INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Ondas Mecánicas
Práctica N° 1 “Oscilador Armónico”
Alumnos: Bernabé Ramírez Héctor. Cano Díaz Brian Ali. López Torres Daniel. Luna Ruiz Ernesto Elías. Pérez Rodríguez Uriel. Vázquez Moreno Karla Stephania.
Equipo: 2 Profesor: Dr. Alfredo Ramírez García. Grupo: 3CM5. Fecha: 20 de Febrero del 2014
OBJETIVOS: El alumno: - Explicará la relación que existe entre la fuerza aplicada a un resorte y la deformación que sufre. - Verificará que el cuadrado del período de oscilación ( T ) de un cuerpo suspendido a un resorte es directamente proporcional a la masa M ( -
) Obtendrá el valor numérico de la aceleración de la gravedad midiendo el período de oscilación de un cuerpo suspendido al resorte y la deformación de este. Ajustará a una curva a los puntos experimentales obtenidos, aplicando el método de mínimos cuadrados.
INTRODUCCIÓN Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable. El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación. Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).
Para una masa sujetada a un resorte, el periodo de oscilación teórico está dado por la ecuación
√
Donde T es el tiempo de un ciclo, m es la masa que está oscilando y k es la constante del resorte. De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza ejercida por el resorte es proporcional a la distancia que el resorte es comprimido o estirado, F=kx , donde k es la constante de proporcionalidad. Por lo tanto esta constante puede ser determinada experimentalmente aplicando diferentes fuerzas para estirar el resorte a diferentes distancias. Después se grafica la fuerza vs distancia y la pendiente de la línea resultante es igual a k .
El movimiento armónico simple (M.A.S.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (M.V.A.S.), es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición pero en sentido opuesto. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un M.A.S. En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un M.A.S. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
DESARROLLO EXPERIMENTAL Experimento 1. Determinación de la constante de restitución del resorte (k). Se armó el siguiente dispositivo:
a) Después de armarse se tomó un punto de referencia en la parte inferior del resorte lo ayudándonos con el espejo de la balanza. b) A continuación se colocó una pesa de 50 g (0.050 kg) en la argolla libre del resorte y se midió la deformación sufrida por el resorte.
c) Se anotaron los datos y se fueron registrando en la tabla 1 y así sucesivamente con las masas indicadas.
Método de mínimos cuadrados mi (Kg)
Xi(m)
0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
0.29 0.31 0.32 0.34 0.35 0.37 0.38 0.40
Fi(N)
2
FiXi(Nm)
0.489 0.978 1.467 1.956 2.445 2.934 3.423 3.912
0.14181 0.30318 0.46944 0.66504 0.85575 1.08558 1.30074 1.5648 6.38634
Xi (m) 0.0841 0.0961 0.1024 0.1156 0.1225 0.1369 0.1444 0.16 0.962
GRÁFICA “FUERZA VS DEFORFACIÓN”
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 y = 0.0519x + 0.0788 R² = 0.9958
0.04 0.02 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Experimento 2. Relación entre la masa y el período. Monte el dispositivo que se muestra en el inciso B del experimento 1. -
Con ayuda del dinamómetro mida el peso del resorte y calcule su masa.
Masa del resorte= 0.019 Kg
-
Calcule
y registre este valor. Es la cantidad de masa del resorte que
contribuye a la masa efectiva. m’=0.0063 Kg
-
Determine para cada uno de los valores de m (masa suspendida en el resorte), indicados en la tabla 2. a) Los valores de la masa efectiva M= 0.0253 Kg
b) El periodo
T=6.99 s
mi (Kg) 0.100 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450
Mi (kg)
ti (s)
Ti (s)
Ti2 (s2)
0.119 0.219
7.65 10.34
0.382 0.517
0.145 0.267
0.269 0.319
11.14 12.78
0.557 0.639
0.310 0.408
0.369 0.419
13.33 14.08
0.666 0.704
0.443 0.495
0.469
15.07
0.753
0.567
M= 0.019 Kg
2
GRÁFICA “T VS M”
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
y = 1.1971x + 0.0031 R² = 0.9931
0.1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
De acuerdo a la ecuación obtenida diga qué relación existe entre el cuadrado del periodo y la masa del oscilador armónico. El periodo varia con la masa ya que el cociente de la ecuación lo indica y por lo tanto el cuadrado afecta a los dos lados de la ecuación así entonces la relación es que si el periodo varia la masa también.
Calculo de K por este procedimiento. En el experimento No. 1 se determinó a la constante de restitución por un método estático. También se puede obtener por medio de este experimento (método dinámico); para ello despeje a k de la ecuación (4) y sustituya el valor de A que obtuvo gráficamente. Anote su resultado
Comparación de resultados y cálculo de precisión
-
Compare los valores de y
-
Determine la precisión de los experimentos:
() ̅
En donde: -
y
Efectué los cálculos y anote sus resultados
Experimento 3. Obtención de la aceleración de la gravedad. Fórmulas a requerir
X , es la deformación sufrida por el resorte y g es la aceleración de la gravedad.
Procedimiento Al igual que los experimentos realizados anteriormente se montó el dispositivo con el resorte, pero en este caso se tendría que colocar una masa en el extremo inferior del
resorte, dicha masa tendría que alargar de la longitud original del resorte. En este caso se registró una masa 0.400 Kg y se midió su alargamiento sufrido del resorte, el cual fue 40.7 cm. Posterior a ello; se midió el tiempo requerido para que la masa m efectuase 20 oscilaciones completas, (se midió 3 veces las 20 oscilaciones) y consecutivamente se obtuvo su valor. Los tres tiempos fueron 14.05, 13.97, 14.15 y el tiempo promedio fue de 14.056. Una observación que se notó, mientras oscilaba la masa del resorte, se producía en pequeñas variaciones un movimiento que describe al péndulo. Se pide en la práctica que se encuentre el valor del periodo, se sustituyeron los valores en las fórmula a requerir el periodo, denotando que gravedad de la ciudad es de y
contando que el origen del resorte se encontraba a 27. 5 cm; se obtuvo el periodo de 0.726 s.
En la ecuación de la gravedad se sustituyeron valores y se obtiene
.
(())
En las mediciones se obtuvieron incertidumbres para la posición el periodo de .
, y para
Para la incertidumbre de la gravedad se tuvo que calcular con la siguiente fórmula:
Y el resultado obtenido de la incertidumbre es de:
CONCLUSIONES. La práctica realizada nos sirve como prueba de lo importante que es tener en cuenta todo lo relacionado con la oscilación en este caso de algún resorte, ya sea desde la frecuencia o el periodo, la masa que está sosteniendo el resorte, la constante del resorte etc. Y pues con ayuda de lo visto en clase teóricamente, solamente verificamos ya en lo práctico. Héctor Bernabé Ramírez. El desarrollo de la practica fue muy fácil, aunque casi al terminar nos dimos cuenta que nos faltaba un procedimiento más el cual ya lo habíamos realizado antes de comenzar el procedimiento 2 sin que nos diéramos cuenta Brian Ali Cano Díaz. Mi contribución al equipo fue en el montaje del resorte y la obtención de los tiempos de las oscilaciones. En los tres experimentos se tuvo que analizar el resorte en reposo y su medición para futuros cálculos, de tal modo que así se podría calcular la aceleración como el incremento de posiciones por las diferentes masas dadas. Durante la resolución de los tres tiempos para cada pesa se tuvo que sacar su promedio para evitar demasiadas incertidumbres o posibles equivocaciones. Cabe destacar que la aceleración que se da, tiene que ver con la velocidad con que tienden los cuerpos del resorte. Por consiguiente se tuvo que obtener la constante de deformación. Por último quiero añadir que, con el equipo, inclusive la mesa de trabajo deja muchas variaciones en los resultados. Daniel López Torres. La práctica en sí estivo muy sencilla, y a pesar de que el equipo que recibimos no estaba en las mejores condiciones logramos sacar unos datos más o menos parecidos a los que obtendríamos teóricamente. Creo que los objetivos principales se cumplen siempre que el equipo entero tenga noción de lo que se está haciendo y como es que se están obteniendo dichos resultados, porque si no, aunque lo veas y lo vuelvas a mirar nunca encontrarás relación alguna. Elías Lina Ruiz. En esta práctica pudimos observar el comportamiento y componentes de un oscilador armónico simple y en ella observamos prácticamente el comportamiento. También obtuvimos algunas componentes que hasta el momento solo habíamos obtenido teóricamente. La práctica en si sirvió de mucho para observar y comprobar lo visto en clase. Uriel Pérez Rodríguez.
El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal. La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento. El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro. Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial. Karla Stephania Vázquez Moreno
BIBLIOGRAFIA http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_arm%C3%B3nico
