Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
ax +by = c , a, b, c, d, m, n, p ∈ ¡ mx +ny = p Data: Clasa a IX-a D Profesor: Disciplina: Matematică Unitatea de învăţare:Funcţia de gradul I Tema lecţiei : Poziţia relativă a două drepte. Sisteme de ecuaţii de tipul Tipul lecţiei: Lecţie mixtă
ax+ by = c a b c m n ∈p ¡ m x+ n y ,
,
,
,
,
,
Competenţe generale: 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite. 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţurile matematice. 3. Utilizarea algoritmilor şi conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete. 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora. 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii – problemă. 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii. Competenţe specifice:
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite 2.1. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor 2.2. Identificarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor 3. Descriere a unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I 4.1. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică 4.2. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie prin funcţii de o variabilă, inecuaţii sau sisteme 5.1. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei 5.2. Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii a condiţiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I 6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului
Valori şi atitudini: 1. Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune. 2. Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare. 3. Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii. 4. Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice. 5. Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională. STRATEGII DIDACTICE:
• Metode şi procedee: conversaţia euristică, explicaţia, exerciţiul, problematizarea, lucrul individual, descoperirea dirijată • Modul de organizare al clasei : frontal, individual • Procedee de evaluare : analiza răspunsurilor primite; analiza şi compararea rezultatelor elevilor; aprecierea corectitudinii rezolvării aplicaţiilor (verbală / notarea activităţii elevilor). RESURSE: • Materiale didactice : manualul, fişe cu probleme, tabla, creta • Umane: elevii clasei • Temporale: 50 min Locul: sala de clasă.
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
Bibliografie : programa şcolară, planificarea, manual matematică DESFĂŞURAREA LECŢIEI
Etapele lecţiei
Conţinutul lecţiei
Metode
Modul de organizare
Procedee de evaluare
1. Moment organizatoric
Verificarea prezenţei elevilor, notarea absenţelor în catalog.
Conversaţie
Frontal
2. Captarea atenţiei
Verificarea temei prin sondaj, prin confruntarea rezultatelor, iar dacă există probleme nerezolvate, acestea se rezolvă la tablă.
Conversaţie
Frontal Individual
analiza răspunsurilor
Conversaţie
Frontal
observarea elevilor
Conversaţie Explicaţie Problematizarea Exerciţiul
Frontal Individual
analiza răspunsurilor
Se anunţă clasa că lecţia prezentată se intitulează Poziţia relativă a două drepte. Sisteme de ecuaţii de tipul , 3. Anunţarea temei
by=c ax + + m x n y =p
, a, b, c, m ,n , p
∈¡
se prezintă competenţele 4. Dirijarea învăţării
Fie sistemul ax + by = c , a, b, c, m, n, p ∈ ¡ mx + ny = p Necunoscutele din sistem sunt x, y , numerele a, b, m, n coeficienţii necunoscutelor, iar c, p sunt termenii liberi. O pereche de numere reale(x,y) care verifica simultan cele doua ecuaţii se numeşte soluţie a sistemului. Mulţimea soluţiilor sistemului este
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
S
{x( y, ax)
=
by c + = i ş mx ny
+ =
p
}.
Sistemul poate să admită soluţie unică( sistem compatibil determinat ), o infinitate de soluţii( sistem compatibil nedeterminat ), nici o soluţie(sistem incompatibil). Rezolvarea unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute se realizează prin două metode: metoda reducerii şi metoda substituţiei. Reamintesc cu ajutorul elevilor cele două metode. METODA SUBSTITUŢIEI: din una din ecuaţii se scoate o necunoscută, se introduce necunoscuta scoasă în a doua ecuaţie, se afla valoarea necunoscutei, cu valoarea aflată se revine la prima ecuaţie şi se determină a doua necunoscută. METODA REDUCERII:se înmulţesc termenii ecuaţiilor astfel încât prin adunarea sau scăderea egalităţilor sa se anuleze termenii ce conţin una din necunoscute, se rezolva ecuaţia cu o singura necunoscuta obţinută, se înlocuieşte valoarea necunoscutei aflate într-una dintre ecuaţiile , se rezolva ecuaţia , iar perechea obţinută este soluţia sistemului. Dacă prin această metodă se anulează toţi termenii ce conţin necunoscutele şi termenii liberi, sistemul nu are soluţie unica. Dacă se anulează toţi termenii ce conţin necunoscutele şi termenii liberi nu se anulează, sistemul nu are soluţie. Fiecare ecuaţie a sistemului este ecuaţia unei drepte y = α x + β , iar rezolvarea sistemului reprezintă de fapt stabilirea poziţiei relative a două drepte. Interpretarea geometrică a soluţiilor sistemului: Drepte concurente - soluţie unică( sistem compatibil determinat ), Drepte confundate - o infinitate de soluţii( sistem compatibil nedeterminat ), Drepte paralele - nici o soluţie( sistem incompatibil)
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
Aplicaţii : Propun elevilor să rezolve sistemele(interpretare geometrică): x − 5 y = 3 I. 2 x + y = −5 Rezolvare: Metoda reducerii
x − 5 y = 3 ⋅ (− 2) −2 x + 10 y = −6 ⇔ 2 x + y = −5 2 x + y = −5 / 11 y = −11, x − 5 ( −1) = 3, x = −2
y = −1
Soluţia sistemului este perechea S= (-2,-1), sistem compatibil determinat. Interpretare geometrică: Rescriem sistemul în forma x 3 x − 5 y = 3 y = − 5 5 2 x + y = −5 ⇔ y = −2x − 5 x 3 d1 : y = − 5 5 d 2 : y = −2 x − 5 Reprezentăm grafic cele două drepte: x 3 d1 : y = − . Intersecţia cu axa Ox: y=0 ⇒ x = 3 . Obţin 5 5 −3 A(3,0) . Intersecţia cu axa Oy: x=0 ⇒ y = . Obţin 5 −3 B (0, ) . 5
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
d 2 : y = −2 x − 5
−5
Intersecţia cu axa Ox: y=0 ⇒ x =
−5 2
. Obţin
,0) . Intersecţia cu axa Oy: x=0 ⇒ y = −5 . Obţin 2 N (0, −5) . Reprezentarea grafică în acelaşi sistem de axe pune în evidenţă soluţia sistemului S= (-2,-1). Dreptele au un singur punct de intersecţie.
M (
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
II.
x − 5 y = 3 2 x − 10 y = 6
Se observă că prin împărţirea celei de-a doua ecuaţii cu 2 se obţine prima ecuaţie. Se notează necunoscuta x cu α , α ∈ ¡ , α − 3 şi se determină y = . 5 Sistemul are o infinitate de soluţii, este compatibil
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
nedeterminat, S = α ,
α − 3
, α ∈ ¡ . 5
d : y = x − 3 5 2 x d : y = − 6 10 1
2
Reprezentarea grafică în acelaşi sistem de axe pune în evidenţă soluţia sistemului. Dreptele reprezentate de ecuaţii sunt confundate.
III.
x − y = 3 2 x − 2 y = 4
Dacă împărţim a doua ecuaţie cu 2 se obţine că 3=2, ceea ce este fals. Deci sistemul nu are soluţie, este incompatibil. d1 : y = x − 3 d : y = x − 2 2 Reprezentarea grafică în acelaşi sistem de axe pune în evidenţă
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
faptul că dreptele reprezentate de ecuaţii sunt paralele
5.Intensificarea retenţiei 6. Asigurarea feed – back-ului 7. Evaluare 8. Tema pentru acasă
Să se discute în funcţie de valoarea parametrului real m sistemul mx + y = 1
x + my = m
Fişă de lucru Aprecierea elevilor care au răspuns în timpul lecţiei Exerciţiile 1,2,3 manual pag 151
Conversaţie Problematizarea
Exerciţiul Învăţarea prin descoperire Muncă independentă Conversaţie Conversaţie Explicaţia
Frontal Individual
analiza răspunsurilor
Individual
analiza răspunsurilor
Frontal Individual Frontal
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
Fişa de lucru 1. Completaţi tabelul cu denumirile corespunzătoare: 1.
Valoare ce verifică o ecuaţie .
2. Un sistem care are soluţie. 3. Metodă de rezolvare a unui sistem.
1
S
2
I
3
S
4
T
5
E
6
M
Preda Ionela- Liceul de arte plastice „Nicolae Tonitza”, Bucuresti
4. Două drepte paralele sunt reprezentarea grafică a unui sistem… 5. Dreptele confundate se obţin ca interpretare grafică pentru un sistem compatibil… 6. De valoarea lui depinde uneori rezolvarea unei ecuaţii.
2. Rezolvă şi interpretează geometric sistemele:
7 x + y = 1 x + y = 4
a)
−3 x + y = 6 b) 15 x + 5 ( y − 2) = 20 x + 4 y = 2 −2 x − 8 y = 6
c)
