Problemas de Física Teórica I Mario E. Pacheco Quintanilla CINEMÁTICA
1. Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica definida por la ecuación y cx 2 con una rapidez constante vo. Encuentre expresiones para la velocidad v y
aceleración a de la partícula cuando se encuentra en la posición (x,y). 2. Una partícula se mueve en una espiral r Aek con rapidez constante vo. Determine v y a en función de r y . Demuestre que en todo instante la aceleración es perpendicular a la velocidad. Encuentre y como función del tiempo. 3. Calcule las expresiones para la aceleración de una partícula en coordenadas cilíndricas y esféricas. 4. Un cañón está localizado en la base de una colina de pendiente constante . Demostrar que el alcance del cañón medido hacia arriba de la pendiente de la colina es 2v0 cos sen 2
g cos2
,
donde α es el ángulo de elevación del cañón, también demuestre que el alcance máximo a lo largo de la colina es 2
v0
g 1 sen
.
DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA
5. Sobre una mesa horizontal lisa descansa un cuerpo de masa M 2 kg, sobre el cual se encuentra otro cuerpo de masa m1 kg. Ambos cuerpos están unidos entre sí por medio de un hilo que pasa por una polea de peso despreciable. ¿Qué fuerza F hay que aplicar al cuerpo inferior para que empiece a moverse alejándose de la polea con la aceleración constante ag/2? El coeficiente de rozamiento entre los cuerpos es μ0.5. El rozamiento entre el cuerpo inferior y la mesa es despreciable.
1
6. Resuelva el movimiento de una partícula sujeta a la fuerza gravitacional en una dimensión (tiro vertical a gran altura) por medio del método de la energía. 7. Calcule las aceleraciones de las partículas respecto a la polea móvil en una máquina de Atwood compuesta. 8. Una canoa con una velocidad inicial vo es frenada por una fuerza de fricción F bev . a) Hállese su movimiento. b) Calcúlese el tiempo y la distancia que necesita para detenerse. Los problemas 9-11 se refieren a la siguiente figura:
9. Un bloque de masa m se coloca sobre un plano inclinado cuya masa es M , como se muestra en la figura. El plano inclinado descansa sobre una superficie horizontal y el sistema está inicialmente quieto. Todas las superficies pueden deslizar sin rozamiento, de modo que tanto el bloque como el plano inclinado pueden moverse. Muestre que las componentes x de las aceleraciones del bloque y el plano inclinado son respectivamente: a1x
a2x
Mg tan
,
M M m tan2 mg tan M M m tan2
y la componente y de la aceleración del bloque es,
M m g tan2 a1y 2 M M m tan
2
,
10. Una partícula de masa m se desliza hacia abajo de una cuña triangular de lado L y que forma un ángulo α con la horizontal. La cuña tiene masa M y es libre de deslizarse horizontalmente. ¿Calcule el tiempo que le toma a la partícula llegar al suelo? 11. Un bloque de masa m reposa sobre una cuña de masa M la cual, a su vez, descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la figura. Todas las superficies carecen de fricción. Si el sistema parte del reposo estando el bloque a una altura h sobre la mesa, demuestre que la velocidad de la cuña en el instante en que el bloque toca la mesa es 2m2 gh cos 2
M m M m sen 2 12. Calcule la velocidad con que impacta a la Tierra un meteorito. Cuánto tiempo tarda en llegar considerando que se encuentra en reposo a una distancia d de la Tierra. 13. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial vo. Suponer que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad, demostrar que la velocidad que tiene el proyectil cuando golpea la tierra en su retorno es vovt
v
2 o
v
2 t
1
2
donde vtvelocidad terminal(mg/c)1/2 14. Desde un punto O y sobre dos planos inclinados de pendientes diferentes, se dejan caer a la vez dos bolitas. Considere su paso por los puntos A y B situados sobre la misma horizontal. Desprecie el rozamiento y compare en A y B: (a) las aceleraciones de las dos bolitas, (b) sus velocidades y (c) sus tiempos de caída desde O. Justifique sus respuestas.
15. Un cuerpo de masa m está suspendido mediante un resorte vertical de constante elástica k , el cuerpo al mismo tiempo se encuentra sobre una tabla justo en la posición en donde el resorte no está estirado. La tabla empieza a bajar desde el reposo con aceleración a. ¿Cuál será el alargamiento del resorte en el instante en que la tabla se despegue del cuerpo? ¿Cuál será la longitud del alargamiento máximo del resorte?
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16. La masa de un globo junto con el cable que se arrastra por la tierra es igual a M , el empuje es E y el coeficiente de fricción entre la cuerda y la tierra es . La fuerza de resistencia del aire
que actúa sobre el globo es proporcional a la velocidad v del globo con respecto al aire: f r av. Hállese la velocidad del globo con relación a la tierra, si sopla un viento horizontal a la
velocidad u.
MOVIMIENTO OSCILATORIO
17. Una partícula que realiza un movimiento armónico simple tiene una velocidad v1 cuando el desplazamiento es x1 y una velocidad v2 cuando el desplazamiento es x2. Calcular el periodo y la amplitud del movimiento en términos de las cantidades dadas. 18. La masa m mostrada en la figura está sujetada por un resorte k de longitud natural y0. (a) Escriba la ecuación diferencial de movimiento de m usando la variable y. (b) Escriba la ecuación diferencial de movimiento de m usando el desplazamiento medido a partir de la posición de equilibrio. (c) Supóngase que en t 0, y y0 mg k y y v0 . Resuelva las ecuaciones de los incisos (a) y (b).
19. Dos resortes con constantes elásticas k 1 y k 2, respectivamente, son usados en posición vertical para soportar un objeto de masa m. Demostrar que la frecuencia angular de
4
1
1
oscilación es k1 k2 m si los resortes son atados en paralelo y k1k2 k1 k2 m si 2
2
los resortes son atados en serie. 20. Un cilindro de masa M , radio r y altura h, suspendido por un resorte cuyo extremo superior está fijo, está sumergido en un líquido. En equilibrio el cilindro está sumergido la mitad de su altura. En cierto tiempo el cilindro se sumerge a 2/3 de su altura y entonces desde el reposo inicia su movimiento vertical. Encuentre la ecuación de movimiento del cilindro en relación a la posición de equilibrio, si la constante del resorte es k y la densidad del líquido es . h
k r 2 g
6
M
Respuesta: x cos t , donde
21. Un resorte de constante elástica k soporta una caja de masa M en el que está colocado un bloque de masa m. Si el sistema es colgado a una distancia d de la posición de equilibrio y entonces se suelta, encontrar la fuerza de reacción entre el bloque y el fondo de la caja como función del tiempo. ¿Para qué valor de d el bloque empezará a dejar justamente el fondo de la caja en la cúspide de las oscilaciones verticales? Despreciar cualquier resistencia del aire. 22. En el sistema mostrado en la figura, una cuerda inextensible pasa sobre dos cilindros sin peso. Escriba la ecuación diferencial de movimiento para la masa m y determine la frecuencia natural n.
Sugerencia: considere una de las poleas fija y calcule la relación del desplazamiento de la
masa m y el alargamiento del resorte correspondiente; después haga lo mismo considerando la otra polea fija. 23. La figura muestra un péndulo cuyo pivote tiene un movimiento senoidal:
5
xo
Ao sen t ,
g l
¿Cuál es el movimiento θ(t ) para oscilaciones pequeñas, dado que m está en reposo y θo0 en t 0?
24. En la figura se muestra un péndulo montado sobre un carrito al que se le da el movimiento especificado. Supóngase que el ángulo θ se conserva pequeño. Determine la ecuación diferencial de movimiento de m.
25. La figura muestra dos partículas m1 y m2 conectadas mediante una barra rígida de masa despreciable y longitud l. La barra se articula a una distancia a de la masa inferior m2. Determinar, aplicando el método de Rayleigh, la frecuencia natural n y el valor de a de manera que n sea máxima o mínima para el caso m22m1.
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26. La partícula m mostrada en la figura se mueve sin fricción a lo largo del eje x restringida por dos resortes de fuerza constante. La fuerza en cada resorte es T (tensión). Suponiendo que el movimiento es pequeño, de modo que x h 1 , calcular la ecuación diferencial de movimiento para m.
27. La partícula de la figura se mueve sin fricción sobre el eje x, restringida por dos resortes lineales de módulo k y longitud natural a. Suponiendo movimientos pequeños x h 1 , calcular la ecuación diferencial de movimiento de m.
28. Considere un péndulo simple de masa m y longitud l y analice su movimiento en el caso de que éste tenga lugar en un medio viscoso que produzca una fuerza resistente de 2m gl . Considere las condiciones iniciales:
0 0 , 0 0
Respuesta: t 0 1 nt e t n
29. La figura muestra una masa rígida intercalada entre dos almohadillas de hule blando. La almohadilla izquierda está pegada a una pared y a m. La almohadilla derecha está pegada a m y a una lámina rígida de metal que tiene un movimiento especificado por: x0 A0 sen t
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Las almohadillas son idénticas y están idealizadas como resortes de módulo k y un amortiguador en paralelo. Determinar el movimiento forzado de m. El sistema puede modelarse como lo muestra la figura (a´).
30. Un líquido dentro de un tubo U está en oscilación libre. Calcular la frecuencia natural del líquido utilizando el método de Rayleigh y despreciando los efectos de fricción.
31. Determine la frecuencia natural n para el sistema mostrado en la figura, usando el método de Rayleigh.
32. Determine la frecuencia natural n para el sistema mostrado en la figura, usando el método de Rayleigh.
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33. La figura muestra una partícula sobre un plano horizontal liso suspendida de una cuerda que tiene una tensión inicial T0. Supongamos que para pequeños movimientos de m, la tensión se conserva esencialmente igual a T0. Encontrar la frecuencia natural del sistema usando la segunda ley de Newton.
DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
34. Un hombre de masa m asciende por una escalera de cuerdas suspendida por debajo de un globo de masa M. El globo se encuentra estacionario respecto al piso. (a) Si el hombre empieza a ascender por la escalera con una rapidez v (respecto de la escalera), ¿en qué dirección y con qué rapidez (respecto del piso) se moverá el globo? (b) ¿Cuál es el estado del movimiento después de que el hombre deja de ascender? 35. Una persona de 80 kg está parada en la parte posterior de un trineo de vela que se mueve sobre el hielo; el trineo tiene una masa de 400 kg y avanza a 4 m/s por el hielo, que puede considerarse sin fricción. La persona decide caminar hacia el frente del trineo, de 18 m de longitud y lo hace a una velocidad de 2 m/s respecto al trineo. ¿Qué distancia recorrió el trineo sobre el hielo mientras la persona estuvo caminando? 36. Las dos esferas de la derecha en la figura están ligeramente separadas e inicialmente en reposo; la esfera de la izquierda choca contra la otra a una velocidad vo. Considere que todas las colisiones son frontales y elásticas, a) si M≤m, demuestre que existen dos colisiones y calcule todas las velocidades finales; si M≥m, demuestre que existen tres colisiones y
calcule todas las velocidades finales.
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37. El diagrama muestra un modelo simplificado del péndulo balístico. Se dispara una bala hacia un bloque de madera y después se determina experimentalmente la amplitud máxima del péndulo. A partir del conocimiento del ángulo θo, determinar la velocidad inicial de la bala.
38. Las masas m1 y m2 que se muestran en la figura se mueven en un campo gravitacional constante. Determine el trabajo realizado por las fuerzas (externas e internas) sobre el sistema al pasar de la configuración A a la configuración B. También calcule el cambio de energía cinética entre A y B.
39. Considere dos masas iguales unidas por medio de un resorte de constante elástica k. El sistema se encuentra inicialmente sujeto a una pared, de tal modo que el resorte se encuentra comprimido en d con respecto a su longitud natural, describa cuantitativamente el movimiento del sistema una vez que se deja evolucionar desde el reposo. 40. Contra un sistema en reposo que se encuentra en una superficie horizontal lisa y que consta de dos cuerpos con masas m, unidos por un muelle, choca a la velocidad v cierto
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cuerpo de la misma masa. La colisión es elástica. Búsquese el alargamiento máximo del muelle. La rigidez del muelle es k .
41. En un plano horizontal liso se encuentran en reposo dos bloques de masa igual m, unidos por un muelle de longitud l. El coeficiente elástico del muelle es k . Sobre uno de los bloques choca un tercero de igual masa m y con una velocidad v. Demostrar que los bloques unidos por el muelle se moverán siempre en una misma dirección. Determinar las velocidades de los mismos en el momento cuando el muelle está extendido al máximo. 42. Sobre un soporte de masa M , colgado de un muelle de rigidez k , cae desde la altura H un cuerpo de masa m y se adhiere a él. Determínese el alargamiento máximo del muelle.
43. Una cadena uniforme de longitud a cuelga inicialmente con una parte de longitud b colgando sobre la orilla de una mesa. La parte restante de longitud (a – b) permanece enrollada en la orilla de la mesa. Si se suelta la cadena, calcular la velocidad de la cadena cuando el último eslabón deja el extremo de la mesa. 44. Una cadena uniforme extendida sobre una mesa, con algunos eslabones colgando hacia afuera, es primero mantenida quieta y, posteriormente dejada libre. Bajo el peso de su parte colgante la cadena se desliza (sin rozamiento). a) ¿Es uniformemente acelerado su movimiento? b) Su velocidad al cabo de un cierto tiempo, ¿es menor, igual o mayor que la velocidad adquirida al cabo del mismo tiempo por un cuerpo inicialmente en reposo que baja en caída libre. c) Lo mismo que (a) y (b), pero justamente cuando la cadena abandona la mesa. Responda las preguntas resolviendo analíticamente el problema.
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45. Una masa M , unida al extremo de una cadena muy larga que tiene una masa λ por unidad de longitud, se tira verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0. Demostrar que
la máxima altura alcanzada por M es de h M 3 1 3v02 2 Mg 1 y que la velocidad de M cuando retorna a tierra es de v 2 gh . 46. Una pelota es soltada de una altura h sobre un pavimento horizontal. Si el coeficiente de restitución es , demostrar que la distancia total que recorre la pelota antes cesar los rebotes es,
h 1
2
1 2
.
47. Una bola de billar de radio R y masa M se encuentra en reposo en una mesa. Otra bola con la misma masa y radio incide sobre ella con velocidad V 0 y parámetro de impacto R. Calcule las velocidades finales de las bolas y los ángulos de salida si se considera colisión elástica. MOVIMIENTO LAMINAR DE UN CUERPO RÍGIDO
48. Una esfera de radio R rueda hacia abajo por una cuña movible de masa M . El ángulo de la cuña es , y es libre de deslizarse sobre una superficie horizontal lisa. El contacto entre la esfera y la cuña es perfectamente rugosa. Encontrar la aceleración de la cuña.
49. Una partícula se encuentra en reposo en el vértice de una cicloide con ecuaciones paramétricas, x a sen
y a1 cos 0 2, a cte .
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Si se impulsa la partícula ligeramente, calcule su velocidad al llegar a la base de la cicloide. 50. La densidad dentro de una esfera de radio a es proporcional a la profundidad debajo de su superficie. Determinar el centro de masa de un hemisferio. 51. Considere el descenso de un yo-yo cuyo radio exterior R es 10 veces el radio de su eje r . El momento de inercia del yo-yo respecto a su eje es aproximadamente donde m es la masa del yo-yo. El extremo superior de la cuerda del yo-yo se mantiene fijo. a) Calcule la aceleración del centro de masa del yo-yo y compárela con g. b) Calcule la tensión en la cuerda a medida que el yo-yo desciende y compárela con mg. 52. Un disco plano uniforme de masa M y radio R gira en torno a un eje horizontal que pasa por su centro con una velocidad angular 0. (a) ¿Cuál es su energía cinética? ¿Cuál es su ímpetu angular? (b) Del borde del disco se rompe en cierto momento un trozo de masa m, de modo que el trozo se eleva verticalmente sobre el punto donde se rompió. ¿A qué altura de ese punto llegará antes de que comience a caer? ¿Cuál es la velocidad angular final del disco roto?
53. Una estudiante arroja una regla de longitud L hacia arriba en el aire. En el momento en que la regla abandona su mano la velocidad del extremo más cercano de la regla es cero. Ésta completa N vueltas hasta que es atrapada por la estudiante en el punto de liberación inicial. Demuestre que la altura h a la que se elevó el centro de masa es hNL/4. 54. Una bola de billar es golpeada por un taco de tal manera que la línea de acción del impulso aplicado es horizontal y pasa por el centro de la bola. La velocidad inicial v o de la bola, el radio R, la masa M y el coeficiente de fricción k entre la bola y la mesa son conocidos. Considere que la velocidad angular 0 en el momento del impulso es cero. Calcule la aceleración del centro de masa de la bola mientras ésta estuvo patinando, demuestre que el momento angular total se conserva respecto a un punto sobre la superficie, calcule la velocidad del centro de masa de la
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bola cuando ésta deja de patinar, y finalmente calcule la distancia que recorre la bola antes de dejar de patinar.
55. Una bola de billar de radio R inicialmente en reposo, se golpea repentinamente con un taco que es sostenido horizontalmente a una distancia h sobre la línea central, como se muestra en la figura. La bola deja el taco a una velocidad v0 y adquiere una velocidad de 9v0 /7 cuando ésta deja de resbalar. Demuestre que h=4R/5. 56. Una varilla de longitud L se mantiene vertical y pivoteada sobre el piso y luego se deja caer. Calcule la velocidad del otro extremo cuando pegue contra el suelo. 57. Una canica sólida pequeña de masa m y radio r rueda sin deslizamiento a lo largo de la pista en rizo que se muestra en la figura, habiendo sido soltada desde el reposo en algún punto de la sección recta de la pista. (a) ¿Desde qué altura mínima desde el fondo de la pista deberá soltarse la canica con el fin de que no se desprenda de la pista en la parte superior del rizo? (El radio del rizo es R, suponga que Rr). (b) Si la canica se suelta desde una altura de 6R medida desde el fondo de la pista, ¿cuál es la componente horizontal de la fuerza que actúa sobre ella en el punto Q?
58. Un cilindro uniforme de masa m y radio r se encuentra en equilibrio en la parte superior de otro cilindro fijo de radio R, los ejes de los cilindros son paralelos. Si el cilindro de radio r empieza a rodar sin deslizar partiendo del reposo, calcule la altura a la que se desprende del cilindro fijo.
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59. Sobre una mesa horizontal lisa descansa un cuerpo de masa M , sobre el cual se encuentra otro cuerpo de masa m. Ambos cuerpos están unidos entre sí por medio de un hilo que pasa por una polea de peso despreciable. ¿Qué fuerza F hay que aplicar al cuerpo inferior para que empiece a moverse alejándose de la polea con la aceleración constante ag /2? El coeficiente de rozamiento entre los cuerpos es k 0.5. El rozamiento entre el cuerpo inferior y la mesa es despreciable. 60. Un cilindro de radio R gira con velocidad angular alrededor de su eje, que se encuentra paralelo a la horizontal. El cilindro se deja caer suavemente sobre una superficie horizontal rugosa. Calcule la velocidad de traslación del centro de masa y el tiempo que tarda en dejar de resbalar. También calcule la pérdida de energía del cilindro. 61. Un líquido dentro de un tubo U está oscilando libremente (sin fricción). Calcule la frecuencia natural de oscilación del líquido empleando el método de Rayleigh. PROBLEMA DE DOS CUERPOS
62. Dos estrellas se mueven una respecto a otra en órbitas circulares bajo la influencia de fuerzas gravitatorias con periodo T. En un instante dado se detienen y empiezan a atraerse mutuamente. Demostrar que chocan al cabo de un tiempo T/42. 63. Demostrar que si una partícula describe una órbita circular bajo la influencia de una fuerza central atractiva dirigida hacia un punto sobre el círculo, entonces la fuerza varía como el inverso de la potencia quinta de la distancia.
64. Una partícula que se mueve en un campo central describe una órbita espiral r aek . Encontrar la ley de fuerzas. Encontrar también cómo varía con t . 65. Calcule la órbita de una partícula en un potencial de Kepler perturbado, V r
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k
h
r r 2
Para una energía E<0, probar que si el potencial adicional es muy pequeño en comparación del potencial de Kepler, h<<1, entonces la velocidad de precesión de la órbita elíptica es 2mh l 2T , donde l es el momento angular y T el periodo.
66. Cuando se observa por primera vez un cometa, éste se encuentra a una distancia de 1/3 de unidades astronómicas del Sol y viajando a una velocidad doble de la velocidad de la Tierra. Determine de consideraciones energéticas el tipo de órbita del cometa. 67. Una partícula de masa m es lanzada desde el infinito con una velocidad v, de tal manera que pasaría a una distancia b (parámetro de impacto) de un centro fuerzas repulsivo k / r3 (k 0), si no fuera desviada. Encontrar la deflexión angular que sufre la partícula.
68. Suponga la órbita de la Tierra circular y que la masa del Sol disminuye repentinamente a la mitad. ¿Cuál será entonces la órbita de la Tierra? ¿Escapará la Tierra del sistema solar? 69. Una partícula de masa m describe una curva r a 1 2 cos2 bajo la acción de una fuerza hacia el origen. Si la velocidad de la partícula en el ápside más lejano es v, hallar la ley de la fuerza. Al pasar por A, uno de los ápsides cercanos, la partícula recibe un impulso mkv a lo largo de la normal externa. Probar que si k 2 3 , la partícula continúa describiendo una curva cerrada alrededor del origen, pero que si k 2 3 , la nueva órbita tiene una asíntota que hace un ángulo con OA, dado por cos 2 2cos 0 , donde tan k 2 . Resuelva el problema usando el teorema de Newton de las órbitas giratorias.
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70. La velocidad máxima y mínima de un satélite son vmáx y vmín respectivamente. Demostrar que la excentricidad de la órbita en la que se mueve el satélite es
vmáx vmín vmáx vmín
.
Probar que si el satélite tiene un periodo igual a T , entonces éste se mueve en una trayectoria elíptica con eje mayor igual a, a
T 2
vmáxvmín
71. Una partícula de masa m se mueve en una trayectoria circular de radio R bajo la acción de una fuerza atractiva
2
k r
dirigida hacia el centro del círculo. Repentinamente se le
imprime una velocidad radial hacia afuera k 5mR de tal manera que la velocidad transversal permanece inalterada. a) Aplique la segunda ley de Newton mientras la partícula se mueve en la órbita circular y calcule el momento angular . b) Calcule la energía mecánica después de que se le aplicó la velocidad radial hacia afuera y compruebe que la nueva órbita es una elipse. ¿Cuánto vale el momento angular? Explique. c) Calcule las distancias apsidales y de aquí obtenga la longitud del semieje mayor de la órbita en función de R. Obtenga el periodo de la órbita elíptica. 72. Un cometa se mueve hacia el Sol con una velocidad vo cuando se encuentra muy lejos. El parámetro de impacto respecto al Sol es p. Calcule la distancia mínima de acercamiento del cometa. 73. Encuentre la ley de fuerzas para un campo de fuerzas central que permite a una partícula moverse en una órbita espiral dada por r k 2 , donde k es una constante. 74. Las velocidades mínima y máxima de una luna de Urano son vmín v v0 y vmáx v v0 . Encontrar la excentricidad en términos de v y v0. 75. Un satélite terrestre se mueve en una órbita elíptica con un periodo T , excentricidad e y
semieje mayor a. Demostrar que la velocidad radial máxima es 2ae T 1 e2 .
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76. Investigue cualitativamente el movimiento de una partícula repelida por un centro de fuerzas de acuerdo a la ley F r kr . ¿De qué tipo de órbita se trata? 77. Una partícula se mueve en un campo de fuerza central con una órbita en forma de cicloide r a 1 cos . Encontrar la ley de fuerzas.
78. El Mariner 4 fue diseñado para viajar de la Tierra a Marte en una órbita elíptica con su perihelio en la Tierra y su afelio en la órbita de Marte. Suponga que las órbitas de la Tierra y Marte son circulares con radios R1 y R2 respectivamente. Despreciar los efectos gravitacionales de los planetas. Calcule la velocidad del Mariner 4 respecto al Sol con que debe salir para dejar la Tierra y en qué dirección. ¿Cuánto tiempo le tomará alcanzar Marte si consideramos que R11 ua y R21.5 ua? 79. Una partícula se mueve en una órbita elíptica en un potencial de Kepler. Si la razón de la velocidad angular máxima a la velocidad angular mínima de la partícula en su órbita es n, demostrar que la excentricidad de la partícula es e
n 1 n 1
.
80. Demostrar que la masa de un planeta se puede determinar si se pueden medir el periodo de revolución y el semieje mayor de uno de sus satélites. Ganymedes, uno de los satélites del planeta Júpiter tiene un periodo de 7.155 días y se mueve en una órbita casi circular de radio 1.071109 m. Calcule una estimación para la masa Júpiter. 81. El perihelio y afelio de Plutón ocurren a las distancias de 4.4251012 m y 7.3751012 m del Sol respectivamente. Calcule la excentricidad y el periodo de la órbita de Plutón. 82. Al final del proceso de lanzamiento de un satélite, éste se encuentra sobre el ecuador terrestre a una altura h y viajando a una velocidad v paralela a la superficie de la Tierra. Demustre que la excentricidad de la órbita está dada por 1 e
h R v2 Gm
donde m y R son la masa y el radio de la Tierra respectivamente. Encontrar una expresión para la altura máxima del satélite. 83. Una partícula de masa m se desplaza desde el infinito a lo largo de una recta que, de seguir, haría que la partícula pasase a una distancia b 2 de un punto P. Si la partícula es
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atraída hacia P con una fuerza proporcional a k r 5 , y si el momento angular respecto de P es
k b
, demostrar que la trayectoria viene dada por r b ctgh
Resultados útiles:
dx
a x
1
2
ax b
coth 1
b2 ab Si 0 entonces coth 84. Considere una partícula en un campo de fuerzas repulsivo inversamente proporcional al 2
2
cuadrado de la distancia F k r 2 . a)
Calcule la ecuación de la órbita y de aquí la distancia de acercamiento mínima r m.
b)
Demuestre que la relación entre r m y el ángulo de dispersión Θ es: 1 rm
mk l
2
1 sen 2 1
DINÁMICA LAGRANGIANA
85. Probar que las ecuaciones de Lagrange en la forma
T T = Q j , dt q j q j d
también se pueden escribir como,
T T 2 = Q j q j q j Estas ecuaciones son conocidas como la forma de Nielsen de las ecuaciones de Lagrange.
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86. Si L es una función lagrangiana para un sistema de n grados de libertad que satisface ecuaciones de Lagrange, demostrar por sustitución directa que L = L +
d dt
F q1 ,q 2 ,...q n ,t ,
satisface las ecuaciones de Lagrange donde F es una función diferenciable arbitraria. 87. Un disco de radio R y masa despreciable tiene una partícula de masa m incrustada a una distancia s de su centro O. Suponga que el disco rueda sin resbalar sobre un plano horizontal; escriba la ecuación diferencial de movimiento para el sistema. Encuentre la expresión para una integral de movimiento. 88. El soporte puntual de un péndulo simple de masa m y longitud l se mueve sobre una línea recta horizontal de acuerdo a x a sen t a, constantes. Obtenga la ecuación diferencial de movimiento por los métodos lagrangiano y newtoniano. Suponga que <<1 y calcule t . 89. Una partícula de masa m restringida a moverse sobre un círculo horizontal liso de radio R se le da una velocidad inicial V . Considerar que el aire produce una fuerza de fricción proporcional al cuadrado de la velocidad. Describir el movimiento. 90. Un cilindro uniforme de masa m y radio a rueda sin deslizar en el interior de un cilindro fijo de radio b con su eje de posición horizontal; los cilindros están en contacto a lo largo de una generatriz común. Demostrar que el cilindro inferior oscila alrededor de su posición inferior como un péndulo simple de longitud 32 b a . 91. Una partícula se desliza sobre un plano inclinado liso cuya inclinación se incrementa a razón constante . Si 0 al tiempo t 0 y la partícula parte del reposo desde una posición r0 desde el origen. Calcule la velocidad y posición en función del tiempo de la partícula por medio de las ecuaciones de Lagrange. 92. Una partícula de masa m se desliza sin fricción sobre una superficie de la forma y ax2 . Calcule la ecuación de movimiento de la partícula y la fuerza de reacción de la superficie usando la formulación newtoniana y lagrangiana. 93. Una partícula se encuentra en reposo en el vértice de una cicloide con ecuaciones paramétricas,
20
x a sen
0 2, a cte. y a1 cos
Si se impulsa la partícula ligeramente, calcule su velocidad al llegar a la base de la cicloide, utilizando las ecuaciones de Lagrange. 94. Una partícula de masa m se desliza sin fricción sobre una cuña de ángulo y masa M tal que puede moverse sin fricción sobre una superficie horizontal lisa. Calcule las ecuaciones de movimiento de la partícula y la cuña; y las fuerzas de restricción por medio de los multiplicadores de Lagrange. 95. En la figura, AB representa un plano horizontal liso con un pequeño orificio en O. Una cuerda de longitud l pasa a través de O y tiene en uno de sus extremos una partícula P de masa m y una partícula Q de igual masa m que cuelga libremente. A la partícula P se le da una velocidad de magnitud vo a un ángulo recto a la cuerda OP cuando la longitud OP a. Considere que r es la distancia instantánea OP cuando θ es el ángulo entre OP y alguna línea fija que pasa por O. a) Establezca la lagrangiana generalizada del sistema, considerando que deseamos calcular la tensión en la cuerda. b) Calcule la ecuación diferencial de movimiento para P en términos de r . c) Determine las constantes de movimiento del sistema. d) Encuentre la velocidad de P en cualquier posición y de aquí una ecuación que permita conocer los puntos de retorno de la órbita. e) Calcule la tensión de la cuerda por medio de los multiplicadores de Lagrange.
94. En la figura, AB representa un plano horizontal liso con un orificio pequeño en O. Una cuerda de longitud 2l pasa a través de O y tiene en uno de sus extremos una partícula P de masa m y una partícula Q de igual masa m que cuelga libremente. A la partícula P se le da una velocidad de magnitud 8gl 3 a un ángulo recto a la cuerda OP cuando la longitud OPl. Considere que r es la distancia instantánea OP cuando θ es el ángulo entre OP y
alguna línea fija que pasa por O. Demostrar que el movimiento que se produce llevará a Q
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justamente al orificio. También calcule la tensión de la cuerda. Resuelva el problema por medio de las ecuaciones de Lagrange.
95. Una partícula de masa m se desliza sobre una superficie esférica lisa de radio R partiendo del reposo desde el punto más elevado ¿A qué ángulo c se desprende la partícula de la superficie? Resuelva este problema por medio de los formalismos newtoniano y lagrangiano. 96. Una partícula de masa m se desliza sin fricción dentro de un tubo doblado en forma de círculo de radio a. El tubo gira alrededor de un diámetro vertical con velocidad angular constante . a) ¿Cuántos grados de libertad tiene el sistema? b) Escriba las ecuaciones de restricción. c) Escriba la ecuación diferencial de movimiento. d) Si la partícula se perturba ligeramente de su posición de equilibrio inestable en 0 , encuentre la posición de máxima energía cinética. e) ¿Se conserva la energía? ¿Por qué? f) Calcule la fuerza de restricción radial. 97. La partícula M mostrada en la figura se mueve sobre una mesa horizontal lisa. La cuerda unida a ella, está conectada a un resorte lineal de módulo k . La fuerza en el resorte es cero cuando r 0. Inicialmente r R,
dr dt
0y
d
0.
dt
a).- Escribir una ecuación diferencial a partir de la cual pueda determinarse r (t ) . b).- Determinar
dr dt
como función de r .
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M r
k
98. Un aro rueda sin resbalar hacia abajo sobre un plano inclinado de longitud L. Calcular la fuerza normal del plano inclinado sobre el aro.
99. El soporte O’ de un péndulo simple de longitud y masa m se mueve con velocidad constante en un círculo de radio a y centro O. Encontrar la ecuación diferencial para ϕ suponiendo que todo el movimiento está confinado a un plano vertical y θt .
100. Una partícula de masa m se mueve (como una cuenta) sin fricción en un aro de radio r y masa M . El aro se encuentra en el plano xy y rueda sin deslizarse y sin perder contacto con el eje x. En t 0 el aro está en reposo y la partícula está en la parte superior del aro y tiene una velocidad v0 a lo largo del eje x. Calcule la velocidad vf , con especto al eje fijo, cuando la partícula llegue a la parte inferior del aro. 101. Una partícula se mueve sobre un alambre horizontal de radio a, actúa sobre ella una fuerza resistente que es proporcional a la rapidez instantánea. Si la partícula tiene una rapidez inicial vo, encontrar la posición de la partícula en función del tiempo.
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PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
102. Una escalera homogénea de peso W y longitud L se mantiene en equilibrio por medio de una fuerza horizontal P como se muestra en la figura. Exprese P en términos de W usando el principio del trabajo virtual. 103. Una cuerda de peso W se coloca sobre una esfera de radio r como se muestra en la figura. Encontrar la tensión T en la cuerda cuando ésta se encuentra en un plano horizontal a una distancia vertical b abajo de la cúspide. Use el método del trabajo virtual. 104. Dos partículas con masas m y 2m están conectadas por una varilla sin masa en forma de una mancuerna. Ésta se puede deslizar sin fricción en un recipiente esférico de radio r . Considere un desplazamiento y use el principio del trabajo virtual para obtener el valor de en la posición de equilibrio estático. 105. Una escalera uniforme de longitud L y masa M está en equilibrio a un ángulo con el piso. Si la pared y el piso están lisos, la escalera debe ser sostenida en el lugar mediante una soga que asegure la parte inferior de la escalera a un punto en la pared a una altura h arriba del piso. Encontrar la tensión en la cuerda. DINÁMICA HAMILTONIANA
106. Un alambre circular y uniforme de radio a y masa 2m puede girar libremente alrededor de un diámetro vertical fijo. En el alambre se inserta una cuenta lisa de masa m. Demostrar que la Hamiltoniana para el sistema es
H 2ma 2 1
p 2
1 sen 2 p2
mga cos
donde es el ángulo descrito por el alambre al girar y es el ángulo formado por el radio a la cuenta con la vertical hacia abajo. Obtenga las ecuaciones de Hamilton y deduzca las siguientes ecuaciones:
1 sen2 constante
2 sen cos
g a
sen .
Demostrar que puede tenerse movimiento estable con , y a2 g sec .
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107. Aplicar las ecuaciones de Hamilton para el movimiento plano de una partícula de masa unitaria en un campo de fuerzas de potencial k cos r 2 ; y probar que si al tiempo 1 2
2 2 t 0, r a, r 0 , entonces t r a
2E , donde E es la energía total.
108. Dos bloques de la misma masa m están conectados por una cuerda de masa total M . Uno de los bloques se encuentra sobre una mesa sin fricción y el otro cuelga de la mesa pasando la cuerda por una polea. Calcular la aceleración del sistema. Escribir las ecuaciones canónicas de Hamilton. 109. Escribir H para el péndulo que se muestra en la figura 4-19(1), en función de la coordenada . Demostrar que H E . 2
H
p
2m r0 vt at 2
1 2
2
1 2
2
m 0v at
mgr cos
110. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión bajo la influencia de una fuerza F x,t
k x
e 2
t /
donde k y son constantes positivas. Calcule las funciones lagrangiana y hamiltoniana. Compare la hamiltoniana y la energía total; discuta la conservación de la energía del sistema. 111. Considere un péndulo simple de masa m y longitud ℓ. El péndulo se pone en movimiento y la longitud de la cuerda se acorta a una razón constante d dt
const .
El punto de suspensión permanece fijo. Calcule las funciones lagrangiana y hamiltoniana. Compare la hamiltoniana y la energía total y discuta la conservación de la energía del sistema. 112. Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de la gravedad a lo largo de una hélice z k, r const. , donde k es una constante y z es vertical. Obtenga las ecuaciones hamiltonianas de movimiento. 113. Una partícula se desliza bajo la acción de la gravedad dentro de un paraboloide de revolución cuyo eje es vertical. Usando la coordenada al eje r y el ángulo azimutal como
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coordenadas generalizadas, calcule la lagrangiana del sistema, los momentos generalizados y la correspondiente función hamiltoniana. La ecuación de movimiento para la coordenada r como función del tiempo.
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