Operaciona istrazivanja

R edaktor: prof. d r V uksan Bulat

______________________________________________

Dr Danijela Tadić Dr Milija Suknovič Mr Cordana Radojević Vukica Jovunuvić

OpERACiONA iSTRAŽivANjA R ed a kto r P ro f. d r V u k s a n B u la t

Iidđuaehi

c e n e r

u

H O K lillJ S «

M EimDZM EM T i i e s

Dr Danijclii Tadić Dr Milija Suknović Mr (rordiuiii Radojcvić Vukicji lovuaovjć OI'ERACIONA ISTRAŽIVANJA

Rvtcnzcni: Prc>(\ dr MiLutin Čupić

Glavni i odgo\,om i unetlmk Edidje: f’iijf. dr Vuksan Bulai

fcdmač: FAKULTET ZA INDUSTRIJSKI M ENADŽM ENT ICIM phts - 1/tliivačkt ccnutrza itulusirijski onenadžment ptus KRUŠEVAC:> JNA f>3htol/faks (037)440 035, 23-792

Za izdavača: Prof. dr Briiniskiv Đorđcvić, tiek.m

O dobreno za ifedavanje i upotrcbu odiukom Nauino>:nastavnog vcća E'Likulteta iii industrijski m cnadim cnt u Krušcvcu h r 79 od 10,09 r2004r gndinc

Tuvž: 1000 primeraka Kompffitlerska priprcmo: Kompjutcrski ccntčir Fakulteia za industrijski m enad£m entn KmSevEu:

Dizajn korica: ' IN A R T '. KruSevac

Štatttpa: 'M -graf, Trstcnik

SADRŽAJ

UVOD....................................... ............................ ............ ............................................................. I l/LIN EA R N O PRO G RA M lRA N JE .......................................................................................9

10 i,2,o p S rr M o p f.L U * D . GRAFIĆK S INTERPRE 1A< IIJA PROSLEMA UNEARNOG PROGRAM1RANJA,.« Ifr ■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■ ■■■■ ■!■■■.■■■■■■ ■■■riii r■

1 J 'šlMPI Ft>iMVTIini I

-

E

*1 I

V-rf-ll ■Jl V

1

* 1 1 1

V P 1 / . %

i ii ii ■■ ■■■ ■r ■■■;■■<■■■■■tbbi ■■■■■■ riiriid-hiiri-r■■■■-■■■■ ■■■■ ■ I 4

____ ___________

_,_____ tJ

4 S _ ■■L l l i i i .B J I . S j J L I i i J L B a a j I,GBJ i ■■■■ ■■■■41 ■.■■IIJfcBlfll ■■-■ ■(■■■■ ■■■■•■ ■■■■■■■■!!■■■■■ ■■■ ■■■ ■■■■■■ ■■■■■■■■- ■ “

iA .l. OPSTi: POSTAvKF. ...... ..... .. ......................................... ................................ ..24

\A 1 POf ETNO BAZNO RESEKJH ........................................................................... lt> 1 4.3 PRONALAiENlEOFnMALNOORESENJA.................................................... 29 14*4. VE4TAĆKA BAZA (PHOBl.EMI SA OGRAMĆEKJFMA TIPA > h- ) .................... 33 LJ.5. PREVOĐEKIE OPSTCfl MODELA V JEDAN OD OOUKA OGRANlĆENJATrt5l 1 4 * NEOGRANlCENO HI.SBN JE 52 14 7 PREVOĐENJE NESIMETRIČNOG U SIMETRltAN MODEL LP.....................54 1.5. DLALMfKOnLEM 55 E.S.L. SlMrTEiir\] F>(IA1 N] MODEL _-.._■■■■■■■■■■■■■■■■_-.■■■■■js. .■■■■■■;■■■■■■■■■■■■■■i!■■■■■■■■■■■iii ■■■■■■-t.5,2. NTKIMRTRfCNI DUALN! MODEL..................................................................... 58 t .JJ. EKONOMSKA INTERPEKETACtJA DUALNOG PROBLEMA .................. ..... &3 —■■■■■ mbhJ ■i>BaJ ■■■■■ I L I I J

H * W i H a H * « H J hBH H B i m

g W

H

W

W

I H

H

W

-■■ ■■ ■.. ■B ■I ■■■■■■■■■■■.■---_■■■■ .■.■■■■.■ ■■■■■-■■■■■■..-

i - H - m a t H H H H W P i l M P H i -H -I H H

i W

»

> H I W H i | H l i H IH

^J?T R A \S P O R T ^l rK O BI.EM 2.L LfVOD 69 2.2. MATEMATIČKI MODEL TRA\SPORTNOG ZAPATKA........................................70 2 3, METOOE JEA NALAÊNJt POĆETNOO RESENJA................................................. 74 U i DIJAGONALNA METODA .................................................................................76 2.3.2 METODA MINIM \L m \ TROSKOVA................................................................ 77 2.3. J METODA DVOJMCKi PRVENST\rA .......................................... ..........................79 1.3.4. VOGEL-OVA METODA........................................................................................80 1.4. METODE ZA NALAŽEEVJE OPTIMALNOC RE$ENJA............................................ H2 2.4,1. STEPPING STONE METOĐA............................................................................... 83 2A2. MODII IKOVASA METODA........................................... ............................. „.,.87 2-5. OTVORENl TRANSPOR IM ZADATAK.......... ............. ........................ ......... 91 DEGeNERACUATRANSPORTNOG ZA&ATKA 1.1, PROBI J' M RASPORKDU \NJA 98 / .] . ^ I \ LNEMC^fÎjL ^^ 2.7.2-OTVOKENI MODEL ■<****£........ E02 2.7.3. MAKSEMALNA VREOMOST FUNKCIJE ClUA .......................... ................. L06 ■■ ■■■■■ ■■■■■■■ irHTM-r ■■■ r i n

a+PPB < M f H W I W * 1 H

■ l i T i T i T i n r i r a i i t i ■■ r i n

i i i t i t i t i t i ■■ r i ■■■b t i r i H

ititi r ii T in r

>■■■ I H i i I H W H 4 W 1 « M P « ■■■**■■■■.■■■«»■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■ ■■■■■■ ■■■■ ■ ’■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

j c i i i j ■-■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■•■■■ ■■■■■ r ■■■■ r ■■■■■■■■■ ii ■■■■■■■■ ■■■■■ ■■!■■■■■■■■'■■■■■ ■

u _

. . . j i . i . i ■■ . . l . b j a . i . i i i i i . . . . , . p . . . . . l i i , i i . i i . r . i . p p . , . . r . a ■.

............... ................... ..... ..............

.

11

■ . . . . i . ■■ . . p , , 4

... .................................................. ...............j j + l . ~ ................................ ..............

3.TEHN1KA MREŽ>OG PLANIRANJA...................... ......................................... .......109 3.1 ANALIZA STRLKTLRE ?]] .... 112 3-1-1 ELEMENTI MREŽNOG DUAGRAMA

3-1-2. PRAVILA K.ONSTRUISANJA M D .......... ......... ................... 3.1.3. FAZE RAZVOM ANALIZB STRUKTUR-H 3.lANUMtRISANJEMD ...................... 3 J, ANAIJZA VREMENA.... 3.2.1. ANALIZA VRl-MLNA f»0 METODt CPM . 3.2.2. ANALIZA VRLMI-NA PO METODI PERT..... in

= ■+ ■94 r i i £9 i pl-i H

r + r i i H M + H t « ' P9 ■■■ §-■- P * * ' i - T f ' i - i T r “ » i T M --99

.

U

F

R

A

V

L

J

A

N

J

E

Z

A

I

I

H

A

M

.. 11*

■--

.... U9

.... 121 .....124 ... 124

■i'i i i i r i i ■ i H r ■4 i i i H r - i T H i r i ...........................................................................

33. ANAUZA TRO SK O V A . 4

■■II r ? i i -

A

-.,1 3 2

I -■! ' !■9 •

■« + ■■■ f S + S i T r i T » * * » i - ‘ " * “

*»»- ‘ " '» S '< » “

* ' '

.. 141

h + a fa+ + l k + B B + + I + + 9-B+ B !+■-■ + + + ■+ ■■■+ ■ ■■■+ ■+■ B r + B + + E + B E + + B + + H B+ B Rfl-I P + + ■+ »■ ■*■ + + +B-E + + 4 + 4 - “

M

9

4.1 PO JM O V f U U F R A V L IA N JL ' ZAL1HAM A I N JIH O V O T l M A Ć E N J t:,™ .« ------ 150 4.1 NEKK DF/TERM IN ISTrČK I M O D £L I l \ U PR A V L JA N JE /.\L IH A M A ................... 160 M ODEl........................................................160 4.2.2 MODEL SA D O ZV O U EN IM KASNJENJEM .................... . ............... ....... ...... ....... 163 4.2.3 M OĐELSA KONSTANTNOM T R A iN JO M ................................................................. 165 4.2.4 VREMENSRI DISKRETAN M U L T lP felD O N I MODEL ZALThJA......................... 163 4h3 O SN O V N l S T O H A S U Č K ] M O D E U 2 A L’P R A V U A N JE Z A t l H A M A _ ................ I 6 >? 4.3.1 MODEL PRODAVCA NOVFNA SA KONTINUALNO RASPODELJENOM TRAŽNJOM 169 4.3.3 MODEL PRODAVCA NOVINA SA DISKRETNO RASPODELJENOM TRA ^N JO M ------------------- ------------------------ ------ ------ ------------------------ ------- , J 7 1 4 . 2 . 1

O

S

N

O

V

N

l

K

O

N

T

I

N

U

A

L

N

I

D

I N

A

M

l

C

K

I

i. - I s. I ■j i a ■■1 1 ■ ■■■■■■ ■■■ ■■■ ■■ ■■■ ■■■ i. j l i i x e j ■u j l - ■i L i a j j ■■ ■■■ ■■■ ■■■■t u l i j ■j. ■■■j ■ ■■■■■■■■.■■■■ ■■■■■■■ j. b i j l j . _

S

+

R

E

D

O

V

l

Č

E

K

A

M

J

A

+ + B+ 9 ■ H !

PVB-P ■■.■■■■.■■ + ■■»-■ ■ ■»■-■■-■ ■■flBPB' ■ ■■ ■ P»B-EB ■ E9 B + + 9 P*B- E»P M W P * M P 1 P W • * » « « * « E + B P + B-E-E + B-E

1

7 ?

5A. M O & E L IR A N JE PR O C FSA D O L A Z A K A .......... - ....... ..................................... ..................176 5+2 M O D E L IR A N IE PR O C E SA O FSL U Ž IV A N JA ........................................... .............. ..........187 1 3 KLNDALOVA O B G LEŽA V A N JA ZA KEDO VE Ć E K A N JA ............................................ LSS 5.4 SLU ČA JN ! PROCES1S.4 SL U Č A JN l P R O C E S l.................................................................. t&9 5.5 LANCI M A RK O V A LA N CI M A R K O V A .................................................................... ...........191 s -6 n - s t e p e n e t r a n z t t i v n e \ t r o v a t n o ć e _________________________________m 5,7. K L A S IH K A C JJ a STA N JA U L A N C IM A ............................... ....................................... „.„1 9 7 s.« v e r o v a t n o ć e s t a c i o n a r n o c STANJA. ZN A Č EN JE VREM ENA PR V O fi 199 5.9 FK O CESI R A B A N JA IU M IR A N JA « * ________ _______________ ______ __________ _ . 20 ] 5.9.1 RELACIIA EKSPONF.NCIJALNE RASPODELE U PROCESIMA RADANJA I UMIRANJA 202 5 9.2 IZVOĐENJE VEROVATNOĆA ST'ACIONARNOG JJTANJA ZA PROCESB RADANJA I U M tR A N JA ............................................................................. 203 5.10 M O D FL l REDOVA Č EK A N JA ■■fiiii'mi■•■■■■■■■!■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■anrai ■■+■■(-■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■107 5.10.1 MODEL M / M / 1 , FORMULA ČEKANJA L = X W .................... 20? S.1D.2MODEL M /M /l/G D /c /« ....................... * ......................................................212 5.10.2 MODEL 215 5.10.3 MODELI I O I / O / - / G D / * / - ...................................... 2 IS 510.4 MOOEL M / G / l / G D ' » / “ ...................................................................................220 £.10.5 MODELl OGRANIĆiiNOG IZV0R.A: MODEL ODR?AVANJA (PO PRA V K E)M A SlN A r* 222 5.10 ć EKSPONENCIJALNA ĆEKANJA U SERIJAMA: OTVORENE MREŽE REDOVAČEKANJA ............................................. ....................................................... 226 «■■• P99*B ■■= » t J i i J i i J U J.BB j-b j L t a j . . . --- . - . hfi- Ee-i Efi I Efi I PB+ ■-! •■■■■■ m

M

/

M

/

s

/

G

D

/

*

*

/

“

-- + ■ m

5

. 1 0 . 7

M

O

D

B

L

M

/

O

/

s

/

G

D

/

*

/

«

■-■■■■■-■-i ~ - ---+■-- EB+ r--s t i

................................................* ........................................................* ........................... —

r-i r--- i —

r - H r i ^ r r r ■ra i ■■ r m

■ ■■■■■ rr--.

................

rr-* --- --- -■-• i J J . J . a i i . * L , + i . -- ;

« --

....................................................................................................................................................................................................... 2

2 9

5 .10.8 ANALIZA RASPODELE VREMENA DOLAZAKA I VREMENrA S E R

. V ' I S r R i ^ k t * 1! J A .

■■■'■ ■■■ ■■9 E J E » 9 ■■*■- • ■-• ‘■■•■* •■--

— i r r m

11

r riB-i-rr EE9 E r ^ !■!■“ ! S9 ffc9 Efil r a i r r i rfc+ r i + -9 --- + s » E = * -- -- • ■■*■ + 2

3

2

5 10 9 PRIORITET1 U M ODELIM A REDOVA ČEKANJA ........................................«... 233

239

6. Đ R V O ODLL Č lV A N JA

7. TEORUA IGARA.......... 7X l ? V O D

245

................... ............................

..................................... .................

............... .................... 2 4 5

7 . 2 . K O K M L L A C I J A I K L A S I t F T K A C f J A I G A U A ................................................ .................... .,„246 7 3 . PROST£

MA T R l Ć N E

I C R E ................................................................................................................... .

7.4 r M F Š O V I T E M A T R I Č N F I C R F Hr-9iTr-^-!'r»fi+! f■i'i+lršiifcFiS*hfEPHhlHHBBlH*PBB9-l-l>PPadHHHMH 7A I .

+251

K H n U K G J A M A T R I C E ................................. .......... .............................................................

7 .4 2 . A N A L I T T Č K A M E T O D A 7

+«P«+

A3. G R A R Č K A

M ETO Đ A

252

......................................................................................................2 5 3

......................-...................................................... 2 5 6

7 4 .4 . R E S A V A N J E M C S O V T H H M A T R T Č N J H I G A R A L l N E A R N t M P R O G R A M I R A N / E M ....... ........................ .................. ..........................................................

8 . V I S E K R I T E R 1J U M S K O O D L U f t V A N J E M .

................................................

262

......................... 2 6 7

\ f E T O T > F V I S T K R I T E H I J L M S K E A N A L I Z K ........................................................................2 6 9

8 . 1. 1 , M E T O D A E L E t T R E 3 ........................................................ ..................... ................ .......... 2 fi 9

5.3.2, METODA PROMIiTHEEI .............................................................................. 284 S .3 .j

M E T O D A A N A L ] T l C i C l H H I J E R A R J l l J S K I i [ F R O C F S A .......................................... 3 fK>

247

PREDGOVOR U okvtru izdavačke deJatnosti Fakultcta za lndustrijski mcnad?jnetit u Kruscvcu pretsravlja sc: grupna auiorska tvorcvina, koja jc priiticrena prttodi matcrijc, koja sc uobičajcRo p udram ncva pod Opcracionim istraživAnjiina. U korclaciji sa novim tekovjnama u obiasti kompjutcrskc tchnoib^ne, a u kontekstu s \c sloicnijih zbivanja, Opcraciona istraživanja kao sktip mcfoda i tchnika sa markflntmm obogačivanjcm . pmtcnduju na Ozbiljnu ulogu u proccsu odluChanja m cnadiera. NczadovoljavajLLće stan;c korisćcnjji mctoda t tehnika Opcraciomh istraživanja od stranc aktucLnib korisnika u prtvrcdi, poscban jc izazov â školovfttie mcnadžcrc, L' lom sm islu t ponuda sclckcijc me'oda i lohmka u ovom izdanju Ircha da posluži p ozim nom preokrctu u phstupu odlućivanju, Strukiura pi’ikii/anih m etođa i tclmika posledica j t procenc autora o m ogućnosiim a primcnjivanja. U tom konickstu, ostaje otvorcno pitanje prilagođavanja sagtasrto potrcbama menađžcra. pa shodno tom e i odgovamjućih promcna u sadrftaju, do kujih bi m o g k id o ći na osnovu povramih informacija. Sa svoje 5trant\ auto:i su u£inili napor da odabranc metode i tchmkc prcdstave na načm kojt bi om ogućic primcnu. Prisumi primeri s j ođgovarajuća pomoć korisnicima, da tia vi5e aspckata to i učinc. L' očckivanju povramih informaeija autori ostaju spremni na dodatne naporc, kako bi ovaj svojcvrsian alat" 11 procesu odiučii anja mcnadzera ost\ ario svoju utogu. Korisiimo priliku da se zahvalim o reccn?cntu prf>f, dr Milutmu Čupiću na korisnim suêstijama. Posebno ccm m o naporc izđsvaCa oko ostvarcnja i?danja. Porcd toga ^hvaLjujcmo sc Am Skorup, p rof teh, i informaitkc, ua teluitCkoj priprcmi rukopisa.

Kruševac, 2004, god

Autori

£W

U \O D Prot^klc đecenijt: u razvojn čovecansiva okaraktcrisane su porastoin broja Cinilaca u avim domcnim.i čivljenja. Interakcija poprima avojevrsnu dinam ičnost U sb v i za delanjc fmsiaju sve sločeniji posledićtio i riziCniji prilikoir, osmiSljavanja poteâ, pođuhvata u laztifiiim obtestima Covdcovog debvanja. Proccs "usijavanja 11 u nckoliko poskdnjih deccnija initi svoju predistortju Čovck jc u svakodncvnom životu rciavao problctnc sa kojinia se suoCav;io. Tom prilikom, kao najjednostavnije slučajeve trcba izdvojiti regisirovanjc onoga što se dogodilo i izra£unavanjc cenc za prodaju svojih mku d da Ako je u prv om slučaju masovnost dogadnja bila inala evidenEiranje jc biio jedtiosiavno, Dok i; dûgom sluCnju, kao ttpskom, nastalo je suciSavanje sa otolinom u liku korianika - knpca. Suprotstavljenost intercsa prodavaca i kupaca uzrokovak je nov kvalitet ra2miStjnnja. TrcbaJo je uzeti u obzir ne samo s\foju situaciiu vcć i uslove u okruženju, kod potencijalnog kupca kao i mogućih drugih ponuđafa. Pojednostavljeno, do kraja ogo|jenoT ovakva mterpretncija odnosa prisutna je suštinski, u svim zhlvanjima* u kojim ajc čovck današnjicc mvolviran, Na individuainom p]anu čovck nud] svoje usluge potcncijalnom koiisniku, Na grjpnom , posIo^Ttom, na primer. polju u igri su prcjdukti, usluge, kokklivm h osivarenja za koje pottinctjalno postoje korisnici, Uspešnost ili neuspcSnosi ishoda zavisi od sve većcg broja faktora, U uslovimn viSestnUce lifine, odnosno koiektivne ponude. javlja sc veći ili manji rizik. Prevhdavanje tog rizika je pcrmanentan izazov za svakog ponuđača kako irtdividualnog, lako i kolekiivnog. Pri tom, treba imati u vidu da se i koiektivni ponudač svodi na pcrsonifikaciju, u vtdu ćelnog čoveka. odnosno njegovog tima, u odgovarajudoj gmpi, tj. puslovnom sisletnu, litorija je tspunjena brojnim sluč;ijev:ma kada su potezana druga sredsfva da bi se razrešila neuskladcnost in teitsa optanata Osvajački pohodi su eklatantan primer pokušaja da se nasilnim putem razreSc problcmi, Ako je u poslovanju preduzeća rizik u krajnjc nepovoljnom slučaju bio ekonomski kolaps, onda jc u ratnom sukobu takav ekstrem bio gubitak suverenosti odgovarajuce državc. I ne samo jedne države, već gnipe država* kao sto jc lo bio slutiaj u II svetskom ratu. Za oćekivanjeje da se u tako kritičmm konfronlacijama porodi ideja o aktiviranju svih raspoloživih potencijala u smanjenju rizika od poraza Takav je sluOaj bio sa snabdcvanjem vitalnim resursima (oruđima, municijom t drugim potrcbstinama} eviopskih saveznika od stranc prekomorskog SEiveznika, SAD. Supmistavijen interes Trojnog pakta (NemaCka, ltalija i Japan) oCitovao se kroz koriSćenje podmomica radi poiapanja transportnih brodova konvoja. L' pofemoj fazi sa\ eznici su trpcli ogromne gubitke usled nedovoljne cfikasnosti protivpodmomickog i

OPERACfOSA ISTR \?J\ I \JA sistcma Kazresenjc jc pcirazL-no od stranc Savezikib u okîru jodnog multtdisciplinamog tim a sTručnjEika Angažovani su inženjeri različitih sirtika, vojni ck&pertt* navigulori, psiholozi i drugi, Sprovedeno jc priktiptjanje podataka, podsetimo na več pomenulo rcgisuovanjc, o relevantnim fcnomenima. kiiko n pugledu sopovenih potoncijala (hr/iiiL1 aviona, vidljivost, dubina na kojoj se aktivirojia dubinskc bom be i drugoK tako i o proHvnićkim podmomicama (brziivi kreUTnja podmomica, brzina poniranj^ j sl.y N'a osnovu prikupljcnih podatak^ j odgovarajućih simulacija sukobljavanja aviona i podmomica, umskim radom jc utvrdeno da su dubinske bom be eksplodirale na neodgo\arajučoj dubitii, koja je bila konstant»a+ iako su viđLjivosi i drupe okolnosti b ik promenljive. Pa jc pri odrcđcnoj brzini ponifanja podm omica dolazik) do uoćenog ncskJadći i^mcđu položaja podmornice i tačke aktiviianja dubinskc hombc. Odgovarajućim proračumma u okvtni multtdisctplinarnog tima utvrđcni su parametri: mstoj&nje aviona i podmomicc, zavisno od vidljivosii, tc b m n c aviona t poniranja podmomice, i poslL'diCno dubine aktiviranja piotivpodmom ičluh mina Po i/vršcnim potrcbnim promcnama+ cfikamoM ptptivpodm om ičkog dclovanja jc poboljâna. f'roccnjono je da je OVaJ prtsiup omogućio ppzitivan preokrct u El ^vetskom ratu, u koi ist Saveznika Prema uobićajcnoj icrminologiji pnkazani poduhvat tma karaktcr vojne opcracije, a obavljeno istraživanje posiužiio je za obhkovanje sintaijme: Operaciona istraživanja. Slićnost zbivanja u vojsci i poslovanju kompanijc. poscbno u zao&trenim konkurentskim odnosima, te odgovarajućc poirebe da se poslovni problemi reSavaju U2imajućt u obzir bmjni relcvantni uticajni faktori, uslovilo je primenu ovakvog pristupa, pn Ćemu je zadržati naîv Opcraciona istraživanja. Koiiko god jc to semantićki i teTininoloski osnovano na anglo-amerićkom jezićkom područjuT to kod nas nije shjčaj. Operacija. kao termin, kod nas ima dvojaku upotrebu: - kao vojna operacija, u ćemu postoji shčnost sa već opisaoom praksom i u svetu, - i u proi/vodnjt, kada sc odnosi na promenu ftzičkth i ’ili hemijskih ktirakteristika prćdmeta rada, a s to je analogno u maicmatici. kao i u himrgiji. Međutimt prema Vujaktiji ( \ rujaklija, M., l?70) tumačenje reči operacija jc deianje. rad, pa bi u tom kotekstu m ogao biti prihvacen. tennin. naziv, Opcraciona islraživanja. Prcma oceni autoia prikladniji bi biot i u duhu naScg jezika, izraz Istraiivanje procesahjer se najćešće i radi 0 nckim procesima. što će biti vidljivo čitaacu ove knjige. Istćni za voJju 3 oduvek su pregaoci u raznim oblastima proučavanjaT pa i u praktičnom radu, biki angažovani na traganjima za novim, boljim rešcnjima uoćenih problema, Pnroda odgovarajućc materijc bila je i ostala ogranićcnje u poglcdu postizanja dovoJjno uverljivosti nadenih rešenja. Naime, mogućnost kvatilifikacije reLcvantnih parametara i matcmatska podrika pružalaje pnednost nad

fflvod kvaJitativnim pristupcin rešavanju piublcma. Mada tnkav stav ne m ože biti gcnerallzovan. Razvoj maiematskih rnctoda, posEupaka, le odôvarajućih algoritama bio je prevashodno orijcntisan na probicmatiku prirodnih tiauka. Sa razvojcm indusirijske proiizvođtije i posložavanjem opSttb i specifičnih uslova u funkcionisanju posiovnih šubjekata ra&tao je interes za ovu problematiku, Stnhastička pnroda fehomena u p 7oizvodnji> poslovanju i uopste u dnJ&tveno-ekonomskoj ^feri istiCe potre&i /.a prikladnim matematičkim metodama. U tom kontekstu, prim at pripada matematskoj siatisticL ali i lincarnoj alg eb il leoriji skupova, posebno fa£zyskupoviina, od kojili ovi zadnji nisu joŠ u dovoljnoj meri došli do ii'.ra/aja. Time se ne negiraju moguenosti klasičnoe matcmatsk^g arsenala zasnovanog na tltitcrminizinu, ali MZ n.u5ne rv/.crve zbog istaknutog dominirajućcg stohasLičkog karaktera uslova i zbivanja u projzvodnji i poslovanju uopšte. Ne zanemarujuđi &in kontekst i odeovarajućc smplikađje u odnosu na misiju Operaciooih i^trazivanja u fokusu je resavanje problema. U tom sinislu ireba istaćl da su Operacsona ist3Laživai 3ja orijentisana na rešavanje Ovih problema ćiji sc Utjcajm elemeuti mogu kvantificirati. Ovim se nc isključuje mogućnoKt parttcipacije u rešavanju t2 v r hibriđitih probletna, čiji se pojedi ni elemcnli mogu kvantificirati, a sve u cilju nata/enja Što bo-jcg rcsetija. Pored ostalih domcta, medu prve pokuSajc prodora matematskih po&tupaka u rešavanju problema u proizvodnji Spađft Kanlorovič (1039) u planiranju proizvodnjeT Hitchcock (1941) i ncâvisno od njcga Koopmans (1945) transportni problcm, te Dantzig (1947) sa Simplex metodom za lincamo programiranje. Zćitim slede sve brojniji prilozt, tako da za pojedme obhistij na primcr transportni probiem, postoji preko 150 postupaka za reSavanje odgovarajućih problcnna. Motivisaiiost za iznaLažtinje novih metoda i postupaka je viSesiojna. U trži&um uslovima dominira nalažcnjc boljih, racionalnij:h rcšcnja a pogledu trošenja i angažovanja svih vidova resursa. Ova resenja oimjgučav&ju superiomiji položaj takvog posiovnog subjekta u odtiosu na konkutente, Isa globalnom jiivou nadmetanje izmcđu vodećih nacija, blokovaT radi postizanja vojne supremacije potstiče enormna ulaganja u razvoj odgovarajućih đisciplma, kako bi sc postigao primat u vasioni, lansiranje čoveka u orbitu zemEje, iskrcavanje čoveka na m esect opscrvacija Marsa i drugim sličnim spektakulamim poduhvatima, Pretakanje ostvarenih teko\'ina u Brivredni, Euopšte, društveno-ekonomski iivot propratan je proces, koji se sa vise iti manjc izraženim faznim zaostajanjem ipak ostvarujc a fito omogućava, poredostalog. jpektakularan razvoj mctoda operacionih isiraživanja. Rcšavanje strateških, taktičkih i nitinskih problema nije samo sebi cilj, već siedi donošenje odluka od slrane nadležnog menadžera. Kvalitet odluka utiče na rezultate, opstanak i razvoj posiovnog sistema. Efikannost metoda Operacionih istrazivanja usled primcne matemaEikc, sa jeđtie strane, i pcrccpcijc menadzerskib aktivnosti u kojoj donunira odluĆivanjej potsiaklo je neke autoret iztncdu osialih Robins-a i Coultei'-a (Robins, S, Pr, CouEter, M., 1996), da Operaciona istraživanja poistovete sa Management Sciencc, Uzimajućt u obzir sveukupnost mctiadžerskih 3

OPERACIONA IStRAŽJVANJA

funkcijfi ovako pojednosiavljenje. svotlenje na odlučtvanjc, lako atraktivno, nije održivo Eu zna&juoj mcri osiromasuje menadžmem. Imajući u viđu rcčeno, pnrodno do je menadžerskn strukturU auočona sa brojnim problemima, strateške, taktičke i suStinske prirode bi!a pogodan korisnEk ovih tekovina. Misli se prevashodno na: - Matematsko program iracje Clinearno, neltnenmo, stohasličko, dindiničko i drugo), - Transportni modelT - Tchoika m reinog planii'anja, - Model zaliha (detem nnisučki i siohasEički) - Model zam ene} - Redovi čekanja, kao i/razito stohastička pojava, - Drvo ©dlufiVanja, - Teorija igaran - Višekriterijumsko odhičivanje_ Naveđeoo je u najveeoj meri sadržano u ovom izdanju knjige. Kao u svakom drjgom slučaju korisecnja lekovjna nauke u primeni inetoda i tetmika Opemcionih istraživanja dolaze do izrnzaja prednosti i glabastL U prednosit scr ubrajaju: - sislematizovanje prisiupa resavanju problema, - sticanje vinuelnog iskustva, - favori2ovanjc timskog rada, - povratni efeka[ na sredivnnje uslova u poslovnom sistemu. L’ slabosti spadaju: - neizbeživo pojednostavljcnje promovisanjenv dctemiinističkog karaktera fenomena, prevashodno u M atem aiskomprogram iranju, - Leškoće uklapanja rcatnih problemn u raspotožive aLgoritme za primcnu metoda i tehnika, - nepodobuos £ za rešavalije iz v. n&stmk lu iran ih proble ma P U resavanju problema uopšie., poscbno korišćenjcm metoda t tehnika Operacionih istraživanjaNprvi je najvažnijt korak: dcfmi&anje probiema. Ništa ne vredi dobar, još gore odličanT odgovor na pogrešno postavljeno pitanjc. To se prevashodno odnosi na dcfmisanje problema. Utrošcno vreine, zaostajanje, kaSnjenje u reagovanju, nenadoknadivi su gubici^ ukoliko nije adekvatno deJlnisan problem. Dobra, preliminama informisanost o relevanmoj probiemalici, osnovan je preduslov zn kvaliietno definisanje probJema. Prečice 1 žurbe loš su saveznik i trcba ih se kloniti. Jer, ako sn izvora poteče mutnn vodan svi oe je mutnu piLi, Metodc i iehnike Operactomh istraživanja eksplicitno ili nnplicitno nameću: - definisanje citja, - utvrdivanje ograničenja. Prcdstava o cilju imanentna je svakom menadžena. Shodno tom eh treba naći spregu između ctlja poslovnog sistema, odnosno njegćvog deta, koji treba ostvariti i cilja 4 i

Uvođ koji se jgrađujc u model prilikom rešavanja problema korišćettjem ineioda i tehnika Operacioriih istraiivanja. N*i taj naćin konsiimise se konzi|tentna iikiivnost menadzera ha ostvarivanju siratcskib E taktičkih ciljeva re$avanj$Hi uoćemh prohlema. Obavezujuće deflnisanjc ograničcnja, njthnvo pobrojavanje po vrstatna i utvrđivanje ^dgovarcjužih vcliCina prituoravaju involviranog irriehadžera da ih uzme u obzir. Ovo tim više jcr se ponekad u zanosu oko tražerija rejenja prenebregavaju ograhičenja u rcsursima i spoljnim uslovima. Na prim erh u proj ekiovanj u proizvoduog programa lspusti se neki od resupsa, koji je neopiiodan, neki kapaeitet inasine. Dntgim rečima, U7.imanjcm u obzir ograničonja koja su na puUi ostvareuja cilja, "spusta na zfemlju" polet, težnju da se dt>đe do boljeg reSenja ukol iko za to nema uslova,

Istovretncuo, mateinatski modei nameće obavezu kvancificiranja kako cilja, tako i Ogranicenjah cune se korisnik s u o č a v a sa ograničenom podobnošću primene ođgovarajuee mctode, odnosno tclmike, u rešavanju problema. Sa variranjem kriterijuma, ci]jnih i ogranieenja u granieama reainosti kom nik dobija višc mogućih rešenja, što je nokad veoma potrebati jnancvarski prostor u izboru puteva ka ostvarenju ciljeva, tj . donoScnja odlukc. Svako od rešenja dobjjeno primenom metoda i tehnika Opcracionih isuaživanja predstavlja stiuulacij’j moguće stvamosii. 1 to, njih viSe ukoliko -ê na adekvatan naćin iskoristi mogtićnost kombittovanja ciljmh kriterija i oarantčcnja. U stvan, radi se o sintuliranju poslovnih situaeija kao varijanti mogućiti ijitioda. Tako ncšto je nemoguće u rcalnim uslovima poslovanja, jer prctsiavlja utroženo vreme, a i resurse zavisiio od prirode materije. Stoga se ovo može okarakterisali kao sticanje vinuelnog iskustva. Adekvatno kori,šćcnje metoda i tehnika OperEicionog istraživanja pretpostavlja uCežće tima stmćnjaka Pored menadžera kao korisnika, ali i uccsnika u izbom ciljnih kriterija i ograničcnja, učesnici u tim u su stručnjak za Operaciona istraživanja, tehnolog, odnosno po^navaoc reEevantnog proccsa. ckonomista, kao i psiholog t sociolog u slučaju odgovarajućih tmpJikaeijc'i na zapostcne i njihove međusobtie odnose, Struktura tima ohe/.bedujc multidiscinlinamost kako ti pristupU tako i u nalaicnju resenja problema. Jer, svaki je poslovni problem \'iše ili manje rnult id isc tp It naran. Struktuni ?alUeva sa podacima iz tckućeg i prošlog poslovanja preduzeća radi primene odgovarajuće metodeodnosno tchnike Operacionih istraživanja stiotava se sa: - raspoloživošću takvjh podataka, - kvalitetom -- tačnost i pouzdano^t podatakah - prikladnostt inteiprctacija podataka, U slučaju nedostaika po fstkvom osnovu dovodi se u pitanje primena odabrare metode, odnosno tehnike, Aliv to podstiče nadlcžnc organc da se preduzmu odgovarajuće mcrc, kako bi sc obc?bedilo registrovanje i obrada potrebnih podataka. 5

OPERACJONA ISTRAtJVANJA _________________________________________ _________ Tq je svakako pozitivno sa !%tnnovis:a iredivanja prilika u predu/eću, radi koriSćertja meioda i tehnika Operactonih istr/ivattja ti buJučnosti Ove Sire mogučnojiii auU>matskog prcuzitnanja podaraka. bar kod. na pnmer. kao i druge (ehnićko - tchnoloskc mogućnosti otvaraja povoljnu perepekiivu za Sto Siru

primenu Operacionih istraživanja, a i Sire /a mformisanje u t/v rcjlnom vrcmcnu Dosadašnjc ickovinc kompjutcrske tehnoiogijc obećavaju sve ittre mogučnosli na ovom polju. Prilikoni korišćcnja I.incamog prognuniranja* Nclincaniog progriimiranja i druîh vfirijanii Matcinatskosi prograrniranjEi, ugradene posiavkc o numerički tačnom iskazivanju trajanja opcracije, na pr.. odudara od stvamosii, £lo proračunate vrednos*i pfobkm atizuje. Slično je i sa lincamim. odnosLio nchncamim odnosom pojedirth varijabli, što takode nc odgovara stvarnosti, Složenosl probletna i tnoguće brojne impEikacije ne mogu uvek biti ukomponovanc u maiemalski mođel. Nužno uproŠćavanje putcm eliminacije neobuhvatljivog dovodi U pitanjc kvaliiet dobćjcnih rešcnja. Karakter straicških. pa i jcdnog dcla lakiićkihT problema, onemogućava kvantifikaciju involviranih parametara, Gvi se problemi svrstavaju u rzv. nestruktuirane problemc. IVleiode i ichnike Opcracionih isirazivanja nisu podobne /a njihovo obiikovanje u matcmaiske m odek, pa su n im ttm ne mogu biti ni rcSavani Uprkos dosađa ispoljenih potc3koćas posebno su povoljm izgledi imajuči u vidu osivarctic domcie u kompjuterskoj, konkretnijc, software - skoj podršci u širem prodiranju Operacionih istraiivanja. £to dclimično potvrđuje dosadašnji tok zbivanja.Naime. relativno skromne perfomiansc memorijskih kapaciteta i brzme obrada (ransakcija, bttc su skromne u ;>oćctnoj fa/i konSćenja Operacionih istraživanja, objcktivno posma(rano Subjektivno, nedovoijna edukovanost \ pnkrivcni olpor novim metodama, korclira sa objekLivnim teškoćama. Sve skupa rezultira u veoma usporeno prodirar.je Opcracionih tstraživanja u praksu odlučivanja menadžera. Vrcmenom. ublažavaju se postepeno i nestajuT konstatovane objektivne prepreke i subjektivni otpor. U domenu hardware-a noemorijskl kapaciteti i brzine obrade propraćene m inijaturi/acijom pre sveeat centralnog proccsora - sen era zadovoljavaju moguće zahtcve, NeSto slično, /avisno od mvoa opštc kulture i odgovarajuće tnfbnnisanosti menadžera i ostalih, odigrava se i na području subjektivnog opiranja. U tom kontekstu poscbno mesto pripada veoma lx>gatoj literaluri Iz oblasti Tcorije odlućivanja. Ra&vei]javanje misaonog proctsa tokom odlučivanja oplemenjujuće delujc na usavršavanje odlučivanja Mcđutim, izostaje u dovoljnoj meri razvoj aplikacionih programa, koji bi omogućili rešavanje brojnih viSe ili manje struktuiranih probiema /a kojc su ispunjeni o&no\ ni uslovi kao što sul -

mogućnost kvantifikacije relevaiunih parametam,

-

postojanjc matematskih m odelat kao i odgovarajućeg algonima

Uvođ

Ono 5io još tivek nedostajeNto je: - mvo sređenosti o ip iizacio D ih uslo\ at - ađekvamo pveuzimanje podataka u realnoiu vremenu. i ne najmanjt; vaJno, naprotiv, tirnska saTadnja menadžera t njihovih saradnika sajedno i progtam era sa điufie strane. Ziibcle/eni napredak u protcklom vromenu po navedenim pitanjima fiani osnovanim oickivanja da se može mfiunati sa pozitjvnim promenama u bliskoj budućno&ti.

7

Lineaniv programirttnje

l. LINEARNO FROGRAMIRANJE Lineamo programiranje je možda najpom atija i jedna od rtajčeSće korišćcmh lchiuka nauke o upravljanjuh. To jc matemaitčka metoda alociranja deficnam ih rcsursa sve u smisiu postizanja zadatog cilja, kao šlo je maskimizacija profita, i.ineanio prograinirninjc je naslo štroku primenu u poslovanju, kod većine upravljatkih problema koji zahtevaju alokaciju rcsursa. Na primer, upravljački problcmi pri ođlučivanju u oblasti uprav]jatija proi^vodnjom, plnuiranja potrebncg hudêta, alokacije pcrsonnta* reklamiranja, i planirEinja promocije su poveânt sa dostizanjem zadatog cilja (maksimizacijorn profita ili minimizacijom ccne)t svc u zavisnosti od ogranićcnih rcsursa (novca, materijala. Ijudskih rcsursa, vrcmena, itd ) I.ineam o programiranjc uključuje opis stvam ih simacija pn donoSenju odlukn kro/ matematički niodeL koji se sastoji od lineame funkcije cilja i lineamih ograničenja resursa [2] Ncke karakteristićne primene o\ e metode su opisane u sledećim slučajevima: Proizvođač želi da usavrsi raspoređ proizvodnjc i pristup inve-ntarisanja koji bi zadovoljio zahtcve prodaje u budućim periodima. Ovaj raspored bi, u idealnom sluSaju, omogućio preduzeću da zadovolji potražnju i da u isto vreme m inim i/tra ukupnu prot/vodnu cenu. Tinansijski analitičar mora izabTari investicioni portfolio Ezmedu razlićitih altemativa skladiitenja i obavezujućih investicija. Analitićar bi želeo da uspostavi ponroLio koji maksimizira povraćaj investicije. Marketing menadžer že]i da odredi kako da se najboljc alodra stalni rcklamni bud?.et i/m edu razliCitih siLleniaiiva kao što su radio, televizija, novine i revije. Mcnadžer bi žeEeo da odredi "medija m ih" koji mahitnisira efekte reklamiranja, Predtizeće ima skladišta na razhćitim lokacijama ftirom z.emlje. Za zadati skup potroSačkih zahteva sa njegovim proizvodim ah preduzećc bi želelo da odredi koje skladi£tc bi trebaLo, koliko proizvoda i kojim potrošačima da isporući da bi ukupnt troikovi transporta bili minitniziranL Ovo Su primeri situacija gde se lineamo prOgramiranje
9

OPERACIONA iSTflA lilA N JA_______ _ ________________ _____________________ povraćaj iiwesticije, u ireccm /elim o maksimizLrati etekic rekkimirarju a u Cetvnam zahtevamo initiiiui/aciju tioSkova Lranspotia, £ svim zađacima LP predmet istraživanja je m aksim ittija Ui mmimizacija neke veiičine [3 ] U [TiaicniLstiCkom stnislu, 0\ i zahtcvi sc opisuju ftmkcijom cilja. FunkL’ija cl!j;l su jo i na>:iva kriterijum upravljatija [11 kritcrijunioin optimalnosli. Ona predsUvlja Funkciju \i5c pronienljivih /a koju je potrebnu odrtdai ekstrcmnu vrcdoost, tj. odrcdhi njen mmimum Lli maksitnum. Dmga osobina prohlcma LP su ogranićenja koja limitiraju stepcn mogućcg prirasta funkcije cilja. U pr\Jom primeru proizvodač jc ograničen zahtcvanom potražnjom proizvoda koju ircbEi da /adovolji kao i ograničenjima groizvodnoji knipacitcta. Problem finansijskog analiličara je odredcn ukupnom sumom raspoloiivih mvesticiomh Fondova, kao i maksimalnom sumom koja može biti investiran.'i u svaku nabnvku ili plaćaujc obaveznih invcMicija Ođluka o uboru medija koju donosi marketmg inenadzcr je ograničena fiksiranim budzeiom za reklamiranje i dosiupnošću odredcnih mcđija. U iransportnom problenm mininuilna ccna rasporeda iransporta je odredcna nabavkom raspoloiivih proi?.voda i/. svakog skladista Ova o g r a n ič e iiju vwjoš jedna opsia osobina svakog problema LP.

1.I .O P 1S P R O B L E M A L P Svi problomi LP imaju četiri iiajedničke osobinc: * Svi problcmi tcže maksimiztranju ili minimiziranju ncke količine (obićno profita ili cena). Ova osobtna se npisuje funkcijom ciija problcma LP. Najvažmji cilj tipiinog predu/eča je da maksimizira Svoj profit i to u dugoroinom vrcmenskom pcriodu. Ako sc radi o saobraćajnoni ili distribucijskom sistemu, cilj m oie biti miiiimizacija troškova transporta. * Prisustvo ogranićenja, đeftnisanje ogranićavajučih faktnra , podrazumeva odrcdivanje granica do kojih možemo reahi'ovau ci]jcve Na primei; ođluifivanje koliko proiz\o
Primer / , / , Problcm određivanja količina pruizvodn Proizvodno preduzeće želi da odredi koliko od svakog od tri razlićite vrste proizvoda bi trebalo proizôdili, za zađatc ograiiićcnc resurset svc u ci]ju maksimizacije ukupnog profita. Zahtcvi za Ijudskim rcsursima i materijalom t doprinos profitu za svaki od tri proj/ voda dati su sa: 10

Linearno programiranje

Rtsursi lutdsk: Materijala Profn

Zahlevj za rcsurs.im.1 Proi'/.vod 3 2 3 4 3 5 6 4 2 2 6 3

(Č2S0V&jcdLmci) (kiloArania |edimci) (L'asu', ll jedimci :■

lôstupnos! 3(W 420 kfi

Iju d sk i resursi su dncvno dostupni 300 časo\a zn. prmzvodnju. /a lih e m atcrijala su ogra&ičene na 420 ks dnevno. Troblein odkičivanja jc da odredi koju koUčirru ^vakog proizvoda ireba proizvcsri u cilju maksimiziranja ukupnog profita. Probdcm sc tnože dcfinjsati prcko modela lincam og progratniranja.

Promenljive odtučrvanja ’l’ri promenljive o
Cilj problema odredivanja potrebnih koliČina pToizvoda je maksiraizacija ukupnog profita, TrebaEo bi primeiiti da je ukupan profit suma prorit?. dobijcnih od svakog pojedinainog proim >da, Profit od proi/voda 1 je određcn proizvodom jediniinog profita, 2 dinara, i broja proizvcdenih jedinica, x\. Profiti za proizvode 2 E 3 su odrcdeni na isti način. Dakle, ukupm profu F(X) može biti izittžen kao Max F(X) - 2 ^ i +6 x2+3 g d cjc

2 X\ - profit od proizvoda l 6 xj “ profi; od proizvoda 2 3 Aj = profit od proizvoda 3

Dt [ftniscmje ograritčo\rajučih jaktom L' ovom probEemu ograničenja su limititane kuličine Ijudskih resursa i materijala koji su raspolo/.ivi za proizvodnju+ Proizvodnja svakog od tjri proizvoda zahtava obojt;, i Ijudstvo i materijal, Za ptoizvod 1, potrebno vreme angažovanja Ijudskih resursa potrebnih za proi/vodnju s\rakc jedinice proiz\-oda I je 4 saia, Dakle potrebe za Ijudskim resursima su 4 x. sati. Slićno lomc, proizvod 2 zahtcva a proizvod 3 zahtcva sali. Ukupnt broj raspoloiivih radnih sati jc 300. Dakle, Ograničenje IjiKiskih resursajc: 4

+ 3 x : + 5 x 3 < 300

Dgraničcnjc potn;ba zz materijaJom se formuliše na sličan naCin. Proi/vod 1 (a:() zahteva 6 kiiograma po svakoj proizvedenoj ieđini-cj, proizvod 2 {.^) zahtcva 4 kilogratna po jedinici, a proizvod 3 (x3) zahleva 2 ktlogram;i po jedinici. PoSto je nkupno raspoloživo 420 kiloiirama sirovog malerijaia, ogrameetije se izr;izava kao

il

OPERACiOSA tSTHAŽIVANJA________________________________ __________________ 6

x 1+ 4 X2 + 2 -v3 < 420

Takode svaka promertljiva ođlučivanja obavezno :nora imrni ncnegativnu vrtćnosi, jer bi bilo nelogično, ako bi preduzcće proizvodilo regativne količine proizvoda, Ovo pravilo [prirodan itslov) se zove nenegatvnost ogratučenja \ m;ilematički se izražava kao: T i>0,.v2> 0 , Xi>0 Većina problema LP ima tienogaitvna ograničenja. Ipak. jiroccdnra meiode LP je u stanju da nade rešenje i problema sa negativnim vrednostima promenljivih ako ih, iz neko^ razloga, deflnisanje problema zahieva i uz uslov da je model pravitno definisan, Megativne vrednosti se često pojave kada promenljiva odlućtvanja defini3e Slopu kao Što je na primer prirašmj siopc inflacije, koja može da se smanji ili da naraste, is'jeno smaryenje bi trebalo Lskazati negativnom vrednosii Znak ncjeđnakosti sc konsti pre nego znak jednakosti zato £to bi - znaćila potpuno koriSčenjii proizvodnug kapaciteia* a < dozvolja-va da je korišćenje pnnog kapaeiteia ostvareno lck onda kada jc dostignuto optimalno resenje. f2J Da bi sc završilo formiranje mođela LP. vršimo njcgovo matematićko postavljanje: \fax F(X) —2 X[ +6 j i +3 x$ p.o. (pri ograniCenjima):

4 xt +3 x2 + 5 x^3 0 0 6 jtl + 4jc^ + 2 xy < 420 Xl > 0 , X2> 0 hXj> 0 ReSavanje ovog modcla podrazumeva ttaienje optimzlmh vrednosti promenljis ih odJučivanja x t t .t5 i v? u cilju maksimizacije ukupnog profita F(X).

PHmer 1.2 . Problem ođređivanja optimalnog jelo vn ika Botnički nutrictonista mora da odredi koji će se doručak pripremati svr.ko jutro za pacijente. Deo njcgove odgovornosii je da sigumo ohezbedi minimum dnevnih poireba za vitaminom A i B. U isto vremeT jelovnici moTaju imati najmanju moguću cenu sve u tilju izbtgavanj:i gubitka. Glavni izvori vitamina A i B su jaja. slanina t žitaricc. Potrebe za vilaminima l sadrzaj svakug od ovih vitamina po svakoj od ovih namimica su prikazani u sledećoj tabeli:

Vitamin A B

mg/jedRom iaittu 3 4

Sadržaj vitamitia mg,- Sistv slanmc

žitarica

6

2

3

1

MLnimalne dnevnc potrebe (ma) 15 14

Cena jednog jajeta j t 6 dinarahcena jedno^ lista sianine je 4 dinara, a Solje žitarica košta 3 dinani, Nutrieionista 2eli da zna koju kolićinu svake od ovih namemica trcba da unese u jciovnik sve u cilju ponlizanja [ninimalnih dnevnih potreba za ovim vitamimmaTa vodeći raćuna o minimizaciji ukupne cene. !2

frfmwwp pi vgf titn irtin\je

Pfi§ftienljive odtućivanja Problcm odieŠivanjti optim alnog jelovnika sadrži tri promenijive odluCivaaja koje opis»]_in koliko je jedinica svake vrste namirnića sadr/ano u jelovniku; ,v- —biw;serviranih jaja x i = broj servirtinih tistova šlanme - broj šcrviranih Solja ûarioa

Fiuikcija ciijei C.’ilj ovog problema je iftininnizacija ukupne cecte svakog dorućka. U ovom slučaju ukupna een:L predstavlja suriiu po jedničnim eenama svakog serviranog jajeta, slanine ili žitarice. tz toga sledi da se fnnkcija cilja može opisati kao: Mift F(X) G.v; + 4 x%+ 3 x j gde j e : 6 A] - cen a (ti d Enarima) j ednog ser\rimnog j aj e ia, 4 Xz — cena (u dinariina) jednog serviranog lista slanine, 3 i-j ~ cena (u dinarima) jedne servirane solje 2:iLarica.

Đefiru'sanje ogran iča mjućih faktora U problemu odrcđivanja opiim alnog jelovnika, ograničćnja koja sadnče podatke o miiumalnim dnevnim potrebama organi/m a za vitaminima daje nLiirieioiusta, Svaka vrsta hrane koja se servira za dorućak ima količinu vitamina le miligramima po jed m iei koja je data u prethodnoj tabeli, Ogranieenja m vitamin A su: 3 x } + 6 jh + 2 a j > 15 E^de je: 3 X\ = količina vitamina u jajim a (u mt;) po serviranju, 6 .V1 - kolieina vitamina u slanini (u mg) pc serviranju, 2 r\j = kolićina vitamina u iitarieam a (u mg) po serviranju. Za mv.lšku od primera l . l . ti ovoin sluiaju korisiimo > nejednakosu odredujući minimalnu vrednost potrebnih vitainina, Drugim rccima^ najmanje 15 miligrania vitamina A mora biii dostJgnuto, U najjednostavnijoj i najgeneralnijoj formi LPT makgimizacija problem a podrazum eva postojanje < nejednakosti, a m inim izacija problenia > nejednakosli. lpak> ovo nije apsoUiltio pravilo poSto većina slbženih problenia veoma ćesto ima i Eiejednakosli, & takođe i jednakosti. Ogranicenja 2a vitamin B se odreduju nlično:

4 Xi + 3

2 x i> 14

Kompletan problem LP se sada mo?e sumirati. Mm FfX) = 6 xi + 4 rTi + 3 xi p.o.: 3 *i + 6 v2+ 2 > 15 4,V| + 3 ,v: + 2 x5 > 14 * !> 0 > X2> % X } > 0

Rešavanjcm ovog modela za promcnljive odlučivanja x u i *i, nutriciomsta m o ie dobiti najmanju moguću ukupnu cenu (minimum vrednost F(X)), sve dok u isto vreme ima u vidu najm arje potrebe za vitam im m a A i B. 13

OPEfLA CIOSA fSTRAŽlVA \ JA

1. 2. 0 rŠTI MODEL Li>

lz prikazana dva primera prltncne LP možc sc pdm ctitt jasan obrazac za opfilu forrnulaciju probkm a lineamog prograniiranja. U svakom problemu su definisani; pronicnljive odiučivanja, fiinkcija cilja i Dgfanićavajućt faktoil koji $u âjetino formirali matematićki model stvamc suUiacijc pri donoscnju odluke.

Promenijive odiućivanja U svakom problemu su dermisane promenljive ođlućivanja, koje obelezavaju nivo aklivnosii ili proizvedcnu koiifinu. U opšteni modelu^ ove promenljivc su dcfimsanc kao

Funkcija cilja Tunkcija cilja je osnovni uslov postojanja svakog upravljačkoa definiftane ftjnkcijccjlja jc nemoguee ostvariti konkrcrno upravijanje. prcdstavljja ukupan zbir svih ćuprinosft funkciji cilja svake od ođluCivanja, U matemaLićkoni smislu funkcija cilja predstavlja promenljivih za koju je potrcbno odrcditi eksiremnu vrcdno&t, tj. minimum ili maksimum, T o jc prikaâno kao:

zadatlta, licz Funkcijacilja promenljivih mnkciju vjže odrediti njen

o M ax{M in)F (X ) —C% Xy + c ,x 2 +... + c rx, + ^ + cHX„ - ^ c , x t >■i

gde jc; - F(.X) - ukupna vrcdnost funkcijc cilja - Cj - dopnnos po jeđinici akiivnosti: jedinićna dobil (ili jedinični iroiak) j - !,2M ...tn

Defhma nje ogran iča vaj učih fak lora O^raničavajući faktori modcla LP prikazuju ograniCcnu raspoto-živost rcsursa u problemu. Vrednost svakog od m nispoloživih resursa ćc bili dcfinisana kao bt (za i -L 2 .....m). Dcfinisaćemo sa aif vrcdnost resursa i utroScnog po jedinici aktivnosti j {j-I.2.>.„ri). Đ akk, jednačinc kojima deflnisemo ograničcnja su:

attXf+auXi + ... ... a;i + an x j + ... 4 a+jXj+ „ . + &tiXt amix<1+

a i2x * + **■+ ^ XJ + ■■■+

... + a^Xt+ ... + amnx^< x l>Xj ^... i Xff 0 14

L iiu'arnu prftgm tn iranfe Ovc osnovnc relacijo prikazuju sva ograniOcnja sa < fctjednakostima Funkcijski, osraničenja mogu takođc btti prikazana kao;

Qtl -tj + f/r:

yXf+—

h

Opšti oblik modcla LP može biti konačno prikazan kao: a

MaxCMin)f'{Ar) = C]X, + c ; -T, + ... + ty v ; + » . + c - Xm = Y * c r xj j =i p.o+: cj^ Jtj + 1j/ j.\ . 1 +

. . .

+

+

. . .

+(< ,= t> )

+ a ;;.y,+ ... + (i:„ vfl (^)

flj/jfy + t/ 1-

+ câffl (<.^, >) bi

+ ... +

amjx f+ a*.'X/+ ... +

... + a*nx„ (<,- , >)

*h X_V~»

> 0 Primena opStc notacijc ćc biti prikazana na priineru l.L Fonnulacija tog problema j t data sa: Max F(X)=CiXf + fcjjc2 + <

+ đjjJCj + a H Jfj +

+ t e *3 + tfijjrr

bt

< b; < bi > 0

JCj* Jc_>> gde param etn m odda imaju sledcce vrednosii: cs —2. cj rt 6. Cj —3 G/j = 4* o / : “ 3. *tjj - 5 H = 300 a2i w 6 r 4 Pti_v = 2t h j « 420 Konaćno, opšti model LP sc moift izraztti kao: ji

M ax(M m }F (A ‘) = ^ c v /-i ■

= ,£ )& ,; za svako r(i = l 52 ,r..*m) i svako x . £ 0

p,o.:

>■1 Prikazano ovom noracijom, problem iz primera ] J , jc dat sa: M a x F ( ^ J = 2 ’ c ,x ; J-l 3

1 za J “ U2 ;

p.o,;

% > 0 , z a y = 1,2.3.

M /5

OPF.RACiONA ISTRAZiVANJA Pardmctn prnbkm ^ !r"Oynn'Si programimnjii su vrcdnosh c)y uir i bt i podra/umevći se da su poznate konsiatile [2 ],

1 J.G R A F IČ K A rS T E R P R E T .4C I.lA P R O B L E M a LIN E a R N O C PROGRAVI TR.A.NJA Osnovtti zahtev LP je da fiiiikctja cilja i /a nju vescana ograniienja moraju brii iinearni. Ograntčcnja sad iic dvc pronrcnljive odlučivanjii kojc formtraju pravu liniju ;iko se nala/c u dvodiinenzionaluom prostoru. Geoinurijski m odd sa irs ograničcnja bi obrazovao ra’van, a u op^tem slučajn. n ograničcnja br fonmirtilo hipciravati {ravan geortietrijskj oblik) u u*dimenzioiu>m prostoru Zbog osobine lineamnsti, problomi t.P se mogu ilustrovati i tjrafički re&avati saino ako imame> dvc pmmenljpvc odlućivanja.[]] Ltko se dvodfmenzionalni problcinii rciko sreću u svakodnevnoj prak-si, ^raftčki prikaz LP je vcoma koristan jcr omogućava prika/ m oddovanja i i?nalaženja optimalnog reênja. Opraničenja zadaia u vidu jednačina su prcdstavljcna pravama, a ogrpni-čenja /adata u vidu nejednaCina predsiavljena sli poluravnima (domc-nima) it prvom kvadrantii koordi-nantnog sistcma.

Sltku /. / Oblasipt 'ip(idnosti at xi > 0 Kako je L kvadrant oblasi > 0 i x: > 0 T onda svaka iatk:i koja mu pripada zadovoljava ustov ncnegaiivnosti. Oblast dopustivih rclcnja/5 mora bih u prvom kvadrantu kooidinatnog sistema

X2‘

,

, / / / D/ . - , / / / ,/ s , * * •

4

•

Tačkc koje sc nalaze na pravoj zsdovoljavaju ograničenja data u vidu jcdnacina, a lačkc kojc sc nalaze u jcdnoj od poluravm, zadavoljavaju ograničcnja data u vidu nejednaćina Skup svih taCaka čtje koordinatc ndovoljavaju nejednačinu Cine jednu ravan - domen.

‘

*i Shka 1,2 Obfast pripođnosti za v* > 0

16

Litjeanio progrgmirttnjć

-----► xi Stiku !.3. Potozajpravu u tavni (slučaj

*1 Silha 1.4. Polozaj prave n ravui (slučaj niax F(X}))

ntin F (X))

Primer 1.3 Slučaj max F(X) Preduzeče proizvodi dva proiavoda, A i B Svaki proizvod inia sledcćc zahieve za resuistma i jcdinični ptinos proftta: Proizvod

RcsursL Marerijal (kg/jed) Ljudski (č/jed) [Jrofit (din/jed)

Proizvod B

2 5 6

\ 5 4

Ukispna raspoloživost resursa 9 kitogama 25 časovn

M aksimalno će biti proizvedcno 3 jedinica p m m m la A je r tako poka/uju prcdvutanja o budućoj potrainji. Ovaj probJem je foimulisan kao: Max F(X)~ 4 Xl + 6 Xa (profit) p,o,:

x\ + 2 x 2 5 xi + X[ x t, x 2

S9 ^ 25 <3 >0

(maierijal) (Ijudski rcsursi) (ograničcnjeprolzvoda A)

Formulacija modela je grafički predsiavljena slikom 1.5, U cilju gmričkog prika/ivanja iri konsianme nejednakosti+ neophodno je prvo svaku od njih iretirati kao jednakost i graficki ih prjjkazatL Grafik se konstruiSe Uko 5to se nalaze po dve tačkc 2a svaku od ovih jednačma. Ovc taćke se zatim nanose na svaku od osa i povezuju 3inijom (slika 1.5).

17

O P £ R A a o \\t ISTRA/n iAJA Najlakšt nacin da sc nac:ta sv ;ika od ovih linija je da sc jedna od promcnljivih u jednačini i?jodnaci sa nulom, psh da sc n;iđc vrcdnosl za ostalc promonljive. Npr, u prvom ogratii(J0 [1|U za r\ i ; :0 :->.Vn *■ 9, a akojc.i::- 0 =^>A| ~-K5.

Sltka f 5. Gtvfićki ptikaz odrtđivanjđ opriniahih količina proizvodtt Dodavanjc nejt'dnakosti < u svatom ograniicnju dcfiniSc region koji u isto vrem e ladpvoljava svc /adate oduose u ograniicnjim a. Ovaj region, osenčena površ ABCDE na slici LG. se definije kao oblasi pnhvatIjjvih lešenja'. Bilo koji par X\^z i?.van ovot: rcgiona nc predsiavjja pnhvatljivo rešenjc jer naru5ava jedno ili viSfi ograniicnja.

Sitkii 1.6 Prikazptihvatljivih i neprihvadjivih reh'nja

Npr. na slici ] .6. tačka R (koja jc unuiar oblasti prihvatljivih reScr.ja) i 5 (na grflnici oblasti prihvadjivih leienja) su dva primera prihvatljivih rešenja, a tačke P l Q sli primeri ncprihvatljivili rešenja. U datoj obbsti prihvatljivih reênja ABCDE mora se odrediti taćka {x[f t,) koja najbolje zadovoljava funkciju cilja (u ovom problcmu lo jc maksiinizacija profiia). Da bi sc »asjo oplirn;ilno reSenjc na fjrafiku se tnoixi pfikazati i F{X) Mcđutirn, FfX) nEjc jednnčina koja sc mo/.c prcdstavili iamo jcdfiom linijom, već sa vUc paralelnih limja koje /avisc od vtednoati koju ima F(X)\2] Na slici ! 7. sc mogu primctiti nekoliko osobina koje ima funkci ja citja. Kao prvo, svc prave kojc predstavljaju F(JQj 9U para]clne, To jc zato £*o svi nivoi funkcije

n Oblast pfihvatlji'rih rcSenjji jc ogiamćcna na prvi kvadrmnt /aio jer promcrt]jive aj i mnriiju hiii n«ncgativne- nslo^ da su ,vln .r; > 0. 1$

Linearno programiran\je cilja (|i™/,2 v;K uprkos razliĆUim vrednošfrma F(X), imaju isti nagib. ReS$yanjem x 2 u odnosu iki 1 -'fjj dobija sc slcđeća jednaCitia: F{X) 4 _ F{X) 2

=

6

-Xi = 6 1

ć

3 H

kj' ttagib ftmkcije cilja za svaku vrednost F(X). Spka i.7. prika/.uje F{X) nacrtanu za više raztičitih rešenja. F(XJP \2\ 4.r:+ fo -,-l2 T *1=3, *2=4 je predstavljena aa F(X)% Daljim poveiavanjem vrednosti F(X) do 20, dobija se još jcdtia limja koja prikazuje F(X)2, zarim i F(Xh, i F(X) 4,

Stika 1.7. Nugih funkdje citja Kao diTigo, očigledno je da postoji beskonačtm ve]iki broj mogućih tunkcija cilja koje su prika/ane pandcimm linijama. Posto je F(X)j > F(X)3> F(X)2> F(X) 1jasno jc da nije najbolja vrednost funkcijc ci]ja, jer ona može imati veče vrednoiiti. Takode je jasno da ni F(X)4 nijer optimalno rešenje jer ne sadrzi tnjcdnu taČku (.t|, Xt) koja zadovoljava postavljena ograničenja (nijcdna tačka na ovoj liniji se ne nalazi unutar oblasti prihvatljivih reênja ABCDE). F(X)i sarirži tačku B (gde je x-=l i = 4 ) koja sc nalazt jnutar oblasti pri hvatij ivih rešenja i ima vecii vrednost Dd svih osialih F(X) koje sadrže bar jeđnu tatku uimtar oblasti prihvatljivth rešenja. 2bog toga, inaksimalnu vredtiost F(X) lociramo u laćku B , Pošlo jc optimalno rešenjc pronađeno u tački dobi jenoj presekom dve prave koje definiSu ogratiičenja, vredtiosti .vi i x 2 se mogu dobiti rešavanjem ovth jednačina koje definišu ta dva ograničenja (materija] 1Ijudske resurse) kroz sistom jcdnačina:

*1 + 2 ^ = 9 5 x-_ + 5 x2 - 25 .r j +Z ^2 *= 9

X] +■ x2- 5

X \+2x^=9 x 1 5- jjfj

(materijal) (Ijudski resursi)

5-xi+2*i = 9 X\ — 5- xi

x2—9-5=4 X] = 5-

Zainenom x ( = 2 i .yt - 4 u F(X) dobija se njena optiinalna (maksi-malna) vrednost:

’ F(X)* 4 4 1 1 ) + 6 (4>-Z$ Na osnovu ovog primcra može se zaključiti da se optim aino reŠenjfi uvek nalazi na granici oblasti prihvatljivih rešenja [2 ] 19

OPERACIONA ISTRAtlVANJA

Oblasi inogjcift rešenjn rormirii konveksar p*r tačaka, Graoica ovog regiona jc fonnirana ođ grupa pravih iinija kojc u svojiin prcsecima stvaraju prcscćnu [.acku u tcirienii usila (kt>jc icstoticfm išu kao ekstrcftlne laćkc). Za bilo koji problem LP„ svaka ekstrcmna tačka oblasti prihvatljjvih rcšenja se nalazi u preseku n jednaĆina ograniOenja (w bruj piumenfjivih}, Bito koja prescćna tftfcka sc možc naći rciavanjem sistema oti ij lin em ih jcdnaćina.

Stifai t.H. Kojiveksan par Izuzetak od jp\'Og pravila jc viScstruko optimalno rcšenjc koje se pojavljujc kada je linija F(X) paralelna sa linijom koja prcdsiavlja jcdno od ograničcnja (kad dve funkcijc imaju isti nagib),

Prlhter 1,4, Slučaj min F(X) niinF (lV j- 2 x ^ 3 p.o.:

(ccna)

4î+ 8*2 > 40 (mtEiimalna dnevoa potrcba za vitaminom C) 6 i|+ > 4S (mimmaJna dncvna potreba za vitaminom Đ)

Xu*2 > 0 Cirafički prikaz ovog problema se ođrcdujc na slićan naćin kao i u predhodnom primem 1.3. Qb]ast prihvatljtvib re£enja u ovom problemu je predstavljena oscnfenim regionom, ABC. Već je dcfi-nisano da se oplimalno reSenjc može naći na grantci ovc oblasti, u presečnim tačkama. Mcdutim. u problcmu m ax F(X) optimalna vrcdnosE F(X) je bila u onoj taćki gde je ona imala najveću vrcdnost, Problcm min F(X) podrazumcva obm ui proccs, iznalaženjc presečne tatke u kojoj F(X) tczi što manjoj vrcdnosti (&]ika J /9r). Na s)ici 1.10. i e biti pnkazano više paralelnih linija koje predstavljaju F(X). \>cdnosti F(X) su sve niže i niže kako se linije približavaju koordinantnom početku. Linija koja prcdstavija F(X) a još uvek imn tačku koja pripada oblasii dopustivik rcšenja je, u ovom slučaju. F(X)f, Ova Jmija odôvara Uitki B koja piedstav]ja optimalno rescttje. Rcgavanjem sistema jcdnačina koje su prcdstavljcnc sa dve ]inije koje se sekn u tatki B dobijamo optimalno re&enje.

20

Linevrnv progrum ranje

Slika 1.9. Grajičkiprikazprobfema minimizacijc

4xi+ 8a'2 “ 10 (minim alna đnevna potieba za vitaminom C) 6xj+ W = 4 (rtiintEtiahu dnevna potrcba za vitaminomD') Optimalno rcšenje je: xi - 3, ^ = 4 i F ^ - 2 f 4 ) + 3 ( 3 ) - l 7 .

Siika I 10. Tctčka koja predstaVlja oprimalnu rešćnje

21

OPEH4 C IO \ A ISTIL421VA \M

Specijafoi sttičajevi opštcg fttodela LP Postojt viSc izuzetaka kocl opšteg modcla koji siidržc;prisu-istvo više optimaEnih rcšei)ja, ncresnc probleme ilibezgra-niine probleme, Ovi i/u /ec i se takođe mogy ilustrovati gTaft£ki:

Pnmet' L$* ViJestfuko optitnoino rešettje Višestruka uptimalna resenja postoje u problemu LP kađa F(X) pada u više ođ êdne optimalne tatke. Posto je grauica oblasii mogučih reienja serija povczanih pravolinijslcih segmenata, jedm o kada se mof.c pojavili ovakva situadja jc kada je iiajib F(X) i jedne od linip koja predatavlja ogranitcnja isii. Rcsiiihat ovoga je da F(X) prola/i kro/ dve susednc presečne ta£ke. [2] Max F(X)=2 Xf+ 2 x? p ro.:

.X|+ 2< 5 * ,+ 5 * : ž 25 *> < 3 > x u x7 “

9

0 Tunkcija ciljaT prikazana na slici 1. 11.. dodiaije tačkc A i B u isto vreme i dosli/e svoju maksimalnu ^Tednost na granici oblasd prihvrat1j ivih rcknja (za F(X)s). Svc tačke na ovoj liniji koje se naiaze i/m eđu tačaka A i B predstavljaju opttma!ne vrcđnosti.

Siika 1.11. Višestruko optintaino rešenja U nekim sluiajevima, postojanje višcsttukth optimainih rcSenja možc pomoći donosiocu odluke jer biranje izmedu viSestrukih reSenja dozvoljava donosiocu odiuke veću fleksibi!nost u odlučivanju

22

LiiMiarnt} jn-iigramiranje Primer L6. Nerešivi prohlem U nekim slucajevinm LP ne po-stoji nijedna tačka koja zado-voljavfi sva ograničenjti posta-vljenog problema ($]jka L I 2 .). Max F(X)= 3 jci + 2 x 2 p.o,:

< *l > X2 > Xh?%2 >

4 jfj+ 3 x 2

12 4

6 0

SUka J.J2. P rika z problarna hez

prihvatljivih rešenja Linije koje predstavEjaju ova tri ograničenja sc ne presecaju: * ii e postoji obla&t prihvatljivih reSenja, * F(X) ne prolazi ni kroz jednu tačku koja u isto vreme zadovoljava sva tri ograničenja, ne postoje oprimalne vrednosti promenljivih ocilučivanja.

Primer 1 6. Bezgranični problem U nekim problemima LP oblast prihvatijivih rešenja dobijena linijama koje predstavljaju ogra-mčcnja nije definisana zatvorenom granicom (slika 1.13,), Max F(X)= X[ + X2 p,o,:

Slika LŽS. Prikaz hezgramčnog prohlema

23

^ 3jt]+ a 2 <

2

- Xl~*r -^2 ^ x ltx2 >

3 0

OPERACfOS’A fSTRAtiVASJA

1.4. SIAAPLEKS M ETODA 1.4.1. OPSTE

po sta vk e

Simpleks metodu rcSavanja zadtttaka LP je !c>47. postavio D io rd i Dancig. Većiita probteina LF s:itirzi viže otl dve promcnljive i ne Tnogu st: rešiti grafi£kom metodom. RaCunarekt programi zasnovani na ovoj metddi mogii rutmski rošavati probleme L.P sa nekoliko hiljada promenljivih i nekoliko hiljadii ogrartiOeirjii Simplcks inctoda {uradena u labetarnoj formi) je ništa drago dn scrija matemaiičkili koraka. kao što su ncki autori primctili, matematička aparatura, Vrcdnosti iz modela LP sc tmose u simptcks aparaiurj, i skup unapred dcfinisamh matomadCkih opcracija se u^pcino primcnjuje tako žlo $e idc od jednog do d rjg o g dopustivog reStnja sve dok sc ne dostignc oplimalno resenje. Pri ovom posiupku, u svakom koraku, vređnofit funkcijc cilja F ( \j jc u svakoj iteraciji svc bliza optimalnoj vrednosii (minimumu ili maksinmmu>,[2] Kretanje sc obavlja duž jedne ivice konvcksnog mnogougta oblasti dopustivih resenja D od poieinog do optimalnoii rcienja. U svakoj ekstremnoj tački, konveksnog mnogougla, simpleks meioda obavefitava da II je to tačka optimalnog rcScnja, a ako nije u koju sledeču ckstremnu taiku treba ići. Prvo se od kocficij^nata F(X) i ograničenja, po odrcdcnom postupku, fomtira početna snnpkks tabela koja predstavlja počctno rcšcnjc, koje se odredenim iterativTiim postupkom poboljSava dok sc ne dobije optimalno reSenje, Svako re£enjeT od poćetnog do optimatnog reScnja, sc iskazuje posebnom simpicks tabelom. Ojjraničenja modcla LP su najče£će /adata nejcdnakostima Da bi se prablem LP rešio ovom metodom, potrebno je početm model deflnisan sistcmoni nejednačina pretvoriti u sistcm lincmih jcdnačina. Dodavarjem dopunskih (izjednačujućih) promenljivih u postojcćc aejednačine, one postaju jednaOinc.

Primer 1,7, Dodavanje tfapunskik (izjeđnačufiiiih prvmenlJMk) Rešavanjc problema pomoću siinpleks mctode predstaviće se na pr\hom primeru, koji je u prethodnom po^lavlju već rešen grafičkom metodom (primer 1,3,, slika 1,7.). Modet LP je zadat F(X)l Max F(X) = A X\ * 6 x^ p,o.:

X| 2 jc; 5 X\ + 5 .ti * *t>xt

< < < >

9 25 3 0

Potrebno je odrcditi počemo rcšenjc kojc če, postepeoint poboljsanjem, dovcsti do optimainog rešcnja. Primena simpleks metode je moguća samo ako se modcl 24

Lineanio progrumiranje prcthodno priEagodi u oblik pogod
X\ + 2 X2 + 5 X\ + 5

x\

E9

+X a. -2 5 +.v5- 3 * 2 ^ 3 , X*, X s> 0

Kunkciju cilja zatim proširjjem o dopunikim promenljivima kojc u njoj u£cstvuju sa koeficijcntima jednakim jiuli, što obezbeđuje da nc utiču na vrcdnost F(X): Max F(X)= 4 xi + 6

+ 0 X) + 0 xt + 0

Rroj procnonljmh se povcćao od dve na pet proinenljivih (pei ncpo-inatih), Svc promeiiljive možemo pođcliti u dve grupe, i to;

a) Rsalne prom enljive To su promenljive *| i x2 koje potiču iz pocemog (op^teg) problema i čiju optimalnu vrednost uiažimo. To su: * ičina pioizvoda A koja se proizvodi u posmairanom penodu, tj. ulazi u optimalui program proizvodnje, ■ r ;-fcoličina proizvoda B koja se proizvodi u posmatranom periodu* tj. uiazi u optimalni program proizvodnje,

b) Izjednačujvče (đopunske) prom enljive. To su promenljive: x x 4 i koje imaju za cilj prevođcnje opsteg obHka zadatka LP u oblik pogodau za rešavanje algoritm om simpleks tabete, tj. u osnovni oblik. Ovo se postize đodavanjem dopimskih promenljivih, svakoj od nejednaeina, koje imaju za citj da dopuue nejednačiuu za onu vrcdnost, za koju leva strana ođstupa od desne, Porcd algebarskog imifila, dopunske promenljive imaju i svoje ekonomsko /n aien je, koje zavisi od prirode ograničavajućih resursa, 11a koji se promcnljiva odnosi, Kako se ograničctiia ugla-vnom odnose na resurse, to dopunskc promenijive predstavljaju neiskorišćene re&urse. U našcm primeru dopunskc promenljive imaju sledeće znaćenje: * ,v3 “ promc ri Sjiva koja defiHiše utrosen i mater ij a i, * *4 - promen lj iva koj a dcfin 15e tsko ri5ćenj c 3j ud s k ih resursa, * x$ - razlika izmedu proizvedenc količine proizvoda A i ograničenja kojc odrcduje koliko je potrebno proizvesti proizvoda^.

3 Roefitijcr.ti uz dopunske promeailjivc su jcdinićrii i mogu formirafi počctno (bazno) rt:5enje kome odgovara jedinična rnatrita. Pretpoaiavka o izboru počcme bazc jcste nenegaiivnost Eitobodnih Cianova u ograničeniifna. 25

OPE&4ClOSA ISTRAŽIt ASJA

1.4 .2 . PO ČETN O B A Z N O RH ŠEN JH Simplcks mirttHia je prccedura koja se sasiojj t/ Tn osnovna koraka: ] . Dc fi n isanje početnog baznog rešetjja ,

2 , T ra/tnjc boljeg resctijn. ako otio uopSlc posiojiJ. K^dii sc ono pronade, gimplcks procedura ;jiitt>matski climiniSe sva prcOiodna, ]ošija rcsenja; 3.

Ovaj proces se pOnavlj& SVC do trcnuika kada sc vi5e nc može pronaći bolje resenjc. Simplek$ procedura sc /austavlja kada sc pojavi optimalno re^cnjcTl]

Jcdna od osobina stniplcks tabct^ j e da se zahvaljujući njenom uproStenom računu ostvamjc veća lakoća razumevanja standardiiog inodcla LP koji se prikazujc u vidu tabcic. Počcma simpleks rabcla Tf) prcdstavlja početno (baino) relenjc, formirano od dopunskih promenljiv ili Za počctno rcScnjc sc biia ono retenjc kome odgovara jcdinicna mattica, U počeinoj tabeli realnc promenljive spadaju u gnipu sfobodmb? promcnljivih, £io znači da stt njihove vrednosti u počctnoj simpleks Tabeli jednakc mili (X| = 0 i x t — 0). Parametri modela LP se razmcstaju u tabdu po poljima na slcdeći načm;

Počema simpleks tabela Tq c

B

Xq

c ! .,.

xl c^rO c^= 0 ■X X

Jf.-,

X„2 * ■P

Cn+m=0

h _ £

.n

č,

*3 &I2 f l ,T :

Cn ■4 4

mmm

■i +■»■

b* ttm1 a*2 flj* +!

0 *c,

&!*

aiK

Jj.+/ 1

0

t e

0

1

. . .

C a + a t~ ~ 0

. . .

0 . . .

0

■ a.in

1 "V

. . .

:

Fr cj

£ff

c .o '0

. . .

Qam

0 0

0 0

. . .

L

0

Poćetno reScnje glasi: CVj,*/ - btl AVfj = b:i X r - frw). Ostvarena dobit izborom ovakvog proizvodnog pro^rama gde su količinc proizvcđemh proizvoda X| ~ 0 i x 2 - 0) je jcdnaka nu!i: F(X)-0.

O snovna pravila za rađ kođ popunjavanja sim pleks tahele: Tabcla koja je popunjcna pammcErima \z matemailčkog modela koji opisuje ?adati prublem odlucivanjni. predstavlja počcinu simpleka tabelu. Ona s£ sastoji od kolona t redova.

4 npr. ako sc mdi o slučaju maksimizacije gdc funkcija ciljj prcdstavlja proftt, traži se sledečc rt&enjc koje omogućiiva vcćt profit ij. veću vrednost F(X7 s Promenljivc koje tie ulajc u baziSno rcsenjc inaju vrednost nula (x\ = 0 i x2» 0). Čcsio, ko3onc koje pokazuju reatne i dopunskc proinenljive nazivnino kolonama slobodnih promenijivjli. 26

Lineanto programiranjš

Razhkujemo:

stalne i 2. 'promenljive kolone. 1,

/, Stahie kolonei t \ B i X q imaju sledeće znaienje: •

C - oznaćava koeficijenie koji stoje u F(X)y uz onc promcnljivc koje saeinjavajti potetno reSenje. (Za max F(X)= Axi + 6xj, koefldjem i imaju sledeće vrednosti: C/- 4 i c j= 6 ).

•

B - oznaćava promenljive koje predstavljaju bazično rešcnje u svakoj

•

Xq - označava vrednosti baznih promenljivih, iz kolone B t u datoj

iteraciji. Određuju se na sledeći način: ako se u preseku posmatvane kolone 3 sa svim redovimaT naiđe na koeficijent 1) samo u jcdfiom redur a u svitn ostalim redovima te kolone koeficijenti su nule, onđa sc promcnljiva iz tc kolor:e upiše u kolonu 5, i to u isti rcd u komc se nalazi koeficijent ( + 1). U poćetnoj simpieks tabeli, koIo.nu B sačinjavaju dopunskc promenljive, jer jcdino one formiraju jediničnn mjitricu baze, i.; nažem primeru to kl3 promenljive: Xj, x 4 i Xs itcraciji (kolona za npis vrednosti stobodnih članova, u ovom primeru to su 9, 25 i

3

u

n

2. Promenljive kolone: X., j - i ,2 ,. ^n i Xn+tt (i-1 ,2 ..... Zavise od broja prom enljivih (nepoznatih) u modelu. L] njih se upisuju koeficijenti koji stoje uz promenljfve u ograničenjima. Iznad ovib kolona upisuju sc koeficijenti uz promenljive u F(X) (u Ovom primeru to su cj= 4, c; = 6 , c jjr j = 0), Simpleks tabela sndrži, porcd zaglavlja, onoliko redova koliko ima ogranieenja (jednačina) u modelu, uvečanih jedan red OZnačen sa FfC^. P r\i red nastajc unoScnjem kocficijenata prve jcdnačinc: xt + 2 jci>+ a j - 9 . Pri tomCj slobodan Član prvc jednačine (9) unositno u kolonu X t}, koeficijente uz promenljive u kolone od Xj do ( 1J 0 kol 01111 î, 2 u kolonu *3 i ( l) u kolonu ,v3l u ostala polja (0); p ro m c n ijiv e^ i x$ ne ulazc u prvu jednaČinu). Ovo pravilo važi i za sve preostale jcdnačinc kod formEranja počctnc simplcks tabck. Red FfCj nam omogućuje da vidimo da li je dobijetio reSenje optimalno ili ne, kao i koja promenJjiva ulazi u naredno reSenjc. Takode, red Frc^ nam pokazuje i promcnu F(X) koja jc postignuta poboljšavanjem početnog režcnja (ako se razm atra problem maksimizacije, F(x)}F(\)j > . . . . L’ prescku koloneAfl i reda Fj-Cj prikazuje se vrednost funkcije cilja u toj u preseku osialih (slobodnihj kolona i reda Fr c{ prikazuju se koeficijenata funkcije ciija, Svi redovi, počctne simpleks tabele T0i popunjavaju se prenošenjem koeficijenata iz sistcma jednačina, Za razliku od ovih rcdova, čiji broj 27

iteraciji, a promene vrednosti zavisi od

OPERACIONA is t r a ž jv a n ja

broja jednaćma. siahii red Fj-Cj se za poćemu, j svaku narcdnu labelu. pcpunjava koeficijejMima koji se dobtjaju izračunavanjem, i to: * Koeficijent u preseku rcda F-c; i kolone Xit (a Lo jc vrcdnosi F(Xj) dobija se tiinoženjern koeflcijenata kotone C sa koefLcijcniima, i/ tsiog redaNkolonc Xtt nakon eega se sabirajj proi/votlt, Kako su, u poCctnoj (abe[in svi kocficijciui, u koloni C jednaki nuli, onda uvek u poćetnaj iabetiT u preseku reda Fr c} i kolone imamo da jc vrcdnosi funkcšje cilja jednoka nuli: F{X)~ 0 jts + 0 x 4 ■+ 0 Xf -~ 0, * Koeficijenl u preseku reda Fr cs i kolona Xj i XM-t dobijaju se množenjcin kocficijenata kolonc C sa koeflcijentima, 'iz Utog retia, koLona Xj i XH*it nakon čega se sabimju njihovi proizvodi. Od tiobijeno^ zbira treba ođuzdi otiaj koeficijent, iz zaglavlja tabele, kojt stoji uz odgovarajuću protnenljivu u funkcijt cilja, Kako su u početnoj tabeli svi koeficijerui u koloni C jednaki nuli lađa če. u preseku reda Fr cf i koiona xJf srajati kocficijenti uz promcnljive, iz tunkcije cilja, ali sa promenjcnim znakom ( u ovom pritneru za prvu koloou koja predstavlja promenLjivu xj vrednost koeflctjenta /a kolonu biče: Ft-ct = 0*1 + 0 5 + 0 t - 4 ^ - 4 Ui -cf). Postavlja se pitanje: Kadn /lj dobijeno rešenje optimuluo? OptirnaSno reienje sc dobija kada su zadovoljeni potrebni uslovi. a svc u zavisno&li od toga da 1i sc traii maxF(X) ili mir \F(X). Ti uslovi gla5e;

а) Slučaj maxF(X): sve dok u redu F r * postoje negarivni koeHcijenii optimalno rešenje nije pronadeno, tj. kada jc ispunjen uslov da su svi koeficijcnti u redii Fr C j> 0t pronađcno re5enjc je Opttmalno PoStojitnje t jednog negativnot; koeficijenta u redu Fr q ukazuje na mogućnost diiljeg povećanja vrednosti funkcije cilja* To znaii da probiem nije reSen i da rešavanje treba nastaviti.

б) Slučaj minF(X); Sve dok u rcdu Fr cp postoje pozitivni koeflci je n ti optimalno reSenje nije pronađenOt tj kada je ispunjen usJov dd $u $vi koeficijenti u reda Fr c ,ž 0 , pronađeno rcSenje je oplimalno. Postojanje i jednog pozitivnog koeficijenta u redu Fr cs ukazuje na mogućnosi daljeg smanjenja vrednosti funkcije eilja, 5to znači da problem treba dalje rciavati Na osnovu prethodno izložcttih pravila, za popunjavanjc redova i kolona počeitic simpleks tabele, fomiirano je počctno reSenje dato u tabcli T1,?: T

a

________________________________________________________________________________ __________

c

0 0 0 ...fe

B

X0

4.5 x4 Xs

9 25

3 0

4

6

0

0

0

X*

0,5 1 5 1 -4

11

A-2 5

0 -6 o

28

0,5 1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 0 0 ; 0

_________________________________ _____________________ Unearnu programiranjc

Početna snnpleks rabela, za poćemo rešenje (sa jediniŽndm matri-com). uzim a ie£enje kod koga su sve roalnc promonljive jednake nuli: a dopunske pronienljive (iEi veitaoke kada se uvedu), koje defi-nišu bazu, imaju vrcdnosti slobodnili članova iz skupa ograničcnja 9 >* 4- 25 t x? — 3 Po svom tkonom skom znćičcnju dopunske promenljive nam govore da se laspoloživi materijal i ]judski resursi neće uopšie kcristiti. Dakie, polazi se ođ pretpcistavke da se ne obavsja nikakva proizvodnja proizvoda A {xi - 0> i proizvođa B (X: ~ 0), Otudii se ne može o$tvariti nikcikva dobit, pa funkcija cilja ifrta vrednost nuia» F(X) = 0 .

1.4.3. PRONALAČENJF.

o p t im a l n o g r e š e n ja

Postupak za ijjnalaieiije optimalciog rescnja se reali/uje po odredenim kriterijumima pravilima w reSavanje problema, Ti kritenjumi &u sledeći: * kriterijum za ii:bor piom cnljive koja, u narednoj tabeli, treba da bude zastupljena u rešenju; * kriterijum za izbor promenljive koja, u narednoj mbeli, treba da izade iz resenja; * pravilo za utvrdivanje vrednosti pnjmenljivih., koje cine bazno rešenjC) u narednoj tabeli; * pravilo za utvrdivanje \'rednostt svih koeficijenata u kolo-nama, slobodnih promenljivih, narcđnc tabclc. * KftrafeeristiĆHa (o^rtačena) kolona (k.k.) - označava kotonu slobodnc promenljive, u tckućoj tabeli, koja ulazi u naredno bazno rešenjc. * Kamkteristični (označeni) red (kj\) - označava rcd bazne prometiijive iz kolone B , tekuće tabele, koja izlazi iz baznog re5enja. * KatM &kteri$Učni koeficijent - koeficijent koji se nalazi u preseku k.k. i k.r. nazivamo karakteristitnim koefECijenlom, KarakteristiĆni koeficijent označavamo sa k . Daljim rešavanjem počinjt? proccs postcpcnog poboijsanja rcšenja, koje će za date tislove biti I optimalno. U svakoj narcdnoj simplcks tabcli vrcdnosl funkcijc cilja će biti veća nego što je bila u prethodnoj. Kako, prema kriterijumu m aksimum a, nije zadovoljen uslov da su svi koeficijcnti u rcdu Fr Cj> 0 t (F)-cj--4 i F*-cy--6), prclazimo na formiranjc narcdnc simplcks tabete. Pn.i korak je izbor promcnljive koja trcba da uđc u rešcnje.

Kriterijum za izbor promentjive koja tdazi u naređno rešenje a) Shtčaj mavF(X): U bazicno m oguće resenje, u narednoj tabeli, ulazi ona slobodna promenljiva kod koje se u prethodnoj tabeli javlja negativna vrednost U redu Fr c; izuzirnajući kolomi Xq, Od svil^ negativnih vrednosti treba izabrati onu koja ima najveću apsoiutnu vrednost, odnosno treba izabrati najmanji negativni koeficijent, jer ona obezbeđuje najbrzi porast funkcije cilja. 29

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA Negativne vr-ednosti pokazuju za kolika se poveĆava vrednost F(X) po jedimci promenljive koja ulazi u bazno dopustivo re&enje.

b) Slučaj minF(X); U bazično moguće reSenje, □ narednoj tabeli, ući će ona slobođna promenljiva kod koje se u prtidhodnoj tabeH javlja najveća pozitivna vrednost uredu Fr c *7u 7rimajuči kolonn Xn Pozitivue vrednostj poka/uju kotiko se smanjujc vrednost F(X) po jedinici promenljivc koja ulazi u narcdno bazno dopustivo reSenje, Za posmatrani prtmer je u počemoj simpleks labeli od svih pet promenljivih> bazno dopustivo rešenje sačinjavajn promenljive; xA E x$, Van ovog rešenja nalaze se prpmeiijjive x\ i x *. Iz tabele Ttt treba da izađc jedna od: x^, ili x5 promenljivih, a da jedna od slobodnih promenljivih x : ili Xi ude u naređno rešenje. U potetnoj tabeli, u redu Fr c}, a u kolonama slobodnih promenlji-vih, postoje đve negativne vrednosti, i to; a.

Ft-ct = - 4, za kolonu X;, što nam gbvori da, ukoliko se proizvodi proizvod A, onda će se vrednost F(X) tj. dobit iz prethodnog rešenja povećati za 4 dinara po svakoj jcdinici proizvoda A, tj, svakoj jedinid promcnljivc ako se odluii da ona ude u naredno resenje.

b.

F^c; = -ćTza kolonu X $ što nam govori da, ukotiko sc proizvođt proizvod V, onda ćc se vrcdnost F(X) tj. dobit iz prethodnog rešenja povećati za 6 dinara po ^vakoj jedinid proizvođa V, tj. svakoj jedinici promenijive xi, ako se odluči da ona ude u naredno resenje.

Proizilazi da trcba birati proizvodnju onog proizvoda (A ili V) koji omogućuje ostvarenje veće dobiti u poslovanju preduzeća. Kako je cilj da se što pre pronađe optimalno rešenje, u kome F(X) postiže svoju maksimalnu vrcdr.ost, proizilazi da od svih slobodnih promcn]jivih ircba izabrati onu promenljivu, za ulazak u naredno rcSenjc, koja omogućuje najveći prirast F(X). Prcnna kriterijumu, za izbor promenljive koja ulazi u narcdno rešenje, a za slućaj kada sc trazi maksimum funkoije cilja, ući će ona promenljiva kojoj odgovara najveći (po apstitutnoj vrednoćti) negativni koeficijenr u redu Fj-Cj, U slučaju posmatranog primcra to je promenijiva x koja u svojoj koloni ima manju apsolutnu vrednost: |jF] ™C, j —|—4. - 4 i F: - C 2 — - ć - 6 . ZakljuĆujemo da je slobodna promenljiva koja ulazi u narcdno rcšerjc xZl šlo simbolično oznacavamo jt7 *2 U početnoj tabeti T0 kolona, koja pripada promenljivoj x2} prcdsta-vlja karakteristiSnu koloriu. Kako je ukupan broj promenljivih kojc se mogu naći u rešenju jednak triTzbog ulaska promenljive taj broj se povećava na čctiri, U tom slučaju potrebno jc da jedna promenljiva^ \z poćetnog rešenja izađe, tj. treba izbadti jednu od promenljivih: xA i 4

30

Lineamčt pragramiranje Kriterijtim zu izjbor promenljive koja iziati iz rššenja: Kriterijum za odrcđivanje promentjive koja izlazi iz prethodnog resenja vrSi se po slcdcćetn posmpku: c,

Označi se karakterislična kotona, slobodne promenljive* koja rreba da uđe u oarcdno bazno reSenje, U počctnoj tabcli to je kolona Aj promenljive xi. U o/načcnoj (karakierUtićnoj) koloni uzimaju se u ob?.ir samo pozitivni koeftcijemi (neganvni ncnje r dcljenje sa njima nema smisla).

d.

Podcle se svi koefidjenti iz kolone X$ sa karakleristitne kolone i utvrdi najmanji količnik:

(j=L2 -

>0

r

Ai I

— mm

h

b

m in

| a ,3

tui + I

koeficijentima

ti+rn)

( i = I J .....m)

fJ IVMV

pozitivmm

9 25}

21 5

- m in ^ S jć } = 4,5

lz prethodnog, pocctnog rešenja, trcba da izadc ona promenljiva kojoj odgovara najmanji pozitivni kolićnik. U počctnoj tabeli T& najmanji pozitivan koh£mk odgovara promenljivoj x$. R^ri kome pripada ova promenljiva naziva se korakterisfični red. U ovom slućaju, promenljiva -rs trcba da izade iz poćetnog rcšenja, a umeslo njc, u naredno reScnje ulazi promenljiva x2> Ova zamcna sc simbolično oznaćava kao *3 xt U prcscknt karaktcrističnog rcda X 3 i kaiakteristtčnc kolonc X j nalazi sc karaktcristtčm koeficijcnt A . Tako dobijem količmci se zatim upisuju u gom je đcsne uglovc polja, ključnog rcda, ogradenc kvadratićcin (tabcla To). Prema količniku, koji sc nala/.t n gom jem desnom ugtu polja (u prcseku kolonc A"u i k.r. X ) , vidimo da će sc pror/vod B prokvoditi u količmi od 4,5 jedinica odnosno vrednosi promenljivc v> u tabeli T. i/nosi 4,5. U narcdmi tabeiu (7>)h u isti red, prepiSu se kocficijenti (koiičnici) iz gomjih desnih uglova polja, kljućnog rcda, ogradeni kvadratićcm iztabele TJj, Pri tomc sc u koloni narcdne tabcLc* na m csto promcnljivc rj koja izlazi iz rcsenja, upisuje promcnljiva x2 koja ilazi u rcšcnje, U koloni C upisuju koeficijcnti uz promenljive (definisane u koloni B) u ftuikciji cilja

Utvrđivanje vrednosti prottienljivih koje čitte huzno resvnje Vrednosti za kolonu A'o.' Vrednosti bpzniK promcnljivih u narcdnoj tabeh izraćunavaju se tako sto sc njihove vrcdnosn, tz prctbodnc tabele Crcšcnja), odu/im a proizvod izmedu vrednosti promcnljivc koja ula?i u naicdno rcšcnje (promenljiva ,r? 4.5) i odgovarajućih kocficijenata u kljuCnoj koloni

31

OPERACIOSA ISTRAŽfVASJA Ma OSnOvu kritcrtjuma za i/bor promenljEVt koja ulazt 11 regc&jc, odlučujcmo se za pioizvodnjt] proizvoda B , Proizvodnja jetlne jcdinicc proizvođa zahteva upolrcbn I jcdinice matcrijala. Pošlo sc proizvodi 4.5 jcdinica proi/voda B to čc tikupan uirošak materijala, za proizvođnju cdokupno količinc proizvoda B, iznositi 4,5 jcdinaca matcnjala

Ku~ 4,5- ] * 4 t5 jcdinica matcnjala. Kako raspoloživa {Kr) količina matcnjaki i^nosi 4n5jedinicah i /. raz[ikc rdspoložive (A'k) i angažovanc kotičinc matcrijala, za proizvodnju cciokupnc količinc proizvoda 8, dobijamo nctskori-sćenu kohćmu v; matcrijaLa, a za o\akas program proizvodnjc ta kolidina iznosi: rod Xy.

Xj m Kr - Ka Xy " 9 * 4,5 —4,5 jCtEinica matcrija]a,

U narcdnoj labcli promcnljiva .i)( koja piedstavlja nciskonSćcnu količinu matcrijala potrcbrojj /a proizvodnju proizvoda A. ima vrcdnost 4,5. Na sličan način se saznaje i noiskorisćcnost raspoEoživih Ijudgfcth rcsursa.

K«™ 4,5 ■5 - 22*5 časova, pri Cemu jc n đJE f

x*-K ,'K a “ 25 - 22a5

2,5 fasova.

Pošto sc u počctnom baznom rcšcnju ncćc proizvoditl proizvod A * pa će sav raspoloživi (AO) kapacitot za proLzvodnju togproizvoda ostati nciskorišćcn: te d J fc t

** = * ; = 3, ( £ , - 0 ) vrfiffddff koeficijenata u kolonama slohodnih promenljivih

SEično pravilo važi i za utvrđivanjc kocficijcnata svih kolona, kojc predstavljaju slobodne promenljive, zz narcdnu (novu) simpicks tabehi, a kojc glasi: kocficijcnt za Mi rcd i/-tu kolonu (U njiho-vom prc^cku), u naredno] simpleks tabdi, utvrduje se kada sc od koeficijcnta u prcseku r-tog rcda i /-tc kolone, prcthodne tabelc, oduzme proizvod izmcdii koeficijenata u Mom redu karakteristicne kolonc i j-roj koloni karaktcristicnog rcda, prcthodno pođcljen karaktcrisličnim kocftcijcntom A , kojt sc nala/c u gornjim desnim uglovima polja (ključnog reda) ograđcni kvadratićcm. Pri lomc sc prtpisuju svi kocficijenti iz prethodnc tabcleNi tO * po kolonaina, ako sc u karaktcristjčaom redu tc koionc nalazi nula, * po rcdovimahaieo sc u karaktcrističnoj kolont tog rcda nalazi nula.[ 1] Kao rczuliai zamene .rj <=i x : dobijsmo novu simplcks mbelu ( T j, kao ■ novc kocficijcntc u poljima tabclc.

32

Linearno programirgttje

K ohna Xj u fabeii Ts; Kocficijcnt /a polje ( 2 J k koje sc nalazt ■; prcscku tlrueog rcda X* i prve kolone X^ d<^bijan’io kada *c od koeficijcnta, istog polja tabele r r;, odu/m c pvoi/vod iznicđu koliCmka (i/ gom jcg dcsrio& ugla polja, kljti^nog rcda ogrudcn kvadratidem u tabcli Tq) kolonc X j i kocHtijcnU iz dmgog rcda ključnc kolone A', drugi red X , : 5 ~ (0,S ■5) = 5 - 2,5 = 2,5. Na sliuan naćtn sedobijaju osiah koeficijcrti za polja kolonc X§i

treći red Xy, 3—(4,5 ■0) = 3

F ~ c , : F. - c , = - 4 - [ 0 , 5 ( - 6 )] = - 4 + 3 = - 1. Kako kolonc: i Xs u karaktcrističnom icdu ,Vj imaju vrednost nula, to u ovim kotonama, u narednoj tabeli, ncćc doći do promcne kocficijcnatii, pa ih takve prcpisujcmo \z prethodnc (poćctne) u narctlnu tabclu. Slično sc odnosj kada se u rcdu karakTcristićnc kotonc pojavi nula. Tada kocfjcijentc \i rcda u komc sc u karakterističnoj kaloni natazi nuJa, prepisujenio u narcdnu tabelu. U početnoj tabcli to jc slučaj sa rcđom X ^ karaktensiićne kolonc X:<

Kofona X> u tabeli Tf: Kako promcnljive, kojc ćinc b&zno rcficnjc, formiraju jcdinićnu matricu (što je slućaj sa promcnljivom x 2\ to ćc svi kocticijenti iz karakierisiicnc kolonc X? u narednoj sim ptcks tabelu a u istoj kolom, bui jednak nu \u izuzcv polja u kome se nalazi karakierističm koeficijent, koji jc uvck jednak jeditiici. Drugitn rečima, prctpostevjmo da kaTaklenstitna kolona X: nijc oznaćcna, pa je od njcnih kocficijenaia. iz rcdova, sada oznsćene (karafcieristićnc) kolonc X2 p rv iređ A fr

2 - ( l - 2) = 0

d ru g ire d ^ :

5 - (l - 5) = 0

treći red Xf i

0 - { j ’0) = 0

F j - C j '. F2 - c , = - 6 - [l ■( - 6 )] = 0 . KoionaX} utabeli Tj: drugi red X4\ 0 -

F j-c/.

(0,5 *5) = -2,5 —0 —[0*5■(—6 )]=^3,

K ohna A j u tabeli Tj; FA - c 4 - 0 —[0 ■0 ] = 0. K ohna

u labefi T{; F ^ - c ^ - 0 - [0 ■O] - 0.

Vtvdnost futtkcije ciija Kocficijcnt u preseku rcda Fr c\. i kolonc X Ct dobija .sc mnozcnjem kocficijenaia kolone C sa koeflcijenttma, iz istog rcda, kolonc Xunakon Čega sc sabiraju proizvodi ?.a svc rcdovc, ij. 33

Lineamo programircinjš Kako je najmanji pozirivan kolićnik u đnigom rcdu, kar&ktentiti£ne kolone, i odgovara protncnljivoj x4>odredujcm o da iz rešenja treba da izađe promenljiva ,ix: X v

X/

kojEi ujcdno deHniše i karaktcristicnt red. Promenljiv^ x f, n narednotn reacnju, dobijši vrednost 2r U preseku karakterističnog reda i k]jučne kolone dobijamo kamktcrtstični koeficijent A — 2,5 T(tabela Tj), Kolonu B , u naređnoj rabeti, čine promenljive: i X;, a kolonu C odgovarajući koeficijcnti, uz ove protnenljive u funkcijt cilja, Sve kocficijente karaktcristićnog ecda delimo sn kakraktenstičnim koeficijentoin X = 3 , i količnike upisujem o u u g o m jt desnc uglove polja, kam ktcristicno" rcdaTograđenc kvadratićem (tabda Tj).

Tt

_____________________________________________________________________ 4 6 0 0 0 c B X»

Xj

6

xi

0

A',

0,5

4,5

l A = 2 f5

1 2,5 3 2"

0 -----FrCi

1 £

T

.

.

0 0

1 ,

0,5 -1 -2,5 f) 3

] o . .

71

*4 0

0 0

0,4

0 I 0

J 0

0

"

b Ove koJičnike prepisujemo u isti red naredne simpteks labete, Sve ostale koeficijente izračunavamo, s tim stO koeficijente iz kolona X* i X$ prepisujcrnoTjc r se u karakteristićnom rcdu Eih kolona (u preseku) nalaze rtuie. Dobijamo simplcks tabelu

h

_

_

_

_

_

_

c

B

Xo

6 4 0

Xi

4 1 2 2S

xf JT;

FC2 - J

_

_

_

4 xs 0 1 0 0

_

_

_

_

5

Xt 1 0 0 0

|

_

_

_

_

_

0 *} 3 -3 1 2

_

_

_

_

0 Xj

0

0,2 0A -0A

0

0,4

_

r ° i 0

Kako je promenljiva x4 i/asla iz resenja, a na njenn mesto usla promenljiva re&enjc problema u koloni B čine promenljive: x.\ x t i x& rešenje, postignm o u tabeli T& glasi: £ / = 1, x: = 4, X} = 2. PromenJjive koje ne uiaze u bazično rešenjc unaju vrednost nula

X j ~ X i " 0. Iz tabele 71\ prim ećujem o da sc program proizvodnje proširuje i na proi^vodnju proizvada A (xj= 1) i to U količini od 1 jcdinicc. IskoriSćcnje matcrijala i Ijudskih resursa jc: * xj - 0 , raspoloživi materijal se konsti u potpunosti ( 100%), * x4 = 0 , Ijudski resursi se koristc u potpunosti ( 100% ), 35

OPERACtOSA ISTRA?.IVAXJA

F(X) - £ C, ■X a , i = 2,4,5 p n i rcd Xf: c 2 h = 6 ’ 4,5 = 27 drugi rod

= 0 ■2,5 = 0

cf d} - 0 - 3 - 0

trećircd.V}: Vrcdnost funkcije citja jc:

F [X ) = 27h Vrednost funkcijc cilja moŽC st: dobfti na isili način kao i kocfi-cijcnti kolona slobodnih promenijivih* i

F ( X ) = 0 —[4,5 - {—6)] = 27. Rešunjc probletna, u tabeli Tx, glasi:

jc2 ■*4.5, Xi *■2T5t xs = 3.

*

Piromenlji vc koje nc ulaze u bazično rcšcnje imaju vrcdnost nula:

Xi = xj = 0r Prema ovom reSctiju, prcduzeOc proizvodi 4,5 jedimca proizvoda ft (*; =4,5), i pritom će ostati 2,5 neiskorišeenih jedinica rada Ijudskih rcsursa (Jt* - 2 f5), sav raspotoiivi kapacitci za proizvod-nju proi/voda ćc OSUti neiskori£ćen (\o poivrdujc i Raspoloživi materijal ncćc biti iskoiiSćcn (jrL n” 0)- Ovakav program proizvodnjc obezbeduje dubit preduzeću od 27 dinaia: F(X) * 25h Po&tavlja sc pitanjc: Da iijedvhijeno rešenje. u rabeli Tt* cpti-malno ili ne? Prema poslavljcnom pravilu optimalno rcSenje je postignuto onda kada, u rcdu Fr ch nc postoji ni jedna negadvna razlika, tj. kadajc ispunjcn uslov Fr c}> 0 . Posmatritjudt, tab d u Ttt pnmcćujemo da je u ređti F-Cj, a u koloni X {>] <0 postoji negatjvna vrednost 5to 2nači da u ovoj itcraciji nije pronadcno optimalno rcšcnje. Da bi « pronaslo optimaino rcšcnje potrcbno jc ponoviti cclokupan postupak popunjavanja simpleks tabele, i to: od utvrđivanja promcnljivc koja ulazi u rcšenjc, izboru promenijive koja izlazi iz icicnja, pa do i/računavanja svih kocficijcaata za kolomi .Vrt i kolona. slobodnih promenljivih, X t d o X± Kako jc u rcdu F;-c;, a u koloni X }\-1 <0 jetimi ncgati\T.i koeficijent, odtučujemo da u naredno rcšcnjc udc promenljiva r* Xj

Jt ?

Kolonu, u kojoj sc promenljiva x t nalazi, proglaŠavamo karakterističnom kolonom, Promcnljiv'u, koja izlazi iz rešcnja, odrcdujcmo tako Sto dchmo kocdcjjcnte iz kolonc Xp koeficijcntima izkarakienstičns kotonc X t\ min

4*5 2,5 3 {0,5 ’ 2 ,5 ' 1 '

34

OPER.iC!OSA !STRAllVAbUA *

Xj =2, proizvixli sc svcga 50% proizvoda A (u ogniničt'nju je njegova tcoJiCiiu Oprarićcna kroz Xi< 3 }.

Optimalno rcienje. postignuto u iabcli

X ‘ *■ (* ,\ x ] , j f*,

ghisi: , x l ) “ (l A 0 * 0 ,2 )

VrerfnostfunkcijeciLjaje: £*'{x } = 2 S . Dobit koja će se postići u poslovanju pnjduzcća t/.nosi 28 dinara. i to ako sc proizvodi proizvođ A { X* = 1 J u koliOiru otl I jcdinkc, a proizvod B ( JC* = 4 ) u kolicim od 4 jcdmice Postupak nc5avanja probJcirtii LP iilgoritmom simplcks mctode jc, u porcdcnju sa grafičkoitj mctodom, ktctiinjc kojc počinje u tački počctnog stanja obbsti D, a zatitn 5c prati duŽ jcdnc ivicc konvtksnog mnogougla dopustivih rcšcnjaf kako bi sc stiglo do optimalnog rcšcnja. U svakoj ckstremnoj taCki konveksnog mnogouijlci (ih simpleks tabcli) simpleks mcioda dajc odgovor da h jc to taćka optimatnog rcšcnja, a ako nijeTu koju sledcču ekstremnu tačku tr^ba iei GrafiČko reserje ovog probiema d ato je na slici 1.17, Uporcdujuči sa grafićkom meiodom. koordinaiama svakc tačkc oblasti D . O —* A - * B —> C D odgovara po jedna simplcks labela, odnosno svakoj s>mplcks tabeli odgovaraju koordinate jednc ckslrcmnc tafkc, konvcksnog mnogouglaTšto znači da sc do rcScnja dotazi prcko jcdnog tiiza ckstremnih taCaka. * O-Tv. RcSonje problcma, u počctnoj simpJeks tabeli, odgovara koordinatama tačkc O (0, 0 ) što znači da sc nc obavtja nikakva proizvodnja proizvoda A i B , pa sc time ne ostvaruje nikakva dobit. xr = x: = F(X) “■0 . * A- Tj Rcscnje problema u simplcks tabelt 7'.. odgovara koordi-natama Tačke ^(0,4,5). Xt “ 0T = 4 t5j F(X) « 27. * B=T.\ Rešenjc problcma u simp3cks tabcli 7>, odgovara koordi-natama taćkc /?(1,4), koja prcdstavlja i optimalno resenje:

Primer L8. Jzbor katttkteristične kolone (slučajjednakih Fj-cj) N apom cna: Postavlja sc pitanje:

Koju promeljivtt oJrediit da ttđe u rešenjc, u shtćajU kada se u redu FfCt pojavc dve ili višc promenijivih sa ist&m negativrtom fa najmanjom) Vrednočćti? Postoje dvc mogućnosti: Ncće se uim iti (»rcska, ako sc proizvotjno izabcrc bjlo koja od njih za ula/^k u rcScnje Obično sc tcži sc do optitrtalnog rcSenja dodc što prc, tj. uz Sto manji broj tabcla. U totn ciljti treba birati onu promcntjivu koja ćc, u narcdnoj tabeli, obczbcditi vcći porasi F(X}%a to jc promentjiva koja ima najveću vrednost.

36

S.itnvrno pTtgratfiiranje

Npr:

% c

B

0

X,

0

X

2

*

____ F-c Ll Ll____

2

!

X, ! 3/4 3 5

Xi 3

12 10 0

j.

1 1 A= 4

M -2

-t

i

i

°

«•

0

*4

1/4

0 0 1 0

1

0 0

£ Iz reda F^Cj saznajemo tia će se vrednost funkcijc cilja povećati za jcdan po svakoj jcdinici promenljive odnosno proincnljive Opredeljujcmo sc 2a onu prumtinljivii ili jcj-) koja ima vcću vrcd n o st jcr ćc tada funkcija citja imati najvcći porast. Ncka se odlučiino da u naredno rcscnjc udc promenljiva.v;

X>£= '3$ f 121

m i n - i ^ = min^ K-™

tada prema;

3

iz re k n ja izlazi promcnljiva X j X j S= Xj

Vidim o da ćc promenljivfi;*^ koja ulači u naredno rešenje, imaii vrcdnost 6 (tabcla Tqi% Kako sc za svaku jcdinicu prom cnljive x, vrednost flinkcijc cilja povcćava za jcdan, to ćc ukupno povcćanjc fiankcijc cilja za F( X} ~ 0 - [3 (- 2 )] = 6 .

To2 B

Xi

0

%

12

0

x,

2

10

4 -2/5 -2

0

“2

2

Fj-C'

2 a:? 3

0

0 0 0

1 i

1/5

II

c

o

L

-I2

0

0

0 U suprotnom, ako sc odlućimo da u reSenjc uđc promenljiva x* (7n?) Xp ^ onda iz reSenja, prcma mm izlazi promcnljiva

x4 ^ Promenljiva

x2.

dobija vrednoiiL 2y a ukupno povećanje fimkcijc ciija jc F(X ) = (i »[2 J-2)] —4 '

Odlućujcmo se za promenljivFu r\ / jc ro n a obczbeđmje veći porast fUnkcijc cilja,

37

OPERACIONA fSTRAŽ!VANJA

\ .4.4. VEŠTAČKA RAZA (PROBLEMI SA OGRANIČHNJIMA TIPA > T= ) U prcihodrLim ta^matraiijima vezfinina za piimcnu simplcks tabdc, opisana je njena primcma samo kod jednog tipa modela LP i to kod problema maksimizacije! samo sa ograničcnjima tipa i = . Postujc problcmi u kojitna dodavanjc dopungkih promenljivih ne dovodi tnodel u oblik pogodan za primenu algoriima simpleks Tabelc, Drngiir rcčima, td su svi sluCajcvi kada u opštcm tnodclu, ili inoddu nakon uvođcnja đopunskiit protncnljivih nijc 7,adovcjljcTt uftlov negativnosti slobodnih članova, odnosno ne pontoji mogućnost fbmiiranja počctnog (baznog) rcšenja kome odgovara jedinitna matrica. Da bi probktn mogao da se reši potrebno je najpre naći počctno dopustivo rcSenjc koje će nas odvesti do opttmalnog rcšenja. Za nalažcnjc počctnog rešenja u inodc! sc ttvodc, nove, ncrtegattvne promenljive koje naîvamo veštaćldm promenljivima. Kocflcijenti uz veštaSke promenljive su jcdiniini (+1) i m ogu formirati počemu bazit kojoj odgovara jcdintcna matrica, što im je i namena, Tako su modclu pojavljuju tri vrstc promcnljivih, i to: ■ rcalne, * dopunske (ili izravnavajuće) i * veš tačke promen Ij ive, Veštačke promenljive nemajti nikakvo ekonomsko značcnje. Ve^taćke promenljive ne smeju biti zastnpljcnc u optimalnom rcšcnju, odnosno moraju nestati \z realnog pioblcma, U slučaju da veštaćkc promenljive ostanu u resetiju* to nam govori da probiem nema optimalnog rcšcnja. Uvodetijem vestačkih protnenlji\ ih formira se početno bazno rešenje, tj. jedinična matrića vcštačke bazc. Veštačka baza moze btii: * Potpurtcf - kada sc svakoj jcdnafcini (ograničenju) u modetu doda jcdna vcštačka promenljiva,. 9 Nepotpuna - kada se svakom ogramčcnjti nc dodaje vcštačka promenljiva, tj. ako ih ima manjc od broja svih jednačina i ('ili) nejednačina u modclu.[ ] ]

A) Potpuna veštačka baza Kada je početno rcšcnje sačinjcno samo od veštačkih promenljivih, tj. kada se svakom ograničenju doda po jedna veStačka promenljiva, kađemo da posloji poipuna veštačka baza, odnosno potpuna vcštačka jedinična matrica baze [2 ], Primer L9. Slučaj I Min F(X)= 2*] + 3** 4 j| +

8 jc> > 4 0

6 a'3 +

R r;

> 48

> A 38

Ltneamo prvgrg miranje

!)a bi smo fcmiLrati poietno rcšenje, opšu motlel transfo-rmiscrno u o sn o v n i oblik, oduzim anjem pom enljivih r.t i u sa jcdm ićnini koeficijcntitna. Svc ncjcdnačine pretvaram o ti jcdnačine

4x, bx: +&xz

- 40 -vj ~ 4S

Opšti oblik modcLa prcla/i u osnovni nbkk i:adatka LP: Min F (X )- 2xi + 3.Vn + O.Vj < p.o. 4j:r + 8*1 -JCj *40 S.Vj + Sas = 4S 1 ^ 1

J ^

7

^

1

^

( 1-1+)

■

Ako probamO da ispitaino pr>u jcdnukost, uzećem o tla jo x i—5, j^ = 0 a zatim zameniti ove vrcdnosii u jednaCinu (1 .1 ): 4 jc, + S *2 * - 40 4(5) + 4(0) - Jtj = 40 20 = 40 - jc3 = 2 0

Ako preipostavim o nema ni aktivnosti A ni Kt tj. da su vrednosti u jcdnaćm u (1 . L) vrednost dopunskc promenljivc 4(0) f 8(0) - x t = 40 .tj = -40

i 2^ , zam enom ovih ćc biti:

Ncgativna vrednost prom crljive nije u skladu sa zahtevom o nenegativnosti promenljivih koje ulazc u model LP (koeficijernt promenljive v3 je (-1)). Prvobitno rcšcnje se nalazi izvan oblasti dopustivih reScnja. PoStO dopunske promcnljivu imajti koeficijente ( - 1), to sc nc m ogu uzcti za poćcmo dopustivo reicnje Naim eTu m odelu so ne ruilazi nijedna po/itivna promcnijiva, sa koeficijentom {+ l)t koja ćc foitnirad jediničnu matricu bazc, Da bi formirali početno dopustivo reSenje, odnosno došli do jediniCnc matrice* dodajc se svakom ograničcnju po jedna vcitaćka promenljiva sa koefiCijcnt ( + 1X tzv, potpuna vcštačka ba*a. Ovc prom cnljivc oiinaiene su sa ** i j:*.

Uvođcnjem vcltaddh promcnljivih matematički model ograničenja dobijfi oblilc 4 jfj+ 8 x :-jc j + Jtj =40 6xi + Sjt 3 *X4 + ^ * 48 Xu Xit Xit X^ XhX6> 0

O ^)

Ako jc *1-5, jtj-0 i ako jc vrcdnost veštačkc promcntjtvc JtsÔ, zam cnom ovih vrednosM u jcdnačinu (1.2,) vrednost doptmske prom enljive vj čc biti: 4(5) + 8(0) * 3 + 1(0 ) = 4 0 ^ * 3 = 20 . Ako $u jCl^Ô, i ako jc vrcdnost dopunske promcnljive x j - 0 zamenom ovih vrcdnosu u jednacinu (1 2 ,) vrednost vcžtaćkc promenljivc ,vj ćc biti: 4(0) f 8(0) +

l(0) + jt5* 40=>jei=40.

PPEM CIONAISTRAŽIV A N J A ______________________________ __________

Sađa sve promenJjive zadovoljavaju uslov neiiegativnosti. Funkciju ciija je. ićikode potrebno prosiriii dopunskim i veStačkim pt'omenljivima. Pi'omcnljivc, u F(X), sc unoic sa odrcdcni kocficijcmom; * ii 7. realne promenlji.ve .T| i rv5 nalase sc kocHcijcmi koji imaju realno značenjc (c t= 2Tcy-3), * uz đoptirtskg p r p m e n t j t v e i x^ F(X). uvek &e unosi kocficijcnl nula. * uz vešiačke promenljive r^ i x6 sc unosi jcdati koefidjent koji jc poziiivan i vrlo vcliki (vcći od svih oitalih u funkciji cilja) i oznafiava se sa M. Kod uvorfenja veStačkth promenljivih, u runkciji cilja, raslikujcmo đva slučaja: * Ako sc traži triinF(X), onda sc uvođi veštačka promcnljiva sa znakom (+M): + M xn+2 + ■*■+

m iii/ ( . \ ) —

’

* Ako se traži rmxF(X)i onda se nvodi veštučka promenijiva sa znakom (-M)\ fi

in ax

r(-V) = £ 1cr xj }*1

~

Mx«*\ “

M x »+t- - -

Mx**- ■

Uvođenjem vešfačkih promenljivih. F(X) dobija sJcdeći izglcd: Min F(X)~ 2 x^ +3 x2 + 0 x^ + 0 xA+ Mzs + Afx* . U cilju prcgkdnosti i praktičnih razLojja red Fj-Cj je pcdeljen na đva reda. Podela na dva dela nam omngučava da sa?rnamo da h su vcšraćkc promcnljive ispale iz rcšcnja ili nisu, pri čemn se: * u p n ri ( I ) dco reda Fr c} unose koeficijcnii u i kojc sc ne javlja \ f t * u drugi (11) dco rcda Fr Cj unosc koeficsjenti uz koje ^toji M. Početna sim pkks taht’la 7’f;glasi:

T

a

______________________________________________

B

c

x$ 5

M

Xs

M

X,,

48

F 1 1 - cS

I II

0 SK

40

2 ■V/ 1/2 4 -2 10

3

0

-1

0 X4 0 0

x2

90 " 1/8

8

0

-3

0 -1

1

16

M

i

m x& 0 0

-1

0

1

0 -1

0 0

0 0

.V,

n

!

Počctno rešenje cinc dve veštatke promenljive ijM O i ^ - 4 8 . Vređnost funkcije oilja je: F a-c$ * M* M = Q

F(X)= 8 8 jtf + 0 , Promenljivc, van rcšcnja, imaju vrednost nula

x\= xi = x} =

= 0,

Lmea rno program itanje Za rcđ Fj-cp izittim ajući k o l o n a u t v r d e m su sledcći kocflcijenti koji stojc uz M: Kocficijent

F,-Ct = 10 M - 2

10

Fr c, = 16 A/ * 3

16

Ft -ct =

*1

FrCt = - M ~ 0 - * M

-1

1 &

M~M*0

0

o H 5

0

L+ ciliu razjašrsjcnja navedenib razlika, objasnićcmo razlilcu F.-c.. Kocficijcni razlikc Ft-Cj "1 0 M - 2 je dobijcn m nožcnjem ItocftcjjeoaU M* kolone 0* sa kocfictjcniima koEonc AV Proizvodi su sabrani i od njih je oduzet kocficijent \z /aglavlja. Drugim rcčima, od zbira proizvoda kocficijenta M 7 oduzeu kocficijcnt iz zagbvija: (4 M + l Q M } * 2 - ] 0 A / - 2 . Kako je M pozitivan broj, i veći od svih oslalih, to ćc uvek drugi deo reda Fj-c^ sve dok ve£ta£ke promcnljive ne nestanu iz rcšenja, određivati promenljiMi koja ulazi u naredno rcSenje. PoSto se traži min/'VJA u naredno reSenje ulazi ona promenljiva za koju jc razlika FfCfi u drugi dtio redan pozitivna i vc 6a od svih ostahh. U počemoni reSenju to jc pmitienljiva x2. U nEirtdno reSe-nju ulazi promenljiva x2 ■ Xy < = X y .

Prcma najmanjcm i pozili\ nom količmku mm<

40 4S" — L- “ min^ T r ; - | - m { 5 , 6 ) = 5

I

i/. rcšcnja izlazi ptomcnljiva x ; Xs *=■ X i ♦

U počctnoj sim plcki tabeli, u prcseku kamktcristjčnc kolonc i karakterističnog reda, dobijamo kamktcnstiOni kocficijent A = 8 . Na osnovu tako pnpremJjcne simplcks tabele T0 dobijamo simpleks tabelu Tf:

Tf

c

B

<5*

xt

F ) ~ c i,

1 [f

0

0 *4

l

5 [ i_ ! 1 £ A -2

3

M

3

2 v1/2

Xo

i

0

0

-1/8 1 1/2 1

0 -1/2 r

0

-J

i

0 0

15

-1/2

0

-3/8

0

8

2

0

1

-1

l 41

M Xt

1/2

PPERAClOtiA ISTRAltVANJA Dobijeno rešenje čini jeđm rcalna 1 jedna vestatk:i promenljiva jr; " 5h x(} = 8 t dok promcnljive van reSenja imaju vrednDst nula, Vrednost funkcjje cilja jo: F(X}- L5 M + |, Optmudnti rcscnjc nije pronadeno jer, u koloni B. postoji veštačka promenljiva x^ ti u drugom đelu reda Fj-Cj u kolonama ^ : 2>0 i AV I>G posiojc požitivni koeficijenti. I) naredno rešenje ulazi promtiid iiva x ■

Xf

x }.

je r je koefKijem u koloni Xj , diTLgogdela reda F',~cf. pozitivan i veći od svih ostaiih. Prema količniku T .l ►- m in m■ i mf J—-

= m in{l0.4} = 4

\*5 J

najmanji poîtivan koiičnik pripada r e d u ^ tj. \z reršenja

izt&zi prom enljivai*

x6 <= Xj, U preseku ključnog reda i klučne koionc odrcdujcmo karaktcrisućni kocficijent 2. Sastavljamo simpleks labelu r>, Prcpisujemo količnikc iz gomjcg dcsnog ugk polja, ograđcnc kvadratićcm, ključnog rcda (dobijcni kada sc koeficijcnti kljućnog rcda, tabcle 77* podele sa karakterističnim koeficijentom — 2 } u isti red naredne simpleks tabele . Koeficijente za ostala polja kračunavam o po vec utvrđciiiin pravilttna i dobijamo simpleks tabeJu T2:

T2

c 2

4

/ //

3

XI 3

3

rF) ~~c

2

B

17 0

0 1 0 0

|

0

x.i 1 0 0 0

“3/4 1 j -1/8 ; 0

-i -3/16

M xs 0 l 0

0

-t

0

x< -1/4

M X, *1 0 0 -1

Kada se u dmgom delu reda F}-c; pojavi: * nula u koEoni X0, * f i u I c u s v j m k o i o n a m a koje p r i p a đ a j u i c a l n i m i d o p u n s k i m p r o m c n l j i v a m a , * jcdinicc sa znakom minus (-) za tninimum, i sa znakom ptus (+) za maksimum, u kolonama koje pripadaju vesiačkim pn>menljivama. a

kažemo da su veSta^ke promenljivc ispalc iz rešcnja. Tada sc prclazi na prvi dco rcda FfC} i nastavljamo sa reSavanjem problema, osini za slućaj da, u prvom delu reda FfCj, dobijeno re&enje nije ujcdno i optimalno. Onog trenutka kada su svc vestačke promenljive ispale iz reSenja, možemo zanemariEi kolonc u kojima sc one nalaze, kao i drugi deo reda FfCj. Posmatranjcm prvog dela rcda F.-c^ (tabda 7\)t konsta-tujemo da nc postoje pozilivne vrednosti (razlikc) FfCj, pa je postignuio rešcnjc ujcdno i optmiaino. Optimalfio rcScnjc je: 42

Lmeartio programiranje

X ‘-

j

:

'

) = (4, 3, 0, 0, 0, 0}

Ojnini.i^J vređnost ftinkcije cilja je: /'[A '* )= 17. Posm se radi o modctu sa dve prom cnijivc problcm jc moguče rcsiti i grafićkotn metodom, slika 1.14 O piim alno rcšcrjc jc prikit/ano fvnkcijom cilja i taćkom

A (4 Jl ’

Slika l.U. Graftckiprikuz shičaja f Pritner 1.10. Slučaj / / Naći ncncîitivtic vrednosti prom enljivih x { i x: kojc će obezhcditi da funkeija ciljii postignc svoju maksimalnu vrednnst, Max F(X)—2 x\ + xi p.o.;

jcj+ xi - 6 -4xt + 4x> ~ 8

x l t *2 > 0 Kako su ograničenja u viđu jcdnačina, mjc potrebno dodavati dopurske promcnljivc. Prvt komk se sastoji u formiranju počctnog rcšenja kome odgovara jed in iin a matrica. U ovom prim cru nisu potrcbnc dopunskc promen^jivc^ ali ne postojc i rcalnc prom entjive Čiji bi koefJcijenti formirali jediničnu matricu. Da bi sc doSlo do jediničnc m atnce dodaje svakom ogranićcnju po jedna vcStačka promcnljiva^ t/v, potpuna veSiaćka baza. Ove promcnljive obeležim o sa x j i x4. M atematićki modcl ogranićenja je: ti +

■4*1 +

x 2 + *3

=6

+ XX - S x u xit X1,X4>0 43

OPZRACIONA1tTRAŽIVANJA Veštačke prtitoenljivc kk uvodc i u F(X) sa koef'lcijcntoirt -M,

MeucF(JQ" 4 JC]+

-Mxy- Mx*.

Od ovako fonniranog počclnog (vesta£kyg) r^Senja, lterativnim postupkom, dolazim o do stvam og poćetnog rešenja koje m ože biti optimalno, ili nas ocivcsti do oplimainog rcšcnja,

Početna sijnplcks tabcla 7^:

n B

c

X,

-M

6

0 -14

i J

11

-M

1

I

1

0

1

L i' 4

-2 3

-1 -5

0 I--------------------------------------------------

S

- A/

||

x t

J7 _ *

J

2

1 .TCi

.

-M

2

1/4

o

1

0 0

0 0

Početno rešenje je; = 6, “ 8 Xt ~ x2= 0, F(X) ™-14 M t % Posmatrdjoti dnjgl dco reda FrCj i n njoj kolonu J£f;-5
[>-

min^

prema:

,

- = m m {6?2 } = 2

ATv

tz rcšonja izlazi pramenljiva x4: \

c

2

x ti

B

*/

2
x2

J

4 2

X -2

2 1

11

r *

-M

1 JCi 0

* | V2

?1

0 \

1 0

-3 -2

0 0

0 0

- 1/8 *1/4 1/4 1/4 1/4

5 Rcsenje problenia jc: 4, x 2= 2 , Xi —x^ = 0, F(X) = * 4 M+; 2, Dobijcno rešenje nijo optimalno jer se u prvcm rcdu na]as:i veštačka promenljiva (jl-3= 1), a u dnjgom detu rcda Fr Cj postoji negatjvan koeficijem za kolonu X,-2<0. Sastavljamo simpleks tabeiu u čije reênje ulazi promcttljiva X\ X? <= 44

U})L}nrno p* ogrnsmi onje

i7 rcšcnja izlaz: promenljiva .v* Xj
B

c 2 \ Fr

Xt *

c}

1

J

//

X0

2

1

Xi

gt

2 4

1

0

0

8 0

-M

-M Xj -1/8

1

1/2 1/2

0

0

3/2

1/8

0

0

1

1/S 1

1

LT koloiii B, ncma viSe vcštačkih promenljivih, Takođe, ptimedu-jifcmo da su u drugom dclu icda F j -Cj ispod svih kolora Xfh X- i X: nule, osim ispod kokina, vcStačkih promenljivth, A ji X4, gdc su jedtm cc sa znakom plus. V daljcm rcšavanju drugi deo reda Fr c: zimemarujemo i posm atiam o saiuo prvi deo reda F r Cj. Posm atranjem prvog Uda reda F r Cj vidimo da ne postoje nega-tivm kocficijenti, pa je postignuto rescnjc ujcdno i optimalno, Gptimalno reSenjc giaui: x'y = 2; x " - 4 . M akstmalna viednost funkcijc cilja jc: f

( jc '} = 3 .

Gm fička intcrpretacija jc prikazana na slici 1.15.

Slika 1.15. O h la st d o p u sfiv ih rć ê n ja

B) Nepotpuna veštačkct baza * Pnmct l J L SiuČaj I . Naći vrednosti nencgativnih prom enljivih cilja postignc m aksim alnu vrednost Max F(X)= x\ + X2 45

i x 2 koje 6e omogućiri da flinkcija

OPERACiOiVA ISTR A llVASJA ________________________________ __________________ P-0 .;

X| + X; < - ,¥] + 3^3 >

5 3

t]t x7 >

0

\

Uvođertjem ctopunskili pTOinetiljivih cilja, tnatemattčki modcl dobija obltk

u sifitcin ograniienja* kna i lunkcijt

M &\F{X) = T| t ,\i + 0 Jfj + Oth, . p.O-:

X2 +

J[ +

- jci + jje 3

“ 5 + x4 - 3

Jf;, JC2<*3* ^ 0 UvođcnjeiD dopunskih protnenljivih nijc mogućc fornitrali jcdinicnu matricu bazc. U drugo ograničenje jc uvcdcna dopunska promcnljiva x4 sa koeficijentom (-]>. Njcn tzbor za ulazak u počctno rcflerje ne dovodi do bajte kojoj odgovarn jeđitnčna matrica. Drugim rcčima, u drugoj jcdnačini ne postoji ntjcdna promcnljiva sa kocficijcniom ( + 1) a da sc pritom ne javlja u ostalim jcdnačinama (jcdiniCna promenljiva). ZalO uvodtmo promcnljivu t Jt sa kocficijcntom ( H )t u dni £0 ograničenje Funkciju ciljat takodc, proštrujcmo jcdtiom veštaćkom promenljivom sa kocficijcntom {-AY>. Matcmatički oblik dobtja oblik: M a xF(X) = x\ + x2 + 0 Aj \ Oxa ‘M -rj X |+ X2 - X | + 3x z

p,Q.:

+ xi - ju

” -

+ .t ;

5

3

Xj,X4tXi> 0 Poćetna simpleks labcla jc:

T0

__________________________________________ . 1

B

c

1

___________ ___________ 0

0

x4

*/ 0

X ,

s f

L i

- M

1

- 1/3

J 1

0

0

0

- 1/3

1 1/3

- M 3

-l

/l = 3

0 Fr 1

c> f

1 ii

-3

I

1

0

-]

0

0

-8 ' 1

0

1

~~1

0 0

Fočetno rešenje je: jfj = 5, x$ =■3 t X] = jcj = jc4 ■ 0,

- - 3A/ + 0

PoSto tražimo makstirtalnu vrcdnost fimkcije cilja, ti tiaredno bazično re&cnjc u b zi promeljiva x*i, jer sc u kolom JCj drugog dela reda Fr cr nalazi negativan koeficijcnt 46

L ttietimo pragrgm tran/e

Jfi

.

\? rcšenja, prema najm anjem po/m vnom kolićniku m iri'

X

- min<^

j = m in { 5 J J - I

i/la /i vcstačkii pronjenljjva ,v5

x J <*= x*

-

Tt

C*

c

B

0

X,

Xo

1

Xi

Xi

3 4

X> F -cf

J

!

1

1 II

0

0 X)

0

-M

x*

x$

3/4

L j_

\

L

A = 4/3 -1 3 -4/3 0

0 1

i 0

0 0

0 0

1/4

1-1/4

1/3

-1/3

-1/3

1/3

-1/3

1/3

0

l

fc

U tabcli Ti, vcitačka piotncntiiva sc gubi «/ rešcnja, Ito sc vidi tz dm gog dc]a rcda F.-C; u komc su sve vrcdnosti ispod kolom : X q,X;, Xz, X 3 j .Vyjednakc nuli, a ispod kolonc Xs (vcStačke prom e-nljive) jedim ca sa znakotn plus. U ilaljcm rcšavanju drugi dco rcda Fr ch kao i kolonu vcštačkc promenljivc, zanem arujem o i posmatram o sam o prv i deo rcda Fr cr Posmatranjcm p n 'o g dc!a reda F,-c}ha u kolonama: ,Vy:*4/3<0 i AV:-l/3<0, postojc ncgalivni kocfieijcnti, pa sc može zaključiti da ovo rcšenjc rije opitmalno. Sasiavljamo simplek?5 tabelu u čije rešenje uiazi promenljiva \j

iz rcsenja, prema:

min-

xb\ = mim 1 — *

-

>

J

- 1J 4 /3

iz rcSenja izlazi prom cnljiva .rT
T

,

___________________ ____________

B

€ 1 I

1

X,

. . .

_

l

X:

2

*1 \ 0

- ci

5

0

-V,

3

.

47

I

° 1

\

0J

0

0

■Vj

**

3/4

1/4

1/4

-1/4

l

0

OPERACIOSA iSTRAZft'ASJA______ __

________

____

_________ _______

Posmatranjcm rcda F c. nc postojc ncgativne \Tcdnost:, čimc jc zadovoljtn uslov F.-Cj>0. Postigrniio rcscnje jc ujccno i optimalriO. Ophmatno rcšcnjc jc:

x " - ( * > ; , * ; , * ; } = (3,2 ,0 ,0 ).

M«ksi»alna vrednost funkcije Ciljaje: F \X ) ~ 5. Deiava se da vrcdnost kocficijenta neke nebazičnc (slobodue) promcnljive u rcdu / kod po^ttzarja oplinmlnpg resenja. bude nula l t^heli T*y a u prcseku kolorc \ t i rcda Fr c nalazi sc vrcdnost nula, To nam ^ o \o n cia možcmo odrcciu novo ;drugo> opiimalno rescnjc, koje će imati istu vnrdnost fiinkcije cilja, Uvodcnjcm u rešcnje promenljivc x< umCSto promcnljive x »

Xi <= x t . dobijamo drugo opiimaino rcfenje kojc jc pre
i

___________________________________

c

B

0

X,

]

x2 % - -C j

x0

I

L

i—

Xt A

\ 12

3

}

4/3 -1/3

1 0 0 1

1 0

1

-4/3

0

0

4

0 .1-,

0

1

11 l--

-i

A = m_\ - 1/3 -1/3

-----------

C 1 1

t

B

Xi

Xi

12 5

1

0 0

5

0

0

X,

f-

1

I

0

0

3 1

-1 0

1

0

Dnigo optimaino reSenje je: (0 .5 ,0 , 12 ^

r*

V oba slućaja vrcdnosi J\mkcije cilja je ista: F [ X ) = 5. Kako sc radi o m od d u sa dve promcnljive, problcm jc moguće resiti 1grafićkom mctodom, slika 1.16. U oplimainom rešenju (tabcla Tj) nalazc sc rcalne promcnljive X; i x* [jfj « X4 - 0}. U ta b d i 7% nala?i se jedna realna promcnljiva x? i jedua dopunska promcnljiva x4l koja nam govon o nokoj nciskoi iSčenosii ik nepodmirenosii ograničenja.

48

Ltneantu programiranje

X[

Slika LI6. Obtast dejhthanosti reSenja Svaka simpleks tabela ođgovara jednom od tcmena, konvcksnog mnogougla, obiasti D> kOtfrdinauii počotak O (0t0) ođgovara tabcli T ! :itka A (0hl ) odfiovara tabeli Tt< Taćka B (3,2), na duži CB , ođgovara ta b d i a laćka C (0,5), odgovara tabeli T i Optimalno rc&cnjc prcdstavljaji: ckstretnnc taćkt:

C (0,5) i B (3t2) oblasii D, odnosno konveksna kombtnacija ovih dveju ia£aka. Dnigim reCima, optimalno rcscnje predsiavlja svaka taćka duži CB.

Rrimer L12. SluČaj III.: (£ ,= ,> v..)h Naci nencgativnc vrcdnosti prom cnljivih x\, xi i xy kojc ćc obczbc-diti da funkcija alja postignc svoju maksimalnu vređnosi,

Max F ( X 3 X| + 2 X2 + xy p,o,:

X| + 2 Ji +

2x:

<

X2

>

fi + = 20 2

x\,xt,xi > o U'.'ođer.jcm đopunskili promenljivih

a -4

i v<.. u pn'o

i

trcčc ograrjčenje, i vcStaEke

pTOmenljivc x± u ircće ogranićcnjc, m ateraatički modci postaje M a \ F(X) - 3 X| + 2 0 + 0 -M p.o.: X; + 2 x 2

+ x4

2 x i + .v2 + x3 Xi X i , X^

49

- 8

= 20 - x$ + x* = 2 Xt* -rj, j:&> 0

OPERACIOSA ISTRAZtVAKJA PrinitićiLjeino da drugoih ogFflničenju nijc dodavana ni dopuithka ni vestačka promcnljjva. jc f u njemu posioj: realna0 promenljiva rv^ sa kocficijcmom (-H), a u ostalim ograničenjima njcrii kocficijcnii su nule (ne. pojavljuje se u ostahm ograniênjima), Koeffcijenti uz promenljive x^ Xi i xt, sujcdiniCni i mogu formirati počctnu ba zu, kojoj odgovara jcdinicna matrica. P otctn a sim pleks rabela:

Ta X,

0 1

-------- i

x4

s

%

20

-M

Fj - C j

3

2 1 1!

2

1 2 2

X,

2 x>

'

20 -2

i'

[0 0 ’

I A=1

-1

-1

0

-I

I

0

Xl

Xj

0 1

1 0 o — o

B

— o

O3

c

0 0

0 0

0

-M

xA 0 0 -] 1-----1 0 1

0 0 1 1 0 0

Poćetno re5enje čine promcnljive: x * = 8, x$ - 20. x^~ 2, Posmatrajući drugj dco rcda Fr cP i u njemu kolotm optimalno, U nansđno resenje ulazi promenljiva xi

dobijcno rcšcnjc nyc

X t
a 12 resenja, premit: mim

X,

f s 20 2l y —mm-j »T r I !

izlazi ve^taćka promenljiva Xa-

.

“ miT1 <4,20^2 j =

X 2

x

Nakon Jransformacijc dobijamo iabelu Tt. U labeli 7/ nema vestatkih promcnljivih $c gubi iz rešenja, 5to se vtdi iz drugog dela rcda Fj-c, u komc su sve vrednosti ispod kofona; X&, X ^ Xj, X_t, Xj i Xs jcdnake nulij a u koloni, veStaeka promenljiva Xd jediniea sa znakoin plus. U daljem radu drugi deo rcda Fr Cj, kao i kolonu X* možcmo isključtti iz daljeg rnzmatrartja. i posmatramo samo prvi deo rcda F r c}. Primećujemo da u prvom delu reda Fr Cj postoje negativni koencijcnli i ro u kolonama Xj:-1<0 i pa kažemo da optimalno resenje nije pronadeno.

6 \z opsteg modela LP kod koga su ograničenja oblika 11 može se formiraci pocetno (bazno) reienje san o ako posroje realne promenljive sa jediničntm kceficijentom, kome odgovarajeđiničita matrica.

50

Utiearna program fcanje

" c 0 1 2

3

n

Xo

x< X»

L±

X?

F “c ! 1 J II

2

t

**

Xt

[i

A=[ 2 18 2 \ 0 -1 22 4

0 0

1 0 0

0

0

L i' 0 1 0 0 0

0 tj

-M 1

0

L- _i _2 -2 2 -1 1 -i 1 -i 1 0 l

l i 0 0 0 0

b

Sasiavljam o simpleks tabelu T? u čije rcscnjc ulazi promenljiva .n, li 17 rcscnja prema: m in { X 0 / X v\ = m in {4 1.18. 2 } = m jn { 4 ,9 } = 4 prDmcnljiva x4, što simtx>lićno označavam o ^ xt .

27

_____________________________________________________________________________

3

2

C

5

X*

3

X,

4

1

0

x:

1

0

0

0

2

Xj

i

x3

10

0

0

1

x4 \ -2

2

X:

2

0

1

0

G

26

0

0

0

1

F -c

1

-3

1

1

Posmatranjem rcda F,-cs. ne postoje ncgativtii kocficijcm i, pa jc posiiEnuto rešenje ujedno i optimalno. O ptim alno TeSenje je:

X ' = (aT|, .t], .t j , A'j,

) = (4,2,10,0,0),

Optimalna vrednost fi.nkcijc c ilja jc: f [x ' ) = 26.

1.4.5- P R E V O Đ E N Jr OPŽTEG M O D liLA U JEDAN O D OBLIK.A O G R A M Ć EN JA opSti m o d d lincarnog programiranjii navcli stno slučaj kada ograničcnja mogu biti sa znakom i Ncka se u opštem m odclu nalazc ograničenja iipa ncjcdnačina sa razIiCitim sm erovim a, tzv. ncsimctrični tnodel Tada se ncka od ogranićcnja, m nožcnjem sa (-1), m ogi: prcvcsti na ograničcnja istog sm cra "<* ili čimc sc dolazi do sim ctričnog modela, tj. jcdnostranih ogranićenja. Ograničenja tipa "<*' ili **>'" prevodc sc, kako je već objaSnjeno, u oblik jcđnaćina dodavanjem dopunskth prom cnljivih K

e io

X n+}f I= 1 ,2 ,...,^ ., 5/

OPERACIOSA ISTRATJVAKIA____________________________ __________ Ako se u opšiorn modclu porcd rccjcdnačma, pojavo i ograničenja data jednaćmama. postoji tnogućnoftl da se fonniraju dva ograničcnja oblika '■**<* i ll>*\ koja sc zm m množenjcm sa (-1) mogu preve$ii na "< “ tli ">% zavi^no od potreba. Znači, Ograntfiertje dato \i vidu jodnačine moSemo izraziti pornoču dva ograničenja u vidu ncjodnačina, Na priincrhneka jc dato i -to ograniienjc oblika +. a i2x j +

umXrr 3 b i

koje se inoj£e predstaviii prcko dva ograničcnja

&i)Xj + . at?x? + rtjj JC; +

<6,

+ „ .+

.V*

>

kojima se navedeno ograničenje 2 amenjnje. Ona seNmnoženjem &a (-1) mogu prevcsti na jcdnostrana ograničcnja tipa L'<<1 iH "> * \ Na primcr, posle mnoênja drugog ograniOcnja sa (-1 )h bi.ee £ ri Xi + Ui2X2 + .. .+

< $j

X2 - ,., - 0f„

-fl,/ JC/ ~

< - frjL

1*4:6- NEOGRANIČENO REŽENJE Pronaći vrcdnosti promenljivih inaksimalnu vrcdnost

jcj

i

kojc

ćc

obczbcdiii da fnnkcija cilja postignc

Max F(X)= % + Xi - 2 ^ + x2

p.o,;

-

JCi + X i

* it* t

<

2

<

3

>

Dodavanjem dopunskih promenljivil], matematički model postaje ÂMF(X) = + 0 + Oatj * p.o. -Zvi + jr? + jtj “ 2 *2

- Jf| +

+

= 3

Formiramo poeetnu simpieks tabelu:

c

B

1

X.

1

0

0 Ju

0 0

X .i

2

-2

1

2 3

-2 -I

dU i

0

-I

i

i 0

0 l

-i

0

0

b

52

G

1

Linearno piogrgnjjranje

____ _ ___________ ___________ _______________ ________

Požctno rcscnjc činc dopunske promcnljivc Xi=2 i rY j=3Ta vrednost funkci jo cilja je:

F(X)= 0. Kcko u redu FfCj, a u ko[onama A'/i-KO. i X f - 1<0, od!uCujcmt> se da u narcdno rcšcojo uđejtj (u redovtm a X$ i j f , vrcdnosii Qn t itnaju ncgativne vj'ednosti) .V ' s=^ X2 .

2 3f

ii \z icsenja, prema:

m inj - ^ - j = m in j - p y | = m in {2,3} = 2

\7\'<\n. pronicnlj iva x ^:

<£=

.

TriUiSformacijom piom cntjivih dobljam o tab d u Tf :

n

B

c

0

i

%

0

x4

■

<7*

1

X 2

0

X

2

-2 ]

,

L

A

L %

4

“ c)

=

0

1

-3

1

0

— -1 .

1

0

-1

1

0

2

0

1

i

6v Počctno rejenje je: X 2= 2 7 X i ~ l T x r

jcj — 0, F ( X ) =

2.

Kako u rcdu FjC fc a u koloni -Y^:-3<0 postoji negativni kocficijem, to u naredno rcšcnjc ulazi promcljiva

X> a iz rešenja, prcma:

in in { X i) /

izlazi veštačka promenljiva

X x }=

Xt

m in

jiV

Xj <= .Vj NTakon čcga dobijam o tabelu T>: Ti

I 1

1

I

0

0

Xf

x^

4

0

1

i -1

2

I

1

0

-1

L

5

0

0

-L

3

B

c

$2 X, - c;

53

OPERACJOSA ISTRA2IV#NJA Posmatrajući red Fr C} (tabcta T?) Optimalno rcSenje mje posti-gmttO je r sc u koloni X$-1<0 nalajii ncgiUivna vrednost, L' narcdno rescnje ulazi promcnljiva xj

x?

X}

Prema kritcrijumu za izbor prromenljive koja izlazi \Z resenja đolazimo do zakljueka: U koloni X5 ncma mjcdnoe pozitivnog (a,j>0: a& m -I i = -1) koeficijcriia pomoći: koga možcmo odrediti p 02:iti.vnu i najmanju vrednost koliCmka. To zttači da se ne roože odrcditi koj;i će promenljiva {*7 ili x $ izaći iz rcšenja, da bi na mesto nje nšla slobodna pramenljiva acj. Ovo jc dokaz da nc postojt kcmačno, lj. da ne postoji ncograniccno (beskonačno rešenjc), Zakijučak je da simploks tabda ukazuje na postojanje neograniccuog lešen ji, V rcalnim problemima lineamog prograiniianja Ete očekuje so postojanjc neograniienog resenja. Mcdutitri, greške pri fomiulaciji problctna tnogu dovesti do neograničenog rešenja. GrafiCko rešenje ovog modela datojc na slici 1.1.17.

Oblast Jopustivih rcšenja D je neograniecna. Prava F(X), funkcije cilja, može se neograniceno pomerati, paralelno samoj scbi, u stnem porasta vrednosti funkctje ciljaj a da uvek tma zajedničkih tacaka sa oblasti dopustivih rešcnja. Funkcija ciEja može uzcti proizvoljno veliku vrednost, tj. problcm nema konaenog resenja, Dakleh problem ima beskonačno rcšcnjc, i pri tome obe promcnljive imaju proizvoljno vcJikc promen1jive.[ I ]

1.4.7. P R E V O Đ E N JE N E S IM E T R IC N O G U SIM E T R IČ A N M O D E L LP

Kao opžti modcl LP naveli smo slučaj kada ograniecnja mogK bui sa znakom j f=LfH ]\Teka se u opštem modelu nalazc ogranitenja iipa nejcdnačina sa razlićiiim smcrovima, tzv, nesimeirični model. Tada sc neka od ograničenja , ninoženjem sa (-1), mogu prcvcsti na ograntčcnja istog smcTa '*<* ili £ime se dotazi do simctričnog modcla, tj. jednostranih ograničenja, Ogranitenja tipa lL<^ il i L4^ tA prcvodc se, kako je već objaSnjcno, u oblik jednačina dodavanjcm doptmskib promcnljivih Xn-iJ= 1,2 m. [1] 54

Linearno pmgramiranje Ako sc u opitcm modelu p o rtd ncjednaîna. pojaMC i ogranićcnja data jcdnaCmajna. posioji m ogućnosi da st: formimju dva ogr&ničcnja oblika Ty<" i *'>**, koja ?:e zatim mnočenjem sa (-1 ) m ogu prc>-csti n:i *V* ili u>*\ zavisno od poircba. Zna£i+ogmniCcnjc dato u vidu jcdnačinc vrtožcmo izraztti pom oću dva ogm nićenja u vidu ncjcdnaCina. Na prim cr, ncka jc daio / -to ogram čenje oblika aifx } + a,*X2 + ■■> amxm = fri koje sc iroŽc prcdslavitt prcko dva ograniOcnja

Oif x f + atj x i +

ti a'j, t

> bt

kojima sc navedcno ograničeujc zam enjujc. Ona sct množcnjem sa (-!) mogu prevcsti na jedirastrana ogranićenja tipa *"<** ili lL> lL K ll primcr, poslc m noženja dm gog ograničcnja sa (~tK biće a d Xi + a^x> 4

a„xv , < * fc.

1*5* D I ALMI P R O B L tM Jcctno qd vainijjh otkrića u ranom razvoju LP jcstc konccpt dualitcta i njcgovih vcoma vaŽnih grananja. Ovo otkrtćc jc poka/Eilo da se svaki problcm LP vezuje za joS jedan problcm LP nazvan dualnim problemom, Relacijs izm eđu dualnog problem a i origunalnog (primarnog ) problcm a pokazatc su se izuzetno korisnim ,[4] Svakom prim am om modelu odgovara jedan dnntni problem i obm uto, Priniena dualnog mođela se koristi za pojednostavljenji1 m atcm atičkog modela, u eilju hržeg pronalaženja optim alnog rešenja, prcko m anjeg broja računskih opcraeija, l proSćenje modela je usmercno na smanjcnjc dim enzija problcma. koje se ogleda n smanjcnju dopunskih i vestačkih prom cnijivih. Kad god jc moguće i?.bcći vesiačkc promcnljivc, trcba prim em ti dualm mođel. Tako na prim crt kada jc đat opsti primtimi cidatak, kođ koga su sva ograničertja sa znakom lL > moraju sc u naćd u , oduzimati dopunske i dodavati vcStaCke promenljivc, Ako bt takav zadatak prevcli na opSti dualni zadatak, pn čcmu sva ogranitenja m enjaju znak u “ < ll, tada bi dodavali samo dopunske promenljive. RcScnjc prijnarnog probicma prcko duatnog problem a preporučljivo je, skoro, u svim sluCajcvidcia kada u prim am om zadatku poslojt vcći broj ograrnčenja od broja ncpoznatih. Na taj način rcšavanje matricc fcda m avodi sc na rešavanjc m atricc rcda n, tj. na sistcm od n jednačina sa m ncpoznalih n ■m Za rcšavanjc dualnih problcm a mo?e sc koristm biio koji algoritam simplcks mctode. To nam govori da nema nikakve razlikc u rcšavanju pnm arnog i đuditOg modcla, Izmcdu pnm am og i dualnog modcla postoji ir.vcrzija u pogledu zahteva: * Ako sc u prim am om m odelu trazi maksimum (rninimum) funkcije cilja F(X)t onda sc u dualnom m ondu traži m m im um (maksimum) furJccijc ciija G(Y)> JJ

OPERACiOM ISnilZlVASJA ■ Dualni modet ima onoliko promenjivih yT> /“ ! , 2 , m, koiiko prim&rni model im^ ogrtiEiiconja, * Dualni model im đonoliko ograničenja, koltko primarnj tnodel ima protncnjivih Xjt J 2 hh.ii, ■ Slobodni članovi, u ogranićenjimii primamog modcla, postaju koeilcijcnti uz promcnjivt: u ftjnkciji ciija G (Y) dualnog irtodclis. * Kcjcficijenti c, u/. promcnjivc n funkciji cilja priinamog nmdclit, postaju slobodni ćlanovi u ograničcnjima dualnog modcla, * Smer nejednačina u ograničenjim j dtialnog modela jc suprotar. smcm ncjednačina kod ograniČenja pdm am og modcta. U zavisnosti od tipa 3 smftra pojedšnih ogranitcnja primara, razlikujemo dve vrate dualnih modela: 1. simeirični i 2. nesimetičm duair.i m ode[.[lJ

1.5,1, STMBTRrČNI DUALNI MODEL Ako su sva ograničenja, u primamom m odclu, istog tipa i smera, kažemo đa se radt o simetričnojti modelu. OpšLi matcmaiički oblik pritnamog naodela g]asi; Max F(X) ■* ct xi + cj x> +...+ c„ xu p jfT

'^

QifXr

i r ■n r

■■ r ■■ ■ ■■ ■ ■1

UmiXt

1 1

n

1 1

it r n

r r i r r r » i i i i i r r i r r ! >■>»

/

+ $*2 X1 + — +

Xj> 0 ,7=1,2.....rf

(11-3)

ili n skraćenom obiiku: m a\ F{X) —

n

■

< b. , za / = \,2 T,r.,to

M ^ Xj> 0, }'= L2,.hhtM Duaini model, koji odgovaia primamom modeiu (1.1.3.) dobija oblik (1.1,4.) prt čemu je, za cazliku od primamog modela gde se traži maksimum, ovde potrebno odrediti ininimum funkcijecilja G(Y). M rn O O O ^ b j

yt + b:y: + + hmy* ,

' p-o.: ~

a Ift >v tiih >7

y} Parametri modeia

+ vMt ym > Cj + a>2y> + ,.. + a*2 yni > c; + Q:i

+ a y 3 + . , . + am„ym > cflP 1

kao 1 stobodni tlanovi

vncdjiosti. 5d

mogu imati poztdvne tli negativnc

Lineurno programiranjđ

y,>(h i = 1,2..... m i St u sk račenDin obl iku: miJI G (Y )

( I.I A )

bt v, ja]

Mt - c <*7a

p,o,: i=-1

y , > 0, i = 1,2,,.,, m

Primama - đuahia tahela LP prikazujc svc parametnc LP (avi b; i c}} i kako se oni koristc za konstrukciju dva problcma.[4] I>RIMARNI problem Koeficijent

PRIMARNA - DUALNA cabela LP --------------2 E -i £ c ^ D S Q 5.

V

y*

u

...

■V*

a i2

at„

.

Vl

■ tiit

cu

M

Desna strana

Koeftcijenti funkciju cilja (minimizimtt)

. ■■ ¥P

“■+■

* ■iH

: Dcsna strana >c t-----------------------------------t — ------------------------1

Koeficijenti za funk.cijtL cilja (maksimizirati)

Prikaz ove tabcle prikazačem o na konkretnom prim enr P rim ei' L 1 3. TitiH sform acija p rim a rn o g p ro h le m a u đuahn

-------

Pti&arni prohiem: Max jF(3? - 4 % + 6 Xj

p,o.:

5xt

Min G(%> = 9 v/ + 25 y *+ 3

+ 2 X_> < 9 + 5xj <25

x:j Jjjjr, JCj

PRJMARNA- PUALNA (abeh LP

i

p.o.:

<3 > 0,

js^ + 5 ^ +>,{ > 4 +5 ^ >6

t

PR]MARNTI problem

Desna sirsrta

Koeftciient .

^

j <č

Q

S 8 —i £ s

1

§

P-

Desna strana

1

2

< 9

5

5

<25

1

0 >6

< 3

> 4

Koeficijenti 2a funkciju (miniinif.irati)

Koeltctjenti za furikciju (maksimtziratt) .

5?

______________________________

.

r OPERACIONA ISTRAŽIVASJA

L5.2. NESlMETRrCNI DUAL.N1 MODEL Kada su agraničonja u pfimamom modelu riizličiiit£ tipa i smera, kažcrno da sc mdi n cifaa/m;;*) (desimetrićni primami cnodet moJ;e sg uvek svcsii na Fiimetrični model). Ako au ograrLtčcnjaf u prirriarnym moddu. različilog npsi i smera ćiju funkciju cilja F(X) minimiziraimi (niksim iziram o), tzda če se dualnom mcdelu tražitt mak.vimum (miniimim) funkcije cilja G(Y)> i sva ograničcnja ČO btti istog snrera t tipa.[ 3]

Teoreme duafn osti NaveSćemo osi’iovnc teoreme kojc daju vczu ttm eđu prim ainog i dualnog modeta, bc?, njihovog dokazivanja:

Teorenai 1: Dual duala je primar. Teorema 2\ Ako jedan od zadataka (prtmami iii dualni) ima kouačno optimalno rcšcnjc, onđa i drugi zadaiak ima optimalno rcSenjet pri čemu je mimmuTn {maksimum) funkcijc cilja F(X) prtmara, jeilnak maksimumu (minimumu) funkcijc cilja G(Y) duaJa A * (X) =

(Y)

Fni(ix (X) = Gmih (Y) gdc je

X » ( X* x:, T+.* x $ %Y = {y h y:. *.*t y * y Terrrema 3\ Ako pnm ar (dual) ima neogranićcno oplimatno rešenjtf, tad;j dua! (primar} ncma dopusiivo, moguće reSenje.

Teortma 4\ Za svako dopustivo reženje X primara i svako đopuMivo reienjc Y dualaTsve dok se ne pronade optimalno re5enjc> vrednost funkcije cilja G(Y) duala, kojoj se određuje mmimuni (maksimum], je veća Oc tnanja) od vrcdnosti funkcijc cilja F(X) primara, kojoj se određuje makstmum (m irim um ) funkđje cilja, !|

G ^ O O tF ^ P O

ili Fftm

Gmax (Y )< F mJ X ) ili Frfijn o ^ m Te&rtma 5: Dopunskoj promcnjivoj x ^ s ii primara, koja se nalazi u optimalnorn rešenju, c»igovara realna promcnljiva yf iz duala i obmtiLo, rcalnoj promtnljivoj x \? primara, u optimalnoiu resenjti, odgovara dopunska promenljiva iz duala sa nultom vrednošću, ij, PRIMAR ~> DUAL

PRIMAR

DUAL

g d eje

().1.5.)

xt -y „ t = 0

-‘„ .r .v , = 0

( i » !t2,

m)

(j * 1,2, ,+
Litiearno p ragrt]m tranje Prdpo$tavim d da je dobijent> optim alno resenjc dualnoi: /adaika, čiji maksimum tmîmo, prim enom alg o n u n a sim pleks tabele. Tom pnlikom u redu C rbH a u kolonama oriih slobodtiiLi prom cntjivih duala, koje nc n k z e u reSenjc, svi koellcijenti su pozilivni, tj. žadovofjavaju usltiv G r b ^ 0- Tada optim alno re&enje prim am og zadatka, čiji m inim um tražim o, pređstavIjaju koeficijenti iz reda G rh onih duahiih promcnljivih, kojo ne Lila/e u rešetije (pripadaju kolonama slobodnih pvomenljivi h), Drugim icćim a. ti koeflcij&nti postaju slobodnt članovi kolone X Q u phm anioj simpleks tabeli. Tom prilikom optim alno refeenje, u koloni B primarr.e sim pleks iabeJc> iin e one baznc prom enljive određene prema (J ! 5 1 što se u konatSnoj tabclt prtkazuje strelicom { ft ). S dmjjc stranc koficijeiui i/ kolone Y,7, dualne simpleks tabcle, uzimaju se sa obnuitim m akom (rninus), i predstavljaju koeficijcnic u poslcdiijcm redu Fj-Cjt a u kolonama otjtib slobodnih pm m enljivih primam, koje tie ulaze u rešetije, prim am c simpieks tabelečije reSenjc tražimo. []]

Pritner 1.14. E)at j c p riin a m i zadatalc Mtn F(X) - 2.r, + 3x* p.o.;

4 jtv 6xj

>40 >48

xh Du&ini nif>del za zadat^k funkcije cilja ima iznalažcnjc maksimuma: Max G(Y} = 40 v; + 48 jn p.o,:

4 yf + 6 »

< 2 <3

Hyj + 8 yz y i,y : > 0

S!cdi uvodenjc doputiskih promcnijivih u matematički motlel : max G(Y) —40 uj + 4S uj + 0 uj + 0 uj p.o.

4 Ui + 6 U2 8ii * + 8 >s

+ Uf

“ 2 + u4 = 3 u ir u2r Uit u4 > 0

59

OPERACIONAISTRAŽIVANJA ___

Počđna simpkks uibeLi duala jc: 4 0

c

4 8 ■

f t

yt

0

0

yj

> v

I l.--------- -- j

! 2 /3 .i—

1 /3 0

-|

1

16

0

r . 2

0

J

3

4

1

> 4 = 6

]

0

8

0

1

K

0

l

- 4 0

0

- 4 8

0

b U kolonama K,>40<0 i ^:-4S < 0, posToje negaitvni koefkijenti. Prema krhcrijumu za izbor promenljive koja uhiA u naredno lešenjc odluČujcmo se za promcnljivu V- <= Prcma najmanjem pozitivnom koliCniku kolorsa Yt} i Yt iz rešenja izlazi proinenIjiva vj. y , < = V) Dobijamo tabelu Tjj:

c 48

1/3

>:>

o

40

48

. Vt

yj

n

ra

2/3

, 1/8

i

1/3

I

I i

0

A=m

16

a -

l

0 0 B Yj 1/6 L 0 ; -1/2 -4/3 1

^-s----- L

'

o

8

b Kako je u kolom 30:-8<0 to postigiiuto rcšenje nije optimalno, U naredno rcienje ulazi promenljtva v/ p ?*=yt

..

......................................

a iz reScnja prema najmanjem pozitivnom koliiniku kolona Ya i Y: iz reSenja izlazi promcnljiva>jj. Vj *= V/

Dobijamo taoelu T-j:

Tu

----------

c

v

40

43 40

]/4

0 1 0

ft

1/8 !7

ft x] 60

48 _ 1 1 0 0 ft x[

0 __J?±_ _ Ifi *1/2 4

0 -1 0 3

fl x*

ft x*2

Ltncarna progra m iranje Kako li i cdu Ctrhfr a u kolonaina slobodnih fnomtriljivih nema negaiivnih koefictjenata, to je postlgnmo resenje duahi ujedna i optim aho, Optimalno reSenje dufila glasi!

y [ - 1 8,JP; 3 l i 4 .j 'j = J 'i = 0 ; ^ ( V ) = 17. Kada sc pronađe optim alno rešenje dualnog zadatka veoma Eako, prema (1.1.5 ), možemo proCitati i opiimulno neScnje prim am og zadatka. Tabela T^, dualnog Aidalka, sndrzi i optim alno rešenjc prim am og /adttika. OpiiiriEilno reSenje prim am og â
y* —^

=3 Dopunskoj dualnoj prom enljivoj \ r, koja je vao reSenja, odgovara p n m a rn j (realna) pTomenljiva v,. koja ulazi u resenje prim am og zaciatka, n dopunskoj prom enljivoj y 4 duaJa odjôvitra prim arna prom enljiva x? (Ubela .

S duae strane, prem a ( L l .5 ), koeficijenti i z d u a Jn ep ro m e n ljiv e jT; i y: iz kolone koje ćine hazno rešenjc. dualne sim pleks tabelc uzimaju se sa obm titim znakom im inus) i predstavljjn koeficijcm e U poslednjcm rcdu F a u kolonam a onih .nlobodnili prom enljivih prim ara {.Vj i X 4)t koje ne ulaze u rešenjc prim am e jim pieks tabcle, čiji m tnim um tražim o (tabela T*r ), Može se rcći da će svi koefieijenti u redu C -b it a i u kolonam a onib slobodnih prom enjivih duala kojc nc ulazc u resenje, predstavljati vrednosii za prim am e bazne prom enjive koje nkize u optim alno rešcnje, tj. ti koeficijcm i postajn slobodni Članovi k o io n e Z Fprim am e simpleky tabele.[l | Isti prim er je rešcn kao p nm am i zadaiak u prim eru 1J .4. 1/nalaženje optim alnog reênja ovot: probicm a zahteva pored uvođenja dopunskih i veStacke prom enljive, M atematički m odel (1.1 ć.) dobija ohiik: Mir. F ( X ) ~ 2v, + 3x2 + 0.¥j +

M x$ + M Xt

p,o. 4jci + S x j-jc 3 6xy t 8 a;

** 40

4-jt5 - x*

(1.2.)

+ Xf, - 48

X ^ X 2,Xh X4,X5,X&> 0 \a k o n rtrsiivanja prim am og zadaika po defm isanom algoriim u sim plcks tabele, konaćno rcšcnje je dato u tabeli T ^ _______

c 3

_|

T

F- f

J

---------

0

0

I

-3/4

-1/4

}

0

i

-1

17

0

0

-1/8

*■1/4

o

0

0

0

0

ft .v.;

fr *

tr >>;

fr y;

2

3

Xf

Xi

3

0

4

B

Xo

X; Xt

1 n

fi!

M Xi

M Xa

0 "

*1

1

0

0 --------j i

-i

-i

OFERACIONA ISTRAŽžVANJA

Knu sio jc vidi u tabeli T:.} primara, dn bi odrcdiii optimalno rcšcnjc duala, pomoću lim pleks tabclc, dovoljno jc dodati dvc dopunskc proincnljive ( ;v i yjX dok je kod primara poirebrio odu/eti dve doputiske pfomenljive (rYj i .Vj)t a zatini radi fonuiranja poćetne hazc sa jedm ičnom niatricom, doflati i dvc veštaćkc promcn]jive {xs i Tako sc kod primara dobija inatcmatiiki modc! sa n = 6 promcnljivih i m = 2 ograniĆenja, a kod dualnog modela sa m - 4 promcnljivih i n-2 ograničcnja. Prctna tomc, koeltcijeiui /-tbs rcda aitnplcks [abclc đualnog zadatka odgovaraju kocficijentiina sa promenljivim znakorm H e kolone simpleks tabele primaroog zadatka. SliCno pravjlo va# i /a slučaj nalaženja mmimalne \-nednostL dualnog zađatka, primenoja algoritma simpleks tabclc, Tom prilikom sn n redî Gr b; a u kolor.ama onih slobodnih promenljivih duala, koje nc ulare u re.senje, svi kneficijenti negativni, tj. zadovoljavajuuslov Grbt
S iika 1.18.

Prikazp rim arn ^g zatlaiku 62

Lineanif> progrnmirtittje Oprimalno reScnje priniam og a\

nalaî se u tacfei B s;i knordinatama: x ‘ = 4 i

—3 M inimalna vrednost fu n k cije c iljaje :

F mjt] ( A") = 17.

Optimalno reženje duainog zadatka nalazi se ti tački B sa koordinatama; y \ — l 8 [ vl - 1 /4 . Maksimalna vrednost funkctjc ciljaje: f ? „ ( y ') = i 7 .

DUAL

/■fv)^4a\y ^vr

9- * y i

Shka 1,19. Prika- duahun* âtiuika

L5-3. HKONOMSKA INTERPHRETACIJA DUALNOG PROBLEMA Ekonom sko objašnjcnje dualnog problem a sc dircktno zasniva iiii nimačenju prim am og problema {problemu I.P u svom opiicm o b lik ji prikazanog u poglaviju 1,2, Primami problcma će biti predsiavljen sledećom tabeLom:

Interpreiacija Xi

.

m __ K

Nivti akijvnosiu' C/-/.2.J, ■.'0 Ccna po jedinid aktivnosti/ Ukupna cena svih aktivno$ti Kciličina raspoloživoii rLsursd t ( / - f, 2,3.....m) Količinu upotrebljeribg rtsursa svake jedinice aktivnotti;

Da bi sc dobila krajnja interpretaeija dualnog problema, krenuće se od duainih promenljivili>*/Ty>........ > v Ako je

yo~ b ty t + b i¥ i +

+ b™¥*

1afco je vhp ircnutna vrcdnost F(X) u bijo kojoj itenict ji simpleks metode. Preina tome, za date v rednosti r/. y; .......... y m date u redu trenutne iteracije pnkazane u simpieks tabeh, v, je trcnutm jediniini dopnnos ukupnoj ceni re s u rs a f(/“ / t2 ,i..... n ). 61

OFERACiOÂ f&TRAŽlVASJA ___________________________ _______________________ Dakle, li poskclnjoj sinipkks tabcli primera \ 14., koja prcdstavljjboptinmlno režfenje, vrednosti V; - \ 8 t y 2 = l / 4 t govorcr koliki je jediniCni đopa'inos svakog pojediriiitinogroaarsa ukupnoj ceni i lo: • y \ ~ 1 /8 - pojeđinajčni doprinos svakc jcdiritcc vium ina Cukupnoj ccni jc 1/8, *

—1 / 4 - pojedinaični doprinos svake jedinice vitamina D ukupnoj ceni je 1/4.

Stoga, vrednost funkcije cilja duainog problenli ćc biti: G(Y) - 40 y) + 4S y> =* 40 (1/8 ) 4 48 (1/4) « 40/8 + 48/4« 5 + 1 2 - 17, RaKpoređiv&nj« udela svakog od o\'ih rešutej u ukupnoj ccni ijtoždia može na prv'i pogled izgledati da jc odrcdon priliino protzvoljno, poiplovu u stuiaju kida bi se pojavila opnmaJna vrednost y f koja bi iista jednnka nuli (očigledno je da svako ogrflnićenjs koje opisuje raspoloživost resursa itekako u tiie na ukupnu vrednost fuokcijc cilja). Tpak, ovdc ;ie u stvari radi o zaisia prcci^noj racionahzaciji učcšća kojc svaki itcsuis ima u ukupnoj ccni,[4j Tačnije, yt predstavtja gramčmt vrednost resuisa i, koja u stvaripredstavlja VTCdnost pusiti koje funkcija cilja moŽC daljc rastiako bi se povećavalo uz važećc postojećc rctactjc kojc sc koristc za dcdnisanjc primamog rcšcnja, Da bi sc ova interpretacga primcnila na konkrctuom primeru, ispitačc sc šta sc desava kada se svako pojed'mačno ograničenje resursa (/?..) smanji za. I (sli.ka 1.9.). Treba primetiti kako se taćka V ( x 4, .v_> ~ 3} koja predstavlja oplimalno rešenje1"' u kojoj jc vrcdnost funkcijc ciija F(Xj- ! 7, pomcra u tri slučaja (/= 1,2,3) i tci> >\ = 1 /8 i 1) X; “ 15/4, JCJ - 25/8 za F(X)~ l§[5/& ( A F ( X )

/ g = y/ \ )

2) xi -■=7/2, X? = 13/4 za F(X)= 67/4 ( A F ( X ) = i / 4 = v J ) X-yf

5/tAa

đp/i/ndmA reêjy'ii

fi Opiimabo resenjc: jc debijcno presekom dve prdve koje predstavljaju ograničcnja koja dcftniliu dnevnc poirebe za vilaminima C \ D

64

Unearno prog rc mirtntfe

Ova imcrprctacija đualnih promcnljivih veom a konsna pri primeni LP na koiikretnim problcmitna u praksi. To je zbog loga što u stvam osti postoji odrcđena fleksibilnost u raspoređivanju udela svako^ pojcdinačnog resursa. uprkos lotno š;o se fom iubcija opšteg modela LP zasniva nn predposlavci da su ograničenja b\ ncpromenljiva. U ovim slučaje\ im a? vrednosii bt■, koriščene pri formiranju modela LP ustvari predstavlj'aju predposUsvijen u vrednost ograničenja ođređenog resursa, Nakon posUzanja optim alnog reênja datog modela, koriste sc dualne prom enljive (u ovom kontekstu se često nazivaju cene u sen ci g) za odredivEmje da Ei je potrebna i/m ctia rasporeda resursa

Cena u senci y t resursa ; prcdslavlja (miniinalmi)

jediničnu cenu koja se mora platiti da bi sc smanjio udco datog resuriia Ako je prateća cena m anja od stvarne vrednosti jedim ce određenog resursa, tada se udeo rcsursa treba smonjiti sve dok prestaje da vafci odgovarajuća jcdnacina,[4] U problemu odrtđivanja optim alnog jelovnika, bolnifki nutricionista ispituje da li je moguće smanjcnje potrebne clne\ ne kolieine vitamina C i D M eđutim. potiebne dnevne kolifine viiamina kojfc se naJaze u ove dve nam im ice b- - 40 i b j^ 4$ bi se mogle đalje sm anjivati sve dok posioje presečne taćke prava koje defim šu ograničenja poirebnih dnevnih količina vttamina. lnterpretacija opšteg dualnog problcm a bi bila: Ako direkmo primenimo počem o rumačenje dualnih promenljivih*

n * ), irt

jc trenuini doprinos ukupnoj ceni resursa koji bi se mogli koristiti po jednoj jcdinici akti\nosti j ( j - l t2 , ... * n). I)akteT poSto je s} dato kao vrednost koja predstavlja jedinićnu cenu akiivnosti / nejedr.ačina koja optsuje ograničenja: m

X ' V ’. S c /

t*4

1shadpwprices - cene u senci [4, st.&3)

65

OPERACIOm ISTRAZiVANJA kađa bi r# u rsi hili kortsčeni za vrSenje Ove aklfvnosti nenegativnosti:

SltCnn tomc, žkhtev

£0kazuje da svaki pojeđinačni doprinips resursa i (i- t, 2, m) mora biti neuegativan, U suproinum, bilo bi holje uop3t| nc koristili takav resurs. Funkcija cilja:

pal sc m dje osmatrati kao miniini/iranjc ukupnog Uticaja vrednosti utrošenih resui^sa korisćenib u obavljanju aktivnosti. 0 Vii interpretacija bt se moglti još poboljšati ako bi se ra/.iikovale osfiovfiđ (hazne) i

ne-baztie promeflJjive

pri forrnn]atiji prim arnos problema, Ako osnčvne promenljivc {samo nene
.

Ekonomska intcrpereracija sc bavi samo aklivnostinia j kojc imaju Jiamo pozitivne vrednosti (r\ j>0), i tada graničnc Viednosti utrošenih resursa moraju biti jednaki ceni ove aktivnosti, v, - 0T ako jc > 0(i=L2 m). Granicna vrcdnost utrošenog resursa i je nula (y, --0 } kada kod nije jds uvek iserp]jena mogjićnost snabdevanja datim resursom korišćenjem resursa za aktivnosti (jtn+1. > 0). U ekonomskoj terminologiji, ovakav resurs se naziva Eoari robom mora pasti na vrednost nula po zakonu ponudc i nabavke, Ovim se Kadovoljava interpretacija futtkcije ci]ja duainog prOblema kao minimiziranje vrcdnosti okupnog učešća utroSenih resursa, prc nego \Tcdnosti ukupnog učeSća raspoređeniti reaursa.[4] Inteipretacija đualnog problema takođe ontogućava ekonomsku interpretaciju koju obavlja simpleks metoda fonniranjem primamog problema, Cilj simpleks meiode je da iinađe nacin upotrebe mspolo/ivih resnrsa na najprofitabilniji l aftjisplaUviji načiti. Ovo iahteva dosti/auje počctnog prihvatljivpg rcScnja koje zadovoljava sve zahteve isplativog korEšćenja resursa (ograntčenja dualno^ problema) koja se sastoji iz uslova optimaJnosti ovog postupka. Za bilo koje dato početno i'ešenje, zaiitevi (dualna o^ramćenja) povezajii sa osnovrdm promenljivima, su automatski ispunjcni (aa jednakošću). Ipak, oni koji su poveâni sa neba/jćnim promenjjivama mogu ili ne moraju bit zadovoljena. Naime, ako je prvobitna promenljiva Xj nebaziCna, tako ca aklivnost j nije korištenar tada trenutni doprinos cenama rcsursa od kojega se tra/i da preuzme svaku jedinicu aktivnosti.

fteego$d - -filohodna roba [4, st.84] 66

_

__

_______

fu ■ *'

-■

m

1

LttHi'amo programiranje

___ _

i

1

J

..... &)*

niogii bni ili manje {<) ili veće ( £ ) cid jediniirne cene J koja se mo2e dobiti vrsenjtm aktivnostt, Ako jc 011 lnanji, tako da {F < y 0 u rcdu F -c sim p k k s labelc, Uida se ovi resursi m ogu koristiti m isplativiji način ako bi se počela vršiti ovn aktivnost, Ako je ot\ veti, tada su ovi rcsursi već negde dudcljeni m isplativiji iMtin. pa oni ne b: trebnli biti dodetjeni a td v n o s li }. Slicno ovome. ako se /anem ari tia je promcnljiva ,i„ , nehazićna, tako da tikupna je izvrsena potpuna alokacija bf resnrK* t\ tada je v, trenutni đoprinos ovog rcsursa ukupnoj oent u grantčnim uslovima. Dakle, ako je yj < 0, ukupna cena se može povećati smanjivanjem iskoriSćavanja odrcdeno^ resursa (npr. poveeavanjem x#*,)■ Ako je y t > 0 , nije isp iam o potptmo koriSćenje daiog r^sursa. DakIeT ono 5to $impleks metoda prijnenjujc da bi pronašla isplativije rcSenje od postojećeg je ispitivanjc koliko bi prirastaj svake od Hčbazičnih proinenljivih koje se n a la /e u početnom rešenju u tiie na prirastaj ukupne cene Ako nijedna od njih ne obezbeduje porasi Likupiie cene, ij. ako nem a potenctjalih tzmena lli p o rasu prDntenljivih koje b i ro/ultirale dobijanjem baEjeg rešenja, trenutno reSenje mora biti optimalnć. A k o jed n a ili vise prom enljivihs svojoiii medusobnom iitmcnom ili promenom vrcdnosti obezbeduju bo3jc rešenje od onog koje sc nenutno razmatra, bira se ona promenljiva koja ako bt se povećala /a i Tobe?beduje najveći priraštaj ukupnoj funkciji cilja Povećavanjem ove promcnljivc (ulaskom u počem o rešcnje) za onotiko koliko se neće promeniti granične vrednosti datog resursa, Ova promena rezuHira dobijanjem novog osnovnog rcšenjn sa novim redom Fr v} (dnalno rcsenje), i ceo proces se iznova ponavlja svc do posiizanja optnnalnog re5cnja.[4]

LTTERATURA [1] Lckovič M., Teorijcj t metode adhičiranja >kvantitaiivna anaiiza, 1-konomski fakultet, Pristina, 1998. [2] Lee S.. Moore L., Tay]oi B., Munagenu'nt Science, Allyn and Bacon, SAD, 1990. [3] Anderson D , Sw eeny D . W i]liams T.y At\ htirođuction to Managemem Scienc€f Quantitaiive A pproachcs to Đcctsion Making, W est Publishing Company, SAD* M inesotap [4] Hillicr F,: Lieberman, Opcratinns Resea?cht Holden - Day, Inc., SADt San Francisko, 1974

67

Tran$p6rti\i pivblem

2, TRANSPORTNI PROBLEM 2.1 i V O D rranspoitni problcmi Zđiu/imaju značajnu utogu i* ukupnoj ekonomtji svakog Uruitva postbno ako se ima n vidu vaSnost tr/išta u savrcmcnoj privredi. BuJuči da transport prcdstavlja v cm između proizvođnjc i poiroSnje 10 transportni iroSkovi predstavtjaju značajni deo eenc proizvoda zbos; razdatjhie između izvora sirovina sa jednc sirane i proizvotlačn gotovih praizvbđa tj, potroSaOa sa druge strano. Koncepi transportnog problem a obuhvata različite vrsie probtema kojt se javljftju u procesu iransporta robeh sirovina, m aierijala i Ijuđi*

7 a rcSavanje ovakvih iransportnih problema, koriste j knjizi prlkaz iransporlnih metoda jc baziran na re/Liltatima prika/anim u radovtm a navedeaih autora, Transportne metođe se prim enjuju na m nogo sire obiasti a ne samo na klasične pToblemc transporta. M nogi problemi koji nisu Iransporlni u užem smislu te reči, m ogu se fom iulisau i rc£iti na isti ntičin kao i transponni problemi. Ovc mctode se m otia koristiti i za pronalažcnje optim alnog razm eitaja mašina u okviru po(»ona, uptimainog razinestaja slu?bi u okviru preduzcća, opttm ahtog izbora radnika za obavljanje određenog posla i slicno Ako postoji lineam a zavisnost izmedu troškova transpona t količina kojc se transportuju, tada se govofi o lineam im transpprtnim jsadacima. Transportne mctodfi kojima se reSavaju ovakvi zadaci predstavljaju specijalni slućaj m etodc ]incamog program iranja Zbog toga ie razvoj mctoda lineam og program iranja uticao i na razvoj transponnih metoda. Takotle, razvoj ineloda nclincam og, m reinog i dinam ičkog program iranja om ogućiio jc usavršavanje različitih ncltneam ih transportmh m etoda. U ovoj knjizi bićc refii o tineam im iransponnim mctodama. .'[.H.Kan ropoEtHH: 'M;itcm;lih'icckh£ mctoai: oprammumi H itnaKKpoaaHHja npoH^Bonciua’, 1939 2 l'rank ]l. Hitehcock, Tlic Distribution o f a Produt^t from Severfcl Sources to Numerous Locaiilics’. 1941 Specifičnost transportnt mctodc sastoji sc u ođrcđenom pojednostavljtvanju sistcnia ogranićenjt, 69

OPERA CiO V ) /STS, iZl I : i,V./.4

2.2 MATEMAHČKI MODELTRANSPORTNOG ZARATKA Transponni /atiaiak se moze defioisati kao probkm odrcđivanja optimalnog plm i transporta ii tn polazmh tačaka (otpremnih stanica) a , J - I t2.... m du n krajnjih tačaka (prijemnih stanica)

B tij = \j2„.*tn . PoJazne tačkc m ogu biti određeni

proizvodni cuniri. sk bdista iz kojih Sc transportiije mha i sliCno, dok kižijnje [aćke m ogu bitj sklađi&ta u koja se transppfluje robii. poirosućki tztrncri i stičoo V ovoj KJijizi biće kori£tt;ni tcm iini polazne i krajnje taike, t ’ilj j e pronaći p!an tranapOfta koji jc optiFna]an u sm islu fcoji definise funkcija cilja. Kritenjuir! opiim ainosii defttusaJi funkcijom cilja najčesćc jc m m im izacija cen c tmnsporta,

Prilikorn formiranja matcmatičkog rnodcla transportnou zadaika poznah sii sledcci podaci: ■ broj polaznih lačaka m i k o lićin e robc raspoložive u svakoj p ola/n oj taCki .'i ,; = 1,2..... m

koje se obeležavaju sa a ,i =

.

tačaka n \ kolićine robc potrebnc svakoj krajnjoj B J = \.2,— n koje sc obcležavaju sa btJ = 1,2........ n.

*

brcij krajnjib

*

aoškovi prevoza pt> jcdinici ro^c iz poln/nc tatkc A- l,2 ,* v n B, >j = lt2.....n kojc se obclcžavaju sa t if , / - l ^ . ^ m J

tački

do kiajrje tačke

Po svojoj pi irodi, ove v cličin e ne m ogu biti negativnc tj, važi uslov;

0 tbj >tcti > 0 ,

j = L2..... n

f=

Usvajii sc pretpOStavka da se rađi o transpoitii jcdnt; vrstc rubc ij. sve raspo!oži\Tc i sve potrebm: količjre robe sc odnose najcdlUi ištu VrStU robc.

I'ransportni problcm sc možc formulisati na stcdeći naiiti: Potrebno jc odrcditi koJidinc robc j r J = lh2 t. . ^ m t j - l,2*+.fln kojt trcba prevcsti \t polaznih tafaka

At,i

do krajnjih tačaka B . , j -

tako da raspotožive koliCine

robc afJ = lt2y„.%/n bndn iransportovanc iz potaznih tačaka i đa pri tom potrcbnc kolitiiie robc b , j = \y2y.„tn budu iransportovanc do krajnjih tačaka. Pri lomc nkupni troškovi transporUi Ireba dft budu minimalni Scmatski prikaz transpormog problcma je dat na slici 2.L

Ukupni troškovi prcvoza predstavljaju, daklc, funkctju cilja i ona se moic izrazili kao:

M /=]

70

Transptirtni prohtem

Sistem oaraničenja so mofr: prcdstaviti na sledcci naćin: I Ukupna koltćtna robe koja sc prcvozi \z jeînc poln/nc uićke A .i = 1,2..... m do svih krajnjsJ: u čak a mora tla bude jednakEi raspoloživoj količini robc u loj pola;:noj tački a J - 1,2..... m.

2.

Ukupna količina robc koja zc ispom ći u jednu krajnju tačku B t j = U2..... n iz svih polaznih tačaka mora da boda jedr_aka koljfiini robc koja ta krajnja Učka poiražuje b}fj = 1 2 , . . ^ . m

^

j 3 L2»-..|W

■T-»t

3.

Kotičinc lobc koje se tranaportuju moraju biti ncncgalivjfle: X„ * o,

0.

4

l

lt2,,Tr,

J

a i

■K

1 4 —

-----C ^

Siikn 2. /. Sentd tranšportnog problcma

])aklch maleinatički modcl trknsportrtOg /ždatka glasi:

Kati-J tainf(_X) - min

'

/

fllFi * » '"X < «« r>n

oi'EtiA cio n a

is t r a t i \

\ i\J a

pn ograničcnjimat X > „ =«. j-t

c

=*bt J

- — x^ > 0,

j = l*2..... n

i - 1,2..... rn, j - [,2......;i

/

UpoiMujuii nktipan obiiti ponude « svitii po!a/nini tafkama A ,i = 1.2.....m i ukupan

ohim poiražnjc u svim krajnjiirPtačkoim B. , j = L2.... /r pojavljuju se dva siuuga: a+ Ako je tikupna ponuda jednak;i ukupnoj poiražnji tj. ako- važi:

i Hdi o zatvormom transportnom mođetu* Zatvorem u aJisportni model sejoS naziva i standardfti iii izbalansimiii mođcl. b,

A kose ukupna ponuđa i ukupna poiražnja m /likuiii tj ako va2i iti ■ ^ I > . * ' L b) f>l j-i rađ rse o otvprenoitt rransporrtiom modeiu koji St naziva jos i :?cst&rđardni ili neizbaiansirani mođel.

Ccnc prevoza po jcdiniei robe se obii-no zadaju matricom ccna koja se naziva jo£ i strondardiia transportna matrica: 'ii

12

2t

Ji? C 2n

t.■! i;

Skraćeno matrica cena sc obeležava sa:

r/O PromerJjive x r/ koje formiraju rešenje mogu se i^.kodo pvedstaviti job lik u matrice:

Transporttii prpblem Skraćcno ova m atrica se obftJežavs sa: *

l

>

-

f'odaci koji figuiiSu u m odelu transportr:og zadatka mogu se prcdsiaviti ti tabelam om obliku:

4

*>

&

...

3t

C)2

■■■ A l2

*11

JL-fc

C,;

...

^2j

A~

xu

C2l

*j_

£ i« X 2n

*72 ■■■«■

■h

li>

■■■ ...

C«t2

C «l

cu

l!h

^Mri Y

jnn

E++

h

K

Tabela 2A. Posmatrajrap sada Kistem ograničenja koji sc može zapisati u analitičkom obliku; x,, + * - + . „ + * ,

- at

■- T -

B ■1BP-IBB1B B 1 B B 1 9 B E 1

■ ■1 ■ U I ■ I I

* „ I + - V > + ■-+*„„ = « „ -r l1 + * 1 2

I

4- r L

JT- ^ | |

i i h l k l H h H i i H F i i p

j-

+ v

I

t

r\

11

=A •+ Xml

'i”

h š. ■ -r ■■ ii ■ ■ ■ . ■ ■ ■ ■ ■

= *, !

r^lfj

* x 2n +

P " f M

,+ *

.

l f i » t l

fn n

£+ !

=/?

Sistem ograničenja čine jednačine kojc su međusobno liucaruo zaviaie. Poslednja jcdnačinEi sitema može se dobiti tako Sto se od sume prvih m jed m čin a ?.a polazne lačke oduzme suma n —1 jednačina za krajnjc taćke. Dakle, poslednja jednačina sistema sc može zanemartti tako da se sistem svodi na sistem m + n —I iineamo nezavisnth jednaCina, Rang matrice koja se sastoji od koeficijenata sistema ogranicenja jednak je hm n -\+ Sto se može i pokazati4,

LM.Tonrki, M.Backović. 'Mactrr.atičk[ modeU i iiictocli u ekariomijiM995 73

OPERACiONA tSTtLtfjVANJA __ _________________________________ _____________

Posmatrnjmo mairtcj sistcma ogramfcnja i cbttežim o jc sa \ f fColonL1 ove matrice obcležimo sa ,Vf;i#_V/l2 . Kolona \ f t &ađrJi dvfcjcdinice koje sc nalaze na / -ioin i #n + /- o m mcsiu dok su *vi ostaii clcmenti nulc. fosmoinijmo* zaiim kvadrainu matricu rcda jh + zi-1 koja se sastoji od M ona M i rt M , Atf.p A/ tv„..,jW. w . Svak;i od ovili kolona ima m + f i - l clem enau. tj. poslcnji h- -it dem en i se ne u/im a u o b zir Ovakva matrica se sastoji ođ jedinica po dijagonati t jedinica u prvorn rcdu u kolonama m + lt m + 2,..,,;« + n - l . Diiklc, u prvoj koioni detcrmirtente ove mairice se nala/i na prvom mestu jedinica a svi ostali elcmcnti su nula, pa sc ova detcnninanta mo/.e predstaviti kao dcterminanTa kojoj su izbrisanc prva vrsta i prva kolona. Tako dobijcna dctcnninanta jc jediniEna tjHnjcna vrednost jc U IDakle, iz ovoga se vidi da rang matrice sistcma nije nianji od tu + n - L Kako smo mnijc /aključili da je poslcdnja jcdnaCina .‘iisicma lincamo zavisna to jc rang niHtlrice sistcma manji od m + n . Konaoni /akljuCak jc da jc rang m atnce sistcma tačnO m + n - l .

Svako moguće rcSenje transporinog probtcma ima mn komponennt& Jt# ,i - \,2 * ...,m J - lk2,__it Rešcnje se naziva nedegenertsđnim ako je broj pozitivmh komponenata x

jcdnak r;i + / r - l . Ako je broj pozitivnih komponcnti

x 4 manji od m + rr -1 tada sc reSenje na/iva đegenerisanim, Podact daii u transportnom zadatku predstavljaju se tabclamo. Posiupak rc£avaxya tadaka vrii sc pomoću n i/a tabela. Svaka tabela piedstavlj;! jeiino r^šenje zadatka. Svaka sledsča tabcla predstavlja novo, poboljSano reicnjc Postupak se prekida kada &e dode do labcle koja prcdstavlja najboije tj. optimafno rešenjc

U narednim poglavljima iiajpre će biti prikazano rešavanje /atvorcnih ncdegencrisanib tmnsponnih zadataka. Nakon toga bice prcdstavtjcnn reSavanje otvoreoih, a zatiiu i degenerisanih zadataka. Metode za nalaženje početnog rcšenja transportnog zadatka se razlikiyu ixl metoda za nalaženjc konacrog tj, optintalnog reSenja. Lh poglavlju 2 3 btćc prika/ane mctcMle za naJaženje početnoj: resenja a u poglai- lju 2 .4 metode /a nalažcnje konacikog reicrja.

2.3 M ETO O E ZA N A L A Ž E N JE PO Č E T N O G REŠEN JA Postoji v iie metoda koje se mogu priineniti /a nalaženjer počctnosj rcsenja transportnog /adaika U /avisnosti od toga koja mctoda sc primenjujc, poćetno rc£enjc cc boljc ili loStje aproksimirati konačno rtScnje. Drugim rcf tma, na poćctna rešenja dobijena prirnenom raziičitih metoda, hjče potrcbiio primemti neku od nietoda za naiaženjc konačnog rešenja, koje ćc do log konačtiog reicnja dovesii uz veći ili manji broj itcracija.

V ovoj knjizi bićc prikazanc sledečc metodc /a naiaJenje poćetnog rt;šcrija; dijagonalna metoda. metoda minimalnih troSkova, metoda dvojnog p n enslva i l 'agel-Ova mctoda. 74

Tfjmspnrim

'ohleJH

/ a poticbc objašnjavanja m etođa za nalaženje počeiruig rL-iertja kao i mocoda /a nala/enje opiimalnog resetij;(, bičc korišćcn sledcći primer: P rim c r 2 ,1 Naći optimalan p]an transpprta robc \? skadiSta A }t A , , A z t A± do prodavnica

B^B^B^B, SkladiSla rjspolaiu sledctiim knlićinama robc: .1. raspola/c sa 200jcdinica robc,

A raspolaže sa 150 jcdinica robc, I, taspolačc sa 280 jedinica robet

A4 raspotaže sa I20je
B } potra/uje 50 jcdim ca rtibc, B. potražujc 23Qjeditiica robeh Trjnsportni troSkovi po jcdinici robc. tzražcni u novča»tm jcdinicam a, dati su slcdcćom matricom: O-

P 5 2 3

3

l

S 1 I

2 2

7 3 ć 9

3

Kriterijum optimalnosti su m inimalni ufcupiti troskovi prevo/a, N ;ipomena: Radt uopStenja /adatka, biče k.oriićem izrazi jedinica robe i novfana jcdinica, Jcdimca robc m oie biti kilogram , tona, komad i slično
B, 4 A>

4

2

3

J

7

200

5

5

2

3

150

2

i i

2

£

2S0

3

9

120

50

230

3 300

170

Tahela 2.2 75

OPERAUONA tSTBA?JVANJA

2,3. L DIJAGONALNA METODA Dijagonalna inetoda se nazivajoS i motoda sttverozapadnog uglfl ili ]iSL.ioda gomjcg levog utila, Ovo je jednofitavfitia metoda, ali ne vndi računa o tenamii trunS(>oria, Ko.rak 1 Lf dijagoriaboj trietodi ptitazl se od polja u gomjem levcm ij severoa:apadnom ujjlu labelc, tj, od polja na poziciji (]J ). Za ovo poljc poredi se kapaciici prvc poJa/ne taćke i kapacitet prve krajnje taćke b : , KoJitina robe koja se tran'sportuje x tl biće odreJena na sledcći način; * 5k =? tnin{ff, t&,) - m tn(200,300} = 200 Ovim prevo3enjem potpuno j e ispražnjeno skladiSte joS b ™.ir

100 jedinica robe i ta količina

, Prodavnici

potrcbnoje

unosi u prvo slcdcčc poljc u koloni

tj. u polje (2,1). Korak 2 Prelazimo nzi razmatranje sledHićcg polja na dijagonali tj, polja na po/ictji (2,2), Sada se poredc preostalc količinc u skladiSm Ait označimo ib sa a 2. Sto iznosi 1 5 0 - 1 0 0 = 5 0 i nezadovoljene potrcbc prodavnice

oznafim o ih sa b 2, 5to

izno&j 170 jedinica robt:. Napomenai Prcostale kohčine robc u skladiStu A^ dobijaju se tako slo se od Ukupne kolitinc robc u tom $kladi£tu (U naScm primem 150) ođuzmu kolitinc robc koje su vei: ispomčcnc iz tog skladišta (u naScm primeru 100). Nczadovuljcnc potrcbc proiLivnice dobijaju sc takn £io sc od ukupnc kolitfine robe kojc potražujc ta prodavnica (u nascm pnm eru 170) oduzmu kotičinc robc kojc su vcć doprcmJjcne u tu prodav-nicu (u nalem slučaju 0). Satia sc postupak svodi na upoređcnjc a ; i b2. kao i u prvovn koraku; -m m {50J70) = :50 Ovom kolićinom robc potpuno jc ispražnjcno skladi&lc potrcbno je joS b2

Az . Prodavmci B2

- J20 jcdm ica robe i tu koliiinu unosimo u pr%o slcdcćc

poljc u koloni B2 tj, u polje (3,2). Korak 3 Slcdećc poljc na dijagonali jc poljc na poziciji (3,3) pa sc sada porcdc prcostaL' količine u skEadištu

Alt označimo ih sa cr,, Sto iznosi 280*120 = 160 i

nezadovoljcnc potrebc prodavnice H .. označimo ih sa robc. Koiičina robe

iznos:: 76

>što ijinosi 50 jcdinica

Trgnspgrtni probjem

Xy3 = minfa3

) = min(160.50) = 50 U skladi£tu A ■

Ovotn kolifinoin robc potpuno je zadovoljcna prodavntca prcosralo je jo i

-

- vu

slcdcće p o ljeu redu

10 jedinicii robc i tu količtmi unosim o u prvo

rj u poljc ( M ) -

Korak 4 /a d n jc poljc na dijagonalt je poljc na poziciji (4,4) ?orcdc se prcostale koliCinc u skladiStu

ft Sro i2nosi 120 i nc/adovoljcnt poircbc

,4 ^ označimo ih sa

piodavnice 5 4, označim o ih sa h . , što iznosi 2 3 0 -1 tO - )20 jcdir.ica rohe. Knko su ove dvc veEičinc jcdnake to zaključujcmo da je jtw = 1 2 0 . Ovom koliCinotn je ispra£njeno skladištc A4 i zadovoljenu potrcbc prodavnicc je zavrSen postupak nalaženja počctnog reSenja.

Čimc

Primclimo da je broj baziinih promenljivih (popunjcnih polja) jednak m + w - 1 1j. u na&cm primeru 7. Nakon primene dijagonalnc mclodc dobija sc počctro rescnjc kojc se možc prcdstavtli sledcćom tabclom; n šr 4 4

2

1

7

r 200

2

3

150

50 ■ -¥------■ — 1 2 1 . 120 l 3

6

3

200 5

5

1 100

2

4

B-,

3

[

50

2S0

! 110

120

9 920

300

170

50

230

Tabefa 2.3. iToSkovi prcvoza pn ovakvom poCctnom re id iju su: / " ( ~ 2 * 200 + 5 * 100 + 5 * 50 + 1* J20 + 2 * 50 + 6 * 110 + 9 * 120 ~ 3 110 M ctoda se zove đijagonalna zaio što su sva polja na dijagonali popunjcna, Hobra sirana ovc mctode je jednostavnosi, Loša stran ajc to Sto, budući da ne vodi računa o jedmiCnim cenam aT dajc poćctno reScnje kojc je prilićr.o udaljeno od konačnog rcficnja pa jc potrebno uraditi veći broj iteracija da bi sc stiglo do kT^ja z;tdaika *

2,3.2 M ETODA M INIM ALNIH TROŠJCOVA Ova mctoda se naziva jn s i mctoda jcdiničnih koeficijcnata tj. metoda najm anje cctic M ctoda vodi računa o jcdiciičnim ccnama rransporta.

77

OPERACIONA tSTRAftVANJA iVisinpak sprovođcnja ovc mclode je sledcći: L' matnci ccna C pronalazi sc najmanji dcm em ct. i r.a tom mcstu sc bira prevođcnjc .xtJ koje jc jcdn-iko

J. Ako postoji viSe minimftlnih jediničnih ccsna tada sc bira ona ccna po kojoj se možc prevosti najvtća količina robc, Ako, pafc, poswji višc takvih minimalnih ccna sa najvećim prcvožcnjcm oftda sc prevoženjc bira pmi/.voljno. Lr našem primeru minimalna c c n ijc 1 i ona se pojavljujc u iri polja: (1tJ>,(W)i{4v2J. Pronalazimo

m m (aE,l? J = min(200,50) = 50

min(*i

rrJn(2£0nl 70) - 170

= m in(l2 0 .1 7 0 )- 120. Daklc. hiramo poljc (3h2> jer

i

na taj nafiin po

najmanjoj cem možc prcvosti najvcća količina robc. Na o\^j način potpuno jc âdovoljena predavnica B2 pa se zato dmga kolona izbacijc iz da3jeg ra/matranja. Roba u skladiSm

4

2

3

B, 1

5

5

2

3

2

1

2

6

2S0 —> J 30 120

B* 7

200 o

A:t

jc smanjcna na \ lOjedimca robe.

170 4*

3

I

3

9

300

170

50

230

Tabefa 2 4 Postupak se nasiavlja n a opisam način, Treba voditi raCuna da sc polja koja 'iu ispala tz daljeg razmatmnja nc uztmaju u obzir. Takodeh trcbn vodili raćuna da se količinc robc u skladištima otinosno polrcbc za robom u prodavnicam smanjuju; Tako
f { X ) = 2 * 1 5 0 + 1 * 5 0 + 3 * 1 5 0 + 2 * 1 1 0 + 1 * 1 7 0 + 3* 4 0 + 9 * 8 0 ^ 2030 Dobra strana ove mctodc jc to Mo vodi ra£una o cenama pa jc dobijeno poćcmo rcicnjc obično bliže optimalnom u odnosu na rcSenjc dohijcno dijagonalnom mctodom.

78

TrtinsporTtij prpjbhtn

B,

A1

7 150 5

i

2

150

! 150

3

, ■!

j 110

4,

** 1 3ifi

4

b, 1

3

]

6

2S0

170

1

\

2

]20

"

40

yo

3U0

170

230

50

TiibeUi 2.5

2.3-3 MRTODA DVOJNOG PRVENSTVA Ova m etcda predstavlja naćin za poboijsanjo tnctode m inimalnih troškova. M etoda se sprovodi tako Sto sc u svakom rcdu pronalazi poljc sa najm anjom ccnom i to poljo sc označi sa +.

4

h

A*

*

B, 1

200

*

3

150

2

6

2S0

3

9

120

50

23 D

Bi

B,

3

1

5

5

2

2

1

*

3

I

*

300

170

*. 2

i

T a b e k i 2.6.

Zatim se u tabeli 2.6. pronađu najm anjc ccnc u svini kolonama i ta poljLi £e takode označc sa *. Na taj način dohija se tabcla 2.7r Najprc se raspoređuju prevoženja u poljim a sa dve zvezdice, Ako pos.tqji vise takvih polja {u nnScm prim crn posioje iri takva polja) onda sc bira potjc sa najmanjom jcdiničnom cenom. Ako postoji viSe najmanjih ccna (u naSem p rim erj n sva tri polja sc nalazi 1) onda sc bira polje sa najvcćim mogtićim prcvotenjem . U našem sEučaju to je polje (3 ,2 ) u k o m e je prevožcnje 170jcdinica. Zatim sc prclazi na polja sa jednom zvezdicom i ponovi sc isti posmpak kao sa poljima sa dve zvezdiee. Na kraju sc polja bez zvezdica popune konSecnjcm metodc minitnalnih troSkova. ReSenje dobijeno metodom dvojnog prvenstva je u ovom primfiru isin k;io i rcšcnjc dobijeno metodom minimalnth troškova. 79

OPERACJOSA ISTRAtlVANJA

X, 2 A,

•

5

", 1

* 5 '

A

2 3 300

*

I

**

1

**

170

2

'

*+ 1 1

‘

1 3

*

150

6

2

,3 50

200

|

Q

120

230

Taheh 2. ?. Kao £to jc već tcćcno ova metoda predstav]ja poboljSanjt iv.ctodc nnnim alnih troskov^ ahn kao š:o jc s!ućaj u ovozn primcru. mogu sc tiobiit i :sti rcioilian kao kod mctodc minimalmEi sroikova,

2 3 ,4 VOGEL-OVA METODA

Ova mcioda sc oaziva jo i i mctodn najvoćih razlika iEi Vogei-o\z aproksimatLvna nKtoda. U ovoj mctodi potrcbno jc ođrediti razliku dva riajTnanja clcmcma u svakom redu i svakoj koloni* i tu raîiku upisaii u novn kolonu tj. red. Dd s\ ih ovih razlika bira se najveća pa se onda n tom rcdu ili koloni pronađe najmanj? ccna \ n tom |x>lju sc ođrcdi kolićiaa robc za prevoicnjc. Količina robc sc odrcduje na isti način kao i kod prcdhodno opisanih metoda tj. kao mmimum od raspoloživih količina u polaznoj lački \ nežadovoljcnih potroba krajMje laćkc. Takođc. iiito kao i kođ prcdhodnitt mcToda, ako postoji viSc minimalnih ccn;i. tada sc bira polje sa mmiinalnom ccnom u kome se možc izvrSiti maksimalno prevoienje. U naieiu pi imcru mcioda sc sprovodi na slcdcći način Korak 1 Najprc sc nalazc razlikc i/mcđu najmanjift ccna u redovinia i kolonama i tc ni/.hke sc upisoju ii dodatnu kolonu I tj. dodami rt\l 1 . Najvcća ra/.lika jc 3. Kako sc ona pojavljujcu čct\Ttoj koloni to /.itaiii da ćc sc prcvožcnjc i/vrsiti po najmanjoj ccni u toj koloni. !>ak)c, transportovaćc sc 150jcd:nica robc po ccni od ? novčanejcdinicc. Ovim sc izbacujc đruga \TSta iz ra74UatranjaTa koitCma robc u čclvrtoj koloni se smarjujc na 80. Korak 2 IzračunavEiju st: razlikc izmcđu uajmanjih ccua u preostalim rcdovima i ko]onama i tc m dikc sc upisuju u dodabm koionu II tj. dodatni red II Najvcća razlika jc 2. Kako sc ona poiavljujc u ictvrtoj vrsii to znači da ćc se prcvožcnjc izvriiti po najmanjoj ccri u toj vrtti Dakle, prcveSćc sc 120 jcdinica robe po ceni od 1 novčanet jcdinice* Ovim sc i/bacujc Ćetvrta vrsta iz raztnatranja, a koliiina robe u drugoj kotoni se smanjuje na 50. 80

Tranjporittj probiem

Koiak 3 Razlike iztneđu najitianjih ccna u prcostalim rcdovima i kolonama sc upisuju u dodatnu kotonu !i[ tj, dodattn red ni , Najveća razlika je 2 Kuko t;corta ppjavljuje u cm goj koioni io znaći da če se prevoženjc izvrsiti po tiiijir.anjoj coni ii toj koloni. Dakle, prcvcšćc sc 50 jcdtnica robe po cuni od I novčanc jcdinicc.O vim sc izba™ cujc dniga koiona \z razm atranja, a kolićina robc u trcćoj vrsti sc sm anjuje ua 230. Korak 4 Razlike izmcdu uajmanjili ccna u prcostalim rcdovbna i kolonama sc upisuju u dodatnu kolonu I V tj. dodatni red t v . Najvcća razlika je 1 i ona sc javlja tri puta; u ircćoj i Četvrtoj koloni i u prvoj v r s i Bira sc najmanja ccna u tim poljima a to je 1 i nalazi se u polju ( I t3). DakJc, preveSćc sc 50 jedinica robe po ccui od 1 novčanc jcdinicc. Ovim sc t/bacujc trcću kolonu i/. razmairanja a količinu robc u prvoj vrsti sc smanjuje na 150. K orak 5

H

Nalazc sc razlike između najmanjih cctia u preostalim redovitna i kolonam a i tc razlike sc upisuju u dodatnu kolonu V tj, dođatnj ređ V < Najvcća raztika je 5, Kako se ona pojavljujc u prvoj vrsti to znači da ćc sc prc\ožcnjc izvršiti po najmanjoj ccni u toj vrsti, Daklc, prcvcSčc sc 150 jcdinica robc po ceni od 2 novcane jedinice. Ovim se lzbacuje prva vrsta tz razmacranja a kolićina robc u prvoj koloni sc smanjujc na 150. Na kraju su ostala samo polja (3,1) i {3*4) pa sc i ona poptinjavaju - najpre polje (3,1) sa 150 jcdinica robc po ccnt od 2 novčanc jcdinicc i na kraju pofje (3,4) sa 80 jedinica robc po 6 novčanih jedm ica. Opisani postupak i početno resenje dobijcno ovom mctodom mogu se predstaviti slcdcćom tabeiom:

' 3 150

;

u iii

\v v

t

5 XI

A' 4,

j

150 3

JL U

2 2

6 i

: 7(1

Q o l & '

; ! 1 0

so 120

9

3 120

300 0 G G 0 0

280

50

J

50

!

150

1 t' 1 1 5 . i . 1

200

7

L/l o

'h

/ // /// \v V

*4

L

A

4 2 j

50 1 1 1 1

3

Tabelu 2.S. 81

2 __

230 1 1 1 1

2

| i

4 —

OPERACIOSA iSntAZtl ASJA TrcSkovi prevoza pri ovakvom poCctnorn rcscnju su;

f ( X ) = 2* 150 + 1*50+ 3*150 + 2*150 + 1 * 5 0 + 6 *H0 + t *320 = 1750 Ova tnctoda podrazumcva neslo kom phkm nnijc izraćur,avanjL\ aii ra strana jc to sto jc početoo rešenjc dobijcno o\ i:u inetodom obtćno najbtižc opiimalnom. Napomena: U slućaju kada ic pojavi višc istih niaksimalnih ra/1ik;j (u našem primeru to jc siutJjj kod koraka cctin) ttida sc primcnjujc slcdcći po^ttipak; U lim rtdovim a tjr koionama izračunavaju sc tzv. dmge ra/likc k:io ra/Eikt između minimalnih ccna slcdeć^ po vcliCtni. Bira sc najvcćii druga razlika i postupak sc nastavlja na vcč opisan način. Moze kc desita da sc pojavi vi$e istih najvećih đruîh ra/hka. Tada sc prcvožeiije nnosi u polje sa mjnimalnom ocnom i maksimatnim prcv[j?rcnjcm u/im ajuči u obzir polja u rcdovima tj. k d o n am a sa najvcćom drugom ra/iikom- M oic sct uJcodc, dcsiti da drugc razlikc ne posEojc (kao sto jc slućaj u nasem pnmcnj). Tada sc prevožcnjc unosi u polje sa minimalnom cenom i maksimalnfm prcvoicnjem uzimajući u o b /irp o lja u redovima tj. kolonama sa najvcćom prvom ra/likom Uporcdićcmo rcz'jltatc dobijcnc primenom razl]£itih mctoda za pronaiažcnjc poietroE rcscnja: METODE

fPO

Dijagonalna mctoda

3nn

Mctoda mjnimalnih tnoskova

2030

Mctoda dvojnog prvcnstva

2030

Voget-ovft metoda

, J 750 Jj

Ovi rczultati pokazuju ono sto jc vcć rcćcno na poCctku poglavlja tj. da primena različidh mctoda do\odi do poCctnot; a'icn ja kojc boljc ;li loSije aproksimira početno rescnjc. Kao ito sc vidi iz iabck\ komplikovamje metode daju pv>četno rcScnjc bli/c konačnom rcScnju.

2.4 M E T O D E ZA N A L A Ž E N JE O P T IM A L N O G R E ŠEN JA Kada jc poictno reScnjc pronadcno tada se mOŽC pnstupiti pronalaiienju optiroatnog reSenjft. Postoji yi5c ra/liCitih mctoda 2a pronalažcnjc optimalnog rcjenja U ovoj knjizi ćc biti prcdstavljcnc sledeče mctodc: * Siepping Stone mcloda • Modifikovanamciodii Pomcnuie tnctodc bićc objasnjcnc na vcć prikazanom pi imcrn prctposuvljajući da je pOČetnO icScnje pronadeno metodoni minimstlnih iroškova. 82

Tra tjsporfn i problertl

2.4.1 STEPPING STONH MHTODA Ova mctođa naziva sc jo š i m e $ d a skakanja sa kamcna na kamen, mctodrt raspodele, metoda distribucijc. i*o ovoj metodi optirtialno rcScnjc sc pronala 2i pomoću novog razmcšiEija bazičm h promenljivih. U tu svrlrj potrebno je pronaći veličinu A J; za svaku ncbazičnu promenljivu, Za ncba/ičnu promcnljivu jt , i

&c proniila/.i sc tako SCO sc pođc od

ćy pa sc toj ccni naizmcnično ifduzimaju i dodaju ccnc bii/ičmh prometiljivih. Bazičoc promenljivc sc biraju tako dii polje ( / , / ) i polja tih bazičnih pronienljivih formiraju poligon fianać, prstcn>r.,)r Slikovito rcćcno polazi sc oci ncbazične promenljive x if i âtim ac; 'skaio' se sa bazične promenliive na bazičnu promcr.ljivu, dok sc opct nc tioćc do ncbazičnc promenljive x tJ. O d svih negativnih clcm cnata i .

bira sc najmanji. Promehljiva v. se jutVodi u

bazu, Postupak sc ponavlja svc dok ima ncgativnih A .,. Kada a\i svi

A,,.

ncnegattvni tada sc stiglo do kraja zadatka. P nkazaćtm o prim enu metoda na nasem primeru. Podimo od poćetnog resenja prottadcnog pomoču m ctode m inimalnih iroškova: s, 2

4

4

5 i . i. j

3

150

200

50

;

Ji

7

5

2

150

3 -------150

2

A

1

1

6

?.SQ

3

9

120

170

110

4 . LJ

1

I

J

80

40

o c m

no

50

230

Ttihehi 2 9.

I rošk&vi prcvoza, tj. vrednost ftjnkcije cilja pri ovakvom rcšenjt] jc:

f ( X ) = 2030 Najprc pronalazimo veličine A rr za nebaîćne promenJjive; ^12 =Ci2 -C x + C y j - c t3 - 3 - 1 + 2 - 2 - 2

+c4i At| = t i | ”"tj4 ^ A2J - t'jj -

-

A-jj = c23 - cw +

~"cu = 7^9 + 3 —2 ——] ^4-1 = 5 'r3 + 9 " J | - S cAl + Cj, -

- 5 - 3 + 9 - 3 + 2 ■*■I - 9

cAA- cA| + q | + cu = 2 - 3 + 9 - 3 + 2 - 1 - 6 83

i

OPERA a O S A ISTRAŽIVAN

J A

_________________________________________

-2 -a + a -i-i " CJ- +C*I

- 6 - $ + 3 - 2 ^ -2

A « ==~ cv “ 1 -3 + 2 - 1 - - 1

4,j = ^ - * 4 1 + f ti ■*(?,> ™3 - 3 + 2 - 1 n| Kako postojc ncgafivne vrcdnosu za A , to znaći da nrsmo s:ig!i do kraja zadatka. Bimmo najinanjij negaiivnu vrednosri A,j = -2 i i/vrsićemo sledcći posmpak na lom polju:

[zvrfićemo prcraspodclu robc kcja sc prevozi u ovim poljima i to tako što čcmo povećati prcvoženje u potjima o/naCcnim aa ♦ l\ smanjiti prevožcnje u poljima označcnim sa Kako količinc robc u poljima sa - i /j i o s c 110 i 80 lo biramo manju od te dvc cenc tjHS0. Dakle, nova prcvožcnja u ova čctiri polja bićc: 1

l

30

SO

120 Osiala polja sc prepi£u nepronw$jena, Tabela koja piedstavtja ovo rcStnjc izgledn:

B4

4

2

t

'

3

J_

j

5

2J A* _3

30 |

2

?, r

150

2

J t

"l

3

9

170

50

230

1

1

170

120

300

200

50

go

5

7

J

150

m

2X0 120

ToheiaZlO Ccna plana transporta prcdstavljcnog ovim rcicnjcm jc:

f ( X ) * 2 + 150 + 1*50 + 3*150 + 2* 130 + 1*170 + 6*80 + 3 *120 = 1^70 Drugi način za dobijanjc ccne jcstc da sc od cene u prcdhodnoj iicraciji odu/m c proi 2vod negativnog clcmcnta pomnoJcnog sa količinom robc koja sc prcraspoređujc: / f A " ) - 2 0 3 0 - 2 *80 = 1870

84

Tr&iisportni prvbfem NapoTiiena: Ako sc desi da posioji višc ACgativnih vt]li£in*i A, nije gre^ka ako sc prcraspodcla robe koja sc prcvozi izvrsi oa osnovu proi/voljno izabnme ncgativnc vcličinc A r . M cđutim, m osnčc jc izvršiti stcdcčj analizu koja će pom oći da se izabcrc ona ^ cličma

koja će bržc Ij.

jz

m anje itcracija dovcsti do kraja ?adaika.

Citj jc da sc ccna prcvoženja kod novc iicraujc 5to višc smanji. Kako ćc ceim iraniipona biti smimjcna za ptmizvod vcličinc A i količinc iobc koja sc ]>rerasporcđujchto je cilj da taj proizvod budc Sio veći po iipsolumoj vrcdnostL Npr. u prcdhocinom primeru moguće su siedcće varij:m(fi: *

Ako sc prcraspodela robc izvrši na osnovu polja A H (adii će se cena tran$pofta

*

smanjiti za I * 80. Ako sc prcraspodela robc izvrSi na osnovu poija A J4 [ada će se cena transporta

*

smanjin za 2 * S0. Ako sc prcraspodcla robe izvrši na osno% u polja A J: lada če se cena transporta smanjiii za J * 40.

Dakle, najboljc jc prCJBSpodelu robe izvr&itj na osnovu polja

Sto smo mi i

učinili* Sada opet odrcdujcmo vclitm e A y da bismo provcrfli oprimalnosi pronadtim g reScnja. “ c ,i

= 3 - 1 +2 - 2 = 2

* c H - C j , + Csi - c , ; = 7 - 6 + 2 - 2 = 1

An mcn ~ cu + c!* ~ e» s> S - 3 + 6 - a = « A ;. - c ^ - c s* + cu - c , ; - 5 - 3 + 6 - I ~ 7 A *- = t"jt ■

^

A h = tjj

+ c ]t

+ c,|

-t'jj = 2

3+ 6

- e,, = 2 —2 + 2 - 1 = 1

Aa : ; - c4l + c„

—- 1 - 3 + 2 - 1 " —I

A Ai = c 4j - c 4t + c, |

- cN = 3 - 3 + 2 - 1

Ajj =

2 -1 = 4

1

- Cj| + cr,j “ cH —9 - 3 + 2 —6 = 2

Kakc> postoji negativna vrednosi za

lo iinači dii nismo sti^li do kraja zadalka.

Jedina negatlvna vrcdnosii jc A ^ ~ —I . Izvr£idemo slcdcći poslupak na tom polju:

2 3

I

+ 30 120

1

85

170 +

OFERA a O S A tSTfU Zt VASJA__________________________________________________ [zvriićeftN preraspodclu robc koja se prcvw: u ovim poljima Lj. povoćaćcmo pTcvo/cnjc u poljima označcnim sa • a smanjici prevpicnjc u polfima označcnim s;s KoJičmc robc u poljima sa - su 120 i 170 pa biramo manju od tc dvc cenc lj.120. Đaklc nosj;i prevožcnja u ova čctid po^ja bićc: 1 “

.

1 ’

1

p

J

5oJ

r-/ ° ____ 1

] 50 i

Ostala p-plj.iL sc samo prcpisu. Tabcla k o p prcdstavlja ovo rcStnje izglcda:

4

'

% 2

T

'3 150

S 2

'

‘

..

,

1 i f*

5

|

■' 1

1

U _

150

j

:50, 2HU

50

EO

. . .

l

—

3

9

51)

230

120 300

200

2

150 3

1

*4 1

120 L

170

J

Tabeta 2. 1 l

Ccna ptann transpoita prcdsiavljcnoi; ovim rešenjcm jcr

f ( X ) « 2 * 1 5 0 +1 *50 + 3*150 + 2* 150+ 1*50 + Ć*80 + J* 120 = 1750

f ( X ) “ IR70-1* 120- 1750 Sada opct određujcmo vcličinc A

đa bismo pro\crtli optimaluosi pronadcnog

rcšenja. A|2 i: cxl -i-'u +

- c ti = 3 —1 + 2 —2 = 2

m *tM ~ cn +?n -C:t = 7 “ 6 + 2 - 2 - ! A„ = cZl ~CU +CU - c tj = 5 - 3 + 6 - 2 = 6

Ajj - c21

= 5 - 3 + 6 -1 - 7

Au **
Asi

= 2 - 2 + 2 - |~ l *<î

Ajj m A«

" 2 -3 + 6 - 2 + 2-1 = 4

= 3 - 2 + ! - ( *e I

- cn +

~ c3, +
+ c u - c j4 ^ 9 - I + J- 6 = 3

Kako nsma ncgattvnih clcmenata to zakijučujemo da smo siigli do kraja zadatka. H6

Trafuportni prohlnm

Ako sc na kraju /adatka pojavi sinjacija da jc rtcka od vcliCiiw A ,r jcdnaka nuli +10 iinači da postoji joS jcdno optim alno rclcnje> Dakle, možc sc izvršiti prcraspodcla prcvožcnja na osnovu to£ polja ( t \ j ) čimc ćc se dobin novo rćScrtje kojc ću imati istu vrcdnost fimkcijc cilja, 2.4,2 M ODIFIKOVANA MKTODA Ova metoda sc naziva joS i \ f O D f m ctoda \\\ metoda potcncijata. Postupak primene metodc bićc prikiân na pofletnom reSenju dobijcnom pom otn mctodc m inimalnih troSkova: S,

£3 1__ j

*7

2

A,

150 5

Ai A

50

2 110

r 3

4.

i r

5 1

170 - — -------] 3

150

n 150

6

2£0

9

120

40 300

200

!7

SO so

170

230

Tahda 2.12. Cena transporta pnkazanog
f { X ) = 2030

w j = l .....n za svaku vrsm

i kocflcijcntc

za svaku kolonu. Ovj kocficijemi sc pronataze tako da m sve

=

bii/icne promenlj ivc vaii:

č g = a 4 + flj

i=>lt,..%n : j =

(i)

Kako je broj b&tičmh promcnijivih fj broj jcdnaćina u sistemu (1) m* n - 1, a broj Uicficijcnata C£i t 0 , jc m + n to znači da sc jcdan od kocficijcnata bira proistvoljno, npr. nekaje

= 0- Oslah koeficijcnti se i/računavaju na osnovujednačina(l),

U našcm prim cm kocficijcnti su:

at - 0 cu

2 ^ 0 + 0. -» 0 { - 2

” <*, + A - n * 0 + A -* A =*1 c T; - a 3 + 0 —» 2 —-crs + 2 —> - 0 Cjj « a4 + /?, Cj; -

3~

+2

+ 0^ —> I = 0 + /?j ">

OTj » I =I

f ^ = tr4 + A -> 9' * I + A A =8 = đ j + A -♦ 3 * tfj + 8 —* = -S 87

OPERACtOSA SSTRAŽIVANJA_____________________________________________ _______ U slcdeccni k'rr.ik;!, za sve ntbazićntf promenl’i\tf. i?iaćun,ivaju sc veliiine:

d i: = cts - { & t +f i j ) Ako su sve veiičiuc d

/ = U'+H'J - I.... m

nencgativnt tadn jc pronađt;no optimalno rcsfiije. Ako je

ncka od vcličtna d i; acgaitvra taJft se sprovodi postupak prcraspodelc tnnsporta rcbe

iili način kao i u slučaju Siepping stonc me;ođe.

U n;iSem pnm eru dobijaju se slcdeći rezuhati: rfl l =
đu

+

A

)

=

7 ~ ( 0 + s )

=

- i

^11 * Ć?I - (# j + J?|) fc5 -*(-5 + 2) = 8

rf; j - c I2- ( ^ + /?: ) - 5 ‘ ( - 5 + t} = 9 <^ZJ

- < * ; ) - C « 1

+

A

)

=

2

- ( - 5

+

J )

»

6

rfM = cu *(or, + A ) = 2 - (0 + l ) - i “ K + A ) = 6 - ( 0 + S) = -2

^ - ^ - < ^ + A ) = i - ( i + i ) - “t rf4 i =

c < ^

K

+

A

)

=

3 - ( l

+

l)

=

i

Kako ima ncgaiivnib vtednosti za

io ztiaii tla konaCno reScnjc siijc pronatlcno,

pa se postupak preraspoddt transpćrta robe nastdvlja na isti način kao kod Stepping stone mctode. Daklet biramo negativnu vrcdnost du - -2 i izvržićemo slcdeći postupak na lom polju: 1

11

I

!

■ 110

6

j _

r

-i 40

19

+ I

Sfl

IzvrSićemo prcr.iHpodetu robe kojii se prevozi u ovim poljima l to tako Sto čemo povećati prevo^cnje u poljima 0i2rt4čentm sa + a smanjiti prcvožcnjc u potjima oznaienim ssi ■. Kako količire robe u poEjima sa - i/nose 110 t S0 to bit^mo manju od te dve cenc tj SO. [Jakle nova prevoženja u ova ćettri polja biče: a

:<

i

so

30

9

-2 — 1 l

j

\2 0 |

OstaJa polja se siimo prepišu,

Tabela koja predsiavlja ovo ic&erijc izgleda:

88

Transportm probietn

«i 2“

B, .

] 1

3 150

2

200

50

5 -4,

7

.

!

5

2

1

___ 2

1

J

170

3t> 1

J

!50

._ 6

150

I

280

1 80

3

9

120

120 300

170

230

.50 Tabehi 2. i 3,

Ccna plaria transporta predstavljcnog ovim reženjem je: A * ) ~ 2 * 1 5 0 + 1*50 + 3* 150 + 2 * 1 3 0 + 1 * 1 7 0 + 6 * 8 0 + 3 * 1 2 0 - 1 8 7 0

= 2 0 3 0 - 2 * 8 0 = 1870

Sada sc opct pronalozc koeflcijemi Q {, /7.

:

car, = 0

Cj | —

+ /?j —> 2 = 0 + /?L—►/?t ~ 2

cw

+ A -* i= o + A

+A “ i

Cj, = o * + # ^ 2 * = t f j + 2 - f r « j - o c 4, = or4 + # -> 3 = a x + 2 -+ a 4 - L Cj^ = ff j +

—? I —0 + /?: —> /?j “ I

6 = 0 + fiA —►/?4 = 6

Cj* “ đfa + A - >3 - + 6 - + ^12 “ ^12 “ C»|

-^ 3

1^2 ) = 3 “ (0 + 1) —2

^ = ^ - ( f f 1+ A ) = 7 - ( 0 + 6) = l

rfjj -= C;2 - ( # 2 + /? z) = 5 - ( - 3 + 1) = 7 r f a = i f c ~ ( ^ i + A ) = 2 —f—3 + 1 ) = 4
+/?2) - i - ( i + i) = - i < * « = c « - { * 4 + f t ) = 3 - ( l + l> = r + & ) * * - ( ! + 6) = 2
OPERACIOSA fSTRAŽn ASJA Kako posiojt jedna uegalivna vrcđiiost za d

Lo ziiači da konačno rostnjp nijt?

jjosiignuio. Dak!cT uzimamo jedjnu regaiivrtu vrednost ti, . - - 1 i iATSavamti sL'deti posiupak na tom pt)lju: + 30 170 + t ~ r " 1 i 120 1 Ižvr&femo preraspodilu robe koja se prevo/.i u ovim poljima i io l^ko filo ćcmo povećati prevožcnjc u poljima oznacentm sa + a smisnjrn prcvožetije u potjima oznatenim sa -. Kako količine rolic u poljima sa - i^nose 120 i 170 to bnam o maniu od te 6ve cene ij 120 Dnkte nova prevoienja u ova Čctiri polja bičtr: [i

■

J

T .T 150

u

J

i

;& |

J 120 1

Ostala polja s t samo prcpišo. Tabela kojrt predsiavlja ovo rešenje izgk(ia; -----5, k 7 I J 200 13 2 1 4 150 50 150 3 | 2 A3, 5 ! 50 2 280 1 ± J 3 l 80 150 50 3 3 120 P9 'i "1 4, 120 50 t 230 m i70 -

5

Tctbala 2J4. Cena plana transporta predstavljenog ovim reSenjem je: / ( . r ) = 2 * J5 0 T l* 5 0 + 3*l50 + 2 * t5 0 -H * 5 0 + 6*80 + l- i2 0 = 1750 'j

_

/ ( A ') « 1870 - 1* 120 Sada se opei pronala?:c koeficijenti

a, - 0 c(. Hff, + 0J -* 1 - 0 + *■> = c)3 = «! + A

r :i *
~d :

—►/?y = 2

-*i = o + £ - > A = i -» 2 = ar, + 2 - » ff, - 0 1* 0 + f t

-> 3 -

+6

=I

ff j = -3 9«

Jransporini prohlem

d n ^ C u -iO t

- 3 - ( 0 + 1) - 2

rfu = cVi ” ((7, + A ) - 7 - ( 0 + 6) = ! tfa,

—(or; + / ? . ) - 5 - (-3 + 2) = 6

rfa = c K - ( f f 2 + f t ) = 5 - ( - 3 + 0 = 7 rf3J

-(flf; + A ) = 2 - ( - 3 + 1) = 4

^ ^ -to + A i^ H o + i)* «

J A, = cA]-(or4 + y?3) = 3-(0 + 2 )- l rfJ5 = «4, - ( a 4 + £ ) * 3 - ( 0 + l ) a 2

- c* - (tf4+ A ) = 9 - (0 +6) = 3 Kako ncma necativnih elcm cnata 10 zaključujcm o da smo sliglt do kraja zadatka. Važi isia tiapomena kao 1 kod Stepping sianc metode. Al?o se na kraju zadatka pojavi situacija da je ncka od vcličina đ t- jednaka nuli, to zn&či da pofitoji jo š jedno opiim alno resenjc, odnosno
2,5 O TV O R EN l T R A N SP O R T M Z A D A T A K i ; svim dosadašnjim prim erim a v a ž io je uslov jednakosti ukupne ponude i ukupne potražnjc:

/■i

y»i

Ako to nije sJućaj onđa se radi 0 lakozvanom otvorenom transpom om zađatku. M oguća su dva slućaja.

OPERAOONA 1$TRAŽIVANJA_________

a) Ako važi:

1 -, > i» , 10 znaOi d^ je ukupna ponudtS veća o d ulcupnt; potrainjc, Ovnkav ;?adaiEik sc rešavri tako šio se dodajc jedna nova^ ve5:ačka kolona ij nov;i vejtačka krajnja tačka čijc ć e potrcbne kolićm c robc biti jednake ■71

wi

* . . . = |ll

y*, i “I

Na ovaj način ponuda i potražnja bićc izjednačcnc tj, ukupnc raspoložive količinc robc u svim polaztum tačkama biće jednakc ukupnim potrebs:im količinama robc u $v\m krajnjim tačknma. Ovako, dodat« vcštačka kolona imaće sve jed in iiu c cenc jednake nuli i njeno znćiCenjc nijti nikakva nova krajnja ia£kah vcć sc oua dodajc samo u cilju re&avanja zadatka tjr svođcrja otvorcnog na /at\orcna model Roba koja sc bude pojavila u ovoj koloni predstavljaće netraitsponovanu robu tj. robu koja je ostala □ polaznoj tački. P rim e r 2,2* Naći optinialan plan li-ansporta robi: iz $kadi3ta

*&n

A r A . , A 3 do

prodavnica

»^4 ■

Skladišia taspolažu slcdcćim kohčmama robe: * A. raspolaže sa 100 jedinica robe, *

A 2 raspolaže sa 200 jed in ica robe,

*

Aj raspolaže sa 150 jedinica robc,

Prodavnicama su poirebne slcdećć kolićine robe: *

Bt polražiije 150 jcdinica robc,

*

B potraiuje 30jedinica robe.

*

B %potTaiuje 50 jedinica robe,

*

B 4 potra/uje 70 jedinica robe,

Transportnt [rošfcovi po jedinici robt\ izraieni u novčanim jedinicama, dati su sledećom malricovn:

O

2

4

J

7

10

3

8

2

6

1

1

4

Kiiierijum optimalnosEi su minimalni ukupni troškovi prcvoza. Kako jc ukupna ponuda 450 jcdinica robe a ukupna potražnja 300 jcdm ica robe to se radi o otvorcnom transportnom zadatku. Dodaje se vcstačka proda\nica lj. kolona. 92

Transportni probhm Z j pronalažeoje počem og re^cnja korisiiće se rne'oda m inim alntb :roškova. Dolnja

sc s]edeće rešenjs:

B}

S: 1 '

4

4

1

50 ID

50 3

2

8

;

4 »

70

4

6

100 150

1 30

r

r 30 _

1

100

0

7

4

P°

200

J

130

1

0

150 20

70

50

150

Tafreh 2.15 f { X) « 920 Konaćoc reSenje pronćtćićemo Stepping stone metodom. Pronalaze se vrednosti A . . Kako posioji jedna negativna vrednost i to A 33 = -4 to se sprovodi preraspodela prevoženja u odnosu na ovo polje čime se dohija siedeća tabela:

2

4

BZ

*>

4

1

100 10

I ^2

s* 0

7

-1--------------2 S

3

0

100

70 1

6

50

150

4

1 30

30

J30 0

50

150

J 2€

70

50

200

1

150

Tahtla 2.16. ,/(A*)b 7Z0 Ponovnlm izrftCucavanjem koeficijenata

vidi se da nenia ncgaCtvnih vrednosti

Sto govori da smo stigh do krajii zadatka. Ji konačnog rešenja zadaika vidi se da će U skladiStu

ostati 130 jedinica rolw

neraspoređcnoa u skladištu A y 20 jedinica robe nerasporedeno.

b) Ako važi: f-[

<ž bi jm\

to in aći da je ukupna ponuda m anja od ukupne potrainje, Gvakav zadatak se rcšava tako Što se dodaje jed an novi, veštački red tj, nova veStačka polazna taCka Cije će raspo]ožive koJičine robe biti jcdnake;

j-t

i-t 93

_______________________________________________________________________

Na ovaj naiin jioniitla i poim2nja btće izjednaćene lj, ukupne raspoio/tvc kolitiiic robe u svirn polazm m tafkam a bićc jednaku ukupntm pourebnim količinama robe u svim krnjnjitn tačk:nTia Ovako dodati veStaiki rcd itnače svc jcdinične ccne jcdiiake tiuli i njegovo /načcnjt;, kao i u pretlhodrtom sJuCaju! nijc n o \a polazna tačka već se ona doJaje u ctlju iršavanja /adatka. Roba koja sc bude pt>|av ila u ovom rcdu pretistavijaće robu ko;a nije isporuiena nekoj krajnjoj taiki ij. robu koja ncdostajc nekoj krajnjoj tački. P n m c r 2.3, Naćt optimalan plan transporta robc \t skadiSfa

A „ A ^ SA, do prođavnica

Skladista raspola/u sledećim kolićinamji mbe: + A { raspolažc sa 500 jcdinica robc, *

A, raspolaie sa 100 jcdinica robe5

*

A y raspobJ.tr sa 300 jcdinica robe,

Prodavnicama su poirebitc stcdcće kolttinc robe; * potražuje 200 jedinicarobe, *

B2

potraiaijc 100 jcdinica robc,

*

i?3

potražuje 400jeđinica robe,

*

BA

potražuje 100 jedinica robe,

*

£s

potraztije 200 jedinica robc,

Transportm troškovi po jedinici robeh tzražem u novtanim jedm icam a, dati su skdećom mairicom: O

r | |_

9 1 2

4 2 3

10 5 4

2 2 4

l 2 7

~i _ j

Kiiterijum optimalnosti su m inimaioi ukupni troskovi prevo/a Kako je ukupna ponuđa 900 jcdinica robe a ukupna potražnja 1000 jedinica robc to se radi o otvončnom iransportnom ZadatJcu. Dodaje sc veStačko skladište tj. i'cd. I£a pronalaicnje pofemog rcScnja koristiće sc Vogel-av& metoda, Na taj način dobija se rcicnjc prikazano labelom 2,17. Konaćno rejenjc pronaćićcmo modiftkovanom mctodom Pronalazc se vrednoslt d i}, iCako su svi ovi kocficijcitti nenegattvni io zaključujemo da smo siigli do kraja zadatka. Iz reicnja sc vidi da će prodavtiicA

ostati nezadovoljena za 100 iedinica robe.

94

Tran.vparrni prpblem

B,

B,

P

ST

100

l

B*

B3 100

m

TT

tt

500

m tv l

*

’ !

1

200

ioo

7

tv !

I

Too

100

T!

4

ioo

T

1

300

4

l

200

o T

0

To

100

J

100

200 L

m I? IV /I

HM)

I2 1 C2I

tnz

;

l (2)

i 400

j- i,—

10 0

T l

1 .2 0 0

—

im & i_n :^ _ U

Tabeh 2. t ? f ( X } ~ 2900 Na&omcna: t, zagiađama su daic đuige ra?iike,

2,6 DEGENERACIJA t r a n s p o r t n o g z a d a t k a Degeticracija iransportnog problcma nasiaje kada jc broj baziČmh promentjivih manji od m + n - I t Takva situacija sc desava kada se jtfdnim prevoženjcm istovretncno isprazni skladi&tc i napuni prodavnica. To ztiači da se jednim prevoženjcm eliminišc istovremeno i red i kolona Bilo koje reienje fpočetno ili d tk o u se opttmalnom) može bili degenerisano.

reSenja do kojih doinzimo priblizavajućt

Dcgenerisani transportni /adatak se rešava tako šio sc svodi na ncdcgenerisani âdatak i to uvođenjem dovoljno malog pozitivnog broja £ . Taj broj se dođaje jednoj od raspoloživih količm a robc at i jednoj od potiebnih količina robe h ( : a, =at +£ bj -■■■bj +£ Broj £ se bira tako d Li bude dovoljno m ali da se može zancm ariu u konaćnom re&enju. P r im c r 2 A ,

Naći oprimalan plan transporta robe

i/. skadiSta

95 -i

At , A 2tA} do prodavnica

OPBRACtOSA 1STRA?JVASJA

____ ______ ______ _________ ___ ______________

Skladišt;! raspolaiu slcdećim količinama robe: *

A t raspolače sa 2 00 jed in ica rob eN

*

.-f, raspotaê sa 100jedinic* robe,

*

rcispolaže sa200 jedinica robe,

Prodavnicatna su poutNl>ne sledeće ko]idnc robc:

* *

#, je potrebno 50je4m ka robe, By je pottebno 100 jedittica robe, By je potrebno 50 jedinica robet

*

B. jc potrebno 300 jedinica robc,

*

Trar.sporini troikovi po jedtnici robe. irraženi u novčsnim jedinicanrm, dait su slt;dećom matricom: I" ' 8 C= [ 7 3

10 5 (>

2

5 3 8

1 1 i 5 __ .

KriierijLiin optimalnos)! $u [ninimalni ukupni troikovi prcvo/a.

B, 4

1 Bi 10

S

M.

Kćiko je ukupna ponuda jednaka uknpnoj poirainji to se rad: o zatvorenofn modclu Za pronalaženje počelnog reScnja koristiće se moioda minimalnih iroSkova. Dobija se sJedcće reSenje: *1 5

200 200

7

5

i

100

: 100

A

6

J j 50 50

I ■

8

200

50

IOO 100

5

I

50

300

Tabefo 2. /S. / ( J 0 = 1*50 Ovo reSenjc ima 5 bazićnth promcnljivim Sto je manje od m + tj, od 6, Konačno reSenje pronaćiĆemo M odifikovanom metodom. Međutim ako podemo od f/r - 0 možcmo da iTračunamo j o i samo a , - - l i /?, = 2. a ostale kocfieijemc ne možemo da izračnnamo zbog nedustatka hnzičnih promenljM h. Sada ćfmo jednu od ne bazifnih pitnnenljivih proglasiti za ba/iim i, upisati prevo/enje 6 i tako doći do nedegenerisanog resenja. Kriterijum za izbor te nebazične promcnljive je slededi: Uzimamo u o b /ir samo one nebazične promettljivc za koje je izraCunat jedan od koeficijcnaia a ili / / . Dakte ne uzimamo one nebazićnc promcnljive za koje su tmtČunati oba ili nije izračunat ni jedan od koeficijenata. 96

Trfaisportni prohlem

V tiašem prim eru u obzir dohi/c sve nebaziČnc pfbm enljive ij: l T%12j

jt

f ^2i ' ^ i31

Oc tih promenijivih biramo onu čija je cena najmanja. TJ našem primcru ro jc; m m f^ 3 = 81tr13 = ! 0? = $.c2l = 1,

= 5,

= 3, c}Jl =5) = c1}

Ako ima viSe najmanjih cena bira se poljs koje obezbeđuje miiksimalno prevoJ:cnje, M eđuum . neee se pogreSiii i ako se jecino ođ polja sa minimatnorn cenom izaberc proizvoljno.

{j tako odabrant) polje se upiŠe prevožcnje u iznosu od S jedinica i takvo polje se dalje posmaira kao bazično. Na taj način je postignujo nedegenerisanu tešenjc i m ogu se ođrediti osiali koeflcijenti a i /? .

B '.

4

s

A,

7

I B2 10

[

h

*4

5

2

200

i 200

5

3

1

100

1

£

Jp-

A

100

6 50

100

50 50

200

5 50

100

300

Tabefo 2 M Ostah koeficijcnti su: aÂ^p, = 2 ,# =4 Zatim se iKračunaju kocficijcnti d i}. Dobija se jcdan ncsativan koeficijent i to

■ - \ >Dakle posmatra se siedcči poligon

r—— |-------- p---------- 1--------3. > i !£ [ 100 s 5 + 50

Vr£i se preraspodeta 50 jeđinica robc čim e se postiže sledede rcsenjc:

A

h \0

8 7

5i

1 X . J

3

5

E

50 50

K

6

200

! 50

3 1

200 30D 50

5

200 50

100 300

100

Tabefa 2.20. 97

OPEEACiOSA ISTRA7JV A N J A __________ _______ ________ __________ ___ _

Ovo rcsenjo ie BedcgencrifiarKi Pronalasse sl1 koellcijenti u i jl i na kraju koefitijenij

d . . Knlcosu svi kocficijciiti d r nenegaiivni toznači dfljeposiignuto konatno reiciije \apphiena: K akoje £ rnali broj, to u poltgonu njcga rnoia da stoji z:i+ik + 5to nekada nijc mog]UĆC postići. Razvijcm su računatski proyramt kojima sn ove i ostale vrstc tranSpOftnih zadataka brzt> 5 efikasno reša^Miu. Jcdan t>d lakvih prourama je Aficro Manager. Sang M.Lcc. Jung P.Shim, 19*>0*

2.7 FR O B L E M R A SPO R E Đ IV A N JA Problcm rasporedivartja prcdstavlja spccijalm jlucaj transporrm>£ zadatka. Poirebno jc rasporeditt n ratlnika na tt pos)0\ a pri Ocmu svaki rađnik m o/c da radi svaki posaoT aii samo jcdan posao u jcdnom trcnutlai, Zadaiak rasporcđivanja se m oic odnositi ne samo na rasporeJivanje radmka na poslove ncgo i na rasporcđivanje mastna na p o sk n e i slićoo.

Uvodc se sicdeče oznake:

n - ukupan broj radnika, - ertkasnost rada t-iog radnika naj-tom radnom mestu, L ako i - ti radnik radi j* ti posao

0T inace Malematićki modcl zadalka rasporcdtvanja g]asi:

Odroditi minimum funkcije ciija: H

-

min f ( X ) =

J-1 /-i pri ojjramčcnjima:

Z*

y -1,2,,.^^

H

X X -1

1*1*2

n

Prvi skup ouranićenja /naCi đa jedan posao i/vršava jcdan radnik. Drugi skup ograrnccnja Zn ači tki jcdan radnik u jodnom trcnutku m o /e da radi sainojedan posao.

Daklc. kako podaci C prcdstavtjaju cflkasnost ili vrcme izvrsenja posLi, to se traži minimum funkcije cilja, Ako pak podaci ct, predstavljaju profit kojš sc ostvanije prilikom izvrSenja posla ili neku sličnu velicinu, onda sc naži maksimum funkcije cilja, Ako je broj kotona i broj redovajcdnak onda se radt o latvorenom modclu, Ako su broj koJona i broj redova razliiiti o^fia se radi o Gn otenom modclu.

Trgitspc rint probhm

2.7,1 ZATVORENI MODI-L Zatvorcn model transportne mctode biće prikazan tia sledećcm pnm eru; P rim e r 2.S* Pet radntka R^R^R^R.^R^ trcba da izvrše pei razligilih ptwlova Sâki radink je osposobljen /a izvi savanje svih p o slo \n h ali istovrem cno m o/e da rađi saino jedan posao u jednom trcmitku. Vremena potrcbna svakom radniku /a obavljatije jednog posla su dara slcdećom tabelom Poslo\ 1 Radmri r,

*3

fl

P2

12

3

s

2

2

4

1

8

3

7

3

^6

4

3

p>

■l

-

p* <> ,

P*

13

«

s

10

1 7

12

4

TabeUj 2 .2 /.

Potrebno je i^vršiti raspodelu radnika na poslove lako &a iikupno vreme tzvršenja poslovn hude najkraće Korak 1: U svakoj koloni pronalaz: se najmanji ekm cn at i oduzim a sc od svili elemenata te kolone. Korak 2: U svakom redu u komc se ne nalazi ni jedna nula oduzima se najmanji elemenat. Redovi koji imaju barjed n u nulu se prepisuju neizm erjem . Posle prituere pn-a dva koraka, dobija se siedeća tabela: Posk>vi Radnici

*4

*

Py

8

1

5 1 0

1 0 6

2

2

,

0

1 PS, 1

| A 11

0

0

4

6

6

0

I

8

b

0

3

2

Tabela 2.22. Korak 3 : Ovaj korak se naziva razvrstavanje nuta, Sve nule u tabeli se tnoraju proglasiti tj. razvrstati na nezavisne i zavisne. N e/avisne nule se obeležavju sa 0 , a

99

OPERAOONA ISTR.4ZIVAS J A ______________________ ____ _________________ _ __ zovisre sa 0* Razvrstavamo ih na sle d e d način. Najpre poUzim a od itd o v a koje imaju po jednu neobcležcnu tuilu. Tu nuUi obefežjmo neza\ i^nu. u s\ z osi;i!c u toj koloni obclciim o kao 7
5

Ri

s

n

Ri

5

■ ■1

l 0

K

■

J

. | *

,

[ t

'

rti

, 1

4

j O'

1 0

\6

6

6

! I

8

6

2

r 0-

; 3

2

.

.

1

Tabeln 2.23 Ptnrcbno jc prcveriii da li je Jobijcno rcienje konačno Ako 11 sviikom redu i svakoj koloni postoji po jeclna nezavisna nula. tada je dobijeno reSenje opiim alno tj. konačno. Kako u ovom prim enj to nije slučaj Lo prdazim o na sledeći korak KoraV 4 : Sascojt se od nekoliko tačaka: a) Oznafili strelicom { 4*} sve redovc koji ncinaju nezavisnu mi]u. U našem promeru to je peti re d b) Precm ii (psenčiti) sve koionc koje miaju /avisnc nule u o/naćcnim redovima. U D ijem promeni to je ireća kolona. c) Oznaćiti strelicom redove koji im ajj ne/avjsnu nulu u preertanim kolom m a. U nasem primoru ti> je prv i r«d Ponavljati korake b) i c) dok god jc to moguće. U našcin promeru već koiak b) nije moguće sprovesti lako da je korak A zavrien KorakJ^: Precrtati (osenćiti) sve neoznačcne rcdove, U nascm printem to su dm gih treći i četvrti red Posle koraka4 i 5 dobija se iabela 2.24. Foslo^ i Radnici,

—*

z

*1

!

_

-

13 .

.

n

■

|A 0 O-

Pa

*

1

11

5

1

]

0

6

6

0

6

1

S

2

,

0

4 0' > ”6 -

.

[2

2

Tabeb 2.24.

100

Tratisporfni probUtn K orak (v. Od svih neprecrtanih clemenaTa odrcđiti najmanji. Taj elem ent dodati svim dva puta precrtam m clcm entim a (eLcmcinimj koji sc nalazc u prcscku jirccrt^nih rcdova i kolona> a odu^cti od rteprecrtamh ciemcr:ata Jednom prccrtant elcm enli sc samo prcpiû ncprom cnjcui. Posle kt)r;ika 6 dobija se sledeča tabela: Posluvi RydrLLCi *;

R *.■

1\ 1

p.

fli

P 1A

p ri

0

0

0

10

5

I

' J

0

4

L

*3

0

R, R,

6 7 ----------- 1------------- 1. 2 6 %

1

1

2

0

0 6 L

Tabefa 2.25.

Zatim sc ponavlja poslupak počcvši od koraka 3 tj. od ra/vrstavanja nula. I nnftcm primeru, posJe ra z m ta v a n ja nula dobija se tabela: Poslovi Radnici 7

Ri l

> 2 0

p,

p<

O'

o* 0

5

1

1

1

7

j n 10

4

0

2

S

T

-

o

1

10

6

1

Tvbeiu 2.26s

Kako sc u svakom rcdn i svakoj koloni nala 2 i po jedna nezavisna nula to dolazim o do îikljuekrt
*

32

* S

P.

3

6

j 4 10

S

3 2

A

J

2 S

7

J

3 6

4

1

| 3

Tabela 2.27. JOl

12

:x

13 5 1

7 4

OrERAC!Q\A iSTFAŽn'ASJA______ ___________________ _________________ ______

Dakl^, optimalan raspoicd radnika na poslove je slcdcći: * Raćmk R se rasporcđujc t\n posao P^ kojj ĆC LzviSiti za 3 vrcmcnske jcdinicc* sc rasporcJuje na posao PA koji će iz\[5iti zu 4 vremoEiskc jedinice

*

Ratinik

*

Rađnik R3 &e rasporeduje na posao P-, koj i će izvršm za 1 vremensfcu jcdinku.

*

Radnik R^ se rasporcđujc na posao R kojt če izvršiti /a 3 vremenske jcdinitic.

+

Radnik R< se rasporcduje na posao

koji če izvršiii za 3 vrcmcnske jedinice.

Dakle ukupno vrcmc irajanja;e !4 vremenskill jedinica.

2 J 2 O TVO RHNI M O D EL Otvgreui m odd se rešava tako sio sc svodt na iajvoreni dodavajyem nedostajućib kolona tj. retlova. V eftafki dodate kolone ij. rcdovi predstovljftju fiktivnog radmka tj. posao. JcdtniCne cenc u tim veSračkiin redovima ili koionama su nute, Napomena Kod odabira nezavpsrth nula treba izbcgavali' vestački red tj. kolonu. To inači da se u veštaCkom rcdu tj. koloni nezavisnc nule upisuju tek na kraju zadatka kada su o^tafc nulc već raz\Tstane. P rlm e r 2.6. t» b a đa izvrie četiri, raziiiita posla P ^ R . P^, Px ,

Pet radmka

Svaki radnik jc osposobljen za jzvršavanje svih poslova, ali istovicmeno tnože da radt samo jedan posao, Vremena poircbna svakom radniku za obavljanje jednog posla su daia u skdcćoj inbeli, Poslovi Radnici

Rt

B, IK

P2

* 7

i

6

| 12

3

4

4

fi.

2

1A 1-

\2

1*

'i

n 3

J

1

'

h

Tabeia 2 ,2 8 .

Potrebno je izvržiti raspodelu radnika na pDsJove tako da ukupno vreme i?:vrtenja poslova bude najkrače. Olvoreni m odei se svodi na jiiaivoreni tako Sto se dodaje vešiačka kolona Ps i

zatim se problem rešava na već opisan rtaCin. Dodavanjeni vestaiike kolonc dobija se labela 2,29.

tQ2

Transportoi probltttt Sa;K*mgna: Dodavanjem kolone sa nulam a prakiiftio sc dobija situacija da u svakom rcdu imamu barjcdm i nuJu pa se fcorak đva preskače. Poslovi

Radmci

% *2

Rt *5

! A

P:

P'

5

7

3

2

6

L2

1

A

0

3

4

1

A

0

4

s

3

2

0

2

3

5

2

0

0

Tabefo 2.29. Foslc promcne prva iri koraka dobija se tabda: Pojlovi

i-™ —

ftadnict *

0

5

R,

A3 l -

4

o

1

i

a

5

r>

« °' Tabeia 2 30.

o'

£

5 —f—

o'

...

—

K

.

.

j 0* 0

i2 ot

!

r2

+

0*

|o*

Ovim jc postignuto konačno reicnjc koje glasi: ------

Kadnici 7

R,

* *♦ *5

J

”1

Poslovi

P, 2

6

3 12

3

4

t L

4

8

3

2

3

5

P* 7

4 0

4

0

4

0 0

2 2

0

Tuhela 2.3!

*Radnik /?, se rasporeduje na posao *

Radnik

Pt koji će i^vrSiti za 3 vremcoske jedmice* koji 6 t izvriili za 1 vremensku jcdinicu.

sc lasporejuje na posao 103

OPERACiONA ISTRAllVANJA___________________________ _______________________ * Riidnik *

se laspoređuje na posau P; . Kako je taj posao fikfrvan to znati da

če ovaj radnik osiati nerasporcđcn. Radmk R^ se rasporodujc na posao P4

* Radnik R.. se rasi>OTeđxije na posao

kojj će izvrSiii za 2 vt emenske jedinice.

P, kt>ji če izvrjiiti za 2 vremcnske jedinice.

DakJe ukupno vreme trajanja jc fi viemenskih jcdinica, P rim e t 2.7. Cetiri radnika R ^ R l t R ^ R 4 treba da iz\r5e pei različilih poslova

^

Svaki radnik je osposobljen za izvrr3avanje svib poslova, ali btovrem eno može da radi samo jedLin posao. Vremetia poircbna svakom radniku za obavljanjo jednog posla sa data slcdećom labelom. p osb vi Radntci A, R, *>

h

5

i pi 2

6

5

2

r io

rr

9

2

.n

7

1 1

H

.------ -------

..

1

2

!2

6

3

3

12 i—

T4

___ L — —

Tabrfo 2.32.

Potrobno je izvrSiti raspodelu radmka na poslovc tako da ukupno vTeme iz^TŠcnja poslova bude n^jkraće. Kako je broj radnika manji od broja posiova 10 zn&čl da se radi o ohorenom modelu. P otrebnoje dodati veštafkog radmka tj. red R$ i zaiim sc problem reâva na već opisan naćin. Poslovt Radnici

1*1

s

J

2

n 6 J 2

p.

Pi

3

1

2

2

6

Ts

3

7

i£ J n 1 10 1 _ ..

9

2

1

-

11

-

1

12

0

i»

i=

0

p,

4

n—

___________ I

T abrb J 31

Napomena Dodavanjem rcda sa nubm a prnktiino se dobija sifuacija da u svakoj koloni imamo bar jcdnu nutu p-i st korak je
Transporini prohfcm Posle primene prva iri korakn dobija se tabela 2,34. Poslovi

Radmci

4

*>

**

2

1

4

3

1

9

i

0

4

o'

7

0

—

7

*4

Aj

f t9*

P'

“

0

2

9

2

0*

0

07

Z

J

Tabeki 2 54 Kako oviim nije postignuto konaCno resenjo to nastavljam o sa postupkom . Posle prim cne koraka 4 i 5 dobija se tabela: Poslovj Radnicj ->

4

*>

V 4 0

i

5

0

4

2

1

4 I

9

0

7

2

7

0

9

10

2

0

0

0

0

0

Tabela 235. Posle prim ene koraka 6 i razvrstavanja nuia dobija se tabela: Poslovi Radnki

3

A 0* 2

1

9

3

H

0

p,

3

o1

0

4

0 s

3

11

2

1

»•

0 9

7

*»

fl,

® 0*

op Tabehi 2 36.

105

2

OPERACIOSA tSTRAZlVASJA________________

Ovim jc ptisiigjiuio konačno reficnje kojc glasi: Pos ovi RjdntC]

P-

5

*

2

,

1-

|

C

Pi

j

R,

1

n 3 7

6

T j* 11 1 2 ~

10

i 9

0

"

| i 11

. _

* 12 * “3 —i

"

2 ______ |

to

:

0

i I0

!___________________________

Tabeto 2.3 ?.

*

Radnik Rt sc rasporcduje na posao I\ kuji će izvršiti za 2 vremenskejedinice.

*

Radmk R2 sc ras|>oretUije na posao PAkoji će L?.vršiii

■

Riidnik R 2 sc rasporeduje na posao P^ koji će izvržilt /a I vnemettdcujedinicu.

*

Radnik R.

se rasporedujc na posn'io P2koji će izvrsiti

*

Radnik

sc rasporcduje na posao

R . Kako je

za 2 vremenske jcdimc«.

z a 2 vremenskejedmice.

ovaj radnik fiktivan Lo znači

da posao nećo biii izvršen, EJaklc ukupno vrcmc trajanja jc 7 vrcmenskih jedmica.

2 ,7 3 M A K S IM A L N A V R E D N O S T FUN'KCUH C ILJA Ako u fomiulaciji iransnortnog zadalka podaci cri predsiavljaju profit koji se osivaruje pnltkom izvrScnja posla ili neku sliCnu vdjčinu čijem se maksimiziranju teži, tada jo potrebno naćt maksimum funkcije cilja. Zadat;ik rasporcdtvanjj u kome se traži maksimum funkcije ciija sic rešava i.^ko Slo sc primenjuiu ncito i/menjcni koraci 1 j 2: Korak _1; L’ronalazi se najveći ekmen! u svakoj kolont i uduzima se ođ svih clcmtnata tc kolonc. Korak 2: IJ redovima gde nema nu]a pronalazi se najveći dem eni i oduzima se od svih demcnaia log reda. Ostali rcdovi sc samo prepisuju nei/mcnjcni Kako £a funJficiju cilja važi; m in F ( X ) = ~ m a x F ( - ^ Y ) K> je poirebno fjve dcm cntc tabelc koja se dobija nakon primcne fcoraka I i 2 pomnožiti sa -1 t nastaviti sa reJavanjcm zadatka kao u $lučaju pronalazenja minimuma funkcijc cilja.

106

Ttiatsportni pt'abU'm

P rim c r 2.8. Cctin radnika R ,,R 2, fl}> R4 treba da izvrae čvuri ra^lićita posla Svaki radnik je osppsobljen /n i7\T,šavanje svih p o s b v a t ati istovremeno ino£e da radi sarno jedan posao. Profit koji svaki radnik ostvaruje prilikorn obavljanja jednog posla dat je slccfcćom tabeiom* Posiovi Radnici R< &

6

P, 2

4

P, n

3

LO

2

5

4

1

1

3

1

2

\

6

Tabela 2J&

Potrcbno je irvTsiti raspodelu radnika na postovc tako da ukupan profit tuidc najveći,

Posle primene prva dva koraka dobija se tabela: Postovš Radnici 0

p* 0

0

-2

-7

-1

-1

-7

0 -3

r

-2

4

-5 0

Tabeta 2 39. Poslc innožcnja elemenata sa - 1 i razvrstavanja nula dobija se tabela 2 40, Pbslovi Radnici

*2

*4

:* 0*

8

3

0 l

0 2

O'

5

2

6 7

1

7

0

Tabefo 2.40.

107

3

OPERACtObtA tSTRAŽIVANJA_____________

Ovini jc postignuio konačno resenjc koje &lasi: P05t0\t Radnici * Ri

i *. K,

i p*

| * 3 * !

n n

2

\ii

4 [2

f5

7

1

13

2

.1

[6

io

'

Tah*h2,4l Radmk /?, sc rasporeduje na posdD P4 koji će izvr&iti sa profitoiti od 12

* *

novtamh jedinica. Rsdmk R 2 sc rasporeduji; ra posao ,P: koji će Izvršili 5a pmfitom od 10

*

novčanih jeditiica. Radr.tk R^ se rasporeduje na posao Pf koji Će izvršiti sa profiiom od 4 novćanih

*

jedimca, Radnik R+ sc rasponcđuje na posao i\ koji će izvršiti sa profitom od ) novčane jedintcc,

Uknpan profit koji se osivaruje ovim reSenjemjc 27 novčanift jcdinica.

LITERATURA ^1} ChiangTA , FuntfaHienlal mzthads o f maihemaiical economics, McGraw I f i l l „ London, j97S. [2j Cupič, M* Rao Tummala. V. Savremeno odiučivanje - rncfode i primetui, Beograd, I 9 9 l . [3] Klem> E.h Mathematical mcthads in theortticat ecottotnics, Acadennc pressh New York, )973, [4] Lancaster, K.> Mathćmatical economics, Macmiltan, Kc\v YorkH1974. [5] Leković, M -,Teorija i metnde odiučivanja, Priština. 199S [6] PetrićhJ.pOperaciona istraživanja 1. //TBeogiad, 1979. [7] Shamblin. J., Stevens, G., Operations research, McGrau HilL Tokj'o, !974. [8j Stojanović4 D.f Ekonotnsko-matemcjiički metodi i tnodeii, Heograd* 1990. |9] Tourki, M.TMođeliranjeekonomskihprpcesđ^ Bôgrad, 199 ] [10] Tourki, M,, Stohastički procesi i modeh programir&ftja it ekonnmiji, tteogratl, I9S6 [1 \ ] Tourki, M, Backović, M ,s Matematički modeli i metodi u ekonomiji, Beograd, 1995, [12] Vukadinović, S, Transportni zadatak Itneamogprogramiranja, Beograd, 1979. [13] Zcćević, T.yMatemalićko i statistićkn modćliranje, Beotîad, 1974 [14] Zećević, T , Operaciona istraiivanja, Beograd, 1974. [15] Ži7rićt M.j [.(ivrić, M.t Pavličić, D., Metodi stafističke anatize, Bcograd, 1992. ~

■■

108

4

Te’hnika nuv-nng plauiranja

3. T F . H M K A M R E Ž N O G P L A M R A N J A U mnogim realniin situacijama, mćnadžeii preuzimaju odgovomost za plamranje, mspoređivanje i kontrolisanie pi'ojckata koji se sastoje od velikog broja nezavisnih akdvnošli koje izvode razHĆili delovi preduzcća, razlitjti ii:vršioci itd. Ovi projekti su često veliki i komplekaai da menadžer nije n nogućuosti da pam£i sve detalje vezane sa plan, raspored i reahzaciju projekta, U ovakVim siluacijama su se im ietn o korianim pokazale tehnike mrežnog planiranja kao pomoć menatižerima da iznesu sve odgovornosti koje tm nameču zahtevi upravljanja određenim projektom,[3]. Tehmka m reaiog planiranja (TMP) je zajednički naziv za veći broj postupaka ptaniranja i upravljanja projektima, čija je zajeđnička karakteristika gratički model toka procesa, takozvani mrežni dijagram, [5], Mrežni modeli imaju veoma veliku važnost pri izuCavanju nauke o upravljanjuf najviSe zbog toga što se modeli realnih sistcma relativno lako razumevaju i prikazuju u formi mre£e i 3to se preko tako prikazanih problema obavlja jasnija vizuelna prezentacija samog realnog problema koji se razmatra [21. Već sada je poznato oko 30 raznih modifikovanih metoda Eehnike mrežnog planiranja, koje su izvedene 12 dve osnovne metode: CPM (metod kritičnog puta) i PERT (metod oeene i revizije programa), kako je to prikazano na slici 3,1.

Slikii 3J. Osnovne metođe fefotike tnrežtipgpfaniranja Opšta kaki'akteristika TMP, u odnosu na dnige m e tn d e , je njeiiEi siroka \ masovna primenljivost, TM P svoju primenu jma kod planiranja: 1r naučno - i straživafik ih i razvoj n ih proj ekata s 2. razvoja novih proizvoda i procesa, 3. projektovanja investicionih objekata ( fabrika, saobraćajnica i s l) , 4.

odrzavanja velikih i komplikovanih sistcma.

5.

projcktovanja i proizvođnje novih inđustrijskih sistema, [3]. 109

OPERACIONA iSTRAliVA N J A ______________________ _____________ ___________ _ Pnm ena TMP zahteva timski rad. Pn'tir /bo g loga Slo se ;raa:nc vrsie potrebnih informacija od strane razliCitih simčjijaka, i drugo Sto je :o metod koji u pLamtanju nckoc; zadatka anyti/ujy sve učesnike odredenc z:a n j e g o v o i/vrSenje [!]■ Projckt m^nadier mora raspoređnati i koordinim!i razlifite izvrSioce posiova i akiivnosti, sve u cilju blago\renienopL i^vršcnja projekta. Taktor koji otežava tzvriavajije ovog zadatkaje medusobna zavisnost aktivnosti' ireba imati u vidu da blagovremcno obavljanjc pojedinih poslova oslovljava poćetak i ohavljanjc nartdnih. Ncki projekii ftađržć iak i po flekoliko stotina specifičnih aktivnosti, i razumijivo je zafto projekt mcnadžeri primenjuju procedure koje im pomažu da pronađu odgovorc na sledeća pLtanja: I Koje je ukupno vreme potrebno za zavrSetak pmjekta? 2. Kada je Tpo rasporedu, poćetak, 3 kada kraj svake posebne akti^Tiosti? 3. Koje aktivnosti iu "kiititinc'1 i moraju se zavrSiti tačno pO rasporedu u cilju za\ r5avarja projekia na \ reme? 4. Koliko dugo se poćetak "nffkriličnth11 aktivnostL mo£e odlaâti prc nego Sto io odlaganjc bude imalo tuicajn na odlagacje /avršcika celog projekta? [3]

CP.M metađa jc ]irvi puL primcnjera 1957. godine U konci.imu hemijske inđustrije Du Pont de Nemorus and Co {za potrcbc phmiranja gencralnog remOnta i odrvavanja) gde jc onKpgUĆeno da se prosečno vrem^ prekida U radu smanjj od 126 na 93 časa (kasmj;j istra/ivanja su pokazafa da sc to vreme možc sttianjiti i na 7S časova), CPM, kao detenninistićka mcioda. sc koristi u planiranju pmjekata kod kojih se potrebno vreme za tzvršcnjc pojedinih aktivnosti mo7c da normira i unapred preciino odredi. Kod analize vrcincna i rokova jzvrfenja pojedinih posIovaCPM mi:toda operiše samo jcdnim vremenom. Sto nije sluiaj sa PHRT-om kao stohastičkim mctodomN[1).

PERT metoda [ma poseban značaj 2a planiranje istraiivačkih projckata, iiii radova gde se vremc liiijanja aktivnosti ne mozc prCCiZnO odrediti. vcć ima karaktcr slućajnog - stohastičkoc. PI RT metoda. kao savršenijn i sveoliuhvainija. pojavila se ncsto kasnijc od CPM metodc i prcdstavLja njenu nadgradnju, PFRT mftoda jc ram jena 1958. godine U počctku je PF-ftT mctoda bila uveliko primenjivana na vojnim projektima (Polaris projekat lansiranja projektila). Ova mcioda je razvijena da bi sc razmatrale akiivnosti koje sc ranijc ntsu izvršavale i čtja vrerncna ntsu btla unapied poznata, Kako je primcnom ovc metode postignut vtliki uspeh na vojnim projektima, otuda jc počeh njena primena na velikom broju civiinih poslova. Kod ovih projekata nijc moguće dovoJjno precizno odrcdin trajanje pojedinih aktivnosti, pa se pomoću statističkih metoda odrcđujc njihovo očekivano vrcme trajanja aktivnosti (tr)y. Otuda PKRT metoda omogueujc da se računa i plamra sa odredcnim elcmemima verovatnoćc, odnosno sa određenim elementima slučajnosti, [3].

Prednosti T \fP stt; dcialjna razrada svakog pcjcdinaćnog projekta, tj. zadatka; prethodno upoznavanje svih izvriiiaca sa zadatkoin i njihovC aktivno ukljućivanje na realizaciji projekta; odrcdivanje međusobnc zavisnosti pojedinih aktjvnosti u jednom poslu, Sto omogućava raciondtizaoiju vremena i sredsuva; cfikasno otklanjanje poteSkoća U izvođenju projekta; pravovrcmeno saglcđavanje negativnih (ometajućih) faktora koji mogu uticati na planirant iok izvršenja datog posla; ut vrđtvanje realnih rokova za izvrSenjc planiranih zadataka. UO

Tchnika mrežnogplaniranja Primenom TMP ostvaruju se sledeoi eitjevi: • skraćivanje rokova izvTŠenja projekta, ■ |nižavanje croškova projekta, « bolje iskoriščcnje kapacitetan i slično, [!]. TMP se ostvaruje kroz cetin faze: / 'l. AmUza strukture* U ovoj fazi se vrsi posmatranje f uspostavljanje logičke O zavisnosti pojedinih delova projekta (aktivnostt) i sastavljfinje mrežnog dijagrama, Ova faza se izvodi na Lsti natin za CPM i PERT metodu, / /2. Aftafiza vremena . Ova fćiKa se izvodi poslc analize sLiukture i obuhvata ^ procenu vremena trajtinjLi Eiktivnosti i projekta, određivanje kriličnog puta j vrcmcnskih rezervi aktivnosti. Razlika i^mcđu CPM t PERT mctode je u postupku aaialize vremena.. Anaiiza troškovti. U ovoj fazi govorimo o analizi troSkava, tačnije o o - Iroškovima aktivnosti i projekta, kao t o odnosu troškovi-vreme za aktivnosti projekta. AiiEiliza troškova, kao Ineća fazan ne m oie $e vrSiti nazavisno od analize struklure, analize vremena i aaialize raaporeda reaursa, Faza analize troSkova obuhvata postupke odrcdivanja zavisnosti i/međ'u vremenEL trajdinja aktivnosti i. troskova potrebnih za njeim rtalizatijLi. Anafiza i raspored resursa. Četvrtu fazu pnmene TMP čini analiza l raspored resursa. Ovo je jcdna od složenijih i najtežth faza u TMP, Analiza resursa ntvrduje odnos vreme-sredslva {troškovi. kapaciteti). Ova faza je usmerena na iznalaženje načina i mogućnosti za smanjenje troškova, odnosno optimizaciju angažovanja resursa, [l].

L

3-1. ANALIZA STRUKTURE Prva faza TM Pt hez obzira da Ei se radi o CPM jli PERT metodi, obuhvata analizu strukture i ona je jedin&tvena za obe metođe, Analiza strukture u inrežnom planiranju podrazumeva oaredivanje rcdosleda i uzajamnih zflvisnosti svih aktivnosti. Polazeći od tehnoloških i organizacionih uslova, sve aktivnosti se povezuju u jedan grafički model - Mrežnt Dijagram (u daljcin tekstu MD). M iežni model je rezultata analize stnikture. Mrežni dijagram jc: * tnstrument graflčkog prikazivartja organizacionih, tehničkih i drugih uslova i a ostvarenje jednog projekta (posb). Njegova uloga u praksi ogieda se u tome što se na vizueian način (boEje. lakSe i eflkasnije) pianira, ostvarjje i prati odredem posao. * matematički mode!. koji se može detaljno i tačno analizirati, na kome možemo eksperimentisati t objasniti do kakvih nas rezultata dovodi bilo koja konkretna zamisao realizadje nekog projekta. * logička grafička predstava redosleda aktivnosti utvrdenog tehnologijom izvodenja određenog projckta. RcdosEed aktivnosti i njihovi međusobni odnosi Cme struktum projekta, koja u zavisnosti od složenosti projekta* daje manje ili viê razgranatu mrežuT[1].

OP&RACIGNA ISTI142IV.4XJA

3.M. ELEMENT1 MREŽKOG DIJAGRAMA

trtčetak ptvjtkta

zavriatak projekta

Osnovfii clcincnii mrežnotr d i j ayrama su: •

prOjekath

•

aktivnosi

•

đogađaj.

e

Sfika 3.2. Ofntnmi eleinenti mreirtCg dijagrama

Ptojt'kar Pnojekat predstavlja skup aklivnosti (tehničkitt organizacior.ih, ekonomskih itd.) kojc nas [iovode đo realizovanja odrtMcnog cilja. Projekat tnoni sadii'ali podatke i zahteve koji sc odiiosc m tehnička, tehnoloSka, orsani/aciona e finansijska podrućja da bi cilj bio sto jaanije dcfuiisan, Da bi se |el[cni cilj mogao nealizovmi mora &c raspolagati sa projektom ili nekiin prograniom nda. U /^visnosii od veiičinc i obima radova koje projeknit ili program rada obuhvata mo/e se Einaii nckoliko stotina lti hiljada međusobno povezanih poslova u kojima učestvuje veliki broj ra/nili organizaciomli jedimca ili radnih organizacija [6], Primonom TMP' svaki projckat mo/.t1 se predslavili u obliku MD koji se sastoji i/. međnsobno povezanih duži ortjentisariih strelicama, Pod pojmom projekat u TMP podraziimevamo: * naučno istraživačke i razvojne projeku (novi proizvodi, obrada novih Eema. izdavanje nove knjige itd ); * privređni projekn (veliki sistemi+ energeiski objekit, planovi rcali/acije investicija, plauov i montaze, l2gradnja ^gradn, ulics, mostova, M ) ; ■ planiranje kadrova (na ntvou pfcđuzećan instctucijc, obuka kadrova za nos'u fahriku, itd.}; ■ dru$f\*rte i kuHurne aktivnosti (organizacija stručnog savetovanja, kongresa, snimanja filmova, itd.>,

Aktivnost Aktivnost je drugi osnovni elemcnt mrežnog dijagrama i predstavlja jednu ctapu radnog procesa (operaciju), odnosno ona je jcdait delić u reaJizaciji željenog cilja kojt je dcfinisan ptoiektom. U zavisnosti od uti'Oška vrcmena i sredstava može imati sledeča znacenja li MD: * odrcdenu etapu radno^ procesa koja zahteva utrosak \ remena i sređslava (oruda za rad, sirovinc, radnu snagu i slično), Na primer, sklapanje automobtla, zidanje ohjekta* armlranje objekta, ud.; 112

___

___ * *

Tehmka mreinog planiranja

čekanjc (proces koji rr;i/iHa ne i s rt^ ta v a ) , NTa primer, vretne su&enja boje, stezanje botona, itd, zavisnosi koja ne trosi vreme ni sredsiava {ftktivna aknvnast),

Drugitn rciim a, aktivnost j e rad koji sc odvija i/tneđu početnog i zavrSnog događaja (kruiića) u siekom poslu, iii poka/uje uslovljenesi doiova, o d r o s n o aktivnosti u mrc^nom dijagramLi. Aktivnosti po svotn obimu najOežće obuhvaiaju poslovc: pisanjn jzveStaja, prikupljanja ponuda, upoređivanje ponuda, donošenje odlukc, isporukc gotove robe, nnbavkc r^zervoib delova slično. Za projektc: izgradnja hidroelekirane, osvajanje novog tip
i

*

izrada idejnog projekia, i/rada glavnog projekta, finansijska konsirukcija, ugovaranje i anyažovanjc izvodaia radova ildt

*

konstrukcija novog tipa motora. i/rada modela, t/rada delova, izrada protoiipa, ispitivanje prototipa. i/cada tchnološke dokum entacije itđ,

*

odabiranje temc za savetovanje, angažovanje rofercnata* priprema materjjala za savetovar.je, reldama, organizovanje smeStaja učestnka itd„ * saćinjavanje projirama /a o b u k j kadrova, odabiranje kandidata za obukuT anga/ovanje predavača, sačmjavanje rasporeda obuke itd, * priprcma rukopisa. receuzija, korektura teksta, priprema fttampanja, stampanje knjige. slaganje, pove/ivanje. distribucija. Svaki pojedim /adatak (aktivnost) može se joS detaljnije raščlaniti u zavisnosii od toga / a koga je namenjen mrežni dijagram. Tako na primer konsunkcija novog lipa motora m o/e se raSčlanit: na: konstrukciju motomog mehanizma, konstrukciju sistema za podmazivanjeTkonstrukcjju sistema za hladenje, konstmkciju elektro insialacije, itcL Ovu sada predstavlja čitav splct medusobno povczanih aktivnosti koje se miose u inrežni dijagram da bi sc pratilo njihovo izvr5cnjcT[5]. Đ ogđdaf

Dogadaj je sledeči d e m e n t mrc>ntig dijagrama 1 predstavlja trenutak poćetka ili zavrSetka jedne ili više aktivnosti. Događaj ic stanjc u kom c neraa aktivnosti, alE je istovrcmeno i cilj pojedimh aktivnosii i uslov da druge aktivnosti mugu da počnu, Dogadaj ne tra/i trošenjc sredstava t vremena, PoOetni (prvi, 1) dogadaj projekta nema prcthodnu aktivnost, a završni (poslcdnji, n-ti) nerma narednu akiivnost. Za primcre aktivnosti koje su napred navcdene dati su đogađaji koji \z njib proističu: *

idejni projekai napravljen. glavni projckat zavrsen, fmansijska konstrukcija zatvorena itd,

*

nov lip moiora konstnnsan, modcli napravljeni, delovi proizvedeni, prototip napravljen, prototip ispitan, ttd,

*

tema za savetovanje odabrana, refeienti angažovani, materijal priprenv lien, rcklamiranje sprovcdcno, smeStaj učcsnicima obczbeđen. itd,

U3

OPERACIONA ISTRAZtVAKJA________ _ _________________________________________ * program za obuku kadrova napravljeru odabira^jc kandidata /avrscno, prediivaći Eingažovani, rasporcd napravljen itd, * mkopis pripremljen, recefizija izvrSena+ tekst korigovan, materijal priprumijen za štampu, tld, [5]. Mrežni dijagfam nijc niSta drugo do konaćan graf orijeniisan strelicama. Grafovj se prcdstavljoju u obbkn tać,ika povezanih dužima orijentisaniTn strciicama, Taćkc mogn da predstavljaju proizvoljne skupove: geografskc ptinktove, stanice+ čvorove i!i događaje, Shkti 3 3 Kanačtti g ra f onjentisan

duzima Đu3i. orijcntisane sirclicama, odražavaju uzajamnu povezanost tih c]emenata skupova i!iredosled /bivanja pojeđinih događaja. Konticar, graf, sa dužima orijontisanim strelicaTna* na/Jva se mrežom. [ l ] Postoje dva oblika grafičkog prikazivai\ja tnreže:

■ MD orijentisan aktivnosttma i *

MDorijentisaji dogadajima. [5]*

Sve više je u upotrebi mre?ni dijagram orijentisan akiivnostima Naime, kod ovog načina prikazivanja aktivnosti se pnkazuju pomoču duži orijentisanih strciicom u pravcu vremenskog odvijanja posla (s leva na đesno). Pri tome dtiJina strelice mjc monlo za vremensko trajanje aktivnosii koju predstavtja D o ^ d a ji se i;rafi£ki predstavljaju u obliku kmga.

Poćttiii do-gađaj aktivnostiA

© --------
PosmatrGna akiivnosr

Završnfđogactaj aktiMiosti A

tF »Q-------->0

Vheme trajatifa akttvnosti

Narsdna akftvnosi

Slika 3,-4. Osnovni eU'menii MD otijenfisttn akrivnosuma (i-j)

Na slici 3,4,+prikazan je osnovni elemcnat MD koji se sastoji od: * početnog "f'" i završnog "f' dogadaj tekuće aktivnoBti * od prethodne i naređne aktivnosti u odnosu prema ickućoj akdvnosti * vremena trajanja ^ aktivnosti Au m [1]^

A, i

N a slici 3.5, prikazan je primer mrcžnog đijagrama, koji se sastoji od tri aktivnosti i tn dogadaja.

114

Tebiika mreinog pianiranja

Slikn 3.5. Primcr MD sa iri akiivtiosti i iri đcgttđctjtir Događaji su označeni celim pozitEvnim brojcvjmn (0, 1 i 2). Opisi aktivnostt zamenjeni su pojedinim velikim slovima (A, B i C), Duž ortjentisana od događaja 0-2 pred&t&vJja aktivno&t A, od 0-i aktivnflst B i od 1-2 aktivnost C. PH grafičkom pred&tavljanju km g, koji pređstavlja događaj. se možc podeliti u tri i!i Cetiri po!ja, zavisno od broja i \r«ttc proračuna vretnenskih parametara. U narednom izlaganju zadrzaćemo se na događajima u obliku kružića sa tri polja, slifca 3.6.

f V

\ J

\ 'M i

h>

r o

w |r

\

hj

Siika 3.6. OhUk đagađajti sa tri polja Uobičajeno je da se počemi i završni događaj bilo koje aktivnosti obckžavaju celiin pozitivnim brojevima, pri čemu treba ispuniti uslov da je \
S/ika 3.7. Pr'ikaz MD saJiktivnom tfkfivnošću

Na slici 3.7. aktivnost A prikazana je punom linijom (orEjcntisanom strclicom), što je nobitiajeno /a grafi£ko predstavljanje aktivnosti koje imaju trajanje, Aktivnoji E je prikazana isprekidanom linijom šeo je uobičajeno za grafičko predstavljanje aktivnosti kojc ncmaju trajanjcj a uvodc se da bi se pređstavila međusobna uslovljenost aktivnosti (fikttvne aktivnosti), [i].

OPEfUCtONA

is t r a ž iv a n j a

3 J , 2 , P R A V IL A K O N S T R U IS A N J A M D

U ciljj postizaiiia vcrodostojnosti prikazu nekog projekm utvrdens su izvesna pravila kojih sc ireba pridr2avati prilikom konstrukcijc MD orjjcnHsanog aktivnosii ma, L AktivEiosti se prik;i£uju stielicatna čiji j c smt;i s leva ra desiio, Događaji se prikazuju krugovima. Svako aktivnost otpočinje i završava sc (iogada)cm (slika 3.S), [5].

o

- ^

o

SHka 3 8 Pnkuz jeituc aktivnosti

2. Svaka nktivnost mora po6eti jednim doftiđajem i zavrsiti se jednim dogattajejn, slika 3.9.^b, Na slici 3.9.a prika/ana je pravtina ^rafićka prcdstava aktivnostj AtB i C. Dok je na slici 3 $ .b prilcazana nepravilna prcdstava aktivnosti A ^bcz poćetnog dogadaja) i aktivnosti B (bcz završnog
SUka 3.9. Prika* previtriog i tteprai ifaog ptedstavfjanja aktivnasii

3, Ako ra/m atrara {ickuča) aktivnosi ne možc početi pre ncgo sto buđe završena aktivTKist kojajoj predfiodi. drugim rcčima nko se nckn akuvnost zavrSava pre tiego sto naredna može otpočeii, onda se tc dve aktivrosti moraju prikazaii kao redosicdni niz aktivnosti. Daklc. poslavijaju se u rcd na taj način, Sto zavrsni događaj prethodne aktivnosti postaje zajednicki jideniičaro sa poćcmim dogadajem razmatrane (tckuće) aktivnosti, slika 3 .! 0.

SHka 3. fO. Prikaz redasleda aktivttosti Da bi aktivnost B mogla da otpočne potrebno je da budf zavrSeiia aktivnost odnosno C m ože početi posle ziivršctka aktivnosti B. 4, Ako dvc ili više akttvnostt morajn biti zavrSene da bi sledeća aktivnost mogla otpočett, onda se sve one moraju zavr£iti u početnoni događaju slcdećc aktivnostL Kada se aktivnosti A i B zavrSe, postiže se stanje (fiogadaj :} koje omogućuje počctak aktivnosti S (slika 3,11).

116

Tghmka. mrež?\Ć/gplđrtitanja AktivnOst S može početi lek posle znvršetka alvtivncsti A i B. Akrivisosti A t B usiovljavoju početak aktivnositi S> pri čemu je zavi'štii dogadaj i aktivnosti A i B zajednički sa potcm im događajem aktivriosti 5,

Slika 3.1 1. Pravilo 4 5. Ako vi5e aktivnosti može otpočeti posle zavrietka prethođne aktiviiosti, onda sve tc aktivnosii /.apo£injLi u zavrSnom događaju prethodne nktivnosti (slika 3,12). (I]

Siika 3.12. Pmvilo 5 6. Ako dve ili vise aklivnosli imaju zajcdnički počcini e zavrsni. događaj. tada je [ijihova identifikacija ncodieđena. Iznieđu dva dogadaja može sc nala/iti samo jedna aktivnost. Na slici 3.13. data je nepravilna kor.srrjkcija mrežnog dijagrama. [5]

B

Stika 3.13. Nepravihta koftstriikcija mrežnGg đijagraitiv U ovom prhneru aklivnosti m sledeće: A - ulazak voza u stanicu, V~ prclaz putnikaT $ - pretovar službenih kola i D - polazak voza iz stanicc, Mora se osigurati jednoznačno označavanje uvođenjem tzv. Jiktivne akrivnosti na počcmom (sJika 3.14.) ili završnom događaju (slfka 3.15.). [5]

SUhr 3.15. Priktiz uVOđenjtijtfkiivne jaktivtiojifi na "avršnotn dogndaju 117

OPERACIONA [STRAtfVANJA Nft &lict 3 13. akiivnosii B i C iiTiaju zajednički po0cci:i t i zavrini ; dotâđaj. sio je nedopu&tivo. Ispravno rešenje prikaznno je na slikama 3,14, i 3.15, gde se uvodenjcm fiktrvne aktivnosti { S \ Čtje je \re n ic izvršettjfl ravno n u J o m o g u ć a v a jedno/načno označavanje aktivnosti. [S}r 7 . Ako se u jednom događaju završavaju i poCinju vtSe ak uv^ osti kojc nšsu m eđusobno zavistie, onda se prave Eavisnosti moraju prikazati pom oću fikrivnih aJaivnosti, N a slici 3<16., prikazane su Četiri ataivnosiil

A, B ,C iD , [1] Shka S /ri Primerpogre&iflg M& Pretpostavtnui da aktivnosi O moze početi poste zav rk'ika akii\ nosti B, nezavisflO od zavr£ctka akii\no.sti A , i đa aktivnost C moče početi tek kada se zavrSe aktivnosti A i /?, onda dati prikaz ne odgovara stvampj zavisnosti, Na slici 3 A 7, dat je jedan p n v ila n naCin prika2ivanja med;isobne zavisnosti prethodni3i aktivnosti (sa navedomm pretpostavkama) pontoću vežtaCke aktiviuisii, v%

Ako tmamo sliičaj da je jedna od tri naredne aktivnosti zavisna od prethodnc dve, na primer: aktivtiost D zavisna od A i B, a da su naredrte dve C i E zavisne od jcdnc prethodne (C zavisna od A i E zavisna od B)t tada bi graflćki prikaz, takvog mka izvođenja, bio kao na sfici 3.!S. [\]

Slikn j 18. Prikaz priittentf pravila 7 8 t l nekom projektu, zavisno od tehnologije od\ijanja radova, u niz ređno povezanih aktivnosti (A %B i C) m oie se ukljućiii proizvoljan broj fiktivnih akuvnostt (S f i Sm\ a da se pri tome ne namše prineipi konstrukćijc MD, slika 3.19.(1]

Slika 3 J9. Prikaz ptim ene prttvi ta &

Tehnika nirežnog pltininmja

9. Ako neka aktivnost m ože pocett posle dclimiOnog zitvrêtka prethodne aktivnosti,, onda se ta prethodna akrivnosi mora ptideliti na potrcban brojj dclimičnih aktivnostL Na siici 3,20.3, aktivnost B može početi pre ncgo što je završena komplema aktivnost A Aktivnost A je morala da se Jjodali na dva đela» tj. Na dve d e h m ič n e aktivnoSfli Aj i Ak Ta podela je potrtbna da bi se nskladio poćetak akLivnosii V. Medutim ako je potrcbno podeEiti akttvnofit V da bi jed an njen deo otpopeo nakon zavrsetka aktivnosti A>, M D će izgiedati kiio dijagram prikazan na sEici 3,2G.b.

Slika 3.20. Prikazprimene provila 9

Ovako pređstavljene aktivnosti u M D nazivaju se preklapajuće akcivnosti. 10. Jedna aktivnost se može samo jcdtiom (vremenski) odigrati, Stvaranje petljj (zatvoreni cikiusi) u MD nije dozvoljeno. To znači da nijcdan put u MD nc sme dva pnta da prolazi kroz tstt događaj. N a slici 3 .2 L, primećujemo da put ( M -2-3-1 dva puta prolazi kroz događaj (1), što je nedopustivo, [5].

SUka 3.2/ Nedozôljenapeitja

3 . 1 3 . FA ZE RAZVOJA AN ALIZE STRUKTURE

Analiza stiukture ti TM P obnhvata četiri osnovne faze: 1. Sastavljanje liste aktivnosti (lista aktivnosti sadrži &ve radovc i postupke koje treha izvesti u toku trajanja projekia). 2. Utvrđivćtnjš matrice MBčhizCLvisnOSti aktivnosu, 3.

4.

Cricm je (konstruisanje) m režnog dijagram a. K ontrolu d a h MD projG kta ispu?\java osnovna p ra v ila .

Lista aktivtiosti Program ili projckt raSčlanjujemo na aktivnosti Lista akiivnosti prcdstavlja spisak svih radova, tjr aktivnosti u je d u o m poslu. Sastav!janjem liste neophodnili aktivnosti za realizaciju po stavJjenog cilja, istovTeinejio se utvrđuje i njihov logićan redosled. Da bi se sačinila lista aktiviiosti mora sc dobro pozna\paii problematika projckta, a često na tom puslu rade i konsultuju se grupe simcnjaka kako bi redosled aktivnosti bio što bliži optimalnom. }}9

o pe r a c io h a istraživanja ________________________________________________ ____ ________________

Spisfik atttvnosti predstavlja polaziiu osnovu za konstruisanje rnrežnog dij:iyrama, Gd njegove obuhvatnosli i kvaliteta zavisi koliko će mre/.ni dija^ram feaino prcdstaviti projekat. Do spiska aklivnosti m o ie sc doći, kada sc radi o poznatim projektima, preuzitnanjcm infbmiacija od stičnih projckaiii Međtnim, kod novih prqjckamT u kojima ncma informacij;3 o realizaciji slićnih projekala, do spiska aktivnosti moče sc doči samo sisicmatskom analizom projekta (njegovom podelom na ddove). Nakon sastavljanja liste aktivnosti sleđi utvtdivanje mcdusobne 2avisnosti pojediniii aktivnosti. Za utvrđivanje medusobnc zavisnosd pojedinih aktivnosti koristi se inatrica merfuzavisnosti aktivnostin koja j t prikazana tabclom 3 1

Mtttrfca međuz/itvisnosti aMtivnasti P O SM A TR AM A K T I 1 N O ST A n c D E F G\ ** / j K A " L B g %
+ + + + +

'»\7- ! £

{■ (}

±

+ + + + +

£ ?"i i ./

1

+

PoČetni podac^ u zadatku m rc/nog plnniranjii se zadaju u vidu tabele. Pre nego ilo sc piedc na konstrukciju MD, međusobni odnosi aktivnoHti mogu sc predstaviu tabclanm pomoću osnovne manice. Matrica je kvadratna i ima onoiiko redova i kolona koliko i aktivnosti u datom projektu. U tabcli mednâvisnoSti, po kolonama, su obuhvaćene posmatranc akiivnosit, a po redovima prethodne aktivnosti,

K Tabt'Ia i. /.

Osnovno m atrica

Tabela zavisnosti i/među aktivnosti o/naćava se unoScnjem ođgovarajućeg /naka *) u polje koje se nalazi u prescku rcda i kolonc mtidusobno zavisnih aktivnosti. Prilikom âsfavljanjfl matrice tj. unošenja znaka (+, *) u odgovarajutc polje* dajc se odgovor na pitanje: koja aktivnost prethodi posmatran&j aktlvnosti. Odgovor na ovo pitanje unosi sc hj matricu odgovarajućim znakorn u odgovarajući red, Za slučaj đa su znaci (krstići) u mairici pOSlavljeni u kolom (vcrtikalnoj liniji) kižem o da puimalrana aklšvnost /avisi, od odredenog broja prethodnih aktivnosli. U ovoj matriei aktivnosti A, B i C $u nczavistte j ne prethodi im mjedna aktivnost, Aktivnost D može otpoieti tek nakon što je zavrSena aktivnost A. Akfivnost E možc otpočeti nakon završetka aktivnosti B„ aktivnost F može otpoćeii nakon završctka aktivnosti C aktivnosti Gt I i J nakon zavrSenih akti™oiti E i F, aklivnost H nakon zavrSotka aktivnosti D i (J, a aktivnost K nakon zavrseno /. Trcba naglasiti da sc kod analiz? sirukturc joS uvck ne rcgulisu vrcmcna irajanja, nego se samo razmatra međusobna tislovijenojit, redosled i odnos aktivnosti. 120

Tehnika mrežnogplaniranjg

Na osnovtt pođataka. o medusobnom odr.osu aktivnosii, kuji. su prikazani tabelom. 3 .L f veoma b k o se konstiniše odgovarajući mrežni dijagram, Ctenačena mesta po kolonama ham govore kojc sve prcthodne aktivnasri moraju biti zavrsene pre početka posmatvane aktivnosti.

Tcihaia 3.2. hfatrica aktišrhosti Naiiv aktivnosti

Fretliotln« Prctliodni Aktivnust Vreme akfivnosti događaj tfogađaj trajanja d-j)

(posmatrana) 2

t

A B C D E F G H I J K

-

-

A B C E,F D.G E,F £ rF J

M j"ir 3 : [ t 2 3 4

y. 4 2

3" 4 6

5

5 5 6

6 5 5 7

8 8 7 8

tjj 5 1-2 1-3 1-4 2-6 3-5 4-5 5-6 6-8 5-8 5-7 7-8

6 3 5

2 8 16 12 5 4 8 3 2

Treba imati n vidu da će potetni događaj posmatranc aktivnosti istovremeno biti završni događaj svih aktivnosti koje, u poljima te kolone. imaju odgovarajući znak. Posmatranjem oznaćenih mesta (poljti) po redovima dobijamo odgovore koje sve aktivnosti mogLi početi posle zavrselka aktivnosti \z tog reda, Završni dogadaj aktivnosti i/a tog rcda predstavljaće poćetni događaj svih aktrvnoffi koje u tom redu imaju odgovarajući znak. Matrica međusobnih odnosa aktivnosti postaje nepraktična, zbog svojc glomaznosti za projekte koji imaju vetiki broj aktivnosli, Moguće je uprosćenje primera sa tabde 3,1. u vidu tabelc 3,2, s kod koje se nrieđuzavisnost aktivnosti iskazuje kroz dve kolone (1 i 2), U prvpj koloni je dat spisak svih aktivnosti posmatranog projekta. U drugoj koloni navode se one aktivnosti koje moraju biti završene da bi započele aktivnosti iz prve kolone, Medusobni odnos itktivnosti, prema tabeli 3 .1. i 3.2., grafieki je prikazan MD na sEiei 3 3 2 .

3.1.4. NUMERISANJE MD Kada je konstntkdja M D zavrsena, svi događaji se numerišu. Postoje dva načina. numerisanja događaja MD: 1. proizvoljno i 2. rastuće numerisanje. Kod proizv&ljnog jnumerisattja svakom događaju dodeljuje se jcdan celi broj, pri čemu ne mora biti E Spunjen uslov i
m

OPERACIOKA tSTR A Ž IV A N J A ___________ _____ ______ ____ _____________________ sc oikrivaju zatvorene petljc koje je ncophodno ukloniti iz MD, dr>la/t do ponavIjanja hrojeva i sličnoi. I)a bi sc ovi nedostaci L/.be^l], m edeno jc rastuče numerisanje dosadaja prnjeki-i. Svakom dacadjiju doildjuje se jcdan cco broj iz intervala | lî), koji se unosi u odgovara/ući krti/ić, pri čemu sc pofeini dogatlij MD obeležava sa I. a 7y\ršni sa n. Kod ovc vrst^ numeracije Ircba Upo£tovati Uslov i
ktiraku treba mnticrisati narcdnim cclim brojtrvima dogadajfr MD, pobreči odozgo na dole, kojima prethode (u kome se zavrsavaju) samo precrtanc aktivnosii {sirclice)t kao n;s slici J.23, U

122

s lc d e ć e m

___________________ _____________

Tjthnika mrežnog phm ira nja

l _____________ ______________

Dalji $c postupak ponavlja na isti nacin. U našem s!uC"iju sada bi irebalo precnati svc akiivnosti kojc izlaze \z dopađaja 2 h 3 i 4. Stanjc nuincracije đoaatlaja postaje kao na slici 3 r24. i tako rcdmn do fonniranja konainc slika 3.25,

Slika 3.25. Fulkersonovopraviiv fvanjama 4}

U rastućem numerisEinji.! postoji i numerisanje dogadaja primenom pam ih bfojeva, ^likj 3.26. Nepartii celi brojevi stoje kao rezerva i slu£e za Jđopunske aklivnosli koji; treba eventualno uvrstiti u tok aprovođenja projekta- Oni se upotrebljavaju, na prim erh ako je neka aktivnost ispuštena 11i ako se još ncka aktivnost dodaje, [i].

Siika 126. Parna (rastuče) mimerisuttje F’jlkersonovo praviJo se moSe prim eriii na svakom mrežnom đijagramu, bez obzira na n j e g o ^ velifm u. Kođ velikih mrežmh dijagrama česio doiazi do pojave zatvorenog ciklusa. Doslcdnom primenom Fulkersonovog pravila numerisanja dogadaja zatvorenc peilje se lako pronaiaze i odstranjuju.

Primer 3. L A

Đate su aktivnosti A,BtC,D i E.

B

C

Đ

D —> A ,B

A

+

E ^ B ,C

B

i ~r

N'acrtati mrežni dijagram i numerisati događaje.

C

E

+ +

D E Tuhehi 3 3 ilatrica aktivnosti

OPERAOOMA iSTRAŽfVANJA ReSonje MD za primcr 3,3. dato jc na slici 3.27, Aktivnosti A i V poćinju u

istom dogadaju (0), a svojLm za\Tsctkom ustovljavaju počeitik aktivnosti D Ove dve aktivnosti se moraju âvrSiii u isto vreme, ij. u istom događaju.

Siika 3 2? fttfcnjcprimcra 3.1 Poito se izmeđn dva događaja ne smeju nabziti dvt aktivnoati, uvodc se đvc fiktivne aktivnosti, St i S >.

3*2. ANALIZ A

VREMENA

Analiza vrcmcna obuhvata odredi\ anje vremetui trajanja svih akiivttosti koje su predstavljene na MD. Odrcđivanjem vremenskih parametara inožc sc kontrolisati vremensko odvijanje projekta, utiče se na održavaiijL' rokova, Upravljanje, rukovodcnje projektom, ij donoSenje najprihvailjivijih (opiitnalnih) odluka. Posle završetka analize sirukture poiinje primena ana!izc \ rt-mena kao drupa faza u primeni TMP. Analizom vremena utvrduje se: * vreinc traj a nj a aktivnos11 (pIan irano vrcinc za izvrScrye je dnc a ktivnosti), * proračun vremena u MD , unapred i unazad, * kritifni put i kritične aktivnosti na tom putu, * vrcmenskc rezerve aktivnosti, * rokovi početkahoduosno zavrSetka aktivnostj, Odvajanje atmlize stnikture, od analize vremenaT je jedna od pfcdliosti TMP u odnosu na dosađašnje metode planiranja posfova Kod analize vrcmena piimenjuju se uglavnom dva postupka {inetode) i to: * metoda knlićnog puta (CPM - metodal kod koje je vrcme trajanja aktivnosti normirano i mofre se sa velikom tačno£ću utvrditi, i * metođa ocene i revizije programa (PKR.T metodaj gde vreme trajanja aktivnosti ima stotiastički kamktcr ine m ofe se normirati. Kod osvajanja novih proizvoda i istraživačkih n đ o v a nemogućc je normirati vremcna trajanja aktivnosti i zato ona imaju karakter slučajne veliime,

3,2.1. ANALIZA VREMENA PO METODI CPM Analiza vremcna izvodi se potpuno odvojeno od analize sinkture. bilo da se \ rSi po metodi PERT ili CPM. Analiâ vremcna po CPM metodi zahteva samo jednu proccnu vremcna trajanja za bilo koju aktivnost, To procenjeno ili normirano vrsme trajanja aktivnOSti (i-jj) obelezava se sa Trajanje svake aktivnosti izražavai se u vremenskim jedinicama 124

_________________ ____

___________________

Tehtnku. ntreintt^planirunjg

kojc mogu da budu: časovi, dani. sedmict;. mesect, aktivnofiti u m rcinom dijagramu.

a upisuje $e tspod svake

Od početrog do z&vtŽfocg dogftđaja projekta u mrcznom dijagramu m o/c postojati više puteva. Ako su poznata vrcmena trajattja svih aktivnosti> onda zbir trajanja svih aklivnosti, koje težc najednom pmuTpiodstav]ja vremensko trajanjc lo^ puia. Određivanje vremena trajanja aktivnosti uslovljeno je tačnim opi&om predviđcnih postupaka za obavljanjti nekog posla. Pri tome trcba uzeti u abzir broj radnika, mašina, pomoćnih sredstava, ild. U načeiu, radi postizanja potrebnog stepena ta£nostl 2a rešenjc probiema u jcdnom phm cni fprojcktu) mora da bude jedna vrsta vremenske jedinice, a ne viie vtsU vTemenskih jedinica. N ekaje, na prsmer, odabrana jedinica dan. U tom slučaju potrcbno je: * tačno i preci/no da se ka/e da li je 10 kalcndarski dan iii radni tlan, Ratlni dan sc racuna 8 sati. Prema kaJendarskom krtierijumu (lan izrosi 24 časa. * polrcbno jc đa sc kaže u koliko smcna će se raditi.

(

f rcme ttujatija^L

_

_

Početni događaj r»ir

f

.....!

Najrartiji pofetak aklivnosti ti

aktivnosri

J

Ntijk&sniji poietak tiktivno'sii

t

J «

_

I™' J

' 1 Zuvršni tittgađui

trttt

{..

r

Kajraitiji zsvrjtftak aJaivnatti

tlj

k

J

ftajkasniji zavrielak aktiinosti

(V

*r

SU ka 3.23- R a sp o d e ta vrem en a trajanja akrivnosU

Ako raspoiazemo tacno u m đ en im vrtm enim a trajanja svih akiivnosti tv tada se ta vremena trajanja upisuju iznad (ili ispod) odgovarajućih akEivnosti datoi; mrežnog đijagrama U narednom koraku određuje se vreme /bivanja pojedinih dogadaja, Sto je adekvatno vremetiu najranijeg i najkasnijeg početka, odnosno zavrsetka pojedinih aktivnosti, slika 3,28, Neka. prema sltci 3 .2 S o ^ n a c im o sa: * t, - tienmak (vreme) nastupanja početnog dogadaja aktivnosii (i-j) * t) - trenutak (vremo) nastupanja zavrSnog dogadaja aktivnosti (\-j)y tada za sve aktivnosti močemo dati grafički prikaz (slika 3.29.V

Slika 3 29. I rcmt'.na trajanja aktivnosti (i-j) 125

O P E ft4aQ NA ISTRAŽ!VAKIA ____ ______ ___

_____

____ ____

____ ________

gđe je t9 polaznt podatak o vremenu traj;tnja afctiviiosti (i-j). Pr: tomc se f. određuje i/.jtdnaktjsti Treba imati u vidu đ a j c svaki podaLik o zavrSetku neke ahtivnosti istovremcno i podatak za poociak iiaredne aktivnosti. [1] O dređivtm je n ajra m jeg p včetkg i n a jra n ijtg zavrsetka aktivttosti

tj) Najnmiji počefak (nastupanje) aktivnnsti fi-jjoznac.ava sc sa ftr
Slika 3.3CL Međumviiftostpočetka i završefl&pojedninifc&ktivtiosti ZavTŠm dogaJaj prethodnc, odnosno prcihodmh aktivmsti (B. D. i E) jednak jc poćctnom događaju naredne aktivnosti (F)* siika 3,30. Određivanje t f f> se odvija u smeru rasiučc numcracije dogadaja. Pri tome sc polazi od 'M", kao počcmim događajem, a završ.iva sa "n" kao zavrSitim dogadajem projekta. \z mrcSnog dijagrama na slici 3.30., vidi se da aktivnost (4*5) nc inože po£eti orc nego sto budu završene sve prethodne aktivnosli, tj. dok se ne ostvari događaj V ,

lz tojja proizilazi da je najraniji početak određenc aktivnosti (i-j) jednak sumi Ubinj} vremcna svih aktivnosti koje ovoj prethode, Meduiim, ako nckom događaju neposredno prcthodi viSc aktivnostt (ako je neki dogadaj zavrSni događaj za visc aktivnoslt - đoâdaj V * slika 3.30,), onda se kao poeetak narediie aktivnosti uvek uztma vreme trajanja najduzeg puta koji ulazi u njcn poćeini d o g a d ajwi " Dmîm rećima, nktivnosl (4-5} možc otpoćeti samo posEc odigravanja događaja "4'\ odnosno ako dogadaju " i 11nepcsredno prethodi vt&e aktivnosti, tj, ako u događaj 11 r " ufazi VLŠe puteva, onda se taj dogadaj mozc odigrati (nastupiti) samo posle isteka, odnosno zavr£edut aktivnosti sa najdužtm vrcmcrtom trajanja. [I].

b) fvojranijilavršetak aktivnosti (i-j) oznaiava se sa Definiše se kao najranije vreme kada se doricna aktivnosl (i-j) mo?e završiti Dobija se sabiranjem viemena trajanja te aktivnosti sa vremcnom najmnijcg poćctka aktivuosti j Mzavrini dogadaj za samo jednu aktivnost tada je:

Ukoliko je 11

(3i)

m

Tehnika mrefrtogplcmtnmja

Ako do dogadaja " j " vodi dise puteva, odnosno aktivnosii fstućaj da je " j " âvrsni dogadaj za više akiivnosti), m ože se napis-ati da je najranii i završetak bilo kojc aktivnosti koja ima " j ” kao početni dogadaj

^= m ax{C +fJ

r - 0 ,

(3.2.)

gde je ii tjm aktivnosti (i-j) izračunavaju se postepeno, polazeći od poOetnog događaja projekta idući ka ?avr5noin događaju, / a jedan piojekat kažeino da će biti završcn u planiranom vromcnskom rokit Tpt ako i sarnti ako je, nakrm proračuna najranijth vremcna, zadovoljena i'elacija: t m< T li suprotnom ako je t ® * > 7 J kažem o da projekai m može biti završen u planiranom rokih To povlači sa so b o m izm enu u M D skraćivanjem Erajanja aktivnosti na kritičnom putu sve do k se ne postigne: tp.

[i]

O d redivan je n a jk a sn ijeg p o č e tk a i za vrsetk a a k tivn o sti a) N ajkiisniji poćetak uktivnosti (i-j) obeležava se sa a njen najkasniji zavrsetak sa t j . Polazi se od zavrsnog (poslednjeg) dogadaja projekta i ide ka poćetnom (prvom) događaju, Ovo vreme se određuje tako što se vreme trajanja aktivnosti oduzme od najkasnijeg vremena dogadaja, odnosno od najkas4dijcg (đozvoljenog) vremena završetka aktivnosti tfK Najkasniji početak bilo koje aktivnosti za slučaj da " i 11 prcdstavlja potetni dogadaj za jednu aktivnost, odreduje se pomoću izraza.

# = (? % *

» «

Drugim rečima, Iiđjkasnije tuistupanje događaja odieđuje se pi“eko t;h najkasnijeg poOctka aktivnostt na osnovu njenog najkasnijcg završetka tj% usvajajući da je najkasniji završetak projckta jcdnak njcgovotn tiajranijem zavrsetku

m v

'rfoj

~ J

J

Za slućaj d a " r 11predstavlja početni dogadaj za vise aktivnosti imamo da je tj13 “ m in{t^

\ = n “ l,n - 2,,„,1; j «. n Ti i " I , . „ 1i + l

(^^0

g d cjc/< y , i~n- l nrt-2T...h2, L b) Najkasm ji završetific nckc aktivnosti t f ' dofiniSc sc kao najkasnijc vrcm c u kojem se može završiti dotična aktivnost, a da sc timc nc utiče na krajfij i rok celog

127

OPERACIONA ISTRAHVAMA

projckta. Viđtjivc je da se izvršcnje bilo koê akiivnosti [i-j\ moze pomeraii samo u raitmaku um cđu câjranijcg počeika fsfit} i najkasn:jeg zavrStrtka / Taj se razinak nazjva maksimaino đozvotjeno trajanje aktivnosii (i-j) ili ^rcmenski pcriod koji stoji t;a raspolaganju za izvrSenjc akiivnosii, i o n o je jc d n a k o raztici Ovo vrcmc nam govori do kojih se pritnica može produžili |mzvu£i) trajanje jcdnc aklivnosti, a da planirani rok završetka projekta nc budc ugrožcr. Dakic, vrcmûske kompoticntc jednog MD su: * najraniji (mogući) početak aktivmati t f f! (najrnnijc vrcrnc kada jcdtia aktivnost možc poćeti, odnnsnO najranije vrtimc odigravLinja njenog poćctnog dogadaja), * tmjraniji (moguči) završetak aktivnosti r.''' (najranijc vremc kada se jcdna akiivnost može završiti), * najkasniji (đozvolftm) početak akrivnosti t,0i (ttajkasniji počctak kada jcdna aktjvnost mota zapoCcti), * in ajkasmji fdozvoljeni) završetak aktimošti tjif ij. (najk;i?snijc vrcme kada $e jedna [lktivnost mora zavrSiii da nc bi došlo do poremećaja celokupnog projckla, odnosno najkasnije vremc odigravanja njcnog zavrfinog đogadaja).

Slika 3.31. Prikaz vremenskihparametcra akrivnosti i*jzam etodu CPM

Na osnovu i/netih vrcmcnskih parametara mogućc j e dati grafEČki prikaz aktivnosti, kao na. slici 3.31. Prema slici 3.31., najraniji j>očccih odnosno zavrscci aktivnosti upisuju sc u donji levi dco kruâ (događaja), a najkasniji počcci, odnosno zavricci u donji đesni deo kruga (dogatiaja}T[ 1].

Kritični put i kritične aktivno&ti L' okviru m rcinog dijagrama odrcdenog projckta postoji viSe putcva koji vodc od poictnog do zav rSnog dogadaja. Obično jcdan put poka/ujc višc kriučnosti nego bilo koji dmgi.

Kritičniput sc dcfintSc kac put koji polazi od događaja "1" do događaja "n'\ a ima najdužc vrcmc trajanja, odnosno n\i mcdusohno povc/anih aktivnosti koje sc protcžu oć počctnog do završnog događaja u MĐ. a zbimo imaju najdužc vrttne trajnnja. Aktivnosti kojc st; nalazc na kntićnom putu nazivaju se kritične aktivnosti. Na kriiičnom putu nema nikakvih vrcnicnskih rci:ei‘v,i. U mte^nom dija^ramu možc postojati jcdan i)i viic kritičnih pulcva. Kriličuom putu mojiu pripadatl i fiktivne (vesitacke) aktivnosti

Zn i/nalažcnjc kritićnog puta služi nam mrcžm tiijagrain. Polazi sc od zavrScnog dogadaja unazad i vrši međusobno povezivanje svih dogadaja kod kojih jc najranijc \ najkasmje vreme poiclka, odnosno završetka aktivnosti tsto. }2&

Tehnika mrežnog planiranja Kritični put, odnosno kritične aktivnosti u mrežnom dijagramu ucrtavaju se punom dvostrukom linijom. Time je olakšana upotreba mrežnog đijagrama, a naročito za donosioce odluka jer njih posebno interesuje kritični put i na tom putu kritičnc aktivnosti. Svaka promcna trajanja aktivnosti na kritičnom putu dircktno utiče na završni rok cclog projckta. Ova konstatacija posebno je važna u slučaju cvcntualne potrebe skraćivanja vrcmcnskog trajanja projekta, jer se ono vrši upravo skraćenjem vremena aktivnosti na kritičr.om putu. Poznavanje kritičnog puta, takođe, je značajno i zbog vršenja kor.trole projekta. To nam govori kojim aktivnostima treba pokloniti posebnu pažnju u pogledu njihovog vremenskog trajanja prilikom realizacije datog projckta. Najvažnija osobina kritičnih aktivnosti jc u tomc da svako prekoračenjc njihovog trajanja dovodi do prekoračcnja (produženja) krajnjcg roka završetka celog projekta. Zato, kritičnc aktivnosti imaju odlučujuću ulogu jer ukazuju na potencijalne teškoće u toku realizacije projekta. Kritični put, dakle obuhvata kritične događaje i kritičnc aktivnosti. Vreme trajanja /,, bilo kojc aktivnosti ( i-j) mora da bude u granicama maksimalnog dozvoljenog vrcmena trajanja te aktivnosti. Kritična aktivnost je ona aktivnost (i-j) gdc jc tij=tj!)-t,!0) (vreme trajanja tih aktivnosti jednako jc njihovom maksimalno dozvoljenom trajanju). Za kritičnu aktivnost (i-j) važi sledeći izraz:

Za kritične događaje kažcmo da imaju jednaka najranija i najkasnija vremena odigravanja, tj. imamo da je: ,(0) _ ,0) ~ li

/ (0) = / (,) Vidimo da jc kod kritičnih događaja najraniji počctak t,1"'' jednak najkasnijem početku tt(!>odnosno da jc najraniji završetak / / tf; jednak najkasnijem završetku t/°. Aktivnosti kod kojih je: t ? - P - t 9 > 0

/ ( l) - / (0)> / . maksimalno dozvoljeno vreme trajanja aktivnosti veće od njihovog vremena trajanja aktivnosti t9>kažemo da dotična aktivnost nijc kritična i da takva aktivnost ima vremensku rezervu. Ovu razliku nazivamo vremenskom rezervom aktivnosti (ij). Vrcmenska rezerva kod kritičnih aktivnosti je jednaka nuli. Ostalc aktivnosti, koje nisu na kritičnom putu, imaju vremensku rezcrvu veću od nule. Kritični put ukazuje na potencijalne teškoće i ukazuje na one aktivnosti kojima treba obratiti posebnu pažnju. 129

OPERACtONA ISTRAŽIVASJA U okvini MD magu postojaii i i/v. subkritični putevi. To su putevi &
t f = l | 0)+'% = 0 + 3 = 3 t W) , t'"1 + 1„ = 0 + 5 ^ 5

= C + t i « =0 + 2 = 2 j i» = t (j"] + t j 5 *=5 + 16 = 21 Kako sc u dogadaju 6 zavr£avaju dve aktivnosti: tJ*1 “ max[(i 'f 1+ t ,b) (t ;Ch + 1 ] ) - n m [(3 +

i (5-6), imamo da je:

(21 + 5}] - max[(l 126)] = 26

4 * = C + % * 21 + 3 ^ 2 4 Kako sc u dogadaju 8 završavaju ln akttvnosti: 15-S)s C

=J

?

i (7-8), imEimo da jc:

’ + t „ K C + t MJ ( ‘f

= max[(21 + 4 ( 2 6 +4), (24 + 2 ) ] - max[(29,30,26)) = 30 S.6J ?rem a izraai ( 3 .J.> 1®

i [3 . 4 . )

odrcdujiino r.ajkasniji počm fc aktivnosti

t l . " ’).

= tf" =3&

t '11 = t^" - t , g = 3 0 - 2 = 28 ts’

= 3 0 - 4 = 26

tV * tnm((t-" - t w}(t?» - ti7)(«r - t 3()]= min[(26-5)t(28-3)(30-8)]= B . r J

f t.

'i P -

= miti[(2I;25;22)] = 21 «.7,S

ti” =t?*-t*j = 2 1 -1 2 = 9 -1 ^ = 2 1 -1 6 = 5

tf

= l ^ - t , 7 = 2 6 - 8 = 18

tf =

- t u ) ( tS '

* t„ l-

= min[(9 - 2)t (5 - 5 ) (l 8 - 3)]= min[(?;0;l 5)]= 0 ?h),4

2.3^

Iz razlike najkasnijcg i rajranijcg vremcna odigravanja događaja dobijamo vrcmcnsku rezen u za svaki događaj: Ra

= 3 0 -3 0 = 0 H0

Tcftttika n&efnggpbniranja R t ~ *7* “ p. = 2 8 - 2 4 = 4 = t ? } - $“> = 2 6 - 2 6 = 0 R s - t<1> - jj® = 2 1 - 2 1 = 0

R« - 1"1- <°> = 9 - 2 = 7 R 3 = t l l» - ™ = 5 - 5 = 0 R , = t<'> -

= 1S - 3 = 15

R , = t | l , - t { l>1 ^ 0 - 0 = 0 Iz mrežr.og đijagrama sc viđe mogući putevi koji povezuju pcčetni i zavrSni događaji a to su: put 1 2 6-8 pu£ 1. 3 - 5 - 6- S put 1 - 3 5 8

4 = 15 = 30

=> h = 29

K = 22 put: 1-4-5-7- 8 => h -19 put U4-5-S

gdc jc 4 ^kupno vrcme trajanja ovih putćva.

Rft Rs, R$. R6

Vidimo da su vremenske rezerve i 2?* jednake nuli, šro znači da kritični JŠit počinje od đogadaja 111" pa prcko događdja ll5"s "6ri do ,cSdr koji su, takođc, kritični. Na tom putu nalaze sc aktivtiosii B , G i M šta znači da su i ovc aktivnosti kritične. tJkppno vreme trajanja kritičnog puta, a time S cclog projckta, Eznost 30 vremenskih jeđinicn.

Slika %i$2. MD sa kritičnim putetn i najrttnijitn i najkasnijim vremenotn cdigravanja đagađaja

131

OPERACiONA IŠTRAllVANJA

____

____

_____ ________

___

Primer JL2. Na slici 3,33. je dat jcdan primer mre&nog dijagrama zadaiog tabelom 3.4.

Tabeb S.J. Bruj aktivno.

NazJv aktivno.

FrtthoiL akfivno.

Prethod. duâđaj hl^l*

Naredni dogadaj flj'H

Abtivno.

I ]

2

3 -

5

6

2

A

4 I :

1-2 2

1

2

2 3 4 5 6 7 3 9

A B C D E F G H 1

ii B C c

D.E G

3 5 4 4 5 1------ 7 _

3 4 6 S 5 7 9

m

Vreme trajanjn

- j

7 3 9 4 5 9

2-4 3-6 5-8 4-5 4*7

10

7-9

8 2

1

Na slici 3.33., đat jc jedan opsti pnm cr mrc^nog dija^rama na kome jc pnkazan kritični put i na tam pum kntiCne aktivoosti i kritlCni događ&jl Prcma MD kril&ni put obuhvata dogadajc I-2-3-5-8-9. Na tom puiu nalazc sc aktivnosti A t B, S; (fiktivna akhvnost), E i //, ito zn ad da su i ovc iiktivnosti kriticnc. Ukupno vrcme trajanja kritićnogputa, a time i cclog projekta, i/nosi 29 viemenskih jcdinica.

Siika 3.31 MD$ q kriričnim putem (aktivnosrima i doguđn/itna}

3.2,2, ANALIZA VRBMENA PO MKTODl PHttT U ovom poglavlju će se razniatrati vrcmcnsko planiranjc projekla vc7-.inog za istraživanje i razvoj novog proi/voda. Većina aktivnosti kojc o\ aj pmjckt sadrfi su potpuno novc, Projckt menactier Scli da utvrđi proccnu neizvesnosti i da ođredi vremena trajanja svih aktivnosti.

132

Tfkmktt mreHnog pidftltanja

Prinienu ove metode čcmo prikazati na primeru poboljšanja jednog postoječcg pcoizvođa. Kompamja koja Se bavi protzvodnjom industnjskih vakum sisioma za čiSćenje razmatra uvodenje određenih poboljšonja u već postojeći proizvodni program. icdan član razvojnog tima je iiložto prcdlog uvođcnja novog proi^voda koji bi se sadrSao potpuno nov, prenosiv sistcm napajartja. Naime, taj novi sistem napajanja bi sc sa^tojao i/. prenostve batenjc koja ima mogućnost ponovne dopune, Ova kompanijfi žcii da napravi proboj na tržiStc kućnih aparata sa novim proizvodom. Menadžment tim ove kompanije se nada dti sc novi proizvod možn: proizvt;=>ti uz razumnu cenu i da će njegova prenosivoM uz odsustvo kablova, bin izuêino atmktivna za b\iduće kupce. Medutim. pre ncgo 5to se uopstc upusit u proi/vodnju, menad£menl tim mora da napravi studiju i/sodljivosti prcnosivog vakum sistema. Rezultat siudije izvodjjivosti če bui u form: izve.štaja kojt če prcporuCivati koje sve akcije treba preduzcti da bi se proizvoo novi proi/vodv U cilju kompictiranja svih podataka koje zahleva sludija izvodEjivostt, u eclom istraiivanju moraju biti nkijnćcni sledeći odseci: oii'iek /ad u ien za razvoj t iNiraJivanjc, odsek zadužcn /a testiranje i kontrotu proizvoda, odsek proizvodnju, odsek zadužcn za određivanje troSkova, kao i markcting timovi koji se bave istra2ivanjem tr/ista. Pred nas se postavljaju sicdeća pitanja: Koliko je ^kupnc trajanje istraživanja koja obuhvata sama smdija i/vodljivosii? Kada trcba rcči odstrku zaduzenom za tcstiranje proizvoda da izvršc vremensko planiranje svog vremena koje 6e utroSiti za rad na ovom proizvodu? i sL O iigledno za sada ncmarno dovoljno podaiaka da bi odgovoriH na ova pitanja, U narednom razmatranju ovc mctode ćcmo naučiti kako da iznadcmo odgovore na ova pitanja, a takodc kako da obczbcdimo kompletan raspored izvodcnja aktivnosti kao t kako đa kontroliSeino informacije vezanc za ovaj projekat [3J, Pn"i korak u procesu vTtmcnskog planiranja projckta predstavlja anaiiza stnjkturc, tj. odrcdivanjc svih aklivnosti od kojih sc ovaj projekat sastoji. a takođe i Utvrdivanje njihovog Tcdoslcda. Za ovaj projekat lista aktivnosti ćcbiti prikazana rabelom 3.5.:

Tabeta 3.5. Liara ektivnostt UruJ siktivn. 1 1 2 } 4 5 G 7 8 9 10

iNaziv aktivn.

2 A B C D E F G H ! J

Pret. aktlv. 3 -

B A,C B B D t: F G JU

Opis aktfvttosti 4 K ii/n d a marketing plar.a Dizain proizvoda izrada daknmentaciie o proizvodu Utraživanje tržtita. vrštn^c ankcta lzrada prototipa Raziada tehnolopi je Predviđantî odt'edivatijc; ccnc proizvoda TcsTiiranje proizvoda

Određivanje troSkova proizvodnje Kompletttanie izvcstaja

133

OPERACtONA ISTRAŽIVANJA

MD koji ptedstavCja studsju izvodljivosti ovog prim eraje dat na s iic i3 3 5 .

* razm da

/ ■

p ia m if

istraiivanjc

“ ' ^ v / -

r

triiita /J

* l

\

f

orfnđfrm k

Slika 3.35. Anaitia strukture Poslc ^naiize stRtkmrc trcba izvriitt :mati/ij vremcM Infonrtacije dobijcne u ovoj fazi služc za odrcđivanje ukupnog vremcna IrajaDja projekta kao i odredivanja vrcmcna trajanja svakt1pojcdinatnc aktivnosti. Za pTt>jcktc koji su več bili izvodcni ramje, kao što su npr, konstrukcioni projckti ili projckn održavanja, menadžed vcć poscdnju odrcdcnc infonnacijc vezanc za trajiinja odredenih aktivno&ti, a takođo i iskusEvo potrcbno za ojihovo određivanjc. Međniim, kod jk’đinsivcmh projekma, određtvanje vremcna svakc aklivnosti i uknpnog |iraj:nija projekta je tcžc iz razloga što nc postojc podaci o tanijim, sličmm akiivnosmna i projektima. Tačnijc govoreći* po mctodi PERT t svafca posmatmna aktivnosi se opisujs ne sa jednim, već sa iri razilitita vremena irajajija aklivnosti koje nEim ^lui« za procenu vrcinena trajanja aktivnosti, [3)h Analiza vremcoa no metodi PERT odvija sc li sledećim cti\patnah [5]: a) Procena vrcmcna (flr.r> btf% b] Izraćunavanje oCeki\ anog vremena (fj,. i \ arijansc ( &' )t

v) Određivanjc nnjrEinijeg (7 » t najkasnijcg { T L\ vrcmena nastupanja događaja, g) Određivanje kritiinih i subkritiCnih putcvn, č) Ođređivanje verovatnoče nasmpanja dogadaja. K

a) Proceno vremena Pošto su aktivnosti kod projekata stohasliČkog karakier.L to sc njihova vrcmena trajanja ne mogu nortnirati, pa sc zbog toga proccnjuju (za svaku aktivnost) iri ra/ličitc vrednosti vrcmena za izvodenje svakc aktivnosti i to: , Optimistićko vrcmv - a(J jc najkraćc moguće vremc za koje bi se aktivnost mogla obavui pod idealnim {posebno povotjnim) uslovima, odnosno u najramjem roku, 3to znatli da ova proccna pfedstavlja minLmalno potrobno vreme za trajanjc aktivnosli.

m

Teknika mrežnog planiranjg

• +

Sajveroiatnije vrcme - m, predstavLja potrcbno vrcmc za iz\rođcnjc aktivnosti poti fUjmialntm uslovima. Pesimističko vreme - by jc maksimalno poircbno vreme za t/vr$enjc aktivnosii u krajnje ncpovoljnim u sb v tm a, koii mogu nastati u lzvodonju aktivnosti (izu/ev, ra/um e se, pojava katastrofa).

Iz iznctih dcfinicija sledi đa za svaku aktivnosi mora biti zadovoijen uslov: ai} < m# < bv Procenu vrcmcr.a toptimii'iiitkog, pcsimističkog t najvcrova-tnijeg), vršc stručnjaci koji Siu radili na sliinim aktiviôstima, iti kojima čc biii povcrcno izvrsavanje tiatih aktivnosti. {5] U tabcli 3.6. su data optinusttčka, najvetovatnija t pesimistička vTemcna svih akuvnosti Npr. ako posmatramo pođatke ve/anc za aktivnost A , možcrno primetiti iiii mcnadŽment smatra da čc /a ovu aktivnosi biti potschtin od 2 nedetje (5to pređfltavlja Cpti-mističru proccnu) do 10 ncdctja (pcsitnistička pmccna), ali najverovatiuje j e da ćc za aktivnost A biti potrcbnu ukupno 3 nedelje.

b) fzračtinavanje očekivunttg vrernena ( t j i; i varijatise (ćT ) Kaku za izvTênje svakc akttvnosti raspolaic sa tn vrcmcna (n^ , \ h,s ) to jc potrebno ođrcditi vreme m kojc se predpoitavlja da « sc zavrSiij čktivnost, Kod metodc PERT ovo vncine sc na/iva očefcivano vrcme ( ^ ) i prcdstavlja proscčno utroscno vremc ia izvođenje ackc aktivTiosti pri njcno:n viscstnjkom ponavtja^ju [5j. Tabda 3 6 Opumšstička, nqjver0wittiija i peximi$tička vt emenQ

liroj iktimt.

Nazfr aktivn. 2

i

aH

r»if

3

4

5

6

7

2

3

10

4

2

A 8

10

12

3

c

4

6

24 K

4

D E F C H 1 J

5 6

7

15

%

1,78 7,11 0,44 2,7a

s 6

22

to

7.11

6 4 6

0.44

4

8 5

1

i

5 6 7

s 9 10

S

4

h

3 3 3

6

9

A

5

2

4

6

Ukup!no vreme trajanja pro;cktit.

U tom sltičaju sc izračimavanjc vrSt po sledećim obrascima;

Očekivano vreme [U tJ:

Varijansa o ] :

6

4 4 64

0J1 J.OO 0,11 0.44

OPERACIOSA iSTRAŽtVAKJA

Nq ulazcći u maicnrumčtaL intcrpiciaci;u 1 dokaze, pretpostavljcno j c da sc + trajanjc svih aktivnogti U$ ponaSa po Hhfl" raspođeli, a ircnutak njihovag zavtsetka, odnosno ocligravanje pojcdhuh dcnsiđaja po zakonu normalnc raspodek. Varijur.s;) prtdslavlja HKtu ncsigumosli u proceni vrc^ mcufi /a izvrfienje aktivtjj nostt. [51 Na sliri 3.36, su pribftzana tri primcra "p" raspodelet koji prikazuju rclativnc lokacijc Tjhj i &J:, [2]

1.56. "fi'raspodelazii \renwna akrivnastii Na slici 3 37 je dai prikaz ”P" raspodek za aktivnost trajanja siktivnosii 12 dana.

čijc j e oćckivano vrcmc

OČ'i'kivtitiO

optim tstičko

p c \ tm i\ fičk o

it - t

V

Vrem* trajanja aktlvnosti (u nedetjama) Slika 3.3 ?. "fi’raspodehi za vremcne aktivnosti B

v) Ođrcdhanje najranijeg (T£) i najkasnijeg {J,) vremena nastupattja događaja Izračunatc vTcdnostr za Tz i TL unosc sc u sam crtcž kao 3,38.

136

jc pokazano na slici

Ti'hmka mrežnog pianiranja

SOka 3.38. Označavanje najranijeg i najkasnijeg vremena nastupanja događaja korf FICRT tnetođe Vrcmc nashipanja dogadaja prcdstavtja količinu vrcmting (kolicina vremcna nio5e bitE pređstavlj^na ćasoviiria, daninia, mesecinjću) koja pro&ekne od početka projekta do nastupanja ođređenog tkjgađaja. Najranijc vremc (TE) prcditavlja najraniji rok kada sc možc ođigrati posmatrani događaj, odnosno završiti aktivnosti koje mu prcthodc, Ovo vrcme sc računa unapred usvajajući da je za poeetni događaj: Te - 0, pošto p u Tom {logađaju ne prethotli nikakva akti-vnost koja zahteva vreituft za njeôvo izvržcnje. Za o&tale dogadajc J £ sc računa kao i ti CPM metodi s tim sto se utresto uvrstava izračunata vrednost za (7V pa je obrazac: Potrebno je poznavali najmmje vreme nastupanja prcthodnog dogadaja (Ty ): , da bi se moglo računati (Tf.: \ narednogdogadaja. T “ 0 i ft — = 0 + 12 = 12 TEj = max[(Th| + t , 3.J:(TEŽ + t 23}]~ max[(0 + 4 ) (l2 + 6)]” m a x [4 ;I^ ]' 18 1,2 1SI 1,2 + *34 = 1 8 + 8 = 26 T e5 = Ttz + 125 = 12 + 10 ^ 22 — P et

^£2 + ^2# = 12 + 6 = 18 4,5.0

+ t 47

+

+

“

= m a x [(2 6 + 4 ); (22 + ć)t (l 8 + 4)] = m ax[30;23;22] = 30 4.3,6

~ Te

i

+ f TB = 3 0 + 4 = 34

N ajk asrije vrem e t i predstavjja najkasniji rok kada se mora odigratiposmatrani događaj, odnosno zavrsiti aktivnosti koje mu jprethode ako se želi održati dati rok završetka projekta. O vo vremc se raćuna u nazadusvajajući da je:

( ® » = (T^)n gde je V zavižni dogiiđaj ako rok projekta nije tinaprccl odreden, Za ostale događaje Ti sc računa po obrazcu;

(T, x

i

Potrebno je poznavati najkasnije vrcmc nastupanja narcdnog dogadaja {TČi\ # se moglo računati {TL ); prethodnoe dogadaja. Ukupno vreme trajanja projekta jc, u ovom slućaju, tu = 34 nedeljc,

137

OffEFACfOr\ .i tSTRAŽIVANJA

Stika 3 39 Atttrliza vrentena - PERT metoda T n ~ ^ls ” *?s —34 ~~^ = 30-4-26 - TL7 —t

= 30 —6 —24

=t l- ->« =30 —4 -2 6 »26*8=18 T L2 "" 5 ¥ jK ^ L 3 “■*;j )»(T L5 — 1 35 )* ( T LS — 1 24 )] ”

J.5-,0

= min[(l R - 6\{24 - ] 0\(26 - 6 )}* minfl2,14.2o] ~ 12 ).S.« JA* Tu = min[(Tt2 - t,,);(T Li - t , s) ] - m in [(l2 - 12}; (.10 - 4)] = njin[0:l4j= 0 g) 0 ^ r ^ iw i/ £ A r M TJuA

POStavljeni mrežni dijitgr;im piuia preglcdrtu i jasim sliku sinrija glavnih [kljucnćh) dogadaja i prcdstavlja solidnu osnoMJ Jfr dalju analizn studije i/vodljivosti prajekla, Da bi sc ]noglo upravljatf reaEizacijoin ptt»jekta, potrehno jc odrcdtn kriiićtii put Da bi se io mogio uraditi, poirebno je prcibodno odrediti vrcmensbi r a te m i (/azor) (S)i* U jednom mrcžnom dijagramti možc posrojaii višc kritiČnih putcva, [5]. Vremcnika rczerv'a odrcđenog dofiađaj.i, prcdstavlja vrcmensku razliku izmedu najkAsnijcg zavišetka svih aktivnosti koje mu ncpoarcdrto prcthodc i najTanijcg poćcrka narednih aklivnosti kojc ncposrcdno sEedc Računa se kao:

i im ožc biii: (5)r< 0 ili (S)p> 0 fr) b) v)

i-ttZ... ">

{^)j ■ 0 - Pozirivna vremenska rezerva, ukazuje n& postojanjc rczervi vrcmcna, kapacitcia i ostalih resursa (S)i - 0 - Nulta vrcmcneka rczerva ukEizujc da nema nrkalcvih rc;tervi vrcmena, kapacitcta i ostalih resursa, {5)j < 0 - Negativtia vrcmeđska rezerva tikazujc na ncinogućnosl rcalizacijc projekta hcz inten/iviranja aktivnost). 13S

Tukmkam t efnog phntirg nja Izračunavanje vrcmcnskih rezt;r\ri događaja koje sc nalaze u projckUi sc vrši no. sledeći naČittt Sx ” T # - Tes = 3 4 - 3 4 — 0 S 7 - TL7- TK7- 30 - 30 = 0

St*= TL6 - T & -2 & - 18 = S £jf --= 7V.5 - r © = 2 4 - 2 2 - 2 * Tu -Te4*■ 26 - 26 = 0 S3 - Tu -■f Ei - 18 - I S - 0 $2= % ž - Te j ” 1 2 - 1 2 - 0 A '= 0 - 0 -0 Nulta vremcnska rezervra pokazujc koji se događaji nala/c na krkiCnom pum, U ovom piojektu to su: $$, Šj i S s. Kiiiični put ntože pređstavljen događajiTna 1-2-3-4-S ili aktivnostima

d) Određivanje verovainoće nastupnnja đ&gađaja U ranijim proraćunima su se, da bi sc pronaiao kritični put, aktivnosti posmatralc kao da traju tacno onoliko kolike su Eijihovc occkivatic vrcdnosti (t^ fJr Međutim, sada sc vcć tnožc uzcti u ra2matranjc i ncizvcsnost vremcna trajanja aktivnosti, a takođe i kako ta ncizvesnost uticc na vrcmc z^vršetka projekta. PoSto kiitični pu t određuje ukupno vrome trajanja projekta, svaka promcna u trajanju aktivnosti kojc ga činc sc odražava na datum žavr£etka projckta, Promcnc u vrcmcntma trajanja ostalih aktivnosti, kpjc nc ulazc u kriticni put, obično nc utiču 11a ukupno vrcme tra}anja projekta zato što postojc odrcđene vremenske rezerve vezane za ove aktivnosti, Ako se bito koja od oVih nekritičnih aktivnosti produži za vrcmc kojc jc duže od njcnc vremenskc rczcrvc, pojaviće se joS jcdan kritiCni put na komc ćc sc nalaziti ova aktivnost, i &va dalja odlaganja završetka ovc aktivnOStit rezuitovaće produžetkom ukupnog vremena trajanja projckta, Sa dSčuge stranes svnka promena na kritičnom u vidu skraćenja neke od kritičiiih aktivnosti ćc dovesti do smanjenja ukupnog trajanja projckta, pod usSovom da se ne poveća prcko dozvoEjene rezcrvc rifeka druga, nekritična aktivnost. Da bi odredi!.i varijansu datuma završctka projekta, prvo je potrebno da odrcdimo varijanse svih aktivnosti kojc sc nalazc na kritlfinom putur Ako sa tu označimo ukupno vrcme trajaoja projekta, tada ćc ono biti odrcđeno sumom trajanja svih aktivnosti kuje se nalaze na kriticnom putu: Tu ~ ts + tc + fo + te + & “ i 2 + 6 + 8 + 4 + 4 = 34 neddje. Slićno tome, varijansa ukupnog trajanja projekta ćc sc izracunati kao zbir varijanski svih jktivnosti kojc se nalaze na kritičnom putu: c>l =

+ Oc + C p +

+ c ; = 7 ,1 1 + 0,44 + 2,78 + 0 ,1 1 + 0,44 = 10,88

Ova formula sc zasniva na prctpostavci da su sva vremena trajahja razllČttih aktivnosti međusobno nezavisna. Ako su dve Iii više aktivnosti rnedusobno zavisne, formula samo obczbcđujc približnu vrcdnost vrcmcna završetka projckta. 139

OPERACiOMA ISTRAŽfVANJA Pošu> j t poznato da je vrcdnost siand;sidnot; odstupanja kvadratni koren \z varijarso. rEiožcmo ižraču*nati vrednosl standardnog

n = Vcr’ = J i O M - 3,29 34 \Tfmć{u nedetjamajf jj Slika 3 40. NormoJHa raspodela vremcna ztmfietka projekra

Poslcdnja predpostavka vezatiii za odrtđivanje odstnpanja vrcmena m r š e tk a projckta j c da ćc se njeeovo odsmpanje dogadati u sktadu sa normalnom raspudeiom. Sa ovim odsiupanjem sc može i2riičunati koja jc vero\atnoča da če sie projekai /a\TŠiii određenog dana, Kpr. akn predpostavhno da je menadžment odredio 40 neddja za iz^rsavanjc ovog pmjckla. Koj.i je verovatnoća da ć t se ovaj pmjekat zavrjiti ny vreme? Korisicći normaJnu raspo-deln prikazanu na sKci 3.40. T Lrpžimo verovatnoću dogadaja da jc ^<40 što jc prskazano grafički na slici 3.41,

vrcmc (u Redrfjamtt) Slika 3.41. Verovatnoća JOVtSetka projekta na vtćmc 40 —34 Vrednost ; normalne raspodetc 2a L —40 je data sa: z = ----------= ]hft2 3.29 Koiisteći z = 1T82 i tablice za nonnalnu raspodctu, dobićemo da je verovatnoća da će prgjekat biti zavrScna za 40 nedelja: 0,4656+0,5(XKM),%56 lako, promena trajanja aktivoosti možc reznltovaii pmdužctkom ukupnog tmjanja aktivno&u, posloje velike sanse da se projekat završi prc mka koji iznosi 40 neđelja SliČna izračunavanja verovatnoće se mogu izvrsiti za ostale potencijalne rokove. [3].

f40

1f 't -/j n ! k ( i

f i r r e ž 1 1f ? £

f 1l a n i J y ; n j t i

3-3, ANALIZA TROŠKOV A Podaci dobljeni anatizom vramena metodama CPM i PERT sc koriste za određivanje redosleda aktivnosti, a (EikoJc i za kontrolu svjike aktivnosti poschno, sve u cilju zavrSetka projekta na vrcmc. lako su sva prvobitna razmairanja vezana /a upravljanje ovim projcktom bila vezana samo zn ukupno vrcme trajanja projekta i njcgov zavrietak, potrchtio je obradiii pažnju na to da posioje situacijc kod kojih je cena i/vođenja aktivnosti i projokfa oć istc važnosfi kao t samo vreme tzvodenja. Svc mciode analize troškova poznate su pod jcdinm imenom P tR T C’OST tli PKRT.TROŠKOV] Metoda PER T/C O ST sc uspcšno primenjuje za analizu troSkova koj;i služj da obc/bece5i određivanja ukupuog budžeta potrebnog za izvodenje jednog projekta obično podrazumeva indcntifikaciju s\rih troSkova koji se javljaju n toku izvođenja projckta. Nakon određivanja tro&kova, vrši se predviđanje kada će ae koji troškovi poja\4jivati kako projekat bude tckao. Zatim sc nakoti /avršetka određenih faza projckla. stvami troškovi poredc sa predvidenim. Ako >e isposlavi da su slvami troSkovi premašib predviđene, postoji mogućnost phinene korektivnih akcija koje sc prime^juju dabi se ostaEo u okviru planiranog budžeta. [3] TmoSkbvi se dele na;

*

promenljive i

*

stalne,

Promcnljivi iii varijabilni traškavi su oni troškovi koji ra.stu i opadaju pora,stomn
Stajni iii fiftsn i troskovi su oni troskovi koji se ne povećavaju, odnosno smanjuju, sa porastom, odnosno padom ukupne proizvodnje. Takođe se nazivaju irdirektni {posredni)f opSTi, zajedročki, dopunski. Ovi troSkovi (zavisno od obima proi/vodnje) po jedinici proizvoda inogu biti: opadajući t rastući. Opadajući troškovi su oni koji opadaju po jedinici proizvođa ukoEiko raste ukupna pruiiivodnja fnpr, troSkovi odri?avanja}. Rastući tro£ko\ i sti oni Eroškovi koji rastu po jedinici proizvoda ukolrko raste ukupna proiy:vodnja (tipr. zakonske obaveze koje sc podmiruju iz dobitiV Pnmenom PERT/COST metode razmatramo mogućnost skraćivanja trajarja akti\ nosti paralclno sa ulaganjemdodatnih sredstava^ ali uzminimalnopovećanje troskova. []] Lr cilju * * * *

skraćivanja vremcna irajanja aktivnosti razlikujemo sledcćc tnofiućnosti: povećanje broja radnika od strane istog izvodača, angažovanje još jednog izvodača radova, uvođenje više smena, prekgvTeitiem rad. 14!

OPERACIONA ISTR A 2IV A N JA ____ ______ _____ ______ ________ ____ ____ _______ koja će se od ov ih vanjanti odabrati zavisi ođ raspoložive tadnL' snagc* kao i od toga kolikt će biti troškovi. S obzirom na to đa metoda P}:’R T T R O Š K O \ I uspostavlja vczu rzmcdu nroskova i vremetia traj&pja odredcnog piojekta, potrt:brt> jc izvrSiti proccnti iroškova sv
C, = I

c,

U većini ilučajeva elenienti troskovr ^ vreme stoje jctlno prema drusom u takvom odnosu da ako se jedno smanj[n drago se poveća, i obmuto. Procenjeuom nomnalnom \ remenu t,, prtpadaju iroSkovi 7 aćka gde se oni seku u dijagramu nft slici 3.42., zove se nonnalna taćka (T:) Ona odgovaia onom normalno, ekonomski najpovoljnijcm izvršenju ove pojedinačne aktivnosti. [I]

Troškovi (£me\

Žavisnost odnosa vreme’iroskovi za jednu aktivnost
uhj

^mtnhi ' Ûthj ^ Shka 3-4?. Zav:snoit troškoM - vreme

iedna od usobina akiivnosti MD jcste mogućnost smanjenja njenog vremena trajanja do mogućeg imnimuma. Po$ti/anje log minimuma vrSi se ulagenjem dođatnih sredstava, To minimalno Erajarje aklivnosti nazivamo usiljeno trajanje akrivnosri (ijij, a troSkove nastale pri lakvorn vremenskom trajanju aktivnosti usiijeni (maksimafoi) troškovi (C jij . Dakle, pri usiljenom trnjanju aktivnosti troškovi su maksimalni. ali jc trajanje aktivnosti m m im alna Vreme ( t j i} jc sm nica ispod koje nc može ići skraćcnjc vremena trajanja aktivnosti. Usiljeno trajanje aktivno$ti se odredujc samo jednim vremcnom, a to jc uslvari najkraćc vreme za koje se mo/e izvršiti jedna aktivnosl f l] 142

Tehuika tnrežhog planiranja Pored ovog vnsmerut r;izlikujcino i mogućno$t nckog srednjeg vremena irajanja aktivnosti nazvatio tzv, n&rmabio trajđnje Gktivnosti (Q& a troskove nastalc pri takvom trajanju narmalni (> minimulni) troškovi (Cn){r Pri normalnom trajahju aktivnosti troškovt su minimalni, aji je trajanje afctivnosti maksimalno. Ngrmalno trajanje aktivnosti se određuje na osnovu jcdnoy iii tri vremena^ u zavisnosti da li se primcnjuje C M P ili PERT metođa. Normalno tiajanje aktivnosti obuhvata takvu zavisnost ira sk o v i-v retn e posle koje nikakvo danje uVećanje vremena trajanja aktivnosti ncčc dovostt do smanjenja Lmskova vezanih za daiu (tjt tckućn razmatranu} aktivnosl. U ciiju formiranja lincarnog modela potrcbno je izvrSiti anaUzu troškova aktiv.nosti za slučaju normalnog i usiljenog trajanja aktivnosti, Zavisnost (odrjos vremcna trajanja akti^Tiosii i jroSkov|) koja se ogleda u smanjivanju vrcmena irajanja aktivnosti sa povećanjem Lroskova m ože se pređstavtti kdvorn, slika 3.42. Na siici 3.42,3 prikazana je mcdusobna zavisnost vremena trajanja aktivnosti i. troškova u slucaju normalnog i usiijenog trajanja aktivnosti, odnosno kombinacije vremena i troškova izmedu ova dva gratiična stanja.

troSkpvf C tinearna tcproksinuicija

Lineama aproksimactja troškovi - vreme je pnkazana na sliei 3.43. Jsprekidana kriva linija, u tačkama T( i T?, predstavlia zavisnost troskova i vremcoa trajanja posmatrane aktivnostn.

Stika 3.43. Aproksimacija teoškovi- weme Ovu zavisnost možemo aproksimirati pravom linijom koja prolazi kroz taćku (T |j nonnalnog i tačku (T t) usiljeno^ trajanja iiklivnustE ('tj#. Ovom aproksimacijom m ožem o dobiti veći broj mogućnosti (kombinacija) u pogledu /avisnosti iroškova - vremena trajanja aktivnostt u odnosu na njihovo skraćenje. Otuda možemo odrcditi i prirasL troskova po jeđinici vremena za svaku aktivnost. Prirast troskova nam ukazuje za koliko će se povećati troskovi izvršenja aktivnosti (i-j) ako se trajanje akiivnosti skrati z a je d n n vremensku jedinicu. [1] fAri

gde su:

( 0 ,- ( 0 , * (CJtj

- usiljeni troškovi, * (CJv - nonnalni troškovi, * ( t j v - usiijeno vreme trajanja aktivnosti (i-j), * OJtj - normalno vreme trajanja aktivnosti (i-j)r 'laj prirast troškova nazivamo p r o s e č n i p rir a s t troškova ( A C ) , Prosečni prirast troškova predstavlja jasan podatak o potrebama dodatuih sredstava, sa ciljem da se trajanje pojedirtih aktivnosti skrati z aje d n u jedinicu vrcmcna. 143

OPERACtOSA ISTRAttVANJA

Kud primene mcEodt: P["RT.TROSFCO\ i ircba ic pndr?;n ati pnuctpa defimsanili preko sledećih algoritamskih koraka: KORAK 1: VrSinfto skmćivanje vremena irajanja onih akiivnostt koie se nala/c na kritičnom putu, do tronutka pojave još rteko^ (jcdnog ili viie) kritično^ puta> što predstavlja tzv, prenoienje kritiCnosti. Trajanje celog projekta nntženio skratiti Samo ako skratinio vremc Lmjanja jednc ili viSc akuvnoili koje se naiazc na kritičnom putu. KORAK 2: \z skupa mogućih kritičnih aktivnosti na kriliCnom putu, čija se \rcmena trajarja mogu skratm, \rsim o skraćivanje vremena Irajania prvo kod najjeftinijih kritiimh aktivnosti, tj. onih aklivnosti kojt: imaju najmanji ptost'tan prirast troškova (ACJ^ aćije vceme traj:mja nije postalo jcdimko njenom usiljenoiri trajanju, Drugim rečim;i. p n o ireba skratui vreme Irajanja one kritične aknvnosti kod kojeje prosečni prirast troSknva najinynji {A t - m in ). KORAK 3: Sa pojavom većeg broja fdva ili višel kritičnih puteva vrsi se istovremeno skiaćivanje vremena trajanja svakog krttičnog puia t to za is;s broj vremenskihjedinica uz poStovanjc prioritcin \?. prethoćnog koraka (korak 2}.

KORAK 4; Ovaj algorilamski kornk predstavlja kjaj skraćivanja trajartja aktn jiosti, a time i celog pmjekta, 1 to postiiH .luijem jednog od dva navcdena stanja: • sve do postizanjit planiratiog završclka projekta, iti *

sve dn postizanja trsiljûog trajania svih aktivnosti koje se nalaze (Leže), bar, na jednom kriličnom putu,

Primer 3.3, Navedene algontamske korake primene metođe PERT TROŠKOV] objasnićemo na jednostavnom primeru čiji su polaziii podaei dati u tabcli 3,7, Analiza vremcua izvršenaje po metodi CMP. Mrc?ni dijagram^ preina pola/.nim podacima, prikazan je na slici 3.44.

Tabt'h 3 7, Polazni pođaci primera J .i

N a slv

aktiv.

1

A kl, "i" J

A

1

2

U2

B

I

3

C

1

Trajanje aktivnoiti n

I ro J k o v l ti t i i l j a d a n i

n e d e lja m a

d ln a r a

N onulito

lltiljn o

AC

> o r m a ln i

l^ iJ jc n i

(C jt}

(Ci)y

d /jc d .v r

1G

12

100

120

5000

\ 1-3

8

4

140

168

7000

4

1-4

14

8

200

2 (3

3000

2

1 5

2-5

1K

14

220

22S

2000

E

3

5

3-5

10

6

160

172

3000

F

3

3*6

S0

B8

4000

5

5-6

5 3

3

G

6 6

6

100

120

30000

H

4

6

4-6

9

7

220

228

4000

42

32

1220

1342

D

U K U PN G :

144

Tehniku mrerrtag pkiti ira tift t Pretposledttja koloiia u tabd i 3*7, nam govori. da ukoliko bi se svc akljvDOSU reaJizovalc prema njihovom usiljenom vremenu trajanja, vreme realizacije eeiog projekta se skraćuje za 10 nedelja (42-32), Lj. ceo piojckal će se izvršili za 32 nedelja, a odgovarajuči Lroškovi (usiljeni)će lznositi U 4 2 .0 0 0 dmara.

Slika 3.44 Mrežm dijagratn prlmera J 3 Kritični pui 1-2-5-6 obuhvata aktivnosti ^(1-2). Đ {2S \ i f7(5-6>, sa trajarcjem od 42 tlrt+lK-!-S) nedelje, Sto podra?umeva i trajanje celoi; projekia U cilju skraćcnja kritifnog puta* a time i roka zaviSetka projekta, uz micimalno povećanjc iroškovn. polasmo od primene definisanih idgoritamskih koraka, Lr prvoj iteraciji) po&tujući navedene algoritamske principe \z korajoa J i koraka 2, a proma izrazu

A C tf - m in (A C r^ ), za A Cif > 0 dobijamo đa je ACJ6 ~ m in (A C l2>AC2JtACw ) = m in(5000,2000JOOOO) = 2000

i

i

što nam govori da polazimo od skraćivanja vremćna Lrajanja kritične aktivnosti

D(2*5l Moguće je smanjenjc vrcmena trajanja aktivnosti D, i to sa IK na 14 nedetjii (tj. skraćeno za (f„)35 - ( / J i 5= 18 - E4 = 4 nedelje), Sto dozvo|java trajaflje i nekritičkih putcva, Kako je aktivnost D skračena od njenog usiljenoj* trajanja Lo je, u nastavku optimizacije roka trajanja projekta, iskijučujemo iz daEjeg razmatranja. Dobijamo novi mrcžni dijagram, slika 3.45, Prfima, slici 3.45., kritićni put sc, i dalje. nala?.i na relaciji događaja 1-2-5-6 na kojima leze aktivnosti A t D i G. Konstatujemo da skraćenjem vremena irajanja aktivnosti D za 4 nedelje dolazi istovremeno, u istoj razmcri, i do skraćenja vremena trajanjn kritičnog puta, Sto ujedno dovodi i do skraćenja i/vršcnja (Lrajanja) celog projekta. To skraćenje je svedeno sa 42 na 3S nedelja (42>4t tj, prcmii sliei 3.45, 16+14+S). Dakle, ukupno vremc trajauja piojekta smanjuje sc na

145

OPERACIONA tSTRAZfVANJA j5K ncdolja. Pivsečni prirast* UvSkova po jođinici vremcna za aktivnust D ( 2 -5 ) iznost i C = 2 0 0 0 din.'ned, sto pnedstavlja đodamc mvcčane) iroSkove. pri

skraćtvanju vremcrLa trajanja dme aktivnosu. 23 jcđnu nedclju 5 občirom da so vreme irajanja akEivnosti D skmćuje za četiri nedcijc, Lo će dodatni troskovt projckia biLi uVećani za 8000 dm ara (4 ned, \ 2000 din.), Konstatujcmo da su ukupni troikovi projekta, pri n o rm alnom irajanju aktivnosii, od 3.220.000 din. narasli na J.22S.OOO dinara.

$hka 3.45. Mtvžni dijegram - pna iteraciju U dritgvj ttenciji, po$tujuči navedcne alcoi tlatnske principc \z karaka 1 i koraka 2 +a prtima izraiLi, dobijamo da jc AC

\ , - m in(A C r , AC56) - m in (5000,1000®) = 5000 ij

i)

što nam govori da polazimo od skmćivanja \Teiiiena najanja krflifioe atlivnosti A{\-7).

Siika 3.46 Mrcčni dijagr&n - druga iteratfja

1PreriUL tabel: 3.7.. aktivnost D sc niože pod nornulnim LraiarijcL'n obavitt IK ttcclelja \\± troškove od 220.000 dinara. Moguđe je, meduiim, i skračeno Lrnjanje date uktivnosti za 14 r.edeija. a!i j z uoskovc od 228,000 dinara. Tada ;e (AQ-22fi - 2213 rS-14-2rtC0 dir. ned., što utž.Q da je pT]ra&T troškova po jedimid vremcna 20(K) dmara, pad prctposTavkom Jinearnog povećanja iroškova.

146

?\-hnikatnrežnog g!a nira nja Vrcmc tiajanja aklivnosii A smanjujemo sa 16 na 12 nedelja f[j skraćeno 7a (v)i: ( t j i 2 “ 16 - 12 “ 4 neđelje, đo njenog usiljenog trajanja)+ što ne ugrožava irajanje nekriličnib akiivnosti. Dobijarno novi mrežni dijagram, slika 3.46. Skraćcnjem vretnena tiajnnja ;iktivnosii r-f m 4 nedelje doJazi i do sknuunja trajanja cd o g projiikla To skraćenjc jc svudeno sa 3& na 34 iiiedelja (3 ^ 4 , ij. prema .ilici 3-46h 12+14+8)* Prosećni prirasf truškova po icdinici vremena {za jednu ncddju) za aktivnost A (1-2) iznosi M " = 5000dir).,nec. S obzirom da se vrcmc trajanja aktivnosti A skrnćtije za ćctiri ttedelje, to Oe .se dodalni troSkovj uvcćaLi /.n 20.000 dinara (4 ned. \ 5000 din)- Sada su tikupni tro&kovi projekta, jiri noT :nalnom traianju aktivnosti, od J.22S.D00 din. narasli na 1.2-18.0 0 0 dinata. U trečoj iui-itciji, poStujuĆi mivedenc algoritam$ke principe i / koraka ! i koraka 2y a prcma i/razu, dobijarnO da je

AC* ^ min(AC
Skračcnjem vremcna trajanja aktivnosii C za 2 nedeljc dola/i i do skraćenja trajanja celog projckia. To skraćenje je svedeDO sa 34 na 32 nedcEja (34-2t tj. prema slici 3.47h 12+14^-6). Prosećni prirast troškova po jcdinici vremena (/a jedmi nedelju) za aktivtiost G(5-6) iznosi A C = lOOOOdni. ned, S ohzirom da se vreme trajanja aktivnosti C7 skraćuje / a đve ncdelje, to će se dodatni tro£kovi uvećati za 10.000 dinara (2 ned, x 10000 dm). Sada su ukupni troSkovi projekta, pri uormalnom traj[iii|ti aktivnosit, od 1,248,000 <3in tuirasli na 1.259,000 dinara. Daiji pmces optimizacije \rremena trajarja projekta sc prekida iz razloga Sto su ^ve tri aktivnosti A, D i G, kojt- se nala/e na kritičnom putu (1-2-5-6) mrežnog dijagratna, posti^lc usiljeno vrcine trajanja. Skraćivanjcm trajanja prpjekea s:i 42 na 32 ncdclja je postignuta uštcda od 1.342,000-1.25S,000-84,000 dinara* u odnosu na troSkovti usiljenog trajan;a svih aktivnosti, sio predstavlja mmimalnc troSkove uz tnaksimatno akraćenje vremena trajanja aktivnosti* odnosno prqjekta. J47

OPERACfONA ISTRAtiVANJA

Ll !ERATLTRA [1] [2]

V)

[4] [5J

[6]

l.ckov'ić M*, Teorija i metode {Hflitćivanja, ki'antitativnp analiza* Ekonomski fakijltet, Priština, 1998. I.ec S., M o oit t . rT Tavlor H., Mafiagčfttent Scienct\ \JJyn and Bacon* SAD, 1990. Anderson Dr, Sweeny D M Wil]ianis T., Afi Introduction to :\fauagernenr Science, Qjiintiiative Approacbes to Dccision Making* West Piiblisliing Companv, SAD. Minesota, 198S. Hillier Fh, l.iebcnnan, Operations Research, Holrich - Da>\ Inc., SAD, San Frandsko, 1974. Vultmović V., Stanivuković D,, Kambcrović B.t Radakavić N., Maksimović R., Radlovaćki ŠiJobad M., Sistetn kvafiteta - Metode i tdm ike u/uipređenja kvaliteta* Tom 3: Mcnadžcrskcf FTN. Novi Sad, 199S. Vulanovič V.T Stanivukovii D,, Kamberović B,, Dtidak Lj,, Malctić J,T Radlovački V.h Sistem kvaliteta- Upruvljanje projektom, FTN, Institut za industrijske sistcnic, IIS- Utraživački i itihnološki ccntar, Novi Sadh 1995.

148

I 'pravtjanjc salihame

-L UPRAVLJANJE 2A1JHAMA Zalilie su roba koja se sklidišii u skladiSiima slo/enap s i s t e m Zatibc čtne značajan dco ukupne iinovine razmatranog s'Slctna U opSiem ftlučaju ra/]ikuju se dva osnovnEi tipa sklaciista u slo/enom šisteiuu [1 ]: ■ DistribuUvni cenlri, *

Proi/vodna &ladišta<

Distribtoiivni centar je skladišie u kojcm sc sklaćiStc proizvodi od različitih dobavljača i namenjsni ?u brojrim kupcima Sk5adiš*e goiovih proizvoda u proizvodnom sisttmu tTttira s t kao distnbutivni ccniar. U proizvod/HJ skiadišta se skladisii roba koja se koiisii za .sopstvcnti proiz\odty\i. Prema IzloJenoj klasififikacija skiadišta razlikuju se dvc osnovne vrsic zaliba [2j: * Triiine zalihe u kojc sc ubrajaju finalni proizvodj i rczervni delovi i one su nuhcnjene krajnjim potrošaćmia * Proi/vtidne zalihe se koriste za sopsivcnu proi/.vodnju l njili čine reprcmiaterijaL sirovinu, poluproi/vodt, energenti i dr. U literattirj postoje podeljenja mišljenja o /tiačaju i potrirhi postojanja iratiba. Zalihe imaju izvesne prednosii One omogučavaiu vlšt nivo opsluživanja kupaca smanjivanjeni vrcmena isponike, povećava se organizacioua fleksibi’nosi u smislu da jc omogućcna br 2a i lnka proinena proi?vodnog asottiimana l dr. Takode važnost zaliha jc velika kada posioji iî/lika izmedu ula/a i i/Ui/a, npr. kadti je obim proizvodnjc vcći od obima prodajc. L slućaju pronlenljive tražnje poslojanje: ( l) protzvodnih zaliha jc va/no je r one omogućavaju kominuiiet proccsa proizvodnjc i (2) ;r2isnih zaliha je neophodno jer one omogućavaju da isporulca kupcima bude taćno na vrcme I u zafatevanim kolićinama. Sa drus»c strane, zalihe angažuju kapital i pmctor, /astarevaju ) opi^da i(D k\ratiici i i/ TiVi razloga ih (rcba smanjiti. Termin upravljanje zalihama označava upnvljanje zalihama rcprotnatefijaIat poluproizvoda, fmaJnih poizvoda i rezervnih dclova u viientvovskom sistcmu u zadatom vremcnskoni pcriodu. U literaturi može da sc nađe \e1iki broj nenurnenćkih tnctoda i matcrnatičkih modela J3] kao i ekspCTtnih sislema Ocoji se jednun imenom zovu sisteini m upntvljanje /alihama) pomoću kojth se naEazi Optimalna potitika vpravijanja zcilihama Pod optimalnom poliEikom upravljanja zalihama sc podrazumeva nalaženje optimalne knličtne r a r u i h t n j e (iti optimainog nivoa zaliha) i nivoa na kome se vrsi naručivanje.

149

OPERACIONA ISTRAŽIVA S J A ___ ____

__ ____________ _______

___

__

U literamri može da ;se nadc v diki broj modela za upravtj&nje zaiibama. Oetaljniji literatumi preglcd prikii/.an je U [4]. U OVOJ glavi dnta je k:atka retiospekcijft dve klasc matetmiićkih inoclcla m upravljvijc zalihami, Prika/ahi su modeli koji žsij ćesto citirani u titeraturi fP ], [5]), Trebo napomcnuti ć:\ razvioj nckiii oblasti inatcnićJtikc. kao na priuiLT teoiijc t’a/i skupova, ic orntigućio da s:c vrednosti pfromer.ljivih kujc eazistiraju u matematičkim modclima opisujn pomoću fazi skupova. U iom ^lucaju govorimo o trecoj klasi modela za upmvljaTijc za]ibamat tj. govorimo o fazi modelima. Noki ad fa/i modela /.[i upravtjanje zalihama dctaljoo su prikazam u |4),

4J POJMOVI i U P R A V U A N JU Z A U H A M A I NJJHOVO Tl'M A ČENJE L' ovom odeljku piikazane su najva^njje veličine koje utiču na odeđivanje optima][:c po'iiikc zahha trajnja. vremc ispomke. naCin praćenjEi nivoa zaliha, troškovni parantctri e ABC klasifikacija,

Thzžnja Trainja za gotovim proizvodtma sc javtja i distribuiivntm ccntrima i generiSe se od Ktrane krajnjih polroSaĆa, Na obim tražnje utiču brojni i razUćiti faktori koji pottću iz okručenja u kojem razmatnuii posJovni sistem fuitkcioriie. Kajveći utic^j ima porast konkurencijc. Porasi znanja, brz i neprekiđan razvoj novih tehnologija. pre svcga informacionih čija je inlplcinentadja jedrtOStavna i nijc skupa uslovile su porast konkurcncije po pilanju kvaliteta i cena. Prclpostavlja sc da jcdinična cena gotovog proizvoda ima najviše uticaja na obim tražnjc razmatranog finalnog proizvoda. Drugim nečima, smatra sc da sc može tražnja izraziti u funkclji jcdiničnc cene, U daljcm tazmatranju uvodi se pretposlavka da se trctira samo}edna vrsta flralnog proizvoda j e r obim tiažnjc za razlitite vrsie proizvoda je po pravilu ra/lićit. Mnogc tržišno orjcntisanc kompanije smatraju da prcdvidarje obima i trcnda tražnje najvišc uticc na uspeSnosi postovanja kompar.ije, iedan od najviše koriSćenih modcla za analizu i predviđanje obiina tražnje je eiastičnoii tražnje pumoću kojeg se ođređuje / a koliko procenata se povećava obim LraZnje ako se vrednosl jediničnc ccnc smanji u odrcdenom proCeniu i obrnuto U eksircmnim uslovima fni/ak nivo doholka) Ircnd promene obima tra/nje i jcdmićnc cene je istosmeran, tk/. tiifcnov paradoks. U kvaniitativnom pristupu, vrednost tražoje m o/e da budc deterministička i!i se opisuje neizvesnim brojem. U stohastičkom smlstu nct/vestan broj jc slućajno protnenEjiva (kontiniialna ili diskretna) sei odteđenim tipom [aspoddc verovatnoće, L'običajno jc da sc koriste standardne raspodele: normalna, binomna, Puasonova i dr, Provera saglasnosti empirijskih podataka za obitn tražnjc i izabrane raspodele najčešće se vrSi pomoći hi*kvadrat testa.

150

Vpravijanjv zahhama

Vreme isporuht Vreme isptjmkc sc đefmiSc kao vneme kojc prolekne oJ trenucka kad;i sc javi iražnja na skladiStu do Trcnutka kada jc dobavljaC spreman da i/vrsi iaponiku. \ rcdnosl vremena isporuke može da budc determinlslićka Upecijalan slutaj jc kada je jednaka niiii} ili neizvesna. Ako jc vreme ispomke jednako nuti* tada kažemo da je isportika trcnutna U probkm im n određivarye opriinaine politikc ?aliha u sloŽenom prosJcvno-proizvodnom sistemu rcalno je pietpo£taviti d a je ova vrednost ncizvcsna. L1 velikom broju radova iz ove ohjasti [JJ. ova vredno$t se opisuje slučajnom pmmenljivom knya itna normalnu, gama ili Puasono\-u raspodelu,

Sistemi pračenju i popunjavanja zoHha Nivo zaliha u skladištu može neprekiđno i periodičrto da sc prati. Shodno tomc, u literaturi mogu da se nadu ra/liiiti sistemi za praćcnje j popunjavanje zaliha koji su klasifiko\ ani u dve grupc sistemi sa neprefadniM pnačenjem nivoa zalihu i sistemi sa periodiĆnim pračenjem nivoa zaiiha . Sistem sa neprekidnim praćenjem nivoa zaliha u jiteraturi se često srećc pod nazivom ROL (Reqiremcnt Ordering Level) sistem, Obuavljanje zahfca vrši se na taj način sto sc narudžbenica plasira onda kada iie dosu^ne r.i\o koji se naziva nivo obtiavljanja ztiliha i najčesOe se obcležava sa R. I ' opsiem sluiaju, nivo R može da bude razEićtt od n i v o a sigumosnih zaliha, koji O m o g u ć a v a da se sikem "odbiani" od neizvesne tražnjc. KoIiĆina nanjčivanja je najćesće označcna sa Q, te se omda ROL sistem naziva (R, Q) sistem. LT (R, Q) sistemu koliiiua narativanja, Q t je fiksna a vrcmc između dva uzastopna narucivsnja se menja u zavisnosti od promcne tražnje Promena /alihp u vremenu kod ROi. sistcma ilustrovana je na slici 4.1.

VREM E

Slika 4. i Sistem jta nepiekidnim praćenjem iiivoa saiiha (R. Q) Pnkazani sistem sa neprekidnim pračenjem mvoa ?aiiha tokom vremena ima dobre osobine ali i ncdostatke [2]r

151

OPERA a ONA iSTRAllVASJA

___________________________________________

f>obre osobine sistcma sa [.epjekidnim pfaćenjt_‘m nivoa /aEiha iR. Q) su; » K-olicine nantCivanjii su ekonomične, tj. oplimatnc • SSgumostie zafihc mogu da budu Vrlo niski jcr sc onei!r/c varijacijc u vrcmenu oabavkc * Sistem jc prilično r.eo$«Lljiv na promenc paramctara Lražttje

samo za

Nedostaci sistema sa ncprekidntm pratcnjcm nivoa zaiiha su: * kainjenja u slanju nanjdžbcnicii ćine sistem neeftkasnim *

O p tim a ln e k o ličine naiufiivanja m o gu da b u d u p o g r e in o odredenjt: zastarele

•

Troškovi naničivanja mogu da budu vrlo visoki icr se narudžbenice za ra/Hcite prniz\ ode šaiju nezavisuo Zanemamje se pozitivan utic»j na troskove nabavke koji može da bude ostvaren grupisanjem narud£benica

•

ili

Sistem 2a periodično pracerjc i popunjas anje nivoa za]iha u skladi&tu se sreće pod nazivom KOC (Requtrement Ordering Cyrcle) ssstem u kome se namdŽbenice plasiraju u mčno odrodenim vremenskim irenucima T, 2T t 3T.....Vrcmenski period ]/niedu dva naruCivanja se naziva ioS i perrod nadgled;mja obuavjjanja zaliha. Kohčina naručivanja za svaki proizvod u skladištu i za svaki periot! se računa kao razlika zalnevane koli£ineTnivoa zallha u periodu T i naručene tcoliiine. U svakotn irtinuiku naručivanja zalihe se popunjtvaju do nivoa S. Ovaj sistem u literaturi se £csto srcće pod nazivom (S, T) sistem. Specijalan iip (S, T) statema je ( 5, S) sistem kod koga se narudžbenice plasiraju samOt onda ako je nivo zatiha u periodu T ispod sieumosnih zaliha, s. Sistemi sa periodiCnim praćctijem uivoa zahha ilustrovaui &u na slici 4.2, + NJVO Z A l.fH A

T

b)

2T

VREMIS

*n t v q z a l ih a

T

2T

yv

VREME

Slika 4.2 a) Sistent
____

________

_______

______

Upravljanje ztihhama

Prednosti i neđosUtci sistem a sa periodlčnim praćenjeni niVOa zatiha m ogu da se iskažu na slcdeći način [2]: ( ] ) dobre o sn b m e sistcm a sa periodićnim pračerjem niv o a zallha su u to m c sio korisie prednosfi gmpi.sahja narudžbi, (2 ) osnovni ncdostatak je u tome što su šigum osne /alihe reJatK no \ ific u odnosu na sistem sa koiuinualnim p ra č tn jc m niv o a zaliha.

Troškovni parametri U liieramri Enože da se nade veliki broj m o dd a u kojima su jkupn] troSkovi naj važniji a česlo i jedini kriterijum na gsnovu kojep «%c nalazi optimalna potitika upravljanja zaEiliiima u posmatranom vrcmensksDm periodu Qvi troškovi sc âstojc od: iroškova nabavkc, troškova d tianja zaliha i troSkova nedostatka zaiiha, Troškovi nabavke finatnth proizvoda obubvataju s \c uoSko\re koji nastaju od trenutka ulvrdivanja potreba za vrstama i kolićinama do trcnulka njihove isporukc u skladište. Vrednosi ovih troskova zavisi od kolićine namcivanja svakog proizvoda, jedinićni: cenc nabavkc, cene Iranspbrta i dr.

U m oddim a pocnoću kojih se odnedujc optimalna politikn proizvodnih zallha, umtisto troškov^ navakt: ra£unaju st? troškovi pripreme proizvodnje. Troškovt drzanja zalihc nastaju kao poslcdica postojanja zaliha na skladišu u toku posmatranog vremcnskog perioda. Ovi iroškovi sc raćunaju kao zbir troSkova skladištenja, tro£kova transporta u skla
/5J

o p e ra c io n a

istražjvanm

pravilu prcenjuje od strane cksperaia pa stojja procecie msa sasvim objektivne i optcrcčene su u izvesnoj mcrt subjekm nim stavovima donosioca cxl!uke. Razvoj novih ablasti matematike, pre svega leorije fazi skupova je omtigućio da se vretinost ovih ira&kova adckvatno kvantlUltivno opisu

A BC ktasifikacija ABC ktasifikacija je zasnovana na Parcto anaJi/i pomoću koje se ođrcdjuje vaznost svakc Stavke (repromaterijala, poluproi/voda. proim nia, ild} u skladišlu. Kjiierijum u smislu koya s t \n;i rangiranje mo/c da butic đtffinisan na primer kao jcdintčn] troikovi, obim iražnje i dr. t. rtalnim prohlem:ma važnosi stavfce se odredjuje u smislu kritorijuma koji so dcfinile kao funkcija više promenLjivih. Vrednost ovc lunkcijc za svaku stavku se naziva godišnja vrcdno&t-CiV. Postupak rangiranja stavki pomoćti ABC' klasifikacije sc rcalizuje u čctiri koraka koji sli nadalje iziožcnt; L U prvom koraku, izra£unava se GV svakc stavke i izražava se u procentima. 2. U drugom koraku. stavke sc rangiraju prema izraCuitatim G V h rako da se na prvom mestu nala/i stavka sa največom GV a na poslednjem stavka sa najmanjom GV. 3. Izraćanava ?e kumulativ GV za svaku ra/inaiTanu stavku. 4. Klasiflkacija stavki vrSi se na sledect njiiin: na pribli/rto 80% GV nalazc se stavke jcdoe ^ntpc, k o jaju označcna kao grupa A. Ovc stavke tmajit naveću važnost za orgamzacioni sistcm, Odredjivanjc optimaJnih potitika jpravLjanja /aliha ovih stavki odredjuje se pomoć;i matemaiićkih modcla. OstaLih 15% kumutativa Cr\T odgovara stavkama kojc tmaju prosečmi važnost* Ove stavke pripadaju drugoj grupi koja je o/naCena kan gnipa B. Upravljanje zalihama ovjh stavki manje ;e stiogo ncgo upravljanjc zahharna stavki grupe A, Ostalih 5% kumul&iiva GV korcspondira stavkama koje imaju "skladtsnu' vrcdnosl, tj. za ovc stavke ne razvijaju se modelt upravljanja . Klasifikacija siavki u skladiftiina smanjuje vreme i troškovc upravjjanja zalthama, Zato je vrio vailno pre odredjivanjia politike upravLjanja zalihama svakc vrste stavki i/vrSiti klasitlkaciju u $vakom skladifitu.

Primer 4.1 Lr preduzcću "Zastava'1. d.o o iz Kragujevca proizvodi sc dcsct raziičitih vreta proizvoda. Menad/ment ovog predu/cća je zaintcresovar) da rangua proi/vode \ j pi'oi/.vodnog asontmaiia. Rezultati dobijcni AH( analtzom poslužićc mcnadžmemu predu/eća za donošenje odluka za narcdni pcr:f>t], Potrchno je klasifilovati proizvnde u smislti dva kriterijuma upiimalnosti, simultanorjedinične ccne i obima tnt/.nje kada su: a) oba kritcrijuma podjednake vaznosti

154

UpravifAnjr zalthama

b) kada su Tazmatrani kriierijumi oplimalpo
proizvoda, a, (i-K2*..^jQ) se

*

T đ /v /u 4 i t'rftin o s ti jć d in ič n ih ceo a.

Proizv odi

.

f l'ft

,

A: a* ao

1

« 2400 300 52000

L * -- ,

I

200

1S90 2315 28

Hi

|

1

ci 63 S82

^

. t ohim a fra ž rtje , d j

2000 30fJG 20 300 25

6142 441 22 6^8 S50

.

- -------- - J

? «

Rešenje Korak L LT ovom kotiikij, svakom proizvodn, a: (x = 1,2..... 10) dodcJjuje se detennitjislička vrcdnosl kritcrjj'uina opttiniiinoslf. Kako sc 13 ovotn primeni rangiranje vrSi u smislu dva kriierijuma, prvo je potrcbno da sc definiše jcdinstven složcni kriicrtjum opttmalnosti koji '&čržl :i jedioifnu cenu j obim iražnje, Neka taj kriierijum nazovemo gođišnja vrcdnost p ro i/\o d a označena kao CiV, V matematiOkom snilsla. GV $c opisujc izmzomi GVj =Cj

Praizvodi

dj

GV; = c ,

a5

151 200 264 600

ai

2 964 oon

a*

37S 000 4 630 0 0 0 84 000

a?

122 R40

3*

132 300 566 9 5 0 170 0 0 0 9 463 m

aj

3 IG

Suma:

155

d,

G V j% i-fi2 .a 31.2« 4 .° 4R.92 0.K9 1.3 1.4

«.o 1 79

J00

! r

OPERAOONA iSnUZlVANJA

Korak 2. Pmizvodi

; , | ;

3, nj iVj

i

a*

-i

p 4S 92 31.28 fi.o 40 2.« I.?9

.

_j

—

1.4 L3 U.S9

a*

Suma:

GV

\

Lf>0~

Korak 3. ■

Proijvodi ---as

i ao ,

a2 *]□ -------- — -

■

a«

31 -1 a* Sumai

CV %

Kumuifttiv

4S.92 31.2* 6.0 4.0 2.S 1.79 L6 U4 u

4S.92 S0.2 S6 2 90.2 93.0 94.79 Šfe.39 97.79 99 09 100

100

1

—

_

.1

K orak 4.

Proizvodi grupe A su: ad a?. Ovi praizvodi su naj/naćajniji za razmalrano predu/ece sa aspeku jedinične ccnc i obim;i traznje. Mcnadžment mora da svoju paznju fokusira iki ovc proizvode u naređnom periodu poslovanja. Dmgirn recima, ueophodno je da se razvijnju po,Hebni modeli zaliha S odgovarajući laćimarski softveri za proizvode grup& A . Proizvodi grupe B su: a^, a* \ am- ZalihL' proizvôda grupe B mogu da ae određuju pomoću posiojećih razvijenih modijTa Proizvodi gmpc C su najmBnje važni za menadžment prcduzeća. L' ovom ptimcru proizvodi gnipc C su: ai, aKj a k afi. b) U Fealnim uslovima poÊovanja važnosti krilcrijuma su različite. Su druge strane, važnosl svalcog knLenjunia optimalnosli se menja tokom vremena u zavisnosti od promena koje se dcšavaju u okmžcnju {nromcne na triiitu ) ili promena koje se dešavaju u preduzeću, U ovom piiinerut razmatramo slučaj da je obim trainje znatno vazniji kriterijum u odnosu na kriterijum: jedinična cena, Ova pretpostavka je sasvim opravdana za preduzeâ koia posluju U promenlji\om tržtšnom tikruženju i koja imaju ciJj tia u poipunosii zadovolje zahievo kupaca u poctedu kolicme isporuke. 156

-------- --— ------ ---------- — ------------ ----------- ---------

-- ----

----

Cptavlja n je zalihartia

Korak L

U ovom koraku prvo deB niiim ojedinshenkrilerijum opiimalnosli: GV, - e ' : đ*1. U ovom primeru Gv, = c “ ’ •(!"“ Proizvodj

1

OV; = C“ = • d" * 1158,785 372.173 13 299.I7S

P

! _

2059.015 1! 77.775 62.867

f

GV,%

'—-T---------------- -

1,95 69*51 1 64 10.76 6.16 0 33

97.6D1

0,5 J 1.39

19 I3V5-99

too

_

Snirtj:

Korak 2. Proizvod:

-

r _______________

a*

ai ..

-

1-------

Suttia;

; 1

Komk 3. Proizvodi ---- l i

^

____ a> _

a1«£a* §2 Sn ma:

G Vi % 69.51 11)76 6.16 6.06 1 95 1.69 J.64 i 39 051 0.33 . ioo _

I

GV; %

KumiiLiifiv

69.51 J0.76 6.16 6.06 1.95 1.69 l.ć>4 1.39 0,51 0.33 300

69.51 B0.27 Xfi.43 92,49 94.44 96.13 97.77 99.16 99.67 100

157

OPERACIOm ISTRAŽJVANJA K orak 4

U ovom primcru, proizvodi grupt: A su: a^ i ei^. Proi/'.odi koji pripiLtli\jii grupi i) su: ath a: i a3r Svi osiali proi^vođi i/ proizvodrKJg astimmana su proi/vodi grupti C. U ovom prnneru, proizvodi gnipe C su: a*. aut a ;o, a p i a-. Na isi: načm kao U piimeni pod a) ^ Jinali/Ltii dobtjcni rczuEtiil. Prffli^r */.2 tJreduzcčc ’'Žitoprodukt". a.d, iz Kjragijjc\ca proi/vodi pci ra/ličitih vrsta pcciva koji sc distribuiraju u ôtovo sve prodavnice ûmadij&ko^ ok™ga+ MenadSment preduzeća 2eli da klasifikujc o\cr proi/vode sa d tjcm dti izvrši redcfinisanjc ohima proizvodnje, ?.a jcdan dan, ako ]e to poircbno. Kriterijum u smtiiLi kojcg sc vrsi klasifikacijn je obim iniinje. Obno tražnjc prve i dmyc vrstc proizvoda ne mogU sc laćtio odrediri. Obim traZnjc prvc %tsic proi7\'oda proccnjujc sc na osnovu podataka iz cvidencije, Podaci kojE se dobijaju u LVidencijij Su 204Sh 2062t 2052t 2060, 2032, 204H, 2064, 2042, 2064, 2054, 2060. 204ŠJ 2056, 2034, 2056, 2034, 2056, 2058, 2044, 2044, 2052, 202fi, 2066, 2036. 2062, 2040. 2066, 204&, 2056, 2052, 2052, 2066. 2046T2060, 203Sh2056, 2042. 2062, 2040* 2066h 2042H 2052, 203S, 2056, 2048, 2062, 2062, 2044 i 2052 Obim Lražnje dnigc vrete proizvix]a opisanjc slutajnom vcličinom koja ima cmpmjsku raspodclu. tako đa: d _ iono 1 ^ 0.1 proizvoda proizvođ:

isoo 1600 (900 2100 obim trai:nje svakc od prcostalih vrsta 0.65 0.05 0.15 0.05 j je opisan detenninističkom vrcdnošću i iznost /a trcći, ćetvttj i peti IS76, 2058 1 2000, rcspckttvno

R eše n je:

Obim iraznje p n e vrstc proisvoda m o/c d^ sc opišc slućajnom veličinom: Obi:n tražrvc (kom.)

Frcbfencija- fj

Vcrovatnoća- p ,

2026 2032 2034 2036 2038 2040 2042 2044 2046 204R 2052 2054 2056 2058 2060 2062 2064 2066 Sumn:

1 1 2 2 2 2

002 0.02 0 04 0.04 0 04 0.04 0.06 0.06 0.02 0 1 0.1 0,04 0 .12 002 0,04 0,1 0.04 0.1

L 1-

3 3 1 5 5 2

..

6

l 2 5 2 5 50

138

____

1

j

J

l'pravijanje zalihama Pomoću y

2

inožc da se pbkaze da jc empirij$ka raspođdajednaka tLOnmlnoj

3-a?;podeli za sluâjnu veličinu

d j kojom je opisan obim tra/njc prvc vrstc

proizvoda. Iz teonjc vcrovainočc je po/iaa(o da mtftemaričko očetivanje slučajne velićrne kojajc normalno rasjpodeljena jednaki.jš paramclru nortnalnc raspodele. U

ovom slučajii matematfŠko očekivanje slučajne veJicinc đ i t M { d \ jj- . Gdc x je srednja vrednost koja iznosi; 1 102546 x ^ ---(2 0 2 6 -1 + 2036-2 + .... + 20*6-5) = — = 2050.% 50 50 Obim tražnje drugc vrste proizvoda mozcmo da aproksiiniramo. takođe, dcterministiČkom vrcdno5ču k o jaje jednaka matematičkom occkivanju, tako da: M ( d 4 - 2 * f e 'P , =1000-0.14-, ,.. + 2100 -0 .0 5 -1 4 ! 5 L- !

Sada niože da se primcni A B C metoda. Korak L

Proizvođi-aj

Obitn tražnje (kom.) - d j

d j {%)

ai

2050.% 1415

2\.%2

1876

[9.96

2058 2000

21.89 2 3.28 100

% a* Sunia

15.05

9399.%

Korak 2, Proizvodi- a \

dj (%)

a^ at a* aj

21.89 21.32 21.28 19.96 15.05 100

^ S um a

Pnoij.vodi* 2. j aj ii

h Suma

di (%) 21 S9 21.82 2 1.2-8 39.96 15.05 100

}59

Kumalativ 21 #9 43.71 64,99

m.95 100

OPERAaOS'A iS T R A /;VA\'JA___________ ________________________________________

Korak 4. N;i osnoiri: gore spoveđcne analize skdi đa proiz\odi ynipo A su: a ^ , a j ,

i

Proizvod a^ pripada itrupi B. Dobtjcn Eezulta: poka/u]ti đa su gotovo svih pct vrsta peciva vrlo va?.ni /a produ/cće u smistu ki itcrijuma tra2njc, Ovo dalje znači da menadžment preduz^ća mora da obezbedi dovoljan broj prai^voda svakog dana na tržiStu kakobi očnvao konkurentnost Hrme, Nadaijc su prikazani rscki delermmistićki i stohastički mrdcli koji su najčcSćć ciisram u literatun

4.2 NEKl D E T E R M IM S T IČ K I M O D E l.r ZA U P R A V U A N JE ZA L IH A M A Prva istraživanja i prv| rezultati \z ove obbtsii rtzultat sy dali matcmatićke lnodclc u kojimii ke opcrišc sei poznatom tražnjom, 10 SU deLcniniaiftliCki m o d d l Ovo su sa današnjeg stanovjSta pionirski pokušaju d;i &e problem lEpravljanja /alihama matemaiizira 1 dalje da sc problem rcSava prcko po^natoa maiemaiićkog aparata koji, npr. Dozvoljav;i simulacije. Najramje poznata mcioda zn upravljanje zaliham datira iz 1915, a razvio je Ford Harris \t V/estinghouse Corporation i na^vana je Jeđnostavna formufo velićine serije [A], Ka.'inije je Willson postavio modci za upravljanje zalihama koji jc do skora 1111110 svoju upotrcbnu vrednoat.

C)d brojftih tictorminLstičkill mode]an u ovoj knj/i s l l prikazani sledecf modcti ([4], [5]): osnovni kondtinaltu dinamićki modeL modcl sa dozvoljenim kaSnjenjcm, mod^] sa kon.stantom trainjom i vremen&ki diskretan multiperiođm modcl zaliha,

4.2J OSNOVMIKONTINUALNI DINAMIĆKI MODEL O sn o v m kontinualni d m a m ič k i m o d d jc tc o n jsk t posrnatrati u ite p re k id n o m v rc m e n sk o m intervalu pcritxla u period 1 zavisc o d m n o g ih i’aktora. p rc d u z e ć im a koja sc m o d c m iz u ju ali u istorijsko m \ l log razloga j e prikazan*

m odcl jc r n em a sm isla zalilie /a to 5to se zalihe m cnjaju iz Ovaj m odel n cm a / n a t n j a u sm islu njeg o v značaj je v e lik i i

Pretpostavke koje se uvode 11 ovaj modci su: t. T ražn ja

je

p o /n a ta ,

detcrm inistiC ka

i

kdtitiaualna.

O d re đ e n a

jc

intenziteto m tražr.je, A koji p re d sia \ijji u a /fiju u jedinici vrem en a,

2. Isporuka (ili proi/vodnj;i)je odrcdcna intCn?.itctom isporjkc, [i 3. Je dinični

tro io v i

navake.

držanja

zaliha

lipcn ala

su

CyT h i

pt

r e s p e b iv n o , su poznati 4. T roskovi se nc mcitfflju U v rcm e n u t ne zavisc od kotičitic n aru č iv a n ja Z ađ a tak je da se o d re d i o p tim a ln a k o ličina n aru čiv an ja k o jo m se m in im iziraju ukupni troškovi u p la n sk o m p c rio đ u T. O va koliCma sc n a z iv a o p h m a ln a k o litin a n aručivanja i o z n a ća v a sc sa Q +.

160

£ pi avijanje

zutiham u

li:tt;gralni k r iic n ju m opiimalnosn je deflnisan k a o suma s î h tro sk o v a po jc đ im a vrcmcna: / T L=- cg + h Ju(t)dt+p |u( t )d: (4,1) 0

11 + u

t

Promena zaliha u vitm em i fraspodcla tražnje) ino*c tla sc prcdsiavi Uncamom Punkcijonv kao što je ilustrovano na slici 4.3. S:i S jc o/načcno stanje zatiha ncposrcdno poslc [Spomkc količinc Q. Vrcdnost B jc količina sigumosnih ztiiiha. Dva vrcdnosi se dobiia kao Q-S. mvo jl zaliha

(kom,)

T v rtm c (VJ.)

S liki j 4 i Raspodela tražnje u vrcmtnn

\Xi izrazom t, < t < t j + i j 4 tj

ufO ^ - B + (fj. —XXt “ lj “ t, - t i )

(4,2)

1, + 1, + t T < t £ T

\ l sličnosti odgovarajučih trougolova prcma slici 4.3 sleiii: t( =

s

.

i T T , J

S

Tt i n- x) ,

B T

B “

u

(4.3)

s

Zam erjujuči izraze (4.2) i (4,3) u iztzz (4 1) dohija sc izraZ za kriterijuma optimatnosti koji je Funkcija dve prom enljive, S i T:

L

. i t 1 g ^ i ^ ■[ Zl ? .(u -X )

l p 2

^

- p [i

s

y

161

(4.4)

OPERAOOKA I S m tŽ /1 'A \ JA

OptimalniTi rescrtjt; se nalazi i?. tislova minimuma kritcrijiicna cptimalnosti. Kuko su ukupni troSkovi (4,4) fbnkcija dvc promealjive poueban i dovoljan uskiv da funkcija (4.4) ima ekstrcmnu vrednOSt je da posloji nula pn ih pareijalnih izvoda: f . , 5 . i f l ± 2 L p =„ dS T \ - 0 i - A )

,4 .5 ,

^ = . i ° - _ L . sVth + pK j., p , dT

T

2 T

X -(fi-X )

2

=o

(4.6)

[i

f + *\ Rcšavanjcrn jcdnaćina (4.5) \ (4.6) dobjja sfc upiimalno rescnjc '^S , T OptimalTii nivo do koje^ sc vrii dopuna je: s* _

f2X c 0 ( l - A . / n )

\

(4.7)

h(l + h / p )

Pcriod naručivanja jefr

_*

[2cnTi + b / p T

T

( 4 -8 )

Opiimalna količina naručrvanja jfr Q *= X T ’= , B

S p S

(4.9)

LJkupni troikovi su:

— — ---------— \ S+ h /p

(4.10)

Primer 4.3 Fairnaccutsko prcduzcće "Gabnika", Ihl proizvodi lck protiv bolova - Bmfen. Ovaj lek se distribuira svim veledrogjnama u Sibiji Dnevna tražnja za ovim lekom iznosi 20 kgha pnoizvodnja je 50 kg. Jcdinični troSkovi usled postojanja zaliha su 2S, usled ncđosEatka zaiiha 32$, Jeđinični iroškovi pmizvodrtje iznose 10S. Potrebno je: a) odrediti optimalmj kolićimt proizvodnjc b) ukupne troškove zaliha

Rešenje: a) Opnmalna knEičina proizvodnje je jcdnaka kolitini koja sc akladi^ti u skladište finalnih proi/voda cazmarrane kompanije, lako da:

f.p ravljanje sa lihatmi

, T . _ j a c . M l + h / p ) _ f c i o m k * 2 3-2>

„. Q

" X T

~i

h (] - x , »

-

*

f*50 f i s

~ 23 2 7 k s

b) UkiipnE iroskovt zaliha su: L-_ '

<2Xc 11h ( l - X / u y _ f 2 - 2 0 - 1 0 - 2 - ( l - 2 0 / 5 0 ) ^ IT 8 0 ~ \

I + h /p

\

1 + 2 /3 .2

\ L(i25

r ‘ ‘

4.2.2 MODEL SA DOZVOL H-NIM KASNJENJFM Modcl sa dozvoljenim kaSnjtmjcm je spccijalan slučaj osnovnog koniinuaEnog dinamičkog mođela U ovaj m o d d uvode se siedeče prctpostavke: L Tra2nja je poznata. cleterminisiička i fcontiouaina. Odredena intenzitetom tražnjc, k koji predstavtja tražnju n jedinici vremena,

je

2, lsporuka je tenutna (A 3, Jediničn] troSovi nabavke, drčanja ?a3iba i penala su

c fll h i p,

respektivno, su poznati 4, TroSkovi se nc menjaju u vremenu i ne /;tviSLf od količinc n arjtivan ja Promena nivoa zaliha u vrcmenu pri tremimoj isponici je opisana lineamom funkcijom koja je ilustrovanfl na slici 4,4,

fMVO ZALDtA

VREME

SHka 4.4 Prvnn’rui rtivoa -dliha u vrtrmenu p n inrmiumj ispontci

Procedura nelaženja optjmalnog reSenja je potpuno ima kao kod preifiodno anali/iranog modela. Optimalno rcSenje se dobija kada ne u lzraze od (4,7) do <4.10) zamcnt { \ f n ) ~ 0 Ttako da:

163

OPERACIONA fSTRAŽfVAMA Oplimalni nivo ko kojcg sc vrši đopuna je: — x r ii_ ¥ hO + 1> p)

(4.11)

Period naručivacja j c * _ f 2crj{l +h 1pT

V

(4.] 2)

Xh

Optimalna vrcdnost količine nanjčivanja dokija se prema i/razu: C4J3) OptLmalna vrcdnost ukupnih iroškova zalih.a po jed in k i vrcmena je: L-_

;2Ace h

(4.14)

V i+ h /p

Primer 4.4 Kabnka sokova "Next" kom ti mcsečno 27000 boca za njihove proizvode. Menadžeri zaliha su liminrati zalihe boca na 4000 komada Jedtnični iroskovi usled posiojanja âliha u toku meseca su 1.8 dinara, jedinični troskavj nanićivanja iznose 60 dinara^ Kompanfja radi 20 dana mewčno. Potrebno je odrediti: a) koliki sujedimćni Ko£kovi usled nedostackd zahha b) Menadžer preferira da naručuje 10 puta tokom. meseca, postsvlja se piianje da li ćc ovo promcniti optimalnn koticinu narufiivanja

Rešenje: a) Nivo đo kojeg se vrši dopuna jc u ovom primeru timitiran i i^nosi 4000 komada. Prema i?razu (4 11) mogu da se izra£unaju jedimčm tTDŠkovi usfed ncdostaika ialiha (penali)’

b) Izračunajmo p n o pcriod narućivanja; T

. _ f2c„(l + h / p j _ | 2 -60 (1 + 1.8/2.02) - - 0.068 Xh V 27000 1.8

M

Upmvtjanje zalihuma

Kako se radi 2U dana u mcsccu. to znaći da pcrioti naiofivfiiija i/nosi: 0.068 ■20 - 1.36(5^5 = 1.37 dana. Optimalna koliČina naručivanji je; q.

p c aX(i + h / p )

j22^■660 0 _■27000 ( l i - 1.8/2.02)

1.8

- 1844.98

1845 komada.

V h Kako se broj n&nižbenica lokom perioda naručivanja (jcdan mesec u ovom primern) računu kao: iedinična isporaka opiimatna koli£iua=27000 1845^14*63 Ako smanjimo broj naručbenic;i iokom mesticjt na 10* kao SlO se zadatkom traii, sledi da je optimalna količina naručivanja jtfđnaka 27000-10-*2700 komada. Ovaj rezuitat pokaznje da se znatno menja koliCina namčivanja

4.2,3 M ODEL SA KONSTANTNOM TRAŽNJOM Klasičan model s;i lconstantnom iražnjom je najjednofitavniji mode] zaliha. Često se u ]iterature nalazi pod nazivom modet optitoalne količim nantčivanja ili mođel aptimalne veličitte serije kada se govori o zalihama finalnih proizvoda. odnosno proizvodnim zalihama, respektivno. Ovaj model jc takode specijalan jiiučaj osnovnog konnnualnog dtnamičkog modela. L ovaj modcl uvode se sltđeće pretpostavke: L Tražnja je poznata, detemuntsti£ka i koniinualna. Odredena inLenzitcrom trainje, X koji predstavlja rraznju u jedinici vremera, 2. [sporuka je tenutna ( A .

je

)= 0

3, Nedosiatak zaliha nije đoz\o!jcn, tj, tražnja u potpunosti mora da bude 4, JediniĆni troSovi nabavke, drânja zaSiha i peuala su

c [(, h i pT

respektivno, su po/nati 5. TroSkovi se ne menjaju u vremenu i ne zavise od knliiinc naraČivartja Promena nivoa zaliha u vrcmenu pri trcnutnoj ispomei je opisana Mneamom funkcjjoin kojfl jc iJustrovana na sltci 4.5, +KiVOZALtHA

T

ZT

VTIUME

Sfika 4.5 Prom em nivoa zaliha u kiastćmtm ntodeiu sff koit.?(cn?nom tra*qjam

OPERACIGNA ISTRAZlVANJA Proctn'dura nalaženja opiimalnog reSeuja jc polpuno ista kao kod piethodno analiziranog cnodela. OpLmalno rcšenje se dobija ki'ida sc u izra/c od (4.7) do (4r|0 ) 7-aiTieni (X^ju) = 0 j ( h / p ) ^ 0 tako & a OpUnialni nivo ko kojeg se vrSi dopuna je;

n

* t2Xcf\ S = J ----- ^

(4,15)

Period naručivanja je:

r2Ci

T* = m

{4.16)

Xh

OpLiniaJna vrcdnost lcoličine namčivanja dobijn se prema v&zzu: Q *= iT v E a * \ h Optimalna vTednost ukupnih troškgva zaliha po jcdinici vremenaje:

< 4 ,7 )

L’ s ^ / a c o h

(4.1S)

Primgr 4. J) Lokalni distributer za nacinalnu naftnu kompaniju (Naftna industrija Srbije-NIS) očekujc da proda pribElžno 9600 t nafte za itarednu godinu, GodiSnji jeđinični troSkovi zaliha iznose 16 eurat i judlničm Itoskovi namčivanja su 75 enra, OisLributer radi 28S dana u godini. Potrebno jcodrediti: a)optimalnu koiičinu naruiivanja b} dužinu ciklusa naruftvanja c) broj narudžbcmoa u jednoj godini d) vrednost ukupnih troSkova caručivajija

ReHnje: 3} Opiimalna kolićina naručivanja se račima prema tzrazn 14 ,17): h

\

16

b} Dužjna ciklusa naructvanja se raCuna prema (4. ] 6): T* = f ~ ^ = J -

V ih

2 ' 75

v 9600 16

= 0 .0 3 1 2 5

Kako jc broj radnih dana u jôdini 2SSLtada vreme između dva ftkmfiivanja iznosi: 0 . 0 3 12 5 ■2 8 8 = 9 radn ih dana.

c) Hroj nanizbenica u toku jcdne godinc sc računa kao: 1 6 6

L'pravljufijf ztiiihamti jcd inijn a isponrie&optimalna kolićma narućivanja -z

=^ -

d | Vrcdnost ukupnih troškova zaliha je:

L = < j2 k č ^ ii .= V 2 ■9 6 0 0 ■75 ■16 = 4 8 0 0 eura.

Razinatrajmo odnos troskova zalilia k a d aje dozvoljcno kaSnjenje L ( s ', Q ') i knda n ijL ’

dozvoljeno kašnjetije I * ! q ) pod pretpostavkam d:i je tiabavka (rcnuina

(X /n )= 0 ; L-(S*.Q‘ ) / L - ( Q * ) = ^ ' ; ' 1 \l+ h / Knko je

(I+ h/p)>l

^

sleđi

da je

vrednost

L' ( ( / )

— -— <1,

^ 1+ h/p

odnosno

L" (s **Q*)/ tJ^ ( q +) e (0,1). Dobijeni rezultat pokazuje da su troškovi /aiiha kada je dozvoljeno kašnjenje uiži ncgo kada nije dozvoljeno kašnjenje. Ova analiza ukazuje na interesantan fenomen: kada je dozvo3ji;no kaSrcjenje tada posioje troškovi usled nedostaika zaliha koje đeie viasnik zaliha (proizvodno skladilte ili distributivni ceniar) 1 konsnik zahha (distributivni centar ili krajnji potroSači). Drugim rečimaT partnerski odnoa viasnika zahha omoûdava da troškovj penala a samim tim i ukupni troSkovt budn nižt. V novim konccptima upravljarja polazi se od pretpostavkc da postoji partnerskt odnos između u t a n i k a u proccsima rada. Odnos troSkova zaliha kada je dozvoljeno kaSujcnje r kada nije dozvoljeno kaSnjenje zavisi od jediničnih troSkova usled postojanja zaliha i jediničnih trožkova pcnala. Razmatrajmo slučaj kada jc postojanja l * (s

zaliha

(nprr

* ,q ‘ ) ; l * ( q * ) - »

o

h > p , Sa povećanjcm jedinifnUi troškova uslcd usJed

povečanja

iroškova

skiadi&tenja)

.

U Tiiodciima koji opisuju rcalati problem upravljanja zalihama cesto sc uvodi pretpostavka d aje p>h. Kadajedinični troškovi u&led nedostatka zaliha rastu (npr. nko se zahteva strogo poštovanje ugovorenih rokova i kolifina) tada L* (s ‘ , Q * ) / L * ( q * ) . + l , o d n o s n o L* ( s " , Q * ) * L* ( q *). Preipostavka da je traznja izvesna, deterministička i kom irualna nije realna za preduz.eče koje funkdoniSu u rcalnom poslovnom okruženju Medutim, u morijskom smislu, prikazani modeli imaju vd ik i znaSaj jcr problem upravljanja zalihama je opisan formainim jezikom i rešenja se tialaze cgzaktnim putem.

16 7

OPERA&ONA ISTRAtlVAKM

4.2.4 VREMTNSKl DISKRETAN MULTIPERIDOKT MODELZALJHA Ovaj tnudd jc neSto slo/.i^niji od prclhođrto opisartih triodcb, koji (iikuđc piLi|>acla klasi detenuini&iilkib modcla, I*rctpostavke kojc se uvode u ovaj modcl su: !. Vremenski horizoot u komc se vrši upravljanjc podel|en jo u k jednakih vrcmenskih imcrva!a (k-rl,2 ......K} 2, Obim traznjc u $vakom dLskretnom p£r:odu \remcna jo poznaia i označena je sa v

{k -

K)

3, Jcdinićm tmšovi držanja zaliha i penala u k-toni periodu ( k -] ,2 1...,K) su t Ir h *p ' . rc&pektivno. su poznaii 4, TroSkovi se ne meitjaju u vrememj i ne zavise od koliiine nantčivanja. Sa S ( k = l,2 ^ .,iO je o^nacen nivo zaliha u k-tom periodu (k -1 ,2 ......K> nepo$ređno po&le primljeite poniđibine, Nivo ?:i!iha u k*:om periođu {k-L2,. ...K.I ■ “ * "tf tieposrcdno pve primJjene ponidžbinc je oznaćen kiso ?. (k 1,2......K) Optimalan kriterijum optimalrosti se Opisnje funkcijom koja predsta\rlja srednju vredlbOSt ukupnih troiko\ a za ceo vremenski horizont upmvljanja, Foitnalni zapis kriterijuma optimalnosli jei

L = ^ ( h k-{sk -

v k

)-s-pk (sk - z 1 )), S‘ > z i

(4.19)

ll-t

Otiigleđno je da je ovo siučaj vifieetapittog proc^sa, tako da nalaicnjc opttmalnog rejScnja zastnovano je na metodama dinamiĆkog programirjinja, Metode dinamičkog progTamiranja zasnovane sun a funkcionalnim icdnačinama i principu opiimalnosti. 2a futikcijn (4,19) raogućeje odrediti transformaciju L*K k (z k”' ' ,) 1

......IO I

zato je mognće pstaviti funkdonalnu jedxia£inii (u ovom slučaju rekurentrHl rtJaciju), koja omogućava da se dodc do opnmalne stratt'jUft; upravljanja. Drugtm rećima. reSenje rekurenme jednacine predstavlja oplimalno rešenje

[-V „
■( s ^ “ -

) + p * * ■(s*1-* - zK"1)) h L ^ ( S K’k - V * ) .

(k“ l,2......K)

(4.20)

Prethodna jednaiina (4 2 0 ) ôvezuje minjmalne troSkovc u prethođmh (k-l) periodii i k-tog perioda Zavisnost i/među nivoa zaliha posle primljene \ pre primljenc porjdžbine prikazanajc izrazom (4.21).

168

L'prgvijanji- zahhama

v ' s s ‘ s 2 ] v ' i 0 S z ‘ <2_,v* , nj k

(4.21}

Optimalna rc&enja dsia su izra/om (4.22), 'jnK-k < v k1 ( s K ‘ k ) ’ =1 (s-r-l ^K-k > v kjM

2 k || < jjk-« ; (4.22)

^

U porfđtnju sa osnovnim kontinualniTn dmamičkiin vnemenskL diskretan rnultiperiodni mođel zaliha na ho!ji i realniji načir opisuje problem. Kod ovog modcla zastuptjen je prineip adaptivnosti za preiposta\ku o tražnji+ Preipostiivka o po/naioj tražnji može se smatrati lačnom ako jc vremeski period k (k-I.2,...,(C) dovoijno mali.

4J O SN O V N I S T O H A S T IČ K l M O D E L I ZA U P R A V L JA N JE Z A L IH A M A

Rj^voj teorije verovatnoće je omogućjo đa se mnogc vebčinc koje egzi&tiraju u modclima zaliha opiiu na rcabiiji način, pomoću sJuČajnih promenljivih. NajicS-ćc sc trainja u ovim mođclima trctira kao stohasiićka promenljiva. Zadaci sa siohastičkom tražnjom su ođ vcćeg praktičnog znacaja Proccdura nalaženjft optimnluog resenja rahkuje se od procedurc koja jc i/lozcna pri rrctiranju deicrmintstičkih rnodeia. Stohastiild modeli za upravjjanje zalihama [7] koji cc bid prikazani u ovom poglavlju odnosc se na vremenski điskretne sistcme koji se opisuju viSeetapnom transformacijom: x { k + l) = T ( x ( k ) .Q { k ) ,u { k ) )

(4.23)

gdc je: x (k) stanje sistem a u M o m im erv alu Q (k) itpravljanje, tj. koJiĆina naruiivanja u k -to m ti (k) neizvesna tražtija \ ( I ) zadato stan je sistcm a za k ^ l

intervalu

Vrcmcnski horizont T u kome se vrši upravljanje zalihama diskretizovan je na K. jednakih vremenskih perioda. k~3T2 .... K,

4.3.1 MODEL PRODAVCA NOVINA SA KONTINUALNO RASPODBLJKNOM TRAŽNJOM Pretpostavke koje se uvodc u ovaj rnodel su: l, Obim tra^nje je neizve$na veličina koja se opisuje funkcijom raspodele verovatnoće, O (u ( k ) ) . odnosno funkcijom gustine raspodele f (u (k))

169 L

OPERACtONA tiffRAttVANJA 2, Vrednosti jedmičnih troSkova^ naručivanjo. držatija znliha i medostatka zaliha, c ^ ^ h . p , respektivno su deterministićke vcličineza svaki ;>eriod k. k- 1 Krjtcrijum optimalnosti jc dcfinisan kaoukupni iraškov i /alfha. OCektvani iroškovi su funkcija koliijine naručivanja ( k ) i predst;iv|jaju se ic xtkh-y(t)

L = Ž c,-(Q(k))+h' k" tm + p

J(Q(k)-u(k))-f(u(k)) du(fc)+ -•

’(4.24)

J(u(k)^Q (k))f(u(k))d u(k)

uM'Qrk i m

Optimalna kolifinm naničivanj:{,Q ^k) se nalazi iz tislova minimuma oćekivarsiK ukupnih troškova Taliha: dL

K ¥ k = Co+ h - X J f(u (k ))> d ii(k } + p £ Jt'(u(brt d u (k l = 0 , (4.25) H 1*1 tfkr+0|kj

Ako posmatramo niimčivanjt: .siimo u jednom periodiu tada uslov â nalaženje w opiimalnc koJičine naručivanjii, Q , fomialno se predstavlj^ i/razom: x
~ ^

u=o

oo J f ( u [ k ) ) ■d u(k)

(4.26)

xttHQGH

Ako pretposiavimo da j e početni nivo zaliha jodnak nuli+tj. v ( l)=0h’ada optimalna kolifina namCivanja odreduje se prema izrazu: * j _ = C 0 + b -JO,)* - P ■§ - 4*(Qk )j = 0

(4.2?)

odnosno ® (Q k )* = £ - % p+n

(4 28>

Kada je <1> sirikmo rastuća funkcija, tada postoji jedrnstveno rcšer.je: \ "1 P - C p

(Q k) = ®

(4.29)

l P+ h

Ako i/ostavimo preiposiavku da je poCeini nivo zatifca jednak nuli, tnida na pocerku penoda postoji nivo /aliha K (j(k) . J-ako se pokazuje da jc rešenje tada

Akoje X [)(k) < (Q

) , treba noinčiti (Qj< ) ^ x q (k )

A koje x 0 (k) >(Q-t ) ne treba vriiti narućivanje.

170

Uprgn’tjanje zaiihama

llustrujmo sad
vreniLiiskom Puasonovom

f ( u ( k ) ) = \ k - e ' Xfc‘^ k '

(4.30)

gde jc intenzitet iračnje u pcriodn k ( k - 1

)

ozti&tčn ktiu

Zamenjujući izrjz (4.30) u (4.26) dobija se: -i, •* = +h - e ^ ' utt> d u ( k ) + p |Xt e"*1 u~0

.

du(fc>

(4.31)

ReSavanjtrm jcdnačine (4.31) dobija scr (Q k f = - i - - I n ^ ^ - - x ( k ) n+ p

(4.32)

4.3 2M ODHL PRGDAVCA NOVINA SA [?ISKRHTNO RASPODELJENOM TRAŽNJOM Ovaj model ie u lilersturi čcslo sreće pod nazivom sikretni stohaslički model zaliha. On je razvijer. na slcdcćnn pretpostavkama: L Obim iražnje u sv a k o m periodu k ( k - 1 .2 ,..nKi je ncizvesna veliiina koja j e opisan diskretnom sluCajnom prom en^jvom . R a sp o d d a verovatn oće trainje,

( u ( k ) l je p ro ijv o ljn a diskretna funkcija

2. Vrednosti jeduiičnih troškova: naručivanja, držanja zaiiha j ncdostatka zaliha, CQ,hnp , rcspektivno su determirrističke veličine za svaki period k, k = lt2,f^ 3. X o (k )je nivo zalthilU piriodu b (k- 3,2.....K) u [renurku naričivanja Nftdalje će da bude izlozen posiupak odredivanja optiniatne kolićine namčivanja, Q i kada se p b niia samo za jcdan vremcnski period. Evriierijum oplim alnnsti j c deftJHsan kao utupni oćekivani Iro9kovi:

L(Q»*») = c 0 ( Q - X«)+ h 2 ^ (Q -u )rp { u )+ p ’ £ ( u - Q ) p { i t ) untt U=0'l

(4.33)

Funkcija L { Q ^ o ) j e diskrelrji i njena eksiTcmna vredrosi ne može da se dobije iz uslova da jc prvi parctjalni izvod po protncnljivoj Q jednak nu!i, već se prisiupa analizi ovc funkcije saciljem da se odredi njen ekstrem. NapiSimo iira 2 ukupne očekivane troik ove kada se koliCrina narueivanja poveća za jcdan+ ij. sa Q na (Q + 1): o n g + u ^ c ^ o + i - j o + h ^ t g + i - u ) p
OPEUACIONA fSTHiZlVAhiJA Nadatje će da buđe piika 2 an posmpak jziafiunavanja promenć vrcdnosti ukupno očekivaniii trolkova kojt se ostvare kad:i jc količina naručivanja Q ’ I i Q. A L ( Q \ x yH , ( Q + U v )-L (Q tx*)

(4.35)

ili u razvijenom obliku:

0 A L ^ g J e p , + h - ^ ( Q + I - u) p ( i n - ^ ( Q - u) -pfu) Q

u-n

(4.15a) r >

p

—

^ ( u - Q - I ) p ( u ) - ^ ( u - Q ) p(u) [ u:<3+; «"0*[

Transformisiuio sad(3 drugi član istraza (4,3 5a); ^ ( Q + l - u ) p ( u ) - ] > ] ( Q - ti)p (u ) = u-t> u-0 4

(Q + l - u )-p (u ) + p ( Q ) - ^ ( Q - u)« p ( u ) -

(4.JĆ)

ii■u

p(ul + p(Q) = ^ p ( u ) U-fl

Troći člau i m / a (4.35a) m o/c da se toUfefomiiSe na sterieci rificin: »

oa

^ ( u - Q ’ l) p ( u ) - ^ ] ( u - Q ) p(u) = u-C+I M-O+l £ ( u - Q - l ) p ( u ) - ( £ ( u - Q ) p (u ) + p ( Q + D p*Qt2 u>^*3 *s

-

X

u=Qt!

«

(4,37)

Q^

p(u >- pCQ+1) “ - 2 p ( u ) = 1 _ ) l - p(uj «=0+l uM)

Zamenjujuči izraze (4.36) i (4.37) u (4.35a) dobija AI(Q*. *0 >= C0 + h • £ p(u) - p + p £ p(u) u=0 uMJ

(4.3S)

Procedura izračuoavainja razlike ukupmh iroskova zaliha kadii sc naručuje Q i Q-1 koliČina proizvoda je ista kao pK'thodnorn slutajn, tako da: A L ( Q ' - l P\ 0 ) = c * + h ^ p ( u ) - p + p ^ p ( u )

u=o

U.l[>

172

(4.3P)

l.-pravtjmje igtihania Kako ji; AL < 0 za Q- 0 i, AL > 0 / a Q - > » stodi da jc o o A L (Q ' tx 0 ) - c 0 + h X P C U ) - p + P (u )S 0 U=u HoP 0-1

(4.38 b)

Q]

AL( Q‘ - }>X0)=C0 + h ^ p ( i i ] - p + p

u=fl

(

4

.

3

9

b

)

u=n

Proma izrazima (4.3Sat i (4.39b) slcdi

'kr

P~c»

v-

U ^l

J

v---Q

(44(,>

N ei osnovu izraza (4.40) moče da se zakijuči da količin;i naručivanja zavisa od troSkovnih paramctara, Model 4.3.2 koji jo razmćitran može dćt budc modifikovan u s Iučeiju kadći jc tražnja opuana kontinualnom sluCajnom vdičinom . Zadat^k sc dcllnisc na slcdcči načm: * po(rcbno jc odrediti optimalnu koltfinu narucivanjii, Q , prcma izrazima: p (d s q

* ) = ^ i ai p+n

p (d ž q

*)= p- ^ p+h

Primer 4,6 Turistička agencija "Compas" KjaguJevća šest mescci pro početka sezone trcba da rc/crviê sobc u Paraji na Tajlandu. TroSkovi rczervacijo iznose 50S po sohi. Ova tmistička agcncija nc može sa sigumošću da zna koliko ćc soba u nastupajućkoj turistićkoj sczoni da bu dn potrebno* Vctujc, d a je tražnja za sobama raspodcljcna po normalnoj raspoddi sa matcmaličkim očekivanjem od 50 i standardnom dcvijacijom !0. Ako jc broj w b a vcći od rc/irrvtsanog broja, agencija ima mogućnost da obczbcdi sobe u susednom hotciu po ceni oc SG S po sobi, Takodc, mora da plati još po 10S pt> sobs suscdnom boteln kao taksu. Odrcdili optimalan broj soba koji treba ova turisiifika agcncija d;i rczcrvLše za nastupajuću turifctftku sezonu, ^

Rtšenje; Ncka sa D C2načimo traznju koja jc nonnaino raspodcljcna, Prctpostavimo da je inižnja vcća od rezervi$ano£ broja soba. Lf ovotn sktiaju javlaju sc samo jcdinični iroskovi rczervacije i jcdiniOni iroSkovi uslcd nedosiatka zaliha, Jcdinični troSkovj rc/ervacijc*cc = 50,jcdiničm troškovi uslcd ncdostatka zahha su p^80S+10S -90S. Optimalan broj soba koji ova tui istička agcncija trcba da rczerviSe raćuna sc prema L2ra2u;

? (d Ž Q ' ) = v ’ p+h odnosno P (d

ž

90

° = 0.444,

Q*) - ! - 0.444 - 0.5S6.

173

OPF.RACIOHA ISTRAtlVANJA_________________ ________ ____________________

U tabeli za vrcdnost fnrkcije normalizovanc nornutinc raspodele sicdi d.i je: —

10

^ = 0-14,

orinosno Q ' = =5lA sobc,

Turistićka agencija MCompas" trcba da rezcrviSc 5] sobu u Palaji mnsnčku sezonu

[larednu

LTTERATUltA f l] [2] [3] [4] [5] [6] f?]

ĐcrgHJ.P., and Zijm, W.H,M. (1996)* Modcis for warchouxes mtiftagement; dassification and šXamplts^ publication at 10-th ISIR, Hudapest VujoSević, M. f 1999), Operaciona Istraživanja - itahram poglavfftf, Fakultet orgiinizacionih nauka, Beograd. Chickan, A, (1996)T Aiathematical Modcls for Inventon Connol Munagementt TSIR. Publicaticn, Budapcsi Galovilj- D. (2001)„ Upravljanje proizvođna ciis'frifmtivnim sistemima, URiStvo opcractonih istraiivaća Jugoslavijc {HOPIS}, Ikograd, Pctrović, R., Scnboan., A.h and Vujo&ević* M., f 1986): Hirerachicoi ittVentory Conrrof Svstems, Elsevicr* Amstendatn, HadelyTG rTarid Whitins T.M. ( 1963), Aitufvsti C flm vrtton' Svstcms., PrenticcHallt Inc, Eng]cwood clifts, N.J. Pctrović, R., i Obradović, D. (1986): Vedati novi adaptivniaigoritam sa tieizvesnim uiazoni’\ Sunpozijum jmeligcnmih sistcma'86 (d. Ćećc;!Kccmanović, cd.), Sarajevo.

174

Rednvi Cekanjct

5. REDOVIČEKANJA |>a bi dpisali nedo\e čekanja ntophudno je da budu Spccificirani procesi ulaza (dolaiaka klijenatal i procesi iztaza (procesi servisir*inja ili procesi opsluživanja) Neki primeri o v ii pnocesa su dati u Tabeli 5 L 7aht.'fu 5.J Pnm eri procesa u rethvim a čekanjd

Sttuaciia

Procesi ulaza

Bsinka

Dol:i/:ik kLijcnata u bsnku

Rcsiorari

Primanie z a h tra lspomkom Brodov; koji su po\ jčen: sa plovtdb« t posta*i su na remont u brodotiradiliiie

nradograddište .

^roizvotfna haia ili sktadiSte

Traiispo: tnc ;cditiice
Proceti tzhtza Pu;huijc uslugt: kJijentimaod Stranc bhigajnika Pnažanjt; u>Wa Brodovi sti remontovani i s raticni r.a nwre Opsluživanje ^TJjpomoeu urcđaja 2a opsluživanje i poslc zavrSerka opnluživanja, TJ napuitaju sistc;rn

l iazni prncesi Ui proccsi fl«Ia/aka. Postoje dvc uobiČajne situacije u kojima procesi dola/iika mogu da ise od broja kJijenata. Prva sifuacija, je kada se j;aključci 0 procesima dolazaka donose na osnovn uzorkii koji je izvnćcn iz male populacije. Na primcr. preiposiavimo da postojc samo L’etiri broda u brodogradilišm. Ako su sva četiri bmda na remontu, tada sc nijedan brod ne m o /t aualizirati ti bliskoj budućno&n Sa druge strane, ako su s\a čeriri broda u plovnom stEi\jut tada postoji velika vcrovatnoća đa će oni tnoći da se analiziraju u biiskoj btidučnosti. Modeli u kojima su proccsi doly/akii aimh/irani na osnovu malc populacije su nazvani modvtima konacnćg broja. Druâ situacija. u modetiranju proeesn dolazaka je kada intcnzitet prijave klijenaia op;ida r.a prcpunom mestu opsluživvnja (servisiranja), Na primcr, ako je parking banke prepun, klijenti se vračaju i doći č t u banku nekog d rjg o " čana. Ako je klijent doiao, a nije motâo da bude uslu/en. tada kačemo tta jc klijem bio sprcčcn Ako proces dolaska nije ustovljen brojem klijenaia. tada laj pmces opisujemo pomoću odgovarajuće raspodelc vcrovatnoćc vremena i/m eđu dva dolaska. Pmcesi izla/a ili procesi opslufivanja (servlsiranja). Opisivanje izlaznib ptocesa ftcsto su tiazvani proccsi servistranja) rcdova Čekanja, podrajtumeva odredivanje raspodcle verovatnoćc vreincna sarvisiranja - kojim se opisuje vreinc opstuživanja kiijenata. L mnogtm slučajevima, se pretpostavlja da vreme Opsluživanja je velićina kojii ;c ne/avi$na od broja klijenata. To na primer implicira da serviser ne može da radi brže kada vise klijcnsto čckin 175

OPERACIONA ISTRAŽIVASM _____________

_________________

Postoje dva uobiČajna načina sen'isifanja: { I ) servisirEinje je paralclno i (2) servisirattjc je rcdno. Servisiranje ApsJuŽjvanje) je paralctno ako postoje više servisera koji obltvljaju .saino jcdan tip usluga i bilo koji serviser možc da prti^s uslugu klijenm. TipičaH ptimcr za ovaj izlazni proces su pru/anjc usluge klijentitna u fcijnkama od Štrane btasajnika. Proces sem sfi-anja j | rcdni, ako klijent mora da prođe kro? nekoliko scrvtscra prc komplcltranja cclc vslugc. Linija monfeže je primer rednog sisfema Cckanja.

Discip'lina reila, Disciplma reda je metod koji sc koristi dy se odrcdi rcd u kojcm sc kfijenii opslužuju. \x jedinstvenog rcda tekanja kiijenti aa opyli:žna mesta prelaze po nekoj od sledečih disciplina [l]i - PIFG - prvi kiijent koji dode, prvi se opsluûjc, - I,JFO - poslcdnji klijent koji tiode, prvi sc opsiuŽLije, - STRG - slufajna disciplina- rcdoslcd opsiu/ivanja se odredujc na slučajan način ismedu svih prisutnih kiijcnata; vcrovatnoća izbora jc jcdnaka za sve prisutne klijente, - PRl - diBtipljna prcmy prioritetu moê da bude određena prcma najkraćem ili najdužem vremcnu opskiâvanja. lipu klijenata, itd; kod pojave jcdinicc sa vtšbn prioritetoni mogu da nastupe dva siučaja: a) produžava se več ztipočeti proces ^psluživanja i po njegovom završetku bira se klijent sa največim prioritetom, b) prekida sc zapoceti proces opsluživanja, klijent sa mesta opslu£ivanja sc vraća u red cekanja. a ptihvata se priaritetni kiijent. (Cod sistcma sa vise redova čekanja \zbor dtsciplinc u svakom pojcdinačnom redu eekanja isti je kao i kod jcdnorcdnih sisLeina čekanja, a!i sc mogu pojaviti i druge mogućnosti, PrvroT klijcnti tnogu da sc klasitlkuju pKJina mestima opskmvanja i dnigo, ukoliko postoji više rstih katiaia za opsluživanje klTjenii mogu dći se prikljuee tanto gde $u najkraci redovi Čekanja. Ovaj proćes nioê da budc slučajan ili da sc ponaša prema usvojenoj discipUni rcda čckanja. Isti autori [i] ističu da dva ztiačajna fenomena mogu da budn prisutna u sistcmima redova ickania: L kiijent se ne priključujc redu koji ima veću đužinu od neke unapied 2adate dužine, 2. kiijent napuSta red, poSto mu sc prcrhodno pnkijučio i čekao red.

5.1. MODELIRANJE PROCESA ĐOLAZAKA Kao 5to smo ranije napomcmsli, prctpostavljamo više od jednog dolaska mo£e da se javi u unapred zadatpm vremcr.skom intervalu. Keka sa ij btide označeno vreine u kojem če i-ti klijem da đodc. To jc llustrovano na slici 5.1,

1^3

t: = Š

Slika 5.1 De/inicija vrememkih itiiervala 176

&=0

Hedfrvt čekanja Za i s ] , dtinniSimo T , - i l+ |

t,. Ovo vromc predstavljo viemc izineđu dva

đoJaska klijenta. Prema stici 5.1, sledi da je

\\ = 3 -3 * = 5 i T> = 15 —S = 7 . U

moddiranjti procesa dolazaka, mi pretposiavljamo da su

1,-ovi

međuaobiio

nezavisni* i neizvesmi. Njihove vrednosti su opisane koiuimialnim slućajnim vclicinama. Neka je neprektdno slueajna pmmcnîva ozna£ena u daljcm ieksm kao X. Pretposiavka o njihovoj medusobnoj nezavisnosti* na primer* znaii đa vrednost T2 nema uticaja na Vrednosli T3.T4 ili na ncku kasniju vrednost T,. fetpostavkft da je T. kootinualna sUičajnu vcličma je obicno dobra aproksimaeija realnosli. Ova pretpostavka imphcira da vremc dolazaka klijcnta izraŽeno u danima ili ncdeijama. Ovo je pretposiavka o stacionamosti \tem cna dolazaka. Ova preipostavka jc iesto ticreaina, aii mi moramo čcsto da aproksttniramp rcainost tako što vrSimo diskrctizaciju dana na scgmente U švakom scgmcntu dana vreme između dva dotaska jc stacionamo. NajčcSče se vrcme izmedu dva uolaska u rcdovnna ćckanja, opisujc slućajnom vcUčinom koja je cksponcncijalno raspodeljena* Nfadaije će dctaljno da bude pnkazana ova raspodela. Za slučajnu pronicnljivu X kažemo da je eksponcnetjalno raspodcljcna ako je funkcija gustrne raspodele: f(X ) = J X e A' 1

,ž 0 (I

(5.1) l <0

gde k > 0 Fudkcija raspodcrie verovatnoče slučajnc \eliiin e X jc označcna kao F (X). 2a l<0T F(X)^0. Za 1 > 0. F (X) sc rncuna prema i/.ra/u; l’(X) = |f ( X ) dt C5.2) Primenjujući osnovna pravila inlcgraljCTija dohija sc: l 0 T X m t P (X )= | f (X)-dt = J ffX )-d t+ [f(X):-dt = 0+ J X ^ ' - d t ■X -Jc_x* -dt* -«

1

Uvcdimo smenu

)

1

)

(5-2 a >

t)

*t — z

(53)

Di&endranjem leve 1desne sirane i/raza (5.3) dobija ie: dt o - I . dz

(5.4)

X Zamcnimo i/razc(5.3)

u (5.2a) dobijamo:

- A- t

F (T )= X -

J - ^ e ? . < f e - - c * j o’A [ = - ( e -X'x - e ° ) = i ^ - e _ x 'T

V7

(5 2 b )

OPERACIOKA IŠf& ifflVANM Matematičko očekivaaje, M (X), i dtspci'zija. D (X). su tiumeričkc ka#ktcristik« slućajne vdičine X. Za kontimtalnc slučajno ptpmcljivp, ove kariikiortstike su đj&fimsanc â slcdcći nacin [2]: (5.5)

K1(X)= | x - f ( x ) ‘dx — CkS

D (X )= J lx - S f ( 3 C ) F - f ( ) t) - 4 (S.ć) Za ncpcckidno slučajnu vcličinu koja jc eksponencijalno raspodcljcna matcmatičko očekivanje sc računa:

M (X ) = j A - t - e ” 1- 1 .dt 0

(5,7)

Zaincniiiio izrazc f5.3) i (SA) u (5.7), tada slć dobtja: f - Z ' t 7 ' — - d z - — fž'-t^ dz 1 A J o

M (X )=

J

(5.7a>

Intcgral dat izi'azom(5.7a) se lesavametodomparcijalnc intcgrađjc, takoda: ? = ie ^ d z = du Jc^ ćz * dv => v = e z Uvodedi

J im en u

M
(5.8)

u

(5.8) (5.7a) dobija se:

j z - e z dz = j - . f z- c1

=

9

I

k

(5.7b)

Dispetzija slućajnc proiTienljivc X koja ima eksponencijalnu raspodelu se račuita; U (X )= J t - — x

• X -«"x ''d t

(5-5)

Zamenimo izrazc (5,3) i (5.4) u (5-9). tadti dobijamo:

-M D ( X ) - — f [zp k cz ■— &i = ------ fz " -c ' -dz + 2 \z'C7 -dz+ fez dz G 4 1 K 0 0

, (5.9a)

Rešcnjc integrala jz -e * -d z je ranije dobijeno mcEodom parcijaine mtegracijc i iznosi:

jz'Cz

<5.10)

= iz cz - e z )

Integral JV -d?, je ta.blični i iznosi: (5.11)

"■e*

/75

Redovi ćekan/a

Reiimo sada iniegral

(5J2)

Uvcdimo Jimcnu; z

= u ^ 2 - z d z = du

(5.13)

Je* -cl^ = dv => v = Ako smenu (5.13) uvedeino u (5.12} dobijamo:

c7 - d z ^ z ^ g7 - i j z - c *

&a

(5.12a)

Zamcmmo p .1 0 ) ti (5.J 2a) dobija so: j z 2 *c7 dz = z "

e* -2 j z «e* -d z ~ z" - 2 - ^ ^ + 2 - e '

Zamcnimo (5. E0)T(5 hI J ) i (5 ,12b} u (5 .9a) dobija

(5J2b)

ešc:

D tK Js^ -fz -e ^ + c 1

(5,9b) ’O

X2

N’adaEjc je razmaSrano nckoiitco bitmh svojstava ekspoticncijalne raspodclc i njihov oticaj na modeic rcdova čckanj a (i) O puditjuća funkcija gu stin e ćkspo n en ctjaln e m s p o d c k ‘

F-'imkci|a gusiinc cksponcncijalnc raspodclc jc prika/ana tia slici 5.2 AlVtj

’

VREMH

Sliktt 5 2 Funkc(jo gustimt eksponvncijiifn c rtitpodeie l-'unkcija gusline cksponeitttjalnc raspodde je striktno opadajuća. Jcdn;i od poslcdicaovc osobinc formalno možc đa sc predstavj; P (0 <5 X ^ t) > P ( 0 < X < t + T)

(5.14)

gdujc T unapred zadali vrcmenski pcriod. N;i osnovu ove poslcdicc jasno sc niiOava da cksponcncijalna taspodcki opiauje proccsc u kojima je veća vcmvatnoća da ćc sc dogadaj dcsiii u intervalu i bli/cm nnlt rego u intcrvalu T koji jc dalji od nule.

179

OPERACtOb'A ISrtOiZ lV A S J A __ _ ______________________________

_______

_

Moče da se postavi pitanje da li opisano svojstvo eksporienćijalnc iaspt>delc prcponičuje ovu raspodclu za modele rtdova iL’kanja Tn:ba napomenutu da svaki korikretan zadatak /ahteva ođgovarajuoe statističkc atnahzc na o sn o^j kojiJi mogu da se dor.csL adekvpmi zaključci. Natialje su wirc.li neti opin zakJjvčci đo tojih se doSlo jednostavnim razmatranjima [3], Nck-i X pređstavjja vremc opslu/ivanja, oiicIli pogodnost eksponcncijalne mspodele zavisi od loga kak v, e je prirotSi; usluge. lm* îstcma opslu>i\anja u kojima svaki kJijent traži skoro iđcnitčmi uslugti. Tipičan primer su scrvisi 2a pranje automobila, Obavljsuijc fražene u^lugc zahteva izvršavanjc mza istili operjicija, V'reme opsluživanja teži matcrnatičkom oeckivanjd oko kojc^ sc de&avaju samo mala odstupanja, Jasno jc da ti takvim slučajcvima ckponeocijalna raspodela nije dobra aproksimacija rcalnosti Postoje takode sifitemi u kojima tražcnje uslugc 7.načajtiii /avisi od klijcnta, Takvi primer! .su rad sa strankama u bnnkma, poštania u službi hittlC pomoći u bolnici i dr, V diki broj klijenata se brzo usluži ali s t povremeno javljaju oni kojt traže rdatiMio čuš.c opslu/EVarje. L’ takvim sluiaje\ ima « k sp d n c n c ijb ln a raspodcla mo£c dobro da aproksimira realan proces opsluživarja, Ako X predstavlja vrcme izinedn bilo koja dva dolaska kiijenta, onda je eksponencijalna raspodcla vrlo Cesto pogodna za opis proccsa dola/aka, Ova raspodcla dobro opisuje situacijc kada kltjenti koji doiazc u ststcm lczc da odlože svojc prispeće ako itoćt drtigog kLijenta koji je pre njih do5ao.

b) Odsusrvo pamćenja eksponencijalne raspodeie Razlog šlo sc eksponeneijalna raspodela dolazaka je objaSnjcn u slcdečoj Jcmi [4]:

vt I o

tcsto korisli u moddiranju procesa

Lemu I, Ako je X koutinualna slučajna vcličina ckfipcnencijalr.o raspodcljcna, tada za sve ncncgativne vrcdnosti t i T vaii: P ( X > t + tj X > t) = P ( X >

t)

(5.15)

Đokaz Pudimo prvo od izraza: ■0

P ( X > t >= Jjl-e *■'- d i ^ e - * '

(5.16)

T

Tada itnamo: P (x > t4 tjx a t)= ^ ^ li^ ^ ( P (X > 0

(5.17)

Zamcnjujući (5.16) u (5.17) dobijamo: P ( X > t + -d X > t ) = - —r----- ■ c “ e 1 cime jc dokaz zavr$en.

= P (X > t )

I$Q

<5.18)

Redo'.i čekartjii

Možc da sc pokažc da mjodna druga funkcija gustinc raspodclc nc zadovolja uslov {5. !5) [4J, Očiglednc je da bi bio zadcvpljcn uslov (5.15)t fluikciju eksponcncijaine raspodctc je raspodcla bcz pamćcnja Pnetpostavimo da u proicklih i sati nijc bio mjcdan đolazak ( t + z). L;ida izraz {5_ L5 > pokii/ujc d;i nva vcrovatuoća nc zavisi od vrcmena /, i za sve vrcdnosti t . ov;i verovatnoća jeje đ n ak a P(X > r ) . Lkratko, ako znamo najmanju jcdm icu vrcmcna koja jc isiekU oc treiiutka k.ida se posled-jš dolazak desio. tada raip o d d a prcostalog vrcmuna do sledcčcg dolaska ( t ) ne zavisi od vrcmena /. O d su stvo p a m ćen ja jc vrlc vazna karaktcrisuka Eksponencijalni; raspodelc Aito što ukazuje da ako tni žc lim o da znam o raspodclu vciDVfltnoće vrcm ena do stc đ e ć c g dolaska, ni)c od znafaja k olik o je vrem cna protcklc od p o sled n jcg dolaska.

c) Verovatnoča đogađaja t\a m ahm vremenskom mtervalti Za svaku vrcdnost t, va/i: P C X £ t+ A t| JC > t ) ”a - A t

(5,19)

za malo At * [zraz{5.19) može da sc protumaOi na sledeći način: vcrovainoća da ćc sc dogadaj desiti u malom vrcmcnskom intcrviilu At h proporcionalan je dužim tog inicrvala, K.oeficijctu proporcionalnosti je a koji predsravlp parametar ckspcnenciialne raspodelc, Dokaiimo sad svojstvo daio izrazom (5.19), EksponcncijaLna raspodcla je raspod^la bcz pamccnja tako da možcmo da pišemo:

P (X < t + A tj X > t) =P (X < t o ) - I - e "A Al Znamo da c* možc da sc razvijc l ^ e " A Al m 1 - f l - A - A t +

2!

ii

—

(5.20)

TejJorov red, tako da za malo A i : ^

3!

’ k- At + o fit) ^ A**Al*

( 5 .2 1)

\ crovatnoća da se događaj neče ćcst'i u intcrvatu At je: P { X > t + AtJ X > t ) ™ l “- P ( X < M ) = \ - k

At

(5.22)

Odredtmo sada vcrovatnoću da ic se tačno n khjcnata nalazili u sistcm i opsluživanja u trenutku i , pod uslovom da je poznat njihov broj utrenutku t~0. Ova vcroVatnoča je oznaeena kao ?n(\) . P0 ( A t ) * i - A - A t P\ ( A t ) * X A t

(5 ^ 3 )

Pb (A i ) • o(A t), n > 0

iS l

OPERACiONA ISTRAliVANJA Jcdnakosu datc izn ijim a (5 -2 3 ) važc m alo k Ai. O vo ?nači da ktovrem crto poj&vjjivanje dva ili v iic do^tdaja u m atom v ra n cn sk o m intcrvaJujc nem ogućc.

Ovc aprkosimacijc sl" korislc pri izvodcnju LinatiliOkih izraAi vd proccse u kojim aje vreme izmfdu dva dogadaja cksponcnctjalno r;t)ipodeijcno Onc će biti iskorisćcnc i pri otlrcđivanju relacijc kojc postoit: izmcthi Puasoncive i cksponcncijalnc raspodele,

d) Relacijn između eksponencijalne i Puasanovv mxpodele Ako vrcmcna izmcđu dva dolazaka klijcnata su eksponecijalno raspoticljcna, raspodLb verovatnoće b ro u dolazaka koji se javljaju u nekom vrcmeriskom imcrvalu dužine I je daia stadcćom va/nom tcorcinom. Teorem a 1. Vrcmc između bilo kojn dva dohska k]ijcnata jc cksponcncijalno raspodcijtrno sa parametrom k , ako l samo ako. broj dollTaka koji sc javlja u konačnom vremcnskom interv&iu dužinc t podležc Puasonovoj raspodcli sa parametiom k l . Poasonov /akon raipodelc ifcvodi se i/ Đcntulijcvt formulc / a n - ) » , K.ompletno izvođenje jc dato i] [2], Gustina funkcijc Piiasonovc raspodele je data fonrmtosn (5 24): (5 .2 4 )

Matematičko oć*kiv:mjeT M fX) i di^pcr/ijj, f) (X). / a diskrcme sluCajne promcnljive raii:niiju $t prcma izrazima: i> (5 .2 5 )

gde su sa s t (i = ]

nn > označene diskretnc vrednosti koje možc dti uzmc diskretna

slučajna promenljjva X sa odgovarajućim vciovatnoćama p, (i = l ... ,n ). (5 .2 6 )

Maicmatitko očekivanje t dispcrzija Puasonovc slučajne promettlj^c sc računaju: (5 .2 7 )

Primenimo osnovnc iilêbarskc opcracijc u izrazu 0.2 7 ), tako da:

Redćvi ćckanja

Pnasonove sluC ajnc vcličinc sc dobija p rc n ia

D ispcrîja

i/r a / u :

D iK :;= X “ 2 ■— - T ~ ■«''x ' 1 k=0

■t ) 2(5.233

n!

Nndaljc jc prikazim postupak odrcđivanja %Tcdnosti dispcrzijc diskrctne slučajnc vclićinc sa Puason@vom raspcdclom .

D(X1;= £ (n . (n - l ) + n I ■

i« i

k -0

e"i [ - (i

Il!

(n - l)-n ■

£ . ■

t=-o

n!

(5.28a) Vrcdnost drugog čtara lzraâ t5.28^) iznosi A - t kao šio jc dobijcno u (5,27a), Ako se sad vratiino U (5.28a) dobija Seg D ( X ) .

£

+(A ..|)-(X .t)2 =

§ ‘o ! (A -t)2

' ■£

- -

p

(

- ;- - + ( X - t ) - ( X . t ) 2 = ( X - t n

“

Y

+ ( X ■ t ) — ( X - 1) 2 = X - 1

2 ) !

(5.28b) ZnaCi kod Puasonovog zakona raspodele M (X) = D (X) U praktićnini prOblemitfia jcdnjskost(5.29) ino/e da hude kritenjum da slučajna veličina raspodejjena po Puasonovosm /'akonu,

(5.29) je neka

Može da sc postavi pitanje kojc pretpostffvke sil žahtevana da bi vremena dolazaka bila cksponcncijalno raspodeljona. Ritzmatrajrno ilcdeće dvc prctpostavkc: 1. DolascE su dcflnisani na vrcmcnskim intervalima koji se ne prcktapaju i koji su nezavisEii. Govoreći jezikom Leorije verovatnoćc, dolasci predstavljaju statistiCki nezavisne događaje, 2. Odredimo verovainoću da ee se desiti jedan doiazak klijenta u intcrvalu t i

Neka sa A označimo događaj da čc se u vremcnskom uitervaiu (r + At) desiti Eačno n dola2aka klijenala, tako da: Pf A) - Pn (14-At) Sa H j (j = 0,1,2,..)

(5-30) oznacimo događaj da če se uistoin vremenskom mtcn'alu

desiti j dolazaka:

183

OPERACfOKA iSTH42iVAftJA P C B j) = P, ( t )

(5 .3 1)

Prenia formuli totatne ^ crovatnoće stcdi:

& * ( A ) = £ p ( H j ) - P ( A 'H j) i™0 Uslovna vcrovatnoća P ( A H j ) prsdstavlja vefpvatnoćn da će sc

li

iniorvalu

(t+ A t) dcsiii tačno n dolazaka Jdijcnjta pod ustnvom da se nCEtlL/uji; tlcguđaj H j ( j - 0,1,2...). P ( A / H j ) - P n..j ( A t)

(5 33)

Tako da vcrovainoću P (A) možemo da prcdstavimo: P (A ) = S pn - i W pi( At) j=l)

(5 J 4 )

P„(t + &t) = P„ (t) - X■:At • P„ T-p11 _ |(t»

lim

= _X -P n(t) + X -PB_ ,(t)

At

(5.35)

Za rešavartje diferentijaincjedrtaCioe (5.35) poôdnojc Ja se uvede smena: Z n C O -P # (O eM

(« 6 )

Di fe renc Inmjem j ednaCj ne (5.36) dob ij sc nov si stem d iferencijaln iti j ednač ina: * b $ ) = A ; * # - i G)

(5 J 7 )

Zameninio poćelne uslove: (t) = Pq ( I ) - c^'11 = I i z n (0) = Ot ’za n - L2r .. Sistcm difercncijalnij jednačina se jcdnosinvno rcšava uzastopnim integraljcnjem: i JE|{t)= J X '2 o ( t ) - d t = X ; t 0

\i

^2(0 =

jV*dt 0

0

/ \ \j i3 f,2 z 3(t) = j x 2 2(t) dt = x J l 0

" .

~

“ ■

( ^ t ( A . I )'' g " * ^ r

184

Redov'i ČL'kufija

Na ovaj način smo dobili opšti obraz'ac pomoću kogn odicđujcmo vertsvatnoću da će se u victncnskom interv&lu t desiti tLićnn n dala?.aka, tj. (5.38) Izraz ( 5 i 3 8 ) prsdstjivlja gustinu vcrovatnoćc slučajnc velifiine koja je raspodeEjena ppema Puasonov om za k o a v . N a ovaj nnčin sm o pokazali da ako jc vrcinc izmcdLi dva dnlaska eksponencijalno raspodeljeno sa parametrom X , 10 im plicira da je broj doluzakii ra$podeljen po Ptiasonovoj rasfjčdeli sa p^rametrom X,’ t . i obm uto. Takođe, m ože da se izved c jo š jedan važan zaključak kojt proi/,ilazs iz svojstva ck sponencijalne raspodcJc da je bcz pamćcnja: broj dolazaka koji je raspodeljen prema Pua$bnovoj raspodcli zavjsi sam o od dužine tntcrvala t, a ne o d toga gdc se taj in tem i! na \ remen$koj 0$i nalazi.

e) Erlatigova raspodela A ko vremena doiazaka nc m ogu đa sc opisu slučajniin velićinam a koje su ek&ponencija]no raspodcljcnc, tada se ona modelirju ErL&igoovonl raspodciom , S luiajna veličina X k o ja jc raspodcljcna prcma Eriangovoj raspodeli j e određena sa dva parametra k i R. Paramciar k d cftn išc oblik krive gustine Erlangove; raspodcle a parametar R intenzitet prom ene. Parametar k m ora da budc pri rodan broj, G ustina E rlangovc ra sp o d eteje data form ulom : (5. 39)

M atem aticko očekivanje, M {X) I di^perzija, D ( X ) t računaju sc prcma i.zrazim£ (5.5) i (5.6), rcspcktivno. Za Erlangovu raspodeltjj m atem atičko oOekivanje se racuna prcma izrazu:

(5. 40)

Pnmenjujući osnovne algebarske operacije i pravi'a integraljenja dobija se: (5,40a)

OPEHJCIOKA ISTRAŽIVAh'JA Iniegral

______ ___________________________________

c " r< * -d\ rcšava sc mctodojn parcijolne integriicije u k koraka, Ovde

0 jc dat samo krajnjt rczuJiai. M (X )» R

(5.40b)

CHsperzija se raeuna: D Q O = l ( * - ~ ) 2 . ž - ^ £ l ! . . eS » * -d* = 4 r * R (fc“ l ) R

(5.41)

Možemo da vidimo kako sc mcnja obiik Hrlangovc knvc u ?x\is rostt od parametra k. £a unaprcd odrcdenu vrednost I 1_ \ ] /a raliiirc vrcdno^ti k dgbija i,c faniihja U ) Erlangovih krivih (stika 5 3 )

Stika 5 3 Furtkdju gustirte Erlangpvit raspotfcte

Za svaicu kiivu w farnilijc Hriangovih kriviht maicmaitčko occkivanjc je

,3. . Ako

sc mcuja vrcdnost paramcira k+ menja sc samo oblik krive. Sa slikc 5.3 jasno se vidi da iz fc-i, Erlangova kriva jc cksponcncijaina raspodtla sa parametrom R. Kako sc vrednosi paranictra k povečava, E-.rLangovn ra$podcla svc viSc : vi$c liči normalnoj raspodelL 7a ckstrcmno vcliku vrcđnost paramctra k slučajna vcliCina sa Edangovom raspodelom sc pribli/ava siučajnoj vcličini ćija jc dispcr/cja jednaka nuli (sto oznaćava da su vremcna dolazaka konstantna). Menjajući vrednost k, možc da se dobijt simcirićna raspodda. 1&6

Redovi čekattja

Ako su vrcmtins dolaziika modeliiana Erlangoovuin nspodclom $a paratnetrom oblika k:+tada mo/c dn se ka2c Jei su procesi dolaîka takvi da klijeiu prolazi kro/ viSc faza fsvaka od fa/a jc bc? pamćenja) pre konatnog doiaska, U tom sniislu, parametar k je će&to u literaturi nazvan broj faza trkangove raspodele.

5.2 M O D E L K A N JE PROCESA O P S L tŽ IV A N M

Prcipontavimo sada da vremena opsluživanja (servisiranja) ra/lićitih klijcnata su modnsobno nczavisne sluCajnc vdičinc. Neka je vrcmc opsiuživan;a svakog klijenla slutajna pronienljiva o/naicna kao S Futikcija gustine raspodclc ove siučajnc vdieme je s(U Ako /namo da je jedmiino vrcme opslučivanja svakog klijenta j_ ], lada je: I

s( r i

(5.42)

|t ■i(0 'Ćt = ' *

oJ

Jcdinično vrcmc opsluživanja 'ic dcrmiše kao ukupr.o vremc opsluŽivanja po satu. Sledcći ovu prcipostavku. sa je ozriaeen mtenzitet opsluživanja, Kao i kod

modcltianja procesa dolzaka, pretpostavljanio da vremcna opduživsnja mogu rcalno da se modeliraju slnčajnim veličJnama kojc su eksponcrteijalno raspodeljena. Ako jc ova prctposiavka račna, mi moiemb da odredimo rafipodelu prcostalcg vremcna opslu/ivanja svakog klijcnta ne uznnajući u obzir koliko sc klijtnt dugo žadržao na tnc.sai opluživanja (servisirarja), Fakođe, ako oznaiimo da jc vrcmc opsluživanja cksporcncijalno raspoddjenO, £U5ima tc raspodetc jc n s(0 ” |A■e Ttada jc malcmatičfco očckivanje Ncpovoljno je ako tckučc vreme opsluživanja nc mo£c da bude konstantno i bez pamćcnja. L1ovom slučaju, mi čcsto prctpostavljamo da je s[i) Eđangova raspodcla sa parametrom obtika k i paramctrom mtenziteta (k jj). Prema izrazu (5.40b) sleđi da je niaiematićko očekivanje

L . . M oddtranje vrcmcna opsluživanja sluiajnim LiaJ

veličinama sa Brlanôovom raspodclom sa paramelrom obllifca k takođc impHcira da vreme opsluživanje svakog klijema može da budc tako razmatrano da se sastoji od k faza opsluživanja, \'reme opsluživanja u svakoj fazi jc bcz pamćenja, Matcmatičko očckivanjc vremena opshiživanja u svakoj fazi jc 1 (k (s)ika 5.4). smivi.ukasua

7AV*itTAK SI'kMMHVSi

rm-------------------FA7A

EiiSKJPfBNCUAI $A hA T £M OCliKLVAN'AlM ■*

m

I 4ZA K

i a/ a :

i

i k3k>ni ncljalna ^ HaTLM OCtKJVAh'Jt M f* -n

tiK^poNrjsciulna ■AMaU-.MOiblClVANJEM ■/k■m i

Siika 5,4 Erlangnvn vremc Opstnhvanjđ

IS?

OPERACK)SA ISTRA ?J r iSJ.l

5.3 KENDALOVA O BErEŽA V A N JA ZA R i:i3 0 \ K Č K K A N . J A U ovom poglavlju jc prilcazatta lcrminologija kojom sc opisuju tfandradne oznakc kojc se koristc da opišu mnoge iisicmc fiekanja. Ozn&U' kojC su ovđe iliskutovanc koristc se da opisu sistenri čeknnia u kojcm svi doiasci ćckaju u ictinoj linijii a opsluživanjc $c vrsi na jeUnoiTi mc&tu kojc je stobodno od j paraJelnib mesta opsluživanja. Ovo je prika/ano na sltct 5,5. KLIJRNTT

1 X 1 ---------

IDI' K A

PRV'OMSIjOBOONOM ccn, ; ^ r ■ spj?M snnu

STItMSliR 2

SEBV[SFR '

r j - !

T

I A i

RtireNTt napu STa « ;

---------------

StSTPr M

LaJ

S iika 5.5. Sisiem irekanja sa je d tio m iin ijo m doiaska i sa p a ta k fa im m eslim a npshiživatija

Kendftl jc 1951, f5] nvco slcdcčn nomcjju kojom se opisujn îstenu čckanja i koja se uglavnom pritnenjnju svuda u lireraturi. Svaki sistciri čckar.ja jc opisan sa £e$l karakteristika:

1/2/3/4/5/6 Prva karakfcrisiiJci speciflkujc proccs dolask& Slcdecc sland;irdnc skraćcnioe sn kortsčcne: * M - Vicmcna dola/aka koja sn nc/avisna, tdcntično sti raspodeijcnaT tj. vreme izmcdu svaka đva doUska jc raspodeljcno pretria cksponcncijalnom zakonu raspodcle, * D - Vremena d o b /ak a koja su dctcimmistička, * Rfc" vrcmcna dola/aka, idenličnO raspodctjcna, kaja su modchrana siucajnom promenJjivom sa Erlcn^coom raspodclora sa paramctrom k, * GI - Vremcna dola/aka, idcr.tiCno raspodcijcna, i koja sc opisujLi slučajnom vdičinom sa bilo kojitn /akonom riispodi;le vcrovatnoće, Druga karaktcristika apeciricira prirodu vrcmcna opslu?ivnja (scrvisirnja): * M - Vrcmena opsluživanja* idcntično raspođeljcna, i cksponencijalno raspodcljena. * D - Vrcmena opslu/ivanja su idemično raspodcljctia i dcterministička su, * - Vremcna opsluživanja sti idcnticno raspodeljcna i oblik i'aspodclc je

Erlengeoova sa parametiom k, *

G - \ remena opstuživanja su idcntično mspodcljcija i pokoravaju sc nckoj pp^toj raspodcli. m i

Redovi ćekanja Trcća kataktcnsttka jc br<>j paralclnih mesta opslu/ivnjfi (scrviscrš). Čctri karakieriistikt opisuja disćipliitu rcđa: •

F[I:0 - prvri klijent koj: d ode, p tv i se Op£ lužuj e ,

• LTFO - poslcdnji klijcnt koji dt>đe, pn'i w opslužli^, ■ SIRO - slučajna tEisctplina - redys]ed OpsJližiftfanja se odrcđujc na slučajan naćiiij • GD - optta diacipiiiiiL rcda.

W

_

.J_

.

_

_

_

_

_

_

Cetvrta karaktenstika specificira makisimalan broj do^voljenih (ili pritnJjenih) klijenalii u sistem čekanja. Ovaj broj uključiijc i klijente koji ćekaju i klijenle koji sc opslužuju u âdatom vrcmenskom periodu, Š$sta karakterisdka ptedstavlj| obim p{>pu[acijc iz kojc su klijcnti i2 Mičciii. Sem ako broj potencijalnih klijcnrtia nijc istc važnosti kao na primer broj servisera, velićinu populacije smatramo da jc beskona&ia, U mnogim važnim modclima, 4-5.-6 jc G D / w / » . u ovim slučajeviiiiii, 4/5,6 je često izostavlj eno Kao

iluslractja

ovih

oznaka,

M-'B^-^/FIFO 10/™

može

da

rcpfczcntujc

zdiavstvcnu usumovu sa 8 doktora, cksponcncijalno raspodcljcmm vrcmcnima dolazaka, dvo-fazmo Erlcngeoovo vremć opsluživanja gde jc /asm pljcna FIFO disîplma rcda i sa kapacitctom od 10 pacijctiata.

5.-1 SL L Č A JM PROCESI Prctpostauiino da posmatrafiio ncku karaktcristiku sistema ti vrcincnu. Ncka sa X, označimo vrednost postnatrane kaTakteriiitike u datom vremenu. U mnogim situacijania slučajiia promcnljiva X, nije poznata pre vremena t. Slnčajni iJi stohastićki proccs je slučajna velicina koja zavisi od vreinena. Formalno se o^načava kao { x ( t ) ;t > o } -

Klasifitattnja sJućajnog proccsa sc vrši li zavisnosti od tri veličtne; prosiorđ stanja. indeksnogparam&tra t i s'tatističke zavisnosti i/niedu siučajnih promenljivih X (t) /a različitc vrcdnosti tndcksnog paramctra. Kada govorimo o redovima čckanja koji su zasnovani na slučajmm ptičjfčesima, [rftlcksni p aram ciar; jo vrcmc. Vrednosti kojc mo£c da uzrnc slučajna promcnljiva ix {e) l > o} naztvaju se stanja

pr&cesa iti stanjđ sistema koji proccs opisujc, Hcuristifika defuiicija stanja možc sc opisati na slcdcći naćin: sta n je je skup podataka, koji daju potpunu infbrm adju o predistoTiji sistetna, potrcbnu za odrcđivanje njegovog ponašanja u budućnosti. Stanje jc funkcija vrcmcna [5], Prcma Istim amorima, jpj-, stanje prncesa je vektorska vciičina označctia kao ?i = ,--..xn ) ■ tmklidov n-dimenzEonalni prostor u kornc svakom vektoru x =

ix 2

*u) odgovaia jedna tačka naziva se

prostor stattja. Stanja proccsa m ogu da pripadaju kontinualnom ili diskretnoom skupuj odnosno prostor stanja može da bude kontimialan tli diskretan, Prostor stanja je kontinuajan ako slućajna pmmcntjiva X (t) možc da uzmc bito koju

iS9

OPERACtOHA I$TRAtiVANJA

vrednost 12 ograjiiCcnog ili noouiLiničenog iniciA ila. S:i drugC ako slucajna provnenljiva X (U može da uzmfi tacno odredene vrednosit iz unapred radatog skL:p;t vrcdnpstif tadL* kažemo da jc pTosior siiinja dfekrciun* Procijs sa diskretnim prostomm stanjd se ćusto naziva lantic, Prostcr sianja za lonac uobiCajno skup prirodnih brojeva i nula, tj. {0,1,2, }. Dnig.n vcličina u smisJu kojc se vrSi klasifikauija stohastičkog proc^sa jc mdcksni parametar t. U *n\ isnosti od ovc vdićmt: razhkujcmo vrcmenski diskrctne 1 vremenski kontinualne stohastičkc procesc. Vremenski diskretan proccs sn oni proccsi kod kojih promcnc vrcdnottti slučajnc vcličmc mogu da sc deSavaju samo u odrcđenim trcnucima koji su konačni ili prcbrojivi. Kada se promcnc dcSavaju u bilo kom trenuiku Vftrnena koji pnpada ogTaničcnom 1J1 ncograničenom vrcmcnskom intcnalu, tada kaêmo da sc radt o vrcmenslci ncprckicnom štohastiČkotn procesu.. Va/na karakteristikii slučajnog proccsa su rclacije izmcđu .slućajnili promenijivih 1 ,V| h X 2 t'" U tcoriji ređova ickanja izucava sc broj klijenata u sisrcmu. Prostor stanja ovog slutljinog pTOccâ pripada skupu {().f,2 ^ } k lako d a jc ovaj proces siobastički procca sa điskrcimm prosôrom starja U smislu drugog knterijuma klasifikacije. promene vrednosti slučajnc promenljivc X (t) mogu da se dcšavaju u bilo kom trenutku vremcna, pajem zm atrani sJuCajnt proccs vrcmcnšfci ncprekidrm. Na osnovu gomjc^ razmairanj;i, broj kltjenata u sUtcmu predstavlja vremenski neprckidan slučajan proces sa diskretrtim prostorom sianja, rDdnosno, ovaj slučajan proces se naziva n cm en sk i ncprckidan Janac. Neki problemi koji sc tretiraju kao stohastićki prooesi nadaljc su prik£i/;ini.

Primer 5, L Na poćctku vremcna 0* Stefan je imao 2 dir.am. Na poćeiku vrcmena 1,2,. , Stefan igra igru u kojoj moic da se kladi na l dtnar Sa verovamoćom p Stefan ćc pobcditi u ijiri, a sa verovatnoćom (I-pj on će igm i/ubiti. Stefanov cilj je da njegov kapital potasie na 4 dinara. Cim dosiignc taj cilj igra jc zavrsena. Takodc, igra je /av rscnii ako svoj kapital smanji na 0 ćinara. DelUtiSimo da je X ( vrednost kapitala posle vrcmena t u kojem jc igra igrana, tada X{j»X|.... X t mogu da budu trctirani kao stohastićkJ vrcmenski diskretni proccsi. Označimo da x e = 3 jc poaTaia 1 konstanma vrcdnost. Mcđutim, Xj 1 oslaii X t -ovi su sluCajne vTeličine. Na primer, sa verovatnocom p, = 3 a sa verovatnoćom (J-p) X x ™E. A kojc X, - 4 , onda i X l+1 i svc ostalc \Tcdnost: X, + ; TX t+ ^ . tl su takode jednake 4, Slično,akoje X : = 0 , onda su i svc ostaEc vrcdnosti X t + 1, X H. 2 . X t + ^,.. su lakodc jcdrtakc nuli.

J90

OPERA CfONA fSTRAŽfVANJA

vre
U teoriji redova čekanja izućava se broj kltjcnata u ststLinu, Prostnr sinnja ovog iluĆlajnog proces;) pripada skupu {0.1,2,..}, uiko da je ovnj proces stohfinrički proces sa diskrcmim prosiorom stanp U stnislu druso^ kritenjuma klasifikacije* promene vređnosti slučajnc promcnljtvc X (t) mogu (Ja se dešavaju u bilo kom trenuiku vremena, pa je mzmairani sJufiajni proces vrcmcnski ticprektdat:, Na osnovu gomjeg razmatranja, broj klijcnata u sistcmu prcdstavlja vremenski neprekidan slučajan proces sa diskretnim prostorom stanja. Odnosno, ovaj- slucajan proccs sc r:aziva vrcmenski ncprckidan lanac. Ncki problemi kojj sc tretii-aju kao siohastićki procesi nadaLje su prik:i/ajii.

Primđt 5. Na pofctku vrcmcna 0, Stefan je imao 2 dmara Na počctku \ncmena t.2 irH+ Stefan igra igrit u kojoj mo2c da sc kladi na l dinar, Sa vcrovatnočom p Stefan ćc pobediti u tgri, a sa verovatnoćom (1-p) OD čc igni t/ubiti. Stefanov c:iLj je da tyegov kapital porastc n a 4 dinara Cim dnstigne laj cilj igra jc /avrscua. Takuđc, igra jc zavrSena ako svoj kapjtal smanji na 0 dinara Dcfinisimo da jc X t vrednost kapitala posle vrcmcna t u kojem je igra igrana, tada X 0 , X |.....X t tnogu da budu trctii'ani kao stohastički vrctncttski diskrctni proccsi. Označimo da x 0 2 jc poznata i konstanma viednosi, Mcđuiim. X | t ostali Xj-ovi su slućajne vclićinc, Na primcr, sa vcrovatnoćom p, X' = 3 a sa vetovatnocoin (1-p) X, =1, A koje X, = 4 , onda i X t + I i sve ostatc vrcdnosti X t+: +X T+Vll su takode jcdnake 4. S!ičnot ako je X+ = 0 , onda su i sve ostale vrednostt X t + ] l X r , j . X t+ 3 ,*m su takođe jednakc nuli.

190

Rf'rfvvi čekanja

Primer 5.2. U kutiji se nalaze dvc ncobojene iopte. Mi biramo loptc na siutajftn način (akt) s Uj bacamo novćić. Ako izabmna |>pta nije Dbojena iako jc pala ^ la v a " , lada loptu bojitno u crveno, Ako je pso "grlV', onda izabtanu lopin bojtmo u cmo. Ako su lopre voć bile obojene, tada menjamia boju ]o p tc fcrno bojimo u crveno i obrnuto, ij. crvenQ u cmo). Ovaj pi'oblem možc da se posmatra kao stohnstički proces. DefrniSimo vreme t koje pfedtsravlje vreme poslc kojeg če i/abriina Eopta du bude obojena. Stanje u ovom vremenu fonnalno niože da bude opisano \'cktorom (u, r, b), "dc je u ha'oj neobojcnih loplt u kutiji. r je broj crvemh iOpti a b broj cmih topti u kutiji. Potctno sliinje nio/e da bude dellnisano vektorom

X tJ - [2.0.0 . Poslc prvog

oglcda, jcdna lopta ćc bili obojemt ento ili crvcno, tako da X = l,1,0l ili X| = [ljjj]M ože da se /akljuei da postoji ve I.ik e broj rclacija izmbđu X t -ova. Tako na prim crf a k o je

x

:

-

[ 0 h2 H0 ]

mo/cmo da budcmo sigmni tkijc

x

l +

) = [ 4 ll] -

Primer J.^. Ncka

budc jedinična cena uslcd postojanja /altha jedne vrste proi/voda na

poćetkn prodajnog đana. Tafcođe, neka

X t bude o/načena jcdiuična ccna usled

postojanja zaliha na poćetkn nekog prodajnog dana u buduenosti. Jasno je da ako po/najemo X q.X]....X, možcmo da doncscmo /akEjučak o nispođdi verovatnoće X tJ. j . PiJanjc je kako da iskoristimo podatkc iz evidcncjjc da /aključimo kolika je vrednost zaliha u (f+ /)-om periodu, Odgtivor na ovo pitanje je od izuzctnc va/nosti za fmansijskit službti 11 prcduzeću.

5.5 LANCI M ARKOVA Specijalan tip slućajnih proccsa koji su interesantni za analitičko mzmatranje su procesi koji imaju svojstvo Markova. Ovi proecsl u litcraturi se srcču pod nazivom lanci Markova koji niogu da btuiu u jednoin od konaemh broja slanja o/načcnim kao Za vremenski diskretan proces se ka?e da ima svojstvo Markova ako je zadovoijcna re]acija: p { x l+ | - j | x 0 = i 0 ,

X t ..| = i t . . , , X t. s i , } * p { x l t l = j | x , = i}

(5.43)

za svaki trenutak vremena CU,2V,. i /a svaku sckvencu Svojstvo Markova za vremenski kontinualan proees forrualno se predstavljap { x ( t „ + i ) = j| X 0 {!0 j = i 0 ..... X ( t n _ j) = šn_x, X ^ tn ) = P { x ( trt* i ) = j | x c t n ) 4 }

}^ '

191

OPERACfO&A fSTRAŽfVASJA /a t 0 < r, < T. < * r < t B+liz o s v a k u s e k v e f lc u iJ , i0 .i1+,„.it_: Spucijcilna, i/raz (5,43) govori da raspodda vtrovatnoic sianja u trcnutku (f+ /) /avisi samo od stanja u trcnutku f. Drugiir] rečima, svojstvo Markova sc iskazujc: Sfltno postcdnjc stjinjt? u kojoiu sc uašao proces je rd c v a n tn o /a o d m tiv a n je njcgovog hudućcg staiija. i ne /avisi od prcthotlnih stHtija* Prema tomc, nvo sadr2ana u sadašnjcm ftanju. Sisicm je bjo u stanju i u trenuiku f a u stanj;; j u trtrmiTkta {t - i). Afct> je sisicm \Z stanja i preAao u sianjc / u ti>ku jcđno£ pcrida onda kažttmo da se desio prcla/ od i

onda sc ka/c da su jcdnostcpcnc Lranzitivne vcrovalnočc stacioname i obcleŽavtyu sc kao p j , . Prcipostavka i/ra/cna preko i m z a (5.45) naziva se pretpostavka t> stacionamosti. Lisnac Markovakoji zadovotjava uslov (5,45) naziva sc stiiciortarni [anac Markova,. Za vicmenski faontinuafoc stohastičke proccse ka/e sc da postoje stack>name vcroviunoćc p rd a /a ako jc z&dovojjen uslov (5.46): P{X(t + i ) = j| X 0

(5.46)

Studjja o lancima Markova zalueva da tiefmiSin™ vcrovatnocu Ca Će lanac da bude u stanju i u trcnutku r>. Formalno sc predstavlja: (5.47)

P{X0 = i} = q ; Vektor q = [q j.

a...»qs ] jc vcku>r micijalmh (poČetnih) vcrovatnoda /a lanac

Markova. Tran/itivnc vcrovatnoče m oga da sc prikažu u matričnoj forini: P]t

Pl2

— Pls

p = P2i

P:2

— P:i

_Ps3

Ps2

- r Pss j

Matnca P sc naziva mirtricii tmnzitivnih verovatnoća. Vrcdnost svakog elcmcnia matricc Pjc ncncgativna. Suma nvakc vrste matrice P ic jcdnaka, jedmici. Ntidaljc ć<5 da budc prikazatia tnLiiricii tranzLtivnih vcrovatnoća za Primer \ iz

PogEavija 5.4.

192

Retfoi'i ćektmjti P rim er 5 . / .

Ako kotičinu novca kojom raspolaže Stefan na kraju (iW )-og vrcmcnskoii trenutka zavisi samo od količinc novca koju Ste&n imn na kraju /'Og trenutka. onca ovaj problem mo£e đa se posm:iirii kao lanac Markova. \!nirk-;i tranziih nih verovatnoća je: o

1

0

0

l-p

0

0

I-p

p 0

0

0

l“ p

0

0

0

0 0 0 0 p 0 0 p 0 I

Ako je koUčina novca na fcraju biio kog pcrioda 0 iH 4 dinara, igra se ptckida, kao .hlo je rnnije detlnisano, tj. tfanje ne može da se mcnja. OUitla pq 0 - p 44 _ I , Postoji vcrovamoća p da ćc Stefan u narednoro sianju imuli jcdan dinar viSe nego u sadafinjcm stanju. a tvrdimo sa vcrovatnoćom (1-p) da lc Stcfan t; slcdcčcm stanju da ima jcdan dinar manjc nego u âdašnjciri stanju Matrica tranzitivnih verovatnoća moic đa bnde pradslavljcna pomoču grafa, Ćvor m grafu pnsdstavlja stanje a grana grafa je tranzjtivna verovatnoća p y .

^■p

p

l-p

P

5,6 IS-STEPENE TRANZITIVNE VEROVATNOĆE Pretpčjstavimo da nađaljc razmatiamo lanac Matkova kod k o g aje poznata matrica tranzitivnih verovatnoća. Pittnje na koje Selimn da damu odgovor moŽe da so Ebrmulisc na sledeći naćin: ako ^.c lanac Markova nalazi u stanju i u vrcmcnu t, koja je verovatnoća da ćc sc n ptrioda kasnijc naći u sE.miu p Kako se ra/matra stacionaran lanac Markova, tražena verovatnoća će biii nczavisna od u fako da m o k m o da pišcmo: PCX,*„ = j X, = i ) = P ( P ( X n = j|Xo = i > = r i " '

(5-48)

gdc sc pj jJ naziva n~stepena vcrovatnoča prcla/a od stanja r ka stanjii j. Drugim ivćima, p f j e uslovna vcrovatnofia da ćc fihnfiajna promcnljiva X. koja počinjc sa stanjem /, biti u stanju j posk Ućno n promcna u vrcmcmi 193

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA Jasno je da je pf1) = p ,j - Odrcdimo sada p j“ koja prcdstavlja vcrovatnoću da će sistem iz stanja i da posle dva pcrioda budc u stanju j. Sistem iz stanja / prelazi u stanjc k a zatim iz stanja k u stanje j. Vcrovatnoća prelaza iz stanja i u stanje k je oznaecna kao p 2-K . Vcrovatnoća prclaza iz stanja k u stanje j jc označena kao pj- j . p ! f = t p , k - p kj k =l

(5 -4 9 >

Dcsna strana jednačine (5.49) predstavlja skalami proizvod i-tc vrste i j-tc kolone matricc tranzitivnih verovatnoća P. Možemo da kažemo da p j^ jc (ij)-ti clcmcnt matrice P2 . Ova vcrovatnoća možc da sc prcdstavi grafički (slika 5.7)

START

VRF.ME 0

VREME I

VRfcMLL 2

Slika 5.7 Grajički prikaz vcrovatnoće P(2) 1J Ako proširimo ovaj način rezonovanja, za V n > 1 dobija se: p(") (i j)-ti clcment matrice P n . Naravno za n=-0, p [ j ) = P ( X 0 = j | X 0 = i)» tada možemo da pišcmo: 1 p

f

f

-

J

j

”

1

( 5 . 5 0 )

0 j* i

194

Rđđavi čtkanja

pijsie promene atanja m ora naći u nckom od svojih stanja, Xa osnovu ovog rarmatrarija sJcdi:

7a \ viemenski kontinustlne srohastičko proccse kažc se da posioje stacicname vcrovattioćc prcla/a ako je: P ( X ( t + t ) = j | X ( t ) - i) = P ( X ( T ) = j|X (0 ) = i), za t > Oi t > 0

(5 .5 1>

Za slufajan proces { X t } kažc sc da ic lanac Markova ako zadovotjava slcđeće uslove: ] f Svojstvo Markova, 2. Staeionamc vcrovatnoće prelaza, 3. Skup počcmih verovatnoća P t X £] = i ) z a svakp L A k o je broj stanja konačan tada se kaie da se raci o lancima Markova sa konacm m brojem stanja. Lr suprotnom. iiovori sc o lancinia Markova sa neograničemm brojem sianja. Ovi lanci su od posebnog i n tm s a m odde redova čckanja, U nvirn landm a Markova vremena dola/aka i vremcrta opsln/ivanja su modelirani slučajnim veličinama koje su eksponencijalno raspodeijene. Vrtmenski diskretan lanac Marknva ilustioivsn j e sledečim primerom.

Primer 5.4. Preipostavimo da asoitiman fabnke bezalhoholnih pica se sasioji od dva proizvoda jnpr. dve vrstc kole). Na osnovu podataka iz evidcfleijc, m enadier prodaje procenjuje verovatnoću svake od rai:matrane vrstc proi/voda, Procene su da postoji 90% šanse da se u narednom periodu kupuje prva vrsta kole,odnosno 80% Sansc da se kupuje druâ vrsta kole. 1, Ako se sada kupuje druga vrsia koleh koja je vcrovatnoća da cc se u drugom periodu od sadašnjeg kupovati p r\a vrsta kole? 2. A ko se sada kupijc prva vrsta kole koja j e vcrovatnoća da ć e se U irećcm periodu od sadaSnjeg kupovati i daijc ova vrsta kole?

ReSettjel Stanje I- u proteklom periodu se nabav[jala kola 1 Stanje 2- u proteklom pcriodu se nabavljala k o b 2 O/.načimo sa

vrsiu nabavljane kole u n-iom budućcm pcriodu. tada X 0hX^...

mogu da se opišu kao fanac Markova sa slcdcčom tnatricom verovatnoća prcla?ra: 0.9 0.1 0.2

0.8 t95

OPEfL-\CIONA JSTR-l/'ft 'A \ JA

Sada mo5:snit> tb damo odgovor na oba pitanja. Vcrovatnoća knptijt; k o l a

da

će

2 je

se

p ^ ,

u

od sađašnjeg

d ru g o m pcriodu

kupovati kola

Ova vcrovatfloća p re d st nv lj f i (2 J)-i c l e m e n l

0.9

0.]" [0.9

0.!'

0.2

o.s_ Lo.:

O.K

s

■

"0 83

0.17'

0.34

0.66

K nkt> se sada

m a tric e

P* :

5to znaĆi da je pL.:: Verovatnoca da čc sc u ircćcm penodu od sadaSnjeg kupovati koJa l ako sc u sactašnjcm periodu takodc kupuje ova vrsta proi/x t>d;i se raćuna kao ptjl, tako da; G.K3

0.17"

0.9

OA'

0 .7 8 !

0.2E9'

034

0 6b

02

0<8■ii

0.43S

0.562 _

Tra/cna verovainoća je p{^-0 .7 8 1 . U mnogim slufajevtma po?nato je stanje lar.ca Mnrkova u trenutku f=0r Neka sa q, označimo vcrovamoću da se lanac nalaî ll sttnju / ti ircnmku 0, Tada rno/cmo da odredimo verovatnoćll
Shka 5.8 Određivanje verovotnoćc da se sisfem nađe n sttvtju j » frertutku n ktida jt- /w ćm c= sittnjš fieptt-nafn

Verovatnoća nalažcnja sistema lj stanju ; u trcnutku n može da se odredt preko izraza; <£ verovatn, da jt; s:at(;m l l startfU i)x (verovatn. prelazu olI sitiiijsi i l l stanje j i-i

l l li

preiaza)-

Rtfdovi čekanja

gticjc q kolgtm / mstriice PrL. iU ro 4m gčijc možc da sc zapt^c: fli

.....

q sJ

5.7 K I.A SIK lK A C rJA STA N JA 1’ L A N C IM A M A R K O V A U daljoj analizt lanaca Mnrkova se k<>risie pojrnovi koji su u ovom poglavlju dcfimiiarii. Takode daia je n-stepcna matnca verovatnoća prclaza P, kiio i njena grafička prozentacija koja se koristr da se ilustruju mnoge dafmicije. Matrtca tranzitivnth vcrovatnoča je;

P=

0.4

0.6

0

0

0

0.5

0.5

0

0

0

0

0 0.3

0.7

0

0

0 0.5

0.4

0.]

0

0

O.S

0.2

0

Na stici 5.9 dat je grafički prikaz matrice ? 03

n.*

Sliku 5.9 Gruf'tčki prikuz n-sfepem: mutrice tran:tfivnih vprovafnoćti

Deftnitija. Data su tiva stanjći / i j, put ođ i ka j je tii7 prela/a koji počtnju u t a zavrSavaju se u j t Jako da svaki prelaz u Uim nizLi ima pozitivne vcrovatnoćc prelaza.

Deflnicija, Staiije j je dostlživo \/ stanja i ako postoji put koji vodl od f kaj, Dcftnicija, Za dva stanja m j se kaže da konmnLciraju ako jc / dostiživo iz stanja i i t aiaiijc i jc dostiživo iz stanja j, Za m atrku tranzitivnih vcrovatnoća phkazanu grafiiiki na s3ici 5.9, stanje 5 je dostičivo iz sianja 3 (put jo 3-4 5), ali stanje 5 nije dostjzivo \z stanja I (ne posloji pni od \ do 5). Takođc, stanja 1 i 2 komuniciraju {niožemo da idenao \y \ u 2 i iz 2 u 1).

197

OPERAOONA fSTRAZfVANJA ___________________________________________ _

Defmicija Skup starja

____

u tatiBcU Markova je z a h o i t r i skup ;iko nc postoji nijedno sianje van skupa S koje je dostiživo i/ bilo kog stanja u S S

Anali 2 irEjući lanac Markova koji je prikazan na dici 5 l). možetno sa uočimo dva /atvorena skupa: S| = {l,2} i S i = { .\4 ,5 } r Sa slikc 5,9 jasno sc uočava da kada uđemo u jodan /atvorcn ,skup možemo da nikada ite napusttmo taj skup (ncma strclice od S\ t a S 2 )-

Dcfinicija* Stanje / ie a b s o rb u ju fo stan je ak oje p , ,

].

Kađa sejutlamput ude u ahsorbujutie stanje. lo stanje se nikada ne napusta, Naravno, absorbujuće stanjc je zatvorcn sktsp koji sc simoji samo odjednogelcnumta.

Defirricija* Slanje i je pn*Iazno stanjo ako eg/istira stanje /koje jc dostiživo iz stanja it ali stanjc / nije closLti/ivo «/ stanja j. Drugim rečima. Mauje i j e prclazoo stanje ako postoji put d j napustimo stanje i i da se nikada ne vratimo u stanjc L Ako posmatramo sliku 5 t\ moižemojasno da uoSimo da su stanja 1*2 i 3 prelazna stanj^. \z sianja 2 možemo stići do' stanja J {put 2-3-4). ali nije moguće da se vratimo u stanje 2 iz stanja 4.

Definicija r Ako staiije mje prelazno, ono se naziva rc k u re n tn o stanje U Pninem 5 J (slika 5.6), rekureoitna stiinja su 1 i 4 (takođe tosu i absorbujuća stanja).

Definicija. Stanje i ie periodićno sa periodom k, k> L ako je k najmanji broj tako da svi pute\'j koji vode iz Stanja i i vmćuju se u fiUnje Mmaju tiužinu kojaje pom ro/ena sa k, Ako rekurentno stauje nije periodtćno, ono se naziva aperiodtčno.

Deflnicija. Ako sti jva stanja u lancu rekurentnaHaperiodična i komuniciraju jedno sa drugim. za lanae se kaže da jc trg o d fcan

5*8 VEROVATNOCE S T A C IO \A R > O G STANJA. ZNAČENJH VREM ENA P H \ 0 ( ; PROLAZA t,1 ovom pogbvljuf drekutujemo konecpt verovatnoća staeionamog stanja, koji može da sc koristi da opišcmo po:iasanjc lanca Markova poslc dužep vremenskog intervala. Stedeci rezuliat je vitalan za razumevanje ovog konccpia (Tcorema 1). Teorema 1, Stavimo da P budc matrica tranzifivnih verovatnoća za s-stcpeni ergodičan lanac.Tadaegziîfa vektor ?r-|jt[ ?rs ],takodar

n2

TLt

*2 ii >“ *1

*3

Jt

sj /Stt

Recl&vi ćekanjti Pod^lim o se ca jc (i i)-li dL'incni maincc P M oznatCtt kao \p }, T . Teorcina 1 govori da ?a ncko poutmo s:anjLh t \ aži: lim (pj j )[1 = r t. ri y°° tMmctimo da za veliko n, matrica P n se prjbLižava niEUriti }coja ima identičnc vrstc. Ovo /naći da posli: du£Og vremcnskog pericida* vcrovatnoća da ćc sc lanJC Markova nalazitj u stanju j j t tt. i n e zavisi od p o td n n g stanja t. Vi;Mor Jt “ [jt] ,jti>,rrrT7is \ sc Oosto raztva jednAČma sraciqnarnog s t a n j i ili jcihiaćm a rav n o ttž e za lanac Markova. Za dati lannc koji ima mati icu tranzitivmh verovatnoća P, posUtvlja kh pitanjc kako možcmo dn nađcmo jednaćinu ravnotefce? Prema Tcoremi I, možc da s t uoči da za vclikt> n i ya svako i: p j" * % a p j" ^ =U j Kjko jc p[j

CS.52)

* elemeot i-te vrstc matrice P:' i j-tc kolonc matrice P, mi mo?cmo

da piicmo: (i53>

k=| Za vcliko n, zatncnjujući (5,52) u (5.53) dobija &e: s ’Ij = S ,lk - P k j k=1

(ii4 >

Scpovoljno je sto sistcm jcdnačina i 5.54^ ima bcsonaOan broj rcšenja, zato ito rang matrice P uvck sc pojavljujc da budc (s-1). Da bi smo dobili jedinstveno rcžcnje t/ sistema jcdnatina (5.54) ozaaćimo da za neko n i ncko i jc: p['I') + p W + ... + p H = l

(5.5S)

Ako smnirnmo da n —* « , tada j d 7C| + s ij + ■ « + % = [

<5.5-6)

Kada zametnmo (5,56) u (5 M*, mnzcmo da kortslimo sisicm jc d ra ć tra (5 54} da dobijcmo verovatnoće stacionamog stanja. Mustmjtno postupak nalaŽCnja \em vatnoća stacionannh sio.nja na Piimeru 5.4 Matrica tranzitivnUi vcrovatnoća za ovaj primcr jc: P=

0*9 0,1 0.2

0.8

199

OPERACIOSAISTRAZIVASJA

________

__ _______________________________

Prcma izrazu (5.54) đuhijj ic:

\JEi

1]

Tl-t I = fJIi

71-* l 'f

0 9 ° ' l1 1 1 1 1 “ ^0.2 0.8

Tako dii: H| ~0.^7l| + 0 2 ^ —-o. 1 •Tt| -f 0.^' rt2 Zaiiicnjujući dragu jcdnačinu uslovom da je

+ n;

]. dobijii sc sistem:

^0.9 Tî+<12 Jt| + n2 ~ 1 RcSavaitjeni dobijcnog sistcma dobijaju $e sledcćc vrcdnosii: n | 2 ' 3 i ^^ ^ ^ . £to dalfe znaii da poslo tliEgiitkog vrernenskog perioda, vcrovattioća da ćc osobEi da nabavj kolu 1 jc 2/3 „ ;i vciovatno$a da ćc osoba da nnbavj kolu 2 je J/3, Srerinjc vrcm e prvtig prolaza Za crgodican lanac; stavimo da jc n i j ; očekivan broj prclazaka pre ncgo 5to dospcmo u stanje/, ako smo trenutno u stanjti r. Tada tn, ^ se naziva srednjc vrcmc prvog prolaza od sttnja i do sianja j. Prctpostavimo da sc sistem trenutno nalaii u stanjn /. Tada sa ver&vatnoćom p ,j lanac ce iz stanja i da prcdc n sianje

Za k * j , lanac de sa vcrovatnoćom p{ ^ da

idc u sledeće stanje. tj, n stanjc k. I ' ovoro slućaju. pro5Cć;]rhbroj prelaza od sianja (

k*j OiucJa:

Pij + S P i k =I k#j Poslednja jednačina može da se zapiSc kao:

m ,j = 1+ ^ P i f rakj lt#j

Rcsavanjcm lineranih jcdnaćina (5,57), možcmo da nađcmo srcdnje vređnosti vccmena prvogprolaâ. O v o m o /c da budc pnkuzano kao;

200

Redovi čektwjn Jlu s in jjm o k o n s ć e n jc iz ra /a (5 ,5 7 ), tj. h aiđ e r.a n a d e rn o sred n je v r e m e p r \'o g p ro laz a n a p r i i n e n i 5A. K ako znanoo d a je ie: = 2 3 i rr> 1 3 , tađa je:

rn 3■ —■ —1 - “ i1.5< i• rTi7 t — 1 —3■> ]j 2 /3 1/3 Sadti jc d n aćin a (5.57) dovocli d o liledeec jcdnrtiint!: Olj2 ™ 1 + P | l "m l2 ~ 1 + 0 , 9 r Xt\[2 + m 21 = l + p22 "1^21 = ^ + 0 . 8 - ITiî

Reiavajući ovaj sistero od dve lincame jednačinc, dobijamo da je rri| t - 10 i m ^ - 5 - Ovo znaći da osoba koja jc ranijc pila kolu I će piti proscCno dcsct boea sode pre rcgo sto ee promeniti da pije kohi 2.

5*9 PROCLSI RADA>JA I UMIRANJA U ovom poglavlju, izložcnc sll vaine ldeje o procesima rađanja i umiranja. Koristcći ove proccse. razvijcni su mnogi redovi čckanja koji su prtkazani u Poglavlju 5.10. Proccsi rađanja i umiranja predsiavljaju važnu klasu prt>cesa Markova, Ovi procesi su kontinualni stohastićki proccsi koji mogu da sc nađu u različitim stanjima, označenim sa gdc jc n iienegativan ceo broj, Ako je proccs rflđftnja i umlranja U Stanju j u trenutku r. tada sc proces pokorava sicdećtm pravilima.

Pravilo J. Sa verovatnoćom },, -At + o(At) javiče se radanje u intervalu vremcna od t do t + At. Radanjc se javlja sukcesivno u sistomu od stanja L do sianja (/ + /). [ntenzitet rađanja u stanju j je označen sa i j . L' mnogim redovima čekat?ja, r;idanje je pojcdnostavljcno, 1j. pod radarjcm sc posmatra proces dolaska novog klijenta u sislem jer sc tada po\ cća\ra broj klijenata n sistcmu za jedan.

Praviio 2. Sa verovatnočom

.A:+ofAt) dešava se proccs umiranja u vremenskom

pcriodu [tt t + At]n Umiranje sc sukcesivno dešava od stanja (/-/) do stanja I. Entenzitcl umiranja u stanju j je o/naoen kao U innogim redovima čekanja, pod procesom umiranja se podrazitfneva komplctiranjc usluge. Oi'.načimo da je n () = 0 i da ova vrednost se mora održati ili može da sc pojavi negativno stanje.

Pravilo i. Procesi rađanja i umiranja su nezavism jcdan od daigog Pravila od 1-3 sc konstc ila ht smo pokazali da jc verovainoća javljanja viSe od jcdnog dogadaja u periodu [t, t + At J jednaka o(At). Smatrajmo da je proces rađanja i umiranja komplctno odieđen pomoću poznatih vrednosti i j i

ll ,.

Otuda,

da so ne bt javio negjativno stanjc* u proccstt radatija i umiranja mora da bude ?adovoljcna jednakost jji0 - o

201

OPER. lCfO \A fSTR 4Zt\ \ SJA diskrctm procesi radanja i umiranjs nuitijc sil iniDrcsajatni / a proučavanjc od Widicnski ncprckidnih proccsn rađanja 1 u m irin ja Mn&,\ analiâ koja ^ ođnOSi na ru;prckit!nc p ro ccsc radanja 1 umiranja mogla hi tia sc i:iko proširi i na VTCiDCnski diskrtrintr proccst: rn ian ja i umtnmja. V reraenaki

5.9. I RKLACIJA EKSPOMEKC'UALNE RASPODEtH I PROCESIMA RADANtJA I LMfTRANJA U mnogim redovima cckaitja, kao sln jo pnka/utin n narcdnom, poglavlju, vrcmena đolazaka i vrem cta opsluživanja su ck$ponencijalno ra&pcdcljcna. Ovi procesi se moddtiju kao proctsi nidanja 1 umicanja. K;io tluiiriiuija o\o g tvrđenja jc Enoticl reda čekiinja M M ! F IF O -» L ovom modelu vrcmena dola/aka su cksoncndjiilno raspodeljena sa paramctroro A. Vremena opsluživanja su takodc eksponL'ntijalno raspodeljena sa parametrom y i. N'cka jc sianjc siatcma (broj klijcnata u sistcmu ih rcdu Cckanja) u ircnuiku I oznateno kao Kako jc ckspononcijalna raspodeU bcz pamčcnja, 10 implicira đa verovatnoća radanja za vreincnski interv'ai [t, t + At ] noćc /avisiti kotlko j e dugo sislcm hio u stanju j i može da bude ođređena ako sc dolazak desio u trenutfcu /. Vcrovatnoiia rađanja zm & vrcmcnski interva! [l, t + At ] jc. Al j A - e ^ '- d i = ] - ? ' * 1 0 Izra2

1 Tiiože đa se razvije u Tc;iorov red, kao sto jc ranije pokazano, lako da:

e _i-’1 - l - X - A t + o (At) To ?nači da verovainoća rađanja u vrcmerskom periodu [t, t + At ] je

Ai + o(At).

Na osrovu ovog ra/m atrarja inočemo da zakljućjmo da intcn/itet rsdanja u stanju j jc stićan mtenzitciu dolaska X . I)a bi smo ođredili intcnzitet umiranja u trenUtku r, posmatrajmo da stanje sistema 11trenuiku r jc 0, Sro /naCi da se u Cvom trcnutku niko W opslužujL'. Onda i u vremenskom intervalu [t, t + At ] ne može da se desi proces opsluživanja, odnosno Pfj = Q. Ak« jc stanje sistema u trcnutku r t?zna I h tada zriiiino da Oc

tačno jedan klijcnt da budc na iscrvisu, Kako je cksponcncijalna raspodela raspndcla bezpam ćcnja tnožcmo da ka/cmo d« vcrovatnoća da klijcnt kompletira us1ul;u u vremenskom inlcrvalu (tHt + At ] sc računa: Ai

Jp. e 0

1 'd t = I - e " M1 - j ^ A £ + o { 4 t )

Z a j &),

jj ,

- jj,. 1 na kraju, ako prctpojtavtmd da su opslučivanja kompletna t da

pojava

dolazaka

je

medusubno

nc/avisna. 202

onda

sistem

cckanja

Retlovi črkpnja M /M f\J F I F O / « / « jo jiroces raJanja i umiranja, Ovaj p ro cc sje gralićki prikazan na slici 5 j 0 .

STANJF. rn

m

m

m

Siikct 5.10 Grajićiu prikaz sisfemtt čekanja \1 M I FIFO W M

5.9.2 IZVOĐENJF VEROVATN(K A STACIONARNOG STANJAZA PROCESE RAĐANJA I UMIRANJA

l J ovoj sckciji jc detaljito pnkazan postupak i/vodcnja veravatnoća stacionamog stanja, 7l Jt za proiyvf>l|an procss radnnja i uminmja. KljuOna rclacija (/a mato A l ) jc izmcdu vcrovdlnoća Pj ^(t 4 A t) ■ P, . m . Naćm da odrcdimu relacini i/mcdu ovih vcrovatnoća j t da oznaćtmo da postojc četri načina đa yist«m u trcnuiku r + i : budc u stanjuj\ 7.&J > i ova cctri načina prikasan su u tabclt 52.

Tahela 5 2 hračumtvttnje verovatnoć^ o aish*m u ircnutku t + At bude ir stanjstj Stanje u irenutk'Li t

Sianjc ii trenuiku l + At

j- i

j

P |^ , C t )

j

P , j +l l ‘l t * j +| i i + o ( i t ) J = 0 t )

j *i

f

) --------------Ncko dmgo stanjf

j

r

Verovatnoća ovih stikvenci

--

4 t+ o { A i) |* ( I )

1

P ,j(t)-(l-n , i t - i j * A I - t H I )

r

o(A()

J

Za j > l, verovatnoća da ćc sisicnt ti trcmitku / da budc u sianju (/-J ) a u trcnutku t + At u stanju j (slika 5 .11) jc:

PU H ( t ) ^ j „ , At + o(At))

vrem B

STANJE

o Q

t

i+Dt

--------------------------------------- » { 7 ? ) ----------------------------------------> Q

P ij-K i)

' i-lfll-U D l

Slika 5. II Verovfftnoča da atanjeje (j-1) u tremttku t i f u trcriutku 1+ A1 203

OPERAOONA ISTRA2IVANJ. i Na isti naćin razmišljamo knđa izvodimo i/rti/c (II), [JII) i d \ 'j. Tada: P; j (t + A t ) ^ ( I ) + (lI) + (I[I) + (IV} Posle pregmpisavanja tevmina u ovoj jcdnacinu dobija se: Pjj(t + i t ) » P tj (t) +

i t ( ? . J_i-?j,J. 1(i) +Mj+r p,.]+ilt)-P:,(E)-tij-P1Jlt)A J )+

(5,S8>

o(At)(P,.J..i(t)+PM*i(:)+l-2-l\j = kJ u ;

At-(XH -Pi j_i(t) +n j+l Pi,j+1(0 - P ij(t) (Aj -Pij(t) J.j) +o(At)

(5.58a)

Podelimo jiidnaiinu (5.5Sa) sa i t i pustimo da a i -* o , t3da inožemo da pokažemo da za svako i i z a / k l : lim

Pij(t + At) - P, ,<*) i,

A r-*0

M j(0 =

CS.58b>

^ j - r pi .j - i ( () + Hj+i P i . j + i ^ O - P i j f O u j - P (j « ) Otiida za j=Q, P,

(t) = 0 i ^ j = 0 , dobija se:

P- 0 (t) = jir P,j t O - A o ’ P, 0 ( t ) Ovo je sistcm dtferencijalnili jcdnačira kojc ima be$konaCno tnnogo reSonja, Ove jednaCine mogu da byda reSiivane za Pj ( t ) . K.ea]iu>, ovaj sistem diferencijalnih jednacina je ckstremno ieško rešiti Xa dobijanje verovatnoća stacionarnog stanja, Jlj, možc da se konsti (5.58b). Kao ito smo ranije i/veli. za lanac M a tb v a , Vtttjvatnoia StacionaniOg stanja JTj sedobija: lim PTiJ(t) Za veliko / i za početno stanjc i, Pj j ( t ) se neče menjati puno r može d;i se smatra da ima konstantnu vrednojt U Stacionamom stanju (/ veliko), p. (t) = 0. Takode, u

stacionumom

j _ |( t ) = n

stanju,

P| j+ ](t) - Jtj+ i i Pj( j(t)

Tij -

Zamenjujući ove relacije u (5.58b), mi dobijamo za j > I: X j_ |

T L j.,

- * H

- * j

-Ttj. i +Mj+| 1^j+i = rt,

-IL j - T t j

X j

+ ^ j)

= 0

(j = 204

(J 5 g c )

Redovi čvkunju £a j - 0, dobija sc:

fi| 7C| = n0 JcJnačine (5 5Sc) prcdstpvljaju sistem lineamih jednaCina koje tnogu lalco da se icS.e. Pre rtego Sto poktižcirso postupak rušavanja sistenia linearnili jeđ n aiin a (5 SSc)t dajemo irtluitivito razmattatije nafina id a v a n ja Ovcg sistcma na skđeći način: L nekom uvnutku i u k&jetti posmarrantoprvces littfanjti i umiranjti, to mora thi hude istina da ici svako stanje /. hroj puia koliko ula?imo U stanje j mora da hude razlučiT od broja pitUi fiapitsuinja stonja j |4j.

Zn voliko t i z a j - 0 , 1 , 2 fi m nvkc počctne uslove^ moia
Ofekivanom bmju dola/aka u sânje /

(5 59)

Korisieči jednaOinu (5 59). možerno tlj odredimo vorovatnoće stacioniimo^ sianja. Itj Za / ^ i , sisiem može lako da napusU sta n je/ p o b /e č i od stanja (/ + 7 ) iii {/-!)+ loko da / a j > ] , dobija se; Očektvan broj odlazaka izj/jčdinica viemena= n j - (X, + ja ,)

C5.60}

Za j 1 11 sistem lako moze đa doćer do stanja j oć starja {/-/) ili {;-!-/): OCckivan broj ulazaka u /je d im c a vremciia= n ^ j Aj | + n [+|

(5.6J ">

Zamcnjujući (5.60) i (5.61) u (5,59) đobija se:

Xj_j «1Cj_[ +)ij+i '* j+i =Wj (Hj +Xj> Za j= 0 Tmi znamo da ^

(j = p ,.„ )

(5.62)

- k _ ~ 0 . lakođe nnamo:

Jlj *%y&no H G

(5,62a)

.lcdnaCinc (5.62) i (5,62a) testo se aazivaju jedn aiîiam a ravaoteže / a proees n id a n ja i um iran ja. Irtcn/itet prela/ni u stanje i mora da bude jednak intcn/itetu niipu^tarja starja i. /a svako stanjc, Ako ttvaj usl0\ nije ispunjcn. tada kaicm o da stacionamo stanje nc postoji, Za svako stanjc_/, jeđnaćine f5.62) i (5,62a) u razvijenom obliku mogu da sc piSu na sledeci način: j*0

Hq

'Xi

j= l

(Xt +Hj )'K; =A.o n « + ^ 2 ' * 2

j=2

{A.2 +jt2)-n2 =A; -7El +Hj i:)

! I'liir i t m i

j-tajedn.

rl ■ ■ i i ii H'i d 1 Li,J

(^.j + |Jj ) « j =

h !7 r■ ri H4 4 4 ^ F! !4 ^

” j-|, + H j * | -™j-n

201

(S 63)

ĆPERACIONA ISTRA 'Z!J rA X l I Korisltrći sistem jcdnačina (5.63} mo"Li da sc o^rcde vcfovatnoćc sEacionarnog stanja za proccs rađanja i uniiranja. Za / 0 (prva jeđnačma ststema (5.63)) sledi: Jtp ■Afl 1

Zamenjujući ovaj rczuttai u jeđnačimi za k o j u je /^ l, dobija sc stedcća jcdnačtna: 1

ii n ■712 ir —-- --------------------+ W ) ' ,tO , *-0 ♦n, 7Iq +i (.1

iz koje 5e uraćunava

, tako đa:

*Aq hî 2 ~ -------------'1^2 Induklivinrn nacinum zakljućivanj^ rfobijd '.,. h■Aj _ j nJ = U; *p.2 .

An

Ako ozoačimo c —

-A i

1. . . . A j _ i

— -—

.

.

.

—— * verovalnoće stacionampg sianja za proces

rađanja i umiranja sc dobtjaju prema i/ra/u: 71j = 7 i o ^Cj

<5.64)

Ako n datom vremtrnu îstcm inora da se nadc u nekom st;mju, suma verovatnotia slacionarnog stanja tKnosi jedau: £>j =l j=o Z^menjujiJĆi '

(565) {5.64}

-

u

(5 ,6 5 )

dobijamo:

1

n0 - i + l c j = \ .

Jrtl

Ako sunia

(5.66)

.

^ c } >ma konačnu vrednost, možerno da koristimo t5,66) da j-0

i;:raĆunamo vređnosl vcrovatnoće 71g . tEiko da: * 0 = — !—

<5 6 ? )

i+ £ c j H U ovom slufaju jednačina (5.64) mo?c da se koristi da bi odrcditi vemvalnoće siacionamog stanja

Ako sama y V

j*0 verovatnoće stactdnamog slanja nc egzistiraju. 206

ima besnonaČnu Vrednostt tadfl

Redovi ćekartfa Kadalje je korisćcna leorija procesa rađanja i umiTanja da bi se odlredfift verovatnoće stacionamog stanja različitilt sistema čckanja, V redovima: cekanja, verovatnoćc stacionamo^ sttinja se korislc da bi se odredile nekc diuae vetiCine koje su inlcrcsatunc ?.<\ proučgv&njip rcdovEi čekanja.

5.10 MODfcl J RKOOVA ĆEKANJA U ovom poglavtju clclaljtio sle prikazani ncki modeli tedova ćekanjš kojt inoaju veliku pmktićnu primenjivost.

5. 10,1

M O D EL M / M / l / G D / « / « . F O R M C L A Č E K A N JA L = | - W

Frctpostavkc kojc se uvode u o\'aj modet su: 1 . Vremena dolazaka su cksponctictjatno raspodctjcna fvreiê d|]aska po jedinici v re m e tia je

X).

2.

Ima jedno mcsto opsiuživanja. Jedinitno vreme opsluživanja (vreme ppsl uživanj a j ednog k I ij c tua} j c o pisa no s Iuč aj nom vcl icino m sa e kspone nc ij a Inom raspodeiom sa parametrom )I r Ranije je pokazano cia ovaj rcd čckanja može da se modelira kao proces rađanja j umiranja sa slcdcćim paiam enim a:

| | - X (j = 0,1,2,...) p.0 = 0

<5 6S>

Nadalje ćc da bude detaljno i/tozen postupak nalaženja verovatnoća stacionarEiog stanja za razmatrani modcl čckanja. M odel je grafički prikazan na slici 5. 1 0. Zamenimo (5.68) u (5.64) dobijamo: &vjth

% = ------ S ^

A2 ' K0 }J 2 ....... i i j - — ---

f*KQ'i C5o9)

\i3

Defmišiimo sada odno?i (> = i koji jc nazvan stepen iskorisćcnja kapacitcta ili mesta

usluge. Podimo od fednaćine [5.65) koju pišemo u razvijenom o£b11ku: + nj + 7^ + Zamenjujući (5.69) u (5.65) dobija sc:

k +rcn ■■■■+ ;t0 ■ —

2

fk) + rt^ ■ —

3

n Q-(l + p + p 2 +P-5 +„*)= 1

(5,70) 207

o pe r a c io n a istraživanja

Označimo $a S sumu hc&konatinog Opadajućeg reda, lako da: S = l + p + p 2 +P'" + , t . Formula za izračunavanje sume beskonacnog rcda jc požnata, tako da u ovom slučaju je:

S^-L-

(5.72)

l~p

ili kada zamcnimo p = ^' dobija sc: '

Ll

s =- ^ -

(5,72a)

a -1

Zamenjujući (5.72) u (5.70) dobijfi se: 3Cq - 1 - p

(0 l , Vrednost sume S se povećava ogromnom brzinom. Primera radi^ za p = l, vrcdnosi ove sume je (1 + I + H-,J.+ I+ .....). M oie da se ka5e da 2a p s i stacionanio stanje sc nc javlja. Tako da moSemo da kazemo kada je stacionamo stanje razmatranog sistema čekanja ne pnsioji. Ovaj slučaj sc javija onda kada je mtenzitet doiaska jednak ili barem malo veči od intenziteta opsluživanja. A koje p < i tako mo/e da se zaključi zasto mora da eg7i??t’ra stacionanio stanjs. Naša da'ja analiza je usmerena samo im slučajeve kada cgzistira staeionamo stanje. Izvođenje form ule za L Pretpostavimo da je p < i i nada’je koristimo izraz (5.74) da bi izveEi ncke vcličine koje su interesantr.e za o\'aj modei, Pretposiavjmo da jc postignuto sEacionatrno stanjc, odrcditno sada sj'cdnji broj klijenata u redu Sekanja, oznaćen sa L. L = £ } ^

(5, 75)

j# Ako iamenimci (5,74) u (5,75) dobija se: L=

' ( i “ f>) = 0 “ p | j=0

<5 -76) j-0

DQ

N ekaje S = ^ j p J = p + 2 p “ + 3 ■p -> + j=Q

208

{5.77)

Redovi Ćtkanje

Sadj zamenimo (5.77) u{5 ^6). iako tia se dobtja: 1- ' ([ ™p} (p + -

+ 3- p ' + ™.)

(5,76a)

Ako pamnoiim o (5,76) sn p đobič&mo: p -L = ( l - p ) - | p 3 + 2 ’P3 + 3«p4 + .,.)

(5.78)

GdUjtimairjemjednaČine(5.7BJ ođ (5.76a) dobija se: L - p - L = ( l ’ P )j |p + 2 p : + 3 p ' +:«.)-(]

p) (p2 + 2p ' +,..)

1 (5.79)

Deljcnjemjednačine (5.79) ^sa (i - p) dobija &e: L - ( p + p 2 + p 3 +...)

(5.79a)

Dcsna strana jednaćine (SH79a) predstavlja sumu bcskonačnoa redaT tako da kotiačni izraz za srcdnji broj klija^ta u redu čckartja ti razmatranom modetu se odrcđuje prema formuti:

Lr

P

(5,79b)

1-p

ili ako âmcnimo p = i * srednji hroj kiijcnatfi u redu čekanja može da se tzraČuna

'A pretna formuli: L -— ji- A

t 5 79c>

[/Vdcftnjc Tarmule za L q U nekim situacijaina, zaimcrcsovani smo da odredimo broj kLjjenata koji čekaju na liniji (na ulazu), Označinio ovaj broj s a L q . Ako hes liniji nema kltjcnata Hi ac iialazi |edan klijent, tada ne postoji Cckanjc. Međutim ako se u redu nalazi j klijenata ( j ž l ) , tada jc ira liniji eekanja ( j - 1) kJgenata. Odredimo sada vrednost

pođ uslovom da je dostignuto slacioit&mo sianje.

jt>1 Priinenjujući osnovne eritmetiie operacije imamo: (5 8 0 o )

}*\

209

OPERACIONA ISTMŽH'ANJA Prv'o, razmatrajmo izraz T V j . £am enini$ u ovaj izraz (5.74) i sprovedimo osnovne aritmedčke operaeije, lako da: = T p ; ’( h p ) s ( l - p ) - ( p + i r

j=]

+p-

+,„-)

j-S

Dmgi či:il]eic izraâ (5*81) predstavIja sumu be&kopaŽnog rcda koja u ovom slučaju lznosi

. Ako sc sada vratimo u izra2 (5.8 l | i pnmeniino ovaj rezultat sledi: t~ p p)-? ? s - p

< 5 -8 1 a )

oo

co

Prvi etan jednačine (5.80n)n ^ j=t reclu čekanja, L* dat izrazom (1,79b).

P '^ s ta v lja srednji broj klijcnata u j-0

Sada jednačinu (5.8Ga) moiemo đa pisemo: L

P

p_

(5.80b)

P;

" 1-0 ! p ili ako zamenimo p = i broj klijenati na linijf Cckanjaje: L

= - A - p ---------i _ — q )-p u -far^ )

(5,80c)

Izvođenje forniulc za L s Veoma često je od interesa da se odredi oćekivim broj klijenata na mcstu opstuživanja. Za razmatrani model čekanja, vrednosl ove veličtrie se odreduje pomoćn jedna£ine: L s = 0 ' TC0 -t-1 - (tt5 +7I2 + „.} = }> -% = 1 —(l —p) = p

(5,S 1)

Otuda, svaki klijent koji se nalazi bilo na liniji ili na mesiu opsluživanja, smatra se da se nalazi u redu tekanja. Tako da srcdnj i broj klijenata u redu čekanja se računa: L=

+ Ls

FO RM L'LA Č E K A N JA L a j k . - f f Vrlo često je od velikog interesa da se odredi koiičina vremena koju tipični klijenti poti'oše u redu čekanja. Neka je sa W označeno nčekivano ytejne koje klijenti potroSc u redu čekanja (vneme tia Eini ji čekanja plus vrcme opslu/.ivanja). Neka sa 110

Redoii čekania \Vk, označimo oćekivano vreme koje ktijemi poirose na liniji ćckanja. Obt' ove vix;djnosti su raûtLftle unutat proipt>sinvrkc da ss sistcm Luila/i u sU^cinnarnom stanju; Koristeći I.ttlovu formulu čekunja^ vrednosti W i Wq mogu lako da sc odrede koristeći L i 1.^. Prvo ctefmišimn /a red čckanjit (ili d d o v e reda čckanja) slc d c ć e numeriCkc promenljivc:

-

/- srednji bruj dola^^ka u sistom po jedinici časa, L srednji bmj klijenala u redu čckanja, i , G sredqji hroj k3ijenata koji čekaju na lintji,

* -

W srednja vrednest vreinena kojt: klijenti potroše u rcdu čekatija. sretlnja vrcdnost vrcmcna koje kli’enti potroSc na liniji čckartjEi,

-

W s srednja \Tcdnost vremcTii koje ktijenti potroše na mesm opsluči\anjar

l.' ovim dćfirticijania sve računatc prOsečne vređnosti si: otlnosc samo m sluČaj c!a se sistem nalazi u sttcionArnom staniu, Za mnoge redovc čckanja. Litlova formula može da bude sažeta u i'eorcmi 2. T e o r t m i 2. Za neki rcd ć e k a n ja kojii Se nalazi u slacionamom sianju, važc slcdeče rdacije: L =\ W (5.82) (5.83) L« =>- Ws l/razimo iz (5.82) W i zamcmmo (5.79e): w -i=

k

(S.84)

1

\i-X

Prema jcdnačini (5.83) moguće jc da i/računatno srednju vrednost vremena koju klijenti potroše na Hniji čekanja,

, Zamcnimo u jcdnačiiiu (S 83) jednačinu

(5.H0b), tako da sc dohija: w

- k s . = , ____ - ___

15

A

JJL (fJL“ X)

Isti iiačin razmi£ljanja koristitno za ođređivanje vrednosti W s : ws = K = i

k

Primer 5.5 Preipostavimo da dcset auiomobila u toku jedno^ satži dola/i na šatler banke kojrt imu autošaker. Takode. pretpostavimo da je vrcmc opskiiUvanja 4 mitiuta i da su oba vremena eksponenojalno raspodeijena, E]otrebi:o je odgovonti na sledeča piianja:

o p e r a c i o .v a i s r m ž n

a \ja

1) Koj;i jc verovatnoća da ćc blagajnik na šalteru da bLitk1 besposten? 2) Koji je srftinji broj autOmObfla koji se ivdhi/.c u redu Ockanja (auto koji je Ha počtiiku opsluživaAja nC smairz! sc da čeka}?

3) Koje fc vreme koje klijcnt poiroši na parkingu hankc (ukljufujući i vreme opslulivanjal? 4) Koliko klijcnta u toku jcduog sata će hili opslofeno poniočLt jcdnog blagajnika?

ReŠenje: Prema pretpostavci dai: problein čekaEija može da &e opiše M M ] ' » / « modelom u kojem je X - 10 auta časuTi m " 1 5 auta/čattt (15=60:4), Kako znamo vrcdnosit X

i U m o ž e m o d a iz r& č u iia m o p = — = — ■= — . |i 1 5 3

Sada m oiem o da damo odgovore na posljvljcna puanja: I) Na osrtov'U izraza (5.7 3) sledi da je

i= 1 - p = 1 - y = -j Jto znači da će

blagajnik da budc neiaposlen odojednc iroćinc svog redno£ vtemena,

IT

3J 4 — = ^ automobila i3 3

2) Pnema izrazu (5.80c) slcdi d a je L^

3) Prcma izrazu (5.82) s!cdi cla jc W =

, Tada prema izrazu (&79c) je: A

L - —— = = 3 auta ]-p 1 -2 /3 W = ™ - — - 0.3 Ćasa-12 minuta. X 10 4) Ako je blagajnik staJno /aposlcn znnmo da on može da opsluži 15 automobila po ćasu. Mcđuiim. dobili smo da jc blagajnik zauzct samo 2 3 svog vremena. što dalje

2

zna£i da u loku jcdnog saia on če da opslu/t — 15 = 10 automobila Ovo može da budc sasvitn prilivatljivo zato Sto 10 automobfla u toku jednog sata tlolu/e u sistem.

5 10.2M ODEL VI M I CiD 'c * Prema Rcndalovoj notaciji, ovaj sistcm tekanja podra/umeva da jc kapacitet klijenatii c, Ovaj model je gotovo identičan modclu koji jc opisan u St:kciji 5. JG.I. I u ovaj modelf kao i u ptcthodni M M l C}D » & , sc uvodi pretpostavka da su vremena doJazaka i vremcna opsluživanja eksponencijamo raspodeijcna sa parameirima X i pt, rcspektivno. Tada model ćekanja M M l. GD c « m oie da bude modchran kao proces radaujfi i umiranja, Ovaj modct je grafičkt prikazan na slici SJ 2 . 2/:

-

Sflba 5. /2 Gnifkki prikaz motiefa ćekanja M M l CJD/t / w Paramctri ovog sistcmći Cckanja su: (j = 0 J t2 _ c - l )

kÔ n Mc ™0

<585)

f-t, = JA Ako jc Xc ' 0

sisicm mkada notje đoći u stanjc (c + /) ili ncko dm so stanjc jsa

vcćom numetacijom. Za

verovatnoćc suicionamog stanja za ovaj

sistcm ćekanja su: 1E -

l_ P

*J “ PJ ■ %

(j = U ... e)

(5.S6)

flj = 0 {j = c + ], c + 2)JH,) C Kombinujući jednaćmu (5,86) sa izrazom l , = ^ j - n , , možc da sc pokaže da za

\x vaii sledećajcdnakost: i - P , [1~ ( c + 0 ; P C + C -P 1" ] (l-p"'J.(]-p)

(5.87)

Ako jc X = f.t tada sc stacioname vemvatnoće i braj klijcnaia a rcdti ćckanja raćunaju prema iziazima (5.8S) i (5,K9)Srespcktivno.

* J= ^ Y

C5.88)

L=|

(5.89)

Kao i kod prelhodr.og modcla, srcdnji broj klijcnaia na mestu opsluživanja sc računa: L, « 0 ■n a + 1 ■(jTt +

+ .„) - ! - n n

213

O P £JliaO .\rA ISTfU?Jl'AXJA Tako da m oic &a sc odredi srcdnji broj klijenaia koji sc naiftzi nalimji čckanja kao: L q —L ■ L s Odredivanje W i \Y^ prcma jcdnačinama (5.82) i (5,83) nijc dovoljno pou/datio. U jcdn>£inama (5.S2) i \ prcdstavlja sreJnji bcoj klijcnaia po jcdinici vrcmcna koji trtnutno u]a/c li sistem. I,J tnodclu sa ogranifcnim kapadtclcnv ncka jc sa A oznaćcn srednji broj dolazeka po vrcmenu do!a/ak;i, ali broj khjenuta koji popunjavaju sistcm jc A ■TtL. . Tako da srcdnji broj do/aka po jcdinici v rtnlcna koji trernuteo ula/c u sisto n sc raCuna kao

JComninujući ovc ilinjcnicc sa

jeđna£inamM5.82) i (S.83) dobija sc: w =. ^ M i-n J Kada jc A. >

i W :» — r * — ,

(5.90)

T stacionamo sianjc u sistcmu fckanja ce da posioji /a to što

ograniieujc kapacitcita nc do?voljava da sc bfflj klijcnata u sistcmu čckanja beskonaćno povcćava.

Primer 5.6 U fnzcrskom salonu nalazi sc 10 stolica. l ' ovom salonu radi samo jcdan frizcr Vrcmena dolazaka musterija SU cksponcncijaino raspodeEjena i znamo da 20 potencijalnih muštcrija dolazi svaki sai u salon. Ako jc salon pun, mužtcrijc koje dođu ncćc da udu u saion Frizen] jc poircbno 12 mintfta da oSiffa muStcriju. Vrcmc šišanja (vrcme opsEuživanja) jc lakodc cksponeneijalno raspodc[jero. Potrcbnojc izračunati: 1) Koliko puno Sisartja za jcdan sat frizcr tno/c da zavrsi? 2") Koliko puno vrcmena rnuštcrija provodi u salnnij'.J

Rešenje; 1) Verovatnoća Ttjgsvih d o lazakajc vcro\alnoča da ce muSlerija oaći pun salon. Otuda jc X-(l —

) srcdnji broj ula/aka muStcrija u salon u toku jcdnog sata

Vcrovamocit da ćc svi klijcnH koji su usli n salon da biidii opskižcni (oitSanj) u toku jcdnog sata jc X Prcma na£im prctpostavkama, c - 10, X = 20, Ji = 5. Vrcdnost

p

A 20 p = — - — - 4 . Primenjujući izraz «0 =

l" 4

sc izraćunava i iznosi u ovom primero dobijamo:

* j! 0 A1C 1 JtlO = 4 -n o = 0 7 5

Srcdnji broj mustcnja kojc ćc da budu ošisanc u toku jcdnog sata je 20 ( l - 0,75) = 5. Ovaj re/u]tat da!jc pokazujc da 15 muStcrija po satu ncćc da uđe u salon. 214

Rndovi čeftimja 2) Da bi odredili W kcristimo \s.raze (5.K7) i (5 ^ 0 ):

L=

4- 1 - 1 1 4 !° + 1Q . 4 1 ' (l - 4 ')- ( I - 4 )

= 9.67 muštcrija

9.67 X ( l - n I0)

2 0 - (l —0.75)

= 1.93

Ovaj reûltiii pokazuj^ da jc salon prepain 1 da jc potrcbnći da hutlc angažovan najmanjes još jedan frizcr.

5 . 10.2 Mf >DEL M i M / s / CjD / «■/ »

Pretpost&vka koja sc rwodi 11 modcJ čekanja kojl je opisan u ovoj sckciji je đa su vr-emcna dđjazaka i vrcmcna opsluživarja cksponcncijalno raspoddjena, Sa paramcirima X i |LL, rcspektivno. Paramctar X predstavlja intenzitet dolaska po jedim ći vrcmcna a paramctar \x je jedinično vrerrie opšlUživanja. Takođe, uvodi se i preipoiiiavka da postoji samo jcdna linija dolaska i 5 paralclnih mesta na kojima klijentj mogu da sc opsluže. Ako je j Š s , tada svi klijciui koji sc nalazc u sistemu su na mcstima opsluživanja. Ako je j > S , Sva opslužna mcsta su znuze ta a ( j - j ) klijcnaia st: nalazi na liniji fekanja. Neki klijcmi koji nađii idcalno mesto opsluživanja, budu odmah usluženi, dok drugj klijcnti koji ]tc mfjgu JK ne umeju da nadu idcalno opslužno mosto (serviscm) Čckaju u redu. Sistemi čekanja u bankama 1 po.štama mogu idclano da sc formalno opiSu ovim modčlom. Opisimo sada razmatrani

modcl

M - 'M /s / G E ) - « ,'«

kao proces radanja

i

umiratra, Uvcdimo o?.naku kao 1 u modelu M M |/ G D » /* » da j e X\ —X (j—0,1,2,... ). Ako jc j sctviscra zauzcto, tada je intenzitet servisiranja: ^ + ^ + .....= j # Svaki put kada je j klijcnta u sistemu, min fas) servisera če da budc zauscto, Tada je: [Jfrj— mtn { j . j l . Sumirajući ova razmzitnmjaT zaključujemo da Enodel M / M / s : 'G D / » ; m niožc da budc modclovan kao proces radanja i umiranja (stika 5.13) sa paramctrima;

“ j ^ ( j f S S J .....s)

(5.91)

(j = S-rI,S + 2 .....) X

x

SIHia5.13 Gri$čkipriktiz modelti čektinja M /M s / O D / « , « 215

OPERACiOSA ISTRAŽIVANJA DcfmiSimo saca veltčimi p

. Za p c l , zamenjujući <5,91 }u izrazc od (5-64)

do (5,67) dobijase:

l

fin ”

° & (s p)' z 5i- i! inU

n

(5 .« )

(s p)‘ s l(l-p )

0 = u ..... S)

(5.93)

(j a i>S + l >S+ 2,„.)

(5.94}

s'>sJ Aku je p > 1, tada nc tn o /c sistom da dodđe u stacionam o stanje. Drugim rcčima, ako jc in k n zitet d o la ^ k a v e 6 ili jcd ra k Tnakumalnom inogućem inteazitetu scrvisa (A > s ’ u) t tada si slem "eksplodira11. Prema izrazu (5.94)T moic da bude pokazano da verovamoće staeionamog stanja đa su sva opshižna mesta zauzeta sc računaju prctua i:;;razii; P { j> s ) =

( s - p ^ -Tlf,

# l~ p )

V labdi 5.3 datc su vtTOV&tnoĆe â različite vrcdnosti p i &: Tabela 5.3 P ( j > s ) zam odel čekanja M - ' M / s / G D / » i « n 0.1 0.2 0.3 0,4 0.5 0.55 0,6 0,65 0,7 0.75 0,8 0 85 0-9 0,95

S -2 0.02 0.07 o .i4 n 0.23 0.33 0.39 0.45 0:51 0.57 0.64 0,71 0.78 0.85 0.92

5^3 0,00 0.02 0.07 0.14 0.24 0,29 0,35 0,42 0 .5 1 0.57 0.65 0.73 0.83 091

s-4 000 0.00 0.04 0,09 0,17 0.23 0.29 “1 0,35 P 0.43 0.5 L 0.60 0.69 0.79 0,89

216

5=5 0.00 0.00 0.02 0.06 0.13 o .ts 0,24 0.30 0.38 0.46 0.55 0.65 0.76

0M

s~6

" 1

0.00 0.00 0.0! 0.04 0.1® 0.14 0,20 0.26 0.34 0.42 0,52 0.62 0.74 0,87

5 = 7 ___| 0.00 0.00 0.00 0,03 0.08 0J1 0,17 0.21 0.30 0.39 0,45 0r6 0,72 0.85

Rt’tfori ćekanja Takođe m oie da sc pokaže da jc Sfcdnjt broj kJijenata koji ickaju na liniji: s P (j £«)•<> 1 -p Srednja vrednost vremcna koje klijent provede na limji Čekanja se u ovom modelu računa prcma izrazu: w

k

= J l Q l ^

(3 9 7 )

Ukupan broj kltjenata u sistemu čukanja, L, kao i ukupno vrcmc koje klijcnt potroši u razmatranom ststcmu čckanja. W, se računa prcma izrazima: L = L +•— 1 H 4

=k

(5.98)

+I , w, +i^ -p ^

+i

P r im e r 5 .1 Razmairajmo jedmi ckspozitum CREDY bankc iz Kragujcvca u kojoj se nalazc dva šalKra. Znamo da KO stratiaka (klijenti) dotaic u ovu ekspozitum i £{±ka u jedflom redu za blagajnika koji nijc zauzct. Srcdnje vremc koje je potrebno da sc opsluii jedna stranka t^nosi 1.2 mimita. Prctpostiivimo da su vrcmena dotazaka i opshiživanja eksponcncijalno raspodcljena, Potrebno jc d a se ođrcdi: 1) Bmj klijcnata koji koriste uslugc ovc ekspozimrc 2) Očekivano vrcme kojc klijcnt provede u bart:i 3) D e o vrcmena U kojcrn jcdan blagajnik mje zauzct

Rešenje; 1) Opisam problem može realno da sc opišc M M / s / G D « modclom čekanja sa a = K0 stranaka po času i (Jl = 50 utranaka po Casu. Prcma ovim podacima Xfl računamo vrcdnosl p ^ tako da p = ■ — —0.H < 1 * pa stacionamo stanjc nc postoji 2 -50 (za A >100 stacionama stanja nc cgzistiraju). Prema tabeJi 5.3, p ( j > 2 ) - 0 , 7 l i fcdisteći ixraz (5.96) slcdi: L = ° '8 - ' 71 - 2.84 siranke. 15 1- 0.8 so Prcma i/razu (5.98) slcdi L = 2,S4 + — = 4,44 slnmkc. 50 2}Očekivano vrcmc koje stranka provede u banci sc računa prema izrazu; L 4 44 W = —= = 0.055 Ćasa-3.3 minuta. k 80

217

OPERACIONA IS T R .lŽ m \ JA 3} Odrcdtmo sada deo vrcmetta u kcjcm j e blagojmk slobodin (ncma KTmnkc). Oznaftmo da bbgajnik nijc zauzct u vreme ubska stranke, kada je / - 0 i pola vremena y=I, Verovsinoća da je bltigajrJk slobgdun, prcma ovoj pretpostEivci, jc 7Tft + 0.5 ■«!. Koristećf činjcricu prcma tabeJi 5.3 da jc P( j > 2)= D."rl . mt>/e dn sc dobijc vrcdnost Tifj prcma izraztt (5.95): _ P (jž s )'s !-s j-" _ 0.71. 2!(1 - 0 .8 ) “•

(*-py

(2 - o . t f

'

° 'n

Sad [trctna izrazu (5.93) sicdi: a, -■

= 0 .1 7 6 .

1!

Vcrovatnoća da blagajnik nijc zauzet je

+tlr5-

^ 0 .11+ 0.5 ■0.176 - 0. 19N.

Ovu vcrovatnoću možcmo dn izračunamo direktno prcma izrazu (5,92);

v

S

H I!

=an' 2 ^ 1 - 0 .8 )

1 G IK i/~. fiD /» : ~

5.10.3 MODELI

[’ostojc mnoge simacije kada klijenti nikadg ne iekaju da bi bili opslužcni, Ovi listemi se čceto nazivaju sistemi sa samoopsluživanjem. Neki primers ovih sistcma prikazam sti u tabeli 5.4. Tabvlo 5.4 Primeri sisteitia vtr tdfttonp.slitžiianjcni

Situacija Lnđusirija

Program l'akulieta.

Ditla/ak

Vrem e flpslu/ivanja

indusirijskom

(Vrfme ii iistemu) PrediiTeća koja napuitaju industnjsk:)

proizvodjijom

proizvodnju

Sttjdenti koji počinju da slu£aju prograjn

Vremt kojC snidenl provede slustjući razmatrani prograTr

Pteduztča kojii sc bavc

Stanj« sisteiBA Broj Tirmi Scoji st; bavi industrijskoni pioizvodnjom Broj studenata kuj: slušaju razmatrant

proi^ram

Koristcći KcndalovTJ notaciju, sistcm sa samoop$tu£ivanjem u kojcm vrcmcna dofaif.aka i vremena opsluživanja nuigu da imaju pmi/voljmi rasprdelu sc pige kao t i l / G / « j GD. » , Ovaj sistem rnoic da sc opišc na sledeći naiin: 1. Vremena dolazaka sc opisnju slućajntin veliCmama koje imaju upbičajnu raspodelu verovatnoče. Matematičko ocektvanjc ovih slufajnih promcnljivib je _ f ¥ A gde K predstavija inten/ilci doEa/aka ili k a to s e jo i to na/iva stopu dobzaka.

213

Rrd*f\ i i d&mja

2. Kiida klijertt

on jc L>dniLili opsLužen. \ rcrisc kojo klijent pnovede u sistemu

je opisano sJućajnom veiićinom čije j« matcmatičko oćckivanje — . Neka jc L označen očekivan hroj klijer.ata 11 sislcmu kada se sistcm tialazi 11 stacioniimom sianju, a \V jc oćekivano vrcme kojc kiijenn potrošc u sisicnni čckanja* Prema jeiir.ačini i5 S4> slcdi: L= ~

(5.100)

V IcdnaCmit (5.1^0) Tie zahteva prelpostavku o eksponencijalnosti. Ako su vremena tlolazaka ekspotiencijalno r&spođeljcna fvremc opsluživanja moŽe da ima proizvoljnu faspodclu}. moSc da se pokii/e da raspodeJa verovalnooe i-loii klijenta u stAcionamOm siarju sistcma tn/naćcna kao :i|) $\cd\ Puaronovu raspodelu sa matcmatlekim očckivanjem t. ■

implicira da:

_x M

(5 l 0 i )

jj------

Primer 5.8 Svakc godinc u Kmševcu ->udu olvorcnc tri poslastičanuce, Srednje vrt;me rada poslasttćamica jc 10 godina. Koliko puno poslasEićamica mo^c da sc nađe u Krušcvcu za 25 godina? Ako jc vremc izmcđu rtvanm ja poslastičamica eksponencijalno koja je vcrovatnoća da će posle 25 godJna u KruŠevcu biii 25 poslasttćamica?

Resenje: Znamo da sc godišnjc otvorc tri poslastičarnice, tako da jc X = 3. u = pTetpostavimo da jc posti^nuio stacionarnvstanjc,

j

Krušcvcu ćemo naći:

L = X ' - - - 3 4 0 * 3 0 poslastičanicai Kako su vremciUi t/mcdu dva ot\ amnja (vrccnena dolazaka) cksponencijalna, lađa jc: rc„ -5

3025 ■c 3t* — — - 0.05 . 2 5 [

210

,

OPERACfONA ISTRAŽIVAXJA

5.10.4 MODEL M / G / l / G D / « / * » U ovoj sokdji razmatramo riioJol čekanja u kojcm postoji samo jedrio opslužno mesto, Vremena dob/Lik;i klijenata su eksponcncijalno raspoddjena, ali vreme opsluiivanja ne mora da budc cksponeoijalno raspo oe možc đa sc opiic kao proces rađanja i umiranja, 7ato sto verovatfioča kompietimnje itslu^c u intcrvaiu [ tTt + At J kathi ne fiistcm naiazi u stanju j zavisi od duzine vremenskog intervala od kada je zavrSeno poslednjc scrvisiranjc. Otuda ne možc da sc pisc da jc verovamoća vrcmcna servisiranja u intervalu f i.i + Ai ] jcdnaka ji- A t , pa proccs radanaja i umiranja mje podcsan.

Odrcđivanje venovatnoća stacionamog stanja 7a modc! M G 1 GD « « j e tdfcak posao. Kako jcdnačine siacionamog s:anja za proces radanja i umitanja nisu validnc za ovaj model, moraju se koristiti ra?.!ičit3 pnstupt Koristed rezultate Pollaczeka i Khinchina, mo2c da se odicde sledcće v dičm e /a modcl M / G / l / G D

X1 t r + p ' L .- ?. A \

<5-1021

2 -0 -p )

I g d c j e : p - X / j i . P o S to j e W

/ ]^

= — , jc d n a č in a (5.S4) im plieira d a L

= V

-

=P

W

^ P osto JC L = L s + L q m ože sa dobije:

(5.103)

L « t^ + p

Tada (5.B3) i (5.S2) dovodc do: W ,= ^ -

C5.104)

W =iW (1+ - -

(5.105)

M nžc takođe da se pokače da Tt;j- i - p J e verovsm oća dEi jc dco vrem ena scrv'tscr idcalam

220

r

Reiiati čekvnjp

Primer 5.9 llustrujmo koriSćenjc izraza (5.10Z)*(5J0S) razmatiAjući sisicm Čckanja M / G / I / G D / w / « sa X —5 klijctiEila po satu i klijenata po satu. Prcma našoj studiji za M Cj l . ' G D m o d e l iekanja znamo: 5 L = —^— = — k -p S-5

kiijcnta,

L

3 25

_

=

L

"

- p 3 3

— khjcnia, W = — = = i 24 X 5 3

časa i W = ~ = — - ■~ casa. q X 5 24 Kako su vremcns eksponencijatio raspoddjena, lađa je vrcdnost matemaućkog očekivanja i vrcdnost diser/ije slučajne promenljivc sa eksponencijalnom ra sp o d e lo m

(S) i datlm

v r e d n o s t im a p a ra m c ia ra :

M{S) = ~ časa

i

a 2(S) = — cas*.

T #d» prem a iz ra z im a (5 ,1 0 2 ) do (5 .1 0 5 ) stcdi:

5‘ + 64

25

L, = 2* 1 -R L ='L0 + p = - '5 *■ - - - k['ijenata, q 24 8 3

25 11/ "

24 = — 5 časa, I ’ —jscl i k 5 24

W = v = - = - iasa. X 5 3 Pokažimo kako vttijansa vremena opiiu:2ivanja može znaćajno da utičc na ufikasnost reda tckanja. Razmatrajmo sada M D t GD »/'«* sistem Čekanja kojt ima istu vrednosi X i|l kao i sistem ćckanja M G . . GD M °° koji je analiziran. Za M / D / l / G D / t « / « mo<3et čckatija matematičko očckivatije je 1/8 a disperzija je jednaka nuli, tada je;

....

L ,= ,

■= « '

.

kl‘Jena,a’

S) 25

W .= h ± = M . ^ . ± časa

48

221

OPERACfOSA l$TRA?J\fAXJA

U M D l UD « oo siste ™ čckauja tipičan kljjent ćc potroSiti samo pola vremena na tiuiji iekanja ncgo u redu Cekanja opisanim modciom M /G . ]/G D uz pretpostavku da su interi/keti doto/aka 3 opsluiivanja kod oba modela jcdnakL Kao sto ovaj primcr pokaztljč, iraicmatičko očekivanjc vremena scm sir.m ja {opshiživanja} mijo st: smanjilo, aii sc smanjita disper/ija. Na ovaj naćin može značajno da sc redukuje veJičina iccia i vreme čekanja klijenata u redu.

5.10.5 MODELI OGRANlCENOG l/V O R A : M ODEL ODRŽAVAKJA (POPRAVKRl MAŠIXA Sa i2uzctkom modcla M G 1 GD c » . svi ostiili mođcli koji su prikazani u ovoj knjizi, imaju mienzitete dolazaka koji su nezavism od stonja i>istema. Kao ito smo prethodno diskutovali, postojc dvc situacije gde prctpostavka 0 nezavisrtosti dolazaka od stanja sistema m oie da buđe n.codgovarajuća: 1, Ako se Jdijenti protive da provcsu puno vTemcna u rtdu tekanja, intenzitet dolazaka sc tada opisuje opadajućoin fiinkcijoTn i>roja ljudi koji se naki/e li rccin tekanja. 2. Ako dolasci u sistcm potiču i/ maie populacije, inlen/iiei do]a?aka tada može u velikoj meri da zavisi ođ stduja siitcma Modeli u kojinin i>u dolasci i/vučcni iz cnalc populueije nazivaju sc modcli ograničeno^ i/.vura. Nadaije jc anah/iran jčđan važan mode] koji pripada ovoj klasi modela: modtl poprvake mašina. U problemj popravke mašina, sisicm sesastoji ođ K maSina i R radnika koji rade na održavanju. L.: nekom trenutku vremena, odredena mašma ili je u stanju “u radu" tli u stanju “otkjz:!11, Dužina VTemer)skog penoda u kojcm sč maštna na]a/i li stanju "rada" opisujc se slučajnom vcEiCinom sa eksponencijatnom raspodelom sa parametroni X . Kada dode do otka/a masina, ona scr saije u rudionicLi /a popravku gde radi R majstora (odr/avalacii Opreme), Rad n;i popravci mjišina koje R^ tada cc se /-R maSina nala/iti u jednom redu na tekanju dok pe bude slobodan jedan radnik, Vremc kojc je potrebno da sc Kavrši komplctiui popr&vka maSina pretpostavlja se da je cksponencijalno raspodeljeno sa parametrom [X (ili matematičko occkivanjc vrctnena popravke jc I

). Kuda jtr mašina popravljena, âda se pono\o nala?.! u

stanju "rada'\ vrača se u pogon i radi sve dok pono\o nc dode u stanje ''otkazaN. Model popravkc mjsina možc da sc mođelira kao proces radanja i umiianja, ^de stanjc j u nekom vremenskom trenutku je broj masina koje se nalaze u stanju “otka/a". Koristcći Kcndelove oztuikc, opisani m odd mOie da bude prcdsiavljen kao M / M / R . GD^K K . Prvo K govori govori da ne može više od K klijenata

Redovi čekanja

______________

(maJina) da se tretira, Đrugo K u modctu M M R GD K K siovori da dolasci poiiču iz kouačttog skupa koji itna K elemcnata Odrcdimo sada paramctrc razmatranog modcLi M M R GD K K koji je modeitran kao proccs radanja i umtranja. N e k a jc rađanjc o/jiaćeno kao prckić rada maSine a umiranjc korespondira maînama kojc su se Lipravo popravile. Sadii m o/cm o da odredtmo inLcnzilei nastajanp nika/a kada sc sisTein nalazi u Stanju j LJ statlju ji K-j maSina se nalazi u stanju "rada"+ Inlenzitct prskida ratia svakc m aš ine j e X L' kupan int cn/.itet prek i da radn s l 1cma (£ m pe m as ina) u s lanj u j jc ;

X ;^ (K -j)X Odredimo sada IntenzUet umiranja za modcl popravke maSina. Sada postupamo isto kao i kada smo diskutovaii model VI M s CU> m ^ . Kada je sranje;, min (/, R) Ijudi u odriavanju će biti zauzeto, Intcn/itei rada svakog majstora koji rade na popravci m ašinaje u , a intenzitet umiranja ceknt sistema u stanjti j j c .: H j = J M ( j = 0 , l ...... R) | i j * R | i ( j = * + l . R + 2 .......M Ako definiftcmo p - — tada možemo pomoću jcdnačina od (5 64) do (5.67) da odj'cilimo verovatnoće stšciortamog stanja; rK ’ PJ 'J - * »

'K ' J j

PJ -ito = v J ^ . — a— (j = 0,1,..,R) Ri-R'

(5.106)

Na osnov'u ctcmentamog itianjn kombinatorike, moSe se poka/aii da je: K 1_ K j-t-l)

i

))

t

K - ( K - l ) - . . . . ( K - j + 0 < K - j> ( K - j - ) ] l . . . ; i j!(K —j ) ' (K

Korjsteti Tifl +

jii

jcdnaimu + .,. t

j

K!

l)—2• I

(5 106)

može

da

sc

nadc

Hq

iz

jcdnaćine

= 1 . Takodc. koristcćf verovatnoće stacionamog stanja datc

i/rayitna (5.106) mogu da se odrcde slcdcćc voHčinc koje su interesantne za razmatrani inodch L -oCckivani broj mašina kod kojih nastaje otka/ L t| - očekivani broj mašina koje čekaju na scrvis W - sreditj^ vreme kojc masinc provcdu dJok su u starju 11otkaza' - sredrrje vrcmc kojc masinc potroic dok čckaju na popravku

223

OPERACIONA lSTRAŽnrA\'JA Ono što je jako nepovojjno, ne jiostojcjcdnostaviiL: formuJcpOmoću kojih određujemc vredtiosti gore deflnisanih vclićina. NajboJjo Sto možemo da uradimoT da vreduosti ovih veličina računamo pomoću TCj-ova: t - Ž i 'K j j=n

(5-107)

(5.10S)

Sada mogu da se koriste izrazi (5-S2) i (5.83) da bi dobtjžli W i Wq . Srednji broj dolazaka po jedinici vreinena fintenzitete đolazaka) se račutta; _ K X = £ ji , - * i = a - ( K - L ) j^D

(5.109)

Srednje vreme koje mašine provedu dok su u stanju otkaza, W, se rac\inaju:

w = i X

(5.110)

Srednje vrem e koje ma&ine provecu čekaj«ći na servis se ročiina:

L Wq - t-3*

(5,111)

k

Frimer SJO Jedna policijska stanica u gradu Krušcvcu mia pet patrolniij kola, Svaki patrolni auto je u stanju otkaza svakiJ'i 30 dana i to zahteva njihovo semsiranje. U radionici za održavanje razmatrane polieijske stamce rade dva radnika na odrzavanju patroljiih aiicoinobila, Na osnovu pođataka iz evidertcije svaki radnik utoSi 3 dana za kompletno servisimnje (remoniovanje) patrolnih kola. Vremena otkaza i vtemena servisiranja su ekspottencLjahio raspodeijena. Potrebno jc: 1) Odrediti broj patrolnih kola koja sc nalazc u stanju rada 2) Odrediti srednje vreme otka/a patroEnih kola 3) Odrediti dco vretnena u kojem svaki radnik mje zauzet oko reinomovanja patrolnih kola. R ešen je:

Ovaj problem može da se fbnnalno opiše modelom za reparaciju (održavanje) mašina sa K=5, R=2, y =J_ auta/danu i 30 Pretna (5.106) sledi;

si, -

m vb

kh'

_ L auta/danu. Tada je &^ H22 - n j , i \n '

0.5 -tt:0

224

flgitfovf ćekanja

n+

- T JOj -

V U oJ n, - ' š l . f i f J UOj 71. = m

iv

n 0 = 0.0015 -j:(t

■w0 = 0.000075 -7i„

51 UO

Tada Jt,(t + 0,5 + 0,1 + 0.015 + 0.0015 + 0.000075)= I ili tc„ = 0 .6 1 9 . Sađ m oicm o da izračunamo vrcdnosti: n : = 0 ,3 1 , ft: “ 0,062 , n y = 0,009 ,

™0.001 i tt4 = 0 .

]> Oickivan broj patrolnih koia koja sc nakute u isoravnom stanju fstanjc ratia) je K-L, koji je dat izrazom; s K

£ j TTj “ 5«-{0'0 619+ 3-OJ I+ 2-0 062 + 3 'D.OO*) + 4 O.OO! + 5-fl)~ 5 -0 465 - 4.535

j~fl

2) Znartio da jc W * i . Takođc, mozt: da se izračima vrednost X prema izraû A. (5.109):

a )U Y X

( 5 ~ j > 7 i . “ " ( S l t f i + 47it +371 j + 2 « ,

t O » 5) =

J:"U

30

(5 0,619 + 4-0.31 + 3 0.062 + 2 0.009+0.00] +Cl)=0 151 a ito p o d m r a

4.535 X - X-(K - L ) - ■ = 0.15 i a u to p o d an u .

30

Prcma podalku da jc L=0,465 a u u , moJc da sc nađc da jc W -

0.465

- 3,08 dana.

3) Dco vrcmcna u kojem ćejedan radnik da budc slobodan jc: 7i0 + 0.5 ?t| = 0.619 + 0.5-0.31 = 0.774 . Ako u radiouki za održavadje radc tn radrrika, tada dco vrcmcna u kojem svaki 2 1 radnik nećc da bude zauzet se račvma prema izrazu 7ry + —rc, + - 7 t: . Ako U radionici r.idc R radnika, verovamoća da svaki radnik nccc da bude zauzet (da je slohodan) računa sc prema formuli:

( R -!)■ * - , ( R “ 2) ji. +

----------

*

R

—

-

+

------------

R

—

ttr ,, -

+

.

.

.

+

—

R

225

GPHRACIOSAISTRAŽIVAKIA

5.10.6 HKSPONENCIJAI.NA ČEKANJA l SERUAMA OTVORENE MREŽK REDOVA ČEKANJA L' modelitn koji s\\ opisatu u prethodnim sckcijiima prctpostavlja se da se servis obavlja samo na jcdnom meuiu. LJ mnogim slučajcvima fkao npr. proccs ra
Sj sHRvtsiji ivir->E7nrr

at) srRvnnn i\TF\vriFr

sr stsvtsftn ivnrSi/tTTT

OP5I,L'?1VAS'i * rr, ^

OPft.L"?IV

(iPSl trftIVA\M fflK

1* m j

5/iAti 5-/V Ek.'iponencijaltio čehm ie tt M'i ijtitna

Klijcnt prvo dotazi u stanjc I. L' ovom stanju možc d;i bnde sj scrvisera koji su piiralclno rasporcdcni 1 sianjii I m o/e da sc Zaviši dtro scrviâ koji jc nnaprcd odrcden (npr. planom monla?c, platiom održavnnja, itd,)- Kada jc ovaj deo scrvisiranja âvršcn, klijcnl odljzi u stanje 2 kojc sc nala/i i/a slanja I (kao ito jc prikazano na siici 5.] 4). Proccs krctanja kiijcnta jc kontnmalan. z a v r s a v a sc u stanju k. Tcorema od Jackson-a [4’ koristi sc kao matcmatička osrova ovog scrijskog sistema čekanja koji sc sastojiod k stanja. Teurcm a. Ako su: (1) vremena dolazaka u stanjc 1 cksporcncijalno raspodcljcna sa paramcrrom A, (2) vremcna sen'isiranja u svakom stanju * rakođc cksponencijalno raspodcljcna, i (3) svako stanje ima ncograničeni kapacitct Čekanja^ tada vrcmena dolazaka u svako stanjc scriskog sistcma Cckanja su cksponcncijalno raspodeljcna sa parametrom X.

226 i

Redaii ickunja Pnm er 5 . 1 1

Dva d d a automobila sc proizvodc van fabrtkc aiiiomobila ZASTAVA, d.o.o. iz Kragujcvca: motor i gumc. Proscčno 54 automohila po salu si išu zahtevajući ova dva zadatka. Jcdan radraik je ocrcđcn da ugradujc moto: i može dy uradt 60 auEomobila po satu. Kada sc motor ugradi, automohit se pom tia na tinijll rtiOUtaže gdc sc postavljaju gumc. Tri radnika rade na liniji moiita&. Svaki radnik utroSi 3 minuta da postavt s*umc na autu. Oba vrcnuia. vrcmena dolazaka i vremcna scrvisiranja $u eksponcncijalno raspodcljena. Poircbno je: 1) Odrcdili srednju đužinu čckiinja na svakom utdnom mestu 2) Odrcditi ukupno vrcme kojc jc potscbno da se kompLetira mitomobil.

Rešertje: ! ) Ovaj problcm m oic da sc modclira k;io sertjski sistcm čekanja sa }l - 54 automobila po .satu, s, -1,|U. - 6 0 automobiJa po satu, s^ ^ 3,JJ,; 20

\h

automobila po satu. Kako je

mjcdan red rcćc da trckspIodira" e

Jackoson-ova teorema može da budc primenjcna. 2a slanje 54 p = —■= 0.9 s pa daljc mogu da sc izračunaju slcdcće vrednostil 60

J

fmotor),

0 9: L„{moJor) ---------- “ 8 .1 automobil q

1 - 0 .9

Wq(m otor)= ^

= 0.15 iasova.

Za sianjc 2 igum t), (j -

- 0,9. Pretna tabelt 5.3 sledi P (j> 3) = 0 S3 t sada je> 3 '2 0

i t \ 0.S3-O.9 Lq(gumc) = ------= 7.47 automobila 1 0 ■9 7 47 Viq(gum c}" = 0 J 3 8 časova. 2) Ukupnu oćckivano vreme kojc automobil potroSi da bi sc kompletsraojic: D.15-K0 I3S = 0.2BS ćasova. O tvorene m re/e redova čckanja Nadalje su opisane otvorcnc rodnc mrcže kojc su generalizovane pod iuienom redovi u scrijama. Kao £to je prika/ano na slici 5,14, pretpottavlja sc da sc stanje j sastoji od S j scrviscra, i da intcn/itci opsluf.ivanja svakog serviscra jc J l j . Pretpostavlja se da klijenti u razmatnmi red čekanja dolazc od \:jni i da je iiucn/.itet dolazaka r , . Takode sc prctpostavlja da vrcmcna dolazaka su eksponcnciialno raspoddjcna, Čim sc komplctira servis (usluf>a) u stanju it kJijcnt pristupa redu čckanja za stanje/ sa vcrovatnočom i kompletira seiv is sa verovatnoćom:

227

GP£RA£!QNA ISTRa ZIVANJA

i-ip u j-r DcfiniSimo A j, intenzitet dolazaka klijenata u stanje j {ovo ukljui’ujc dolaskc u sistem onih klijsnata kojt su sistema i klijcnata koji sc Eitilaze u si$t$mu u nekom drugom stanju). XL,X?..... Xk mogu da se tiađu rcsiivanjcm slcđećeg sistcma Emcamih jcdnačina: ^ p r j + ^ P ij

h

( j - 1 . 2 .... k )

i=1

Ovo slcdi, zato sto deo Pj .; od

dolaz|ka U stanjfc f' tc tifidalje da -de u stanje j.

Prctpostavimo da S j - ^ ,> X . važi za sva startja. Tada može da se pokažc da raapodda vcrovatnoćc slucajne vejičine kojom sc opifiujc broj klijenata u stanjii j i očckivani broj klijcnata u jtanju j može da se nade ako trctiramo stanje j kao M / M / S j / G D / “ / m model Čekanja □ kojcm jc intenziteJ dolazaka Aj a imenzitet servisiranja f l j . Ako je za neko stanjc j, s, ■jji x< h . , tada siacionarno stanje utom stanju ne postoji Sada m ože da $e nađc oček ivan i broj klijcnata u redu čckituja, kao zbir očekivanih broja klijcnaEa u svakom stanju reda čekanja. Srednje vrcm e kojc ktijent provcdc 11 rcdu čckanja, jednostavno ntozc da so i^ a č u n a pom oću form ule L = X - W , gdc jc: X - r, + t2 + ... + vk zato Sto ovo prcdstavjja srcđnji broj klijcnata p o jed in ici vrcm cna dolazaka u sistem .

Primer 5.12 Razmatrajmo dya opslužna mcsta. Na s m l s n o mesto l stiže od vana 8 klijonata u jcdnom satu a na scrvisno tucsto 2, 17 klšjenala po satti. Vremcna doiazaka su eksponencijalr.o raspodcljena. Na prvom scrvisuom mesfu može da .'io kompletira 20 klijcnata po satu, a na scrvisnom mestu .2, 30 kljjenata po satu, PosLe kompletiranja usiuge m servisopm mestu 1, pola k]ijcnaia napušta sistem, a prcostala polovina idc na SCrvisno mesto 2, Poslc kompletivanja servisa na drugom sevvisnom mestu, % klijcnata jc kompictno uslilženo a pveostala V* se vraća na servisno mcsto 1. Potrebnoje octređiti: 1) Koji deo vremena je ser\'isno mcsto I nczauzcto? 2) Occktvan broj kiijenata na svakom sevvisnom mestu 3) Vrcmc kojc klijem provedc u sisteinu čekanja 4) Kako mogu rcšenja dobijena od (1) do (3) da Fic promcnc ako na sevvisnom mesm 2 mcže da sc opsluzi samo 20 klijenata po satu? R eše n je:

Pvoblem koji jc opisan u Primeru 5.12 je pnmev za otvovenu mrciu reda čckanja sa r^ —3 klijcnta-'satu, r2 - 1 7 klijentasatu. Takode, p,2 - 0 .5 . p z, = 0 .2 5 i p M™p 2: = 0.

223

Ređm j' Lckanja

Može da sc nade \Tednost za X,

j

X: re£av&jući jednačinc:

Xt = 8 + 0.25 X3 i X3 = 17 + 0 5-X,, odakle slcdi d a jc X( - 1 4

klijcdta/satu i X, = 2^1 klijentî satu.

1) Servisno mesto 1 možc da se tretira kao M M l GD « » mođef Cckanja sa 14 X - 1 4 ktijerta/satu i ^ - 20 klijenta/'satu. Tada je = 1 - p - 1 - - - - 0 .3 , sto ^nači da je servisno mcsto I 30% od ukupnog vremena slobodno. 2) Očekivan broj kHjcnata jc: ' "! 7 L (m e s io l)^ — — = — 2 0-14 3 7 broj klijenata u sistctnu čekanja je — t- 4 3

.?4 : L = — ----- 4 . tako daukupan oćcktva 3 0 “ 24 . 19 3

3) W = - t , gde je X = 8 + I7 = 25 klijenata. satu. Tada imamo: A L9 W = — = — sati—15,2 minuta. 25 75 4) LFovom slučaju s 3 ■

= 2 0 < X : , što znači da stacionamo stanjc ne eg/istira.

5,10,7 MODEL M / G / s / G D / s / ™

V muogim redovima čekanja, đolazak koji naiizači na svc zauzctc Scrviscre , verovatno napu£ta sistem, Na primcr, kmla osoba po/ovc avio kompaniju za rczervaciju i dobije svc zauzcte linijc* najverovatnije ćc pozvati drugu avio kompaniju, Ili pretp0$tavimo đa aefco pozove vidtrogasmj službu, a da ona nijc dostupna, vatra bi $e otela kontroli. U ovim slučajcvima, ako pretpo$tavimo da su vremena đ o lj/ak a eksponcnejjalno raspodctjena, opisana shuacija sc modelira pomoču sislcma koji će da spreči klijcnte da napusiaju sistem-ĐBC (Blocked Customers Clearcd), Lr sistemu M / G / s / G D s ™ t veličine: L, W. L q i Wq su ograuičcnog značaja. Na primcr. ako SC red ntkada ne javi. tada je L -W_. ~0, Ako stavimo da je matemaličko oćekivanje vremcna serv isiranja 1 [1, a jedmićni intcnzilct dolazaka (matbmatičko očckivanje vremena dolaaka) jc X t tada je W - W, = — * U mnogim BBC sistemima, osnovni intercsjc fokimran nu deo svih dolazaka koji su odbijcni Mada, dolasci su odbijcni samo kada ie .t khjcnta picdstavljcno. a deo 7is , svih dolazaka če biti odbijeni. Otuda, srednji broj dolazaka po jcdinid

229

OPERACIONA fSTRAŽIl i\J A

.vremena kojt čc napustiti sistein |e X ■Jts . Stcdni broj doto?aka koji uja?i u sistem u pošmatranora [rcntiiku vrcmcna je X ■(] možc da sc zakLjuči da i - 1 S“

7TS) . Na osnovu ovog razinatranja

:

»

Može da sc pokaže da 7IS zavisi samo od vrtdnosti inatematičkog očckivanja slučajnc vcliCirc kojom je opisanc vremc scrvisiranja a nc od raspodd^ slučajne vclićine. Takođe. Ova činjcnica jc poznata kao l£rlarigo\a u g u b ljen u fnrm ula. Drugim rcčima, neki M G $ /G D ,s . « model sa intcnzitetom dolasLi X i vremenom ser\riiiiranjj

l/(i

cc imati ncku vfednost

7ts . Ako dcfiničemo

p —X-/|X * uida za darn vrcdnosi s, vrcdnosi j i s možc da se nađe pomoću siike 5,15. Vrcdnost p sc čita sa .t-osc. Vrcdnost sa r-ast za mesto opsluživanja i kotcspondira vrcdnosli 7ts

Primer 5J3 Gradska bolmca raspolaže sa 20 kola hhnc pomoći, Da bi sc usfulio jcdan pacijent potrebno je 20 minuta (ovo vrcme jti potrcrbno đa se pacijcnt prihvaii i smesti u boinicu). Tck tada ce kola hitne potnoći da Hntin na raspolaganj|i drugom paci jcntu. Koiiko kola hitnc pom oii trcba da ima ^radshi bolntca da bi Eckari bili sigumi da posioji najviie 1% verovatnoće da kola nisu odmah raspoioživa po pozivu bolesnika1 Pretpostavlja sc da su vremena dolazaka cksponcncijalno raspodcljena,

Rešenje: Za dato X - 20

poziva

satu i i _ 1 sata. može da $e [Tračuna ^ 3

p

kao

20

P —— ■= 6,£i7 . Za ovu vrednost p t treba da se nadc vrednost za s z& koji je ){;
i za

s = I4 p nt = 0,005, što znaii da je gradskoj bolnici potrebno 14 automobila hime pomoći da bi zadovoJjila postavljeni standard

Redovi čekvnja

Siifca 5 J 5 OpadiijuĆL' ve^pvatnače m

M.

23!

G

s

GD

š ■■»

mođe! čekanju

OPERA CIONA ISTRA ?JV A X I 4

5.10.S A N A L IZ A R ASPO DELF. V R E M E K A D O L A Z A K A 1 \'R E M E N A s h r v is ir a n j a

U gotovo svjm modeLima ređova cek^njii koji su anaLizaraot u ovom poglavljn, pretposlavlja se da vroincna doiaâka i vtcmcna servisLranja irttaji Puasonovu raspodciu. Postav]ja se pitanje da li mo/.emo da usvojiino ovu prctpostavku kao taCnu kada su posmatrane veličinc opisanc em pirijsiim raspodelam^

Najjednostavniji posmarrane

načui

veličm c

potioću tnožcm o

eksponencijalno rasipodcljene je y

koga

utvrđujemo

opisati 2

sJućajnim

taćnost

pretpostavke

p r o m e lj iv it o

icsi. Postupak primcoc y

kojc

da su

tcsta jc nadaljc

izložen. K o ra k L N eka jc Fiul(3a hipoteza, I £,, da slnčajitit prom eljiva (vrcm e dolaska, vrcm e servisiranja) ima Puasonovu raspodelM. K orak 2 , Parametar Puasonovc raspodde se oeenjuje usoračkom srcdinom . tj.: ■i

n gde je: Xj vrcdnost posmatranc veličine u i-ioj opservadji ž'j empirijska frekfencija n n je ukupan broj opesvacijE^ tako da n - ^ f ,

i=i K o ra k 3. Teorijske verovatnoće.

Teorijskc Frckfeneije,

se računaju prema formuli:

sc računaju prenta formuii:

Y

m

b

_________________________ ______________________ Redpvi čektmja K o f o k 5.

Iz tfibcic diite u prilcfgu određujciho tcorijsku vrcsžjnost

stcpcni slobodc V - r - 2 i nivo znaČ&jnosti K o ra k 6\

2 A k o

jii

2 v ■ *¥ ■ o n ^ a

p r ih v a t a

y 2

tCsta za broj

^ nulta

h ip u tc z a

da s l i ^ Ž a j n a

p r o m e r ljiv a

jfma Puasonu raspoddu, V suprotnnm, n u lia hipoteza sc odbacujc. otlnosno ta đ a ije sm atra da r a z M tr a ita vciićina im a Erliangovti rasp o d e lu

5.10.9 P R IO R IT im V MODELIMA RhDOVA ĆEftANJA Ranije smt> govortli o disciplini reda ftefcanja kojom sc dcfinišc načtn opluživanja klijcnata. Stavimo da su W k i f o > ^ S IR O * ^ L IF O slučajnc promenljive kojima se opisuje vreme čekanja klijcnćata u ređu čekanja unutai' discipJinc rcda FIFO , SIRO i LIFO. Možc lako da sc pokaSc da 3U maicinatička očektvanja ovih

siučajnih veličina jcdnaka, odnoMno: M (W f|F0 ) - M ( W s|R0) = M (W LIFO) Srcdnjc vreme (U stacionamom stanju) nc zaviši koji tip diseipline rcda jc zastupljcn. Takotlc se m oic pokazati da postojs slcdeća relacija iztncđu varijansi slučajnih promcnljivih W nFr>, W S[B|* i WL]1!0 ;

a

f i f o ) <(T ( ^ s i r o )
Velika vrcdnost varijanse je obično povczana sa skičajnom velicinom koja opisujc vcliko vreme cekanja u redu gde je zastnpljcna I.IF 0 disc-ipJina rcda, n najmanje ima šanse da je zastupJjena FIFO disctpJina. Ovo jc razumljivo* zato što u LIFO disciplini redaf klijent kada dođc možc imati sreču da budc opsluzen odmah kada stignc, ali takođe moj.e da budc jponnteren sa kiaja dugog reda ćekanja, V FIFO sistcmu, klijcnt ne može da bude pomercn sa kraja dugog reda ćckanja, ali dugo čekanje je relativno neverovatno. LF mnogim organizacijania, red u kojcm kEijunti čekaju da budu opshiieni zavisi od Etpa klijcnata. Na primer, u hitnoj medictnskoj službi, primaju sa na pregled Ugrentri) slučajevi pre ncgo slučajcvi koji n k u urgentni. Modcli u kojima tip kJtjcnata odrcdujc rcd u kojem klijenti se podvrgaVaju ophtfivanju su nazvani m o d d i prioi itcita f e k a i tj ^ Pretpostavimo da u rcdo čekanja se nalazi h tipova klijcnata (oznaCcnih kao tip J, tip 2 v,.n tip n). Vreme dolaska /-tog klijenta je eksponencijaEno raspodcljeno sa intenzitetom X\ r Pretpostavlja sc da sn vrcmcna dolaska različtlih tipova klijenata mcđusobno nczavisna. Vremc opslučivanja (servisiranja) i-tog klijenta je opisano slučajnom velićinom koja nem a eksponencjjalnM raspodelu, S \ . Pretpostavijamo da tip kJijcnta koji ima najmanji broj oznakc jc najvcčeg prioritcta.

213

OPERAC/ONA iSTfUŽfVAS'J .-1 MinU-li ntpreventivaofl prioriiet:> U modclima nepreventivnog prioriteta. opshj&vartjc ktipenta ne niožc da budc jirckitliino. Posle svakog kompletiranja svcrvjsa, slcdcoi klijcnt uJa/i u sistcm Opsluživanja onog tipa koji jc po pnoritetu. Prcma Kendaiovim o^riakama, modcli nepreventivnog prioritcta imaju čcui kamktenstike u oznaci NPRP, P r\e dvc karaktcnstike iniaju u indekstma / Uo O/načava tjp klijenta, Tako n,i primer, motterl M moic da rcpnczcntiijc sicuactju u kojoj jc vrcmc dolaska r-tog tipa k lijm u cksponcncijalno raspotlcljcnom a vreme opsfužvanja Mog tipa klijenta možc da ima bi!o koju dmgu raspodeEu. Nadaljc razmatramo sJcdcćc vcličme: W,| k -oćekivano vremc £ekanja na (inLJi klijenta tipa k u staciooamom stanju Wk -oćckivano vrcnic kojc klijcnt tipa k potroši u rcdu Čekanja u stacion am om stanju LMk -očckivani broj klijcnta ;ip;i k koji čckaju na Itniji u siacionamom stanju L k -očckivani broj klijenaia tipa k u redu čckarja u stat ionamom stanju M odcl M . / G . / l / N P R P . « / «

NaS prvi rczulata jc usmcrcn m situaciju kada postoji samo jcdno mcsto opsluživanja u neprcvcntivnom modclu M, G, ■l - NPRP.'™^®*. Helinifiimo

X vi Pi = - ^ , i a* ^ 2 j P t < l , t a d a j e :

vv.r

9

2 i=1_______

u

W k = W <,k+ - -

'

_

L . - Jl

W

L n=>-1-W k

M cmJcI M i /G j /1 > J P R P / » / »

t5 l ' 2 )

k Sijcn t-zavisn im troSkovim a ček a n ja

Razmairajmo n ep reven u sn i m odcl čckanja u korne postoji sam o jcd n o m esto opsluživanja u kojcm (rošak

je jcd in ičn i troâk potro£nje vrem cna u sistem u

klijenta tipa L Ako žclim o da rninimiziramo očekivanc troškovc po jcd tn ici vrcm ena, po^tavlja se pitanjc kakav prioritct u rctlu čekanja treba da budc, Pretpostavim o da postojc n razlifiitih tipova klijenata koji su nutncrisani tako da:

C] ■Mi

'^Ln

(5,113)

lz uslova m im m alnih oćekiv;inih jcdiničnih troskova iled i da najvcči prioritcl itna klijcr.t t:pa 1 a najniži priontcl kJijcnti tipa n.

234

Rt itovi iekania

L' specijalnOTn sluiajuf pretposfa\ imo da mmimiziramo ukupan broj klijcnaia u sisicmu čekanja. Stavimo da jc c =c 2 = „ . ^ c r - \ r tada u nekom vremenu, jcdiciičnt broikovi tn\ jtulnaki brnju kHjcnata u sisicmu ćckanjan Drugirn reiim a; oCckiVani jedinitni Iroškovi sujednaki L. Tada j«rinaćina (5 ,1 13 \ postajc:

ili V-2

**n

Nri osnovu ovog.i možc da sc zafcljuči da oCckivani broj posiova u sistcmi] čckanja ćc hiti minimiziran ako je najvisi prioritct đat tipcvima khjcnata sa najmanjitii srednjim vremenom opsluživanja- Ova disciplina prioritcta js poznata kao disciplina najkraćcii vrcmcna proccsiranja fSPT).

Primer 5.14

U jcdnoj fotokopinuci se obavljaju dvc vrsic posla: posao I i posao 2. Posao 2 dužc Iraje nego posao 1 i on ima prioriTCt. Vrcmena dolazaka nbe vrstc posla su cksponencijalno rafipodcljcna i \i tmsc \2 dola/aka. čnau za posao ! i 6 dolazaka, času za posao 2. Tada imamo: M (S,) = 2 m in + M(Sn) = 4m in

cr: fs ) = 6 m in 1 ^ ——-sa ti: 600 < r (S? )= IS m in ? = — s mr

Odrcdimo srcdnju
Rešenje; Imamo X : =]2 |l j »15

poslovacasu i

poslovaâsu,

Možemo

poslova časi;, da

izrafunamo

= 30 poslova času p, i p 2,

tako

da

i jc

12 6 p, - - ■= 0 . 4 i p , s= - = 0 . 4 + otuda siledi da j c p = p 3 + p ^ - 0 . S < 1 . f)vim smo utvrdili da postoj: stacionamo starjt:. Sada a 0 = 0, a , = 0,4 i a 2 - 0,4 + 0.4 = 0*£ Ponioću izraza (5.1 ] 2) iziaiunavamo: 1 2.—

ft— L_

OPEBAClONA l$TRAtWANJA Takodc, W| « W flt + — - 0 042 + 0.033 - 0.075 sau

W2 ■ Wa2 + — - 0 20S + 0,;)J67 - 0.275 saii, Dnbijcni rc/ullat pnka/i:jc da je 7i\ du/i posao pdrvbno potroSiti mnogo viSc vrcmena necô za kraći posao.

Model M, M 'S. NPRP w « D;i bi dobili pnlagodljive analitičkc rczulatc sisicrvi fckanja u kojctn se nahi/i više mesta opsluživanja, montma da pretpostavirao da svaki tip klijoma ima cksponcncijalno raspodcljctio vremc opsJuživanjii čijc jc myi:cmatičko ofckivanje — i da klijent tipa t ima vrcrm; dolaska koje je ukocle eksponencijalno raspodeljeno sa parameirotn X j . Svaki sistcm sa v scrvisnih mesta je o/načcn prcma prihvačenom sistcmu o/načavanja, kao M

M s NPRP » ■« . Za ovaj

modcl važi: %

H

— r - f l P (J " w , 9 v s (1 - a v )

(5 11+)

Ako zamcnimo u (5 J 14) i/.ra/ a k - V iz

( k £ l)* a,, **0 t P ( j > s) jc dobijeno

lab-ele... za s-sistem opluživanj« imamo: X |+ s-H

PHmcr 5.15 Jedna policijska stanica u gradu Krušcvcu mia 5 policijskih automobila. Ova stanica prima dve vrsic poziva: poziv za vantcdnu opasnost (tip 1) i poziv koji sc nc odnosi na vanrcdnu opasnost ftip 2). Vremcna dolazaka svakog poziva su cksponcncijalno raspodeljcna Srcdni broj poziva po iasu iznosi: za tip 1, » 10 poziva/času \ za lip 2N X, - ZOpoziva časn. Oba tipa pozi\ a ima eksponencijalno raspodeljeno vrcme scr\ is:r;tnja koje iznosi S minuta (smatra sc da jc pottcbno od 6 do 8 minuta od trenutka kada |e poziv primljcn do trcnutka kada st povratra informacija pristignc u stantCU policijc. Po/i\ za vanredne okolnosti ima priorilct u odnosu na drugi tip poziva, Koliko puno vremena ćc proći otl pnjcva poziva tipa 2 do trcnutka kada poltcijskii koia stignu na hicslU po/ivs J

236

Retiovi čvkanjti

Rešeuje: Jmamo daje s = 5*

= Ift po/iva/času. \ 2 = 2 0 poziva/času, \x - 7 , 5 poziva čaš«h

i? = 0.S a 0 = 0, a = — ^ 0.267 i a> 5 “7,5 37.5 za s“ 5 i p = O.S čpeđi cta je P( j S 5) = 0.55 p

-

,

■■

— 1 — —0,8. Proma labcii 5,3 37.5

SaHa iz ra z (5 J i4) dovodi do: .-f 0,55 W-, = --------- y ~ ---------r— — = (i. I sai=o rtuiiuta 1,2 5 7 5 (1 -0 .2 67 ) (J- 0 ,8 ) Vrcmc iziiieđu paziva tipa 2 t doiaska pohcijskih lcolaje Wfll + y (\T e m e putovanja po po£ivu)=6+3=9 minuta. Preventivml p rio ritttj U o\oj sekeiji nadaljc ukraikoje ii!ložena osnovna idc;a /.a riizvoj m o c d a čekanja *a prcveniivnim prioritctima. I prevcnlivntm sistcmima čekarja, klijeni sa najmžim prioritCLom (da ga o/načim o kao klj;cnta lipa f l može da bude skirmi sa s m i s a kada dođe kiljcni sa njavišim pnoritetom. Cim sc âvrši opslnživanjc klijenta sa nfljviSim prioritctom, klijcnt tipa i sc ponovo vrača na mcsto scrvisiranja U preventinim kontinualitim tnodelnna opluživanje kfijcnta sc nastavlja ti onoj tački iide jc ranijc bilo prekinuto. IJ preventivrtim modctinoa ponavljanja, opshiživanje khjenra počinje u svakom trcnutku vremcna od samog počctka. Naravno, ako vrcmena opsluživanja su cksponcncijalno raspodeljena, diseiplinc nastavJjanja i ponavljarja su idcntične. M o/e ch sc postavi piianje 7jiS10h U Kenđalovom sistemu o/tuOavanja. prcveniivnc redoê čekanja oznaćavarnO pomodu iri karakteristile PRP. Sada mo>emo da razmattamo sisiem u kojem postoji samo jcdno meito sCrvisiianja i u kojem jc vrcmc ops!u/ivanjc svakog ktijcnta eksponcncijalno raspodcljetio sa pai ametrom -

t vretncna dolazaka klijenta (ipa i

su eksponencijalno raspodeljcna sa parametrom X , . Ovaj modc] je označcn. picma KendaJovoj notactjt kao M,

.

w .------\

U - a t _, J ^ ( 1 - a J

M s. NPRP

Tada:

(5.115)

g d c jc afl = 0 i a k = V — 1“I ^ Ako koristimo ovakav nafiin rc/onovanja, preventivne diacipline se retko koriste ako kii klijcnti Jjuđi, Prcvcntivne discipltnc sc ponekad koristc, ipak zn klijcntt koji ličc na kompijutcrskc postovc.

OPERAgoSA ISTRAliVANJA

___________________

__________________

Prtmer 5. i ? t! Univcrzitetskotn centru radc /ajcdno pmfeson i siudcrti, Poslovi pnjfesora (tip l> inttLju prednosi u odnoSLj na poslove studcnata (tip 2). Duzina \rcm ena svakog tipa po&la je opisana slučajnom vcličmom koja irnii cksponcncljatlnu raspw!elu, Matcmatičkc očckivanjc jc 30 sckunđi, U svakom nam, 10 zahicva za poslove profesora i 50 zahtcva zn poslove studenatft sc podnosc. Koja jc dužina vrcmcna i^mcđu podnctog zahteva za posao i završctiog posla? Pretpostavimo da su vrcmena doJazaka eksponcncijalno raspodcljcna.

Rešmjt: [mamo da je \i = 2 poslovaiminutL

= — posla.minuiL, i X-, = — tsosla. minuti.

6

'

6

Tada: 1 5 6 I J 6 1 a- - — - -t&2= — + ” = ' 2 12 12 2 2

a0 u

Prcma izrazu (5.115) sledi: I W2 = 7--------—

2L

n l

, = l2- = 1,09 miraiia-

y

n ) {.

>' 2)

Na osnovu dobijenog rezultata možc da se znkljuLii da vrcme od trenutka kada stiidenti pođnose zahtev /a posao do trerutâ kadajc posao /nvsšcn jc ■.09 mimita.

LIT E R A T U R A [1] Znuć+ Đ,h Savić, D. ( 1997 L Simuiocija procesa unutrasnjeg transporta, Mašinski fakultct Univerzitera u Bcogradu. [2| Simonović, V. (1995), Uvod u teoriju verovatnoće l ftifitematičku statistikitt tckon, Reograd. 13] Vujoêvić, M. OperacUma isfraživanja - tžttbrana pogbvija, Pakulict organizacionih nauka, Bcograd. [4j WinslonnW+ <1991), Operaliotit Research. Applications anđ Algorilhmst PWS-KENT PUBLJSHING COM PANYt Bosion [5] Gubersnić, S ., i dr, (1070)* SistemL upravljotije sistemima, sistcntske đisciphrte^ tehnike i ntaode, I.cksi!
238

Đrva odlućivOttja

6. D R V O O D L U Č 1VAMJ A Đrvo odkičivanja je grafička interpretacija metođe analize odlučivajija koja m o£t da se koristi za vtliku klasu zadaiaka od'učivanja, fcao na primer: planirar.je proizvodnje, odredivanjc kapaciteta^ lokacija i dr. Drvo odlutivanja je grafićki prikaz skupa dapuslivih dltemativa za donosiocn odluka i. skupa mogučih konsenkveci kojc ie aJtemaiive mogu da tmajy. Šemaiski prikaz podseea tia drvo, lako da je ova metoda po tome dobila ime, Drvo odhičivatija nalszi svofu punu primenu u strukmriranju procesa odlučivatija u uslovima neiz\'esnosti i uslovima n /ika, Osnovni elementi drvreta odlućivanja su čvorovi i grane. Cvorovi oblika kvađrata predstavljaju odiuke, a Cvorovi obl:ka louga predfitavljaj j gržHCiki prikaz sanst ili događaja. Po pravili, Cvor odhike slcći čvonjvi šanse i obmuton čvor šansc slede čvorovi odluke, Čvorovi su ptrvezani granama (koje se predstavijaju linijama) kojima su označene altemalivc. Grane koje tdazc iz Čvora odluke odgovaraju konkreinim odlukam&, Grane koje izlazc iz ćvora šanse odgovaraju stanjima okiuienja. Vcrovatnoča svakog dogadaja piše se iztiad lintje koja označava altemativu i koja izlazi iz pnsmatianog dogadaja, Zbir svih verovatnoća altcnutttva koje izlaze iz događaja mora da bude jednaka jedinici. UsJovna isplativost kombinacije aiterriativa-dagađuj jc data samo u krajnjim taekama razmatranc kt>mbinacije. Analiziranje problema ođtučivanja pomoču ove metode od\ija se u pet koraka [2]: 1. Definisanje problema 2. Grafičko predstavljanji? problema 3. [zračunavanje verovatnoča 4. Procena isp Iat.i vti sti sva kc moguć e ko irtb inac ij c a Ile i n at iva-dogadaj 5. Rešavanje problema pomoću računanja oček;vanih novčanih dobiti za svaki čvor Ova meioda nadaije je iluEtovana jedr.im korkretniin pnmerom.

Primer 6. L Vlasnici jedne multmacionalne kompanije že]e da invesliraju u lzgrftdnju novili fabrika, Razmisljaju da li da građc veliku ili maJu fabriku, PoLražiii su pLtmoe od specijalista za istraživanje tržiSta, Procene eksperata su paikazajic u Tabcli 6.].

?39

O P E M a O m ISTRAŽIVANJA Tabela 6.} Procern? eksperata

iRirctllvanjc frzšštu $ada&y| staiije ianv

Rezultfiti procenc c& ^rata Pozitivni odgovori (prcd^ddfcaju povolino tržište za ptoizvotfe} Negsitivni odgovori (prčdviđaju nspovoijno trfjšte za proiivodej

3Jovoljno tržigte ( PT) 0.7

Nepovo]jno tržistc fNT) '

0.3 -1 -s -----—--- ■■ — ■

0.2 ^m

FinanKEjksi meoadžeri su na osnovu pottcuaka \z evidcncije i 11a osmm i sadasnjih

infomiacija o stanju m tržištu izračima]i vrednost dobtlt koja Fie ostvaryjc v velikoj i maloj fabrici, lako da dobit iznosi 200S i ] GOS. respekri.vno. Gubici koji se ostvare ako triiSte nije povoljno u vetikoj fabrici i3:nose IS0£ a u maloj 20S. Vrednosi troškova istraživflnja je ] 0S, Sta treba uraditi da bi se mak.simbjra]a očekivana dobit. Rešenje: K.ao Sto je prikazano u detu teorijskoa razmatfanj.a primcnc o v e m eto d er analiza se realizuje kroz pci koraka,

Kot ak I. Problem jc odrediLi najbolju ailemativu (ejđjuku) tako da se očekivana dobitmaksim izira, K o rakl. Struktura problema izbora najboLjc odluke (drvo odluke) prikazanaje na $L 6.2 M : K \I

V |: 11 kA

1K ^ t V tffrĆ l

240

KA VF A MA1 A SA MI ■

D rto odltiL ivvnjti

A'arak 3- Ođređiiuo dh o verovalnoću da tržiSte bude povul>no \\\ nepovoljno:

p(PT) ™p(NT)=l/2=0,5 Zfllim odrcdimo verovatnuće prema ftajasuvoj teoremi-

sivaki Cvor sanse. Ove verovatnoće sc izračunavaju

pfpT poz rez.V=_____ - ^ oz- K z1r

'■

...........

_

J pfooz ,« z ./P T )• p(PT) + p(poz.rcz. / N T )p (K T )

0 .7 0 .5 0.7 0.5 + 0.2-0.5

d(N T '' doz

L

= 0.78

rez ) - __________ p(poz. rez./N T ) p(NT)__________ ' p(poz. rc z ./N T )-p(N T )+ p(poz rez. / PT)-p(PT)

°-2 0 5 = 0.22 0 .2 '0 .5 + 0 :7 - 0 5

p(PT /neg.rez.) = ^ ----------- p(ncg r ^ ,P T ) - p (PT). p{negrrcz, PT) p(PT) + p(ncg.rez. NT) p(NT) 0,3 0.5

- 0,27

0.3>0.5 + (XS-(X5 /Kt_ . \ p(neg, rez ,/N T )j p(NT) p(NT / nCg-T’e2Lj = —,-------1 ■; i----- r— j----r p(neg,rez,. NT J-p(NT) + p(ncg.re^. PT)-p(PT) 0 * 0 5 + 0.3 0.5

-0.73

Verovatnoća da će reûlinti LStraživanja &a budu pozitivm, odnosno ncgaiivni raĆutvaju se prema izrazu za totalftu vcrovatnoću. p(po7.rez.)= p(PT)-p(po^rci!., PT)

+ p(MT)'

p(po?,.rez.

rfl)= 0.5 '0.7 + 0.5 '0.2 - 0.45

p(neg, rez,}:: p (P T )‘ pfncg.rw, PT}+ p(NT)-p(neg.rez. ■NT)

= 0.5-0,3 + 0.5 0.8 = 0,55

/ b i r verovatnoća mora da bude I, ij. Aksioma 1 mora da bude zadovoljcna.. provenmo, p(poz,rez.)+p(ncg, rez.) +0.45-M).55

Koruk 4. U ovom koraku i/ra£miavamo očekivantj vrednost

svald Čvor u drvetn

odlufiivanja, Kflko su troSkovi jstrazivanjsi tržiSta I0S slcdi da tlkiipna dobit koja se ostvaruje u velikoj fabrci iznosi 200S-3 0SÎ90S a u maloj fabrici I005-10S=90S. Ukupni 241

OPBRACiONA iSTRAŽfVANJA

gubici u velikoj fabnei sc izračunavaju kao -1S0S-H)S--I90S. U malnj fabnci ukupni gubici su -205-10S— 30S, Prvo računamo očekivar.u monctartm vrcdnost, OMV, za poziitvnc rezullalc istraživtnja O M V fčvor 2 )-O M V (velika fabrika p o /iliv n i ro/ultEiti)

OMV-0.78*3 9 0 + 0 .2 2 * M 9 0 H 0 6 .4 S OMV (čvor 3}-= OMV (mala fabnka. po/iltvin rezultati) OMV -0.78*90+0,22*(00)-63.6S Ako jc odlukfl tla sc nc graoi tabrika tada jc O M V * I0S, ij. jednaka je troSkovima iAtraživanja trzištcL Na psnovu izračuna.tih O M V siedi da ako su rezullati poziiivni tada treba graditi vdiku f;3briku. AJlernativc Ća se gradi m ala fabnka i altem ativa da se ne £radi fabnka u daljem procesu odlučivanja se nc ra/m airaju Na drvefti odlnčivanja ovo j e označcno precrtanim iinijama. O M \’ u čvoru odiukc kada su rezuliati istraiivanja pozilivni iznosi 106.4S.

Izraćunajmo sada OMV za svaki ćvor sansi kada su re/uitati i.sirazivanja negativm, OMV (čv o r4 )-O M V (velika fabHka/negativni rezultatij OM V=0.27* 190-0 7 3 > I y0)=*87.4S OMV (£vor 5)= OMV (mala fabrika negativni rc/ultati) O M V -0 .27 *90-i-0.73*f-30> 2.48 Ako jc odlnka da se ne gradi fabrika tada je OM V- -l()Sn tj. jednafca je troskovima isti'aijvanja triižta, Na osnovu izraćunatih OMV sledi da ako su rezukali pozitivni tada treba gradiU malu fabnku. Ahernative da se gradi velika farika i da sc ne gradi fabrika se nadaljc nc razmatraju. Takođe i ovc altemativc su na sbci 2 oznaćene precrtanim linijama OMV za čvorodlukc kada su rezuhati isiraživanja negatiiiii iznosi 2.4S. [zrafunajmo sada O M \ ‘ za čvor sanse 02načen sa I. Ova vrednost prcdstavlja O M \ za slučaj kada sc vr5t istraživanje (rziita. OMV (ćvor l)=OMV{kada se vrSi i^trj/ivanjc tržista) OM V-0.45* 106,4+0.55+2,4-49,2£ Ako sc nc sprovodi istraživđtije tržiSla tada sc OMV za čvorove šansi računaju; OMV(čvor 6)=OMV(velika fabrika) O M V -0.5*200 h0.5*(- I S0)~ 10S OMV(čvor 7)-0M V (m ala fabrika) OM V-0.5* 100+0.5*(-20)=40S OMV kada se ne gradt fabrika je nS Na osno\u ovih rezuhata sledi da odiuka ireba da bude da se gradi mala fabrika. OMV za iv o r odluke kada se ne vrSi istrazivanje iržista je 40S. 242

Đrva ndfućivtjnja Ako uporedtmo 0 \ f \ : kfida se vrši istraživanje trziSia i O M \ LEcada se istra/ivatijc iii? vrši sledi da je OMV u prvom slućaju veča. Ova vrcdnost predstavija i vrednost / a £vor odiuke, tj, to je maksiinalna vreduost proflia. Treba napomenuti da ako su rezulUti islra/ivnnja tržiita po/itivni tada treha gradiii veliku fabriku a ako su negativi tada Lreba graditi malu Tabriku. Na slici 6 3 prikaznne su oiekivane vređnosti u drvciu odlučivanja Prccrtane lintje u drvetu odlučivanja o^naČavaju da se te alterratjvc ne uzimaju u o t^ ir pn da]jcm razmatranju, Ovo je zato šio je njibova očekivana vrcdnoat mža od najbolje alttmative. PRVAtAĆKA

ODLLKE

rmi OA tM ka nmV-KF

SHka 6.2 Ont) odluCivanja sa phkainnim G\ f l T

L JT E R A T L R A K.rajevvski, LJ,L., RBt/man, P.L.n Operations Mamgernent- strategy andanafym , A D DlSO N-WESLKY Pubiising Company, Jnc., U S A + [2] Render, B.T Stair, M.R., (1997): QuaniaUve Analvsts For Managem&nU Premice Hall, N J., USA. [ lj

243

Tefrnja igara

7. TEORIJAIGARA 7XUVOD U savremenom svetu javljaju sc brojni problcmi koji u sebi sadržc sukobe rLizIiČitih inieresa Postoji veliki broj oblasii Ijudskog delovanja u kojima se javljaju konflikine siluacije 1j. borbc intaresa. To su na primer, m /ne vrste ekonomskih problema kao što su određivaitjc proizvodnih stratcgiju, trZišna konkurencija, inarkednSki nustup, konkurentski odnosi izmcdu kupaca i prodavaca. Konfliktnc situacije sejavljaju i uodredivanju poliltčkih, vojttih straicgiia i slično. Znaćaj i uOt:sia]ost ovih problema uôvili su pottebu razvoja tehnika nazvanib upravljtmje konfliktttim situacijamti, Jzučjpvanjem situatija kcijc karaktcnic sukob ućesnika d o šlo se do potrcbe formiranja matematičkog m odcb donoscnja odluka u konftiktnim situacijama. Obiast pnmcnjenc matcmatikc koja sc bavi ovim prcblemim;i io ve se Teorija igura Osnove tcarije igara dali su John von Neumann i Oskar Moreenstem u knjizi 'Theotj o f Games and Ečonomic Bcktivior’, Od domaćih autora radove na ovu temu objavt]i su J. Petrić, M.Tourki* M. Backović, M Leković 1 drjgi Osnovni pojmovi u tcoriji igara su igra. igrać^ sfrafegije i ishađ ig c . Pojant igra 07j:ačava konfliktru situaciju a pojam igrač Označava učesnika u konfliktnoj situaciji. Pod pojmom iyirHć podra/um eva se bilo jedan učesnik ili gm pa učcsnika koji zatmmajiJ istu stranu u korfliktu. Strategtja se definiSe kao skup mogućih reSenja koja stoje na ra.spolaganju jcdnom igraču. h h o đ igre ili cena igrc kako se još naziva, pnedstavlja rezultat kojim se završava igra, NajCeSče je to dobil koji igrom ostvaruje jedatt igrač, fj. gubitak koji trpi drugi igrać, mada može predstavljati i neku đrugu veličinu kao na primcr nagradu odnosno ka^nu i sjično. Teorija igaraT dakle, predstavjja rnatematičku teoriju koja izućava konfliktmi situaciju karakterisami sukobom rii/lićitih interesit (igra) u kojoj uCestvvje nekoliko suprostavljcnih strana (igrača), a svakoj od tih sttana stojt na raspolaganju nekohko altemalivmh rešenja (j. mogueih pote/a (strategija). tgra£ se opredeljuje ra najbo]ju strategiju tj, onu strategiju koja dovodi do što povoJjnijeg ishoda igre. Pormiranje matematičkog m o d d a igre moû predstavljati vrlo komplikovan zadatakN budući da su konilikme situacije veoma ra/novisne i kompleksne, l’rilikom formiranja modela vooma je važno kakvim informacijama igrafii raspolažu. Kako je cilj igrača izbor optimalne slrEitegije. to /naći da na donosenje takve odJnke mogu da utiču i ciljevi suparnika pa prema tome infonnacije o p f o t i v n i k li i okruženju mogu bitno uticati na formiranje matematiOkog modela igre. Ctlj koji svaki igrać želi da postigne muže seH dakle, definisati kao 'izbor 245

1 __________

OPERA CIONA ISTRAllVANJA

________ _________________________

racionalnog kriturijtima radi biranja strntegija u svetlu ;:ktivno identifiko\ jn]h, mogućih i vemvatnih iikcija guparnika',1 U narcdnom poglgvlju biće prikazAna matcmat&ka focmulacija konfliklre situacije, k;io i klasifikacijn igara,

7.2. FO R M l LACIJA I K L A S lH K A tlJ A IGARA Posmatrajmo prvo i^ru u kojoj učestvuje jedan igrnC odnosnojedan igraČ m oie da utiče na tshod iyrc. Igraca ćemo o /n ačiti fia I } . N iz allcmaLiva koje igrač /, tma na raspolaganju o^načićemo sai

[shod igre prcdstavljii dobit igrača

at t i —

/,

ako 011 izabere određenu aUemativu

i ozna£a£ava se sa:

C{at)

I

i-

Funkcija C se naziva funkcija cene, a naziva sc jo5 i funkcija eflkasnosii ili funkcija profitabilito^ti. Vrednost funkcije C zavisi od izbora igrača, Napomena: Iahođ igrc često zavisi [ od slućajrosti nczavistiih od igraia pa sc i’unkcija cene mužc /apisali u obliku:

C (a, ,0)

i = 1,2,...

I

gde je 8 siucajna promenljiva,

Optimalna sirategija a je ona ^traltrfiija koja maksitmzira dobit igrača /. tj / a koju važi: C (0 > C (a ,)

i

I

Posmatrajmo sada igru u kojoj učestvuju dva jgraća /

i

. Skupove ahermuiva

koje stoje igračima na raspokganju tj4 njihove straiegije, označavamo sa:

A—

a funkcijucene koja defmiSe ishod igrc sa:

C{ a^hf )

i = 1,2,...J = 1,2,--

1M. Ćupićt V. TutnmEla, 'Savremcno ođluCivanje'. 19S>4 246

m

Tegrija igarg

Usvajđju sc pretpostavkL1 da sli oha i^rača aktivna i r.icionalua i da s \a k i uccsnik nna bnf dve altemative ne raspolag&nju. Prciposta\ lju sc i.tkode da jodan od tiiroča.. neka jt" 10igrati / , . fjc\\ da maksitnizira svtij dobiuik. dok dmgi iarač / nasto|i da minimizira svoj gubitakn Optimalna strategija igraOn / je o=ia strategija koja lom isjraću flotiosi maksimalan dobitak, dak j e optmKilna strategija ieraća / 2 ona koja tom igraču dortosi mirtimaUn gnhitak. Daklc, elemcnti modej.i su ijjračt ij. donosioci odlttke, ra?ti£Eie altemativc koje stoje i^račima tia raspolagattju i rc/ultat ij ishod igre. k:to Tunkcija kombinacije izbora opiimalnih stratcîja «d strana donosiiaca odlukc. l|Jtrc se mogu klasifikovati u odnosu na razliutt- katerijutn# L1 sledećoj tabeli je data kkisifikacija igara u odnosu na neke najccsto korišćcne krilerijume. Igrc takođe imogii podeliti t na matrićne igre, diferencijalnc igrc, neprckidne igre, igre u uslovima neizvcsnflsri itd. U narcdmm pogiavljjma biće reći o matrićrum igraina, K ritrnjum k luink ftcije iiroj igmta

Uticaj igrača na ishod iyrc

Hroj altem tnva

Kiirakteriitike jshoda igre

Vrcdnust krHerijuma

Vrst* i^re

Jtdiiii igrač

Igrt

V iic igtagu

Igre sa \ IWT igraca

Igrači imaju uiicaja tia isbud igre

SirttTcSke igre

Igrači nemfrju uticaja nj ishod igrc

Igre i:a sreću

KonaCan bro; ahemauva

Konaćnc fbrojačke) igre

BeskoitaCan brt>j diemattva

Bcskona^ne (lferativne) tgre

Dohttak jcdnog tgrača jednak jjubitkli dntgOg i^rača

[grc sa ntiltLm zbirom

OohitLtk jcdnog igrača rezlićit od giibiika drugog tgrLićd

Igrc sn nemiitim zbirom

jednim tgračem

7,3* PROSTE MATRiČM*: KiRL Pusmatrajmo stratesk^ igru u kojuj učestvuju dva i^račia 1 i !\ . Igračima stojs na raspolagar:ju konačan broj altemativa i to respektivno:

S =(b,, b,, Data jc funkcija cenc igrc, koju oznaćavatno sa:

C{at7bj)

i*iH2.mfj —1,2.n 247

OPERACIONA ISTRAŽIV'ANJA

_

___________

______________________ _______

Usvajamo prctpoštavku da s$ radi o igri &a m h im zbirom. izabcrc alvemaTivu d

a igrat;

Dak]e ako igfač I v

I-, altemativii b { tatk }sftod i
prcdstavlja dobitak igmča I }, a ujedno i gubitak ip aS s 12 ^Tapomena; Gubitak jednog igraćn so može shvatiri kao :ycgov negativri dobitak. Dakfe, gubitak koji iznosi C i a ^ b ^ ) jc isto sto i dobittik od —Ć( aitbj)> VaŽi i obm utotj. dobit&k koji iznod C(ci^b.) jtf istpsto i gubstakotl —C ( a , , ft,). Funkcija ccnc sc obično za&tje u obliku matric# cena:

b.

...

bn

£ ( f l , , i 2)

-

€ (« ,,£ ,)

A

C fflj,/),)

C(a,,b,)

^

C(a,,(?„)

-

■ C & te b ')

C ( a „ ,m

Malrica cena se skraćcno može zapisati u obiiku:

c11

-

^Zl

%

e*l

C\\2

Velićinc cijti =

■ "

C%n

- L..r,n su vrednosti lunkcije cenc tj. mogućt ishodi

igre, Nazivaju se još i efekti. lgra definisana na ovaj nat;in naziva sc fMttriČna igra, Moguće aitemative igrača /, date su nedovima matricc a igraia I, kolonaiua matrice ccna. Igrač Z, lezi da maksimtzira dobitak tj. da ishod igre bude što vcći dok igjrać / 2 te£i da

minimizira gubitak tj. da ishod itire buđe Slo manji. Uzimajući te ćinjenice u obzir, igrači biraju optnnainc stratcgije na sledeći tiačin: Ako i^rač /, izabcrc bilo koji reć za svoju hiUiLtegiju. tada će igrac / : , budući da žeH da minimizira gubiiak, izabtati onu kolonu fcoja iadrzi minimalni element u izabranom redu. Zato je potrcbno najprc odrediti minimalnc clemente u svakom rcclii koji će prcdstavljati potencija]ne ishode i^re. Kako igrač

/ t želi da

mak&nnizira svoj dobitak, tj, želt da ishod igre budc što većit on če za optimalnu strategiju izabrati onaj rsd koji sadrži maksnnalni elenient od svih već odredenih minimuma. Opisani postupak koji igrač f.t primenjuje da bi odredio svoju

248

7v»nju igara optimalnu iirategiju naziva $c m a xm in metođu a pronadeni etement sc nasiva

doiija vrcdttost matrične igre m ax m i n r - c fi - donj;i vrednost matriL-dL: iijre *

t

Ifirač / , posrupa na sledeći naCin. Ako i^raf I , izaberc bilo teoju kolomi za ivojij sirategijii. tada te igrač / Nbudući đa ?elul:i maksimTzira dcbitak, izabrati onaj rcd koji iadrži maksimalrt elcmciu u izabranoj koloni. /.ato so najpre odreduju maksimaini elcmenti u svakoj kolont koji ,ll: piedstavljal] potertcijalne iMhodc igrc, K aio ^raC’ / ; zcli da m m iun/ira svoj gubilak, ij. zcii da ishod igrc bude sto manji, on će za optiinalnu strategiju i/.abrati onu koionu koja sndivi tnmimalm elcment od svih već odrcdenih maksimitma. Ovaj postupak koji i^rnč I 2 primenjuj t? da bi odredio svojn optimahm Strategiju naziva se m in m a x metoda^ a pronađeni elemeni se naziva gom ja itrtdnost m atriine i^re: m in ma* c = c G - gom ja vrednost matrtcnc igre / i Donja i gornja vredriost maliične igre zadovoljavaju slcdcću nejednakost: m a .\m i n c

*

< m in m a x t v

f

j i

Matrična igra kojoj su đonja i gomja vrednost jednake naziva sc prosta matriĆna igra Oonja tjKgonvja vrednošt proste matričnc igi e sc naziva sedlustn tučka i prcdstavlja tsliod igre. Sedlasta tačka se nalazi u prcseku reda, oznaCfmo ga sa a označim ojesa b .T aća a pfedstavljaoptimalmi stratcgiju igrača /

i kolone,

a h predstavlja

optimalnu strattgiju igraCa 12 . Sirategije a' \ h' se nazivaju čisle strategije. Opisane poatupkc / z odtedivanje optimalnih strategija 1 sedlaste tačkc ilustruje sledeča tabela: v«■

c ti “■+

■■■> ^ m\ m a x c rf

m 3 x t ,, t

m in m ax Cg 1

■

. m m c« i *

L

m in t', /

‘*1 ii i ■r■■

Qm>

b.

■■-i H ■4 ■

h*"- ■!■+ C m;n: r p■

■"

m in c j m>*

■■K

CJH f l : ttia x c.

m in c ^ -

m ax t

&G _

-

249

■

m ax m in c i / 7

i

OPERAOOm fS T R A Ž fV A H J A ______________ ______________________ gdc važi:

am - a T - opfivnalna stratcgija jz igi nča / bti - b

- optiinaLna strateîja za i^raca l 2 *

Cpf|fl| —c t> ~ Cc " sccliast[) ta£ka ljf isbod igre 1 < jvr^ < m

\ š n :
Prlmer 7.1. Na osnovu date matricu «jen;i odrcditi optimalne straiegijc igraća ] seđlastu taOku.

5

-] 6 7

& 7

4 5 3

!2

-2 8 10

>9

Sprovodeći opisarî postupak dobijnmo:

", *ž

5

*3 4

12

-2

-2

8

6

5

<5

S

5

7

3

j

m a\ minmax -

m:n

*2 -]

8

7

ppnmalna sirategija £a

10

5 5

12

___

masmin

5

“i

10

/, jo a z

-opiimalna sirategija / a ijjraća / , je b5

-

$ed]ftStatačkaje

“ 5

PtiUlojc matrične igrc koje imaju viSe od jedne sedla&tc tafikc. U tom stufiflju scdlastf (aćakc sc javijaju kat> siiuctriim parovi. To ?iia£i da ako su c Will i sedlastc tacke tada su scdtastc taćkc takotlc i ć mn \ cmmtt , Opiimalna straicgija za lunica /,

može biii priii/voljno bilo aliemativa a m ili a n,

a za Egrača / ,

allcmadva b ili br . IM m cr 7.2* Na osnovu date matrice cena odrediti optlmalnc stratcgi je jgrača i sedlastu tafku. _T

s 6

9

3 7 6 7

9 0 8 10

230

12 10

N 3

-1 7 5 7

Tcorija iâra Dobija se s]cdtfČL reraltal:

~

maxmm

7

7

7

1!

5

!0

g

7

5 *!7

7

E0

(2

7 ■fj

h,

3

12

-1

S

7

10

6

6

R

{)

7

9

7 7

b2

al

min

h

h\ -2

b%

J

optimalna strategija za igrača / { jc a 2 ili aA optimaltia strategija za igrača /-, j e !k ili sedlaslc (ačke su c ^

= C,* = C A* * 1

7.4. M EŠOVITE MATRJČNK IGRE Ako važi striklna nejediukost: m a x m in c < m i n i t u x c t

J

;

t

*

f

odnosno ako inatriCna lgra neina sedUstu laćku iac3a sc radi o mešovimj matričnoj igrL U tom slućajLj se iivodi element slučajnosij u igm. li>rač /, ć t odabratj aliemativu a t sa verovatnoćom p h

sa verovatnoćom

=

a igrač l , će izabrati alleniAtivu Ovakve stralegijc nazivaju SC rnefovire

Strategije i o/načavaju se sa: p = i p \ , p 2......p j Q = { q ^ q ,,..~ ,q m) gde važi:

p f > 0 J - 1,2

q} >0 j m

/-i Napomenii: U slučaju ćisic siratcgije odrcđcna altcmativa ili jcstc ili nije izabrana kao optimalana, U slučajti mcšovire strategije svaka altcmativa je odabiana sa 251

OPERACfONA ISTRAŽfVAXJ.'1 odrcđenom veroYa'not:om. Dafcle, tista strateîja a —a meSovite strategije oblika

je spectjalm sEučaj

p iV..t p m ) = = (0 f,.„*0.L0,—*0).

U sluČaju mcôvitć matrične i^re futikcija cene kaja odrođuje ishod igrc jc data ^ledećim izrazoiri;

c(p,Q )= fy< „/> ,v Ako postojc meSovite stratcgijc P zaigrača / t Q

za igrača /^ takodavaži;

C {P ,Q ')< C (r\Q )< C (P \Q ) za hilo koje sirategije P i Q , tada siratepiji P* i Q * predstavftaju gptimalne mešovite strategije. C [ P *, Q ) predstavl jaju isliod igre. o^načimo ga sa v . Gomja ncjcdnakost znači da ako igrat /, i/abcrc sirategiju P

tada ce njeôv oćekivani

ishod igre 1]. dobit bit: najmanje jeđnak C { P \ 0 ‘ ) bez obzira koju straiegiju iziibere itjrač / : . \ obmuio, ako igrać / , izaberc strategiju

tada će njcgov

oCekivatii ishod igre tj. gubitak biti ne veći od C{ P t Q ) bez obztra koju slratetjiju i/abere igrać /, , Kao i u slučaiu prostih matričnih igara i kod meSovitih tnatričnih igara m oie postojaii viSe razli£itih optimaJmh strategija, Za r^štivaiije meSovitih matrićnth igara koristc se ra/lititc metod?. U nasiavku teksta biće opisane aaaHtifka metoda. grafićka tneloda, ktio i upolreba lineamog progranuranja za reiavanje ovakvih zadauika. Najpre čc biti prikazano kako se re&avanje mesos itih matričnih igara moze pojecnostavili redukcijom matriee ctiia.

7.4.1. REDUKCIJA MATRICE U rtekim sluCajcvima rešavanje mcšovitih matričniU :igar& se može pojeđnoslaviti tako sto se dimenziji; matriee cena smanjuju. Odrcđene čiste strategije se inogu odbaciti tikoliko su inferiorne u odnosu na ncki] drugu fiishi strategiju. Dntgim refima, ako postoji odredcna strategija koja dominira nad nekom druôm strategijom taca se ta dmga Strategija može odbaciti. Kako važi C( P , Q

)< C { P \ Q * ) < C { P ' , Q )

to zivaci da ako postoje stratcgije

Pt i P. tn k o d a v a ž i C { P C ( l J*, Qf ) tada je mo/,e izbaciti iz razmatranja

i {J)

tako

= 0 tj. j\ kdjona matrice eena se

I'canja igura

Primer 7.3.

0

_T

-1

]

l

Pl

3

4

P4

7

I

0

-2

3

0

0

3

4

5

5

pl

Pl

Pl

Ps Kakoje:

L

3

2

*1

4

3

'1

6

5

3

C(P„Q)< C(Pl t Q l VQ => C(PltQ’)< C(PV Q‘ ) => Pt =0 C(Pl t Q) C(P,tQ ') p } - 0 C{/>,e , ) > C(P, g 5}, V O => C (P \Q t } < O P‘ , Qs ) =>

=0

C ( /> ,e ,) > C (P .O ,), VO

- 0

C (P ‘ , 0 , ) < C ( P * , a ) :=>

Matrica sc svodi na:

p)

P'

Pa Ps

4; 3

5

3

7

0

-3

0

0

4

5

C(P,Qy)> C(P ,Qb),VQ ^ C(P\Q)< C(P',Qk) => 9, = 0 pa se matrična igra svodJ na: -2

S

<7* 3

0

^3

0

4

5

-I

P* Pj

7.4.2. ANALITlCKA m h t o d a U nastavku teksia korEsiieemo sleđeće oznake: -

PJ -

o/naćava stralcgiju kođ kojc je p, = 1 a svi ostali elementi su

nula Ij,

"■iP\fPi v j Pt-i5 -

Qr j -

i

/jjh-i i Ppi) =

0,1,0,,,,,0,0}

o?Jiaiava stmtegiju kod koje je q , - \ a svi ostali elememi su

nula (j 253

OPER \0 0 \A iSTRstllVASJ l

Optimalne strfliegijc igrača Z1

i Q

kao i vrednost igre v sc mogu naći iz

sledećth jcdnacina2: r

f>

Jj£|

r

C{Pi t Q ) =

> “ l’

' = 1..... m

r

*■1 U filučaju igre čija matrica cena je dimenzijL1 2 x 2 jodnaČi tia:

dohija se slcdcći sistem

CllP \ + CUP2 = V

C,s^. + ĆV/J, = V

C»?1 +«I2?2 = v C;,9| +c»
<7i +fs = 1 Rcfiavanjem ovog sistema dobijaiu se optimalnc stratcgsje igrača P vrednost igre v. Prik^/aćemo primenu ovc mctodc na sledećem primcm;

Frimer 7A N lI oen ovu daie Enatriee eena CidredUi optim alne strategije igruča.

1

5

Kako je niax tn iil CtJ —2 - donja vrednost matrične iiire m ul m a x c r/ = 4 - gomja vrednost matričnc igre to znaCi da se radi o meSoVitoj matričnoj igri. sa ishndom 2 < v < 4.

MTourici. \LBackorviĆ. ’MaieirLaiiC’ki moddii i mctodi u cJttmomiji‘+ 1995

254

\ Q

kao i

Teohja igaro

p. i - 4 p , = v 5 p, + 2 p z = vP\ * ip i = 1 tft + 5?> = 1 4r/, + 2c/, = v 9 1+ ?i ~ 1

Rešavanjem

ovih sistema dobijaju sc optimalne

strategije

Na isiom primeru prikažačemo jos jedan načtn rešavanja igara čijja miitrica cena je dimenzije 2 x 2 Prim cr 7.5,

Funkcija cena

moze zapisati u obliku:

C ( P , 0 = P i4 i + S p , ‘i 2 + 4 p 1( l : + 2 p 1q 1

=

( L W p , ) ( l - ^ , ) + Š O - g S j ) ^ + 4 p 2( l - ( j 2) + 2 p 2ci2 = l + 3 p 2 + 4< j2 - 6 p , c / z Izjednačavanjem parcijainih isv o d a sa nulom dobij&ju se optiinaEnc strateîja igraća:

3 - # q 2 —0

uq2 4 —& p 2 = 0

2

3 M.Lekovi^ T to r j j a t metocb odUičivunj^ 199S

25 S

OPERACtOSA lS7RA?.!\ A \ t \ D*ikle opi:fna[ne strategije su:

f ] 2'

U ’3 ,

« 'f

iQ =

f \ l>

U

2)

a zamcnom ovih vrednosti u izraz za cemi tlabija sc ccn;] igre v = 3 ,

7.4.3- G RAFIĆK A M tT O D A Clntfička m^toda se pnmenjlije za rc£avanje mešo\ itih mjinčniK igara ćija matrica tcna je dunenzija m x n * gdc je m in (/«.«) — 2 * Broj attivnih straiegija igrača tj, broj pozidvnih koordinanli u mcSovttoj itrateiiiji, mjc većt nd m in ( m ,n ) 4. D ak l^ □ naSem stučaju oba igraća će imaii po 2 aktivne gtratcgije, Ra/motrićemo prvo shičaj matriCnc igrc Cija matrica t:t:ny je ditnenzija 2 x ; i . Posniatrajmo n fiinkcija: C (P .{ ? ,) =

c ]:/ j .

+ c tlp,

C (Z1. Q *) —c 1 2 P' + ■B +

C ( / >, e „ ) - e 1„/>1 + c 2„ / ' :

Uvođenjcm smene p : = 1 - />, dtibija se pmvih uzimajući u obzir da jc p. e

jednačinft pravih. Nacrtafemo tih n

[o,l |. Na .siedcćoj slici skiciran jo ilučaj ^de je

n = 3 a pravc sti ozrtačene sa / , t / 3 t / 3 r

1 M.Toiirki. M.Backovtc, 'Maicmatićki modeli i metodt u ckonomjji1, 1995

Teonja igara Ksko vazi:

C I P, Q) = ^ . 0 ( ^ . 0 , ) i j p g j = 1 L to značt da va£i i: r x \ m C { P , 0 . ) < C ( P , O) < m a x C ( />,0 ,) J J j r

D akttf ako igrač / 3 izabere rta primcr stracegiju /j, - p , ' tada ćc vrcdno.sti igrc bili izmedu / $( [ } / ) i f x( p , r) . To /r.aii da če igi-ač / , ijahrati otui stratcgiju koja će obezbediti minimalan Shod igre tj. u našcm prijneru stratcgiju

. Dak1eTigrač

/ L bira omi strategiju kojn će obczbcdiEt da minimalno pkićanje bude što veee. Prakiicno to je m.eixttiin kriterijum koji jc voć pommjan kod pnostih matrićnih lgara. Minima]na plaćanja &u sjmfički jjbjfikazana linijom ABCD a minimalna plaćanja đostižu maksimurn u taeki B . Dakle+optimalna strategija p \ bide apsctsa tacke B . Ordtnata taCke B određuje isbod igrc v. Prave koje se seku u tački B određuju aktivne stratcgije za igraia

. L? dučaju pnkazanom na slici aktivne

ittrategije su i . U sluČaju da kroz tačku B prolaH više pravih tada aktivnc ^bfitegije biramo proizvoljno. U slueaju matnćne iiire čija matrica cena jc đimeuzija m x 2 analogan način. Posmatraj’j sc slcdeće funkeije:

+ c iz
= ~

postnpa $e na

ci\H\

C22$2

t 2 ) “ cru\Q\ + i priincnjujc se m in m a x kriterijum. Prikazaćemo pnmenu grafičke metode na sledeća dva prirnera. Primer 7.6.

Na osnovu date matrice eena odrediti optimaEne stratcgije igraća, "

4 2

3 6

S 1

"1

_

Ako igrač /. koristi mešovitu strategiju P a igrač / 5 rcdom strategijc Q. , 0 2 i

Q.. tadaje ishod igre: C ( A S L) = 4 A , + 2 P l = 4 P] + 2(1 - P ) ) - 2 + 2 P[

C ( P t0 2) = 3/jj + 6 ; j ; = 3/j, + 6(1 - /?,> = 6 - 3 / j ,

=

-S/>| +(1 -/;,) = l + 7/?j 257

OfiERA CIOSA tSTRA Žf l 'ANJA F:t]nkcije

j)T

i

C(PÔ?)

se mogu grafički

prcdstaviti.

Oztiačkn0 ih sa f lf f\ i /'; rcspektivno. Uzima se u obzir da je p x £ | 0 j j .

Siikd 7.2. Minimalna plaćanja su grafički prikazana Ijnijpm ABC’D a mininialna pEaćanja dostižu maksinmm u mčki C . Kako se iačka C nafezi n preseku linija f\ i f 2 to se optimalna strategija p ' nalazi sc iz jednakosti: 2 + 2 jp, = 6 - 3/?, Odatle se dobija đa je

P =

(4

= — pa jc opiimalna strategija 2a igrača

5

L

y

Kako se tačka C nalazi u preseku Kntja f\ i / , io su aktivne strategije igraca / 2 q x i q 2 . To se može poka/ati i na sledeči način:

Ođrednno sledeće veličjne;

C ( P \ ^ y

5 33

Teorija igara Kako je:

C(/>*,0 = 2 > , C ( / > \ 2 ;) jm I

to je: /. C(P , 0 = <7, y18 + (1 -<7; - < hJ) y8 +

33

18 , - = —+ 3<7?

što znači da igraeu / , u interesu da izabere q y = 0 da bi ishod igrc tj. C ( P \ 0 ) bilo što manje. Dakle, optimalna strategija za igrača L je oblika: 0 - ( 9 l, l - f , . O ) što odgovara igri sa matricom ccnc: 4

3

2

6

Sličnim razmatranjem kao i ranije dobija se:

C(P,Q) = 4qx +3 q2 = 4 qy + 3(1 -
g 2 =C(P2, 0 ) .

Slika 7.3. Optimalna strategija q { je apscisa tačke E tj.

3

O P E R A C IO S A JSTfLiŽIi 4 \ J A

Dakle* optimnlne strategijc su;

"

'U

kraCunajino sledeče vdičm c:

C ( / S .e ‘ ) = y C tfS ,C ')“ y

£ ( /* ,£ ? * )£ v i C ( P \ Q )

Kiiko je

za

sve strategije

P

i

Q

to

vači

m a x { C ( f ; , e ' ) , C ( / J, , C / ) } < v < m t n { c ( P ’ . 5 1) , C ( / , * . C , ) , n P ‘ , O i )} f]8

18' .

.

. fUt

IS

mas y , y \ < v < min\ — T- r ,

33

.s’ s’ s

C { P \Q >

i tj.

> to zaključujenio da jc ishod igre:

18

Ishod igrc takođe određujt; ordinala laike

c

(f■t)*iv

I8> 5

Sada ćemo grafičkom metodom resiii zadaiak koji jc već resen analiiickom metodom

Primer 7.7, S'a osnovu date matrice cena odredili optimalne siralegtjc igraća.

[

] 4

5

Posrnatraju se sledeće funkcije pravih:

p\ + 4 Pi = p, + 4 (l-/> ,) = 4-3/?, = / , ( p , ) Sp, + 2 p 2 = 5 p , + 2{1 - p ,) = 2 + 3 p , = f 7( p , ) Na shci 7.4. limja A —B —C odrcčuje minimalne tnoguće ishode igre. Igrač

qe

primenili m a?tm in kriterijum tj. izabntće maksimaJan ishod od svih mtnimalnih -

ishoda. Daktetfptiinalna stratcgija p\ 6cbiti apscisii lafcke B paje P* = — ,3 3

260

1

Teorija igara

Pi

Optimalna strategija igrača f 2 se nalazi r.a sličan način, pomoću sledećih funkcija:
Optimalna strategija q\ će biti apscisa tačke E pa je n ' = [ i i \ Zamenom V2 2 ) optimalnih strategija u funkciju cene dobija se ishod igre v = 3 . Ishod igre takođe / 1 \ / 1 \ f određuje ordinata tačke r — 3 I tj. £ i . 3I . U ’

1

,2’J

261

OPERACJONA iST R A tn A \JA

7.4.4. RESAVANJK MEŠOVITIH MATRIČNIH ItiARA LINEARNIM PROGRAMIRANJKM Lincamim programiranjem se mogu rcfifivati mčtavitć jnniriOiic igrc ćija matfica ccna ima proj/voljne dimertzije m X n Posmatrajmo mi^nviiu matričnu it^nt ći ji je ishod v a matrica CL'iia je data sa:

c u

j j -

C \2

. ..

C 22

C mi

C 2»

C m2

Tsvaja se pietpostđvka da su svi elcniunti malrice po/iiivni. Ako 10 nijc shitaj, onda sc svim clementima niLitricc cena dodajt: dovoljno veliki pozitivan koeftcijenai d f kako hi sc zadovoljio utflov ^czkfvnosti Izbor bptimalnih strategija ćc ostati ticpromenjcn. a ishod igre dcfinis&ne novonastalom m atikom , o/naciino ga se v \ ćebiti: n

17T

i = |

|» 1

y a l

L'ormirajmo najprc model za

j.-t /rl

y =s=3

igrafa /,. Kako znamo dn važi!

T0 ) > v , za

svaku stratesijj Q lo vaî ■ C*{P *Q *£ v*j - !..-.*»■ Označimo optirnalnu strategiju sa P* = ( /? ..... Sistem nejcdnaćina C ( /, ,CI. | > v ,y - l,.„ Tn sc može zapisati u obtiku:

SSial’i + c 22^ +"- + ^ 2^„, ‘" „ A +Ci„A>3 + . . . + c _ p „ ž v

gde važt: + Pt + . . . + p,„ = i Pf Deljenjem sa v i i uvođenjem smene Xt - — J - l(,„pw dotnja se: v

Cn^+CjiJCj + ... + c_,.v„ >1 C'r.x f l X,t + C ?1,X:

V

i

+ V

j

+

+ - + c « A

> 1

- 1

262

Teorijg jgara

\ V Kako igrac /. želi da maksimizira v , to ć e se optimalna strategtja tgrača /,

i ishod

i^rc dobiti rešavanjem sledećeg zađatka lineam og programiranja:

+ c2j% + ^ + 4 # * Cli%\ + C 21X Z

- 1

% > Q J - l VT.,wi m i n F f A " ) - x x + ,., + x M

Na analogan n&čtn formirit se modei za igraća

C ( P 7Q * ) < \ \ 2 a svakti strategijn P OznaČimo

optimalnu

C f / ^ , 0 } < v ,/ =

fitrategiju

sa

to važi :

I 2 . Kako znamo da važi C(P{, O ' ) < v,/ = 1, , m .

Q —{qu ^ q n ).

Sistem

nejednačina

se može zapisati u obliku:

»11& +C,!?2 + ~ * * hA , S > « » 0 | + CK
c »,î t 9 wA + š . - + % i i ^ gde važi;
— — ,j = l

n đobija se:

+ C « ? 2 + - . + C,„V, < 1 c 3|>-, + ^ 2 . ^ + - + C 3„>'„ £ 1

^rlJ'l + 4 . J ^

+ - + C ™ > '. 5 1

1 J'l + > ’2 + - * + > ',

V

Kako igraC 1 2 Seli da minimizira v , ro će se optimalna stratesija igrača l 2 igre dobiti re^vanjem siedećeg zadatka lineamog programiranja:

263

i ishod

t.)PF.R4CfONA ISTRAŽIVAM ! ^n>-: +ciIyJ+ -+clm y.

C;,1, + C,: v, + ... + c,„ y n 5 1

PmM + W l + - + c „ ^ „ S l v. Ž G J = 1..... n

max F(Y) = y x +.;.+>•, Zadaci lineamog programiranja za iaraJa I t i /, su dualni. To znači da jc dt>so]jno rešiti jedan od ovih zadataka, a zalini rfttenjc drugog dobiti efl o&novu pTVOg reSenja. Prhntr 7,8, Na osnovu daie marrice cena odrediti optimalr.e sfyyte^tju igrača i ishod igrc. ~

2 8

3

I

4

6

3

9

3

4

l

6

"

_

Opiimalana srratcgija igiaCa /, dohitc se rešavanjem sledećeg zadatka Itncamog pro^ranairanja:

2x^ +Sx2 +3jc3 + 4x 4 > I 3*t + 4x 2 +

+ jc4 ^ t

x, + 6.v. + 3 x 3 +

> l

min / ( X ) —Jt( + .v; + .r^ + >0 a

opiimalna

straiegija

igrača

\ x rešavanjem

slcdcčefi

zadatfea

lineamog

programiranja:

2 v, + 3>j + >j < 1

8 >'i + 4>': + 6 >'j

5 1

3.v, + 9 y t + 3 Vj ’, + y i + 6 y , 5 1

max / ( y ) = y, + y 2 + >, ž 0

Kako su ova dva zadatka dualna, dovotjno je rešiti jedan, na primer zađatak koji odgovara igraču . Zatim se reSenje zadEitka koji odgovara i^raču /, se dobija na osnovu prvog rešenog zadatka.

204

Teorijg tgvra

Na taj način dobtjaju se sledcća reSenja: - (0;0.143;0,047;0)

m i n f ( X ) = i m f ( Y ) = 0.190 Kako važi: p(

=^x,v

?, = > ,v _

j = i, 2,3,4 y = 1.2.3 j _________

x { + x, + jc3 +

i ____

JV + J'i+ A

to su optimalne stratcgiic i isbod

lsitc:

= {0;0.753;0,247;0)

Q r ^(0 ;Q .3 7 4 ;0 .6 2 6 ) v = 5,263

LIT E R A T U R A II | Čupić, M., Rao ^fanim&la, V. M.n odlučivanje - metode iprim m a, Beograđ. ]991, (2j Drecher M.T Gtimčs o f stttttegp: Theorv and iis appltcation, M cGrau Httl, New Yorkj 1963. (3 ] F ried mant M ._ Savngo, J . Tht’ utili,ty cma!yxis ofchoices invoivmg risk, J oum a I o f poliiical cconomyT 1948. [*1] Germejer, B .. fgre \a ntograničemm tnžepesima. Moskva, 1976. [5] Esaacs, R., Differemialgames^ John Wiiey and Sons, New York, ] 965. [6] Kj'irlin^ S-, MđthemaUcal meihods and rhcorr in games, Perganion Prcss, London, 1959. [7] Ktihn, H*W., Tucker, A.^V., CoritHbutiotts U> the thean' o f games^ Princeton, 1950. [8] Leković, }A.,Teorija i metode odluČivanja, Priština, 1998, [9] McKinsey, J.C.C., Introđuctian to the theorv ofgomes, Ne\v York, 1952. [ 10T Neumann, J.. MorgensterT^ O.* Theorv o f games and cconomic behavior , New Yorkt 1944. ' (11) Peirid, J , Operaciona isiraživanja L 11, Beograd, ]979, [12] O m engG.. Theory ofgam es , 1971. [ 13] 0\v enTG., Theorv o f games, Moskva, 1971. [14] Schelling, T.C., Thestrafcgp ofconflict, Harvard University Press, 1960. j 151 Sloller. S D r, Operatinns research: Process and strate,gy, Univctsity of Califomia Pne&st Los Angelest 1964, [16] Tourki* M .5 Osrtovi stohastičkih procesa i teorije igara. Reograd, 1980.

265

OPERACIOSA ISTRAŽfVANJA__________________________________________________ [17] Tourki, M, Backović. M., Matematfcki m o d eii i m eto đ i u ekortomifi* [3eograda 1995. [18] Tucker, A.W .t Solvwg a matrix gctme by iinearprogmmming, IBM, 1960. [19] A ^Statisfiicaiđeci$ićnjuttctionSy New York, 1950. [20] Zečević, Opetaciona i$lraživxr$a7 Heograd, 1974,

266

J'išekri{erijittnsko odhtćivanje

H. v iSe k r i t e r IJu m s k o

o d l u č i v a n je

U ovom d d u knjige slcdi opis t ohjašnjetije jedne klasu nu;l£>dn viSeknterijtimskog odluiivanja, Oblaati jn im so v an ja su: ViSeatrjbutivno odlutivanjeT Viicciljno odluČivanje kao i metođs \ ’i5ckriTenjumskog rangirat>ja altemttiva, Za razliku ođ jednokriltdjum skili modela. tj. modela sa jednom funkcijom cilja definisanom na<3 skupom ograničenja (videti u [3]. ili [S]), višekritcrifumski problcnii operišu sa dve Nt viSe funkcija riljah za koje je potrebno pronaći optimalne vrednosit, iiad definisanim skupom ogianićcnja. Stvajne poirebe za resavanjem probtema u kojima je utvrdeno postojanjc vistr funkcija kriienjuma, olvam novo poglivlje matcmatičkog programtranja pod oazivoni viSeknterjjurrisfco programiranje. Često postavljanje viSe kriterijuma dovodi do takvih nesaglasnusii, da potpuno posttzanje jednog cilja može negammo da utite na preostale ciljeve Posebna važnosi kod višckmerijumskog odluiivanja su konccpti Pareto opiimuma dctaljno prikazani u fR], Donosilae odluke u ovakvim situacijama nc nastoji da maksimizira zadaie ciljcvc već da ih dostigttc đo £to je mogućc većeg stepena. Naravno ovaj zahtev nijc rij malo jednostavano p o stići.jer kao postedicu imfi činjcnicn pcrmanetltoe konfliktnosti i^medn ciljeva, To znači da optimizacija po jeđnom ciiju se negativno odra/ava na preostale ctljeve u modelu. OpSta matematička fonnulucija dobro stmkturiranoy mode!a sa \iš e ciljeva (kriterijuma) najčcšće se dajc matematićkim modclom slcdećcg oblika, prcma [2j: max [ f ! C x f2(x)....... fp (x)] t p> 2* pri ograničenjitna {p.o.) g j(x>£(), p l , m . x j> 0 Tj = l , n .

gde je:

J n - broj promcnljivih; p * broj funkcija knterijnma* m - broj ograniicnja; X - n-đimen/ioni vektor promcnljivih x , , j= 1, n ; f^ - funkcije (cilja>kriterijuma, k—i,p ; g{(x) - skup ograničcnja, i - l , m ,

Poircbno jc nagiasiti da se vr3i makstmizacija vektora funkcije cilja pri zadatim ograniicnjima, pošto sc kriterijumi minimizacije mogu prevesti u kriterijume maksimizcije, t to: m a x fj|x ) - m i r { - f ^ ) ] , r e (Kp) 267

OPERACIONA ISTMŽIVANJA

Rcšavanjcm g.crc navedenog m odtla doMja se 'skup dopustivth reŽftnja, vtktor X koji pripada skilpu prirođnih brojeva X £ Rn , za koji važi: X -fx

£ j U ) < 0 , F i m , Xj>(J.j=l.n].

Ovako dobijcnom sk'jpu rcscnja X, odgovara skup vrcdnosii funkcije krLterijuma, odnosno vckior f{XK tako da se skup dopusiiviK rcšcnjii X može prcslikati u kritcrijLimski skup S: fl(x)= [ f [(x), | ( x ) .....fp(x)| S -[f(x )[x e X

].

Ako su funkcija eitja i skup ogranicenjs 7adate linearnim kombinacijama (Što će ovde biti razmatrano), radi se o probtcmu visekritertj‘j mskog lincamog programiranja, Već je iittaknuto da o&novna karaktcm dka svakog viSckritcrijLimskog problcma jeste postojanje više kriterijuma za odfa&ivanje i više altcrnativa za izbor najprihvatljivije aketjc. Na ovoj osnovi i/vrScna jc podela modcla u sk-dcće grupc: * Modeli viSeatribuiivnog udluiivanja (VrA O )+ za kojc su kritcrijumi zadati atributima. Postoji konačan broj unapred z 2, X i A - [ a j , agfc ... ham ] gdejc: n - broj kritcrijuma; m - broj alternativa (akcija za izbor); A - poznali konačan skup altemativa. Kao mera dostiânja svakpg kriterijuma po dcfitiisanoj aitcmativi javlja sc atribut. Samim tim, svaki atribut zavisi od kritcrijuma i od altcrnativc, odnosno dvodimenzionalnog je karaktera, predstavljen jc sa xy i to: îj^fjCai), ’= L m ; j = ltn Iz relacije se vidi da svaka vrednost atributa pavisi od j-tog kriterijuma i od i-tc altemative. Ustaljeni način prikaztvanja niodda višcatributivnog ođlučivanja je Ž68

I išekrlfcf i]\fmsko odlučtvanje

preko m a tn c e , k o ja sc li o v o j tc rm m o lo g iji n y /iv ;i matricom odlučivapja« s lc đ e ć e g i7&lcdfl: fi

..............

r.

............ x in i

o■ ■ a- 8 ■ h r t e 4

,+. \ mn VUeciljno odlufivanj« Z a m l i k u ođ viseatnbutivnog odluiiviinja, kod višcciljnog odlućivanja diskrelno se n a g k S a \a skup funkcija cilja (dvc i v i 5e) nad dcfinisanim skupom ogranitenja. Opgti m aicm aiički m odcl zadatojj viSccfljnog od 1uČivarya im a sk-dcću fonnu: max [f|(x), f2 ( x ) , , fp(x)] , p > 2 h p.o.:

gj(x) < 0. i“ 1Tm r

\j> gdcje:

__ X - D-dimcnziont vckior promcnijivih Xj, j —INn ; f^ - funkcijc kritcnjnm a (cilja), k - L p ;

gj{x) - ,skup ograničcnja, i - l j n ,

8,1. M E T O D E V IŠ E K R IT E R IJ I M SK E A N A L IZ E U ovotn poglavJju bičc prcdstavljcn rcprczcmativm skup mctoda visckriterijumskog mngtranja altemativa, i to: - mctoda ELECTRE, - mctoda PROMETHER, i - mctoda Analitiikih liijcrarhijskih proccsa (AHP) Za svaku od pomen'jith meioda, na nckoliko konkrcmih primerah biće prcđstavljcni koraci primctie i tumatcnjc dobijcnog icšenja. P n a mctoda jestc mcioda ELECTRE.

8* 1.1. M ETO D A ELECTRE I Problcmi koji sc namcću u praksi, a odnosc sc na nemogućnost određivanja siroge (matcmatiCkc) dominatijc jcdnc akcijc nad drugonu imaju potrcbu uvodcnja tzv. veza višcg rcdah odnosno, dcfinisanjc kritcrijuma za 11mchani£ko" dodcljivanje ranga. Iz tih razloga uvedcna je mctoda BLECTRE koja sc pokazala uspcinom u rcšavanju ovth problcma.

269

OPFRAOONA ISTRJŽH'ANJA

_____________

___________

_______

U svojoj primeni doŽivcla je n/vcsnc modirikLictjt: i Itapredovanje, tEiko da do danasnih dana. osnovna vctzija metode cv^Luira u još tri vtr/ijc, i to ELBCTRE i l 4 ELECTRE 111 i ELECTRE IV. Odrcđcn broj pofetnrh koraka za sve mctode je isiovetan, a izvcsoe railikc nastupaju tid trcnutkft izdvajanja prihvallj ivije altamativt. Zbog svojc obimnosti. ©vde ć« btti predstav I|llii;i samo osnovna vcrzija mciodc, Postupak primene metodc jc iterativan i sastoji se t>d procedurci konačnog broja koraka {9 koraka) koji će đeialjno biti prikazani i objašnjeni u pn'om primcru, a potom slcdc i]ustra:ivri pfimeri bcz objašnjenja. P rim er 1. Tchnički rukovodilac jednc saobraćajne služhc trcba da izvrši izbor kupovine jcdno^ motocikla za potrcbc svojc službc. Ponudc kupovinu (ukupno ih ima 5)s prtspclc su od dobavljača, Kriterijumi izbora su sledeii (u zagradi na kraju jc navcden tip kritenjumii): * - broj cilindara - f? - zapremina niotora - fj - m m e dosiizanja brzinc od 100 km h - k - m&ksimaina br/ina - fs - spccifična snaga po masi ft, * cena motocikla f7 - garantni rok Altemative izbora su: - a, - BMW K-1000 - a; - Kawhasaki GPZ-750 aj - Đucaii 750FI aj - Suzukt G S -1150 E - as - Yamaha RZV 500 R Početna matrica odluČivanja ima oblik:

mtx max min max

O

u

h

u

ai 4 a2 2 aj 2

9S7 650

12,41

V.2

12.98

113

748

12,8$

11«

a4 4

1 1S3 1334

113

ti

*5 2 1100 13.02 112 ■

maK

min

h

fh h visoka 9fl)Q ial prosecna 6300 20 prosecna K7CHJ 12 vr vtsoka 730C 20 4500 14 Tiiska

Predustov rada mctodc jcstc izvrlena kvantifikacija kvalitativnih atributa, gorc navedcne matricc, korisćcjtjcm tzv. inter\'a! fika]iLkdeftnisanc u Poglavlju br. 8.1.1.

270

i %$€kiiterijtifttsko ođlačivanje Kvamitlkovana matrica odlučtvartja ima izîcd: m ax

mi n

nmx ;uax min

m

9B7

1?r.41

122

7

9600

98

a2 2

650

j 2 .yK 113

5

6300

20

2

748

12.88

118

5

8700

12

a4 4

US2

13.34

113

9

7300

20

2

1100

U.02

112

4500

14

■s It

O

A\ 4

*5

K orak I: Izračunavanje normalizovane matrice odlućivanjii fN). Prvo je potrebno za svaki kritcrijum [z kvantEfikovane m atricc odtučjvanja, izračunati njegovu n o p n u T| {ovde se n o rm a izračunava kao kvadratni koren zbira kvadrata e k m e a a t a p b sm a tra u o g vektora), i to sledtićotn form nlom : f hl n o rm a j V x ; i f L-1 ' N o n n a pčyog krEterijmna

iznosi :

norma, %, v'(4: + 2 f + 2 ’ + 4 ! + 2 ’ ) « 6 . 6 3 3 2 i tako redom zz sve preostale kititerijuTne, Potom sc račurtaju nonnćilizovani elem enti m atrtce odlučivatija, tako što se svaki elem ent vektora kritsrijum a podcli sa tio n n o m I02 km 'itcrijum a (vcktora), odnosno:

g d e je;

___

X[j - vrednost akcije aj, i - 1, m : u odnosu na kriterEjum fj, j - I, n ;

Za posmatraui primer nonnalizovana tnatrica glasi: 0.6030

0.4620

D.4292

0.4717

0.5092

0.5726

0.4704

0,3015

0,3043

0.4490

0.4369

0.3637

0.3758

0.5227

0.30J5

0.35N2

0.4455

0.4562

0.3637

0.51S9

03 136

0,6030

0,5533

0,4614

0.4369

0.6547

0.4354

0.5227

0.3015

0,5149

0,4503

0.4330

0,2182

0.2684

03659

K orak 2: Izratimavanje težinski nonnaiizovane matrice odlučivanja (TN) IJ ovoin koraku, donosilac odluke aktivno ticestvuje n proecduri rešavanja probtema i određujt; (definise) prefeiencc, odnosno težrnte korisničkilt kriterijtima, poslečega $e izračunava tzv. tezinski normalizovana matrica odlučivanja.

OPEMCIONA fSTRAŽiVANM Matrica izabraniii težinskili kocficijcnau slasi: 0.1

0.0

0.0

0.0

0.0 0,0

0.0

S,0 0.0

0.1

0.0

0.0 0,0 0,0

0.0

d.o 0.1

0.0 0.0

0.0

0.0

0.0

0.2 0 0

0.0

0.0

T “ 0.0

0.0

0.0

0.0 0.0

0.0 0,2 0.0

0.0

0.0

0.0 0.0

0.0 0.0 0.2

0.0

0.0

0.0 0.0

0.0 0.0 0.0

0.1

r - [OJ 0,1 clcmcnata ovoga vektorajcdnak jcdinici.

M

0.2 0.2 0.2

N a DS0 ČVU m atricc težinstgh c icin c n ata ( T > i n o rm aJisdv ane m atrice od Ju ćiv an ja (IV), te ž m s k a n o r m a l i z o w i a m atrica (T N ) odlucivar.ja iz ra ču n av a se m n o ž e n jc m p o m e n u tc dVe, o d n o sn o

TN = N * T 0,0603

0.0462

0.0-129

0.0943

0,1018

0.] 145

0,0470

0.0302

0.0304

0.0449

f),0R74

0.0727

0.0752

0.0523

TN = 0.0302

0.0350

0.0446

0,0912

0,0727

0.1038

0.0314

0,0603

0.0553

0.0461

0.0874

0.1309

O.OS71

0,0523

0.0302

0.0515

0.0450

O.OS66

0,0436

0.0537

0.0366

K o r a k 3 : O d rcd iv an je skufJ.Ova saglasnosti i nc& aghsnosti (S) i(N S) U o v o m k o ra k u h up o red ju jii sc parovi akcija. O b e le ž tm o ih sa

pir

(p, r = L m i p #

r). Prvo &c form ira tzv. skup sag lasn o sti, S p r za akcije a^ i ar , koji se iasto ji od svih k riteriju m a (I - j | ^pr

= 0 I xpj £

za kojc jc akcija

pozeljnija ođ akcijc a ri odnosno:

*rj^

U k o lik o se ta d f o k iitcriju m u tipa rninim izacijc, znak ncjednakosti jc sup rotan (<). P otom sc fbrm tra k o m p le m e n ta rn i sknp, [/v. iiknp n “sagJasnostjT izračun at p o sledećoj relaciji: PJ *

*S.3)

rJ

vodećt ra č u n a o tipU kritcrijum a. A k o je isti tipa min znak ciejednakosti j e suprotan (>), O d n o sn o ovaj sk u p j e k o m p lc m e n ta ra n skupu saglasnosti, K S pr = J - S p f . N a p tim er, za akcijc a'j i a^, p o k a z a ć e m o post-jpan način izra£ un avanja o v a dva

skupa, 272

VfSebiterijztmsko pdlučfvartfe = 1

p - 1 t r « 2. >?t 2 l : S 12 = <1>

--2

KI 2 > X 22

=3

x l 3 <5t23

- 4

x 14 > x24 I S 12 =

= 5

x 15 > x25

=6

K l f i ^ ć ; NS |2 = ( 6 ) - kritenjum tipa min x 1 7 > * 2 7 ; N § i 2 - (6 ,7 }

= 7

;% - ! • £ ) ;S { 1(2 ( S) - kritedjuni tipa inin 3, 4)

: S j t = { h 2 , 3 .4 . 5}

Konaćrti izglcd sk u p o v a saglasnosCi i ncsag ln sn nsti za akcijc a j i a^ glasi: S I 2 - ( 1 , 2 , 3 , 4 h5 ) i N S 1 2 - ( ć , H N a sličan načh i se o d red u ju :

»13 = 1,2,3, 4, 5, 7) S 1 4 “ 1,3,4) s 15^ ■h3, 4 h5, 7) 7) S2 I "

n s ]3 = 6)

s 23 = l . 5, 7) s 24^ 3,4, 6, 7)

KS2 J = n s 24 = ^ 5= >iS3 | -

s 25

N S 1 4 - 2,5, 6,7) N S is = 2 ,6) NS, j = 1 2 , 3 , 4 , 5 )

5, 7)

=

S31 - f>) s 32 " 1,2,3, 4,5) s-34 = 3.4J

2, 3, 4) i,2 . 5)

2, 6) 1,2, 3, 4, 5, 7)

n s 32 = 6, 7) n s 34 = I, 2, 5, 6.1)

I , 3 , 4 h5)

^ 3 5 - 2,6 ,7 ) NS4 1 - 3,4)

S4 ] - 1 2 , 5 , |6y:7) S43 = 1,2.4, 5,7)

\ s 42 - 3,6)

s 4 3 “ 1,2, 5S6,7) S4 5 - 1,2,4, 5,7)

NS43 - 3,4) n s 45 «. 3,6)

s 5]

s 53 =

2 , 6)

n s 5]=( ,3. 4, 5, 7)

1, 2 , j&j

n s 52=

3, A 5. 7) N$53 - 3 ,4 ,5 ) I, 2.4, 5t7)

1, 2 , 6 , 7)

M i3 " 'j-, LO X

3,6) K orak 4: O d re đ iv a n jc n ia iricc s a g h s n o s ti ( M S )

Matvica saglasnosti se odrcd u jc na osno\'ii skupa saglasnosti u rrtodelu, ft e le m e n te m a t r k e sag lasn o sti činc tzv. indcksi sag lasn o stt. N jth o v a vrednost se ra.čuna k a o su m a prefereticija (tež in sk ih koeticijcnaEa)n koje g đ g o v arajti prtp ad aju ćim elem erttim a s k n p o v a saglasn osti, T a k o se tnd eks sag lasn o stt S p r za ak cije

i ar dcfiniite:

MSpr = X t j

273

OPERAaOKi mTRAŽiVANJA Kao prim cr u zm im o đ e i n e n i M S 24 cija vr$rino$t i/n o s i: S24 = P , 4, 6 , 7)

MS 24 - % + 14 + + 17 —0 . 1 -i- 0.2 4t 0.2 + 0.1 “ 0.6 Oćigledno ji? da S^r uîma vrcdnosi iz 0 < Spr < 1 i da veća vrcdnost za Spr u k a z u je na veću požefjnost ak cije £Lp u o d n o su n a ak c jju ar {prem a k ritc d ju in u saglasnosti), O v a k o opisffrii indcksi Saglasnosti fo rtn iraju tzv, m atricu sagiasn osti k o ja j t đ im enzija m x m , yde |e m ran ije dcflnisani hroj akcija, Kit c le m e m im a n a glavnoj d ijag on a'i jc d n a k im ifru lije r se ne Wî poredcnjc akcije sa m e sa sobnm .

MS =

r 0.00

0.70

0.80

0.40 0,70

0 .3 0

0,00

0,60

0,60 0.70

0 .2 0

0,70

0.00

0.30 0.60

0 .7 0

0.70

0.70

0.00 0.70

0 .3 0

0.40

0.50

0.30 0 .0 0

K o r a k 5: O d ređ iv an je m atricc ncsagiftiinosti (M N S )

U ovom koraku izračunava sc txv. indeks nesaglasnosti i popunjava matrica nc&aglasnosti. Retacija za izračunavanjc [rideksa ncsaglasnoiid glasi; max tn^|

MNSpr =

tn fJ

j c N S r.

(3-5)

max jeJ

Kao primer, navodi se izračunavanjc indcksa ncsaglasnosti za akcijc a^ i £4; NS34 -(1,2,5) 1 p\ tnax 0.0301

ri j-5 : 0.0249 0.0582

M N S ji maJO-OS&i 0.0249 1 j- 2 -

0.0012 J"3

0 .0 0 0 0 0.05S2 0.0119 0.0000 j^4

j-6

J=7

.

0.05 S2 0.0582

Na sLičan na£in, lako je odrediti l ostaie vrcdnosti indeksa nesaglasnosti, a potom formirati i cctu matricu ncssglasnosti:

M N S .-

0.0000

t.0000

0.3556

1.0000

1.0000

0.7659

0.0000

0,1608

1.0000

0.73Stf

1.0 0 0 0

i.oooo

0.0000

1.0000

3.0000

0.2371

0.0206

0.0653

0.0000

8

0.9572

1.0000

o

1.0000

0.0000

274

I 'iŠtkriterijtaitsko arilući vanje K o r a k 6 : O d rc d iv a n je m a b ic c sag la^ n e d o m in a c ijc (M S (1) O v a ro a tilc a sc p o p u n ia v a na o stio v u vrL'dnusti tz v + prar.n in d c k sa s a g la s n o s tih koji se m ožc d e fm is a ti kao p ro sc č m in d e k s sa g ia sn o sti, iz ra č u n a t po sledcOoj rclaciji: i m ( S 6) P i s - — L y v . v , s

P S S = 0 .S 4 5 I) M atrica sa g lasn e đfim inacijc iz ra ču n av a sc r.z o s n o \i i s k d e ć c c k riterijum a: l M S D pr 2a M 5ip r > P l S za

M S D r>r “ 0

M S p r < PIS

OdnosflO, p osle izračunavaitjji. m a tric a glasi:

M SD =

0

1

0

1 1 1

1

\

ro

1

0 0 1

t

0

D

E

1

I

0

E

0

0

0

0

U

K o r a k 7: O d rc d iv a n jc m a tn c e n csag la sn c đ o m in a c ijc ( M N 5 D ) O v a m a tn c a sc iz ra ću n av a an;ilogno M S D h o d n o sn o , n a jp ic sc izraćuna p ro se č a n m d t k s ncsaglasnosti* s le d c ć o m rclacijoin: :ll n I (8 .7 ) PINS -

I S MNV

o d n o s n o k o n k rck m o , P I N S - 0 7031 a o nda sc na o sn o v u k riicriju m a; m n s d

pr

!

N fN SD pr - 0

ZSL

KfNSp r < PIN+S

za

\T N S p r >

p o to m sc f o n m ra MNSD :

MNSD -

o

n I o (f.

0

0I 0 0

0

fJ0

1 1 1 0 0

0

n 1

f) ! 0 G

K o r a k 8 : O drctliv anjc m airicc a g rc g a m c dom iriacijc (M A D ) P ro iz v o d c lc m e n a ta m a tric c sa g iasn e i n c sa e la sn c d o m in a c ijc , bolje rečcn o, pozicija e lc m c n a ta p o m c n u n h m a tric a (n e radi sc o k la sić n o m m a irič n o m ra č u n u )T p rcd sta v lja način iz ra č u n a v a n ja c lc m c n a ta M A D i to s le d e to m reiacijom : ( 8.8)

M A D pr ^ M SD pr * M K S D pr

275

OPERACtONA ISTRAliVASjA pa matric^ VIAD irua sk'dcčc vrcdnosEi: .

M A D ^

u

0

3

0

(11

0

a3

1

0

0

0

0

aJ

0

(j

1 1

1

I

(3

0

0

1 0

*;sj

Korak 9r Efemmisanjc manjc poieljnih akcija r_ 0 1 0 < r a t ~ 4 d o m m ir a n a d & 3 a2

*4

1/

0

t

0

0

&2

0

a^ —* nc d o m in ira

0

0

-

0

1

1

!

0

0

0

— 1 0 —

an a liz e se vidi da

a_j

a5

ii]icrnativa 34

—*d om snira n a d a ^ -i-dominiranadaâ2ta3,at nc domimra

u poLpunosii

doiniEiira

nad

p rco stalim

a ltc m a tiv a m a p a j e i n ajp rih v a tljiv ija , a * = a4 .

OSTALI PRIMERI Primer 2, K oristcći o rig in alnu v e rz iju m eio d e ELRCTREalttrm aiive na osno vu datih s^st kriteriju m a.

izvršita izbor je d n c o d Ćctiri

PoCetna m a trica o d lu č iv a n ja glasi; fjjrttan} fj(^naK) fjlm&X)

220 250 230 190

1600 V rlovisoka 1200 Vi5oka 1550 N iska 1700 V isoka

4&00 B200 700t> 4S00

13 !4 9 7

Niska V isoka

Vdovisoka Prosecna

P rcdu slov rada m eiode: Ucvantiftkacija k v alita tiv m h a m b u ta . n:\i)

mn\

itiifi

nrtaX

UlEtN 3Tl£P<

220

7

1600 4800

13

3l

250

9

1200

S200

14

1

a ) 230

7

1550

7000

9

190

3

1700 4500

7

a

2

276

i liekritetvi/rrtsko adlučivatij?

Korak L: Izrafunovaitje normalizovanc matiicc odluiivanja Tnax

irtn

rruLX

:ujk

max

3[ 0 4921 O5592

0,5105 0 6564

0.3*00 G6W

0.5S43 0.6242

0.5 L44 *4 1.0.4250

0,5105

0.524*; 0.3936 0.50M5 0.5577

0,5547 0.35*3

0.40J5 0 3146

0.23431 0.54 66 fl 703« . 0.3904

nun

o.im

K o r a k 2 : I z r a iu n a v a n je težrnsfcc n o r m a i k c v a n e

mairićc o dlu čiv anja.

V c k to r p r e f e r c n c ija ; T — [0-3; 0 J ; 0 .2 ; O J ; 0 !; 0.2 ] m in nun

a, TN =

fo.15

m ax

m ax

rnnx

0 05

0 .1 0

0.17

0.06

0.07

a 3 0.15

0.05

*4 0 J 3

0,02

0.03

0 .0 5

0.04

0.06

0.06

0-10

0.10

0.05

0.04

0.14

0.M

0.03

0.03

0,07

K u r a k 3: O d re đ iv a n je s k u p o v a sa g lasn o sti i n csag lasn o st:

K S 12 “ (2,3,4,5,ć)

S)2-C1) S i3 - 0 ^ »

N S u - (3,4,6)

S |4 - ( 2 ^ 4 , 5 )

NtS ]4 = (1,6)

S2 | - ( 2 ,3,4,5, 6 )

N S 21 “ (11

S 2 3 - ( 2 , 3 h4,5)

N S 13 " ( 1,6 )

S ^4 ri (2,3+4,5,6)

N S 24 - (1)

S 3 i - ( 2 T3,46)

N S 31 -(1,5)

S3 3 - ( U 6 )

N S 32 “ ( 2 ,3 ,4 ,5 )

S 34

N S 34 - ( l )

(2.3 4,5.61

NS 41 -(2 ,3 ,4 .5 1

05

NS 42 - 12,3,4.5,6)

■^F-' H 11 rj ’T Ln

S 41

NS 43

(2.3,4,5,6)

K or a k 4: O d re đ iv a n je m a tric e s a g la s n a s ti MV

= S lj

[0.00

0.30

0 .5 n

0.501

0.70

0.00

0.50

0.70

0.60

0.50

0,00

0,70

0.50

0.30

0,30

0.00

MS =

'T

—

277

OPERACtONA /sm -lZ ft 'ANJA K o r a k 5: O drcdivaji jc rnatrice n ssa g lasn o sti

MNS =

" 0 0000

1 . 0000

S. 0000

J .00001

0.3222

0.0 0 0 0

LOOOf)

0.9301

OJ9IO IK7180 0.0000 0 .4 2 9 1 1. 0000

0 .9 35 9

1, 0000

K o r a k ti: O d re đ iv a n je m a tric c sa g h isn e d o tn in a c ije

PlS

0 .7 9 3 0

MSL) «=

0

0

0

Đ

1

0

o

i

t

0

o

t

0

0

0

0

K o r a k 7: O đ re đ iv a n je m arrice n<;sac33sne do m in acije P tN S - 0 ,7 9 4 4 0 0

0

0]

1 0

0

0

1 1 0 -0

1

0

0

0

Korak 8: Određivanje tnairice agregativna đominactjc 0

fl

0

1 ^ 0 0

MAD

I0

-

I

0

0

0

K o r a k 9: E lim inisanjo m a n je p o ie ljilih akctjii i}poB m atra se M AD: ai > 0, 0 a; > 0 *1 a3 > 0 , 2 > 0 „0

2 ) uporcdnć pregled akcijti:

o a_

273

“

0 .0 M

■V

f išekriterijumsko

____________________________ __________________ _______________

a2

odiučimttje

n c d a n rin ira >a :

3 ’ ■■>3]

—i

a 4 - nc dom irura 3) posm airaju se sin ia c ijc n ajprilivatljiv ija a k e rn a iiv a .

u

k o jim a

posioji

izvosna

d o m in a n in o sL

pa jc

□ *- a 3. Prf/wt,r 3. Za niže p red sia v lje n u m atricu o d lu č iv a n ja sa 5 a tic m a tiv a t 7 krttcriiuTna. izvrSiti izbor najp rih v atljivije a lte m a tiv e pornoću nicTode E L E C T R E . M(ahx )

^lTThm

t j^TraT] ^[mml

f

* Jtrp«)

S1rr_; n1 ^7(max)

"16

100

1500

7000

Prosecna

15

2 10 0

a 2 19

150

iio o

9000

Vilovisoka

17

3800

a3 J7

120

1400

so o o

Prosccna

19

3200

a ^ 15

90 130

J600 is o n

so o o 6000

Niska

15

Prosocna

11

2400 3600

*5 1 2 “b -

P re d u slo v rada m ctodo: k v a n n fik a c ija k v alita tiv n ih atributa: f ^2 fm:n) TJfmoK] 14tmln) *5(maxl 6 (min) a Er i 6 1 *- 19

10 0

1500

70(10

5

15

21001

150

1 1 00

9000

9

17

3800

a 3 17

1 20

1400

so o o

5

19

3200

15 a 5 Lr12

90 130

1600 JS00

8000 6000

3 5

15 U

2400 3600

K o ra k 1. 1/računavanje normaliziovafie matrice ođlučivanja fl(maxj

^finirt)

^(rtlM)

^m ucj

* 1 "0.4481

0 .3 7 2 9

0 .4 4 7 8

0 .4 0 S 2

0.3 K92

0 .4 2 9 3

0 .3 0 3 7 "

0.5321

0 .5 5 9 4

0.32S 4

0 .5 2 4 9

0 .7 0 0 6

0 .4 8 6 5

0 .5 4 9 6

0.4761

0.4475

0,4 E80

0 ,4 6 6 6

0.3S 92

0 .5 4 3 7

0 .4 6 2 3

a 4 0,4201 0.3361 ■

0 .3 3 5 6 0 .4 8 4 8

0 .4 7 7 7 0 ,5 3 7 4

0 .4 6 6 6 0 :3 4 9 9

02335 0 .3 8 9 2

0 .4 2 9 3 0 .3 1 4 8

0.3471 Q.5206_

Korjak 2: lir a č u n a v a n je le iin s k e n o rm a liz o v a n e m îrice odEučivanjs Z a ov aj p n m e r u sv a ja se sled eći v e k to r prcferonci;;i : T = [0 I; 0.2; 0 1 ; 0 2: 0 .2; 0 1; 0 1 ]

279

OPERACIONA fSTRAŽIVANJA

TN ^

■ifma\)

^2?iiiin]

"0.D44S

0.074f>

0.044S

0.0532

0.0778

0.0429

0,0304'

0.1M9

0.032S

0.0Š16; U.1050

0.1403

0.0487

0.0550

0.0476

0.0S95

0.04 ’ H 0.0933

0.0778

0.0544

0.04ftj

a4 0.0420

0.067! 0.0970

0.047S 0.0537

0.0467 0,0778

0.0429 0,03] 5

0.0347 0,052

a 5 J).0 3 3 6

0.0933 0.0699

K ni a k 3: O d ređ iv an jc sku p o v a &aglasno&ti i nesagbstlO&ti % - ( 2 & 4M

k s 12 = (1.5.7)

S j 3 - ( 2 ,3 .4 o ,6 ) S ] 4 —( 1 ,4,5.6)

N la r (U ) N S i 4 = (2.3.7)

S 15- (L 2A S |

k % 5

S 5 4 -(3 A 5 A 7 )

N& 54 = ■ « ,£ )

=

(3.6.7)

I tako red o m do zad n jeg skupa

K o r a k 4: O d ređ iv an je m&irice s^giasrtosti

M S-

0 .0

0 .6

0.8

0 .6 0.7

0.4

0.0

0,5

0.4

0.4

0.4

0,5

0 .0

06

0.5

0,5 0.7

0 .6 0 .6

0 .6

00

03

0.7

0.7

0 .0

K o r a k f>: OdredivEinje tnatriee iiesaglasnosti

MNS =

0.0000

1.0000

1.0000

0.2400 0.9700

0.5958

0.0000

0.3593

0.4790 0 .5 6 1 S

0.9371

] .0000

0 ,0 0 0 0

0.7184 1.0000

1.0000

1,0000

1,0000

0.0000 1.0000

1.0000

1.0000

0,6003

0,9579 0.0000

K o r a k 6 ; O dredivaiije m atrioe s a g k s n e dom iriacije

PIS - 0 .5 5 5 0 0

I I

0

0 0

M SD = 0

0

0

I 0 0

0

1 0

0

i 1 0 0

1

1 l

280

I 0

I'tvebiierijirmsko odlučjvanjt

Korak7; Određiv^rje matriee nesagJasne dominactje PINS = 0 8 2 1 3

0

0

0

1 0

0

10

1 1 1

0

0

10

o o 0 0 n 0

0

0 0

l

Korak 8: Odrednsrtjt' matricc agregativne GominacjjL'1

MAO -

0

0

0

I 0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

I 0 0 0

0

0

l

0 0

K u i dk 9: Hliminisanje m anjc p o i d j n l h akcija

I) posmatra se M A D : >0 J

3j

£12 > W T 0 £13 > 0

j

1

> 0,0 > 0, 1

2) uporiidni pre^leđ akcija;

a^ - ne dommtra a3

a4

a j - n e domintra a5

a rT

3) posm atraju se sitLiacijc li kojima postoji izvesna dominantnost, pa jc skup najprihvailjivijih alternativa. a * “ J

281

OPERAĆIONA ISTRAŽIVANJA

Primer 4* K,oristeći o riginaln u v e r /ijn m e to d e E L E C T R B a lte m a tiv e na o sn o v u datih p ć t k riteriju m a.

izvršiti izbor jc d n e od Četiri

P o četn a m atrica o d lu č iv a n ja glasi: fj [rnii?;] r ^(rtiin) fjdnin)

0 =

f^(ira\j

'262

20

3E2

y

10

236

31

318

8

11

200

40

316

7

9

294

25

319

9

10

K o r u k 1: Izra& m a v an je n o n n a liz o v a a e m raricc od lttčivan ja

N =

K o ra k

f|(wa\}

fMnq:n]

fjiniifi) t^[ma\J

fj(nax)

0,5232

0.3340

0.4933 0.5427

0.4988

0.4713

0.5177

0.5028 0.4S24

0.5486

0,3994

0.66S0

0.4996

0.4221

0.4489

0.5871

0.4175

0.5043 0.5427

0.49&B

2: Izračunavanje težinske normalizovane matrice ocliućivanja.

Vektor preferencija: T - [0.2; 0 , 2 ; 0 . 1; 0 .2 ; 0.3]

TN =

f| (niaXf

\ irijn)

f^ (hnini

f^ (maji l f j

a I 0.1046 a 2 0.0943

0.0668

0.0493

0,1085

0.M9Ć

0,1035

0.0503

0.0965

0.1646

0.0799

0.1336

0.0500

0.0844

0,1347

a J 0 .1 174

0.0835

0.0504

0.10S5

0,1496

K o r a k 3 : O d red iv an je s k u p o v a sagiasnosti i nesaglasnosti NS | 2 ^ ( 5 )

{ ^ 3 ,4 ) S l 3 = ( 1,23,4,5}

N S 13 | ( 0 ) NSi 4 - ( l )

S |4 = (2F3.4n5j

N S2 ] = { \2 ,3 A ) N S 2 3 = (3) s 24 = a s )

N S 2 4 -(U 2>4)

S3 1 = ( 0 )

N S j l - ( 1 2 .3 ,4 ,5 )

S 3 2 = (3)

NS 3 7 - (1,2h4.5)

S34 - (3) S4 1 —(1,4,5)

N S 3 4 - (] ,2,4h5) ^ 4 1 = (2,3)

S4 2 = (1,2,4)

N % = (3,5)

S43 = ( ! +2,4,5)

NS4? - ( 3 )

282

f 'i wknierifitmsko

K o r a k 4; Odrodivatvje m a tn c e sag lasn o sti M Sp r=

MS =

-

li

0 00

0.70

1 00

QM]

0.30

O.Ofl

n90

0,40

0,00

o.io

o.no

o.io

0.70

0.60

090

0.00

k o r a k 5: O d re d iv a n jc m airice n e s a g l a s r o ^ i 'O.OOOO 0,4073 MNS

Kurak 6 : Odrcdivanje

0.0000

07653

t.noon

o.onon

o o io ć

i.oooo

i.oooo

i.oono o.onoo

i.oooo

S.0000

0,6457

0 0000

0,009*1

mamct; šaglasne dominacijc PIS “ 0 , 5 4 17

M S D tt

K o r a k 7:

0

I

l

0

0

1 0

0

0

0

0

1 1

l

0

I

Odredivanje matrice n^saglasne dominacije PIN S - 0 ,6 4 6 4

MNSD -

0

1 1 0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1 1 0

K o r a k 8 : O tire d iv a rje m a tric c a g re g a tiv n c d o m in a cije t mad

=

0 O

0

I -- t

00 1 \ -J

K o r a k 9: E liittittisanje m a n jc p o željn ih akcijii

283

o D

odfoči\ anje

OPERACIONA ISTRa ZIVANJA a^ £12 &J a^ ne d o m in ita a* -> a2h a 3 lz n acrtan o g grafa v iše g r e d a h prtfiTia M A D , ja s n o in o z cm o uocitL d a su a lte m a tiv s □i i a^ jednake zbo* n a jv e ć e g broja Lzla?rnih to k o v a (2 ), pa ih m p ž e m d , p rem a inctodi E L E C T R E £ f. s m a tr iti d o m itia n tn im nad oslaEim Eihemativfinia. a*“

a.iL

8.1.2. M E T O D A P R O M K T H E E M e to d a P R O M E T flE E sp a d a vi k iasn m cto d a v i^ k rite riju m s lć o g raiigirEinja altem aliva. Ttcrativnog je k a ta k te r a i saslofi se iz odredenog broja koraka. O s u o v a kiasa problem.'L k oja sc može rešavati o v o m m e to d o m je iz domena viS ekriierijum skog odlučivanja! o d n o sn o reša v aju se o ni problemi u k o jim a j e iz k o n a č n o g skupa a lte m a tiv a A , potrebno izabrati najprilivatljiviju, na o sn o v u deflnisanOjg broja kriterijum a.

Matemalicka fbrmuladjii poblema glasi: m a x [ k j ( a ) s k ^ t a ) ..... , k n (a)],

n > 2 . aeA

(S.9)

gdc je: A - k o n a č a n rasp o lo živ i skup alrcrnativa; k p k n > n kritcrijum a, defin isanih od strane d o n o sio c a odtuka; M e to đ a P R O M E T H E E , e v o lu ira ia je, p a tako postoje njetie četiri verzije, m a d a 5e za reSavanje o v a k o d e fln is a n o g p ro b le m a , u ovoj knjizi ko riste d v e v e tz ije m e to d c P R O M E T H E E (I i II). Pri to m c trcb a nagEasiti da m e to d a P R O M E T H E E I p o m a z e d o n o sio c u o d lu k c u delinručnom rang iran ju a lte m a tiv a , d o k m e to d a P R O M E T H E E 1 1 , o m o g u č u je potptino ra n g iran je altcm ativ a , Radi što boljeg m z u m e v a n ja rada m eto d c. p retp o stav im o situaciju da je p p tr e b n a izvrSiti p ored en je, za jc d a n kritertjunn tipa m a k s im iz a tije , dve ak cije a i b, o d n o sn o : a h b c A r> k(a), k(b). Pri lom e je p o treb n o defm isati tzv.* fnnkciju p rcfcren cije P n kao step en značajn osti je d n e altcrnativ c nad dru g o in i eo: f\ k {n ) ^ r{/?)j,ako j t k(a) > k{h) . 0 Sako je £ £ (6 )

(8 . 1 0)

o dnosuo: za situacijti: k(a) > k (b) => a P b (a požcljtiijc od b);

odnosno: k(a) = k (b ) => a 1 b (a je indiferentno sa b).

284

J

tičkriterijumsko odiučntJttte

O sn o v n i k o r a d m e ta d e

korak 1: ProSirenje smikiurc preferencija i nvf>đcnje op*tcy kriterijuma V'rednosl Fur.kcijt prefcrcncijL' k rečc sc u ir te r v a lu [0T 1]T o đ n o s n o v eć a p re fe rc n c ija iz ra žav a se v c ć o m vrednoS ću fu n k c ije i obrnuio* šio se čita na slcdeći način: P fa,b): p r e f e r e n c a a u o d n o s u na b , Pri lom su m o g u č c sle d e c c k o m b in a c ije iz ra /a v a itja fu n k cije p referen cijc: P fa,b) = 0

n e m a prcfcrencije, ind ireren cija:

P (a,b) s (I

slaba p rcfcren cija. k(a) > k(b;

P ( a hb ) ~ 1 P (a,b) = I

ja k a p refcren cija, k(ai » k(b); stro g a pref'erctttija, k (a l > » k (b )T

p o s l e t e g a se zflključuju da pt>siojc sle d e ć e o so b in e funkcije p refercn cijc: I . O S P ( a fb j Š I 1 2. P { a ,b ) * P{b,a). G ra fičk i p rcdstavJjen o to i/iile đ a:

A

Pfltf

X'K{s)'K(i&)

m

m

Slika $. I ■'redmnsri funkcijtptefitrenci/e Drugi naćin prikazivanja Funkcije preferencijc je uvodenje promenljive xt i to: x ^ k{a) - k(b)

285

OPKRACIONA /STfiUŽllA S .^

Odnosuo grafički;

O sn o v n i p redu slo v rada m e to d c P R G M H T H E E t j c derinisaii opšti tip k rite riju m a za svalci pojcđinačni kritcnjutri k(a), Postoji Likupno 6 tipova opšteg k rjteriju m a. P rilik om kreiracjL k o n k rc tn o e m o d e la 7a svaki iip opStcg k rjtc n ju m a p o irc b n o jc odruditi param etre, U n nrcd n o tn d elu dajc sc. p o jc d in a ć n o i/g lc d sv a k o g o p šic g kriteTijuma sa gianicama / a o d g o v a ra ju ć e param oire. Tahela £ . / , Tipavi opšteg bifarûma

236

r'išekrtlđrijumska odiučtvanje u u___ _____ _____ _____

..................

IV NrVOkHt;ri|Uiri fPt# C

Rif) =■

1i ii m n Tip

q = 1 p - 'A

KL

]

x

i čn

V Krrter^jum ln eame pfeisrencije sapođrucjtm nđ:l •rerisnash

... 1 'PCO

q=J p = 0

■0 x Sm :(m ----- ut a jt <_ n n - iyi ] XVn

Ćt---- L_!-----^ m n x

K o r a k 2 : K otistrukcija grafa v tšeg ranga Posle dfifinisanja tipa o p čteg k n te n ju n ia , pptrqbno jt? otlrediti vrcd no st Ibnkcije preferencijc akcije a u Ifdnosu na b po sivakom k riterijum o i izraČUMti tzv. indetcs p re fe re n c ije (IP ) iikcije a u o d n o su tia a k c iju b. uzimfljliči u o b zir svaki par akci ja U skupa A. Jndeks preferencije se iz ra č u n a v a slcdećo m rcSactjom: v y b i A : B > ^ b ) = ^ t J| j ( a , b ) ,b 2 1

t j:«?l.

( 8. 1 2 )

Ukoliko se dcsi da svi kriterijumi imajj ištu težinu* §dnosn& da je tj= 1/n tada je: I P ( a ,b ) = —T

p

( a, b>.

(8 ,1 3 )

O so b in e indeksa preFerencije su sledeće: 1. 0 < iP (3,b) < 1 ; i n a , a ) = 0 2 . JP ( a ,b ) - 0 , s ia b a p re fe re n c a a u o d n o su n a f r z a svc krirerijum e; JP ( a hb)- l, stroga p refercn ca a u odiiosu na b za svc k riterijutnc; 3. IP (a,b)

JP (b,a).

P rocenjeni g ra f v išeg ran g a je graf> tija sn je z g ra d o p u stiv e a k d j e , i za svaki par ak c ija a i b o d g o v araju ći lu k (a ,b ) Sma vrednost fijihovog indeksa p refe re n c ije IP(a,b), videti u [3].

28 ?

OPERA CIONA tŠTRA V.IVAS.IA

IFVa.b]

< 2

S fika 8.3 Proc e n je tii g i'a f vtSčg ranga

K o r a k 3: K orišćenje relacije v iše g r a n g a kao p o m oć u odlučivanju P o io m se z& svaku ak c iju izračunavćt j^ z itiv n if izJazni) i tiegat[vm (itiazni) tok. Pozitivni to k ( i z l a m tok)

tzračunava:

(S-14) p - u k u p an broj a lte m a tiv a u m o d eh t Negativni tok {ula?.ni tok) se izračuriava: (8,15)

Ovako ćtefinisane tokove treba tumaćiti na sledeći naein: što je veći ielazni tok za akciju a, ro o n a više jdominira rtad ostalim akcijam a, o d n o sn o , Sto ie m anji u la /n i tok, t o j e m anji broj ostalih a k d j a k o je d o m im ra ju nad ak c ijo m a.

Grafička prezentacija poinenutih tokovfi izgleda:

h

T'(a)

T + (a) .SVii/.'ir] H.4. Ukizuo-izhzsu tokovl

28$

I 'išekri tenj\ tmsko odfućivanjt

Dtfinisaiêin dva potpuna poritka (pfcdefinisanosii i indifeientnosti) [P+t 1+] i [P-. }-)■ a P -1 h

ako i s a m o ako j e T 1 (a) > T +(b);

a I Nb

ako i s a m o ako jo T ' (a) = T 'C b );

i

(8 1 6 ) a P‘ b

ako i sam o

akn j e T"(ai < T '(b );

a I‘ b

ak o i sam o

a k n j e T "U ) ™T '^bf.

i ra /m a ira n je m p rc sc k a o v a d \ a p o re tk a m o g jč e je p n m etodi P R O M E T H E E ! d efm isati P A R C IJ A L N ( P O R E D A K (P 1 , 1 1, R ) kao: a P 'b

[

aP"b

a P^ b a k o i sa m o ako je I a P ‘b

i

a[ b

ai b

i

aP b

t8 1 7 )

a 11 b a k o i s a m o nko je a l J b i al"b a R b u o sta ltm slu č a jc v im a .

Na ovaj račm je koriščenjeTiii jnetode PROMETHEF t dffmisana delimiOna relacija (rc lac ija delimifinih poređaka)f k o ja donosiotu odluke daje graf u kcme je u e k e ak cije mogućc tlpotcđivatu a n c k e nc. Da bi se điminisali nedostaci p ristupa delimičnih relacija, razvijcna jc nova vcr/,ija rnctodc. PROMETHEE II koja taj p ro b lc m r^Šava na zadovoljavajući način, čimc sc d.ij^ svojevrstan d o p rin o s ic o n ji vifcekritčrijumskog odlućivanja, [3]. P R O M R T H E E H : ran g ira n jc ak cija u P O T P U N O M P O R E T R U Nft osn o v u izraza za lo k o v c viScg ran g a m o /.č st- đ c flm sa ti ćisti to k (ili balan^ toka): T (a) = T +(a) - T '( a )

(8.18)

koji sc m o ž e jo đ n o s ta v n o u p o tre b iti u rangiittnjii akcija: 9 p U b a k o i sa m o a k o jc T (a) > T (b) a I ^ b ako i sa m o ako j e T (a ) = T (b )

(S. 19)

P rim cn o m m c to d e P R O M E T H E E II dobija sc p o tp u n a rclacija k od k oje su sv c ak cjje i 7. A p o tp u n o rangirartt^ j e r se p n razm airan ju svakog para akcija. 2a je d n o te^ m am a d o d etjen im k o r is n tik tm k ritcriju m im a , m o t c desiti sa m o j t d n a od d v c g o re n av u d en e m o g u d n o sti. [3],

2X9

Đ PER AC lO m IS T M žIi A,\JA

IL U S T ftA T lV M P R IM K R I

Primer L Z a d e fin isan u m atricu o d lu č iv a n ja sa 4- aliernaiiv e i 6 k iite riju m a iz v ršm izbor EâjprihvatIj iv ij e a 1te m a tiv e k o n s te ć e rne todu P R O M I :T 1-JE H . k,

kj max max max 3: '1.5

1.0

1.5

6,0

7

^

i

1.8

1.5

11

9.0

9

7

1.6

1. 2

1.4

7.5

5

9

1.4

09

1.6

5.0

J

5

i. ,

ij b._

K o r a k 1: OdrediU

min max

zl\ sv a k l

"

_

krU erijjm tip opčle^ kriterij unna, param etrc i težine.

Z a postojeće kriterijume, doôsilac o dluke j e izabrao sledeće tipove (sa o d g o v a rajućim param etrim a i težin am a ):

m — n te ž k e =

1 -i šm

V 0.20 0.50 0.20

IV 0.20 0.30 0. 1 0

III 2.50 0,30

IV L 00 2.00

II 3 .0 0 -

0.20

0, 1 0

K o r a k 2: O dredili vrednosti runkcije prcfeTeneije P j ( |i , a s ); j, s = 1 ^ ; O v d e su dati rezultati Siimo za p&rpve (aj,

S - 3, 4 i sve kriterijum e kj, j = l , 6 .

k | - tip I:

k^ - tip

( a j , as )

x = k ] ( a j )’k ] fas )

p l ^ | , a s)

$= 2

1.5 - 1. 8 = -0.3

0

s-3 a= 4

L5 - 1.6 = - 0 J i .5 - 1 . 4 - O J

0 1

x - k 9( a j ) - k 3 (a5 )

V: m = 0.2; n=0.5;

s- 2

1 - L5 = -0.5

p 2 (a b a s> 0

s= 3

1 - L 2 — -0.2

0

s=4

] - 0.9 = 0 1

0

r

290

r7
xr^3(a])-k3(as) 1,5 -1.1 - 0,4 1 5- 14 “ 0.1 1.5 - 1.6 - -0. ]

p3
U |> a s}

\ - k 4 U f H i 4{as )

s-2

6 - 9 = -3

p 2 (a 1 *% ) 1

s^ 3 £^4

6 - 7 . 5 = -K 5 6-5-1

0ć

(a 1*a s )

x - k 5{ a j)-k 5{as )

P5( a 1+as )

s- 2 s- 3 s=4

7-9--2 7-5-2 7-3-4

0 1 1

s= 2

5 - 7 “ -2

0

r*i 11 1*

(a [%as) s=2 s= 3 $“ 4

5 - 9 ~ -4 5-5 0

0

k ^ - Eip III: n - 2 . 5 ;

0

k^ - tip IV; m = l ; n=2;

k ć - tip 1 1 : m - 3 ; la ^ a s)

s-4

0

Sa ovim postupkom je potrchno nastaviti i za sve preosinle pargve akcija (aj, a j ; i, s = 2 ,3 +4 . K o r a k 3; O drediti m d e k s p rc fe rc n c ijc TP(a|, a^); i, s = l , 2 ,3,4 ;

IP{alta ,) =

(a,,«,); /-I

i * s.

{ £ / , = I) /«it

IP
ai

■M 0.000

a2

T

£n 0.400

a3 1 0.380

0.500

0.000

0,200

34

T

0.300

T* 0,360

0.087

0.367

0.500

0.456

0, 1 1 2

0,230

0.000

0.467

0.299

-0.067

0 .120

0.400

0,350

0.000

0.290

-0.132

0,273

0.343

0.366

0.422

291

OPERACJOSA iSTRAltVANJA

Korak 4: fedrediti uU/.ne i izlaznc tokove svake akcije lzračunavanje ulaznog itikn npr. za akctju a \ f T *[a ,) = — 1—

y i P ( a , x > = );(4 -l)*( 0 .400 + 0 .3 S 0 + 0 .3 0 0 ) - 0.36

(p-1)

"

T - ( a . ) = — !— - V lP (x ,a )= |.(4-U*(O.,iOE140.2O(W0 120) —0.273 ( p - J) *■' I tako redona i;a prcostalc alternative. Na Osnavu i^računatih lokova. pcrcdEik za prve dve a lte m $ iv e glasi: ako i sam o ako jc T * f a i ) > T"f"(a2 ) => nc

a i P t 32

ako i sam o ako jc T 1( ai ) - T ^ a ? * => ne

a iP 'a ;

ako i samo a k o j c T l a j ) DA

a^Ta^

^samo ako je T " ( a j ) - T _(a 2 ) :r;f |ie

An&logno sc nalazc Ereûitali £a ostale parove akcija, K o r a k 5: Odrcditi parcijalnc poretki5 za sve akcije (P'nI'+ R) Z a akcije a j 1 m p arcijalni p o red ak se račnna n a siedeći natin: a , P +a :i i a hP a . P 'a ,

nft i DA

& P +a , i a, T a ;i nc i rte

a , r a 3 i a . P ' a : f nc i DA

a, T a ^ a . I ra, t a, I- a? ne t ne &i K a^ n e u p o rc d iv e u ostalim slucajev im a DA Z a oMtale akcije rczultati svi navedcni u tabeti;

*1

$2

*1

-

nc

a2

ne

a4

33 DA

a4 DA

DA

DA

on

ne

-

DA

nc

ne

da

-

K o r a k 6: OdređtvaEije m a tricc v isih ran g o v a iMatricu viših ran g o v a Cine ele m c n ti kdji z^d o v o ljav aju slcdeći uslov: a iy“ ^

ai

aS'

Viickrirenjumsko ođlućivanjv T ak o dobijam o m a tric u visih rang o va a

a

3

l

-

0

0

-

0

J

0

0

-

1

]

a 2

a

3

a

4

3 4

2

[

0

l

a

;

=

a

3

^

i

(

a

a

j

T; t 4

)

4

-

o

0

K o i a k 7r K o n stru k c ija g ia fa v išc g rctta i rang iran jč akcija u p o tn u n o m poreik u G r a f d o m in acjje ( g r i f v i i e g rEinga), vi\ postavEjcni p rim er glEisi:

a3

a4

Shka 8.5 G raf višeg ftthgii /x>

P^ĐjW £T//£E /

T ( a j ) = T + (a j ) - T"(a j ) = 0 .3 6 - 0 ,273 *0-086, Ć tstt tok T svake akcije ghisi:

31 n

Ćlit (ok 'l 0r0S666T

4

0. 1 1 2222 -0 066667

a3 a4

l_

*0.132222

K o j a k 8 : R an g iran jc akcija prem a veliičini či^lo^ toka RANG

al

T 0.0&IS667

32

0 ,112 2 2 2

1

*3 34

-0.(lfj&C67

3

41.132222

O cig led n o j e d a akcija a 3 (k'tinnira n ad sviir, ostalim akcijam a.

2

OPERACIONA iSTRAŽjVASJA ______________________________________________________________________________

Primer 2, Na o s n o ™ b f o o n a d j e 0 pO \'ećanoj ira^njt cKir^derish \r,sia tchničke ro b e p riv aln o lic-c otvara finrtu ,rFOKKXPC )RT" za p ro d a ju td e f a k s itpdrata. T rc n u tn o na trzi.stu po stoji m o g u ć n o sl u a b a v k c jc d n e od ^^tiri vrstc iiparata (JVC* l’anason ic, A T & T , T o s h ih a ) r to titi o sn o v u 5 kritcrijum a:

Aj - troškovi odiLčuv;uija A j - brzina rada A 3 * ccna A 4 - p o u zd an o sl - kvalitčt obfLitlc P oćetna m atrica odln£iv;inja

Akcija 1 Akcija 2 Akciia 3 Akciia 4

Krit 2

Krit ] 150,001) \W -j[>u 160,000 140.000

12.0 0 0 : 5 O00 10.000 9000

Krit 3 1900.000 1600 000 ] »00.000 ] 450.000

Krit 4 ProHck Visoka Vjsoka Piosek

Krit $ V isoka ViEioka Prosek Vjsoka

Param etri m o d ela glasc; m in im u m TeA. vek. 0 .10 0 Ops, kr. m param .

5 0 .10 0

n param .

0,400

M A X IM U M 0 .2 5 0 4

m in im u m M A X IM U M 0 .2 5 0 0,200 ]

0 ,3 0 0 OX)OD

2

M AX1M UM 1 0.200 3

1600 2,700

g d e su; K v antifiko van a m atrica o đ lu č iv a n ja 150,000 180.000 lon.oon 140,000

12 .0 0 0 15.000

1 9 0 0 .0 0 0 [6 0 0 ,0 0 0

5.000 7.000

7.000 7.000

10 .0 00 9 .0 0 0

1800.00 0 1450 000

7,000 5.000

5.000 7 .0 0 0

V rcdnosti funkcije prcfcrcn cija: Tttbehs 8.2. Vrednosti funkcije prefcrense

f

P l ( a l »a2 ^=l .000000

? l( & lA 3 )= i .000000

P 1 ( 3 1 . a ^ J - 0.000000

P 2(a \ ^2^0.000OO()

P 2 ( a h a 3 }=a.000000

PT(a | ,3 4 )“ ] ,000000

P 3 ( a ] , a 2 ) K ).000000

P ^ a i^ J ^ .O K O O O O

P^(a | ha 4 ) - 0.000000

? 4 { ^ 2 )^0 0 0 0 0 0 0

P 4( a j ^ >=0,000000

P 4(a ] ,a4 pO.OOOOOG

P5(ai * 2H>-O0OO

P S (4 M 3 )-0 ^4 0 7 4 1

P 5< a i,a 4>=0.000000

294

Vi&ekriterijtitu.'iko odiučiv&njč P l ( a 2. a i ) = 0.000000

% (a

P 2( a 2'a1) = 1 .000000

P ^ fa ^ H -O O O O D O

0.000000 P ^ a 2Ta 4 ) = | 00 ( | W

P 3
P j^ a j^ ^ L O O O O T

Pâ& ^HkO O O O O O

P 4(a 2 , a i ) = 0.000000

P4(a7,£L3 )■’0.000000

P 4 ( a 2 ■a 4 1_ ^ ■0 0 0 0 0 0

P ^ | ^ | W

P

5U 2, a i) O O O C O O O ,

P

2

=0,000000

Pi

4 J

,:i4 r

&2*a 4 ) "0 ■ 0000

Pâj^^-'O.OOOnOO

1.000000

P ] ( a j ^ a ^ ^ O .O O 0 0 0 0

2(a 3 ^ l ) = M 0Čfo00 P 3 ( 23^ ) = 1 ^ 3 0 0 0 0 0 P 4 U 3»a 1) = 0.000000 P 5(a 3 1> - 0 . 0 0 0 0 0 0

p 2^V>>a 2)= 0 0 0 0 0 0 °

P 2 ( a 3la 4 }---1.OOOOOO

P

P

1 .0 0 0 0 0 0

P 2{«i4„a | )-0

:' 0 . 0 0 0 0 0 0

4 )' -o .o o o o o o P 4 f 33,a 4 )^ 0 .0 Q 0 0 0 0

P 5(a 3 na ^ ) “0 .000000

^ ^ (a ^ a ^ J ^ O .O O O O O O

P] ( 114.32)=

P ]( ia ^ a 3) = t

P4(

^ 3( 33^

0.000000

P3â23f

1 .0 0 0 0 0 0

.000000

00()000 ,000000

P 2 ( a 4 ’a 2 H V 0 0 0 0 0 0

p 2o 34^3 ) = o , o a o o o o

P 3(a 4 ,a 2 ) = 1 . 0 0 0 0 0 0

P 3(a 4 ,a 3 ) = l , 0 0 0 0 0 0

P 4 ( a 4 , a j ) “ 0 .0 0 0 0 0 0

P 4(fl4 ,^ 2 ) “ 0,000000

P 4 { a4 la 3) = 0.000000

P g { a 4$ i) = 0 * 0 ( $ lp 0 0

P ^ ( a 4*a 2 ); = 0 ,0 0 0 0 0 0

P 5 (a ^ a 3 H )^ 4 0 7 4 1

P 3(a 4 ,a J ) ~ l

Tabe]a parova potpunih porcdaka Tabela 8-S. Tahefo parova potpiittog poreika ne DA PA 1 ne ne D A

ne ne ne

DA

nc ne

ne

nc

ne

ne

ne

ne ne

ne

ntf

ne

ne

ne

DA D A

ne

ne

DA DA

tic

ne

--

■** DA D A

ne

ne

ne

ne D A DA

ne

ne

nc

nc

ne

ne

ne

ne *

Tabela 3.4. Tabela pLtrci/aiiog poJ~e!kii t

Ne

DA DA

“

DA ne

Ne

DA

nc

DA DA Ne

DA

Matrica visih rangova

1

0

-

1 0 1

!

L L

~-

0 t.

0

;

295

_

1

0 1

0

I

OFERACfONA iSTRAŽJVASJA

Stiku

Grafh'išeg ran&ći po mctoiii PROM EtitEE 1

Tabvfo. 8 5. Tabeia iiitdekiu preferenw -- ------ =c—:-- .--

T'

T+

T

0 .0 0 0 0 0 0

0 .1 0 0 0 0 0

0.49H14tL

0 .2 5 0 0 0 0

0 ,2 8 2 7 lf>

-0 .0 8 3 9 5 1

0 ,5 0 0 0 0 0

o .o o o n o o

0 .6 4 8 &

0 .2 5 0 0 0 0

0 .4 6 6 0 4 9

0 .2 & 2 7 1 6

0 .2 5 0 0 0 0

0 .10 0 0 0 0

0 .0 0 0 0 0 0

0 .2 5 0 0 0 0

0 .2 0 0 0 0 0

- 0 . 3 4 S 1 4 S ||

0350000

0 ,3 5 0 0 0 0

0 . 4 9 S I4 S

0 .0 0 0 0 0 0

0 .3 9 9 3 S3

0 .1 4 9 3 8 3

0 .3 6 6 6 6 7

0 .1 R 3 3 3 3

0 .5 4 K U 8

0 .2 5 0 0 0 0

N a o sn o v u iz ra č u n a te g cistoij to ka (T), [noijučt; jt: d efm isad polpurtl poredfik a ltc m a tiv a (akcija) u m&delu,

Najveća vrednosi toka odgovata dnjgoj Mtemativi; 0.232716, Sto znaOi da je tia jp rih v a tljiv ija a k eiT ia liv a

a^, a j i 3 3 ,

P o tp im i poredak attern ativa na osttovu čistog coka je P rim e r 3* D a ta je poeetna matrica: k.1 m ax

max tnax m ax

min

^2.2

t.3

1.6

4.8

7

3

12

2.5

1.4

11

8.2

9

7

K

a 3 2,3

09

E.5

7.0

7

9

14

L9 2 .1

0..7 08

1.7 14

4.5 6.0

3 5

5 8

11 9

mtn

3;

a, Izabraii najprihvatEjivij

k-

K

kj tnin

j

"

aJtemativu p n r n e n o m m e t o d e P R O M E T H E E .

K o r a k 1: Odredtli za svaki kritcrij Jin ttp opšteg kriterijtrm a, parametre i te /i:ie Tip: m = n = težine ~

11 3 0 “ 0 .1

I

III

III

-

-

-

0J

3.1

02

2 .K 0.3

V 0,3 0.6 0 .]

IV 1,5 3.0 0.1

V 0,3 Iu6

0.1

i'išekt'iterijttmska ođluCivanje Kfn a k 2: O tlredili Amkcijc p refe re n c ije k l - tip II: m = 3 ] Š (M ** s)

\-k j{ a i)-k i(a s)

P l( a j. a^)

s4 2 3 s= 4

2 2 - 2.5 — -0,3 2 2 - 2 .3 - - 0.1

0 0 0 0

2 2 - i , 9 - : 0,3 2.2 - 2 .1 - 0 .1

s= 5

Korak 3T korak 4:

Indcks p rcferen cije, ulazni i izlazfti tokovi sv a k e ak eije prikazani su slcd ećom ta h clo m .

r

a!

a2

a3

a4

a5

■j-H

T

»1

0,000

0.000

0,200

0.239

0,200

0 .1 5 %

-0.2302

a2

0.726

0.000

0,448

0 .6S2

0,549

0.6012

0 ,5887

a3

0.342

0.050

0,000

0.581

0,307

0.3200

0 ,1 0 6 4

a4

0,150

0.000

0 ,10 0

0.000

0.000

0.0625

-0.4579

95

0.342

0.000

0 .10 0

0 .5 8 0

0.000

0.257

0 ,0 0 6 9

V

0 ,3 89 9

0 ,0125

0 ,2 1 3 6

0.5204

0 ,2639

K o ra c ] od 5 d o S nžsu ek sp iicitn o p rik azan i, jfer a v o m p rim eru vide k ro z p oslednji korak.

rezuH$ti ceie p rim s n e m eto d e na

K o r a k 8: Rangiranje akcijit u potpunom poretku T

ai

-0.2302

RANG 4

a2

0.5SS7

1

0 . 1064

2

-0 .4 5 7 9

5

0 .0069

3

..........................

a4

Potpuni p o rc d a k a lte m a iiv a a 2 > a j > a g > a i > a 4 .

P rim er 4. M e to d o m P R O M H T H E E II izvršiti izbor n ajb o lje raču n a rsk e o p rem e za jc d a n računski centar, na o sn o v u 6 k riterijn m a {vreduosti atrib u ta nisii a z u m e ) T a na itispolaganju sloje 4 tip a racunara, A i , A ^ n A 3 i A4 :

29 7

OPERACiONA ISTRAZlVASJA

___________

Akcije: Aj

»ftosotM nama P 3 1.0 G H z; H Đ D 4 0 G b ; Š v S A 1280+1024; 1375 E U R &

A 2 - s a o s o b in a m a P 3 /J .4 G H z : H D D 4 0 G b : S Y G A ] 2 S 0 + m 2 4 : 2 1 0 0 E U R đ A 3 - sa o so h in am a P ® 9 0 0 M H z ; M D D 20 tib ; Š V G A 1280*768: 1075 E U R O A 4 - -saOšobinaftia P2 r9 0 0 M H Š H D D 4 0 M b ;S V G A 8 0 0* 6 00 ; S200 E U R O

Kriterijumi: k \ - Centi (E U R O ) -

Brzina: (MFfz)

k^ - M o th c rb o a rd (fcvalitativna occna} k ^ - S V G A rezoSucija (pikseia) k^ - OpSti ulisak (k v alitaiiv n a occtia) k ^ - P ou2d a n o si T a b e la o d k ičiv an ja giasi: j&rvt 2

K rlt 3

K rit 4

K rit 5

K rit 6

A k cija J 2 7 5 0 .0 0 0

4 5 .0 0 0

vrlo vrôka

25 0.0 00

1280.000

v iso k a v r.v iso k a

A k c ija 2 4 20 0 .0 0 0

66.000

vrlo visukn

3 7 0 .0 0 0

1280.000

v r.v iso k a

A k cija 3 2 15 0 .0 0 0

3 3 .0 0 0

2 " 0.000

1024.000

Prosek

l A k d j a 4 2 4 0 0 ,0 0 0

m,m

p ro sek v iso k a vi soka

120,000 j K00.000

V iso k a

K rit I

P a ra m e tn m o d c ia glase: r

~ . T cz. vek.

f Ops. kr. 1 m param . | n param .

m in

max

0,200 4

0.200 4

0 .10 0

m ax 0.20 0

2

4

2

25 0 0 .0 0 0

3 3 .0 0 0 66.000

7,000

200,000

1024.000

350 0 .0 0 0

m ax

m ax OJOO

0.200 3 8.000

3 0 0 ,0 0 0

Kvantifikovana matrica ođlučivarvja: 2 7 5 0 ,0 0 4 2 0 0 .0 0 ■ 2 1 5 0 .n o |_ 2 _ 4 0 0 .n 0

9,00

2 50,00

1280.00

8,00

3 7 0 ,0 0 2 10 .0 0

1280.00

9 .0 0

3 3 .0 0

9.00 6.00

5.00

4 0 .0 0

7.00

120.00

1024.00 8 00.00

4 5 ,0 0 66.00

298

7.00

.

ndiučivtmje

i

Tabefa 8.6. Tahefa vrediiosti funkcije prch*> u ija Pj{aLha : J

P>(nh[t;}: ■

0.0000

0r(]000

P i f i lpaO ■

P3fa tlai> -

0.0000

P ^ a a )“

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0 0000

0.0000

Pj(a-.y^) t>.oooo

P i(a !ha,)= O.fKJOO P :( a ^ a j

Prfa !*&,)=

P*{a:,a. h

1-1 O.OtKKJ Pj{a:.a,}'

P - ( . Uj ]■'

0,0000

0.0000

0 0000

0.0000

0.0000

J U u :,^ ) ■

o,ooon

o oooo

Pi(il:.Eli)O.OtJOO

P;(Sj,ai)= 0.0000

P rfa a A i^ 0.0000 P ^ a i,a i)=

o.tmo

0 0000

P^fliHai)0.0000

Pjf ! ; . □ ) 0.0000

0.0000

Pâ^H

P ita j^ 0 0000 P il î.a.T.)— 0.0000

Tabcla S.

".

0.0000 ■

0.3750

P$(a|Ju}

0.0000

0.3250 Pf.
0 1250 Pfifai.aj)

0.0000

0.5000

JM-VAi)-

P ^ a : , a j |-

0.5000

ooooo

0.2500

P j l a ^ i-

P ^ a ^ a ;)0.0000 P jla ^ a iJ -

N ljjil p

P*tai,fl[)“

0.0000

0 0000

P d a i.a i)-

0.0000

0.0000

0.0000

P ^ a i^ h 0 0000

P*(aj,a3)~ 0.0000 Pttaâ*} 0.0000 P ^ a ^ 0 0000 P i(a j,a ;)0.0000 P^(aj.a3)^

0oono

■

0,€000 P j(a i,a O 0.0000 P?(a4.a,)0.0000 P

0,0000

0.0000

0.0000 P j(a^.a')0.0000

0,0000

0,0000

00000

0.0000

)-

P>(aâj H

P<.(iU ^)0.0000

0.0000

0.2500

Tabeta parnva polpunag poretko ne

DA DA tie N e Ne [U iJ

0.00(10

.3) )

00000

P ;(a v a i)» 0.0000

0,OCŠM)

P

:

P ^ a : .a,il

ooooo

O.OOCO P ifaâ^)-

ne nc

nc ne

nc

ne

Ttiht'In

li

PS& i.ai)"

ne

Nc w#

—

ne ne

ne ne

Nc Ne

D A DA DA DA

cie

nc

nc

nc

Nc Nc

DA D A DA DA ne

DA

DA

ne

ne

+*■—

nc ne nc

ne —

—

ne ne nc S

M

Tabelti parcijafnogponetkct —

Ne

DA

DA

DA ne

—

DA

DA

b;e

—

ne

Ne

Ne

DA

--

0

I 1

]

M a tn c a visth rangova:

1 0

g

«*

\ 0

0

0

I

--

,

QPERACfOXA iSTRAŽIt'ASJA

JaheUt 8.9. Tabeift utdeksa preft n'tit. r

0.000000

T

0 ,0 7 5 0 0 0 0 .10 0 0 0 0 ooooooo

0.0 2 5 0 0 0

0 .0 3 3 3 3 3

0 ,0 2 5 0 0 0

0.1 5 0 0 0 0 0 000000

0 0 (J ] 667

0.000000

0,000000 0.000000 0,000000

0,09Krf>7 -0 .0 7 5 0 0 0 1

0,000000

0.000000

0 .0 5 0 0 0 0

0.000000

000S333

0 000000

0 .0 7 5 0 0 0

0 .0 2 5 0 0 0

T-

T+

■

0.000000 0 .0 ] 6 6 6 7

0,0 5 8 3 3 3

^0.041667 |

i

G r a f v iie g ratisa glas;: i * * ■<----------------*

silka 8 7 Gritf Vivrg ranga pc mi'tndi PRO KfETH EE /

Sitka H.H. G ruf vileg ranga po metodi PROMETHEE H I z r a iu n a ic v rcd p osti Cisiiiga to ka {kolona T u p re th o đ a o j ta b eli 8,3 ,2 ,9.) zn p o sm a tran e aliern ative u k a z u je da j e n ajp rih v ^ tljiv ija a h e m a tiv a a * = a ^ p o d n o s n o pcitpuni poredak a lte m a iiv a |c: a,. a ( a i a , . ■

*■

I

■*

?

8.3.3. M E T O D A ANALITTC’KIH H IJ E R A R H U S K IH P R O C E S A ArialitiCia hijerarhijski p ro c e s (A H P ), koji je ra?.vio T o m a s Saaty p o č e ik o m se d am d eaetih gt;điria p re d sta v lja u a n a liz i ođluCivanja, kreiran č z p r n /i p o m o ć do]iosLOtiOia odluke \\ rcS avanju k om p lcksnili p rob lcm a o d iu č iv an ja ti k o jim a ućcstvtijc veći broj D O . vcčl broj k riteriju m a i u viS eslm kim v re m e n s k im perio d im a, [3].

Područje primene jc \ iSckritcrijumsko o dlu čiv atijc gdc se na osnovn dcfinisanoiskupa k riieriju m a i v rcdn osti atrib u ia 7a svnku altcmati\TJ vrsi izbor 300

•kruenjumsko <

ivunje

najprihvatljiviie a 1te m a t iv c h o d n o sn o p r ik a /u jc mc pcnpuni p o rcd ak v a ž n o sti a lte m a tiv a u modetti. Rudi lakfic p ritn e n e m e u id c n a n c k o m k o n k re tn o m p r im ć m razv tjen jc originatan sofh'ftr \f k la sc sistcm s / a p o d rsk u odlučivftnjil [■xpert C hoice. Prt to m c e v id e m n e ćetiri f a /c prrm cn e m etodc:

1. Struktuiranje problcma; 2. Prikupljanje podataka;

3. Ocenjivaftje relativniK rcžinii, 4. Odiredivanje rc&enja probJenia. ( 1 ) S m k tu ir a r tje p ro b le m a *e sssio ji od d e k o m p o n o v a n ja bilo kog slo ž e n o g p ro blcm a odluCivanja u se riju h ijerarh ija. jtd c svak i n iv o p red sla v lja m a n ji hroj u prav ljan ih atributa. Oni se za tim d e k o tn p o n u ju u d m ^ i set e le m e n a ta koji o d g o v a ra sle d e ć e m n iv o u itd., o p isa n o u [3]. (jra fičk i prjkaz s iu k iu ir a tija p ro b tem a predstav ljcn j c na Slici 8.9. (2} P riku p ljanjcm p o d u ta k a i n jih o v im m e re n je tn o tp u čin jc d r j g a faza m e to d e A H P , Dono&ilac o d lu k c d o d clju je rclativnc o c c n c u p a ro v im a atrib u ta, j e d n o g h ijcrarh ijsk oy m voa, i t o z a sve n iv o c c e lo k u p n c h ijerarh ije.

Cifj problema

N ivo 1:

N ivo 2:

Nivo k-1;

AJribut 1

A tribut i

A tribut m

Nivo k:

Atnbut 1

Atribut i

Atribut \

Slika ^ P. Srntkttiiranje probiema Pri tom e sc koristi n a jp o /n a u ja skala “ dcv et )aćaka’ t p rcd sta v ljc n a u T a b c h 8.1 0. Po zavrSetfcu o v o g proccsn, do bija sC o d g o v araju ca m a trica uportrdivanja po p a ro v im a koji o d g o v a ra ju sv a k o m n iv o u hijerarhije.

101

OPERACIOSA ISTRAŽIVANJA Tabela 8 \ 10. Skalti đevet uzčaka O b jašn icn jc

Skala 9 8 7

R an'iiran jc

A p so iu tn o najzn aca jns.ic / n ajpo zeljn ije

6

V c o m a sn a žn d ka ap so lu tn o n ajzn ač ajn ijem i na[p o žcljn iiem V e o m a s ti a žrio k a vcotn a značaj nom prožehtiom SnaŽi'io ka v e o m a s n a ž n o m

5 4

S n az n ijc višc /n a č a jn o p o že ljn o Slabi.je ka vise sniižni jem

3

S lab i pe vi se znač a j no

2 I

požc Ij n ij c

P o d ied n a k o ka slahijem vise Podj cd tia ko zn ačajn o

pože Ij no

P o d jed n a k o ka slabijem m a a je m

0 .5 0 033

Slabije m a n ie z n a č a jn o . poZcijno

0,25

S b b ijc ka snaztio m anjem

0,20 0.17 0.14

S na ž no m a n je znač^j no pt >ze l.ino S n a in o ka v c o m a sna£no m an jcm

0.13 0. 11

Izu zetn o sn a z n o m an je značajn o i p o že ijn o V co m a m ± m ka ap so lu tn o m an jetn A pso I Lttno n eij m anj c značaj no pože Ij uo

(3) P ro c en a relativ n ib te žin a je trcća f a z a tn e to d e A H P. M a t r ^ a p ored cn ja ćc se p o p a ro v im a "prcvcsti" u p ro b le m e odnedfyanja sopstvenili vred n o sti, radi d o b ija n ja n o rm a liz o v a n ih i je d in s tv e n ih s o p stv c n ih v ek tara, te ž im za sve atn b titc na sv a k o m ..... A n sa v ek to ro m težm a t~ (tj 1 1^, J n ). n iv o u Injerarhije. A | , (4) O d red iv an je rešen ja p ro b le m a je p oslednja faza metocie A H P \ o n a p o d ra z u m e v a n a k ž e n j e tzv. k o m p o z itn o g norm aliEOvanog vek to ra, P o ito se odredi v ek to r red o sle d s aktiv no sfi k riteriju m a u m o d e lu u n ared n o m k ru g u pt>trebnti jt; odrediti u okviru sv a k o g po sinn tran og kriterijum a, redosleđ vnznosti a ttc m a tiv a u m o d e 'u . Tsra kraju sv c u k u p n a sin teza p ro b le m a , izvodi se na sledcći način: U če£će svak& alten rativ e m n o ii se sa [e /in o m j>osmatranog k ritcriju m a :i p o to m se tc vrednosti sab em za sv a k u a ltc m a tiv u po scb no . D o b y e n i p o d atak p re d sta v lja težinu p o sm a tran c a lte m a ttv e u mođelU- Ma istl naćin se odi^cđuje i z a sve ostale aitcrnative, posle č e g a se m ože određiti sv e u k u p n i p o red ak a lte m a tiv a u m o d e lu . U n are d n o m delu, na k o n k tre tn im p rim e rim a hiće ilu stfo van e svc p o m e n u te faze p rim e n c m ctod c A H P . M e to d a A H P sc p o k az ala u sp e šn o m pri reŠftvanju niza realnih pro b iesna kao sto su; - izbor o p erativ n o g sistem a za lokalnu m i e ž u j'ačtmara; - p red v id a n je te a ln e c e n e n afte / a 1985. i 1989. godinu; - izbor poliličkjli kandEdata u am eričk o j poEitićkoj praksi itd. U nastavk u, kao Sto jc rcčen o , biee pi ikazan alg o ritam rađa m etod c. b c z so ftv ersk e podrSke pakcta E x p ert C hoice, ćije.je ko risćen je detaljn o objasnjesio u [3 ]+

VLŠL'krirerijiini.vko ođlučivanje P R IM E R I P rim e r /. Je d an Lurisla jie u situćiciji dti m o ž e da hira jedan od pbnmfetitl Cetiri zim sk a luristick a centra 7z odm or. K r ^ r i j u m i izbora jcd n o g od njih su: A l - ustovi za skijaEijti (k v a tita iiv n a occna); - cena sm eštaja; A 3 - udal jcnosi ski siaza od m e sta borav ka; A 4 - usiovj sm e šta ja (kvaliEativtia o cena) A 5 - k u ltu m i i zabavlii ž iv o t (k v alitativ n a o cena), t..1 ovoj knjizi 6e se za sv e p ritn e re prim enjiv ati ap iok srn iativ ni p o stu p a k E^Šavanja prob lem a. M atrica o d lu č iv an ja glasi; 4t ij

VrEo Vi&ok

].5

2.9

Visok Vrlo visok

a. o.

V isb k

1.2

]rS2

Prosecan

1.25

S.60

Pro secan \ rrl n v isok

Prosecan

1.25

2.72

Prosećan Proseican

Vijok

Prosecan

1 0-

*

Jzvršiu izbor najp rih vaiijivijc a lte m a tiv e , koristcćE m ctodu anaiitickih h ijcrarhijskih procesa, P re d h o d n u m atricn o d lu č iv a n ja po ireb n o jc k v an tifik o v atk A.A', A ” A, Ab

0

=

9 1.5

2.9

19

*2 7 1.2

1.82

75

1.60

>9

2.72

55

5 1.25 a, 5

i .25

O đ g o v a ra ju ć a h ijtra rh ijs k a siru k lu ra p ro b le m a portiđcnja kriltirijiLma sv a k o g sa sv ak im deMnisana od stranc ctonosioca orilukc. prcdstavljcn a j e sSectcćom m atricom p rocene: Al *1

A4

a 5

4 .0

2 0

(3.0)

5.0

40

3 .0

<2 .0 )

(3.0)

a 2

A3

( 6.0 )

a2 a 3

1

(3.0)

a 4 a 5

303

OPERACIOHA i s t r a ?j v a n j a

___________ ______________________________

V red n o sii u ? a g ra d a m a prcdstavEjaju u sivari i$vertoVani o d n o s p refćren ćjja, tak o da (6.0) na p rcsek u A \ i A ^ im a sU 'am u v red h o st u sledećoj m atrici p ro c e n e 1/ 6 . ProseCne vrednosti šio n isu u za g ra đ i o z n a ia v a jii prcferencu j e d n o g lcriterijuma u o d r o s u na d rug i (po skali de>-et ta č a k a h P o to ni sc prcračtm ava nova tnatrica procene, vrednosti kojc su u /a g r a d a m a npr, u presek n - A 4 v re đ n d s t ( 2 .0 ) t p red sta v lja se kao 1.2, d ok u p rcsck u A4 - A3 d o b ija se 2.0. Za rcšcnjo postavljeriog p rtm era. koristim o a p ro k sim a tiv n u pcocedurti za d o b ija n je sopStvenih v ektora. T a p r o c e d u r a im a slcdcče k o rak e: K o r a k 1: F reraditi tnatricu p o ređ en ja u p a ro v im a ; K o r a k 2: N aći su n m svih e le m e n a ta u svakoj koloni; K o r a k 3:

Podeliti e le m e n te sv a k e kok>ue 5a sun io m vrednosti te k o lo n e, k o ja jc dob ijcua ti p rcth o d n o m koraku ;

K o r a k 4: Naći suiriu svih e(em en ata po s \ Fako m r e d u i pniom odrcdifi srcd n ju vredn ost sv a k o g reda, K o lo n a ko ja se sastoji od tih sre d n jih v red n o sti jc u stvari n o rm a liz o v a n i s o p s tv e m vektor. K o r a k 1. P rcrađ en a tabcta u p o rc d iv a n ja tc žin a u p aro v iin a n s o s n o v u pt>ćelne mćitrice o d ln ć iv a n ja sk a ie o d d ev et taćaka: r

A]

a 2

At

1.0

0 .1 6 7

A3 4.0

a 2

60

1. 0

5.0

4 ,0

3 .0

a 3

0.25

0, 2

1. 0

0.5

0.33

a 4

0.50

0,25

2. 0

! .0

0.33

a 5

3.0

0.333

3.0

3.0

1.0

S

10.75

L95

15.0

10.5

5.0

a 4

a 5

2. 0

0.33

K o r a e i 2 i 3, Svpki eiemenat prethodnc matrice, deli sc sa odgovaraj'JĆim zbirom svojc kolonc. k4

*6

0 .2 6 6 7

a4 0 .1905

a 5 0 .0 6 6 6

X 0.70 2 4

0 .1 4 0 4

0 .5 1 2 8

0.3333

0 .3810

0 .6 0 0 0

2,3853

0 .4 7 7 0

0.0223

0 .1026

0,0667

0.CH76

0.0667

03068

0 .0614

a4

0,0465

0 . 1 2 K2

0 .1 3 3 3

0.0952

0.0667

0.46 9S

0 .0 9 4 0

a 5

0.2791

0 .1709

0.2000

0 .2857

0.2000

1,1358

0 .2272

K1

K2

^3

A1

a 2

A3

A1

0 ,0930

0 .0 85 5

a2

0.5581

a3

m

k7

n tekritefitjttmster odtučivtmje

K orak 4. U o v om korakn sa b ira ju se sv e v red u o sti ele m e n n m k fiterijum a po red o v jm a , a u o v o m prii'nem su u k a lo n i K ^ . P o to m stf i'/mČLtnava srednjdi V rednost (p o d a c i u

kolorci K^ dele sc sa brojcm krilerijlinia), i prikazitju u koloni Ky. NTa laj naSin je izraču n ato u če šće ili v a ž n o s t s v a k o g k riteriju m a u inodelu. G ra fičk i p rtk a? rezu ltata d o ln je m h k o risć e n je m a p ro k s im a tiv n e m eiode.

A2“ 0.4777 A5- 0.2272 a

ip p iim iiiig iip n i liilllSlllIII

| = 0.1404

in m iim

a 4™0.0940

nnin

Ay= 0.0614

111!

Turifita p o tu m p ro cen ju jc sva cetiri z im sk a ccntra u p d n o s u na svaki k iite riju m p o jcd itiačno , odtio sno izraČuitava u če šće sv a k e alternaLive p o je d itia tn o u o k v in t p ostn atratio g kriterijum a. F io e e n e i p rio riteh U o d n o s u na k n te i i fume: A | - u s lo v i za skijćinjti

»\ *1 b3

*2

b3

b4

2.0

4.0

4.0

2.0

2.0 1.0

P rerad en a ta b e la u p o re đ iv a n ja te ž in a u p a ro v im a : B2

2.0

b3 4.0

B4 4.G

0.5

3.0

2,0

2.0

% b4

0.25

0.5

i.O

1.0

0.25

0.5

i.O

90

s

2,0

AA)

s.o

8.0

§1

BJ 1,0

2

b

R ačiin anje so p s tv e o o g v e k tp ra o d g o v a ru ju ć ih so p stv en ih v rijjd n osti: K2

k3

0.5

B2 0.5

0,25

K4 b4

^5 I

K*

0.5

0.5

2.0

0.5

0,25

0,25

0,25

1.0

0,25

0,125

0.125

0.125

0.125

0.5

0.125

0.125

0.125

0.125

0.125

0.5

0.125

B]

b3 b4

305

OPERACJOtiA !$TRA2nrA \ JA

Poredak aitemativa po pn otn krilerijiunu jc:

B ) - 0 JOOO b 2- 0.2500 o .i2 5 o

IIILU E lllin IlVlllI IIIIIIITT ri im n n iiiiju ii im ra

B4= 0 ,1 2 5 0

nm n

A 2 - cena sm cštaj a ■ Bl 6.0

Bj 32

^3

b4

7.0

5 0

2 0

(2 .0 ) (3 0 )

«3 »4

Preradena tabela uporiidivHiija lettna u p aro vim a;

Bl

i.6

Bi

0 .1 6 7

»3

'

b4 V

b4

b3

Bl 6.0

7.0

1.0

2.0

05

0 .1 4 2 9

0,5

1.0

03 1

0.2

2,0

3.0

1, 0

1 .5 0 %

9 ,5 0

13.0

6.83

1

|

5.0

R aču n an jt1 so p stv v n o g v c k in ta o d g o v a ru ju ć ih s o p s h cnih vffiđnosri: i

^

|

* 2

r n

c a

b2

» 1

k4

Cî

K

b

4

K 5

2

1

Bl b2

*4

0 . 6 6 2 4

0 . 6 3 1 6

0 . 5 3 8 5

0 . 7 3 1 7

2 . 5 6 4 2

0 . 6 4 1 1

0 . 1 1 0 4

0 , 1 0 5 3

0 . 3 5 3 8

0 . 0 7 3 2

0 . 4 4 2 7

0 . 1 1 0 7

0 . 0 9 4 7

0 . 0 5 2 6

U . 0 7 Ć 9

0 . 0 4 8 8

0 . 2 7 3 0

0 . 0 6 8 2

0 , 1 3 2 5

0 . 2 1 0 5

0 . 2 3 0 8

0 . 1 4 6 3

0 . 7 2 0 1

0

Puredak altemattva ovog kriterijiimajc: B j-o l6 4 1 i

i i n i m i 11 i n i n r i n i i u i i ii i i i i i n i

8 4 =^ 0 .18 0 0

iiiiu in n m

b

2- o . n o 7

» 3 -0 .0 6 8 2

m nu IUI

1 8 0 0

ViJiekriterijuTnska odhtčivanfc A 3 ■ udaEjenost oć. mcsiii borLivkii Bj

r 2 3.0

B 1

\ »1

^4 1,0

40 1.0

BA i#

r

(2 .0 ) a o )

1 r 4

P r e r a đ c n a tabcrla u p o r e d iv a n j a tc ž in a U p a r o v im a :

»i L0

Bt 3.0

h

b4

4,0

L0

033

L0

1.0

O.S

0.25

1.0

!0

B^

lo

2.0

1

2.5833

7.0

2.0 6.5

05 L0

Bi b2 b

i

3

3.0

R aču nan je so p s tv e n o g v e k to ra o d gi> v arjju ćih sop.'stvenih vrcdnosti: K|

K-2

Bl

&2

Bj

0,3871

043S6

3

0 .1 20 9

B3 B4

b

k

K3

4

k

5

X

Ke

0 .5 0 0 0

B4 0 ,3333

1.6490

0 ,4 1 2 2 5

0.1426

0 .1250

0 1667

0,5635

0 ,1 4 0 8

0.0968

0. !42K

0. ] 250

0 .1667

0.5313

0 .1 32S

03871

02857

0 .2 5 0 0

0.3333

1.2561

0 .3 1 4 0

P oredak flltem ativa o v o g kritcrijuinfl îJasir b

! "

0 .4122

b4= 0.3140 b

2 = - 0 . j 4 0 8

B 3 - 0.I 32S

m

m

m

m

i m

i m

u

m

nunnnim m

m

i

IlliJ

A4 - uslovi sme£taja

B t

B ]

B i

B *

1 . 0

3 . 0

3 . 0

3 . 0

3 . 0

B ?

1.0

B i B i

307

OPERACtOSA tSTRA ZlVASJA

PrenJena tabela uporcđivanja tcžtna u parovima: l

-lli

b3

B4

10

3,0

3.0

t.O

3.0

3.0

0 .3 3

(J.33

1.0

1.0

0.33

0.33

1.0

1.0

2.66

2.66

8.0

8.0

B]

®1 [.0

b2

1.0

b4

z

\

\

Riičunanjc sopsivenog vektora odgovarujućih sopatvcnih vrednosti:

k4

*5

b4

I

0.3750

1.5000

0 .3 7 5 0

0 ,3 7 5 0

0 .3 7 5 0

1 5000

0 .3 7 5 0

0 .1 2 5 0

0 .1 2 5 0

0 .1 2 5 0

0 .5 0 0 0

0 .1 2 5 0

0 .1 2 5 0

0 .1 2 5 0

0 , 1250

0 .5 0 0 0

0 .1 2 5 0

K2

*3

Bl

h2

Bl

0 .3 7 5 0

0 .0 3 7 5 0

B3 0 .3 7 5 0

B2 b3

0 ,3 7 5 0

0 .3 7 5 0

0 .1 2 5 0

b4

0 .1 2 5 0

Poređak altemativa u okvit u

k 6

tog kriterijuma;

R i - o . 375 u

n m m riiin im iiiin

B j-a .3 7 5 0

n iiiu iin a im iiiiii

b ^ oaiso

nm on

B 4 - 0.1250

nnum

A 5 - c e r a sm ešiaja B| Bl

b 2

1*3

b4

2 .0

1.0

2 .0

(2 . 0 )

1.0

^2

2 .0 04

Prerađena tabela upoređi% anja [k;/tna u parovima: bl

»3 B4

Bi

b2

&3

b4

1,0

2,0

1.0

2,0

0.5

1.0

0.5

L0

1.0

2.0

10

2.0

0.5

K0

0,5

1,0

3.0

6.0

3.0

6.0

30S

1

I u t'kriferijuMs^n odiučivanj^

Račimanjc sopstvenog vcktoi a origovarujuiih sopstventti vrodnosti; [K i

k2

K3

k4

Kj

»1

b2

t*3

b4

z

Bj

0,3333

0.3333

0 .3333

0,3333

1 . 3 33 3

0 .3333

B^

~~l 0.1667

0 .1 6 6 7

0 .1 6 6 7

0 .1 6 6 7

0 .6 6 6 7

0.1667

^3

0 .3333

0 .3 3 3 3

0 .3333

0 .3 3 3 3

i 3333

03333

b4

0 .1667

0 .1 66 7

0 .1 6 6 7

0 1667

0 ,6 6 6 7

0 .1 6 6 7

P o reJ;ik altemativ;L 710 5-tom k r itc n j u m u je ; b 1 —0 .3 3 3 3

i m i 1n n n ] i m n n n

0 .3 3 3 3

lim n p in n n n im r

o ri « 7

ra iiu u u

B4* 0.1667

IIlllt I]]II

N a k ra ju pOStupka vr£i se sv e o k tip n a sin teza prtibfema fcb o rg zim sk a e cen tr a : A 2^ 0 .477 0

15 ] = 0 . 3 0 6 0

0 .0 5 2 0 B 3 - 0 .0 3 2 0 B 4 = O.OR5D A 5 = 0.2 27 2

T3 j " 0 .0 7 5 7

1 * 2 = 6 .0 3 7 8 B j - G.0757 t t 4 =* 0 .0 3 7 8 A | = 0 .1 4 0 4

B | * 0 .0 7 0 2 B2 - 0.0351 \l-$~ 0,0 ] 75 B4 = 0,0175

A A f. 0 . 0 9 4 0

B j ~ 0.0352

0 .0 3 5 2 B3 - 0 . 0 1 17 B4 - 0 .0 1 1 7

J09

\

K*

OPERAC/OK4 (STRAŽiVASJA A 3 " 0 .0 6 1 4

B ; — 0 .0253 B i ^ O.OflSO [i$ = OOOSO E34 - 0 . 0 190

Svcukupna sinteza pmblema izboni /imskog cenlra, izmĆLinava se takn šio sc /a svaku altcmativu npr. iz B j, množi njeno učcSi;c (tcînii) u okviru posmatranog k N teriju m at lako z z sv e k riteriju m c red o m 1 na kraju sc d o b ijcn i r c r jlta ti saberu, KonkreSno z a prvu altcrnativu* m a te m a iič ld proračun sc rt;;iti/ujc na sledeći n a č in : Po prvom kriieriju m u . tc iin a j e 0 J 404. a težtnii aU c m ativ c Bj i/n o s t 0.5

Množcrtjem ova dva podatka se dobija 0.1404*0.5=0.0702. Pa đrugom kntcrjjnmu: 0.477*0.6411=0,3063, po trc<:
0 .5133

b2

0 .1694

B3

0 .1455

b4

0 .1 7 2 0

z

1.00 00

Na o sn o v u d o b ije n ih rezultatu, tx;igledno j c da j e najbolji /im s k i ce n tar jc B | slo p red sta v lja i k on ačan izbor

Primer 2*

tZ&OR R A D IO

U R K Đ A JA (R U ) U p ra v a koTnunaMog p r e d u z c ta za o d rž a v a n jc p u tev a "M o st11 odluCila j e đ a, u cilju poboljSanja k o m u n ik a c ijc i/m e d u irvtervenlnib ck ip a n;i lc re n u i centra, n abavj m obi]nc radio u re đ a jc (R L '),

RU treba da ra c e na < K o -m ciarsko m frek v en tn o m opêgu
JIO

Višefaiterijumsko odlučnanje

____ lz b o r ćc se izvrsiti na o sn o v u k o m p a ra tiv n e podatke:

6

kriUjrijuma

/a

t o j e jie niogiige priku pili

Aj ■snaga W ■ c e n a n rj, A 3 ■ đ o m c t f siinploks) kiu A .| * pasivnj režim radLi li aiucna kva!. oc.

Aj

Aft - fu n k cio n a ln o tf kvaS. oc.

Matrica odiucivanja a la a i: A3

Al

A4

A l

A5

!

24

al

5,0

800

a2

3.5

600

10

*3

4 .5

650

20

“4

4 .0

950

15

1

7

30

5

7

20

3

5

22

9

7

P rc ra d cn a labeta u p o rcd jiv a n ja te / i n a k riteriju m a □ p aro v im a K rit]

K n ii

K rit3

K n t^

K rit5

K rir6

Krit ]

1.00000

0 .3 3 3 3 3

5 .0 0 0 0 0

2.00000

9 .00 00 0

7 .0 0 0 0 0

K ritj

3 .00 00 0

1,00000

6.00000

3.00000

9.0 0 00 0

7 .0 0 0 0 0

K ritj

0.20 0 00

0 . Ifi667

1.0 00 00

0 .33 33 3

6.00000

3 .0 0 0 0 0

Krii^

0 .5 0 0 0 0

0 .3 3 3 3 3

3.00000

1,00000

6.00000

3 .0 0 0 0 0

K riij

O .illll

O . l l i 11

0 .1 6 6 6 7

0 .1 6 6 6 7

1.000 00

Kmi6

0 .1 4 2 8 6

0 .1 4 2 8 6

0 .3 3 3 3 3

0 .33 33 3

6.00000

1.0 0 0 0 0

I

4 .9 5 3 9 7

2 .0 8 7 3 0

15.50000

6.8 33 33

3 7.0 0 0 0 0

2 1 ,1 6 6 6 7

:

0 ,1 6 6 6 7

. -----------

S o p stv en i vektor o d g o v a ia ju ć ih so p stv en ih v rcdn osti u o d n o su na sv e k rite riju m e K rit t

K ri!2

K n t3

K rit4

K h t5

Krit^

K r itj 0 .2 0 1 8 6 0 .1 5 9 7 0 0 3225S 0.2 92 6S 0.2 4 32 4 0.33071 1 3 5 0 7 7 0 .2 5 8 4 6 Knt-> 0.6 0 5 5 S 0 4 7 9 0 9 0 .3 8 7 1 0 0 .4 3 9 0 2 0 .24 32 4 0.33071 2.48 47 4 0 . 4 : 4 1 2 K ril^ 0 .04 03 7 0.0 79 85 0 .06 45 2 0.0 48 78 0 .1 6 2 1 6 0 .1 4 1 7 3 0 .5 3 7 4 ] O.OK957 Kri14 0 . 10093 .0 .1 5 9 7 0 0 .1 9 3 5 5 0.1 46 34 0 .1 6 2 1 6 0.1 4 17 3 0,90441 0 1 5 0 7 3 K r i tj 0.02243 0 .0 5 3 2 3 0 .0 1 0 7 5 0 .0 2 4 3 9 0.0 2 70 3 0 ,0 0 7 8 7 & 1 4 5 7 0 0 .0 2 4 2 8 K ritć 0.0 2 83 4 0 .0 6 8 4 4 0.02151 0 .0 4 8 7 8 0 16216 0.0 47 24 0,3 76 97 0 .0 6 2 8 3

3 ii

OPERACtONA ISTRAZH'ANJA G riificki p rik a/. pcirttk a k riterijn n iit u m odćlu

--------- • ------

'

■ ------ ^ ■ 1------------------

Krii ] K ril 2 K rii 3 K rit 4 K m 5 K n t 6 Slika 8.10. R edosleđ važnosu krii^rijuma u tjtođelu

Prerađena tabela upo^đivanja te2inn u parovima u odnošu na KRITFiRJJUM 1

.

.

A it j

Alt 2

A h3

A lt 4

A!t j

1.0 00 00

6.00000

2 .0 0 0 0 0

5 .0 0 0 0 0

AEt 2

0,1 6 6 6 7

1.00000

0 , 36 66 7

0 .3 3 3 3 3

0 .5 0 0 0 0

6.00000

1.00000

3 .0 0 0 0 0

A tt^

0.20000

3 ,0 0 0 0 0

0.33 33 3

1 .00000

Z

1.86667

16.00000

3.5 0 0 0 0

9.3 3 3 3 3

A lt 3

i

Sop&tveni v e k to r {)dgovarajući3i so p stv cn ih v red n o sti lc odr.o&u n a feRlTEREBUM I Alt [ A lt ]

0 .5 3 5 7 !

A lt ■> " 0 .3 7 5 0 0

A ll 2

0.. 0 8 929

0 ,0 6 2 5 0

A lt 3

0 ,2 6 7 8 6

k

-

- --- ------- s-4 —

0 .3 7 5 0 0 _________ _______________■ —

A lt 4

0 .1 0 7 1 4

0 .IK 7 5 0

A lt 3

A lt 4

0 .5 7 1 4 3

0.53571

2.017K6

0 .5 0 4 4 6

0 .0 4 7 6 2

0.03571

0 .2 3 5 1 2

0 .0 5 8 7 8

0.2S571

0 .3 2 1 4 3

1.25000

0 .3 1 2 5 0

0 .0 9 5 2 4

0 .1 0 7 1 4

0 .4 9 7 0 2

0 ,1 2 4 2 6

i

G rafkkJ p rik n z p o rctk n aUeriiativ.a u pjlnosu »a k riterjju m I

A lt I

Shkcir rV ,;

AU2

A!l 3

A]t 4

Redosied važnosti alfet naiiva pv pn-om krit&rijumu

1!J

f 'išektiKnjumska Mttučivunje Prerađena tabda uporetlivanjrt tcžma u parovima u oduosu fta KRITERIJUM 2 AJt ]

A lt t

A lt3

AU 4

6,00000

4 ,00 00 0

0.33333

Alt \

i

A lt 2

| f 16667

1.00000

0 .25 00 0

0.11111

Alt 3

0 ,2 5 0 0 0

4 .0 0 0 0 0

l .00000

0.14 28 6

Alt 4

3.00000

9 .0 0 0 0 0

7.00000

1.00000

I

4.4] 667

20.00000

12.25000

1.58730

. o o o o o

Sopstveni v ek to r o d g o v araju ćih so p stv en ih v red n b sti u odn osu na K R IT E R IJ U M 2 Alt j

A lt 2

A!t 3

Alt 4

<

0.22 64 2

0.3 0 00 0

0 .3 2 6 5 3

0. 21 000

1.06295

0.2 65 74

Alt 5

0.03 77 4

0.0 5 00 0

0.0204]

0 .07 00 0

0 ,1 7 S 1 4

0.04 45 4

Alt 3

0.05 66 0

0.20000

0.08163

0 .09 00 0

0.42 82 4

0 .1 0 7 0 6

Alt 4

0.67 92 5

0.4 50 00

0.57] 43

0 ,63 00 0

2.33067

0.5R267

C raficki prikaz porctkn altci nativa u odnosu n,n kriterijutn 2

0. o, o,

^ A lt I

— A it 2

i

pi

Alt 3

A lt 4

Slika, 8.12 RedoÛd vaŠnostt ukernativci po dragont kriterijunm P rcrađeha rabela u po redivan jn te /in a u p a ro v im a u o d n d su na K R IT E R IJU M 3 Alt 2

Alr 3

AU4

1 .00000

9.00 00 0

0.33333

5.0 0 00 0

0. 1 1 1 1 1

1.00000

0.11111

0.20000

<

3 .0 0 0 0 0

9,00 00 0

1.00000

5.0 0 00 0

<

0.20000

5 0 0000

0.20000

1,00000

4 3 1 §11

2 4.0 0 0 0 0

1.64444

11,2 0 0 0 0

>

AU i

i 1_______

V i-r

_______ \

Alt 1

313

O F E M C lO N i ISTRAŽiVANJA

A ll I

A lt 2

AU ^

A lt 4

A lt |

0 .2 3 1 9 6

0 .3 7 5 0 0

0.2D270

0.44A43

1 .2 5 |G 9

0 ,3 1 4 0 2

> “

Sop^tveni v č k to r odgO varajućib so p stv cn ih v red n o sti u od nu su na K R IT E R IJ U M 3

0.t)2577

m & l

0 .0 6 7 5 7

0 .0 1 7 8 6

ti.is iM

0 .0 3 8 2 2

Alt 3

f . 69588

0 .3 7 5 0 0

0.60S I 1

0.44643

2.] 254]

0 .5 3 1 3 5

Al! 4

0 .0 4 6 3 9

0.20 83 3

0 .t2 !6 2

0.0 8 9 2 9

0 .46 56 3

0.11641

Graficki prik a? poi'ctka a ltc rn a tiv a u 6dnosu na k rttertju m

SUka, i'. 13 Rčdošled v&žnOSti &her$&lha po trećetti kriterijnmu P rerađeim tabela upoređEvanjs Lezina u p ^ ro v im a u o d n o su na K R IT K R IJU M 4

Alt

]

AJt 2

A tt3

A lt

4

[

1.00000

0.33333

5.00 0 00

3.0 00 00

AH 2

3,00 00 0

1 .00000

9 .0 0 0 0 0

7.00 00 0

0.1111 J

1.00000

0.33 33 3

A lt

Alt 3

0.20000 r~

■

r

A lt4

0 .3 3 3 3 3

0.14 2 8 6

3 .0 00 00

1.00000

£

4 .5 3 3 3 3

1.58730

18.00000

1 1.33333

Sopstverti v ek to r o d g o v araju ćih so p stv en ih vrednosii u t>dnt>su n a K R T T E R U U M 4 -----------------A lt, A lt t A lt 3 Alt 4 , ...... ^ au i 0 .2 2 0 5 9 0 ,2 10 0 0 0.2 7 77 8 0.26471 0 .9 7 30 7 0 .2 4 3 2 7 | ~ . > __ -j 0 .6 3 0 0 0 0 .5 0 0 0 0 0.61765 2.40941 AH 2 0 6 6 1 7 6 0.60 23 5 Alt 3

0 .0 4 4 1 2

0 .0 7 0 0 0

0 .0 5 5 5 6

0.02941

0 .19 90 8

0 .0 4 9 7 7

Alt 4

0.07353

0 .0 9 0 0 0

0 .1 6 6 6 7

0.08824

0.41843

0.10461

'•'tirh-Herijumska ođfačivanje G rafichi p rik a i p o rc th j fttlem atfva 11 ^dn^MJ riii h riteriju m

4 0,K

0,6 0.4

0,2 0

Slika $. 1-t Redo\ted vainosii ahenmtiva po četvrtont kriterijtimu

P rcrad cn a tabcia u p o red iv a n ja tcžitta u p a ro v im a u odtiosu na K R IT B R IIU M S

AK

A!t 2

1.00000

5.00000

Alt 3 9.00000

All 2 AU 3

0.20000

1.00000

4.00000

0, 1

025000

t

Alr 4

0.33333

4.00000

7.00000

1 . 6 4 4 4 4

10.25000

21.00000

A]l

j

X

]

1 1 I I

o o n o o

Alt 4 3.00000 025000 0.142S6

1,00000 4,39286

Snpslvcni veklorodgovarajućih sopsfveoih vrednosti u odnosij na KRITERIJUM 5 Alt j

Alt 2

ALt 3

Alt 4

Ali |

0.60S11

048780

0.42857

0.68293

2.20741

0.551&5

Alt 2 Ait 3

0,12162 0,06757

0.09756 0.02439

0.I904S

0.05691

046657

0.11664

0 . 0 4 7 6 3

0.03252

0,04302

Alt 4

0.20270

0.39024

0 .3 3 1 3 3

0 2 Ž 7 6 4

0,17210 U 5392

0.28848

Graficki pi ikni/ porcHu jltemaiii a il odnnsu nx ki itcnjum 5 0 n6

Qt4

tm

!

0,2 n

ć- 1

Alt 1 5/f-tđ

.. I ------- J2 _,— Alt 2 Ah 3

/5

Alt 4 /w prfoft: tater^roui

J/?

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

t'j

>

>

P re ra đ en a Eabeia upoređ iv anja težinŠ u p aro v im a u odnosai na K R H T R I J U M 6 Alt 3

Alt 4

A lt ]

1-0000

1.00000

4 .0 0 0 0 0

0 ,33 33 3

A lt 2

1.00000

KOOOOO

4 .0 0 0 0 0

0.33333

A lt 3

0 ,2 50 00

0.2 5 0 0 0

1.00000

0.! 6(567

A lt^

3 .0 00 0 0

3 .0 0 0 0 0

6.00000

1..00000

£

5 .2 50 00

5.2 5 0 0 0

15.00U00

! .83333

1

Sopstvefli vektor o d g o v araju ćih sopstvcE^h v redn ostm od n o su r.a K R IT E R IJU M 6 Alt j

A lt ?

A!t 3

AU 4

Alt i

0 .1 9 0 4 8

0 .1 9 6 4 8

0 .26 66 7

O ilS tB ?

0.82944

0,20 73 6

A lt2

0 .19 04 8

0,19 04 8

0.2 6 66 7

0.1S1S2

0,S2944

0 .2 0 7 3 6

.

.

A lt 3

0 .04 76 2

0.04 76 2

0.0 6 66 7

0.09091

0.252S1

0.06 32 0

A lt|;

0.57143

0 .5 7 :4 3

0.4 0 00 0

0,54545

2 .0 8 8 3 1

0.5 22 08

Oruficlii priku^ paretkA liUernativa lj nciintsu na k r ittr ij uni ,6/ ,4

A!t 1

Ait. 2

Alt 3

AH4

Slika 8 .16. Rtzdosicđ važnosti ahzm ativa pa sestitm h'iterijuniu

P n k a z konačnih rezu h a ta dohijenih m e tp ^ p m A H P K riteriju m 1 = 0 .2 5 8 4 6 1 5 9 A lte m a tiv a 1 = 0 .1 3 0 3 8 4 6 4 A lte m a tiv a 2 - 0 . 0 1 5 1 9 2 3 1 A lte m a tiv a 3 “ 0.0S076925 A lte m a tiv a 4 = 0 .0 3 2 1 1 5 3 9 K iite riju m 2 = A tte m a u v a A tte m a tiv a A [le m at i va A ltcrn ativa

0 .4 1 4 i 22(51 1 -0 .1 1 0 0 4 7 4 7 2 - 0.01 S44336 3 = 0.04433 560 4 = 0 .2 4 1 2 9 6 1 7

316

f 'išAritenjumako

pitfučhanje

K rjteriju m 3 “ (1 .0 R ^ 6 S 4 4 A lte n ja li^ 1 -0 .0 2 ^ ^ 2 6 5 1 m e r M l V Ž 2 i 0 .0 0 3 4 2 2 9 6 A U em ativ a 3 - 0 . 0 4 7 5 9 2 4 8 A Jteniativa 4 = 0 h0.1042649

KnLerijum 4 ^ 0 .1 5 0 7 3 4 8 7

Alteraativa \ = 0.03666K97 Altcmativa 2 ™0.09079559 Altemativa 3 : ■0.00750226 Altemativa 4 *10.01576^05 K n te n ju m 5 - 0 .0 2 4 2 K 4 1 0 A lfcfnaiiv a 1 - 0 . 0 H 4 0 I 2 5 Altemativfi 2 - 0 . 0 0 2 S 3 2 5 5 A lte m a tiv a 3 " 0 . 0 0 1 0 4 4 S I A ltc m a tiv a 4 - 0 .0 0 7 0 0 5 4 9

K ritc n ju m 6 “ A lte m a tiv a A lte m a tiv a A lte m a tiv a A H cm ativa U ku pn a sinteza p ro b lc m a glasi: A ltecnativa A lte m a tiv ^ A ltematEva A Jte m aiiv a

0 .0 6 2 8 2 8 3 5 1 = 0 .0 1 3 0 2 8 0 4 2 - 0 ,0 1 3 0 2 8 0 4 3 = 0 .0 0 3 9 7 0 9 7 4 = 0 .0 3 2 S 0 I2 9

I = 0.33 2 -0 .1 4 3 = O .l1? 4 = 0.34

Pfltpuni poredak altern ativ a dijenih metoôm A H F

Slika. 8 .1 7, Poipuni porcdak važnosfi ahćrfativa u modelu Sa

slike

8,17. virii se

pored ak 34,

da

j e n a jp rib v a tljiv ija a ltc m a tiv a a*= a4 ,

33 t

317

dok j e

potp u ni

OPERACtOSA iSTRAZiVASJA P rim ć r 3, LZHOR E L E K T R O M G T O R A

Privatni prcduzemik, vlasnik produzeĆa za proizvodtiju ftlekiričiiiii itređaja, želi đa poćue proizvodnjom pumpi 73 vudu (PV)t Osnovna komponcnui PV jt‘ clekiroinotor. Privatni pnrduzetntk je u situaciji da bira izincdu 4 modcla dektromotora, To su a ] : S cv er a>: Iskr-a ^ 3 : K o n fa r a4 : B S S ( Fôsh):

Izbor će se izvršin na osjiovu 6 atributa za kojc je mogućt prikupiti komparativne p odalke: A i - brzina [o /m in ]T [sc 10 0 0 ]

Aj - «na [nj] A y težitiB Ikg] * snaâ [KW] A 5 - elektri£na z a š u ta [kval. oc.]

A^ - hermetičk^ zastita [kval. oc.] Mathca odlufivanja glasi :

al n a3 *4

Al

^2

A3

A4

AS

2.0

.50

10

6

7

A (. 3 .

1.4 1.8

200 10CI 70

5

10

9

9

25

3

30

R

5 7

7 5

j

J

P rerađ en a t a b d a up oređivpnja težin a kritcriju m a u p aro v im a

Krii 1 Krii 2 Krit 3 Krit 4 Krit 5 KritĆ 1

K ritt 1.00000 7,00000 2.00000 5.00000 0.33333 0.16667 15.50000

Kril 2 0A42$f> 1.00000 020000 0.25000 0.14286 0.11111 1,84683

Krit 3 0.50000 5.00000 LOOOOO 3.00000 0.33333 0.16667 L0.00000

m

Krii 4 0.20000 4 00000 0 33333 1.00000 0 16667 0 12500 5.82500

Krit 5 3,00000 7.00000 3.00000 6 00000 1,00000 0.33333 20.33333

Krtt 6 ć.OOOOO 9.00000 6.00000 8.00000 3.00000 1 OOOOO 33.00000

_

________________ i'itekrirenjtjmsko odiučivanic

_______________

S opstveni vektor o đ g o v a ra ju č ih so p stv en ih ^ rcdnosii u o d n o su na sve kriiehjum t;

Krit Krit Krit Kiit Krit Kr:l

Krit : O.OĆ45 0.4516 0 .12% 0.3226 0.02 J 5 OOlOfi

1 2 3 4 5 6

Krit 3 fj.0500 n.lrtflO 0.3000 0.0333 0.016"

Krit 2 0,0774 0.5415 0.1083 0.1354 0.0774 0 0*02

Kru A (J,0343 0.6«Ć7 0.0572 0 .P 1 7 0.02RĆ 0 02J5

Krii S

Krit 6

0.1475 0,3443 0.1475 0.2951 0.0492 0.01M

o.iaia

0,5556

0.2727 0.IS1S 0.2424 0.0909 0.0303

0.72.VJ 1,4671 0.3009 04557

0,0926 0,4661 0.1207 0.244S 0.0502

0.0260

(.rnflcki prikaz porčtka krUcri}unia u Tnuđclu

Krili

K r* 2

Kri t3 K n M

Kril 5 Knift

Slika fi t$, Ri’dosled važnasti kriiertjuma u modelti P re m đ en a tabela u p o red iv a n ja težtn a u parovirna u o d n o su na K R lT H R IJU M I

Alt 1

Alt 2

Alt 3

Alt 4

Alt 1 Alt 2

1.00000 0 . 1111\ 033333 0 16667 L b i;n

3.00000 0.16667 J 00000

6.00000

AU3 Alt 4

9,00000 1.00000 6.00000 3.00000

025000 4.41667

1.00000

I

19 00000

0,33333 4.00000

1 1.33333

Sopstveni vektor odgovarajnćih sopstvenih v rednosi] u odnosu na K R 3T H R JJU M Alt ! Ak 1 AU3 Alt 4

Alt 1

Alt 2

Alt 3

Al! 4

0,62069 0.06897 0.20690 0.J0345

0.4736R 0,05263 0.31579 0 15789

0.67925 0.03774 0.22642 0.05660

0.52941 0 .0 2 9 4 1 0 35294 O.OHS24

2.30303 G. 38874 L10204 0.40&1S

0,57576 0.04719 0,27551 0.10155

G raflck i p r ik a i p flrttk a aErcnmtiva u odno&u na

kriterijum t

A ttl

A]t 2

A lt?

A ll 4

Slika $ 19. Rrdojicd vttinosri abernotim po p n ,om kriTerijumu

319

OPERACtONA fSTRAŽim tfjA P rerad en a labcla uporođivaiija tečina

A lt 3 A lt 4

Alt 1 1.00000 3.00 00 0 0.20000 0.14 2 86

E

4 .3 4 2 8 6

Alt 1 A lt 2

il

p čjp v in ia u o d n o su na K fe lT E R JJU M 2

m2

AU3 5.00000

0§ 3 3 fe 1.00000 0.1 4 2 8 6 0,11111 1.58730

7.00000 1.00000 0 ,3 3 3 3 3 13.33333

AU 4 7 .00 00 0 9 .00 00 0 3.00000 1 .00000 20.00000

Sopstvcni vcktor pdgovarajHĆih so p stv cn ih v red n o sti u o d ao su na K R IT E R IJU M 2

Ali All LAlt AU

Alt 1 0 ,2 3 0 2 6 0,69079 0.04605 0 .03 2 8 9

1 2 3 4

AEt 2 0 ,2 ! 000 0 ,6 3 0 0 0 0 .0 9 0 0 0 0 .0 7 0 0 0

■All'l 0 .3 7 50 0 0.52 50 0 0 .0 7 50 0 0 .0 2 50 0

Alt 4 0 .3 5 0 0 0 0 .4 5 0 0 0 0 .1 5 0 0 0 0.05000

1.16526 2 .29 5 7 9 0.36105 0 .1 7 7 8 9

0 .2 9 1 3 2 0 .57 39 5 0 .0 9 0 2 6 0 .04 44 7

Gratii'ki iirikiiz p o retk a iilternarj^ a u odntm t na kriterijum 2 0? 0, 0,

A!t 1

AH2

A lt 3

Alt 4

Slika 8.20. Retktslzđ iražnosti %/temativa po đrtigofii firisenjumu P rerađena tabela u p o ređ iv a n ja te/;[na u p a ro v im a u o dn o su na K R lT E R I J U M 3

Alt 1 A it 2 A lt 3 Ait 4 I

A lt 1 l .00000 O .J3333 6.00000 K.OOOOO 15.33333

Als 2 3.0 0 00 0 i .00000 7.0 0 00 0 9.0 00 00 20.00000

Alt 3 0 .1 6 6 6 7 0 .1 4 2 8 6 1 .00000 3 .0 0 0 0 0 4.30')52

A!t 4 0 .1 2 5 0 0 0.11111 0.33333 1.00000 1 .5 6 M 4

S op stv sn i v eklor odgo varajiićih sop srv en ih v redn ostj u o dn o su na K R IT I\R IJ U M 3

Alt A lt A lt Alt

1 2 3 4

Alt. 1 0 .0 6 5 2 2 0 .0 2 1 7 4 0 .3 9 1 3 0 0 .5 2 1 7 4

A lt 2 0 .1 5 0 0 0 0 .0 5 0 0 0 0 .3 5 0 0 0 0 .4 5 0 0 0

A ll 3 0.03 867 0.03315 0.2 3 20 4 0 . 6 % 13

320

Alt 4 0.07965 0.07080 0 .2 1 2 3 9 0 .6 3 7 ^ 7

0 .33 3 5 4 0 .I7 5 6 S 1.18574 2.3 05 04

0 .0 8 3 3 8 0 .0 4 3 9 2 0.29 6 4 3 0 .5 7 6 2 6

Višekriterijumsko odlučivanje G raflcki p rik a^ poretkii a lte m a tiv a u odnosa na krLterijurn 3

AIl 1 SUka 8. h?/

A l t

2

A lt 4

AJt 3

itfjanois/J itiiermtfiva po tre£ew kriterijumn

A lt A lt Alt A lt

1 2 3 4

I

>

A lt 3 5.00000 9.00 00 0 L.00000 6.00000

■

Alt 1 1 .00000 6.00000 0.20000 3.00000 10 .20 00 0

1

P rerađena tabcla tipoređtvanja Leiina u p a r o v im a u orinosu na K R I T R R I J U M 4

0.1ft6fi7 1.00000 0.11111 0 .3 3 3 3 3 1.61111

21.0 0 0 0 0

A lt4 0 ,3 3 33 3 3.00000 0 .1 6 6 6 7 1.00000 4 .5 0 0 0 0

SaiJStven] vektor o d g o v arajn ćih so p stv en ih vrednosLi u od n o su na K R IT E R lJ IJ M 4

Alt Alt A lt Alt

i 2 3 4

Alt 1 0.09S04 0,58 82 4 0,01961 0.29 41 2

A \t 2 0.1 0 34 5 0 .6 2 0 6 9 0.06R97 0 .2 0 6 9 0

Alt 3 0 .2 3 S 1 0 0.4 2 8 5 7 0.0 4 7 6 2 0,28571

AlE 4 0.07 40 7 0.66 66 7 0.03 70 4 0 ,2 2 2 2 2

Graficki p rik a z p oretka altern ativ a u

Ail 2

A lt 3

0.5 1 36 6 2.30 41 6 0.17323 1.00895

0.12841 0 .5 7 6 0 4 0.04331 0.2 5 22 4

tia kriterijum 4

A)t 4

Sli&a 3.22. Redosled ira žnosti abteifcativttpćčetvrtom krtterijunut

321

OPERACIONA ISTRAŽiVAN.JA Preradcr.a tš&bela UpOfediVanja icčina u jpardvim a u o J n o s u na K R IT ER I.K JM 5 A it i j.OOODO 3 ,0 0 0 0 0 0 .33 3 3 3 ■l.00000 5.33333

Ah 1 A lt 2 A lt 3 A lt4 I

A lt:2 0.33 3 33 l.OOOOU 0 .1 6 66 7

Alt 3 3 .00 0 0 0 6.00000 1,00000

0 .3 3 33 3 1.S3333

3.0 0 0 0 0 110 0 0 0 0

AH 4 1.00000 3 .0 0 0 0 0 0 ,3 3 3 3 3 1,0 0 0 0 0 5 .3 3 3 3 3

Sopstvcni vektor odgovarajućih sopstvenili v^dnosti u odnoSu m KB.ITERIJUM 5 A lt Alt A lt A lt

Alt 1 0.1S750 0.56 25 0 0.06 25 0 0.18 75 0

1 2 3 4

A lt 2 0 .1 8 1 S 2 0 .5 4 5 4 5 0.09091 6 .1 8 18 1

AU 3 0.23 07 7 0.46 15 4 0.07 69 2 0.23 07 7

AU4 0.1S750 0.5 6 25 0 0.0 6 25 0 0.1 «7 5 0

0.7S 759 2.13199 0.2 9 2 8 3 0.7 8 7 5 9

0 .1 9 6 9 0 0 .5 3 3 0 0 0.07321 0 .1 9 6 9 0

Grafli-ki prlkftz port'tkii alternativa u odnosu ny krtfeiijiiTi! 5

AU 1

Alt 2

Ait 3

Aii 4

Sliktl H. 23. /it'ilostt'd vtiirwsii ahvrnaiivit po peićtn kfitgrljtttttti

P re ra đ en a tab-cla u porcdivaiija tcžina u p aro v itn a u o dn o su ha K.RITBRIJUM 6

AEt 1 All 2 A lt 3 AU4 I

A lt I 1.00000 9 .00 00 0 6.00000 3 .00 00 0 19.00000

A lt 2 0.11111 1.00000 0 .3 3 33 3 0 .1 * 6 6 7 i .61111

A it 3 0 \ 6661 3 .0 0 0 0 0 i .00000 0 .3 3 3 3 3 4 .5 0 0 0 0

A lt 4 0.33333 (5.00000 3,00000 1.00000 10.33333

Sapstveni vektor odgovaTtijučih SOpStvenih v red n o sti u odnOSu na K R I T E R llU M 6

A ltl AU2 AU3 Alt 4

AU I 0.0 5 26 3 0 .4 7 3 6 8 0 .3 1 5 7 9 0 .1 5 7 8 9

Alt 2 0 .0 6 8 9 7 0 .6 2 0 6 9 0 .2 0 6 9 0 0.1 0 3 4 5

A lt 3 0 .0 3 7 0 4 0 .6 6 6 6 7 0 .2 2 2 2 2 0 .0 7 4 0 7

322

A lt 4 0.0 3 22 6 0 .58 06 5 0 .29 03 2 0.0 9 67 7

0 .1 9 0 8 9 2 .34 1 6 9 1.03523 0 .4 3 2 1 9

0 .04 77 2 0 .58 54 2 0.25881 0 .10 80 5

Višeki iterijumicko adhtči vanje

Graficki prihuz porctka alternđti\iL u

Slika 8.24.

na kriterijum
Redostetf itižnonti aiierntdivtipo liestom kršterijurtm

P rikaz k o n ać n ih rcztilmta d o b ije n ih tn ctod om A H P

Knterijum 1 - 0.092593 81 Altem.ativa 1-0:6*531160 AItemjtiVa 2 —0.00436915 Altemativa 3 =: 0.02551057 Altemativa 4 = 0.00940249 K ritertju m 2 - 0 . 4 6 6 1 2 7 9 0 A lte m a tiv a ! ^ 0 , 1 3 5 79042 A lte m a tiv a 2 = 0 ,2 6 7 5 3 2 8 9 A lic n m liv a 3 - 0 . 0 4 2 0 7 4 1 8 A lte rn a tiv a 4 - 0 . 0 2 0 7 3 0 4 3 K rite riju m 3 = A lte rn a tiv a A lte m a tiv a A U cm ativ a A U cm ativ a

0 .1 2 0 6 5 1 6 5 1 ^ 0 ,3 0 5 0 0 6 0 4 6 2 ~ 0 .0 0 5 2 9 9 1 6 3 = 0.03576531 4 = 0 .0 6 9 5 2 6 7 2

K riteriju m 4 - 0 . 2 4 4 5 2 1 3 3 A1 ic m ati v a 1 = 0 .0 3 1 4 0 0 0 ] A lte m a tiv a 2 - 0 . i40R 5427 A lte m a ttv a 3 - 0 , 0 1 0 5 8 9 5 7 A lte m a tiv a 4 - 0 . 0 6 1 6 7 7 4 9 K riterijum 5 A lte m a i iv a A lte m a tiv a A lte rn a liv a A lternativa

0 .0 5 0 148S7 1 — 0 .0 0 9 S7 4 16 2 - 0 .0 2 6 7 2 9 2 6 3 “ 0 .0 0 3 6 7 130 4 = 0 .0 0 9 8 7 4 16

K riteriju m 6 = A lte m a t iv a A liern ativa A H em ativa A U ernativa

0 .0 2 5 9 5 6 3 9 1 -0 .0 0 1 2 3 8 7 2 2 —0 ,0 1 5 1 9 5 4 3 3 = 00067]77] 4 - 0 ,0 0 2 8 0 4 5 3

OPERACIONA 1$TR-4Ž1\ A \ JA Potpuni pnrtfdak »ttCfhiitjva dobijcnih metnđom AHP

Stika

25 Potpuni pnredak alrenuiina u modelu

Sa slike S.3.17. vidi se da je najpribvatljmja altcrnativa, a — p o red ak a lte m a tiv a a ^ T

dok je potpimi

$4 i &3 .

LTFERATURA [1| Cupićh M t Suknouć M.f *Višekriieripansko odhtčivanje: m etođe i p rim eri * UnivcrziierT BK, Beograd. 1995. [2 ] SuknovićT M., ČupićT M., "ViSekrirzrijumsko odtučivanje: form atni p ristu p '\ FON, Beogfad, 2003, [3] Cupić, M ., Tummala V.M h R.HSulutpvić M„ "Odlučivanje:fbrm atn ip ristu p f\ FON. Beof>rad> 2001. [4] V'lačić, Lj,, ^Viškriterijumski pristup projektovanju sistem u " Svjetlost, Sarajevo, 1989. [5j Hw«ng, C U Yoon K., "MttUiple attribuie đecision making : M ethods m d Applications - A Stuie-of-rhe-ArtSurveyu, Springer- \ erlag, New Yortt, 1981, [6] Martić, Lj,. F'Višekrittrijurtisko program iranje^ ]:iroETnator, Zagreb, Nittična knjiga, Beograd, 1978, [7] N ik olić, I., ' *Višekrfterijumski aspekti prpcem odlučivanja", D o k to rsk a d iserlaeija, F O N , B eogrnd, 1993.

[R] Peirić. J,J .( Ôperaciona istra5ivanja% Naućna knjiga, Beograd. 1987.

324

C IP -

K a»aJIO PJf3aunja y nyCjiwKr-T-;nj»

H a p o j i H d ftn fijitfO T G K a C p C M j s ,

H eo rp aa

5 19 .0

OPERACIONA istraživanja / Danijela T a d i ć ,,. [ot*al] ; redaktor Vuksan Bulat. Kruševac ; Fakultet za industrijski menadžmeat, IC IM plus - izdavački cent.ar sa industrijski menadžment plusj 2005 {Trsteriik : M-grafK - 3 2 4 str. : graf. prikazi, tabele ; 2 4 c ^ i . - (Kdicija Industrijski mejiadžnent; t* 3 ,kn j , 1 ) Tiraž 1.000* ISB.N 8 6 - 8 ^ 9 0 9 - 1 3 - 5 1,

TajT nhj

a) CnepauntjHa C O B IS S . S R - ID

11940942 C

ISliN S 6 -S4009

13-5

Operaciona istrazivanja

Recommend Documents