PROBLEMAS DE ESTRUCTURA CRISTALINA 1º El aluminio tiene una masa atómica de !"#$ %&'mol() Sa*iendo +ue c,istali-a en el sistema .CC / +ue la dimensión de su celda unidad es 0"0# 0"0# A" A" 2 cu3l se,3 su densidad4 densidad4 La densidad es la masa ent,e el 5olumen / 6o, tanto conociendo la masa +ue 7a/ en un dete,minado 5olumen nos 6e,mite el calculo del 5alo,) Toma,em Toma,emos os el 5alo, del 5olumen 8 de la celda" o sea a +ue nos da el 5alo,) 9 : %0"#; 1<1 m(8 : %0)# ; 1 <= cm(8 : !"!8= ; 1 <8 cm8 A7o,a Calculamos la masa +ue 7a/ en la celda) Como es una .CC" el n>me,o de 3tomos 6o, celda es 0) masa : 0 ; masa de 3tomo : 0 ; !"#$ &'mol ; 1 mol'!"8 ; 1 8 3tomos : 1"$= ; 1 < &,amos Po, tanto d : m'5 : 1"$= ; 1 < &,a &,amos mos ' !"!8 !"!8== ; 1 <8 cm8 : "$ &'cm8
Solución? 6 : "$ &'cm8 º La masa atómica de un dete,minado elemento es @@"= %&'mol() Sa*iendo +ue su ,adio atómico es 1"0 A / su densidad" $"# &'cm&" sa*,as deci, si c,istali-a en una ,ed BCC o .CC4 Solución? BCC 8º 2Cómo 6uede se, 6osi*le +ue la est,uctu,a BCC 6osea un .acto, de em6a+uetamiento atómico meno, +ue la .CC o la CP / la dimensión de sus 7uecos octad,icos sea tam*in meno,) 0º La densidad de ol,amio es 1#"8 &'cm 8 con masa atómica de 1=8"# &'mol) Si c,istali-a en una ,ed de ti6o BCC" calcula, su ,adio atómico) Resolución? Datos? P,ime,o tenemos +ue al se, una celda BCC el n>me,o de 3tomos es ) Calcula,emos a7o,a el 5olumen de una celda unidad) como tenemos +ue ?
d : m'5 :F 5 : m'd : at ; 1=8"# &'mol ? % !"8 ; 1 8 ato 'mol ; 1#"8 &'cm 8( : 81"!0 ; 1<0 cm8
Como en el cu*o" el 5olumen es la a,ista al cu*o" tenemos +ue a : 8"10 ; 1 <= En la BCC" tenemos +ue la dia&onal en el cu*o es D : 0R : √3 a El 5alo, de R es √3 a ' 0 : 1"8$ G
@º 2Cual es el .acto, de em6a+uetamiento atómico en el sistema c,istalino 7eHa&onal sim6le4 Solución .EA : "!@ P,ime,o 5eamos el n>me,o de 3tomos 6o, celda) En las ca,as" 7a/ dos com6a,tidos 6o, ot,a celda" 6o, tanto 1) En los 5,tices 7a/ ! com6a,tidos 6o, ! celda" 6o, tanto" 1'! : ) Total de 3tomos 8) El 5olumen de la celda es *ase 6o, altu,a) La altu,a es R) El m3Himo em6a+uetamiento es a : R" 6o, tanto" la *ase es se&>n el desa,,ollo de la P3&) @0 6√3 R 2. El volumen es ( 6√3 R 2 ) * (2R ) = 12√3 R 3 FEA = Volumen de los átomos / Volumen de celda = 3 * (4/3 R 3 ) / 12√3 R 3 = !6" 6# $alcula% el cam&'o te%'co del volumen asoc'ado a una t%anso%mac'n alot%'ca de un metal desde la F$$ a la %ed +$$.
Como sa*emos en una .CC" el nº 3tomos celdilla : 0 / a : 0;R' √2. En la %ed BCC nº 3tomos celdilla : / a : 0;R' √ 8
Como el nume,o de 3tomos se conse,5a" tenemos +ue 6o, cada celdilla .CC se o,ma,3n celdillas BCC) %9olumen BCC' 9olumen .CC( : ; %0;R' √ 8(8 ' %0;R'√ (8 : 1)== Lue&o cuando c,istali-a en BCC es un =)=J ma/o, / 6o, tanto eHiste una dilatación del mate,ial) $º Un metal c,istali-a en la ,ed c>*ica cent,ada en el cue,6o) Si su ,adio atómico es 1)0 manómet,os) 2Cu3ntos 3tomos eHisti,3n en 1 cm 84
Pa,a 6lantea,se el 6,o*lema tenemos +ue 6ensa, en el n>me,o de celdas +ue 7a/ en 1 mm8 ) Pa,a ello" necesitamos sa*e, +ue mide una celda) Como tenemos el ,adio / sa*emos +ue es una BCC" en la dia&onal del cu*o se cum6le +ue √3a = 4R =, a = 4*R/√3 = 2!-3 nm. Adem3s sa*emos en nº 3tomos 6o, celdilla es de El 5olumen de la celdilla es 6o, tanto a 8 : %)=!8 ; 1 <$ cm(8:8)0=8 ;1 <1 cm8 El n>me,o de celdilla : 1 cm 8 '8)0=8 ;1<1cm8 : 0)@ ; 11# celdas) Si sa*emos el nume,o de celdas / los 3tomos +ue 7a/ en cada celda" tenemos el n>me,o de 3tomos 6o, mm8 nº 3tomos : 0)@ ; 1 1# celdillas ; 3tomos'celdilla : =)@ ; 1 1# 3tomos 3) Calcular la concentración de vacantes por metro cúbico en el equilibrio en aluminio puro a 550ºC. Suponga que la energía de formación de una vacante en aluminio puro es de 0.! e". #Cu$l es la fracción o porcenta%e de vacantes a !00ºC&
Datos adicionales? 6eso atómico del aluminio" P a:!)#=&'molK densidad del aluminio" ! 8 <@ ρ:)$1 &'m K :=)!1 e9'" E5:)$!e9 El n>me,o de 5acantes eHistentes en un metal a una tem6e,atu,a T dete,minada 5iene dado 6o, la si&uiente eH6,esión? n5:NCeH6%me,o de 6osiciones ,eticula,es del mate,ial" E5 la ene,&a de c,eación de una 5acante / la constante de Bolt-mann) Pa,a el caso del aluminio" calculamos 6,ime,o el 5alo, de N del si&uiente modo) N =
ρ N A
P a
=
)$ ⋅ 1 ! g ' m8 ⋅ !)8 ⋅ 18 atomos ' mol !)#= g ' mol
=
!)! ⋅ 1 = atomos ' m8
a( Su*stitu/endo todos los datos en la ó,mula ante,io," el n>me,o de 5acantes en el aluminio a una tem6e,atu,a de @@ºC %=8( se,3? nv'(.3*(0+ vacantes,m3 *( Pa,a calcula, la ,acción de 5acantes a una tem6e,atu,a de !ºC %=$8( *asta 5ol5e, a utili-a, la citada eH6,esión con el nue5o 5alo, de la tem6e,atu,a n 5'N:eH6%<)$!e9' =)!1<@ e9'=$8( .inalmente" nv,-'.((*(05 %comisión C del RUPO $( ) Se desea disminuir un (/ la densidad de una piea de 1ierro mediante la introducción de vacantes en dic1a piea. Calcúlese el número de vacantes necesario por cm3 2 la temperatura a la que 1abría que calentar la muestra. Supóngase que la energía de formación de una vacante para el 1ierro fuera +0 cal,mol.
Datos adicionales? 6eso atómico del 7ie,,o" P a:@@)=@ &'molK densidad del 7ie,,o 6u,o" 8 ρ:$)=$ &'cm K E5: cal'molK R:1)#=$ cal'mol
Al int,oduci, 5acantes en el 7ie,,o" este mate,ial 6esa,3 menos con el mismo 5olumen" esto es" tend,3 una densidad meno, ρ;) En nuest,o caso" la disminución de densidad es del 1J" lue&o ρ;:$)$#18 &'cm 8) La die,encia ent,e am*as densidades %7ie,,o 6u,o / 7ie,,o con 5acantes( se de*e a las 5acantes int,oducidas / el n>me,o de ellas se 6uede calcula, del si&uiente modo? nv
=
∆ρ L N A
P A
=
)$=$ g ' cm8 ⋅ !)8 ⋅ 18 atomos ' mol @@)=@ g ' mol
=
=)0# ⋅ 1 vacantes ' cm8
El n>me,o de 6osiciones ,eticula,es de la ,ed de 7ie,,o 6u,o se 6uede calcula, de o,ma simila, a lo eH6licado en el 6,o*lema 8) Po, tanto? N =
ρ N A
P a
=
$)=$ g ' cm8 ⋅ !)8 ⋅ 18 atomos ' mol @@)=@ g ' mol
=
=)0# ⋅ 1 atomos ' cm8
Pa,a c,ea, todas a+uellas 5acantes" es 6,eciso ele5a, la tem6e,atu,a del 7ie,,o 7asta cie,to 5alo, To / en,ia,lo ,36idamente) Este 5alo, se 6uede o*tene, a 6a,ti, de la eH6,esión? nv
= N eH6% − E v
' RT o (
Su*stitu/endo los datos / des6eando el 5alo, de la tem6e,atu,a" lle&amos al ,esultado 4o'+(+.(
%comisión C del RUPO @( 5) 6a densidad del aluminio puro es +.!7755 g,cm 3. 89plique cómo fabricaría una aleación de aluminio que tuviera una densidad de +.!50 g,cm3. :dem. si la densidad de la aleación tuviera que ser +.50 g,cm3.
a( ;n mme,o de 5acantes necesa,io 6a,a ,educi, la densidad del aluminio desde )!##@@ 7asta )!0@ &'cm8" 6odemos a6lica, la eH6,esión most,ada en el ee,cicio ante,io,? nv
=
∆ρ L N A
P A
=
%)!##@@ − )!0@( g ' cm8 ⋅ !)8 ⋅ 18 atomos ' mol $ g ' mol
= 1) ⋅ 1
1
vacantes ' cm8
En 6,inci6io *asta,a con c,ea, el n>me,o de 5acantes calculado 6a,a 6,o5oca, la disminución de la densidad del Aluminio +ue se 6ide) C3lculo acceso,io? Pa,a estima, la tem6e,atu,a a la +ue 7a*,a +ue calenta, el aluminio / nv
o,ma, las 5acantes calculadas se 6uede em6lea, la eH6,esión Con a/uda de los datos del 6,o*lema 8" se lle&a a +ue T o:0)$1
= N eH6% − E v
' RT o (
)
*( Un mtodo 6a,a ele5a, la densidad del metal es int,oduci, cie,ta cantidad de ot,o elemento MQS 6esado / +ue" o*5iamente" sea solu*le en el aluminio) Podemos ,e5isa, los ,esultados del 6,o*lema %solu*ilidad del M&" Mn" Si" Cu / n en Aluminio( /" as" *usca, el candidato ideal) < Desca,tamos el M& / el Si 6o, tene, densidades meno,es +ue el aluminio) < El Mn tiene una solu*ilidad mu/ *aa en Al)
< El Cu / el n se,an mu/ *uenos candidatos 6ues son m3s 6esados +ue el aluminio / con alta solu*ilidad en el Al) Si" 6o, eem6lo" eli&i,amos el n % ρ:$)10 &'cm8 / Pa:!@)8$&'mol(" la cantidad necesa,ia de 3tomos de n 6a,a aumenta, la densidad del Aluminio se,a? nv
=
∆ρ L N A
P A
=
%)$0@ − )!##@@( g ' cm8 ⋅ !)8 ⋅ 18 atomos ' mol !@)8$ g ' mol
=
0)1= ⋅ 1 atomosdeZn ' cm8
%comisión C del RUPO !( !) 6a fracción de vacantes respecto a los puntos de la red para cierto material es *(05 a !00ºC. #Cu$nto valdr$ dic1a fracción a (000ºC& =eterminar asimismo la energía de formación de una vacante en ese material.
Datos? n5'N:=H1<@K T:!ºC:=$8K C:1K :=)!H1 <@ e9' A6licamos la eH6,esión si&uiente con los datos a,,i*a indicados? n 5'N:C) eH6 % 1ec1o de 1ierro bcc contiene nitrógeno a 00ºC. 6a concentración en la superficie interna es 0.05/ at. de - 2 en la e9terna es 0.00+/ at. de -. Calcular el gradiente de concentraciones de - en la pared del contenedor 2 el número de gramos de nitrógeno que pierde el contenedor por 1ora.
Datos? Di3met,o : 0 cmK Radio : cmK Es6eso, % ΔH( : "@ mm : "@ cm ie,,o %BCC(? 3tomos'celdaK Pa,3met,o de la celda *cc del 7ie,,o" a : "=!!)1 <= cm C su6e,icie inte,na : "@ J 3tomos de NK C su6e,icie eHte,io, : " J 3tomos de N a( Calcula, el &,adiente de concent,aciones? Δc ' ΔH Calcula, el n>me,o de &,amos de nit,ó&eno +ue 6ie,de el contenedo, 6o, 7o,a) Δc , Δ9 : %" )@(')@ cm : <"#! J 3tomos de N'cm Pa,a calcula, el &,adiente en unción de 3tomos'cm 8)cm" 7a/ +ue dete,mina, el 5olumen de la celdilla unidad? 8 " celda : a8 : %"=!!)1<= cm( 8 : "8@) 1 <8 cm 'celda Se tiene una C inte,io, de "@ J 3tomos de N : %@ 3tomos N'1 3t .e( H 1 a/ +ue 5e, el 5olumen de los 1) 3tomos de 7ie,,o? " (0.000 $ts ?e : n>me,o de celdas +ue 7a/ en 1 0 3tomos H 9 celda " (0.000 $ts ?e : %1)'( 3ts .e '3ts celda H "8@) 1 <8 cm8'celda : 1"1$@) 1<1# cm 8 Con este dato se calcula la concent,ación de N en 3tomos' cm 8 Cinterior : @ 3tomos de N' 1"1$@) 1 <1# cm8 : 0"@) 1 1# 3ts N 'cm8 Ce9terior : " 3tomos N ' 1"1$@) 1 <1# cm8 : 1"$) 11= 3ts N 'cm 8 Con estos datos se calcula el &,adiente de concent,aciones? 1= 8 Δc , Δ9 : %1"$) 1 0"@) 1 1#( 3ts N'cm ' "@ cm : <="1!) 1 3ts N'cm8) cm
*( Pa,a sa*e, el n>me,o de &,amos +ue se 6ie,den 6o, 7o,a" 7a/ +ue 5e, la diusión? = ' =0 .e9p @A,B4) : " 0$ cm's eH6 %<1= cal)mol <1'1"#=$ cal)mol <1) <1H #$8( : 8" !0) 1<$ cm 's D : " 0$ cm 'sK : 1=8 cal'mol R: 1"#=$ cal'mol) Cuando se sa*e cuanto diunde el N en 7ie,,o %*cc( se calcula el luo? ' =. Δc , Δ9 1 Le/ de .ic V : <8"!0) 1 <$ cm's H %< ="1!) 1( 3tsN'cm8) cm : " #$) 1 10 3tsN'cm )s A7o,a se calcula el n>me,o de 3tomos de N totales : VHQ,ea Qts totales : " #$) 1 10 3tsN'cm)s H 0HW H , : 1" 0#) 1 1! 3ts N's Pa,a sa*e, el n>me,o de &,amos 6o, 7o,a" se 7ace un cam*io de unidades? 1"0#H11! 3tsN's H 8! s'1 H 1'Na %3ts'mol( H 10 &'mol : "1@ & N'7o,a
