar estacionario. A) Calcular ∆ p en 1 y 2 . b) Q, c) verificar si el flujo es hacia arriba y d) velocidad. d= 6 cm 10 m Q
40º P1= 350KPa
P2=250KPa
Z1=0
µ = ρν = (900 )( 0.002 ) = 0.18 Kg / m.s
Z 2 = ALsen 40 = 40 (9.643 ) = 6.43 m
LAM 1 = Z1 +
P1 350 KPa =0+ = 39 .45 m ρs 900 (9.807 )
LAM 2 = Z 2 +
P2 250 KPa = 6.43 + = 34 .75 m ρs 900 (9.807 )
∆P = 39 .65 − 34 .75 = 4.9m
Q=
µgsd 4 ∆P µ(900 )89 .807 )( 0.08 ) 4 (4.9) = = 0.0076 128 µL 128 (0.18 )(10 )
V =
Q 0 − 0076 = = 2.7 m / s 2 πR π (0.03) 2
Unidad 1 Frank M. White Mecánica de Fluidos Pag. 352 Ej. 6.4 Un líquido de peso específico Pg = 58 lb/ft 3 fluye por gravedad desde un depósito de 1 ft a través de un capilar de 1 ft de longitud, con un caudal de 0.15 ft3/h. Las secciones 1 y 2 están a presión atmosférica. Despreciando los
efectos de la entrada. Calcular la viscosidad del líquido en slugs por pie y segundo Pg=581lb/ft3
1.6 t Q =0.15 ft3/h 2 2 p1 V1 P V + + Z1 = 2 + 2 + Z 2 + h1 pg 2 g pg 2 g 2
hL = Z1 − Z 2 −
V2 =
V2 2 = 2 − r2 / 2 g 2g
Q 0.15 / 3600 = = 3.32 ft / s 2 πR π (0.002 ) 2
hf = 2 −
(3.32 ) 2 32 µLV = 1.83 = 2(32 .2) ρgd 2
hL ρgd 2 1.83(58 )( 0.004 ) 2 ft ( ft / s ) µ= = = 1.60 X 10 −5 slug /( ft .S ) 3 2 32 LV 32 (1)(3.32 ) lb / ft ( ft )
Unidad 1 Frank M. White Mecánica de Fluidos Pag. 353 Ej. 6.5
Determinar la velocidad media para un valor de f igual a 0.05, si el líquido es agua y la pérdida de carga medida en 100m de tubería es de 5m.
H = f
LV2 d 2g
5 = 0.05
V =
100 V 2 0.30 2 g
5(0.30 )( 2 g ) 100 (0.05 )
V=2.93m/seg Unidad 1 Ronald V. Giles Mecánica de Fluidos Pag. 352 Ej. 6.4
En una planta de procesamiento químico, debe trasmitirse Benceno a 50º C (Gravedad específica = 0.86) al punto “B”, con una presión de 550 Kpa. En el punto “A”. está colocada una bomba a 21m por debajo del punto “B”, y los dos puntos están conectados por 240m del conducto plástico cuyo diámetro interior es de 50mm. Si la rapidez del flujo de volumen es de 110 L/min, calcule la presión requerida en la salida de la bomba. Sg=0.86 PB= 550Kpa ZB = +21m L =240m Dint = 50X10-3 m Q =110 L/min PA =? 2
2
V V PA − PB = γ ( Z B − Z A + 2 − 1 + H 2g 2g H =λ
L V2 D 2g
γ = ρg
P = 80 .86 )(1000 ) = 860 Kg / m3
A=
π (50 X 10 −3 ) 2 4
= 1.963 X 10 −3 m 2
V =
Q 1.83 X 10 −3 = = 0.933 m / seg A 1.963 X 10 −3
110
L 1X 10 −3 m3 1 min X X =1.83 X 10 −3 m3 / seg min 1L 60 seg
µ =@ 50o C = 4.2 N.S/m2
R=
VDP
µ
=
(0.933 )( 0.05 )( 860 ) = 95618 .14 4.2 X 10 −4
El diagrama de Moody λ = 0.018
H = (0.018 )
240 (0.933 )3 = 3.83 m 0.05 2(9.81 )
γ = (860 Kg / m3 )( 9.81m / s 2 ) = 8436 .6 N / m3
PA= 550X103 + (8436.6)(21+3.83) PA = 759.5 Kpa Unidad 2 Robert L. Mott Mecánica de Fluidos Aplicada Ej. 9.5
Determine el factor de fricción λ , si agua a 160º F, está fluyendo a 30 pies/s, en un conducto de hierro forjado no recubierto cuyo diámetro interior es de 1 plg. T= 160º F V = 30 pies/seg Dint = 1 plg X 1 pie/12plg = 0.083 pie λ =? ν @ 160o F = 4.38X10-6 pie2/s
R=
VD
λ=
λ=
ν
=
30 pie / seg (0.083 pie ) = 570 .77 X 10 3 Flujo turbulento −6 2 4.38 X 10 pie / seg
0.25 1 574 + log 0.9 0.37 ( D / K ) Re
2
=
0.25
[log( 0.0259 + 37.85 X 10 )] −6
2
Unidad 2 Robert L. Mott Mecánica de Fluidos Aplicada Ej. 2 4ª Edición
=
0.25 1 5.74 + log 3 0.9 (0.37 )(104 .13) (570 .77 X 10 )
0.25 = 0.099 2.515
± 1% de error
2
Editorial Prentice may
En una tubería de 150mm de diámetro, fluye agua a temperatura ambiente, a una velocidad de 4.5 m/s. se mide experimentalmente la pérdida de carga en 30m de este tubo, y se encuentra que es de 5 1/3 m calcúlese la diferencia de presión y la rugosidad relativa de la tubería. ∅ = 150mm = 0.15m L = 30 mç H = 5.33 m V = 4.5 m/s µ @ 25º = 8.91X10-4 N.S/m2
V =
4.5m / s = 2.25 m / s 2
∆P = 85 .53 Pa 5.33 = λ
30 ( 4.5) 2 0.15 2 g
λ = 0.026
Unidad 2 J. K. Vennard Elemento de Mecánica de Fluidos Ej. 453 Problema ilustrado
Hay una caída de presión de 400 Pa en un tramo de tubería de 2 cm de diámetro que transporta agua a 20º C. Determine la longitud del tramo horizontal si el número de Reynolds es 1600. también calcule el esfuerzo cortante en la pared y el factor de fricción. ∆P = 400 N / m 2
D = 20X10-3m µ = 1.005X10-3 N.Seg/m2 ρ = 998.2 Kg/m3
{
}
Re µ (1600 )(1.005 X 10 −3 kg .m / seg 2 seg / m 2 ) V= = ρD (998 .2 Kg / m3 )( 20 X 10 −3 m) V =80 .54 X 10 −3 m / seg
L=
∆PD 2 (400 N / m 2 )( 20 X 10 −3 m) = 32 µV (32 )(1.005 X 10 −3 Nseg / m 2 )( 80 .54 X 10 −3 m / seg )
L= 61 .77 m
=
∆PR ( 400 N / m 2 )(10 X 10 −3 m) = 2L ( 2)( 61 .77 m)
= 32 .37 X 10 −3 N / m 2
f =
64 64 = Re 1600
f = 0.04
Prob.(7.15) Pág. 320 Autor:Merie C. Potter
En un tubo de 20 cm de diámetro fluye Keroseno a 20º C con un gasto de 0.03m3/s. ¿Cuál será el flujo turbulento o laminar?
V =
Q A
V =
4(0.03 m3 / s ) = 0.9549 m / s π (0.2m) 2
20º C Keroseno Tabla A-4
NR =
ν = 2.37X10-6m2/S
VD (0.9549 m / s )( 0.2m) = ν 2.37 X 10 −6 m 2 / S
N R = 80584 .78
Flujo Turbulento
En un tubo de 1 pie de diámetro fluye Glicerina. T= 68º F con una velocidad media de 2 pies/s. ¿Es el flujo laminar o turbulento? Glicerina Tabla A-4
NR =
VD
ν
ν = 5.3X10-3Re2/S
=
N R = 377 .3
(2 pies / s )(1 pie ) (5.3 X 10 −3 pie 2 / s )
Flujo Laminar
Por un tubo pulido de 1 plg fluye aire con un gasto de 20 pies 3/min. Si T= 80º F y P= 15 lb/pulg2 absolutos, ¿Cuál es la caída de carga por pie de longitud?
Aire 80º F Tabla A-3
P= 0.00228 slugs/pie3(515.4 Kg/m3/1 slug/pie3) = 1.175112Kg/m3 ν = 1.69X10-4 pie2/S
1 pulg= 1/12 pie = 0.0254 m V = 61.11 Pie/s = 18.64 m/s
NR =
VD
ν
=
61 .11 pie / s (1 / 12 pie ) 1.69 X 10 −4 pies 2 / s
N R = 3.013313 X 10 4
Necesitamos calcular f, pero no se puede conocer Ks, del material, pero el diagrama de Moody (Fig. 10-8), trae la curva de tubo pulido, entonces sólo necesitamos No. De Reynolds. F= 0.0225 ∆P
γ
=H
∆P =
γfLV
2
D2 g
∆P =
ρgfL γ 2 D2g
=
ρfL γ 2 2D
∆P ρfV 2 (1175112 Kg / m 3 )( 0.0235 )(1864 m / s ) 2 = = = 188 .975 N / m 2 L 2D 2(0.0254 m)
1lb / pie 3 ∆P = 1.2lb / ft 3 = 188 .75 N 7 m3 3 L 157 .1N 7 m
una aguja hipotérmica, con diámetro interno D= 0.1mm y longitud L=25mm, se emplea para inyectar una solución salina con viscosidad cinco veces la del agua. El diámetro del émbolo es 10mm; la fuerza máxima que puede ejercerse por un pulgar sobre el émbolo es F=45N. Estime el flujo volumétrico de la solución salina que puede producirse. D = 100X10-6m L =25X10-3m
µ = (5) (1.005X10-3 N.seg/m2) ∆P =
Q=
F 45 N = = 572 .95 X 10 3 N / m 2 −3 2 A (π / 4)(10 X 10 m)
π∆PD 4
=
128 NL
(π )( 572 .95 X 10 3 N / m 2 )(10 X 10 −3 m) 4 (128 )( 5)(1.005 X 10 −3 N .seg / m 2 )( 25 X 10 −3 m)
1000 X 10 6 mm 3 Q = (11 .2 X 10 −9 m3 / seg ) 1m3
PROB (8.39) PAG. 438 AUTOR: ROBERT W. FOX
Q = 11 .2mm / seg 3
En un tubo pulido vertical de 1 cm, fluye hacia abajo un líquido con una velocidad de 1m/seg. El líquido tiene una densidad de 100 Kg/m3 y una viscosidad de 0.1 N.S/m2. si la carga en la sección es de 300 Kpa. ¿Cuál será la carga en una sección de 10m debajo de la indicada? D = 1 cm Vmax = 1m/seg P = 1000Kg/m2 µ = 0.1 N.S/m2 PA = 300Kpa PB = h = 10 m γ = 9.81 KN/m3 V = 1m/seg Ecuación de Bernoulli 2
f1 V2 P V + Z1 + − H = 1 + Z2 + 2 γ1 Z2 γ2 2g
2
H =λ
2
P1 P2 V V − = Z 2 − Z1 + 2 − 1 + H γ1 γ 2 2g 2g
λ=
64 Re
L V2 D 2g
P1 − P2 = γ ( Z 2 − Z1 + H )
Re =
VD
ν
=
VDf
µ
P2 = P1 − γ ( Z 2 − Z1 + H )
Re =
λ=
(1m / seg )(0.01m)(1000 Kg / m 2 ) = 100 0.1N .S / m 2
Fluido Laminar
64 = 0.64 100
H = (0.64 )
10 m 1 = 32 .61 m 0.01 m 2(9.81 )
P1 = (9.81 X 10 3 N / m3 )( −10 m − 32 .6m) + 300 X 10 3 N / m 2 = 32 KPa p2 = (300 X 10 3 ) − (9.81 X 10 3 )( −10 + 32 .61) = 78 .2 KPa
P1= 300KPa
Z1
h= 10m P2
Z2
Una medicina líquida, con la viscosidad , densidad del agua, se va a administrar por medio de una aguja hipotermica. El diámetro interior de la aguja es de 0.25mm y su longitud es 50mm. Determine: a) El flujo Volumétrico máximo para la cual el flujo sea laminar; b) La caída de presión
requerida para entregar el flujo máximo, y c) el esfuerzo de corte de pared correspondiente D = 250X10-6 L = 50X10-3m µ =1.005X10-3 N.seg/m2 P =998.2 kg/m3 Re = 2300
{
}
Re µ ( 2300 )(1.005 X 10 −3 kg .m / seg 2 seg / m 2 ) V = = ρD (998 .2 Kg / m3 )( 250 X 10 −6 m ) 2 V = 9.26 m / seg
Q =VA = (9.26 m / seg )( π / 4)( 250 X 10 −6 m) 2
Q = 454 .55 X 10 −9 m 3 / seg
∆P =
128 µLQ (128 )(1.005 X 10 −3 N .seg / m 2 )( 50 X 10 −3 m)( 454 .55 X 10 −9 m 3 / seg = πD 4 (π )( 250 X 10 −6 m) 4
∆P = 238 .24 X 10 3 N / m 2
∆P = 238 .24 KPa
=
∆PR ( 238 .24 X 10 3 N / m 2 )(125 X 10 −6 m) = = 297 .8 N / m 2 2L (2)( 50 X 10 −3 m)
PROB. (8.55) PAG. 440 AUTOR: ROBERT W. FOX Aire a 20o C fluye por una tuberia horizontal de 2 cm de diámetro. Calcule la caída de presión máxima en un tramo de 40 m. Si el flujo es laminar. Suponga P=1.2 kg/m3. µ = 1.81X10-5 N.seg/m2 P =1.2 kg/m3
L =10m D =20X10-3m
V =
µ Re (1.81 X 10 −5 / kg .m / seg 2 {kg .m / seg 2 }seg / m 2 )( 200 ) = ρD (1.2 Kg / m3 )( 20 X 10 −3 m)
V =1.508 m / seg
∆P =
32 LµV (32 )(10 m)(1.81 X 10 −5 N .seg / m 2 )(1.508 m / seg ) = D2 (20 X 10 −3 m) 2
∆P = 21 .83 N / m 2
∆P = 21 .83 Pa
PROB. (7.22) PAG. 321 AUTOR MERIE C. POTTER
