PRIMITIVE ŞI INTEGRALE NEDEFINITE Def: F:I → R este primitivă a funcŃiei f: I → R (I interval), dacă: 1) F derivabilă 2) F’= f F+C = mulŃimea primitivelor lui f = integrala nedefinită a lui f, notată: ⇒
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C ⇔ F ( x ) = f ( x ) '
ProprietăŃi:
∫
1. ( f ( x ) ± g ( x ))dx =
∫
∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
∫
2. α ( x )dx = α f ( x )dx
∫
3. f (ax + b )dx =
1 F (ax + b ) + c a
Exemple:
1 1 − 23 x 2 )dx = ∫ x 3 dx + ∫ dx − 2∫ 3 x 2 dx; x x 1 ax +b ax + b 2) ∫ e dx = e + c. a
1) ∫ ( x 3 +
Obs:
1. f continuă pe I ⇒ f admite primitive pe R. 2. f nu este continuă pe I • f nu are roprietatea lui Darboux ⇒ f nu admite primitive • (∃) F derivabila si F ' = f ⇒ ⇒ f admite primitive • f are proprietatea lui Darboux ⇒ ' • nu exista F derivabila a. i. F = f ⇒ f nu admite primitive
1
∫ f (x )dx
Metode de calcul al primitivelor Folosirea tabloului de primitive
∫
x n dx =
x n +1 +C , n+1
∫
a x dx =
ax +C , ln a
∫e ∫
x
∫ ∫ ∫
∫
x ∈ R, n ∈ N
x ∈ R , a ∈ (0, ∞ ) − {1}
dx 2
+a
2
=
dx x +a 2
2
dx x −a 2
2
dx a −x 2
2
x ∈ I ⊂ R∗
x 1 arctg + C , a a
x ∈ R, a ≠ 0
= ln x + x 2 + a 2 + C ,
= ln x + x 2 − a 2 +C ,
= arcsin
∫
u n u' dx =
u n +1 + C , x ∈ R, n ∈ N n +1
∫
a u u' dx =
au + C , a ∈ (0, ∞ ) − {1} ln a
∫e
dx = e x + C
dx = ln x + C , x
∫x
Schimbarea de variabilă
x∈R
x >a
x + C , x ∈ (−a , a ), a > 0 a
x−a dx 1 ln = +C , 2 2 x+a 2a x −a
x ∈ R − {a}
u
u' dx = e u + C
1
∫ u u dx = ln u + C
∫u ∫ ∫ ∫
∫
'
u' dx 2
+a
=
2
u' dx u +a 2
2
u' dx u −a 2
2
u' dx a −u 2
2
u 1 arctg + C , a ≠ 0 a a
= ln u + u 2 + a 2 + C
= ln u + u 2 − a 2 + C
= arcsin
u +C a
u−a u' dx 1 ln = +C 2 2 2a u + a u −a
∫ sin xdx = − cos x + C ,
x∈R
∫ sin u⋅ u dx = − cos u + C
∫ cos xdx = sin x + C ,
x∈R
∫ cos u ⋅ u dx = sin u + C
∫
π = tgx + C , x ∈ R − (2k + 1) , k ∈ Z 2 2 cos x dx
dx
∫ sin
2
x
= −ctgx + C , x ∈ I ⊂ R − {kπ / k ∈ Z }
2
'
'
∫
u' dx = tgu + C cos 2 u
∫
u' dx = −ctgu + C sin 2 u
1 Ex: 1)CalculaŃi ∫ x 3 x − cos 5 x + dx x+2 4 4
+1
1 1 x3 1 3 ∫ x x − cos 5 x + x + 2 dx = ∫ x 3 dx − ∫ cos 5 xdx + ∫ x + 2 dx = 4 − 5 sin 5 x + ln x + 2 + C +1 3
2) CalculaŃi: I= ∫
2x + 7 dx x2 + 7 x − 5
R: u = x 2 + 7 x − 5 ⇒ u′ = 2 x + 7 I= ∫
2x + 7 u′ dx = ∫ dx = ln u + C = ln x 2 + 7 x − 5 + C ; x2 + 7 x − 5 u
3) Să se calculeze I= ∫ (5 x 4 − 2)sin (x5 − 2 x + e )dx
R: u = x5 − 2 x + e ⇒ u′ = 5 x 4 − 2 I= ∫ (5 x 4 − 2)sin (x5 − 2 x + e )dx = ∫ u′ sin udx = − cos u + C = − cos(x5 − 2 x + e ) + C
INTEGRAREA PRIN PĂRłI
Dacă f , g : R → R sunt funcŃii derivabile cu derivatele continue, atunci:
∫ f (x )g ′(x )dx = f (x )g (x ) − ∫ f ′(x )g (x ) , pe scurt ∫ fg ′ = fg − ∫ f g′ Integralele nedefinite (primitivele) de forma
∫ P(x )sin αxdx, ∫ P(x )cosαxdx, ∫ P(x )e
αx
dx , cu P funcŃie polinomială
şi α ∈ R constantă, se calculează succesiv prin părŃi. Exemplu: Să se calculeze I = ∫ (2 x + 3) e 4 x dx .
1 4x e +C ⇒ 4 4x e4 x 1 1 ⇒ I = (2 x + 3) e 4 x − ∫ 2 ⋅ e 4 x dx = (2 x + 3) − 2 ⋅ 1 e 4 x + C = e 2 x + 5 + C . 2 4 4 4 4 4 4
R: f ( x ) = 2 x + 3 ⇒ f ′(x ) = 2, g ′(x ) = e 4 x ⇒ g (x ) = ∫ e 4 x dx =
3
INTEGRAREA FUNCłIILOR RAłIONALE
Se utilizează teorema împărŃirii cu rest:
D R = C + şi descompunerea în fracŃii I I
simple care sunt de forma : 1. f ( x ) = a 0 x n + a 1 x n−1 + ... + a n −1 x + a n A , n ∈ N ∗ , x ∈ I ⊂ (− ∞, a ), sau I ⊂ (a, ∞ ) 2. f ( x ) = n (x − a ) Ax + B , n ∈ N ∗ , b 2 − 4ac < 0 3. f ( x ) = n 2 x + bx + c
(
)
Exemplu:
2 x 2 + 2 x + 13 . (x − 2 ) x 4 + 2 x 2 + 1
Să se calculeze I = ∫
(
)
2 x + 2 x + 13 2 x 2 + 2 x + 13 A Bx + C Dx + E + . = + = 4 2 ( x − 2 ) x + 2 x + 1 (x − 2) x 2 + 1 2 x − 2 x 2 + 1 x 2 + 1 2 Aducând la acelaşi numitor 2 x 2 + 2 x + 13 = A x 4 + 2 x 2 + 1 + (Bx + C )(x − 2) x 2 + 1 + (Dx + E )(x − 2) . 2
R: Fie f (x ) =
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
Identificând coeficienŃii aceloraşi puteri ⇒ A = 1, B = −1, C = −2, D = −3, E = −4 ⇒ x+2 1 3x + 4 dx = dx − ∫ I = ∫ f (x )dx = ∫ dx − ∫ 2 2 x +1 x−2 x2 + 1
(
)
= ln x − 2 −
1 2x 1 x2 + 1 − x2 4 ln x 2 + 1 − 2arctgx − 3 ⋅ ∫ dx − ∫ x 2 + 1 2 dx = 2 x2 + 1 2 2
= ln x − 2 −
1 1 x 1 2x dx − 2∫ 2 dx − 4∫ dx = dx − 3∫ ∫ 2 2 2 2 2 x +1 2 x +1 x +1 x +1
(
)
(
(
(
)
= ln x − 2 − ln x 2 + 1 − 2arctgx +
∫ f (x )dx = ln
x−2 x +1 2
+
)
(
(
x
2
∫ (x 2 + 1)2
3 − 4x − 4x + C . 2 x2 + 1
(
(
)
)
x2 3 1 ⋅ 2 − 4 x + 4∫ dx . 2 2 x +1 x2 + 1
Ultima integrală se calculează prin părŃi ⇒
⇒
)
)
4
=−
)
x 1 1 1 dx ⋅ + 2 x2 + 1 2 ∫ x2 + 1
INTEGRAREA FUNCłIILOR TRIGONOMETRICE.
•
Cu una din substituŃiile de mai jos, calculul integralei r ∈ R( X , Y ) , ∫ r (sin x, cos x)dx ,
se reduce la calculul unei integrale dintr-o funcŃie raŃională de argument t: x 1. t = tg , valabilă întotdeauna; 2 2. t = sin x , dacă r (sin x,− cos x ) = −r (sin x, cos x ) ; 3. t = cos x , dacă r (− sin x, cos x ) = −r (sin x, cos x ) ; 4. t = tgx , dacă r (− sin x,− cos x ) = r (sin x, cos x ) . x x ⇒ = arctgt + kπ ⇒ x = 2arctgt + 2kπ , deci: 2 2 1− t2 2dt 2t , , . cos x = = dx = sin x 1+ t2 1+ t2 1+ t2
În cazul 1., t = tg
Exemple:
π , x ∈ 0, ; 2 2dt dt x x 1+ t2 R: Notând t = tg ⇒ I1 = ∫ =∫ = ln 1 + t + C = ln 1 + tg + C ; 2 2t 1− t 2 1+ t 2 + 1+ 1+ t2 1+ t2 sin 3 x 2) I 2 = ∫ dx ; 1 + cos2 x 1) I 1 = ∫
dx 1 + sin x + cos x
R:Pentru I 2 , r (− sin x, cos x ) =
(− sin x )3
=−
sin 3 x = −r (sin x, cos x ) . 1 + cos 2 x
1 + cos 2 x Notând t = cos x ⇒ dt = − sin xdx sin x ⋅ sin 2 x sin 2 x = − ⋅ (− sin x )dx = ⇒ I2 = ∫ dx ∫ 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x dt t 2 −1 1− t 2 = t − 2arctg t + C = cos x − 2arctg cos x + C ; = = −∫ dt = ∫ dt − 2∫ 2 dt ∫ 2 2 t +1 t +1 1+ t sin 2 x cos x 3) I 3 = ∫ dx ; 2 + cos 2 x
5
R:Pentru I 3 , r (sin x,− cos x ) =
sin 2 x(− cos x ) 2 + (− cos x )
Notând t = sin x ⇒ dt = − cos xdx ⇒ I 3 =
2
=−
sin 2 x(− cos x ) = −r (sin x, cos x ) 2 + cos 2 x
t2 −3+3 t2 dt = dt = − t2 −3 2 +1− t 2
∫
∫
= −t − ∫
3 t− 3 sin x − 3 3 3 dt = − t − +C ; + C = − sin x − ln ln t −3 2 3 sin x + 3 2 3 t+ 3
4) I 4 =
∫ 2 sin x + 3 cos x dx
2
3 sin x + 2 cos x
R: Pentru I 3 , r (− sin x,− cos x ) = r (sin x, cos x ) ⇒ t = tgx ⇒ x = arctgt ⇒ dx =
1 dt 1+ t2
Descompunând în fracŃii simple 5 12 5 5 ⇒ I 4 = − ln 2t + 3 + ln t 2 + 1 + arctg t + C = ... = − ln cos x + C . 13 13 26 13
INTEGRALE FUNCłIILOR IRAłIONALE
Dacă r ∈ R( X , Y ), a, b, c ∈ R, a ≠ 0, ∆ = b 2 − 4ac ≠ 0 , unde R ( X , Y ) este mulŃimea fracŃiilor raŃionale de funcŃii polinomiale de două variabile atunci calculul integralei de forma
∫ r x ,
ax 2 + bx + c dx , se reduce la calculul unei funcŃii raŃiomale de argument t, cu
substituŃiile lui Euler : 1.
ax 2 + bx + c = ± x a + t ,
dacă a > 0 , sau ∆ < 0 ;
2.
ax + bx + c = ± tx ± c ,
dacă c > 0 , sau ∆ < 0 ;
3.
ax 2 + bx + c = t ( x − x 1 ) ,
dacă ∆ > 0, x1 rădăcină a ec. ax 2 + bx + c = 0 .
2
Exemple: 1) Să se calculeze I1 = ∫
dx
(1 + x )
x2 + x + 1
x ∈ (− 1, ∞ ) ;
R: Deoarece a > 0 ⇒ se utilizează substituŃia de la 1. ⇒ pătrat se obŃine
6
x 2 + x + 1 = x + t ; ridicând la
t2 − t +1 dt t2 − t +1 1 1− t2 (2t − 1)2 1 ⇒ dx = −2 ⇒ = − = ∫ + dt = I x= 2 1 ∫ 2 2 2 − t 2 t 2t − 1 (2t − 1) 1− t 1− t 1 + 2t − 1 2t − 1 + 1 = ln t − 2 − ln t + C = ln x + 2 − x 2 + x + 1 − ln x 2 + x + 1 − x + C ; dx 2) Să se calculeze I 2 = ∫ , x ∈ (0, ∞ ) ; x 3x 2 + 4 R:Deoarece c > 0 ⇒ 3x 2 + 4 = tx + 2 Ridicând la pătrat:
x=
(
)
4 t2 +3 4t dx dt ⇒ = 2 3−t2 3−t2
⇒ I2 = ∫
(
dx
)
=∫
x 3x 2 + 4
3) Să se calculeze I 3 =
∫
t2 +3 1 dt 1 1 3x 2 + 4 − 2 dt = ∫ = ln t + C = ln +C ; 2 x 2 t 2 2 t 2t + 6
(
)
dx 1 + x − x2
,
x ∈ (0,1] .
R: x 2 − x = 0 ⇒ ∆ > 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 1 ⇒ se utilizează substituŃia
x − x 2 = t (x − 0) ,
adică x − x 2 = tx ⇒
− 1 2tdt x= 2 ⇒ dx = − ⇒ I3 = 2 2 t +1 t +1
(
= −2arctg
)
∫
2t
dt 2 +1 = −2 t 1+ 2 t +1
(t
2
)
∫ (t
2
tdt +1 t 2 + t +1
)(
)
4 2 x − x2 + x x − x2 arctg + + C , cu x ∈ (0,1] . x x 3 3
INTEGRALE DEFINITE
• FuncŃia f : [a, b] → R este integrabilă (în sensul Riemann) pe [a, b ] dacă există şi este finită: I = lim σ (∆, f , ξ ) ∆ →0
b
În acest caz
I=
∫ f ( x )dx a
7
este integrala funcŃiei f pe [a, b ] , unde: n
σ (∆ , f , ξ ) = ∑ f ( x i )( x i − x i −1 ) , i =1
suma Riemann asociată lui f şi diviziunii ∆ = (a = x0 , x1 ,..., x n ) şi sistemului de puncte intermediare ξ = (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n ) b
•
∫ f (x )dx = I ) ⇔
f integrabilă şi
(
)
a
⇔ ∀(∆n )n≥1 , lim ∆n = 0 ⇒ lim σ ( f , ∆n , ξ n ) = I ⇔ n →∞
⇔ (∀ε > 0, ∃δ ε > 0, a.î .∀∆, ∆ < δ ε ⇒ σ ( f , ∆, ξ ) − I < ε ) ; •
s( f , ∆ ) =
n
∑ m (x i
− x i −1 ) este suma Darboux inferioară,
i
i =1
unde mi = inf f (x ) ; x∈[ xi −1 , xi ]
•
S( f , ∆) =
n
∑ M (x i
i
− x i −1 ) este suma Darboux superioară,
i =1
unde M i = sup f ( x ) . x∈[ xi −1 , xi ]
Rezultate remarcabile:
1.FuncŃiile continue, funcŃiile continue pe porŃiuni (definite pe interval compact) şi funcŃiile monotone sunt integrabile; 2.Liniaritatea integralei: dacă f , g : [a, b ] → R; α , β ∈ R , atunci: b
b
b
a
a
a
∫ (αf ( x ) + βg( x ))dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g( x )dx ; 3.Monotonia integralei:
f : [a, b] → R , integrabilă, f ≥ 0 ⇒
f , g : [a, b] → R, integrabile,
∫ f ( x )dx ≥ 0 ; f ≥ g ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx ; 8
4.Aditivitatea integralei: f : [a, b] → R , integrabilă, c ∈ [a, b] , atunci: b
c
b
a
a
c
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ; 5.Teorema de medie: f : [a, b] → R , continuă ⇒ ∃ξ ∈ [a, b] , a.î. b
∫ f (x )dx = f (ξ )(b − a ) a
6.Formula Leibniz – Newton: f : [a, b] → R , continuă ⇒ b
∫ f ( x )dx = F ( x )
b a
= F (b ) − F (a ) ,
a
unde F este o primitivă a lui f. 7.Integrarea prin părŃi : f , g : [a, b] → R , derivabile, cu derivatele continue, atunci b
∫
b
f ( x )g ′( x )dx = f ( x )g ( x ) a − f ′( x )g ( x )dx ; b
a
∫ a
8.Schimbarea de variabilă: u : I → J , f : J → R , u derivabilă, cu derivate continuă, f continuă, atunci: b
u (b )
a
ua
∫ f (u( x ))⋅ u′( x )dx = ∫( )f (t )dt ,
∀a, b ∈ I , t = u ( x ) ;
9.Calculul unor sume cu ajutorul integralei: f : [0,1] , integrabilă, atunci: 1 lim n →∞ n
n
∑ i =1
i f = n
1
∫ f ( x )dx ; 0
10.Dacă f : [− a, a ] → R , integrabilă a
este pară ⇒
∫
a
f ( x )dx = 2 f ( x )dx ,
∫
−a
0 a
este impară ⇒
∫ f ( x )dx = 0 ;
−a
9
11.Dacă f : R → R , integrabilă pe orice compact, este periodică de perioadă T, atunci : T
⇒
∫
f ( x )dx =
T 2
∫
f ( x )dx =
a +T
∫ f ( x )dx,
T − 2
0
∀a ∈ R .
a
Exemple: n
1 ; k =1 n + k 1 R: Fie f : [0,1] → R, f ( x ) = ⇒ x +1 n n 1 1 1 n k = lim ∑ = lim ∑ f = lim ∑ n→∞ n →∞ k n →∞ n k =1 n k =1 k =1 n + k n 1 + n
1) Să se calculeze: lim ∑ n→∞
n2
n
2) Să se calculeze: lim ∑ n→∞
k =1
R:Fie f : [0,1] → R, f (x ) =
(n + k )3
1
∫ x + 1 dx = ln 2 ; 0
;
n n 1 n2 lim = S = ⇒ lim ∑ ∑ 3 n →∞ n→∞ (1 + x )3 k =1 k =1 (n + k )
1 n 1 1 n k lim = ∑ fn = ∑ 3 n →∞ n n →∞ n k =1 k =1 k 1 + n
= lim
2
t=1+x ⇒ S =
1
1 1 ∫ t 3 dt = − 2t 2 1
2
1
1
n2 k n 1 + n
3
=
3
1
∫ (1 + x )3 dx , facem schimbarea de variabilă 0
1 1 3 =− + = ; 8 2 8
1 kπ ∑ sin n n k =1 R: Fie f : [0,1] → R, f (x ) = sin πx ⇒ n −1
3) Să se calculeze: lim
n →∞
1 n kπ 1 n −1 kπ 1 n k 1 sin = lim ∑ sin = lim ∑ f = ∫ sin πxdx ∑ n→∞ n n n →∞ n k =1 n n →∞ n k =1 n 0 k =1
S = lim
facem schimbarea de variabilă t = πx ⇒ S =
În general, pentru integrale care conŃin
1
π
π
1
π
∫ sin t dt = − π cos t 0 0
=
1
π
1 2 − − = . π π
a 2 − x 2 se recomandă substituŃia
x = a ⋅ sin t , iar pentru a 2 + x 2 , x = a ⋅ tgt .
10
APLICAłII ALE INTEGRALELOR DEFINITE Fie f : [a, b ] → R o funcŃie continuă şi pozitivă (cu graficul deasupra axei Ox ). Se notează cu Γ f subgraficul funcŃiei f , adică submulŃimea lui R 2 cuprinsă între axa Ox, curba y = f (x ) şi dreptele x = a, x = b .
• Aria lui Γ f este: b
A=
∫ f ( x ) dx a
Dacă f , g : [a, b ] → R sunt funcŃii continue, atunci aria mulŃimii plane dintre graficele lor (limitate de dreptele x = a, x = b ) este: b
A=
∫ f ( x ) − g( x ) dx a
• Volumul corpului obŃinut prin rotirea lui Γ f în jurul axei Ox este: b
V =π
∫ f ( x ) dx 2
a
• Centrul de greutate G al unei plăci materiale omogene are coordonatele: b
xG =
∫ x f ( x ) dx a b
,
∫ f ( x ) dx
yG =
a
1 2
b
∫ f ( x ) dx 2
a b
.
∫ f ( x ) dx a
Exemplu: CalculaŃi aria dintre curbele y = sin x şi y = cos x , x ∈ [0, π ]
cos x − sin x, R: sin x − cos x = sin x − cos x,
π x ∈ 0, 4 π x ∈ ,π 4
⇒
π π
A=
∫ 0
sin x − cos x dx =
4
π
0
π
∫ (cos x − sin x)dx + ∫ (sin x − cos x )dx = 2 4
11
2.
BIBLIOGRAFIE 1.Andrei Gh., Caragea C.,Ene V., Bordea Gh. – Algebră, Culegere de probleme pentru examene de admitere şi olimpiade şcolare, Editura Scorpion, Bucureşti,1995. 2.Aramă Lia şi Morozan Toader – Culegere de probleme de analiză matematică, Editura Universal Pan, Bucureşti, 1997. 3.Brînzănescu V., Ianuş St., Ionescu B., etc. – Culegere de probleme, Editura ŞtiinŃifică şi Enciclopedică, Bucureşri, 1989. 4.Demidovich B, Baranenkov G., etc. – Recueils d Exercices et de problemes d’analyse matematique, Editions Mir Moscou, 1972. 5.Ganga M. – Matematică, clasa a X-a, Editura Mathpress, Ploieşti, 2000. 6.Năstăsescu C., NiŃă C., Brandiburu M., JoiŃa D. – ExerciŃii şi probleme de algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982. 7.Panaitopol L., Bălună M. – Matematică, clasa a X-a, Editura Gil, Zalău, 2000. 8.łena M. – Matematică, clasa a XII-a, Editura Gil, Zalău, 2002.
12
