Teselasi Teselasi Satah
Topik 1
1.1 Sinopsis
Topik Topik ini merupak merupakan an permulaa permulaan n pended pendedaha ahan n kepada kepada kegunaa kegunaan n matemati matematik k dalam dalam seni dan rekaan rekaan manusia. manusia.
Ia merupakan merupakan satu satu bidang yang luas luas dan untuk untuk bahagian bahagian ini, kita akan
bincangkan bincangkan ciptaan untuk satah satah 2-imensi. !ahagian !ahagian ini meliputi jenis-jenis teselasi, teselasi, teselasi dan seni serta "raktal geometri.
1.2 Hasil Pembelajaran
1.
#enamba #enambahkan hkan pengeta pengetahua huan n anda anda dalam dalam konsep konsep matemati matematik k yang yang berkaita berkaitan n dengan dengan geometri pada satah.
2.
#eng #engha harg rgai ai pera perana nan n geom geomet etri ri dala dalam m seni seni dan dan reka rekaan anny nya. a.
1.3
Kerangka Konseptual
Teselasi Satah
Jenis-jenis Teselasi 1.4
Teselasi dan Seni
Teselasi
1
Geometri Fraktal
Teselasi Teselasi adalah satu bentuk pola yang melitupi sesuatu permukaan sepenuhnya, dengan tiada celah di antara bentuk dan tanpa sebarang pertindihan bentuk $yang digunakan% berlaku.
&ontoh teselasi teselasi yang paling asas asas termasuklah jubin jubin di bilik air. !entuk-bentuk !entuk-bentuk teselasi teselasi yang lebih menarik termasuklah teselasi Islam berbentuk bintang dan teselasi ciptaan 'scher yang akan dibincangkan kemudian.
Teselasi Islam !erbentuk !intang
Teselasi &iptaan 'scher
1.4. 1.4.1 1
Jeni Jeniss-Je Jeni nis s Tese Tesela lasi si
2
Terdapat beberapa cara untuk mengkategorikan teselasi, termasuklah bilangan bentuk berlainan yang digunakan dalam satu-satu teselasi atau mengkategorikan telasi dari segi sama ada menggunakan poligon sekata $regular polygons), poligon separa sekata (Semi-regular polygons) atau poligon tidak sekata (Irregular polygons). #odul ini akan mengkategorikan teselasi berdasarkan bilangan bentuk berlainan yang digunakan.
1.4.1.1
Teselasi Berasarkan Satu Bentuk Poligon
(ita mulakan dengan merujuk kepada bentuk paling ringkas teselasi pada satah)bagi yang teselasi berdasarkan satu bentuk sahaja. Ia boleh dibahagikan kepada teselasi berdasarkan satu bentuk sekata dan satu bentuk tidak sekata.
Terdapat tiga jenis teselasi satu bentuk sekata sahaja dapat dihasilkan, iaitu asas segitiga sisi sama, segi empat sisi sama dan heksagon sisi sama.
Teselasi dengan segitiga sisi sama sebagai bentuk asas
Teselasi dengan segiempat sisi sama sebagai bentuk asas
Teselasi dengan heksagon sisi sama sebagai bentuk asas
!erehat sebentar dan cuba renungi, mengapa hanya terdapat tiga bentuk sekata yang boleh membentuk teselasi*
3
Jika kita perhatikan dengan teliti, kita akan dapati setiap bucu dalam satu-satu teselasi haruslah kelihatan sama dan sekurang-kurangnya bertemu dengan tiga poligon. +pa itu bucu* Gambaran bagi bucu ditunjukkan seperti di baah
!ucu
oligon adalah rajah pada satah dengan sekurang-kurang mengandungi tiga garis lurus yang bercantum, yang dikenali sebagai sisi. /ntuk permukaan satah, jumlah sudut pada bucu haruslah berjumlah 01 ⁰. #isalnya sudut dalaman bagi segitiga sisi sama ialah 1⁰, terdapat 1 segitiga bertemu pada setiap bucu.
6 × 60 ° = 360 °
, maka segitiga
boleh membentuk teselasi. !agi segiempat sisi sama, sudut dalaman adalah 3 ⁰. ada setiap bucu,
4 × 90 ° =360 °
.
4leh itu, segiempat sekata juga boleh membentuk
teselasi.
oligon sisi lima dikenali sebagai pentagon. Setiap sudut dalaman adalah 56 ⁰, 3 × 108 ° =324 °
.
#aka penggunaan pentagon sahaja tidak dapat membentuk
teselasi.
Gabungan bagi tiga pentagon.
4
!agi poligon sisi enam pula, ia dikenali sebagai heksagon.
Sudut dalaman bagi ❑
heksagon sekata adalah 52 ⁰.
ada setiap bucu,
3 × 120 ° =360 ° .
4leh itu
heksagon boleh membentuk teselasi.
Jika dilanjutkan kepada heptagon, yakni poligon dengan sisi tujuh, setiap sisi dalaman adalah
526.78⁰.
+pabila
tiga
heptagon
bertemu
pada
satu
bucu,
3 × 128.57 ° =385.71 . ertindahan akan berlaku9 seperti rajah yang ditunjukkan di baah
!agi poligon dengan bilangan sisi yang lebih banyak, pencantuman tiga poligon sekata yang sama pada satu bucu tanpa pertindihan adalah mustahil. 4leh yang demikian, hanya terdapat tiga bentuk poligon sekata yang boleh membentuk teselasi. !agaimana pula dengan teselasi dengan bentuk tidak sekata*
Teselasi juga boleh dibentuk dengan menggunakan bentuk asas yang tiak sekata. i sini disertakan beberapa contoh teselasi dengan bentuk asas yang tidak sekata
Segiempat Tepat
Trape:ium
5
1.4.1.1
Teselasi Berasarkan !ua atau "ebih Poligon Berlainan
;omogenus teselasi adalah teselasi yang menggunakan dua atau lebih poligon sekata yang akan membentuk teselasi dengan syarat, pada setiap bucu mempunyai bentuk yang sama. ;omogenus teselasi juga dikenali sebagai teselasi poligon separa sekata $semi-regular polygons%. !eberapa contoh teselasi poligon separa sekata adalah seperti berikut
0.1.0.1
<.6.6
0.0.0.<.<
6
0.0.0.0.1
Teselasi poligon separa sekata diberi nama atau simbol berdasarkan bilangan sisi poligon-poligon yang bertemu pada setiap bucu.
#isalnya pada teselasi pertama,
terdapat dua heksagon dan dua segitiga yang bertemu pada setiap bucu. ;eksagon mempunyai enam sisi dan segitiga mempunyai tiga sisi. 4leh itu, bila dibaca mengikut putaran, ia dibaca sebagai 0.1.0.1. #ungkin anda tertanya-tanya, mengapa ia tidak dibaca sebagai 1.0.1.0* #emang ada bahan bacaan yang meletakkan nama sebagai 1.0.1.0. Ianya tidak salah, tapi kita cuba meletakkan nombor yang kecil di hadapan. Tetapi jika anda meletakkan nombor 0.0.1.1, ia bukanlah nama bagi teselasi yang pertama itu, kerana ia haruslah dibaca mengikut susunan putaran.
=ama bagi teselasi separa sekata adalah penting untuk memastikan sama ada ia homogenus atau tidak. Terdapat juga teselasi yang terdiri daripada lebih sejenis poligon sekata tetapi dikategorikan sebagai
teselasi tidak homogenus.
menunjukkan satu teselasi yang tidak homogenus.
i baah ini
!olehkah anda be:akan antara
teselasi homogenus dan tidak homogenus*
&uba luangkan masa setengah jam dan cari teselasi homogenus sebanyak yang anda boleh dengan mencantumkan segiempat sisi sama, segitiga sisi sama, pentagon sisi sama, heksagon sisi sama, heptagon sisi sama atau oktagon sisi sama. Selamat mencuba >
7
1.#
Teselasi an Seni
Jika kita kaitkan teselasi dengan seni, kita tidak dapat tidak menyentuh hasil seni yang telah dikembangkan oleh seorang artis terkenal !elanda yang dikenali sebagai #.& 'scher $5636-5382%. Terdapat beberapa hasil kerja #.& 'scher yang mempunyai nilai matematik yang tinggi, termasuklah yang telah dicetak pada baju-T, buku, caan dan ?jingsa pu::le@.
Salah satu pencetus 'scher dalam memulakan rekaannya berlaku apabila dia melaat +lhambra, Sepanyol pada tahun 5322. ada ketika itu, dia sedang meneliti jubin rekaan #oorish yang sangat menarik. Aalau bagaimanapun, tidak seperti #oorish yang hanya mencipta jubin daripada bentuk geometri, 'scher cuba mengubah idea #oorish dengan menggunakan bentuk yang menyerupai benda, binatang, burung dan sebagainya.
!aca bahan bacaan dari ?Beader@ Escher—Geometry meets art oleh !. +nsell, The Magic Mirror of M. C. Escher oleh !. 'rnst dan M. C Escher at or! oleh G.+. 'scher.
!eberapa contoh hasil kerja #.&. 'scher
8
1.#.1
$enghasilkan Teselasi Jenis-%s&her
ada bahagian ini, kita akan membincangkan dua cara termudah untuk membentuk teselasi Jenis-'scher. Aalaupun prinsipnya kelihatan sangat mudah, tetapi anda harus sedar $daripada pembacaan anda sebelum ini% bahaa untuk menghasilkan teselasi yang berasaskan binatang adalah tidak mudah. aripada artikel yang telah anda baca, 'scher sebenarnya meluangkan banyak masa dalam proses menyelidik, melatih dan menggunakan rekaannya untuk membentuk teselasi.
1.#.1.1 Teselasi Berasarkan $engubah sisi Bertentangan 'ang Selari
Teknik ini melibatkan mengubah pada satu sisi dan seterusnya mengubah sisi bertentangan yang selari dengan perubahan yang serupa.
9
Teselasi ringkas yang berasaskan segiempat sisi sama.
1.#.1.2
Teselasi Berasarkan Putaran
(ita telah melihat hanya terdapat tiga jenis poligon sekata yang boleh membentuk teselasi, iaitu segitiga sisi sama, segiempat sisi sama dan heksagon sisi sama. Segiempat sisi sama dan heksagon boleh menggunakan teknik mengubah satu sisi dan seterusnya mengubah sisi bertentangan yang selari dengan perubahan yang serupa. Aalau bagaimanapun, ini tidak dapat dilakukan untuk segitiga sisi sama kerana ia tidak mempunyai sisi bertentangan yang selari.
=amun demikian, kita boleh mengubah pada satu sisi dan mengubah sisi yang bersebelahan dengan bentuk yang sama dengan menggunakan teknik putaran. Teknik ini juga dilakukan untuk heksagon sekata.
10
Bajah di atas menunjukkan hasil ciptaan yang menggunakan bentuk asas segitiga dan teknik yang digunakan adalah mengubah pada satu sisi dan kemudiannya mengubah pada sisi yang bersebelahan dengan bentuk yang sama dengan menggunakan teknik putaran. Jika anda perhatikan dengan teliti, sisi yang ketiga dibentuk dengan mengubah separuh daripada sisi tersebut dan sisi yang telah dibentuk itu diputarkan pada titik tengah sisi tersebut. apatkah anda melihat bagaimana ia dibentuk* !incangkan dalam kumpulan >
&uba cipta satu teselasi jenis-'scher dengan menggunakan antara satu teknik yang dinyatakan di atas.
1.(
)eometri *raktal
ernahkah
anda
membesarkan
menggunakan komputer*
sebahagian
daripada
gambar
dengan
+pabila gambar tersebut dibesarkan dengan skala yang tinggi
daripada gambar asal, gambar tersebut kelihatan kabur. #andelbrot $532<-
mana-mana
Seorang ahli matematik, !enoit
% menyatakan bahaa pembesaran sepatutnya membolehkan kita
mendapatkan maklumat yang lebih jelas dan lengkap.
ada tahun 538-an, #andelbrot
menemui satu cara yang membolehkan kita untuk mereka bentuk geometri dengan satu si"at khas jika sebahagian daripada bentuk itu dibesarkan berulang, maka maklumat tambahan yang jelas dan lengkap akan diperolehi. #andelbrot menamakan bentuk geometri yang berulang tanpa had ini sebagai ?"raktal@.
11
Set $anelbrot !enoit #andelbrot dikenali sebagai bapa kepada ?Fraktal Geometri@. !eliau bukanlah orang yang pertama yang mencipta "raktal, tetapi beliau merupakan orang pertama yang mengabung idea beberapa ahli matematik seperti Georg &antor, Giuseppe eano, ;elge Con (och, Aacla Sierpinski dan Gaston Julia
untuk membentuk jenis geometri yang baru.
#andelbrot juga
mendapati bahaa kebanyakkan "raktal berkongsi si"at yang sama dalam alam semula jadi. #isalnya, pada daun pakis, bila kita bandingkan dengan keseluruhan daun pakis, ia kelihatan hampir sama dari segi bentuk, cuma berbe:a dari segi sai:.
!uat masa ini, "raktal tidak ada de"inisi yang dipersetujui secara umum. Aalau bagaimanapun, "raktal bolehlah dinyatakan sebagai bentuk geometri yang mempunyai moti" serupa-diri $ selfsimilar motif % yang berulang tanpa had. Satu contoh moti" serupa-diri ditunjukkan di baah
12
$oti+ Serupa !iri 'ang !itunjukkan oleh Sierpinski )asket
Bekaan "raktal umumnya menggunakan proses lelaran $iterati"e%, dengan hasil lelaran sangat menghampiri moti" asalnya. #isalnya dalam pembinaan ?#och Cur"e$ , cara pembinaan adalah seperti di baah
Tahap , !ermula dengan satu garis lurus. Garis lurus ini dikenali sebagai initiator .
Tahap 1 Garis lurus tersebut dibahagi kepada tiga bahagian yang sama. ada bahagian tengah tersebut, satu segitiga sama sisi dilukis dan garis pada tapak dialihkan. Tahap ini dikenali sebagai generator .
Tahap 2 Gantikan setiap bentuk initiator dengan bentuk generator pada Dersi skala untuk membentuk tahap selanjutnya dalam #och Cur"e.
anjang Dersi skala pada
generator adalah sama dengan panjang garis yang digantikannya. seterusnya, tahap 2 diulang.
13
/ntuk tahap
ontoh i/0 Ko&h ure
Tahap ,
Tahap 1
Tahap 20
ontoh ii/0 Sierpinski gasket
Tahap ,0
14
Tahap 10
Tahap 20
ontoh iii/0 Box Fractal
Tahap ,0
Tahap 10
15
Tahap 20
ontoh i/0 Peano curve : Famous Fractals Peano Curve
Peano curve is a name give to any fractal whose fractal dimension is equal to 2 !owever" the name for this ty#e of fractals comes from the name of the original Peano $urve %he original Peano $urve is a base-motif fractal which uses a line segment for the &ase an' the following motif(
)ften" a square is use' for the &ase instea' of a line segment %o generate the Peano $urve" you start with a line segment an' su&stitute it with the motif *ou then ta+e every one of the 9 line segments in the figure an' su&stitute it with the motif again ,t the en'" you get a square(
16
Tahap ,0
Tahap 10
Tahap 20
&uba dapatkan tahap 0 dan tahap < bagi semua contoh "raktal di atas.
17
1.(.1
*raktal Serupa-iri Tepat Strictly Self-Similarity Fractals/
Semua "raktal menunjukkan moti" serupa-diri dengan skala yang menyusut, alau bagaimanapun terdapat beberapa "raktal yang "raktal serupa-diri tepat, yang memenuhi de"inisi berikut. !e+inisi0 Sesuatu "raktal dikatakan +raktal serupa-iri tepat jika sebarang bahagian pada "raktal itu merupakan replika bagi keseluruhan "raktal.
Contoh: Tentukan sama ada "raktal berikut adalah "raktal serupa-diri tepat. a. ?#och snofla!e@.
b. ?#och cur"e@
Penyelesaian: a.
#och snofla!e adalah satu bentuk yang tertutup. #ana-mana bahagian yang diambil daripada #och snofla!e$misalnya yang dibulatkan% bukanlah satu bentuk yang tertutup. #aka #och snofla!e %u!anlah "raktal serupa-diri tepat.
!ahagian yang dibulatkan bukan merupakan replika bagi manamana bahagian bagi sno"lakes tersebut.
b.
apat diperhatikan dengan jelas bahaa mana-mana bahagian pada #och cur"e adalah replika bagi keseluruhan "raktal, #aka #och cur"e adalah "raktal serupa-diri tepat.
18
idapati bahaa mana-mana bahagian pada (och curDe adalah replika bagi seluruh (och curDe.
Tentukan sama ada Sierpins!i Gas!et dan &eano cur"e adalah "raktal serupa-diri tepat.
1.(.2
isbah )antian Replacement Ratio/ an isbah Skala Scaling Ratio/
ua bentuk kiraan yang boleh dilakukan terhadap "raktal ialah isbah )antian dan isbah Skala. #akna bagi isbah )antian dan isbah Skala •
•
Jika generator bagi sesuatu "raktal mengandungi ' replika bagi initiator, maka isbah )antian bagi "raktal tersebut adalah ' . Jika initiator bagi "raktal tersebut mempunyai r kali linear dimensi bagi replikanya pada generator, maka isbah Skalanya adalah r .
&ontoh
19
$i% #och Cur"e
Tahap
Tahap 5
$ii% Sierpins!i Gas!et
Tahap
Tahap 5
&ari nisbah gantian dan nisbah skala bagi $i% #och Cur"e $ii% Sierpins!i Gas!et
&enyelesaian
$i%
ada generator mengandungi empat garis lurus, tetapi initiator mengandungi satu garis lurus. #aka nisbah gantian bagi #och Cur"e ialah < 5, atau <.
Garis lurus pada initiator adalah tiga kali lebih panjang daripada replikanya pada generator. #aka nisbah skalanya ialah 0 5, atau 0.
$ii%
ada generator mengandungi tiga segitiga, tetapi initiator mengandungi satu setiga. #aka nisbah gantian bagi Sierpins!i Gas!et ialah 0 5, atau 0.
20
Segitiga pada initiator mempunyai kelebaran dua kali lebih panjang daripada segitiganya pada replika di generator. #aka nisbah skalanya ialah 2 5, atau 2.
apatkan nisbah gantian dan nisbah skala bagi a. &eano cur"e b. *o+ ractal
1.(.3
!imensi Keserupaan Similarity Dimension/
Satu perakilan yang dikenali sebagai imensi !eserupaan, digunakan untuk menilai kemampatan "raktal serupa-diri tepat. imensi !eserupaan, bagi +raktal serupa-iri tepat diberi sebagai
log N E log r engan ' sebagai =isbah Gantian dan r sebagai =isbah Skala. &ontoh &ari dimensi keserupaan bagi, $i% #och Cur"e
$ii% Sierpins!i Gas!et
&enyelesaian
$i%
(och &urDe adalah "raktal serupa-diri tepat, maka kita boleh mendapatkan dimensi keserupaannya. aripada soalan sebelum ini, nisbah gantian bagi #och Cur"e ialah < dan nisbah skalanya ialah 0. #aka dimensi keserupaannya adalah
log4 E log3
$ii%
≈ 1.262
aripada soalan sebelum ini, nisbah gantian bagi Sierpins!i Gas!et ialah 0 dan nisbah skalanya ialah 2. #aka dimensi keserupaannya adalah
21
log3 ≈ 1.585 E log2
&ari dimensi keserupaan bagi a. &eano cur"e
1.(.3
b. *o+ ractal
*raktal )eometri i Kehiupan Seharian
1.(.3.1
*raktal paa lam Semula Jai
Sungai
Himpunan an
22
Pan&aran Kilat
1.(.3.2
5rat !aun
*raktal paa 6ekaan $anusia
Ba-7li i +rika
$enara %i++el i Paris
/ntuk mendapatkan pemahaman yang lebih, anda digalakkan untuk membuat pembacaan tambahan dan melayari internet untuk tajuk di atas. astinya anda akan berasa seronok, betapa menariknya mempelajari matematik> Selamat membaca>
7ngatan0
Sila pastikan semua bahan ba&aan 'ang telah i&etak8 termasuk nota an pen'elesaian soalan isimpan engan baik i alam port+olio ana.
23
