Penerapan Metode Levenberg Marquardt Dalam Estimasi Parameter Model Regresi Non Linier

PENERAPAN METODE LEVENBERG MARQUARDT DALAM ESTIMASI PARAMETER MODEL REGRESI NON LINIER PADA KASUS KEMUNCULAN KASUS BARU AIDS

I.

PENDAHULUAN

Peristiwa di sekitar sering merupakan kejadian yang dapat dimodelkan dengan persamaan regresi. Berdasarkan hubungan kelinearan antar parameter dalam persamaan regresi, model regresi mempunyai dua bentuk hubungan kelinearan yaitu regresi linear dan regresi nonlinear. Model linear memiliki dua sifat yaitu regresi sederhana dan regresi berganda dengan kurva yang dihasilkan membentuk garis lurus, sedangkan untuk model non linear kurva yang dihasillkan membentuk garis lengkung. Secara umum analisis regresi merupakan alat statistik yang bermanfaat untuk mengetahui hubungan antara dua variabel atau lebih. Salah satu tujuan dari analisis regresi adalah mengestimasi parameter atau koefisien dalam model regresi. Parameter ini diperoleh dengan cara memprediksi nilai variabel dependen dengan suatu persamaan. Pada model regresi linear, estimasi parameter atau koefisien dapat langsung ditaksir dengan menggunakan metode Maksimum Likelihood atau Least Square. Namun untuk model regresi non linear dibutuhkan metode perhitungan koefisien-koefisien regresi yang sedikit kompleks dan membutuhkan suatu metode iterasi yang menyertai penaksiran. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai aplikasi dari iterasi Levenberg Marquardt dalam mengestimasi parameter dari suatu model non linear yang tidak mengandung constraint atau kendala berdasarkan suatu dataset yang tersedia.

II.

METODE LEVENBERG-MARQUARDT

Algoritma Levenberg-Marquardt adalah teknik iterasi yang meminimalkan fungsi yang diekspresikan sebagai jumlah kuadrat dari fungsi non linier. Algoritma Levenberg-Marquardt merupakan metode gabungan antara Algoritma GaussNewton dan metode penurunan gradien (gradient descent).

III. STUDI KASUS AIDS pertama kali dilaporkan pada tanggal 5 Juni 1981, ketika Centers for Disease Control and Prevention Amerika Serikat mencatat adanya Pneumonia Pneumosistis pada lima laki-laki homoseksual di Los Angeles. Pertumbuhan kasus AIDS semakin meningkat setiap tahunnya. Pertumbuhan seperti ini akan sangat berpengaruh bagi setiap individu di samping juga akan berpengaruh terhadap sistem kesehatan, ekonomi dan tatanan sosial. Hal ini menjadikan pemerintah memiliki kewajiban untuk merespon epidemi AIDS ini. ..........

Data yang digunakan adalah data yang dikumpulkan oleh Centers for Disease Control (CDC) tentang jumlah kemunculan kasus AIDS baru yang dilaporkan sejak tahun 1981 ketika AIDS pertama kali diidentifikasi. Data ini terdiri dari variabel jumlah kasus baru sebagai variabel dependen dan variabel tahun sebagai variabel independen.

Tabel 1. Data Jumlah Kemunculan Kasus Baru AIDS Tahun 1981 - 1992 Tahun

Jumlah Kasus Baru

1981

260

1982

992

1983

2717

1984

5341

1985

8224

1986

13195

1987

21355

1988

32196

1989

35230

1990

43352

1991

45524

1992

47572

Data terdeteksi mengikuti distribusi logistik dengan definisi fungsi sebagai berikut: {

}

Karena dalam mengaktualisasikan langkah-langkah pengujian melibatkan sejumlah data berskala besar dan proses analisis yang panjang, maka digunakan sistem pemrograman menggunakan sofware SPSS 17 untuk mengestimasi parameter dengan metode iterasi Levenberg Marquardt. Berikut ini merupakan hasil estimasi parameter dengan menggunakan iterasi Levenberg Marquardt. Nilai parameter awal yang diberikan adalah α = 50000, β = 100, dan γ = 1

Setelah dilakukan 6 kali iterasi, didapatkan model regresi yang dibentuk adalah sebagai berikut: {

}

Sedangkan tampilan kurva jumlah kemunculan kasus baru AIDS per tahun, terlihat pada gambar 1.

Gambar 1. Kurva Jumlah Kemunculan Kasus Baru AIDS

Berdasarkan nilai R square didapatkan nilai 0.997, berarti dapat dikatakan bahwa model yang didapatkan dengan menggunakan metode Levenberg-Marquardt layak digunakan.

IV. KESIMPULAN Hingga saat ini, analisis regresi non linier menjadi teknik statistika yang paling diandalkan dalam melakukan pengkajian dan analisis terhadap model persamaan non linier yang dianggap kurang realistis untuk diselesaikan dengan menggunakan persamaan linear. Mengingat pentingnya analisis regresi non linier dalam menyelesaikan masalah pada masalah di dunia nyata yang pada umumnya janrang yang bersifat linear, mana analisis regresi non linear menjadi sesuatu yang penting untuk dipelajari. Dalam makalah ini pembahasan mengenai regresi non linier terbatas pada estimasi parameter pada model regresi non linier yang tidak memiliki kendala. Studi kasus dilakukan pada data tentang jumlah kemunculan kasus baru mengenai AIDS berdasarkan data dari Centers for Disease Control (CDC) selama kurun tahun 1981 hingga 1992. Didapat bahwa data tersebut mengikuti model logistik dengan persamaan sebagai berikut

{

}

Dengan nilai R square yang cukup besar yaitu 0.997, maka demikian pendekatan analisis regresi non linear model logistik dapat diaplikasikan pada studi tentang kemunculan kasus baru AIDS.