Numericka Matematika Ivan Ivansic

NUMĆK  dr sc MTMTK šć

N 9-9-6

vn vnšć Redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike i računarstva Zavo za primijenjenu matematiku

NUMERČK MATEMATK

Zagreb,



© Po  c. Ivan vanć 998

Urenik   sc Neven Eleov

Slog, crteži i prijeom Naaa  . n

Desig ovit Paee Zage



L Zeb Reublke Ausje  

e 0/3777-37 0 /37-777-44 0 /37-777-52 aks 0/37736-41 h://wwweemenh/ e-m eemen@eeme

Tsak Nov oma Zgeb

 b

    v 

Nijed n do e kjge smj7  kj č. pog du�ta



umžt

DGV Nuerka anala e vrlo opsežna grana aeake koa je u puno ra voju ako su prv nuerk posupc sar koko  cela aeaka. Ne samo a se rješavaju nov prbe već   a klasne problee, koe su nekaa rješava npr.Newon, Gauss Euer  rug naaze po sanov (a prmenu važn) uvjea nov raunsk ekasn posupc (agorm). bog e opsež nos ova knga prvensveno pra progra preea "Numerka aeaka ko  preaje suena Fakulea elekroenk  raunarsva (FER) u ag rebu  e nos nazv og prea Te prvensveno služ suena FER-a al ože posuž  ruga u jelu novog prgraa ko se prekapa  gore spoenu. eposavja se a je suen prošao ko uobaen aj aeake analze  lnearne algebre  aj se apara kors mal posjenk na lcu esa Ko prouavanja nuerk eoa ne ovono ponava sao re cep porebno ga e raumje bare u svoe eeenao jelu. Soga su goovo sv supc veen a prmenu je važno ponava  ocjenu pogreške uporebljenog posup ka pa su se veene. nekolko suaeva su naveen goov reula I se pova na nek ealjno obrađen oka jer je proaran popuno anaogan Spo meno a je obraeno  nekolko la posupaka van gornjeg programa. T posupc aju naajnu prijenu u nove vrjee Sv preenran posupc su raunsk uporebljv  šroko se korse Da pojasno msao o uporebljvos posupka lusrrajo u na prju v Hor nerove šee pooću koje se rauna vrnos polnoa



U

  alx + a2 x-2 + . + an_IX + a" =  iO Preposavmo a reba rauna P(xo    vrjenos polnoa a X Xo Ćanem apsa polnoa nu se posupak a raunao reo sve poence X)

"

=

aoX

=

 ona o sve brojmo &Da ne ujmo svaku pomnožo sa  oko. ogaza a je kav posupak nesprean napšo oma polnom

x  =

an-

 Z;



u ovo oblku (aps voo posupno); Px x aox, + ajx-2 +  .. a1X a-d

(  ( n  -    a" x (x( a(X   ax 3    an-   a-  a" x (x(x( aox" + axn-4    a-)  a-   a-) + a" x (x ( (x (xao + ad + a  + .   a-)  a-d + a =

=

=

Pogleajo u eu je prenos ovakvog apsa agrae na kažu u koje reosljeu se provoe opacje Polao od nuaje agrae u kojoj a  = Xo reba rauna vrnos lnoa prvog supnja aox a  Taj reua glas



 + a

=

 

Izračunavši Yl preazimo na drugu zagradu (gldano naravno iz unutra rema van) i vidimo da za obiveni Y I eba oet izrčunati vrjednost poinoma rvog stunja. koji rezutat glasi

 

Y1XO a2  Y2·  sjedeći kora je isti s time da uogu od YI reuzima  i računamo YXO a3  Y3, i ko redom

 Y n-IXO  a

YiIXO a = Y

 Y

P(x o}

da u zadnjem koraku izračunamo vrijnost dnog inom  tk o. Vidimo a je o bio tni Yo i da u svakom koraku imamo isti račun s ijenjenim odacima. naime mijenjaju se kcijenti oinoma rvog nja ok je argument Xo stno isti Nadje. ono što smo u jnom koraku irai kitimo u sjedćem pa kažemo d se rai o iteracijskom stupku Tv  stupak ako rogrmira na računskom stroju Smenimo da e i irai što obično susrećemo u ovo obliku

ž



 ao  Yo

al Yo Xo YI

a YIX Y2

U

a3 Y  Y3

a YIX Y = P(x o}

Jo

Tabica se izgrdi ovko rvi rd oišemo koecijente lin P ztim rema gornjim formulama formiramo rugi i tri red To znači a rvo u treći red uišemo a o = Yo koji zatim omnožimo sa Xo (označen na desno od tabice) i otišemo isd al  Zbrojimo li a i tisni Yo Xo (to ističe znak .. na ijevo d tabice) obivamo YI Zatim I pomnožio  Xo i produkt tišemo isod a  to zbrojeno dje Y i tko rdom dok ne dođemo do krja dobivši Y  P(x) Teme obrađene u ovoj knjizi dju u stanovitom smislu temeljn znanja Zbog opsežnosti numeričke anaize imamo sijizirane knjige. koje obrđuju ojdin dručj numeričke anaize, kkvih je edesetak goin gotovo d nije bio lustrirajmo to n susavu ineaih jdnadžbi ogvju "Sustavi inearnih jedndžbi obrađene su direktne i ieracijse metoe koje su u rinciu rimjenjive na oi sučaj Meutim dnas se u istraživanjima rimjenjuju su stavi s veikim brojem nepoznnica Pi tome često maica takvog sustva ima mnogo eemenata koji su nua Uoš se kaže da je marica rijetka) (engl sarse) D bi se ekasno riješio takav sustav oebn je metod koja tu javu uzima u obzir. a je time ekasnja od neke oće metode Stoga će oni koji se budu bavii istraživanjima u kojima se ojvjuju posebni robemi morati posegnuti za scijaiziranom iteraturom a stečeno znanje će im omi da to razumiju  u ovoj knjizi ima ogrešaka Ako mi na njih ukažete. onda ostoji mo gućnost da tih ne bude u eventuano novjenom izdanju





U

greb

 ožujka 1998.

Autor

SADRZ AJ ˇ

1. Interpolacija i aproksimacija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Interpolacijski polinom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Interpolacijski splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Trigonometrijska interpolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Cebisevljevi polinomi, minimaks polinom i teleskopiranje redova potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Polinom najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ

1 1 18 23

ˇ

31 36

2. Numericko integriranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Newton–Cotesove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ponavljanje raspolavljanja i Rombergov algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Gaussove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Integriranje brzo oscilirajucíh funkcija. Filonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 41

3. Sustavi linearnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Direktne metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Iteracijske metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 66 85

4. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrice . . . . . . . . . . . . 4.1. Metoda neodredenih koeficijenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Danilevskijeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Krilovljeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Nalazenje karakteristicnog polinoma Leverrierovom metodom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Misesova metoda potencija — spektralni radijus matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110 115 117 124

5. Nelinearne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Jednadzbe s jednom nepoznanicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Algebarske jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Sustavi nelinearnih jednadzbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 134 148 164

6. Aproksimacija rjesenja obicnih diferencijalnih jednadzbi . . . . . . 6.1. Metoda sukcesivne aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Runge–Kuttini postupci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180 181 185 189

ˇ

ˇ

ˇ

50 54 58

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

127 129

Kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

1.1. INTERPOLACIJSKI

1

POLINOM

Interpolacija i aproksimacija funkcija

1.1. Interpolacijski polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Interpolacijski splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Trigonometrijska interpolacija . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4. Cebisevljevi polinomi, minimaks polinom i teleskopiranje redova potencija . . . . . . . . . 31 1.5. Polinom najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . 36

Jedan od osnovnih problema numerickih metoda je kako aproksimirati danu funkciju f pomocú funkcije g koja je prikladnija za izracunavanje, te ocijeniti pogresku koja je ucinjena pri takvoj aproksimaciji. Uobicajeni oblik aproksimacije g je linearna kombinacija g x a0 g0 x a1 g1 x an gn x n . Najcescí izbor funkcija gk su nekih “jednostavnih” funkcija gi , i 0 1 2 k potencije x , trigonometrijske funkcijue sin kx , cos kx , te eksponencijalne funkcije ebk x . Nadalje, same gk mogu biti linearne kombinacije kao sto su npr. ortogonalni polinomi itd. U novije vrijeme sve vise se koriste racionalne funkcije, tj. funkcije oblika a0 a1 x an x n Pn x g x b0 b1 x bm x m Pm x

Ovdje cémo se najvise ograniciti na aproksimaciju polinomima.

1.1. Interpolacijski polinom Da bismo motivirali problem zamislimo da eksperimentalnim mjerenjem istrazuf x . Time dobivamo seriju podataka jemo nepoznatu funkciju x x 0 f x 0 x 1 f x 1 x n f x n 1 koji u ravnini predstavljaju tocke grafa aproksimativne vrijednosti .

 f

ne zaboravimo da su u 1 svi podaci

2

1. INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA FUNKCIJA

L n (x)

x 0

x 1

x n

x 2

Sl. 1.1.

Postavlja se pitanje izracunavanja aproksimativnih vrijednosti funkcije f izvan x i . Oblik funkcije nam je potpuno tocaka x i , tj. za vrijednosti argumenta x , x x n . Stoga nepoznepoznat znamo samo njezinu vrijednosti u tockama x 0 x 1 natu funkciju f zamijenjujemo s drugom, nama poznatom funkcijom, koja ima iste vrijednosti u zadanim tockama. Svakako je najjednostavnija takva funkcija polinom. To nas vodi na problem iznalazenja tzv. interpolacijskog polinoma P x

stupnja vrijedi

a0

an x n

a1 x

2

n cije se vrijednosti u tockama x i podudaraju s vrijednostima f x i , tj. P x i

f x i

i

0 1

3

n

Tocke x i zovu se cvorovi bazne tocke ili interpolacijske tocke , dok se P zove interpolacijski polinom. Lako se uvjerimo da je interpolacijski polinom jedinstven, tj. da kroz n 1 cvon takav da vrijedi P x i f x i , riste 1 prolazi samo jedan polinom P stupnja i n . Naime, uvrstimo li redom tocke x i dobivamo sljedecí sustav linearnih 0 an . jednadzbi po nepoznatim koeficijentima a0 a1 a0

a1 x 0

a2 x 20

an x n0

f x 0

a0

a1 x 1

a2 x 21

an x n1

f x 1

.. . a0

a1 x n

a2 x 2n

an x nn

4

f x n

Sustav 4 ima jedinstveno rjesenje zbog toga sto je determinanta sustava 1 x 0 x 20 1 x 1 x 21 1

x n x 2n

.. .

x n0 x n1 x nn

x i

x j

0

5

i j

Determinanta 5 poznata je pod imenom Vandermondeova determinanta, cija je vri jednost jednaka umnosku svih razlika x i x j , i j . Rjesenjem sustava 4 dobivamo an , odnosno trazeni interpolacijski polinom. koeficijente a0 a1


3

POLINOM

Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma Rjesavanje sustava jednadzbi 4 iz uvoda nije jednostavno, medutim, pokazuje se dase P moze pronací u zapisu koji je razlicit od zapisa 2 iz uvoda, pa ovdje izvodimo zapis od P u formi u kojoj se naziva Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma i x n , vidimo oznacava sa Ln . Ogranicimo li se na restrikciju od f na skup x 0 x 1 da tu restrikciju mozemo prikazati kao linearnu kombinaciju ovih n 1 funkcija  i x j

1 za j 0 za j

 ij

i i

0 1

i j

n

jer ocito vrijedi n

f x i  i x j

f x j

6

i 0

Pronademo li interpolacijski polinom pi za svaku od pomocńih funkcija  i , dobit cémo trazeni interpolacijski polinom Ln kao n

Ln x

7

f x i pi x i 0

Interpolacijski polinom pi lako nalazimo, zato sto su sva cvorista, osim x i , njegove nultocke. Imamo dakle da je pi x

C i x

x 0 x

x 1

x

x i

x

1

x i

gdje je C i konstanta, koju lako odredujemo uvrstavanjem x imamo 1

C i x i

x 0 x i

x 1

x i

x i

x i

1

x i

x

1

x n

x i . Kako je pi x i x i

1

1,

x n

odnosno C i

x i

x 0 x i

x 1

x i

1 x i

x i

1

x i

1

x i

x n

x

x n

8

Time je x

pi x

x i

x 0 x x 0 x i

x 1

x

x i

1

x

x 1

x i

x i

1

x i

x i x i

1

x i

1

x n

sto prema 7 daje n

Ln x

f x i i 0 n

x x i

f x i i 0

i j 0 j n

x 0 x x 0 x i x

x j

x i

x j

x 1

x

x i

1

x

x 1

x i

x i

1

x i

x i x i

x

1 1

x i

x n x n

9

Zapis 9 zove se Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma. Vidimo da Ln nismo dobili u obliku razvijenom po potencijama od x vec´ kao linearnu kombinaciju  elimo li izracunati koeficijent polinoma pi , sto je posljedica postupka nalazenja Ln . Z

4

1. INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA FUNKCIJA

ak uz potenciju x k , moramo izvrsiti pripadna mnozenja i zbrajanja. Za n 1 imamo jednadzbu pravca kroz tocke x 0 f x 0 , x 1 f x 1 , napisanu u ovom obliku: L1 x

dok za n obliku L2 x

x

x 1

x 0

x 1

f x 0

x

x 0

x 1

x 0

10

f x 1

2 dobivamo jednadzbu parabole kroz zadane tri tocke, napisanu u ovom x

x 1 x

x 0

x 1 x 0

x 2

f x 0

x 2

x

x 0 x

x 2

x 1

x 0 x 1

f x 1

x 2

x

x 0 x

x 2

x 0 x 2

x 1 x 1

f x 2

11 sin  x pri sljede-

Primjer 1.1. Odredite interpolacijski polinom za funkciju y

cém izboru cvorova: x 0

1 , 6

0 , x 1

1 . 2

x 2

sin  6

sin

 2

1 pa

Sada npr. za x 14 dobivamo sin  4 0 6875 . To je aproksimacija od sin 0 7021 s greskom 2 10 2 sto moze zadovoljavati neke racune.

 4

2 2

Lako sada izracunamo f x 0 0 , f x 1 uvrstavanjem u 11 i sredivanjem dobivamo 7 x 2

L2 x

1 , 2

f x 2

3 x 2

Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma za ekvidistantne cvorove Izvedimo i Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma za ekvidistantne cvox i h, i n rove, tj. x i 1 0 1 2 1 . Velicinu h zovemo korak inx x 0 th , x x 0 th ; terpolacije. Oznacimo li sa t , imamo: x x 0 h x x 1 x x 0 x 1 x 0 th h ; x i x 0 ih , x i x 1 i 1 h , itd. pa mozemo pisati x x i

x 0 x x 0 x i

x 1

x

x i

1

x

x 1

x i

x i

1

x i

th th

h

th

t t

1 t

t t

1 t

1

n 1

x i

t

n

1 n i i! n i !

t

n

1 n i n! t t 1

i i

1

n i

t

x

1

x n

x i

1

1 h th h h

i

1 h

ih i

x i

x n

1 h n i h

i

th

nh

n! i! n

i !

t

n

12

n!

i

Time Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma 9 poprima oblik Ln x

Ln x 0

th

1

n t

t

1

t n!

n

n

1 i 0

i

n f x i i t i

13


5

POLINOM

Iz 12 vidimo da koeficijenti uz f x i ne ovise niti od f niti od koraka h . Stoga se koeficijenti 12 mogu tabelirati. Takve tablice postoje i zovu se tablice Lagrangeovih koeficijenata. Sada L2 x izgleda ovako: L2 x

L2 x 0

1 t 2

t t

th

2

f x 0

2

t

f x 0

h

f x 0

1

t

t

2h 2

sto je naravno polinom drugog stupnja u varijabli t .

Izracunavanje interpolacijskog polinoma, Aitkenova interpolacijska shema Kao sto znamo, polinomi su funkcije koje su definirane na svim realnim brojevima, pa prema tome mozemo izracunati Ln x za bilo koji realan broj x R . Ipak, u tome razlikujemo dva slucaja obzirom na polaznu funkciju f . Ako izracunamo Ln x za neki x izmedu x 0 i x n , tj. x 0 x x n , onda govorimo da smo izvrsili interpolaciju, dok za ostale x , tj. x izvan segmenta x 0 x n , kazemo da smo izvrsili ekstrapolaciju. U slucaju da nam ne treba opcí izraz za Ln nego samo njegove vrijednosti za neke x spretno je sluziti se tzv. Aitkenovom interpolacijskom semom Aitkenov algoritam koja se jos zove i iterirana linearna interpolacija. Radi kracég zapisiy i . Napisimo ponovo jednadzbu linearnog interpolacijskog vanja oznacimo f x i polinoma koji prolazi tockama x 0 y 0 i x 1 y 1 . Oznacimo taj polinom sa L01 . Prema 10 imamo slijedecí zapis L01 x

x

x 1

x 0

x 1

1 x 1 x 1

x 0

y 1 x 0

x 1

y 0 x 1

x 0

1

x

y 0

x

y 1 x 0

x

14

y 0 x 0 x x 0 y 1 x 1 x

Analogno mozemo odrediti L12 , L23 , , odnosno L jk , j k . Promotrimo interpolacijski polinom drugog stupnja kroz tocke x 0 y 0 , x 1 y 1 , x 2 y 2 koji oznacavamo sa L012 . Prema 10 imamo L012 x

x

x 1 x

x 0

x 1 x 0

x 2 x 2

y 0

x

x 0 x

x 2

x 1

x 0 x 1

x 2

y 1

x

x 0 x

x 2

x 0 x 2

Uocimo da rastavljanjem na parcijalne razlomke vrijedi 1 x

1

a x

b

a

1 b x

1 a

b

1 a x

b

sto primijenjeno na srednji pribrojnik od L012 daje 1 x 1

x 0 x 1

1 x 2

x 0

1 x 2 x 1

1 x 0

x 2

1 x 0 x 1

x 2

x 1 x 1

y 2

Numericka Matematika Ivan Ivansic

Recommend Documents