Practica de Ecuaciones Diferenciales y Demostraciones por Jairon Francisco

INTEC Área de Ciencias Básicas y Ambientales

Ecuaciones Diferenciales Gráfica de trayectoria, comportamiento, y soluciones en el plano y el espacio con problemas de valores iniciales.

Asignatura: Ecuaciones Diferencial Diferenciales es Profesor: José Rafael González Realizado por: Jairon Alberto Francisco Matrícula: 07-0034 Ingeniería Mecánica

Ecuaciones diferenciales

/ gráfica de soluciones en el plano y el espacio

Profesor: José Rafael González

Argumentado por: Jairon Francisco

Ecuación diferencial separable, comportamiento y solución graficada Tenemos la ecuación:

dy dx

 ( x  2)

1

2

con la condición inicial y (2)  0

El comportamiento de la Ecuación Diferencial y la trayectoria gráfica es: En la siguiente tabla están los valores para de las posiciones en el intervalo: x -1.4366 -1.3366 -1.2366 -1.1366 -1.0366 -0.9366 -0.8366

y 3.66814 3.80137 3.92414 4.03859 4.14621 4.2481 4.34507

Solución:

dy  ( x  2)

1

2

dx

 dy   ( x  2) y  u dx

 12

Hacemos una sustitución simple para la integral:

dx

u  x2

 12

1

y 

du  dx

2

u  C 1 2

Tenemos entonces nuestra solución.

1

y 2 u 2  C y 2

Ahora con la condición inicial encontraremos el valor de x 2  C nuestra constante C.

Para y(2)=0 entonces; 0  2 2 2

 C

0  2 4  C 0  4  C

C  4

La solución con las condiciones dadas de nuestra ecuación diferencial es:

y  2 x  2  4

2





Graficando la solución particular de la ecuación diferencial, observaremos:

Y su gráfica en el espacio tridimensional tridimensional es:

La siguiente ecuación fue separada para resolverse, con tal de mostrar la gráfica de su función implícita: (3 y  1) dy (8 x 5) 5) dx 2

 (3



y  1) dy  (8 x 5) dx

2

y3  y  4 x2  5 x C

Podríamos expresar la solución también como: f ( x, y)  y3  y  4 x2  5 x Para mostrar la gráfica en  5, 5   5, 5 para los valores de C correspondientes a : 0, 1, 5, 20, 40, 80, 125 y obtendríamos:

3





Otra ecuación que nos presenta una interesante gráfica es: 2 dy  ( x x2 ) dx dx (2 y  y ) dy

 (2 y  y2 

1 3



y2 ) dy  ( x x2 ) dx 1

y3 

x2 

2

1 3

x3  C

3 2 f ( x, y)  2 y  6 y  2 x  3 x 3

2

Con las ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas, el comportamiento de las graficas, dependiendo de la función posee un conjunto de características, que la distinguen de las lineales, empezando porque las curvas de solución son extendidas y regresivas. Veamos: 1 csc y

dy 

1 2

sec x

dx

s enydy   cos xdx 2

 s enydy   cos  cos y  

1

x

2

1

1 xdx   (1  cos 2 x) dx 2

s en2 x C1 2 4 4 cos y  2 x s en2 x C1

4





Resolviendo y graficando una ecuación diferencial lineal Tenemos la ecuación x

dy

 4 y  x3  x

dx El primer paso para resolverla es reconocer que la misma no está en la forma estándar: dy  P( x) y  Q( x) , dx Pero podemos llevarla dividendo por el coeficiente a1( x ) haciendo que: a0( x)

P ( x) 

y que

a1( x )

Q ( x) 

b( x ) a1( x )

Aplicando lo señalado tendríamos que: 3 x dy 4 y  x  x x x dx x

dy dx dy

4

x3

x 4

x

 y 



x x

 y  x 2  1

dx x Teniendo entonces nuestra ecuación en la forma canónica, debemos identificar el factor integrante que esta dado dado de la forma, sabiendo quien es P(x). P(x).  

e

P (x )d x

P ( x) 

4

x

4

1

 dx  e4  x dx  e4 ln x  x4   e x

4  x4  dx x dy 4 x4  x4  dx x

    y  x6  x4 

dy

x4

d

d

4

x4 y  1

y  7 y 

1 7

1 7



y  ( x  x ) dx x7 

x7 

x3 

1

5 4 x 1 5

1 5

6

El factor integrante ahora debe ser multiplicado por toda nuestra ecuación.

El lado izquierdo de la ecuación se define por una diferencial de nuestro factor integrante por y.

 x4 y  x6  x4 dx

 dx  x



y  x4 x2  1

4

x5  C

Se integra en ambos lados. Recordando que se le suma una constante a la diferencial de lado derecho.

x5  C

Y expresamos nuestra solución en Y de la forma más explícita posible.

x Cx4

Ahora veremos la grafica de la función en el plano, y su comportamiento para diferentes valores de la constante.

5





Para C=1

Para C= Diferentes valores desde -4 hasta 4. Incluyendo C=0, que es la curva en el medio de la grafica.

Ahora veremos como es la grafica de esta función solución en el espacio: Para C=1

6





Para diferentes valores de C, desde -2 a 2

Demostración de la Ecuación diferencial de la gravedad Las ecuaciones diferenciales aportan modelos matemáticos a las ciencias aplicadas, y a la propia ingeniería. Muy a menudo se les ve resolviendo situaciones, que si no hubiese existido el cálculo de ecuaciones diferenciales, entonces quedarían sin base fundamental, y con ello sin comprobación, las soluciones que les dan las ecuaciones a la mecánica, a la aviación, a la náutica, a estudio del conocimiento humano, y el desarrollo económico de cualquier nación. En ese marco de posibilidades, vamos a conocer una ecuación diferencial fundamental para quienes estudian las matemáticas, y las aplican en la física. La Ecuación Diferencial de la Gravedad, basada en los principios del Sir Isaac Newton. Partimos de la segunda Ley de Newton, que dice que: F  ma

Fuerza sobre el objeto

Aceleración obtenida por el objeto en la aplicación de la fuerza

Masa del objeto

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Y la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, entonces podríamos sustituir fielmente estos términos en nuestra ecuación. Y tendríamos que: velocidad dv a dt tiempo Fuerza sobre el objeto dv F m dt Como la velocidad es la primera derivada de la posición h, con respecto al tiempo t, entonces la aceleración sería la segunda derivada de la posición con respecto del tiempo. a -mg

d 2h dt 2

F m

d 2h dt 2

posición

7





Si sabemos que la fuerza F, es también –mg (suponiendo que la fuerza actúa sobre el cuerpo es solo la de la gravedad, por lo tanto de atracción), podemos sustituirla en nuestra ecuación de la siguiente forma: m

d 2h 2

dt

  mg

Como m es igual en ambos lados de la ecuación podemos suprimirla, sabiendo que ya no cumple ninguna función. Incluso podríamos pasarla al lado derecho de la ecuación, y también se eliminaría, quedándonos: d 2h dt 2

  g ECUACION DIFERENCIAL DE LA GRAVEDAD

En algún momento alguien pensaría en resolver esta ecuación diferencial, y efectivamente podríamos hacerlo integrando para eliminar, por el teorema fundamental del cálculo, las derivadas de la posición con el diferencial de tiempo. d 2h

 dt

2

dh

   gdt

  gt  C 1

dt dh

 dt    gt  C

Así encontramos la posición de cualquier objeto en un tiempo dado, en el espacio, donde solo solo actúa la fuerza de la gravedad.

1

h

1 2

gt 2  C1t  C2

Para la condición inicial h (0) =0, =0, vamos a encontrar encontrar una solución particular de la ecuación diferencial que nos permita encontrar el valor incognito de la constante. 0

1

2 C 2  0

g (0)  C1 (0)  C 2 2

Sustituyendo este valor nos quedaría: Con el segundo valor inicial h(0)=1, podemos encontrar la solución h   gt  C1t particular, en la sustitución de la constante. 2 1 h   gt 2 2 1 2 1   g (0)  C 1 (0) 2 C 1  0 1

2

8





Ecuaciones diferenciales exactas Al probar la exactitud de una ecuación, debemos asegurarnos de que presente la forma precisa de M ( x, y) dx  N( x, y) dy dy  0 . Vamos a resolver la ecuación (e2 y  y cos xy)dx  (2xe2 y  x cos xy  2 y )dy  0 Aseguramos que es exacta cuando se cumple que

dM dy

dM dy



dN dx

 2e2 y  xysenxy  cos xy que es evidentemente igual a la parcial de N con respecto

de x. Teniendo que:

dM dy

 2e2 y  xysenxy  cos xy . Por consiguiente existe una función

f(x,y) para la cual se cumple al siguiente condición: M( x, y)  N( x, y) 

df dx df dy

Así : df dy

 N( x, y)  2 xe2 y  xcos xy 2 y





f( x, y)  2 x e2 y dy x cos xydy



ydy

f ( x, y)  xe2 y  senxy y2  h( x) d y dx



x2y cos

xsenx , y (1  x 2 )

y (0)  2 h '( x)  0 h( x )  C xe2 y  senxy y2  C  0

Comportamiento de la ecuación diferencial y trayectoria para coordenadas escogidas al azar

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Algunas ecuaciones exactas y sus soluciones graficadas: (2 x 1) 1) dx (3 y 7) dy 0

1)

Solución : x2  x

2)

3 2

y2  7 y  C

dy x  2 xe x  y 6 x2 dx Solución : xy 2 x  2 xe x  2 ex  C 3

y   1  ln x x  dx (1  ln )x dy  

3)

Solución :

 y  y ln x  xln x  C

(4 y 2 t 5) 5) dt (6 y 4 t1) dy 0

4)

Solución : 4ty  t 5t  3 y  y  C 2

2


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Practica de Ecuaciones Diferenciales y Demostraciones por Jairon Francisco

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