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Teoría Electromagnética
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Unidad 4 Potencial eléctrico Diferencia de potencial y potencial eléctrico
Se sabe que la fuerza de gravedad es de índole conservativa, esto significa que el trabajo que esta fuerza realiza sobre un objeto depende sólo de las posiciones inicial y final del objeto y no de la trayectoria que conecta las posiciones. Por otra parte, puesto que la fuerza de gravedad es conservativa, es posible definir una función de energía potencial a la que se denomina energía potencial gravitatoria. En virtud de que la ley de la fuerza de Coulomb tiene la misma forma que la ley universal de la gravitación, se deduce que la fuerza electrostática también es conservativa. Por tanto, es posible definir una función de energía potencial eléctrica asociada con esta fuerza. Considere una carga positiva pequeña colocada en un punto A en un campo eléctrico uniforme de magnitud E , , tal y como se muestra en la figura siguiente.
E
A
B
d A medida que la carga se desplaza del punto A al punto B por influencia de la fuerza eléctrica que se ejerce sobre ella, qE , , el trabajo que la fuerza eléctrica realiza sobre la carga es:
W Fd qEd donde d es la distancia entre A y B. Por definición, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al negativo del cambio de energía potencial,
U . El cambio de energía potencial eléctrica es, por tanto,
U W qE qEd la ecuación anterior solo es válida en el caso de un campo eléctrico uniforme. La diferencia de potencial entre los puntos A y B, V B
V A , se define como el cociente del cambio de
energía potencial de una carga q, que se desplaza entre A y B, entre la carga,
V V B V A
U q
Las unidades Si de potencial eléctrico son joules son joules por coulomb, llamados volts (V)
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1V = 1J/1C esto nos dice que es necesario realizar 1 J de trabajo para desplazar una carga 1 C entre dos puntos entre los que existe una diferencia de potencial de 1 V. En el proceso de desplazarse a través de una diferencia de potencial de 1 V, la carga de 1 C gana (o pierde) 1 J de energía. Consideremos
U q
V B VA Ed
esta ecuación muestra que la diferencia de potencial también tiene unidades de campo eléctrico multiplicadas por distancia. En base a esto, se deduce que las unidades SI de campo eléctrico, N/C, también se pueden expresar como volts por metro:
1N/C = 1V/m
34 C se mueve entre dos puntos para los cuales hay una diferencia de
Ejemplo: una carga de
potencial de 48 V. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial?
V despejando
U q
U se tiene que,
U q V 1.63 10 3 J
Ejemplo: un deuterón es acelerado entre dos puntos donde hay una diferencia de potencial. Si el 6 deuterón alcanza una velocidad de 1.5x10 m/s desde el reposo. ¿Cuál es la diferencia de potencial? Sol.
q 1.6 10 19 C m 2 1.67 1 027 Kg v 1.6 106 m/s
U
V
q
como el trabajo es igual a la diferencia de la energía cinética, entonces:
V
W q
K q
K 0 q
la energía cinética está dada por:
K
1 2
mv 2
K q
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Sustituyendo y realizando operaciones se tiene que:
1
V 2
mv 2 q
mv
2
2q
V 23.84kV Ejemplo: ¿Qué cambio de energía cinética experimenta un protón cuando se acelera a través de una diferencia de potencial de 1.27 kV?, ¿cuán rápido irá si comenzó desde el reposo?
Ejemplo: considere un protón con una energía cinética de 80.2x10 necesita para detener al protón?
‐19
J. ¿qué diferencia de potencial se
Solución El trabajo hecho por el campo eléctrico para detener al protón se puede obtener por:
W qV ya que el trabajo es igual al cambio en la energía cinética, despejando la diferencia de potencial, se tiene,
V
W q
K q
0 K 0 q
K 0 q
sustituyendo valores:
V
80.2 1019 1.6 1019
50.13V
Ejemplo: una partícula cargada positivamente se mueve a través de una diferencia de potencial de 200 ‐17 V, obtiene un incremento de energía cinética de 9.6x10 J. Calcule la carga de la partícula. Solución El incremento de energía cinética está dado por:
K qV despejando la carga se tiene:
q
K 4.8 10 19 C V
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Ejemplo: un deuterón se acelera desde el reposo hasta una rapidez de 3.2x106 m/s entre dos puntos que se encuentran a una diferencia de potencial. ¿Qué valor de velocidad adquiriría una partícula alfa si se acelera desde el reposo entre los mismos puntos? Sol. La energía cinética que adquiere el deuterón, está dada por:
q1V
1 2
m1v12
despejando la diferencia de potencial se tiene que:
V
m1v12
2q1
la energía cinética que adquiere la partícula alfa está dada por:
q2 V
1 2
m2 v22
despejando la velocidad se tiene que:
v2
2q2 V m2
sustituyendo la diferencia de potencial dada en
m1v12 2q2 2q1 v2 m2
realizando operaciones se tiene que:
v2 3.2 106 m/s Consideremos la Figura siguiente.
V
m1v12
2q1
en la expresión anterior se tiene que:
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A
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A
d
d
q
m
B
B
g
E
Cuando el campo eléctrico E, está dirigido hacia abajo, el punto B está a un potencial eléctrico menor que en el punto A. Una carga de prueba positiva que se desplaza de A a B pierde energía potencia eléctrica. Una masa, m, que se desplaza hacia abajo en la dirección del campo gravitatorio, g, pierde energía potencial gravitatoria. Puesto que la carga positiva q tiende a moverse en la dirección del campo eléctrico, se debe aplicar una fuerza externa hacia arriba a la carga para desplazarla de B a A. Se realiza trabajo sobre la carga, y esto significa que una carga positiva gana energía potencial eléctrica cuando se desplaza en dirección opuesta al campo eléctrico. Si se libera una carga positiva desde una posición en reposo en el punto A, la misma experimenta una fuerza qE en la dirección del campo. Por tanto, la carga se acelera hacia abajo y gana energía cinética, la carga pierde una cantidad igual de energía potencial eléctrica. Si una carga positiva se desplaza de A a B, su potencial eléctrico disminuye. En cambio, cuando la carga de prueba q es negativa, la situación se invierte. Una carga negativa pierde energía potencial eléctrica cuando se desplaza en dirección opuesta al campo eléctrico. Es decir, una carga negativa inicialmente en reposo en el campo E se acelera en dirección opuesta al campo.
Ejemplo: se conecta una batería de 12 V entre dos placas metálicas paralelas separadas por una distancia de 0.3 cm. Determine la intensidad del campo eléctrico entre las placas. Solución,
V B VA Ed por lo que,
E
V B V A d
4.0 103 V/m
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Ejemplo: un protón que inicialmente está en reposo se libera en un campo eléctrico uniforme cuya magnitud es de 8x10 4 V/m, dirigido a lo largo del eje x positivo. El protón experimenta un desplazamiento de 0.5 m en la dirección del campo. a)
Determine el cambio de potencial eléctrico del protón como resultado de este desplazamiento. Determine el cambio en la energía potencial eléctrica del protón en este desplazamiento.
b)
Potencial eléctrico y energía potencial debidos a cargas puntuales
El potencial eléctrico creado por una carga puntual q a cualquier distancia r de la carga está dado por,
V k e
q r
Ejemplo: una carga puntual de
5.0 C está en el origen, y una carga puntual de 2.0 C se localiza en
el eje x en (3.0, 0.0) m, tal y como se muestra en la figura siguiente. a)
Si se toma el potencial eléctrico como cero en el infinito, determine el potencial eléctrico total debido a estas cargas en un punto P, cuyas coordenadas son (0.0. 4.0) m.
b)
¿Cuánto trabajo se necesita para traer una tercera carga puntual de
4.0 C desde el
infinito hasta P?
Potencial eléctrico debido a un conjunto de cargas puntuales
El potencial en un punto debido a una de las cargas no se afecta por la presencia de las otras cargas. Para determinar el potencial total, se suman los potenciales debidos a cada una de las cargas como si fuese la única presente (principio de superposición). En forma matemática
V V1 V2 V3 Vn
n
Vi K
n
qi
i 1
i 1
i
r
El potencial en un punto debido a una distribución continua de carga se calcula por medio de:
V k
dq r
Potenciales y conductores cargados
Para determinar el potencial eléctrico en todos los puntos de un conductor con carga, se combinan las ecuaciones:
U W qEd y
V V B V A
U q
de la primera ecuación se observa que el trabajo realizado por las fuerza eléctricas sobre una carga está relacionado con el cambio de energía potencial eléctrica de la carga en base a,
W U
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por otra parte, de la segunda ecuación se observa que el cambio de energía potencial eléctrica entre dos puntos, A y B, está relacionado con la diferencia de potencial entre estos puntos por,
U q V B VA si se combinan estas dos ecuaciones, se tiene que,
W q V B VA Este resultado indica que no se requiere trabajo, alguno para mover una carga entre dos puntos que están al mismo potencial eléctrico. Es decir,
W 0 cuando
V B V A Electrón volt
Una unidad de energía de uso común en la física atómica y nuclear es el electrón volt (eV). El electrón volt se define como la energía que un electrón (o un protón) gana cuando se acelera a través de una diferencia de potencial de 1 V. Puesto que:
1V=
1J 1C
y la magnitud de la carga del electrón o del protón es de 1.6x10 electrón volt y el joule es:
1eV 1.60 10
19
19
C V 1.6 10
‐19
C, vemos que la relación entre el
J
Superficies equipotenciales
Una superficie en la cual todos los puntos están al mismo potencial se conoce como una superficie equipotencial. La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de una superficie equipotencial es cero. Por tanto, no se requiere trabajo alguno para desplazar una carga con rapidez constante sobre una superficie equipotencial. Este tipo de superficies guardan una relación sencilla respecto al campo eléctrico. En todos los puntos de una superficie equipotencial, el campo eléctrico es perpendicular a la superficie. Si el campo eléctrico E , tuviese una componente paralela a la superficie, esta componente produciría una fuerza eléctrica sobre una carga colocada sobre la superficie. Esta fuerza realizaría trabajo sobre la carga cuando ésta se desplazase de un punto a otro, en contradicción con la definición de la superficie equipotencial. Es conveniente representar las superficies equipotenciales en un diagrama trazando líneas equipotenciales, que son vistas bidimensionales de las interesecciones de las superficies equipotenciales con el plano del dibujo.
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q
Ejemplo: en una cierta región, el campo eléctrico está dado por: E la diferencia de potencial VB‐ VA, si A
0,0,0
y B
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5000i 300 j N/C . Encuentre
0,0,5
Solución. La diferencia de potencial entre dos puntos está dada por: B
V E d s A
Como el campo eléctrico es uniforme puede salir de la integral quedando, B
V E d s E s A B
A
s 0 0 i 0 0 j 5 0 k 0i 0 j 5k 5k
V 5000i 300 j 5k 0 Ejemplo: tres cargas puntuales se colocan en los vértices de un triángulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la base; tomando q
13 C . 2q
5 cms
‐3q
‐q 2 cms
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Ejemplo: dos grandes placas metálicas paralelas, separadas por una distancia de 3.0 mm se cargan con la misma magnitud de carga pero con signo opuesto, hasta obtener una diferencia de potencial de 30 V. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre las placas? Solución
V Ed Despejando E
E
V d
Sustituyendo valores y realizando operaciones
E
30 0.003
10000V/m
Ejemplo: dos grandes placas conductoras paralelas están separadas 8 cm y tienen cargas de igual magnitud y signos opuestos en sus superficies internas. Un protón que se encuentra en un punto ‐14 equidistante de las placas experimenta una fuerza de 1.6x10 N. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? Solución
V Ed
(1)
La fuerza que experimenta una carga en un campo eléctrico está dada por:
F qE
(2)
Despejando E de (2) se tiene que
E
F
(3)
q
Sustituyendo (3) en (1)
V
F q
d
Sustituyendo valores y realizando operaciones:
V 8000V
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Ejemplo: deducir una expresión para el trabajo realizado para formar la configuración de cargas mostrada en la Figura siguiente.
‐2q
q
a 2q
3q b
Solución La energía potencial para una distribución de n cargas, está dada por: n 1
n
U k
j 1 i j
qi q j r ij
Desarrollando la expresión de la energía potencial se tiene que:
q1q2
U k
r12
q1q3 r13
q1q4 r14
q2 q3 r23
q2 q 4 r24
q3q4
Se tiene que:
r12 r34 b r14 r23 a r13 r24 a b 2
2
Sustituyendo y realizando operaciones de simplificaciones
4
W U kq 2
b
4
a
2 2 a b 1
r34
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Ejercicios:
1.
Un protón se desplaza 2.0 cm paralelamente a un campo eléctrico uniforme E ‐19 a. ¿Cuánto trabajo realiza el campo sobre el protón? 6.4x10 J ‐19 b. ¿Qué cambio experimenta la energía potencial del protón? ‐6.4x10 J c. ¿A través de qué diferencia de potencial se desplazó el protón? ‐4.0 V
2.
Existe una diferencia de potencial de 90 mV entre las superficies interior y exterior de la membrana de una célula. La superficie interior es negativa respecto a la superficie exterior. + ¿Cuánto trabajo se necesita para expulsar un ión sodio positivo (Na ) del interior de la célula? ‐20 1.44x10 J
3.
La diferencia de potencial entre las placas aceleradoras de un televisor es del orden de 25000 V. Si la distancia entre estas placas es de 1.5 cm, determine la magnitud del campo eléctrico 6 uniforme en esta región. 1.7x10 N/C
4.
Un electrón se desplaza de una placa a otra, entre las cuales existe una diferencia de potencial de 2000 V. 7 a. Calcular la rapidez con la que el electrón incide en la placa positiva. 2.65x10 m/s b. Repita el inciso (a) para el electrón que se desplaza de la placa positiva a la placa 5 negativa. 6.19x10 m/s
5.
Determine el potencial a 1.0 cm de un protón. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre dos ‐7 ‐8 puntos que están a 1.0 y 2.0 cm de un protón? 1.44x10 V, ‐7.19x10 V
6.
La diferencia de potencial entre las placas aceleradoras de un televisor es del orden de 25000 V. Si la distancia entre estas placas es de 1.5 cms, determine la magnitud del campo eléctrico uniforme en esta región.
7.
Dos cargas puntuales se colocan como se muestra en la Figura siguiente, dónde q1
200N/C .
9 C ,
q2 8 C , a = 0.50 m y b = 1.2 m. Calcule el valor del potencial eléctrico en los puntos P1 y P2. ¿Cuál punto está a mayor potencial? y
P1 b
q2
P2 a
b
a
x
q1
8.
Dos cargas q1
3 C
y q2
5 C se colocan sobre el eje x, q1
Calcúlese el potencial eléctrico en el punto (‐1,4) m. 9.
Obtener una expresión para V A
V B en la figura siguiente.
a
q
a
d
A
B
q
en x = ‐1 m y q2 en x = 3 m.
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10. ¿Cuál es el potencial en el centro del cuadrado mostrado en la figura siguiente? Supóngase que q1
1.0 108 C , q2 2.0 108 C , q3 3.0 108 C , q4 2.0 108 C
a 1.0 m q1
a
q4
q2
a
P
a
a
q3
y
