Problemario – Distribución Distribución Normal.
1. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente adecuadamente clasificados por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm y una desviación estándar igual a 0.001 cm. Para que el pistón sirva, su diámetro debe encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. Si el diámetro del pistón es menor que 4.998 se desecha; si es mayor que 5.002 el pistón puede reprocesarse. ¿Qué porcentaje de pistones servirá? ¿Qué porcentaje será desechado? ¿Qué porcentaje será reprocesado?
Solución.
Iniciamos la resolución del problema partiendo de los datos del problema
= 5cm y
=
0.001cm. En el inciso a, se nos pide el porcentaje de pistones que servirá, es decir:
; para el caso del inciso b que implica el porcentaje que será desechado: ; finalmente el porcentaje de que sea reprocesado se plantea como: . Primero se determina la variable estandarizada Z con la expresión: y con ayuda de la tabla de áreas de la curva normal estándar, se definen los resultados siguientes comenzando comenzando por las probabilidades de los incisos b y c ya que serán requeridos en el inciso a:
b)
será desechado.
será reprocesado. c)
servirá. a)
En el inciso a, para determinar el porcentaje de pistones que servirá, se toma la probabilidad total 1 y se restan las probabilidades de que se desechen y de que se reprocesen. La Figura 1 muestra una gráfica de cómo quedarían las distribuciones y sus áreas respectivas a partir de los valores de Z.
Figura 1. Gráfica de Distribución Normal del problema 1.
Solución en Excel.
Para resolver el problema y de alguna forma cotejar los resultados con los obtenidos de forma analítica, se empleó la fórmula de Excel
DISTR.NORM.N
la cual requiere 4
parámetros que son: X, Media, Desviación Estándar, Valor Lógico. Por ejemplo, para determinar al inciso b se utilizó: DISTR.NORM.N(4.998,5,0.001,VERDADERO). El parámetro VERDADERO indica que será una distribución acumulada. De forma similar para el inciso a y c.
Cabe mencionar, que también existe otra fórmula cuya diferencia en relación a la anterior es que se enfoca directamente al valor de Z, la fórmula es:
DISTR.NORM.ESTAND.N
la
cual requiere 2 parámetros que son: Z, Valor Lógico. Por ejemplo, para determinar el inciso b se utilizó DISTR.NORM.ESTAND.N(-2,VERDADERO).
De esta forma se comprobaron ambos procedimientos teniendo los mismos resultados como se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Solución en Excel del problema 1.
2. La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media de 200 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto B también tiene una distribución normal con media de 500 unidades y desviación estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su almacén 280 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes, ¿cuál es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse independencia entre ambos eventos.
Solución.
Tomamos de inicio los datos del problema
, , , .
Consideramos que el comerciante cuenta con 280 y 650 unidades de producto A y B, respectivamente. Entonces el planteamiento sería el de:
y .
Resolviendo para valores estandarizados de Z, tenemos:
( ) ( ) Nota: en el cálculo de , se calculó en base al promedio de valores entre 1.87 y 1.88 de la tabla de distribución normal estándar.
Hasta aquí se han determinado cada una de las probabilidades de que se vendan los productos de separada, pero como el problema pide determinar la probabilidad de que se vendan TODAS las unidades y supone interdependencia entre ambos eventos, planteamos la intersección de los dos eventos y por lo tanto el producto de ambas probabilidades:
Si consideramos que las ventas en promedio de cada producto están por debajo de las que se pretenden vender y además de ambos productos, con conjunto con las
desviaciones estándar respectivas, pues es razonable tener un resultado muy poco probable.
Solución en Excel.
Para resolver el problema 2 en Excel, se procedió de forma similar al ejercicio 1. Se emplearon las fórmulas
DISTR.NORM.N
así como la fórmula
DISTR.NORM.ESTAND.N
obteniéndose por ambas fórmulas mismos resultados y que cotejan los resultados obtenidos de forma analítica como se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Solución en Excel del problema 2.
3. El peso de cereal que contiene una caja se aproxima a una distribución normal con una media de 600 gramos. El proceso de llenado de las cajas está diseñando para que de entre 100 cajas, el peso de una se encuentre fuera del intervalo 590-610 gramos. ¿Cuál es el valor máximo de la desviación estándar para alcanzar este requerimiento?
Solución.
Primero se consideran los datos de
g y como el objetivo es determinar la
desviación estándar máxima para que solamente una caja se encuentre fuera del intervalo 590 – 610 gramos de 100 cajas, es decir, el 99%; entonces tenemos que:
.
Estandarizando los valores de X1 = 590 y X2 = 610
obtenemos:
Por lo que la probabilidad en términos de Z es:
) ( Considerando que la distribución normal estándar es simétrica respecto al 0 y considerando el intervalo de Z desde 0 hasta
, entonces:
) ( )( ) ( A partir del último planteamiento, se considera el cálculo de la probabilidad de Z de la siguiente manera:
( ) ( ) ( )( ) Tomando de referencia los valores en la tabla de distribución normal estándar, se determina que
es necesario para que la distribución sea mayor de 0.995 y por lo
tanto:
Finalmente despejando :
Esto quiere decir que la desviación máxima debería ser de 3.876 para asegurar el 99% de las cajas dentro del intervalo de 590 – 610.
Solución en Excel.
Para resolver el problema en Excel, se tomó una fórmula que simplificó en gran medida, la fórmula
INV.NORM.ESTAND
calcula de distribución normal estándar inversa, es decir,
se calculó el valor de Z a partir de una distribución de 0.005 y 0.995 que serían los valores a partir del 1% faltante y que se distribuye en 2 partes iguales. De tal forma que: INV.NORM.ESTAND(0.005) = -2.576, de forma similar INV.NORM.ESTAND(0.995) = 2.576. Es lógico que ambas distribuciones estén espejeadas ya que las distribuciones se encuentran en los extremos y cubren un área de igual proporción.
Finalmente y como se muestra en la Figura 4, se hizo el despeje de y con los datos de Z y de , se obtienen los valores iguales de = 3.882, un valor bastante similar al obtenido de manera analítica.
Figura 4. Solución en Excel del problema 3.
