Recenzcnti: Dr Sabahet Drpljanin, prof. Ekonomski fakultet, TuzIa Mr Mehmed Nurkanovi6, v. asis., Ekonomski fakuitet Tuzla Ahmed Hadiiaganovic, prof. matematike, Gimnazija "Dr Mustafa Kamari6" Gracanica Besim Sahbegccic, prof. matematike Gimnazija "Mesa Sclimovic" Tuzla
Ci(j pisanja ovog "Prirucnika lZ matematike" je hiD da svc vainije formule i pravila, ractena tokOln osnovne i sredl~je §kole, budu u jednoj knjizi i na jednom n~iestu) kako hi daei sto brze i la/de prona!iii ano sto im U odredenom trenutku zatreha. Pri tom trazenjzt uvelika ce im pomoCi deta(jan i preglcdno naprav(jn sadriaj na poc'etku /o?jige. Fonnule i lJravila su izloiena sistcnzat,r:;ki sadriaje progrmna po razredima i l!iihovu logiC/at
C1P-Katalogizacija u puhlikaciji Nacionalna i lIniverziletska bibiioleka Bosnc i Hcrccgovine,
iL~lo
na definisa!~je p(~jnlOva i iskazivCl1~je leorel1W jer v pri,')'tup bi zahUevao daleko veCi obim prirucnika, Naravno, "Priruc'::nik" ne moze zamijelliti udibenike i zbirke zadataka, ali se nadan1 da ce korisno ctaeima i studentin1r..l, vosluiiti Nije se
se reeenzentima sto su strpUivo pregledali rukopi,r:; 1 dali korisne prirt~jedbe i sugestlJe.
COBISS/BIH-ID 73259511
Prcrna Odobrenju Minislarstva obrazovanja, nauke, kulture i sparta Tuzlanskog kantona, broj lOll 15-7]6/00 od 54.2000 godine Prirucnik odobren ,ie za koristenje tl naslavi matcmatike u srednjim skulam:J.a prema MisljCllJU Fecicrall10g ministarstv;:J obrazovanja , nauke, kulture i sporta broj cn-JS-J635/00 od 7.4.2000. shodno odredbam:1 clana 19. Tacka 12. Zakona () porczu n;] promet proizvoda i usluga, osloboden jc placanja poreza na promet.
Tuzla, januara 2000. gOLf. Autor
'I.
,
SADRZAJ
strana Matematicke oznake --------------------------------------------- 1 Grcki alfabet --------------------------------------------------Sku pov i --------------------------------------------------------Oznake za relacije--------------------------------------------Oznake u geometriji -----------------------------------------Oznake za konstante -----------------------------------------Oznake u algebri ---------------------------------------------Matematicka analiza -----------------------------------------Kompleksni brojevi -------------------------------------------
. strana Declmalni razlomci --------------------------------------____ 14 Operacije sa razlomcima --------------------------------____ 15 Mnozenje i dijeljenje razlomaka --------------------------- 16 Decimaini brojevi -----------------------------------________ 16 Sabiranje j oduzimanje decimalnih brojeva -------------- 17 Mnozenje i dijeljenje decimalnih brojeva ---------------- 17 Pretvaranje decimalnog broja u razlomak ----------------18 Iracionalni brojevi J ----------------------------------------- 19
1 1 2 2 2 3 3 4
Razmjere i proporcije, brojne sredine ---------------------_ 20
Zadavanje skupova ------------------------------------------- 5 Pods ku p -------------------------------------------------------- 5 Presjek i unija skupova--------------------------------------- 6 Razlika skupova ----------------------------------------------- 7 Dekartov proizvod -------------------------------------------- 8
Operacije sa stepeni ma -----------------------------------___ 22 Stepeni sa negativnim eksponentom -_____________________ 'J') Stepenovanje binoma ---------- ______________________________ ~~
Skup prirodnih brojeva N ------------------------------------ 8 Djeljivost u skupu N o----------------------------------------- 9 Prosti i slozeni brojevi---------------------------------------l 0 Najveci zajednicki djelilac (NZD)-------------------------ll Najmanji zajednicki saddalac -----------------------------11 Skup cijelih brojeva------------------------------------------ 11 Operacije sa cijelim brojevima ----------------------------- 12 Mnozenje i dijeljenje cijelih brojeva ----------·------------12 Upotreba zagrada -------------------------------------------- 13 Skup racionalnih broj eva ----------------------------------- 13 Prosiri vanje razlomaka -------------------------------------- 13 Skracivanje razlomaka -------------------------------------- 14 Uporedivanje razlomaka ------------------------------------14
Rastavljanje na faktore ----------------------------------_______ 23 Razlika kvadrata ---------------------------------------______ 23 Razlika kubova ---------------------------------------________ ')1 Zbi r ku bova ---------------------------------------------______
;3
Korijeni ----------------------------------------------------________ 24 Operacijc sa korijenima -------------------------------______ 25 Racionali sanje nazi vni ka ---------------------------------___ 26
Skup kompleksnih brojeva --------------------------------____ 28 Stepeni imaginarne jedinice ------------------------------ __ 28 Operacije sa kompleksnim brojevima--------------_______ 29 Graficko predstavljanje kompleksnih brojeva ----------- 29 I II
strana
strana V j erovatnoca ------------------------------------------------------ 50
Trigonometrijski oblik kompleksnog braja -------------- 30
G EO METRIJ A --------------------------------------------------- 51 Tacka, prava i ravan u prostoru ---------------------------- 5 1
Operacije sa logari tmi ma ----------------------------------- 31
Ugl ovi --------------------------------------------------------- ') 2 Kruznica, uglovi kruznice ---------------------------------- 53 Mjerenje uglova ---------------------------------------------- 54 U glovi uz transferzal u --------------------------------------- 55 U glovi mnogougla, zbir unutrasnj ih j spoljasnjih ------- 56 U glovi na kruznici ------------------------------------------- 57
Lincarne jednacine i sistemi linearnih jednaCina --------32
Linearna jednaCina ------------------------------------------- 32 Sistem linearnih jednacina sa dvije nepoznate-----------32 Metode l~jesavanja sistema jednacina --------------------- 33 Diskusija rjesenja sistema od dvije lineame jednacine - 34 Sistem od tri jednacine sa tri nepoznate ------------------ 35
Mnogouolovi ---------------------------------------- ------.-------- ~-7 b
Linearna funkcija ------------------------------------------------- 36
Cetvero ugao --------- -- ---------------- ---------------- ------- 58 Tangentni i teti vni mnogougao ---------------------------- 60 Broj dij agonala mnogougla --------------------------------- 61 Odnos izmedu stranica trougla ----------------------------- 61 Podudatnos t traugl ova --------------------------------------- 61 Sl icnost trouglova (mnogouglova) ------------------------ 62 Kruznica i hug ----------------------------------------------- 63
K vadratne j ednacine -------------------------------------------- 38 Diskusija rjesenja kvadratne jednacine -----------------~- 38 Vi et -ova pra vila ---------------------------------------------- 39 Rasta v \j an je kvadratnog trinoma -------------------------- 39 Diskusija 0 rjesenjima kvadratne jednacine-------------- 39 K vadratna funkcija ---------------------------------------------- 40
GEOMETRIJSKA TIJELA (povrsine i zapremine) ----- 64
Polozaj nule kvadratne funkcije prema datom razmaku 41
.J cd naCine viSeg red a --------------------------------------------- 43 M a tema ticka in d u kcij a ----------------------------------------- 45 Aritmeticki i gcomctrijski nizovi ----------------------------- 46
Ari tmeti cki n iz------------------------------------------------ 46 Geometrij ski ni z---------------------------------------------- 47 Beskonacni geometrij ski red ------------------------------- 47
Iracionalne jednacine i nejednaCine ------------------------- 68
Ko m bina to rika -------------- -------------------- -- --- ------------ 49 III
1\1
strana
Eksponencijalna funkcija --------------------------------------- 69 Eksponencijalne jednacine i
strana " AN ALIT! eKA GEO METRI J A ------------------------______ 89
nejednacine------~---------- 70
U daljenost dvije tacke --------------------------------_______ 89 Koordinate tacke koja dijeli duz --------------------------_ 90 Koordinate sredista duzi --------------------------------____ 90 Koordinate tezista trougla ------------------------------____ 90 Povrsina trougla --------------------------------------- _______ 90 Prava i jednacine prave---------------- ______________________ 91 Prava kroz jednu tacku ------------------------------ ________ 92 Prava kroz dvije tacke ------------------------------ _________ 92 U gao izmedu dvije prave ---------------------------________ 93 Uslov paralelnosti dvije prave --------------------------___ 93 1. . - d -U S'I 0'1 OKolmtostJ viJe prave------------------- ____________ 93 Udaljenost tacke od prave ----------------------------- _____ 93 Uzajamni polozaj dvije prave -------------------------------94 Jednacina simetrale ugla ------------------------------ ______ 94
TRI GON 0 METRIJ A ------------------------------------------- 73 Definicija trigonometrijskih funkcija no. pravouglom troll gl u ---------------------------------------------------------7 3 Trig~nometrijska krllznica ----------------------------------- 74 Svodenj e na prvi kvadrant ---------------------------------- 74 V rijednosti trigonometrijskih funkcija -------------------- 75 Veza izmedll trigonometrijskih funkcija istog ugla ----- 76 Adicione teoreme -------------------------------------------- 77 Trigonometrijske funkcije clvostrukog ugla --------------- 77 Trigonometrijske funkcije polovicnog ugla ------------- 77 I zraza vanj e preko tga
KRUZNI CA ---------------------------------------------__________ 95
- tg -a ------------------------------- -8 /
lednacina kruznice sa centrom u ishoclistu --------------- 9S lednacina kruznice sa centrom u tacki S(p,q)------------95 Tangen ta kruzn i ce ------------------------------------- ______ 95 Uslov tangenci onalnosti ------------------------------ _____ .__ 96 Palama jednacina kruznice ----------------------------- _____ 96 Parametarska jednacina kruznice -------------------------- 96
1
2
Transformacija zbira i razlike u proizvod i obrnuto ---- 78 Funkcije viseslrukih uglova -------------------------------- 79 Rjesavan je pravouglog trougla ------------------------------ 80 S inusna teorcma ---------------------------------------------- 81 Kosinusna teorema ------------------------------------------- 81 Tangensna teorema ------------------------------------------ 82 Uglovi trou b la ------------------------------------------------ 83 Poluprecnik opisane i upisane kruznice ------------------ 83 Povrsina trougla ----------------------------------------._----- 84 Grafici trigonomctrijskih f unkcij a ------------------------- 85 Trigonometrij ske j ednacin e--------------------------------- 86 ~
E Ii psa --------------------------------------------------_____________ 97
(J
Jednacina tangente j normalc eiipse -------------------- ___ 99 U slov tangencionalnosti ---------------------------- _________ 99 Elipsa sa centrom u tacki M( c,d) ----------------------- ___ 99 Povrsina elipse ---------------------------------------______ 100
Sferna trigonometrija ------------------------------------------- 87 V
VI
strana Asimptote hiperbole --------~------------------------------ 102 Us loy tangencionalnosti ----------------------------------- 102 J ednacina tangente i normale----------------------------- 102
strana U gao izmedu dvije ravni ---------------------- ____________ 122 Presj ek tri ravni u j ednoj tacki ------------------ _________ 122
Para bo Ia -------------------- ------ ---------- ---------------------- 102
Prava u prostoru ----------------------------------_____________ 123
U slov tangencionalnosti----------------------------------- 104 J ednacina tangente i normale----------------------------- 104 Povrsina odsj ecka parabole ------------------------------- 104
Parametarske jednacine prave ---------------------_______ 123 Jednacina prave kroz dvije tacke ------------------ ______ 123 U gao izmedu dvije prave ---------------------- ___________ 124
Operaci je sa vektorima -----------------------------------RazlagL{nje vektora na komponente --------------------Vektori u koordinatnom sistemu ------------------------Linearna zavisnost vektora ------------------------------Skalarni proizvod elva vektora --------------------------Vektorski nroizvod dva vektora ------------------------M jesovi ti ~roizvoc! tri vektora ---------------------------
Zadavanje funkcije-Nula funkcije -------------------------~----------- ___ Osobine funkcij e -------------------------------____________ In verzne funk cij e ----------------- -----------______ _________
106 107 109 110 113 115 116
o - - - ____________________________________
o _______
125 125 126 129
Inverzne funkcije trigonornetrijskih funkcija ------_____ 130 Osnovni odnos izmeciu ciklometrijskih funkcija ---___ 133
Granicne vrij ednosti funkcij a ----------------------_________ 135 ANALITICKA GEOMETRIJA U PROSTORU--------1l8 Rastojanje dvije tacke u prostoru -----------------------Koordinate sre d Ista dUZl ---------------------------------Povrsina trougla -------------------------------------------Zapremina tetraedra u prostoru --------------------------o
'v °
Pravila za racunanje sa granicnim vrijednostima---- __ 135 N eki primjeri granicnih vrijednosti ------------- _________ 136 N eprekidnost funkcije -------------------------- ___________ 137
118 119 "- . 119
Asimptote krivih iinija u ravni ---------------------__________ 138 I v DU ERENC JALNI RACUN---------_______________________ 140
119
~
Ravan u prostoru ---------------------------------------------- 120 lzvodi - geometrijsko znacenje ---------------------- _________ 140
J ednacina ravni u prostoru -------------------------------- 120 Uslov paralelnosti i okomitosti dvije ravni------------- 121 Scgmentni obli k jednaCine ravni ------------------------.1ednacina ravni kroz jednu taeku, kroz tri tacke------Parametarske jednacine ravni ---------------------------Rastojanje date tacke od ravni ------------------------"--
Osnovna pravi la izvoda ------------------------- __________ Tabela izvoda osnovnih funkcija ----------------________ Izvod slozenc funkcij e ---------------------------- ________ Izvoel impl icitne funkcije -------------------- _____________ Di ferencij aJ funkcije -------------------------- _____________ Primjena izvoda u fizici --------------------------- ________
121 121
122
122 VII
VIII
141 142 143 144 145 146
[Mat~maticke oznake I
strana
1. GRCKI ALFABET
Jednacina tangente i normale----------------------------- 146
Aa B~ ry
Neodredeni izrazi, Lopitalovo praviio --------------------- 147 Rascenje i opadanje funkcije. Stacionarne tacke ------- 148 Ekstremi funkcije ---------------------------------------------- 148
NEO D RED EN I INTEG RALI ------------------------------- 152 Primitivna funkcija ---------------------------------------Osobine neodredenih integral a --------------------------Tabela osnovnih integraia -------------------------------Osnovne metode integracije -----------------------------In tegraci j a raci onaln ih funkci j a -------------------------Integracija iracionalnih funkcij a ------------------------Integracij a trigonometrij skih funkcij a -----------------Integracija transcedentnih funkcij a ----------------------
Osobine odredenog integral a ----------------------------- 161 Newton-Leibnizova formula ----------------------------- 161 Integrali neogranicenih funkcija ------------------------- 162
o iIi {} k:
u
Izracunavanje povrsine ravnog lika ---------.. ------------- 162
rl_
Zaprel'nina i povrsina l'Otacionog tijela ------------------- 163
Skup prirodnih brojeva Skup cijelih brojeva Skup racionalnih brojeva Skup iracionalnih brojeva Skup realnih brojeva Skup kompleksnih brojeva Prazan skup Podskup Unija skupova Presjek skupova Razlika skupova Pripada ( je element) Ne pripada (nije element) Svaki Postoji Postoji tacno jedan
1
3. Oznake za relaclje jednako =f:: nije jednako identicki jednako priblizno jednako manje < < manje iIi jednako vece > vece iIi jednako > slijedi => ekvivalentno ( ako i samo ako) <=> konjukcija ( i ) 1\ f-. disiunkcija ( ili ) V ~
-
4.0znake u geometnJl , 1 pantlclnn paralelno i jednako okomito .1 slicno pocluclarno I ugao Lili
*
J
6 0 zna k e u a!ge l bn'
I J
/a / + ~
an
r
I
I
I
[
+
luk siiccc
5. Oznake za konstante n -3,14159··· odnos obim akruznice sa precnikom e 2,71828··· baza priroclnog Iogaritma I c=O,57722 ... Eulerova konstanta
rfa
l1-ti korijen
loga log
~
-
!
n
(k) I b1l10mni koeficijem (,,11 nad k") I ~) I · JI ~~------------------.
Ii I
1
I
1
)
.
logaritam za bazu a logaritam za bazu 10 (dekadski) logaritam za bazu e (prirodnj) faktor;el
In
I
I)
AB
AS
kvadratni (drugi) korijen
i
-~
I
.f
J
~
I
apsolutna vrijeclnost broja a, modul od a sabiranje oduzimanje mnozenje diie1enje n-ti stepen broja a
7. Matematicka analiza lim limes (granicna vri'e dnost) l -7 tezi k ... -"""------------1 CXJ beskonacno L suma
Skup je osnovni pojam u matematici i ne definira se. Prirnjeri skupova: Skup ucenika petih razreda jedne skole. Skup tacaka neke duE Skup clanova neke sekcije. Skupove najcesce oznacavamo velikim slovima A, B, X,S, ... Npr. skup ciji su elementi brojevi 2, 3 i 4 mozemo oznaciti A={2,3;4}.
(k)
s
integral po povrsini s, po volumenu v
v
Sf
dvostruku integral
HI
trostruki integral
Ako neki element a pripada skupu A oznacavamo aE A. Ako neki element b nije u skupu A (ne pripada) oznacavamo sa be: Zadavanie skupova Skupove mozemo zadavati tako Sio elemente npr. S={1,2,3,4}.
2.
Mozemo zadati neki usiov koji elementi skupa treba da zadovolje. Npr. skup S je skup svih prirodnih brojeva manjih od 5 iIi simbolicki S={x I XE N 1\ x<5}
8. Kompleksni brojevi C
i z=a+bi
z = a - bi
skup kompleksnih brojeva imaginarna jedinica kompleksan broj .. konjugovano kompleksl1l bro]
I z \= ~a2 + b 2 Rc(z)
Im(z)
modul kompleksnog
br~ja
realni dio kompleksnog broJa imaginarni dio
napi,~emo
1.
3.
svc nJegove
~
/~_
4iil4
l.-.
\ 3$
/ \~ •.• 2 (
\.J..-----'
tIS
se: takvih do je iIi sa osobinom Graficki (crtezom). Crtez se zove Venov dijagram.
Prazan skup:Skup koji nema ni jednog ekmenta zove se prazan skup; Oznacava se sa 0 ili { }. Jednakost skupova: Ako dva skupa A i B sadrze jednc ie iste elemente kaie sc da su jednaki i pise A=B. Podskup: Ako svaki element skupa C pripada skupu D onda je skup C podskup skupa D i pise se CcD. (Svaki skup je podskup samog sebe AcA, prazan skup je podskup svakog skupa 0cA . Npr. C= {2,3,4} D={ 1,2.3,4,5}, C~D, Grafick sc to predstavlja :
4
CeD
5
Brojnost skupa: Broj elemenat~ ne~og .konacnog skupa A oznacavamo sa k(A) i zovemo kard1l1alm braj skupa A.
Razlika skupova: Neka su A j B neki skupovi. Skup kojeg cine elementi skupa A koji nisu u skupu B nazi va se razlika skupa A j skupa B i oznacava se A \ B, gdje znak \ Citamo "razlika".
Ekvipotentni skupovi:Ako dva konacna sk~pa imaj.u ~sti bro~ elemenata (imaju jednake kardinalne broJe~e) pn. cemu tl elementi ne moraju biti svi isti kaze se da su ekvlpotent11l. Presjek skupova A i B je skup koji sadrzi .sve elemente ,koji istovremeno pripadaju i skupu A i skupu B.TaJ skup se oznacava sa A (] B, gdje znak (] Citamo: presjek.
A (] B={x I xEA i xEB}
Npr: A={2,3,4,5)
B={3,4,5,6}; A (] B={3,4,5)
V rij edi: A (] B= B (] A; A (] 0=0 ;
A (] A= A
Unija skupova A j B je skup sto ga cine svi elementi koji pripadaju bar jednom od skupova A iii B. Oznacava se sa A u B, crdj'e znak U citamo: unija. b . Au B={xlxEA Hi XES}
Npr. A={ 1,2,3,4} i B={ 0,1,2,3}, A u B={ 0,1,2,3,4} Vrijedi Au B= B u A; Au 0=A; Au A=A
B
Npr.A={0,1,2,3,4}
A \ B={xlxEA i XEB}
B={l,2,5}; A \B={O,3,4}
ili B \A={5}
Vrijedi A \ B:;t B \ A ; A \ 0=A ; 0 \ A=0 (znak ;/: citaj nije jednako) Komplement skupa: Ako je A~B moze se definirati komplement skupa A U odnosu !la skup B (u oznaci Cs(A)) na sljedeci nacin: Cu(A)={x IX EB 1\ XE A}, odnosno Cs(A)=B\A. U slucaju da nije A~B, ne moze se definirati komplement skupa A u odnosu na B. Partitivni skup: Skup svih podskupova skupa A naZlva se partitivni skup skupa A. 9?A)={ p I pcA } Primjer: A={ 1,2,3} 9(A)={ 0,{ 1 },{2},{3 },{1,2 },{ 1,3 },{2,3 },A} Ureden par (a,b) je skup od dva elementa kod kojeg se tacno zna da je a prvi element a b drugi. Prvi element a uredenog para (a,b) lOve se jos prva koordinata, dok je b druga koorclinata. Vrijedi (a,b);/:(b,a) iIi (2,3):;t:(3,2)
";; 3tI
(1.3)
(i.2)
~i-21 c.
"
C[)
2 1
(2.1 )
"0
I
"3
prva poluprava
6
7
.~
DpL-artov (Kartezijev) proizvod
-'" skupova:
\ Skup svih
nG5.1--I-~------i\!'-----~! /
ure?enih. parov~ (a,b) Kojima je prva Koordu:at: d. element skupa A, a druga koordlJlala b element skupa B zove se Dekarto~ . d skupa A sa skupom B 1 prOlZvo . .. B oznacava sa: A x B (citaj A puta)
(ij
E 4
a=b (ajednako b); ab (a vcce od b);
(3.5)\
(2,5)
.,1 __ Li~~.jl_j:~~__ 1(l41 A,,!l 1 l: i i ) , I~!
~2
Zbir dva iii vise prirodnih brojeva je prirodan broj. 1+3+7=12EN
~jJ
I\.
ProizYod dva iii vise prirodnih brojeva jt prirodan broj.
A x Ik{(a,b)laEA i hEEJ
'* B x A
Vrijedi: A x B
3,4·S=60EN Zbog toga se kaze da je skup N zatvoren sabiranja i mnozenja.
. 1(( A~ x B\_l ako su A Brojnost Dekartovog prmzvoda: )-K\(A)·k(B) " i B konacni skupovi.
rl,. ,o','novnihgeometrijskih pojmova. SkupJ Tacka J'e jedan O , kLll,JOVe r.,rostora zovemu tacaka je prostor. Nepr3zne pod""." . t' CTcometrij ske figure, b , Neki podskupOVI prostora:
a
/
j
/
prava
H~
/
/
/ /
,J
poluprava
f
/
/
J
L1L...
auf
f
/
/
ISkupovi brojeva ] . N' '! 3 ,4 ,.... } pri rodnih S' rirodnih broJeva =\ 1,-, ',-, , brojeva ,,' 1 imp p Sk P sto cine prirodl1l DrOjeVl 1 nu a ima beskonacno mnogo. u, bC' (]Cl
v
oznacavamosaNo={O,1,2,3,4, ... ): . . . ,,'" '" pnrodm. b'lOJ, :,W Je 1, a ne postoJl Postoii naimanJl I' ..nC1.Jvecl. , • J b _ .. d' iedna od re aena. koja dva pnrodna broJa d I VllJC 1" • J
•
•
<'
Za broj aE No kazemo da je djeljiv prirodnim brojel11 b ako posioji broj qE taka v da jc a=bq. " Nula je djeljiva svakirn prirodnim brojcm. .. Svaki element skupa djeljiv je brojem 1. E Svaki prirodni broj djeljiv je SJ samim subom. "
Svaki prirodni broj djeljiv jc sa barem dva priroclna broja. s brojem 1 i sa samim sobom.
"
Za prirodall broj kazcmo je pawn ako je djeljiv sa 2, Npr.parni prirodni brojevj su 2,4,6,8~ .. ,
"
Biio koji paran prirodan broj gdje je n neki prirodan
"
prirodne brojeve 'j nisu djeljivi sa dva I,tj. 1 msu pami) kazemo da su neparni. , 1,3,5,7, Bito koji neparan prirocbn broj mozemo oznaciti sa 20-] gdje je n neki prirodan oroj,
to
b:lo 1
odnosu na operaeije
Djeljivost u skupu No
/
ravan
U
Razlika dva prirodna broja nije uvijek prirodan bro]. Kolicnik dva prirodna broja nije uvijek prirodan bro]. Zbog toga se kaze da skup N nije zatvoren U odnosu na operacije oduzimanja i dijeljenja.
Skupovi tacaka
/
3=3 5<7 8>4
"
se uopsteno oznaciti sa
Prirodan broj je djeljjv ",a J () ako i samo ako mu je cifra jedinica O.
8
9
..
Prirodan broj je djeljiv sa 2 ako
samo ako mu Je ci1'ra
"
jedinica jedna od cifara 02,4,6,8. Prirodan broj je cijeljiv sa 5 ako
samo ako mu Je cifra
jeciinica 0 iii 5. Prirodan broj je djeljiv sa 3 ako i samo ako mll je zbir cifara djeljiv sa 3. (Npr. broj 207 je djeJjiv sa 3, jer rnu je zbir cifara
Il
2+0+ 7=9 i 9 je djeJjivo sa 3) Prirodan broj je djeljiv sa 9 ako i samo ako mu je zbir cifara
II
II
djeJjiv sa 9. Prirodan broj je djeljiv sa 4 ako i samo ako mu je dvocifreni zavrsetak djelji v sa 4. (N pr. brojevi 424, 516). Prirodan broj je djeljiv sa 6 ako i sarno ako je istClvremeno
I"
djeljiv sa 2 i sa 3. Prirodan broj je dje\jiv sa 8 ako su mu tri zadnje cifre nule iIi
'"
cine broj djeJjiv sa 8. Prirodan broj je djeljiv sa 25 ako i sarno ako mu je dvocifreni
..
Npr. Za brojeve 126, 180,84 126=2·3·3·7 NZD(l26,l80,84)= 2·3=6 180=2·2·3·3·5 84=2·2·3·7 . Ak~ je. najv.eci. zajednocki djelilac dva iIi vise broieva 1 o11da se tl broJevI naZlvaJu rnedusobno prosti. Npr. 4, 10 IS' 4=2·2 ' NZD(4,1O,15)=1 10=2·5 N~jma?ji z~jednicki ~adrZalac dva
Prosti i slozeni brojevi Broj koji je djeljiv sarno sa 1 i sa samim sobom zove se prost hroj. (2,3,5,7,11, ... ). Brojevi koji osim jedinice i samog sebe imaju i drugih djelitelja ZOyu se slozeni brojevi. Svaki slozen broj se moze prikazati
=2·2·3·25 =2·2·3·5·5
Za pr~rod.an. broj a kazemo cia je sadrZalac prirodnog broja b, a .za. b da Je ~J~lIl.~c od ~ ako je a cijeljivo sa b. Najveci zajednicki d~el~lac dva III VIse ~roJev~ je najveci broj koji je u isto vrijeme dJehlac svakog oci oVlh broJeva. Npr: Za brojeve 240 i 360 240=(2·2·2·3)·2·5 NZD(240,360)= 2·2·2·3=24 360=(2·2·2·3)·3·5
15=3·5
zavrsetak djeljiv sa 25.
prostib brojeva. Npr: 300 = 2·150 =2.2.75
NajveCi zajednicki djeIilac (NZD)
U
obliku proizvoda
iIi vise brojeva-NZS je u kome Je sadrzan svaki od tih brojeva. Ako su b:'oJevl r~latl1mo prosti njihov najmanji zajednicki sadrzalac je I1Jhov prOlzvod. A~o b:'~je~i. nisu relativno prosti npr. 18, 24 NZS odredujemo na slJedecl naC111; 18=2·3·3, 24=2·2·2·3 NZS(18,24)= 2·2·2·3·3=72. naJma~JI br~J
Skup cijelih brojeva 315 = 3·105 = 3·3·35 = 3·3·5·7
Z={ ... -2,-1,0,1,2,3, ... } negativni cijeli brojevi
nula
-3
0
pozilivni cijeli brojevi
f f ... ---+I--+f--rl~1r-'f--+--+--t-~r-~-4--+
-2
-I
2
3
brojna osa
4
. . Ako se ~ijeli broj a nalazi (na brojnoj osi) lijevo od cijelog Drop b onda Je a manji od b. ~
10
11
Svaki negativan cijeli broj je manji od bilo kojeg pozitivnog cijelog broja. . . . -5 i 5 su suprotni cijeli brojevi.CNa brojnoj osi im odgoyaraJu simetricne tacke u odnosu na nulu.) Apsolutna vrijednost (modul) cijelog broja je udaljenost tog broja od Hule. ( na brojnoj osi).
Operacije sa cijeHm brojevima Sabiranicciielih brojeva istog znaka: saberemo apsolutne vrijednosti rih brojeva i rezultatu dopisemo predznak tih brojeva. Npr.(-5)+C-2) =-7 3+5 = 8 Sabir:mje cijelih brojeva suprotnog znaka: Oduzmemo apsoJutne vrijednosti tih brojeva i rezultatu dopisemo predznak o~og broja koji je po apsolutl1oj vriy:dnosti yeci. Npr. (-7)+2=-5 4+( -8)=-4 (-2)+ I 0=8 Oduzimanje cijelih brojeva pretvaramo u sabiranje po pravilu a-b=a+( -b) Npr. (-7)-(-2)=(-7)+(+2)=-5 (-7)-( +8)=-7+( ··8)=-15 110zcnje i dijeijenje cijelih brojeva Ako mnOlJl110 (iIi dijeiimo) dva cijela broja istog znaka onda pomnozimo (iii podijelimo) njihove apsolutne vrijednosti a ' k rezultatu d ' oplsemo zna' + . Npr mnozenjc' (-7)·( 14, dijeljenje: (·8):(-2):::+4 J~ 1, .' 12 : 6 = 2 ~ =0 Ako mnozimo (iii dijelimol dya cijela broja suprotnog predznaka onda pomnozimo (iii podjelimo) njihove apsolutne • 1 d ' vrijednostl. a rezultatu oplsemo znak"-. Npr. (-8)-(+2)==-16 (+ 16):( -4)=-4 v
1/
If
v
If
. ~ko p.rili~om mnozenjc imamo vise faktora, proizvod je poz!tlvan ako JC broj negativnih faktora paran, a negativan ako ih je neparan broj. Npr. (-2)·3·(-4)=24 (dVil negativna faktora) (-2)·3·(-1)·(-2)::::-12 (tri negativna faktora) U skupu cijelih brojevd Z, za svaki cijeli broj a vrijedi: lHO=a i <,<+(-a)=O.
Upotreba zagrada -3+(2-11 )=-3+2-11 =-1 ispred znak +)
1 (zagr::tda se izostavi ako Je
-(7-5+2)=-7+5-2=-9+5=-4
Ako je isprcd zagrade - onda sc prilikom iwswvljanja zagrade moraju prornjeniti predznaci. Npr. -7+[2-(3-1 )+5]=-7+[2- 3+ 1 1=-7+2-3+ 1+5=-2 Skup racionalnih brojeva m l
Q ==.[ _." m
tn'
c=
Z'
"c:: Z·,~. (i'Jl n::i.e
~-"''-
Racionalni broj .Ie onaj broj koii sc moze llapisati U obliku razlomka
a.n Z a raz IomaK1 -:-, b
" kaze se cia 111
::= (J
definisan Jer 01JeLenJC sa ,"
1
•
nulom nije moguce (ncdellnisano)
a
k'il
--::::--
Smijemo
nazivnik nekog razlnmka ,..,,,nH-,n·,',,· sa ednim tc istim (razJicit llule). (razlomak se ne mijenja . 3 2·3 6 Npr. - = - - __ _ 5
2·5
10
12 13
Skracivanje razlomaka
ba =
a:k b: k' k:;t.:O, Smijemo brojnik i
nazivnik nekog razlomka podijeliti jednim istim brojem (razlicit od nule), (razlomak se nece promjeniti),
Operacije sa razlomcima uporedivati ako imaju jednake
2
nazivnike i1i jednake brojnike,
5 Npr. - < -
razlomak ciji je brojnik manji) i1i : <
7
~
(manji je onaj
7
(manji je onaj razlomak
ciji je nazivnik veci), Ako nemaju jednake nazivnike niti brojnike onda ih prosirujemo do zajeclnickog nazivnika, Npr, Treba uporediti 2 . 3 2 2·5 10 _ I _, _ = - - = -
5' 3
3
l
="4
Razlomke najlakse mozemo
3
= 004 , . (nu Ia cijelih i cetiri stotnine),
Razlomak - = 0 ()03 (llUl a cIJe ," l'j' 1000' III tn'h'"lljadnine), f
9
Uporedivanje razlomaka
razlomke
Razlornak 100 4
3·5
15
3 3,3 9 -=--=5 5·3 15
Kako je
10 >9- za kl'JucuJemo daJe ' ->-, 2 3 _ 15 15 3 5 v'
Decimalni razlomci su oni u kojima je nazivnik jedan od brojeva
i oduzimanie:Mocru se naJ'laksve sabl'j'at" . I Sabiranje : .., , .: b e l kOjl " ImaJU 1St1 nazivnik ,.lrdmO (Sa·b'· 'j'I laZ . 'OrnCI , 1 blOJl1lke a nazlvl11k ostavimo isti)
2 7
3 7
5 7
17 15
-+-=-
~ Uedna desetnina) cesto se oznacava sa 0, 1 10
(citaj: nula cijelih ijedna clesetnina),
2- = 02 10
d" uZlmaU.
' 0 d uZlmamo
4 13 IS-iS
---
Ako razlomci nernaJ'u isti naZiV111'k , on d a 'lh prosirivanjem moramo dovesti n41 z41jednicki nazivnik,
N pI'.
2 + ~ = 2, 5 + 3· 7 7 5 7'5 5'7
=.!Q. + 3.! _ 31 35
35
35 -
5
2
5,1
2·2
5
4
1
6
3
6·1
3·2
6
6
6
----=----- ----=-
Zbir prirodnog broja i razlomka, npr. 3
10, 100. 1000, .. , Razlomak
I 0
znaka 1/+" pa se dobije broj 3
~
+!5
cVesto se pise bez
(tri cije1a i jedna petina), koji se
naziva mjesoviti razlomak
(nula ci,J'elih i dviJ' e desetnine)
'
15 14
Mnozenje i dijelenje razlomaka Mnozimo brojnik brojnikom a nazivnik nazivnikom.
2 2
Npr.
4
2 3· 7
-::;'5= 35
6
Npr. 6,275·100=627,5 iIi 0,05.100=5
=-::;
Kod dijelenja podijelimo brojnik brojnikom a nazivnik nazivnikom ako je moguce;
16 2
16; 2
8
9
9:3
3
npr. - ; - = - - - = -
3
. 7 3 7 4 28
-:-=-.. -=-;
9 3
8
8 . -1: : : :8-
5
5.3
Decimalni broj dijelimo sa dekadskom jedinicom tako da decimalni zarez pomjerimo ulijevo za onoliko mjesta koliko nu!a ima dekadska jedinica. . Decimalni broj clijelirno sa 10 ako mu clecimalni zarez pomaknemo za jedno mjesto u lijevo.
Ako nije moguce onda prvi raz10111ak poml1ozimo sa reciprocnom vrijednoscu drugog razlomka (kad brojnik i nazivnik zamjene mjesta). 9 4
Decimalni broj mnozimo sa 100 tako da decimalni zarez pomaknemo za dva mjesta u desl1o.
Npr. 37,58: 10=3,758
ili 0,05: 10=0,005
Decimalni broj dijelinlO sa 100 ako mu clecimalni zarez pomaknemo za dva mjesta ulijcvo . Npr. 236,7: 100=2,367 iii
27
: 100=0,005
Sabiranje i oduzinmnje decimal nih brojeva
_ 2 _ 3 15
,",0_=::;._=_
-" 3
2
2
Decimalni broj se jednu ili . Npr. 2,1
Npr.
promjeniti
0,758 +23,1 23.858
mu na kraju dopiserno
8,67 .24 5,43
69,00 -
2,38
---
66,62
Mnozcnje i dijeijenje decimalnih brojeva
10=2,1
Decimalni mnozimo sa dekadskol11 jedinicom tako malni zarez pomjerimo nadesno za iko mjesta koliko nub Im2t
Mnozi se kao da nema decimaJnog zareza a zatim 1I proizvodu naznacimo onoliko decimalnih mjesta koliko ih je u oba faktora zajedno. Npr.
sa i 0
Npr. 23,75·1
ili
15·lO=OJ 5
da decimalni z21rez
23,7·4.25
0,053 ·0,7 == 0,0371
1185
474 948 100,725
16 17
Kod dijeljenja dva decimalna broja djelilac i dijeljenik pomnozimo sa 10 ako djelilac ima jednu decima\u, sa 100 ako ima dvije, sa 1000 ako ima tri itd, pa se dijeljcnje decimalnim brojem svodi na dijeJjene decimalnog broja cijelim brojem. Npr. 5,664: 2,4::: 56,64: 24 2,36 86
Pretvaranje decimalnog broja u razlomak U razlomak se mogu pretvoriti svi decimalni brojevi sa konacno 111nogo decimalnih mjesta i decimalni brojevi koji imaju beskonacno mnogo decimalnih mjesta kod kojih se ponavlja jedan te isti broj (0,33333 ... ) iii grupa od dva iii vise brojeva
(2,39393939 ... ). 235 2 35 .. , 100 100 Kako se broj 0,333 ... moze pretvoriti u razlomak? 0,333 ..... ==X /·10 3,33 ...... ==10x 3+0,33 .. ==lOx 3+x =lOx == 10x-x 3
.. Decimalni br~j~vi sa beskonacno mnogo decimalnih 111jesta kOJ~ se ne pona~IJaJu po nekom pravilu ne 1110gU se napisati u obhku razlomka 1 takve brojeve zovemo iracionali brojevi. Npr.
Unija racionalnih i iracionalnih broieva cini skup realnih brojeva R.
3 '
3=9x ::::} x =- znaci broj 0,333 ... =- ; 0,333= 0,3 9 9 Kako se broj 2,3939 ... pretvara u razlomak? 2,3939 ... =2+0.3939 ... 0,3939 ... =X /·100 39,39 ... =100x 39+0,39 ... =100x 39+x =100x 18
19
Razlnjere i propordje, brojne sredine
1
Ako je
a1: b I = CI : d 1
Odnos izrnedu dva broja ili dvije velicine zove se razmjera. Aritimeticka razmjera govori za koliko je jedna veliCina manja iIi veta od druge i oznacava se a-b. Geometrijska razmjera govori koliko puta je jedna velicina
a mania iIi veca ad drupe i oznacava se a:b iIi , b;t:O. J 0 • n Jednakost dvije razmjere zove se proporcija.
b::::--;
a-d
c:.::.:--;
c
b
. _ _
b·c d=-a
i
l(a:m):b=(c:m):d
r(a ± b!; ~c ± = a : c = b : d ('
.
+ nd)= .ma - nb): (me·-
Produzena proporcija:
a:b:c=p:q:s
.
J
(d d
d)
&. .. . - ac (b Je geometnJska sredina za a i c) I
n
2···
n
Aritimeticka sredina A(x
n
)
= Xl + x2 + x3 + .. ,x n n
ne -yx
Geometrijska sredina G(x ) n
1 'X 2 'x3''' X n , Xj20, (i=1.2, ... n) -
Harmonijska sredina H( xn) = -,;-----:-_ n _ __
1
1
1
Xl
X2
Xn
~A~G~H
~xf + xi + .. _x2 n
l Stepeni ]
J(a+ b): ic+d)= (a - b.): Ie-d) .
(CIC2 ... C ) :
(I-postotni iznos, p-postotak (o/c) G J . . G. 0, -g avnlca (osnovna vrijednost) I=--P G = 100·1 _ 100-1 7 100' p ' p--G (7%=-=007) 100 '
Takode, a:b=c:d, tadaje i (a: m): (b: m)= c: Ii
{
==
Postotni (procentni) racun
f(am): (bm)= c: d
\1Jl.C
... b n )
Iz a.b-c.d=e f=="'-m'n-k . - . - mogu se Izraziti a==bk, c==dk,. " .
Vrijedi K
ld:c=b:a
\; \
dn
Kvadratna sredina: K(x n ) =
Akojea:b=c:d, tada jeiid:b=c:a
l~na + nb):
:
-+-+.,,+-
fa:c=b:d
1
an : b n = c n
Ako je a:b==b:c, tad a 'e b-
I
Ako je a:b=c:d, tada je i
....................... tadaje (ala2 ... a n) : (b 1b 2
a:b=c:d; aid su spoljasnji clanovi proporcije, dok su b I c (b:;t:O. d:;t:O) unutrasnji 61anov1 proporcije. Proizvod spoljasnjih clanova proporcije jednak je proizvodu unutrasnjih clanova. Ako jc a:b==c:d tad a vrijedi ;)·d::::b·c i svak! clan proporcije se moze racunati a·d
a2 : b 2 = C2 : d 2
)
a-a '--v-' 2 faktora
=a 2
a -a . a = a 3 ~
3 faktora
a . a . a ... -a = an '-------v----:: n faktora
Izraz an se zove n-ti stepen bro'a a d' . ,g Je Je a baza stepena a n izlozilac iIi eksponent stepena. ~
20 21
al=a, aO=1 (a:;t:O) a 2k>0 Npr. 24=16 iIi (-2)4=(-2)-(-2)0(-2)-(-2)=16 a 2k+1>O za a>O; a 2k +1
Stepenovanje stepena (a ill
= a 2 + 2ab + b 2
(a + b)2
(a - b)2 = a2 -
Moge se sabirati i oduzimaU sarno stepeni jednakih baza jednakih eksponenta. 5a3+7a\::lOa 3 , 8b 5-3b 5=5b 5
Mnozenje stepena: - jednakih baza: m "_a m+ pr a 2,<> 7=a 2+7=a 9 l1
pr. (2x-y)3 =(2X)3 - 3(2x)2. y + 3(2x)-(yi - i=8x 3 - I 2x2Y+6x/-i (a±b)4::::a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4
RastavIjanje na faktore nekih poznatih izraza 2
2
a - b = (a - b )(a + b) razlika kvadrata 4 2 pr. 64x - 9/=(8x 3y) (8X2+3y) -jednakih eksponenata:
a":
b"~(:
J
,pr. 27':
a
9=(Z;J =3 =81, b*Q 4
4
Stepeni sa negativnirn eksponentorn
a-ll=~ an
22
,r "
·-2
2-3=_~=~. '\! I 2'
-
8', 3 )
y!
=_1_=..!.=9
(~
b
3
a +b pr.
(
fa-ol-O) or
3
27 3
3
= (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) razlika kubova
3
= (a + b)(a 2 -ab + b 2 )
-8y
x
3
=
r
3 y 9 6y 2 '\ --2y I '-+--+4y
,x
A
"2 -b 4 =(a-b)(a-'+a b+
as + b
5
zbir kubova
x
2
I
)
3 2 _b 2 +b")=(a
= (a+ b)(a 4 -a 3 l;+a 2 b 2 -ab 3 + b4)
23
2 2 a + b 2 = (a + 2a b + b 2 ) - 2a b = (a + b a 4 + b 4 = (a 4 + 2a 2b 2 + b 4 ) - 2a 2b 2 =
.J 2ab )( a + b + .J 2ab )
2 2 2 2 = (a + b -abfi)(a + b +abfi)
f,1 ~ J(3 3 J(-7)2
r+31 ;J(3 -
b
Y~ la _hi ~ {
a - b za a ;?: b -(a-b) zaa
=1-71 =7
opcenito a 2n _ b 2n = (a _ b )(a 2n - 1 + a 2n - 2b + ... + ab 2n - 2 + b 2n - 1
)=
= (an _ b n )(a n + b n )
+
= (a ± b )(a 2n + a 2n - 1b + a 2n - 2b 2 =+= ... + a 2b 2n - 2 + ab 2n - 1 + b 2n ) 2n
+ b 2n
n
+hn
-
a% b;
J2ll-
n
J2l
+ b n + a% b%
velicinu).
IKorijeni I
KOljenovanje korijena:
Za svaki real an broj a:2:0, za svaki prirodni broj n postoji jedan i sarno jedan realan broj b:2:0, tako da je : bn=a. Taj broj b zoverno n-tirn aritirnetickim korijenom broja a oznacavarno ga b
Iz b 3 =a slijedi da je b
f2 =
~V; = nV; ; npr.
Prosirivanje korijena:
~aP
= nVa Pk .
Skracivanje korijena:
~a k
=
{a za a;: : 0 , -a zaa
= ~;
-
drugacije pisano
3
II
r:; = a
"';a~
npr. a
VJ k
ill
Uvlacenje pod korijen: aI.{/b =
V8 = 2 ,jer je 2 =8
Jv;; = V;; 3/2 _ Vi\a 2J\2 ='1a-' 6/4
,npr.Va~-
= rf;; .
a-podkorjena velicina iIi radikand n eksponent korijena
"';a~
rJb ; npr. )9.25 = /9.!2S = 3·5 = 15 Korijen kolicnika .fa ~ .,;;; V6i 4 Vb I.{/b' npr ~64 27 = lf27 == 3 Stepenovanje koriJ'ena' ~1r;;~ - ~ak ( t . . \va) s epenuJemo podkOljenu Korijen proizvoda T.l/a. b = rf;.
a 2n + 1 ± b 2n + 1 =
3
Operacije sa korijenima
a ill
. n . 618 _ 3/4 , pI. Va u - Va"
~a lib ;
2fu = ~(a2 )~b = ~a 7b
Mnozenje korijena jednakih eksponenata:
'f;. t{t; = rJab
24 25
Ako 11JSU jednaki sadrZalac.
eksponenti
dovedemo
ih
na zajednicki
Ako je u nazivr.iku zbir ili razlika dva iIi vise korijena:
;if;. Vb == 1~ .14"b3 = 1~a4b3 Korijen se moze izraziti kao stepen sa racionalnim eksponentom. k
~a k = a ~
1
; pr.
2
Fa == a 2:; if;2 == a "3
npr.
Za a>O, b>O i a2 -b>0 vrijedi a)
J
€li-
r--.--;:=====
Jb + Ja - Jb : :; ~ 2a + 2~ a 2 - b 2
b)
~a+Jb -~j{; =~2a-2~a2 _b 2
c)
Ja+[b=~a+J:2-b +~a-J:2-b I
h _
a+Ja2
2
-b
d)
-va-"b -
e)
fa ±.jb =~a ± 2Ja b + b
ja-Ja2 -,
2
-b
Racionalisanje nazivnika
26
27
ISkupkompleksnih brojeva! U skupu realnih brojeva nije mogu6e rijesiti jednacinu oblika x +1=O <=> x 2= -1, jer ne postoji real an broj koji kvadriran daje negativan broj. Zato je uvedena imaginama jedinica i ciji je kvadrat broj -1, 2
pr. 1 = 1 =-[ Kompleksan broj je zbir realnog i imaginamog broja z=a+bi. a - realan dio kompleksnog broja Re(Z) b - imaginami dio kompleksnog broja Im(Z) pr. z =2 - 3i ; Re=2, Im=-3
Operacije sa kompleksnim brojevima
(a+ bi)± (c+di)= (a± e)+ i(b ±d) (a + bi). (c+ di)= (ae+ bd)+ i(ad + be) (a + bi) = (a + hi). (e - di) _ ae + bd . be - ad (e+di) (C+di). (e-di) - c 2 +d2 +1 e2 +d 2
Jednakost komplesnih brojeva
a + bi
= c + di
= a+ bi} Z = a-hi
z -
Z2
.
ako i samo ako je a
=c
i
konjugovano komleksni brojevi
b
=d
Graficko predstavijanje kompleksnog broja J imaginama 0'3 KompleksllO m 2
M(3,2) Z=3+2i
zl C(O.O)
28
3
x reaina
05[1
b"IOJU
z=a+bl. moze se pridruziti tack a sa koordinatama (a, b) ravni 1C i obmuto. tacki M sa koordinatama (a,b) ravni TC moze se pridruziti kompleksan broj z=a+bi
29
[L0garitmi .1 Logaritam nekog pozitivnog broja N za bazu a (O
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja y
log a N = k b tg
a
= p cos
b == P sin
¢:}
k
a == N
npr. log2 8 = 3 , jer vrijedi 2 3=8 Za logaritme vrijedi loga1=O jer aO=l; logaa=l jer aJ=a. Vrijedi:
x
Ako u z=a+bi zamjenimo a i b koji su odreaeni prema slici dobijamo trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
z = p(cos
a lou x ba
=X
1 loga b = - - 10gb a
-logaritam proizvoda loga (xy) = loga x + log a Y X
Operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku. z 1 = P1(cos
z 2 = P 2(cos
+ i sin
-loboaritam kolicnika log a -= ilog a x - Ioga y y
-logaritam stepena log a xk
zl . 'Zz = PIPZ [COS(
ZIP = -1' rleos (
. (
Zz PZ Stepenovanje kompleksnog broja zn
Specijalno za; P = I:::::} (cos
="nCr
p cos
30
n
~ =!Jog a x n
Ako je baza logaritma broj 10 onda se logaritam zove dekadski i tad se baza izostavlja: IOglOX=JOg x.
= [P(cos
nl ~ z
-logaritam korijena log a
= k loga X
n
Ako je baza logaritma broj e=2,718 ... zove se prirodni logaritam: logex=ln x. Veza izmeau dekadskih i prirodnih logaritama. log x=ln x·log e ; log e=O,434294 ... =M (modul Briggsovih logaritama) logx 1 Inx =-;---= logx·--; loge loge
-
1
loge
= 2,302585 ... = M
-1
31
Linearne jednacine i sistemi linearnih jednacina Svaka jednacina koja se moze svesti na jednacinu oblika ax=b zove se linearna jednacina sa jednom nepoznatom.
Iz (1) izrazimo npI'. Y = ----"--~ c1 -alx , ako je bl:tO i zamjen. u (2)
bi
1. Ako je a:tO jednacina je odredena i ima tacno jedno rjesenje . b ob1lka X=-
a
2. Ako je a=O i b:tO onda je jednacina nemoguca tj. nema rjesenja. 3. Ako je a=O i b=O jednacina je neodredena i rjesenje joj je bilo koji broj x. Npr. l. 2. 3.
3 ·x=6, odredena, rjesenje x =
koji smo dobili kad smo izrazili Y = a 1c 2 - a2 c 1 31 b 2 -a2 b }
i3 = 2 .
o ·x=7 , nemoguca, nema rjesenja. o ·x=O , neodredena, Ijesenje \::fx.
Sistem dvije linearne jednacine sa dvije nepoznate Sistem od dvije linearne jednacine sa dvije nepoznate moze se napisati u obliku; alx + b1y
= cl
a2 x + b 2y=c2 gdje su koeficijenti aj,bt,c},32,b2,C2E R a x Y nepoznate veliCine. Rjesiti sistem znaCl odrediti uredeni par vrijednosti promjenljivih (a,~)=(x,y) za koje svaka od jednaCina postaje istinita brojna vrijednost. Metode rjesavanja sistema I metoda zamjene (1)
31x + b1y = cl
alb2x-a2blx=Clb2 -b 1c2 x=c 1b 2 -b 1c 2 a1 b 2 -a2 b ! Dobijenb x zamjenimo u jednu od jednacina sistema odakle .. alc2 - 32 c 1 d o bIJemo Y = --::;-=---=-...;~ a1 b 2 -a2 b l Metoda determinanti. 31X+b 1 Y=Cl 32 x
+ b 2 y =C2
(2) 32 x + b 2y = c2
32 33
Formiramo determinante II reda:
D
D
x
Dy
='I =
al
bI
a2
b2
cl
b1
c2
b2
a1
cl
a2
c2
=a 1b 2
Ako su svi odgovarajuci koeficijenti sistema proporcionalni sistem je neodreden.
-b 1a 2 (determinanta sistema)
= c}h2 - b 1c 2 (determinanta za nepoznatu x)
32 b z Cz -=-=-=k 31 bI Cl
3.Ako je D=O j Dx:;t:O iIi Dy:;t:O tada je sistem protivrjecan, on dakle nema rjesenja. a2
= aieZ -cIaZ D'x=D x
,.
(determinanta za nepoznatu y)
31
= b2 bI
;
~:;t: ~ iIi b 2
:;t: C2
b1
Cl
31
Cl
Graficki prvi slucaj znaCi da se prave koje su odredene D·v=D .; y
Diskusija r.iesenja sistema Old dvije Hnearne jednacine Da Ii sistem ima iii nema rjesenja zavisi, prvenstveno, od toga da Ii je D:;t:O iIi je D=O.
jednacmama sistema sijeku u jednoj tacki T,( Dx Dy I D ' D
I).
\
Drugi slucaj znaci da se prave odredene jednacinama sistema poklapaju odnosno predstavljaju jednu pravu. Treci siucaj znaci da su prave paralelne.
1. Ako je D:;t:O sistem ima jedno i sarno jedno ljesenje.
Sistem od tri iednacine sa tri nepoznate x= 31X+b 1 Y+CIZ=d 1 32 x + b 2 y
Ako je u sistemu C]==:C2=O, za sistem kazemo da je homogen. Tada ie Dx=O i Dy=O, pa ako je D:;t:O jedino l~iesenje homogenog sistema Je par (0,0): za koji kazemo daje ocigledno iIi trivijalno rjesenje. Da bi homogeni sistem imao i netrivijalnib rjcScnja, potrebno je i dovoljno da je D=O. 2. Aka je D::-:D,=Dy=O, sistem neodreden, tj. im3 beskonacno mnogo rjescnja ili nema uopste rijesenja.
33 X
D
+b 3Y+C3
!31 b I =1 a'j b z I- b 3 1 3 3
+ czz = d 2 Z
=d 3
-
b2
cil I
Cz =31
h3
C3
d 1 b I C1 Ii Dx = d 2 b 2 ezl ! d 3 b 3 c31
e21
-32
C31
Ib
, i
Ib 3
C3.1+
33
bI
ell
bz
e21 I
I
34
X·
== D x
,
y-D=
5
z-D=Dz
35
Determinantu treceg reda mogzemo rijesiti i pomocu Sarus-ovog pravila.
bxC~ ..~1 /,1 =alb2C3+blC2a3+Cla2b3-clb2a3a~b;
. a 1""'" a3
b3
'C3
"a3
'b 3
-a 1C2b 3- b I a2 c 3
Sistem od tri linearne jednaCine sa tri nepoznate mozemo i nekim drugim metodama rjesavat. Npr. Metodom zamjene tako sto jedanu nepoznatu izrazimo iz jedne jednaCine sistema (najjednostavnije) pa tu nepoznatu zamjenjujemo u preostale dvije tako da dobijemo sistem od dvije jednacine sa dvije nepoznate. Mozemo metodom suprotnih koeficijenata uzimajuci dva puta po dvije jednacine i eliminisuci jednu istu nepoznatu dobiti sistem od dvije jednaCine sa dvije nepoznate.
Nula funkcije je vrijednost argumenta x za koju funkcija uzima vrijednost 0 (y=O). y=kx+n;
n
y
y
y=n
x=o
n
x=a
n=O, y=kx
Dvije prave Yl=k 1x+nl i Y2=k 2x+n2 su paralelne ako je k l =k 2 .
Funkcija oblika y=kx+n je linearna funkcija i njen grafik je prava linija; k je koeficijent smjera (usmjerava pravu), n odsjecak na y os!.
'I
-kx=n
x = --. nula funkcije k Geometrijski (graficki) nula funkcije je tacka u kojoj grafik sjece x-osu. Specijalni slucajevi
a=O° k=O; y=n a=1800 r
Linearna funkdja
O=kx+n;
Dvije prave se poklapaju ako je kl=k2 i nl=n2' Dvije prave su ortogonalne ako je k,., =_~ k' 1
y
A(O,n) A(O,n)
n n
k>O, ugo a ostri, funkcija raste;
36
k
37
[ K vadratne j edna cine
Viet-ova pravila b xl + X2 ::::: --:::::-p
lednacina oblika ax1+bx+c=O, a:tO zove se kvadratna jednacina.
a
Nepotpune kvadratne jednacine 1. b=O i c;
.
x(ax+b)=O
rjesenje
±~_ ac
b Xl=O, X2::::: - a
3. b=O i c=O ; ax1=O rjesenje je x=O
Rastavljane kvadratnog trinoma ax1+bx+c::=a(X-XI)(X-Xl) gdje su Xl 2 ax +bx+c=0
4 Ako je D>O rjdenja (korijeni) su realni i razliciti, X (;t:X2 D=O dvostruki realni korijeni (jednaka rjesenja) XJ=X2 D
cP
2
rb 2 -4ac1
i
p > 0, Xl < x2 < 0
D=p -4q>OJ q =O"'X 1 =0,
Diskusija rjescnja kvadratne jednacinc Diskriminanta D :::::
Xl::;; X2
"I
-b±~b~-4ac Njeno rjesenjeje xI,2 = - - - - - -
? b c x-+-x+-=o
X2 rjesenja jednacine
Xlx z Xl ::::: -X2
p
Xl
(
l
2
Ip>O
D=p -4q =O.j
... Xl =x, =-p <0 ~
2
lp0 D=p2_4q
38 39
Polozaj nule kvadratnie funkcije prema datom razmaku
IK vadratna funkdja y = ax 2 + bx + c =
-b r\ 2a
u tacki T - ,
J\
x+
~ \2 + 4ac - b 2a)
4ac-b2 4
2
parabola sa tjernenorn
4a
J i pravcern x = - -b kao
.... slmetrlJe.
OS1
2a
a
\
Neka su a i ~ realni brojevi i a<~. Da bisrno mogli govoriti 0 polozaju nula XI, X2 kvadratne funkcije f(x)=ax 2 +bx+c odnosno rjesenja kvadratne jednaCine ax 2+bx+c=O prerna razmaku (intervalu) (a,~) mora diskriminanta biti nenegativna, jer, u protivnom, ne rnozemo uporedivati imaginarne nule funkcije sa realnirn brojevima a i ~. 1. Da bi jedna j samo jedna nula bila u razmaku (a,~), potrebno je i dovoljno daje f(a)·f(~)
Mogu6i slucajevi: D>O
"") \,
\ x
a>
/
\
\ x
(a
Ddl
\
~/
x i-
II>
Xj=X2=---
2a
~ _~, 4ac-b 2 ' .
2a
4a
/\\ " /
I
;'
)
!
a) T
x
/
thO
\\
/
/ /
/
r / \\
f3 ~
! I
~/
\
'----f" [' )' ~a, (a) ,
b)
)\b"
x I!I
T
XI X 2 = - -
2a
A
D=O
\ I
/
f(a)·f(~)0 pa ga ne treba posebno navoditi, Zelimo Ii, jos preciznije, odrediti uslove LIZ kojc' jedna Dula u razmaku (a,(3) a druga desHo iii iijevo od tog razmaka, tada imamo: (a
\
<0:<
<
fCf)< 0 ] slikaa
q
[af(cx»o
¢:::?
[af(a) 0] slikab
IdJJ
Ako je jedna nula lijevo . a druga desno od razrnaka imamo:
tada
(xl
40 41
\
/
I I I I I I
IJ ednacine viseg reda
I:
--- ..... ,
I:
b
~
ex
Bikvadratna jednaCina
x
(CX
i
(smjena x 2 = t)
Rjcsenja bikvadratne jednaCine su onda x 1,2
J\af(~»ol
D20 /\afCCX»O b
2
+ bx + e = 0
2
3. Ako su dvije nule u razmaku (cx,~) tada imamo A -"-"
4
at + bt+c = 0
d)
c)
ax
. shka d
A
J\CX<--
I
J
4. Ako su obje nule Jijevo od razmaka (cx,~) tada imamo:
xl <;X2
= ±,Jt; ; X 3,4 = ±Jt; .
Kubna jednacina ax3 + bx2 + ex + d = O. Odredimo jedno cjelobrojno IjeSenje X, koje mora biti (ako postoji) faktor broja d. Zatim polin om ax 3 + bx 2 + ex + d podijelirno sa X-Xl i dobiveni rezultat Uednacina drugog stepena) dalje rjeSavamo.
Jslikae
Simetricna jednacina treceg stepena
L
I b
, --- .... /
..
B
b
Simetricna jednacina cetvrtog stepena
x
~/ I
ex
I /
X
I I I
f) 5. Ako su obje nule desno od razmaka (CX,~) tada irnarno b A
l .
ft.
42
I
43
1l\1atematicka indukcija
Zakljucivanjem nazivamo izvodenje jednog stava iz drugog
Binomne jednaCine
xn±a=O I:a Smjena -=Y Xll .. d n+1 Ok . paJeJe nacmay - = oJu v'
a
Npr: x3±1::::0 Trinonme iednaCine
!
a posmatramo kao proste faktore. ;t
l±l n::::o pa rastavljamo na
(x ± IHx2 =+= x + 1)=0
iIi vise drugih stavova. Tako izvedeni staY naziva se zakljucak. U matematici se koriste dva oblika zakljuCivanja ito: deduktivno i induktivno. Dedukcija je zakljucivanje od opsteg ka posebnom. Indukcija je zakljucivanje kojim se iz konacnog broja posebnih stavova izvodi opsti stay koji se odnosi 11a sve slucajeve, i1 i haec: indukcija je zakljucivanje od posebnog ka opstem. Postupak kod zakJjuCivanja opstih stavova pomocu matematicke indukcije je slede6i: a) Utvrdi se da taj stay vrijedi u jednOITl iii nekoliko posebnih slucajeva iste vfste, b) Prctpostavi se da taj staY vrijedi za proizvoljan broj k takvih slucajeva i c) ako se zatim dokaze da taj stav vrijedi i za vise od k takvih slucajeva, tj (k+ 1), onda se smatra da taj staY ima opstu vrijednost i da vrijedi za sve moguce takve slucajeye.
Princip matcmaticke indukcije~ Jedan iskaz (iii stay) 'fen) cija formulacija sadrzi prirodan broj n je istinit za svaki prirodan broj: 1. ako je istinit za prirodan broj n::::n(i~l, T(no), ako iz pretpostavke-da je istinit za prirodan broj n=k>no, T(k) slijedi da je istinit i za prirodan broj n=k+l, T(k+l) T(k)=>T(k+ 1) Svaki dokaz matematickom mdllkci_:~)m sastoji se tri a) Provjera da je iskaz tacan za n=n(l~l, [T(no)] b) pretpostayka da je iskaz tacan za n=k>no , [TOe)]. c) Dokaz daje iskaz tacan za n=k+l [T(k+l)] Primjer: Dokazati da je za svaki prirodni broj n izraz
44
45
a) Provjera da tvrdnja vrijedi za n=l
Geometrijski niz aX, a2, a3, ... am ... ima osobinu
c) Dokaz da na osnovu pretpostavke vrijedi za n=k+l
Sk+l-1 +Zk+l =S.Sk-l +Z.Zk =S.Sk-l +(S-3).Zk == =S.Sk-l +S.Zk -3.Z k =5(Sk-l +Zk)_3.2 k ==
3 n =al·qn.1 -n-ti iIi opsti clan geometrijskog niza
== S· 3A - 3 . Zk == 3( 5 A - Zk )
Aritmeticki i geometrijski nizovi Aritmeticki niz a1) a2, a3, ... an, .0. ima osobinu
Svaki clan geometrijskog niza geometrijska sredina svoja an
= Jan-I' 3 n +1
OSl111
dva
prvog i zadnjeg je susjedna clana
.
32 - a}= 33 - 32= a4-33="'= 3 n - 3 n.l=d (razlika ili diferencija niza). aJ Ll2=al+d Ll3=a]+2d
qfl -1 Zbir prvih n clanova geometrijskog niza S = 3 - __ nI l q-
3 n =31+(n-l)d n-ti iIi opsti clan aritimeticlog niza.
Kolicnik interpoliranog geometrijskog niza qj
Svaki clan aritmetickog niza osim prvog i zadnjeg je aritmeticka •
•
•
v
sredma svoJ3 dva susJedna cIana 3 n ==
3 n -1
+ 3 n +1 2
Zbir prvih n clanova aritmetickog niza ; Sn ==
~(31 + an) iIi
r;-
= r+~:
' a-prvi
clan, b-posljednji clan, r-broj umetnutih clanova. Beskonacni geometriiski red
(I q I< 1) Njegova sumaje
, S 2 3 31 S == Inn'n==31+ 3 1Q+alQ +31Q + ... = - n~=
l-Q
2
Diferencija d] interpoliranog aritmetickog niza data je sa; d1
b-a
=- - ,
a
b - krajnji clanovi niza, r- broj umetnutih
r+l clanova.
46
47
I
\Binomni obrazac
.
Proizvod svih prirodnih broJeva od I do n oznacavamo n!=1·2·3·· .. n (En faktorijel) Npr. 6l==1·2·3-4·5·6==720 Binomni koeficijent = nen -l)(n - 2) .. · (n - k n "1 _ ( k) I·Z·3· .. ··k / , \ (\
("En nad kit)
+ 1) ; (n2k;n,kE N)
10
,l () I
\
\
11
1
ln
)'=1
J .
(
"
(
. .. . . . ., ( n , _ n! . n I:::: I n Za binomm koeflclJent vnJedl\ k j- k!(n-k)! '\ k) n-k
l
\
pl.l 7 1-\ 9 _ 7 I \
)
\
/
I 2)
J
(n'l
\,
(a+b
f
n =a +(n}n-l b +l(n\n-2 b 2+.,,+( n \/ab n- 1 +b n (,1 2) n-l j
Opci clan u razvijenom obliku binoma (a+b)1l je
1+11
irelaCijal
1· 2
Tk+l
Ir"K-o-m-b-i-n-a-t-or-i-k-a'I
(n+li
'j
(1'1
(1.\1
~o) ~1) /2\ (2')
, 0) i'l I /
\
= ~ kn Ja n-k b k
I
11=ik+ I
k! \ K+ ) \ ' 1J " 1', ..1 pomOCl / ". PdSKa ,. ., tr 1ovo a +r' la Binomni clementi sejmogu oaredltl b L.oug
1 \
1
(
/
(n
n=l n=2 n=3 n=4 n=5
Svaki koeficijent dobijamo tako da sabererno dva koeficijenta iznad njega (s lijeve i desne strane).
. . (9)_( 9')=(91= 9.8:::: N
Stepen binoma
Binornna formula
/
(nJ=l;i'O 1::::1;
1 1 121 1 331 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5
nl Pr .s (n) = -,-, I.S.
(~J (~J
In '- (01 (ni
I1!
Perrnutacije s ponavljanjem elemenata ( I jednakih is jednakih)
2
',/
(
Perrnutacije: Broj permutacija ad n elemenata, od kojih se jedan ne ponavlja p(n) = 1· 2·3 .... n :::: nl .
Kombinacije Broj kombinacija [-te klase (r-tog razreda) od n elemenata a) bez ponavljanja
(0
i\. 1 /1"'1\, k i l k +1 \ /
n+
, ~\
n+1
+1
1)
k +1
n+l
.,.. I.....
Kr(n):::: n(n -l)(n - 2)··· (n - r
r! 48
+ 1) =
(nJ r
49
IGeometrijal
b) s ponavljanjem
-
_ n(n+l) ... (n+r-l) =(n+r-lj
KrCn)-
r
!
r.
Varijacije Broj varijacija r-te Klase (r-tog razreda) od n elemenata a) bez ponavljanja
n'l
v~(n)=n(n-1)."(n-r+l)=( J,r! . -' r ! Vr(n)=K r ( n)'L
b) s ponavljanjem
V;(n)=n
r
IVjerovatnoca Vjerovatnoca elementarnog dogadaja A
m P(A)=-
n . I(Q l'11r,),rTl1hh eiementarnih dogadaja, m Je broj (n je broj jedna s ~ realizacija dogadaja A) . _ . . '0 P{-:-A L 1peA) Suprotna vjerovamoca . \,1\;- , '.
Totaina vJerovatnoca (vjerovatnoca " ili - iii ": peA) = peAl) + P(A 2 ) + ... + P(An) Slozena vjerovatnoca (vjerovatnoca "i - i " PCA) = P(A l )' P(A 2 )····· P(An) Matematicko ocekivanje .. -\ N = C· v (C je svota, v vjerovatnoca dobltka svote).
Tacka , prava i ravan u prostoru To su osnovni geornetrijski pojrnovi koji se ne definisu. ledna tacka odreduje beskonacno mnogo pravih. Dvije razlicite tacke odreduju jednu i samo jednu pravu. •• Sve tacke koje pripadaju jednoj te A B P istoj pravoj zovu se kolinearne tacke. Postoje najmanje tri nekolinearne tacke. Tri nekolineame tacke odreduju jednu j same jednu ravan. Sve tacke koje pripadaju jednoj te istoj ravni zovu se kompIanarne. Postoje najmanje cetiri nekomplanarne tacke. Dvije prave koje se sijeku U jednoj tacki odreduju jednu i samo jednu ravan. Dvije prave koje pripadaju jednoj te istoj ravni a nemaju zajednickih tacaka su paraleine. Dvije prave koje nemaju zajednickih tacaka a ne pripadaju jednoj ravni su mimoHazne. Dvije prave koje imaju bar dvije zajednicke tacke su identicne ( poklapaju se ) Prava a je paralelna ravni Prava b lezi u ravni
'IT.
'IT.
Prava c prodire kroz ravan
'IT.
Dvije ravni mogu biti paralelne, mogu da se sijeku u jednoj pravoj i mogu da se poklapaju (identicne su ).Identicne ravni imaju bar tri zajednicke nekolinearne tacke.
51 50
'Duz AB
B
A
P
CIW
B ukljucujuCi i te tacke zovemo duz AB.
/".H_
Dio prave p sa jedne strane njene tacke A zove se poluprava. Tacka A je onda granicna tacka te poluprave. :
G
opruzeni ugao
Dio prave p izmedu tacaka A
P
nulaugao
P
•
p. q
P
q pum ugao
~
konvcksan ugao
Uglovi U gao je dio ravni
ogranicen dvjeme polupravama sa
zajednickim pocetko.m
Kruznica sa sredistem u tacki 0 i poluprecnikom OP je skup svih tacaka raYni cije su udaljenosti od tacke 0 jednake d(O,P).
