PROGRAMACION LINEAL EN TEORÍA DE REDES La mode modela laci ción ón de rede redess perm permitite e la reso resolu luci ción ón de múlt múltip iple less prob proble lema mass de programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos como Algori Algoritmo tmoss de optimi optimizac zació ió de redes redes. Dentro de los problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y PERT y el P!. P!.
CONCEPTOS !"SICOS EN TEORÍA DE REDES Gr#$ica% "na gráfica es una serie de puntos llamados nodos #ue van unidos por unas l$neas llamadas ramales o arcos. ramales. Por Red% "na red es una gráfica #ue presenta algún tipo de flu%o en sus ramales. e%emplo una gráfica cuyo flu%o en sus ramales sea la electricidad es una red el&ctrica. En las redes se usa una simbolog$a espec$fica para denotar su tama'o y elementos #ue la constituyen, dic(a notación es la )*, + donde * representa el número de nodos #ue contiene la red y + representa el número de arcos o ramales.
Cadea% "na cadena corresponde a una serie de elementos ramales #ue van de un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena #ue va desde el nodo (asta el nodo y #ue se compone por los elementos /-01, 102. R&ta% "na ruta corresponde a los nodos #ue constituyen una cadena, en el siguiente caso /-, 1, 2.
Ciclo% "n ciclo corresponde a la cadena #ue une a un nodo con sigo mismo, en el siguiente e%emplo el ciclo está compuesto por la cadena /103, 304, 40, 012.
Ramal orietado% "n ramal o arco orientado es a#uel #ue tiene un sentido determinado, es decir #ue posee un nodo fuente y un nodo destino.
Gr#$ica orietada% "na gráfica orientada es a#uella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.
"r'ol% "n árbol es una gráfica en la cual no e5isten ciclos, como el siguiente e%emplo. "r'ol de e(pasió% "n árbol de e5pansión es a#uel árbol #ue enla6a todos los nodos de la red, de igual manera no permite la e5istencia de ciclos.
Nodo $&ete% El nodo fuente es a#uel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados (acia afuera. Nodo destio% El nodo destino es a#uel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados (acia &l.
+L78R9T!8 DEL :R;8L DE E
* !?*9!+
El algoritmo del árbol de e5pansión m$nima es un modelo de optimi6ación de redes #ue consiste en enla6ar todos los nodos de la red de forma directa y@o indirecta con el ob%etivo de #ue la longitud total de los arcos o ramales sea m$nima )enti&ndase por longitud del arco una cantidad variable según el conte5to operacional de minimi6ación, y #ue puede bien representar una distancia o unidad de medida.
=ean
N A B-,3,C,..., n el con%unto de nodos de la red.
A on%unto de nodos #ue se (an enla6ado de forma permanente en la iteración k
FA on%unto de nodos #ue (acen falta por enla6arse de forma permanente. P+=8 ER8 )GH 8*EPT"+L9I+9>* DEL +L78R9T!8 Definir los con%untos G A BJ y F G A B*, es decir #ue antes del paso - no se (an enla6ado de forma permanente nodo alguno, y por ende el con%unto #ue representa a los nodos #ue (acen falta por enla6arse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos #ue e5isten en la red. P+=8 -H =e debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el con%unto F G llamado i el cual será el primer nodo permanente, a continuación se debe de actuali6ar el con%unto - A Bi, #ue significa #ue al tiempo en #ue el con%unto - gana el elemento i el con%unto F G pierde el elemento i por ende a(ora será igual a F - A * 0 Bi, además se debe actuali6ar el sub$ndice de los con%untos k, el cual a(ora será igual a 3.
P+=8 3H P+=8 7E*ER+L KK =e debe de seleccionar un nodo j del con%unto F 0- )K0-K es el sub$ndice #ue indica #ue se está (aciendo referencia al con%unto de la iteración inmediatamente anterior el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos #ue se encuentran en el con%unto de nodos de enlace permanente 0-. "na ve6 seleccionado se debe de enla6ar de forma permanente lo cual representa #ue pasa a formar parte del con%unto de enlaces permanentes y de%a de formar parte del con%unto #ue todav$a se debe conectar para lograr la e5pansión. +l actuali6ar el algoritmo en este paso los con%untos deben de #uedar de la siguiente forma.
A 0- M B% mientras #ue F A F0- 0 B%
El paso general #ue define k #ue al mismo tiempo representa a las iteraciones debe de e%ecutarse toda ve6 #ue el con%unto F no sea vac$o, cuando este con%unto sea igual a vac$o se tendrá el árbol de e5pansión m$nima.
El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es #ui6á el más simple, sin embargo mediante el e%emplo gráfico se verá #ue es un algoritmo muy sencillo de elaborar. RE=8L"9>* DE "* PR8;LE!+ DE :R;8L DE E* !?*9!+
EL PRO!LEMA
La ciudad de ali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con la urbani6ación de más de proyectos (abitacionales #ue se ubicarán a las afueras de la ciudad. Dado #ue el terreno en el #ue se construirá no se encontraba (asta a(ora dentro de las 6onas urbani6ables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia de suministro de agua. ada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las cone5iones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto )es decir #ue cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro. El acueducto municipal al ver
la situación del plan parcial debe de reali6ar las obras correspondientes a la instalación de ductos madres #ue enlacen todos los nodos del plan con el nodo !el&nde6 )nodo #ue se encuentra con suministro de agua y #ue no pertenece al plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo, la instalación de los ductos implica obras de e5cavación, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimi6ar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias e5istentes )dadas en ilómetros correspondientes a las rutas factibles capaces de enla6ar los nodos del plan parcial se presentan a continuación. +demás la capacidad de bombeo del nodo !el&nde6 es más #ue suficiente para satisfacer las necesidades de presión #ue necesita la red madre.
El acueducto municipal le contacta a usted para #ue mediante sus conocimientos en teor$a de redes construya una red de e5pansión #ue minimice la longitud total de ductos y #ue enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.
PASO )% =e definen los con%untos iniciales G A BJ #ue corresponde al con%unto de nodos enla6ados de forma permanente en la iteración indicada en el sub$ndice y F G A B* A -,3,C,1,4,N,,O #ue corresponde al con%unto de nodos pendientes por enla6ar de manera permanente en la iteración indicada en el sub$ndice.
PASO *% =e debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del con%unto F G, en este caso escogeremos el nodo - )puede ser cual#uier otro, #ue algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actuali6ar los con%untos iniciales, por ende - A Bi A B- y F G A B* 0 i A B3,C,1,4,N,,O, actuali6amos k por ende a(ora será igual a 3.
PASO +% +(ora se debe seleccionar el nodo j del con%unto F 0- )es decir del con%unto del paso - el cual presente el arco con la menor longitud y #ue se encuentre enla6ado con uno de los nodos de enlace permanente del con%unto 0- en el cual a(ora solo se encuentra el nodo - )es decir #ue se debe de encontrar un nodo #ue tenga el arco de menor longitud enla6ado al nodo -.
Los arcos o ramales de color naran%a representan los arcos #ue enla6an el con%unto F 0- )es decir del con%unto del paso -, recordemos #ue en este paso es igual a 3, por ende F0-A F - con los nodos de enlace permanente del con%unto 0- en el cual a(ora solo se encuentra el nodo -, por ende a(ora solo falta
escoger el de menor longitud, #ue en este caso es el arco cuya longitud es 3, #ue enla6a de forma permanente a(ora el nodo 3.
+l actuali6ar los con%untos #uedan as$H 3 A B-,3 y F 3 A BC,1,4,N,,O
+(ora se procede a actuali6ar k ya #ue se procede a efectuar la siguiente iteración. +(ora se seleccionará un nuevo nodo j del con%unto F 3#ue presente el enlace )ramal o arco de menor longitud con los nodos #ue se encuentran en el con%unto 3.
Los arcos de color naran%a representan los enlaces posibles y dado #ue e5iste empate entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa nuestra elección con un arco de color verde, enla6ando de forma permanente a(ora el nodo 1.
+l actuali6ar los con%untos #uedan as$H C A B-,3,1 y F C A BC,4,N,,O
+(ora se procede a actuali6ar k ya #ue se procede a efectuar la siguiente iteración.
Lo #ue representan los arcos naran%a y verde es ya conocido, a(ora la l$nea a6ul interrumpida irá tra6ando nuestro árbol de e5pansión final. Dado a #ue el arco menor es el de longitud C, a(ora se enla6ará de manera permanente el nodo 4.
+l actuali6ar los con%untos #uedan as$H 1 A B-,3,1,4 y F 1 A BC,N,,O
+(ora se procede a actuali6ar k ya #ue se procede a efectuar la siguiente iteración.
+(ora se enla6ará de manera permanente el nodo .
+l actuali6ar los con%untos #uedan as$H 4 A B-,3,1,4, y F 4 A BC,N,O
+(ora se procede a actuali6ar k ya #ue se procede a efectuar la siguiente iteración.
+(ora se enla6ará de manera permanente el nodo N.
+l actuali6ar los con%untos #uedan as$H N A B-,3,1,4,,N y F N A BC,O
+(ora se procede a actuali6ar k ya #ue se procede a efectuar la siguiente iteración.
=e rompen los empates de forma arbitraria, a(ora se enla6ará de manera permanente el nodo C.
+l actuali6ar los con%untos #uedan as$H A B-,3,1,4,,N,C y F A BO
+(ora se procede a actuali6ar k ya #ue se procede a efectuar la última iteración.
+(ora se enla6ará de manera permanente el nodo O.
+l actuali6ar los con%untos #uedan as$H O A B-,3,1,4,,N,C,O A B* y F O A BJ Por ende se (a llegado al #r'ol de e(pasió m,ima
