Poblacion Finita vs Poblacion Infinita

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

UNI INTRODUCCIÓN

Las Las "col "colas as"" son son un aspe aspect cto o de la vida vida ode ode!n !na a ue ue nos nos enco encont nt!a !ao oss cont contin inua uae ent nte e en nues nuest! t!as as acti activvidad idades es dia! dia!ia ias# s# En el cont contad ado! o! de un supe!e!cado$ accediendo al %et!o$ en los &ancos$ etc#$ el 'en(eno de las colas su!)e cuando unos !ecu!sos copa!tidos necesitan se! accedidos pa!a da! se!vicio a un elevado n*e!o de t!a+a,os o clientes# El estudio de las colas es ipo!tante po!ue p!opo!ciona tanto una +ase te(!ica del tipo de se!vicio ue podeos espe!a! de un dete!inado !ecu!so$ coo la 'o!a en la cual dic-o !ecu!so puede se! dise.ado pa!a p!opo!ciona! un dete!inado )!ado de se!vicio a sus clientes# De+ido a lo coentado ante!io!ente$ se plantea coo al)o u/ *til el desa!!ollo de una -e!!aienta ue sea capa0 de da! una !espuesta so+!e las ca!acte!1sticas ue tiene un dete!inado odelo de colas# En uc-as ocasiones en la vida !eal$ un 'en(eno u/ co*n es la 'o!aci(n de colas o l1neas de espe!a# Esto suele ocu!!i! cuando la deanda !eal de un se!vicio es supe!io! a la capacidad ue e2iste pa!a da! dic-o se!vicio# E,eplos !eales de esa situaci(n son3 las colas 'o!adas po! los caiones a la espe!a de se! ca!)ados en inte!io! de ina$ los c!uces de dos v1as de ci!culaci(n$ los se4'o!os$ el pea,e de una autopista$ los ca,e!os auto4ticos$ la atenci(n a clientes en un esta+leciiento coe!cial$ la ave!1a de elect!odo5sticos u ot!o tipo de apa!atos ue de+en se! !epa!ados po! un se!vicio t5cnico$ etc# En el a!co de la teo!1a de colas es de )!an ipo!tancia sa+e! di'e!encia! ent!e una po+laci(n 'inita e in'inita pa!a ue de este odo podaos en'oca!nos / clasi'ica! en u5 tipo de po+laci(n nos encont!aos cuando nos disponeos a !esolve! un p!o+lea o !eali0a! una la+o! !e'e!ente a este tea /a sea en la ina donde nos vaos a desenvolve! o en cualuie! ot!a actividad dia!ia#

1


UNI

Proceso Básico de las Colas El p!oceso +4sico supuesto po! la a/o! pa!te de los odelos de colas es el si)uiente# Los clientes ue !euie!en se!vicios$ a t!av5s del tiepo$ p!ovienen de una fuente de entrada# Estos clientes a!!i+an al sistea de se!vicios / se unen a una cola. En un dete!inado tiepo se selecciona un ie+!o de la cola$ ediante al)una !e)la conocida coo disciplina de servicio# Lue)o$ se +!in +!inda da el se!v se!vic icio io !eu !eue! e!id ido o po! po! el clie client nte e en un mecani mecanismo smo de servic servicio io$ despu5s de lo cual el cliente sale del sistea de se!vicio#

Componentes del Proceso de Colas 1. Fuen Fuente te de Entr Entrad ada a Una ca!acte!1stica de la 'uente de ent!ada es su tamaño# El taa.o es el n*e!o total de potenciales clientes ue pueden !eue!i! se!vicio en un dete!inado oento# Esta po+laci(n a pa!ti! de la cual su!)en las unid nidade ades ue ue a!!i+ !!i+an an se conoc onocen en coo coo po+l o+laci( aci(n n o 'ue 'uente nte de ent!ada# ent!ada# Puede Puede supone!se supone!se ue el taa.o taa.o es infinito o finito 6po! lo cual se dice ue la 'uente de ent!ada es ilimitada o limitada7# De+e especi'ica!se el pat!(n estad1stico ediante el cual se )ene!an los clientes a t!av5s del tiepo# La suposici(n no!al es ue se )ene!an de acue!do al p!oceso de Poisson# Este caso co!!esponde a auel cu/as lle)adas al sistea ocu!!en de ane!a aleato!ia$ pe!o con cie!ta ta0a edia 'i,a / sin ipo!ta! cuantos clientes est4n /a all1 6po! lo ue el taa.o de la 'uente de ent!ada es infinito7# Una suposici(n euivalente es ue$ la dist!i+uci(n de p!o+a+ilidad del tiepo ue t!anscu!!e ent!e dos lle)adas consecutivas es exponencial # Se -ace !e'e!encia al tiepo ue t!ansc t!anscu!! u!!e e ent!e ent!e dos lle)ad lle)adas as consec consecuti utiva vass coo coo tiepo tiepo ent!e ent!e lle)adas#

2


UNI

Po!laci"n La po+laci(n puede clasi'ica!se 6/ las t5cnicas de Colas di'ie!en7 en 'unci(n de su taa.o !elativo$ coo 'inita o in'inita3 se!4 in'inita cuando el n*e!o de clientes potenciales es u/ )!ande en !elaci(n a la capacidad del sistea8 en caso cont!a!io$ se!4 'inita# La ipo!tancia de la di'e!enciaci(n ent!e po+laci(n 'inita e in'inita !adica en ue$ en po+laciones 'initas$ las p!o+a+ilidades de lle)ada de un cliente 6o de ocu!!encia de un suceso7 va!1an se)*n el estado del sistea3 po! e,eplo$ si -a/ seis 4uinas en un se!vicio de anteniiento / una de ellas est4 !ota 6en !epa!aci(n7 la p!o+a+ilidad de !otu!a de ot!a es di'e!ente# •

Po!laci"n Finita Es un )!upo liitado de clientes ue !ep!esenta la 'uente ue usa!4 un se!vicio / ue en ocasiones 'o!a una cola# En esta caso cuando un cliente de,a su posici(n coo ie+!o de la po+laci(n de usua!ios$ se !educe en una unidad el taa.o del )!upo de usua!ios$ lo cual !educe la p!o+a+ilidad ue un usua!io !euie!a se!vicio# Po! el cont!a!io$ si se +!inda anteniiento a un cliente / 5ste !e)!esa al )!upo de usua!ios$ auenta la po+laci(n / ta+i5n la p!o+a+ilidad de ue un usua!io !euie!a se!vicio# E,eplos3 !epa!aci(n de cosec-ado!as$ las PC de un )a+inete$ 9 caiones / : palas en una ope!aci(n ine!a$ etc#

Po!laci"n In#inita Es auella po+laci(n ue tiene el taa.o su'iciente en copa!aci(n con el sistea de se!vicio$ pa!a ue los ca+ios en el taa.o de la po+laci(n$ ocasionados po! disinuciones o inc!eento a la po+laci(n$ no a'ectan de ane!a sustancial las p!o+a+ilidades del sistea# E,eplos3 en un supe!e!cado los clientes ue -acen 'ila8 la cola en un +anco8 en una estaci(n de )asolina$ etc#

3


UNI POB$%CIÓN FINIT%

;

Es un )!upo liitado de clientes ue

Es auella po+laci(n ue tiene el taa.o su'iciente en copa!aci(n

se!vicio / ue en ocasiones 'o!a

con el sistea de se!vicio# ;

Si se alte!a al)*n eleento de la cola este a'ecta!4 a todo el sistea#

;

;

!ep!esenta la 'uente ue usa!4 un una cola# ;

POB$%CIÓN INFINIT%

Si se alte!a al)*n eleento de la cola este no a'ecta!4 al sistea#

;

Un e,eplo de esta po+laci(n

Un e,eplo de esta po+laci(n se!1an

se!1an los +ancos$ /a ue no

los caiones de una ina$ si se

ipo!ta el n*e!o de clientes en la

alo)!a este$ el tonela,e ovido po!

cola$ los t!a+a,ado!es del +anco

d1a se !educi!1a / la pala 6se!vido!7

6se!vido!es7 )ana!4n lo iso#

tend!1a tiepos ip!oductivos#

NOT%CIONE& DE $INE%& DE E&PER%

< = Tasa edia de lle)adas 6n*e!o de lle)adas po! unidad de tiepo7 >?< = Tiepo edio ent!e lle)adas# @ = Tasa edia de se!vicio 6n*e!o de unidades se!vidas po! unidad de tiepo cuando el se!vido! est4 ocupado7 >?@ = Tiepo edio !eue!ido pa!a p!esta! el se!vicio# P = acto! de utili0aci(n del sistea 6p!opo!ci(n de tiepo ue el sistea est4 ocupado7# Pn = P!o+a+ilidad de ue Bn unidades se encuent!en en el sistea# L = N*e!o edio de unidades en la cola 6lon)itd de la cola7# Ls = N*e!o edio de unidades en el sistea#  = tiepo edio de espe!a en la cola#

4


UNI

s = Tiepo edio de espe!a en el sistea# < = tasa p!oedio de lle)adas de clientes dent!o de las instalaciones de se!vicio# s6t7 = p!o+a+ilidad de ue un cliente pe!anesca 4s de Bt unidades de tiepo en el sistea# 6t7 = p!o+a+ilidad de ue un cliente pe!ane0ca 4s de Bt unidades de tiepo en la cola#

'ODE$O& DE $% TEOR(% DE CO$%& 'odelo de la Cola In#inita) Fuente In#inita * una Unidad de &er+icio.

•

Pa!a este odelo se conside!a lo si)uiente3 ># Las lle)adas son aleato!ias / p!ovienen de una dist!i+uci(n de p!o+a+ilidad de Poisson o de %a!Fov# :# Se supone ue el tiepo de se!vicio es ta+i5n una va!ia+le aleato!ia ue si)ue una dist!i+uci(n e2ponencial o de %a!Fov# Se supone ade4s ue los tiepos de se!vicios son independientes ent!e s1 e independientes del p!oceso de lle)ada# 9# S(lo -a/ una unidad de se!vicio# # La disciplina de cola se +asa en el p!incipio IO 6p!ie!o en lle)a! p!ie!o en sali!7 / no -a/ un l1ite pa!a el taa.o de la cola# H# Las tasas de lle)adas / de se!vicio no ca+ian con el tiepo# El p!oceso -a estado en ope!aci(n el tiepo su'iciente pa!a eliina! los e'ectos de las condiciones iniciales#

Pa!a n = $ >$ :$ 9$###

Pa!a n = >$ :$9$### J P!o+a+ilidad de encont!a! e2actaente n clientes en el sistea3

5


UNI

J P!o+a+ilidad de encont!a! el sistea vac1o3

J acto! de utili0aci(n3

J N*e!o estiado de clientes ue espe!an se! atendidos3

J N*e!o estiado de clientes en el sistea$ /a sea espe!ado en la cola /?o siendo atendidos3

J Tiepo estiado ue eplea un cliente espe!ando en la cola3

J Tiepo estiado ue eplea un cliente en el sistea3

J P!o+a+ilidad de ue el tiepo epleado 6T7 e2ceda a un valo! pa!ticula! t3 a7 Inclu/endo el tiepo de se!vicio#

+7 E2clu/endo el tiepo de se!vicio#

6


UNI 'odelo de la Cola In#inita) Fuente In#inita * una Unidad de &er+icio

•

',ltiple. Pa!a este odelo de conside!a lo si)uiente3 ># Las lle)adas son aleato!ias / p!ovienen de una dist!i+uci(n de p!o+a+ilidad de Poisson o de %a!Fov# :# Se supone ue el tiepo de se!vicio es ta+i5n una va!ia+le aleato!ia ue si)ue una dist!i+uci(n e2ponencial o de %a!Fov# Se supone ade4s ue los tiepos de se!vicios son independientes ent!e s1 e independiente del p!oceso de lle)ada# 9# Ka/ va!ias unidades de se!vicio# # La disciplina de cola se +asa en el p!incipio IO 6p!ie!o en lle)a! p!ie!o en sali!7 / no -a/ un l1ite pa!a el taa.o de la cola# H# Las tasas de lle)adas / de se!vicio no ca+ian con el tiepo# El p!oceso -a estado en ope!aci(n el tiepo su'iciente pa!a eliina! los e'ectos de las condiciones iniciales#

Pa!a n = $ >$ :$ 9$

S3 n*e!o de unidades de se!vicio# J P!o+a+ilidad de encont!a! e2actaente n clientes en el sistea3



7


UNI


J N*e!o estiado de clientes en el sistea$ /a sea espe!ado en la cola /?o siendo atendidos3



J P!o+a+ilidad de ue el tiepo epleado 6T7 e2ceda a un valo! pa!ticula! t3 Inclu/endo el tiepo de se!vicio#

Cuando

•

8

de+e sustitui!se po! M t#

'odelo de la Cola Finita) Fuente In#inita * una Unidad de &er+icio.


UNI

Pa!a este odelo de conside!a lo si)uiente3 ># Las lle)adas son aleato!ias / p!ovienen de una dist!i+uci(n de p!o+a+ilidad de Poisson o de %a!Fov# :# Se supone ue el tiepo de se!vicio es ta+i5n una va!ia+le aleato!ia ue si)ue una dist!i+uci(n e2ponencial o de %a!Fov# Se supone ade4s ue los tiepos de se!vicios son independientes ent!e s1 e independiente del p!oceso de lle)ada# 9# Ka/ una unidad de se!vicio# # La disciplina de cola se +asa en el p!incipio IO 6p!ie!o en lle)a! p!ie!o en sali!7 / no -a/ un l1ite pa!a el taa.o de la cola# H# Las tasas de lle)adas / de se!vicio no ca+ian con el tiepo# El p!oceso -a estado en ope!aci(n el tiepo su'iciente pa!a eliina! los e'ectos de las condiciones iniciales# # No se pe!ite ue el n*e!o de clientes e2ceda un n*e!o especi'icado 6%7# A cualuie! cliente ue lle)a cuando la cola est4 llena se le nie)a la ent!ada al sistea / este cliente lo de,a pa!a siep!e#

Pa!a n = >$ :$ 9$### %3 n*e!o 42io de clientes en el sistea# J P!o+a+ilidad de encont!a! e2actaente n clientes en el sistea3


9


UNI


J N*e!o estiado de clientes en el sistea$ /a sea espe!ando en la cola /?o atendidos3




•

'odelo de la Cola Finita) Fuente In#inita * una Unidad de &er+icio ',ltiple.

Pa!a este odelo de conside!a lo si)uiente3 ># Las lle)adas son aleato!ias / p!ovienen de una dist!i+uci(n de p!o+a+ilidad de Poisson o de %a!Fov# :# Se supone ue el tiepo de se!vicio es ta+i5n una va!ia+le aleato!ia ue si)ue una dist!i+uci(n e2ponencial o de %a!Fov# Se supone ade4s

10


UNI ue los tiepos de se!vicios son independientes ent!e s1 e independiente del p!oceso de lle)ada#

9# Ka/ va!ias unidades de se!vicio# # La disciplina de cola se +asa en el p!incipio IO 6p!ie!o en lle)a! p!ie!o en sali!7 / no -a/ un l1ite pa!a el taa.o de la cola# H# Las tasas de lle)adas / de se!vicio no ca+ian con el tiepo# El p!oceso -a estado en ope!aci(n el tiepo su'iciente pa!a eliina! los e'ectos de las condiciones iniciales# # No se pe!ite ue el n*e!o de clientes e2ceda un n*e!o especi'icado 6%7# A cualuie! cliente ue lle)a cuando la cola est4 llena se le nie)a la ent!ada al sistea / este cliente lo de,a pa!a siep!e#

Pa!a n = $ >$ :$ 9$ %3 n*e!o 42io de clientes en el sistea# J P!o+a+ilidad de encont!a! e2actaente n clientes en el sistea3



11


UNI


J N*e!o estiado de clientes en el sistea$ /a sea espe!ando en la cola /?o atendidos3



•

'odelo de la Cola Finita) Fuente Finita * una Unidad de &er+icio.

Pa!a este odelo de conside!a lo si)uiente3 ># Las lle)adas son aleato!ias / p!ovienen de una dist!i+uci(n de p!o+a+ilidad de Poisson o de %a!Fov# :# Se supone ue el tiepo de se!vicio es ta+i5n una va!ia+le aleato!ia ue si)ue una dist!i+uci(n e2ponencial o de %a!Fov# Se supone ade4s ue los tiepos de se!vicios son independientes ent!e s1 e independiente del p!oceso de lle)ada# 9# Ka/ una unidad de se!vicio# # La disciplina de cola se +asa en el p!incipio IO 6p!ie!o en lle)a! p!ie!o en sali!7 / no -a/ un l1ite pa!a el taa.o de la cola#

12


UNI

H# Las tasas de lle)adas / de se!vicio no ca+ian con el tiepo# El p!oceso -a estado en ope!aci(n el tiepo su'iciente pa!a eliina! los e'ectos de las condiciones iniciales# # No se pe!ite ue el n*e!o de clientes e2ceda un n*e!o especi'icado 6%7# A cualuie! cliente ue lle)a cuando la cola est4 llena se le nie)a la ent!ada al sistea / este cliente lo de,a pa!a siep!e#

Pa!a n = >$ :$ 9$### %3 n*e!o 42io de clientes en el sistea# J P!o+a+ilidad de encont!a! e2actaente n clientes en el sistea3



J N*e!o estiado de clientes en el sistea$ /a sea espe!ando en la cola /?o siendo atendidos3

13


UNI



•

'odelo de la Cola Finita) Fuente Finita * una Unidad de &er+icio ',ltiple.

Pa!a este odelo de conside!a lo si)uiente3 ># Las lle)adas son aleato!ias / p!ovienen de una dist!i+uci(n de p!o+a+ilidad de Poisson o de %a!Fov# :# Se supone ue el tiepo de se!vicio es ta+i5n una va!ia+le aleato!ia ue si)ue una dist!i+uci(n e2ponencial o de %a!Fov# Se supone ade4s ue los tiepos de se!vicios son independientes ent!e s1 e independiente del p!oceso de lle)ada# 9# Ka/ va!ias unidades de se!vicio# # La disciplina de cola se +asa en el p!incipio IO 6p!ie!o en lle)a! p!ie!o en sali!7 / no -a/ un l1ite pa!a el taa.o de la cola# H# Las tasas de lle)adas / de se!vicio no ca+ian con el tiepo# El p!oceso -a estado en ope!aci(n el tiepo su'iciente pa!a eliina! los e'ectos de las condiciones iniciales# # No se pe!ite ue el n*e!o de clientes e2ceda un n*e!o especi'icado 6%7# A cualuie! cliente ue lle)a cuando la cola est4 llena se le nie)a la ent!ada al sistea / este cliente lo de,a pa!a siep!e#

14


UNI

%3 n*e!o 42io de clientes en el sistea# J P!o+a+ilidad de encont!a! e2actaente n clientes en el sistea3



J N*e!o estiado de clientes en el sistea$ /a sea espe!ando en la cola /?o siendo atendidos3


15


UNI


%P$IC%CIÓN P%R% UN% POB$%CIÓN INFINIT% Pro!lema 1 Una ep!esa ine!a tiene una estaci(n de pesado de los caiones# El n*e!o p!oedio de caiones ue lle)an po! -o!a es de $ / el n*e!o p!oedio de caiones ue pueden se! pesados po! -o!a es  / si)uen una dist!i+uci(n e2ponencial# Calcula!3 a7 La p!o+a+ilidad de ue no -a/a caiones en el sistea# +7 La lon)itud espe!ada de la cola# c7 El tiepo espe!ado de un cai(n dent!o del sistea#

&oluci"n Se conoce la si)uiente in'o!aci(n3 ʎ =  caiones?-o!a

16


UNI μ=¿

 caiones?-o!a

Calculando el -rado de saturaci"n del sistema ρ=

ρ=

ʎ

μ

60 66

= 0.901

a7 La p!o+a+ilidad P de -alla! el sistea vac1o u ocioso es P = >  Q = #> +7

Calculando la lon)itud espe!ada de la cola3 2

Ew =

ʎ

μ ( μ − ʎ ) 2

Ew =

60

( − 60)

66 66

= 9.09 ≈ 9

Ew = 9

Camiones en la cola

c) Calculando el tiempo en la cola: ʎ

Et = μ ( μ − ʎ )

Et =

17

60

(

66 66

−60 )

=0.1515 hrs


UNI

Et =9 minutos

%P$IC%CIONE& P%R% UN% POB$%CIÓN FINIT% Pro!lema  Una ep!esa ine!a cuenta con  caiones de : Ton$ pa!a una ope!aci(n t!a+a,ada po! open pit# Pa!a cada ope!ado! la dist!i+uci(n de la p!o+a+ilidad del tiepo ue est4 ope!ando antes de su'!i! un despe!'ecto es e2ponencial$ con un !an)o p!oedio de >: -o!as#

El tiepo de !epa!aci(n ta+i5n tiene una dist!i+uci(n e2ponencial con un !an)o p!oedio de : -o!as# Calcula!

el

n*e!o

espe!ado

de

caiones

ue

satis'acto!iaente

&O$UCIÓN

λ = 1 / 12hr ⇒ λ = 0.083cam − hr µ = 1 / 2hr ⇒ µ = 0.5cam − hr m = 4camiones

/

Dete!inaci(n si un estado es esta+le  1

λ 12 1 = = <1 1 6 μ 2

El estado es esta+le •

18

Dist!i+uci(n de P!o+a+ilidades3

est4n

ope!ando


UNI

Se sa+e ue3 P0= P0

1 6

¿ = # P ¿ 4 P =( )¿ 1

0

1

1 6

¿ ¿ P2=

4!

( 4 −2 ) !

¿

1 6

¿ ¿ P3=

4!

( 4 −3 ) !

¿

1 6

¿ ¿ P4 =

4!

( 4 −4 ) !

¿

P0

P0=0.469

19

 P  P  P  P = : #9 P = > 1

2

3

4

0


UNI

;

N*e!o de caiones en el sistea3 μ En= m− ( 1− P 0) λ

En= 4 −

•

0.5 0.083

( 1−0.469 )=0.801

N*e!o de caiones ope!ando satis'acto!iaente3  J En= 4 −0.801=3.199 ≅ 3 ∴ 3 camiones están operando satisfactoriamente

CONC$U&IONE&  El tipo de po+laci(n 'inita e in'inita dete!ina la 'o!a de !esoluci(n del

p!o+lea#  Con '!ecuencia$ las ep!esas

de+en toa! decisiones !especto al

caudal de se!vicios ue de+e esta! p!epa!ada pa!a o'!ece! /a ue un a/o! n*e!o de se!vido!es )ene!a a/o!es costos#

BIB$IO0R%F(% ;

%5todos / %odelos de Investi)aci(n de Ope!aciones Vol# > J uan P!ada#pd'#

20


UNI

;

!ede!icF S# Killie! J Ge!ald # Lie+e!an# 6:>7# INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES# EE#UU3 %cGRAJKILL Copanies$ Inc#

;

a/ne L# inston# 6:H7# Investi)aci(n de ope!aciones J Aplicaciones / al)o!itos# T-opson3 %52ico#

;

21

Kad/ A# Ta-a# 6:>:7# Investi)aci(n de Ope!aciones# %52ico3 Pea!son#

Poblacion Finita vs Poblacion Infinita

Recommend Documents