14. STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE 14.1. Uvod Statički neodređena konstrukcija – konstrukcija kod koje nije moguće odrediti
unutrašnje sile iz uvjeta ravnoteže jer je broj mogućih jednadžbi manji od broja nepoznatih veličina potrebnih za izračun unutarnjih sila. s = 3⋅ n − 2 ⋅ z − L ,
s < 0 - statički neodređena konstrukcija s = 0 - statički određena konstrukcija
S=3x1-2x0-4=-1
S=3x1-2x0-5=-2
S=3x1-2x0-6=-3
S=3x2-2x1-5=-1
14.2. Metoda sila Metoda sila je metoda rješavanja statički neodređenih konstrukcija oslobađanjem sila u prekobrojnim vezama. Postupak
P
(jedanput
statički
neodređena
konstrukcija):
B
A
proračuna
1. Uklanjanjem suvišne veze stati čki neodre đen sustav se pretvara u stati čki odre đen sustav. Zbog uklanjanja veze nastaje pomak δ10 koji na stvarnoj konstrukciji ne postoji.
Osnovni sustav
P
2. Na osnovnom sustavu na mjestu uklonjene veze dodaje se
B
δ1
A
0
sila koja mora prouzro čiti pomak po iznosu jednak δ10, a suprotnog smjera. 3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izra čunava se tražena sila.
P A
δ 11 ⋅ X 1 + δ 1 0 = 0
B
č
X1
4. Kona no stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se superpozicijom stanja nastalog od vanjskog optere ćenja i izra čunate sile na mjestu uklonjene veze. Mx
= M x 0 + m1x ⋅ X1 ,
Nx
= N x 0 + n 1 x ⋅ X 1 , δ x = δ x 0 + δ1 x ⋅ X 1
Tx
= Tx 0 + t 1 x ⋅ X 1 ,
ostupak proračuna (višestruko statički neodređene konstrukcije): 1. Uklanjanjem suvišnih veza statički neodređen sustav se pretvara u statički određen 0
0
0
sustav (tzv. osnovni sustav). Zbog uklanjanja veza nastaju pomaci δ1 , δ2 ,..., δn koji na stvarnoj konstrukciji ne postoje. 2. Na osnovnom sustavu na mjestu svake uklonjene veze dodaje se sila. Dodane sile 0
0
0
moraju prouzročiti pomake po iznosima jednake δ1 , δ2 ,..., δn , a suprotnog smjera. 3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izračunavaju se tražene sile.
δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X 2 + ... + δ10 = 0 δ 21 ⋅ X1 + δ 22 ⋅ X 2 + ... + δ 2 0 = 0 M
δ n1 ⋅ X1 + δ n 2 ⋅ X 2 + ... + δ n 0 = 0 4. Konačno stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se superpozicijom stanja nastalog od vanjskog opterećenja i izračunatih sila na mjestu uklonjenih veza. 0
=M
M x
Tx Nx
+ m x ⋅ X + m x ⋅ X + ...
x 0
1 x
1
2
2
x
= Tx + t 1 ⋅ X1 + t 2 ⋅ X 2 + ... = N x 0 + n 1x ⋅ X1 + n 2 x ⋅ X 2 + ...
δ x = δ x 0 + δ1x ⋅ X1 + δ 2 x ⋅ X 2 + ...
P
EI
Primjer 1: Konzola poduprta na slobodnom kraju. b
a
S = 3x1-0-4 = -1
l
m1 – dijagram momenata za jedinični moment na osnovnom sustavu 0 Mx – dijagram momenata za vanjsko opterećenje na osnovnom sustavu
Osnovni sustav X1=1
Pri odre đivanju pomaka zanemaruje se utjecaj poprečnih sila. Jednadžba kontinuiteta:
2b/3l
m1 1 1/3
Mx
b/l
δ11 ⋅ X 1 = − δ10 1 1⋅ l 2 l δ11 = ⋅ ⋅ ⋅ 1 = EI 2 3 3EI − δ 0 − Pab 1 Pab ⎡ a ⎛ 1 2 b ⎞ b 2 b ⎤ δ1 0 = ⋅ ⋅ ⎢ ⋅ ⎜ + ⋅ ⎟ + ⋅ ⋅ ⎥ X1 = 1 = (2l EI l ⎣ 2 ⎝ 3 3 l ⎠ 2 3 l ⎦ δ11 2l 2
2b/3l
0
Pab/ l Pab/l Mx
Unutrašnje sile: Mx
= M x 0 + m1 X 1 0
t
1
+ +
Pb/l Tx
0
-
+
Tx -
1/l
Tx
Pa/l
Poprečne sile možemo izračunati:
= Tx + t 1X1
= Tx 0 + t1X1
-
metodom sila Tx
-
iz dijagrama momenata Tx =
dM x dx
Primjer 2: Kontinuirana greda
q EI
l
l
EI
δ11 =
Osnovni sustav X1=1 EI
EI
0
δ1 =
m1 1
X1 0
Mx
2
ql /8 2
2
Mx
ql /8
ql /16
=
1 ⋅ l ⋅1 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 2 EI 2 3 1 2 ql 2 EI 3 − ql 2 16
⋅
8
⋅l ⋅
1 2
Primjer 3: Kontinuirana greda – utjecaj krutosti na ponašanje sustava a)
0
Osnovni sustav, m1 i Mx isti kao i kada e krutost cijelog nosača konstantna.
q 4EI l
l
EI
1 1 l ⋅1 2 5 l δ11 = ⎛⎜ + ⎞⎟ ⋅ ⋅ ⋅1 = ⋅ 4EI 3 ⎝ 4EI EI2⎠ 2 3 1 2 ql 1 1 ql 3 0 δ1 = ⋅ ⋅l ⋅ = ⋅
2
Mx
ql /40
2
ql /8
X1 b)
=
4EI 3 − ql 2 40
q EI
l
l
4EI
2
2
ql /8
ql /10
X1
=
− ql 2 10
8
2
4EI 24
Primjer 4: Obostrano upeta greda
q EI
l
Jednadžba kontinuiteta: Osnovni sustav X1=X2=1
X1=1
m1
Mx
δ11 ⋅ X1 = −δ10
δ11 =
1
0
1 EI
⋅1 ⋅ l ⋅1
⎡ 2 ql 2 ⎤ δ1 = ⎢ ⋅ ⋅ l ⋅1⎥ EI ⎣ 3 8 ⎦ 0
2
ql /8
1
2
ql /12
2
ql /12
Mx 2
ql /24
− δ10 X1 = δ11
; X1
=
− ql 2 12
14.3. Metoda pomaka -
Metoda pomaka je metoda rješavanja statički određenih i neodređenih konstrukcija. Osnovne nepoznanice su pomaci čvorova konstrukcije. Ravninska linijska konstrukcija yG Promatrani cvor
v1
1
ϕ1
u1 xG Prostorna linijska konstrukcija 1
zG Promatrani cvor
w 1
ϕz1
ϕx1
yG xG
ϕy1
u1
v1
-
Ukupno stanje sustava U (pomaci i sile) može se prikazati u obliku:
U = U0
+ U 1 ⋅ y1 + U 2 ⋅ y 2 + L + U n ⋅ y n
y1, y2, ..., yn – pomaci čvorova konstrukcije U0 – stanje sustava u kojem su svi nezavisni pomaci spriječeni. Nazivamo ga stanje pune upetosti.
Ui – stanje sustava bez vanjskih sila. Dopušten je pomak yi=1, a svi ostali nezavisni pomaci su spriječeni. Ovo stanje nazivamo stanje jediničnih pomaka.
Zadani sustav i opterećenje
p(x)
Pretpostavka: deformiranje uslijed savijanja
EI2 EI1
Diskretizacija sustava (definiranje broja nepoznatih pomaka)
u=y3
u=y3
φ1=y1
φ2=y2
EI3
y1, y2, y3 – 3 nezavisna pomaka čvorova (minimalni broj pomaka)
Utjecaj savijanja i uzdužnog deformiranja
u 1=y1 v1=y2
u2=y4
φ1=y3 E3 , I 3, A E1 , I 1, A
1
φ2=y6
v2=y5
3
E2 , I 2, A
2
y1, y2, ..., y6 – 6 nezavisnih pomaka čvorova
Minimalni broj nezavisnih pomaka
Bez obzira kakva zanemarenja deformiranja vršimo, svaki sustav ima minimalni broj nezavisnih pomaka koji moramo uzeti u obzir pri diskretizaciji. Ako zanemarimo uzdužne deformacije te biramo minimalni broj nezavisnih pomaka, sustave možemo podijeliti na nepomične i pomične. Pri diskretizaciji možemo slobodno usvojiti veći broj nezavisnih pomaka od minimalnog, ali među njima moraju biti sadržani oni koji su se nalazili u minimalnom broju. Minimalni broj nezavisnih pomaka
Broj nezavisnih pomaka veći od minimalnog y5
y1 3 yG
2
yG 2 xG
y8 3
y2
EI 1
φG
y3
y3
y2
4
y6
y9 5
EI 6
1
φG
y4
xG
y7
Ako nakon zanemarenja uzdužnog deformiranja sustav ima samo kuteve zaokreta kao nezavisne pomake, nazivamo ga nepomičnim. U suprotnom je pomičan onoliko puta koliko ima nezavisnih translatornih pomaka.
Primjeri nepomičnih sustava
Primjeri pomičnih sustava
Globalni i lokalni koordinatni sustav
-
Globalni koordinatni sustav i globalne sile i pomaci • U globalnom koordinatnom sustavu (obično desnom) definira se sustav kao cjelina • Svaki nezavisni pomak dobije svoj redni broj • Smjerovi pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila u globalnom
koordinatnom sustavu definiraju se pozitivnim smjerovima koordinatnih osiju.
yG Smjerovi pozitivnih pomaka u globalnom koordinatnom sustavu φG
xG
-
Lokalni koordinatni sustav i lokalne sile i pomaci • Svaki element se definira početkom i krajem (brojem početnog i krajnjeg čvora) yL
φL • Ishodište lokalnog sustava se bira u po četnom
xL
čvoru.
Lokalna os xL ide od
početnog prema krajnjem čvoru. Okomito na nju u skladu s orjentacijom desnog koordinatnog sustava postavlja se lokalna os yL te zaokret φL. • Predznaci pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila definiraju se
pozitivnim smjerovima lokalnih koordinatnih osiju ako se iskazuju u lokalnom sustavu.
Analiza stanja pune upetosti
Stanje pune upetosti je stanje kod kojeg su sprije čeni pomaci svih čvorova konstrukcije. p(x)
Sprijecen zaokret
Pomaci i unutrašnje sile postoje samo na onim elementima koji su izravno opterećeni. Istodobno postoji djelovanje elemenata na pridržane čvorove.
sila
tih
Postoji kontinuitet (kompatibilnost) pomaka, ali ne postoji ravnoteža sila pridržanim čvorovima. 0
Pomaci i sile cijelog sustava za stanje pune upetosti U:
0
0
δ x , M x , Tx , N x
0
Sile upetosti pojedinačnih elemenata: F2
3
F1
3
F1
F33
F2
3
F5
3
F63
F
1
1
2
F5 1
F3
F6
2
F4
3 4
1
2
2
1
p (x)
m
Fi – sila upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog pomaka, posredstvom m-tog elementa. Fi
= ∑ Fi m – sila
upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog
m
pomaka, posredstvom svih elemenata.
Određivanje unutarnjih sila za stanje pune upetosti za svaki štap svodi se na rješavanje tri puta statički neodređenog nosača metodom sila ili rješavanjem diferencijalnih jednadžbi štapa s homogenim rubnim uvjetima. q 0
EI
EI l
0
l/2
l
2
ql /12
2
ql /12
Mx
P
Pl/8
l
l/2
Pl/8
Pl/4
Mx
2
ql /24
M0
=
ql 2 12 ;
Ml
=−
ql 2 12
Pl M0
Pl
= 8 ; Ml = − 8
Analiza stanja jediničnih pomaka
y 1=1
- Promatra se stanje za jedinični zaokret y1=1
3
- Postoje unutrašnje sile na elementima koji dodiruju promatrani čvor.
1
Istodobno postoje sile tih elemenata na čvorove sustava.
2 - Postoji kompatibilnost (kontinuitet) pomaka, ali ne postoji č
ravnoteža vorova. Pomaci i sile na pojedinim elementima: 1
k 23
3
k 23
1
k 33
3
k 53
3
3
k 13
1
k 13
1
3
3
k 33
3
k 63
k 43
kijm – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″ posredstvom elementa m. k ij
= ∑ k ijm – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″ m
posredstvom svih elemenata. Zbog uzajamnosti radova vrijedi: k ij
= k ji
Ravnoteža
čvorova
sustava se uspostavlja linearnom kombinacijom stanja jediničnih
pomaka sa stanjem pune upetosti. Sada je promatrani sustav u ravnoteži, a postoji kontinuitet njegovih pomaka, što predstavlja traženo rješenje. Jednadžbe ravnoteže: k 11 y1 + L + k 1i y i
+ L + k1n y n − F1 = 0
ili u matričnom obliku
M
k i1 y1 + L + k ii y i
+ L + k in y n − Fi = 0
M
k n1 y1 + L + k ni y i
+ L + k nn y n − Fn = 0
K ⋅Y = F K – matrica krutosti, pravokutna i simetrična
Rješenje jednadžbi ravnoteže:
Y = K −1 ⋅ F Traženi pomaci ili sile na proizvoljnom mjestu: Ux
= U 0 x + U1x ⋅ y1 + U 2 x ⋅ y 2 + L + U nx ⋅ y n
Analiza jedini čnih stanja pomaka i sila upetosti štapnog elementa provodi se slijedećim metodama: - metoda pomaka – izravnom integracijom jednadžbi ravnoteže - metoda pomaka – numeričko rješenje metodom virtualnog rada - metoda sila y M0 N0
Tl
T0 EI l
Ml Nl
x
Pozitivni predznaci sila i pomaka na rubovima odgovaraju pozitivnim smjerovima osi lokalnog koordinatnog sustava .
y
k ⋅y = s
Jednadžba ravnoteže:
M0 N0
Tl
T0 EI
Nl
l
u0
v0
ϕ0
ul
vl
Ml
ϕl
EA ⎡ EA ⎤ 0 0 0 0 N0 ⎢ l − l ⎥ ⎢ 12EI 6EI 12EI 6EI ⎥ ⎡u 0 ⎤ ⎥ 0 − 3 T0 ⎢ 0 3 2 2 l l l l ⎢v ⎥ ⎢ ⎥ 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ 0 − M0 ⎢ 0 l l ⎥ ; y = ⎢ϕ 0 ⎥ l2 l2 k=⎢ ⎢ ⎥ ⎥ EA EA ⎢ul ⎥ 0 0 0 0 ⎥ Nl ⎢ − l ⎢ vl ⎥ ⎢ l ⎥ 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI ⎢ ⎥ ⎢ − 3 − 2 0 − 2 ⎥⎥ Tl ⎢ 0 3 ⎣⎢ ϕ l ⎦⎥ l l l l ⎢ 6EI 2EI 6EI 4EI ⎥ Ml ⎢ 0 ⎥ 0 − 2 2 l l l l ⎣ ⎦
;
⎡ N0 ⎤ ⎢T ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢M 0 ⎥ s=⎢ ⎥ ⎢ Nl ⎥ ⎢ Tl ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ M l ⎦⎥
x
Značenje prvog stupca (retka) u matrici
k12 k11
1.0
u
k15
k13
k16
k14
= − k14 =
k 12
= k13 = k15 = k16 = 0
k 21
= k 24 = 0
k 22
= −k 25 =
k 23
= k 26 =
k 31
= k 34 = 0
k 32
= −k 35 =
k 33
=
Značenje drugog stupca (retka) u matrici
v(y)
1.0 k21
k22
k25
k23
k26
k24
EA
k 11
l
12EI
l3 6EI l2
Značenje trećeg stupca (retka) u matrici
v(y) k32 k31
k33
k35 k36
k34
4EI l
6EI l2
; k 36
=
2EI l
Zadatak 1:
1
q
P
EI1
EI 2
2
l1
3
l2
Nepoznati pomaci
φ2=y1
Koeficijenti matrice krutosti y1=1
1
Određivanje koeficijenata kij 4EI 2 4EI1 1 2 k11 = ; k 11 = l1 l2
k111 2 k11
2
F11
=
4EI1 l1
+
4 EI 2 l2
Određivanje sila upetosti: 2 ql1 Pl 1 2 F1 = − ; F1 = 2 12 8
1
F12
k 11
2
F1
=−
ql1
2
12
+
Pl 2 8
Postavljanje sustava jednadžbi: k 11 ⋅ y1
= l2 ,
Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: l1 EI Rješenje jednadžbe: 8 l
Pl
= − F1
Pl
⋅ y1 = 12 −
8
I1
= I2 ,
Pl 2
Pl
= − 24 ,
q⋅l = P
y1
= − 192EI
Sile na rubovima elementa: M0
1
=
ql 2
=
ql 2
−
ql 2
=
7
ql 2
l 192EI 12 96 96 2 ql 4EI Pl 2 ql 2 ql 2 5 1 1 1 M l = Fl + k11 ⋅ y1 = − − =− − = − ql 2 12 l 192EI 12 48 48 2 2 2 Pl 4EI Pl ql ql 5 2 2 2 2 M 0 = F0 + k 11 ⋅ y1 = 8 − l 192EI = 8 − 48 = 48 ql Ml
2
12
−
2EI Pl 2
=−
Pl 8
−
2EI Pl 2 l 192EI
=−
ql 2 8
−
ql 2 96
=−
13 96
ql 2
Dijagrami unutrašnjih sila
Mx
7
ql 2 ql
96
8
Tx
5 -2 ql 48
+ 0168 . ql
-
13
Pl 4
2
P 0768 .
96
ql 2 =
+
0532 . ql
-
+
0531 . P
13 96
Pll
Zadatak 2:
q2
q1 EI1
1
2
EI 2
l1
l2
Nepoznati pomaci φ1=y1
φ2=y2
Koeficijenti matrice krutosti:
φ3=y3
k111 = 4EI1 ; k 121 l1
Koeficijenti matrice krutosti y1=1
k111 k112
1 k 21
k121
1
k 22
k 222
1 y2=1
k122
2 k 32
2
y3=1 2
k 223
2 k 33
1 = 2EI l 1
1 k 12
=
= k 221 + k 22 2 =
k 32
2
k 33
2
=
2EI 2
=
4EI 2
l2
; k 23
4EI1
2
l1
+
= k 32 2
l2
Sile upetosti
F11
q1
F21
1
F22
q2
F32 2
Sile upetosti: 2 ql 1 1 F1 = 1 1 ; F2 12 F2
2
=
q 2l2 12
=−
q1l1
2
; F3
2
=−
2
12 q 2l 2 12
2
4EI 2 l2
Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: l1
= l 2 = l,
I1
= I 2 = I,
q2
Jednadžbe ravnoteže: 4EI l
⋅ y1 +
2EI l
⋅ y2 +
=−
0
2EI ⋅ y + 8EI ⋅ y + 2EI ⋅ y 1 2 3 l l l 2EI 4EI ⋅ y2 + ⋅ y3 l l Rješenje: y1
=−
1 ql 3 96 EI
; y2
=−
ql 2 12
= − ql 2 =
1 ql 3 48 EI
12 ql 2 6
; y3
=
5 ql 3 96 EI
Vrijednosti momenata savijanja: M
1
=0
1
M2
2
= −M 21 =
2ql 2 12
+
4EI − 1 ql 3 l 48 EI
+
2EI 5 ql 3 l 96 EI
=
3 16
ql 2
= 2q 1 = 2q
Dijagrami unutrašnjih sila:
5 T1
T2
= D
32 ql l/2 ⎛3
=
2
=
5
ql ; T2
16 1⎞ ⎜ + 2 ⎟ql 2 ⎝ 32 4 ⎠ l/2
=
L
19 16
⎛3 5⎞ 2 11 16 32 ql = ⎜⎝ + ⎟⎠ = ql l/ 2
ql ; T3
L
16
⎛ − 3 + 2 1 ⎞ql 2 ⎜ ⎟ 13 32 4⎠ ⎝ = = ql l/2
16
Zadatak 3: Okvir s krutim prečkama H2
Zadani sustav 6 5 EI1→∞ 4 EI
H1
Nepoznati pomaci 6 5 EI
3
3
u5=u6=y2
l
4
u3=u4=y1
EI1→∞ 1 EI
2 EI
1
l
2 l
Jedinicni pomaci i koeficijenti krutosti
k 421
k 521
4 k11
5 k11
y1 = 1 k111
2 k11
k 422
4 k12
y2=1
5 k12
k 522
1
k 11
k 21
4
=
12EI l3
= k114 = k112 = k115
= k 215 = −
k 12
12EI
4
k 22
3
l Jednadžbe ravnoteže: 12EI 12EI
4
= k 12 5 = − = k 22 5 =
12EI
l3 12EI l3
4 ⋅ l 3 ⋅ y1 − 2 ⋅ l 3 y 2 − H 1 = 0 12EI 12EI − 2 ⋅ 3 ⋅ y1 + 2 ⋅ 3 y 2 − H 2 = 0 l l
K ⋅Y −F = 0
Matrično:
K
=
12EI ⎡ 4 l3
⎢− 2 ⎣
− 2⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ H1 ⎤ ; Y ; F = = ⎢y ⎥ ⎢H ⎥ ⎥ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦
Rješenje: y1
= H1 + H 2 ⋅ l 3 ;
M0
24EI
4
y2
= H1 + 2H 2 ⋅ l 3
= M l 4 = M 05 = M l5 =
24EI H2 ⋅ l 4
1
; M0
= M l1 = M 0 2 = M l 2 =
(H1 + H 2 ) ⋅ l 4
Dijagrami pomaka i unutrašnjih sila H2
l H2
4
( H1 + H 2 ) H2
l (H 1 + 2 H 2 )
4
l 4
Mx
dx ( H1 + H 2 )
H2
l
H2
l
( H1 + H 2 )
4
4
H2
2
H2
2
-
2
2
H1 + 2 H 2 2
H + 2H 1
2
2
H1 + H 2
2
-
+
Nx
Tx H1 + H 2
2
l 4
H1 + 3H 2
H 1 + 3H 2
2
2
l 4
Simetrično opterećen okvir s krutim prečkama
q2
q1
q 2 ⋅ L2 8
-
2
q1 ⋅ L 8
-
px
Mx
Tx
Nx
Simetrično opterećen okvir s deformabilnim prečkama
q2
q 2 ⋅ L2 8
q1 q1 ⋅ L2 8
px
Mx
Tx
Nx
