Problem a Rio 160108

Gabriel Amezcua Pacheco María Dolores Luquín García Omar Guillermo Rojas Altamirano Manuel Soto Pérez

PROBLEMARIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES CON APLICACIÓN A LAS CIENCIAS ECONÓMICAS-ADMINISTRATIVAS

GABRIEL AMEZCUA PACHECO MARÍA DOLORES LUQUÍN GARCÍA OMAR GUILLERMO ROJAS ALTAMIRANO MANUEL SOTO PÉREZ

UNIVERSIDAD PANAMERICANA - CAMPUS GUADALAJARA ESCUELA DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

Obra editada en colaboración con la Universidad Panamericana Campus Guadalajara. © 2015, Centros Culturales de México, A.C. Calzada Circunvalación Poniente No. 49 Ciudad Granja CP 45010 Zapopan, Jalisco, México www.up.edu.mx Primera edición impresa en México en esta presentación: diciembre de 2015 ISBN: 978-607-7905-25-7 Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción total o parcial de esta obra, ni su incorporación a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio (electrónico, mecánico, fotocopia, grabación u otros) sin autorización previa y por escrito de los titulares del copyright. La infracción de dichos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual. Impreso en México.

CONTENIDO

Programación Lineal...................................................................................7 Sensibilidad................................................................................................32 Programación Entera................................................................................56 Transporte..................................................................................................74 Asignación..................................................................................................94 Árbol de Expansión Mínima................................................................ 104 Ruta más Corta....................................................................................... 111 Flujo Máximo.......................................................................................... 117 PERT/CPM.............................................................................................. 125 Casos........................................................................................................ 142 Bibliografía.............................................................................................. 147 Referencias.............................................................................................. 149

PROGRAMACIÓN LINEAL PROGRAMACIÓN LINEAL (PL1):01 La empresa Notas Sonoras S.A. de C.V. tiene dos productos en el mercado de la música, reproductores de discos compactos y receptores estereofónicos de alta calidad. Si la empresa invierte 2 horas en electricistas y 3 horas en técnicos de audio por cada CD. Por otra parte invierte 4 horas en electricistas y 1 hora en técnicos de audio en un receptor. El beneficio en dólares por un reproductor de CD es de $50, y para los receptores de alta calidad logra una ganancia de $120 dólares por unidad. a) ¿Cuántos reproductores y receptores puede producir la empresa semanalmente para maximizar la utilidad, si cuenta con 80 horas/semana del área de electricistas y 60 horas/semana en el área de técnicos de audio?

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL2):02 TechPant produce pantallas, tiene una línea de ensamblaje con una capacidad de 40 pantallas del modelo Alfa y 50 del modelo Gamma, diariamente. La línea de ensamblaje cuenta con dos sectores, el de cableado y el de chasises. Para ensamblar una pantalla del modelo Alfa se requieren 3 horas de cableado y 1 hora en la de chasis. Por otra parte, para el modelo Gamma se requiere 1 hora para el chasis y 1.8 horas en el departamento de cableado. La empresa cuenta con 180 horas diarias en el departamento de cableado y 90 horas en la de chasis. Si la utilidad estimada por cada pantalla del modelo Alfa y Gamma, es de $10 y $20 respetivamente: a) Determina el nivel de producción de cada uno de los modelos de pantallas bajo estas condiciones.

PROBLEMARIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL3):03 Buenos Aires S.A., elabora tres tipos de aire acondicionado caseros: el modelo económico (modelo E), el modelo standard (modelo S), y el modelo de lujo (modelo L). Los dividendos por artículo, son: 63, 95 y 135 dólares respectivamente. Los requerimientos mínimos para producir cada uno de estos modelos están dados por la tabla inferior. Para el próximo pedido, la empresa cuenta con 200 ventiladores, 320 bobinas de enfriamiento, y 2400 horas para la fabricación.

Modelo E Modelo S Modelo L

No. de Ventiladores 1 1 1

No. Bobinas 1 2 4

Tiempo de manufactura (hrs.) 8 12 14

a) Utilizando la programación lineal, determina el volumen máximo que puede producir de cada uno de los modelos, para poder maximizar su ganancia.

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL4):04 Una empresa transportista cuenta con 2 tipos de camiones: el R10 y el R20. Con capacidades de 10 en la sección de refrigeración y 30 sin refrigeración para el camión R10 y para el camión R20 tiene una capacidad de 20 con enfriamiento y 20 sin enfriamiento. El costo por transportar mercancía en el camión R10 es de $60 por km y del R20 es de $80 por km. Una abarrotera necesita transportar 3000 de mercancía que necesita refrigeración y 4000 de mercancía que no necesita refrigeración. a) ¿Cuántos camiones R10 y R20 debe rentar para transportar su mercancía con el costo mínimo? Resuélvalo mediante programación lineal y por el método gráfico o simplex.

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Programación Lineal

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL5):05 El comité de una SIEFORE (Sociedad de Inversiones Especializada en Fondos para el Retiro), planea invertir hasta $120’000,000 de pesos en dos clases de bonos: Bancarios (B) y De empresas comerciales (C). Los bonos bancarios son más seguros que los de empresas comerciales, y pagan rendimientos del 7% anual, en tanto que los rendimientos de los bonos de empresas comerciales son del 11% anual. El reglamento de la SIEFORE establece que no deben invertirse más de $80’000,000 de pesos en bonos cuya calificación de riesgo sea como la de los bonos comerciales, y que al menos deben invertirse $30’000,000 de pesos en bonos con riesgo como los de los bonos bancarios. a) ¿Cuánto debe invertirse en cada tipo de bono para maximizar el rendimiento?

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL6):06 Miquea S.A. la cadena de tiendas con mayor prestigio en muebles y productos para el hogar desea lanzar una propaganda en los dos medios de comunicación, en el periódico Nacional dominical y la otra en una televisión local. El eslogan de la propaganda es “hágalo usted mismo” y pretende llegar tener al menos un 55% de los hogares de la ciudad y un 40% en los hogares en la zona conurbada de la ciudad. La televisión local tiene una tasa de exposición del 7% por spot en la ciudad y el 9% en la zona suburbana. Mientras que la tasa de exposición del periódico es del 4% y del 3% en la ciudad y la zona conurbada. El costo del anuncio en El Nacional es de $850; mientras que un spot en televisión cuesta $1,800. Miquea S.A. desea lograr los niveles de exposición establecidos al menor costo: a) Determina un modelo matemático que te ayude a solucionar esta situación. b) ¿Cómo debe de distribuir los anuncios para lograr los mínimos requeridos. 9


PROGRAMACIÓN LINEAL (PL7):07 La asociación de protectora de animales, establece que por cada 16 onzas de croquetas caninas, contiene al menos 3 oz de proteínas, 5 oz de carbohidratos y 4 oz de grasa. La siguiente tabla muestra las cantidades de nutrientes que tienen 4 alimentos y sus costos. Tabla nutricional (16 oz) Alimento

Proteínas (OZ)

Carboh. (OZ)

Grasas (OZ)

Costo

1 Can1

36

714

510

48

2 Can2

510

48

612

612

3 Can3

24

24

612

36

4 Can4

36

816

24

24

a) ¿Cuál es la mezcla adecuada que cumpla los nutrientes requeridos y que minimice los costos?

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL):08 La fabricación de escritorios, mesas y sillas, se requiere de madera, horas de carpinterías y horas de pintura. Muebles Delicias S.A. de C.V. cuenta con 144 tablones de madera, 60 hrs. de pintura y 24 hrs. de carpintería y los recursos mínimos requeridos para cada mueble se presentan en la siguiente tabla: Recuso

Escritorio

Mesa

Silla

Madera (tablones)

24

18

3

Hrs. de carpintería

12

6

4.5

Hrs. de pintura

6

4.5

1.5

Muebles Delicias vende cada escritorio en $1,800, la mesa en $900, y la silla en $600. La fábrica producirá un máximo de 5 mesas. a) Determina el nivel de producción por semana para maximizar los ingresos de la empresa. 10


PROGRAMACIÓN LINEAL (PL8):09 Los requerimientos necesarios para la fabricación de 2 modelos de DVD, el A y el C, son los siguientes: para el modelo A se requiere de 1 hora de ensamble y 1 hora de chasis; para el modelo C demanda 2 horas en ensamblado y 1 en chasis. La fábrica cuenta con 120 horas de ensamblado y 90 para chasis, produciendo 35 DVD del modelo A y 25 del C, obteniendo una ganancia por cada uno de ellos de $40 y $20 respectivamente. a) Suponiendo que la empresa vende todos los DVD´s que produce, determina el nivel de producción diaria de cada uno de los modelos.

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL):10 Transfusión S.A., fabrica medicamentos de primera, sueros y soluciones salinas. La empresa recibe un pedido de 360 sueros y 180 soluciones que debe de entregar en un mes, y un segundo pedido de 400 sueros y 240 soluciones salinas que se deben de entregar en dos meses. La jornada de trabajo la puede manejar normal o con tiempos extras. Para el mes en curso costo de producción del suero es de $4 en tiempo normal, y de $5 con tiempo extra. Por otra parte la solución salina cuesta $6 en jornada normal y $7 en tiempo extra. Debido a que los costos tendrán un incremento del 10% para el próximo mes y que el segundo pedido es mayor que el primero, la empresa pretende producir cierta cantidad de artículos del segundo pedido en el primer mes; teniendo en cuenta que su nivel de producción es de 460 medicamentos en una jornada normal y 160 en tiempo extra al mes. El costo de por stock durante un mes por medicamento es de $2. a) Determina el nivel de producción por de cada medicamento para minimizar los costos. Utiliza programación lineal. 11


PROGRAMACIÓN LINEAL (PL9):11 Para el siguiente trimestre el parque de diversiones Mundo Mágico, mandará una publicidad a la cual tiene las siguientes alternativas: anuncios en periódicos, comerciales en televisión, radio y menciones en conciertos juveniles. El departamento de divulgación, cuenta con $500,000 de presupuesto, y tiene considerado utilizar al menos $50,000 de dicho presupuesto en anuncios en la radio y conciertos. Ellos cuentan con la información mostrada en la tabla siguiente. Tipo de anuncio

Costo por anuncio

Número máximo

Exposición por anuncio (miles)

Periódico

3000

68

100

Televisión

4400

50

150

Radio

1500

50

50

Conciertos

300

3

12

a) Plantea esta situación mediante programación lineal. b) ¿Cuántos anuncios debe colocar en cada medio para maximizar la exposición en medios? c) Utiliza Solver para comprobar tu respuesta e interprétala.

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL10):12 Una empresa fabrica dos tipos de lámparas: LED y lámparas de piso. Para ello cuenta con dos procesos para el ensamblado: cableado y perforación. Los dos tipos de lámparas tienen muy parecido sus requerimientos en cantidad de cableado y de perforación. Una lámpara LED requiere de 6 horas de cableado y 4 horas de perforación, y para cada lámpara de piso se tiene destinado 4 horas de cableado y 2 hora de perforación. La empresa tiene destinado 480 horas para el cableado y 280 horas para perforación.

12


Si a la empresa cada lámpara LED le genera un beneficio de $75 y de cada lámpara de piso su beneficio es de $45. a) Establece un modelo matemático que te ayude a describir esta situación. b) Determina el nivel de producción de cada uno de los tipos de lámpara, que genere la máxima ganancia c) Usa el método gráfico de punto esquina.

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL11):13 El candidato a la alcaldía de Monterrey, Juan Manuel Luna, destinó $400,000 de su presupuesto para que se utilice en la propaganda en la radio y televisión de los últimos 7 días del período de campaña. Los anuncios en la radio tienen un costo de $2,000 y su auditorio es de 30,000 personas, mientras que en la televisión cada anuncio cuesta $5,000, con un auditorio de 70,000 personas. Juanita Sáinz, encargada de la campaña del candidato, tiene que lograr alcanzar la mayor audiencia con estas dos propagandas, utilizando al menos 30 anuncios en cada medio de comunicación. a) Determina la cantidad de anuncios que se pueden comprar con el presupuesto. b) ¿A cuántas personas llegarán?

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL12):14 La fábrica de Muebles para Jardín S.A. de C.V., fabrica muebles de madera para jardines y patios. Para la construcción de estos muebles la empresa requiere de mano de obra para la carpintería y como materia prima, la madera. La empresa cuenta con 1,800 horas para carpintería y 5,280 de madera de pino. Para la fabricación de una mesa se invierten 12 horas en mano de obra y 60 de madera; mientras que para los bancos son suficientes con 8 hrs-mano/obra y 20 de madera. La empresa tiene estipulado un beneficio de $18 por cada banco y de $40 por cada mesa. a) Establece un modelo matemático que te permita resolver esta situación. b) Determina la cantidad de mesas y bancos que debe de fabricar Muebles para Jardín, para maximizar su utilidad. Utilice el método gráfico de la PL.

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL13):15 La fábrica de artesanías Arte en Vidrio S.A. de C.V., tiene a la venta aparadores: el tipo clásico y el moderno. La fabricación de cada armario debe pasar por el departamento de carpintería, por el departamento de pintura y por último en el departamento de acabado. El siguiente cuadro muestra la información para la producción de cada tipo de vitrina, capacidad de producción en cada departamento o proceso y el ingreso que genera la venta por unidad. Estilo de Vitrina

Carpintería (hrs/vitrina)

Pintura (hrs./vitrina)

Acabado (hrs./vitrina)

Ingreso Neto ($)

Clásico

2

1

0.5

280

Moderno

1

40 minutos

0.5

250

Capacidad del departamento (hrs.)

240

135

84

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La fábrica tiene un contrato con una distribuidora en Monterrey, en el cual establece que tendrá un pedido semanal por 200 unidades de cada tipo de vitrina, es decir 40 por día. a) Determina un modelo matemático, que ayude a maximizar los ingreso que requiere el dueño de la empresa Jorge Cantú. b) Resuelve con un software de PL o con una hoja de cálculo e interpreta el resultado.

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL14):16 Raúl Barba es candidato a presidente municipal de Tepatitlán, Jal., por el partido de la izquierda. Le da como tarea a Mariana Navarro, la jefa de campaña, durante esta elección, que mande a realizar una campaña intensiva durante el cierre, debido a que existe una competencia cerrada. Mariana selecciona cuatro medios para hacer la propaganda del candidato: spots de televisión, anuncios de radio, carteles espectaculares e inserciones en periódicos. Los costos, la audiencia y el número máximo de anuncio de cada uno de los medios se muestran en la siguiente tabla: Cto. por Anuncio

Audiencia alcanzada/ anuncio

Número máximo

TV

$8000

35,000

10

Radio

$4000

25,000

10

Espectaculares

$5000

30,000

9

Periódicos

$1000

12,000

10

Tipo de Anuncio

Mariana determina que es necesario contar con al menos seis anuncios de TV o radio, o alguna combinación de estos, para tener mayor audiencia. Los gastos entre los espectaculares y periódicos, no debe exceder al presupuesto para la TV. a) ¿Cuántos anuncios se deben publicar de cada medio para maximizar el número de personas expuestas, si su presupuesto mensual es de $151,000?

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL):17 CompuTech vende dos modelos de computadoras personales, el modelo para escritorio (E) y un modelo Portátil (P). Dichos modelos generan una ganancia por unidad de $500 y $400 respetivamente. La empresa cuenta con 150 horas para el ensamble, de las cuales cada modelo E requiere tres horas, mientras que para el modelo P son suficientes cinco horas y 20 monitores para este último modelo. El espacio físico determinado para el almacén, es de 500 . Cada computadora del modelo E ocupa dos metros cúbicos, mientras que cada computadora del modelo P requiere de un metro cúbico. La empresa desea saber el nivel de producción que se deben de fabricar de cada uno de los modelos para maximizar sus utilidades, suponiendo que se venden todas las computadoras fabricadas. a) Determina el número de unidades de cada modelo que se deben de producir para maximizar la utilidad de la empresa, mediante el método gráfico. b) Sombrea la zona factible, determina la recta de Z, y el punto de Solución Óptima.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL15):18 Iluminación con Arte, S.A. de C.V., lanza al mercado dos nuevos productos: lámparas con pedestal y las lámparas para buró tipo Luis XV. Para la fabricación de estas lámparas, es necesario pasar por tres departamentos con los que cuenta la empresa: torneado y laqueado, cableado eléctrico y ensamble. La empresa tiene destinadas 40 horas para el departamento de ensambles, 100 horas para el torneado y laqueado, y 50 horas para el cableado. Una lámpara de pedestal requiere de 10 horas para torneado y laqueado, 3 horas para el cableado y 6 horas para su ensamble. Por otro lado, la lámparas de buro necesitan 6 horas en torneado y laqueado, 2 horas para el cableado y 4 horas para su ensamble.

La empresa obtiene un beneficio de $500 por cada lámpara de pedestal y $350 por cada lámpara para buró: a) Determina un modelo matemático que represente esta situación. b) Determina el nivel de producción de cada uno de los tipos de lámparas para que la empresa obtenga la máxima ganancia.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL16):19 Una fábrica de plásticos de alta calidad, produce diferentes tipos de tubos. El proceso de producción se hace en dos tiempos: el primero en la máquina de modelado y luego en el departamento de soldaduras. La empresa recibió un pedido de 2000 pies, 4000 pies y 5000 pies de los tres tipos de tubos de mejor calidad, el tipo CVC, tipo CPV y tipo CTX , respectivamente; que se debe de entregar la próxima semana. Con el fin de cumplir con el pedido a tiempo, la empresa realiza un estudio sobre su servicio. Sabe que cada del tubo CVC requiere 0.5 min en el departamento de máquinas de modelado, cada pie del tubo CPV requiere de 0.45 minutos y del tipo CTX se requieren solo 0.6 minutos por cada pie de tubo. El departamento de soldadura informa que se necesita 1 onza de soldadura, para cualquier tipo de tubo que fabrican. El costo de producción de un pie de los tipos de tubo CVC, CPV y CTX, son de $3, $4 y $4, respectivamente. El precio de venta por pie es de $10 para el tipo CVC, $12 para el tipo CPV y $9 para el tipo CTX. La fábrica tiene disponibles 40 horas de tiempo en el departamento de máquina de modelado por semana y en el inventario cuenta únicamente con 5500 oz de material para soldar. Para cumplir con el pedido, sabiendo que no pueden satisfacer la demanda con este nivel de producción, ya que se requieren de 97 horas de máquina para modelado y 11000 oz de soldadura, deciden comprar tubos a Japón en vez de expandir las capacidades de producción, puesto que no habrá siempre este nivel de demanda. El costo de entrega que establece Japón es de $6 por pie de tubo ACVC, $7 por pie de tubo BCPV, y $8 por pie de tubo CCTX. El siguiente cuadro muestra un resumen de la información:

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Tipo de tubo

Precio de venta por ft

Demanda ft

Tiempo de Máquina min/ft

Material para soldar oz/ft

Costo de producción $/ft

Costo de compra $/ft

ACVC

10

4000

0.25

2

6

12

BCPV

12

6000

0.35

2

8

12

CCTX

9

7000

0.3

2

8

14

a) Determina los el número de que debe fabricar la empresa y la cantidad de compra a Japón, maximizando sus ganancias y cumpliendo con el cliente.

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL):20 Coupack, Inc. Manda al mercado su nuevo producto, palos de golf, para complementar su artículo estrella, bolas de golf. Los costos de producción de dos modelos que manda al mercado, se indican en la siguiente tabla: Utilidad por Unidad

Cortar y Teñir

Costura

Terminado

Inspección y Empaque

Modelo Estándar

$10

7/10

1/2

1

1/10

Modelo de Lujo

$9

1

5/6

2/3

1/4

630 hrs.

600 hrs.

708 hrs.

135 hrs.

Recursos Disponibles

a) Determina el nivel de producción de cada modelo para maximizar la utilidad.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL):21 Somoza y Asociados S.C. es la firma con mayor reconocimiento, da asesoramiento a inversionistas. Maneja más de $1500 millones de pesos en fondos para sus numerosos clientes, en 4 tipos de fondos: 1) De crecimiento agresivo (alto riesgo); 2) Fondos balanceados (riesgo medio); 3) Fondos conservadores (bajo riesgo); 4) Fondos de cobertura en US Dólares. Estratégicamente la empresa establece que cada cliente debe de invertir en los 4 fondos para minimizar riesgos de perdida. Para esto establece que todos deben de invertir entre el 15% y 30% de su inversión en fondos de alto riesgo; de 15 a 35% del total en riesgo medio; entre 15 y 30% en el fondo de cobertura; y por lo menos el 30% en fondos de bajo riesgo. Para reforzar la seguridad de la inversión, Somoza mide el índice de tolerancia al riesgo de cada cliente. Por ejemplo, cuando un cliente invierte $800,000; se le asigna un riesgo del 5% como máximo, según la evaluación. El riesgo de la inversión por cliente se calcula ponderando el porcentaje invertido de cada tipo de fondo y luego se multiplica por 10% para los de alto riesgo, 7% para fondos de riesgo medio, 3% para la inversión en riesgo bajo y el 1% en los fondos conservadores. En estos momentos los rendimientos anuales son del 9% para los fondos agresivos, 6.5% para los fondos balanceados, 4.5% en cobertura y del 3.8% para los fondos de bajo riesgo. a) Plantea un modelo de PL. b) Determina el capital que se debe de invertir en cada fondo que maximice las utilidades de la inversión del nuevo cliente, manteniendo las políticas de la empresa, y el grado de tolerancia al riesgo del cliente.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL):22 La directiva de una sociedad de inversión, planea invertir hasta $15’000,000 de pesos en: Cetes, Papel Comercial de Cemex, y acciones de bolsa de América Móvil. Los Cetes se consideran una inversión segura, y pagan rendimientos hasta del 6% anual, mientras que el papel comercial tiene un riesgo medio, y paga un 8.5% anual. Las acciones son las que tienen un mayor riesgo, y el próximo año se pagarán alrededor de un 12% anual. La política de inversión de la sociedad, instituye que no debe invertirse más de 20% en acciones bursátiles con la calificación de riesgo alto como la de América Móvil; no se permite más de 40% en papel comercial, y al menos debe invertirse un 30% en instrumentos de un riesgo bajo como el de Cetes. a) Plantea el modelo matemático, estableciendo las variables de decisión, función objetivo, restricciones. b) Determina cuánto capital debe de invertir en cada uno de estos instrumentos para maximizar el rendimiento. c) ¿Cuál será este rendimiento? Escribe un informe de los resultados de su modelo y verifique que se cumplen las restricciones.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL17):23 Transpacific Airways posee una arcaica flota de aviones Boeing 737 que desea suplir. La aerolínea puede comprar a lo más 15 Boeing nuevos, de los modelos 757 y 767 para poder competir en el mercado. Para poder tener impacto en el mercado, la aerolínea debe considerar puntos como: 1) El valor de un Boeing 757 es de $80 millones de dólares, y el 767 cuesta $110 millones. 2) Por lo menos una tercera parte de los aviones, deberán ser 757, por mayor alcance. 3) El presupuesto de mantenimiento anual debe ser menor a $8 millones; con lo que respecta al costo de mantenimiento anual de cada 757 es de $800,000, y el del 767 es de $500,000. 4) La capacidad de un 757 es de 125,000 pasajeros por año, y el 767 es de 81,000. 5) La aerolínea tiene como objetivo transportar por lo menos 1’250,000 pasajeros al año. a) Determina un modelo matemático que te ayude a resolver esta situación. b) Establece las variables de decisión. c) Redacta el objetivo y formula la función objetivo. d) Identifica y formula las restricciones. e) Utilizando el paquete Solver, determina el número de aviones Boeing de cada tipo que debe comprar la aerolínea, sujeta a las condiciones establecidas. f) ¿Cuál es el costo por estos aviones? g) ¿A cuántos pasajeros podrá transportar la aerolínea al año? h) ¿Cuál será su costo anual por mantenimiento de sus nuevos aviones?

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL18):24 Un encargado de personal debe disponer las fuerzas de seguridad, bajo las siguientes restricciones: Horas

0-4.

4-8

8-12

12-16.

16-20

20-0

Cantidad mínima de policías

5

7

15

7

12

9

Cada policía trabaja 8 horas por turno. Cada día hay 6 de esos turnos. Los horarios de entrada y salida se indican en la siguiente tabla: Turno

1

2

3

4

5

6

Horario

0a8 hrs.

4 a 12 hrs.

8 a 16 hrs.

12 a 20 hrs.

16 a 0 hrs.

20 a 4 hrs.

a) Determina el número de policías que deben de trabajar en cada turno, de tal manera que el gerente del personal cumpla los requisitos de personal en cada horario minimizando el personal.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL19):25 Motos Extremas, S.A. de C.V., ensambla modelos de motocicleta: “Extrema”, “Tremenda” y “Avalancha” para montaña. La información de ingresos y costos (en pesos) de cada tipo de motocicleta es la siguiente: Precio unitario

Costo variable/ unitario

Costo fijo

Extrema

160,000

80,000

80’000,000

Tremenda

120,000

57,600

48’000,000

Avalancha

240,000

128,000

160’000,000

Tipo de Moto

Los costos fijos de cada tipo de motocicleta se elevan debido a los costos de modificación de las líneas de ensamble, a la restauración de las molduras, y a las pruebas de las motos en campo. (Recuerde que los costos fijos son independientemente del número de unidades producidas). La compañía ha recibido un pedido de 700 motocicletas del modelo “Extrema”. Otro pedido de 400 motocicletas de la “Tremenda”. La demanda estimada para esta temporada del modelo “Avalancha” será a lo sumo 300 unidades. Debido al rápido crecimiento de la empresa, sufre problemas de flujo de efectivo, y no desea pedir aportaciones de capital. Por tanto, la empresa quiere minimizar costos para la próxima temporada, sin olvidar sus compromisos adquiridos, y lograr por lo menos el punto de equilibrio (donde los ingresos son iguales a los costos). a) Determina un modelo de PL que ayude a la empresa a minimizar los costos la siguiente temporada.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL20):26 Pinturas Arco Iris, fabrica pinturas del tipo vinil-acrílicas para exteriores AQUAE e interiores AQUAI, que designaremos como MP1 y MP2. En el siguiente cuadro se proporcionan los datos para la fabricación de estas pinturas. Materia prima en toneladas

AQUAE

AQUAI

Disponibilidad máxima diaria

MP1

12

8

48

MP2

2

4

12

Beneficio p/ton

10

8

Mediante un estudio de mercadeo que realizó la empresa, ha determinado que se demandaran 2 toneladas diariamente de pintura para exteriores. Por otro lado, la demanda en toneladas de la pintura para interiores no excederá la de exteriores en más de una tonelada. a) Determina el nivel de producción de cada tipo de pintura que optimice la utilidad, satisfaciendo las exigencias de la gerencia.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL21):27 Minera de Monclova S.A. de C.V., provee mineral de hierro a Altos Hornos de México. El mineral de hierro que se compone de 3 elementos, que designaremos A, B y C, los cuales se deben de mezclar en la siguiente forma: Componente

Requerimiento (kg por cada TN de material)

A

Máximo 5

B

Mínimo 100

C

Mínimo 30

La empresa cuenta con 4 minas, y en todas ellas se tiene mineral con los 3 elementos, en las siguientes proporciones: Mina (datos en kg por ton de mineral)

Componente A B C

1 6 90 45

2 3 150 25

3 2 175 37

4 8 75 20

El costo en dólares, por extraer cada una de las toneladas, de mineral en cada mina, es el siguiente: Mina

Costo (Dlls. por tonelada de mineral)

1

400

2

800

3

700

4

600

a) Determina un modelo matemático de PL, de tal manera que se minimicen los costos de extracción de la minera.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL22):28 Fertilizantes Químicos de Occidente produce exactamente una tonelada de fertilizante diario para un cliente que siembra hortalizas que contienen fosfato y potasio. A la empresa cada fertilizantes de fosfato le cuesta $150 pesos por kilogramo y el fertilizante de potasio le cuesta $180 pesos/kilo. La empresa no debe utilizar más de 350 kilos de fosfato en la mezcla, y por lo menos se deben utilizar 180 kilos de potasio en su producción del fertilizante para el horticultor. a) Determina los kilogramos de cada químico que se deben de mezclar para la tonelada de este fertilizante a un costo mínimo.

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PROGRAMACIÓN LINEAL (PL23):29 La gerencia de cartera de valores de una Administradora de Fondos para Retiro (Afore), debe de invertir $100’000,000 de pesos en fondos de pensiones. El departamento de inversiones, realizó un estudio para ver cuáles son los 6 mejores fondos de inversión variada conjuntas, tomando en cuenta los diferentes beneficios potenciales y riesgos que acompañados, los resultados obtenidos se resumen en el siguiente cuadro: FONDO 1

2

3

4

5

6

Precio ($/acción)

58

85

102

20

25

10

Rendimiento esperado (%)

20

15

10

8

5

4

Alto

Alto

Medio

Medio

Bajo

Bajo

Clase de riesgo

Para tener un mayor control en los riesgos, la gerencia establece las siguientes limitantes en cada uno de las inversiones: 1) La inversión con alto riesgo debe tiene un rango de 40 y 70% del total 2) La inversión con mediano riesgo, tiene un rango de 20 y 30% del total 3) La inversión con bajo riesgo, debe ser mayor o igual al 5% del total. Para reforzar el riesgo tener mejor control, la gerencia decide diversificarlos, a través de la inversión en diferentes alternativas. Para ello, ha especificado que la inversión en los fondos de alto riesgo (1 y 2) debe de estar en una proporción de 1 a 2 respectivamente. La cantidad invertida en los fondos 3, 4 y 5 debe mantener una proporción de 3:2:1 Con estas restricciones: a) ¿cuál es la combinación de inversión de la cartera que recomienda para maximizar la tasa esperada de retorno? Para ello apóyate en: a) Tomar adecuadamente las variables de decisión. b) Formular correctamente la función objetivo. c) Formular las limitaciones que deben enfrentarse. d) Utiliza el paquete de Solver que viene en Excel, para resolverlo y una vez que llegue a una solución, verifica si se cumplen las restricciones. 28


PROGRAMACIÓN LINEAL (PL24):30 La empresa Vitral, S. A. cuenta con 3 plantas para la fabricación de artículos de vidrio de la más alta calidad: lámparas y artículos de decoración. Las características de la planta 1 es la siguiente; su producción es de sólo lámparas y utiliza 20 horas en producirla de las 1,320 horas disponibles con las que cuenta. La planta 2 elabora únicamente artículos de decoración y necesitan 8 horas para producir un lote de las 500 horas disponibles. La planta 3 está adecuada para producir ambos artículos, utilizando 30 horas al producir una lámpara y 10 horas en la elaboración de un lote de artículos de decoración, de las 1,800 horas disponibles. a) Si la empresa obtienen un beneficio de $30 por cada lote de decoración y $150 por cada lámpara, mediante la programación lineal y determina el nivel de fabricación que maximice las ganancias.

29


PROGRAMACIÓN LINEAL (PL25):31 Ferretería de Occidente, una de las más importantes de la Zona Metropolitana de Guadalajara (ZMG), va a lanzar una publicidad en dos medios. Anuncios dominicales en el Informador y anuncios en la radiodifusora más escuchada de la zona. Esta publicidad tiene como objetivo promover la herramienta y material de trabajo con el eslogan de “Hágalo Usted Mismo”, y el gerente de publicidad pretende llegar a la población de la ZMG, de al menos 60% en Zapopan y Guadalajara, y un 50% en Tlaquepaque, Tonalá y Tlajomulco. El “rating” de exposición por anuncios en TV es del 10% en Zapopan y Gdl., el 4% en los otros municipios de la ZMG. Por otra parte, el anuncio en el periódico dominical tiene un alcance de 5% en Zapopan y Gdl., y de 3% en el resto de los municipios de la ZMG. Los costos de publicación de la media página en el Informador son de 8,000 pesos. Mientras cada anuncio en la TV tiene un costo de $25,000. Si el director quiere por lo menos que haya un anuncio en la TV por cada 4 anuncios que se publiquen en la prensa. a) Establece las variables de decisiones. b) Determina la función objetivo y las limitaciones. c) Encuentra un modelo de programación lineal que minimice los costos y que cumpla con los niveles de exposición establecidos. d) ¿Cuál es la combinación de anuncios que cumple estos requisitos? e)¿Cuál es el costo total de la campaña de publicidad?

30


PROGRAMACIÓN LINEAL (PL26):32 El rancho dedicado a la engorda de ganado vacuno, desea determinar la cantidad de alimento para ganado que debe comprar para satisfacer los requerimientos mínimos de nutrición y a vez minimiza los costos. Sus proveedores le ofrecen 3 tipos de alimento (X, Y y Z), cada uno de los cuales tiene las cantidades de nutrientes A, B, C y D que se indican en la tabla (en gramos por kilo de alimento). Hasta abajo de la tabla, se indica el costo por kilo de cada tipo de alimento. El requerimiento mínimo de nutrientes por mes para cada res es el siguiente: A = 1.8 kilos; B= 2.3 kilos; C = 0.5 kilos; D = 3.6 kilos. El rancho enfrenta una restricción adicional, y es que del alimento X, sólo hay una disponibilidad máxima de 300 kilos al mes. Como el rancho maneja de manera constante grupos de 100 reses, esto significa que hay un máximo mensual de 3 kg al mes para cada res, del alimento X. a) Determina un modelo de PL, identificado las variables de decisiones, las restricciones así como la función objetivo.

31

PROGRAMACIÓN LINEAL (PL27):33 SyncTech Electronics, fábrica de dispositivos electrónicos para computadoras de escritorio. La empresa fabrica seis dispositivos electrónicos: WiFi interno, tarjeta de memoria, memorias USB, discos duros, CD’s y DVD’s, y cables adaptadores. Los mínimos y necesarios requerimientos, en minutos, en los tres dispositivos de prueba que demanda cada uno de estos artículos, se muestran en la tabla siguiente: WiFi Tarjeta interno de memoria

Memorias Disco CD’s y USB duro DVD’s

Cables adaptador

Dispositivo 1

7

3

6

16

8

4

Dispositivo 2

2

5

3

12

5

4

Dispositivo 3

5

1

3

12

6

2

Tanto el dispositivo 1 como el 2, tienen 8,200 minutos por semana para hacer sus pruebas. Mientras que el dispositivo 3, sólo se puede usar 5,600 minutos a la semana. Esto 6 componentes, tienen una demanda muy alta y SyncTech vende todas las unidades que produce. Los costos fijos de la empresa ascienden a $7,000 y la tabla siguiente muestra un resumen de los precios y costos variables por unidad: Precio por unidad vendida

a) Determina un modelo de PL que te auxilie a resolver esta situación. b) ¿Cuál es el nivel de producción por semana que maximiza la utilidad de la empresa?

SENSIBILIDAD SENSIBILIDAD (SB):01 Resuelve el siguiente problema mediante el método gráfico, sombrea la región factible, la solución óptima mediante rectas de Z, el valor de la función objetivo óptimo y holguras o excedentes. Minimizar Z=x1+x2 Sujeto a x 1+2x 2≥7 4x 1+2x 2≥10 x 1+6x 2≥11 x 1,x 2≥0 a) ¿Cuál es el intervalo de Optimidad para c1 y c2? b) Si c1 aumenta a 3/2, ¿cuál será la nueva solución óptima y el nuevo valor de la función objetivo? c) Utilizando los datos originales, y c2 disminuye a 1/3, ¿cuál será nueva solución óptima y el nuevo valor de la función objetivo?


SENSIBILIDAD (SB):02 En el siguiente problema se busca maximizar la utilidad de una empresa, bajo la siguiente información: Maximizar Z=70x1+50x2 Sujeto a 8x 1+6x 2≤480 4x 1+2x 2≤200 x 1,x 2≥0 Utiliza

el

análisis

de

sensibilidad

por

computadora

se

presenta

a continuación para contestar las siguientes preguntas: Nombre

Resultado

Límite inferior

Coeficiente F. Objetivo

Límite superior

Variable x1

30

66.67

70

100

40

35

50

52.5

Variable x2

a) ¿Cuál es la solución óptima con éste análisis de sensibilidad? b) ¿Qué tanto podría incrementar o disminuir la utilidad de x1 sin cambiar el valor de x1 y x2 en la solución óptima? c) ¿Qué pasaría, si la función de utilidad hubiera sido 101x1+50x2 ?

SENSIBILIDAD (SB):03 Dado el siguiente problema de PL: Maximizar Z=2x1+3x2 Sujeto a 2x 1+2x 2≥700 4x 1+2x 2≤1200 x 1≥125 x 1,x 2≥0 Y el análisis de sensibilidad por computadora contesta las siguientes preguntas: 34

Sensibilidad

Nombre

Resultado

Límite inferior


Límite superior

Variable x1

30

Sin límite

2

6

40

1

3

Sin límite

Variable x2

a) Determina la solución óptima de acuerdo al análisis de sensibilidad. b) ¿Cuál es el incremento o disminución de la utilidad de x1 quedando fijos los valores de x1 y x2 en la solución óptima? c) ¿Cuál es el comportamiento de la función de utilidad si hubiera sido 3x1 + 3x2?

SENSIBILIDAD (SB28):04 Un nutriólogo le ha recetado 2 guisado a una persona para su almuerzo, el guisado A y B. Donde cada unidad de A contiene 1 gramo de grasa, 1 gr de carbohidratos y 4 gramos de proteínas; mientras que cada unidad de B aporta 2 gramos de grasa, 1 gr de carbohidratos y 6 gramos de proteínas. Si el nutriólogo le estableció al paciente un almuerzo que no tenga más de 10 gramos de grasa, ni más de 7 gramos de carbohidratos. a) ¿Qué número de unidades de A y de B, debe servirse el paciente, para maximizar la cantidad de proteínas en los almuerzos? b) ¿Cuál es dicha cantidad? c) Según el informe de sensibilidad, ¿cambiaría mi mezcla óptima si cada unidad de A tuviera 5 gramos de proteínas? ¿Y si tuviera 6.5?

35


SENSIBILIDAD (SB):05 La gerencia de Dulces Finos de Occidente S.A. de C.V. quiere determinar el nivel de producción de dos de sus productos para la siguiente temporada, bajo los siguientes requerimientos mostrados en la tabla: Horas de fabricación por unidad Departamento

Producto 1

Producto 2

Horas de mano de obra disponible

A

1.00

0.35

120

B

0.30

0.20

70

C

0.20

0.50

46

Utilidad por unidad

30.00

15.00

El siguiente modelo matemático interpreta la situación de la empresa: Max Z=30x1+15x2 s.a. x1+0.35x2≤120 (Restricción de mano de obra para el departamento A) 0.30x1+0.20x2≤70 (Restricción de mano de obra para el departamento B) 0.20x1+0.50x2≤46 (Restricción de mano de obra para el departamento C) Con respecto al análisis de sensibilidad tenemos que: Nombre Variable x1 Variable x2

Resultado

Límite inferior


Límite superior

102.09

6

30

42.86

51.16

10.5

15

75.00

Nombre

Precio Sombra

Límite inferior

Restricción lado derecho

Límite superior

Restricción 1

27.91

32.20

120

230.00

Restricción 2

0.00

40.86

70

Sin límite

Restricción 3

10.47

24.00

46

171.43

a) Si queremos que el producto sea rentable, ¿cuánto disminuiría la utilidad del producto 1 para lograrlo? 36

Sensibilidad

b) Si se añaden 2 horas extras en 1 o 2 departamentos. ¿cuál sería este o estos departamentos? Argumenta tu respuesta. c) ¿Determina el capital a pagar en cada departamento por hora extra?

SENSIBILIDAD (SB29):06 Fábrica de Muebles de Ocotlán produce mesas y sillas económicas. Ambos productos se requieren horas de carpintería y horas de mano de obra en el área de pintura y barnizado. Para la fabricación de una silla se destinan 3 horas de carpintería y 4 horas de carpintería para una mesa, de las 240 horas que dispone la fábrica. Por otro lado, cada silla necesita 1 hora de pintura y barnizado, y cada mesa 2 horas son suficientes, de las 100 horas que dispone la fábrica para este departamento. La ganancia que genera la venta de una silla es de $5, mientras que na mesa genera un beneficio de $7. a) Determina el nivel de producción de sillas y mesas que maximicen la utilidad. b) Utiliza el método gráfico para que encuentres la zona factible y el punto óptimo. c) Mediante el Análisis de Sensibilidad: i. Para la función objetivo: calcula el rango donde los coeficientes de la ganancia se pueden cambiar y tener la combinación de sillas y mesas, por separado, siga siendo válida. ii. En la restricción de carpintería: determina el precio sombra de esta restricción, y el rango de horas de carpintería de tal manera que sea válido.

37


SENSIBILIDAD (SB30):07 Una joyería que trabaja con piedras semipreciosas de ópalo y ámbar para la fabricación de dos tipos de anillos. En su taller establecen que se requieren 4 ópalos, 2 ámbares y 2 horas de mano de obra para hacer un anillo tipo 1. Y para hacer un anillo tipo 2, se requiere dos piedras de ópalo, 3 de ámbares y 1.5 horas de mano de obra. Y cuenta con 100 ópalos, 117 ámbares y 80 horas de mano de obra a la semana. La joyería puede realizar compras únicamente de piedras de ópalo a un costo de $100 cada una, si las requiere para cubrir un pedido. El día de hoy ha recibido un pedido de un mayorista de la ciudad de Monterrey, de 20 anillos tipo 1 y 25 anillos tipo 2, para entregar en 8 días. Un cliente mayorista de Monterrey ha solicitado 20 anillos tipo 1 y 25 anillos tipo 2 para la semana entrante. a) Determina el nivel de producción que maximice los ingresos de la joyería, mediante la programación lineal. Si el argolla tipo 1 es vendida a $1650 y el tipo 2 a $2000. b) Utiliza el análisis de sensibilidad de Excel (Solver), y argumenta: i. Si llega un proveedor y ofrece a $90 cada piedra de ópalo, debería cambiar el plan de producción. Explica por qué si o no. ii. Si cada vez, es mayor el número de clientes que le piden que baje el precio del anillo tipo 2 $1500. ¿Debería cambiar el plan de producción para cumplir con las peticiones de los clientes? ¿Por qué si o no?

38

Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB):08 Croquetas Caninas S.A. de C.V., fabrica 2 tipos de croquetas para perros, una formulada para perros medianos y grandes (fórmula G), y otra para perros pequeños (Fórmula P). Para la semana próxima, tiene pedidos por 600 cajas de la fórmula G, y 900 de la fórmula P. Cada caja de fórmula G requiere 15 minutos de mezclado de los ingredientes, y 20 minutos de tiempo de moldeado de las croquetas, secado y empaquetado. Cada caja de modelo P requiere 12 minutos de tiempo de mezclado, y 18 minutos de tiempo de moldeado/secado/empaquetado. Para la próxima semana, la planta tiene disponibles 1500 minutos para el departamento de mezclado, y 3400 minutos para el departamento de moldeado/ secado/empaquetado. Los costes de manufacturación por cada caja de la fórmula G es de $80 pesos, y el de la fórmula P es de $60 pesos. Dependiendo de la demanda y tiempos disponibles, la empresa envía a maquilar eventualmente el producto con un proveedor externo, que se las vende en $94 pesos la caja de fórmula G, y $80 pesos la caja de fórmula P. a) Establece las variables de decisiones y la función objetivo con las limitaciones establecidas. b) Mediante programación lineal, determina cuántas cajas deben producirse y cuántas comprarse de cada fórmula, de modo que se minimicen los costos. c) De acuerdo al informe de sensibilidad: ¿Qué pasaría con el costo total, si en lugar de 1500 minutos de tiempo de mezclado, tuviéramos 1700 minutos? ¿En cuánto debe cambiar el coeficiente de costo por caja de la fórmula G, para que convenga fabricarla? Explique sus respuestas.

39


SENSIBILIDAD (SB31):09 El director financiero de la escuela de Administración de una Universidad, debe planificar los cursos que la escuela ofrecerá para el ciclo agosto-diciembre. La Universidad ofrece por lo menos 35 materias de licenciatura y 15 cursos en posgrado, esto debido a la demanda estudiantil. Por otra parte, se cuenta con una planta de profesores mayor o igual a 55 cursos. La Universidad paga $2800 por materia de licenciatura y $3300 por cada curso de posgrado. a) ¿Qué cantidad de materias de licenciatura y de posgrados se ofrecerán el siguiente ciclo, y tal que la nómina al profesorado sea el menos posible? b) ¿Cuál es el costo óptimo estimado por concepto de sueldos para los profesores para el semestre? c) ¿Cuáles son las restricciones activas en su modelo de optimización? d) Revisando el análisis de sensibilidad que genera el Solver, ¿cuál de las restricciones convendría tratar de hacer más flexible? Explique su respuesta.

SENSIBILIDAD (SB32):10 Químicos del Norte fabrica 2 productos químicos (a los que denominaremos A y B) que se venden como materias primas para fabricar jabones y detergentes. La administración ha elaborado un estudio de mercado para constatar la demanda con su inventario de estos dos productos para el siguiente mes, y ha determinado que la producción conjunta de los productos A y B debe ser mayor o igual a 350 litros; satisfaciendo así la demanda de uno de los clientes importantes de la empresa, que ha solicitado 125 litros del producto A. Para el procesamiento del químico A se requiere 2 horas por litro, mientras que el químico B necesita 1 hora por cada litro. La capacidad instalada de procesamiento es de 600 horas por mes. La meta de QN, es siempre minimizar sus costos cubriendo los requerimientos. La producción del producto A es de $20 pesos por litro, y de $30 pesos /litro del producto B. 40

Sensibilidad

a) Establece las variables de decisiones, la función objetivo y las limitaciones, y establece un modelo de programación lineal. b) Resuelva el problema mediante método gráfico. c) Realiza un análisis de sensibilidad para determinar: ¿qué tanto puede variar sin que cambie la combinación óptima de solución? (usa los coeficientes de la función objetivo) d) Haga un análisis de sensibilidad de la restricción de procesamiento. ¿Cuál es su precio sombra y en qué rango es válido?

SENSIBILIDAD (SB33):11 Computronics S.A. de C.V. fabrica dos modelos de computadora, la Alfa Centauri, y la Orión 5. La fábrica utiliza 10 expertos en la zona de ensamblaje que cuenta con 160 horas. La Gerencia ha insistido que se deben disponer todo el tiempo de mano de obra para el siguiente mes. Se requieren 25 horas para ensamblar una Alfa Centauri, y 20 para una Orión 5. Computronics desea producir por lo menos 20 Alfa Centauri para el siguiente mes, y por lo menos 30 Orión 5. Las Alfa Centauri generan una utilidad de $1500 por unidad, en tanto que las Orión 5 generan $1000 cada una. a) Establece un modelo de PL, y determina el nivel óptimo de producción de los dos tipos de computadoras, de tal manera que las ganancias de la empresa sean máximas. b) Usando el informe de sensibilidad: Suponga que se pueden vender muy bien prácticamente todas las computadoras que produzca Computronics. ¿Convendría contratar otro técnico, que cuesta $2,500 dólares al mes? Explique con cifras por qué si o por qué no.

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SENSIBILIDAD (SB34):12 Controles Digitales S.A. (CDSA), fabrica radares de velocidad de última tecnología para la policía. La empresa ha recibido un pedido de 100 pistolas radar tipo A, y 150 pistolas radar tipo B para la próxima semana. Para la fabricación se utilizan dos departamentos, el de moldeado por inyección y el de ensamblado. Las pistolas radar A necesitan 4 minutos en moldeado por inyección y 6 minutos en el ensamblado, mientras que el modelo B necesita 3 minutos en moldeado por inyección y en ensamblado 8 minutos son suficientes. Para cumplir con el pedido, la planta dispone de 600 y 1080 minutos en moldeado y ensamblado respectivamente. La manufacturación del modelo A tiene un costo de $500 pesos, y el del modelo B de $300 pesos. Dependiendo de la demanda y tiempos disponibles, la empresa envía a maquilar eventualmente las pistolas con un proveedor externo, que se las vende en $700 pesos el modelo A, y $450 el modelo B. a) Mediante programación lineal, determine cuántas piezas deben producirse y cuántas comprarse de cada modelo, de modo que se minimicen los costos (indique claramente las variables de decisiones, el objetivo y la función objetivo, y las limitaciones). b) Según el informe de sensibilidad, ¿Qué pasaría con el costo total, si pudiéramos incrementar la cantidad de minutos disponibles de ensamble a 1130?

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Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB35):13 Una pequeña tienda de un barrio popular vende 2 tipos de refresco de cola en lata: Coca Cola, y la menos costosa Big Cola. El margen de ganancia de cada lata de Coca Cola es de $0.70 pesos, en tanto que la de Big Cola es de $0.50 pesos. La tienda estima que tiene una capacidad máxima de venta de 500 latas diarias, entre las dos marcas. Aunque Coca Cola es la marca más reconocida a nivel mundial, la demanda de Big Cola aumenta por su menor precio. Se estima que la venta diaria de Coca Cola es por lo menos de 100 latas, y que por cada lata de Coca Cola se venden por lo menos 2 latas de Big Cola. a) Define la variables de decisiones, la función objetivo y las restricciones, para formular un problema de PL, para determinar la compra (y por tanto la venta) diaria óptima que la empresa debe hacer, para maximizar sus ganancias. b) En base al informe de sensibilidad, comente entre qué límites pueden moverse los coeficientes de ganancia de cada bebida, de manera que la mezcla óptima sea la misma.

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SENSIBILIDAD (SB):14 Una empresa química desea conocer el nivel de producción que deberá programar considerando que obtiene una utilidad de $25 por cada producto A y de $15 por cada producto B. E costo de producción por producto y el límite de personas que pueden trabajar en la elaboración de un producto, se determinó que se deben producir no más de 50 productos tipo B. La tabla que a continuación se presenta, muestra dichas relaciones: Producto A

Producto B

Personal

2

1

Costo de producción

$3

$2

Se tienen disponibles 70 personas para trabajar en ambos productos y se puede gastar cuando mucho $120 en costos de producción. a) Encuentra la utilidad máxima de la empresa, mediante la programación lineal. b) Grafica la región factible y enliste tres soluciones factibles. c) Resuelve en Solver. ¿Cuál será la utilidad de la empresa y cuál va a ser la mezcla de productos a fabricar? d) Genera el análisis de sensibilidad del problema. ¿Cuántos empleados más podría contratar la empresa sin que cambie la solución actual óptima?

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Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB):15 Una fábrica elabora dos productos, A y B. Ambos requieren tiempo en dos máquinas. La primera máquina está disponible 24 horas, mientras que la segunda tiene una disponibilidad de 16 horas. Para producir un artículo A es necesario invertir dos hrs. en cada una de las maquinas. Mientras que el B requiere 3 horas en la maquina 1 y 1 hora en la maquina 2. Un artículo, del tipo A genera un beneficio por unidad de $6 y el producto B genera una ganancia de $7 pos unidad. La empresa ha determinado que el mercado limita a seis la cantidad de unidades del producto B que pueden venderse. a) Plantea el problema de PL y utilizando el método gráfico para que encuentres la zona factible y la optimización con rectas Z, de tal manera que se maximice la utilidad. b) En base a la gráfica, calcula la solución (óptima) y el valor de la función óptima. c) Es posible que para maximizar utilidades se tengan que fabricar menos unidades de las máximas que pueden venderse de uno o de los dos productos y si es así, ¿de cuál de los productos y cuántas unidades? d) Si la empresa puede conseguir tres horas adicionales para sólo una de las máquinas sin que se rebase el intervalo de optimidad del lado derecho de la restricción, ¿cuál opción recomienda en primer lugar para aumentar utilidades y cuál es el monto de la utilidad máxima con la opción que usted escogió en primer lugar? e) ¿Cuál es el efecto de modificar la utilidad del producto A de $6 a $10? Sustenta tu respuesta con los cálculos debidos.

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SENSIBILIDAD (SB36):16 El departamento de bomberos del municipio de Atotonilco programa a los agentes para turnos de ocho horas. Los inicios de los turnos son 8.00 A.M., mediodía, 4.00 P.M., 8.00 P.M., medianoche y 4.00 A.M. Los agentes que comienzan en alguno de los horarios anteriores de inicio trabajan durante las siguientes ocho horas. Durante las operaciones normales entre semana, el número de bomberos que se requieren varía dependiendo del momento del día. Los lineamientos de asignación de personal del departamento fijan el número mínimo siguiente de bomberos de guardia: Hora del día

No. Mínimo de Bomberos

8 A.M. a mediodía

6

Mediodía a 4 P.M.

7

4 P.M. a 8 P.M.

11

8 P.M. a medianoche

8

Medianoche a 4 A.M.

5

4 A.M. a 8 A.M.

7

¿Cuál es el número de bomberos que se deben programar para comenzar en los turnos de ocho horas, en cada uno de los horarios de inicio (8 A.M, mediodía, 4 P.M., 8 P.M., medianoche y 4 A.M.) de manera que se minimice el número total de bomberos que se requiere? Sugerencia: Sea X1 = cantidad de bomberos que inician a las 8 A.M., X2 = número de bomberos que entran a las 12:00 pm y así sucesivamente). a) Determina un modelo matemático de PL. b) Encuentra la solución del problema incluyendo la Sensibilidad. c) ¿Cuál es el efecto de modificar el horario de 8 a.m. a 12 p.m. y el de 0 a.m. a 4 a.m. a 9 personas como mínimo?

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Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB):17 Un persona de la ciudad de México desea invertir $250,000 Dlls. que adquirió por la venta de unos terrenos, en la casa de bolsa Monedas y Más S.A. La casa de bolsa ha propuesto al cliente la siguiente lista de posibles inversiones: Inversión

Tasa de rendimiento proyectada

Bonos municipales de San Pedro Garza García

5.30%

Electrocorporación

6.80%

Aeromexicana

4.90%

Computronics

8.40%

Casa de beneficencia “Mis días felices”

11.80%

El cliente confía en la casa de bolsa, y le ha gustado en general la mezcla de opciones que le han ofrecido, pero tiene sus propias ideas acerca de cómo distribuir el riesgo, y ha dado las siguientes instrucciones: 1) Los bonos municipales, más seguros, deben constituir al menos el 50% de los fondos disponibles. 2) Por lo menos, 40% de los fondos deben distribuirse en una combinación de acciones de Electrocorporación, Aeromexicana y Computronics. 3) La inversión en acciones de riesgo de alto de la casa de beneficencia debe ser menor o igual al 50% de la invertida en los bonos municipales. 4) Como estrategia de diversificación, le gustaría que cualquiera de las opciones tuviera asignado un mínimo de $20,000 Dlls. Se desea buscar la combinación que maximice el rendimiento, cumpliendo con los requisitos del cliente. a) Plantea el problema (variables de decisión, función objetivo, restricciones). b) Resuelve el problema con Solver. Comenta cuánto asigna a cada inversión, y el rendimiento. c) De acuerdo con el análisis de sensibilidad de Solver, ¿cómo cambia la optimización de la respuesta si la tasa de rendimiento de los bonos de Los Ángeles sube a 7%? d) De acuerdo al análisis de sensibilidad de Solver, ¿qué pasa si mi cliente autoriza a reducir la inversión mínima en bonos en $1000 dólares? 47


SENSIBILIDAD (SB37):18 Un candidato a presidente municipal asignó $50,200 pesos en los días previos a las elecciones, esto bajo las recomendaciones del director de su propaganda. La radiodifusión y la televisión son los medios que utilizará. Un comercial en TV tiene un costo de $600 y tiene un alcance de 8000 personas, mientras que un anuncio en la radio cuesta $250 pero llega a una audiencia de 3500 personas aproximadamente. Al planificar la campaña, el director de publicidad desea llegar al máximo posible de personas, y estableció utilizar por lo menos, 12 comerciales publicitarios, tanto en la radio como en la televisión. Pero el número de los radios comerciales de su publicidad debe de ser el triple que el número de anuncios de TV. Como asesor del candidato, se le ha encomendado a Usted manejar la campaña publicitaria, contratando los anuncios que más convengan, dentro de las limitaciones enunciadas. a) Establece con sus palabras cual es el objetivo a alcanzar. b) Determina cuáles son las variables de decisión, e identifíquelas como c) Escribe la expresión algebraica de la función objetivo. d) Escribe las expresiones algebraicas de las restricciones. e) Plantea el problema en una hoja Excel y resuelva con Solver. Solicita el informe de sensibilidad. f) De acuerdo a sus resultados: ¿Cuántos anuncios de TV y cuántos de radio se deben contratar? ¿Cuánto costará la campaña? ¿A cuántas personas llegarán los anuncios? g) De acuerdo al análisis de sensibilidad ¿Convendría aumentar el mínimo de anuncios de TV, por ejemplo a 15, para ganar más audiencia? Explique su respuesta h) De acuerdo al reporte de análisis de sensibilidad, ¿Cuánta audiencia más se podría captar por cada mil pesos de aumento del presupuesto? Comente su respuesta. i) Analiza el coeficiente de anuncios de radio en la parte superior del informe de sensibilidad. ¿En cuánto deberá reducirse este coeficiente, para que cambie la mezcla óptima de la solución? 48

Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB):19 Un distribuidor de automóviles vende autos y camionetas. La empresa obtiene una utilidad de $ 4,000.00 pesos por cada auto que vende y $5,000.00 pesos por cada camioneta que vende. La empresa está planeando el pedido para el siguiente trimestre, del cual el fabricante o proveedor manifiesta que no puede exceder de 300 autos y 150 camionetas. El tiempo de preparación que requiere el distribuidor es de dos horas por cada auto y de tres horas por cada camioneta. Para el siguiente trimestre la empresa dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los vehículos. La empresa desea maximizar sus utilidades. a) Elabora por completo un modelo matemático de PL, usa el mismo orden en el que se enuncian las restricciones. b) Si se reducen en 25% las horas disponibles del taller para la preparación de vehículos, ¿Es posible que se esté rebasando el intervalo de Optimidad del lado derecho? Si su respuesta es afirmativa, demuéstrelo con sus cálculos. Si su respuesta es negativa, calcule la nueva solución óptima y la nueva utilidad máxima. c) Con los datos del problema original, supón que a la hora de surtir el pedido, el proveedor avisa que con motivo de una devaluación tiene que aumentar el precio de los autos para el distribuidor, de manera que este tiene que calcular de nuevo la utilidad unitaria, resultando ahora una utilidad por auto de 10% menor de la estimada originalmente. Es necesario determinar si la reducción indicada rebasa el intervalo de optimidad, calculando precisamente ese intervalo. En caso de que el cambio indicado rebase el intervalo, manifiéstelo así y no haga más cálculos. En caso contrario, calcula los nuevos valores que optimizan la solución y la máxima utilidad. d) Con los datos originales del problema, supón que el proveedor ofrece surtirle al distribuidor 40 autos adicionales o 40 camionetas adicionales, ¿qué recomienda usted al distribuidor? Si acaso hay un cambio en el valor de la utilidad con su recomendación, haz el cálculo para determinar el monto de la nueva utilidad. Explica muy brevemente la razón de su decisión.

49


SENSIBILIDAD (SB):20 Una empresa fabrica dos fertilizantes para jardín. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40 y K50. Para la producción existen disponibles 900 libras de K40 y 400 libras de K50. Cada libra del fertilizante llamado “Jardín verde” utiliza 3/5 de libra de K40 y 2/5 de libra de K50. Cada libra del fertilizante llamado “Atención al jardín” utiliza 3/4 de libra de K40 y 1/4 de libra de K50. Además, la disponibilidad de materiales de empaque restringe la producción de “Atención al jardín” a un máximo de 500 libras. Si la contribución a utilidades de cada producto es de tres dólares por libra, ¿cuántas libras de cada fertilizante debe fabricar obtener la utilidad máxima? a) Determina un modelo matemático completo de PL y utiliza el mismo orden en el que se enunciaron las restricciones. b) Si se reduce la cantidad disponible de K50 a la mitad, ¿es posible que se esté rebasando el intervalo de optimidad del lado derecho de la restricción? Si su respuesta es afirmativa, demuéstrelo con sus cálculos. Si su respuesta es negativa, calcule la nueva solución óptima y la nueva utilidad máxima. c) Con los datos del problema original, suponga que debido a un descuento conseguido en la materia prima del fertilizante “Jardín verde” (aparte de K40 y K50), las utilidades unitarias de este fertilizante se incrementan en un 50%, ¿cuál es la nueva solución óptima y la nueva utilidad máxima? Es necesario que usted determine si el aumento mencionado rebasa el intervalo de optimidad, calculando precisamente ese intervalo. En caso de que rebase el intervalo, indíquelo así y no haga más operaciones. En caso contrario, calcule lo que se pide al principio de este inciso. d) Con los datos del problema original, si se reduce la restricción indicada en el enunciado del problema respecto a la disponibilidad de materiales de empaque, de manera que se puedan producir 750 libras del fertilizante “Atención al jardín”, calcule el intervalo de optimidad y si el aumento de producción de “Atención al jardín” rebasa el intervalo de optimidad, indíquelo así y no haga más operaciones. En caso contrario, calcule la nueva solución óptima y la nueva utilidad máxima. 50

Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB):21 El taller VitroFlex es empleador de tres personas Alberto, Juan y Pedro, que hacen ventanas con cuadro de madera y ventanas con marcos de aluminio. El beneficio por una ventana con recuadro de madera es de $60 y por con marco de aluminio es de $30. Pedro puede hacer 6 ventanas con marco de madera por día y Juan hace 4 ventanas/día, mientras que Alberto realiza cortes de vidrio hasta 24 por/día. Una ventana hecha con marco de madera se lleva 3 de vidrio y mientras que una de aluminio se lleva 4. VitroFlex quiere saber el número de ventanas de cada tipo de marco, se pueden producir en un día, de tal manera que se maximice la utilidad. a) Resuelve en Solver. b) Indica la Solución Óptima, Función Objetivo, Precios Duales e Intervalos de Optimidad. c) ¿Qué es más rentable contratar una persona para los marcos pero que apoye a Pedro o a Juan?

51


SENSIBILIDAD (SB):22 Una empresa está en busca de oportunidades de inversión para $100,000 que tiene en efectivo. El analista financiero recomienda invertir en las industrias del petróleo y del acero y en bonos del gobierno, habiendo identificado cinco oportunidades: Inversión

Rendimiento Proyectado en %

Innova México

5.2

PEMEX

8.2

Villatuacero

4.3

DeAceros

5.4

Bonos del Gobierno

3.4

1) Ninguna de las industrias (petróleo o acero) debe recibir más del 50% de la inversión total. 2) La inversión en bonos del gobierno debe ser mayor o igual al 25% de la suma invertida en la siderúrgica. 3) En PEMEX no pueden invertir más del 60% de la suma invertida en las industrias petroleras. 4) La compañía dispone de $100,000 y su meta es maximizar su rendimiento. a) Plantea el Modelo de PL. b) Determina la respuesta del Problema incluyendo la Sensibilidad. c) ¿Cuál es el rendimiento por cada $1,000 que se puedan agregar al portafolio de inversión? d) ¿Cuál es el efecto de requerir que la industria del petróleo no absorba más del 30% de los fondos totales del portafolio?

52

Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB):23 Una empresa que comercializa tratamientos para la calvicie, está realizando planes promocionales para el mes próximo. Los medios que tiene previsto para la difusión de su producto, son: la TV, la radio y el periódico matutino. La siguiente tabla muestra la audiencia aproximadamente de cada medio, los costos y las restricciones sobre el uso máximo de los medios. TV

Radio

Periódico

Auditorio por anuncio

200,000

36,000

80,000

Costo por anuncio

$4,000

$600

$1200

20

40

20

Utilización máxima del medio

Para asegurar una utilización equilibrada de los medios publicitarios, la publicidad que se haga en la radio debe de ser menor o igual al 50% de los autorizados También, se requiere que la TV tenga el 10% o más de la publicidad autorizada. La empresa cuenta con un presupuesto de $36,400 (dólares). a) Plantea el Modelo matemático de PL. b) Indica la respuesta del Problema incluyendo la Sensibilidad. i.

¿Cuántos mensajes comerciales deben colocarse en cada medio con el objetivo de lograr el mayor contacto con el auditorio?

ii.

¿Qué cantidad de auditorio se alcanza y con qué presupuesto asignado a cada uno de los medios que se utilizaron?

c) ¿Cuál es el impacto en términos de audiencia que se obtendría asignando $100 adicionales al presupuesto de publicidad? d) Si la audiencia esperada de la televisión disminuye a 160,000 ¿Cómo se afecta la Función Objetivo y la Solución Óptima? e) Si nos ofrecen también otro horario de televisión, donde la audiencia disminuye a 120,000 espectadores, pero con un costo de sólo $2,600 por anuncio ¿Cómo se afecta la Función Objetivo y la Solución Óptima?

53


SENSIBILIDAD (SB):24 Muebles Modulares S.A. de C.V., fabrica cuatro modelos de sillas: Ultraconfort, Lux, Superflex y Picnic; los cuales desarrollan en cuatro procesos distintos: Moldeo, Ensamble, Tapicería y Acabados. Considere la siguiente información de horas y costo por producto en cada proceso, además de los precios de venta: Moldeo Modelos

Tiempo

Ultraconfort Lux

Cto.

Tiempo

5 hrs.

$10

3 hrs.

4 hrs.

$8

Superflex

2.5 hrs.

Picnic

1 hr.

Disponibles

Ensamble

Cto.

Cto.

Precio de Venta

1.5 hrs.

$3

4 hrs.

$6

$70

1 hr.

$3

3 hrs.

$6

$50

2 hrs.

$5

Cto. $6

$5

$5

$4

5 hrs.

$9

1100 hrs.

Acabados Tiempo

Tiempo

1.5 hrs.

2000 hrs.

Tapicería

$45 1 hr.

900 hrs.

$4

$43

1300 hrs.

Los costos fijos ascienden a $10,000. a) Plantea el Modelo matemático de PL para encontrar la combinación que dé la utilidad máxima. b) Indica la Solución del Problema incluyendo la Sensibilidad. c) Considera una disminución del 30% en la disponibilidad de moldeo ¿Cuál será la mezcla de producción sugerida y cuál será el monto de la utilidad máxima? d) Si el precio de Ultraconfort aumenta a $90 dejando todas las variables originales ¿Cuál será la mezcla de producción sugerida y cuál será el monto de la utilidad máxima? e) Considera que todos los gastos variables aumentan un 20%. ¿Cuál será la mezcla de producción sugerida y cuál será el monto de la utilidad máxima? f) Es conveniente subcontratar algún proceso. Determina el costo, por hora, máximo subcontratada que se debería pagar.

54

Sensibilidad

SENSIBILIDAD (SB38):25 Química del Norte S.A. de C.V. empresa que a pesar de su tiempo de estar en el mercado, va creciendo debido a su variedad de productos químicos que tiene en el mercado. La fabricación de sus productos principales: aditivo para aceites de motor y base para solventes, están elaborados a base de 3 materiales principalmente. A continuación se muestra una tabla, donde se establecen las mezclas de cada producto (en toneladas) con los mínimos necesarios de toneladas de material por tonelada de producto terminado: Toneladas de material Producto (material) 1

Aditivo(para aceites)

Base(para solvente)

Toneladas máximas disponible

0.35

0.45

40 toneladas

0.25

10 toneladas

0.3

42 toneladas

2 3

0.65

Como ha de ser de su conocimiento, todo material químico por naturaleza tiende a degradarse, por lo que se debe de desechar como material inutilizable. El director de producción contabilizó las cifras de fabricación, asignando los costos de mayor relevancia para dicha producción, llegando a la conclusión que el beneficio por tonelada producida y vendida, es de $50 del aditivo para aceite de motor y de $40 de la base para solvente. a) Establece un modelo de PL que te ayude a determinar las toneladas de cada producto, de tal manera que la utilidad sea la máxima. b) De acuerdo al análisis de sensibilidad determina: i.

Si la ganancia por cada tonelada de aditivo, aumenta de $50 a $65, ¿deberé cambiar mi mezcla óptima de producción? Explica por qué.

ii.

Le ofrecen a Química del Norte 8 toneladas de material 3, a un precio de $40/ton. ¿Le conviene adquirirlos y usarlos en esta corrida de producción? Explica con cifras.

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PROGRAMACIÓN ENTERA PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):01 Un pequeño taller de muebles fabrica 3 tipos de mesas: redondas, rectangulares y cuadradas. Cada mesa, lleva un proceso de corte de piezas, montaje, y pintura. Los tiempos de proceso, así como los tiempos máximos disponibles en cada departamento, y las ganancias por tipo de mesa, para el mes que viene, están dadas por la siguiente tabla: Corte (Hrs.)

Montaje (Hrs.)

Pintura (Hrs.)

Utilidad por mesa ($)

Redondas

6

8

10

90

Rectangulares

2

4

10

50

Cuadradas

8

10

8

100

Cuadradas (sin pintar)

8

10

0

60

300

400

600

Modelo

Hrs.Disponibles

La mesa cuadrada, puede venderse también sin pintar. El taller tiene muy buena calidad, y puede vender prácticamente todas las mesas que produzca, independientemente del modelo que se trate. Determine la mezcla de producción que permita al taller maximizar su utilidad para el próximo mes. a) Especifique y toma correctamente las variables de decisiones (VD), función objetivo, limitaciones, así como los valores óptimos de las VD y la función objetivo. Tip: Analice sin restricción de enteros, y luego con restricción de enteros.

Programación Entera

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):02 La compañía Muebles Modernos S.A. fabrica mesas y sillas. Una mesa requiere 2 horas de trabajo y 18 pies de tabla de madera, y una silla requiere 2 horas de trabajo y 10 pies de tabla de madera. Actualmente la compañía dispone de 12 horas de trabajo y 84 pies de madera. Cada mesa contribuye con 140 pesos de utilidad y cada silla con 80 pesos. a) Determina un modelo lineal entero y resuélvelo, de tal manera que la utilidad de la mueblería sea máxima.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):03 Solución Real (SR) tiene de presupuesto $20’000,000 para adquirir nuevas propiedades para rentar. Solución Real baja las opciones de inversión al realizar un estudio inicial, en zonas de viviendas y departamentos. Existen 5 viviendas que tiene un valor de $2’820,000. Todo el inmueble de departamentos tiene un valor de $4’000,000 y el desarrollador dispone los que SR pretenda. El encargado de la posesiones de SR, cuenta hasta con 140 hrs para dedicarles a estas propiedades que quieren; a una vivienda se le dedicaran 4 hrs al mes, mientras que a cada edificio de departamentos se le inviertan 40 horas. Cada vivienda arrojará un flujo de efectivo de $10,000 y $15,000 cada ed. De departamento, esto después de deducir los costos operacionales e hipotecarios. a) Al dueño de SR quiere saber la cantidad de viviendas y de edificios de departamentos que debe de adquirir, de tal manera que el flujo de efectivo anual se maximice.

57


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):04 El gobierno de Jalisco ha localizado 4 predios para construir estaciones de bomberos en la zona urbana de Guadalajara. Por cuestiones presupuestales, no puede elegir todos los predios, pues sólo dispone de $30’000,000 para esta partida. El cuadro inferior contiene la información de los costos de inversión de la estación en cada locación, así como la cantidad de ciudadanos potencialmente atendidos (lo cual depende del tamaño del predio, número de camiones, densidad de población, etc.): Localización

Costo

Población atendida

Zapopan

$9’000,000

1’000,000

Tlaquepaque

$6’000,000

500,000

Tonalá

$5’400,000

300,000

Guadalajara

$10’000,000

1’300,000

Tlajomulco

$5’000,000

300,000

a) Elabora un problema de programación lineal, para definir en cuales proyectos debe invertirse para optimizar la población atendida, dadas las restricciones presupuestales. Tome en cuenta que el proyecto se hace o no al 100%, pues no es posible invertir parcialmente.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE39):05 Una empresa dedicada a la planificación de bodas, utiliza publicidad en radio para promover su negocio. Dos tipos de anuncios están disponibles: los que se difunden a horas de mayor audiencia, y los que se transmiten a otras horas. Cada anuncio durante las horas de máxima audiencia cuesta $390, y llega a 8200 personas; en tanto que los anuncios en horas no pico cuestan $240 cada uno y llegar a 5100 personas. La empresa tiene un presupuesto de publicidad de $1800 semanales. Basada en comentarios de sus clientes, desea tener por lo menos 2 anuncios en horas de 58


máxima audiencia, y no más de 6 en horas no pico. a) Plantea esta situación como un problema lineal y resuelve con Solver (sin restricción de enteros) b) Encuentra una buena solución óptima entera redondeando o suponiendo una respuesta. c) Resuelve el problema como un problema de programación entera, mediante ramificación y acotamiento.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):06 TIA INC., está planeando invertir $1,000,000 Dlls. este año, y otro $750,000 Dlls. el año entrante, en proyectos de investigación y desarrollo. Tiene identificados una lista de 5 proyectos interesantes. Estos proyectos, los montos de capital a invertir en los primeros 2 años, y los retornos de capital (ganancias a valor presente) esperadas en los próximos 5 años, se muestran en la tabla adjunta. Cantidades en Millones de dólares Proyecto

1

2

3

4

5

Retorno

5

10

7

4

6

Inversión año 1

0.5

0.3

0.4

0.1

0.25

Inversión año 2

0.3

0.15

0.25

0.1

0.2

a) Plantea un problema de programación lineal para seleccionar la mezcla óptima de proyectos a invertir. b) Vuelve a resolver el problema, considerando que de los proyectos 1 y 4, sólo uno debe seleccionarse.

59


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):07 Los laboratorios Klinik S.A. de C.V. efectúan pruebas de orina de 2 tipos, que llamaremos Prueba 1 y Prueba 2. Cada prueba lleva dos etapas E1 y E2. Dos máquinas (M1 o M2), pueden ser compradas para llevar a cabo la etapa E1, y otras dos máquinas (ya sea M3 o M4) deben comprarse para la etapa E2. La tabla siguiente, muestra el tiempo en cada uno de los procesos de las pruebas en cada máquina. Etapa 1

Etapa 2

M1

M2

M3

M4

Prueba 1

0.3

0.5

0.2

0.4

Prueba 2

0.2

0.6

0.3

0.5

Las capacidades semanales en horas-máquina disponibles para la M1, M2, M3 y M4 son 110, 140, 120 y 150 respectivamente. a) Determina que máquinas debe comprar, mediante PL con el fin de maximizar el número de pruebas realizadas semanalmente.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):08 Un fabricante puede vender su producto 1 y obtener una utilidad de 2 dólares por unidad y del producto 2 obtendrá 5 dólares de utilidad por unidad. La elaboración del producto 1 se hace a partir de 3 unidades de la materia prima que utiliza la fábrica; mientras que el producto 2 se fabrica con 6 unidades de la misma materia prima. Se dispone de un total de 120 unidades de materia prima. El costo de preparación para la elaboración de cualquier cantidad del producto 1 es de 10 dólares y para cualquier cantidad elaborada del producto 2 el costo sería de 30 dólares. a) Plantea un Programa Entero para maximizar las utilidades, definiendo claramente las variables y el modelo matemático. Resuelva con Solver. 60


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):09 Un fabricante puede vender su producto 1 y obtener una utilidad de 3 dólares por unidad y del producto 2 obtendrá 7 dólares de utilidad por unidad. Se necesitan 4 unidades de materia prima para elaborar una pieza de producto 1, y 12 unidades de materia prima para fabricar una pieza del producto 2. Se dispone 320 unidades de materia prima para ambos productos. Los gastos de los preparativos para la elaboración de cualquier cantidad del producto 1 es de 20 dólares y para cualquier cantidad elaborada del producto 2 el costo sería de 40 dólares. a) Plantea un Problema Entero para maximizar las utilidades. Resuelve con Solver.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):10 El departamento de marketing de la manufacturera IMX, ha lanzado 3 productos nuevos al mercado. El departamento ha prevenido el exceso de diversificación de sus productos. Para lograrlo se elaborarán 2 de los 3 productos que han lanzado. La siguiente tabla, muestra la información del análisis del departamento de marketing para estos productos. X1

X2

X3

Hrs. Disponibles

Proceso A

3

4

2

30

Proceso B

4

6

2

40

Ganancia Unitaria

500

700

300

Ventas Potenciales

70

50

90

a) ¿Qué productos sugieres fabricar en base a la información de la siguiente tabla, buscando obtener las ganancias máximas?

61


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE40):11 Una constructora especializada en construir casas económicas, ha identificado 7 terrenos potenciales para construir casas unifamiliares, pero no puede construirlas en todos los sitios, debido a que su inversión a lo más es de 3 millones de pesos. La constructora ha determinado los costos y los beneficios esperados por localidad. Observa que los costos en cada sitio difieren, por el costo de los terrenos, la preparación del sitio, las diferencias entre los modelos de casas que se construirán, y los costos de los permisos para construir: Costo

Utilidad esperada

Zapopan Norte

Localización

$1’060,000

$100,000

Zapopan Sur

$1’200,000

$110,000

Tlaquepaque

$650,000

$80,000

Tonalá

$585,000

$60,000

Guadalajara

$1’340,000

$120,000

San Agustín

$600,000

$63,000

Tlajomulco

$535,000

$30,000

a) Establezca esta situación como un problema de PL y utiliza Solver para resolverlo. Interpreta tu respuesta, de tal manera que la constructora pueda elegir el o los proyectos en los que pueda invertir su capital, obteniendo la utilidad máxima.

62


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):12 Confecciones Finas de Yucatán S.A. de C.V. fabrica 3 tipos de prenda de vestir: guayaberas, shorts, y vestidos, todos confeccionados en tela de manta. Para producir guayaberas, debe rentar maquinaria a $2,400 pesos/semana; la maquinaria de shorts es otra, y cuesta $2,080 pesos/semana. Finalmente, la de maquinaria para producir vestidos se debe rentar en $2,720 pesos/semana. En el cuadro inferior se muestra para cada tipo de prenda, el número de horas de mano/obra que se requieren por prenda y los de tela, su precio de venta y costo de variable unitario: Prenda

Hrs. de mano de obra

m2 de tela

Precio unitario

Costo variable unitario

Guayaberas

3

4

190

95

Shorts

2

3

130

65

Vestidos

6

4

240

130

La empresa textil cuenta con 150 hrs de mano/obra a la semana y 160 de tela por semana. a) Establece un problema PL para maximizar la utilidad por semana.

63


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):13 Todo en Piel S.A. es una empresa que cuenta con varios convenios de venta de lotes de chamarras, chalecos y pantalones. La fabricación de estos productos es muy exclusiva, debido a que son de piel, se requiere en su proceso la preparación de sus máquinas especiales. Lo requerimientos mínimos necesarios para la fabricación y venta por prenda se muestran en la siguiente cuadro, así como los costos de preparación y de producción. Pantalones

Chalecos

Chamarras

10

6

16

Horas mano/obra por prenda

8

6

10

Gasto de fabricación por prenda ($)

60

40

160

Precio por unidad ($)

120

80

240

Preparación de maquinaria costo/lote

200

160

300

Piel/prenda en ft2

La empresa cuenta con 2500 hrs de mano/obra y 3000 ft2 de piel. a) Encuentra el número de prendas que optimicen la producción de la empresa, bajo 2 supuestos: a) No existe una cantidad determinada mínima a producir de ninguna de las prendas. b) Por requerimiento del contrato, se deben producir al menos 200 pantalones y 100 chamarras, pero no más de 200 chalecos.

64


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):14 La empresa aérea Air Caribbean no desea programar más de un viaje diario desde Cancún a los siguientes destinos: Miami, Dallas, Atlanta y San Antonio. Los horarios de salida que dispone son: 9:00 am, 11:00 am y 4:00 pm. La aerolínea tiene un costo de alquiler de los aviones de 5,000 dólares en un horario mayor igual a las 11 am, después de las 11 am el costo es de 3,000 dólares, siempre y cuando alquile a lo menos 2 aviones en cada hora de salida. Asimismo, por cada vuelo a Dallas en determinada hora, habrá un vuelo hacia Miami en la misma hora de partida. El margen esperado del beneficio por viaje, sin considerar el alquiler de los aviones, se muestra en el cuadro inferior. Horario de salida 09:00 a. m.

11:00 a. m.

4:00 p. m.

Miami

10

8

8

Dallas

15

13

11

Atlanta

14

11

9

San Antonio

17

15

10

a) Determina la utilidad máxima mediante un modelo de programación lineal.

65


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE41):15 Un grupo de jóvenes montañistas planean un viaje de campamento para las siguientes vacaciones. Durante el viaje, habrá que caminar varios kilómetros, cargando cada quién su mochila. Una joven ha identificado varios artículos que le gustaría llevar, pero el peso combinado es demasiado grande para llevarlos todos. Decidió valorar cada artículo en una escala de 1 a 100, con 100 como el más útil. Los pesos de los artículos en kilos, y su valor de utilidad son: Artículo

1

2

3

4

5

6

7

8

Peso (kg)

2.7

1

4

3.6

0.4

5.4

2.3

6.3

Utilidad

75

35

50

55

50

80

60

70

Se estableció como límite máximo 16 kilos para el total de los artículos a transportar. a) Formula un problema de PL, tomando en cuenta las variables de decisión, la función objetivo y las limitaciones, para maximizar la utilidad de los artículos transportados, sin exceder el peso máximo establecido. b) Considera ahora que el artículo 3 es un paquete de baterías, que puede ser utilizado con varios artículos, y que el artículo 5 es un reproductor de CD’s que requiere necesariamente el paquete de baterías, de modo que si no se lleva el paquete de baterías, es inútil llevar el reproductor de CD’s. Reformule el problema con esta nueva restricción, y resuelva. c) Finalmente, piensa que además de la condición establecida en el inciso b), la estudiante decide que si lleva el paquete de baterías, definitivamente también le gustaría llevar una lámpara, marcada como articulo número 8. Reformula y resuelve.

66


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):16 Comercializadora de Plásticos S.A. es una empresa con bodegas en el mercado de abastos de Guadalajara. Tiene una flota de camiones propios para vender en los poblados de Jalisco, Colima y Nayarit. Cada camión tiene un tonelaje de carga de 6 y un volumen de 3000 pies cúbicos (ft3). La empresa maneja 4 tipos de contenedores, cuyos pesos, capacidades y márgenes de utilidad por unidad, vienen indicados en la tabla inferior. CONTENEDOR 1

2

3

4

2

2.2

1.1

2.5

Volumen (ft3)

1400

1200

900

1300

Margen ($)

2900

3500

2000

3700

Peso (ton)

No se debe llevar más de un contenedor del mismo tipo por camión. Además, si el contenedor 2 es incluido, entonces el 3 también debe ser incluido, pero es posible llevar el contenedor 3 sin tener que llevar el 2. a) Formula un problema para determinar cuáles contenedores deben incluirse en un camión para maximizar la utilidad.

67


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):17 Cosméticos Superlook es una fabricante de cosméticos, y debe determinar cuáles de sus 10 productos estrella deben ser exhibidos en los aparadores de una gran cadena de tiendas departamentales. Cada tienda tiene disponible un espacio de exhibición de 1ft x 3ft x 2ft para los productos de Superlook. El margen de cada uno de los productos estrella, así como el espacio ocupado, vienen en la tabla adjunta. Cada espacio está expresado en pies cúbicos (ft3) e incluye el espacio para el producto, así como de los accesorios decorativos necesarios para exhibirlo de manera atractiva. Producto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Margen

$3

$2

$1

$4

$9

$7

$6

$3

$2

$8

0.5

0.6

0.4

1

1.2

1.7

1.5

0.4

0.3

2.1

Volumen ft

3

Superlook piensa que los productos 3 y 8, que son agua de colonia para hombre y para mujer, deben ir juntos. Además, el producto 9 complementa muy bien al producto 1, de modo que si el producto 1 se incluye, también debe incluirse el producto 9 (más no al revés). Los productos 2, 4, 6, 8 y 10 son nuevos productos, y por lo menos 2 de ellos deben ser exhibidos. Finalmente, los productos 1 y 4 son muy similares, de modo que no es necesario mostrar ambos juntos. a) Determina la combinación de productos que tengan un mayor potencial de ganancia, mediante un modelo de PL.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE42):18 Fomento de Capitales S.A. es una empresa de capital de riesgo que en la actualidad está evaluando 6 diferentes oportunidades de inversión. No dispone de suficiente capital para invertir en todas ellas, pero elegirá más de una. Las variables x1, x2, x3, x4, x5 y x6 y representan las 6 opciones. 68


Para cada una de las siguientes situaciones, escriba una restricción (o varias en caso necesario) que deberían ser utilizadas: 1) Se tienen que seleccionar por lo menos 5 de estas opciones. 2) Debe ser elegida la inversión 1 y la 4. 3) Si se elige la inversión 6, se debe seleccionar la 4. Sin embargo, si no se elige la inversión 6, es posible o no elegir la 4. 4) La inversión 5 no puede ser elegida a menos que la 2 y la 3 también sean seleccionadas. La inversión 5 debe ser seleccionada si la 2 y la 3 también son seleccionadas. a) Determina que oportunidad de inversión debe de elegir mediante un modelo de PL con variables binarias.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):19 Fondo Jalisco S.A. de C.V., es una empresa de un grupo de inversionistas que está evaluando actualmente 4 proyectos de inversión. El valor presente neto de cada uno de los proyectos se muestra en el cuadro de abajo. También se indica la cantidad de inversión inicial que requiere cada uno de los proyectos. La cantidad total de que dispone actualmente el fondo para invertir es de $1’600,000. En la última junta de consejo, se tomaron algunas decisiones: 1) Debe invertirse cuando mucho en 3 de los proyectos. 2) Si se invierte en el proyecto 1, debe también invertirse en el proyecto 2. 3) Si se invierte en el proyecto 2, no puede invertirse en el proyecto 3. a) Determina un modelo de PL que ayude a maximizar el valor presente neto por proyecto. Tome en cuenta que cada proyecto debe tomarse completo, no parcialmente.

69


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):20 Suponga que cuenta con tres opciones de telefonía celular. La compañía telefónica 1 cobra $160 por mes más $1.25 el minuto de larga distancia. La segunda compañía telefónica ofrece un plan por $250 al mes más el costo por minuto de larga distancia (LD) a $1.21; en cambio la tercera compañía cuesta $180 más $1.22 por minuto utilizado de larga distancia. La tarifa fija no se paga cuando no se realizan más de 200 min de llamadas de LD, que por lo general se hacen, y además que se puedan dividir las llamadas entre las compañías según convenga. a) Minimize los costos de uso de telefonía mediante un problema de programación entera. b) ¿Con qué compañía(s) debería usted contratar su plan telefónico? ¿Cuál sería el costo total? Utiliza Solver.

70


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):21 El estado de Jalisco debe construir 3 plantas de tratamiento de agua, debido a la contaminación excesiva del río Santiago. Se seleccionaron 3 sitios (1,2 y 3). El Gobierno está interesado en controlar los niveles de contaminación de 2 contaminantes, a los que denominaremos A y B. Para dejar el agua dentro de normas, deben eliminarse 80,000 Ton al año de contaminante A, y 50,000 del contaminante B. La información sobre costos de construcción y de operación se encuentran en la tabla adjunta. Costo de Lugar construcción de la planta (dlls.)

Costo limpiar 1 ton de agua (dlls.)

Tonelada de contaminante por tonelada de agua tratada Contaminante A

Contaminante B

1

100,000

20

0.4

0.3

2

60,000

30

0.25

0.2

3

40,000

40

0.2

0.25

a) Formula y resuelve un problema de PL, para decidir cuántas y cuáles plantas deben construirse para que el costo anual se minimice.

71


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE43):22 Quickcel, una empresa de telefonía celular, requiere instalar nuevas torres de transmisión para dar servicio a diferentes áreas. Para ello se superpone una cuadrícula en un mapa, para determinar dónde se deberán localizar las torres. La cuadrícula se compone de 8 áreas rotuladas del 1 al 8. Se han identificado 6 posibles ubicaciones para las torres (A-F) y cada una podría dar servicio a varias áreas, según se indica en la tabla anexa. Torre

Áreas atendidas

A

1,2,4

B

2,3,7

C

3,4,5,6

D

5,6,8

E

5,7,8

F

1,4,6

a) Establece un modelo de programación entera con variables binarias, de modo que se minimice el número de torres requeridas para cubrir todas las áreas. b) Resuelve con Solver o algún otro programa de optimización.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE44):23 Un contratista va a llevar arena a 3 construcciones. El contratista compra arena de 2 bancos, en uno de ellos compra hasta 36 toneladas y se encuentra al norte de la ciudad, en el banco que está hacia el sur compra hasta 28. El número de toneladas que va a llevar a la construcción 1, por lo menos 20 toneladas, para la construcción 2 por lo menos 10 y por último para la construcción 3 acarreará por lo menos 12 toneladas. La siguiente tabla muestra los precios que el contratista les da a cada construcción por tonelada, según la mina de donde lo vaya a transportar.

72


Precio por tonelada Mina

Construcción 1

Construcción 2

Construcción 3

Norte

$140

$110

$180

Sur

$160

$190

$100

El contratista requiere además contratar camiones (y sus choferes) para el acarreo; cada camión puede usarse sólo para llevar arena desde a una construcción; el costo por contratar cada camión es de $170 por viaje. La capacidad de un camión es de hasta 5 toneladas. a) Minimiza el costo total por la compra y transporte desde cada mina a cada una de las construcciones utilizando un modelo de PE.

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):24 Corporativo Delta S.A. de C.V. cuenta para su inversión diferentes opciones. Las opciones de mayor potencial, VPN, capital requerido y capital disponible para el próximo trienio, se presenta en el siguiente (cifras en miles de pesos): Opciones

VPN ($)

Requerimiento de Capital ($) Año 1

Año 2

Año 3

Crecimiento de almacenes

60,000

45,000

15,000

60,000

Plantas de autogeneración de electricidad

90,000

37,500

52,500

52,500

157,500

90,000

60,000

75,000

60,000

30,000

22,500

27,000

120,000

75,000

15,000

60,000

45,000

15,000

7,500

13,500

157,500

105,000

131,250

Prueba de mercadeo del nuevo producto Campaña publicitaria Sondeo de mercado Inversión en nueva tecnología Fondos de Capital disponibles

a) El corporativo desea establecer la combinación de inversión, de tal manera que maximice el valor presente neto. Estructura un modelo de PL para poder resolver esta situación que se te plantea.

73

PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):25 Aceros GDL está evaluando una posible expansión de su empresa a otras ciudades. Considera que Tepatitlán es una buena opción al igual que Ciudad Guzmán o posiblemente ambas ciudades se podrían construir una fábrica y un almacén. El departamento de producción, establece que la construcción de un almacén en algunas de estas ciudades, es un hecho. Pero si se construye un almacén, tiene que haber una fábrica y la decisión será tomada según las restricciones que se muestran en la siguiente tabla. # de decisión

Pregunta sí o no

Variables de Decisión

VPN (Beneficio)

Capital Requerido

1

Construir fábrica en los Tepatitlán

X1

9,000

6,000

2

Construir fábrica en San Cd. Guzmán

X2

5,000

3,000

3

Construir almacén en los Tepatitlán

X3

6,000

5,000

4

Construir almacén en San Cd. Guzmán

X4

4,000

2,000

Disponible

a) ¿Dónde deberían construirse la(s) fábrica(s) y el almacén?

10,000


PROGRAMACIÓN ENTERA (PE):26 Frigoríficos del Norte está contemplando una inversión a 4 años en proyectos de capital variable. El gerente seleccionará aquellos proyectos con mayor rentabilidad por valor presente, debido a su capital restringido cada año. El valor presente neto (flujo de efectivo generado por proyecto a partir del primer año) para cada proyecto, y el capital, tanto los requerimientos como lo que se dispone durante el periodo de cuatro años se muestran en la siguiente tabla: Expansión de Expansión de la Planta Almacenes

Maquinaria Nueva

I&D

VPN

90,000

40,000

10,000

37,000

Req. Capital 1er año

15,000

10,000

10,000

15,000

40,000

Req. Capital 2do año

20,000

15,000

10,000

50,000

Req. Capital 3er año

20,000

20,000

10,000

40,000

Req. Capital 4to año

15,000

5,000

10,000

35,000

4,000

Capital Disponible

La empresa desea maximizar el VPN (rentabilidad) de cada proyecto, puesto que se trata de la elaboración del presupuesto con 4 restricciones: una por cada año en cuanto a los fondos de inversión disponibles. Donde la función objetivo dependerá del VPN. a) Plantea un problema de programación entera para maximizar la rentabilidad. b) Resuelva el problema en Solver. ¿Qué proyectos se llevarían a cabo? ¿Cuál sería el valor presente neto total?

75


TRANSPORTE TRANSPORTE (TP45):01 GM de México puede enviar un total de 400 autos por camión, y 1,200 por ferrocarril, desde su planta de Silao, Gto., a sus distribuidores de las zonas metropolitanas de México D.F., Guadalajara, Monterrey y Puebla. El costo de envío por automóvil a las distribuidoras vía terrestre (por camión o tren), y las demandas de las mismas se muestran en el siguiente cuadro: Costo de embarque ($/carro) hacia: Transporte

DF

Guadalajara

Monterrey

Puebla

Camión

3,000

2,000

5,000

4,000

Tren

4,500

3,000

7,500

6,000

600

300

500

200

Demanda

a) Construya un modelo de transporte, de tal manera que se minimice el costo de envío por unidad desde la planta a los distribuidores sea el menor posible.

TRANSPORTE (TP46):02 Equipos Médicos S.A. renta equipo de rayos X a hospitales. Actualmente hay 3 máquinas ubicadas en Puebla, 2 en Mérida y 3 en Veracruz. Hay hospitales en Villahermosa que requieren 4 máquinas. En Jalapa y Tampico necesitan cada uno dos máquinas. El costo en pesos de enviar una máquina tabla por hospital, en las diferentes ciudades, se muestra en la tabla inferior: Desde/Hacia Mérida 76

Villaher.

Jalapa

Tampico

1,000

1,800

1,900

Transporte

Puebla

1,200

900

1,500

Veracruz

1,000

500

900

a) Formula un modelo matemático para determinar cuántas máquinas deberían enviarse desde cada ciudad a cada hospital, para incurrir en el costo mínimo. Especifica variables de decisión, función objetivo, restricciones, así como los valores óptimos de las variables de decisión y función objetivo. b) Da tu respuesta sin usar la restricción de enteros.

TRANSPORTE (TP):03 Industrias MiTonel debe programar la producción de tanques de agua de 4500 L para los próximos 4 meses. Se tienen contratos de entrega de 30 tanques para enero; 25 para febrero; 29 para marzo; y 34 para abril. Se tiene una capacidad normal de 27 tanques al mes. Usando tiempo extra, se pueden llegar a producir 5 unidades más. Un tanque fabricado en tiempo normal cuesta $400. En tiempo extra, cuesta $600. El costo mensual de almacenaje es de $50 por cada tanque. a) Determine el plan de fabricación / inventario óptimo para los próximos 4 meses.

TRANSPORTE (TP47):04 La Corporación Nacional Forestal de Chile, está recibiendo 4 licitaciones para talar 3 bosques de pino tipo Oregon en la región chilena de la Araucanía. Las 3 ubicaciones incluyen 2,500, 5,000 y 7,500 hectáreas.

A un solo licitador se le puede adjudicar cuando mucho 50% del total de hectáreas disponibles. Las propuestas de los 4 licitadores son como sigue: (US Dólares / Hectárea) 77


Licitador/Bosque

A

B

C

1

$1,000

$450

$1,150

$1,050

$950

2 3

$1,300

4

$380

$500 $860

$1,420

a) Formula un problema de transporte para maximizar el ingreso de la Corporación Nacional Forestal.

TRANSPORTE (TP):05 Una empresa fabrica autopartes para 3 grandes firmas armadoras de autos. Cada semana, el cliente 1 requiere 35 unidades; el cliente 2, 35 unidades; y el cliente 3, 30 unidades. La empresa tiene 2 almacenes. Por cuestiones de mantenimiento, el almacén “A” podrá surtir 40 unidades la semana entrante, en tanto que el almacén “B” podrá surtir 30 unidades. La siguiente tabla muestra los gastos por almacén a cada uno de los tres clientes: Cliente 1

Cliente 2

Cliente 3

Almacén A

20

40

30

Almacén B

55

15

45

Existe una penalización por incumplimiento con cada cliente, que es de $80 por unidad no entregada. Utilizando el algoritmo de Vogel: a) Encuentra una solución básica para minimizar los costos de transporte y de penalizaciones en este problema de transporte. b) Verifica si tu solución es o no degenerada, y después, mediante el algoritmo de piedra por piedra, determina si se puede encontrar una solución mejorada. c) Si es así, procede a mejorarla y nuevamente aplica el algoritmo de piedra por piedra, hasta hallar la solución óptima. 78

Transporte

TRANSPORTE (TP):06 Una empresa fabrica componentes electrónicos para 3 grandes firmas armadoras de equipo de cómputo. Cada semana, el cliente A requiere 50 unidades; el cliente B, 40 unidades; y el cliente C, 30 unidades. La empresa tiene 2 almacenes. Por cuestiones de mantenimiento, el almacén “Norte” podrá surtir 55 unidades la semana entrante, en tanto que el almacén “Sur” podrá surtir 45 unidades. La siguiente tabla muestra los gastos de traslado con cada uno de los clientes: Cliente A

Cliente B

Cliente C

Almacén Norte

75

35

60

Almacén Sur

40

60

50

Existe una penalización por incumplimiento con cada cliente, que es de $100 por unidad no entregada. Utilizando el algoritmo de Vogel: a) Encuentra una solución básica para minimizar los costos de transporte y de penalizaciones en este problema de transporte. b) Verifica si tu solución es o no degenerada, y después, mediante el algoritmo de piedra por piedra, determine si se puede encontrar una solución mejorada. c) Si es así, procede a mejorarla y nuevamente aplica el algoritmo piedra por piedra, hasta hallar la solución óptima.

TRANSPORTE (TP):07 Una empresa tiene un campo con frambuesas desde donde envía toda la cosecha a través de camiones, a dos bodegas refrigeradas de gran tamaño, en donde se almacena para su envío a centros de distribución (CEDIS) en otros dos puntos del país. 79


La oferta diaria en el campo es de 1,400 kilogramos de frambuesas. La tabla que a continuación se presenta muestra los costos de transporte por kilogramo, desde el campo hasta las bodegas refrigeradas, así como la capacidad máxima de cada bodega: Costo

Refrigerador 1 Campo

$

0.20

Capacidad

Refrigerador 2 $

0.15

Bodega Ref 1

Bodega Ref 2

1000

500

La información de los costos por envío desde la bodega hacia los centros de distribución (CEDIS), así como la capacidad máxima de embarque desde cada bodega a cada CEDIS: Costo

CEDIS 1

Capacidad CEDIS 2

CEDIS 1

CEDIS 2

Bodega Ref. 1

$

0.10

$

0.20

700

400

Bodega Ref. 2

$

0.15

$

0.25

200

600

Demanda

600

800

a) Estructura un problema de transbordo con capacidades, y resuelva mediante PL para encontrar el costo mínimo de enviar la frambuesa a los Centros de Distribución.

TRANSPORTE (TP):08 ATM fabrica terminales mecánicas en dos plantas, una en Guadalajara y una en Monterrey. La fábrica de Guadalajara produce hasta 160 terminales por día y la fábrica de Monterrey puede producir 200 terminales por día. Las terminales se envían por aire a clientes en San Francisco y Houston. Los clientes de cada ciudad requieren 130 dispositivos por día. ATM cree que podría ser más barato enviar primero algunos dispositivos a Tijuana o Reynosa, y luego enviarlos a las ciudades por tierra. Los gastos y las capacidades máximas de envío a cada destino se encuentran en las tablas a continuación. 80

Transporte

Costos

Capacidad

Tijuana

Reynosa

Tijuana

Reynosa

Guadalajara

8

12

200

100

Monterrey

15

5

300

220

Costos

Capacidad

San Francisco

Houston

San Francisco

Houston

Tijuana

8

17

200

300

Reynosa

19

14

500

200

a) Estructure un problema de transbordo con capacidades, de tal manera que los gastos por el envío de las terminales sea el mínimo, atendiendo los requerimientos de los clientes.

TRANSPORTE (TP48):09 Cementos Guadalajara tiene plantas de concreto en 3 ciudades, y en estos momentos tiene pedidos en 3 construcciones en diferentes lugares. Los costos por el arrastre del concreto, número de camiones por semana y los requerimientos de las construcciones, se muestran en la tabla siguiente:

Proyecto X

Proyecto Y

Proyecto Z

Capacidades de planta

PLANTA 1

$12

$5

$13

60

PLANTA 2

$17

$8

$9

40

PLANTA 3

$11

$13

$8

50

Requerimientos del proyecto

70

30

50

a) Mediante el modelo de Vogel (costos de oportunidad), calcula una solución de inicio que minimice el costo de transporte semanal. b) Una vez obtenida la solución inicial, evalúa cada celda vacía por medio del método del escalón, y determina si es posible obtener una solución mejorada. 81


TRANSPORTE (TP49):10 Computadoras “La favorita” posee 3 plantas de ensamblado de computadoras, con las siguientes capacidades de producción mensual: Plantas

Unidades

Morelia

1800

León

1900

Aguascalientes

1700

Las PC’s son vendidas a través de una cadena de 4 tiendas de menudeo, las cuales han hecho los siguientes pedidos: Tiendas

Unidades

Guanajuato

1600

Zacatecas

1000

Durango

1100

Zapopan

1700

El costo de envío de cada computadora desde las plantas de ensamblado hasta las tiendas detallistas es como sigue: Tiendas Plantas:

Guanajuato

Zacatecas

Durango

Zapopan

Morelia

6

4

3

7

León

5

8

9

11

Aguascalientes

7

6

4

9

a) Usted es el Gerente de Logística, y es su labor formular un modelo matemático para conseguir que el costo de distribución sea el menor posible.

TRANSPORTE (TP):11 82

Transporte

Considera el siguiente problema de transporte donde 1, 2 son dos distribuidores que ofertan el mismo producto a granel que demandan X, Y y Z. Los costos se expresan en cientos de pesos ($) por tonelada. X

Y

Z

Oferta

1

25

16

14

50

2

56

42

38

20

Demanda

40

30

30

a) Indica el modelo de PL que minimice los costos por tonelada. b) Resuelve por Solver.

TRANSPORTE (TP):12 MG AUTOS es una empresa que fabrica automóviles en plantas localizadas en LA, Detroit y Nueva Orleans (NO). La capacidad trimestral de cada planta es: Ciudad

Capacidad

LA

1000

Detroit

1500

N. Orleans

1300

Para el próximo trimestre tienen la siguiente demanda de sus distribuidores: Ciudad

Demanda

Denver

900

Miami

700

Chicago

1300 83


Nueva York

1200

El costo por automóvil por milla es de $0.08 Dólares. a) Determine la distribución de autos que minimice el costo. b) Elabore un diagrama de red interpretando la solución c) ¿Cuántos autos se envían a cada distribuidor? d) Señale ofertas y demandas en el diagrama.

TRANSPORTE (TP):13 Tres huertos de naranja suministran cajas de naranja a 4 bodegas. La demanda diaria de cada bodega es de 250, 250, 500 y 200 cajas, respectivamente. El suministro de los huertos está sujeto a la cantidad de trabajadores (mano de obra), y se calcula en 250, 300 y 350 cajas por día. Sin embargo, los huertos “a” y “b” podrían abastecer mayor cantidad de cajas, de ser necesario, pagando horas extras en mano de obra. El huerto “c” no ofrece esta opción. El costo por caja, desde los huertos hasta las bodegas es el siguiente: (Dlls./caja) Huerto/Bodegas

1

2

3

4

a

$1

$2

$3

$2

b

$2

$4

$1

$2

c

$1

$3

$5

$3

a) Estructura y resuelve el problema de transporte, despreciando el costo adicional de mano de obra. Especifique claramente los signos de las restricciones. b) Considere ahora que el costo de las naranjas de los huertos a y b, se incrementa en $1.5 dólar por caja, a partir de las 250 y 300 cajas (respectivamente). Repite el problema bajo este nuevo supuesto. c) Comenta cuántas cajas extras debe suministrar el huerto “a” y cuántas el huerto “b” en cada caso. ¿Se utiliza completamente la capacidad de suministro del huerto “c”? 84

Transporte

TRANSPORTE (TP51):14 La Arrendadora Nacional de Carros de Ferrocarril (ANCAF) cuenta con una flota de carros-tanque para transporte de gasolinas para PEMEX. El viernes 13 de abril, tenía 35 carros vacíos en las ciudades de: Salamanca Gto., 25 carros; Cadereyta N.L. 50 carros, y Minatitlán Ver. Para el lunes 16 de abril, se tienen requerimientos de entregar gasolina en los depósitos de PEMEX en las siguientes localidades: Tampico, 40 carros; Aguascalientes, 35 carros; Puebla, 20 carros; Mérida, 15 carros. Las

distancias

en

kilómetros

entre

estas

localidades,

se

muestra

a continuación:

De / A

Tampico

Aguasc.

Puebla

Mérida

Salamanca

400

200

350

1500

Cadereyta

380

460

750

1700

Minatitlán

600

1000

450

700

a) Determina el envío de carros-tanque que minimice los km totales recorridas por los carros. Mencione cuántos son estos kilómetros totales recorridas. b) La solución obtenida: ¿es degenerada o no degenerada, y por qué? c) Según la sensibilidad de Solver: ¿Cuánto es el precio sombra de la restricción “Demanda de Tampico”? ¿Qué significa esta cifra? ¿En qué rangos es posible usar este precio sombra?

TRANSPORTE (TP52):15 Vista Profunda S.A. renta equipo especializado de rayos X a hospitales. Actualmente hay 3 máquinas ubicadas en Durango, 2 en Ciudad Juárez y 3 en Aguascalientes. 85


Hay hospitales en Ciudad de México que requieren 4 máquinas. Los de Toluca y Guadalajara necesitan cada uno tres máquinas. El costo en miles de pesos de enviar a cada hospital de las ciudades mencionadas se muestra en la siguiente tabla: Desde/Hacia

Ciudad de México

Toluca

Guadalajara

Durango

18

20

27

Ciudad Juárez

11

12

20

Aguascalientes

16

12

6

a) Formule un modelo matemático para determinar cuántas máquinas deberían enviarse desde cada ciudad a cada hospital, para incurrir en el costo mínimo. b) ¿Cuál ciudad se queda sin parte de su pedido? c) De acuerdo al informe de sensibilidad de Solver, ¿Cuánto necesita reducirse el costo unitario de la ruta Durango -Toluca para que conviniera el uso de esa ruta?

TRANSPORTE (TP):16 La empresa Muebles Ejecutivos S.A., fabrica escritorios de oficina en 3 localidades: Puebla, Veracruz y Oaxaca. La empresa distribuye los escritorios a través de almacenes distribuidos en México DF, Guadalajara, y Monterrey. En el siguiente cuadro se muestran las estimaciones de la capacidad de producción mensual en cada fábrica, y la demanda mensual de escritorios en cada almacén:

De/ A Puebla Veracruz Villahermosa Demanda 86

Guadalajara 5 8 9 300

Monterrey

México

4 4 7 200

3 3 5 400

Capacidad Planta 100 300 300

Transporte

La empresa ha comprobado que los costos de producción son idénticos en cada fábrica, por lo que los únicos costos relevantes son los de envío de cada origen a cada destino. Los costos por unidad, se muestran también en el cuadro de arriba. Determina cuántos escritorios es conveniente enviar de cada origen a cada destino, para minimizar los costos de distribución. Utiliza las siguientes técnicas: a) Solución inicial: esquina noroeste. Solución mejorada: piedra por piedra b) Solución inicial: Vogel. Solución mejorada: piedra por piedra c) Resolución mediante programación lineal usando Solver.

TRANSPORTE (TP53):17 Frutería “La Duranguense” importa plátanos de plantaciones en Guatemala y El Salvador, tanto a Manzanillo como a Veracruz. La compañía vende plátano en ambas ciudades, y luego redistribuye desde ahí a Villahermosa, Oaxaca y Querétaro. Este mes se van a cosechar 200,000 kg de plátano en Guatemala, y 100,000 en El Salvador. La demanda en Manzanillo es de 85,000 kg, y en Veracruz es de 60,000. Villahermosa necesita 60,000 kg; Oaxaca requiere 50,000 kg, y finalmente Querétaro desea 65,000 kg. Las distancias entre los puntos de producción, distribución y consumo, vienen dadas en la tabla adjunta. Manzanillo

Veracruz

Guatemala

2000

600

El Salvador

2300

900

Villahermosa

Oaxaca

Querétaro

Manzanillo

1486

1297

678

Veracruz

467

447

683

Se desea minimizar la cantidad de km recorridos por los plátanos (o sea, minimizar los kg-km recorridos) a) Construya un diagrama de flujo de la operación, con arcos, nodos, ofertas 87


y demandas. b) Resuelva el problema usando Solver.

TRANSPORTE (TP):18 SonicAl S.A. de C.V., empresa dedicada al ensamble de equipos de sonido, cuenta con 3 plantas en diversos sitios del país, y los distribuye a través de 3 almacenes situados en otras 3 ciudades. Las capacidades mensuales de cada planta, los costos de traslado por unidad, y los requerimientos mensuales de cada almacén, se muestran en la siguiente tabla: Almacén A

Almacén B

Almacén C

Capacidad de Planta:

Planta W

$8

$6

$11

200

Planta X

$12

$7

$10

175

Planta Y

$14

$9

$8

75

Demanda de almacenes

250

100

150

Para minimizar el costo del transporte de las bocinas de las plantas a los almacenes: a) Balancea el problema. b) Formula una solución factible inicial por medio del algoritmo de Vogel. c) Evalúa cada celda vacía, por medio del algoritmo de piedra por piedra, para verificar si existe una ruta alterna más económica. d) Resuelve el problema por medio de Solver.

TRANSPORTE (TP):19 PEMEX tiene una refinería en Cadereyta, N.L., con una producción de 400,000 barriles de gasolina/semana, y una en Ciudad Madero, Tamps., con nivel de 88

Transporte

producción de 600,000 barriles semanales. La gasolina es llevada a 4 tanques de acaparamiento. En una semana, el tanque del Distrito Federal necesitará 300,000 barriles; el de Monterrey, requiere 200,000; el de Toluca, necesita 400,000 barriles; y el de Guadalajara, 300,000. Los gastos por el envío desde las refinerías a las ciudades, por barril son los siguientes: Refinerías/Tanques almacenamiento

Distrito Federal

Monterrey

Toluca

Guadalajara

Cadereyta

0.2

0.06

0.08

0.1

Ciudad Madero

0.06

0.12

0.09

0.08

Si algún tanque de almacenamiento tiene faltantes, debe conseguirlos en el mercado, a un costo de: $22 Dlls./barril en Washington, $20 Dlls./barril en Monterrey, $23 Dlls. / Barril en Toluca, y $21 Dlls./barril en Guadalajara. a) Determina el plan de embarque de menor costo para le semana entrante. b) De acuerdo al informe de sensibilidad, ¿En cuánto aumenta o disminuye el costo total si el suministro de Cadereyta aumenta en 10 mil barriles/semana? (o sea a 410 mil barriles /. semana). c) Explica qué significan los datos del informe de sensibilidad para la ruta Ciudad Madero-Guadalajara.

TRANSPORTE (TP):20 Una compañía industrializadora de maíz, transporta el grano, desde 3 silos a 4 molinos. El número de tráileres disponibles para la semana entrante, así como las demandas en cada molino, y los costos (en miles de pesos) de cada camión cargado, se resumen en la siguiente tabla:

89


Molino1

Molino2

Molino3

Molino4

Suministro (camiones)

Silo A

$20

$4

$40

$22

30

Silo B

$24

$14

$18

$40

50

Silo C

$8

$28

$32

$36

20

Demanda (Camiones)

40

30

30

30

Si algún molino no alcanza a ser surtido, debe comprarse grano a terceros, a un costo por camión de $30, $36, $44 y $48 mil pesos para los molinos 1, 2,3 y 4 respectivamente. a) Formula y resuelve el problema de transporte, que minimice los costos de entrega. Establezca claramente los signos de las restricciones. b) ¿Cuáles molinos deberán comprar grano a terceros? ¿Cuántos camiones cada uno? c) De acuerdo al análisis de sensibilidad de Solver, ¿Cuál de los silos debería tratar de incrementar su producción, y en cuántos camiones?

TRANSPORTE (TP54):21 Una empresa internacional, especializada en consultorías sobre petróleo, cuenta con 6 consejeros internacionales, 3 se encuentran en México, 2 en Noruega y otro en Kuwait. Emiratos Árabes solicitó dos consejeros por dos semanas, con un pago de $8,400 por consultor. Brasil solicitó un solo consultor para 2 semanas cobrando $8,000. Por otra parte Indonesia, requiere de 3 consultores únicamente por una semana con un sueldo de $8,100 por persona. Los gastos para dos semanas de cada consultor son de $2,800 en Emiratos Árabes, $2,000 en Brasil y $1,400 en Indonesia. 90

Transporte

El cuadro siguiente establece los costos por viaje redondo en avión. Costos de tarifa aérea viaje redondo Desde/Hacia

Emiratos Árabes

Brasil

Indonesia

México

1800

800

2000

Noruega

1600

1800

1700

Kuwait

500

1500

1300

a) Formula un modelo matemático para maximizar la ganancia neta, incluyendo los gastos de tarifa aérea, y determine qué consultores deben asignarse a qué clientes.

TRANSPORTE (TP):22 Alta Electrónica SA de CV, produce componentes de computadora en sus plantas de El Salto, Jal., Aguascalientes y Saltillo. Estas actualmente no cubren la demanda de los almacenes, situados en Tijuana, Cd. Juárez, Piedras Negras y Nuevo Laredo, por lo cual la firma ha decidido construir una nueva planta. Los nuevos sitios considerados son Hermosillo y San Luis Potosí, ambas ciudades atractivas por su disponibilidad de mano de obra, servicios municipales, y facilidades crediticias para construir la fábrica. En el cuadro inferior están las capacidades, la demanda, y los gastos de producción por unidad de los almacenes: Demanda mensual (unidades)

Planta en producción

Oferta Mensual

Costo unitario de producción

Cd. Juárez

15,000

El Salto

22,000

$48

Tijuana

18,000

Aguascalientes

9,000

$50

Almacén

91


Nvo. Laredo

22,000

P. Negras

13,500

Totales

68,500

Saltillo

21,000

$52

52,000

La nueva planta deberá tener una capacidad de producción de 16,500 unidades por lo menos. Los costos de producción se estiman en $53 para Hermosillo, y $49 para San Luis. Los gastos de arrastre de las plantas a cada almacén son los siguientes:

Tijuana

Ciudad Juárez

Nvo. Laredo

Piedras Negras

El Salto

$50

$55

$40

$50

Aguascal.

$55

$50

$50

$40

Saltillo

$60

$45

$26

$35

Hermosillo

$35

$38

$65

$50

San Luis

$65

$45

$35

$38

a) Formula dos problemas de transporte, involucrando los costos de producción y transporte, de modo que en un problema se considere la planta en Hermosillo, y en el otro en San Luis, para comparar cuál de las dos minimiza los costos de producción y transporte.

TRANSPORTE (TP55):23 La Marion Fruit Company tiene huertas de naranjos en tres lugares diferentes de la parte central de Jalisco. También tiene tres instalaciones fabriles para convertir la fruta en concentrado de jugo. La fruta debe cosecharse y transportarse desde las huertas hasta la planta de concentrado. Los costos de transporte dependen en forma directa de las distancias que existen entre la huerta y la planta. En la tabla se muestran las ofertas de naranjas (en toneladas) en cada una de las huertas y la capacidad de cada planta (también en toneladas) junto con las 92

Transporte

distancias que existen entre cada huerta y cada planta (expresadas en millas). Huerta/Planta

Zapopan

Vallarta

Tepatitlán

Oferta

Jocotepec

25

36

14

50

Ocotlán

74

42

38

40

Cd. Guzmán

50

65

72

20

Capacidad

20

50

40

a) Plantea el modelo de PL correspondiente. b) Ruta Inaceptable. Resuelve de nueva cuenta e indique cual es efecto del bloqueo de la ruta Cd. Guzmán - Zapopan. c) Dos iteraciones en evaluación de casillas vacías. Resuelve este problema de transporte encontrando las distancias que sean mínimas para las ofertas o suministros de naranjas que se envían a las plantas de concentración suponiendo que va a utilizarse toda la capacidad de las plantas. d) Caso de Degeneración. Resuelve el problema de nuevo e indique cual es efecto del bloqueo de la ruta Ocotlán - Tepatitlán.

TRANSPORTE (TP):24 La electricidad producida por 3 plantas hidroeléctricas es 55, 45 y 30 millones de kilowatt-hora, suministran de energía a las ciudades: A, B y C. La demanda máxima para cada ciudad se calcula respectivamente en 40, 45 y 35 millones de kilowatt hora. En el siguiente cuadro, se muestran los costos de suministros por kilowatt-hora para cada una de las ciudades:

Planta/ Ciudad 1 2 3

A $600 $320 $500

B $700 $300 $480

C $400 $350 $450 93

Como puede observarse, la capacidad generada por las plantas cubre la demanda de electricidad de las ciudades. Debido al incremento demográfico y establecimientos, para el mes de agosto, la demanda de éste energético incrementó en un 20% en las 3 ciudades. Para cubrir dicha demanda se compra otra red con un costo más elevado de $1000 dólares por KWH. Pero la ciudad B no está conectada a ésta nueva red. La empresa desea crear un plan, el más económico para la cubrir las necesidades, en el mes de agosto. La demanda de las ciudades A, B y C en agosto es: 48, 54 y 42 KWH respectivamente. a) Usando programación lineal y Solver, determine el plan de distribución de menor costo para el mes de agosto. b) De acuerdo a sus resultados, ¿Cuál o cuáles ciudades tendrán que comprar electricidad de terceros? ¿Cuánta? c) De acuerdo al informe de sensibilidad, ¿en cuánto aumenta o disminuye el costo total si la capacidad de suministro de la planta 1 aumenta en 10 millones de KWH (o sea a 65 millones)? d) Explica qué significan los datos del informe de sensibilidad para la ruta Planta 1-Ciudad A.

Asignación

ASIGNACIÓN

ASIGNACIÓN (AS):01 Existen disponibles 4 secretarias para mecanografiar cualquiera de 3 reportes de la compañía. La siguiente tabla muestra los tiempos dados en minutos. A

B

C

1

24

12

10

2

19

11

11

3

25

16

16

4

25

14

13

a) ¿Cuál es la asignación a secretarias de reportes que minimiza el tiempo total?

ASIGNACIÓN (AS):02 La empresa Calzado 4 Hermanos, de León, Gto., cuenta con 4 zonas de mayor venta y debe de asignar sus 4 vendedores estrellas. Las ventas alcanzadas por los vendedores en las diferentes zonas, estimadas, en decenas de miles de pesos, se presentan en la siguiente tabla: Zona Vendedor

Norte

Pacífico

Centro

Sur-Sureste

A

65

73

55

58

B

90

67

87

75

C

106

86

96

89

D

84

69

79

77

La zapatería desea maximizar las ventas en las 4 zonas, pero como está sujeta a políticas de rotación de personal, lo cual al vendedor B no lo puede mandar a la zona Norte, ni el vendedor A puede ir a la zona del Pacífico. 95


a) Construye y resuelve un modelo para encontrar la solución óptima.

ASIGNACIÓN (AS):03 La compañía regiomontana Camisas Las Blancas S.A. de C.V., tiene 5 vendedores, y debe encargar una zona exclusiva para cada uno. Se ha estimado que cada vendedor puede lograr una cifra de ventas diferente en cada zona. De acuerdo a la Gerencia de Ventas, las ventas estimadas para cada vendedor en cada zona, se presentan en la siguiente tabla: Vendedor

Norte

Pacífico centro

Centro

Sur-Sureste

Noroeste

Cantú

127

103

115

107

110

Treviño

100

83

95

93

97

Ramírez

127

88

115

70

75

Martínez

100

81

104

92

86

García

110

85

110

95

90

La Gerencia tiene como objetivo maximizar las ventas totales. Pero, es imposible asignar a Martínez a la zona Centro, ni tampoco a Cantú a la zona Noroeste, porque aunque son buenos elementos, estos vendedores tuvieron problemas con algunos clientes en dichas zonas en el pasado reciente. a) Construye y resuelve un modelo para encontrar la solución óptima.

ASIGNACIÓN (AS):04 Seis amigos quieren juntarse para hacer un trabajo en equipo. Debido a que la distancia entre sus casas varía, quieren asegurarse que por lo menos una de las casas esté a menos de 15 minutos de tiempo de manejo. 96

Asignación

Pueden dividirse el trabajo, por lo cual construyeron una tabla que indica el tiempo necesario para ir en automóvil de una casa a la otra, esperando poderse juntar en el menor número de casas posible. La tabla es la siguiente: Desde/ Hacia

Amigo1

Amigo2

Amigo3

Amigo4

Amigo1

0

10

20

30

30

20

Amigo2

10

0

25

35

20

10

Amigo3

20

25

0

15

30

20

Amigo4

30

35

15

0

15

25

Amigo5

30

20

30

15

0

14

Amigo6

20

10

20

25

14

0

Amigo5 Amigo6

a) Construye y resuelve un modelo para determinar la solución óptima.

ASIGNACIÓN (AS56):05 La liga de futbol de la 2a división, tiene cuadrillas de árbitros actualmente en las ciudades de Tampico, Mérida, Acapulco y Culiacán. Para la próxima jornada, deberán trasladarse ya sea a Zacatecas, Cuernavaca, Celaya o Hermosillo. Considere que el grupo de Mérida, no puede ser asignado a Celaya. El cuadro siguiente contiene las distancias que hay entre las ciudades actuales y las de la jornada siguiente:

Zacatecas

Cuernavaca

Celaya

Hermosillo

Tampico

604

604

650

2300

Mérida

1920

1320

1550

3180

Acapulco

1010

290

650

2250

Culiacán

760

1270

1000

690

a) En base a las distancias entre las ciudades actuales y las de la jornada siguiente, 97


determine cual cuadrilla debe ser asignada a cada ciudad, para minimizar las distancias totales.

ASIGNACIÓN (AS57):06 Grupo KMC Contadores Públicos SC es una firma de contabilidad especializada en impuestos, con especialistas en sus oficinas de México DF, Monterrey, Guadalajara y Tijuana. La oficina central ha recibido solicitudes de visita de especialistas en impuestos para clientes en Aguascalientes, Hermosillo, León y Altamira (Tamaulipas). Los costos de viaje son proporcionales a las distancias, que se dan en kilómetros, en la siguiente tabla: Oficinas

Clientes Ags.

Hermosillo

León

Altamira

México DF

530

1,900

390

515

Guadalajara

225

1,360

220

825

Monterrey

575

1,500

710

490

2,000

873

2,100

2,870

Tijuana

Por políticas de la empresa, si el viaje es de menos de 400 km, se hace el viaje por vía terrestre, lo cual disminuye el costo a la mitad aproximadamente. a) Formula un modelo matemático para determinar el itinerario de contador, de tal manera que se minimice la distancia total del viaje (y por tanto, los costos). Informe la solución que da su modelo.

ASIGNACIÓN (AS):07 Un despacho de contadores tiene 3 clientes nuevos que están solicitando una auditoría para efectos fiscales. El despacho tiene 4 contadores disponibles para desarrollar los trabajos. El socio Gerente, ha hecho una evaluación de los contadores, así como de la dificultad de cada uno de los proyectos, y en base a ello ha elaborado una tabla de 98

Asignación

tiempos estimados para completar cada proyecto (ver abajo), para cada uno de los contadores. Líder/Cliente

C-1

C-2

C-3

González

10

16

32

Ramírez

14

22

40

Hernández

22

24

34

Sánchez

14

18

36

a) Asigna un líder para cada proyecto, de tal modo que se minimice el tiempo total.

ASIGNACIÓN (AS58):08 La liga de fútbol de la 2ª división, tiene cuadrillas de árbitros actualmente en las ciudades de Tampico, Mérida, Acapulco y Culiacán. Para la próxima jornada, deberán trasladarse ya sea a Zacatecas, Cuernavaca, Celaya o Hermosillo. Considere que el grupo de Mérida, no puede ser asignado a Celaya. Las distancias entre las ciudades actuales y las siguientes se encuentran en la tabla: Zacatecas

Cuernavaca

Celaya

Hermosillo

Tampico

604

604

650

2300

Mérida

1920

1320

1550

3180

Acapulco

1010

290

650

2250

Culiacán

760

1270

1000

690

a) En base a las distancias entre las ciudades actuales y las de la jornada siguiente, determina cual cuadrilla debe ser asignada a cada ciudad, para minimizar las distancias totales.

ASIGNACIÓN (AS59):09 El hospital San Carlos está reclutando 4 nuevas enfermeras para 4 departamentos del Hospital. En base a sus antecedentes, personalidad y talentos, se le han puesto “costos” a 99


cada enfermera, de acuerdo a la tabla que se muestra. Considere que la enfermera Hernández definitivamente no debe ir a obstetricia. Urología

Cardiología

Ortopedia

Obstetricia

Hernández

28

18

15

NO

Contreras

32

48

23

38

Barrera

51

36

24

36

Gómez

25

38

55

12

a) Determina cuál enfermera debe ser asignada a cada departamento, para minimizar los “Costos” de las asignaciones.

ASIGNACIÓN (AS60):10 Empaques Mundiales S.A. de C.V, fabrica contenedores de muchos tamaños y formas. Acaba de recibir 5 pedidos para fabricar diversas cantidades de contenedores de 5 tamaños diferentes. Cualquier maquina puede producir cualquier tamaño de los contenedores, ya que dependen del número de horas necesarias para su fabricación y varía en cada máquina de acuerdo a la siguiente tabla: Tamaño (ft)/Máquina (ancho x alto x largo)

1

2

3

4

3x 3 x 4

23

20

28

27

4x4x6

24

22

25

23

6x6x8

30

30

28

25

8 x 8 x 12

38

32

29

30

8 x 8 x 18

39

41

30

32

Adecuar una máquina para producir un contenedor de diferente tamaño toma mucho tiempo y costo, así que la Gerencia ha decidido producir sólo un tipo de contenedor en cada máquina. Por tanto, las 4 máquinas utilizables fabricarán sólo 4 tamaños de contenedores de 100

Asignación

los 5 posibles en la fecha acordada. Como las ganancias estimadas en cada pedido son aproximadamente iguales, a la Gerencia le resulta indistinto sobre que pedido no cumplir. a) Como Gerente de producción, usted deberá decidir a cual máquina asignar cada uno de los pedidos, para minimizar el número de horas totales de máquina usadas.

ASIGNACIÓN (AS61):11 Un pequeño negocio dedicado a la reparación de aparatos eléctricos, acaba de recibir 3 trabajos urgentes: 1) Una licuadora; 2) Un exprimidor; 3) Un microondas. Cuatro técnicos, cada uno con diferentes habilidades, están disponibles para realizar los trabajos. El propietario ha elaborado una tabla (que se muestra en la parte inferior), estimando los tiempos, y finalmente los costos por salarios en que se incurrirá por asignar cada una de las reparaciones a cada uno de los trabajadores.

Técnico/Trabajo

1

2

3

Pérez

11

14

6

López

8

10

11

Orozco

9

12

7

Sánchez

10

13

8

a) El propietario desea minimizar los gastos de la nómina y para ello requiere distribuir adecuadamente el trabajo. Utilizando el método húngaro, resuelve este problema de asignación.

ASIGNACIÓN (AS):12 Grupo Inmobiliarios Asociados (GIA) tiene 4 lotes grandes de terreno para vender, y ha recibido propuestas de compra por parte de 5 grupos constructores de casas. En virtud del capital que se requiere para urbanizar y construir, ningún 101


grupo ofrece comprar más de 1 lote. Las propuestas que hace cada constructor por cada uno de los lotes, en cientos de miles de pesos, aparecen en la tabla adjunta. Predio/ Constructor

1

2

3

4

5

A

18

18

28

22

23

B

21

20

26

18

24

C

18

18

21

0

19

D

22

0

18

20

17

a) Presenta un modelo para decidir qué predio asignar a cada constructor, para maximizar la ganancia.

ASIGNACIÓN (AS):13 Una cadena de tiendas departamentales está remodelando una de sus tiendas y desea asignar cinco departamentos a cuatro lugares dentro de la tienda. En la tabla se presentan las utilidades que produce cada departamento en cada ubicación. DEPARTAMENTO/UBICACIÓN

1

2

3

4

Ropa Damas

10

6

12

8

Deportes

15

18

5

11

Ferretería

17

10

13

16

Vajillas

14

12

13

10

Fotografía

14

16

6

12

Se presenta el gerente de la tienda informando que por razones de espacio, el departamento de deportes no puede ser asignado a la ubicación dos y el departamento de ferretería no puede ser asignado a la ubicación cuatro. a) Con esta información, calcula las asignaciones de departamentos a ubicaciones que maximicen las utilidades, indicando el monto de estas utilidades. 102

Asignación

ASIGNACIÓN (AS):14 La empresa Investigaciones de Mercado S.A. desea cubrir 4 solicitudes de mercadeo y para ellos es necesario asignar un líder de proyecto en cada uno. La compañía desea mandar a su 4 mejores investigadores debido a que son clientes nuevos, quiere quedar realizar un buen trabajo y depende de la experiencia y capacidad de cada uno de los investigadores para asignar los proyectos. Los 4 proyectos son muy similares en periodicidad, y la administración desea minimizar la cantidad total de días requeridos para los 4 proyectos. Los datos de tiempos estimados para cada agente se muestran a continuación:

Líder de proyecto

Cliente1

Cliente2

Cliente3

Cliente4

Alonso

10

15

9

12

González

9

18

5

13

Sánchez

6

14

3

10

Ramírez

8

16

4

13

a) Si sólo se va a asignar un líder a cada proyecto, ¿Qué asignaciones deben hacerse?

ASIGNACIÓN (AS62):15 Corporativo ProFin, ha decidido que cada uno de los vicepresidentes de sus 4 plantas visite a una de las plantas como parte del plan de auditoria. La visita será la primera quincena de julio a las 4 plantas: Leipzig, Nancy, Lieja y Tilburg. El presidente ha reunido una serie de factores (experiencia, idioma, relación de su área con la planta, etc.) y ha asignado un costo de envío de cada vicepresidente a cada planta, de acuerdo a la siguiente tabla (en miles de dólares por semana): VP/Planta

Leipzig

Nancy

Lieja

Tilburg 103

Finanzas

48

20

42

22

Mercadotecnia

28

44

20

30

Operaciones

30

34

40

38

Personal

22

38

28

26

a) Con el propósito de minimizar los gastos, el presidente del corporativo debe de evaluar la distribución de las visitas.

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX):01

a) Encuentra y traza el árbol de expansión mínima para la red (utiliza un color distinto al negro).

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX63):02 La empresa Gas Natural ofrece el servicio de gas a los hogares mediante una red de tuberías subterráneas, debe instalar detectores de fugas en ciertos puntos claves de la tubería para detener el flujo en caso de detectar cualquier escape. Estos detectores deben estar conectados a un centro de control en donde se hace

Árbol de Expansión Mínima

vigilancia permanente.

a) Mediante un árbol de expansión mínima, encuentra la ruta ideal para unir y conectar los detectores de fugas con el centro de control. Nota que la ruta mínima es independiente de la localización del centro de control.

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX64):03 La empresa de Petróleos Nacionales debe instalar un sistema de distribución de gasolina desde la central y hasta cada una de las expendedoras de gasolina en la ciudad. Los puntos que se muestran a continuación ubican los puntos en donde hay gasolineras que deberían ser surtidas de gasolina mediante una red de tuberías subterráneas.

105


a) Determina la red mínima de tubería necesaria para abastecer a todas las gasolineras de gasolina desde la expendedora central.

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX65):04 La empresa Web Services desea ofrecer servicios de internet a unos pueblos ubicados en zonas remotas. Para esto debe instalar una red de repetidores de red que deben estar conectados por cableado. La gerencia de la empresa quiere minimizar la longitud entre los repetidores para que la señal se transmita de la mejor forma posible entre un repetidor y otro. La ubicación de los pueblos se muestra en el siguiente diagrama. Cada pueblo está numerado y las distancias entre ellos están dadas en kilómetros. ¿Qué se le recomendaría a la empresa?

a) Determina la red mínima de líneas de que conectan a los repetidores entre sí para que se pueda abastecer de internet a todas las comunidades.

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX66):05 Una empresa constructora está desarrollando en la actualidad un proyecto de construcción de una unidad habitacional en Tlajomulco de Zúñiga. 106


Al gerente de la empresa le gustaría poder abastecer de agua y electricidad a todas las casas mediante una red de instalaciones de tuberías de agua y cableado subterráneas. Para llevar a cabo este proyecto de la forma más económica posible se debe determinar la red de expansión que minimice las distancias entre las casas. La ubicación de cada de casa se muestra a continuación (distancias en metros).

a) Determina la red mínima de tubería necesaria para abastecer todas las casas.

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX67):06

107


a) Resuelve el siguiente problema de árbol de expansión mínima y trázala sobre la red con un color distinto al negro (distancias en cientos de metros).

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX):07 La red que se muestra a continuación ilustra la ubicación de 12 rancherías (actualmente aisladas) que deben quedar conectadas mediante una red de caminos que permita transitar de un pueblo a otro. El objetivo es que las rancherías queden comunicadas mediante la red carreteras más corta posible.

a) Utilizando la técnica del árbol de expansión mínima, señala cuáles caminos deben elegirse para minimizar el número de kilómetros totales. b) Calcula el total de kilómetros de la red propuesta. c) Marca con pluma o lápiz los caminos elegidos

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX):08 Un granjero tiene 7 parcelas de cultivo en su granja, y pretende instalar un nuevo sistema de riego. En la red mostrada en el siguiente diagrama se indica la ubicación de la bomba, y las distancias (en metros) de los tramos de tubería por donde podría llevarse el agua desde la bomba hasta cada parcela. 108


El costo por metro de la instalación del sistema de riego, es proporcional a la longitud de la tubería usada.

a) Determina por cuáles tramos deberían instalarse los tubos para que la longitud total de tubería sea mínimo.

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA (AEX68):09 Un centro de distribución del Valle de México, ha decidido conectar varias terminales de video vigilancia en cada tienda y contralar la vigilancia desde su oficina central. Se pretende instalar una red especial hecha de fibra óptica que mantenga conectadas todas las tiendas con el centro de distribución. El objetivo es establecer una red de cámaras que permita que todas las tiendas estén bajo vigilancia continua. La conexión al sistema en cada tienda se puede hacer de forma directa con la central o bien puede estar conectada indirectamente a través de otra tienda que esté a su vez conectada, ya sea de forma directa o indirecta, siempre y cuando todas tiendas estén unidas al circuito. El costo por la instalación de las líneas de red depende de la distancia en kilómetros que hay entre las tiendas y son:

109

Distancia entre pares de oficinas Principal

T-1

T-2

T-3

T-4

T-5

Oficina principal Tienda 1 19

19 -

7 10

11.5 11

27 21.5

16 5

Tienda 2

7

10

-

14

12.0

22

Tienda 3

11.5

11

14

-

17.5

8

Tienda 4

27

21.5

12

17.5

-

31

Tienda 5

16

50

22

8

31

-

a) La gerencia de la empresa quiere determinar por dónde llevar el cableado entre pares de tiendas para que todas queden conectadas al circuito de vigilancia del almacén central de tal forma que el costo total sea mínimo.

RUTA MÁS CORTA

RUTA MÁS CORTA (R+C69):01 Determina la ruta mínima entre el nodo base al nodo 6. Los arcos tienen señalada la distancia entre los nodos que tienen conectividad.

a) Utiliza un planteamiento de matrices y resuelva con Solver.

RUTA MÁS CORTA (R+C):02

a) Encontrar la ruta más corta de 1 a 7.


RUTA MÁS CORTA (R+C70):03 La compañía Muebles Rodríguez transporta diariamente camas, sillas, y otros muebles desde la fábrica hasta el almacén. Para llevar los muebles desde la fábrica (nodo 1) hasta el almacén (nodo 6) debe pasar por varios pueblos en el trayecto. La red de carreteras, y sus distancias (en km), se muestran a continuación:

a) Determina el camino más corto para hacer el transporte de muebles.

RUTA MÁS CORTA (R+C71):04 La empresa de mensajería GDL ofrece servicio de envío y reparto de paquetes de hasta de 5 kilos en el área metropolitana de Guadalajara y sus zonas aledañas. La clave de su negocio es hacer entregas a tiempo. Tiene unos clientes que contratan su servicio de recogida y entrega desde 7 ubicaciones distintas. Los tiempos en minutos, que se tarda en ir de una ubicación a otra durante las horas pico, están indicados en el diagrama de abajo:

112

Ruta más Corta

a) Calcula el tiempo entre la ubicación 1 y las demás ubicaciones, y encuentre mediante Solver el tiempo entre la ubicación 1 y la 7.

RUTA MÁS CORTA (R+C):05

a) Encuentra la ruta con la mínima distancia que conecta los nodos 1 y 7. Los arcos tienen señalada la distancia entre lo un nodo y otro que están conectados.

RUTA MÁS CORTA (R+C):06 113


Un profesionista conduce diariamente desde su casa (nodo 1) a su trabajo (nodo 7). A esta persona le gusta el análisis de redes y ya tiene determinada la ruta más corta. Sin embargo, esta ruta está excesivamente patrullada por la policía, los operativos de revisión le retrasan el tiempo de llegada a su trabajo. En el siguiente diagrama se muestran las rutas y las posibilidades de no encontrarse con operativos de seguridad.

a) El profesionista desea encontrar la ruta que maximice la posibilidad de no pasar por operativos de seguridad. Ayúdalo a encontrarla.

RUTA MÁS CORTA (R+C72):07 Una familia se va a mudar de casa y para ello ha contratado a una empresa de mudanzas que debe trasladar sus muebles a la nueva casa. La red de carreteras de la ciudad se muestra a continuación:

a) ¿Cuál la ruta más recomendable que se puede tomar? La casa actual es el nodo 1, la nueva casa el nodo 13. 114

Ruta más Corta

RUTA MÁS CORTA (R+C):08 Pinta Bien S.A. de C.V. tiene la sede de su fábrica de pintura en Salamanca Gto., y cuenta con almacenes de distribución en varias ciudades de México, uno de ellos está en Chihuahua, Chih. Desde este almacén en particular, se hacen repartos cada semana a cinco tiendas de detallado de pintura mediante mediante un camión. El tiempo en minutos que le toma al camión para ir de una tienda a otra, y entre el almacén y cualquier tienda, se dan en la tabla que se adjunta.

Almacén T1 T2 T3 T4

T1 40

T2 55 60

T3 45 55 55

T4 60 60 70 50

T5 65 50 90 70 70

a) Determina si en 8 hrs, el chofer realiza la entrega y regresa al almacén, considerando que llegar a una tienda a hacer una descarga de pintura le toma 30 minutos.

115

RUTA MÁS CORTA (R+C):09 Considera la siguiente red de carreteras en México.

a) Utiliza el algoritmo de Dijkstra y encuentra la ruta desde Tepic hasta Acámbaro (Distancias en kilómetros).

FLUJO MÁXIMO

FLUJO MÁXIMO (FM):01 El siguiente diagrama es de una tubería de agua que conecta 2 puntos de una casa. Los flujos máximos están indicados en cada arco.

a) Calcula el flujo máximo de agua que puede enviar desde la habitación A a la parte Z de la casa, así como el trayecto que siguen los flujos.

FLUJO MÁXIMO (FM):02 La figura inferior, describe una red de caminos de una comunidad. Los números al lado cada nodo representan la capacidad máxima de cada vía en cientos de automóviles por hora.


a) Indica la cantidad de automóviles que pueden fluir por cada arco y encuentra el flujo máximo que puede circular (iniciando del no 0 y terminando en 5).

FLUJO MÁXIMO (FM73):03 Smalltown, una pequeña ciudad, se encuentra en proceso de desarrollar un sistema de vías rápidas periféricas para agilizar la circulación en el centro. Uno de los planificadores de la ciudad, desea determinar el número máximo de vehículos que podrán fluir de occidente a sureste de la ciudad. La red de vías, con sus respectivas estimaciones de flujo, se encuentra en el siguiente diagrama de red (datos en cientos de automóviles por hora):

118

Flujo Máximo

a) Indica cuántos automóviles fluirán por cada arco y determine el flujo máximo esta red de vías.

FLUJO MÁXIMO (FM74):04 Gasols, una refinería de petróleo localizada en el pueblo de Meliana (nodo 1), está trabajando en el diseño de una nueva planta para procesar la gasolina. La figura 12.17 muestra la velocidad de los flujos existente (en miles de galones/hora) para cada uno de los centros de procesamiento. El combustible debe ser llevado a través de estos nodos para pasar por

dos

diferentes

etapas

de

procesamiento,

hasta

que

finalmente

se recolecta el combustible completamente terminado en el nodo 7.

a) La administración de Gasols necesita establecer cuál será la máxima cantidad de combustible que puede hacer llegar desde el nodo 1 hasta el nodo 7.

FLUJO MÁXIMO (FM):05 119


La Comisión de Desarrollo Urbano tiene actualmente la responsabilidad de coordinar la construcción de la nueva línea del tren ligero. En virtud de que esta nueva línea se llevará a cabo por el periférico, la fluidez automotriz de este a oeste deberá ser desviado. Para ello, en coordinación con la Secretaría de Vialidad, se ha pensado en una red de caminos alternativos. Tanto los límites de velocidad como las disposiciones de las calles, hacen que haya diferente capacidad de tránsito de vehículos en cada arco de la red cuando se implementan los desvíos propuestos. A continuación se muestran estos límites en el diagrama adjunto.

a) Determina cuál es el flujo máximo de vehículos que podrán pasar por la red de desviación que se propone.

FLUJO MÁXIMO (FM):06 La Secretaría de Vialidad está examinando el diseño del flujo de las calles en el norte de la ciudad. Las capacidades actuales de las calles aparecen en el diagrama anexo. Con el sistema actual, la calle entre el punto 4 y el 3 es de un sólo sentido y puede soportar un flujo de 50 carros en dirección 4 hacia 3. Actualmente, en la hora de más afluencia de la tarde entran 1000 carros por hora por el punto 1, desplazándose hacia el punto 6 de este sector de la ciudad. Desde la Secretaría se propone que para aliviar la congestión en estas horas, se tomen 3 medidas simultáneamente: 120

Flujo Máximo

1) Hacer la calle 4-3 de doble sentido, lo que permitiría 100 carros por hora de 3 hacia 4 (en adición a los actuales 50 carros de 4 hacia 3); 2) Ensanchar la calle 4-5 para soportar 80 carros por hora adicionales; 3) Ampliar la calle 5-6 para soportar 60 carros por hora adicionales.

a) Evalúa el flujo máximo actual con las 3 propuestas del secretario. Comenta si estas medidas son efectivas para soportar el tránsito de coches en la hora pico de la tarde.

FLUJO MÁXIMO (FM75):07 En un sector de la Ciudad de Zapopan, se están llevando a cabo planes para hacer algunas mejoras a la red de calles para aumentar la capacidad de circulación de coches a través de ellas. Los planificadores de la ciudad desean determinar el número máximo de automóviles que podrán fluir de oeste a sureste de la ciudad después de algunas mejoras propuestas.

La red de calles, con sus respectivas estimaciones de flujo, se muestra a continuación en el diagrama de red (datos en cientos de automóviles por hora).

121


a) Determina cuál es la cantidad máxima de vehículos que podrán pasar por la red después de aplicar las mejoras que se proponen.

FLUJO MÁXIMO (FM):08 Las autoridades de una ciudad están organizando unos juegos deportivos que tendrán lugar en unas instalaciones deportivas de la ciudad. El tráfico debe ser guiado desde la entrada principal del estadio de atletismo (E), hasta el estacionamiento central (P). Se cuenta con varios caminos que pasan a través del área y que conectan estos dos puntos. En la gráfica anexa se muestran los caminos, así como el flujo de tráfico que cada camino puede soportar de manera segura en dirección de entrada y de salida. Por ejemplo, el camino que conecta las instalaciones en el punto 1 con el punto 2, puede soportar 150 autos por hora de ida, pero de regreso el flujo es 0 pues es un camino de un sólo sentido. Las autoridades de vialidad han estimado que llegarán al estadio para ver los juegos unos 500 autos por hora.

122

Flujo Máximo

a) Determina cuáles deberían ser las rutas para circular desde E a P. ¿Son los caminos actuales suficientes para soportar la carga de 500 autos por hora?

FLUJO MÁXIMO (FM76):09 En el esquema inferior, se representa un sistema de flujo de conductos de agua, en donde se origina desde tres presas (P1, P2, P3) y tiene que fluir por los nodos intermedios para abastecer de agua a una ciudad importante ubicada en el nodo T.

En la siguiente tabla se muestran los miles de litros máximos que se pueden bombear desde cada presa a través de los acueductos cada día. 123

DE/A

A

B

C

D

E

F

T

P1

105

130

-

-

-

-

-

P2

70

90

-

-

-

-

-

P3

-

160

110

-

-

-

-

A

-

-

-

105

95

-

-

B

-

-

-

130

75

85

-

C

-

-

-

-

145

155

-

D

-

-

-

-

-

-

210

E

-

-

-

-

-

-

300

F

-

-

-

-

-

-

270

a) Calcula la cantidad máxima de agua que puede hacerse llegar desde las presas hasta la ciudad.

PERT/CPM

PERT/CPM (P/C):01 Se presenta a continuación las actividades que conforman a un proyecto específico. En la tabla para cada actividad se muestran, sus antecedentes inmediatos y la duración (en semanas) de cada actividad: Actividad

Antecedente inmediato Duración

A

---------

4

B

---------

6

C

A

5

D

A

2

E

A

1

F

E

4

G

D, F

13

H

B, C

11

I

G

4

a) Realiza un diagrama de estas actividades, señale el tiempo estimado de terminación y la ruta de crítica de dichas actividades.

PERT/CPM (P/C):02 Considere a continuación un ejemplo en el que se enlistan diez actividades. En la siguiente tabla se proporcionan los antecedentes inmediatos de cada actividad, así como las estimaciones de tiempo óptimo, con mayor probabilidad y pesimista.

Actividad A

Antecedente Inmediato --------

a 3

m 5

b 13


B C D E F G H I J

-------A A A C D B,E H F,G,I

1 1 2 3 1.5 1.5 2 1 1

1.5 3 4 3 2 3 3 2 2

5 5 12 3 2.5 4.5 10 3 3

a) Realiza un diagrama de actividades. b) Indica la ruta crítica y señale el tiempo estimado de terminación.

PERT/CPM (P/C):03 Consultoría de Recursos Humanos. Un equipo de Consultores está desarrollando el presupuesto de un proyecto con el cual está comprometido. A continuación se enumeran y describen los servicios que se desarrollarán para el cliente, los tiempos óptimos, con mayor y pesimista de cada actividad. Actividad

126

Descripción

Antecedente

a

m

b

A

Definir Visión, Misión y Valores.

-

1

3

5

B

Diseño del Organigrama.

A

1

2

3

C

Análisis y Descripción de Puestos.

A

12

15

18

D

Valuación de Puestos.

C

4

5

9

E

Evaluar el Desempeño.

B

5

6

7

F

Detectar Necesidades de Capacitación.

E

4

6

8

G

Retroalimentación del Desempeño.

D, E

2

3

7

H

Desarrollo del Tabulador.

G

4

5

6

t

PERT/CPM

I

Diseño de Planes de Capacitación.

H

6

7

8

a) Elabora la red de actividades e indica el tiempo de terminación esperado y la ruta crítica. b) Si se quiere mantener un 95% de confiabilidad para la terminación del proyecto, ¿Cuántas horas se estima duraría el proyecto?

PERT/CPM (P/C77):04 Una vez analizado el proyecto ejecutivo por el consejo directivo el Rector. Juan Martín Navarro responsable de la Benemérita Universidad de Morelos Norte, tomó una decisión la Benemérita no construirá un nuevo estadio de fútbol, sino que aumentará la capacidad del existente. La lista de actividades para el proyecto de ampliación, con sus tiempos Optimista (a), Más Probable (m) y Pesimista (b) en días se muestra a continuación: Actividad

Descripción

Antecedente

a

m

b

A

Fianza, seguro, e impuestos.

-

20

30

40

B

Cimentación.

A

40

60

80

C

Instalación de Plataforma.

-

10

35

90

D

Cableado Interior.

C

28

30

32

E

Instalación de Gradas.

B,D

20

30

40

F

Pintura.

E

10

20

30

G

Inspección

B,D

1

1

1

H

Acabados finales y Limpieza.

G

20

25

60

Considera para los antecedentes la siguiente información: No puede iniciarse la cimentación hasta tener la fianza. La instalación depende de la cimentación. El cableado interior y la instalación de las gradas dependen de la plataforma. La pintura se aplicara a las gradas ya instaladas. La inspección será para la pintura 127


y el cableado interior. Los acabados finales comenzaran hasta terminar la inspección. a) Elabora el diagrama de actividades, y la tabla donde indiques la holgura, ruta crítica y varianza. Indica la ruta crítica y duración estimada del proyecto. b) ¿Qué tan probable es de que un proyecto se termine en menos de 200 días? c) ¿Cuál debería ser el plazo a fijarse para tener un 95% de confiabilidad de terminarlo a tiempo? d) Elabora el diagrama de Gantt en Microsoft Project Profesional.

PERT/CPM (P/C):05 Pedro Morones coordinador del departamento de capacitación del personal administrativo para las ventas de la temporada de primavera-verano. Pedro ha determinado las siguientes actividades para este proyecto: Act

Antecedente

a

m

b

A

Planear tema del Programa.

-

1.5

2.0

2.5

B

Obtener conferencias.

A

2.0

2.5

6.0

C

Enlistar posibles sedes.

-

1.0

2.0

3.0

D

Elegir la sede.

C

1.5

2.0

2.5

E

Agenda de viaje de conferencistas.

B,D

0.5

1.0

1.5

Antecedentes

a

m

b

1.0

2.0

3.0

4.0

3.5

6.0

Act

Descripción

Descripción

F

Revisión finita con los conferencistas.

E

G

Preparativos y envío de folletos a participantes.

B,D

H

Reservaciones en los hoteles

G

2.0

4.0

6.0

I

Detalles finales e imprevistos

F,H

1.0

2.0

3.0

a) Dibuja una red de proyecto. (Diagrama de Actividades). 128

PERT/CPM

b) ¿Cuáles son las actividades de la Ruta Crítica? ¿Qué duración tuvo cada proyecto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se termine el proyecto en 16 semanas o menos? d) Si Pedro quiere terminar el proyecto en tiempo y forma, con una probabilidad 99%, ¿con qué anticipación a la fecha establecida como inicio del Programa de Capacitación deberá empezar a trabajar?

PERT/CPM (P/C):06 Para ensamblar una pieza de motor, una compañía determina las siete actividades necesarias para llevarlo a cabo. Las cuales están marcadas de la A-G, como se muestra en la tabla siguiente, al igual que la descripción de los tiempos estimadosen semanas- para llevarlas a cabo. Actividad Optimista (a)

Probable (m)

Pesimista (b)

Tiempo esperado (t)

A

1

2

3

B

2

3

4

C

3

5

7

D

8

9

10

E

2

5

8

F

2

5

8

G

1

2

3

En la red mostrada a continuación se muestra un diagrama PERT para el ensamble de la pieza:

129


a) Encuentra el tiempo esperado de cada actividad. b) Determine los tiempos ASAP y ALAP. Escribe tus resultados en la tabla anexa y en la columna de Ruta Crítica, escribe sí en caso de que dicha actividad sea de la ruta crítica y no en caso contrario. c) Actividad

IC

TC

IL

TL

Holgura

¿Ruta Crítica?

A B C D E F G

PERT/CPM (P/C78):07 Natural Kingdom empresa dedicada a eventos musicales, ha firmado un convenio 130

PERT/CPM

para el nuevo musical. La producción ha establecido las siguientes actividades que se deben de realizar para montar el espectáculo: Actividades

Optimista

Medio

Pesimista

I

Revisión del guion de cada artista

Descripción

4

5

7

II

Sacar las notas musicales

2

3

4

III

Contratación de artistas

3

4

6

IV

Arreglo de coreografía

3

3

4

V

Ensayar los bailables

3

4

5

VI

Arreglar el teatro

4

6

7

VII

Diseñar el vestuario

5

5

5

VIII

Prueba de vestuario

5

6

7

IX

Práctica general

3

4

5

X

Ensayo final

2

2

2

El diseño de coreografía puede hacerse después de instrumentada la música. El ensayo de los bailables no puede iniciar hasta no tener terminados los guiones de los artistas, se haga la contratación de los mismos, y culmine la coreografía. El escenario se diseña y construye al terminar los bailables. El vestuario se prepara cuando se tengan los artistas contratados. La prueba de vestuario se realiza al terminar los bailables, y el vestuario terminado. La prueba de vestuario es seguido por la práctica general, el cual se realizará con el escenario terminado. El ensayo final se realizará después de la práctica general. a) Determina los antecesores inmediatos de cada actividad b) Calcula los tiempos esperados de cada tarea. c) Construye la red del musical. d) Identifica la ruta crítica y el tiempo de la misma. e) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el musical en 23 semanas? 131


PERT/CPM (P/C79):08 La Fábrica el Almacén produce cobertizos de acero para almacenamiento, para doméstico. Javier Santos, Director General de la empresa, está considerando producir cobertizos para uso doméstico. Las actividades necesarias para construir un prototipo experimental así y

como

los

predecesoras

datos

de

inmediatas,

tiempos, se

costos,

muestran

costos en

la

de

compresión

siguiente

tabla:

Actividad

Tiempo Normal

Tiempo Comprimido

Costo Normal

Costo Comprimido

Predecesora Inmediata

A

4

3

1000

1800

---------------

B

3

2

2000

2900

---------------

C

2

2

300

300

---------------

D

8

4

1300

1800

A

E

7

4

850

1200

B

F

3

2

4000

5200

C

G

5

3

1500

2200

D,E

a) ¿Cuál es el tiempo que tomará el proyecto usando los tiempos y costos normales? b) ¿Cuáles son las actividades críticas? c) Si deseamos reducir el tiempo del proyecto en 2 semanas, ¿Qué actividades debemos reducir, y a qué costo? (Explique por qué selecciona las actividades a reducir) TIP: Calcule el incremento de costo, entre el decremento de tiempo. d) Si fuera necesario reducir el proyecto en 4 semanas en total, ¿Qué actividades debemos reducir y a qué costo? (Explique por qué selecciona las actividades a reducir)

PERT/CPM (P/C80):09 132

PERT/CPM

Constructora Graphos es una empresa constructora de casas unifamiliares. Las actividades y tiempos para construir una casa, los costos de reducción de tiempo (compresión) de las actividades, y el costo total de dicha reducción de tiempos se muestran a continuación: Tarea

Descripción

a

m

b

Tiempo Reducido

Costo total de reducción

A

Cimientos

3

5

8

3

$ 4,000.00

B

Estructura

4

9

11

4

$ 6,000.00

C

Techos

3

7

11

3

$ 5,000.00

D

Plomería

2

3

7

2

$ 3,000.00

E

Cableado eléctrico

2

4

6

2

$ 1,500.00

F

Puertas y ventanas

3

5

9

3

$ 5,000.00

G

Acabados interiores

4

6

10

4

$ 5,000.00

H

Acabados exteriores

2

5

7

2

$ 4,800.00

I

Inspección

1

1

1

1

NA

Las actividades para construir una casa son las siguientes: 1) Lo primero es colocar los cimientos. 2) Hecho lo anterior, es posible levantar la estructura y también iniciar los trabajos de plomería. 3) El techo puede colocarse ya que se haya levantado la estructura. 4) Una vez colocado el techo, puede procederse al cableado eléctrico. 5) Las puertas y ventanas se colocan después de terminados los trabajos tanto de plomería como de cableado eléctrico. 6) Teniendo puertas y ventanas colocadas, puede procederse a los trabajos de acabados de interiores y exteriores. 7) Terminados los trabajos de acabados, se procede a la inspección final. 133


Se pide contestar lo siguiente: a) Identifica las actividades predecesoras inmediatas de cada actividad, y agréguelas en una columna de la tabla. b) Calcula los tiempos esperados, desviación standard y varianza para cada actividad, agregando las columnas correspondientes. c) En una hoja aparte, traza la red del proyecto y la tabla de ruta crítica. d) Especifica en la parte inferior de la tabla, el tiempo esperado del proyecto, la desviación standard de la ruta crítica, y la probabilidad de terminar en 38 semanas. e) Indica qué actividades deben comprimirse y a qué costo, para que la probabilidad de terminar en 38 semanas sea igual o mayor a 90% (realiza este cálculo copiando su tabla de ruta crítica en la parte inferior de la propia tabla, y haciendo las modificaciones de tiempos pertinentes).

PERT/CPM (P/C81):10 Una empresa tiene una división de operación de tarjetas de crédito, y la Dirección de Recursos Humanos ha decidido trasladar dicho departamento, en la Ciudad de México, a Santiago de Querétaro, Querétaro. La Dirección ha fijado un plazo para trasladarse de 22 semanas. Usted, como Gerente de Operaciones, ha sido nombrado responsable del proyecto. Tras haber tenido una serie de juntas con funcionarios involucrados, Usted ha obtenido las siguientes actividades clave: Actividad

134

Descripción

Predecesor Inmediato

A

Elección de la ubicación

---

B

Establecer plan financiero

---

PERT/CPM

C

Establecer los requerimientos de contratación de personal

D

Diseño del inmueble

E

Adaptación del inmueble

C

F

Elegir el personal a trasladar

D

G

Contratación de trabajadores

E

H

Llevar a cabo el traslado de personal

E

I

Apertura de cuentas con proveedores clave

D

J

Capacitación del nuevo personal

A A,C

F,H

Lo primero será seleccionar el sitio de oficinas, y al mismo tiempo crear el plan financiero. Una vez teniendo el plan, deberán establecer los requerimientos de personal. Con el sitio de oficinas seleccionado, y conociendo los requerimientos de personal, puede diseñarse el inmueble, y una vez hecho esto, proceder a la adaptación del interior. Ya determinados los requerimientos de personal, se podrá proceder a seleccionar al personal a transferir, y una vez hecho esto, a contratar nuevos empleados y trasladar al personal clave (estas dos últimas actividades simultáneas). La apertura de cuentas con proveedores en Querétaro se puede iniciar en cuanto se acabe el diseño del mueble. Finalmente, se puede capacitar al personal en cuanto se tenga la elección del personal a trasladar y estos sean trasladados. Los tiempos estimados (optimista, esperado y pesimista) se muestran en tabla aparte. Determina: a) La red de proyecto b) La tabla de tiempos de inicio y terminación próximos y lejanos c) La ruta crítica, y el tiempo esperado del proyecto.

PERT/CPM (P/C82):11 Gabinetes Minick, empresa que fabrican y ensambla cualquier prototipo de gabinetes. Se planea fabricar un nuevo modelo de gabinete, el cual requerirá de las siguientes tareas: (tiempos en minutos): 135


Tiempo

Costo

Tarea

Descripción

a

m

b

Comprimido

Normal

Comprimido

A

Preparar las ruedas

8

10

13

8

50

60

B

Montar las ruedas

4

5

6

4

24

28

C

Ensamblar los costados

14

15

17

13

160

170

D

Colocar la cubierta superior

9

11

13

9

130

150

E

Colocar la base

9

10

11

8

90

100

F

Insertar las ménsulas

4

5

6

4

40

48

G

Colocar las repisas

4

5

7

4

40

48

H

Colocar las puertas

8

10

12

8

110

125

I

Colocar el panel posterior

8

10

13

7

110

128

J

Pintar la unidad

13

15

17

12

160

180

El montaje de ruedas se realiza al terminar de prepararlas. Después de ensamblado los costados y las ruedas estén montadas, se coloca la base. Ya ensamblados los costados, se une la cubierta superior e insertar las ménsulas. Al insertar éstas últimas, se colocan las repisas. Puesta la base y la cubierta superior, se coloca el panel posterior. Luego se instalan las puertas, ya colocadas las repisas, la base y la parte superior. Teniendo la base, la parte superior, las puertas y el panel posterior, todo ensamblado, se lleva a cabo la pintada. a) Identifica los predecesores inmediatos de cada tarea. b) Estima los tiempos esperados de cada actividad, así como su desviación estándar y varianza. c) Construye la red de proyecto y construya la tabla de ruta crítica (tiempo próximos y lejanos). d) Informe: sin comprimir actividades, cual es el tiempo esperado del proceso, 136

PERT/CPM

y cuál es la probabilidad de terminar en 54 minutos. e) Si se desea concluir el proceso en 52 minutos, con un 90% de certeza, indica qué actividades comprimir, Y el costo. Comprima tantas actividades como sea necesario. Observa si hay cambios de ruta crítica en cada compresión.

PERT/CPM (P/C):12 Aprobada la publicación de un libro una editorial, se inicia la siguiente secuencia de actividades: Los especialistas realizan la corrección del manuscrito, y preparan las páginas de muestra, tras de lo cual son presentadas al autor para su aprobación. A continuación se elige la composición tipográfica del libro, y después se presenta al autor para su verificación. Otros especialistas en diseño preparan la portada, y otros más las ilustraciones, hecho lo cual también son presentadas al autor para su verificación. La producción de placas de impresión se hace sólo hasta que el autor ha verificado la composición tipográfica y las ilustraciones y portada. Una vez contando con las placas de impresión, se procede a la producción y encuadernación del libro.

Act.

Descripción

Duración (sem)

Costo de comprimir

Tiempo comprimido

Costo semanal

Predecesor Inmediato

A

Corrección de manuscrito

3

1000

1.5

666.67

-

B

Preparación de páginas muestra

2

200

1.5

400.00

-

C

Diseño de la portada

4

500

3

500.00

-

D

Preparación de las ilustraciones

3

1500

2

1500.00

-

137


E

Aprobación del autor de las pruebas

2

F

Composición tipográfica del libro

4

G

Verificación del autor de la composición

0.00

A,B

1300.00

E

2

0.00

F

H

Verificación del autor de las ilustraciones y portada

1

0.00

C,D

I

Producción de placas de impresión

2

2000

1.5

4000.00

G,H

J

Producción y encuadernación

4

2500

2.5

1666.67

I

1300

3

a) Elabora la tabla de actividades, predecesoras inmediatas, tiempos de inicio / terminación próximos y lejanos, así como el diagrama de ruta crítica. b) De acuerdo a tu tabla, ¿Cuál es la duración de la publicación, y cuáles son las tareas críticas? c) Si se quisiera reducir el proyecto en dos semanas, ¿Cuáles actividades convendrá reducir, y a qué costo? d) Y si se quisiera reducir en 3 semanas, ¿Cuáles serán las actividades a reducir, y a qué costo?

PERT/CPM (P/C83):13 La inmobiliaria Occidente Real State ofrece el servicio de venta de casas entre particulares y para ello realiza las siguientes actividades como parte del proceso:

138

PERT/CPM

Tarea

Predecesor inmediato

Descripción

a

m

b

A

Revisión física de la casa

2

4

5

B

Avalúo de la casa

1

3

5

A

C

Investigación de la propiedad en el Registro Público

3

4

6

B

D

Obtención de comprobantes de pago de agua y predial

3

5

10

B

E

Obtención de comprobante de libertad de gravamen

1

2

2

D

F

Encontrar un comprador

5

21

44

C,E

G

Tramitación de una hipoteca

9

14

28

F

H

Obtención de documentos legales

5

10

14

F

I

Presentación de documentos al Notario

1

1

1

G,H

J

Firma de compraventa ante Notario y cierre final.

1

1

1

I

El avalúo se hace después de la inspección. A continuación puede procederse a investigar la propiedad (checar quién es el propietario legal, etc.), y al mismo tiempo, a obtener los comprobantes de no adeudo de agua y predial. A fin de no hacer gastos innecesarios, el comprobante de libertad de gravamen no se tramita hasta que se ha hecho la investigación en el RPP y se tengan los comprobantes de no adeudo de agua y predial. Con el certificado de libertad de gravamen, se puede proceder a buscar al comprador. Teniendo al comprador, se pueden obtener la documentación legal y tramitar una hipoteca. Una vez aprobada la hipoteca, se pueden presentar documentos legales al Notario, el cual prepara la escritura y da una cita para la firma final. Determina: 139


a) Los tiempos esperados de terminación de cada actividad, su desviación estándar y varianza. b) Las actividades predecesoras inmediatas de cada actividad c) El diagrama de red de este proceso d) La ruta crítica, y el tiempo total del proceso. e) ¿En cuánto tiempo se venderá una casa, si la probabilidad de venta es del 95%? f) ¿Cuál es la probabilidad de vender una casa en 8 semanas? ¿En 9 semanas? ¿En 10 semanas? TIP: Utilice redondeo de días sin decimales. Las semanas considérelas de 7 días.

PERT/CPM (P/C84):14 La gerencia de Aerolíneas del Pacífico desea determinar el tiempo mínimo necesario para descargar un avión y estar listo para volver a partir. El Gerente de Operaciones ha identificado las siguientes actividades:

Actividad

a

m

b

A

Desalojo de pasajeros

Descripción

12

15

20

P.I

B

Descarga de equipaje

20

25

35

C

Recarga de combustible

27

30

40

D

Aseo del interior

12

15

20

A

E

Suministro de comida

12

15

20

A

F

Subir el equipaje

15

20

30

B

G

Acomodo de pasajeros

15

20

30

D

H

Revisión de seguridad

10

10

10

C,E,F,G

Después de que se hayan bajado los pasajeros, se realiza la limpieza y se sube la comida. Al terminar la descarga del equipaje de los pasajeros a arribaron, se sube 140

PERT/CPM

el equipaje de los nuevos pasajeros a bordo. El abordaje de los nuevos pasajeros se realiza después de la limpieza del avión. Por otra parte, al terminar de reabastecer el combustible, la comida, subir el equipaje y una vez que los pasajeros se encuentran acomodados, se puede iniciar la revisión de seguridad. a) ¿Cuáles son los antecesores inmediatos de cada actividad? b) Calcula el tiempo esperado de cada tarea, así como su desviación estándar y varianza c) Dibuja la red del proceso d) Elabora la tabla de ruta crítica, y determina el tiempo del proceso y las actividades críticas e) ¿Cuál es la probabilidad de partir en 1 hora?

141

CASOS

CASO (CS85):01 TRANSPORTE Sistema de Caminos de Parque en Zapopan. En fecha reciente se reservó un área del Parque “M” de Zapopan que la gente pueda pasear en bicicletas a través de una serie de caminos de tierra. En la red que a continuación se muestra, se ven los caminos, la O representa la entrada al parque y las demás letras es la localización de las casetas en dónde los visitantes pueden rentar bicicletas o comprar un snack. La distancia representada en los arcos está en cientos de metros.

En la actualidad, existen tres problemas. Uno consiste en determinar qué ruta, desde la entrada del parque a la estación “T”, es la que representa la distancia total más corta para las bicicletas. El segundo problema consiste en que deben instalarse líneas telefónicas subterráneas para establecer comunicación entre todas las estaciones, incluso la entrada. Debido a que la instalación es cara y perturba la ecología, se deben instalar líneas que sigan sólo los caminos necesarios para obtener comunicación entre cualquier par de estaciones. La pregunta es por dónde deben tenderse las líneas para lograr este objetivo con el

Casos

mínimo número total de cientos de metros de cable instalado. El tercer problema se refiera a que, en las horas de mayor concurrencia, las personas se agolpan en su camino hacia la estación “T”. Para evitar la aglomeración, se ha restringido el número de bicicletas que pueden circular por cada uno de los caminos. La pregunta es cómo planear las rutas de las bicicletas, maximizando el número total de bicicletas que pueden circular al día, sin exceder el número de bicicletas que pueden circular en cada uno de los caminos de tierra. Por esto, se reescribe la red considerando el número de bicicletas (en decenas) que pueden circular por cada camino, quedando como sigue:

Encuentra: a) La ruta más corta de la terminal O a la terminal T (en cientos de metros). b) El árbol de expansión mínima que conecte todas las terminales. c) El flujo máximo de bicicletas (en decenas).

143


CASO (CS86):02 SENSIBILIDAD Huertos de Zamora fabrica canastas con mezclas de frutos secos para venderlos en sus locales ubicados en el centro-occidente del país. Las tres mezclas, llamadas mezcla tradicional, primavera y de la casa, se preparan con diferentes proporciones de los frutos secos. A fin de prepararse para los pedidos de la siguiente primavera, Huertos de Zamora compró varias toneladas de los frutos secos a los precios que se listan a continuación: Fruto seco comprado

Toneladas compradas

Costo total

Dátil

12

$75,000

Castaña

15

$71,250

Piñón

15

$67,500

Cacahuate

12

$72,000

Pistachos

15

$78,750

La mezcla tradicional se compone de 15% de Dátiles, 25 % de Castañas, 25% de Piñones, 10% de Cacahuates y 25% de Pistachos. La mezcla navideña se compone de 20% de cada fruto seco, y la mezcla de la casa contiene 25% de Dátiles, 15% de Castañas, 15% de Piñones, 25% de Cacahuates y 20% de Pistachos. El contador de Huertos de Zamora analizó el costo de elaborar las canastas con frutos secos, el precio de venta por kg que resulta adecuado y determinó que las utililidades por kg. es de $16.5 para la mezcla tradicional, $20 para la mezcla navideña, y $22.5 para la mezcla de la casa. Los pedidos que ya se han recibido de los clientes son los siguientes: Tipo de Mezcla

Pedidos (Kg.)

Tradicional

20,000

Navideña

6,000

De la Casa

10,000

Los pedidos ya recibidos deben de surtirse por completo. 144

Casos

Responde el Siguiente Informe Gerencial: a) Costo por kilogramo de los frutos secos de las mezclas tradicional, primavera y de la casa. b) La mezcla óptima de productos y la contribución total a las utilidades. c) ¿Cómo aumentarían las utilidades si se compran toneladas adicionales de frutos secos? d) ¿Debería Huertos de Zamora comprar 1 tonelada adicional de Dátiles por $10,000 a un proveedor que tiene excedentes? e) ¿Cómo podría Huertos de Zamora incrementar las utilidades si no surte todos los pedidos existentes?

145

BIBLIOGRAFÍA

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REFERENCIAS

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30. (Hillier & Lieberman, 2010) 31. (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 7-18 pág. 285 32. (Anderson, Sweeney, & Williams, 2006) Pág. 247 33. (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 7-19 Pág. 285 34. (Anderson, Sweeney, & Williams, 2006)Pág. 322 35. (Taha, Investigación de Operaciones, Una Introducción, 1998)Problema2.4A-3 36. (Anderson, Sweeney, & Williams, 2006) Problema 8, Pág. 392 37. (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema7-16, pág.284 38. (Anderson, Sweeney, Williams, Camm, & Martin, 2011) Sección 7.1 pág. 236 39 (Render, Stair, & Hanna, 2006) Problema 11-12 Pág. 487 40 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Basado en Problema11-18, Pág. 488 41 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema11-13, Pág. 487 42 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 11-16, Trapeze Investments, Pág. 488 43 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 11-17, Pág. 488 (Horizon Wireless). 44 (Hillier & Lieberman, 2010) Problema 5.2-20, Pág. 190 45 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio9.4, Pág. 480 46 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio 9.3, Pág. 480 (Madiscan Inc). 47 (Taha, 2012)Problema 5.2A-8, Pág. 186 48 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Basado en Problema10-13, Pág. 440 49 (Mathur & Solow, 1996) Ejemplo 9.2, Pág. 390 50 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 10-17, Pág.441 51 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio 9.1, Pág. 480 52 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio9.17, Pág.484 53 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio9.12, Pág.482 54 (Mathur & Solow, 1996) Ejercicio9.17, Pág.484 55 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 10-30, Pág. 444 57 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio9.20, Pág.486 58 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Basado en Problema 10-30, Pág.444 59 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema10-33, Pág.445 60 (Mathur & Solow, 1996)Ejemplo 9.9, Pág. 441 61 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema10-35, Pág. 445 62 (Eppen, Gould, Schmidt, Moore, & Weatherford, 2000)Pág. 232 63 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 12-12, Pág. 514

64 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Pág. 509 65 (Render, Stair, & Hanna, 2006) Basado en 12-7, Pág.513 66 (Render, Stair, & Hanna, 2006) Figura 12.1 pág 431 67 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema 12-15, Pág.515 68 (Hillier & Lieberman, 2010) Pág 219 Ej. 6.4-3 69 (Eppen, Gould, Schmidt, Moore, & Weatherford, 2000) pág. 224. 70 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Pág.505 71 (Anderson, Sweeney, & Williams, 2006)Problema25, Pág. 453 72 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema12-9 Pág. 513 73 (Render, Stair, & Hanna, 2006) Figura 11.6 pág 434 74 (Render, Stair, & Hanna, 2006) Pág. 510 75 (Render, Stair, & Hanna, 2006) Figura 11.6 pág 434 76 (Hillier & Lieberman, 2010) Pág 219 Ej 6.5-3 77 (Render, Stair, & Hanna, 2006) Pág. 561 78 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio 10.12 Pág. 562 79 (Render, Stair, & Hanna, 2006)Problema. 13-24, Pág. 558 80 (Mathur & Solow, 1996)Pág. 532 81 (Eppen, Gould, Schmidt, Moore, & Weatherford, 2000)Pág. 659 82 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio 10.11 Pág. 562 83 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio 10.10, Pág. 561 84 (Mathur & Solow, 1996)Ejercicio 10.9 Pág. 561 85 (Hillier & Lieberman, 2010) pág 196-210 86 (Anderson, Sweeney, Williams, Camm, & Martin, 2011) Capítulo 8, Caso a resolver 1, pág 349

Problem a Rio 160108

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