Penerapan Integral Garis Pada Energi Potensial Listrik

KARYA ILMIAH PENERAPAN INTEGRAL GARIS PADA PADA ENERGI POTENSIAL LISTRIK  D I  S U S U N OLEH

:

ahmad dona doni pasaribU 5111!!"

 JURUSAN PEND. TEKNIK ELEKTRO ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2014

0

KATA PENGANTAR  Puji syukur kita panjatkan kehadirat ALLAH SWT karena dengan ridho-NYA  penyusun dapat enye!esaikan Karya "!iah ini dengan judu! #PENERAPAN "NTEGRAL GAR"S PA$A ENERG" P%TENS"AL&'Karya "!iah ini di(uat untuk e!engkapi tugas akhir ata ku!iah #)ATE)AT"KA ""&' Seoga karya i!iah ini dapat enunjang ni!ai penyusun enjadi (aik' Aaiin' Kepada tuhan saya ohon apun kepada pe(a*a saya ohon aa+ jika ada  pnyusunan yang tidak sesuai dan untuk kritik dan saran penyusun harapkan dari  pe(a*a'

)edan, . )ei /0.1 Penyusun,

AH)A$ $%NA $%N" PASAR"23

1

$A4TAR "S" 53$3L

HALA)AN

KATA PENGANTAR'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''i $A4TAR "S"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''ii

2A2 " PEN$AH3L3AN''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''. Latar 2e!akang''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''. 2atasan''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''. Tujuan'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''.

2A2 "" KA5"AN TE%R"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' / "ntegra! 2iasa $ari 6ektor''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''/ "ntegra! Garis''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''/

2A2 """ PE)2AHASAN''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''7 Potensia! Listrik''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''7 Energi Potensia! !istrik''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''8

2A2 "6 PEN3T3P''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''9 Kesipu!an'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''9

$A4TAR P3STAKA

2

BAB I PENDAHULUAN A' Latar (e!akang )engetahui (ah:a se(agai seorang ahasis:a harus andiri da!a sega!a sesuatu' 5adi untuk enunjukkan sikap ahasis:a yang andiri karya i!iah ini ada!ah (ukti' $engan e!andaskan kepada ateatika teknik  pe(ahasan ini engenai penerapan integra! garis pada energi potensia! !istrik' 2' 2atasan )enggunakan integra! garis da!a eentukan ruus pada energi  potensia! !istrik' ;' Tujuan 3ntuk ena(ah pengetahuan tentang integra! garis dan penerapannya  pada energi potensia! !istrik'

BAB II KAJIAN TEORI

1

INTEGRAL BIASA DARI VEKTOR 

)isa!kan  R ( u )= R1 ( u ) i + R2 ( u )  j + R3 ( u ) k   se(uah
∫

∫

∫

 R ( u ) du=¿ i  R 1 ( u ) du +  j  R2 ( u ) du + k   R3 ( u ) du

∫¿

$ise(ut integra! tak tentu dari R =u>' 2i!a terdapat se(uah sehingga  R ( u ) =

d ( S ( u ) ) ,  aka ? du

∫ R ( u ) du=∫ dud  ( S ( u ) ) du= S ( u ) + c $iana c ada!ah
 R ( u ) du=¿

∫ dud ( S ( u )) du = S ( u ) +c ∣ =S (b )− S ( a ) b a

a

b

∫¿ a

"ntegra! ini dapat juga dide+enisikan se(agai !iit dari ju!ah da!a *ara yang ana!og dengan yang pada ka!ku!us integra! e!eenter'

INTEGRAL GARIS

)isa!kan r(u) = x (u) i + y (u) j + z (u)k, diana r=u> ada!ah ende+enisikan se(uah kur ei!iki turunan yang kontinu' )isa!kan  A ( x , y , z )= A 1 i + A2  j + A3 k   se(uah +ungsi
2

 A . dr =¿

∫ A dx + A 1

2

dy + A 3 dz

C 

❑

 A . dr =¿

∫¿ C 

 P2

∫¿  P1

Ada!ah *ontoh dari integra! garis' 5ika A ada!ah gaya 4 pada se(uah partike! yang (ergerak sepanjang ;, aka integra! garis ini enyatakan usaha yang di!akukan o!eh gaya' 5ika ; ada!ah kur, aka integra! enge!i!ingi ; sering ditunjukkan o!eh

∮ A . dr =∮ A dx + A 1

2

dy + A 3 dz

$engan kata !ain jika ada garis !urus yang enghu(ungkan

( x , y , z )  ke 1

1

1

=, y, B> aka integra! yang enge!i!ingi ; dapat ditunjukkan o!eh?  x

 y

 z

∫

∫

∫

 x 1

 y 1

 z1

 A ∙ dr =  A1 ∙dx +  A2 ∙ dy +¿  A 3 ∙ dz ❑

∫¿ C 

$a!a aerodinaika dan ekanika +!uida, integra! ini dise(ut sirku!asi dari A enge!i!ingi ;, di ana A enyatakan ke*epatan dari +!uida' Pada uunya, setiap integra! yang dihitung sepanjang se(uah kur
Contoh 4:

3

3 x

∫ A . dr

2

(¿¿ 2 + 6 y ) i−14 yz j +20 xz k  , hitung!ah ¿

5ika A @

 dari =0, 0, 0>

C 

ke =., ., .> sepanjang !intasan-!intasan ; garis !urus yang enghu(ungkan =0, 0, 0> dan =., ., .>' ❑

 A . dr =¿

∫ [ ( 3 x + 6 y ) i −14 yz j +20 xz k ] . ( dx i +dy j + dz k  ) 2

2

C 

❑

∫¿ C 

❑

¿∫ ( 3 x + 6 y ) dx −14  yz dy + 20 xz dz 2

2

C 

Penye!esaian? Garis !urus yang enghu(ungkan =0, 0, 0> dan =., ., .> da!a (entuk paraetrik di(erikan o!eh @t, y@t, B@t' )aka, 3 t  2

(¿¿ 2 +6 t ) dt −14 ( t ) ( t ) dt + 20 ( t )( t ) dt  1

 A . dr =¿ ❑

∫¿

t = 0

∫¿ C 

3 t  1

(¿ ¿ 2 +6 t −14 t  + 20 t  ) dt = ∫ ( 6 t −11 t  + 20 t  ) dt = 2

2

3

3

t = 0

13 3

1

∫¿

t = 0

Contoh 5: 3 x

5ika A @

❑

2

(¿¿ 2 + 6 y ) i−14 yz j +20 xz k  , hitung!ah ¿

∫ A . dr

 dari =0, 0, 0>

C 

ke =., ., .> sepanjang !intasan-!intasan ; garis-garis !urus dari =., 0, 0>, keudian =., ., 0> dan keudian ke =., ., .> Penye!esaian?

4

❑

 A . dr =¿

∫ [ ( 3 x + 6 y ) i −14 yz j +20 xz k ] . ( dx i +dy j + dz k  ) 2

2

C 

❑

∫¿ C 

❑

¿∫ ( 3 x + 6 y ) dx −14  yz dy + 20 xz dz 2

2

C 

Sepanjang garis !urus dari =0, 0, 0> ke =., 0, 0> y @ 0, B @ 0, dy @ 0 sedangkan   (eru(ah dari 0 hingga ., aka integra! sepanjang (agian !intasan ini ada!ah 3 x

¿ ¿ ¿

1

∫¿

 x = 0

Sepanjang garis !urus dari =., 0, 0> ke =., ., 0>,  @ ., B @ 0, d @ 0, dB @ 0, sedangkan y (eru(ah dari 0 hingga .' )aka integra! sepanjang (agian !intasan ini ada!ah

( ) (¿¿ 2 +6  y ) 0 −14 y  ( 0 ) dy + 20 ( 1 ) ( 0 ) 0 =0 3 1

2

1

∫¿

 y = 0

Sepanjang garis !urus dari =., ., 0> ke =., ., .>  @ ., y @ ., d @ 0, dy @ 0 sedangkan B (eru(ah dari 0 hingga .' )aka integra! sepanjang (agian !intasan ini ada!ah

( ) 1 ¿ +¿ 0−14 ( 1) z ( 0 )+ 20 ( 1 ) z ¿ 3¿ ¿ 6 1

2

1

∫¿

 z = 0

❑

5u!ahkan,

∫ A ∙ dx =1+0 + 203 = 233 C 

TEOREMA

5ika A @

∇∅

 pada seua titik da!a suatu daerah R dari ruang, yang

dide+enisikan o!eh

5

a1 ≤ x ≤ a2 , b 1 ≤ y ≤ b2 , c 1 ≤ z≤ c 2 , diana

∅

( x , y , z )  (erharga tungga! dan

ei!iki turunan-turuna yang kontinu da!a R, aka  P2

.'

∫ A . dr

tidak (ergantung pada !intasan ; da!a R yang

 P1

❑

/'

∮ A . dr =0

enghu(ungkan P . dan P/ enge!i!ingi setiap kur
C 

$a!a ha! deikian A dise(ut edan
∅

 ada!ah potensia!

ska!arnya' Se(uah edan
∇ xA = 0 , atau

 juga eki
∅

, suatu di+erensia! eksak'

BAB III

6

PEMBAHASAN POTENSIAL LISTRIK 

2i!a se(uah partike! (eruatan (ergerak da!a se(uah edan !istrik, aka edan itu akan engerahkan se(uah gaya yang dapat e!akukan kerja pada partike! terse(ut' Kerja terse(ut se!a!u dapat dinyatakan da!a energi potensia! !istrik yang  (esarnya (ergantung pada kedudukan partike! (eruatan itu da!a edan !istrik' $a!a rangkaian, se!isih potensia! dari satu titik ke titik !ain dinaakan tegangan ='

3saha untuk eindahkan suatu uatan titik  $i(erikan satu uatan D0 da!a edan E ?

Se(uah partike! (eruatan positi+ digerakan o!eh se(uah gaya !uar dari A ke 2 da!a se(uah edan !istrik' $a!a perja!anannya partike! terse(ut akan dipengaruhi o!eh gaya !istrik se(esar q0E. Gaya ini (ersi+at konser

7

3ntuk epertahankan partike! terse(ut agar tidak diper*epat o!eh gaya D0E, aka se(uah pengaruh !uar harus eakai gaya 4a yang dipi!ih tepat saa dengan   D0E yang akan enye(a(kan partike! (ergeser seja uh d! sepanjang ja!an A ke 2' Sehingga e!een kerja yang di!akukan o!eh  pengaruh gaya !uar terse(ut ada!ah 4a'd!

ENERGI POTENSIAL LISTRIK 

Energi potensia! !istrik tidak !ain ada!ah usaha yang di!akukan o!eh suatu gaya !uar untuk eindahkan partike! (eruatan yang (erada di sekitar edan !istrik' 5adi ?

Energi potensia! !istrik pada uatan D0 yang (ergerak di suatu edan !istrik yang dihasi!kan o!eh D'

Se!isih potensia! !istrik diantara dua titik A dan 2 terse(ut dide+inisikan se(agai ? Potensia! =6> ada!ah ? Energi potensial tiap satuan muatan

8

5adi ?

$engan ei!ih kedudukan A pada posisi tak hingga, aka per(edaan potensia! !istrik dapat dinyatakan ?

Potensia! aki(at sekupu!an uatan titik diruuskan ?

5adi hu(ungan Energi potensia! dan potensia! !istrik ada!ah ?

BAB IV PENUTUP 

Kesipu!an -

Kur ei!iki turunan yang kontinu'

-

"ntegrasi di!akukan sepanjang !intasan yang di!a!ui o!eh uatan Do se!aa  (ergerak dari A ke 2' O!h "#$!n# % oE "on&!$'#t()* (nt!g$# g#$(& (n( t(+#" ,!$g#nt-ng .#+# ,!nt-" (nt#&#n /#ng +(g-n#"#n +#$( A "! B0

DA1TAR PUSTAKA

Pur*e!, Ed:in 5' /00. Kalkulus Jilid 2' 5akarta ? Er!angga

10

Spiege!, )urray R' .9FF' Analisis Vektor ' 5akarta ? Er!angga Ste:art, 5aes' .99F' Kalkulus Jilid 2' 5akarta ? Er!angga http?:::'do*sto*'*odo*s770/89Fana!isI
11