COMPACIDAD RELATIVA (Cr, %) o DENSIDAD RELATIVA (DR, %) La compacidad de un suelo granular se determina en función de la densidad relativa que lleva en cuenta el índice de vacíos o los pesos específicos seco natural, máximo y mínimo. Las ecuaciones siguientes se utilizan para determinar la densidad relativa (DR) o compacidad relativa (Cr). La ecuación siguiente utiliza el índice de vacíos natural, minino y máximo.
Cr
emax e 100 % emax emin
A continuación se muestra la ecuación de Terzaghi que es función de los pesos específicos natural, mínimo y máximo. DR Cr d max d
d d min d max d min
100 %
Compacidad de los suelos. Compacidad
Compacidad Relativa (densidad relativa), %
Muy suelta Suelta Media Densa Muy Densa
0 – 15 15 – 35 35 – 65 65 – 85 85 – 100
Ejercicio.
Determinar la compacidad del suelo que presenta los datos de laboratorio siguientes: Peso específico seco máximo de 1.98 gf/cm 3; Peso específico seco mínimo de 1.74 gf/cm 3; El Peso específico seco natural ha sido determinado por medio del ensayo de cono de arena con los datos siguientes: Peso húmedo del Suelo 1203.5 gf; Peso de Arena inicial + Frasco 6727.0 gf; Peso de Arena final + Frasco 4017.0 gf; Peso de Arena en el Cono 1775.3 gf; Peso neto de la Arena 2710.0 gf; Densidad de la Arena Calibrada 1.49 gf/cm3.
Solución:
Peso húmedo del Suelo Peso de Arena inicial + Frasco Peso de Arena final + Frasco Peso de Arena en el Cono Peso neto de la Arena
gf gf gf gf gf
Densidad de la Arena Calibrada
gf/cm3
Volumen del Suelo (hoyo)
cm
1203.5 6727.0 4017.0 1775.3 2710.0 3
1.49 627.3
Peso específico húmedo de la Muestra Porcentaje de Humedad
gf/cm %
3
1.918 3.15
Peso específico seco de la Muestra
gf/cm3
1.860
El peso específico seco de la muestra es de 1.86 gf/cm3, luego:
d max DR C r d
d d min d max d min
100 % 1.98 1.86 1.74 1.86 1.98 1.74
0.12 DR C r 1.065 1.0650.50 53.25 % 0.24
A una densidad relativa de 53,25 % le corresponde una calificación de suelo de compacidad media.
PERMEABILIDAD HIDRÁULICA DE SUELOS:
La permeabilidad hidráulica de los suelos esta directamente asociado a la Ley de Darcy, que se enuncia de la siguiente manera: vKi Q K iA
donde: v, es la velocidad darciana K, es la conductividad hidráulica i, gradiente hidráulico Q, es el caudal captado A, es la sección transversal al flujo de agua.
L
h1 h2 DATUM
Permeámetro de Darcy.
El coeficiente de permeabilidad o conductividad hidráulica de suelos con estratificación secuente o con densificación en etapas.
2
K 1 e1 K 2 e2 2
K2
K1 2
e1 e 2
2
2
e1 1 e1
K1 2 K2 e2 1 e2
K2
K1 2
2
e1 1 e1
e2 1 e2
3
e1 1 e1
K1 3 K2 e2 1 e2
K2
K1 3
e1 1 e1
3
e2 1 e2
Ejercicio. Determinar la conductividad hidráulica de un suelo que presenta un peso específico seco natural de 17,82 kN/m3 y gravedad específica Gs = 2,60. Para la construcción de una edificación se ha compactado una capa hasta alcanzar un peso específico de 19,84 kN/m 3 con conductividad hidráulica de 8,1x10-3 cm/s. Peso específico del agua 9,81 kN/m3.
Solución:
d
Gs w 17.82 1 e
Luego, el índice de vacíos para el suelo natural será:
e
Gs w
d
1
(2.60)(9.81) 1 0.43 17.82
Índice de vacíos para la capa compactada:
e
Gs w
d
1
(2.60)(9.81) 1 0.29 19.84
Luego, por ejemplo considerando la expresión: K2
K1 2
e1 e2
2
8.1x10 2 cm / s 8.1x10 2 cm / s 8.1x10 2 cm / s 1.78 x10 1 cm / s 2 2 0.0841 0.1849 0.455 0.29 0.43
1. FLUJO RADIAL EN ACUIFEROS CONFINADOS
La ecuación que gobierna el flujo subterráneo radial es la siguiente:
Para el flujo simétrico alrededor del eje z, la carga h es la misma en todos los puntos situados a igual distancia del pozo, luego, ∂h/∂θ = 0, resultando:
(
)
POZO SIMPLE En la Figura se muestra la carga h para cualquier sección de estudio con radio r, el acuífero confinado presenta potencia o espesor constante. El radio del pozo es r w, R es el radio de influencia del cono de abatimiento y su carga hidráulica es H que representa la carga hidráulica constante en toda la extensión del acuífero.
Q superficie piezométrica
IMPERMEABLE
H
h
hw D ACUÍFERO sustrato impermeable
r
rw
R
Las condiciones de contorno inicial y final son:
Integrando por primera vez la ecuación anterior se obtiene:
Integrando por segunda vez la ecuación anterior se obtiene
donde c1 y c2 son constantes de integración, sustituyendo las condiciones de contorno en la ecuación anterior se obtiene:
⁄
⁄
Por la ecuación de continuidad el caudal estacionario Q en el pozo debe ser igual al flujo a través de una sección cilíndrica de radio r:
conociéndose c1 = r(dh/dr) y combinando con la ecuación c1 = [(H-hw)/ln(R/rw)] resulta:
⁄ Si se conociera dos puntos de control (piezómetros) en r 1 y r2 para el que sus cargas hidráulicas son h1 y h2, respectivamente.
⁄ Si es conocido el caudal de extracción Q y definido como constante es posible determinarse la conductividad hidráulica K: ⁄
Reordenando la ecuación general de la carga hidráulica puede obtenerse la ecuación que permite conocer su variación en función del radio y del caudal de explotación Q.
PARA SISTEMAS DE POZOS MULTIPLES En general, las excavaciones de suelos arcillosos (impermeables) suelen fallar por levantamiento del fondo, para asegurar su estabilidad se puede reducir el nivel piezométrico en el acuífero. Para ello se instalan pozos profundos alrededor de la excavación tal como se muestra en la Figura. Para el control de la carga hidráulica y la verificación de la estabilidad se plantean un sistema de pozos múltiples Q superficie piezométrica
corte
IMPERMEABLE
h
H
hw
P D ACUÍFERO sustrato impermeable
r
rw
rw
R 3
4
2
r3
5
r4
r2 1
r1
P
y el abatimiento en P está dado por:
donde: hp1, es la carga hidráulica total en P debida al bombeo únicamente en el pozo 1. Q1, caudal de explotación en el pozo 1 r1, distancia de P a la línea central del pozo 1 R1, radio de influencia del pozo 1. La ecuación anterior es una solución de una ecuación diferencial lineal (una ecuación de Laplace), para calcular el abatimiento total en P debido a varios pozos que actúan juntos puede aplicarse el principio de superposición mediante la suma algebraica de los efectos separados de cada pozo individual. Por tanto, si se tiene n pozos, el abatimiento total en P esta dado por la siguiente expresión:
los subíndices 1, 2, 3, …, n corresponden al número de pozos del sistema, respectivamente, puede obtenerse: ∑
2. FLUJO RADIAL EN ACUIFEROS LIBRES
El caso de flujo en acuíferos libres se resuelve considerando que el abatimiento no es muy grande, siendo la solución aproximada, que se obtiene al imponer las siguientes simplificaciones:
- No se presenta superficie de filtración, de este modo la línea superior de corriente emerge al nivel del agua en el pozo. - El gradiente hidráulico a cualquier distancia r del pozo es constante en todo el espesor del flujo e igual a la pendiente de la línea superior de corriente a distancia r (Hipótesis de Dupuit-Forchheimer). Por tanto, el flujo a través de la arena a una distancia r del pozo es horizontal.
POZO SIMPLE Por el principio de continuidad el flujo de caudal Q hacia el pozo, debe ser igual al flujo que atraviesa cualquier sección cilíndrica en la arena a una distancia r desde el pozo, así se tiene: Q superficie freática
dh dr
h h1
hw
h2
ACUÍFERO sustrato impermeable
rw
r
r1 r2 R
Pozo simple en acuífero libre.
Separando variables e integrar entre rw y R
∫
∫
H
Luego:
⁄
La carga total h a cualquier distancia r desde el pozo se expresa de la siguiente manera:
Si el sistema tiene implementado piezómetros o pozos de observación con carga hidráulica h1 y h2 en r1 y r2 (h1 < h2), respectivamente se tiene:
⁄
PARA SISTEMAS DE POZOS MULTIPLES Para calcular el abatimiento total en P debido a varios pozos que actúan juntos puede aplicarse el principio de superposición mediante la suma algebraica de los efectos separados de cada pozo individual. En el diseño de un sistema de pozos se requiere una expresión con la que pueda obtenerse en cualquier punto la carga hidráulica total debida al bombeo desde varios pozos simultáneamente. Se demuestra para un sistema de n pozos, la carga hidráulica total en P como:
∑
Q superficie freática excavación
h
H
hP
hw
ACUÍFERO sustrato impermeable
r
rw
rw
R 2
3
r2
1
4
r3
r4
5
r1 P
Ejercicio Se necesita realizar una excavación hasta 6 m de profundidad en un depósito de arcilla de 8 m de espesor situado sobre 11 m de arena gravosa como se muestra en la Figura. La excavación tendrá un área a nivel de terreno de 84 m x 64 m. El estudio del subsuelo ha mostrado que el nivel piezométrico en equilibrio de la arena está a 1,5 m por encima del nivel terreno, y los cálculos de estabilidad correspondientes indicaron que este debe reducirse 7 m (abatimiento efectivo del nivel piezométrico punto P, luego h P = 13,5 m) en el área de excavación para tener un factor de seguridad adecuado contra la falla por levantamiento de la base. El ensayo de bombeo en un pozo de 0,5 m de diámetro que penetra completamente en la arena en el centro de la excavación propuesta y registró descensos del nivel piezométrico de 1,2 m y 0,43 en pozos de observación situados a 12 m y 150 m del pozo de bombeo, respectivamente, cuando el caudal estacionario en el pozo era de 11,4x10 -2 m3/s. Determinar la disposición adecuada de un sistema de pozos de alivio de 0,5 m de diámetro que penetran complemente en la arena para alcanzar la reducción necesaria del piezométrico. Suponer que las bombas sumergibles pueden utilizarse con una capacidad de operación de 6,5x10-2 m3/s y que el radio de influencia del sistema de pozos es de 1400 m. Solución Considerando la base de la arena como nivel de referencia, H = 20,5 m. De este modo, para Q = 11,4x10-2 m3/s, los resultados del ensayo de bombeo en los piezómetros 1 y 2 son: En r1 = 12 m, abatimiento = 1,20 m se obtiene h1 = 20,5 – 1,2 = 19,3 En r2 = 150 m, abatimiento = 0,43 m se obtiene h2 = 20,5 – 0,43 = 20,07
Inicialmente se calcula la conductividad hidráulica del acuífero con la ecuación: ⁄
⁄
superficie piezométrica
Q
corte
IMPERMEABLE
h
H=20.5 m
hw
P=13.5 m D=11 ACUÍFERO sustrato impermeable
r
rw
rw
R
3
4
5
Rw
2
r4
r3
r5
r6
r2 1
6
r7
r1
P
r1 0
r1 1
12
7
r8
r1 2 11
10
r9 8 9
Los pozos se instalan a 2 m del borde del talud, el sistema encerrara un área rectangular de 88 m x 68 m (A = 88 m; B = 68 m). Para determinar el número de pozos necesario, dicha área rectangular puede representarse como un pozo circular equivalente de radio R w dado por: √
√
2m
84 m 3
4
2
5
r5
r4
r3
2m
r6
r2 68 m 1
r7
r1
P
r11 11
64 m
r8
r12 12
R
2m
r10
4
r9 5
88 m
2m
Para un abatimiento de 7 m, el caudal en este pozo equivalente está dado por la ecuación: Con el valor de la conductividad hidráulica se determina el caudal equivalente de los pozos Qe:
⁄
⁄
Esta estimación de la cantidad de agua que deberá evacuarse del acuífero; si se tiene en cuenta que la capacidad de las bombas es de 6,5 x 10 -2 m3/s serán necesarias aproximadamente 12 bombas.
Como el flujo proviene de una fuente circular, entonces los 12 pozos pueden localizarse a distancias iguales alrededor del perímetro del área de la excavación como se muestra en la Figura, ahora puede verificarse que la disposición propuesta es adecuada calculando el abatimiento en el centro se la excavación propuesta y la carga hidráulica total en el acuífero en los pozos mediante la ecuación: ∑
18 m
26 m
3
26 m 4
18 m 5 8m
2
r5
r4
r3
r6
r2 68 m 1
26 m
r7
r1
P
r8
r12
r11
12
r10
26 m
r9 8m
11
4
5 88 m
r1 = 44 m r2 = (262 + 442)1/2 = 51.1 m
r3 = (262 + 342)1/2 = 42.8 m r4 = 34 m, luego considerando la simetría de los pozos se completa la Tabla siguiente. Pozo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
rj (m) ln (R/ rj) 44 3.46 51.1 3.31 42.8 3.49 34 3.72 42.8 3.49 51.1 3.31 44 3.46 51.1 3.31 428 3.49 34 3.72 42.8 3.49 51.1 3.31 Σ 41.56 donde Q es la capacidad de operación de las bombas (bomba comercial) en esta caso de 6,5 x 10-2 m3/s y rj es la distancia desde P hasta el centro de pozo j, que se obtiene a partir de la Figura y la Tabla presenta los cálculos para el centro de la excavación, teniéndose:
Luego: hp = 13,5 m es mayor que hp = 13,28 m. superficie piezométrica
Q
1.5 m
84 m x 64 m corte
6m 8m
IMPERMEABLE
H=20.5 m P=13.5 m D=11 ACUÍFERO sustrato impermeable
R=1400 m
0 .5
18 m
26 m 3
26 m 4
18 m 5 8m
2
r3 68 m
6
r6
r2
1
26 m
r7
r1 12
r5
r4
P
7
r8
r1 2
r1 1
r1 0
26 m
r9 8 8m
11
10 88 m
9
