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Capítulo 25
Potencial eléctrico
En general, el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas espaciales. Si V(r) se da en coordenadas cartesianas, las componentes E x , E y y E z del campo eléctrico pueden ser determinadas fácilmente a partir de V(x, y, z) como derivadas parciales2
Determinación del campo eléctrico a partir del potencial
0 V
E x
(25.18)
0 x
Pregunta rápida 25.4 En cierta región del espacio el potencial eléctrico es igual a cero en todos los puntos a lo largo del eje x . De ello es posible concluir que en esta región la componente en x del del campo eléctrico es: a) cero, b) en la dirección de x , o c) en la dirección de x .
EJEMPLO 25.4
Potencial eléctrico debido a un dipolo
Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto separadas por una distancia 2 a como como se muestra en la figura 25.13. El dipolo está a lo largo del eje y tiene centro en el origen. x y
y P
a
a R
A) Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre sobre el eje y .
x
–q
q
SOLUCIÓN
x
Conceptualizar Compare esta situación con la del inciso B) del ejemplo 23.5. Es la misma situación, pero en este caso se busca el potencial eléctrico en lugar del campo eléctrico.
Figura 25.13 (Ejemplo 25.4) Dipolo eléctrico ubicado sobre el eje x .
Categorizar Ya que que el dipolo consiste sólo en dos cargas fuente, el potencial eléctrico se puede evaluar al sumar los potenciales debidos a las cargas individuales. ke a
VP
Analizar Use la ecuación ecuación 25.12 para hallar el potencial potencial
i
eléctrico en P debido debido a la dos cargas:
qi r i
ke
a 2
ke
a
q
a 2 a
q
2 a 2
y 2
y 2
b
0
B) Calcule el potencial eléctrico en el punto R sobre sobre el eje x .
SOLUCIÓN Use la ecuación 25.12 para encontrar el potencial eléctrico en debido a las dos cargas: R debido
ke a
VR
i
qi r i
q x
q a
x
a
b
2k eqa x2
a2
C) Calcule V y y E x en un punto sobre el eje x lejos lejos del dipolo.
SOLUCIÓN Para el punto R lejos lejos del dipolo tal que x >> >> a , ignore a 2 en el denominador de la respuesta al inciso B) y escriba en este límite: V en
2
lím
VR
xWa
a
2k eqa x
2
a
2
b
2k eqa x2
1
x W a
2
S
En notación vectorial, a menudo S
E
se escribe en los sistemas de coordenadas cartesianas de la forma §V
donde = es conocido como el operador gradiente .
a
i
ˆ
0 0 x
j
ˆ
0 0 y
k
ˆ
0
b
0 z
V
Sección 25.5
Use la ecuación 25.16 y este resultado para calcular la componente x del campo eléctrico en un punto sobre el eje x lejos del dipolo:
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Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuas
E x
dV dx
2k e qa
a a1b d dx
b
2k e qa x 2
4k e qa
d dx x 2
x 3
Finalizar Los potenciales en los incisos B) y C) son negativos, porque los puntos sobre el eje
1
2
x W a
x están
más cerca de la carga negativa que de la carga positiva. Por la misma razón, la componente x del campo eléctrico es negativa. Compare el resultado del inciso C) con la del problema 18 en el capítulo 23, donde el campo eléctrico sobre el eje x debido a un dipolo se calculó directamente. ¿Qué pasaría si? Suponga que quiere encontrar el campo eléctrico en un punto P sobre el eje y . En el inciso A), se encontró que el potencial eléctrico es cero para todos los valores de y . El campo eléctrico, ¿es cero en todos los puntos sobre el eje y ?
Respuesta No. Que no haya cambio en el potencial a lo largo del eje y dice sólo que la componente y del campo eléctrico es cero. Vea de nuevo la figura 23.13 en el ejemplo 23.5. Se demostró que el campo eléctrico de un dipolo sobre el eje y sólo tiene una componente x . No se puede encontrar la componente x en el ejemplo actual porque no se tiene una expresión para el potencial cerca del eje y como función de x .
25.5
Potencial eléctrico debido a distribuciones de carga continuas
Existen dos maneras de calcular el potencial eléctrico debido a una distribución de carga continua. Si conoce la distribución de carga, considere el potencial debido a un elemento de carga dq pequeño, y trate a este elemento como una carga puntual (figura 25.14). Por la ecuación 25.11 el potencial eléctrico dV en algún punto P , debido al elemento de carga dq , es dV
k e
dq r
(25.19)
donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto P . Para tener el potencial total en el punto P , integre la ecuación 25.19 a fin de incluir las contribuciones de todos los elementos de la distribución de carga. Ya que cada elemento está, por lo general, a una distancia diferente del punto P , y k e es constante, exprese V como V
dq
k e
r
(25.20)
Potencial eléctrico debido a una distribución de carga continua
En efecto, ha reemplazado la suma en la ecuación 25.12 por una integral. En esta expresión para V el potencial eléctrico se supone igual a cero cuando el punto P se encuentra infinitamente lejos de la distribución de carga. Si debido a otras consideraciones, como la ley de Gauss, el campo eléctrico ya es conocido, con la ecuación 25.3 es posible calcular el potencial eléctrico debido a una distribución de carga continua. Si la distribución de la carga tiene suficiente simetría, primero, mediante la ley de Gauss, evalúe E y después sustituya el valor obtenido en la ecuación 25.3, para determinar la diferencia de potencial V entre dos puntos cualesquiera. A continuación se elige el valor del potencial eléctrico V de cero en algún punto conveniente.
dq
S
ESTRATEGIA PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
r
P
Cálculo de potencial eléctrico
El siguiente procedimiento se recomienda para resolver problemas que involucren la determinación de un potencial eléctrico debido a una distribución de carga. 1. Conceptualizar . Piense cuidadosamente en las cargas individuales o en la distribución de carga que plantea el problema e imagine qué tipo de potencial sería establecido. Recurra a cualquier simetría en el ordenamiento de cargas para ayudarse a visualizar el potencial.
Figura 25.14 Es posible calcular el potencial eléctrico en el punto P debido a una distribución de carga continua, al dividir la distribución de carga en los elementos de carga dq y sumar las contribuciones del potencial eléctrico de todos ellos.
