Capítulo 1 Conceitos Fundamentais
Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)
0.1 0. 1
Expe Ex peri riên ência cias s co com m pa part rtíc ícula ulas s
Metralhadora, barreira com duas fendas, “1” e “2” e um anteparo com um detector (lata com areia). Dispara-se durante 1 minuto e contam-se as balas que atingema lata. Esvasia-se a lata. Move-se a lata para outraposição e repete-se o processo. A metralhadora dispara em todas as direções.
Inicialmente fechamos a fenda “2” e medimos a distribuição de balas que chegam ao anteparo atravésda fenda “1”. A distribuição que se obtém é parecida com a mostrada na figura ao lado.
Agora fechamos a fenda “1” e medimosa distribuição distribuição de balas que chegam ao anteparo pela fenda “2”. A forma, mostrada na curva da direita, é a mesmaque a anterior, porém deslocada para baixo.
Finalmente, abrimos as duas fendas e medimos a distribuição de balas que chegam ao anteparo por ambas as fendas. O resultado é a curva mostradana figura da direita (linha sólida). Também mostramos os resultados obtidos anteriormente (linhas tracejadas).
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0.2 0. 2
Expe Ex peri riênc ência ias s co com m ond ondas as
Fonte, barreira com 2 fendas e detector (cortiça). Conta-se os sobe e desce da cortiça e determina-sea energia que chega naquela posição do anteparo.Move-se a cortiça (detector) para outras posições e determina-se a distribuição de energia no anteparo.
Inicialmente, fecha-se a fenda “2” e mede-se a distribuição de energia que chega ao anteparo através da fenda “1”. A forma é mostrada na curva da direita. Note que é muito parecida com a distribuição de balas que passa por uma única fenda.
Agora fecha-se a fenda “1” e mede-se a distribuição de energia da onda que chega através da fenda “2”, como mostrada na figura da direita.
Finalmente, abrem-se as duas fendas e mede-se a distribuição. As linhas tracejadas mostram a distribuição com as fendas individuais abertas, enquanto que a sólidaé o resultado para ambas as fendas abertas.Este resultado é chamado de padrão de padrão deinterferência.
Observações
1)
Na expe experi riên ênci cia a com duas duas fendas fendas,, uma partí partícu cula la não apresenta padrão de interferência: a
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probab probabili ilidad dade e de atingi atingirr uma determ determina inada da posiçã posição o no antepa anteparo ro é a soma das probabilidad probabilidades es individuais. 2) Levando em conta a conservação da energia, o padrão de interferência para ondas pode parecer dissonante. Porém, não existe nenhum problema: a energia total no padrão de interferência é igual à energia que chega pela fenda “1” mais a chega pela fenda “2”. O padrão de interferência apenas rearranja esta energia, conservando sua quantidade total.
0.3 0. 3
Expe Ex peri riên ência cias s co com m el elétr étron ons s
Como “sabemos” os elétrons são partículas que têm massa definida, carga elétrica etc. Algumas das propriedades do elétron são mostrados na tabela abaixo. Elétrons Propriedade Valor Massa 9.11 10 31 kg 1.60 10 19 C Carga 5.28 10 35 J-s Spin
Interferência de ondas de elétrons detector
padrão d e interferência
Determinando por onde os elétrons passam detector
sem padrão de interferência
Resumo dessas experiências com elétrons
A probabilidade de um evento numa experiência ideal, é dada pelo quadrado do valor absoluto de um número complexo que se chama de amplitude de probabilidade P | | 2
Quando um evento pode acontecer de várias maneiras, a amplitude de probailidade é a soma da probabi probabilid lidade ade de cada cada maneir maneira a consid considera erada da indepe independe ndente ntemen mente. te. Exist Existe e pa padr drão ão de interferência
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1 2 P | 1 2 | 2 .
Numa Numa expe experi riên ênci cia a onde onde se dete determ rmin ina a como como as cois coisas as efet efetiv ivam amen ente te acon aconte tece cem, m, a probabilidade do evento é a soma das probabilidades de cada alternativa. Não alternativa. Não existe padrão de interferência. interferência. P P 1 P 2 .
1.1 1. 1
A Ex Expe peri riên ênci cia a de St Ster ernn-Ge Gerla rlach ch
Forno
Pólo magético Feixe de átomos de prata
Campo magnético inomogêneo
Placa fotográfica
Sem campo
Com campo Resultado Clássico Clássico
As duas orientações do spin
Resultado Experimental
A experiência de Stern-Gerlach
Interação do elétron com o campo magnético U B B B
com g S S S e onde S é o spin do elétron e g S m| e|c . A componente z da da força é dada por F z z
B z S z U B B B z B z g S S S z z z z z
Para o sistema da figura anterior:
z 0 S z z 0 força para baixo
z 0 S z z 0 força para cima
feixe S z + S
N
feixe S z -
O que se observa?
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Esperado (Física Clássica)
Observado
Experiências de Stern-Gerlach sequenciais Sz + Forno
SG z
Sz + SG z
Sz -
Sz + Forno
SG z
S x + SG x
S x -
Sz -
Sx +
Sz + Forno
SG z Sz -
S z + SG z
SG x Sx -
S z -
Experiência de Stern-Gerlach seqüencial
Primeira experiência SG z SG z ?
o feixe passa inicialmente por um dispositivo dispositivo SGz (campo inomogêneo na direção z .
bloquea-se a passagem dos átomos com componentes componentes S z z
o restante dos átomos com S z z fica sujeito a um segundo dispositivo SGz.
verifica-se que apenas uma componenente do feixe (com S z z ) emerge do segundo aparelho. ( Aqui Aqui não há nenhuma surpresa). surpresa).
Segunda experiência SG z SG x ?
o feixe passa inicialmente por um dispositivo dispositivo SGz (campo inomogêneo na direção z .
bloquea-se a passagem dos átomos com S z z
o restante dos átomos com S z z fica sujeito a um segundo dispositivo SGx, de onde emergem em dois feixes, de igual intensidade, um com S x x e outro, S x x . Será que isto significa que 50% dos átomos no feixe S z z que sai do primeiro dispositivo são átomos caracterizados por S S z S z z e S x x , enquanto os 50% restantes são caracterizados por S z e S z z ? Veremos a seguir que esta idéia se depara com algumas dificuldades e portanto não pode ser verdadeira!
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Terceira experiência SG z SG x SG z ?
o feixe passa inicialmente por um dispositivo dispositivo SGz (campo inomogêneo na direção z .
bloquea-se a passagem dos átomos com S z z
o restante dos átomos com S z z fica sujeito a um segundo dispositivo SGx, de onde emergem em dois feixes, de igual intensidade, um com S x x e outro, S x x .
bloquea-se a passagem dos átomos com S x x .
o feixe restante passa pelo terceiro dispositivo dispositivo do tipo SGz
verifica-se experimentalmente que deste terceiro dispositivo emergem dois feixes de átomos (e não um) . um) com componentes S z z e S z z Mas a componente S z z já não havia sido completamente bloqueado na saída do primeiro dispositiv dispositivo? o? Como é possível possível reaparecer reaparecer a a componente S z z que pensávamos ter eliminado anteriormente?
Como veremos mais adiante, a resposta a esta questão está no fato de que, em mecânica quântica, não podemos determinar ambos, S z z e S x x , simultaneamente (princípio da incerteza de Heisenberg). Mais precisamente, podemos dizer que a seleção do feixe S x x pelo segundo dispositivo (SGx ) destrói completamente qualquer informação prévia sobre S z z . Experiência Intuitiva Exemplo Clássico Correspondente Stern-Gerlach Balançar uma caixa com 50 moedas Separar um feixe de elétron na direção z Retirar todas as moedas na posição coroa. Filtrar os spins para baixo Girar a caixa em torno dos lados. Separar o feixo de elétrons na direção x inicial. Voltar a caixa à posição inicial. Abrir a caixa e contar o número de moedas Detectar na direção z . na posição cara. Quantas moedas na posção cara? 25 Quantos spins para cima? 25 coroa Moedas
coroa (50%) cara cara (50%)
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Experiência Não Intuitiva Exemplo Clássico Correspondente Stern-Gerlach Balançar uma caixa com 50 moedas Separar um feixe de elétron na direção z Retirar todas as moedas na posição coroa. Filtrar os elétrons com spin para baixo Girar a caixa em torno de seu lado. Separar o feixo de elétrons na direção x Retirar todas as moedas na posição coroa. Filtrar os elétrons com spin para baixo Voltar a caixa à posição inicial. Separar o feixo de elétrons na direção z Abrir a caixa e contar o número de moedas Detectar na direção z . na posição cara. Quantas moedas na posção cara? 13 Quantos spins para cima? Não podemos prever! coroa Moedas
coroa coroa (75%)
cara cara
cara (25%)
1.2 1.2 Kets Ke ts,, Br Bras as e Op Oper erad ador ores es Formulação básica dos espaços vetoriais usados em MQ
Espaços vetoriais complexos: Ket e Bra Notação de Dirac
Espaço KET Depende da natureza do sistema em análise. análise. Pode ser:
Dimensionalidade.
Finita
Infinita (espaço de Hilbert)
Estado físico.
Em MQ, representado por um vetor um vetor de estado no estado no espaço vetorial complexo. Chamado de ket de ket na na notação de Dirac e denotado por | | .
Vetor de estado. estado.
Contém todas as informações (possíveis) sobre o estado físico do sistema.
Significado do ket.
Propridades dos ket’s
A soma de dois ket’s resulta um novo ket | | | |
(1)
O produto de um ket por um número complexo c resulta um novo ket c| | c
(2)
. não importa a ordem de c em relação a | |
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Se c 0 o ket resultante é chamado de ket de ket nulo. nulo.
e c c|| com c 0 representam o mesmo estado físico. Postulado Os ket’s | |
Somente Somente a direção direção do ket no espaço espaço vetori vetorial al tem importância importância na representaçào de um estado físico. Significado do postulado
São representado representadoss por operadores no operadores no espaço vetorial. (Exemplos de observáveis: momento, componentes de spin etc.)
Observáveis.
Ação dos operadores.
De uma maneira geral, um operador atua sobre um ket pelo lado esquerdo,
isto é A | A| . O resultado desta operação nem sempre é uma constante vezes o ket | |
Quando Quando a ação ação de de um opera operador dor A sobre um conjunto particular de kets resultar no produto de uma constante pelos correspondentes kets, estes são chamados de autokets de autokets do do operador A.. Então, sejam os auto-kets do operador A A A Autokets.
|a , |a , |a ,
(3)
A|a a |a , A|a a |a , A|
(4)
logo, verifica-se a propriedade onde a , a , são números. Autova Autovalore lores s do operad operador or A.
O cojun cojunto to dos dos núme números ros a , a , a , ou a é chamado de
A . autovalores do autovalores do operador A.
Autoes Autoestado tados s do operad operador or A.
O estado estado físico físico correspon corresponden dente te a um autoket autoket é chamad chamado o de
autoestado.. autoestado Exemplo
Sistema de spin ½ spin ½ |S S z | S z z |S z z ; z ; , 2
|S S z S z z |S z z ; | z ; 2
(6)
classificado do por seu autovalor, autovalor, o autoket autoket Observação De acordo a notação |a , onde um autoket é classifica S z de S z z na na Eq. (6) deveria ser escrito como | /2 . Mas aqui a notação | |S z ; é mais conveniente, uma vez que consideramos também os autokets de S x x : S x x |S x x ; | |S S x x ; 2
(7)
Observação Dimensionalidade do espaço vetorial número de alternativas num experimento do
tipo Stern-Gerlach. Mais formalmente espaço vetorial N -dimensional -dimensional descrito pelos N autokets autokets do A . Qualquer ket arbitrário | | pode ser escrito como observável A. |
c a
a |a
(8)
Espaço BRA e Produtos Internos
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Espaço vetorial BRA é o espaço dual espaço dual do do espaço vetorial KET. Postulado A cada ket cada ket | bra denotado por |. | existe um vetor bra denotado Isto significa que existe uma correspondência um-a-um correspondência um-a-um entre entre o espaço ket espaço ket e e o espaço bra espaço bra:: CD
| |
(9)
CD
|a , |a , a |, a |, CD
| | | | |
(CD correspondência dual).
c|| c |. Forma geral Dual de c CD c | c | c | c |
Produto interno entre bra e ket
(10)
Forma geral | | |
(11)
Este produto é, em geral, um número um número complexo. complexo.
Propriedades Fundamentais (postulados) Propriedade (1):
| |
(12)
são conjugados complexos um do outro. Analogia com o produto escalar Embora Embora o produto produto interno interno seja seja análogo análogo ao familiar familiar produto produto escala escalar r a b , devemos fazer distinção entre | e | : isto não é necessário no espaço vetorial real porque a b b a . Consequência de (12):
| número real
Prova:
Fazendo-se | | em (12), encontra-se | |
que é um número real. Propriedade (2):
| 0
(13)
for um ket nulo. onde a igualdade a igualdade só só vale se | |
Isto é conhecido como postulado da métrica métrica posit positiva iva defini definida da:: é essencial para a interpretação probabilística da MQ.
e | | são ditos ortogonais, se Dois kets | |
Vetores ortogonais
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| 0
(14)
| 0
(15)
De (12), implica que
Kets normalizados
normalizada
pode sempre ser colocado na forma Exceto para o ket nulo, nulo, um ket | |
|
1 |
|
(16)
que tem a propriedade | 1
(17)
A relação relação | é conhecida como norma de | , em analogia com o módulo de um vetor a a |a | definida no espaço euclidiano.
Norma Norma de |
Observação Uma vez que | | e c c|| representam o mesmo estado físico, podemos também exigir que
os kets que usamos para estados físicos sejam normalizados na forma da Eq. ( 17).
Operadores Sejam os operadores A,, B A B,, C , classe restritiva (observáveis) X , Y , Z , classe geral
Operação sobre Kets Os operadores sempre atuam nos kets pelo lado esquerdo
X X | (resulta outro ket) | X |
Operadores iguais: X Y se se
X | Y | X | Y |
(20)
X é é um operador nulo se X | 0 X |
(21)
para um ket arbitrário.
Adição de operadores: comutativa e associativa Y Y X X Y Z X Y Z X
(21a)
(21b)
Operadores lineares: X c | c | c X X || c X |
(22)
Operação sobre Bras Os operadores sempre atuam sobre os bras pelo lado direito.
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(resulta outro bra) | X | X (resulta Correspondência dual CD
(24)
X | | X X |
onde X é chamado de adjunto de adjunto hermitiano ou de X . hermitiano ou adjunto adjunto de
Operador hermitiano: é dito ser hermitiano, o operador que satisfaz
(25)
X X
Multiplicação de Operadores
não comutativa XY YX
(26)
associativa X YZ XY Z XYZ X Y Y || XY | X Y Y || ,
(27)
| X Y | XY | X Y
(28)
correspondência dual CD
X Y Y || | XY
mas, CD
X Y Y || X Y | |Y X |Y X
de onde se conclui que (29)
XY Y X Resumo.
Até agora vimos produtos do tipo X || , | X e X Y | , X
Quais outros tipos de produtos são permitidos são permitidos? ? Produto externo.
e |, nesta ordem, ou seja, O produto de | |
| | | |
(31)
é conhecido como produto como produto externo de um operador , ao e |. O produto | | | deve ser considerado um operador externo de | | invés de um número um número como como é o caso do produto escalar | . Os produtos da forma
Produtos ilegais.
| X , X |, | | e | |
não têm nenhum sentido ( e são vetores kets ou bras que pertencem ao mesmo espaço bra ou ket). Eles simplesmente não significam nada (operadores, kets e bras).
Axioma Associativo da Multiplicação A multiplicação entre operadores é associativa esta propriedade deve valer para todos os produtos “legais” entre operadores, kets e bras (axioma (axioma associativo). associativo).
Ilustração com o produto externo
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| | | |
(32)
(33)
Devido ao axioma associativo, podemos reescrever: | |
onde | é um número um número.. Como são iguais, podemos omitir os pontos: | |
possuindo dois significados equivalentes | | | operador | . | | atuando sobre o ket | | | número | multiplicando | | . | |
Por outro lado, se (33) fosse escrita como | | |
não poderíamos omitir o ponto e o parêntese, pois a expressão resultante seria “ilegal”. Ou seja, | | “ilegal”
na direção de | | . É fácil mostrar que, se Observação Note que o operador | | | gira | |
X | |,
(34)
então
X | | | |.
(35)
Outra ilustração importante do axioma Seja X || | X | | X bra
bra
ket
(36)
ket
Como os dois lados são iguais, podemos representar numa forma mais compacta X || | X
(37)
Observação Como | X é bra que é dual a X X || , então X || | X X || | X
Por outro lado, da Eq. (12) | | , então X || X | | | X | X
X | | X
Ou seja X || | X X | | X
(38)
Para um operador hermitiano, X X , tem-se X || | X X || | X
1.3 1. 3
(39)
Ket de Ba Base se e Rep Repre rese sent ntaç açõe ões s Mat Matri rici ciai ais s
Autokets e Observáveis A.. Vamos considerar os autovalores e autokets de um operador hermitiano A
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Teorema Os autovalores Os autovalores de de um operador hermitiano hermitiano A são reais são reais;; os autokets os autokets de de A correspondentes a diferentes autovalores diferentes autovalores são ortogonais são ortogonais..
Prova:
Seja
A|a a |a A|
(3.1)
Como A é hermitiano
a | A a | A a a |
(3.2)
Então a | A |a a a |a a | A |a a a |a
e, subtraindo ambos os membros, encontramos
a a a |a 0
(3.3)
Admitindo que os vetores não sejam nulos, nulos, temos dois casos: Nest Neste e caso caso,, dedu deduzi zimo moss a cond condiç ição ão da real realid idad ade e dos dos
(1) a a
autovalores, ou seja, (3.4)
a a
(a primeira metade do teorema). (2) a a
A diferença, a a a a (autovalores reais), não pode
se anular, por hipótese. Logo, o produto interno a |a deve se anular, ou seja a |a 0, a a
o que prova a propriedade da ortogonalidade (segunda metade do teorema). Observáveis autovalores reais operadores hermitianos. Normalização
Na forma ortonormal a |a a a .
Completeza
(3.6)
Por construção construção do nosso espaço ket, os autokets de A formam um conjunto completo.
Autokets como Kets de Base
Os autokets de A formam um conjunto ortonormal completo. A.. Qualquer ket no espaço ket pode ser expandido em termos dos autokets de A
Em termos de base, os autokets de A são comparáveis ao conjunto de vetores unitários
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mutuamente ortogonais do espaço euclidiano. no espaço ket descrito pelos autokets de A : Expansão de um vetor arbitrário | | |
c
a |a
(3.7)
a
Multiplicando por a | e usando a relação de ortonormalidade, encontram-se os coeficientes da expansão: a |
c a
a a
|a
c a
a a a
c a
Ou seja,
c a a |
(3.8)
E a expansão fica |
|a a |
a
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Analogia com a expansão de um vetor V V (real) no espaço euclidiano: V
ê ê V i
i
i
Relação de Completeza um vetor arbitrário, obtém-se Do axioma associativo da multiplicação e sendo | |
|a a | 1
a
que é conhecida como relação de completeza. completeza. O “1” do lado direito deve ser entendido como o operador identidade. Uso do operador identidade. Seja | . Podemos escrever
|a a |
| |1| |
|
a
|a a |
a
a | a |
a
|a | |
2
a
Para kets normalizados, | 1. Logo,
|a | |
a
2
1
e, portanto,
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|c a
a |
2
1,
(3.13)
relação que devem satisfazer os coeficientes da expansão (3.7). Seja o operador |a | a a | que aparece em (3.11). Aplicando sobre o ket | |
Operador projeção.
|a a | c a |a |a a | | |
(3.14)
, o operador |a O que isto significa? Significa que operando sobre o ket | | a parcela de de | a a | seleciona a parcela é paralela a a |a . Em outras palavras, o operador |a a | operado sobre | projeta projeta este este ket ao | que é paralela longo do ket de base |a . Por isto | |aa a | é conhecido como operador como operador projeção. projeção. Denotando-o por a , ou seja,
a |a a |
(3.15)
(3.16)
a relação de completeza (3.11) pode ser escrita como
a
a
1
Representação Matricial Dados os kets de base, num espaço de dimensionalidade N , como representar um operador X por por uma matriz quadrada? Seja a identidade X
|a a
a |
X
|a a |
a
,
1
1
que pode ser reescrita como X
|a a
Quan Quanto toss
núme número ross
a
a | X |a a |.
(3.17)
números
da
X form forma a a | existe tem? m? |a exis a a 1 , a 2 , a 3 , , a N existem N 2 números dessa forma.
Saben abendo do-s -se e
que que
o
conj conjun unto to
Podemos colocá-los na forma matricial, fazendo fazendo as seguintes identificações identificações
Forma matricial.
a | X |a linha
(3.18)
coluna
Ou seja,
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X
a 1 X a 1
a 1 X a 2
a 2 X a 1
a 2 X a 2
(3.19)
onde o símbolo símbolo significa significa “é representado por”. Usando a Eq (38) da Seç. 2, podemos escrever
X ||a a | X |a . a | X
(3.20)
(3.21)
B,, ou seja, B B , esta equação torna-se, Para um operador Hermitiano B
B|a a | B |a . a | B|
Verificação da regra usual da multiplicação matricial
Podemos mostrar que o arranjo a B| | B|a numa matriz quadrada satisfaz a regra usual de multiplicação.
Relação de operadores Z XY
Assim Z |a a X | X Y |a a | Z
a
X |a a | Y |a | X
(3.23)
a
que é o produto de duas matrizes quadradas!
Relação de kets
X || | X
(3.24)
Assim | X | a | a X |
X |a a | X |
a |
(3.25)
a
que pode ser visto como a multiplicação de uma matriz quadrada por uma matriz-coluna. A e | | . Ou seja, matriz-coluna representa os coeficientes de expansão de | | a 1 |
a 1
a 2
,
a 3
a 2
|
(3.26)
a 3
Relação de bras | | X
Da mesma forma |a | Xa
|a a | Xa
a
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(3.28)
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Logo, um bra é representado por uma matriz-linha a 1 , a 2 , a 3 ,
|
a 1 | , a 2 | , a 3 | ,
(3.29)
Produto interno | |
|a a |
a
a 1
a 1 , a 2 a 3
a 2 a 3
| Produto externo | | | |
|a a
a | |a a |
a
Logo, a 1 |a 1 a 1 |a 2 a 2 |a 1 a 2 |a 2
| |
ou, usando a cojugação complexa a 1 a 1 a 1 a 2 | |
(3.31)
a 2 a 1 a 2 a 2
Observável A na base dos autokets A
|a a | A |a a | a
a
A,, ou seja, A A||a a |a , a matriz a | A |a é diagonal: Como | |aa é um autoket de A a | A |a a a |a a a a Logo, A |a a | A |a a | a
a
|a
a |a
a |
a
a
a
(3.33)
a a a a |
a
a
a
(3.34)
Sistemas de Spin ½
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S z Base usada: | |S z ; |
Operador identidade 1
|a a | | | | |
a ,
S z Operador S z
De acordo com (3.34), a representação de um operador na base de seus autokets é A
a
a
a
Logo, | | | | S z z 2 Escrito desta forma, a relação de autovalores S z z | | , ou 2 | | | | | S z z | 2 2
| |
seja,
| |
1
0
| . 2
Da mesma forma, | | | | | S z z | 2 2
| |
| |
0
1
| . 2
1.4
Medidas Medi das,, Obs Observ erváve áveis is e Rel Relaçõ ações es de Ince Incerte rteza za
Medidas “Uma medida sempre faz com que o sistema salte para um autoestado da variável dinâmica que está sendo avaliada.” (Dirac) O que significam essas palavras de Dirac? Vamos analisar o processo de medida de um observável A . Nesta etapa, vamos admitir que o sistema esteja num estado | , que pode A.. Ou seja, ser representado por uma combinação linear dos autokets de A
Antes da medida.
|
c a
a |
|a a |
a
(4.1)
Quando a medida é realizada, o sistema é “jogado” em um dos autoestados, A.. Ou seja, digamos |a | a , do observável A
Após a medida.
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medida de A
|a
|
Exemplo
(4.2)
Um átomo átomo de de prata prata com uma uma orienta orientação ção de spin spin arbit arbitrár rária ia mudar mudará á para um dos dos
. Então, a medida S z S z estados | |S |S z ; ou | z ; , quando sujeito a um aparelho de Stern-Gerlach do tipo SG z
geralmente muda o estado. A única exceção é quando o sistema já está em um dos autoestados do observável que está sendo medido. Neste caso, medida de A
|a
|a
(4.3)
Quando o sistema passa do estado inicial | para um autoestado do observável A, não sabemos de antemão em qual dos vários autoestados |a ’s desse observável o sistema será encontrado como resultado de uma medida. Resultado da experiência.
Embora não se saiba prever exatamente em qual dos autoestados o sistema será encontrado, encontrado, podemos estimar estimar a probabilida probabilidade de do sistema saltar para um dado autoestado autoestado |a de A. Admite-se que tal probabilidade seja dada por Probabilidade.
P a |a | |
2
(4.4)
que é um dos postulados fundamentais da MQ.
Como definir probabilidade para um único sistema? Ensemble puro.
Embora Embora se fale de um único sistema, sistema, devemo devemoss consider considerar ar um grande grande número número de medidas realizadas sobre uma coleção (ensemble (ensemble)) de sistemas físicos preparados identicamente, . Tal ensemble todos com o mesmo estado inicial | | Tal ensemble é é conhecido como ensemble como ensemble puro. puro. | a(1)
| a(2) |α m e d di d da d a e A e
| a(N)
Exemplo
Um exemplo de ensemble puro seriam os átomos de prata que atravessam o primeiro
aparelho SG z com a componente S z z bloqueada, uma vez que qualquer átomo membro do ensemble é S z caracterizado por S z .
Faz sentido a interpretação probabilística?
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Casos extremos f |a |i |a e | f
Considere o sistema no estado inicial |a . Qual a probabilidade de encontrar o sistema no estado final | |aa após a medida? De acordo com (4.4) 2
P a a |a |a | 1
como seria esperado. Repetindo-se sucessivamente a medida do mesmo observável o resultado será sempre o mesmo. f |a Sendo a a autoestados do observável A, devido à ortogonalidade entre e | f eles, a probabilidade vale |i |a
2
P a a |a |a | 0
Do ponto de vista da teoria das medidas, kets ortogonais correspondem a alternativas S z mutuamente excludentes. Por exemplo, se um sistema de spin ½ está no estado | |S z ; com
certeza ele não pode estar no estado | |S S z z ; . Casos Gerais Probabilidade não-negativa.
A Eq. (4.4) (4.4) satisf satisfaz az essa essa exigên exigência cia..
Quando existem várias possibilidades possibilidades alternativas, a soma total das probabilidades deve ser igual a 1. A Eq (4.4) satisfaz também essa exigência.
Soma 1.
Valor Esperado é definido como O valor esperado de A com relação ao estado | |
A | A | Valor medido médio
(4.5)
O valor esperado pode ser reescrito como A
|a a
a | A | a a |
a
a |a
a
a | a a |
a
a |a a | a a | a |
a
a
a
a
|a | |
2
valor probabilidade medido a de obter a a
É muito importante não confundir autovalores com valores esperados. Por exemplo, o valor esperado de S z z para sistemas com spin ½ pode ter qualquer valor entre /2 e /2, 0,, 273; por outro lado, os autovalores de S z digamos, 0 só podem ter dois valores: valores: /2 e /2. z só
Medida Seletiva ou Filtragem No experimento de Stern-Gerlach, permitimos que apenas os átomos com uma das componentes do
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spin passasse através do aparelho, bloqueando-se completamente a passagem de átomos com a outra componente. De uma maneira maneira geral, geral, imaginamo imaginamoss um proces processo so de medida medida com um dispositivo que seleciona que seleciona apenas apenas um dos autokets de A, digamos |a , e rejeitando todos os outros (medida seletiva); seletiva); v. figura abaixo. Process Processo o de medida medida..
| a' |α
Medida de A
〉 com a'' ≠ | a'' 〉 ≠ a'
Matema Matematic ticame amente nte,, quantifi quantificam camos os a medida medida seletiva seletiva,, aplicando-se o operador projeção a sobre o ket | |
Mate Matemá máti tica ca da medi medida da sele seletiv tiva. a.
a | |a a | .
(4.7)
Sistemas de Spin ½ Revisitados Na experiência de Stern-Gerlach, vimos que quando o feixe de átomos com S x x está sujeito a um aparelho do tipo SG z , o feixe de desdobra em duas componentes com intensidades iguais. Em termos dos postulados da MQ, isto significa que a probabilidade para o estado S x x ser encontrado em S z qualquer um dos estados | |S | , após a passagem pelo aparelho, vale z ; , denotado simplesmente por | ½. Em outras palavras, | |S x x ; | 2 1 . 2
Logo, | |S x x ; |
1 2
| |S x x ; |
1 2
Podemos Podemos construir construir o ket |S x x ; com segue. De acordo com a expressão acima, |S x x ; tem componentes em ambos os autokets da base de S z z . Assim, podemos escrever Construção dos kets |S x x ; .
|S x x ;
1 | 2
1 e i 1 | 2
(4.9)
com 1 real. Por convenção, o coeficiente de | pode ser escolhido como sendo real e positivo. S x x ; , devemos observar que ambos, | |S S x x ; e | |S S x x ; , são ortogonais, uma vez que Para construir o ket | |S as alternativas S x x e S x x são mutuamente excludentes. Esta ortogonalidade exige que são
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S x x ; |S x x ; 0. S x x ; como Logo, escrevendo | |S 1 | 2
|S x x ;
1 e i 1 | 2
onde usamos a convenção acima, encontramos S x x ; |S x x ;
|
1 | 2
1 e i 1 2
1 | 2
1 e i 1 | 2
1 | 1 e i 1 | 1 e i 1 | 1 e i 1 2 | 2 2 2 2
1 1 e i 1 1 2 2
0
de onde se obtém
e i 1 1
1 1 2 2 1
Logo 1 | 2
|S x x ;
1 e i 1 e i | 2
o que nos fornece |S x x ;
1 | 2
1 e i 1 | 2
Construção dos Operadores S x x e e S y y Usando a equação A
a
a
a
podemos agora construir o operador S S x x . Seguindo a prescrição S x x |S | S x x ; S x x ; | |S | S x x ; S x x ; | 2 2
2
1 | 2
2
1 e i 1 | 2
1 | 2
|
1 e i 1 | 2
|
1 | 2 1 2
1 e i 1 2
| 1 e i 1 2
1 | | e i 1 | | e i 1 | | e i 1 e i 1 | | 2 2
| | e i 1 | | e i 1 | | e i 1 e i 1 | | 1 2e i 1 | | 2 2ee i 1 | | 2 2
Ou seja,
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S x x e i 1 | | e i 1 | | 2
que é um operador hermitiano, como deveria ser. De fato, calculando o adjunto hermitiano desse operador, ou seja, S x x , encontramos S x x e i 1 | | e i 1 | | 2
e i 1 | | e i 1 | | 2 S x x
que é a condição para que o operador seja hermitiano. S y y : Procedendo de uma forma similar, encontramos o operador S |S y y ;
1 | 2
1 e i 2 | 2
S y y e i 2 | | e i 2 | | 2
Existe alguma maneira de calcular 1 e 2 ? Vamos calcular a probabilidade |S y y ; |S x x ; | ?
ou seja, a probabilidade de um sistema no estado inicial |S x x ; ou |S x x ; ser encontrado, após a medida medida,, no estado estado |S y y ; ou |S y y ; . Usando Usando a repres represent entaçã ação o desses desses estado estadoss na base base |S z z ; , encontra-se |S y y ; |S x x ; |
|
1 | 2
1 e i 2 2
1 | 2
1 e i 1 | 2
1 | 1 e i 1 | | 1 e i 2 1 e i 1 2 | 2 2 2 2 1 1 e i 1 2 2 2 1 1 e i 1 2 . 2
Da mesma forma,
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|S y y ; |S x x ; |
1 | 2
|
1 e i 2 2
1 | 2
1 | 1 e i 1 | | 1 e i 2 2 2 2 1 1 i 1 2 e 2 2 1 1 e i 1 2 2 1 1 e i 1 2 . 2
1 e i 1 | 2
1 e i 1 2 | 2
Logo, |S y y ; |S x x ; | |S y y ; |S x x ; | 1 1 e i 1 2 . 2
Mas o que significa esta probabilidade? Para responder a esta questão, vamos considerar um experimento sequencial de Stern-Gerlach do tipo SG x SG ŷ com átomos de spin ½ movendo-se na direção z . Devido à invariância rotacional do sistema físico, este experimento pode ser considerado como um do tipo SG z SG x que foi discutido anteriormente. Os resultados são exatamente os mesmos obtidos na Eq. (1.4.8), isto é, |S y y ; |S x x ; | |S y y ; |S x x ; |
1 . 2
Em vista disto, 1 1 e i 1 2 2
1 2
ou 1 e i 1 2
2.
Usando a fórmula de Euler, e i cos i sen , podemos reescrever aquela equação como, 1 e i 1 2 1
cos 1 2 i sen 1 2
1 cos 1 2
1 cos 1 2
i sen 1 2 2
sen 2 1 2
1 2 cos 1 2 cos 2 1 2 sen 2 1 2
2 2 cos 1 2
2 1 cos 1 2 .
Ou seja, 1 e i 1 2
2 1 cos 1 2 2
de onde se obtém
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1 cos 1 2 1
que, evidentemente, só é satisfeita se cos 1 2 0. Isto significa que 2 1 . 2
(4.16)
Este resultado significa que os elementos de matrix de S x x e S y y não podem ser ambos reais. De fato, a presença dos fatores de fase e i 1 e e i 2 nas definições dos estados | |S S x x ; e | |S S y y ; , respectivamente, exige que pelo menos um deles seja complexo. De fato, escolhendo 1 0, 2 /2 e,
portanto, e i 2 i (imaginário puro). .. É conveniente escolhermos os elementos de matriz de S x x como sendo reais. Neste caso, 1 0 ou (No caso de 1 , a orientação positiva do eixo x terá direção oposta a de 1 0). A segunda fase, 2 , para 1 0 será então: 2 2
ou . 2
O fato de ainda existe esta ambiguidade na escolha de 2 não significa nenhuma surpresa, uma vez que ainda não especificamos se o sistema de coordenadas que estamos usando é dextrógiro ou não. Ou seja, dados os eixo x e z , ainda existe uma ambiguidade na escolha do se sent ntid ido o po posi sititivo vo do ei eixo xo y. Verem Veremos os ma mais is ta tard rde e qu que e a es esco colh lha a do si sist stem ema a de coordenadas dextrógiro levará à escolha correta de 2 /2.
Resumo Com as escolhas 1 0 e 2 , encontra-se 2
|S x x ; |S y y ;
1 | 2 1 | 2
1 | 2 i | 2
e, S x x | | | | 2
(4.18-a)
S y y 2i
(4.18-b)
| | | |
Operadores S Os operadores não hermitianos S definidos em (1.3.38), isto é, S | |
podem agora ser escritos com a ajuda das Eqs. (4.18-a,b). De fato,
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2S x x | | | | 2iS y y | | | |
de onde se obtém 2iS y y 2S x x 2 | | 2S x x
2iS y y 2 | |
Logo, S
iS | | S x x y y
S x x iS y y
iS y y
S x x iS y y
S | |
S x x
Ou seja, S S x x iS y y .
(4.19)
Relações de Comutação e Anticomutação Sejam os operadores A e B Definem-se relação de comutação entre B.. Definem-se relação A,, B , como comutação entre esses operadores, A A,, B AB BA BA,, A A,, B , como e relação de anticomutação, A A,, B AB BA BA.. A
Relações de comutação dos operadores S x x ,
S y y e S z z
Estes três operadores são dados por S x x | | | | 2 S y y 2i
| | | |
S z z 2
| | | |
Relação de comutação entre S x x e e S y y Seja
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| | | | 2
S x x , S x x
2
| | | |
| | | | | | | | 2
2
2
2
| | | | | | | | | 0
1
1
| | | | | | | | | 0
0
1
| | | | | | i 2
1 2
0
| | | | | | | |
0
Assim também como S y y , S y y S z z , S z z 0.
Relação de comutação entre S x x e e S y y S x x , S y y
| | | | 2
2i
i 2
2i
| | | | 2
| | | |
| | | | 2
| | | | | | | | | 0
1
1
| | | | | | | | | 0
0
1
| | | | | | 1
i 2
2
i 2
2
0
| | | | | | | | 2|| | 2 2|| | 2
Ou seja,
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2
| | | | S x x , S y y i 2 i | | | | 2 iS z z
Da mesma forma, S y y , S z z iS x x S z z , S x x iS y y
De uma maneira geral, podemos mostrar que esses operadores satisfazem as relações de comutação S i , S j j i ijk S k k
onde ijk é o símbolo de Levi-Civita que satisfaz as relações 1, i, j j,, k permutação cíclica de x x,, y y,, z . repetição de dois ou mais índices x,, y y,, z 1, i, j j,, k permutação não-cíclica de x
ijk
0,
Relações de anticomutação dos operadores S x x , Neste caso,
Anticomutação de S x x com S x x .
S x x , S x x
| | | | 2 2
S y y e S z z
2
| | | | 2
2
| | | |
| | | | 2
| | | | | | | | | 0
1
1
| | | | | | | | | 0
0
1
| | | | | | 0
1
2
2
2
2
| | | | | | | |
2| | 2 2|| |
2 2
2
| | | | 1
2
. 2
Da mesma forma, podemos mostrar que 2 . S y y , S y y S z z , S z z 2
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Seja a relação S x x , S y y S x x S y y S y y S x x . Substituindo as expressões,
Anticomutaç Anticomutação ão de S x x com S y y .
encontra-se | | | | 2
S x x , S y y
2i i 2
2i
| | | | 2
| | | |
| | | | 2
| | | | | | | | | 0
1
1
| | | | | | | | | 0
0
1
| | | | | | 1
i 2
2
0
| | | | | | | |
0.
Da mesma forma encontraremos S y y , S z z S z z , S x x 0
De uma maneira geral, as relações de anticomutação entre os três operadores podem ser escritas na forma abreviada como S i , S j j 1 2 ij , 2
y,, z . i, j x, y
Esta relação de anticomutação é um caso especial para sistemas de spin ½, não valendo para outros valores de spin.
Operador S S 2 Vamos definir o operador S S 2 S S , como 2 S 2 S x x2 S y y2 S z z
Da relação de anticomutação S x x , S x x obtém-se S x x , S x x 2S x x2 S x x2 1 S x x , S x x 1 2 2 4
Da mesma forma, 1 2 . 2 S y y2 S z z 4
Logo, S2
3 4
2.
que é uma constante multiplicada pelo operador identidade.
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A forma deste operador é um caso especial para sistemas de spin ½, não valendo para outros valores de spin. Para este caso, podemos mostrar facilmente que S 2 , S i 0,
y,, z . i x, y
Observáveis Compatíveis Dois observáveis A e B são definidos serem compatíveis, compatíveis, quando quando os correspondentes operadores comutam entre si, ou seja, A,, B 0; A
e, incompatíveis e, incompatíveis,, quando os operadores correspondenete não comutam entre si, A,, B 0. A
Os observáveis S 2 e S z z são compatíveis são compatíveis,, enquanto que S x x e S z z são incompatíveis são incompatíveis..
Exemplo
Observáveis compatíveis A e B.
Vamo Vamoss admi admititir, r, como como usua usual,l, que que o espa espaço ço ket ket seja seja desc descri rito to pelos autokets de A. (Poderíamos também considerar que o mesmo espaço fosse descrito pelos autokets de B ).
Para observáveis compatíveis
A e
B, como se relacionam os autokets desses dois
operadores ? Antes de responder a esta questão, vamos abordar abordar o conceito da degenerescência da degenerescência de de autovalores.
Degenerescência Quan Quando do exis existe tem m dois dois (ou (ou mais mais)) auto autoke kets ts de A, linear linearmen mente te indepe independe ndente ntes, s, com os mesmos mesmos autovalores, dizemos que estes autovalores dos dois (ou mais) autokets são degenerados são degenerados.. Neste caso, a notação notação |a que rotula o autoket apenas por seu autovalor não dá uma descrição completa. Pior ainda, é que o conceito de espaço ket sendo descrito pelo conjunto de autokets |a tem problemas quando a dimensionalidade do espaço ket é maior do que o número de autovalores distintos. Felizmente, em aplicações práticas em MQ, os autovalores de algum outro observável B que A,, podem ser usados para rotular esses autokets degenerados. comuta com A Teorema Supo Teorema Suponha nha que A e B sejam sejam observ observáve áveis is compat compatíve íveis, is, e os autova autovalor lores es de A são não-degenera não-degenerados. dos. Então, os elementos elementos de matriz matriz a | B |a são todos diagonais. (Não devemos esquecer que os elementos de matriz de A já são diagonais se | |aa forem usados como kets de base.) Usando a definição de observáveis compatíveis, sabemos que
Prova:
A,, B |a 0 a | A
Ou seja a | AB BA |a a a a | B |a 0
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que tem como solução a | B |a 0, se a a .
a | B |a 0, se a a
Na forma compacta, podemos escrever os elementos de matriz como a | B |a a a a | B |a
o que prova a afirmativa de que os elementos de matriz a | B |a são todos diagonais.
Operador B B na Base dos Autokets de A Seja a identidade B
|a a
a | B |a a |.
a
Substituindo o resultado (1.4.29), encontra-se B
|a a
a a a | B |a a |
a
|a
a | B |a a |.
a
A,, digamos | |a a , tem-se Fazendo este operador atuar num autoket de A B |a
|a
a | B |a a |a a | B |a |a
(4.31)
a
B com autovalor Mas isto não é nada mais do que a equação de autovalores para o operador B b
a | B |a
(4.32)
B.. Devido a essa imparcialidade | |a a em relação a Logo, o autoket | |aa é um autoket um autoket simultâneo de simultâneo de A e B ambos os operadores, podemos renomeá-lo como | |aa , b para carecterizar este autoket simultâneo.
Caso degenerado Embora a prova dada acima seja para o caso onde os autokets de A são não-degenerados, o enunciado também vale se existir uma ênupla degenerescência, ou seja, A a i a a i ,
para i 1,2, , n,
onde a i são n autokets de A mutuamente ortonormais. Para que se possa ver isso, precisamos n apropriadas combinações lineares de a i que diagonalizam o operador B B (v. Seç. apenas construir n 1.5). B,, denotado por |a Um autoket simultâneo de A e B | a , b , tem a propriedade A |a , b a |a , b B |a , b b |a , b
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Quando Quand o não existe degenerescência degenerescência,, esta notação é supér supérflua, flua, uma que, da Eq. (1.4.32), vê-se que especificando-se a , necessariamente conhecemos o b que aparece em | |aa , b . A notação |a , b é muito mais poderosa quando existem degenerescências. Veja exemplo abaixo. Exemplo
Os autovalores de L 2 (quadrado do momento angular orbital) e L z (componente-z do
1 e m l 2 , respectivamente. sendo l um número inteiro e momento angular orbital) valem 2 l l m l
1 1,, , l . Para caracterizar completamente um estado de momento angular precisamos l , l
especificar tanto l como como m l . Por exemplo, dizendo-se apenas que l 1, os valores de m l ainda podem 1, 0 ou 1. Dizendo-se que m l 1, l pode 1,, 2, 3, . A única maneira de não sermos ser pode ter os valores 1 ambiguos em relação ao estado de momento angular, é especificarmos simultaneamente os valores de l e e m l , ou seja, | |l l , m l .
Índices coletivos Às vezes um índice um índice coletivo pode coletivo pode ser usado para caracterizar a , b , tal que K |a , b | K
Generalização para Mais de Dois Observáveis Compativeis A,, B B,, C , serem compatíveis, pode ser generalizada para A condição para os observáveis A
A,, B B B,, C A A,, C 0. A
(4.36)
Dada Dada uma lista de observáv observáveis eis,, o conjun conjunto to máximo de observáveis comutantes é o maior conjunto que podemos formar com esses observáveis sem que se viole a condição (1.4.36).
Conjun Conjunto to máximo máximo de observ observáve áveis is comutan comutantes tes..
Os operadores operadores individuais individuais A, B podem ter degene degeneres rescên cência cia,, mas se especi especific ficarm armos os uma B,, C , , podem B,, C , são combinação a , b , c , , então então os corres correspon ponden dentes tes autoke autokets ts simult simultâne âneos os de A, B especificados sem ambiguidades. Podemos usar o índice coletivo K para representar a , b , c , . A relação de ortogonalidade para K |a , b , c , | K
será
K K K a a b b c c K | K
(4.38)
enquanto que a relação de completeza, será escrita como K K | |a , b , c , a , b , c , | 1 | K
K
a
b
(4.39)
c
Medidas de Observáveis Compatíveis Suponha Suponha um sistema sistema num estado inicial inicial | , quando realizamos medidas dos observáveis compatíveis A e B. Suponha Suponha ainda que medimos primeiro o observável observável A, obtendo Caso não degenerado.
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como como result resultado ado a . Subsequente Subsequentemente mente,, medimos medimos B, obtendo-se b . Finalmente, Finalmente, medimos medimos A novamente.
Qual o valor que obteremos para esta nova medida de A ? Com base no formalismo de medidas, a resposta é simples: a terceira medida ( A) sempre dará a com certeza. Isto é, a segunda medida ( B) não destrói a informação obtida previamente na primeira medida ( A). Isto é óbvio quando os autovalores de A são não-degenerados: medida de A de A
|α〉
medida de A de A
medida de B de B
|a',b' 〉
|a',b' 〉
|a',b' 〉
(4.40)
Quando existe degenerescência, o argumento é como segue: Após a primeira medida ( A), que dá a , o sistema se encontra em alguma combinação linear do tipo
Caso degenerado.
n
c i a
a , b i ,
(4.41)
i
onde n é o grau de degenerescência, e os kets a , b i têm o mesmo autovalor a com relação ao operador A. A segunda medida ( B) pode selecionar apenas um dos termos da combinação linear (1.4.41), digamos, a , b j , mas a terceira medida aplicada a ele ainda dá a . Tendo ou não degenerescência, as medidas de A e B não se interferem. O termo compatível é, de fato, apropriado.
Observáveis Incompatíveis Neste caso, os operadores correspondentes aos observáveis A e B não comutam entre si. Ou seja, A,, B 0. A
Isto significa que observáveis incompatíveis não têm um conjunto completo de autokets simultâneos, como no caso anterior. Para Para demo demons nstr trar ar,, vamo vamoss cons consid ider erar ar que, que, ao cont contrá rári rio, o, exis existe te um conj conjun unto to completo de autokets simultêneos. Logo,
Demonstração.
AB |a , b b A A | |a a , b a b |a , b BA |a , b a B |a , b a b |a , b
Então, AB |a , b BA |a , b
(4.44)
o que significa AB BA |a , b 0
ou, mais precisamente,
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A,, B 0 A
o que está em contradição com a hipótese de que os operadores são incompatíveis. Em geral, | |aa , b não faz sentido para observáveis incompatíveis. Existe porém um exceção interessante: é o que acontece quando existe um subespaço do espaço ket tal tal que que (1.4 (1.4.4 .44) 4) vale vale para para todo todoss os elem elemen ento toss dest deste e sube subesp spaç aço, o, mesm mesmo o que que A e B sejam incompatíveis. Exemplo
Moment Momento o angular angular orbit orbital: al: Cons Conside idere re um estad estado o l 0 (estado s ). Embora os
operadores L x e L z não comute comutem, m, este este estado estado é um autoes autoestad tado o simult simultâne âneo o de L x e L z (com autovalores nulos para ambos os operadores). O subespaço neste caso é unidemensional.
Observáveis Incompatíveis e SG Sequencial Considere um sequência de medidas seletivas mostrada na parte (a) da figura abaixo.
O primeiro filtro A seleciona o estado | |aa e rejeita os demais.
O segundo filtro B seleciona o estado | |bb e rejeita os demais.
O terceiro filtro C seleciona o estado | |cc e rejeita os demais.
Qual Qu al a pr prob obab abil ilid idad adee de ob obte ter r |c , qu quan ando do o fe feix ixee sa sain indo do do pr prim imei eiro ro fi filt ltro ro é normalizado à unidade? Para obtermos a medida | |cc , o feixe deve passar pelo segundo filtro e filtro e pelo pelo terceiro filtro. Como neste caso, as probabilidades são multiplicativas, encontramos 2
|c |b | |b |a |
2
Agora precisamos somar sobre todos os estados b para calcular a probabilidade total de ir através de todas as rotas possíveis b
|c |b | |b |a | c |b b |a a |b b |c
b
2
2
b
(4.46)
Operacionalmente, isto significa que primeiro registramos a probabilidade de obter c com todos os b bloqueados, com exceção do primeiro; então, repetimos o procedimento com todos os b bloqueados, com exceção do segundo, e assim sucessivamente. No final, somamos todas essas probabilidades. Veja Veja a parte parte (b) da figura figura abaixo abaixo,, onde onde o filt filtro ro B foi retirado. Claramente, a probabilidade vale | c | a | 2 , que também pode ser escrita como
Compara Comparação ção com o filtro filtro B ausente.
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2 2
|c | a |
c |b b |a
b
c |b b |a a |b
b
b
b |c
(4.47)
| a' 〉
| b' 〉
A
| c' 〉
B
C
(a) |a |b b |a
| c' 〉
b
A
C (b)
Note que que essa essass duas duas expr expres essõ sões es são são dife difere rent ntes es!! Mas, Mas, isto isto é um resu resultltad ado o Observação Note extraordinário, uma vez que em ambos os casos o feixe puro | |aa , saindo do primeiro filtro A pode ser B,, isto é, considerado como composto dos autoestados de B |a
|b b |a
b
onde a soma é sobre todos os valores valores possíveis de b . O ponto crucial que deve ser notado é que o resultado que emerge do filtro C depende se a medida B foi ou não realizada. No primeiro caso, verificamos experimentalmente quais dos autovalores de B realmente materializaram-se; no segundo, meramente imaginamos | |aa ser construído dos vários | |bb s no sentido de (1.4.48). Em outras palavras, medindo-se realmente as probabilidades através de todas as rotas dos vários b faz toda a diferença, mesmo que no final somemos sobre todos os b . Aqui está o coração da mecânica quântica.
Em que circustâncias as duas expressões são iguais? Pode-se mostrar que, na ausência de degenerescência, a condição suficiente é que A,, B 0 A
ou B B,, C 0.
Em outras palavras, essa particularidade ilustrada é característica de observáveis de observáveis incompatíveis.
Relações de Incerteza A como A,, definimos um operador Dado um observável A A A A ,
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onde o valor esperado é tomado para um determinado estado físico em consideração. O valor A.. Uma vez que, esperado de A 2 é conhecido como dispersão como dispersão de de A A 2
A A 2
2 A A A A 2 A 2 2
A 2 2 A 2 A 2 A 2 A 2 ,
podemos definir dispersão de A como sendo A 2 A 2 . Às vezes, os termos variância e desvio quadrático médio são médio são também usados para a mesma quantidade. Quando o estado em questão é um autoestado de
Dispersão tomada para um autoestado de A A.. A,, A
A 2
A
A 2 A 2 a | A 2 |a a | A |a a 2 a |a a 2 a |a
2
2
0. A . Grosso modo, ou seja, a dispersão se anula quando tomada em relação ao autoestado do operador A. a dispersão de um observável, caracteriza “indefinição”. Por exemplo, para o estado S z z de um sistema de spin ½, a dispersão de S x x pode ser calculada
S x x2 S x x 2 | S x x2 | |S x x | 2
S x x 2
onde, | S x x2 | | | | | | | | | | | 2 2
2
2
2
2
| | || | | || | | || | | || | |
|| || || || 0
1
1 2 . 4
e | | | | | | 2
|S x x | 2
2
2
2
2
2
| | | | | |
2
|| || || || 2
0
Logo, S x x 2
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S x x2 S x x 2 1 2 . 4
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Ao contrário, a dispersão S z z 2 0 para o estado S z z . Assim, para o estado S z z , S z z é preciso (dispersão nula), enquanto que S x x é impreciso. Relação de incerteza.
Sejam os observáveis A e B. Então, para qualquer estado devemos ter a
seguinte desigualdade A 2
A,, B | 2 . 1 | A
B 2
4
(4.53)
Para prová-la, consideremos os seguintes lemas: Lema (1)
Desigualdade de Schwartz | | | | | 2
que é análoga a |a | 2 |b | 2
|a b | 2
no espaço euclidiano. Note que
Prova:
|| 0, | | |
ou seja, | 2 | | | | | |
1 2 Re | | | | 2 | 0
onde é um número complexo. Esta desigualdade deve valer quando | / | . Logo, | 2 Re
| | |
| | | 2 | | | 2
|
| | 2 2|| | | 2 | | | 2 | | | | | 2 0
que é a mesma relação da desigualdade de Schwartz. Lema (2) O valor esperado de um operador hermitiano é real.
A prova já foi dada em (1.3.21).
Prova:
Lema (3) O valor esperado de um operador anti-hermitiano, definido como C C é imaginário puro.
Veja a prova do lema (2).
Prova:
Com esses lemas, estamos prontos para provar a relação de incerteza (1.4.53). Usando o Lema (1) com
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A|| | A
,
B|| | B
onde | em branco, enfatiza o fato de que as considerações aqui podem ser aplicadas a qualquer ket, obtemos | | | | | 2 A 2
B 2
| A B | 2
B.. onde usamos a hermiticidade dos operadores A e B
Para calcular | | A B | 2 , observe que
Cálculo do lado direito.
A,, B 1 A A,, B A B 1 A 2 2 A,, B vale onde o comutador A A,, B A A , B B A
A A B B B B A A AB A B A B A B BA B A B A B A AB BA A A,, B ,
é anti-hermitiano. Ou seja, A,, B A A,, B AB BA A
BA AB AB BA A,, B A A,, B é obviamente hermitiano. Assim, Ao contrário, o anticomutator A A,, B 1 A A,, B A B 1 A 2 2 imaginario puro
real
onde usamos os Lemas (2) e (3). Portanto, o lado direito torn-se 2 | A B | 1 4
A,, B A
2
1 4
A,, B A
2
Então, A 2
B 2
| A B | 2
ou A 2
1.5 1. 5
B 2
1
4
A,, B A
2
Muda Mu danç nça a de Ba Base se
Operador de Transformação Considere dois observáveis incompatíveis, A e B, e que o espaço ket em questão possa ser descrito pelo conjunto |a ou pelo conjunto |b . Exemplo
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S z Sistema de spin ½: | |S z ; podem ser usado como base, da mesma forma que |S x x ; .
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Mas os dois conjuntos diferentes de kets de base descrevem o mesmo espaço de ket. Como essas duas descrições estão relacionas? A mudança do conjunto de kets de base é referido como mudança como mudança de base ou mudança ou mudança de representação. representação.
Mudança de base.
Refere-se Refere-se à base base na na qual qual os os autoket autoketss de base são dados. dados. Por Por exemplo exemplo,, se a base de autokets é dada por |a é chamada de representação de representação de A, ou às vezes, representação vezes, representação A,, uma vez que a matriz quadrada correspondente a A é diagonal nesta base. diagonal de A
Representação.
Refere-se ao operador que conecta dois conjuntos ortornormais:
Operador de transformação.
a base antiga |a e a nova base |b .
Teorema Dado Teorema Dado dois conjuntos de kets de base, ambos satisfazendo ortonormalidade e completeza, existe um operador unitário U tal tal que b 1 U a 1 ,
b 2 U a 2 , ,
b N U a N .
(5.1)
Entende-se como operador unitário aquele que satisfaz as condições U U 1
(5.2)
UU 1
(5.3)
assim como
Seja o operador
Prova:
U
b k a k .
(5.4)
k
Aplicando em a l , ou seja,
U a l
b k a k
a l
k
b k a k a l
k
b k kl
k
(5.5)
b l
como queríamos. Agora vamos mostrar que U é é unitário, U U
k
a l b l b k a k
l
lk
a k a k
k
1,
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onde usamos a ortonormalidade de |b .
Matriz de Transformação Representação do operador U U na na base antiga
|a .
a k U |a l
De acordo com (1.5.5),
a k b l .
Em outras palavras, os elementos de matriz da matriz U são são os produtos internos entre os bras da base antiga e os kets da nova base. Lembre-se que a matriz rotação que muda de uma base x , ŷ, z para x , ŷ , z , pode ser escrita como x x x ŷ x z ŷ x ŷ ŷ ŷ z
R
.
z x z ŷ z z
A matriz quadrada a k U |a l é chamada de matriz de matriz de transformação da transformação da base
|a
para a base
|b .
Dado um ket arbitrário | , cujos coeficientes a | são conhecidos
Coeficiente Coeficiente de expansão. expansão.
na base antiga, |
a l a l .
l
Como obter os coeficientes de expansão b | na nova base? Multiplicando a expansão por b k , encontramos b k
b k
a l a l
l
b k
U |a l a l .
(5.10)
l
na nova base pode ser obtida, Em notação matricial, esta equação nos diz que a matriz-coluna de | | na base antiga: aplicando-se a matriz quadrada U sobre a matriz-coluna de | |
(Nova Nova)) U (antiga antiga)) Elementos de matriz nas duas bases. Seja
b k X |b l
b m
a m a m X a n a n |b l
k
n
a k
m
U a m a m X a n a n U a l
n
conhecida como transformação como transformação de similaridade, similaridade, em álgebra matricial, X U X U
Traço de um operador X X .
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(5.13)
É a soma dos elementos da diagonal
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tr X
a | X |a
a
Da definição de tr X , podemos mostrar que esta função independe da base em que o operador é representado. Ou seja, O traço de um operador não depende da base.
a | X |a
a
a | b b | X |b b |a
b | X |b b |a a | b
a
b
a
b
b
b
b
b | X |b b | b
b
b b
b | X |b .
b
Pode-se mostrar que
Outras relações envolvendo o traço.
tr XY tr YX tr U XU tr X tr |a a | a a tr |b a | a |b
Estamo Estamoss inte interes ressad sados os nos nos autova autovalor lores es b e os auto autoke kets ts |b , com com a
Diagonalização.
propriedade B |b b |b .
Vamos reescrever esta equação como
a a
B |a a |b b a | b | B
(5.18)
Quando | b corresponder ao l -ésimo -ésimo autoket do operador B, podemos reescrever esta equação em notação matricial, como segue: l
B 11 B 12 B 13
C 1
B 21 B 22 B 23
C 2
l
l
C 1
b l
(5.19)
l
C 2
com (5.20-a)
B ij a i B a j l
(5.20-b)
C k a k b l
com i, j j,, k 1,2, , N (dimensionalidade do espaço). Soluções não triviais para C k l são possíveis somente se a equação característica, det B 1 0,
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for satisfeita.
Esta equação é de N -ésima -ésima ordem em e as N raizes raizes obtidas são identificadas com os b l ’s que queremos determinar. Conhecendo os b l ’s podemos resolver para os correspondentes C k l ’s a menos de uma constante que é determinada pela condição de normalização. Comparando (1.5.20-b) com (1.5.7) vê-se que os C k l ’s são justamente os elementos da matriz unitária envolvida na mudança de base |a |b . Para o procedimento de diagonalização via matriz unitária, a questão da hermiticidade do B é importante. operador B No caso do operador operador S não-hermitiano, sua representação matricial na base de S z z ,
Exemplo
que é dada por S
0 1 0 0
,
(5.22)
não pode ser diagonalizada via matriz unitária. No Capítulo 2 serão encontrados autokets de um operador não-hermitiano em conexão com os estados coerentes de um oscilador harmônico simples, embora sabendo que eles não formam um conjunto completo ortonormal.
Observáveis Equivalentes Considere o seguinte teorema sobre transformação unitária Teorema Considere Teorema Considere novamente dois conjuntos de bases ortonormais, |a e |b conectados pelo U (1.5.4). A,, UAU 1 ; então operador U (1.5.4). Conhecendo U , podemos construir uma transformação unitária de A A e UAU 1
são denominados de observáveis de observáveis equivalentes por transformação unitária. A unitária. A equação de
autovalores para A A||a l a l | a l , A
o que implica claramente em UAU 1 U |a l a l U | a l
Mas isto pode ser reescrito como UAU 1 |b l a l | b l .
(5.25)
Este resultado aparentemente simples é muito profundo. Ele nos diz que os kets | b l ’s são autokets de UAU 1 com exatame exatamente nte os mesmos mesmos autova autovalor lores es de A. Em outras outras palavr palavras, as, observáveis equivalentes têm espectros idênticos. Seja | b l e, por definição, B | b l b l | b l .
Comparando com (1.5.25), infere-se que B e UAU 1 são simultaneamente diagonlizáveis. A questão
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fundamental é:
Os operadores B e UAU 1 são os mesmos? Nos casos de interesse físico, a resposta sim resposta sim é é muito frequente. frequente. Tome, por exemplo, S x x e S z z , que são relacionados por uma rotação em torno do eixo y y,, como será mostrado no Capítulo 3.
1.6 1. 6
Posiç Pos ição ão,, Mom Momen ento to e Tr Tran ansl slaç ação ão
Espectro contínuo Observáveis com autovalores contínuos: qualquer valor real entre e . Seja a equação de autovalores para o caso do espectro contínuo:
| |
(6.1)
onde é um operador e é um número. O ket | é o autoket do operador com autovalor . Seguindo uma analogia com o caso discreto, vamos substituir o símbolo de Kronecker, ij , pela função delta de Dirac, , e a soma sobre autovalores discretos a por uma integral sobre a variável .. Ou seja, contínua Discreto
a |a a a
|a a |
|
1
Contínuo
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| | 1
a
|
|a a |
|
d
| |
a
|a | | 2
1
d
| | |
2
1
a
|
|a a |
|
d
| |
a
a | A |a a a a
| | |
Autokets da Posição e Medidas da Posição Como foi enfatizado na Seç. 1.4, medida em MQ é essencialmente um processo de filtragem. Os autokets | x do operador posição x satisfazem Operador posição em uma dimensão. x | x x | x
e formam um conjunto completo (postulado). Não se deve confundir: x é um número enquanto que x é um operador. O ket | para um estado físico arbitrário pode ser expandido Expansão de um estado arbitrário. em termos dos | x :
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|
dx
| x x |
(1.64)
Suponha um detector muito pequeno que clica somente quando a partícula está exatamente na exatamente na posição x . Imediatamente após o detector clicar, podemos dizer que o estado em questão é representado por | x | x . Em outras palavras, quando o detector clica, | “salta” abruptamente para o autoestado | x da mesma maneira como um estado arbitrário de spin salta para o estado S z z ou S z z , quando sujeito a aparelho de SG do tipo S z z . Experimento.
O melhor melhor que o detector detector pode fazer na prática prática é localiz localizar ar a partícula partícula dentro de um pequeno intervalo, , em torno de x , ou seja, x /2, x /2 . O detector na prática.
Após o clique do detector, o estado ket muda muda abruptamente como segue: medida
|
x /2
dx | xx x |
x
/2
dx | xx x |
(6.5)
Admitindo que x | não varie apreciavelmente dentro do estreito intervalo , a probabilidade para que o detector clique é dada por 2
| x | | dx
onde escrevemos dx para . Esta expressão é análoga | a | | 2 para a probabilidade de | | ser encontrado num autoestado | |aa quando o observável A é medido.
Analogia com o espectro discreto.
A probabilidade de encontrar a partícular em algum lugar entre entre e e é dada por
dx | x | |
2
for normalizado: que é normalizada a um a um se se | |
| 1
dx | x x x | 1.
Observações:
A quantidade x | é a função a função de onda para onda para um estado representado por | | .
Os autokets da posição pode ser extendido para três dimensões: | x .
Admite-se que, em MQ não-relativística, não-relativística, os autokets | x formam um conjunto completo.
Desprezando-se os graus de liberdade internos (tais como spin), o estado ket para uma partícula pode ser expandido em termos dos |x , ou seja |
d x
3
|x x |
onde x representa x , y e z ; em outras outras palavr palavras, as, |x é um auto autoke kett simultâneo dos observáveis x x,, y e z . Ou seja x , y , z , |x | x x|x x |x , x|
y|x y |x ,
z |x z |x
existe um autoket simultâneo para as três componentes do vetor posição podemos medí-las
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simultaneamente. Logo, x i , x j 0 x,, y e z , respectivamente. onde x 1 , x 2 e x 3 representa x
Translação É a operação que muda um estado bem localizado em torno de x para um outro, também bem localizado em torno x d x , mantendo inalteradas as demais propriedades do sistema (spin, por exemplo). O operador operador T que realiza realiza essa transla translação, ção, conhecid conhecida a como translação como translação
Translação infinitesimal.
infinitesimal , é definido como
T d x |x d x
(6.12)
onde um possível fator de fase foi tomado igual a um por convenção. Os | x não são um autokets do operador translação infinitesimal T d x .
Não são autokets.
Efeito de T d x sobre um estado | . Expande-se | em termos dos |x e aplica-se o operador
translação. Ou seja,
| T d x | T d x d 3 x |x x |
d x |x 3
d x x |
O lado direito também pode ser escrito como
d x |x 3
d x x |
d x |x x 3
d x |
Isto Is to mo most stra ra qu que e a fu funç nção ão de on onda da de um es esta tado do tr tran ansl slad adad ado o Td x | é ob obtitida da substituindo-se em x | , x x d x . Prop Propri ried edad ades es
que que
deve devem m
ter ter
o
oper operad ador or
tran transl slaç ação ão..
Vamo Vamoss rela relaci cion onar ar algu alguma mass
propriedades do operador translação infinitesimal.
(1) Unitariedade. Esta propriedade é imposta pela conservação conservação de probabilidade. Se probabilidade. Se um ket | é normalizado à unidade, o ket transladado,T d x | , também será normalizado à unidade. Ou unidade. Ou seja, | |T d x T d x Esta condição é garantida, exigindo-se que a translação infinitesimal seja unitária. Ou seja, T d x T d x 1. (2) Translações sucessivas. Aplicando-se duas translações sucessivas, primeiro por d x e em seguida por d x , não necessariamente na mesma direção, espera-se que o resultado total possa ser descrito por uma única translação equivalente ao vetor soma d x d x . Assim, vamos exigir que T d x T d x T .
(3) Translação Considere Considere um translação translação em direção direção oposta a Translação em direção oposta. d x , ou seja, T d x . Esperamos que essa translação seja o mesmo que o inverso da translação original. Isto é,
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T d x T
1
d x .
(4) Translação dx 0. Se d x 0, esperamos que a operação de translação reduza-se à operação identidade, ou seja, lim T d x 1,
d x 0
e que a diferença entre T d x e o operador identidade seja de primeira ordem em d x . Operador translação.
Escolhendo-se o operador translação na forma (6.20)
1 i K d x
onde K, K x x , K y y e K z z são operadores hermitianos, então todas as propriedades listadas acima são satisfeitas. De fato, veremos
(1) Unitariedade.
Seja T d x T d x 1 iK d x 1 iK d x 1 i K d x 1 i K d x 1 i K K d x O d x
2
1, onde o termo de segunda ordem é desprezível para uma translação infinitesimal. (2) Translações sucessivas.
Da mesma forma, T d x T d x 1 i K d x 1 i K d x 1 iK d x d x
T d x .
(3) Translação inversa.
Este caso pode ser facilmente mostrado 1 1 T d x 1 i K d x 1 i K d x O dx
2
1 iK d x T d x (4) É facilmente verificado. Relação fundamental entre os operadores K operadores K e e x x .
Sejam as seguintes expressões:
xT d x |x x | x d x x d x |x d x
e T d x x | x x T d x | x x |x d x .
Então x, T d x |x x d x |x d x x |x d x d x |x d x
d x |x , onde o erro em tomar |x d x |x é da segunda ordem em d x . Como |x formam um conjunto
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completo de funções, a equação acima deve valer como uma identidade de operadores. Ou seja, x, T d x d x
que pode ser rescrito como x 1 i K d x 1 i K d x x d x
ou ainda, i x K d x iK d x x d x Supondo que d x esteja na direção de x j , vamos formar o produto escalar com x i , i x K x j dx iK x j dx x x j dx i x K j j dx iK j j dx x x j dx
x i i
x x i K j j K j j x x i i x j x i x i K j j K j j x i i ij
Ou seja, x i , K j j i ij
(6.27)
onde i i,, j 1,2,3 representam as componentes x dos operadores. x,, y y,, e z dos
Momento como um Gerador de Translação A Eq. (6.27) representa as relações de comutação comutação entre os operadores posição, x x,, y y,, z , e os operadores K, K x x , K y y , K z z .
Qual o significado físico que podemos atribuir a K ? O operador K está relacionado com o momento linear em MQ. Com esta identificação o operador translação torna-se
T d x 1 i p d x /
(6.32)
E as relações de comutação (6.27) tornam-se agora x i , p j i ij
(6.33)
Estas relações de comutação (6.33) implicam que os pares x e p x , y e p y ; e z e e p z são observáveis incompatíveis, enquanto que os demais (por exemplo, x e p y ) são observáveis comp compat atív ívei eis. s. É port portan anto to impo imposs ssív íveis eis enco encont ntra rarr auto autoke kets ts simu simultltân âneo eoss de x e p x y e p y ; e z e e p z .
Relação de incerteza posição-momento.
Aplicando o formalismo formalismo da Seç. Seç. 1.4, obtém-se a relação
de incerteza de W. Heisenberg: x 2
p x 2
2 /4.
(6.34)
Translação Finita x,, ou seja, x x . Logo, Seja uma translação por uma quantidade finita x na direção do eixo x
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T x x |x |x x x . Podemos tratar esse deslocamento finito, como uma sucessão de deslocamentos infinitesimais (v. figura). dx' dx' = ∆ x'/ x'/ N, N, N → →
∞
x' ∆ x' Divindo o deslocamento original x em N deslocamentos dx e no final tomando o limite em que N , encontra-se: T x x T dx x dx x dx x T dx x T dx x T dx x N vezes vezes
Mas, ip x dx T dx x T dx x T dx x 1
N
1
ip x dx
N
1
ip x dx
N
Como dx x / N , e, para N , encontra-se T x x lim 1
CUIDADO: Aqui CUIDADO: Aqui exp ip x x
N
ip x x N
N
exp
ip x x
(6.36)
deve ser entendi entendido do com com uma uma função função do operador operador p x . De uma maneira
X , tem-se geral, para qualquer operador X 2 X e X 1 X 2!
(6.37)
Uma propriedade propriedade fundamental fundamental das translações translações é que x e y, por exem tran transl slaç açõe õess suce sucess ssiv ivas as em dife difere rent ntes es dire direçõ ções es ( x exempl plo) o) comu comuta tam m entr entre e si. si. B,, não interessa Geometricamente, isto pode ser visto na figura abaixo: ao nos deslocarmos de A para B D.. O resultado final é o mesmo. Matematicamente, se vamos via C ou ou via D Translações Translações em diferentes diferentes direções. direções.
T y y T x x T x x y y T x x T y y T x x y y de onde se obtém T y y , T x x 0.
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(6.40)
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D
B
y' y ∆ y'
A
C
x' x ∆ x'
Translações sucessivas em Este ponto não é assim tão trivial quanto possa parecer; será mostrado no Capítulo 3 que rotações em torno de diferentes eixos não eixos não comutam entre comutam entre si. Tratando x e y até a segunda ordem, encontramos T y y , T x x exp 1
1
ip y y ip y y
ip x x
, exp
ip x x
p y2 y
p x2 x
2
,
2
x y p y , p x . 2
Como x e y são são desl desloc ocam amen ento toss arbi arbitrá trári rios os e usan usando do (6.4 (6.40) 0),, isto isto encontra-se imediatamente
T y y , T x x 0,
p x , p y 0
(6.41)
p i , p j 0.
(6.42)
ou, ainda mais geral
Estas relações de comutação são consequência direta do fato de que translações em diferentes direções comutam entre si. Toda vez que os geradores de transformações (no caso aqui são translações) comutam o grupo correspondente é dito ser abeliano. O grupo de translações em três dimensões é abeliano. As relações de comutação comutação (6.42) implicam implicam em p x , p y Os observáveis p x , p y e p z são compatíveis. e p z serem serem observáveis mutuamente compatíveis. Como são compatíveis, podemos imaginar imaginar um autoket simultâneo, simultâneo, ou seja,
Autoket simultâneo.
|p
p x , p y , p z , | p
p x |p p x |p , p y |p p y |p , p z |p p z |p ,
Vamos Vamos aplica aplicarr o operad operador or de transla translação ção Td x sobre o autoket dos
Translação Translação sobre |p .
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momentos, | p . Ou seja i d i d Td x |p 1 p x |p 1 p x |p
Observe que, diferentemente de |x (que mostramos não ser um autoket), os estados |p são autoestados (autokets) de Td x , como já haviamos antecipado, devido à relação de comutação p, Td x 0.
Note também que os autovalores de Td x são complexos. Não esperamos autovalores reais porque Td x , embora unitário, não é um operador hermitiano.
As Relações de Comutação Canônicas Resumo das relações inferidas do estudo das propriedades de translação: x i , x j 0,
p i , p j 0, x i , p j i ij
(6.46)
Estas relações formam a base da mecânica quântica. São conhecidas como relações de comutação canônicas ou canônicas ou relações relações de comutação fundamentais.
Observações Históricas Historicame Historicamente nte foi Heisemberg Heisemberg quem quem mostrou em 1925 que as regras regras de combinações combinações para linhas de transições atômicas, conhecidas naquele tempo, seriam melhor entendidas se fossem associ associada adass a um arranjo arranjo de número númeross obedec obedecend endo o certas certas regras regras de multip multiplic licaçã ação o com essas essas frequências. Imediatamente depois, Born e Jordan, reconheceram que as regras de multiplicação de Heisenberg eram essencialmente aquelas da álgebra matricial e a teoria foi desenvolvida baseada no análogo de matriz da Eq. (1.6.46), que é agora conhecido com mecânica com mecânica matricial.
(1)
Dirac, Dirac, também em 1925, observou observou que as várias relações relações na mecânica mecânica quântica quântica podem ser obtidas das correspondentes relações na mecânica clássica, substituindo os colchetes de Poisson (da mecânica clássica) pelas relações de comutação, ou seja,
(2)
,
clássico
, i
,
(6.47)
p,, como onde os colchetes de Poisson são definidos para funções de q e p
Aq, p , Bq, p clássico
s
A B A B q s p s p s q s
(6.48)
Por exemplo, em mecânica clássica temos x i , p j clássico ij
que, usando (6.47) obtém-se (1.6.33) em mecânica quântica. Tanto os colchetes colchetes de Poisson, Poisson, quanto quanto as relações relações de comutação comutação satisfazem satisfazem propriedad propriedades es algébricas similares. Por exemplo,
(3)
M â i
Q â ti
A / P f D Ab h
M
é C h
50
A,, A 0 A A,, B B B,, A A A,, c 0, (c é um número) A B,, C A A,, C B B,, C A B
B A A,, BC A A,, B C A,, C A A,, B B,, C B,, C , A C , A A,, B 0, (identidade de Jacobi) A B
1.7
Funçõe Fun ções s de de Onda nos Espa Espaços ços da Pos Posição ição e do Mom Moment ento. o.
Função de Onda no Espaço da Posição Caso unidimensional. Seja x | | x x x x | x x
e normalizada de tal maneira que a relação de ortogonalidade torna-e x x x . x | x
Expansão.
representando um estado físico pode ser expandido em termos de | x x , Um ket | | |
dx
x |x x |
O coeficiente de expansão x | é interpretado de tal maneira que
Coeficiente de expansão.
2
| x | | dx
nos fornece a probabilidade da partícula ser encontrada num pequeno intervalo dx em torno de x . Neste formalismo, o produto interno x | é o que usualmente se conhece como . Ou seja, função de onda x para o estado | |
Função de onda.
x | x
Interpretações usando o formalismo de Dirac x obtém-se Seja o produto interno | . Usando a completeza de | x
Produto interno.
|
dx
| x x | x
dx
x x
tal que | caracteriza a integral de recobrimento (overlap) overlap) entre as duas funções de onda. A x . A identificação de | com a integral de overlap segue segue do postulado de completeza para | x interpretação mais geral de | , independente das representações, representações, é que esse produto representa a ser encontrado no estado | | . amplitude de probabilidade para o estado | | Agora vamos interpretar a expansão
Expansão Expansão função função de onda.
|
|a a |
a
usando a linguagem de função de onda. Mualtiplicando essa equação pelo autobra x | pelo lado esquerdo, encontra-se
C ít l 1 C
it
F
d
t i
51
x |
x |a a |
a
Na notação usual da mecânica quântica isto é reconhecido como x
c
a u a x
a
A com autovalor a a : onde introduzimos uma autofunção do operador A u a x x |a
Elementos Elementos de matriz. matriz.
A | | pode ser escrito, usando as funções de Vamos examinar examinar como | A
e | | . Assim, onda para | |
dx dx x| x x | A A | | x x x | dx dx x x | A A | | x x x
A | | | A
(7.10)
A | | devemos conhecer os elementos de matriz x | A | x x que em geral é Logo, para calcularmos | A uma função de duas variáveis, x e x .
Quando o operador A é função da posição, podemos simplificar
Operador é função da posição.
(7.10). Suponha, por exemplo, que A x 2
que realmente aparece no hamiltoniano do oscilador harmônico simples (Capítulo 2). Temos A | | x x x | x 2 | x x x | x 2 | x x x | A 2
2
x | x | xx
x x x |x x 2 x x
Substituindo em (7.10)
dx dx x x x dx x x x
| x 2 |
2
2
x x
que ficou reduzida a uma única integral. De uma maneira geral, se A f x , então: |
f x
|
dx x
operador
f x
x
(7.14)
não é operador
Operador Momento na Base da Posição Operador momento na base x.
Por definição, momento definição, momento é é o gerador de translações infinitesimais;
tomando isto como ponto de partida
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52
1
ip x
dx T x x| x x | x x x | dx | x x x x | dx | x dx | x x x | x
|
x | x
(7.15)
onde, na última passagem, usamos a expansão de Taylor para x x | x | x x | x
Comparando ambos os membro (7.15), encontra-se i x | x Multiplicando ambos os membros por x | encontra-se p|| p
dx
dx dx
p| x | p|
x |x
(7.16)
x i x | x | x x x x
i x | x
i x | x
ou seja, p | | i x | x | p x
(7.17)
x . onde usamos a ortogonalidade dos estados | x
Elementos de matriz do momento.
x,, Para os elementos de matriz do momento na representação x
obtém-se p | | x x i x | x x i x x x | p x x
De (7.16), obtém-se uma identidade muito importante:
dx x| x i x x | dx x i x x
p | | | p
(7.19)
Neste formalismo, a Eq. (7.19) não é um postulado; pelo contrário, ela foi derivada usando as propriedades básicas do momento. Aplicando repetidamente (7.17), podemos também obter: n x | p n | i n x | x n | p n | dx x i n n x x
Funções de Onda no Espaço dos Momentos
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it
F
d
t i
53
Caso unidimensional p.. Especificação da base p
Sejam os autokets na base p p | | p p p p p | p
e | p p p p p p.. Expansão na base p
pode ser expandido Um estado arbitrário | | |
dp
p |p p |
O coeficiente p | é interpretado em termos probabilísticos. Isto é, a probabilidade de que uma medida de p resulte no autovalor p dentro do pequeno intervalo dp é 2 a função de onda no espaço dos momentos. momentos. A notação notação usada é | p | | dp . É costume chamar p | a função a p : Coeficiente de expansão.
p | a p for normalizado, obtém-se Se | |
dp | p p p | dp p p dp p
|
a
a
a
2
1
Conexão entre as representações x e e p Para espectro discreto, havia uma matriz de transformação que operava uma mudança de base de um conjunto antigo |a para um novo conjunto |b .
Espectro discreto.
Da mesma mesma forma que para para o espectro espectro discreto, discreto, espera-se espera-se que haja haja uma tal transformação. Tais informações estão contidas em x p | p , que é uma função de x e p , usualmente p.. chamada de função de função de transformação da representação x para a representação p Espectro Espectro contínuo. contínuo.
p . Forma explícita de x | p
Para derivarmos derivarmos a forma forma explíc explícita ita de x p | p , vamos usar (7.17) com
p : | | p p | | p p i x p | p x | p x
ou x p | p x p . Reescrevendo na forma que é uma equação diferencial para x | p p x | p p i
x p 1 ip p | | p x x p
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54
encontra-se como solução ipx
p N exp x | p
(7.29)
onde N é é uma constante de normalização a ser determinada. p seja uma função de duas variáveis, x e Embora a função de transformação x | p p , podemos temporariamente considerá-la como uma função de x para valores fixos de p . Ela pode ser visto como uma amplitude de probabilidade para o autoestado de momento p ser encontrado na p , às vezes posição x ; em outras palavras, é a função de onda para o autoestado do momento | p referida como autofunção como autofunção do momento (ainda momento (ainda no espaço x . Assim, (7.29) diz que a função de onda de um autoestado do momento é uma onda plana. É engraçado que se tenha obtido esta solução de onda plana sem resolver a equação de Schrödinger (que ainda nem escrevemos).
Observação
Constante Constante de normalização normalização N .
Para se se obter a constante constante de de normaliza normalização ção N , vamos primeiro
considerar a relação x x | x
dp
p p | x x x | p
O lado esquerdo é uma delta de Dirac (ortogonalidade) e o lado direito pode ser calculado com a p (onda plana). Ou seja forma explícita de x | p x x | N N | 2
dp
ip x x
exp
2 x x
Logo, x x 2 N | N | 2 x x
e daí 2| N N | 2 1 N
1 2
onde, por convenção, escolhemos N real real e positivo. Portanto, p x | p
Espaço da posição espaço do momento.
ip x
1 exp 2
.
Vamos ver como como as funções funções de onda onda nesses nesses dois
espaços estão relacionadas. Seja
dp x | p p p | x x | p | dx p | x x |
reescrevendo como x
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F
d
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1 2
dp exp
ip x
a p
(7.34a)
55
e
dx exp
1 2
a p
ip x
x
(7.34b)
Este par de equações é justamente o que se espera do teorema de inversão de Fourier.
Pacotes de Onda Gaussiana Vamos ilustrar o formalismo básico aqui desenvolvido, considerando um exemplo físico, representado por um pacote um pacote de onda gaussiano , gaussiano , cuja função de onda no espaço x é dada por x |
1
1/4
2 x2
exp ikx
d
2d
(7.35)
Expandindo esta função, x |
1
e ikx
1/4 d
e
x 2 2d 2
gaussiana
onda plana
vemos que é uma onda plana exp ikx com vetor de onda k modulada modulada por perfil gaussiano centrado na origem. A probab probabili ilidad dade e de observar observar a partíc partícula ula anula rapidam rapidament ente e para para x d . Mas especificamente, a densidade de probabilidade vale
Probabilidade.
2
x 1 e d 2 d
2
| x | |
que tem a forma gaussianacom largura d (v. (v. figura abaixo).
d
Densidade de probabilidade
Valores esperados de x ,
x 2 , p e p 2
Valor esperado de x x.. Seja
x
dx
| | x x x x |
dx
x |
2
x 0
por simetria. Valor esperado de x 2 . Seja
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56
dx dx
x 2
| | x x x 2 x |
x 2
dx
1 d
2
x |
x 2 exp
2
x 2 d
2 d . 2
que nos leva a 2 x 2 x 2 d 2
x 2
para a dispersão a dispersão do do operador posição. Valor esperado de p p.. Seja p | p | |
dx
dx
dx
| | x x
| | x x
i
1
ik x2 d
dx
ik x2 d
1 d
1 ikd d
exp ikx x 2 x 2d 2
1/4 d x |
i x | x
2
2
e
x 2 d
ik
Neste caso, obtém-se repetindo o processo anterior,
Valor esperado de p 2 .
2 p 2 2 2 k 2 . 2d
Usando os resultados anteriores, esta dispersão vale
Dispersão do momento.
p 2 Relação de incerteza de Heisenberg.
2 p 2 p 2 2 2d
Substituindo as dispersões dispersões na equação (1.6.34), o produto
de incerteza é dado por x 2
p 2
2 2 2 d 2 2 2d 4
que é independente de d , tal que para o pacote gaussiano obtém-se uma relação de igualdade de igualdade ao invés da desigualdade da desigualdade que que é a relação mais geral. Por esta razão, o pacote gaussiano é conhecido como o pacote o pacote de onda de incerteza mínima.
Espaço dos momentos Substituindo (1.7.32) e (1.7.35) em (1.7.33b) , encontramos
Função de onda.
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57
p |
dx
1
p | x x |
dx
1/4 d 1 1/4 d
1 2
1 2
1 2
p | x exp ikx
1 2
dx exp
1
dx exp
1/4 d
dx exp
1 1/4 d
dx exp
1 1/4 d
2 x2
2d
ip x
ip x ikx
2 x2
exp ikx
2d
2 x2
2d
x 2 i p k x 2d 2 x i p k d 2 d 2
2
2
p k d 2 exp 2 2
onde na última passagem, completamos os quadrados. A integral resultante vale
dx exp
x i p k d 2 d 2
2
2 d
Logo,
p |
1 2 d exp
2
p k d 2 2 d exp 2 2
1 1/4 d 2
p k d 2 2 2
(7.42)
Esta função de onda no espaço dos momentos fornece um método alternativo para obter p e p 2 . A probabilida probabilidade de de encontrar encontrar a partícula partícula com momento momento p é uma gaussiana (no espaço dos momentos) centrada em k , da mesma forma que a probabilidade de encontrar a partícula na posição x é uma gaussiana (no espaço das posições) centrada em zero. Além disso, as larguras das duas gaussianas são inversamente proporcionais entre si, o que representa uma outra maneira de expressar a constância do produto de incerteza x 2 p 2 explicitamente calculado em (7.41). Quando mais larga no espaço x mais estreita ela é no espaço p e vice-versa (v. figura abaixo).
Probabilidade.
gaus sian a no esp aço das posições
gaus sian a no esp aço dos momentos
Comparação entre as larguras das duas
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Casos extremos extremos d e d 0.
Vamos Vamos conside considerar rar este este caso extremo extremo em que a largura largura da gaussiana no espaço x vale d . A função de onda (7.35) torna-se uma onda plana extendida em todo espaço, com a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto x sendo uma constante independente da posição. Por outro lado, no espaço dos momentos a função de onda torna-se muito localizada, tal como uma função delta, em p k . Para d 0, ocorre exatamente o contrário: no espaço das coordenadas a função torna-se localizada (del (delta ta)) enqu enquan anto to que que no espa espaço ço dos dos mome moment ntos os a funç função ão de onda onda (7.4 (7.42) 2) é uma uma cons consta tant nte e independente de p . A última análise análise mostra que uma função de onda localizado no espaço x, corresponde a uma superposição de autoestados do momento com todos os valores possíveis dos momentos. Mesmo aqueles autoestados de momento cujos momentos são comparáveis ou excedem mc devem ser incluídos na superposição. Porém, para tais valores altos do momento, a descrição baseada na mecânica quântica não-relativística é limitada. A despeito desta limitação, nosso formalismo, baseado na existência do autoket posição x , tem um amplo domínio de aplicabilidade. x.. Funções localizadas no espaço x
Generalização a Três Dimensões Autokets da posição.
Devem satisfazer x | x x x | x x
Para o momento, temos,
Autokets do momento.
p | p p p | p p Normalização.
Ambos os kets obedecem obedecem as condições condições de normalização normalização x 3 x x x | x
e p 3 p p p | p
onde 3 x x x x y y z z
Relações de completeza.
As relações de completeza, tornam-se
d x
|x x | 1
d p
|p p | 1
3
e 3
que podem ser usadas para expandir um estado ket arbitrário |
d x
3
|x x |
ou
C ít l 1 C
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t i
59
|
d p
3
|p p |
Os coeficientes de expansão x | e p | são identificados com as funções de onda x e p no espaço das posições e dos momentos, respectivamente. Coeficientes de expansão.
Operador momento.
e | | , torna-se O operador momento, quando tomado entre | | | p|
Transformação.
d x
3
x i x
A transformação análoga a (7.32) é x |p
exp
ip x
d p exp
ip x
1 2 3/2
tal que x
1 2 3/2
3
p
e p
M â i
Q â ti
A / P f D Ab h
1 2 3/2
M
d p exp 3
é C h
ip x x
60
