7.
DINAMIKA VISKOZNOG FLUIDA
7.1.
FIZIČKA RAZMATRANJA
Može se zamisliti slika o razvoju strujanja iznad neograničene idealno ravne i glatke čvrste konture i to od stanja mirovanja pa do neke ustaljene brzine, koja bi u cijelom toku imala istu vrijednost, kao kada bi fluid bio neviskozan.
Međutim, kada se fluid počne kretati kret ati može se očekivati da će u kretanju biti ometani samo oni elementi fluida koji su u kontaktu sa pločom, uslijed adhezije. Iz kinetičke teorije gasova je poznato, da se molekule kreću haotično, u granicama svoje slobodne slobodne molekularne putanje, pa tako ulaze i u slojeve fluida koji se kreće. Ovaj ih povlači, što fizički znači da ih ubrzava, a posljedica toga se ispoljava kao sila u dodirnoj površini slojeva. slojeva. Ova sila usporava kretanje fluida i predstavlja otpor . Uobičajeno je da se taj otpor pripisuje djelovanju unutarnjeg fluidnog trenja. trenja. Istog trenutka kada se uspore u spore elementi fluida uz ploču, nastaje razlika brzina između njih i elemenata fluida u susjednim slojevima, tako da se oni bliže ploči, kao sporiji, nalaze u relativnom mirovanju prema bržim elementima fluida. Zato među njima nasta je „trenje“ uz posljedicu koja je opisana. Ova pojava se nastavlja sve dok se strujanje ne ustali. ustali. Naravno, ovi zaključci važe samo za slojevito-laminarno strujanje strujanje fluida. fluida.
Teoretski, brzine obližnjih fluidnih slojeva bi se izjednačile tek na beskonačnom besko načnom r astojanju astojanju od ploče, ali je za praktičnu primjenu, izjednačenje nastupilo nastupilo već na mjestu gdje je brzina manja za 1% od brzine u neporemećenom toku. Ovaj prostor, od ploče do mjesta izjednačenja brzina, naziva se granični se granični sloj (prema sloj (prema Prandtlu), a rastojanje o d ploče do mjesta izjednačenja brzina predstavlja debljinu graničnog sloja. sloja.
Granični sloj bi težio veoma maloj debljini jedino kada bi se fluid kretao veoma brzo, tada t ada bi se u dodiru sa „zalijepljenim“ slojem stvorila neizmjerno jaka sila koja bi mogla da se suprotstavi silama adhezije. Iz ovoga slijedi da nema smisla zanemarivati granični sloj sloj pri malim brzinama kretanja fluida, dok je opravdano i korisno da se tako postupi kada su brzine velike. Tada bi se
moglo smatrati da granični sloj pripada konturi tijela, t ijela, upravo kao da je uz nju „očvrsnuo“. Time bi se dobio formalan prelaz od realnog fluida prema idealnom idealnom - neviskoznom, potencijalnom, fluidu.
Promjena brzine u graničnom sloju, u funkciji udaljenosti od ploče, svjedoči o tome da je u tom to m dijelu struje:
(7.1.)
Dakle, fluidni elementi rotiraju, iako se to prostim okom ne primj pr imjećuje. ećuje. Uobičajeno Uo bičajeno je da se vidljivo rotiranje fluidne mase označava kao vrtlog, pa bi se ovi nevidljivi vrtlozi mogli nazvati „elementarnim vrtlozima“. Svaki vrtlog, elementarni ili konačni, sadrži kinetičku energiju koja se
tokom vremena transformiše u toplotnu energiju. Pri ovom se povećava unutarnja u nutarnja energija fluida, a ne pritisak i brzina. Nastanak elementarnih vrtloga je usko vezan za unutarnje trenje fluida, tj. za otpor koji struja fluida mora savladati savladat i prilikom prelaska prelaska preko čvrste konture. Zato se mora
pretpostaviti da će zbog otpora, u opštem slučaju, opadati pritisak pritisak i brzina u struji fluida. Jasno je i to, da će se otpor povećavati ukoliko se više vrtloga formira u jedinici vremena. Sa jedne strane, to zavisi od intenziteta rotora vektora brzine, tj. t j. od promjene brzine po jedinici okomito na čvrstu konturu, a sa druge strane, od gustine fluida i od dubine do koje ko je prodiru molekuli usporenih elemenata fluida. Njutn je postavio slijedeći izraz za napon smicanja s micanja u laminarnoj struji:
gdje su:
(7.2.)
koeficijent dinamičkog viskoziteta, komponenta brzine u pravcu
ose.
Kako trenje izaziva promjenu toplotnog stanja fluida, to bi vodilo uspostavljanju veze između mehaničkih i termodinamičkih pojava. Uslijed velikih teškoća koje oko ovoga nastaju, pretpostavlja se da je uticaj toplote beznačajan pa se neće uzimati u obzir. Posljedica toga će biti da viskozitet ostaje konstantan iako se on mijenja sa temperaturom. Iz ovih razloga,
karakteristična jednačina će zadržat svoj raniji oblik. Posmatraće se, uglavnom, nestišljiv fluid i adijabatska promjena stanja stišljivog fluida. Uslov neprekidnosti, kontinuiteta, važi i za viskozni fluid, pa će jednačina kontinuiteta imati oblik:
odnosno, ako je fluid nestišljiv:
(7.3.)
(7.4.)
Prirodno je da na snazi ostaju o staju Njutnovi principi koji određuju sile kao proizvod mase i ubrzanja. Ojlerove jednačine su izvedene, takođe, na istom principu. Zato i one vrijede, ali pod uslovom da se dopune novim članovima koji ko ji zavise od trenja, izvora još jedne sile koja veoma veo ma jako utiče na kretanje fluidne mase.
7.2.
DEJSTVO SILA VISKOZITETA
Da bi se u diferencij d iferencijal alne jednačine za kretanje fluida uvele sile koje zavise od viskoziteta treba,
najprije, utvrditi stanje napona. Neka je tačka , proizvoljna tačka u fluidu, fluidu, tjeme diferencijalno malog pravouglog paralelopipeda sa dužinama stranica i i , slika 7.1.
Uslijed viskoziteta, bočne stranice paralelopipeda trpe normalne i tangencijalne sile, pri čemu normalne sile više nisu nezavisne od pravca, kao u idealnom fluidu. Poznato je, iz nauke o otpornosti materijala, da stanje napona u tački određuje 9 veličina: tri normalne komponente i šest tangencijalnih i .
Indeksi uz normalne napone pokazuju stranicu paralelopipeda na koju naponi d jeluju, i označavaju pravac normale na toj stranici. U isto vrijeme, indeks pokazuje i pravac u kojem
djeluje odgovarajući normalni napon. U tangencijalnih napona, prvo slovo u indeksu pokazuje pravac normale i time određuje stranicu paralelopipeda na koju se odnosi. Drugo slovo određuje pravac djelovanja napona. Kao što je poznato, zbog veza:
broj komponenata tangencijalnih napona se redukuje na tri.
(7.5.)
Slika 7.1.: Dejstvo sila viskoziteta
Da bi se dobila sila koja djeluje na stranicu paralelopipeda treba svaki napon pomnožiti sa površinom odgovarajuće stranice. Rezultujuće sile u pravcu i ose se dobivaju sabiranjem svih sila u odgovarajućem pravcu, vodeći računa o smjeru. Za pravac ose imamo:
odnosno, poslije sređivanja:
Analogno se može uraditi i za pravce Odavde slijedi da projekcije sile, računate po jedinici zapremine, imaju vrijednosti: i
ose:
(7.6.a) (7.6.b) (7.6.c)
Dakle, umjesto normalnog pritiska jednakog u svim pravcima, kao što je u idealnom fluidu, javljaju se normalni pritisci i tangencijalne sile.
7.3.
PRETPOSTAVKE O NAPONIMA
Ako se posmatraju samo naponi prouzrokovani visko zitetom, koji zavise od pravca, treba od normalnih napona jednostavno oduzeti pritisak koji je jednak u svim pravcima, a javlja se i u idealnom fluidu. Dakle, normalni naponi koji zavise od viskoziteta su:
Tangencijalni naponi su posljedica viskoziteta fluida i ne mogu se pojaviti u idealnom fluidu.
Što se tiče veličine normalnih i tangencijalnih napona treba uvesti neke pretpostavke. One trebaju biti jednostavne i prirodne, kako bi se dobili rezultati koji će se slagati sa eksperimentima. Prirodno je da se naponi povežu sa brzinama deformacije fluidnih elemenata jer su ove brzine posljedica napona. Pretpostavka je, da se komponente napona mogu izraziti kao linearne funkcije
odgovarajućih brzina deformacije, što odgovara Njutnovom zakonu. Uobičajeno je da se koeficijent proporcionalnosti uzima jednak
i da je konstantan. Polovina vrijednosti
koeficijenta proporcionalnosti je jednaka koeficijentu dinamičkog viskoziteta.
. Prema učinjenoj
Dužine stranica paralelopipeda se mijenjaju proporcionalno sa su posljedica djelovanja normalnih napona
. Ove promjene
i
pretpostavci, i principu simetrije, odgovarale bi slijedeće veze između napona i brzina deformacije:
(7.7.)
(7.8.)
gdje je nepoznati koeficijent proporcionalnosti.
Na sličan način, pretpostavka o tangencijalnim naponima dovodi do izraza:
Kao što se vidi, normalni naponi nazivom fluidni pritisak
i
zavise od pravca. U mehanici viskoznog fluida, pod
u nekoj tački, podrazumijeva se srednja vrijednost pritisaka
, koji djeluju u pravcima koordinatnih osa, tj.:
Obično se pretpostavlja da
ne zavisi od pravca, dakle, da je jednak pritisku u izrazima izvedenim za strujanje neviskoznog fluida.
,
i
(7.9.)
koji se javlja
Sabiranjem jednačina (7.7.) se dobiva:
Obzirom da je:
na osnovu izraza 7.10. i 7.11., dobivamo:
ili
(7.10.)
(7.11.)
(7.12.)
(7.13.)
(7.14.)
Sada izrazi za normalne napone glase:
7.4.
NAVIER-STOKSOVE JEDNAČINE
Uvrštavanjem izraza 7.8. i 7.14. u izraze 7.6. dobivaju se projekcije unutarnjih sila, na koordinatnim osama, izražene projekcijama brzine. Za projekciju u pravcu ose imamo:
ili
gdje je Laplasov operator:
(7.15.)
Analogno se može izvesti i za projekcije u pravcima i
ose:
(7.15.)
U opštem slučaju, izraz za rezultujuću unutarnju silu po jedinici zapremine, u vektorskom obliku, glasi:
Odnosno, poslije uvrštavanja komponenti, izraz 7.15., i sređivanja:
(7.16.)
(7.17.)
U poglavlju 4.4. je izvedena Ojlerova diferencijalna jednačina u vektorskom obliku za kretanje idealnog fluida, izraz 4.11.:
U Ojlerovoj jednačini, unutarnjim silama po jedinici zapremine odgovara č lan viskozne fluide ovaj član treba zamijeniti izrazom 7.17. za :
–
Dakle, od uticaja viskoziteta fluida postoje, u jednačini kretanja 7.18., članovi:
. Za
(7.18.)
(7.19.)
Vidi se, ako se ovi članovi, izraz 7.19., dodaju Ojlerovoj jednačini 4.11., i čitav izraz podjeli sa , dobiva se jednačina za kretanje viskoznog fluida u obliku:
gdje su:
zapreminska sila po jedinici mase fluida,
kinematski viskozitet.
(7.20.)
1 2 Dobiveni izraz 7.20. predstavlja Navier - Stoksovu jednačinu kretanja viskoznog fluida u vektorskom obliku .
Kada je fluid nestišljiv, jednačina 7.4., uprosti, i postaje:
dopušta da se Navier Stoksova jednačina 7.20. -
Stoksove jednačine, u prezentiranom obliku, poznate još iz devetnaestog stoljeća, nemaju opšte rješenje. Zbog prisustva konvektivnih članova tipa jednačine su parcijalne i nelinearne, a zbog članova ovo rješavanje veoma teško. Danas ne (7.21.)
ili u skalarnom obliku:
(7.22.)
Iako su Navier-
drugog su reda, pa je njih postoji niti jedno rješenje Navier -Stoksovih jednačina koje bi istovremeno sadržavalo, neke ili
sve, konvektivne ili viskozne članove, a koje vjerno predstavljaju slučaj strujanja u nekim graničnim uslovima. Vektorska jednačina 7.20., odnosno 7.21., zajedno sa jednačinom kontinuiteta i karakterističnom jednačinom, predstavlja sistem diferencijalnih jednačina koje služe za određivanje i
i koje uz pomoć početnih i graničnih uslova potpuno definišu kreta
nje viskoznog
fluida.
Zbog pogodnosti rada u cilindričnom koordinatnom sistemu, navedene su Navier -Stoksove jednačine u ovom sistemu :
1 2
Claude-Louis Navier George Gabriel Stokes
(7.23.)
7.5.
NEKA EGZAKTNA RJE ŠENJA NAVIER-STOKSOVIH JEDNAČINA
Navier-Stoksove jednačine se primjenjuju u širokoj kategoriji kretanja viskoznog fluida.
Najjednostavniji oblik kretanja viskoznog fluida je laminarno. Kod ovakvog kretanja se može zamisliti da se fluid kreće u slojevima, uz kontinualnu promjenu brzine toka. Laminarno kretanje se pojavljuje kod nekih jednostavnih graničnih uslova. Pokazat ćemo neka egzaktna rješenja Navier -Stoksovih jednačina za laminarno kretanje sa jednostavnim graničnim uslovima. Ovdje se pod egzaktnim rješenjem Navier -Stoksovih jednačina podrazumijeva analitičko rješenje pojednostavljenih jednačina, kada takve jednačine vjerno prikazuju kretanje. Pojednostavljenje Navier-Stoksovih jednačina se postiže izostavljanjem pojedinih članova iz jednačina, kada ti članovi zbog prirode kretanja ne postoje. Analitičko rješenje Navier -Stoksovih jednačina se najlakše nalazi kada se one mogu pojednostavniti, odnosno svesti samo na linearne članove. 7.5.1.
USTALJENO KRETANJE IZMEĐU PARALELNIH PLOČA, NESTIŠLJIVOG FLUIDA KONSTANTNOG VISKOZITETA
Za ustaljeno kretanje između paralelnih ploča postoji egzaktno rješenje Navier -Stoksovih jednačina. Pretpostavlja se da su ploče beskonačne površine i da se nalaze na konstantnom rastojanju. Ploče mogu mirovati ili se kretati konstantnom brzinom. Koordinat ni sistem je postavljen tako da je horizontalnu ravan, a
osa usmjerena u pravcu kretanja fluida, osa je normalna na osa je normalna na ravan, slika 7.2.
Slika 7.2.: Ustaljeno kretanje fluida izme đ u paralelnih plo č a
Za opis kretanja fluida između paralelnih ploča prirodno je izabrati Navier -Stoksove jednačine, izraz 7.22., u Dekartovom koordinatnom sistemu:
Obzirom da je fluid nestišljiv, jednačina kontinuiteta se može napisati kao: Uslov stacionarnosti, ustaljenosti, kretanja ukazuje da su svi članovi: Uvrštavanjem ovih uslova u jednačinu kontinuiteta Diferenciranjem ove jednačine dobiva se: može se napisati Ako je
osa orjentisana u pravcu kretanja fluida, tada je:
dobiva se:
Obzirom da je
.
Neka od zapreminskih sila djeluje samo sila gravitacije, tada je:
Uvrštavajući ovo u jednačine kretanja dobiva se:
Ako se umjesto pritiska i zapreminske sile uvede generalisani pritisak :
Iz posljednje dvije jednačine se vidi da koji obuhvata djelovanje pritisnih i vanjskih sila, do biva se:
nije funkcija i , respektivno, odnosno:
Kako je funkcija samo od varijable, a komponenta brzine funkcija samo varijable, oznaka
za parcijalno diferenciranje u prvoj jednačini se mogu zamijeniti izrazima za totalno diferenciranje:
Kako je lijeva strana jednačine funkcija samo od Integracijom ovih jednačina dobiva se: se određuju iz graničnih uslova. odnosno:
, a desna funkcija od , jednačinu je moguće
zadovoljiti samo ako je:
ili
i
Konstante
i
Nadalje će biti analizirano kretanje fluida za dva tipa graničnih uslova.
(7.24.)
(7.25.)
7.5.1.1.
KUETOVO KRETANJE
Kod Kuetovog3 kretanja donja ploča se nalazi u stanju mirovanja, a druga, gornja, se kreće konstantom brzinom
, slika 7.3.
Ovakav opis uslova kretanja fluida nameće slijedeće granične uslove za brzinu:
Granični uslovi za pritisak su:
Slika 7.3.: Kuetovo kretanje
Uvrštavanjem graničnih uslova za brzinu u jednačinu 7.25., dobiva se:
a odavde se određuju konstante:
(7.26.) (7.27.)
Zamjenom konstanti, izrazi 7.26. i 7.27., u jednačinu 7.25., dobiva se:
ili
označeno:
gdje je sa
3
Maurice Marie Alfred Couette
(7.28.)
Korištenjem graničnih uslova za pritisak, iz jednačine 7.24. se dobiva: Odavde se određuju konstante: Zamjenom konstanti, izrazi 7.30. i 7.31., u jednačinu 7.24., dobiva se: Uvrštavanjem konstante , raspored brzina između ploča je prikazan na slici 7.4.
(7.29.)
(7.30.) (7.31.)
(7.32.)
, izraz 7.31., u izraz 7.29., za dobiva se:
(7.33.)
Za razne vrijednosti parametra
Slika 7.4.: Raspored brzina izme đ u ploč a za razne vrijednosti parametra S
odgovara linearni raspored brzina. Ta vrijednost je moguća samo ako je , odgovara smanjenje pritiska u pravcu kretanja ploče i povećanje brzine u odnosu na linearni raspored. , su posljedica porasta pritiska u pravcu kretanja ploče . Ovakav gradijent pritiska uzrokuje silu koja se suprotstavlja dejstvu pokretne ploče. Vrijednosti
, tj. ako ne postoji gradijent pritiska u pravcu kretanja
Pozitivnim vrijednostima parametra,
Negativne vrijednosti parametra,
.
Kada vrijednosti opadne ispod vrijednosti
, počinje
povratno strujanje. Tada, na dijelu
visine rastojanja između ploča, neposredno iznad nepokretne ploče, fluid struji u smjeru koji je suprotan smjeru kretanja gornje ploče. 7.5.1.1.
PUAZEJEVO KRETANJE 4
Kod Puazejevog kretanja obadvije ploče su nepokretne i kretanje fluida je posljedica dejstva razlike pritisaka, skica 7.5.
Granični uslovi za brzinu su:
Granični uslovi za pritisak su:
Slika 7.5.: Puazejevo kretanje
Uvrštavajući granične uslove za brzinu u izraz 7.25. koji je identičan sa izrazom 7.34.:
dobiva se:
(7.34.)
(7.35.) (7.36.)
U prvom slučaju oduzimajući, a u drugom sabirajući jednačine 7.35. i 7.36., dobivamo vrijednosti za konstante:
4
Jean Louise Marie Poiseuille
(7.37.)
(7.38.)
Zamjenom konstanti, izrazi 7.37. i 7.38., u izraz 7.34. za raspored brzine, dobiva se: (7.39.)
Korištenjem graničnih uslova za pritisak, iz jednačine 7.24. se mogu odrediti vrijednosti za konstante:
Konačno se može dobiti Uvrštavajući vrijednost konstante Raspored brzine je paraboličan, slike 7.5. i 7.6., sa maksimalnom brzinom na osi
(7.30.) (7.31.)
izraz za raspored pritiska:
(7.32.)
i vidi se da je raspored pritiska u presjeku hidrostatski.
, izraz 7.31., u izraz za raspored brzine 7.39., dobiva se: (7.33.)
: (7.34.)
Slika 7.6.: Raspored brzina
Prema definiciji srednje brzine, slijedi:
odnosno,
Iz izraza 7.36. za vrijednost srednje brzine, se može napisati:
(7.35.)
(7.36.)
ili izraženo preko jediničnog protoka č č
(7.37.)
(dimenzija normalno na ravan crteža je jedinična):
gdje je
(7.38.)
jedini ni protok.
Dobivena razlika pritisaka, izraz 7.38., je potrebna da bi se kroz jediničnu povr šinu poprečnog presjeka mogao transportovati jedini ni protok fluida na udaljenost .
Iz istog izraza se da primijetiti da je pad pritiska linearna funkcija protoka. Eksperimenti su pokazali, da navedeni izrazi vrijede za male brzine strujanja, odnosno za strujanja sa Rejnoldsovim brojem:
7.5.1.1.
HAGEN-PUAZEJEVO KRETANJE
Ustaljeno kretanje nestišljivog fluida konstantne viskoznosti kroz cijev, okruglog poprečnog 5 presjeka, beskonačne dužine je poznato kao Hagen - Puazejevo kretanje. Oblik cijevi nameće izbor cilindričnog koordinatnog sistema. Navier-Stoksove jednačine u cilindričnom koordinatnom sistemu, prema izrazu 7.23., glase:
č
a jedna ina kontinuiteta, prema izrazu 3.51.:
5
Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen
Ovaj sistem od četiri parcijalne diferencijalne jednačine predstavlja zatvoreni sistem dovoljan da se odrede četiri varijable: i . Fluid se kreće u polju gravitacije i na njega d jeluje sila gravitacije.
Naprijed urađene analize Kuetovog i Puazejevog kretanja su pokazale da sila gravitacije uzroku je hidrostatički raspored pritisaka u posmatranom presjeku. Imajući u vidu tu činjenicu, iz NavierStoksovih jednačina se mogu izostaviti članovi: i . Nadalje, uproštenja datog sistema jednačina se mogu postići uvođenjem uslova stacionarnosti,
osi, bez vrtložnog kretanja fluida, može se pisati: č
Za kretanje paralelno
Uvr štavanjem uslova 7.39. u jedna inu kontinuiteta 3.51. se dobiva:
(7.39.)
i poslije diferenciranja,
Iz prethodnog izraza slijedi:
Konačno, izostavljanjem komponenti zapreminskih sila i uvođenjem navedenih uslova, dobiva se:
č
(7.40.)
Iz prve i druge jedna ine 7.40. se vidi da je pr itisak funkcija samo od varijable , tj.:
Kako je komponenta brzine
funkcija samo varijable , treća jednačina 7.40. se može napisati:
Jednačina 7.41. je zadovoljena, samo ako je :
(7.41.)
(7.42.)
(7.43.)
Jednačine 7.42. su linearne diferencijalne jednačine. Integracijom prve jednačine 7.42. se dobiva:
Druga jednačina 7.42. se svodi na linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda, smjenom
:
i ona ima, tzv., Ojlerov multiplikator ili integrirajući faktor:
š odnosno, poslije vraćanja uvedene smjene: Op ti integral dobivamo po formuli:
Konstante integracije se određuju iz graničnih uslova, vidi sliku 7.7.
Slika 7.7.: Hagen-Puazejevo kretanje
Granični uslovi za pritisak su:
š ć č č Sada možemo napisati izraz za raspored pritisaka u cijevi: Granični uslovi za brzinu su: č č
Uvr tavaju i grani ne uslove u jedna inu 7.43. dobivamo vrijednosti za konstante:
Drugi grani ni uslov je posljedica simetrije oko
(7.44.) (7.45.)
(7.46.)
ose.
Na osnovu ovih grani nih uslova se dobivaju vrijednosti konstanti:
(7.47.) (7.48.)
Uvr štavajući vrijednosti konstanti 7.47. i 7.48. u izraz za brzinu, imamo:
(7.49.)
Ako se u izraz 7.49. uvrsti i vrijednost konstante , iz izraza 7.44., dobiva se izraz za raspored brzine u cijevi:
(7.50.)
Iz izraza 7.50. se može vidjeti da je raspored brzina paraboličan, sa maksimalnom brzinom u osi cijevi, za
:
(7.51.)
Korištenjem definicije srednje brzine u presjeku, dobiva se:
Iz izraza 7.52., za srednju brzinu, se može dobiti izraz za pad pritiska u dionici cijevnog voda dužine č ili izraženo preko protoka,
(7.52.)
i radijusa
, odnosno, pre nika
:
(7.53.)
:
(7.54.)
Pad pritiska je proporcionalan protoku . 6
Dobivena relacija je analogna Omovom zakonu u elektrotehnici, gdje je pad napona proporcionalan jačini struje. U skladu sa izrazima za pad pritiska pri turbulentnom strujanju, uobičajeno je da se jednačina 7.54. za pad pritiska, piše u obliku:
(7.55.)
(7.56.)
Izjednačavajući izraze 7.53. i 7.55. dobiva se:
ili
Eksperimenti su potvrdili korektnost izraza za raspored brzine i pritiska za vrijednosti (laminarno kretanje). Kretanje fluida pri je nestabilno i pri najmanjem poremećaju prelazi u turbulentno kretanje.
6
Georg Simon Om
Pored korektnosti dobivenih izraza, sa aspekta režima kretanja, važan praktični značaj ima i konačna dužina cijevi. Uslijed ubrzanog kretanja fluida i oblikovanog ulaza u cijev, raspored brzina na ulazu u cijev, , je približno konstantna , slika 7.8.
Slika7.8.: Raspored brzine pri ulasku u cijev
Pod dejstvom međumolekularnih sila, brzina fluida na zidu cijevi je , što se prenosi mehanizmom viskoznih sila u vidu usporavanja fluidnih slojeva u neposrednoj blizini zida. To uzrokuje formiranje graničnog sloja čija debljina raste niz struju. Da bi se zadovoljila jednačina kontinuiteta i da bi kroz presjek prolazio isti protok kao kroz presjek , fluid se u blizini ose mora ubrzati. Raspored brzine fluida u blizini ulaza je konstantan, uniforman. Niz struju fluida debljina graničnog sloja raste uz povećanje brzine u osi cijevi. Na udaljenosti granični sloj se širi do ose cijevi i dalje je promjena brzine zanemarljiva. Dužina se naziva razvojnom d užinom.
Rješenja izvedena za Hagen-Puazejevo kretanje ne mogu biti primijenjena unutar razvojne dužine. 7
Langar je izveo približnu formulu za razvojnu dužinu:
razvojna dužina iznosi
Na primjer, za vrijedi za dio cijevi gdje je
7
Henry L. Langhaar
.
(7.57.)
. Dakle, Hagen-Puazejevo rješenje
7.6.
URAĐENI PRIMJERI
7.6.1.
PRIMJER: LAMINARNO STRUJANJE
š
Dvije paralelne ploče se nalaze na međusobnom rastojanju od tečnošću čiji je dinamički koeficijent viskoziteta Kolika je sila potrebna za povlačenje ploče debljine sredini između ploča?
. Ovaj prostor je ispunjen .
, povr ine
, postavljene u
Zazori između ploče koja se kreće i one koja miruje su isti. Brzina povlačenja ploče je
.
RJE Š ENJE
Smičući napon, prema Njutnovom zakonu unutarnjeg trenja, je:
č đ č č ć č č
gdje su:
tangencijalni napon i
dinami ki koeficijent viskoziteta.
Zazor izme u plo a je:
Smi u i napon je:
Sila za povla enje plo e je:
7.6.2.
PRIMJER: LAMINARNO STRUJANJE - VISKOZIMETAR
Cilindri, šematski prikazani na slici 7.9., imaju prečnike i visinu . Koliki je koeficijent dinamičkog viskoziteta tečnosti koja se nalazi u zazoru između ovih cilindara ako je pri rotaciji vanjskog cilindra od izmjerena torzija žice unutarnjeg cilindra, koja odgovara veličini momentne sile od 1.75 Nm?
Slika 7.9.: Laminarno strujanje - viskozimetar
Š ENJE RJE Smičući napon je:
a sila je:
Ova sila proizvodi moment:
Koeficijent dinamičkog viskoziteta je:
7.6.3.
PRIMJER: PUAZEJEVO STRUJANJE
Veze na čeličnom rezervoaru za ulje napravljene su tako da se čelične ploče preklapaju na mjestima veza po . Uslijed pritiska na dno, koje se nalazi ispod nivoa ulja do šlo je do popuštanja veze u rezervoaru, tako da se sada tu nalazi zazor veličine .
Koliki je gubitak ulja iz rezervoara po jedinici dužine veze uslijed nastajanja ovog zazora i procjeđivanja ulja kroz njega? Pretpostaviti koeficijent viskoziteta ulja i njegovu specifičnu težinu:
Š ENJE RJE Strujanje je Puazejevo:
đ č , može se napisati đ
gdje su:
srednja brzina i
Kako je
gdje je
ukupno rastojanje izme u plo a. za bilo koja dva presjeka:
rastojanje izme u ulaznog i izlaznog presjeka
.
Ovaj izraz nam pokazuje količinu izgubljene energije pritiska za savladavanje unutarnjeg trenja uslijed dejstva sila viskoziteta.
Gubitak ulja je:
7.6.4.
PRIMJER: KUETOVO STRUJANJE
Ulje protiće kroz prstenasti zazor širine dužine i prečnika
klipa je konstantan i iznosi
.
između stjenki cilindričnog omotača i klipa
. Klip se kreće brzinom
. Pritisak ispred
. Koeficijent dinamičkog viskoziteta ulja je
Slika 7.10.: Kuetovo strujanje
a) Skicirati raspored brzine po širini zazora u jednom meridijanskom presjeku kao na slici 7.10. i odrediti položaj i veličinu maksimalne brzine u datom presjeku. Naći mjesto gdje je brzina jednaka nuli. b) Odrediti protok ulja kroz zazor. c) Naći silu trenja koja djeluje na klip kao i snagu potrebnu za savladavanje ove sile. d) Skicirati raspored tangencijalnih napona po širini zazora u spomenutom presjeku i odrediti veličinu tangencijalnog napona na zidu cilindra. RJE Š ENJE
Obzirom da je Kuetovim.
, odnosno , to se dato strujanje može smatrati
a) Za Kuetovo strujanje:
gdje je S parametar koji predstavlja bezdimenzionalni gradijent pritiska:
Analizirajmo sliku 7.11.
Slika 7.11.: Raspored brzine u funkciji parametra S
Za , tj. pri smanjenju pritiska u pravcu strujanja, brzina je pozitivna po cijeloj širini toka i njen raspored je paraboličan. Za , tj. za slučaj prostog Kuetovog strujanja, brzina je isto tako po zitivna po cijeloj svojoj širini, ali je njen raspored linearan. Za brzina na izvjesnoj širini toka može postati negativna, tj. može doći do tečenja unazad u blizini ploče koja je u stanju mirovanja. Prema slici 7.11. koja predstavlja bezdimenzionalni raspored brzina, to će se desiti kada je .
Maksimalna brzina se dobije iz uslova:
Kada je
tada je
:
Brzina je jednaka nuli kada je:
Pored ove vrijednosti, brzina je jednaka nuli i na zidu cilindra:
Slika 7.12.: Dijagram rasporeda brzine
b) Elementarni protok je:
a protok:
c) Sila trenja koja djeluje na klip:
Snaga za pokretanje klipa je:
d)
Slika 7.13.: Raspored tangencijalnog napona
